Θεωρητική Μηχανική Tεύχος ΙI Αναλυτική Μηχανική

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεωρητική Μηχανική Tεύχος ΙI Αναλυτική Μηχανική"

Transcript

1 Θεωρητική Μηχανική Tεύχος ΙI Αναλυτική Μηχανική Φωκίωνας Χατζηϊωάννου Αθήνα, 1974

2

3 Περιεχόμενα 5 Εξισώσεις Lagrange Γενικευμένες συντεταγμένες Αρχή των δυνατών έργων Εξισώσεις Lagrange Προβλήματα Αρχή της ελάχιστης δράσης Αρχή της ελάχιστης δράσης Προβλήματα Μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς Μετασχηματισμοί βαθμίδας Προβλήματα Επέκταση της αρχής ελαχίστου σε διαφορικές εξισώσεις ανωτέρης τάξης Αναλυτική Δυναμική και Διαφορική Γεωμετρία Προβλήματα Συμμετρίες - Θεωρήματα διατηρήσεως - Κανονικές εξισώσεις Hamilton Θεώρημα Noether Χωροχρονικές συμμετρίες - Ολοκληρώματα κίνησης Διατήρηση της γραμμικής ορμής Διατήρηση της στροφορμής Διατήρηση της ενέργειας Κανονικές εξισώσεις του Hamilton Κανονικοί μετασχηματισμοί Αγκύλες Poisson Προβλήματα i

4 8 Κίνηση στερεού με ένα σταθερό σημείο Άλγεβρα και Γεωμετρία των στροφών Κινηματική της στρoφικής κίνησης στερεού Εξισώσεις Euler-Lagrange της κίνησης στερεού Εξισώσεις Euler Εξισώσεις Hamilton Προβλήματα Βιβλιογραφία 50 ii

5 Κεφάλαιο 5 Εξισώσεις Lagrange 5.1 Γενικευμένες συντεταγμένες Έστω ένα σύστημα n-υλικών σημείων. Η θέση του συστήματος ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, καθορίζεται την τυχαία χρονική στιγμή t από τα διανύσματα θέσης των υλικών σημείων r 1, r 2,..., r n. Πολλές φορές, ανάλογα με τη συμμετρία του προβλήματος, η μελέτη του συστήματος απλοποιείται εάν αντί των καρτεσιανών συντεταγμένων των n πιο πάνω διανυσμάτων χρησιμοποιήσουμε άλλες μεταβλητές q i, i = 1, 2,..., 3n. Οι μεταβλητές αυτές καλούνται γενικευμένες συντεταγμένες του συστήματος. Συχνά οι δυνάμεις μεταξύ των υλικών σημείων είναι τέτοιες ώστε μερικές από τις συντεταγμένες να πληρούν ορισμένες σχέσεις, για παράδειγμα σε στερεό σώμα n-υλικών σημείων οι δυνάμεις μεταξύ των υλικών σημείων είναι τέτοιες ώστε οι σχετικές αποστάσεις μεταξύ τους να διατηρούνται σταθερές r i r j = const. Αυτές τις σχέσεις τις καλούμε δεσμούς. Εν γένει, με την παρουσία των δεσμών, οι 3n γενικευμένες συντεταγμένες δεν είναι πλέον ανεξάρτητες μεταξύ τους. Το πλήθος των ανεξάρτητων συντεταγμένων m καλείται βαθμός ελευθερίας του συστήματος (βλ. Πρόβλημα 1). Το υλικό σύστημα μπορεί να παρασταθεί με ένα σημείο q = (q 1, q 2,..., q m ), στο χώρο των m-διαστάσεων, τον οποίο καλούμε και θεσεογραφικό χώρο (configuration space). 1

6 Οι διαστάσεις του χώρου των φυσικών καταστάσεων συστήματος υλικών σημείων στην Κλασσική Μηχανική (σχετικιστική ή όχι) είναι 2 διαστάσεις του θεσεογραφικού χώρου. Στην Κβαντική Μηχανική οι δύο χώροι έχουν τις διαστάσεις αυτές ίσες με. Ανάλογα με τη μορφή των δεσμών, τα συστήματα χαρακτηρίζονται ως: α. Ολόνομα, όταν οι δεσμοί είναι της μορφής f j ( r 1, r 2,..., r n, t) = 0, j = 1, 2,..., k. (5.1-1) β. Μη ολόνομα, όταν οι δεσμοί δεν μπορούν να εκφραστούν στη μορφή της (5.1-1) είναι δηλαδή ανισότητες ή μη ολοκληρώσιμες σχέσεις διαφορικών των συντεταγμένων του συστήματος. Στην περίπτωση των ολόνομων συστημάτων τα διακρίνουμε σε σκληρόνομα εάν οι δεσμοί είναι ανεξάρτητοι του χρόνου: f j t = 0, j = 1, 2,..., k, (5.1-2) και σε ρεόνομα όταν οι δεσμοί μεταβάλλονται με το χρόνο: f j t 0, για τουλάχιστον ένα δείκτη j. Ένα από παράδειγμα ολόνομου συστήματος είναι η κίνηση υλικού σημείου στην επιφάνεια σφαίρας ακτίνας R. Αν η ακτίνα R της σφαίρας είναι ανεξάρτητη του χρόνου, το σύστημα είναι σκληρόνομο αλλιώς είναι ρεόνομο. Υλική σφαίρα που κυλίεται σε κεκλιμένο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει αποτελεί παράδειγμα μη ολόνομου συστήματος. 5.2 Αρχή των δυνατών έργων Εκτός από την κίνηση του υλικού συστήματος, δηλαδή της χρονικής δυναμικής μετατόπισής του, γίνεται πολλές φορές και η χρήση της έννοιας της δυνατής μετατόπισής ως απλή μαθηματική ευκολία. Το σύνολο των δυνατών μετατοπίσεων αποτελεί ομάδα μετασχηματισμών της θέσης του υλικού συστήματος στο θεσεογραφικό χώρο. Για παράδειγμα, για υλικό σημείο που μπορεί να κινείται μόνο στην επιφάνεια σφαίρας, ή στερεού που έχει ένα σταθερό σημείο, η ομάδα των δυνατών μετασχηματισμών είναι η ομάδα των περιστροφών. Η δυνατή μετατόπιση είναι μαθηματική έννοια ανεξάρτητη από τη χρονική εξέλιξη του συστήματος. 2

7 Έστω ένα σύστημα n-υλικών σημείων σε ισορροπία. Τότε όλες οι δυνάμεις F i, i = 1, 2,..., n που δρουν σε κάθε υλικό σημείο είναι μηδέν, F i = 0. Εάν θεωρήσουμε μια απειροστή δυνατή μετατόπιση του συστήματος δ r i, i = 1, 2,..., n το δυνατό έργο των δυνάμεων F i θα είναι: δw = n F i δ r i = 0. (5.2-1) Αλλά η ολική δύναμη F i που ασκείται στο σημείο i ισούται με το άθροισμα της ολικής δύναμης f i που οφείλεται στα άλλα σημεία ή στα εξωτερικά πεδία και της ολικής δύναμης F i σ των δεσμών στο i Έτσι η (5.2-1) γράφεται: F i = F σ i + f i, i = 1, 2,..., n. n F σ i δ r i + n f i δ r i = 0. (5.2-2) Εάν δεχτούμε ότι σε κανένα από τους δεσμούς δεν έχουμε δυνάμεις τριβής, τότε οι δυνάμεις F i σ είναι κάθετες προς τις δυνατές μετατοπίσεις δ r i. Έτσι: n f i δ r i = 0. (5.2-3) Η εξίσωση (5.2-3) καλείται αρχή των δυνατών έργων για τη στατική. Βάση της αρχής του D Alembert, F i p i = 0, i = 1, 2,..., n, (5.2-4) η δυναμική ανάγεται στη στατική και η εξίσωση (5.2-3) γενικεύεται στην: Έτσι: n ( fi p i ) δ r i = 0. (5.2-5) Κατά τις δυνατές μετατοπίσεις το έργο των εξωτερικών δυνάμεων συν το έργο των δυνάμεων αδράνειας ( p i ) ισούται με μηδέν. Η εξίσωση (5.2-5) καλείται αρχή των δυνατών έργων στη δυναμική. 3

8 Η εξίσωση αυτή είναι ισοδύναμη με τις εξισώσεις του Νεύτωνα. Πράγματι θεωρήσαμε κατ αρχήν ότι δεν υπάρχουν δεσμοί. Τότε οι μετατοπίσεις δ r i, i = 1, 2,..., n είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους και η (5.2-5) συνεπάγει αμέσως τις εξισώσεις του Νεύτωνα. Με την παρουσία δεσμών οι συντεταγμένες r i, i = 1, 2,..., n αντικαθιστώνται με γενικευμένες συντεταγμένες ανεξάρτητες μεταξύ τους, q k, k = 1,..., m r i = r i (q 1, q 2,..., q m ). (5.2-6) Τα διαφορικά θέσεων δ r i γράφονται δ r i = k r i q k δq k, (5.2-7) και η αρχή ελαχίστων έργων (5.2-5) παίρνει τη μορφή n ( fi p ) i r i δq k = 0. q k k [ ή n ] ( f i p i ) r i δq k = 0. (5.2-8) q k k Από την (5.2-8) και επειδή τα διαφορικά δq k είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, έχουμε n f i r i q k n p i r i q k = 0, k = 1, 2,..., m. (5.2-9) Αυτό αποτελεί και τη γενικευμένη έκφραση της αρχής D Alembert. Η γενικευμένη δύναμη n F k = f i r i k = 1, 2,..., m. (5.2-10) q k συν τη γενικευμένη δύναμη αδράνειας P n k = p i r i (5.2-11) q k δίνουν άθροισμα μηδέν. Βάσει των πιο πάνω ορισμών η (5.2-9) γράφεται και στη μορφή Αυτή υποκαθιστά τις εξισώσεις του Νεύτωνα. P k = F k (5.2-12) 4

9 5.3 Εξισώσεις Lagrange Στην εξίσωση (5.2-9) της αρχής των δυνατών έργων, η γενικευμένη δύναμη αδράνειας P n k = p i r n i = m i ri r i q k q k ( n ) = d m i v i r n i m i ri d ( ) ri, (5.3-1) dt q k dt q k παρουσιάζεται ως μικτή συνάρτηση των γενικευμένων συντεταγμένων q και των ταχυτήτων v των αρχικών συντεταγμένων. Η μορφή αυτή δεν είναι βολική. Θα θέλαμε να απαλείψουμε τις ταχύτητες v έτσι ώστε να έχουμε τη γενικευμένη δύναμη αδράνειας P k εκφρασμένη συναρτήση των γενικευμένων συντεταγμένων q και ταχυτήτων q. Παραγωγίζοντας την (5.2-6) διαδοχικά βρίσκουμε v i d r i m dt = r i q j v i q k = m j=i j=i j=i 2 r i q k q j q j + r i t, (5.3-2) q j + 2 r i q k t (5.3-3) v i = r i (5.3-4) q k q k ( ) d ri m 2 r i = q j + 2 r i (5.3-5) dt q k q j q k t q k Επίσης, συγκρίνοντας την (5.3-3) με την (5.3-5) και υποθέτοντας ότι μπορούμε να αντιμεταθέσουμε τις παραγωγίσεις έχουμε 2 q j q k = 2 q k q j και 2 q k t = 2 t q k, ( ) d ri = v i. (5.3-6) dt q k q k Εισάγοντας τις (5.3-4) και (5.3-6) στην (5.3-1), έχουμε τελικά την έκφραση που επιθυμούσαμε ( n ) P k = d m i v i v n i m i v i v i = dt q k q k [ ( n )] ( = d m i v i 2 n ) m i v i 2. (5.3-7) dt q k 2 q k 2 5

