MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSIS UDŽBENICI SVEUČILIŠTA U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE
|
|
- Πελαγία Λόντος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSIS UDŽBENICI SVEUČILIŠTA U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE Zdravko Virag, Mario Šavar, Ivo Džijan MEHANIKA FLUIDA II TEKSTOVI ZADATAKA ZA VJEŽBE Zagreb, 17.
2
3 1. Vježbe Matematičke osnove 1.1 Nađite prirast tlaka Δp od ishodišta do točke {r i } m =(; 3; -4) fluida u relativnom mirovanju, ako je specifična masena sila {f i } m/s =(3; -; 9,8665). Zadana je gustoća fluida ρ = 998, kg/m Pri rotaciji fluida poput krutog tijela polje brzine zadano je jednadžbom v= ω r, gdje je ω kutna brzina rotacije, a r vektor položaja u odnosu na pol rotacije. a) Odredite brzinu v u točki {r i } m = (1, 3, 5) ako je {ω i } 1/s = (, 1, 3) b) Odredite rot v i usporedite ga s kutnom brzinom rotacije ω Temperaturno polje zadano je funkcijom T 1 r. Odredite gradt u kartezijskim i sfernim koordinatama. gd 1.4 Osnovna jednadžba statike fluida glasi r f = grad p. Raspišite ovu jednadžbu u cilindarskim i kartezijskim koordinatama. 1.5 Svako polje brzine može se prikazati pomoću svog skalarnog potencijala ϕ i vektorskog potencijala ψ i u obliku v i j ψ k = + ε ijk x x i j Nađite cilindarske komponente vektora brzine v u točki Zadano je ϕ = ln r + ϑ i ψ = 3re r + ze + ϑe z. 1.6 Prevedite jednadžbu kontinuiteta ( ρv j ) ρ + = t x j ϑ r = 1 m, ϑ =, z = 1 m. u cilindarske koordinate. Kolika je brzina relativne promjene gustoće fluida 1 Dρ ako je polje brzine v= r. ρ Dt Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe 1
4 1.7 Zadan je skalarni potencijal brzine za ravninsko strujanje u cilindarskim koordinatama 1 ϕ = r + cos ϑ r Provjerite zadovoljava li zadani potencijal Laplaceovu jednadžbu ϕ = ϕ =. d Odredite polje brzine iz jednadžbe v = grad ϕ i odredite točke zastoja ( v = ). Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe
5 . Vježbe Elementarna potencijalna strujanja: linijski singulariteti.1 Pronađite funkciju toka ψ ako je potencijal brzine ravninskog strujanja ϕ = V cosα x1+ Vsinα x, gdje je V konstanta. Skicirajte strujnice za ovo polje brzine.. Odredite funkciju toka ψ ako je potencijal brzine ravninskog strujanja zadan u polarnim koordinatama izrazom ϕ = mln r. Skicirajte strujnice i dajte fizikalno tumačenje konstante m..3 Odredite funkciju toka ψ ako je potencijal brzine ravninskog strujanja zadan polarnim koordinatama ϕ = Cϑ. Povežite konstantu C s cirkulacijom brzine Γ po zatvorenoj krivulji koja obuhvaća ishodište koordinatnog sustava..4 Odredite potencijal brzine ϕ ako se u ravninskom strujanju u točki A( ab, ) nalazi izvor kapaciteta Q. Odredite funkciju toka ψ i skicirajte strujnice..5 Odredite potencijal brzine ϕ u ravninskom strujanju, ako se u točki A( a,) nalazi ponor kapaciteta Q, a u točki B( a,) izvor istog kapaciteta. Odredite funkciju toka ψ i skicirajte strujnice..6 Odredite sliku strujanja za slučaj ravninskog izvora i ponora jednakih kapaciteta Q smještenih na pravcu koji prolazi ishodištem koordinatnog sustava i čini kut α s pozitivnim smjerom osi 1 ( r, ϑ) ( a, a π) x. Izvor je u točki ( r, ϑ) ( a, a) =, a ponor u točki = +. Odredite potencijal ovog strujanja ako udaljenost a među singularitetima teži k nuli, a kapacitet Q k beskonačnosti, ali tako da umnožak aq = m ostaje konstantan. Odredite funkciju toka ψ i skicirajte strujnice za slučaj α =. Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe 3
