Vektorska analiza doc. dr. Edin Berberović.

Transcript

1 Vektorska analiza doc. dr. Edin Berberović

2 Vektorska analiza Vektorska algebra (ponavljanje) Vektorske funkcije (funkcije sa vektorima) Jednostavna analiza (diferenciranje) Učenje kroz primjenu 2

3 Vektorska algebra (ponavljanje) Veličine koje se pojavljuju u inženjerstvu Skalarne imaju samo intenzitet (brojčanu vrijednost) ne zavise od izbora koordinatnog sistema masa, temperatura, vrijeme,... Vektorske imaju intenzitet, pravac djelovanja i smjer zavise od izbora koordinatnog sistema pomijeranje (pomak), brzina, ubrzanje, sila,... Za bolje razlikovanje vektori se označavaju drugačije od skalara skalar V vektor V ili v 3

4 Vektorska algebra (ponavljanje) Elementarne formule vektorskog računa Predstavljanje vektora a= ai+ a j+ ak x y z z a = a i+ a j+ a k x y z Intenzitet vektora x y z a = a = a + a + a Sabiranje/oduzimanje vektora a ± b = a ± b i + a ± b j + a ± b k ( ) ( ) ( ) x x y y z z Množenje vektora skalarom αa= αai x + αayj+ αak z ( α + β)a = αa + βa x a a a a ( x, y, z) i k a y O j M a z a x y 4

5 Vektorska algebra (ponavljanje) skalarni proizvod vektora a b= abcos ( ab, ) a b= ab x x + ab y y + ab z z a b a b = 0 uslov okomitosti vektorski proizvod vektora a b = absin ab, x y z ( ) i j k a b= ax ay az = ( ab y z ab z y) i+ ( ab z x ab x z) j+ ( ab x y ab y x) k b b b uslov kolinearnosti a b a b = 0 a b b b ( ) ab sin a, b a a 5

6 Vektorske funkcije (funkcije sa vektorima) Vektorska funkcija Neprekidna jednoznačna zavisnost određene vektorske veličine od koordinata prostora v= v( xyz,, ) = v( r) od vremena v = v( t) i jednog i drugog v= v( xyzt,,, ) = v( rt, ) ovakva prostorna raspodjela naziva se polje z v xyzt (,,, ) O y 6 Služi za jednoznačno određivanje vektorske veličine (intenzitet, pravac i smjer) u zavisnosti od promjenjivih od koordinata i/ili od vremena x

7 Vektorske funkcije (funkcije sa vektorima) 7 Brzina klizača mašine koji se kreće pravolinijski po horizontalnim vođicama data je izrazom v = v0 + at, gdje je v 0 - početna brzina (u trenutku t = 0 s) koja iznosi v 0 = 1,2 m/s a - konstantno ubrzanje koje iznosi a = 0,4 m/s 2 t - vrijeme mjereno u sekundama. Koliku brzinu će tijelo imati nakon 1,5 s, 6 s i 35 s i 1,5 min? v = vi = ( v0 + at) i = ( 1, 2 + 0,4t) i 0 s : v = ( 1, 2 + 0,4 0 ) i = 1, 2i m/s = v0 1, 5 s : v = ( 1, 2 + 0,4 1,5 ) i = 1, 8i m/s 6 s : v = ( 1,2+ 0,4 6) i = 3,6i m/s 35 s : v = ( 1,2 + 0,4 35) i = 15,2i m/s 1, 5 min : v = 1, 2 + 0,4 1,5 60 i = 37, 2i m/s ( ) Dijagram v ( t )!