10 Δηλαδή όπου P k = d ( ) T T, (5.3-8) dt q k q k T = n m i v i 2, (5.3-9) 2 η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος. Με τη βοήθεια της (5.3-8) οι εξισώσεις κίνησεις (5.2-11) του συστήματος εκφράζονται τώρα στη συμπαγή μορφή ( ) d T T = F k, k = 1, 2,..., m. (5.3-10) dt q k q k Αυτές καλούνται εξισώσεις του Lagrange. Στην ειδική περίπτωση κατά την οποία οι δυνάμεις f i προέρχονται από δυναμικό, τότε (βλέπε 2.3) και η γενικευμένη δύναμη F k είναι F k = n f i r i q k = f i = i V, (5.3-11) n i V r i q k = V q k, (5.3-12) και οι εξισώσεις του Lagrange λαμβάνουν τη συνηθισμένη μορφή ( ) d L L = 0, k = 1, 2,..., m. (5.3-13) dt q k q k όπου L = T V η Lagrangian του συστήματος (βλ. Πρόβλημα 6). Στη γενικότερη περίπτωση, όταν εκτός από τις δυνάμεις F k = V / q k ασκούνται στο σύστημα και άλλες δυνάμεις F k οι οποίες δεν πηγάζουν από δυναμικό, η (5.3-13) αντικαθιστάται από την Προβλήματα d dt ( L q k ) L q k = F k, k = 1, 2,..., m. (5.3-14) 1. Πόσοι είναι οι βαθμοί ελευθερίας συστήματος δύο υλικών σημείων που είναι συνδεδεμένα στα άκρα αβαρούς ράβδου η οποία κινείται ελεύθερη στον τρισδιάστατο χώρο; Προτείνετε γενικευμένες συντεταγμένες και εκφράστε την κινητική ενέργεια του συστήματος συναρτήσει αυτών. 6

11 2. Υλικό σημείο μάζας m κινείται χωρίς τριβή σε επιφάνεια σφαίρας ακτίνας R. Ολοκληρώστε την κίνηση, (i) στις γενικές σφαιρικές πολικές συντεταγμένες με γωνίες (β, ϕ), (ii) σε κατάλληλες επίπεδες πολικές συντεταγμένες (ϕ), αφού πρώτα αποδείξετε ότι η κίνηση είναι επίπεδη. 3. Εκφράστε τις εξισώσεις Lagrange, οι οποίες διέπουν την κίνηση του υλικού συστήματος του προβλήματος 1 και ολοκληρώστε την κίνηση. 4. Εκφράστε τις εξισώσεις Lagrange οι οποίες διέπουν την κίνηση διπλού εκκρεμούς εντός πεδίου βαρύτητας έντασης B. Δίδονται τα μήκη l 1, l 2 και οι μάζες m 1, m 2 των δύο απλών συνιστώντων εκκρεμών. Να ολοκληρωθεί η κίνηση για μικρά πλάτη.! B 1 m 1 ϑ 1 2 ϑ 2 m 2 5. Ολοκληρώστε τις εξισώσεις Lagrange του προβλήματος της κίνησης δύο σωμάτων μάζας m 1 και m 2 αντίστοιχα, οι οποίες έλκονται από Νευτώνειο δυναμικό V = f m 1m 2 τ Χρησιμοποιείστε καρτεσιανές συντεταγμένες για την κίνηση του κέντρου μάζας και πολικές συντεταγμένες για τη σχετική κίνηση. 6. Οι εξισώσεις Lagrange (5.3-9) ισχύουν και στη γενικότερη περίπτωση κατά την οποία οι δυνάμεις προέρχονται από ένα «δυναμικό V (q, q) που εξαρτάται και από την ταχύτητα» βάσει του τύπου Q k = V q k + d dt ( V q k Σε αυτή την περίπτωση θέτουμε L = T V. Επαληθεύσετε ότι στην περίπτωση των ηλεκτρομαγνητικών δυνάμεων ( F = e E + v ) c B, ). το μέγεθος V ( x, x) = e [ ϕ( x, t) x ] c A( x, t) 7

12 όπου E = ϕ και B = A, αποτελεί ένα τέτοιο δυναμικό ταχυτήτων. 8

13 Κεφάλαιο 6 Αρχή της ελάχιστης δράσης 6.1 Αρχή της ελάχιστης δράσης Έστω ένα μηχανικό σύστημα n βαθμών ελευθερίας, η κίνηση του οποίου περιγράφεται από την Lagrangian L = L(q i, q i, t). Συναρτήσεις Lagrange με παραγώγους ανωτέρας τάξης θα μελετηθούν στην 6.2. Η τροχιά του συστήματος στο χώρο των q περιγράφεται μέσω ενός συστήματος συναρτήσεων του χρόνου q i = q i (t), όπου i = 1, 2,..., n και < t < +. Ως συνέπεια των εξισώσεων του Νεύτωνα σε κάθε σύνολο αρχικών τιμών q i (0), q i (0), i = 1, 2,..., n αντιστοιχεί μία και μοναδική τροχιά του συστήματος. Κατ αναλογία προς τη δυνατή μετατόπιση, ορίζουμε ως δυνατή τροχιά του συστήματος κάθε τυχαία χρονική συνάρτηση q i (t) που είναι συμβιβαστή με τους δεσμούς. Ορίζουμε ως δράση του συστήματος μεταξύ δύο χρονικών στιγμών, t 2, για τυχαία δυνατή τροχιά, το ολοκλήρωμα: I = t2 L (q i, q i, t) dt. (6.1-1) Είναι προφανές ότι η δράση I είναι συναρτησοειδές των δυνατών τροχιών, αφού είναι συνάρτηση των συναρτήσεων q i (t). Η Αρχή της ελάχιστης δράσης του Hamilton διατυπώνεται ως εξής: Η τροχιά υλικού συστήματος n βαθμών ελευθερίας, το οποίο περιγράφεται από την Lagrangian L(q i, q i, t) είναι τέτοια ώστε το ολοκλήρωμα της δράσης να παίρνει στάσιμη τιμή. Δηλαδή, εάν q i (t) είναι η τροχιά του συστήματος, κάθε απειροστή 9

14 συναρτησιακή μεταβολή q i (t) q i(t) = q i (t) + δq i (t), i = 1, 2,..., n, (6.1-2) που υπακούει στη συνοριακή συνθήκη είναι τέτοια ώστε δi = 0. δq i ( ) = δq i (t 2 ) = 0, (6.1-3) Η αρχή ελάχιστης δράσης είναι ισοδύναμη με τις εξισώσεις Lagrange. Απόδειξη Το συναρτησιακό διαφορικό της δράσης είναι: t2 ( t2 n ) L n L δi = δ L(q i, q i, t) dt = δq i + δ q i dt. (6.1-4) q i q i Θα δείξουμε ότι: α. Εάν πληρούνται οι εξισώσεις του Lagrange η δράση παίρνει ακρότατη τιμή. Πράγματι, με τη βοήθεια των εξισώσεων Lagrange ( ) d L = L = 0, i = 1, 2,..., n, (6.1-5) dt q i q i η (6.1-4) γράφεται: [ t2 n d δi = dt ( L q i Αλλά από τον ορισμό (6.1-2) έχουμε: δi = = t2 ) ] δq i + L δ q i dt. (6.1-6) q i d dt δq i = δ q i (6.1-7) ( n ) d L n L t 2 δq i δt = δq i = dt q i q i n L n L δq i (t 2 ) δq i ( ), q i q i και λόγω των συνοριακών συνθηκών (6.3-1), δi = 0. (6.1-8) 10

15 β. Εάν δεχτούμε την αρχή του Hamilton ως νόμο της Μηχανικής, τότε προκύπτουν οι εξισώσεις του Lagrange. Πράγματι, από την (6.1-4) έχουμε: t2 n ( L 0 = δi = δq i + L ) δ q i dt = q i q i t2 n [ L = δq i + d ( ) L δq i d ( L q i dt q i dt q i n L t 2 t2 n [ L = δq i + d ( L q i t q 1 i dt q i t2 n [ L = d ( L q i dt q i ) δq i ] dt = )] δq i dt = )] δq i dt. (6.1-9) Από την (6.1-9) επειδή οι δq i είναι τυχαίες συναρτήσεις έπεται αμέσως (άσκηση 1) ότι: ( ) d L L = 0, i = 1, 2,..., n. (6.1-10) dt q i q i Από τα πιο πάνω διαπιστώνουμε ότι δοθείσας μιας Lagrangian η αρχή του Hamilton είναι ισοδύναμη με τις εξισώσεις του Lagrange και έτσι αποτελεί μια άλλη διατύπωση του δυναμικού νόμου. Η αρχή της ελάχιστης δράσης έχει πολύ βασική σημασία. Εκτός του ότι αποτελεί ένα ισχυρότατο μαθηματικό εργαλείο στη μελέτη των δυναμικών συστημάτων, επιτρέπει και ένα βαθύτερο επίπεδο κατανόησής τους. Μέσω αυτής, ο δυναμικός νόμος εκφράζεται σε γεωμετρικά αναλλοίωτη συμπαγή και κομψή μορφή και οι βασικές αρχές και συμμετρίες, οι οποίες τον διέπουν καθίστανται πλέον ανάγλυφες. Αυτό θα γίνει πιο σαφές στις επόμενες παραγράφους. Πέραν όμως αυτού η αξία της διατύπωσης της αρχής της ελάχιστης δράσης δεν πρέπει να υπερεκτιμάται. Με την αρχή της ελάχιστης δράσης δημιουργήθηκε ένας νέος φυσικός νόμος. Για την εύρεση μιας συνάρτησης Lagrange L, η οποία να περιγράφει ένα συγκεκριμένο δυναμικό σύστημα, απαιτείται η γνώση των εξισώσεων κίνησης του συστήματος οι οποίες θα ταυτιστούν με τις εξισώσεις Lagrange. Η παραδοχή μιας L μπορεί πολλές φορές να στηριχθεί πάνω σε γενικά επιχειρήματα από την ανάλυση της συμμετρίας του συστήματος. Στην τελευταία περίπτωση μπορούμε να μιλούμε περί πρόβλεψης των εξισώσεων κίνησης (βλ. Πρόβλημα 2). Την ισοδυναμία και αλληλεξάρτηση των εξισώσεων κίνησης και της αρχής ελάχιστης δράσης αποδίδουμε και γραφικά στο πιο κάτω διάγραμμα. 11

16 Προβλήματα 1. Αποδείξετε ότι η ισχύς της (6.1-9) για τυχαία συνάρτηση δq(t) για την οποία ισχύουν οι συνοριακές συνθήκες (6.3-1), συνεπάγει τις εξισώσεις (6.1-10) του Lagrange. Η συνάρτηση δq(t) θεωρείται ότι ανήκει στο σύνολο C των άπειρα παραγωγίσιμων και συνεχών συναρτήσεων. Η δράση είναι συναρτησοειδές των τροχιών q(t), q(t), ώστε η μέθοδος μπορεί να εφαρμοστή και όταν η Lagrangian είναι γενικευμένη συνάρτηση, κατανομή Schwartz. 2. Βρείτε την Lagrangian ελεύθερου υλικού σημείου χρησιμοποιώντας το αναλλοίωτο ως προς τους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου. 3. «Βραχυστόχρονες» καλούνται οι τροχιές του συστήματος στο θεσεογραφικό χώρο οι οποίες όταν διαγραφούν με σταθερή ενέργεια αποτελούν τους συντομότερους χρονικά δρόμους μεταξύ των σημείων της. Αυτές καθιστούν το ολοκλήρωμα του χρόνου ελάχιστο. dt = ds υ = ds 2(E V ), Βρείτε τις εξισώσεις Lagrange τις οποίες ικανοποιούν οι βραχυστόχρονες τροχιές. 4. Υλικό σημείο κινείται σε κατακόρυφο επίπεδο εντός πεδίου βαρύτητας έντασης g. Να βρεθούν οι βραχυστόχρονες τροχιές. 5. Βρείτε Lagrangian η οποία περιγράφει υλικό σημείο μάζας m, υπό την επίδραση δύο δυνάμεων, μιας προερχόμενης από δυναμικό V = k 2 x 2, και άλλης της μορφής F = A sin (ωt). Υπόδειξη: L = 1 2 m x k x 2 + F x. 12