6 3. Vježbe Primjene potencijalnog strujanja 3.1 Usisna košara duljine H, kroz koju se usisava voda protokom Q K, potopljena je pod vodom, a načinjena je iz žičane mreže i postavljena u blizini vertikalne stijenke, prema slici. Odredite sliku strujnica u horizontalnoj ravnini uz pretpostavku ravninskog potencijalnog strujanja, pri čemu je usisna košara modelirana ravninskim ponorom kapaciteta Q= Q / H. K 3. Otpadne vode ispuštaju se u rijeku kroz vertikalno postavljeni filter duljine H protokom Q F. Pretpostavlja se da je brzina V rijeke jednolika po presjeku. Pretpostavite ravninsko potencijalno strujanje fluida, a ispust otpadne vode kroz filter zamijenite ravninskim izvorom kapaciteta Q = Q / H F. Odredite širinu područja otpadne vode u horizontalnoj ravnini strujanja. 3.3 Odredite potencijal ϕ, strujnu funkciju ψ i točke zastoja pri optjecanju Rankinova ovala brzinom V. Ovo ravninsko potencijalno strujanje je sastavljeno od paralelnog strujanja brzinom V u pozitivnom smjeru osi x 1, izvora kapaciteta Q u točki A( a,) i ponora istog kapaciteta u točki B( a,). Odredite duljinu L ovala u funkciji V,Q i a. Odredite protok Q kod kojega će poluširina ovala biti b = a. 3.4 Potencijalno optjecanje dugog kružnog cilindra može se modelirati kombinacijom paralelnog strujanja i ravninskog dipola. Pretpostavite da je cilindar postavljen vertikalno, a da je paralelno strujanje okomito na simetralu cilindra. Odredite sliku strujanja, brzinu i tlak po obodu cilindra. Kolika je rezultirajuća sila tlaka na cilindar? 4 Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe
7 4. Vježbe Potencijalno osnosimetrično strujanje 4.1 Odredite vertikalnu silu na cilindar pri cirkulacijskom potencijalnom ravninskom optjecanju cilindra polumjera r. U središtu cilindra se nalazi vrtlog negativne cirkulacije Γ <, a brzina paralelnog strujanja v je u pozitivnom smjeru osi x Strujanje zraka izvan centra (oka) tornada pri površini zemlje, modelira se kombinacijom ponora i vrtloga. Pronađite raspored tlaka u polju strujanja tornada i skicirajte strujnice, ako oko tornada ima polumjer r = m, a brzina strujanja na rubu oka iznosi v max = 5 m/s. Pretpostavite dotok zraka u oko tornada protokom Q = 5 m 3 /s/m. Zadana je gustoća zraka ρ = 1, kg/m Odredite potencijal brzine za strujanje iz točkastog izvora. 4.4 Odredite potencijal brzine za točkasti (trodimenzijski) dipol i kartezijske komponente brzine, inducirane dipolom momenta µ orijentiranim u pozitivnom smjeru osi x Odredite raspodjelu brzine i tlaka po površini kugle polumjera R pri njenom potencijalnom optjecanju jednolikim profilom brzine v. Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe 5
8 5. Vježbe Potencijalno strujanje: pridružena masa i kontinuirana raspodjela singulariteta 5.1 Odredite silu fluida na kuglu polumjera R, koja se giba pravocrtno kroz neviskozni fluid (izazivajući potencijalno strujanje fluida) vremenski promjenjivom brzinom U= Ut (). Odredite početno ubrzanje kugle (nakon njena 3 puštanja iz stanja mirovanja), ako je njena gustoća r = 1 kg/m, a potopljena je 3 u vodu gustoće r =1 kg/m. 5. Odredite vezu između potencijala brzine i strujne funkcije u osnosimetričnom potencijalnom strujanju i odredite funkciju toka za stacionarno potencijalno optjecanje kugle. 5.3 Odredite strujnu funkciju u osnosimetričnom potencijalnom strujanju za slučaj kontinuirano raspodijeljenih izvora gustoće q na segmentu osi z od z = a do z = b. 5.4 Odredite potencijal i polje brzine u ravninskom strujanju za slučaj kontinuirano raspodijeljenih izvora konstantne gustoće q na segmentu osi x 1 od x1 = a do = b. x1 6 Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe
9 6. Vježbe Potencijalno strujanje: Metoda panela 6.1 Za rješavanje problema optjecanja složenih geometrija upotrebljavaju se numeričke metode. Za slučaj potencijalnog optjecanja najčešće se koristi metoda panela. Primjenom metode panela odredite raspodjelu tlaka i silu pri ravninskom potencijalnom optjecanju beskonačnog cilindra polumjera R =. Za modeliranje strujanja uzmite četiri panela s konstantnom raspodjelom izvora. Rezultate usporedite s analitičkim rješenjem. Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe 7