8 Vektorske funkcije (funkcije sa vektorima) Podizanje tereta vrši se hidrauličnim sistemom, pri čemu se klip hidrauličnog cilindra kreće vertikalno naviše pravolinijski po zakonu h = mt, gdje je m vektorski parametar koji se vremenski mijenja 4 prema izrazu m = 7 10 k t i dat je u m/s, a vrijeme t dato je u sekundama. Koliko minuta je potrebno da se teret podigne na visinu 2,3 m? ( ) ( ) 2 2 h = mt = 0,0007k t t = 0,0007t k = 0,0007t k h = h = 0,0007t 2 h 2,3 t = ± = ± = ± 57,3 s 0,0007 0, ,3 t = 57,3 s = min = 0,95 min 1 min 60 Dijagram h ( t )! 8

9 Vektorske funkcije (funkcije sa vektorima) U proizvodnji dijelova od čelika potrebno je gurati rezni alat duž materijala obratka, što se ostvaruje posebnim mehanizmom. Pri tome treba savladati otpor trenja materijala obratka za koji je utvrđeno da se mijenja sa dužinom obrađene površine po izrazu Fotp = µ x. Koeficijent trenja µ opada sa dužinom prema µ = 63 / x. Izračunati potrebnu silu guranja da bi se obradio materijal dužine 3,7 m. Sila F data je u N, a koeficijent µ je u N/cm F = Fotp = µ x = x = xi = 63 xi x x F F F = 63 x = 63 3,7 100 = 1211 N = 1,211 kn = 1,211i kn Dijagram F ( x )! 9

10 Vektorske funkcije (funkcije sa vektorima) Vektorska funkcija se obično definiše tako da 10 Zavisi od skalarne promjenjive a = a( x) ili a = a( t) Na primjer brzina pravolinijskog kretanja v pređeni put (pomak) u prostoru Zavisi od vektorske promjenjive a = a( r ) Na primjer = ln xi 2 s = 2ti + t j + k brzina kretanja zavisi od koordinata vektora položaja r = xi + yj + zk r x y z v = = i + j + k r x + y + z x + y + z x + y + z v v v x x x

11 Vektor položaja Definiše položaj tačke u prostoru u odnosu na koordinatni sistem r = r i + r j + r k = xi + yj + zk x y z koordinate x, y, z su projekcije vektora položaja Može se definisati položaj u prostoru (3D) u ravni (2D) po liniji (1D) r = xi + yj + zk r = xi + yj r = xi Omogućava praćenje položaja tačke r = x t i + y t j + z t k = r t ( ) ( ) ( ) ( ) x r r r r ( x, y, z) i z k r y O j M r z r x y 11

12 Diferenciranje vektora Izračunavanje promjene vektora u odnosu na zavisno promjenjivu Npr. za vektor r = r ( t) potrebno je odrediti njegovu promjenu sa t Razlika između dva susjedna vektora (priraštaj) r = r t + t r t ( ) ( ) Količnik te razlike (priraštaja) i razlike t r = t r t t r t t ( + ) ( ) Granična vrijednost količnika je prvi izvod vektora dr r r t t r t = lim = lim t 0 t t 0 t ( + ) ( ) r t ( ) r po t r r t ( + t) 12

13 Osnovna pravila diferenciranja Izračunavanje izvoda dc d = + = ( + ) da db za c a b a b = + d da ds za skalar s ( sa ) = s + a, da ds za a = const = 0 za s = const = 0 Izvodi jednostavnijih funkcija d d t t d 2 ( ) = 2 ( 3 ) = 3 2 t t t n n ( t ) = nt d 1 d ( lnt ) = 1 t d ( sin t) = cos t d ( cos t) = sin t 13

14 Jedinični vektori Vektori koji imaju intenzitet jednak jedinici Npr. jedinični vektori koordinatnog sistema i, j, k Za svaki vektor može se odrediti odgovarajući jedinični vektor Ima intenzitet jednak jedinici i određuje pravac djelovanja vektora Dobija se dijeljenjem vektora sa svojim intenzitetom r x y z n = = i + j + k r x + y + z x + y + z x + y + z r x + y + z n = = = 1 r x + y + z r n 14