17 6.1.1 Μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς Στα προηγούμενα κεφάλαια μελετήθηκε η κίνηση σε αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Η χρήση των εξισώσεων Lagrange μας επιτρέπει και την απευθείας επέκτασή και στα μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Πράγματι, αφού για την εξαγωγή των εξισώσεων του Lagrange από την αρχή της ελάχιστης δράσης δεν τέθηκε κανένας περιορισμός όσον αφορά στο σύστημα αναφοράς, οι εξισώσεις αυτές ισχύουν και στα μη αδρανειακά συστήματα. Πιο κάτω θα περιοριστούμε σε στερεά μη αδρανειακά συστήματα. Ξεκινώντας συνήθως από τη γνωστή μορφή της L σε αδρανειακό σύστημα θα βρούμε τη νέα μορφή L της Lagrangian στο μη αδρανειακό σύστημα. Σε αυτή την περίπτωση αν L = T V, αρκεί να βρούμε τη νέα έκφραση της κινητικής ενέργειας, δηλαδή να καθορίσουμε το μετασχηματισμό της ταχύτητας. Το γενικότερο αδρανειακό σύστημα Σ εκτελεί τόσο μεταφορική, με εν γένει μεταβαλλόμενη ταχύτητα, όσο και περιστροφική κίνηση ως προς αδρανειακό σύστημα Σ α. Μια τέτοια κίνηση μπορούμε να την αναλύσουμε ως εξής: Θεωρούμε σύστημα Σ µ που κινείται παράλληλα με το Σ α με ταχύτητα U(t) και έχει κοινή αρχή με το Σ, το οποίο περιστρέφεται περί του Σ α με γωνιακή ταχύτητα ω(t). Έστω v α, v µ και v οι ταχύτητες ενός υλικού σημείου ως προς τα Σ α, Σ µ και Σ αντίστοιχα. Έχουμε v α = v µ + U(t), (6.1-11) και v µ = v + ω r, (6.1-12) όπου r το διάνυσμα θέσης του υλικού σημείου ως προς το Σ. Έτσι: v α = v + U(t) + ω r, (6.1-13) Η εξίσωση (6.1-13) δίνει το ζητούμενο μετασχηματισμό της ταχύτητας. Αν στο αδρανειακό σύστημα η έκφραση της Lagrangian είναι L α = 1 m i ( 2 r i ) α 2 V, (6.1-14) i η Lagrangian L µ ως προς το μη αδρανειακό σύστημα λαμβάνεται αν 13

18 αντικαταστήσουμε τη σχέση (6.1-13) στη σχέση (6.1-14). Έχουμε τότε L µ = 1 vi m i U + ω r i V = i = 1 m i v i + ω r i m i U 2 + m i ( v i + ω r i ) U V, i m ( v + ω r) U = m v µ U = m d r dt U = = m d dt ( r U ) m r d U dt = m d dt όπου γ η επιτάχυνση της αρχής του Σ µ ως προς το Σ α, ( r U ) m r γ, L µ = i [ 1 2 m i v i m i ω r i 2 + m i v i ( ω r i ) m i U m i d dt ( r i U ) m i r i γ ] V (6.1-15) Η πιο πάνω Lagrangian μπορεί να απλοποιηθεί περισσότερο. Ο τέταρτος και ο πέμπτος όρος της είναι ολικά διαφορικά ως προς το χρόνο και μπορούν να παραλειφθούν. Με αυτό το θέμα θα ασχοληθούμε περισσότερο στην επόμενη παράγραφο ( 6.1.2) των μετασχηματισμών βαθμίδας. Τελικά, η Lagrangian του συστήματος ως προς το μη αδρανειακό παρατηρητή παίρνει τη μορφή L µ = 1 [ m i v i ] 2 m i ω r i 2 + m i v i ( ω r i ) m i r γ V. i (6.1-16) Οι αντίστοιχες εξισώσεις του Lagrange, ( ) d L L = 0, (6.1-17) dt v i r i όπου d dt L = m i v i + m i ( ω r i ), v ( ) i L d v i = m i dt + m i v i L r i ( d ω dt r i ) + m i ( ω v i ), = m i ( ω r i ) ω + m i ( v i ω) m i γ V r i, 14

19 δίνουν τις νέες εξισώσεις κίνησης, ( ) d v i d ω m i dt + m i dt r i + m i ( ω v i ) m i ( ω r i ) ω m i ( v i ω) + m i γ + V r i = 0, (6.1-18) m i d v i dt = V r i m i γ + 2m i ( v i ω) + m i ( ω r i ) ω m i ή ( ) d ω dt r i. (6.1-19) Οι εξισώσεις (6.1-19) αντικαθιστούν το νόμο του Νεύτωνα για το σύστημα Σ. Ως προς το μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς Σ, εκτός από την αρχική δύναμη V / r παρουσιάζονται επιπλέον και οι εξής νέες δυνάμεις: η φυγόκεντρος δύναμη F α = m ( ω r) ω, και η δύναμη Coriolis F c = 2m ( v ω), που οφείλονται στη γωνιακή ταχύτητα του Σ, η δύναμη F γ = m γ που οφείλεται στη γραμμική επιτάχυνση της αρχής του Σ και τέλος η δύναμη F ω = m (d ω/dt r), λόγω της γωνιακής (στροφικής) επιτάχυνσης d ω/dt του Σ. Όλες οι πιο πάνω φαινομενικές δυνάμεις καλούνται αδρανειακές επειδή είναι ανάλογες της αδρανειακής μάζας των υλικών σημείων. Λόγω της ισοδυναμίας βαρυτικής και αδρανειακής μάζας οι δυνάμεις αυτές μπορούν να ταυτιστούν, τουλάχιστον σε τοπικό πλαίσιο, με πεδία βαρύτητας (τεύχος Ι, 1.3). Το πεδίο «βαρύτητας» το οποίο περιγράφεται από τις παλιρροϊκές δυνάμεις Coriolis είναι ιδιάζουσας μορφής F i = 3 a ik v k, k=1 όπου 3 a ik = ϵ ikl ω l. l= Μετασχηματισμοί βαθμίδας (Gauge transformations) Στην προηγούμενη παράγραφο θεωρήσαμε το αναλλοίωτο των εξισώσεων κίνησης υπό μορφή Lagrange, κατά τους μετασχηματισμούς των συντεταγμένων. Σε αυτή την παράγραφο θα ασχοληθούμε με τους μετασχηματισμούς βαθμίδας, οι οποίοι μεταβάλλουν την Lagrangian, αφήνoντας αναλλοίωτες τις εξισώσεις κίνησης και συνεπώς και το φυσικό περιεχόμενο του δυναμικού συστήματος. 15

20 όπου Οι εν λόγω μετασχηματισμοί έχουν τη μορφή: L L = L(q, q, t) + G(q, t), (6.1-20) G(q, t) = d g g g(q, t) = q + dt q t. (6.1-21) Η συνάρτηση G(q, t) καλείται γεννήτορας των μετασχηματισμών. Το αναλλοίωτο των εξισώσεων κίνησης είναι προφανές από την αρχή ελάχιστης δράσης: 0 = = = t2 t2 t2 δl dt = δl dt + δg dt = t2 [ ] d t2 δl dt + δ g(q, t) dt = δl dt + δg(q, t) dt δl dt + g q δq t 2 t2 δl dt. t2 t2 Έτσι από την έπεται ότι = t2 δ L dt = 0, t2 δ L dt = 0. t 2 = Σε αυτό το συμπέρασμα μπορούμε να καταλήξουμε και απευθείας από τις εξισώσεις Lagrange. Πράγματι, από την (6.1-21) έχουμε G q = ( ) g g q + = g q q t q, (6.1-22) ) d dt ( G q = 2 g 2 q q + 2 g t q, (6.1-23) G q = 2 g q 2 q + 2 g q t. (6.1-24) Συγκρίνοντας τις (6.1-23) και (6.1-24) μεταξύ τους και λαμβάνοντας υπόψη ότι με την προϋπόθεση ότι η συνάρτηση g είναι C 2, δηλαδή έχει δεύτερης τάξης παράγωγους ως προς q και t και αυτές είναι συνεχείς, ισχύει 2 g q t = 2 g t q έχουμε d dt ( ) G G = 0, (6.1-25) q q 16

21 και επιβεβαιώνουμε ότι οι εξισώσεις του Lagrange παραμένουν αναλλοίωτες στους μετασχηματισμούς βαθμίδας L L (6.1-21). d dt ( L q ) L q = 0, (6.1-26) Γενικότεροι μετασχηματισμοί, που αφήνουν τις εξισώσεις κίνησης αναλλοίωτες, είναι οι μετασχηματισμοί επαφής (contact transformations): L(q, q, t) L (q, q, t) = L(q, q, t) + d dt g(q, q, t), (6.1-27) οι οποίοι αποτελούν συνδυασμό μετασχηματισμού βαθμίδας και συντεταγμένων. Οι μετασχηματισμοί βαθμίδας βρίσκουν ιδιαίτερη χρήση στην ηλεκτρομαγνητική θεωρία (βλ. Πρόβλημα 2). Προβλήματα 1. Δείξτε ότι οι μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου μπορούν να θεωρηθούν ως μετασχηματισμοί βαθμίδας. 2. Δείξτε ότι η Lagrangian L = 1 2 mv2 eϕ( x, t) + e x c A( x, t) υλικού σημείου μάζας m και φορτίου e εντός ηλεκτρομαγνητικού πεδίου (βλ. Πρόβλημα 6, 5.3), είναι αναλλοίωτη στο μετασχηματισμό βαθμίδας ϕ ϕ 1 γ c t, A A + γ των ηλεκτρομαγνητικών δυναμικών. 6.2 Επέκταση της αρχής ελαχίστου σε διαφορικές εξισώσεις ανωτέρης τάξης Στην προηγούμενη παράγραφο εφαρμόσαμε την αρχή της ελάχιστης δράσης σε Lagrangian συναρτήσεις, L(x, ẋ, t), οι οποίες εξαρτώνταν από τη θέση x και την πρώτη παράγωγο dx/dt ως προς το χρόνο, για την παραγωγή της εξίσωσης κίνησης ως δευτεροβάθμιας διαφορικής εξίσωσης ως προς το χρόνο. 17

22 Η μέθοδος της ελάχιστης δράσης μπορεί να επεκταθεί και σε διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης. Έστω μια συνάρτηση Lagrange ( ) L x, dx dt, d(2) d(n) x,..., (dt) 2 (dt) n x, t, συνάρτηση της θέσης x, του χρόνου t και των παραγώγων dx dt, d(2) x (dt) 2,..., d(n) x (dt) n μέχρι n τάξης, που για απλότητα τη θεωρούμε στο μονοδιάστατο χώρο. Το ολοκλήρωμα της δράσης, συναρτησοειδές των δυνατών τροχιών x(t), ορίζεται στην περίπτωση αυτή ως ( ) t2 I = L x, dx dt, d(2) d(n) x,..., (dt) 2 (dt) n x, t dt, (6.2-1) και η αρχή του Hamilton γενικεύεται ως εξής: Οι τροχιές του συστήματος στο θεσεογραφικό χώρο x(t) καθιστούν το ολοκλήρωμα της δράσης ακρότατο ως προς συναρτησιακές μεταβολές των δυνατών τροχιών δx(t) οι οποίες υπακούν στις συνοριακές συνθήκες δx( ) = δx(t 2 ) = 0 δ dx dt () = δ dx dt (t 2) = 0 δ d(2) x (dt) 2 () = δ d(2) x (dt) 2 (t 2) = 0... δ d(n 1) x (dt) n 1 () = δ d(n 1) x (dt) n 1 (t 2) = 0, (6.2-2) για τυχαία, t 2. Μηδενίζοντας το συναρτησιακό διαφορικό της (6.2-1) δi = 0, (6.2-3) 18

23 και λαμβάνοντας υπόψη τις συνοριακές συνθήκες (6.2-2), έχουμε, t2 ( ) [ ] L L dx δi = δx(t) + x dx δ L d (n) x δ dt dt d(n) x (dt) n dt = (dt) n ( ) t2 L = x d L dt dx ( 1) n d(n) L (dt) n δx(t) dt = 0 dt d(n) x (dt) n (6.2-4) Για τη μετάβαση από το δεύτερο στο τρίτο μέλος της πιο πάνω ισότητας χρησιμοποιήθηκαν οι ταυτότητες [ ] d (n) x δ (dt) n = d(n) δx(t), (6.2-5) (dt) n και έγιναν οι προφανείς ολοκληρώσεις κατά μέρη. Οι συναρτήσεις δx(t) θεωρούνται ότι είναι C, δηλαδή απείρως παραγωγίσιμες και συνεχείς συναρτήσεις, ώστε η μέθοδος να μπορεί να εφαρμοστεί στη γενική περίπτωση που η Lagrangian και οι μερικές της παράγωγοι είναι γενικευμένες συναρτήσεις, κατανομές Schwartz. Από την (6.2-4) έπονται οι εξισώσεις Lagrange ( ) L x d L dt dx ( 1) n d(n) L (dt) n = 0. (6.2-6) dt d(n) x (dt) n Εφαρμογή Έστω η Lagrangian L = m 2 ( x 2 1ω x 2 ). Ζητάμε τις εξισώσεις του Lagrange και την τροχιά της κίνησης. Οι εξισώσεις του Lagrange για το συγκεκριμένο Πρόβλημα είναι, d (2) ( ) L (dt) 2 d ( ) L + L = 0, i = 1, 2, 3. (6.2-7) ẍ i dt ẋ i x i όπου L = mẍ i ẍ i ω 2, L = mẋ i, ẋ i L = 0. x i 19 (6.2-8)

24 Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις (6.2-8) στην (6.2-7) έχουμε την εξίσωση κίνησης d (4) d(2) x + ω2 x = 0. (6.2-9) (dt) 4 (dt) 2 Αυτή, όταν ολοκληρωθεί, μας δίνει τη γενική κίνηση του συστήματος. x i (t) = a i + tb i + c i sin (ωt + α i ). (6.2-10) Η λύση (6.2-10) μας παρέχει τη δυνατότητα φυσικής ερμηνείας του δυναμικού συστήματος το οποίο περιγράφει η Lagrangian (6.2-7). Θέτοντας a = X = 1 2 ( r 1 + r 2 ), b = V = M X, 2C i sin (ωt + α i ) = ( r 1 r 2 ) i, x = r 1 = x 0 + r, έχουμε ένα σύστημα δύο υλικών σημείων που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους μέσω δυναμικού αρμονικού ταλαντωτή V (r) = ω 2 r 2 /2. Η χρησιμοποίηση της Lagrangian συναρτήσεων με ανώτερες παραγώγους επιτρέπει την περιγραφή των δυναμικών συστημάτων στους θεσεογραφικούς χώρους με λιγότερες από τις συνηθισμένες διαστάσεις. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα συστήματος δύο σωματιδίων έξι βαθμών ελευθερίας στο συνηθισμένο θεσεογραφικό χώρο ή δώδεκα βαθμών ελευθερίας στο χώρο των φάσεων των φυσικών καταστάσεων χρησιμοποιείται θεσεογραφικός χώρος τριών διαστάσεων αντί του συνηθισμένου χώρου έξι διαστάσεων. 6.3 Αναλυτική Δυναμική και Διαφορική Γεωμετρία Η έκφραση των εξισώσεων κίνησης μέσω της αρχής της ελάχιστης δράσης μας επιτρέπει τη θεμελιακή σύνδεση της Αναλυτικής Μηχανικής με τη Διαφορική Γεωμετρία. Θεωρήστε ένα σύστημα n υλικών σημείων, αρχικά χωρίς την επίδραση καμίας δύναμης εκτός των δυνάμεων των δεσμών. Το σύστημά μας συνεπώς περιγράφεται πλήρως από την κινητική του ενέργεια. T = n l=1 1 2 m l x 2 = m T ik (q) q i q k, (6.3-1) i,k=1 20

25 όπου T ik (q) = l x l q i x l q k. Ο πίνακας T ik (q) της κινητικής ενέργειας, όντας συμμετρικός ως προς i, k είναι θετικός (positive definite) (βλ. Πρόβλημα 1), και βάσει αυτού το τετράγωνο του κινηματικού στοιχείου τόξου (ds) 2 = T (dt) 2 = m T ik (q) dq i dq k, (6.3-2) i,k ορίζει μια μετρική Riemann στο θεσεογραφικό χώρο. Οι Γεωδαισιακές γραμμές του χώρου αυτού είναι εξ ορισμού οι καμπύλες q i (s) οι οποίες καθιστούν το ολοκλήρωμα m ds = T ik (q) dq i dq k, (6.3-3) i,k ακρότατο, δηλαδή δ ds = m l=1 s2 s 1 [ ( d T q l ds dq l ds όπου δq l (s 1 ) = δq l (s 2 ) = 0, l = 1, 2,..., m. T )] δq l ds = 0, (6.3-4) Από την (6.3-4) έπονται και οι διαφορικές εξισώσεις των γεωδαισιακών γραμμών, ( ) d T T = 0. (6.3-5) ds q l dq l ds Οι εξισώσεις αυτές δίνονται συνήθως υπό τη μορφή¹ (βλ. Πρόβλημα 2), d 2 q i (ds) 2 + dq k dq l Γi kl = 0, (6.3-6) ds ds όπου Γ i kl = T ir 2 ( q l T rk + q k T rl Θα δείξουμε τώρα το θεμελιώδες θεώρημα: ) T kl. (6.3-7) q r Θεώρημα: Οι τροχιές του ελεύθερου συστήματος και οι γεωδαισιακές γραμμές του θεσεογραφικού χώρου, εφοδιασμένοι με την μετρική της κινητικής ενέργειας ταυτίζονται. ¹Βλέπε π.χ. Ηλεκτρομαγνητική Θεωρία, Τεύχος Ι, Κεφ. 1 του συγγραφέα. 21

26 Για την απόδειξη του πιο πάνω θεωρήματος θα χρησιμοποιήσουμε το εξής λήμμα. Απόδειξη Οι γεωδαισιακές γραμμές (6.3-3), (6.3-4) καθιστούν ακρότατο δi = 0 για τυχαίο «ολοκλήρωμα δράσης» της μορφής ( I = F T ik (q) dq ) i dq k ds, (6.3-8) ds ds όπου F (T ) τυχαία συνάρτηση της «κινητικής ενέργειας». Από την (6.3-5) έχουμε δi = = = [ ( F dq i T ik q l ds { ( F dq i T ik q l ds dq k ds dq k ds ) ) δq l + d dt dq l ds [ dq l ds ( T ik (q) dq i ds ( T ik (q) dq i ds dq k ds dq k ds ) δ q l ] )]} ds = δq l ds, (6.3-9) όπου για τη μετάβαση από το δεύτερο μέλος στο τρίτο μέλος της πιο πάνω ισότητας έγινε μερική ολοκλήρωση και χρησιμοποιήθηκε η ταυτότητα ( d [F dq i T ik ds ds dq k ds )] = 0. (6.3-10) Συγκρίνοντας τις (6.3-9) με την (6.3-4) η απόδειξη του λήμματος έχει τελειώσει. Υποτίθεται ότι F 0 (αφού είναι πυρήνας μη μηδενικού συναρτησοειδούς). Για την απόδειξη του θεωρήματος αρκεί να εκφράσουμε τη δράση dq i dq k T ik dt = 0, dt dt στη μορφή (6.3-8). Έτσι έχουμε dq i dq k T ik dt dt dt = dq i dq k ds T ik ds ds dt ds = F ( x ) ds ds, (6.3-11) dt όπου F (x) = x 2. Η παρουσία του επιπρόσθετου παράγοντα ds/dt απλά προκαλεί μια αλλαγή μεταβλητής της ολοκλήρωσης και δεν αλλοιώνει τη γεωμετρία των Γεωδαισιακών γραμμών. 22

27 Τα πιο πάνω μπορούν να επεκταθούν και σε γενικά συντηρητικά συστήματα παρουσία δυναμικού U 0. Για ένα τέτοιο σύστημα L = T U οι τροχιές σταθερής ενέργειας E, συμπίπτουν με τις γεωδαισιακές γραμμές του μετρικού στοιχείου τόξου ν 2 [E U(q)] Tik dq i dq k, i,k=1 του Jacobi. Φυσικά ο πρόσθετος συντελεστής E U = T ορίζει τη στάθμη της κινητικής ενέργειας στην εφαπτομενική περιοχή κάθε σημείου q. Έτσι η Δυναμική έχει μετατραπεί σε Γεωμετρία. Η αντίστροφη πορεία είναι επίσης χρήσιμη. Η μετάθεση του μοναδιαίου εφαπτομενικού διανύσματος μιας γεωδαισιακής γραμμής ενός χώρου Riemann παράλληλα προς αυτή μπορεί να ερμηνευθεί ως μετάθεση του διανύσματος της ταχύτητας ελεύθερου υλικού σημείου. Αντί του συνηθισμένου νόμου της αδράνειας: έχουμε: Τα ελεύθερα υλικά σημεία κινούνται ισοταχώς και ευθύγραμμα, ως προς αδρανειακά συστήματα αναφοράς, Ελεύθερα υλικά συστήματα κινούνται «ισοταχώς» κατά μήκος των γεωδαισιακών γραμμών του θεσεογραφικού χώρου. Προβλήματα 1. Δείξετε ότι το γενικευμένο κινηματικό στοιχείο τόξου ορίζει ένα μετρικό τανυστή Reimann στο θεσεογραφικό χώρο. 2. Ξεκινώντας από τις εξισώσεις Lagrange (6.3-5), επιβεβαιώσετε τη μορφή (6.3-6) των εξισώσεων των Γεωδαισιακών γραμμών. 3. Υλικό σημείο κινείται χωρίς τριβή πάνω σε επιφάνεια σφαίρας. Να βρεθούν οι τροχιές και να δειχθεί ότι αυτές αποτελούν γεωδαισιακές με τη μετρική της συνηθισμένης απόστασης. 4. Δείξετε ότι με την παρουσία l πρόσθετων δεσμών ϕ k (q 1, q 2,..., q m, t) = 0, k = 1, 2,..., l, οι εξισώσεις του Lagrange τροποποιούνται ως εξής ( ) d L L l = λ k (t) ϕ k. dt q i q i q i k=1 Οι συντελεστές λ καλούνται πολλαπλασιαστές του Lagrange. 23

28 5. Αν g ij (q) είναι ο μετρικός τανυστής του θεσεογραφικού χώρου, δείξτε ότι οι αντιδράσεις κάθε δεσμού ϕ k δίνονται από τον τύπο λ k (t) g ij ϕ k q i ϕ k q j. 6. Να βρεθούν οι γεωδαισιακές κυλινδρικής επιφάνειας και η αντίδραση του δεσμού πάνω σε υλικό σημείο μάζας m = 1 που κινείται σε αυτή χωρίς την επίδραση της τριβής. 7. Υλικό σημείο μάζας m κινείται χωρίς την επίδραση της τριβής πάνω σε κυκλική στεφάνη ακτίνας α. Βρείτε την αντίδραση του δεσμού όταν η στεφάνη περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω(t). 24

29 Κεφάλαιο 7 Συμμετρίες - Θεωρήματα διατηρήσεως - Κανονικές εξισώσεις Hamilton 7.1 Θεώρημα Noether Έστω t t (t), q(t) q (t ) μια ομάδα μετασχηματισμών του χωρόχρονου, δηλαδή των συντεταγμένων q i του θεσεογραφικού χώρου και του χρόνου t. Οι μετασχηματισμοί αυτοί μπορούν να θεωρηθούν και ως αλλαγή παρατηρητών. Εάν πρόκειται για συνεχή τοπολογική ομάδα μετασχηματισμών, ομάδας Lie, οι απειροστοί μετασχηματισμοί εκφράζονται ως εξής: t = t + τδt ν q i(t) = q i (t) + Q iµ δλ µ, i = 1, 2,..., µ, µ=1 (7.1-1) όπου οι πίνακες (τ, Q) αποτελούν τους γεννήτορες του μετασχηματισμού, ο δείκτης i χαρακτηρίζει τους βαθμούς ελευθερίας του συστήματος και το δείκτης µ τους μετασχηματισμούς. Οι μετασχηματισμοί αυτοί δεν αφορούν σε χρονική εξέλιξη. Εάν τους συσχετίσουμε με την χρονική εξέλιξη του συστήματος έχουμε τη συναρτησιακή μεταβολή δq i q i(t ) q i (t ) = q i(t ) q i (t) + q i (t) q i (t ) = = µ Q iµ δλ µ [q i (t + τδt) q i (t)] = 25

30 = n Q iµ δλ µ q i (t)τδt + O(δ 2 ). (7.1-2) µ=1 Ώστε η συναρτησιακή μεταβολή του συστήματος είναι δq i = q i (t)τδt + ν Q iµ δλ µ. (7.1-3) Θεωρούμε τώρα τη μεταβολή της δράσης που οφείλεται σε ένα τέτοιο μετασχηματισμό: ( t2 δ = t2 t 2 = = = = = = = = ) t 2 L(q i, q i, t) dt = µ=1 L(q i, q i, t) dt + t2 L(q i, q i, t ) dt L(q i, q i, t ) dt + t 2 L(q i, q i, t ) dt = t2 t2 t2 t2 t2 t2 t2 t2 t1 t 1 L(q i, q i, t ) dt = L(q i, q i, t ) dt δl(qi, q i, t) dt + τ 2 L 2 δt 2 τ 1 L 1 δ = t2 d δl(qi, q i, t) dt + (Lτδt) dt = dt [ δ(q i, q i, t) + ddt ] (Lτ δt) dt = [ L δqi + ] L δ qi + d (Lτ δt) dt = q i i q i i dt [ ( ) d L δq i + ] L δ qi + d (Lτ δt) dt = dt q i i q i i dt ( ) d L δqi + Lτ δt dt = dt q i t2 d dt d dt i ( L Q iµ δλ µ ) L q i τ δt + Lτ δt dt = q i i q µ i i [ ( m ) ( ) ] L Q iµ δλ µ L τ q i L δτ dt.(7.1-4) q i q i µ Αν η Lagrangian είναι τέτοια ώστε το ολοκλήρωμα της δράσης να είναι i 26

31 αναλλοίωτο στο μετασχηματισμό (7.1-1), δηλαδή δi = 0, έχουμε [ ( d m ) ( ) ] L Q iµ δλ µ L τ q i L δt = 0. (7.1-5) dt q i q i µ Από την (7.1-5), επειδή τα δλ µ και δt είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, έπεται ότι ( m ) d L Q iµ = 0, (7.1-6) dt q i και i [ ( m )] d L τ L = 0, (7.1-7) dt q i και τ m L ή Q iµ = const, (7.1-8) q i ( m ) L L = const (7.1-9) q i Οι εξισώσεις (7.1-8) και (7.1-9) εκφράζουν βασικά θεωρήματα διατηρήσεως. Έτσι αποδείχτηκε το θεμελειώδες θεώρημα της Noether: Σε κάθε γεννήτορα μιας συνεχούς ομάδας συμμετρίας του ολοκληρώματος της δράσης, δηλαδή ομάδας η οποία αφήνει το ολοκλήρωμα της δράσης αναλλοίωτο, αντιστοιχεί και ένα διατηρούμενο μέγεθος. Για τη διατήρηση δεν αρκεί το αναλλοίωτο των εξισώσεων της κίνησης αλλά απαιτείται και το αναλλοίωτο της δράσης (βλ. Πρόβλημα 1). 7.2 Χωροχρονικές συμμετρίες - Ολοκληρώματα κίνησης Διατήρηση της γραμμικής ορμής Έστω σύστημα n-υλικών σημείων που περιγράφονται από τα διανύσματα θέσης q(m), m = 1, 2,..., n. Θεωρείστε την ομάδα μετασχηματισμών μεταθέσεως των συντεταγμένων: q(m) q (m) = q(m) + δ q. (7.2-1) 27

32 Συγκρίνοντας αυτούς τους μετασχηματισμούς με τους μετασχηματισμούς της (7.1-1) βρίσκουμε Q iµ (m) = δ iµ, i, µ = 1, 2, 3, m = 1, 2,..., n, όπου δ iµ το δέλτα του Kronecker. Εισάγοντας τα Q iµ (m) στο θεώρημα της Noether [ N 3 ] L q i (m) Q iµ(m) = const, m=1 όπου στην προκειμένη περίπτωση L/ q i (m) = P i (m), η i-οστή συνιστώσα της γραμμικής ορμής του υλικού σημείου m. Δηλαδή [ N 3 ] N P i (m)δ iµ = P µ (m) = P µ = const, µ = 1, 2, 3, (7.2-2) m=1 m=1 ή n P (m) = P = const. (7.2-3) m=1 Ώστε τελικά δείξαμε ότι To αναλλοίωτο του ολοκληρώματος της δράσης σε παράλληλη μετάθεση έχει ως αποτέλεσμα τη διατήρηση της ολικής γραμμικής ορμής του συστήματος Διατήρηση της στροφορμής Θεωρούμε το μετασχηματισμό περιστροφής του δυναμικού συστήματος κατά γωνία δ α δ q(m) = δ α q(m), (7.2-4) ή αναλυτικά δq 1 = δα 2 q 3 (m) δα 3 q 2 (m) δq 2 = δα 3 q 1 (m) δα 1 q 3 (m) δq 3 = δα 1 q 2 (m) δα 2 q 1 (m) (7.2-5) Οι τύποι (7.2-5) εκφράζονται συνήθως με τη χρήση του αντισυμμετρικού συμβόλου ϵ ikl, δq i (m) = 3 ϵ ijk δα k q l (m). (7.2-6) k=1 l=1 28

33 Υπενθυμίζουμε ότι το αντισυμμετρικό σύμβολο ϵ ikl ορίζεται ως εξής: 1 αν τα i, k, l αποτελούν άρτια μετάθεση των ϵ ikl = 1 αν τα i, k, l αποτελούν περιττή μετάθεση των εάν i = k ή k = l ή l = i. Πιο κάτω θα ακολουθήσουμε ένα άλλο συμβολισμό σε συνδυασμό με τελεστές πινάκων, ο οποίος θα μας χρησιμεύσει στο κεφάλαιο 8 της στροφικής κίνησης στερεού. Το διάνυσμα της θέσης μπορεί να παρασταθεί ως ένα πίνακας μιας στήλης και q(m) = δq 1 (m) δq 2 (m) δq 3 (m) = δα 1 q(m) = = q 1 (m) q 2 (m) q 3 (m) 0 δα 3 δα 2 δα 3 0 δα 1 δα 2 δα δα 2, (7.2-7) δq 1 (m) +δα δq 2 (m) = δq 3 (m) = (δα 1 J 1 + δα 2 J 2 + δα 3 J 3 ) q(m) = + δq 1 (m) δq 2 (m) δq 3 (m) ( J δ α ) q(m). = (7.2-8) όπου ο πίνακας διάνυσμα J είναι ο γεννήτορας της ομάδας των περιστροφών (βλ. 8.1). Ο πίνακας J έχει ως συνιστώσες του τους 3 3 πίνακες J 1 = J 2 = J 3 = (7.2-9) Παρατηρούμε ότι τα στοιχεία των πινάκων αυτών μπορούν να εκφραστούν και μέσω του αντισυμμετρικού συμβόλου Από την (7.2-8) έχουμε ( ) δ q(m) = J q(m) δ α = {J l } ik = ϵ ilk. 3 J k δα k q(m) = k= k=1 (J k q(m) ) δα k,

34 δq i (m) = k ή ) q(m) (J k δα k. (7.2-10) Από τη σύγκριση αυτής με την (7.1-2) παίρνουμε ) q(m) Q ik (m) = (J k i (7.2-11) Εισάγοντας αυτή τη σχέση στη (7.2-8) η oποία στην προκειμένη περίπτωση παίρνει τη μορφή [ N 3 ] L q i (m) Q ik(m) = const, (7.2-12) m=1 όπου έχουμε m=1 L q i (m) = P i(m) [ N 3 ] ) q(m) P i (m) (J k = const, k = 1, 2, 3, i ή N P q(m) (m) Jk = const. (7.2-13) m=1 Η εξίσωση (7.2-13) εκφράζει τη διατήρηση της ολικής στροφορμής του συστήματος. Η k συνιστώσα J k (m) στροφορμής του m σωματιδίου είναι J oλ k = n J k (m), k = 1, 2, 3. (7.2-14) m=1 Διανυσματικά η διατήρηση της στροφορμής εκφράζεται μέσω του άρα J = const. J oλ = n P (m) J q(m) = m=1 n m=1 J(m) = const. Έτσι τελικά αποδείχτηκε το θεώρημα διατήρησης της στροφορμής. Το αναλλοίωτο της δράσης σε μετασχηματισμούς περιστροφής έχει ως αποτέλεσμα τη διατήρηση της συνολικής στροφορμής του συστήματος. 30

35 Τα πιο πάνω είναι δυνατό να εξαχθούν και με απλούστερο τρόπο ως εξής. Η σύγκριση της (7.2-6) και της (7.1-1) μας δίνει αρχικά Έτσι η (7.2-12) γράφεται { n 3 [ P i (m) m=1 Q ik (m) = 3 ϵ ikl q l (m). (7.2-15) l=1 ]} 3 ϵ ikl q l (m) = const, (7.2-16) l=1 ή Αλλά εξ ορισμού n P i (m) ϵ ikl q l (m) = const. (7.2-17) m=1 l=1 ϵ ikl P k q l = P q. (7.2-18) k=1 l=1 Επομένως η (7.2-16) γράφεται n [ ] P (m) q(m) = const, k m=1 ή n J k (m) = const, k = 1, 2, 3. m=1 και ήταν αυτό ακριβώς που θέλαμε να δείξουμε Διατήρηση της ενέργειας Θεωρείστε την ομάδα μετασχηματισμών της χρονικής μετάθεσης t t = t + δt. Στην προκειμένη περίπτωση έχουμε ότι τ = 1 και η (7.1-9) δίνει: i L q i q i L = const. (7.2-19) 31

36 Η δυναμική συνάρτηση i ( L/ q i) q i L καλείται Hamiltonian και συμβολίζεται με H. Στην περίπτωση του συντηρητικού συστήματος L = T V, η Hamiltonian αντιστοιχεί προς την ολική ενέργεια του συστήματος (βλ. Πρόβλημα 2). Πράγματι σε αυτή την περίπτωση (θεώρημα του Euler), και i L q i q i = i T q i q i = 2T. (7.2-20) H = 2T (T V ) = T + V = E. (7.2-21) Ώστε η ολική ενέργεια (Hamiltonian) αποτελεί γεννήτορα της ομάδας των μετασχηματισμών της χρονικής μετάθεσης. Αυτό σήμερα γίνεται δεκτό αξιωματικά ως θεμελιακός ορισμός της Hamiltonian και για συστήματα των οποίων αγνοούμε τη δυναμική (βλ. επίσης Τεύχος Ι, 2.3). Έτσι φτάσαμε στο θεμελιώδες θεώρημα διατήρησης της ολικής ενέργειας Το αναλλοίωτο του ολοκληρώματος της δράσης σε χρονική μετάθεση, ή συμμετρία ως προς χρονική μετάθεση, έχει ως αποτέλεσμα τη διατήρηση της ολικής ενέργειας του συστήματος. 7.3 Κανονικές εξισώσεις του Hamilton Στην προηγούμενη παράγραφο η Hamiltonian ορίστηκε ως ο γεννήτορας του διαφορικού της δράσης στους μετασχηματισμούς των χρονικών μεταθέσεων H = L q i L. (7.3-1) q i i Αν στην έκφραση αυτή εισάγουμε τις κανονικές ορμές p i των γενικευμένων θέσεων q i (βλ. Πρόβλημα 3), η Hamiltonian παίρνει τη μορφή p i L q i, (7.3-2) H = i p i q i L. (7.3-3) Μπορεί εύκολα να δειχθεί ότι η Hamiltonian η οποία παρουσιάζεται στην (7.3-3) ως συνάρτηση των p, q και q, είναι συνάρτηση μόνο των p 32

37 και q (και ενδεχομένως και του t). Πράγματι, διαφορίζοντας την (7.3-3) έχουμε dh = i p i d q i + i q i dp i i L q i dq i i L d q i L dt. (7.3-4) q i t Αλλά εξ ορισμού και από τις εξισώσεις του Lagrange Έτσι η (7.3-4) γίνεται p i = L q i, (7.3-5) ṗ i = L q i. (7.3-6) dh = i q i dp i i ṗ i dq i L dt. (7.3-7) t t. Δηλαδή δείξαμε ότι η Hamiltonian είναι συνάρτηση μόνο των p, q και H = H(p i, q i, t). (7.3-8) Διαφορίζοντας την (7.3-8) έχουμε dh = i H p i dp i + i H dq i + H dt, (7.3-9) q i t και συγκρίνοντας αυτή με την (7.3-7) λαμβάνουμε τις σχέσεις: q i = H p i, ṗ i = H, q i H t = L t. (7.3-10) Οι εξισώσεις (7.3-10) αποτελούν τις κανονικές εξισώσεις του Hamilton. Μέσω αυτών των εξισώσεων Hamilton οι δευτέρας τάξης διαφορικές εξισώσεις της κίνησης στο θεσεογραφικό χώρο των m διαστάσεων μετατράπηκαν σε σύστημα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης ως προς το χρόνο στο χώρο των p και q, ο οποίος καλείται χώρος των φάσεων, διάστασης 2m. 33

38 Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση κατά την οποία η Hamiltonian είναι κυκλική ως προς μια γενικευμένη μεταβλητή, συντεταγμένη q ή ορμή p, δηλαδή H/ q = 0 ή H/ p = 0. Τότε η συζυγής μεταβλητή διατηρείται! Έτσι για παράδειγμα έχουμε διατήρηση της ολικής γραμμικής ορμής όταν η Hamiltonian είναι ανεξάρτητη της μεταβλητής της «θέσης του κέντρου μάζας» (αναλλοίωτη σε μετάθεση του κέντρου μάζας), ή διατήρηση της ολικής στροφορμής όταν η Hamiltonian είναι ανεξάρτητη των γωνιών προσανατολισμού του συστήματος. Αυτό μας επιτρέπει την άμεση ολοκλήρωση της κίνησης και τον υποβιβασμό του πλήθους των μεταβλητών του συστήματος. Αν οι q 1, q 2,..., q r αποτελούν κυκλικές συντεταγμένες και c 1, c 2,..., c r είναι οι σταθερές τιμές των συζυγών τους διατηρούμενων μεταβλητών, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το σύστημα περιγράφεται από μια νέα συνάρτηση Hamilton, H H (q r+1,..., q m ; p r+1,..., p m ; t) = H(c 1,..., c r ; q r+1,..., q m ; p 1,..., p m ). (7.3-11) Αντί της Hamiltonian (7.3-11) για την απαλειφή των κυκλικών συντεταγμένων πολλές φορές χρησιμοποιείται η Ruthian R = r p i q i H (7.3-12) ως Lagrangian συνάρτηση (βλ. Πρόβλημα 2) ( ) d R R = 0, k = r + 1,..., n. (7.3-13) dt q k q k 7.4 Κανονικοί μετασχηματισμοί Η εύρεση κυκλικών μεταβλητών δεν είναι πάντοτε εύκολη, αλλά πολλές φορές απαιτείται κατάλληλος μετασχηματισμός για την αποκάλυψή τους. Για αυτό το σκοπό η χαμιλτονιανή διατύπωση των εξισώσεων κίνησης στην κανονική μορφή (7.3-10) προσφέρεται ιδιαίτερα, λόγω της συμμετρίας με την οποία παρουσιάζονται σε αυτές οι γενικευμένες συντεταγμένες και συζυγείς ορμές. Το γεγονός αυτό υποδεικνύει τη δυνατότητα εφαρμογής κανονικών μετασχηματισμών. (q, p) (q, p ), H(q, p) H (q, p ), (7.4-1) 34

39 ώστε q = H p, ṗ = H q. (7.4-2) Οι κανονικοί μετασχηματισμοί αφήνουν τις κανονικές εξισώσεις κίνησης και το φυσικό περιεχόμενό τους αναλλοίωτο. Σύμφωνα με την (6.1-27) και τον ορισμό (7.3-3) της Hamiltonian έχουμε (βλ. Πρόβλημα 7) όπου g(q, q, t) = ϕ(q, q, t) p i q i H = i i p i q i H + d dt ϕ(q, q, t), (7.4-3) και p i = q i ϕ(q, q, t), p i = q i ϕ(q, q, t), H = H + t ϕ(q, q, t) (7.4-4) Η συμμετρία της Hamiltonian ως προς p και q μας επιτρέπει και γενικότερους μετασχηματισμούς παρραγόμενους από γεννήτορες συναρτήσεις χ(q, p, t), γ(p, q, t) ή ω(p, p, t) (βλ. Πρόβλημα 7). Σε αυτές τις περιπτώσεις έχουμε αντίστοιχα: p i = p i = χ(q, p, t), q i χ(q, p, t), q i (7.4-5) H = H + t χ(q, p, t) ή p i = q i γ(p, q, t), p i = q i γ(p, q, t), (7.4-6) H = H + t γ(p, q, t) 35

40 ή p i = q i ω(p, p, t), p i = q i ω(p, p, t). (7.4-7) Με κατάλληλο κανονικό μετασχηματισμό η H μπορεί να έρθει σε απλή μορφή. Αναφέρουμε το κλασσικό παράδειγμα του αρμονικού ταλαντωτή (βλ. Πρόβλημα 7). H = p2 2m + kq2 2. Χρησιμοποιώντας ως γεννήτορα μετασχηματισμών τη συνάρτηση α(q, q ) = m 2 ωq2 cot q, (7.4-8) όπου ω = k/m η κυκλική συχνότητα του ταλαντωτή, έχουμε: p = mωq cot q, p = mωq2 2 sin 2 q, (7.4-9) και H = H = ω p ( cos 2 q + sin 2 q ) = ω p. (7.4-10) Η Hamiltonian έγινε κυκλική ως προς q και η συζυγής ορμή p διατηρείται. Αυτή είναι ανάλογη της ενέργειας του συστήματος! 7.5 Αγκύλες Poisson Θεωρούμε το δυναμικό μέγεθος A, συνάρτηση των p i, q i και t, A = A(p i, q i, t). Η ολική του παράγωγος ως προς το χρόνο είναι da dt = ( A ṗ i + A ) q i + A p i i q i t, (7.5-1) ή λαμβάνοντας υπόψην και τις εξισώσεις του Hamilton ( A H A H q i p i p i q i da dt = i 36 ) + A t. (7.5-2)

41 Η ποσότητα {A, H} = i ( A H A ) H, (7.5-3) q i p i p i q i ονομάζεται αγκύλη του Poisson των μεγεθών A και H και συμβολίζεται με {A, H}. Έτσι η (7.5-2) γράφεται da dt = {A, H} + A t. (7.5-4) Η εξίσωση αυτή διέπει τη χρονική εξέλιξη του μεγέθους A. Συνήθως μας ενδιαφέρει για δυναμικές μεταβλητές, οι οποίες δεν εξαρτώνται από το χρόνο ( A/ t = 0). Τότε η (7.5-4) γράφεται: da dt = {A, H}. (7.5-5) Αν θεωρήσουμε την αγκύλη Poisson ως πράξη γινομένου (μη μεταθετικού) {A, B} = ia B, η εξίσωση (7.5-5) λαμβάνει τη μορφή i da dt = H A. (7.5-6) Δηλαδή ξαναβρήκαμε ότι η συνάρτηση Hamilton αποτελεί το γεννήτορα της χρονικής μετάθεσης των φυσικών μεγεθών. Ανάλογη εξίσωση θα δούμε και στην 8 όπου η στροφορμή αποτελεί το γεννήτορα των στροφών (8.1-4). Μερικές από τις πλέον τυπικές ταυτότητες των αγκύλων Poisson είναι οι ακόλουθες αντισυμμετρία: {A, B} = {B, A}, (7.5-7) προσεταιρισμός: {A, BC} = {A, B}C + B{A, C}, (7.5-8) ταυτότητα Jacobi: {A, {B, C}} + {B{C, A}} + {C, {A, B}} = 0. (7.5-9) Οι αγκύλες Poisson μεταξύ ζεύγων κανονικών μεταβλητών είναι (βλ. Πρόβλημα 7) {q i, q j } = 0, {p i, p j } = 0, {q i, p j } = δ ij. (7.5-10) 37

42 Αυτές παραμένουν αναλλοίωτες σε κανονικούς μετασχηματισμούς και αυτό αποτελεί και ένα άλλο συνηθισμένο ορισμό τους. Οι εξισώσεις (7.5-4) και (7.5-10) έχουν βασική σημασία αφού αποτελούν συνδετική έκφραση για τη μετάβαση από την Κλασσική Μηχανική στην Κβαντομηχανική, {A, B} 1 [A, B], (7.5-11) iħ όπου ħ η σταθερά του Planc και [A, B] ο μεταθέτης AB BA των Κβαντομηχανικών τελεστών των αντίστοιχων στα κλασσικά μεγέθη A και B! Προβλήματα 1. Βρείτε τη συνάρτηση Lagrange, η οποία περιγράφει το γραμμικό αρμονικό ταλαντωτή με απόσβεση. Παρατηρείστε ότι ενώ οι εξισώσεις κίνησης στην προκειμένη περίπτωση είναι αναλλοίωτες σε χρονικές μεταθέσεις, το ολοκλήρωμα της δράσης δεν παραμένει αναλλοίωτο και συνεπώς η ενέργεια του συστήματος δε διατηρείται. Υπόδειξη: L = 1 2 ( m x 2 k 2 x 2) e R m t 2. Η Hamiltonian εφαρμόζεται και σε δυναμικά U τα οποία εξαρτώνται και από την ταχύτητα. Δείξτε ότι η κίνηση σημειακού φορτίου e και μάζας m εντός εξωτερικού ηλεκτρομαγνητικού πεδίου (ϕ, A) δίνεται επίσης από την έκφραση H = 1 2m p e A c 2 + eϕ = 1 2 mv2 + eϕ, της ολικής ενέργειας του σημείου. Επειδή οι μαγνητικές δυνάμεις είναι κάθετες στην τροχιά του σημείου μόνο το βαθμωτό δυναμικό παρουσιάζεται στη ενέργεια. Η ορμή p πιο πάνω είναι η «κανονική ορμή» (βλ. Πρόβλημα 3) 3. Οι κανονικές ορμές εν γένει, δεν ταυτίζονται με τις συνηθισμένες κινητικές ορμές. Δείξτε όιτ η κανονική ορμή p φορτίου e εντός ηλεκτρομαγνητικού πεδίου είναι p = m v + e c A, όπου m v η συνηθισμένη κινητική ορμή, μάζα του σημείου επί την ταχύτητα. Σε αντίθεση προς την m v, η κανονική ορμή δεν είναι παρατηρήσιμο μέγεθος αλλά μεταβάλλεται μαζί με τη χρησιμοποιούμενη βαθμίδα δυναμικού. 38

43 4. Να εκφραστούν οι κανονικές εξισώσεις κίνησης για υλικό σημείο όπως την άσκηση 5 του Ποιά είναι η μεταβολή της κανονικής ορμής του σωματιδίου i κατά τη μετάβαση από την (6.1-15) στην (6.1-16); Συσχετίστε την με τους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου (βλ. Πρόβλημα 1, 6.1). 6. Δείξτε ότι η Ruthian, η οποία ορίζεται από την (7.3-12) ικανοποιεί την εξίσωση Lagrange (7.3-13). 7. Χρησιμοποιώντας την αρχή της ελάχιστης δράσης αποδείξετε την (7.4-4). Λόγω συμμετρίας (p, q) στη Hamiltonian στους κανονικούς μετασχηματισμούς μπορούμε να περιλάβουμε και τους μετασχηματισμούς από γεννήτορες της μορφής χ(q, p, t), γ(p, q, t) ή ω(p, p, t). Αποδείξετε με παρόμοιο τρόπο τις εξισώσεις (7.4-5), (7.4-6) και (7.4-7), οι οποίες αντιστοιχούν στους μετασχηματισμούς αυτούς. 8. Να θεωρηθεί το θεώρημα της Noether για συναρτήσεις Lagrange με ανώτερης τάξης παραγώγους ( 6.2). 9. Δείξτε ότι η Αγκύλη Poisson {A, B} μεταξύ δύο δυναμικών μεταβλητών A = A(q, p, t) και B = B(q, p, t) παραμένει αναλλοίωτη σε κανονικό μετασχηματισμό των συντεταγμένων (q, p) (q, p ). 39

44 Κεφάλαιο 8 Κίνηση στερεού με ένα σταθερό σημείο 8.1 Άλγεβρα και Γεωμετρία των στροφών Για να περιγράψουμε την κίνηση στερεού το οποίο έχει ένα σημείο O σταθερό, θεωρούμε το τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων (X, Y, Z), ακλόνητα συνδεδεμένο με το στερεό. Η θέση του στερεού στο χώρο είναι πλήρως καθορισμένη από ένα πίνακα στροφής R, ο οποίος εάν εφαρμοστεί πάνω στο (X, Y, Z) το φέρνει στη θέση του ακίνητου αδρανειακού συστήματος αναφοράς (x, y, z) του χώρου. Στην περιγραφεί κατά Euler (σχήμα 8.1), η πιο πάνω στροφή R εκφράζεται ως γινόμενο R = R z (γ)r y (β)r z (α) (8.1-1) τριών διαδοχικών περιστροφών R z (α), R y (β) και R z (γ) γύρω από τους άξονες z, y και z αντίστοιχα. Οι γωνίες (γ, β, α) καλούνται γωνίες του Euler. Η περιστροφή του στερεού γύρω από τον άξονα z κατά γωνία α μας δίνει το νέο σύστημα αξόνων (x, y, z = z) και φέρνει τον άξονα Z πάνω στο επίπεδο x z. Η επόμενη περιστροφή του στερεού γύρω από τον άξονα y κατά γωνία β μας δίνει το νέο σύστημα αξόνων (x, y = y, z ) και φέρνει τον Z πάνω στον z. Τέλος η περιστροφή του στερεού γύρω από τον άξονα z κατά γωνία γ φέρνει τελικά σε πλήρη σύμπτωση τους (x, y, z) και τους (X, Y, Z). Η συνισταμένη στροφή R της (8.1-1) συναρτήσει των γωνιών του Euler δίνεται αναλυτικά από τον πίνακα (βλ. Πρόβλημα 4) cγ cα cβ sγ sα cγ sα + cβ sγ cα sβ sγ R(γ, β, α) = sγ cα cβ cγ sα sγ sα + cβ cγ cα sβ cγ (8.1-2) sβ sα sβ cα cβ όπου με s συμβολίζεται το sin και με c συμβολίζεται το cos. 40

45 Σχήμα 8.1: Ορισμός των γωνίων Euler. Οι γωνίες του Euler αποτελούν γενικευμένες συντεταγμένες του στερεού. Το σύνολο των στροφών αποτελεί ομάδα. Η ομάδα αυτή δεν είναι μεταθετική. Αν R( φ 1 ) και R( φ 2 ) δύο περιστροφές γύρω από τυχαίους άξονες, τότε εν γένει R( φ 1 )R( φ 2 ) R( φ 2 )R( φ 1 ). Εξαιρούνται οι περιστροφές γύρω από κοινό άξονα φ = φˆn. Αυτές αποτελούν μεταθετικές (αβελιανές) υποομάδες των στροφών. R(φ 1ˆn)R(φ 2ˆn) = R(φ 2ˆn)R(φ 1ˆn) = R((φ 1 + φ 2 )ˆn). (8.1-3) Από την (8.1-3) έπεται ότι οι περιστροφές γύρω από σταθερό άξονα ˆn ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση d dφ R( φ) = ( J ˆn)R( φ). (8.1-4) Η εξίσωση αυτή ολοκληρώνεται αμέσως (βλ. Πρόβλημα 1) και δίνει την εκθετική μορφή όπου R(φˆn) = e i( J ˆn)φ, (8.1-5) J ˆn = J 1 n 1 + J 2 n 2 + J 3 n 3. Το εσωτερικό γινόμενο J ˆn, ο 3 3 πίνακας 0 in 3 in 2 in 3 0 in 1, (8.1-6) in 2 in

46 ισούται με την παράγωγο i φ R(φˆn). φ=0 Οι πίνακες J 1 = i 0 i 0 J 2 = 0 0 i i 0 0 J 3 = 0 i 0 i (8.1-7) αποτελούν γεννήτορες των υποομάδων των περιστροφών γύρω από τους άξονες 1, 2 και 3 αντίστοιχα. Οι γεννήτορες J 1, J 2 και J 3 των περιστροφών δεν είναι μεταθετικοί μεταξύ τους, αλλά ικανοποιούν, ως προς την πράξη της μετάθεσης [J k, J l ] J k J l J l J k, (8.1-8) την ακόλουθη άλγεβρα [J k, J l ] = iϵ klm J m (8.1-9) Αυτή καλείται Άλγεβρα Lie της ομάδας των περιστροφών και είναι προφανώς τρισδιάστατη. 8.2 Κινηματική της στρoφικής κίνησης στερεού Η κίνηση στερεού με ένα σημείο σταθερό αποτελεί μια συνεχή χρονολογική διαδοχή απειροστών περιστροφών R(t k+1, t k ) = e i J δ φ k γύρω από στιγμιαίους άξονες R(t) = R(t, t k )R(t k, t k 1 ) R(, t 0 )R 0. (8.2-1) k t i+1 t i 0 k Από την πιο πάνω έκφραση (8.2-1), έπεται αμέσως ότι αν ω(t) = d φ/dt είναι η εκάστοτε στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα, η στροφή R(t) του στερεού ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση d dt R(t) = J ωr(t). (8.2-2) Έχοντας δεδομένη τη γωνιακή ταχύτητα ω(t), π.χ. μετά από λύση των εξισώσεων Euler (βλ. πιο κάτω), η διαφορική εξίσωση (8.2-2) μπορεί αμέσως να ολοκληρωθεί. Έχουμε R(t) = τ [ exp ( i )] J ω(t ) dt R 0, (8.2-3) t 0 t 42

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων;

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων; ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ Είδαµε ότι η φυσική κίνηση ενός σωµατιδίου σε συντηρητικό πεδίο ικανοποιεί την αρχή ελάχιστης δράσης του Hamilton µε Λαγκρανζιανή, όπου η κινητική ενέργεια του

Διαβάστε περισσότερα

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 1 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Μέτρο εξωτερικού γινομένου 2 C A B C ABsin διανυσμάτων A και B Ιδιότητες εξωτερικού γινομένου A B B A εν είναι αντιμεταθετικό.

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Σε όλες τις κινήσεις που μελετούσαμε μέχρι τώρα, προκειμένου να απλοποιηθεί η μελέτη τους, θεωρούσαμε τα σώματα ως υλικά σημεία. Το υλικό σημείο ορίζεται ως σώμα που έχει

Διαβάστε περισσότερα

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του;

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Άσκηση Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Απάντηση Έστω R n η ακτίνα του κύκλου. Αφού η κίνηση είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας Γιώργος Νικολιδάκης 9/18/2013 1 Κωνικές Τομές Είναι καμπύλες που σχηματίζονται καθώς επίπεδα τέμνουν με διάφορες γωνίες επιφάνειες κώνων. Παραβολή Έλλειψη -κύκλος Υπερβολή

Διαβάστε περισσότερα

Αντιμετώπιση προβλημάτων που αλλάζουν την στροφική τους κατάσταση, εξαιτίας εξωτερικών ροπών

Αντιμετώπιση προβλημάτων που αλλάζουν την στροφική τους κατάσταση, εξαιτίας εξωτερικών ροπών Αντιμετώπιση προβλημάτων που αλλάζουν την τους κατάσταση, εξαιτίας εξωτερικών ροπών Σ' ένα πρόβλημα, παρατηρώ αλλαγή στη κατάσταση ενός στερεού (ή συστήματος στερεών), καθώς αυτό δέχεται εξωτερικές ροπές.

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Στροφορµή

Κεφάλαιο 11 Στροφορµή Κεφάλαιο 11 Στροφορµή Περιεχόµενα Κεφαλαίου 11 Στροφορµή Περιστροφή Αντικειµένων πέριξ σταθερού άξονα Το Εξωτερικό γινόµενο-η ροπή ως διάνυσµα Στροφορµή Σωµατιδίου Στροφορµή και Ροπή για Σύστηµα Σωµατιδίων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΗΣ ΘΕΤΙΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΗΣ ΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ Θέμα ο. ύλινδρος περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του με γωνιακή ταχύτητα ω. Αν ο συγκεκριμένος κύλινδρος περιστρεφόταν

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Σταματόπουλος «Αρχές Διατήρησης» vs «Νόμοι του Νεύτωνα»

Νίκος Σταματόπουλος «Αρχές Διατήρησης» vs «Νόμοι του Νεύτωνα» «Αρχές Διατήρησης» vs «Νόμοι του Νεύτωνα» Ερώτημα 1 ο : Ποιες από αυτές τις «αρχές» είναι όντως αρχές και ποιες δεν είναι; Ερώτημα 2 ο : Ποιο έχει μεγαλύτερη ισχύ; η «αρχή» ή ο «νόμος»; Ερώτημα 3 ο : Ποιο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

Απολυτήριες εξετάσεις Γ Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 29 5 2015

Απολυτήριες εξετάσεις Γ Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 29 5 2015 Απολυτήριες εξετάσεις Γ Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 9 5 015 ΘΕΜΑ Α: Α1. α Α. β Α. α Α4. δ Α5. α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Σ ΘΕΜΑ Β: B1. Σωστό το iii. Αιτιολόγηση: Οι εξωτερικές δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές

1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές 1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές Διάλεξη 10 η Ομαλή κυκλική κίνηση Δθ = ω = σταθερό Δt X = Rσυν (ωt) => X 2 +Υ 2 = R 2 Υ = Rημ(ωt) Οι προβολές της κίνησης στους άξονες των x και y είναι αρμονικές ταλαντώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ. Σοφία Α. Ξεργιά PT, MSc, PhD

ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ. Σοφία Α. Ξεργιά PT, MSc, PhD ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ Σοφία Α. Ξεργιά PT, MSc, PhD Ανάλυση της Ανθρώπινης Κίνησης Εμβιομηχανική Κινησιολογία Κινηματική Κινητική Λειτουργική Ανατομική Γραμμική Γωνιακή Γραμμική Γωνιακή Θέση Ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

φυσική κατεύθυνσης γ λυκείου ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (κεφ.4) Γκότσης Θανάσης - Τερζής Πέτρος

φυσική κατεύθυνσης γ λυκείου ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (κεφ.4) Γκότσης Θανάσης - Τερζής Πέτρος 1 Ένα στερεό εκτελεί μεταφορική κίνηση όταν: α) η τροχιά κάθε σημείου είναι ευθεία γραμμή β) όλα τα σημεία του έχουν ταχύτητα που μεταβάλλεται με το χρόνο γ) μόνο το κέντρο μάζας του διαγράφει ευθύγραμμη

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

Στροφορµή. ΦΥΣ 131 - Διαλ.25 1

Στροφορµή. ΦΥΣ 131 - Διαλ.25 1 Στροφορµή ΦΥΣ 131 - Διαλ.25 1 ΦΥΣ 131 - Διαλ.25 2 Στροφορµή q Ένα από τα βασικά µεγέθη που σχετίζονται µε την περιστροφική κίνηση είναι η στροφορµή q Θυµηθείτε ότι για µάζα m που κινείται µε ταχύτητα v

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Δ 4. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του βέλους που μεταφέρεται στο περιβάλλον του συστήματος μήλο-βέλος κατά τη διάρκεια της διάτρησης.

Δ 4. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του βέλους που μεταφέρεται στο περιβάλλον του συστήματος μήλο-βέλος κατά τη διάρκεια της διάτρησης. Σε οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται ακίνητο ένα μήλο μάζας Μ = 200 g. Ένα μικρό βέλος μάζας m = 40 g κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου, υ 1 = 10 m / s, χτυπά το μήλο με αποτέλεσμα να το διαπεράσει. Αν γνωρίζετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και, δίπλα, το γράμμα που αντιστοιχεί στη

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΠΥΡΙΔΩΝΑ ΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕ ΕΞΕΤΑΕΙ ΦΥΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31-05-2012 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 07.45 10.15 Οδηγίες 1. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 9 σελίδες.

Διαβάστε περισσότερα

μηχανικη στερεου σωματοσ

μηχανικη στερεου σωματοσ μηχανικη στερεου σωματοσ 4 Ροπή δύναμης 112 Ισορροπία στερεού 115 Ροπή αδράνειας 116 Στροφορμή 122 Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής 126 Σύνοψη 131 Ασκήσεις 132 4-1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην προσπάθειά μας να απλοποιήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΣΤΙΓΜΙΑΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΚΑΙ ΡΟΠΩΝ ΣΕ ΕΜΒΟΛΟΦΟΡΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ 1 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΟΥ ΕΜΒΟΛΟΦΟΡΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΣΤΙΓΜΙΑΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΚΑΙ ΡΟΠΩΝ ΣΕ ΕΜΒΟΛΟΦΟΡΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ 1 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΟΥ ΕΜΒΟΛΟΦΟΡΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΣΤΙΓΜΙΑΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΚΑΙ ΡΟΠΩΝ ΣΕ ΕΜΒΟΛΟΦΟΡΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ Aπό τo βιβλίο Heinz Grohe: Otto und Dieselmotoren. 9 Auflage, Vogel Buchverlag 1990. Kεφάλαιο 2: Mechanische Grundlagen Επιμέλεια μετάφρασης:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση

Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1 H θέση ενός κινητού που κινείται σε ένα επίπεδο, προσδιορίζεται κάθε στιγμή αν: Είναι γνωστές οι συντεταγμένες του κινητού (x,y) ως συναρτήσεις του χρόνου Είναι γνωστό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Υπάρχουν φυσικά μεγέθη που ορίζονται πλήρως, όταν δοθεί η αριθμητική τιμή τους και λέγονται μονόμετρα.. Μονόμετρα μεγέθη είναι ο χρόνος, η μάζα, η θερμοκρασία, η πυκνότητα, η ενέργεια,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Θέμα Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Θέση, μετατόπιση και διάστημα Όταν ένα σημειακό αντικείμενο κινείται ευθύγραμμα, για να μελετήσουμε την κίνησή του θεωρούμε σαν σύστημα αναφοράς έναν άξονα χ χ. Στην αρχή του

Διαβάστε περισσότερα

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r Πως εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας στα στερεά σώματα Πριν δούμε την μεθοδολογία, ας θυμηθούμε ότι : Για να εφαρμόσουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας (Α.Δ.Μ.Ε.) για

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε κίνηση ενός κινητού; 2. Τι ονομάζουμε τροχιά ενός κινητού; 3. Τι ονομάζουμε υλικό σημείο; 4. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις - 4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση..

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 53 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Φιλολάου & Εκφαντίδου 26 : Τηλ.: 2107601470 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2013 ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω προτάσεις Α1-Α4 να

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ Σ ένα στερεό ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις. Όταν το στερεό ισορροπεί, δηλαδή ισχύει ότι F 0 και δεν περιστρέφεται τότε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν Στ=0,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ 3.1 Η έννοια της δύναμης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Στο κεφάλαιο των κινήσεων ασχοληθήκαμε με τη μελέτη της κίνησης χωρίς να μας απασχολούν τα αίτια που προκαλούν την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

1 Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑΣ

1 Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑΣ 1 Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1.1 Newton s law A. Newton s law: Περιγράφει τη κίνηση υλικού σημείου μάζας m σε χωρο-χρονικά μεταβαλλόμενο πεδίο δυνάμεων F. Σε Αδρανειακό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 Γραµµική ταχύτητα : ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ds. Γωνιακή ταχύτητα : dθ ω ωr Οµαλή κκλική κίνηση : σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µετασχηµατισµός Γαλιλαίου. Περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς, δύναµη Coriolis

Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µετασχηµατισµός Γαλιλαίου. Περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς, δύναµη Coriolis 3 Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µετασχηµατισµός Γαλιλαίου. Περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς, δύναµη Coriolis 3.1 Αδρανειακά και επιταχυνόµενα συστήµατα αναφοράς Οι δύο πρώτοι νόµοι του Νεύτνα ισχύουν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΘΕΜΑΤΑ

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2002 ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ): ΦΥΣΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΑΛΑΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΔΗΜΗΤΡΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΑΛΑΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΔΗΜΗΤΡΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί η σωστή απάντηση 1. Δίσκος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει με την επίδραση σταθερής οριζόντιας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια:

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια: ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια (όπως ορίζεται στη μελέτη της μηχανικής τέτοιων σωμάτων): Η ενέργεια που οφείλεται σε αλληλεπιδράσεις και κινήσεις ολόκληρου του μακροσκοπικού σώματος, όπως η μετατόπιση

Διαβάστε περισσότερα

r r r r r r r r r r r Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

r r r r r r r r r r r Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑÏΟΥ 011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Β Γυμνασίου 22/6/2015. Οι δείκτες Επιτυχίας και δείκτες Επάρκειας Β Γυμνασίου για το μάθημα της Φυσικής

Β Γυμνασίου 22/6/2015. Οι δείκτες Επιτυχίας και δείκτες Επάρκειας Β Γυμνασίου για το μάθημα της Φυσικής Β Γυμνασίου /6/05 Οι δείκτες Επιτυχίας και δείκτες Επάρκειας Β Γυμνασίου για το μάθημα της Φυσικής Β Γυμνασίου /6/05 Δείκτες Επιτυχίας (Γνώσεις και υπό έμφαση ικανότητες) Παρεμφερείς Ικανότητες (προϋπάρχουσες

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1 έως Α5 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Β ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2009-2010 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Επιτρεπόμενη διάρκεια γραπτού 2,5 ώρες (150 λεπτά)

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Β ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2009-2010 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Επιτρεπόμενη διάρκεια γραπτού 2,5 ώρες (150 λεπτά) ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Β ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2009-2010 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31/05/2010 ΤΑΞΗ: Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ: 07:30 10:00 π.μ. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:... ΤΜΗΜΑ:...

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ΦΥΣΙΚΗ Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο Θετικές Επιστήμες Φυσική Γ Λυκείου Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση Αναστασία Αγιαννιωτάκη Μάρκος Άρχων Υπεύθυνος Έκδοσης: Θεόδωρος

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΘΕΜΑΤΑ

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2008 ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑÏΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘEMA 1 ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση A1.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 131 - Διαλ.12 1. Μη αδρανειακά συστήµατα Φαινοµενικό βάρος

ΦΥΣ 131 - Διαλ.12 1. Μη αδρανειακά συστήµατα Φαινοµενικό βάρος ΦΥΣ 3 - Διαλ.2 Μη αδρανειακά συστήµατα Φαινοµενικό βάρος ΦΥΣ 3 - Διαλ.2 2 Μη αδρανειακά συστήµατα x Έστω ότι το S αποκτά επιτάχυνση α 0 S z 0 Α x z S y, y Ο παρατηρητής S µετρά µια επιτάχυνση: A = A +

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Φυσική Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Φυσική Β Γυμνασίου Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 2 Εισαγωγή 1.1 Οι φυσικές επιστήμες και η μεθοδολογία τους Φαινόμενα: Μεταβολές όπως το λιώσιμο του πάγου, η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Β Β1. Σωστό το β. Δόθηκε ότι οι μάζες των σωμάτων είναι ίσες, δηλαδή ma = mb. Με διαίρεση κατά μέλη των σχέσεων (1) και (2) έχουμε:

ΘΕΜΑ Β Β1. Σωστό το β. Δόθηκε ότι οι μάζες των σωμάτων είναι ίσες, δηλαδή ma = mb. Με διαίρεση κατά μέλη των σχέσεων (1) και (2) έχουμε: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 6 ΙΟΥΛΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α δ Α β Α β Α4 γ Α5. α Σ, β Λ,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΑΛΑΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΔΗΜΗΤΡΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ

ΓΑΛΑΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΔΗΜΗΤΡΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις -4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί η σωστή απάντηση. Ένας ακίνητος τρoχός δέχεται σταθερή συνιστάμενη ροπή ως προς άξονα διερχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός βαθμολόγησης Εξεταστικού Δοκιμίου Α Λυκείου

Οδηγός βαθμολόγησης Εξεταστικού Δοκιμίου Α Λυκείου ΛΥΚΕΙΟ ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ ΛΑΡΝΑΚΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2014-15 Οδηγός βαθμολόγησης Εξεταστικού Δοκιμίου Α Λυκείου 1) Να γράψετε 3 διανυσματικά μεγέθη και 2 μονόμετρα μεγέθη καθώς και τις μονάδες μέτρησής τους (στο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

Ã. ÁÓÉÁÊÇÓ ÐÅÉÑÁÉÁÓ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΘΕΜΑ 1 ο

Ã. ÁÓÉÁÊÇÓ ÐÅÉÑÁÉÁÓ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΘΕΜΑ 1 ο Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Στι ερωτήσει - 4 να γράψετε στο τετράδιό σα τον αριθµό των ερώτηση και δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Τροχό κυλίεται πάνω σε οριζόντιο

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5. Μονάδες 5. Μονάδες 5. Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

Μονάδες 5. Μονάδες 5. Μονάδες 5. Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ ο ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ου ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 3 ΜΑΪΟΥ 200 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ () Να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

1) Πάνω σε ευθύγραµµο οριζόντιο δρόµο ένας τροχός κυλάει χωρίς να ολισθαίνει. Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές ;

1) Πάνω σε ευθύγραµµο οριζόντιο δρόµο ένας τροχός κυλάει χωρίς να ολισθαίνει. Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές ; 45 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪ Η-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Χρυσ Σµύρνης 3 : Τηλ.: 107601470 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 006 ΘΕΜΑ 1 1) Πάνω σε ευθύγραµµο οριζόντιο δρόµο ένας τροχός

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 Α) Τί είναι µονόµετρο και τί διανυσµατικό µέγεθος; Β) Τί ονοµάζουµε µετατόπιση και τί τροχιά της κίνησης; ΘΕΜΑ 2 Α) Τί ονοµάζουµε ταχύτητα ενός σώµατος και ποιά η µονάδα

Διαβάστε περισσότερα

Σύμφωνα με το Ινστιτούτο Ρομποτικής της Αμερικής

Σύμφωνα με το Ινστιτούτο Ρομποτικής της Αμερικής ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ: ΟΡΙΣΜΟΣ: Σύμφωνα με το Ινστιτούτο Ρομποτικής της Αμερικής, ρομπότ είναι ένας αναπρογραμματιζόμενος και πολυλειτουργικός χωρικός μηχανισμός σχεδιασμένος να μετακινεί υλικά, αντικείμενα, εργαλεία

Διαβάστε περισσότερα

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη Σελήνη

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη Σελήνη Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης χολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη - - - - - - - - Διπλωματική Εργασία Αντωνιάδης Παναγιώτης Δημήτριος

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ. 1. Μπορεί ένα σύστημα σωμάτων να έχει κινητική ενέργεια χωρίς να έχει ορμή; Ισχύει το ίδιο και στην περίπτωση ενός σώματος;

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ. 1. Μπορεί ένα σύστημα σωμάτων να έχει κινητική ενέργεια χωρίς να έχει ορμή; Ισχύει το ίδιο και στην περίπτωση ενός σώματος; ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ 1. Μπορεί ένα σύστημα σωμάτων να έχει κινητική ενέργεια χωρίς να έχει ορμή; Ισχύει το ίδιο και στην περίπτωση ενός σώματος; 2. Ποιο από τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της πρότασης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 15 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Μαΐου 15 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ENOTHTA 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER ENOTHT 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Κρούση: Κρούση ονομάζουμε το φαινόμενο κατά το οποίο δύο ή περισσότερα σώματα έρχονται σε επαφή για πολύ μικρό χρονικό διάστημα κατά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΡΟΓΡΑΜΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ (6-ΩΡΟ) - 1 - ΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ Σελ. ερ. 1 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ. 1.1 Ορμή υλικού σημείου,

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα προς ανάλυση: Κινηµατική ΕΠΕΑΕΚ: ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΥ ΤΕΦΑΑ, ΠΘ - ΑΥΤΕΠΙΣΤΑΣΙΑ

Θέµατα προς ανάλυση: Κινηµατική ΕΠΕΑΕΚ: ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΥ ΤΕΦΑΑ, ΠΘ - ΑΥΤΕΠΙΣΤΑΣΙΑ ΕΠΕΑΕΚ: ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΥ ΤΕΦΑΑ, ΠΘ - ΑΥΤΕΠΙΣΤΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ «Αρχές Βιοκινητικής» Μάθηµα του βασικού κύκλου σπουδών (Γ εξάµηνο)

Διαβάστε περισσότερα

3. Σε στάσιμο κύμα δύο σημεία του ελαστικού μέσου βρίσκονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών. Τότε τα σημεία αυτά έχουν

3. Σε στάσιμο κύμα δύο σημεία του ελαστικού μέσου βρίσκονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών. Τότε τα σημεία αυτά έχουν ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 25 ΜΑÏΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ Η κίνηση των πλανητών είναι το αποτέλεσμα της σύνθεσης 2 κινήσεων: μίας περιστροφής γύρω από τον Ήλιο, η περίοδος της οποίας μας δίνει το έτος κάθε πλανήτη, και πραγματοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

στοιχεία Βιο-μηχανική:

στοιχεία Βιο-μηχανική: : ορισμός Ως δύναμη ορίζεται η επίδραση, η οποία ασκούμενη σε ένα σώμα προκαλεί είτε μεταβολή στην κινητική του κατάσταση, είτε ταυτόχρονα και μεταβολή στην μορφή του. επιταχύνουν ή/και παραμορφώνουν σώματα.

Διαβάστε περισσότερα