10 7. Vježbe Egzaktna rješenja Navier-Stokesovih jednadžbi 7.1 U prostoru između dvije horizontalne ravne ploče, udaljene za h, nalazi se fluid konstantne gustoće ρ i konstantne dinamičke viskoznosti µ. Donja ploča miruje, a gornja se giba konstantnom brzinom u (Couetteovo strujanje). Uz pretpostavku ravninskog, stacionarnog, laminarnog strujanja s izobraženim profilom brzine i uz zanemarenje masenih sila odredite: a) profil brzine u strujanju u zavisnosti od uzdužnog gradijenta tlaka d p/dx 1, b) smično naprezanje na ploči (silu potrebnu za vuču ploče jedinične duljine i širine), c) protok kroz presjek jedinične širine okomito na ravninu slike i srednju brzinu, d) vezu između pada tlaka na duljini L i srednje brzine pri u = (Poiseuilleovo strujanje). r =konst. µ =konst. h 8 Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe
11 7. Odredite profil temperature u Couetteovom strujanju iz prethodnog zadatka, pri d p/dx 1 =, ako je T temperatura ploče koja miruje, a T W temperatura ploče koja se giba. Pretpostavite da su toplinska provodnost λ i specifični toplinski kapacitet c fluida, konstantni. 7.3 U laminarnom, nestlačivom, stacionarnom, osno-simetričnom strujanju fluida, konstantne viskoznosti, s izobraženim profilom brzine u horizontalnoj cijevi kružnog presjeka (Hagen-Poieseuilleovo strujanje), odredite: a) profil brzine, b) protok, maksimalnu i srednju brzinu, c) faktor trenja ( λ u Darcy-Weisbachovom izrazu) d) tangencijalno naprezanje na stjenci cijevi. Utjecaj gravitacije zanemarite. r R=D µ=konst. z ρ=konst. Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe 9
12 8. Vježbe Egzaktna rješenja Navier-Stokesovih jednadžbi 8.1 Odredite izobraženi profil brzine u stacionarnom, laminarnom, nestlačivom strujanju fluida kroz horizontalnu cijev eliptičkog presjeka (zadanog duljinom poluosi a i b ). Koja je veza između maksimalnog protoka i pada tlaka po jedinici duljine cijevi p/ L? 8. U prostoru između dva koaksijalna cilindra od kojih vanjski polumjera r miruje, a unutrašnji polumjera r 1 rotira konstantnom kutnom brzinomω, laminarno struji fluid gustoće ρ =konst. i dinamičke viskoznosti µ =konst. Uz pretpostavku nestlačivog, stacionarnog strujanja i izobraženog profila brzine, i zanemarenje masenih sila, odredite: a) profil brzine strujanja fluida kao funkciju cilindarske koordinate r, b) raspored tlaka i tangencijalnih naprezanja, c) moment M 1 potreban za održavanje rotacije unutrašnjeg cilindra i moment M na vanjskom cilindru (podrazumijeva se da su momenti izraženi po jedinici duljine cilindara). d) Odredite profil brzine za slučaj r i usporedite ga profilom brzine potencijalnog vrtloga. 1 Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe
13 8.3 Niz kosinu nagnutu pod kutom α prema horizontali stacionarno se slijeva fluid konstantne gustoće ρ i konstantne viskoznosti µ, u sloju konstantne debljine h, otvorenom s gornje strane prema atmosferskom tlaku p a. Ako je strujanje laminarno i ravninsko s izobraženim profilom brzine odredite: a) profil brzine b) maksimalnu brzinu, protok fluida i srednju brzinu c) smično naprezanje između fluida i kosine, d) raspodjelu tlaka u fluidnom sloju. Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe 11
14 9. Vježbe Približna rješenja Navier-Stokesovih jednadžbi 9.1 Široki remen, prema slici, postavljen je vertikalno između dva spremnika ispunjena istim fluidom i giba se prema gore konstantnom brzinom v, povlačeći fluid iz donjeg spremnika sa sobom u gornji spremnik, pri čemu se uz remen formira film fluida debljine h. Debljina h filma određena je širinom otvora na dnu gornjeg spremnika kroz koji remen ulazi u taj spremnik. Odredite protok Q fluida u filmu fluida, konstantne gustoće ρ, konstantne kinematičke viskoznosti υ, u zavisnosti od v, h i υ. Pretpostavite ravninsko stacionarno laminarno strujanje fluida izobraženim profilom brzine. Odredite brzinu remena v i smično naprezanje τ između fluida i remena za slučaj Q =. 9. Na slici je prikazan segment ležaja koji se giba konstantnom brzinom U relativno prema nepomičnoj podlozi, stvarajući tanki uljni klinasti film. Širina ležaja okomito na sliku je B. Odredite vertikalnu silu N (nosivu silu ležaja) i horizontalnu komponentu F sile otpora na pomični segment. U fluidnom filmu pretpostavite nestlačivo, ravninsko laminarno strujanje uz konstantnu viskoznost ulja. x N =? U F =? H L h( x 1) H 1 x 1 1 Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe
15 1. Vježbe Teorija sličnosti 1.1 Otpori strujanju u cjevovodnom sustavu s odgovarajućom armaturom (ventili, 3-3 zasuni i sl.), kroz koji će strujati voda ( ρ = 998, kg/m, µ = 1, 1 Pa s ) srednjom brzinom v = m/s određuju se na način, da se kroz njega pušta zrak 3-5 ( ρ = 1,16 kg/m, µ = 1,56 1 Pa s ). Odredite srednju brzinu v strujanja zraka u cjevovodnom sustavu, da bi se zadovoljili kriteriji sličnosti ova dva strujanja. Ako je pri ispitivanju sa zrakom u sustavu izmjeren ukupni pad tlaka p F = 875 Pa, koliki će biti ukupni pad tlaka u sustavu kada kroz njega struji voda? 1. U cilju provedbe modelskih ispitivanja djelovanja lukobrana i zaštite luke od valova izrađen je model C L = 36 puta manjih dimenzija od prototipa. Prototipni valovi imaju visinu H = 4 m i brzinu propagacije c = 8 m/s, a period pojave plime je τ = 1 h. Odredite visinu H i brzinu c valova te period τ pojave plime pri modelskim ispitivanjima. 1.3 U zračnom tunelu se ispituje model automobila visine H M =,95 m pri konstantnoj brzini strujanja v M = 4 m/s, pri čemu je izmjerena sila otpora F M = 115 N. Preslikajte te rezultate na prototipni automobila visine H = 1, 5 m (odredite brzinu v i silu otpora F prototipnog automobila). Gustoća i viskoznost zraka su konstantne i jednake za model i prototip. 1.4 Neki prototip broda duljine L i njemu geometrijski sličan model duljine L ispituju se u vodi identičnih svojstava. Izrazite odnose sila F/ F = CF i snaga P/ P = CP koeficijentom sličnosti CL = L/ L kada se pri ispitivanju modela osigurava sličnost: a) sila viskoznog porijekla b) sila uzrokovanih gravitacijom. Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe 13
16 1.5 Nestlačivi fluid gustoće ρ, konstantne viskoznosti µ nalazi se između dvije velike paralelne ploče udaljene za h, prema slici. Fluid oscilira pod djelovanjem pulsirajućeg tlaka, a jednadžba koja opisuje prosječnu brzinu u po presjeku je u u ρ = Pcosω t+ µ t x gdje je ω frekvencija, a P konstantna amplituda pulsirajućeg gradijenta tlaka, a µ konstantna viskoznost. Pretpostavlja se da se ustalio stalni ritam promjene brzine s tlakom (izgubio se utjecaj početnih uvjeta). Izrazite gornju jednadžbu u bezdimenzijskom obliku i odredite kriterije sličnosti za ovakvo strujanje. Odredite koeficijent sličnosti za frekvenciju u dvije slične pojave, ako je u obje pojave isti fluid, a u drugoj pojavi se razmak povećao dva puta ( h = h). 14 Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe
17 11. Vježbe Teorija sličnosti 11.1 Punjenje balona (s elastičnom stijenkom) nestlačivim fluidom opisano je slijedećim jednadžbama dv dt = Q dq dt p p RQ M P = p p = EV V ( ) gdje su: tlak p P, M, R, p i V konstante, t je vrijeme, Q protok kroz otvor balona, V volumen fluida u balonu, a p prosječni tlak u balonu. Punjenje započinje od tlaka p, volumena V i protoka Q =. Odredite kriterije sličnosti za ovu pojavu. Odredite koeficijent sličnosti za vrijeme u dvjema pojavama kod kojih je koeficijent sličnosti za volumen C V = 1/5, koeficijent sličnosti za tlak C p = 1 i koeficijent sličnosti za veličinu M C M = Jednodimenzijsko nestacionarno strujanje kapljevine u kosoj cijevi konstantnog promjera D je opisano jednadžbama h h c v + v + = t x g x 1 v h v v λ v v = g t x g x g D gdje su: /( ρ ) h= p g + z piezometrička visina, c brzina širenja tlačnog poremećaja, g gravitacija, v srednja brzina strujanja kapljevine, t vrijeme, a x koordinata duž osi cijevi, koja se nalazi na z = xtgα. Faktor trenja ( λ ) je definiran kao i za slučaj stacionarnog strujanja, preko Reynoldsova broja Re = ρ vd / µ i relativne visine hrapavosti stijenke cijevi k/ D. U početnom trenutku je strujanje stacionarno, brzinom U na izlazu iz cijevi ( x= L), pri piezometričkoj visini h na ulazu u cijev ( x = ). Nakon početnog trenutka se brzina na izlazu iz cijevi linearno smanjuje od vrijednosti U do nula u vremenu Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe 15
