Μη Σχετικιστική Κβαντομηχανική

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μη Σχετικιστική Κβαντομηχανική"

Transcript

1 Μη Σχετικιστική Κβαντομηχανική Υπενθυμίζουμε τη συνταγή που θέτει την εξίσωση Schrödger σε αντιστοιχία με τη μη-σχετικιστική σχέση ενέργειας-ορμής: p E () m μέσω της αντικατάστασης των E, p με διαφορικούς τελεστές: E, p () Η εξίσωση τελεστών που προκύπτει εννοείται ότι δρα πάνω στη (μιγαδική) κυματοσυνάρτηση,. Δηλαδή (με ): όπου ερμηνεύουμε την ποσότητα m () ως την πυκνότητα πιθανότητας ( d - πιθανότητα να βρούμε το σωματίδιο σε στοιχείο όγκου d ). Συχνά μελετάμε κινούμενα σωματίδια, π.χ. στη σύγκρουση σωματιδίων. Έτσι χρειάζεται να είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε την πυκνότητα ροής "ρεύμα πιθανότητας " μιας δέσμης σωματιδίων. Από τη διατήρηση της πιθανότητας, ο ρυθμός ελάττωσης του αριθμού των σωματιδίων σε δεδομένο όγκο ισούται με την ολική ροή σωματιδίων που βγαίνουν από αυτόν τον όγκο, δηλ. V dv S ds dv όπου είναι μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο στοιχείο ds της επιφάνειας. Η δεύτερη ισότητα προκύπτει από το Θεώρημα Gauss. Έτσι οι πυκνότητες πιθανότητας και ροής συνδέονται με την εξίσωση συνέχειας: () όπου το ρεύμα πιθανότητας είναι:

2 m (5) (άσκηση) Για παράδειγμα μία λύση της () pe Ne (6) που περιγράφει ένα ελεύθερο σωματίδιο με ενέργεια E και ορμή p, έχει N, N m p (7) Συναλλοίωτο Lorez, -διανύσματα Ένας ακρογωνιαίος λίθος της σύγχρονης Φυσικής είναι ότι οι Θεμελιώδεις Νόμοι έχουν την ίδια μορφή σε όλα τα συστήματα Lorez, δηλ. σε συστήματα αναφοράς που έχουν μία ομοιόμορφη σχετική ταχύτητα. Οι βασικές εξισώσεις λέγεται ότι είναι Lorez συναλλοίωτες. Θυμίζουμε ότι η Ειδική Σχετικότητα βασίζεται στην υπόθεση ότι η ταχύτητα του φωτός, c, είναι ίδια σε όλα τα συστήματα Lorez. Ένας μετασχηματισμός Lorez σχετίζει τις συντεταγμένες δύο τέτοιων συστημάτων αναφοράς. Το βασικό αναλλοίωτο σε μετασχηματισμούς Lorez είναι η σχέση c. (Ας ορίσουμε c, c ) Γενικός μετασχηματισμός Lorez :, μ =,,, '

3 π.χ. : Οι συνήθεις στροφές στο χώρο R, R γενικός ορθογώνιος πίνακας R R. π.χ. ': Στροφή στο επίπεδο : cos s s cos. π.χ. : Μετασχηματισμός σε νέο σύστημα που κινείται με ταχύτητα υ (boos = ώθηση) π.χ. ': Για μετασχηματισμό Lorez, όπου το νέο σύστημα κινείται με ταχύτητα υ κατά μήκος του άξονα : cosh sh sh cosh όπου c (c=), cosh, ah, επειδή cosh cos, sh s είναι ανάλογοι στροφής κατά μιγαδική γωνία ω. Κάθε σύνολο τεσσάρων ποσοτήτων που μετασχηματίζονται όπως τα μ κάτω από μετασχηματισμούς Lorez λέγεται -διάνυσμα. Εσωτερικά γινόμενα και ο μετρικός τανυστής Για δύο -διανύσματα,, B B B, ορίζεται το εσωτερικό γινόμενο B B B το οποίο παραμένει αναλλοίωτο κάτω από μετασχηματισμούς Lorez. Λόγω του αρνητικού πρόσημου, είναι χρήσιμο να εισάγουμε ένα νέο είδος - διανύσματος, που συνδέεται με το μέσω του μετρικού τανυστή g g ως εξής: g Οπότε το εσωτερικό γινόμενο γράφεται:

4 B B g B g B B g B Εννοείται άθροιση πάνω σε επαναλαμβανόμενους δείκτες. π.χ. : Σύμφωνα με την Ειδική Σχετικότητα, η ολική ενέργεια Ε και η ορμή p ενός απομονωμένου συστήματος μετασχηματίζονται ως συνιστώσες ενός - E διανύσματος p, p p, p, p, p. (c=) c π.χ. : Το εσωτερικό γινόμενο αναλλοίωτο. p p p p p E p είναι Το απλούστερο σύστημα είναι ένα ελεύθερο σωματίδιο για το οποίο ισχύει E c p m c όπου m είναι η μάζα ηρεμίας του σωματιδίου. π.χ. : π.χ. : p p E p αναλλοίωτη,,, (άσκηση) : D' lembera αναλλοίωτος τελεστής π.χ. 5: Η συναλλοίωτη μορφή των E, p είναι η p.

5 5 Εξίσωση Kle-Gordo Η εξ. Schr () παραβιάζει το συναλλοίωτο Lorez και έτσι δεν είναι κατάλληλη για σχετικιστικό σωματίδιο. Θα επαναλάβουμε τα ίδια βήματα όπως στη μη σχετικιστική Κβαντομηχανική αλλά αρχίζοντας από τη σχετικιστική σχέση ενέργειας ορμής: E p m () Κάνοντας τις αντικαταστάσεις τελεστών: m K-G () ή ( + m ) () Πολλαπλασιάζοντας την K-G επί και τη συζυγή της επί και αφαιρώντας: () (άσκηση), (5) ή οπότε ( ) (6) Για παράδειγμα για ελεύθερο σωματίδιο με ενέργεια Ε και ορμή p που περιγράφεται από τη λύση Κ-G 7) ( p pe Ne (7) E N E N (8) N p N (9) ή ( 7) p Ne () και 8), 9 ( Αλλά αντικαθιστώντας την () στην () έχουμε: p N () E p m ()

6 6 που είναι εξαιρετικά δυσάρεστο γιατί δείχνει ότι είναι δυνατόν να γίνουν μεταπτώσεις σε όλο και χαμηλότερες (αρνητικές) ενέργειες. Ένα δεύτερο πρόβλημα είναι ότι οι λύσεις με Ε< είναι συσχετισμένες (μέσω της (8)) με αρνητική πυκνότητα πιθανότητας. Άρα οι δυσκολίες είναι λύσεις με Ε< και ρ<!!! Εξίσωση Drac Στην περίπτωση της εξ. Κ-G είναι σαφές από προήλθε το πρόβλημα. (α) Κατασκευάζοντας μία κυματική εξίσωση που αντιστοιχεί στη σχέση E p m αμέσως επιτρέπουμε λύσεις με αρνητική ενέργεια. (β) Η εξ. Κ-G έχει έναν όρο συνέχειας με πυκνότητα πιθανότητας που περιέχει αρνητικές πιθανότητες για Ε<. με συνέπεια να οδηγηθούμε σε εξίσωση και επομένως σε Ο Drac προκειμένου να πάρει ρ απαίτησε μία εξίσωση γραμμική στο για να είναι συναλλοίωτη, γραμμική και στο. και, Συνεπώς απαίτησε την εξής γενική μορφή: () όπου η φύση των συντελεστών γ μ και της σταθεράς α πρέπει να προσδιοριστούν. Βέβαια, σύμφωνα με την Ειδική Σχετικότητα ισχύει η E p m για ελεύθερο σχετικιστικό σωματίδιο (ηλεκτρόνιο). Οπότε ο Drac απαίτησε συγχρόνως η ψ να ικανοποιεί την εξ. Κ-G. Προφανώς ανοίξαμε πάλι την πόρτα στις λύσεις με Ε<. Η επιτυχία του Drac ήταν να μετατρέψει αυτό το προφανές πρόβλημα σε έναν από τους μεγαλύτερους θριάμβους της Θεωρητικής Φυσικής! Την απλή σχέση μεταξύ δύο μιγαδικών αριθμών u και v u v ( u v)( u v) ()

7 7 την χρησιμοποιούμε για να γραμμικοποιήσουμε την εξ. Κ-G. Δοκιμάζουμε m m (5) Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς χρησιμοποιώντας τη μεταθετικότητα των, αλλά σεβόμαστε τη σειρά των συντελεστών γμ, γ ν (ώστε να μην αποκλείσουμε την πιθανότητα να είναι πίνακες) (άσκηση) m (6) Η (6) είναι ίδια με την K-G αν επιμείνουμε να ισχύει:, g (μ, ν =,,, ) (7) Πώς μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι οι (7) ισχύουν; Δοκιμάζουμε () μιγαδικούς αριθμούς () πίνακες και καταλήγουμε ότι δεν μπορούν να ικανοποιήσουν τις (7). Αλλά η επόμενη δυνατότητα, όπως έδειξε ο Drac, δηλ να είναι πίνακες, δουλεύει! Μία δόκιμη επιλογή των πινάκων Drac είναι η εξής, ( =,, ) (8) όπου κάθε όρος είναι πίνακες. Σημειώνουμε ότι ο γ είναι Ερμιτιανός πίνακας ( οι γ αντι-ερμιτιανοί ( και I ). (άσκηση) ) ενώ και I Η επιλογή των πινάκων Drac δεν είναι μοναδική. Παίρνουμε ισοδύναμες αναπαραστάσεις των πινάκων Drac αν μετασχηματίσουμε τα γ μ με έναν αυθαίρετο (μη αποκλίνοντα) πίνακα S. S S (9) Τελικά η εξίσωση που έθεσε ως αξίωμα ο Drac (98) ήταν

8 m () όπου () δηλ. ένα πεδίο με συνιστώσες γνωστό ως σπίνορας Drac. Μία ισοδύναμη μορφή, επίσης γνωστή, προκύπτει πολλαπλασιάζοντας την () επί γ : m () Στην αναπαράσταση (8) που διαλέξαμε τα και β είναι Ερμιτιανοί πίνακες, () Διατηρούμενα ρεύματα Για να κατασκευάσουμε τα ρεύματα προχωράμε όπως στην εξ. Κ-G, εκτός του ότι επειδή τώρα έχουμε εξίσωση πινάκων, πρέπει να θεωρήσουμε την Ερμιτιανή, αντί της μιγαδικής, συζυγή εξίσωση. Η Ερμιτιανή συζυγής της εξ. Drac m, =,, είναι η: m () 8

9 Για να έχουμε συναλλοίωτη μορφή πρέπει να φύγει το στο και να μείνει στον πρώτο όρο. Επειδή αυτό γίνεται πολλαπλασιάζοντας την () από δεξιά επί γ. Εισάγοντας τον ado (γραμμή) σπίνορα (5) παίρνουμε την () στη μορφή m (6) Τώρα μπορούμε να πάρουμε την εξίσωση συνέχειας πολλαπλασιάζοντας την εξ. Drac () από αριστερά επί και την (6) από δεξιά επί ψ και τις προσθέτουμε. (7) με, (άσκηση) Ιδιαίτερα η πυκνότητα πιθανότητας: θετικά ορισμένο! Μη αναμενόμενο δώρο ότι η εξ. Drac περιγράφει σωματίδια με σπιν ½!!! Η ιστορία μας μέχρι τώρα συνοψίζεται ως εξής: 9

10 Εξ. Kle Gordo Εξ. Drac αρνητικές πιθανότητες αρνητικές ενέργειες θετικές πιθανότητες αρνητικές ενέργειες O Drac ξεπέρασε το πρόβλημα των αρνητικών ενεργειών ως εξής. Έθεσε το αξίωμα ότι στο κενό, δηλ στην κατάσταση όπου δεν υπάρχουν Ε> ηλεκτρόνια, όλες οι καταστάσεις με Ε< είναι γεμάτες με ηλεκτρόνια (!), δηλ υπάρχει μία άπειρη θάλασσα ηλεκτρονίων. Έτσι η αρχή Paul απαγορεύει σε ένα ηλεκτρόνιο με Ε> να πέσει σε κατώτερο ενεργειακό επίπεδο. Ε +m E' E m -m -E E -m Όμως θα μπορούσαμε να δημιουργήσουμε οπή στην θάλασσα των ηλεκτρονίων με Ε διεγείροντας ένα ηλεκτρόνιο από μία κατάσταση αρνητικής ενέργειας -Ε σε μία κατάσταση με θετική ενέργεια Ε'. Τότε η απουσία ενός ηλεκτρονίου με φορτίο e και ενέργεια Ε ερμηνεύεται ως παρουσία ενός αντισωματιδίου (ποζιτρονίου) φορτίου +e και ενέργειας Ε. Συνεπώς το τελικό αποτέλεσμα αυτής της διέγερσης είναι η παραγωγή ενός ζευγαριού σωματιδίων e - (E') + e + (E) οδηγεί στην απαίτηση μιας θεωρίας πεδίου ενέργεια οπής = - (- Ε) = Ε > φορτίο οπής = - (- e) = e > το οποίο προφανώς απαιτεί ενέργεια: Ε + Ε' m Η πρόβλεψη του αντισωματιδίου αποτελεί μία από τις μεγαλύτερες προβλέψεις!!! Τι γίνεται όμως με τις αρνητικές λύσεις της εξ. Κ-G; Είναι σαφές ότι η ίδια ιδέα δεν μπορεί να εφαρμοστεί σε σωματίδια με μηδενικό σπιν, που δεν υπακούουν

11 στην απαγορευτική αρχή του Paul. Συνεπής εικόνα προκύπτει από την κβαντική θεωρία πεδίου. Εδώ περιοριζόμαστε ακόμα στην κβαντομηχανική. Οι Paul Wessko (') αναβίωσαν την εξ. K-G εισάγοντας το φορτίο e στο μ και ερμηνεύοντάς το ως πυκνότητα φορτίου-ρεύματος του αρνητικά φορτισμένου σωματιδίου e Τώρα το ρ = παριστάνει πυκνότητα φορτίου, όχι πυκνότητα πιθανότητας κι έτσι αίρονται οι ενστάσεις. Με μία έννοια, που θα γίνει σαφέστερη, οι λύσεις με Ε < μπορούν να θεωρηθούν ως σωματίδια με αντίθετο φορτίο δηλ. αντισωματίδια. Αντίθετα με τη θεωρία των οπών αυτή η ερμηνεία μπορεί να εφαρμοστεί και στα μποζόνια και στα φερμιόνια. Η συνταγή για το πώς να χειριζόμαστε τις αρνητικές ενεργειακές καταστάσεις προτάθηκε από τους Sückelberg (') και Feyma ('8). Η ιδέα είναι ότι μία λύση με αρνητική ενέργεια περιγράφει ένα σωματίδιο, που διαδίδεται προς τα πίσω στο χρόνο, ή ισοδύναμα, ένα αντισωματίδιο που διαδίδεται προς τα μπρος στο χρόνο. Ας θεωρήσουμε ένα πιόνιο π + ενέργειας Ε, -ορμής p και φορτίου +e. Γνωρίζουμε από τις (7), () ότι το ηλεκτρομαγνητικό ρεύμα είναι em e N E, p E, p p, Ποιο θα είναι το ρεύμα για το π - ; Δηλ. για σωματίδιο με θετική ενέργεια, αλλά αντιθέτου φορτίου; Περιμένουμε: em που είναι ίδιο με το ρεύμα e N E, p e N E, p ( E, p : όπως για το π + ) em ενός π + αλλά με αρνητική -ορμή. Ας δούμε τι συμβαίνει με το ολικό φορτίο π και την ενέργεια ενός συστήματος Α που -, Ε> εκπέμπει ένα π θετικής ενέργειας. Η ενέργεια του Α ελαττώνεται κατά Ε και το φορτίο του ελαττώνεται κατά (-e). Σύστημα Α Αυτή η αύξηση φορτίου θα μπορούσε ισοδύναμα να δημιουργηθεί από απορρόφηση ενός π +, αλλά για να γίνει αυτή η διαδικασία απορρόφησης πλήρως ισοδύναμη με την διαδικασία εκπομπής το π + θα πρέπει να έχει αρνητική ενέργεια (γιατί το Α έχασε ενέργεια με την εκπομπή). Έτσι φθάνουμε στην εξής ισοδυναμία: π -, Ε> π +, -Ε Α Α

12 Δηλαδή η εκπομπή (απορρόφηση) αντισωματιδίου με -ορμή p μ είναι φυσικά ισοδύναμη με την απορρόφηση (εκπομπή) σωματιδίου με -ορμή - p μ. Με άλλα λόγια, λύσεις αρνητική ενέργειας που πηγαίνουν προς τα πίσω στο χρόνο περιγράφουν λύσεις αντισωματιδίων θετικής ενέργειας που πηγαίνουν προς τα μπρος στο χρόνο. Ο λόγος που μπορεί να γίνει η παραπάνω ταυτοποίηση είναι απλά γιατί E E e e! Υπάρχει μία διαφορά μεταξύ περιπτώσεων Κ-G και Drac. Η περίπτωση Drac είχε φτιαχτεί έτσι ώστε να εξασφαλίζει θετική πυκνότητα πιθανότητας ανεξάρτητα από το πρόσημο της ενέργειας. Για να κρατήσουμε την ισοδυναμία θα πρέπει να βάλουμε ένα επί πλέον αρνητικό σημείο με το χέρι κάθε φορά που έχουμε ένα φερμιόνιο αρνητικής ενέργειας στην τελικά κατάσταση. Ο φορμαλισμός περιγραφής κυματοσυνάρτησης ενός σωματιδίου χειρίζεται όχι μόνο τα αντισωματίδια αλλά είναι σε θέση να περιγράψει και καταστάσεις πολλών σωματιδίων. Για παράδειγμα ας δούμε τη διπλή σκέδαση ενός σωματιδίου (ας πούμε του π + ) από ένα δυναμικό σε η τάξη στη Θεωρία Διαταραχών. Στη Μη-Σχετικιστική Κβαντομηχανική (ΜΣΚ) μπορούμε να ζωγραφίσουμε ένα χωρο-χρονικό διάγραμμα Feyma της τροχιάς του σωματιδίου. π + π + π + π + π + π + Σχ. Σχ. Σύμφωνα με τον Feyma στη ΜΣΚ πρέπει να επιτρέψουμε την πιθανότητα τα σωματίδια να μπορούν να σκεδαστούν και προς τα πίσω στο χρόνο. Έτσι το σημαντικό νέο στοιχείο είναι ότι υπάρχουν δύο διαγράμματα που αντιστοιχούν στην ίδια παρατήρηση. Υπάρχουν δύο διαφορετικού τρόποι διάταξης του χρόνου των δύο αλληλοεπιδράσεων που αντιστοιχούν στο ίδιο παρατηρήσιμο γεγονός. Ερμηνεύουμε το δεύτερο διάγραμμα, χρησιμοποιώντας τη συνταγή του Feyma, επιτρέποντας λύσεις θετικής ενέργειας των π + να ταξιδεύουν μόνο προς τα μπρος στο χρόνο και λύσεις αρνητικής ενέργειας να ταξιδεύουν μόνο

13 προς τα πίσω στο χρόνο. Στο π + που ταξιδεύει προς τα πίσω από μέχρι πρέπει να αποδοθεί αρνητική ενέργεια, που είναι ισοδύναμο με ένα π θετικής ενέργειας που ταξιδεύει προς τα μπρος από μέχρι. Έτσι φθάνουμε στη φυσική διαδικασία που παριστάνεται στο σχ. '. π - π + Εκμηδενισμός ζευγαριού π + π = Το δυναμικό απορροφά ένα ζευγάρι π + π στο. π + Σχ. ' Το δυναμικό δημιουργεί ένα ζευγάρι π + π στο. Το βασικό σημείο είναι ότι λύσεις αρνητικής ενέργειας που περιγράφουν ένα σωματίδιο χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν διαδικασίες που περιλαμβάνουν αντισωματίδια θετικής ενέργειας, αφού αλλάξουμε κατάλληλα τις αρχικές και τελικές καταστάσεις. Έτσι καταστάσεις πολλών σωματιδίων (όπως η διαδικασία δημιουργίας ζευγαριού π + π ) μπορούν να αντιμετωπιστούν με το φορμαλισμό κυματοσυνάρτησης ενός σωματιδίου, αποφεύγοντας την πολυπλοκότητα της Κβαντικής Θεωρίας Πεδίου. Όλες οι δυνατές διαδικασίες είναι δυνατόν να περιγραφούν είτε χρησιμοποιώντας σωματίδια είτε αντισωματίδια (και κατά συνθήκη προτιμάμε τα σωματίδια). Το κενό είναι ένα πολύ σύνθετο περιβάλλον! Ζευγάρια από π + π δημιουργούνται και καταστρέφονται ως αποτέλεσμα την συνταγής για το αντισωματίδιο. Το τελικώς αιτούμενο για σύγκριση με το πείραμα είναι να είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε ρυθμούς μετάβασης και ενεργές διατομές. Για την ώρα όμως έχουμε στη διάθεσή μας μόνο κυματοσυναρτήσεις ελευθέρων σωματιδίων. Πώς θα συμπεριλάβουμε τις αλληλεπιδράσεις; Όπως προκύπτει από την προηγούμενη συζήτηση ("απλή" και "διπλή" σκέδαση) η Θεωρία Διαταραχών θα είναι η μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε για να υπολογίσουμε πλάτη σκέδασης. Έτσι πρέπει να υπενθυμίσουμε τα κυριότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Διαταραχών.

14 Σύντομη ανασκόπηση της μη σχετικιστικής χρονικά εξαρτημένης Θεωρίας Διαταραχών Ας θεωρήσουμε ότι γνωρίζουμε τις λύσεις της εξ. Schrödger για το ελεύθερο σωματίδιο: H E () o με m d V m () όπου H είναι ανεξάρτητη του χρόνου, ενώ για απλότητα θεωρούμε το σωματίδιο σε όγκο V. Το ζητούμενο είναι να λύσουμε την εξ. Schr. για ένα σωματίδιο κινούμενο μέσα σε ένα δυναμικό αλληλεπίδρασης V,, H V, () Κάθε λύση της () μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας το πλήρες σύστημα (), ως a e E () Για να βρούμε τους άγνωστους συντελεστές (): da d a E e V a, αντικαθιστούμε την () στην E, e (5) Πολλαπλασιάζουμε την (5) επί χρησιμοποιώντας την ():, ολοκληρώνουμε πάνω στον όγκο και da a V d e d E E (6) δηλ έχουμε να λύσουμε ένα σύστημα συζευγμένων γραμμικών εξισώσεων ης τάξης.

15 το σωματίδιο βρίσκεται σε μία T ιδιοκατάσταση της αδιατάρακτης Η, δηλ σε χρόνο έχουμε τις συνοριακές συνθήκες: Ας υποθέσουμε ότι πριν τη δράση του V, a a T T (7) 5 και συνεπώς da d d V e E E (8) Υποθέτοντας ότι το V, είναι μικρό και παροδικό, μπορούμε σε πρώτη προσέγγιση να θεωρήσουμε ότι οι αρχικές συνθήκες ισχύουν για όλους τους χρόνους, a E E ' T d' d V e (9) και ιδιαίτερα μετά χρόνο τελειώσει, έχουμε: T, που υποθέτουμε ότι η αλληλεπίδραση έχει a T d d T E e V, που μπορεί να γραφτεί στη συναλλοίωτη μορφή: E e T () T d V () -διάστατο στοιχείο όγκου Αξιοσημείωτα παραδείγματα, δηλ. ανεξάρτητο του χρόνου. π.χ. : V V () T τελική κατάσταση V διαταρακτικό δυναμικόα d e E E αρχική κατάσταση V E E ()

16 6 όπου V d V () Η συνάρτηση δ εκφράζει το γεγονός ότι η ενέργεια του σωματιδίου διατηρείται κατά τη μετάβαση από. V, V e π.χ. : Το ολοκλήρωμα χρόνου του T στην (): d e E E e e E E δηλ το σύστημα απορροφά ενέργεια από το δυναμικό. V, V e π.χ. : () T d e E e E e E E δηλ το δυναμικό απορροφά ενέργεια από το σύστημα. Προφανώς μπορούμε να βελτιώσουμε την παραπάνω προσέγγιση βάζοντας το αποτέλεσμα (9) για το a στο δεξί μέρος της (6), da E E E E ' V d e Ve d Η διόρθωση στο T είναι T V V T ' () E E E E d e d' e Για λόγους συνέπειας (με την αρχή απροσδιοριστίας) πρέπει να συμπεριλάβουμε στο εκθετικό του ολοκληρώματος στο d' μια μικρή θετική ποσότητα ε που θα την αφήσουμε να τείνει στο μηδέν μετά την ολοκλήρωση. ' d' e E E ' E E e E E

17 7 Έτσι η διόρθωση ης τάξης στο T είναι: T VV E E E E V V V Διαγράμματα Feyma που παριστάνουν τους πρώτους δύο όρους στη μη σχετικιστική διαταρακτική σειρά, που συνεισφέρουν στη μετάβαση. Τελικά για κάθε κορυφή αλληλεπίδρασης έχουμε έναν παράγοντα όπως τον V και για τη διάδοση κάθε ενδιάμεσης κατάστασης έχουμε έναν διαδότη όπως τον E E. Οι ενδιάμεσες καταστάσεις χαρακτηρίζονται ως "εν δυνάμει" με την έννοια ότι η ενέργεια δεν διατηρείται E E, αλλά βέβαια υπάρχει διατήρηση της ενέργειας μεταξύ της αρχικής και τελικής κατάστασης όπως υποδεικνύεται από την E E. Στη συνέχεια θα γενικεύσουμε τα παραπάνω ώστε να μπορέσουμε να χειριστούμε τόσο σχετικιστικά σωματίδια όσο και τα αντισωματίδιά τους.

18 8 Εξισώσεις Mawell διατήρηση ρεύματος αναλλοίωτο βαθμίδας Οι εξισώσεις Mawell της Κλασσικής Ηλεκτροδυναμικής στο κενο: B E, E E B, B (α) Ισχύουν τα εξής: () Οι εξισώσεις (α) είναι ισοδύναμες με την παρακάτω συναλλοίωτη εξίσωση για το : όπου, δυναμικού (γ) είναι το -διάνυσμα ρεύματος ενώ το -διάνυσμα, σχετίζεται με το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο με τις σχέσεις E, B (ε) (β) (δ) () Εισάγοντας τον αντισυμμετρικό τανυστή έντασης πεδίου (eld sregh) F E E E E B B E B B E B B (ζ) οι εξισώσεις Mawell (α) παίρνουν τη μορφή F (η) () (θ) (v) Τα E, B είναι αναλλοίωτα κάτω από το μετασχηματισμό (βαθμίδας) ' (ι)

19 9 όπου χ αυθαίρετη συνάρτηση του. Με βάση αυτή την ελευθερία οι εξισώσεις Mawell (α) γράφονται στη μορφή με (κ) Η απαίτηση είναι γνωστή ως συνθήκη Lorez. Αλλά ακόμη και αφού επιβάλουμε αυτή τη συνθήκη έχουμε παραμένουσα ελευθερία στην επιλογή του δυναμικού Α μ, δηλ. μπορούμε ακόμη να κάνουμε το μετασχηματισμό (βαθμίδας) ' (λ) όπου το Λ είναι οποιαδήποτε συνάρτηση που ικανοποιεί τη σχέση: Λ = (μ) Η (μ) εξασφαλίζει ότι η συνθήκη Lorez συνεχίζει να ικανοποιείται. Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Σωματιδίων χωρίς σπιν Αποφεύγουμε την πολυπλοκότητα που εισάγει το σπιν των quarks και λεπτονίων. Στόχος είναι η χρήση της Θεωρίας Διαταραχών με συναλλοίωτο τρόπο. Ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο χωρίς σπιν ικανοποιεί την εξ. K-G m () Στην κλασσική Ηλεκτροδυναμική η κίνηση σωματιδίου με φορτίο e σε ένα ηλεκτρομαγνητικό δυναμικό, εξετάζεται κάνοντας την αντικατάσταση p p e () Συνεπώς η αντίστοιχη κβαντομηχανική αντικατάσταση p είναι e ()

20 οπότε η εξ. K-G γίνεται m V όπου η ηλεκτρομαγνητική διαταραχή είναι V e () e (5) (το αρνητικό πρόσημο στο δεξί μέλος της εξίσωσης () μπαίνει για συμφωνία με την εξ. Schr.) e Το V χαρακτηρίζεται από την παράμετρο e (σε φυσικές μονάδες ) 7 οπότε το μικρό μέγεθός της συνιστά ότι μπορούμε να κάνουμε διαταρακτική ανάπτυξη του V σε δυνάμεις του. Ήδη η συνεισφορά χαμηλότερης τάξης σε πλάτη σκέδασης είναι καλή προσέγγιση και θα παραλείψουμε τον όρο e (αργότερα θα δούμε πιο θεμελιώδη λόγο). Δουλεύοντας σε κατώτερη τάξη στη θεωρία διαταραχών το πλάτος T (εξ. ()) για τη σκέδαση ενός ηλεκτρονίου χωρίς σπιν από μία κατάσταση Φ σε μία Φ από ένα ηλεκτρομαγνητικό δυναμικό Α μ είναι: Φ Φ T V d = e d (6) Α μ η παράγωγος δρα και στα δύο πεδία Α μ, Φ ( 6) T όπου e d d (7) (8) d ολοκλήρωση κατά παράγοντες αμελώντας τον επιφανειακό όρο δεδομένου ότι το δυναμικό μηδενίζεται για,

21 το οποίο, σύμφωνα με την προηγούμενη συζήτηση, μπορεί να θεωρηθεί ως το ηλεκτρομαγνητικό ρεύμα για τη μετάβαση του ηλεκτρονίου από την κατάσταση στην. Αν το εισερχόμενο ηλεκτρόνιο χωρίς σπιν έχει -ορμή p, έχουμε: όπου Ν είναι η σταθερά κανονικοποίησης. p N e Χρησιμοποιώντας αντίστοιχη έκφραση και για την Φ : (9) (9) (8) p p en N p p e () Σκέδαση ηλεκτρονίου-μυονίου (χωρίς σπιν) Θα χρησιμοποιήσουμε τα αποτελέσματα της σκέδασης ηλεκτρονίου (χωρίς σπιν) από ηλεκτρομαγνητικό δυναμικό Α μ για να υπολογίσουμε τη σκέδασή του από άλλο φορτισμένο σωματίδιο. Ας μελετήσουμε τη σκέδαση ηλεκτρονίου μυονίου ώστε να αποφύγουμε ταυτοτικά σωματίδια. Το σχετικό διάγραμμα Feyma είναι: p e - p C Για τον υπολογισμό απλά πρέπει να συνδέσουμε το Α μ με την πηγή του που εδώ είναι το ρεύμα του μυονίου. Τα Α μ (), συσχετίζονται μέσω () των εξ. Mawell, γ q () () p B μ - () p D που στη βαθμίδα Lorez, () γίνονται: () ()

22 Το ()): () του μυονίου έχει βέβαια την ίδια μορφή με εκείνη του ηλεκτρονίου (εξ. όπου οι ορμές δίνονται στο σχήμα. Δεδομένου ότι η λύση της () είναι pd pb p p e ( ) enbnd D B () e q q q e (5) () με q p D pb (6) q Έτσι το πλάτος της σκέδασης ηλεκτρονίου μυονίου: ( 6) (7) () T () d (7) q (),() (7) T N NBNC ND όπου: M e p p M p p p p (8) g e p p D C D C q B (9) (άσκηση) Μ αναλλοίωτο πλάτος η δ εκφράζει τη διατήρηση ενέργειας ορμής στη διαδικασία σκέδασης. Σε αντιστοιχία με τα διαγράμματα Feyma της μη σχετικιστικής θεωρίας διαταραχών έχουμε τα συσχετισμένα με τη συναλλοίωτη μορφή της. B e - e - g q e p p C e p B p D μ - μ - Για παράδειγμα το σχήμα αναπαριστάνει τη σκέδαση ηλεκτρονίου μυονίου χωρίς σπιν σε τάξη e (ή α) και το πλάτος δίνεται από τις (8), (9). Αυτό είναι το διάγραμμα Feyma κατώτερης τάξης. Η κυματιστή γραμμή παριστάνει ένα φωτόνιο που ανταλλάσεται μεταξύ των λεπτονίων και ο g συσχετισμένος παράγοντας q

23 ονομάζεται διαδότης του φωτονίου (εμπεριέχει δείκτες Lorez λόγω σπιν). Το -διάνυσμα ορμής q του φωτονίου προσδιορίζεται από τη διατήρηση της - ορμής στις κορυφές. Παρατηρούμε ότι το q και συνεπώς ονομάζουμε το φωτόνιο εν δυνάμει (vrual) ή οη-mass shell. Με κάθε κορυφή του διαγράμματος συσχετίζουμε τους παράγοντες του σχήματος, δηλ. περιέχει την ηλεκτρομαγνητική "σταθερά" e και ένα δείκτη -διανύσματος που εξασφαλίζει τη σύνδεση με τον δείκτη του φωτονίου. Τα διάφορα "-" και έχουν μπει ώστε να δίνουν συνεπή διαγράμματα ανώτερης τάξης. Αξιοσημείωτο είναι ότι το γινόμενο των παραγόντων δίνει M. Ενεργός Διατομή και Αναλλοίωτο Πλάτος Ένα βασικό αιτούμενο της όλης διαδικασίας που αναπτύχθηκε είναι να συσχετιστούν τα θεωρητικά μοντέλα και οι υπολογιστικές τεχνικές με πειραματικά μετρήσιμες ποσότητες. Αρχίζουμε προσδιορίζοντας το Ν στη κυματοσυνάρτηση ελεύθερου σωματιδίου (Κ-G) Ne p () Υπενθυμίζουμε την αντίστοιχη πυκνότητα πιθανότητας E N. Το ότι ρ~ε εξισορροπεί τη συστολή του d ώστε να παραμένει ο αριθμός των σωματιδίων ρd αναλλοίωτος. Συνεπώς αντί να κάνουμε αναγωγή στη μονάδα: V EV κάνουμε αναγωγή σε Ε σωματίδια: dv E N dv N ώστε το Ν να μην εξαρτάται από το Ε. V dv E N () V Επίσης σημειώνουμε ότι η συνάρτηση δ στην () εξέφραζε τη διατήρηση της ενέργειας στη μεταβολή. Λόγω της αρχής της αβεβαιότητας αυτό σημαίνει ότι οι καταστάσεις και χωρίζονται από άπειρο χρόνο και η ποσότητα δεν έχει ακριβές νόημα. Έτσι είναι πιο λογικό να ορίσουμε την ποσότητα: T

24 T W lm () T T ως πιθανότητα μετάβασης στη μονάδα χρόνου, ή ρυθμό μετάβασης. Υψώνοντας στο τετράγωνο την () έχουμε: W V T lm T T T V T lm E E T d T T V E E E E E E d e () Η () παίρνει φυσικό νόημα ύστερα από ολοκλήρωση πάνω σε ένα σύνολο αρχικών και τελικών καταστάσεων. Στα στοιχειώδη σωματίδια συνήθως αρχίζουμε με προσδιορισμένη αρχική κατάσταση και τελειώνουμε με ένα σύνολο τελικών καταστάσεων. Αν E είναι η πυκνότητα των τελικών καταστάσεων τότε E de είναι ο αριθμός καταστάσεων στο ενεργειακό διάστημα Ε μέχρι Ε + de. Ολοκληρώνουμε πάνω σε αυτή την πυκνότητα επιβάλλοντας τη διατήρηση της ενέργειας: W de E V E E E V () Αυτός είναι ο χρυσός κανόνας του Ferm. Συνεπώς στη διαδικασία B C D ο ρυθμός μετάβασης στη μονάδα όγκου είναι T W, TV όπου Τ είναι το χρονικό διάστημα της αλληλεπίδρασης και το πλάτος μετάβασης είναι T N N B N C N D p p p p M C D () B Κρατάμε τη δ όπως είναι και δεν παίρνουμε ακόμη το όριο του ολοκληρώματος, ωστόσο λόγω της προηγούμενης δ παίρνουμε Ε =E.

25 5 Υψώνοντας την () στο τετράγωνο μία συνάρτηση δ παραμένει και το επί την άλλη δίνει TV (υπολογισμός ίδιος με αυτόν που οδήγησε στην ()). Με χρήση της (): W pc pd p pb M (5) Τα πειραματικά αποτελέσματα στη σκέδαση B CD συνήθως εκφράζονται στη μορφή ενεργού διατομής (ΕΔ). Η ΕΔ σχετίζεται με το ρυθμό μετάβασης με τη σχέση W αριθμός τελικών καταστάσεων αρχική ροή V (6) Για ένα σωματίδιο η κβαντική θεωρία περιορίζει τον αριθμό των τελικών Vd p καταστάσεων σε όγκο V με ορμές σε όγκο d p να είναι. (άσκηση) Αλλά εδώ έχουμε Ε σωματίδια στο όγκο V: αριθμός τελικών καταστάσεων Vd p (7) σωματίδιο E Άρα για σωματίδια C, D που σκεδάστηκαν σε στοιχεία ορμής έχουμε EC ED d pc, d pd Vd pc Vd pd αριθμός διαθέσιμων τελικών καταστάσεων (8) Την αρχική ροή είναι ευκολότερο να την υπολογίσουμε στο σύστημα εργαστηρίου. Ο αριθμός των σωματιδίων της δέσμης που διέρχονται από τη μονάδα επιφάνειας στη μονάδα χρόνου είναι: v E V σωματ. δηλ. ST σωματ. σωματ. V σωματ. ST S T V και ο αριθμός των σωματιδίων στόχων στη μονάδα όγκου είναι E B V. Για να έχουμε ένα μέτρο της εισερχόμενης πυκνότητας ανεξάρτητο της κανονικοποίησης παίρνουμε: E EB αρχική ροή v (9) V V

26 6 Συνδυάζοντας όλα αυτά βρίσκουμε τη διαφορική διατομή d σε σκέδαση με p C d p : d, D d V v E E B V M 6 () C D p p p p V C D B d p E C d p E D () Το V απαλείφεται και στο εξής κανονικοποιούμε στη μονάδα του όγκου Ν= στην (). Φυσικό νόημα ΕΔ: Η εμφάνιση του αριθμού των τελικών καταστάσεων σε συνδυασμό με τον αριθμό μετάβασης W παριστάνει τον αριθμό των σκεδαζομένων σωματιδίων s στη μονάδα χρόνου (στην (6)). Η εμφάνιση της ροής (στην (6)) εξασφαλίζει ότι ο ρυθμός μετάβασης είναι ανεξάρτητος από τον αριθμό των σωματιδίων που είναι παρόντα στη δέσμη ή στο στόχο που χρησιμοποιούνται σε κάποιο πείραμα. Ο λόγος είναι ότι επιθυμούμε η ΕΔ να παριστάνει μία εσωτερική πιθανότητα σκέδασης, δηλ. την εσωτερική ένταση της αλληλεπίδρασης B CD. Έτσι διαιρούμε (στην (6)) με τον αριθμό σωματιδίων στο στόχο και τη ροή της δέσμης b υ b που μετράει τον αριθμό των σωματιδίων της δέσμης που διαπερνούν τη μονάδα επιφάνειας κάθετης στην ταχύτητα δέσμης στη μονάδα χρόνου (υ b είναι η σχετική ταχύτητα δέσμης στόχου εάν ο στόχος δεν είναι σταθερός). Συνεπώς η (6) γράφεται συμβολικά ως: s () b όπου s ο ρυθμός μετρήσεων, b b η ροή της δέσμης, αριθμός σωματιδίων στο στόχο και σ είναι μια σταθερά που περιέχει τη Φυσική (!). Η ΕΔ σ εκφράζει πράγματι την εσωτερική πιθανότητα σκέδασης. Έχει διαστάσεις επιφάνειας (από έλεγχο διαστάσεων στην ()). Συμβολικά γράφουμε την dσ στην () ως: b M d dq () F όπου () C D d p p p p V C D B d p E C d p E D ()

27 7 είναι ο (Lorez αναλλοίωτος) παράγοντας φάσεων (οι ποσότητες d p E d pd είναι Lorez αναλλοίωτα) και F η προσπίπτουσα ροή στο σύστημα ED εργαστηρίου, C C και F v E E () B με p v. E άσκηση: Τα dq, F είναι Lorez αναλλοίωτα. Ρυθμός Διάσπασης Μ Η απόδειξη του τύπου που δίνει τους ρυθμούς διάσπασης γίνεται σε ανάλογες γραμμές. Ο διαφορικός ρυθμός για τη διάσπαση σε στοιχεία ορμής d p,..., d p των σωματιδίων της τελικής κατάστασης είναι: d d p d p M E E E p p p (5) Ο τύπος είναι της μορφής των (), (). Ε Α είναι ο αριθμός των σωματιδίων που διασπώνται στη μονάδα όγκου και M είναι το αναλλοίωτο πλάτος που έχει υπολογιστεί από το σχετικό διάγραμμα Feyma. Ο ολικός ρυθμός διάσπασης, Γ είναι το άθροισμα των επί μέρους ρυθμών για όλα τα κανάλια διάσπασης. Προφανώς ο ρυθμός είναι dn N (6) d και οδηγεί στον εκθετικό νόμο διάσπασης των σωματιδίων Α, N N e

28 8 Το Γ - λέγεται χρόνος ζωής του σωματιδίου Α. Λύσεις της εξ. Drac Εξίσωση Drac (συνέχεια) Ας δούμε την ακριβή μορφή των λύσεων ελεύθερου σωματιδίου. Σε αναλογία με τη μη σχετικιστική περίπτωση, όπου γράφουμε ένα γενικό σπίνορα για σωματίδια με σπιν με παραγοντοποιημένες λύσεις. επίπεδο κύμα, () όπου χ σπίνορας συνιστωσών, αναζητούμε λύσεις της εξ. Drac της μορφής e p, () όπου ω είναι τώρα σπίνορας συνιστωσών που πρέπει να προσδιοριστεί και p e λύση επίπεδου κύματος όπως στην περίπτωση Κ-G. Αντικαθιστούμε την () στην εξ. Drac m () χρησιμοποιώντας τις αναλυτικές εκφράσεις I, () I Για να αξιοποιήσουμε τη μορφή () των πινάκων, χωρίσουμε τον σπίνορα ω σε δύο -συνιστωσών σπίνορες και χ: mi E p που παριστάνει δύο συζευγμένες εξ. για τα, χ: (5) p mi (6) (άσκηση)

29 9 (7) E m p (8) E m p Το (6) ή (7), (8) αποτελούν ομογενές γραμμικό σύστημα εξισώσεων ως προς, χ και συνεπώς έχει μη τετριμμένες λύσεις μόνο στην περίπτωση μηδενικής ορίζουσας των συντελεστών: Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι E m I p p E m I p p I (9) () (που προκύπτει άμεσα από την ταυτότητα: a b a bi a b E p m p (άσκηση)) () δηλ. έχει λύσεις θετικής και αρνητικής ενέργειας, όπως ήδη γνωρίζουμε. Ας θεωρήσουμε πρώτα το σωματίδιο σε ηρεμία, δηλ. p. Τότε η (6) γίνεται: mi E mi () που έχει ιδιοτιμές: Ε=m, m, -m, -m () και ιδιοδιανύσματα: () Προφανώς οι δύο πρώτες λύσεις αντιστοιχούν σε Ε> άρα σύμφωνα με προηγούμενη συζήτηση περιγράφουν ένα σωματίδιο με Ε> (ηλεκτρόνιο με φορτίο e). Οι άλλες δύο λύσεις με Ε< ερμηνεύεται ότι περιγράφουν ένα αντισωματίδιο με Ε> (ποζιτρόνιο με φορτίο +e). Για p έχουμε να λύσουμε τη γενική εξ. (6), που χωρίζεται στις (7) και (8).

30

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Νόμοι Διατήρησης κβαντικών αριθμών Αρχές Αναλλοίωτου Συμμετρία ή αναλλοίωτο των εξισώσεων που περιγράφουν σύστημα σωματιδίων κάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 10η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 10η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Στοιχειώδη Σωματίδια Διάλεξη 10η Πετρίδου Χαρά Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Σωμάτια & Αντισωμάτια Κουάρκ & Λεπτόνια Αδρόνια & Διατήρηση κβαντικών αριθμών 16/12/2011 Πετρίδου Χαρά Στοιχειώδη Σωμάτια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας 7 Οκτωβρίου 2014 (περίοδος Σεπτεμβρίου 2013-14)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας 7 Οκτωβρίου 2014 (περίοδος Σεπτεμβρίου 2013-14) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας 7 Οκτωβρίου 2014 περίοδος Σεπτεμβρίου 2013-14 Αν θέλετε μπορείτε να επεξεργαστείτε όλα τα προβλήματα σε σύστημα μονάδων όπου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πυρηνική Φυσική και τα Στοιχειώδη Σωµάτια

Εισαγωγή στην Πυρηνική Φυσική και τα Στοιχειώδη Σωµάτια στην Πυρηνική Φυσική και τα Στοιχειώδη Σωµάτια Περιεχόµενα Διαγράµµατα Feynman Δυνητικά σωµάτια Οι τρείς αλληλεπιδράσεις Ηλεκτροµαγνητισµός Ισχυρή Ασθενής Περίληψη Κ. Παπανικόλας, Ε. Στυλιάρης, Π. Σφήκας

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Συζευγμένα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία τα οποία κινούνται με την ταχύτητα του φωτός και παρουσιάζουν τυπική κυματική συμπεριφορά Αν τα φορτία ταλαντώνονται περιοδικά οι διαταραχές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα 1ο Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Σύµφωνα

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική - 2012: Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 11/05/15

Σύγχρονη Φυσική - 2012: Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 11/05/15 Διάλεξη 14: Μεσόνια και αντισωματίδια Μεσόνια Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως (διάλεξη 13) η έννοια των στοιχειωδών σωματίων άλλαξε πολλές φορές μέχρι σήμερα. Μέχρι το 1934 ο κόσμος των στοιχειωδών σωματιδίων

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Έργο ηλεκτροστατικής δύναμης W F Δl W N i i1 F Δl i Η μετατόπιση Δl περιγράφεται από ένα διάνυσμα που

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.

Διαβάστε περισσότερα

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης Μοριακή Φασματοσκοπία I Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης 2 Τι μελετά η μοριακή φασματοσκοπία; Η μοριακή φασματοσκοπία μελετά την αλληλεπίδραση των μορίων με την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Από τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση vrsy of Io Dr of Mrls Scc & grg Couol Mrls Scc κή Θεωρία της Ύλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 76 ldor@cc.uo.gr csl.rls.uo.gr/ldor σταση Μία ιάσ ανική σε Μ κή Θεωρ ρία της Ύλης: Κβα αντομηχα Κβαντομηχανική

Διαβάστε περισσότερα

Μοναδιαίοι Τελεστές Μοναδιαίοι Μετασχηματισμοί Εικόνες Χρονικής Εξέλιξης

Μοναδιαίοι Τελεστές Μοναδιαίοι Μετασχηματισμοί Εικόνες Χρονικής Εξέλιξης Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Τομέας Θεωρητικής Φυσικής Μοναδιαίοι Τελεστές Μοναδιαίοι Μετασχηματισμοί Εικόνες Χρονικής Εξέλιξης Στη Φυσική ενδιαφερόμαστε για την δυναμική εξέλιξη των διαφόρων συστημάτων. Καίριο

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο. Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 2014

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο. Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 214 Ασκηση συνολικό φορτίο λεκτρικό φορτίο Q είναι κατανεμημένο σε σφαιρικό όγκο ακτίνας R με πυκνότητα ορτίου ανάλογη του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΘΕΡΙΝΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 10/11/2013

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΘΕΡΙΝΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 10/11/2013 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΘΕΡΙΝΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 10/11/2013 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz 1 Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz Σκοποί της τέταρτης διάλεξης: 25.10.2011 Να κατανοηθούν οι αρχές με τις οποίες ο Albert Einstein θεμελίωσε την ειδική θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Ανακλώμενο ηλεκτρόνιο KE = E γ - E γ = E mc 2

Ανακλώμενο ηλεκτρόνιο KE = E γ - E γ = E mc 2 Σκέδαση Compton Το φαινόμενο Compton περιγράφει τη σκέδαση ενός φωτονίου από ένα ελεύθερο ατομικό ηλεκτρόνιο: γ + γ +. To φωτόνιο δεν εξαφανίζεται μετά τη σκέδαση αλλά αλλάζει κατεύθυνση και ενέργεια.

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική µηχανική. Τύχη ή αναγκαιότητα. Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης

Κβαντική µηχανική. Τύχη ή αναγκαιότητα. Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης Κβαντική µηχανική Τύχη ή αναγκαιότητα Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης Ηφυσικήστόγύρισµα του αιώνα «Όλοι οι θεµελιώδεις νόµοι και δεδοµένα της φυσικής επιστήµης έχουν ήδη ανακαλυφθεί και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005 ΑΤΜΟΦ Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 4 ης Ιουνιου 005. Ερωτηση που αφορα στις ασκησεις του εργαστηριου. Α) Με βάση τη σχέση που συνδέει τις αποστάσεις α και b με την εστιακή απόσταση του σφαιρικού

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος Άνοιξη 2008 Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ηλεκτρικό ρεύμα Το ρεύμα είναι αποτέλεσμα της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΥΝΑΜΙΚΗΣ Έλλειµµα µάζας και ενέργεια σύνδεσης του πυρήνα του ατόµου A

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΥΝΑΜΙΚΗΣ Έλλειµµα µάζας και ενέργεια σύνδεσης του πυρήνα του ατόµου A ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΥΝΑΜΙΚΗΣ Έλλειµµα µάζας και ενέργεια σύνδεσης του πυρήνα του ατόµου A Ένα ισότοπο, το οποίο συµβολίζουµε µε Z X, έχει ατοµικό αριθµό Ζ και µαζικό αριθµό Α. Ο πυρήνας του ισοτόπου

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Μαγνητικό πεδίο Νίκος Ν. Αρπατζάνης ύναµη σε ρευµατοφόρους αγωγούς (β) Ο αγωγός δεν διαρρέεται από ρεύμα, οπότε δεν ασκείται δύναμη σε αυτόν. Έτσι παραμένει κατακόρυφος. (γ) Το µαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

Πυρηνική δύναμη Μεσόνια και θεωρία Yukawa Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

Πυρηνική δύναμη Μεσόνια και θεωρία Yukawa Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Hideki Yukawa and the Nuclear Force Πυρηνική δύναμη Μεσόνια και θεωρία Yukawa Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής πυρηνική δύναμη Η πυρηνική δύναμη (ή αλληλεπίδραση νουκλεονίουνουκλεονίου, ή NN forces,

Διαβάστε περισσότερα

Λ p + π + + Όλα τα κουάρκ και όλα τα λεπτόνια έχουν ασθενείς αλληλεπιδράσεις Τα νετρίνα έχουν ΜΟΝΟ ασθενείς αλληλεπιδράσεις

Λ p + π + + Όλα τα κουάρκ και όλα τα λεπτόνια έχουν ασθενείς αλληλεπιδράσεις Τα νετρίνα έχουν ΜΟΝΟ ασθενείς αλληλεπιδράσεις Ασθενείς Αλληλεπιδράσεις έχουμε ήδη δει διάφορες αντιδράσεις που γίνονται μέσω των ασθενών αλληλεπιδράσεων π.χ. ασθενείς διασπάσεις αδρονίων + + 0 K ππ Λ pπ n pe ν π e μ v + + μ ασθενείς διασπάσεις λεπτονίων

Διαβάστε περισσότερα

Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική

Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Τομέας Θεωρητικής Φυσική Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική Το ζήτημα των τανυστών είναι πολύ σημαντικό τόσο για την Κβαντομηχανική, όσο και για τη Σχετικότητα. Οι δύο

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23)

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23) ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23) Υπενθύμιση/Εισαγωγή: Λέμε ότι ένα πεδίο δυνάμεων είναι συντηρητικό (ή διατηρητικό) όταν το έργο που παράγεται από το πεδίο δυνάμεων κατά τη μετατόπιση ενός σώματος από μία

Διαβάστε περισσότερα

Υλικά κύματα. Οδηγούντα κύματα de Broglie. Τα όρια της θεωρίας Bohr. h pc p

Υλικά κύματα. Οδηγούντα κύματα de Broglie. Τα όρια της θεωρίας Bohr. h pc p University of Ioannina Deartment of Materials Science & Engineering Comutational Materials Science τική Θεωρία της Ύλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π1, 7146, elidorik@cc.uoi.gr cmsl.materials.uoi.gr/elidorik

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Φυσικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Φυσικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Φυσικών της Ώθησης ΘΕΜΑ A ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Παρασκευή, 0 Μαΐου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ Στις ερωτήσεις Α -Α να γράψετε στο τετράδιό σας τον

Διαβάστε περισσότερα

Ακτίνες επιτρεπόμενων τροχιών (2.6)

Ακτίνες επιτρεπόμενων τροχιών (2.6) Αντικαθιστώντας το r με r n, έχουμε: Ακτίνες επιτρεπόμενων τροχιών (2.6) Αντικαθιστώντας n=1, βρίσκουμε την τροχιά με τη μικρότερη ακτίνα n: Αντικαθιστώντας την τελευταία εξίσωση στη 2.6, παίρνουμε: Αν

Διαβάστε περισσότερα

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός Γεωμετρική Οπτική Φύση του φωτός Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: ΚΥΜΑΤΙΚΗ Βασική ιδέα Το φως είναι μια Η/Μ διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο Βασική Εξίσωση Φαινόμενα που εξηγεί καλύτερα (κύμα) μήκος

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και, δίπλα, το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή φράση η οποία συμπληρώνει σωστά την ημιτελή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Δεύτερη Φάση) Κυριακή, 13 Απριλίου 2014 Ώρα: 10:00-13:00 Οδηγίες: Το δοκίμιο αποτελείται από έξι (6) σελίδες και έξι (6) θέματα. Να απαντήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ακτίνες Χ (Roentgen) Κ.-Α. Θ. Θωμά

Ακτίνες Χ (Roentgen) Κ.-Α. Θ. Θωμά Ακτίνες Χ (Roentgen) Είναι ηλεκτρομαγνητικά κύματα με μήκος κύματος μεταξύ 10 nm και 0.01 nm, δηλαδή περίπου 10 4 φορές μικρότερο από το μήκος κύματος της ορατής ακτινοβολίας. ( Φάσμα ηλεκτρομαγνητικής

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας.

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ο πυκνωτής Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. Η απλούστερη μορφή πυκνωτή είναι ο επίπεδος πυκνωτής, ο οποίος

Διαβάστε περισσότερα

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει:

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ Ηλεκτρικό φορτίο Ηλεκτρικό πεδίο 1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 10 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: (α)

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΟΥ ΣΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

2.1 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΟΥ ΣΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ 2-1 Ένας φύλακας του ατομικού ρολογιού καισίου στο Γραφείο Μέτρων και Σταθμών της Ουάσιγκτον. 2-2 Άτομα στην επιφάνεια μιας μύτης βελόνας όπως φαίνονται μεηλεκτρονικόμικροσκό 2.1 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

δ. εξαρτάται µόνο από το υλικό του οπτικού µέσου. Μονάδες 4

δ. εξαρτάται µόνο από το υλικό του οπτικού µέσου. Μονάδες 4 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 7 ΙΟΥΛΙΟΥ 2003 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1-5 να

Διαβάστε περισσότερα

Α1. Πράσινο και κίτρινο φως προσπίπτουν ταυτόχρονα και µε την ίδια γωνία πρόσπτωσης σε γυάλινο πρίσµα. Ποιά από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστή:

Α1. Πράσινο και κίτρινο φως προσπίπτουν ταυτόχρονα και µε την ίδια γωνία πρόσπτωσης σε γυάλινο πρίσµα. Ποιά από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστή: 54 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Φιλολάου & Εκφαντίδου 26 : Τηλ.: 2107601470 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΘΕΜΑ Α Α1. Πράσινο και κίτρινο φως

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Ο κυματοσωματιδιακός δυισμός της ύλης

Κεφάλαιο 2. Ο κυματοσωματιδιακός δυισμός της ύλης ΤΕΤΥ Σύγχρονη Φυσική Κεφ. 2-1 Κεφάλαιο 2. Ο κυματοσωματιδιακός δυισμός της ύλης Εδάφια: 2.a. Η σύσταση των ατόμων 2.b. Ατομικά φάσματα 2.c. Η Θεωρία του Bohr 2.d. Η κυματική συμπεριφορά των σωμάτων: Υλικά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗ ΓΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Μοντέλο ατόμου m p m n =1,7x10-27 Kg m e =9,1x10-31 Kg Πυρήνας: πρωτόνια (p + ) και νετρόνια (n) Γύρω από τον πυρήνα νέφος ηλεκτρονίων (e -

Διαβάστε περισσότερα

Πυρηνικές Δυνάμεις. Διάλεξη 4η Πετρίδου Χαρά

Πυρηνικές Δυνάμεις. Διάλεξη 4η Πετρίδου Χαρά Πυρηνικές Δυνάμεις Διάλεξη 4η Πετρίδου Χαρά Η Ύλη στο βιβλίο: Cottingham & Greenwood 2 Κεφάλαιο 5: Ιδιότητες των Πυρήνων 5.5: Μαγνητική Διπολική Ροπή του Πυρήνα 5.7: Ηλεκτρική Τετραπολική του Πυρήνα 5.1:

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Φυσική. Κβαντική Θεωρία. Ατομική Φυσική. Μοριακή Φυσική. Πυρηνική Φυσική. Φασματοσκοπία

Μοντέρνα Φυσική. Κβαντική Θεωρία. Ατομική Φυσική. Μοριακή Φυσική. Πυρηνική Φυσική. Φασματοσκοπία Μοντέρνα Φυσική Κβαντική Θεωρία Ατομική Φυσική Μοριακή Φυσική Πυρηνική Φυσική Φασματοσκοπία ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Α) Η επιφάνεια Gauss έχει ακτίνα r μεγαλύτερη ή ίση της ακτίνας του κελύφους, r α.

Α) Η επιφάνεια Gauss έχει ακτίνα r μεγαλύτερη ή ίση της ακτίνας του κελύφους, r α. 1. Ένα σφαιρικό κέλυφος που θεωρούμε ότι έχει αμελητέο πάχος έχει ακτίνα α και φέρει φορτίο Q, ομοιόμορφα κατανεμημένο στην επιφάνειά του. Βρείτε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο εξωτερικό και στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ H.D. H.D. Young Πανεπιστημιακή Φυσική Εκδόσεις Παπαζήση Alonso Alonso / Finn Θεμελιώδης Πανεπιστημιακή Φυσική Α. Φίλιππας, Λ. Ρεσβάνης (Μετ.) R. A. Seway Φυσική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Φυσική των Laser ΔΙΑΔΟΣΗ ΗΜ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΑ ΜΕΣΑ. Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Φυσική των Laser ΔΙΑΔΟΣΗ ΗΜ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΑ ΜΕΣΑ. Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Φυσική των Laser ΔΙΑΔΟΣΗ ΗΜ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΑ ΜΕΣΑ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Το φως διαδίδεται σε όλα τα οπτικά υλικά μέσα με ταχύτητα περίπου 3x10 8 m/s.

Το φως διαδίδεται σε όλα τα οπτικά υλικά μέσα με ταχύτητα περίπου 3x10 8 m/s. Κεφάλαιο 1 Το Φως Το φως διαδίδεται σε όλα τα οπτικά υλικά μέσα με ταχύτητα περίπου 3x10 8 m/s. Το φως διαδίδεται στο κενό με ταχύτητα περίπου 3x10 8 m/s. 3 Η ταχύτητα του φωτός μικραίνει, όταν το φως

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΟΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 3 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Α. Στις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Ομάδα Φυσικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Ομάδα Φυσικών της Ώθησης ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Ομάδα Φυσικών της Ώθησης 1 Τετάρτη, 20 Μα ου 2015 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ Στις ημιτελείς προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση:

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει το ατοµικό πρότυπο του Bohr καθώς και τα µειονεκτήµατά του. Να υπολογίζει την ενέργεια που εκπέµπεται ή απορροφάται

Διαβάστε περισσότερα

Q=Ne. Συνοπτική Θεωρία Φυσικής Γ Γυμνασίου. Q ολ(πριν) = Q ολ(μετά) Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.

Q=Ne. Συνοπτική Θεωρία Φυσικής Γ Γυμνασίου. Q ολ(πριν) = Q ολ(μετά) Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno. Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Φυσικής Γ Γυμνασίου Κβάντωση ηλεκτρικού φορτίου ( q ) Q=Ne Ολικό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Οι εφαρμογές της διαστατικής ανάλυσης είναι:

ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Οι εφαρμογές της διαστατικής ανάλυσης είναι: ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Χρήσεις της διαστατικής ανάλυσης Η διαστατική ανάλυση είναι μία τεχνική που κάνει χρήση της μελέτης των διαστάσεων για τη λύση των προβλημάτων της Ρευστομηχανικής. Οι εφαρμογές της διαστατικής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μην ξεχνάµε την διαπεραστική µατιά του Λυγκέα.

Μην ξεχνάµε την διαπεραστική µατιά του Λυγκέα. Η φύση του φωτός Το ρήµα οράω ορώ ( βλέπω ) είναι ενεργητικής φωνής. Η όραση θεωρείτο ενεργητική λειτουργία. Το µάτι δηλαδή εκπέµπει φωτεινές ακτίνες( ρίχνει µια µατιά ) οι οποίες σαρώνουν τα αντικείµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΟΜΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ. Θέμα Δ

ΑΤΟΜΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ. Θέμα Δ ΑΤΟΜΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ Θέμα Δ 4_2149 Άτομο υδρογόνου βρίσκεται σε κατάσταση όπου η στροφορμή του είναι ίση με 3,15 10-34 J s. Δ1) Σε ποια στάθμη βρίσκεται το ηλεκτρόνιο; Δ2) Αν το άτομο έφθασε στην προηγούμενη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας και Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Μάθημα Μετεωρολογίας-Κλιματολογίας Υπεύθυνη : Δρ Μάρθα Λαζαρίδου Αθανασιάδου

ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας και Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Μάθημα Μετεωρολογίας-Κλιματολογίας Υπεύθυνη : Δρ Μάρθα Λαζαρίδου Αθανασιάδου 2. ΗΛΙΑΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας και Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Μάθημα Μετεωρολογίας-Κλιματολογίας Υπεύθυνη : Δρ Μάρθα Λαζαρίδου Αθανασιάδου ΗΛΙΑΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ Με τον όρο ακτινοβολία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α-Α να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή φράση, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΜΙΚΡΟΚΥΜΑΤΑ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΜΙΚΡΟΚΥΜΑΤΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΜΙΚΡΟΚΥΜΑΤΑ.. Α.Μ.. ΛΑΜΙΑ 2015 Παράδοση και προφορική εξέταση της εργασίας Για να ληφθεί

Διαβάστε περισσότερα

Κύμα ονομάζουμε τη διάδοση μιας διαταραχής από σημείο σε σημείο του χώρου με ορισμένη ταχύτητα.

Κύμα ονομάζουμε τη διάδοση μιας διαταραχής από σημείο σε σημείο του χώρου με ορισμένη ταχύτητα. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ Τι ονομάζουμε κύμα; Κύμα ονομάζουμε τη διάδοση μιας διαταραχής από σημείο σε σημείο του χώρου με ορισμένη ταχύτητα. Η διαταραχή μπορεί να είναι α. Η ταάντωση των μορίων του

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 5 ΦΩΤΟΒΟΛΤΑΪΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ

Άσκηση 5 ΦΩΤΟΒΟΛΤΑΪΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ Άσκηση 5 ΦΩΤΟΒΟΛΤΑΪΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ 1. ΓΕΝΙΚΑ Τα ηλιακά στοιχεία χρησιμοποιούνται για τη μετατροπή του φωτός (που αποτελεί μία μορφή ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας) σε ηλεκτρική ενέργεια. Κατασκευάζονται από

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας Γιώργος Νικολιδάκης 9/18/2013 1 Κωνικές Τομές Είναι καμπύλες που σχηματίζονται καθώς επίπεδα τέμνουν με διάφορες γωνίες επιφάνειες κώνων. Παραβολή Έλλειψη -κύκλος Υπερβολή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Ι 10. Η μέθοδος των ειδώλων

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Ι 10. Η μέθοδος των ειδώλων ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Ι. Η μέθοδος των ειδώλων Περιγραφή της μεθόδου Σημειακό φορτίο και αγώγιμο επίπεδο Φορτίο μεταξύ δύο αγωγίμων ημιεπιπέδων Σημειακό φορτίο έξω από γειωμένη σφαίρα Σημειακό φορτίο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Ολοκληρώσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων ΠεριεχόµεναΚεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά Κυµατικής Είδη κυµάτων: ιαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της ιάδοσης κυµάτων ΗΕξίσωσητουΚύµατος Κανόνας

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Γ Λυκείου Κατεύθυνσης. Προτεινόμενα Θέματα

Φυσική Γ Λυκείου Κατεύθυνσης. Προτεινόμενα Θέματα Φυσική Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Προτεινόμενα Θέματα Θέμα ο Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α. Η φάση της ταλάντωσης μεταβάλλεται με το χρόνο όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα : φ(rad) 2π π 6

Διαβάστε περισσότερα

1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΚΑΙ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑΣ Στοιχειώδη σωµατίδια 1) Τι ονοµάζουµε στοιχειώδη σωµατίδια και τι στοιχειώδη σωµάτια; Η συνήθης ύλη, ήταν γνωστό µέχρι το 1932 ότι αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Η ηλεκτρική μηχανή είναι μια διάταξη μετατροπής μηχανικής ενέργειας σε ηλεκτρική και αντίστροφα. απώλειες Μηχανική ενέργεια Γεννήτρια Κινητήρας Ηλεκτρική ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής REF: Σ. Δεδούσης, Μ.Ζαμάνη, Δ.Σαμψωνίδης Σημειώσεις Πυρηνικής Φυσικής Πυρηνικά μοντέλα Βασικός σκοπός της Πυρηνικής Φυσικής είναι η περιγραφή των

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ. Εργαστήριο Φυσικής IΙ. Μελέτη της απόδοσης φωτοβολταϊκού στοιχείου με χρήση υπολογιστή. 1. Σκοπός. 2. Σύντομο θεωρητικό μέρος

ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ. Εργαστήριο Φυσικής IΙ. Μελέτη της απόδοσης φωτοβολταϊκού στοιχείου με χρήση υπολογιστή. 1. Σκοπός. 2. Σύντομο θεωρητικό μέρος ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ 1. Σκοπός Το φωτοβολταϊκό στοιχείο είναι μία διάταξη ημιαγωγών η οποία μετατρέπει την φωτεινή ενέργεια που προσπίπτει σε αυτήν σε ηλεκτρική.. Όταν αυτή φωτιστεί με φωτόνια κατάλληλης συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Σταματόπουλος «Αρχές Διατήρησης» vs «Νόμοι του Νεύτωνα»

Νίκος Σταματόπουλος «Αρχές Διατήρησης» vs «Νόμοι του Νεύτωνα» «Αρχές Διατήρησης» vs «Νόμοι του Νεύτωνα» Ερώτημα 1 ο : Ποιες από αυτές τις «αρχές» είναι όντως αρχές και ποιες δεν είναι; Ερώτημα 2 ο : Ποιο έχει μεγαλύτερη ισχύ; η «αρχή» ή ο «νόμος»; Ερώτημα 3 ο : Ποιο

Διαβάστε περισσότερα

γ ρ α π τ ή ε ξ έ τ α σ η σ τ ο μ ά θ η μ α Φ Υ Σ Ι Κ Η Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ B Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

γ ρ α π τ ή ε ξ έ τ α σ η σ τ ο μ ά θ η μ α Φ Υ Σ Ι Κ Η Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ B Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ η εξεταστική περίοδος από 9//5 έως 9//5 γ ρ α π τ ή ε ξ έ τ α σ η σ τ ο μ ά θ η μ α Φ Υ Σ Ι Κ Η Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ B Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Τάξη: Β Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ονοματεπώνυμο: Καθηγητής: Θ

Διαβάστε περισσότερα