15 Pomijeranje (položaj), brzina i ubrzanje 15 Ako je r = r ( t) vektor položaja, tada izvod d r / daje brzinu kretanja (promjenu položaja sa vremenom) r = xi + yj + zk ( ) ( ) ( ) x = x t, y = y t, z = z t dr dx = = dy + dz v i j + k Ako je v = v( t) brzina kretanja, tada izvod d v / daje ubrzanje (promjenu brzine sa vremenom) v= vi x + vyj+ vk z dv dv = = dv + d + x y vz a i j k r t ( ) a v

16 Sile u mehanici Ako su v = v( t) i a = a( t) brzina kretanja i ubrzanje, tada se prema drugom Newtonovom zakonu sila koja dovodi do kretanja neke mase m računa kao F = d ( mv ) Ako je masa konstantna, m = const (tj. ne mijenja se s vremenom) dm = 0 d ( mv ) dm dv F = = v + m = ma F = ma 16

17 17 Dokazati da je izvod vektora položaja jednak dr dx = = dy + dz v i j + k dr r r ( t + t) r ( t) = lim = lim = t 0 t t 0 t ( + ) + ( + ) + ( + ) ( ) + ( ) + ( ) = x t t i y t t j z t t k lim x t i y t j z t k = t 0 t x( t + t) x( t) i + y( t + t) y( t) j + z( t + t) z( t) = lim k = t 0 t x( t + t) x( t) y( t + t) y( t) z( t + t) z( t) = lim i + j + k = t 0 t t t dx = dy + dz i j + k

18 Vrh alata kojim se vrši rezbarenje na horizintalnoj ploči nekog materijala kreće se po zakonu r = sinti + costj, m. Odrediti vektore brzine kretanja i ubrzanja alata kao vektorske funkcije vremena t, zatim intenzitet brzine i ubrzanja kao funkcije vremena i izračunati vrijednost brzine i ubrzanja u vremenskom trenutku t = 2 s. dr dx dy d d v = = i + j = ( sint ) i + ( cost ) j = costi sintj dv dv = = d + d = ( ) d cos + ( sin ) = sin cos x v y a i j t i t j ti tj 18 2 x y ( ) = = x + y = ( sin ) + ( cos ) = sin + cos v = v = v + v = cos t + sint = cos t + sin t a a a a t t t t t t v 2 2 = cos t + sin t = 1 = 1 m/s a = sin t + cos t = 1 = 1 m/s t = 2 t =

19 19 Ako je brzina rotacionog kretanja vrha poluge mašine po kružnici konstantna, dokazati da je vektor ubrzanja okomit na vektor brzine. v = const v v = const d ( v v ) dv dv dv = v + v = 2v = 0 dv v = 0 v a = 0 Pošto je skalarni proizvod vektora brzine i ubrzanja jednak nuli, znači da su vektori brzine i ubrzanja okomiti kod rotacionog kretanja sa konstantnom brzinom v a v a = 0 a v

20 Automobil se kreće pravolinijski pri čemu stalno ubrzava. Brzina se mjeri u zavisnosti od pređenog puta i utvrđeno je da se mijenja 2 prema izrazu v = ( 0,001x + 0,08x) i, gdje je v u m/s, a x je u m. Odrediti ubrzanje automobila kao funkciju pređenog puta i izračunati vrijednost ubrzanja u momentu kada je automobil prešao 100 m. dv d 2 a = = ( 0,001 x + 0,08 x) i = ( 0,001 2 x + 0,08 ) i = ( 0,002 x + 0,08 ) i dx dx 2 a = ( 0, ,08) i = 0,28i m/s x =

21 Brzina pravolinijskog klizača na probnom modelu jednog uređaja 2 mijenja se sa vremenom po zakonu v = ( lnt + t ) i. Odrediti izraz za silu kao vektorsku funkciju vremena koja je potrebna za ostvarivanje tog kretanja. Ako je masa klizača m = 4 kg i sve ostale veličine imaju jedinice iz SI sistema, izračunati vrijednost sile koja djeluje na klizač u trenutku t = 5 s. F d = ma v = m d t dv d 2 1 a = = ( lnt + t ) i = + 2t i t 1 F = ma = m + 2t i t 1 F = i = 40,8i N t =