18 τ, dok piezometrička visina na ulazu u cijev ostaje konstantna. Odredite kriterije 3 sličnosti za dva strujanja. Ako je pri strujanju vode ρ = 999,8 kg/m, viskoznosti 3 µ = 1,6 1 Pa s u trenutku t = 6 s, na ulazu cijevi izmjerena brzina v = 3 m/s, odredite odgovarajući vremenski trenutak t i brzinu v u sličnoj pojavi, za slučaj 3 strujanja ulja gustoće ρ = 8 kg/m viskoznosti µ =, 65 Pa s, u cjevovodu četiri puta manjih dimenzija, ako je strujanje u režimu potpuno izražene turbulencije. Koliki je tada koeficijent sličnosti za tlak? 11.3 Slika prikazuje problem provođenja topline kroz zid debljine L, konstantne gustoće ρ, konstantnog specifičnog toplinskog kapaciteta c i konstantne toplinske provodnosti λ. Na lijevom rubu zida se održava konstantna temperatura T, a s desne strane zida je zrak temperature T s kojeg toplina prelazi na zid uz konstantni koeficijent prijelaza topline α. Problem se promatra od početnog trenutka u kojem je temperatura zida bila konstantna i jednaka temperaturi T. Jednadžba provođenja topline je u ovom slučaju T T ρc = λ t x x ili T λ T = t ρc x U početnom trenutku je t = : T( xt, = ) = T. Uvjet na lijevom rubu je x = : T T( x=, t) = T. Uvjet na desnom rubu je x= L: λ = α( T T x= L) x Odredite kriterije sličnosti za ovaj problem. x= L 16 Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe
19 11.4 Jednadžbe koje opisuju gibanje taneta mase m koje je ispucano s visine H pod kutom α u odnosu na horizontalu, uz utrošak energije E glase: x= t E m E 1 cosα z = H + t sinα gt m gdje su: t vrijeme, x horizontalna koordinata, z vertikalna koordinata, a g gravitacija. Koje kriterije treba ispuniti da bi dva bacanja označavala slične pojave. Ako je za dvije slične pojave u istom polju gravitacije koeficijent sličnosti za energiju ispucavanja C E = 3, a za masu C m =.5, odredite koeficijent sličnosti za duljinu (odnos dometa) i vrijeme (odnos trajanja leta). Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe 17
20 1. Vježbe Laminarni granični sloj 1.1 Na tanku ravnu ploču beskonačno široku okomito na ravninu slike nailazi strujanje iz beskonačnosti brzinom v paralelno s ravninom ploče. Neposredno uz ploču formira se granični sloj. Primjenom Prandtlovih jednadžbi odredite profil brzine strujanja unutar graničnog sloja, tangencijalo naprezanje na ploči te koeficijent otpora ploče (Blasiusovo rješenje). 1. U ravninskom strujanju na tanku ravnu ploču nailazi strujanje iz beskonačnosti brzinom v paralelno s ravninom ploče. Neposredno uz ploču formira se granični sloj debljine δ. Primjenom von Kármánove jednadžbe odredite debljinu istisnuća, impulsnu debljinu, raspored smičnih naprezanja na površini ploče i koeficijent otpora ploče. Problem riješite uz pretpostavku linearnog profila brzine unutar graničnog sloja. Usporedite dobivene rezultate s Blasiusovim rješenjem. 18 Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe
21 13. Vježbe Primjena von Kármánove jednadžbe 13.1 Uslijed paralelnog strujanja fluida gustoće 3 ρ = 81 kg/m, kinematičke 4 viskoznosti υ = 1,65 1 m s, brzinom v =,5 m s, uz ravnu ploču se formira laminarni granični sloj. Ishodište koordinatnog sustava xy je u vrhu ploče, a os x je paralelna s pločom. Vektor brzine v gleda u pozitivnom smjeru osi x. Primjenom von Kármánove impulsne jednadžbe uz pretpostavku profila u = v η η 3 + η 4, gdje je η = y / δ, a δ debljina brzine danog izrazom ( ) graničnog sloja, odredite silu F otpora po jedinici širine na dio ploče od x = 1 m do x 1 = m. 13. Na dugi kružni cilindar polumjera R nailazi ravninsko paralelno strujanje viskoznog fluida konstantnom brzinom v. Pretpostavimo da se uz površinu kružnog cilindra formira granični sloj debljine ( x) 5 υx δ = gdje je x koordinata duž konture cilindra, a v δ brzina na vanjskom rubu graničnog sloja. Odredite kut ϑ S pri kojem dolazi do odvajanja strujanja (u točki odvajanja je smično naprezanje jednako nuli), uz pretpostavku profila brzine u graničnom sloju oblika u 3 = a1η+ aη + a3η gdje je u komponenta brzine u smjeru x, a1, a i a 3 v δ nepoznate funkcije od x, a η = y δ, gdje je y koordinata koja je u svakoj točki okomita na x. v δ Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe 19
22 Zrak gustoće ρ = 1, 3 kg/m, viskoznosti µ = 1,79 1 Pa s ulazi u prostor između dvije paralelne ploče koje su na ulazu (x=) udaljene za H =35 cm. Profil brzine na ulazu je jednolik, a brzina je u=,5 m/s. Zbog formiranja graničnog sloja uz stijenke, potrebno je povećavati razmak između ploča, kako bi brzina u potencijalnoj jezgri ostala u=,5 m/s. Odredite zakon promjene razmaka između ploča H(x), uz konstantnost brzine potencijalne jezgre i izračunajte H(x=1 m). Pretpostavite laminarno strujanje i iskoristite Blasiusovo rješenje Ravna ploča visine H=,8 m, duljine L=6,5 m vuče se horizontalno u smjeru duljine, kroz mirujući fluid gustoće ρ=1 kg/m 3, viskoznosti μ=1,1 1-3 Pas konstantnom silom F=3,5 N. Uz pretpostavku laminarnog strujanja odredite snagu P koja se troši na vuču ploče Voda (r=997,1 kg/m 3, µ=, Pas) turbulentno struji kroz horizontalnu hidraulički glatku cijev promjera D=5 mm, srednjom brzinom u sr =,5 m/s. Odredite vrijednost smičnog naprezanja τ w na stijenci i vremenski osrednjene brzine strujanja ( u ) na vanjskom rubu viskoznog podsloja ( y 5 ). Pretpostavite 1,35 izobraženi profil brzine u cijevi, a za faktor trenja koristite izraz l =. é æ 5,74 ö ù ln ç Re,9 ë ê è øû ú Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe
23 14. Vježbe Turbulentni granični sloj 14.1 Za Reynoldsov broj manji od 1 7 turbulentni profil vremenski osrednjene brzine v unutar graničnog sloja uz ravnu hidraulički glatku ploču može se prikazati u obliku v v y = δ 1/7 gdje v brzina optjecanja ploče, y udaljenost od ravne ploče, a δ vremenski osrednjena debljina graničnog sloja. Primjenom von Kármánove jednadžbe uz primjenu formule za smično naprezanje na stijenci hidraulički glatke cijevi 14 µ τw =, 5ρv, odredite zakon promjene debljine graničnog sloja, ρv δ smičnog naprezanja na ploči i koeficijenta otpora hidraulički glatke ploče (Prandtlov zakon jedne sedmine). 14. Krilo aviona ima oblik trapeza sa stranicama B 1 =, 86 m (širina u korijenu krila), B =, 9 m (širina krila pri vrhu) i visinom L/ = 13, 5 m ( L je raspon krila). 3 5 Avion leti kroz zrak ( r = 1,58 kg m, υ = 1, 45 1 m s ) brzinom v = 75 m s. Odredite silu otpora D oba krila aviona uz pretpostavku a) laminarnog strujanja u čitavom području krila, b) turbulentnog strujanja u čitavom području krila (uz primjenu zakona 1/7), c) turbulentnog strujanja s laminarnim područjem strujanja na prednjem dijelu krila, a kritični Reynoldsov broj je Re =. 6 kr 1 Krilo promatrajte kao ravnu ploču postavljenu paralelno strujanju zraka, a silu otpora odredite primjenom metode kriški. Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe 1
24 14.3 Tanka ploča duljine L = 3 m i širine B = m, mase m = 9 kg leži na horizontalnom krovu na udaljenosti h = 4 m od nastrujnog brida krova, prema slici. Odredite brzinu v jednolikog strujanja vjetra kod koje će se ploča pomaknuti, ako je faktor trenja između ploče i podloge m tr =,1. Gustoća i kinematička viskoznost zraka su 3 r = 1, kg/m i s -5 = 1,5 1 m /s. a) Pretpostavite turbulentno strujanje oko hidraulički glatke ploče i koristite zakon 1/7, b) Pretpostavite turbulentno strujanje oko hrapave ploče u režimu potpuno izražene hrapavosti, pri visini hrapavosti k =.1 mm. s 14.4 Neki avion težak je G = 67 kn, a ima površinu krila A = 3 m. Ako avion plovi 3 na visini 1 km, gdje je gustoća zraka r =,415 kg/m odredite brzinu kojom avion leti i snagu potrebnu za taj let. Poznati su koeficijent uzgona C L =,1 i koeficijent otpora C D =,15 (oba definirana na temelju površine krila). L D F pogonska G Mehanika fluida II tekstovi zadataka za vježbe
9. Vježbe. između fluida i remena za slučaj Q = 0.
9 VJEŽBE MEANIKA FIDA II / 9 9 Vježbe 4 Široki remen, prema slici, postavljen je vertikalno između dva spremnika ispunjena istim fluidom i giba se prema gore konstantnom brzinom v, povlačeći fluid iz donjeg
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραDinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1
Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA II Što valja zapamtiti 59. Utjecaj gradijenta tlaka na izgled profila brzine i odvajanje strujanja u graničnom sloju
MEHANIKA FLUIDA II Što valja zapamtiti 59 Utjecaj gradijenta tlaka na izgled profila brzine i odvajanje strujanja u graničnom sloju Promatrajmo strujanje unutar graničnog sloja pri horizontalnom optjecanju
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραšupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova)
šupanijsko natjecanje iz zike 017/018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) U prvom vremenskom intervalu t 1 = 7 s automobil se giba jednoliko ubrzano ubrzanjem
Διαβάστε περισσότεραRepetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):
Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραKLASIFIKACIJA STRUJANJA FLUIDA
MEHANIKA FIA II Što valja zapamtiti 47 KASIFIKACIJA STRJANJA FIA Treba naglasiti da se prije izvedene Navier-Stokesove jednadžbe odnose na strujanje newtonskog, jedno-komponentnog jednofaznog fluida (dakle
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραSila otpora oblika tijela u struji fluida
Praktikum iz hidraulike Str. 15-1 XV vježba Sila otpora oblika tijela u struji fluida Tijelo koje se nađe u struji fluida je izloženo djelovanju sila koje su posljedica neravnomjernog rasporeda tlakova
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραMasa, Centar mase & Moment tromosti
FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραRad, energija i snaga
Rad, energija i snaga Željan Kutleša Sandra Bodrožić Rad Rad je skalarna fizikalna veličina koja opisuje djelovanje sile F na tijelo duž pomaka x. = = cos Oznaka za rad je W, a mjerna jedinica J (džul).
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti
MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom
Διαβάστε περισσότερα6. Vježbe. Rubni uvjeti : (1) (2)
6. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II / 6. Vježbe 7. Za rješavanje problema optjecanja složenih geometrija upotrebljavaju se numeričke metode. Za slučaj potencijalnog optjecanja najčešće se koristi metoda panela.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραGravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa
Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραGauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Διαβάστε περισσότεραHIDRODINAMIKA JEDNADŽBA KONTINUITETA I BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA JEDNADŽBA KONTINUITETA. s1 =
HIDRODINAMIKA JEDNADŽBA KONTINUITETA I BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA Hidrodinamika proučava fluide (tekućine i plinove) u gibanju. Gibanje fluida naziva se strujanjem. Ovdje ćemo razmatrati strujanje tekućina.
Διαβάστε περισσότεραMehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika
1. Kinematika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA
ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραA 2 A 1 Q=? p a. Rješenje:
8. VJEŽBA - RIJEŠENI ZADACI IZ MEANIKE FLUIDA. Oreite minimalni protok Q u nestlačiom strujanju fluia ko koje će ejektor početi usisaati flui kroz ertikalnu cječicu. Zaano je A = cm, A =,5 cm, h=,9 m.
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραFizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva
Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Školska godina 2006/2007 Fizika 1 Auditorne vježbe 5 Dinamika: Newtonovi zakoni 12. prosinca 2008. Dunja Polić (dunja.polic@fesb.hr)
Διαβάστε περισσότεραRad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet
Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα4. Aerodinamički koeficijenti krila zbog rotacije
4-4 erodinaički koefiijenti krila zbog rotaije 4 Propinjanje Želio odrediti oent propinjanja zbog rotaije krila oko osi na udaljenosti od vrha krila kao na slii 4- Krilo ia konstantnu kutnu brzinu oko
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραNastavna jedinica. Gibanje tijela je... tijela u... Položaj točke u prostoru opisujemo pomoću... prostor, brzina, koordinatni sustav,
1. UVOD 1. * Odgovorite na sljedeća pitanja tako da dopunite tvrdnje. 1.1 Što je gibanje tijela? Gibanje tijela je... tijela u... 1.2 Osnovni parametri u kinematici su... i... 1.3 Na koji način opisujemo
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότεραProstorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραZadatak Rješenje: skica problema O R b φ a. Dinamika gibanja krutog tijela. Kinetička energija krutog tijela. E-L jednadžbe
Homogeni štap mase M i duljine 2a kreće se bez trenja u sfernom udubljenju polumjera R tako da stalno ostaje u okomitoj ravnini koja prolazi kroz centar sfere. Na dite kinetičku energiju štapa. Rješenje:
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότεραGeometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio
Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότερα( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
Διαβάστε περισσότεραVrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.
Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραPROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Διαβάστε περισσότεραBETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami
BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:
Διαβάστε περισσότεραAkvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.
Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA HIDROSTATIKA 5. Osnovna jednadžba gibanja (II. Newtonov zakon) čestice idealnog fluida i realnog fluida u relativnom mirovanju
MENIK LUID IDTTIK 5. IDTTIK snovna jednadžba ibanja (II. Newtonov akon) čestice idealno fluida i realno fluida u relativnom mirovanju σ d av d fdv+ σd n V V t av d fdv+ ( pn+ σ ) V V d U anemarenje viskoni
Διαβάστε περισσότεραodvodi u okoliš? Rješenje 1. zadatka Zadano: q m =0,5 kg/s p 1 =1 bar =10 5 Pa zrak w 1 = 15 m/s z = z 2 -z 1 =100 m p 2 =7 bar = Pa
.vježba iz Terodiaike rješeja zadataka 1. Zadatak Kopresor usisava 0,5 kg/s zraka tlaka 1 bar i 0 o C, tlači ga i istiskuje u eizolirai tlači cjevovod. Na ulazo presjeku usise cijevi brzia je 15 /s. Izlazi
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA dio 5
MEHANIKA FLUIDA dio 5 prof. Željko Andreić Rudarsko-geološko-naftni fakultet Sveučilište u Zagrebu zandreic@rgn.hr http://rgn.hr/~zandreic/ Željko Andreić Mehanika fluida P5 1 sadržaj 1-2-3! Tečenje kroz
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Prosti cevovodi
MEHANIKA FLUIDA Prosti ceooi zaatak Naći brzin oe kroz naglaak izlaznog prečnika =5 mm, postaljenog na kraj gmenog crea prečnika D=0 mm i žine L=5 m na čijem je prenjem el građen entil koeficijenta otpora
Διαβάστε περισσότεραHIDRAULIČKI PRORAČUN CJEVOVODA. Hidraulički proračun cjevovoda se temelji na jednadžbi kontinuiteta
. predavanje iz Mehanike fluida 95 HIDRAULIČKI PRORAČUN CJEVOVODA Hidraulički proračun cjevovoda se temelji na jednadžbi kontinuiteta Q= va= konst. i modificiranoj Bernoullijevoj jednadžbi, koja za strujanje
Διαβάστε περισσότεραA MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραImpuls i količina gibanja
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραPRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA
PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραRotacija krutog tijela
Rotacija krutog tijela 6. Rotacija krutog tijela Djelovanje sile na tijelo promjena oblika tijela (deformacija) promjena stanja gibanja tijela Kruto tijelo pod djelovanjem vanjskih sila ne mijenja svoj
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραKinematika i vektori
ZADACI ZA INTERAKTIVNE VJEŽBE IZ OPĆE FIZIKE 1 Kinematika i vektori 1. Svjetiljka udaljena 3m od vertikalnog zida baca na zid svijetlu mrlju. Svjetiljka se jednoliko okreće oko svoje osi frekvencijom f
Διαβάστε περισσότεραNovi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Διαβάστε περισσότεραPRELAZ TOPLOTE - KONVEKCIJA
PRELAZ TOPLOTE - KONVEKCIJA Prostiranje toplote Konvekcija Pri konvekciji toplota se prostire kretanjem samog fluida (tečnosti ili gasa): kroz fluid ili sa fluida na čvrstu površinu ili sa čvrste površine
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. kolokviji. Sadržaj
Matematika kolokviji Sadržaj. kolokvij, 2..2004.............................................. 2. kolokvij, 2..2004.............................................. 3 2. kolokvij, 7.2.2004..............................................
Διαβάστε περισσότερα2. Kolokvijum iz MEHANIKE (E1)
Fakultet tehničkih nauka Novi Sad Katedra za Mehaniku 2. Kolokvijum iz MEHANIKE (E1) A grupa A3 Dva robota se kreću po glatkoj horizontalnoj podlozi. Robot A, mase 20, 0 kg, kreće se brzinom 2, 00 m/s
Διαβάστε περισσότεραAmpèreova i Lorentzova sila zadatci za vježbu
Ampèreova i Lorentzova sila zadatci za vježbu Sila na vodič kojim prolazi električna struja 1. Kroz horizontalno položen štap duljine 0,2 m prolazi električna struja jakosti 15 A. Štap se nalazi u horizontalnom
Διαβάστε περισσότεραPREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραDimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe
Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραOpća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava
Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog
Διαβάστε περισσότεραVektorska analiza doc. dr. Edin Berberović.
Vektorska analiza doc. dr. Edin Berberović eberberovic@mf.unze.ba Vektorska analiza Vektorska algebra (ponavljanje) Vektorske funkcije (funkcije sa vektorima) Jednostavna analiza (diferenciranje) Učenje
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
Διαβάστε περισσότεραF2_ zadaća_ L 2 (-) b 2
F2_ zadaća_5 24.04.09. Sistemi leća: L 2 (-) Realna slika (S 1 ) postaje imaginarni predmet (P 2 ) L 1 (+) P 1 F 1 S 1 P 2 S 2 F 2 F a 1 b 1 d -a 2 slika je: realna uvećana obrnuta p uk = p 1 p 2 b 2 1.
Διαβάστε περισσότερα3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA
MEHANIKA TLA: Onovni paraetri tla 4. OSNONI POKAZATELJI TLA Tlo e atoji od tri faze: od čvrtih zrna, vode i vazduha i njihovo relativno učešće e opiuje odgovarajući pokazateljia.. Specifična težina (G)
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα