Μη Σχετικιστική Κβαντομηχανική

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μη Σχετικιστική Κβαντομηχανική"

Transcript

1 Μη Σχετικιστική Κβαντομηχανική Υπενθυμίζουμε τη συνταγή που θέτει την εξίσωση Schrödger σε αντιστοιχία με τη μη-σχετικιστική σχέση ενέργειας-ορμής: p E () m μέσω της αντικατάστασης των E, p με διαφορικούς τελεστές: E, p () Η εξίσωση τελεστών που προκύπτει εννοείται ότι δρα πάνω στη (μιγαδική) κυματοσυνάρτηση,. Δηλαδή (με ): όπου ερμηνεύουμε την ποσότητα m () ως την πυκνότητα πιθανότητας ( d - πιθανότητα να βρούμε το σωματίδιο σε στοιχείο όγκου d ). Συχνά μελετάμε κινούμενα σωματίδια, π.χ. στη σύγκρουση σωματιδίων. Έτσι χρειάζεται να είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε την πυκνότητα ροής "ρεύμα πιθανότητας " μιας δέσμης σωματιδίων. Από τη διατήρηση της πιθανότητας, ο ρυθμός ελάττωσης του αριθμού των σωματιδίων σε δεδομένο όγκο ισούται με την ολική ροή σωματιδίων που βγαίνουν από αυτόν τον όγκο, δηλ. V dv S ds dv όπου είναι μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο στοιχείο ds της επιφάνειας. Η δεύτερη ισότητα προκύπτει από το Θεώρημα Gauss. Έτσι οι πυκνότητες πιθανότητας και ροής συνδέονται με την εξίσωση συνέχειας: () όπου το ρεύμα πιθανότητας είναι:

2 m (5) (άσκηση) Για παράδειγμα μία λύση της () pe Ne (6) που περιγράφει ένα ελεύθερο σωματίδιο με ενέργεια E και ορμή p, έχει N, N m p (7) Συναλλοίωτο Lorez, -διανύσματα Ένας ακρογωνιαίος λίθος της σύγχρονης Φυσικής είναι ότι οι Θεμελιώδεις Νόμοι έχουν την ίδια μορφή σε όλα τα συστήματα Lorez, δηλ. σε συστήματα αναφοράς που έχουν μία ομοιόμορφη σχετική ταχύτητα. Οι βασικές εξισώσεις λέγεται ότι είναι Lorez συναλλοίωτες. Θυμίζουμε ότι η Ειδική Σχετικότητα βασίζεται στην υπόθεση ότι η ταχύτητα του φωτός, c, είναι ίδια σε όλα τα συστήματα Lorez. Ένας μετασχηματισμός Lorez σχετίζει τις συντεταγμένες δύο τέτοιων συστημάτων αναφοράς. Το βασικό αναλλοίωτο σε μετασχηματισμούς Lorez είναι η σχέση c. (Ας ορίσουμε c, c ) Γενικός μετασχηματισμός Lorez :, μ =,,, '

3 π.χ. : Οι συνήθεις στροφές στο χώρο R, R γενικός ορθογώνιος πίνακας R R. π.χ. ': Στροφή στο επίπεδο : cos s s cos. π.χ. : Μετασχηματισμός σε νέο σύστημα που κινείται με ταχύτητα υ (boos = ώθηση) π.χ. ': Για μετασχηματισμό Lorez, όπου το νέο σύστημα κινείται με ταχύτητα υ κατά μήκος του άξονα : cosh sh sh cosh όπου c (c=), cosh, ah, επειδή cosh cos, sh s είναι ανάλογοι στροφής κατά μιγαδική γωνία ω. Κάθε σύνολο τεσσάρων ποσοτήτων που μετασχηματίζονται όπως τα μ κάτω από μετασχηματισμούς Lorez λέγεται -διάνυσμα. Εσωτερικά γινόμενα και ο μετρικός τανυστής Για δύο -διανύσματα,, B B B, ορίζεται το εσωτερικό γινόμενο B B B το οποίο παραμένει αναλλοίωτο κάτω από μετασχηματισμούς Lorez. Λόγω του αρνητικού πρόσημου, είναι χρήσιμο να εισάγουμε ένα νέο είδος - διανύσματος, που συνδέεται με το μέσω του μετρικού τανυστή g g ως εξής: g Οπότε το εσωτερικό γινόμενο γράφεται:

4 B B g B g B B g B Εννοείται άθροιση πάνω σε επαναλαμβανόμενους δείκτες. π.χ. : Σύμφωνα με την Ειδική Σχετικότητα, η ολική ενέργεια Ε και η ορμή p ενός απομονωμένου συστήματος μετασχηματίζονται ως συνιστώσες ενός - E διανύσματος p, p p, p, p, p. (c=) c π.χ. : Το εσωτερικό γινόμενο αναλλοίωτο. p p p p p E p είναι Το απλούστερο σύστημα είναι ένα ελεύθερο σωματίδιο για το οποίο ισχύει E c p m c όπου m είναι η μάζα ηρεμίας του σωματιδίου. π.χ. : π.χ. : p p E p αναλλοίωτη,,, (άσκηση) : D' lembera αναλλοίωτος τελεστής π.χ. 5: Η συναλλοίωτη μορφή των E, p είναι η p.

5 5 Εξίσωση Kle-Gordo Η εξ. Schr () παραβιάζει το συναλλοίωτο Lorez και έτσι δεν είναι κατάλληλη για σχετικιστικό σωματίδιο. Θα επαναλάβουμε τα ίδια βήματα όπως στη μη σχετικιστική Κβαντομηχανική αλλά αρχίζοντας από τη σχετικιστική σχέση ενέργειας ορμής: E p m () Κάνοντας τις αντικαταστάσεις τελεστών: m K-G () ή ( + m ) () Πολλαπλασιάζοντας την K-G επί και τη συζυγή της επί και αφαιρώντας: () (άσκηση), (5) ή οπότε ( ) (6) Για παράδειγμα για ελεύθερο σωματίδιο με ενέργεια Ε και ορμή p που περιγράφεται από τη λύση Κ-G 7) ( p pe Ne (7) E N E N (8) N p N (9) ή ( 7) p Ne () και 8), 9 ( Αλλά αντικαθιστώντας την () στην () έχουμε: p N () E p m ()

6 6 που είναι εξαιρετικά δυσάρεστο γιατί δείχνει ότι είναι δυνατόν να γίνουν μεταπτώσεις σε όλο και χαμηλότερες (αρνητικές) ενέργειες. Ένα δεύτερο πρόβλημα είναι ότι οι λύσεις με Ε< είναι συσχετισμένες (μέσω της (8)) με αρνητική πυκνότητα πιθανότητας. Άρα οι δυσκολίες είναι λύσεις με Ε< και ρ<!!! Εξίσωση Drac Στην περίπτωση της εξ. Κ-G είναι σαφές από προήλθε το πρόβλημα. (α) Κατασκευάζοντας μία κυματική εξίσωση που αντιστοιχεί στη σχέση E p m αμέσως επιτρέπουμε λύσεις με αρνητική ενέργεια. (β) Η εξ. Κ-G έχει έναν όρο συνέχειας με πυκνότητα πιθανότητας που περιέχει αρνητικές πιθανότητες για Ε<. με συνέπεια να οδηγηθούμε σε εξίσωση και επομένως σε Ο Drac προκειμένου να πάρει ρ απαίτησε μία εξίσωση γραμμική στο για να είναι συναλλοίωτη, γραμμική και στο. και, Συνεπώς απαίτησε την εξής γενική μορφή: () όπου η φύση των συντελεστών γ μ και της σταθεράς α πρέπει να προσδιοριστούν. Βέβαια, σύμφωνα με την Ειδική Σχετικότητα ισχύει η E p m για ελεύθερο σχετικιστικό σωματίδιο (ηλεκτρόνιο). Οπότε ο Drac απαίτησε συγχρόνως η ψ να ικανοποιεί την εξ. Κ-G. Προφανώς ανοίξαμε πάλι την πόρτα στις λύσεις με Ε<. Η επιτυχία του Drac ήταν να μετατρέψει αυτό το προφανές πρόβλημα σε έναν από τους μεγαλύτερους θριάμβους της Θεωρητικής Φυσικής! Την απλή σχέση μεταξύ δύο μιγαδικών αριθμών u και v u v ( u v)( u v) ()

7 7 την χρησιμοποιούμε για να γραμμικοποιήσουμε την εξ. Κ-G. Δοκιμάζουμε m m (5) Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς χρησιμοποιώντας τη μεταθετικότητα των, αλλά σεβόμαστε τη σειρά των συντελεστών γμ, γ ν (ώστε να μην αποκλείσουμε την πιθανότητα να είναι πίνακες) (άσκηση) m (6) Η (6) είναι ίδια με την K-G αν επιμείνουμε να ισχύει:, g (μ, ν =,,, ) (7) Πώς μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι οι (7) ισχύουν; Δοκιμάζουμε () μιγαδικούς αριθμούς () πίνακες και καταλήγουμε ότι δεν μπορούν να ικανοποιήσουν τις (7). Αλλά η επόμενη δυνατότητα, όπως έδειξε ο Drac, δηλ να είναι πίνακες, δουλεύει! Μία δόκιμη επιλογή των πινάκων Drac είναι η εξής, ( =,, ) (8) όπου κάθε όρος είναι πίνακες. Σημειώνουμε ότι ο γ είναι Ερμιτιανός πίνακας ( οι γ αντι-ερμιτιανοί ( και I ). (άσκηση) ) ενώ και I Η επιλογή των πινάκων Drac δεν είναι μοναδική. Παίρνουμε ισοδύναμες αναπαραστάσεις των πινάκων Drac αν μετασχηματίσουμε τα γ μ με έναν αυθαίρετο (μη αποκλίνοντα) πίνακα S. S S (9) Τελικά η εξίσωση που έθεσε ως αξίωμα ο Drac (98) ήταν

8 m () όπου () δηλ. ένα πεδίο με συνιστώσες γνωστό ως σπίνορας Drac. Μία ισοδύναμη μορφή, επίσης γνωστή, προκύπτει πολλαπλασιάζοντας την () επί γ : m () Στην αναπαράσταση (8) που διαλέξαμε τα και β είναι Ερμιτιανοί πίνακες, () Διατηρούμενα ρεύματα Για να κατασκευάσουμε τα ρεύματα προχωράμε όπως στην εξ. Κ-G, εκτός του ότι επειδή τώρα έχουμε εξίσωση πινάκων, πρέπει να θεωρήσουμε την Ερμιτιανή, αντί της μιγαδικής, συζυγή εξίσωση. Η Ερμιτιανή συζυγής της εξ. Drac m, =,, είναι η: m () 8

9 Για να έχουμε συναλλοίωτη μορφή πρέπει να φύγει το στο και να μείνει στον πρώτο όρο. Επειδή αυτό γίνεται πολλαπλασιάζοντας την () από δεξιά επί γ. Εισάγοντας τον ado (γραμμή) σπίνορα (5) παίρνουμε την () στη μορφή m (6) Τώρα μπορούμε να πάρουμε την εξίσωση συνέχειας πολλαπλασιάζοντας την εξ. Drac () από αριστερά επί και την (6) από δεξιά επί ψ και τις προσθέτουμε. (7) με, (άσκηση) Ιδιαίτερα η πυκνότητα πιθανότητας: θετικά ορισμένο! Μη αναμενόμενο δώρο ότι η εξ. Drac περιγράφει σωματίδια με σπιν ½!!! Η ιστορία μας μέχρι τώρα συνοψίζεται ως εξής: 9

10 Εξ. Kle Gordo Εξ. Drac αρνητικές πιθανότητες αρνητικές ενέργειες θετικές πιθανότητες αρνητικές ενέργειες O Drac ξεπέρασε το πρόβλημα των αρνητικών ενεργειών ως εξής. Έθεσε το αξίωμα ότι στο κενό, δηλ στην κατάσταση όπου δεν υπάρχουν Ε> ηλεκτρόνια, όλες οι καταστάσεις με Ε< είναι γεμάτες με ηλεκτρόνια (!), δηλ υπάρχει μία άπειρη θάλασσα ηλεκτρονίων. Έτσι η αρχή Paul απαγορεύει σε ένα ηλεκτρόνιο με Ε> να πέσει σε κατώτερο ενεργειακό επίπεδο. Ε +m E' E m -m -E E -m Όμως θα μπορούσαμε να δημιουργήσουμε οπή στην θάλασσα των ηλεκτρονίων με Ε διεγείροντας ένα ηλεκτρόνιο από μία κατάσταση αρνητικής ενέργειας -Ε σε μία κατάσταση με θετική ενέργεια Ε'. Τότε η απουσία ενός ηλεκτρονίου με φορτίο e και ενέργεια Ε ερμηνεύεται ως παρουσία ενός αντισωματιδίου (ποζιτρονίου) φορτίου +e και ενέργειας Ε. Συνεπώς το τελικό αποτέλεσμα αυτής της διέγερσης είναι η παραγωγή ενός ζευγαριού σωματιδίων e - (E') + e + (E) οδηγεί στην απαίτηση μιας θεωρίας πεδίου ενέργεια οπής = - (- Ε) = Ε > φορτίο οπής = - (- e) = e > το οποίο προφανώς απαιτεί ενέργεια: Ε + Ε' m Η πρόβλεψη του αντισωματιδίου αποτελεί μία από τις μεγαλύτερες προβλέψεις!!! Τι γίνεται όμως με τις αρνητικές λύσεις της εξ. Κ-G; Είναι σαφές ότι η ίδια ιδέα δεν μπορεί να εφαρμοστεί σε σωματίδια με μηδενικό σπιν, που δεν υπακούουν

11 στην απαγορευτική αρχή του Paul. Συνεπής εικόνα προκύπτει από την κβαντική θεωρία πεδίου. Εδώ περιοριζόμαστε ακόμα στην κβαντομηχανική. Οι Paul Wessko (') αναβίωσαν την εξ. K-G εισάγοντας το φορτίο e στο μ και ερμηνεύοντάς το ως πυκνότητα φορτίου-ρεύματος του αρνητικά φορτισμένου σωματιδίου e Τώρα το ρ = παριστάνει πυκνότητα φορτίου, όχι πυκνότητα πιθανότητας κι έτσι αίρονται οι ενστάσεις. Με μία έννοια, που θα γίνει σαφέστερη, οι λύσεις με Ε < μπορούν να θεωρηθούν ως σωματίδια με αντίθετο φορτίο δηλ. αντισωματίδια. Αντίθετα με τη θεωρία των οπών αυτή η ερμηνεία μπορεί να εφαρμοστεί και στα μποζόνια και στα φερμιόνια. Η συνταγή για το πώς να χειριζόμαστε τις αρνητικές ενεργειακές καταστάσεις προτάθηκε από τους Sückelberg (') και Feyma ('8). Η ιδέα είναι ότι μία λύση με αρνητική ενέργεια περιγράφει ένα σωματίδιο, που διαδίδεται προς τα πίσω στο χρόνο, ή ισοδύναμα, ένα αντισωματίδιο που διαδίδεται προς τα μπρος στο χρόνο. Ας θεωρήσουμε ένα πιόνιο π + ενέργειας Ε, -ορμής p και φορτίου +e. Γνωρίζουμε από τις (7), () ότι το ηλεκτρομαγνητικό ρεύμα είναι em e N E, p E, p p, Ποιο θα είναι το ρεύμα για το π - ; Δηλ. για σωματίδιο με θετική ενέργεια, αλλά αντιθέτου φορτίου; Περιμένουμε: em που είναι ίδιο με το ρεύμα e N E, p e N E, p ( E, p : όπως για το π + ) em ενός π + αλλά με αρνητική -ορμή. Ας δούμε τι συμβαίνει με το ολικό φορτίο π και την ενέργεια ενός συστήματος Α που -, Ε> εκπέμπει ένα π θετικής ενέργειας. Η ενέργεια του Α ελαττώνεται κατά Ε και το φορτίο του ελαττώνεται κατά (-e). Σύστημα Α Αυτή η αύξηση φορτίου θα μπορούσε ισοδύναμα να δημιουργηθεί από απορρόφηση ενός π +, αλλά για να γίνει αυτή η διαδικασία απορρόφησης πλήρως ισοδύναμη με την διαδικασία εκπομπής το π + θα πρέπει να έχει αρνητική ενέργεια (γιατί το Α έχασε ενέργεια με την εκπομπή). Έτσι φθάνουμε στην εξής ισοδυναμία: π -, Ε> π +, -Ε Α Α

12 Δηλαδή η εκπομπή (απορρόφηση) αντισωματιδίου με -ορμή p μ είναι φυσικά ισοδύναμη με την απορρόφηση (εκπομπή) σωματιδίου με -ορμή - p μ. Με άλλα λόγια, λύσεις αρνητική ενέργειας που πηγαίνουν προς τα πίσω στο χρόνο περιγράφουν λύσεις αντισωματιδίων θετικής ενέργειας που πηγαίνουν προς τα μπρος στο χρόνο. Ο λόγος που μπορεί να γίνει η παραπάνω ταυτοποίηση είναι απλά γιατί E E e e! Υπάρχει μία διαφορά μεταξύ περιπτώσεων Κ-G και Drac. Η περίπτωση Drac είχε φτιαχτεί έτσι ώστε να εξασφαλίζει θετική πυκνότητα πιθανότητας ανεξάρτητα από το πρόσημο της ενέργειας. Για να κρατήσουμε την ισοδυναμία θα πρέπει να βάλουμε ένα επί πλέον αρνητικό σημείο με το χέρι κάθε φορά που έχουμε ένα φερμιόνιο αρνητικής ενέργειας στην τελικά κατάσταση. Ο φορμαλισμός περιγραφής κυματοσυνάρτησης ενός σωματιδίου χειρίζεται όχι μόνο τα αντισωματίδια αλλά είναι σε θέση να περιγράψει και καταστάσεις πολλών σωματιδίων. Για παράδειγμα ας δούμε τη διπλή σκέδαση ενός σωματιδίου (ας πούμε του π + ) από ένα δυναμικό σε η τάξη στη Θεωρία Διαταραχών. Στη Μη-Σχετικιστική Κβαντομηχανική (ΜΣΚ) μπορούμε να ζωγραφίσουμε ένα χωρο-χρονικό διάγραμμα Feyma της τροχιάς του σωματιδίου. π + π + π + π + π + π + Σχ. Σχ. Σύμφωνα με τον Feyma στη ΜΣΚ πρέπει να επιτρέψουμε την πιθανότητα τα σωματίδια να μπορούν να σκεδαστούν και προς τα πίσω στο χρόνο. Έτσι το σημαντικό νέο στοιχείο είναι ότι υπάρχουν δύο διαγράμματα που αντιστοιχούν στην ίδια παρατήρηση. Υπάρχουν δύο διαφορετικού τρόποι διάταξης του χρόνου των δύο αλληλοεπιδράσεων που αντιστοιχούν στο ίδιο παρατηρήσιμο γεγονός. Ερμηνεύουμε το δεύτερο διάγραμμα, χρησιμοποιώντας τη συνταγή του Feyma, επιτρέποντας λύσεις θετικής ενέργειας των π + να ταξιδεύουν μόνο προς τα μπρος στο χρόνο και λύσεις αρνητικής ενέργειας να ταξιδεύουν μόνο

13 προς τα πίσω στο χρόνο. Στο π + που ταξιδεύει προς τα πίσω από μέχρι πρέπει να αποδοθεί αρνητική ενέργεια, που είναι ισοδύναμο με ένα π θετικής ενέργειας που ταξιδεύει προς τα μπρος από μέχρι. Έτσι φθάνουμε στη φυσική διαδικασία που παριστάνεται στο σχ. '. π - π + Εκμηδενισμός ζευγαριού π + π = Το δυναμικό απορροφά ένα ζευγάρι π + π στο. π + Σχ. ' Το δυναμικό δημιουργεί ένα ζευγάρι π + π στο. Το βασικό σημείο είναι ότι λύσεις αρνητικής ενέργειας που περιγράφουν ένα σωματίδιο χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν διαδικασίες που περιλαμβάνουν αντισωματίδια θετικής ενέργειας, αφού αλλάξουμε κατάλληλα τις αρχικές και τελικές καταστάσεις. Έτσι καταστάσεις πολλών σωματιδίων (όπως η διαδικασία δημιουργίας ζευγαριού π + π ) μπορούν να αντιμετωπιστούν με το φορμαλισμό κυματοσυνάρτησης ενός σωματιδίου, αποφεύγοντας την πολυπλοκότητα της Κβαντικής Θεωρίας Πεδίου. Όλες οι δυνατές διαδικασίες είναι δυνατόν να περιγραφούν είτε χρησιμοποιώντας σωματίδια είτε αντισωματίδια (και κατά συνθήκη προτιμάμε τα σωματίδια). Το κενό είναι ένα πολύ σύνθετο περιβάλλον! Ζευγάρια από π + π δημιουργούνται και καταστρέφονται ως αποτέλεσμα την συνταγής για το αντισωματίδιο. Το τελικώς αιτούμενο για σύγκριση με το πείραμα είναι να είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε ρυθμούς μετάβασης και ενεργές διατομές. Για την ώρα όμως έχουμε στη διάθεσή μας μόνο κυματοσυναρτήσεις ελευθέρων σωματιδίων. Πώς θα συμπεριλάβουμε τις αλληλεπιδράσεις; Όπως προκύπτει από την προηγούμενη συζήτηση ("απλή" και "διπλή" σκέδαση) η Θεωρία Διαταραχών θα είναι η μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε για να υπολογίσουμε πλάτη σκέδασης. Έτσι πρέπει να υπενθυμίσουμε τα κυριότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Διαταραχών.

14 Σύντομη ανασκόπηση της μη σχετικιστικής χρονικά εξαρτημένης Θεωρίας Διαταραχών Ας θεωρήσουμε ότι γνωρίζουμε τις λύσεις της εξ. Schrödger για το ελεύθερο σωματίδιο: H E () o με m d V m () όπου H είναι ανεξάρτητη του χρόνου, ενώ για απλότητα θεωρούμε το σωματίδιο σε όγκο V. Το ζητούμενο είναι να λύσουμε την εξ. Schr. για ένα σωματίδιο κινούμενο μέσα σε ένα δυναμικό αλληλεπίδρασης V,, H V, () Κάθε λύση της () μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας το πλήρες σύστημα (), ως a e E () Για να βρούμε τους άγνωστους συντελεστές (): da d a E e V a, αντικαθιστούμε την () στην E, e (5) Πολλαπλασιάζουμε την (5) επί χρησιμοποιώντας την ():, ολοκληρώνουμε πάνω στον όγκο και da a V d e d E E (6) δηλ έχουμε να λύσουμε ένα σύστημα συζευγμένων γραμμικών εξισώσεων ης τάξης.

15 το σωματίδιο βρίσκεται σε μία T ιδιοκατάσταση της αδιατάρακτης Η, δηλ σε χρόνο έχουμε τις συνοριακές συνθήκες: Ας υποθέσουμε ότι πριν τη δράση του V, a a T T (7) 5 και συνεπώς da d d V e E E (8) Υποθέτοντας ότι το V, είναι μικρό και παροδικό, μπορούμε σε πρώτη προσέγγιση να θεωρήσουμε ότι οι αρχικές συνθήκες ισχύουν για όλους τους χρόνους, a E E ' T d' d V e (9) και ιδιαίτερα μετά χρόνο τελειώσει, έχουμε: T, που υποθέτουμε ότι η αλληλεπίδραση έχει a T d d T E e V, που μπορεί να γραφτεί στη συναλλοίωτη μορφή: E e T () T d V () -διάστατο στοιχείο όγκου Αξιοσημείωτα παραδείγματα, δηλ. ανεξάρτητο του χρόνου. π.χ. : V V () T τελική κατάσταση V διαταρακτικό δυναμικόα d e E E αρχική κατάσταση V E E ()

16 6 όπου V d V () Η συνάρτηση δ εκφράζει το γεγονός ότι η ενέργεια του σωματιδίου διατηρείται κατά τη μετάβαση από. V, V e π.χ. : Το ολοκλήρωμα χρόνου του T στην (): d e E E e e E E δηλ το σύστημα απορροφά ενέργεια από το δυναμικό. V, V e π.χ. : () T d e E e E e E E δηλ το δυναμικό απορροφά ενέργεια από το σύστημα. Προφανώς μπορούμε να βελτιώσουμε την παραπάνω προσέγγιση βάζοντας το αποτέλεσμα (9) για το a στο δεξί μέρος της (6), da E E E E ' V d e Ve d Η διόρθωση στο T είναι T V V T ' () E E E E d e d' e Για λόγους συνέπειας (με την αρχή απροσδιοριστίας) πρέπει να συμπεριλάβουμε στο εκθετικό του ολοκληρώματος στο d' μια μικρή θετική ποσότητα ε που θα την αφήσουμε να τείνει στο μηδέν μετά την ολοκλήρωση. ' d' e E E ' E E e E E

17 7 Έτσι η διόρθωση ης τάξης στο T είναι: T VV E E E E V V V Διαγράμματα Feyma που παριστάνουν τους πρώτους δύο όρους στη μη σχετικιστική διαταρακτική σειρά, που συνεισφέρουν στη μετάβαση. Τελικά για κάθε κορυφή αλληλεπίδρασης έχουμε έναν παράγοντα όπως τον V και για τη διάδοση κάθε ενδιάμεσης κατάστασης έχουμε έναν διαδότη όπως τον E E. Οι ενδιάμεσες καταστάσεις χαρακτηρίζονται ως "εν δυνάμει" με την έννοια ότι η ενέργεια δεν διατηρείται E E, αλλά βέβαια υπάρχει διατήρηση της ενέργειας μεταξύ της αρχικής και τελικής κατάστασης όπως υποδεικνύεται από την E E. Στη συνέχεια θα γενικεύσουμε τα παραπάνω ώστε να μπορέσουμε να χειριστούμε τόσο σχετικιστικά σωματίδια όσο και τα αντισωματίδιά τους.

18 8 Εξισώσεις Mawell διατήρηση ρεύματος αναλλοίωτο βαθμίδας Οι εξισώσεις Mawell της Κλασσικής Ηλεκτροδυναμικής στο κενο: B E, E E B, B (α) Ισχύουν τα εξής: () Οι εξισώσεις (α) είναι ισοδύναμες με την παρακάτω συναλλοίωτη εξίσωση για το : όπου, δυναμικού (γ) είναι το -διάνυσμα ρεύματος ενώ το -διάνυσμα, σχετίζεται με το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο με τις σχέσεις E, B (ε) (β) (δ) () Εισάγοντας τον αντισυμμετρικό τανυστή έντασης πεδίου (eld sregh) F E E E E B B E B B E B B (ζ) οι εξισώσεις Mawell (α) παίρνουν τη μορφή F (η) () (θ) (v) Τα E, B είναι αναλλοίωτα κάτω από το μετασχηματισμό (βαθμίδας) ' (ι)

19 9 όπου χ αυθαίρετη συνάρτηση του. Με βάση αυτή την ελευθερία οι εξισώσεις Mawell (α) γράφονται στη μορφή με (κ) Η απαίτηση είναι γνωστή ως συνθήκη Lorez. Αλλά ακόμη και αφού επιβάλουμε αυτή τη συνθήκη έχουμε παραμένουσα ελευθερία στην επιλογή του δυναμικού Α μ, δηλ. μπορούμε ακόμη να κάνουμε το μετασχηματισμό (βαθμίδας) ' (λ) όπου το Λ είναι οποιαδήποτε συνάρτηση που ικανοποιεί τη σχέση: Λ = (μ) Η (μ) εξασφαλίζει ότι η συνθήκη Lorez συνεχίζει να ικανοποιείται. Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Σωματιδίων χωρίς σπιν Αποφεύγουμε την πολυπλοκότητα που εισάγει το σπιν των quarks και λεπτονίων. Στόχος είναι η χρήση της Θεωρίας Διαταραχών με συναλλοίωτο τρόπο. Ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο χωρίς σπιν ικανοποιεί την εξ. K-G m () Στην κλασσική Ηλεκτροδυναμική η κίνηση σωματιδίου με φορτίο e σε ένα ηλεκτρομαγνητικό δυναμικό, εξετάζεται κάνοντας την αντικατάσταση p p e () Συνεπώς η αντίστοιχη κβαντομηχανική αντικατάσταση p είναι e ()

20 οπότε η εξ. K-G γίνεται m V όπου η ηλεκτρομαγνητική διαταραχή είναι V e () e (5) (το αρνητικό πρόσημο στο δεξί μέλος της εξίσωσης () μπαίνει για συμφωνία με την εξ. Schr.) e Το V χαρακτηρίζεται από την παράμετρο e (σε φυσικές μονάδες ) 7 οπότε το μικρό μέγεθός της συνιστά ότι μπορούμε να κάνουμε διαταρακτική ανάπτυξη του V σε δυνάμεις του. Ήδη η συνεισφορά χαμηλότερης τάξης σε πλάτη σκέδασης είναι καλή προσέγγιση και θα παραλείψουμε τον όρο e (αργότερα θα δούμε πιο θεμελιώδη λόγο). Δουλεύοντας σε κατώτερη τάξη στη θεωρία διαταραχών το πλάτος T (εξ. ()) για τη σκέδαση ενός ηλεκτρονίου χωρίς σπιν από μία κατάσταση Φ σε μία Φ από ένα ηλεκτρομαγνητικό δυναμικό Α μ είναι: Φ Φ T V d = e d (6) Α μ η παράγωγος δρα και στα δύο πεδία Α μ, Φ ( 6) T όπου e d d (7) (8) d ολοκλήρωση κατά παράγοντες αμελώντας τον επιφανειακό όρο δεδομένου ότι το δυναμικό μηδενίζεται για,

21 το οποίο, σύμφωνα με την προηγούμενη συζήτηση, μπορεί να θεωρηθεί ως το ηλεκτρομαγνητικό ρεύμα για τη μετάβαση του ηλεκτρονίου από την κατάσταση στην. Αν το εισερχόμενο ηλεκτρόνιο χωρίς σπιν έχει -ορμή p, έχουμε: όπου Ν είναι η σταθερά κανονικοποίησης. p N e Χρησιμοποιώντας αντίστοιχη έκφραση και για την Φ : (9) (9) (8) p p en N p p e () Σκέδαση ηλεκτρονίου-μυονίου (χωρίς σπιν) Θα χρησιμοποιήσουμε τα αποτελέσματα της σκέδασης ηλεκτρονίου (χωρίς σπιν) από ηλεκτρομαγνητικό δυναμικό Α μ για να υπολογίσουμε τη σκέδασή του από άλλο φορτισμένο σωματίδιο. Ας μελετήσουμε τη σκέδαση ηλεκτρονίου μυονίου ώστε να αποφύγουμε ταυτοτικά σωματίδια. Το σχετικό διάγραμμα Feyma είναι: p e - p C Για τον υπολογισμό απλά πρέπει να συνδέσουμε το Α μ με την πηγή του που εδώ είναι το ρεύμα του μυονίου. Τα Α μ (), συσχετίζονται μέσω () των εξ. Mawell, γ q () () p B μ - () p D που στη βαθμίδα Lorez, () γίνονται: () ()

22 Το ()): () του μυονίου έχει βέβαια την ίδια μορφή με εκείνη του ηλεκτρονίου (εξ. όπου οι ορμές δίνονται στο σχήμα. Δεδομένου ότι η λύση της () είναι pd pb p p e ( ) enbnd D B () e q q q e (5) () με q p D pb (6) q Έτσι το πλάτος της σκέδασης ηλεκτρονίου μυονίου: ( 6) (7) () T () d (7) q (),() (7) T N NBNC ND όπου: M e p p M p p p p (8) g e p p D C D C q B (9) (άσκηση) Μ αναλλοίωτο πλάτος η δ εκφράζει τη διατήρηση ενέργειας ορμής στη διαδικασία σκέδασης. Σε αντιστοιχία με τα διαγράμματα Feyma της μη σχετικιστικής θεωρίας διαταραχών έχουμε τα συσχετισμένα με τη συναλλοίωτη μορφή της. B e - e - g q e p p C e p B p D μ - μ - Για παράδειγμα το σχήμα αναπαριστάνει τη σκέδαση ηλεκτρονίου μυονίου χωρίς σπιν σε τάξη e (ή α) και το πλάτος δίνεται από τις (8), (9). Αυτό είναι το διάγραμμα Feyma κατώτερης τάξης. Η κυματιστή γραμμή παριστάνει ένα φωτόνιο που ανταλλάσεται μεταξύ των λεπτονίων και ο g συσχετισμένος παράγοντας q

23 ονομάζεται διαδότης του φωτονίου (εμπεριέχει δείκτες Lorez λόγω σπιν). Το -διάνυσμα ορμής q του φωτονίου προσδιορίζεται από τη διατήρηση της - ορμής στις κορυφές. Παρατηρούμε ότι το q και συνεπώς ονομάζουμε το φωτόνιο εν δυνάμει (vrual) ή οη-mass shell. Με κάθε κορυφή του διαγράμματος συσχετίζουμε τους παράγοντες του σχήματος, δηλ. περιέχει την ηλεκτρομαγνητική "σταθερά" e και ένα δείκτη -διανύσματος που εξασφαλίζει τη σύνδεση με τον δείκτη του φωτονίου. Τα διάφορα "-" και έχουν μπει ώστε να δίνουν συνεπή διαγράμματα ανώτερης τάξης. Αξιοσημείωτο είναι ότι το γινόμενο των παραγόντων δίνει M. Ενεργός Διατομή και Αναλλοίωτο Πλάτος Ένα βασικό αιτούμενο της όλης διαδικασίας που αναπτύχθηκε είναι να συσχετιστούν τα θεωρητικά μοντέλα και οι υπολογιστικές τεχνικές με πειραματικά μετρήσιμες ποσότητες. Αρχίζουμε προσδιορίζοντας το Ν στη κυματοσυνάρτηση ελεύθερου σωματιδίου (Κ-G) Ne p () Υπενθυμίζουμε την αντίστοιχη πυκνότητα πιθανότητας E N. Το ότι ρ~ε εξισορροπεί τη συστολή του d ώστε να παραμένει ο αριθμός των σωματιδίων ρd αναλλοίωτος. Συνεπώς αντί να κάνουμε αναγωγή στη μονάδα: V EV κάνουμε αναγωγή σε Ε σωματίδια: dv E N dv N ώστε το Ν να μην εξαρτάται από το Ε. V dv E N () V Επίσης σημειώνουμε ότι η συνάρτηση δ στην () εξέφραζε τη διατήρηση της ενέργειας στη μεταβολή. Λόγω της αρχής της αβεβαιότητας αυτό σημαίνει ότι οι καταστάσεις και χωρίζονται από άπειρο χρόνο και η ποσότητα δεν έχει ακριβές νόημα. Έτσι είναι πιο λογικό να ορίσουμε την ποσότητα: T

24 T W lm () T T ως πιθανότητα μετάβασης στη μονάδα χρόνου, ή ρυθμό μετάβασης. Υψώνοντας στο τετράγωνο την () έχουμε: W V T lm T T T V T lm E E T d T T V E E E E E E d e () Η () παίρνει φυσικό νόημα ύστερα από ολοκλήρωση πάνω σε ένα σύνολο αρχικών και τελικών καταστάσεων. Στα στοιχειώδη σωματίδια συνήθως αρχίζουμε με προσδιορισμένη αρχική κατάσταση και τελειώνουμε με ένα σύνολο τελικών καταστάσεων. Αν E είναι η πυκνότητα των τελικών καταστάσεων τότε E de είναι ο αριθμός καταστάσεων στο ενεργειακό διάστημα Ε μέχρι Ε + de. Ολοκληρώνουμε πάνω σε αυτή την πυκνότητα επιβάλλοντας τη διατήρηση της ενέργειας: W de E V E E E V () Αυτός είναι ο χρυσός κανόνας του Ferm. Συνεπώς στη διαδικασία B C D ο ρυθμός μετάβασης στη μονάδα όγκου είναι T W, TV όπου Τ είναι το χρονικό διάστημα της αλληλεπίδρασης και το πλάτος μετάβασης είναι T N N B N C N D p p p p M C D () B Κρατάμε τη δ όπως είναι και δεν παίρνουμε ακόμη το όριο του ολοκληρώματος, ωστόσο λόγω της προηγούμενης δ παίρνουμε Ε =E.

25 5 Υψώνοντας την () στο τετράγωνο μία συνάρτηση δ παραμένει και το επί την άλλη δίνει TV (υπολογισμός ίδιος με αυτόν που οδήγησε στην ()). Με χρήση της (): W pc pd p pb M (5) Τα πειραματικά αποτελέσματα στη σκέδαση B CD συνήθως εκφράζονται στη μορφή ενεργού διατομής (ΕΔ). Η ΕΔ σχετίζεται με το ρυθμό μετάβασης με τη σχέση W αριθμός τελικών καταστάσεων αρχική ροή V (6) Για ένα σωματίδιο η κβαντική θεωρία περιορίζει τον αριθμό των τελικών Vd p καταστάσεων σε όγκο V με ορμές σε όγκο d p να είναι. (άσκηση) Αλλά εδώ έχουμε Ε σωματίδια στο όγκο V: αριθμός τελικών καταστάσεων Vd p (7) σωματίδιο E Άρα για σωματίδια C, D που σκεδάστηκαν σε στοιχεία ορμής έχουμε EC ED d pc, d pd Vd pc Vd pd αριθμός διαθέσιμων τελικών καταστάσεων (8) Την αρχική ροή είναι ευκολότερο να την υπολογίσουμε στο σύστημα εργαστηρίου. Ο αριθμός των σωματιδίων της δέσμης που διέρχονται από τη μονάδα επιφάνειας στη μονάδα χρόνου είναι: v E V σωματ. δηλ. ST σωματ. σωματ. V σωματ. ST S T V και ο αριθμός των σωματιδίων στόχων στη μονάδα όγκου είναι E B V. Για να έχουμε ένα μέτρο της εισερχόμενης πυκνότητας ανεξάρτητο της κανονικοποίησης παίρνουμε: E EB αρχική ροή v (9) V V

26 6 Συνδυάζοντας όλα αυτά βρίσκουμε τη διαφορική διατομή d σε σκέδαση με p C d p : d, D d V v E E B V M 6 () C D p p p p V C D B d p E C d p E D () Το V απαλείφεται και στο εξής κανονικοποιούμε στη μονάδα του όγκου Ν= στην (). Φυσικό νόημα ΕΔ: Η εμφάνιση του αριθμού των τελικών καταστάσεων σε συνδυασμό με τον αριθμό μετάβασης W παριστάνει τον αριθμό των σκεδαζομένων σωματιδίων s στη μονάδα χρόνου (στην (6)). Η εμφάνιση της ροής (στην (6)) εξασφαλίζει ότι ο ρυθμός μετάβασης είναι ανεξάρτητος από τον αριθμό των σωματιδίων που είναι παρόντα στη δέσμη ή στο στόχο που χρησιμοποιούνται σε κάποιο πείραμα. Ο λόγος είναι ότι επιθυμούμε η ΕΔ να παριστάνει μία εσωτερική πιθανότητα σκέδασης, δηλ. την εσωτερική ένταση της αλληλεπίδρασης B CD. Έτσι διαιρούμε (στην (6)) με τον αριθμό σωματιδίων στο στόχο και τη ροή της δέσμης b υ b που μετράει τον αριθμό των σωματιδίων της δέσμης που διαπερνούν τη μονάδα επιφάνειας κάθετης στην ταχύτητα δέσμης στη μονάδα χρόνου (υ b είναι η σχετική ταχύτητα δέσμης στόχου εάν ο στόχος δεν είναι σταθερός). Συνεπώς η (6) γράφεται συμβολικά ως: s () b όπου s ο ρυθμός μετρήσεων, b b η ροή της δέσμης, αριθμός σωματιδίων στο στόχο και σ είναι μια σταθερά που περιέχει τη Φυσική (!). Η ΕΔ σ εκφράζει πράγματι την εσωτερική πιθανότητα σκέδασης. Έχει διαστάσεις επιφάνειας (από έλεγχο διαστάσεων στην ()). Συμβολικά γράφουμε την dσ στην () ως: b M d dq () F όπου () C D d p p p p V C D B d p E C d p E D ()

27 7 είναι ο (Lorez αναλλοίωτος) παράγοντας φάσεων (οι ποσότητες d p E d pd είναι Lorez αναλλοίωτα) και F η προσπίπτουσα ροή στο σύστημα ED εργαστηρίου, C C και F v E E () B με p v. E άσκηση: Τα dq, F είναι Lorez αναλλοίωτα. Ρυθμός Διάσπασης Μ Η απόδειξη του τύπου που δίνει τους ρυθμούς διάσπασης γίνεται σε ανάλογες γραμμές. Ο διαφορικός ρυθμός για τη διάσπαση σε στοιχεία ορμής d p,..., d p των σωματιδίων της τελικής κατάστασης είναι: d d p d p M E E E p p p (5) Ο τύπος είναι της μορφής των (), (). Ε Α είναι ο αριθμός των σωματιδίων που διασπώνται στη μονάδα όγκου και M είναι το αναλλοίωτο πλάτος που έχει υπολογιστεί από το σχετικό διάγραμμα Feyma. Ο ολικός ρυθμός διάσπασης, Γ είναι το άθροισμα των επί μέρους ρυθμών για όλα τα κανάλια διάσπασης. Προφανώς ο ρυθμός είναι dn N (6) d και οδηγεί στον εκθετικό νόμο διάσπασης των σωματιδίων Α, N N e

28 8 Το Γ - λέγεται χρόνος ζωής του σωματιδίου Α. Λύσεις της εξ. Drac Εξίσωση Drac (συνέχεια) Ας δούμε την ακριβή μορφή των λύσεων ελεύθερου σωματιδίου. Σε αναλογία με τη μη σχετικιστική περίπτωση, όπου γράφουμε ένα γενικό σπίνορα για σωματίδια με σπιν με παραγοντοποιημένες λύσεις. επίπεδο κύμα, () όπου χ σπίνορας συνιστωσών, αναζητούμε λύσεις της εξ. Drac της μορφής e p, () όπου ω είναι τώρα σπίνορας συνιστωσών που πρέπει να προσδιοριστεί και p e λύση επίπεδου κύματος όπως στην περίπτωση Κ-G. Αντικαθιστούμε την () στην εξ. Drac m () χρησιμοποιώντας τις αναλυτικές εκφράσεις I, () I Για να αξιοποιήσουμε τη μορφή () των πινάκων, χωρίσουμε τον σπίνορα ω σε δύο -συνιστωσών σπίνορες και χ: mi E p που παριστάνει δύο συζευγμένες εξ. για τα, χ: (5) p mi (6) (άσκηση)

29 9 (7) E m p (8) E m p Το (6) ή (7), (8) αποτελούν ομογενές γραμμικό σύστημα εξισώσεων ως προς, χ και συνεπώς έχει μη τετριμμένες λύσεις μόνο στην περίπτωση μηδενικής ορίζουσας των συντελεστών: Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι E m I p p E m I p p I (9) () (που προκύπτει άμεσα από την ταυτότητα: a b a bi a b E p m p (άσκηση)) () δηλ. έχει λύσεις θετικής και αρνητικής ενέργειας, όπως ήδη γνωρίζουμε. Ας θεωρήσουμε πρώτα το σωματίδιο σε ηρεμία, δηλ. p. Τότε η (6) γίνεται: mi E mi () που έχει ιδιοτιμές: Ε=m, m, -m, -m () και ιδιοδιανύσματα: () Προφανώς οι δύο πρώτες λύσεις αντιστοιχούν σε Ε> άρα σύμφωνα με προηγούμενη συζήτηση περιγράφουν ένα σωματίδιο με Ε> (ηλεκτρόνιο με φορτίο e). Οι άλλες δύο λύσεις με Ε< ερμηνεύεται ότι περιγράφουν ένα αντισωματίδιο με Ε> (ποζιτρόνιο με φορτίο +e). Για p έχουμε να λύσουμε τη γενική εξ. (6), που χωρίζεται στις (7) και (8).

30

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 23η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 23η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Στοιχειώδη Σωματίδια Διάλεξη 23η Πετρίδου Χαρά Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Αλληλεπιδράσεις & Πεδία στη Σωματιδιακή Φυσική Τα Θεμελιώδη Μποζόνια των αλληλεπιδράσεων Οι Θεμελιώδεις Αλληλεπιδράσεις

Διαβάστε περισσότερα

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ. Ομοτιμία Κβαντικοί Αριθμοί Συμμετρίες και Νόμοι Διατήρησης

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ. Ομοτιμία Κβαντικοί Αριθμοί Συμμετρίες και Νόμοι Διατήρησης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ Ν. Γιόκαρης,, (Κ.Ν.( Παπανικόλας) & Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ,, 2016 Ομοτιμία Κβαντικοί Αριθμοί Συμμετρίες και Νόμοι Διατήρησης 1 Stathis STILIARIS,

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση Dirac (ΙI) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1

Η εξίσωση Dirac (ΙI) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Η εξίσωση Dirac (ΙI) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Συναλλοίωτη Μορφή: οι Dirac γ Matrices Η εξίσωση Dirac μπορεί να γραφεί σε συναλλοίωτη μορφή χρησιμοποιώντας τις 4 Dirac γ matrices: Πολλαπλασιάζοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Spin Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Δομή Διάλεξης Το πείραμα Stern-Gerlach: Πειραματική απόδειξη spin Ο δισδιάστατος χώρος καταστάσεων spin του ηλεκτρονίου: οι πίνακες Pauli Χρονική εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.

Διαβάστε περισσότερα

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

. Να βρεθεί η Ψ(x,t). ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Νόμοι Διατήρησης κβαντικών αριθμών Αρχές Αναλλοίωτου Συμμετρία ή αναλλοίωτο των εξισώσεων που περιγράφουν σύστημα σωματιδίων κάτω

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1

Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Μη- Σχετικιστική Κβαντομηχανική Η μη- σχετικιστική έκφραση για την ενέργεια: Στην QM αντιστοιχούμε την ενέργεια και την ορμή με Τελεστές:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής Re Im V r V r i V r, όπου οι συναρτήσεις Re,Im V r V r είναι πραγματικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202. Εκπομπή και απορρόφηση ακτινοβολίας ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 12. ΎΛΗ & ΦΩΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/12/2012

ETY-202. Εκπομπή και απορρόφηση ακτινοβολίας ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 12. ΎΛΗ & ΦΩΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/12/2012 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 Εκπομπή και απορρόφηση ακτινοβολίας ΎΛΗ & ΦΩΣ 12. ΎΛΗ & ΦΩΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ηλεκτρομαγνητικά πεδία Απορρόφηση είναι Σε αυτή τη διαδικασία το ηλεκτρόνιο

Διαβάστε περισσότερα

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται

Διαβάστε περισσότερα

Ο Πυρήνας του Ατόμου

Ο Πυρήνας του Ατόμου 1 Σκοποί: Ο Πυρήνας του Ατόμου 15/06/12 I. Να δώσει μία εισαγωγική περιγραφή του πυρήνα του ατόμου, και της ενέργειας που μπορεί να έχει ένα σωματίδιο για να παραμείνει δέσμιο μέσα στον πυρήνα. II. III.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής. ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης

μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης Σπιν 1 μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης 1) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο B B ˆ ˆ ˆ 0xex B0 yey B0 zez, όπου B0 x, B0

Διαβάστε περισσότερα

55/377. 2E A 2E 1 (2π) 3 d 3 p n. p f

55/377. 2E A 2E 1 (2π) 3 d 3 p n. p f 55/377 Ο ρυθμός διάσπασης ως συνάρτηση του M Για διασπάσεις της μορφής A 1 + 2 + 3 +... + n ακολουθούμε την ίδια μέθοδο dγ = 1 M 2 d 3 p 1 2E A 2E 1 (2π) 3 d 3 p n 2E n (2π) 3 (2π)4 δ 4 (p A p 1 p 2...

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 10η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 10η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Στοιχειώδη Σωματίδια Διάλεξη 10η Πετρίδου Χαρά Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Σωμάτια & Αντισωμάτια Κουάρκ & Λεπτόνια Αδρόνια & Διατήρηση κβαντικών αριθμών 16/12/2011 Πετρίδου Χαρά Στοιχειώδη Σωμάτια

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχειώδη Σωματίδια II. Διάλεξη 11η Πετρίδου Χαρά

Στοιχειώδη Σωματίδια II. Διάλεξη 11η Πετρίδου Χαρά Στοιχειώδη Σωματίδια II Διάλεξη 11η Πετρίδου Χαρά Η εξίσωση Dirac Οι Ασθενείς Αλληλεπιδράσεις 29-5-2014 Πετρίδου Χαρά Στοιχειώδη Σωµάτια 2 Η κυματική εξίσωση ελεύθερου σωματιδίου 3 Η σχετικιστική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Δομή Διάλεξης Χρονική εξέλιξη Gaussian κυματοσυνάρτησης σε μηδενικό δυναμικό (ελέυθερο σωμάτιο): Μετατόπιση και Διασπορά Πείραμα διπλής οπής: Κροσσοί συμβολής για

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας 7 Οκτωβρίου 2014 (περίοδος Σεπτεμβρίου 2013-14)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας 7 Οκτωβρίου 2014 (περίοδος Σεπτεμβρίου 2013-14) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας 7 Οκτωβρίου 2014 περίοδος Σεπτεμβρίου 2013-14 Αν θέλετε μπορείτε να επεξεργαστείτε όλα τα προβλήματα σε σύστημα μονάδων όπου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πυρηνική Φυσική και τα Στοιχειώδη Σωµάτια

Εισαγωγή στην Πυρηνική Φυσική και τα Στοιχειώδη Σωµάτια στην Πυρηνική Φυσική και τα Στοιχειώδη Σωµάτια Περιεχόµενα Διαγράµµατα Feynman Δυνητικά σωµάτια Οι τρείς αλληλεπιδράσεις Ηλεκτροµαγνητισµός Ισχυρή Ασθενής Περίληψη Κ. Παπανικόλας, Ε. Στυλιάρης, Π. Σφήκας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε χώρο, όπου συνυπάρχουν ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ομογενή και χρονοανεξάρτητα

Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε χώρο, όπου συνυπάρχουν ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ομογενή και χρονοανεξάρτητα Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε χώρο, όπου συνυπάρχουν ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ομογενή και χρονοανεξάρτητα Μέρος α : Εξισώσεις κίνησης και συμπεράσματα) Α. Τι βλέπει ένας αδρανειακός παρατηρητής

Διαβάστε περισσότερα

Το κυματοπακέτο. (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο».

Το κυματοπακέτο. (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο». Το κυματοπακέτο (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο». Ένα ελεύθερο σωμάτιο δεν έχει κατ ανάγκη απολύτως καθορισμένη ορμή. Αν, για παράδειγμα,

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 20η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 20η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Στοιχειώδη Σωματίδια Διάλεξη 20η Πετρίδου Χαρά Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Φερµιόνια & Μποζόνια Συµπεριφορά της Κυµατοσυνάρτησης δύο ταυτόσηµων σωµατίων κάτω από την εναλλαγή τους στο χώρο 15 Δεκ

Διαβάστε περισσότερα

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 φάση Η έννοια των ταυτόσημων σωματιδίων Ταυτόσημα αποκαλούνται όλα τα σωματίδια

Διαβάστε περισσότερα

Από τι αποτελείται το Φως (1873)

Από τι αποτελείται το Φως (1873) Από τι αποτελείται το Φως (1873) Ο James Maxwell έδειξε θεωρητικά ότι το ορατό φως αποτελείται από ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι η ταυτόχρονη διάδοση, μέσω της ταχύτητας του φωτός

Διαβάστε περισσότερα

Το Μποζόνιο Higgs. Το σωματίδιο Higgs σύμφωνα με το Καθιερωμένο Πρότυπο

Το Μποζόνιο Higgs. Το σωματίδιο Higgs σύμφωνα με το Καθιερωμένο Πρότυπο 1 Το Μποζόνιο Higgs 29/05/13 Σκοποί: I. Να απαντήσει στο ερώτημα του τι είναι ακριβώς το σωματίδιο Higgs. II. Να εισάγει τους διάφορους τρόπους παραγωγής και μετάπτωσης του Higgs. III. Να δώσει μία σύντομη

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις

Διάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διάλεξη : Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Βασικές Αρχές της Κβαντομηχανικής H κατάσταση ενός φυσικού συστήματος περιγράφεται από την κυματοσυνάρτησή του και αποτελεί το πλάτος πιθανότητας να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Συζευγμένα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία τα οποία κινούνται με την ταχύτητα του φωτός και παρουσιάζουν τυπική κυματική συμπεριφορά Αν τα φορτία ταλαντώνονται περιοδικά οι διαταραχές

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο

Κβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Κβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Δομή Διάλεξης Χαμιλτονιανή και Ρεύμα Πιθανότητας για Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Μετασχηματισμοί Βαθμίδας Αρμονικός Ταλαντωτής σε Ηλεκτρικό Πεδίο Σωμάτιο

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation)

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Δομή Διάλεξης Το παρατηρήσιμο μέγεθος της θεσης και τα αντίστοιχα πλάτη πιθανότητας (συνεχές φάσμα ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων) Οι τελεστές της θέσης

Διαβάστε περισσότερα

n proton = 10N A 18cm 3 (2) cm 2 3 m (3) (β) Η χρονική απόσταση δύο τέτοιων γεγονότων θα είναι 3m msec (4)

n proton = 10N A 18cm 3 (2) cm 2 3 m (3) (β) Η χρονική απόσταση δύο τέτοιων γεγονότων θα είναι 3m msec (4) ΛΥΣΕΙΣ ΣΕΙΡΑΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 8 Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Η θεωρία των μαγνητικών μονοπόλων προβλέπει οτι αυτά αντιδρούν με πρωτόνια και δίνουν M + p M + e + + π 0 (1) με ενεργό διατομή σ 0.01 barn. Το

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα 1ο Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Σύµφωνα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 Άτομα αερίου υδρογόνου που βρίσκονται στη θεμελιώδη κατάσταση (n = 1), διεγείρονται με κρούση από δέσμη ηλεκτρονίων που έχουν επιταχυνθεί από διαφορά δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική - 2012: Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 11/05/15

Σύγχρονη Φυσική - 2012: Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 11/05/15 Διάλεξη 14: Μεσόνια και αντισωματίδια Μεσόνια Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως (διάλεξη 13) η έννοια των στοιχειωδών σωματίων άλλαξε πολλές φορές μέχρι σήμερα. Μέχρι το 1934 ο κόσμος των στοιχειωδών σωματιδίων

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Hλεκτροδυναμική

Κλασική Hλεκτροδυναμική Κλασική Hλεκτροδυναμική Ενότητα 1: Εισαγωγή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι μια σύντομη επανάληψη στις βασικές έννοιες της ηλεκτροστατικής.

Διαβάστε περισσότερα

Q 40 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, July 2009

Q 40 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, July 2009 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ No. 2 DOPPLER LASER ΨΥΞΗ ΚΑΙ ΟΠΤΙΚΕΣ ΜΕΛΑΣΣΕΣ Ο σκοπός αυτού του προβλήματος είναι η ανάπτυξη μιας απλής θεωρίας για να κατανοήσουμε δύο φαινόμενα, που ονομάζονται «laser ψύξη» και «οπτικές

Διαβάστε περισσότερα

1η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ. Ηλεκτρικά πεδία

1η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ. Ηλεκτρικά πεδία 1η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ Ηλεκτρικά πεδία Ηλεκτρισμός και μαγνητισμός Κλάδος της Φυσικής που μελετάει τα ηλεκτρικά και τα μαγνητικά φαινόμενα. (Σχεδόν) όλα τα φαινομενα που αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις μας οφείλονται

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Ζήτηµα 1ο Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2 Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Σύµφωνα µε το πρότυπο

Διαβάστε περισσότερα

Experiments are the only means of knowledge. Anyother is poetry and imagination. M.Plank 2 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWELL

Experiments are the only means of knowledge. Anyother is poetry and imagination. M.Plank 2 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWELL ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 7 xpeiments ae the only means o knowledge. Anyothe is poety and imagination. M.Plank 2 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWLL Σε µια πρώτη παρουσίαση του θέµατος δίνονται οι εξισώσεις του Maxwell στο

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικές Καταστάσεις

Κβαντικές Καταστάσεις Κβαντικές Καταστάσεις Δομή Διάλεξης Σύντομη ιστορική ανασκόπηση Ανασκόπηση Πιθανότητας Το Πλάτος Πιθανότητας Πείραμα διπλής οπής Κβαντικές καταστάσεις (ket) Ο δυίκός χώρος (bra) Σύνοψη Κβαντική Φυσική

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

(α) (β) (γ) [6 μονάδες]

(α) (β) (γ) [6 μονάδες] ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Διδάσκοντες: Κ. Φουντάς, Σ. Κοέν ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι 12 9 2012 Θέμα 1 o : Όταν ένα αδρανειακό σύστημα Ο' κινείται με ταχύτητα V σε σχέση με αδρανειακό σύστημα Ο και η ταχύτητα V είναι στη διεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 7.1. την πρώτη, ένα R όταν συγκλίνει στην δεύτερη). Επομένως

Πρόβλημα 7.1. την πρώτη, ένα R όταν συγκλίνει στην δεύτερη). Επομένως Πρόβλημα 7.1 (a) Αν Q είναι το φορτίο του εσωτερικού κελύφους, τότε στο χώρο ανάμεσα στα δύο κελύφη, και (c) Για πολύ μεγάλο b (b>>a), ο δεύτερος όρος είναι αμελητέος, και Ουσιαστικά όλη η αντίσταση είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 11η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 11η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Στοιχειώδη Σωματίδια Διάλεξη 11η Πετρίδου Χαρά Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Αλληλεπιδράσεις & Πεδία στη Σωματιδιακή Φυσική 2 Τα Θεμελιώδη Μποζόνια των αλληλεπιδράσεων Οι Θεμελιώδεις Αλληλεπιδράσεις

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Κλασσική Θεωρία Σκέδασης Ορισμοί μεγεθών σκέδασης. Κβαντική θεωρία σκέδασης Πλάτος σκέδασης

Δομή Διάλεξης. Κλασσική Θεωρία Σκέδασης Ορισμοί μεγεθών σκέδασης. Κβαντική θεωρία σκέδασης Πλάτος σκέδασης Σκέδαση Δομή Διάλεξης Κλασσική Θεωρία Σκέδασης Ορισμοί μεγεθών σκέδασης Κβαντική θεωρία σκέδασης Πλάτος σκέδασης Υπολογισμός διατομής σκέδασης με την μέθοδο στοιχειωδών κυμάτων (partial waves) Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Η Αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας)

3.1 Η Αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας) ΚΕΦ. 3 Γενικές αρχές της κυματικής 3.1-1 3.1 Η Αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας) 3.1.1 Γενική διατύπωση 3.1. Εύρος ισχύος της αρχής της υπέρθεσης 3.1.3 Μαθηματικές συνέπειες της αρχής της υπέρθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Charge Conjuga,on. Μπορούμε να περιγράψουμε την κίνηση ενός φορτισμένου σωματιδίου σε. ελεύθερου σωματίδιου ως:

Charge Conjuga,on. Μπορούμε να περιγράψουμε την κίνηση ενός φορτισμένου σωματιδίου σε. ελεύθερου σωματίδιου ως: Charge Conjuga,on Μπορούμε να περιγράψουμε την κίνηση ενός φορτισμένου σωματιδίου σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο αντικαθιστώντας την ορμή και την ενέργια του ελεύθερου σωματίδιου ως: χρησιμοποιώντας τους τελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: , ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Τηλ.: 0 69 97 985, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr ΑNΔΡIΑNΑ ΜΑΡΤΙΝΟΥ, MSC, ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΕΜΠ KENTΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 11, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων. Επιλεγμένες εφαρμογές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 11, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων. Επιλεγμένες εφαρμογές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας 1 Επιλεγμένες εφαρμογές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας Σκοπός της ενδέκατης διάλεξης: 08/11/12 Η παρουσίαση εφαρμογών της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας σε φαινόμενα τα οποία παρατηρούνται στο

Διαβάστε περισσότερα

Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων.

Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων. Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων. Θεωρώντας τα αέρια σαν ουσίες αποτελούμενες από έναν καταπληκτικά μεγάλο αριθμό μικροσκοπικών

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Δομή Διάλεξης Μετασχηματισμοί Καταστάσεων Τελεστής Μετατόπισης Συνεχείς Μετασχηματισμοί και οι Γεννήτορές τους Τελεστής Στροφής Διακριτοί Μετασχηματισμοί: Parity

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 12, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Διαγράμματα Minkowski

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 12, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Διαγράμματα Minkowski 1 Διαγράμματα Minkowski Σκοποί της διάλεξης 12: Να εισάγει τα διαγράμματα Minkowski. 18.1.2012 Να περιγράψει την ιδέα του ταυτοχρονισμού στην θεωρία της σχετικότητας με μεθόδους γεωμετρίας. Να εισάγει

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Τελεστές Δομή Διάλεξης Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Ερμητειανοί τελεστές Στοιχεία πίνακα τελεστών Μεταθέτες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ. Νίκος Κανδεράκης

ΕΙΔΙΚΗ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ. Νίκος Κανδεράκης ΕΙΔΙΚΗ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Νίκος Κανδεράκης Η Φυσική πριν τον Einstein Απόλυτος χρόνος και χώρος στη Νευτώνεια Φυσική Χρόνος «Ο απόλυτος, αληθής και μαθηματικός χρόνος, από την ίδια του τη φύση, ρέει ομοιόμορφα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΦΥΣΙΚΗ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Στις ερωτήσεις - να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Λέγοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 3 ΙΟΥΛΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ : ΦΥΣΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 3 ΙΟΥΛΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ : ΦΥΣΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 3 ΙΟΥΛΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1 ο Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια

Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια Όταν ένα δοκιμαστικό φορτίο βρεθεί μέσα σε ένα ηλεκτρικό πεδίο, δέχεται μια ηλεκτρική δύναμη: F e =q o E. Η ηλεκτρική δύναμη είναι συντηρητική. Έστω δοκιμαστικό φορτίο, q 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΕΥ η ΕΡΓΑΣΙΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΕΥ η ΕΡΓΑΣΙΑ 15/10/2004 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΕΥ34 2004-05 1 η ΕΡΓΑΣΙΑ Προθεσμία παράδοσης 15/11/2004 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Επιβάτης τραίνου, το οποίο κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα υ = 0.6c στη διεύθυνση του άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ III. ΤΟ ΣΥΓΧΡΟΝΟ ΑΤΟΜΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ III. ΤΟ ΣΥΓΧΡΟΝΟ ΑΤΟΜΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ Ν. ΜΠΕΚΙΑΡΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η εικόνα του ατόμου που είναι τόσο γνωστή, δηλαδή ο πυρήνας και γύρω του σε τροχιές τα ηλεκτρόνια σαν πλανήτες (το πρότυπο του Ruterford

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική : Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 19/04/16

Σύγχρονη Φυσική : Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 19/04/16 Διάλεξη 15: Νετρίνα Νετρίνα Τα νετρίνα τα συναντήσαμε αρκετές φορές μέχρι τώρα: Αρχικά στην αποδιέγερση β αλλά και αργότερα κατά την αποδιέγερση των πιονίων και των μιονίων. Τα νετρίνα αξίζει να τα δούμε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο: Λεπτή Υφή, Φαινόμενο Zeeman, Υπέρλεπτη Υφή

Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο: Λεπτή Υφή, Φαινόμενο Zeeman, Υπέρλεπτη Υφή Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο: Λεπτή Υφή, Φαινόμενο Zeeman, Υπέρλεπτη Υφή Δομή Διάλεξης Λεπτή Υφή: Άρση εκφυλισμού λόγω σύζευξης spin με μαγνητικό πεδίο τροχιακής στροφορμής και λόγω σχετικιστικού

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ηλεκτρικό Δυναμικό Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. Δήμος Σαμψωνίδης ( ) Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής & Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. Δήμος Σαμψωνίδης ( ) Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής & Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων Δήμος Σαμψωνίδης (16-12- 2014) Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής & Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο 1 Αλληλεπιδράσεις και Πεδία στη Σωματιδιακή Φυσική 2 Κλασική

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 3η Πετρίδου Χαρά

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 3η Πετρίδου Χαρά Στοιχειώδη Σωματίδια Διάλεξη 3η Πετρίδου Χαρά Τα Λεπτόνια 2 Δεν έχουν Ισχυρές Αλληλεπιδράσεις Spin 1/2 Παρατηρούνται ως ελεύθερα σωματίδια Είναι σημειακά (r < 10-17 cm) H δομή των οικογενειών... Γιατί

Διαβάστε περισσότερα

Yukawa: στην προσπάθεια να εξηγήσει τις δυνάμεις μεταξύ n-p στον πυρήνα

Yukawa: στην προσπάθεια να εξηγήσει τις δυνάμεις μεταξύ n-p στον πυρήνα Θεωρία Yukawa Yukawa: στην προσπάθεια να εξηγήσει τις δυνάμεις μεταξύ n-p στον πυρήνα έφτασε στο συμπέρασμα ότι η εμβέλεια της δύναμης εξαρτάται από τη μάζα, m, του κβάντου. t /mc R c t /mc Η εξίσωση Klein-Gordon

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Τετραγωνικό Πηγάδι Δυναμικού: Δέσμιες καταστάσεις - ιδιοτιμές Οριακές Περιπτώσεις: δ δυναμικό, άπειρο βάθος Σκέδαση σε μια διάσταση: Σκαλοπάτι

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 10: Ακτίνες Χ

Διάλεξη 10: Ακτίνες Χ Διάλεξη 10: Ακτίνες Χ Ένταση Roentgen (1895): Παρατήρησε ότι όταν ταχέα ηλεκτρόνια πέσουν σε υλικό στόχο παράγεται ακτινοβολία, που ονομάστηκε ακτίνες Χ, με τις εξής ιδιότητες: Ευθύγραμμη διάδοση ακόμη

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

1. Ηλεκτρικό Φορτίο. Ηλεκτρικό Φορτίο και Πεδίο 1

1. Ηλεκτρικό Φορτίο. Ηλεκτρικό Φορτίο και Πεδίο 1 . Ηλεκτρικό Φορτίο Το ηλεκτρικό φορτίο είναι ένα από τα βασικά χαρακτηριστικά των σωματιδίων από τα οποία οικοδομείται η ύλη. Υπάρχουν δύο είδη φορτίου (θετικό αρνητικό). Κατά την φόρτιση το φορτίο δεν

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Εισαγωγή Ο νόµος του Gauss: Μπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. Βασίζεται

Διαβάστε περισσότερα

(ΚΕΦ 32) f( x x f( x) x z y

(ΚΕΦ 32) f( x x f( x) x z y (ΚΕΦ 3) f( x x f( x) x z y ΣΥΝΟΨΗ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ J. C. Maxwell (~1860) συνόψισε τη δουλειά ως τότε για το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο σε 4 εξισώσεις. Όμως, κατανόησε ότι οι εξισώσεις αυτές (όπως

Διαβάστε περισσότερα

μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα x

μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα x Σπιν μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα ) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο με κατεύθυνση στα θετικά του άξονα, δηλαδή e,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Μαγνητικό πεδίο Νίκος Ν. Αρπατζάνης Μαγνητικοί πόλοι Κάθε μαγνήτης, ανεξάρτητα από το σχήμα του, έχει δύο πόλους. Τον βόρειο πόλο (Β) και τον νότιο πόλο (Ν). Μεταξύ των πόλων αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος B1) Δεδομένου του τύπου E = 2kλ/ρ που έχει αποδειχθεί στο μάθημα και περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο Ε μιας άπειρης γραμμής φορτίου με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ σε σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.

Διαβάστε περισσότερα

Theory Greek (Greece) Μεγάλος Επιταχυντής Αδρονίων (LHC) (10 Μονάδες)

Theory Greek (Greece) Μεγάλος Επιταχυντής Αδρονίων (LHC) (10 Μονάδες) Q3-1 Μεγάλος Επιταχυντής Αδρονίων (LHC) (10 Μονάδες) Παρακαλείστε να διαβάσετε τις Γενικές Οδηγίες στον ξεχωριστό φάκελο πριν ξεκινήσετε το πρόβλημα αυτό. Σε αυτό το πρόβλημα θα ασχοληθείτε με τη Φυσική

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Το Σέλας συμβαίνει όταν υψηλής ενέργειας, φορτισμένα σωματίδια από τον Ήλιο ταξιδεύουν στην άνω ατμόσφαιρα της Γης λόγω της ύπαρξης του μαγνητικού της πεδίου. Μαγνητισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Έργο ηλεκτροστατικής δύναμης W F Δl W N i i1 F Δl i Η μετατόπιση Δl περιγράφεται από ένα διάνυσμα που

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΟ «ΚΑΣΑΡΡΕΤΗ» ΣΟΤ «ΚΛΑΙΚΟΤ» ΑΣΟΜΟΤ

ΦΡΟΝΟ «ΚΑΣΑΡΡΕΤΗ» ΣΟΤ «ΚΛΑΙΚΟΤ» ΑΣΟΜΟΤ ΦΡΟΝΟ «ΚΑΣΑΡΡΕΤΗ» ΣΟΤ «ΚΛΑΙΚΟΤ» ΑΣΟΜΟΤ ΥΙΟΡΕΝΣΙΝΟ ΓΙΑΝΝΗ Αθήνα, Νοέμβρης 2011 James Clerk Maxwell (1831-1879) 2 Από την ηλεκτρομαγνητική θεωρία του Maxwell γνωρίζουμε ότι : α) Ένα ακίνητο ηλεκτρικό φορτίο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΟΣΗΜΟ ΘΕΜΑ Δ. Δίνονται: η ταχύτητα του φωτός στο κενό c 0 = 3 10, η σταθερά του Planck J s και για το φορτίο του ηλεκτρονίου 1,6 10 C.

ΟΡΟΣΗΜΟ ΘΕΜΑ Δ. Δίνονται: η ταχύτητα του φωτός στο κενό c 0 = 3 10, η σταθερά του Planck J s και για το φορτίο του ηλεκτρονίου 1,6 10 C. Σε μια διάταξη παραγωγής ακτίνων X, η ηλεκτρική τάση που εφαρμόζεται μεταξύ της ανόδου και της καθόδου είναι V = 25 kv. Τα ηλεκτρόνια ξεκινούν από την κάθοδο με μηδενική ταχύτητα, επιταχύνονται και προσπίπτουν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins, J.

Διαβάστε περισσότερα

Σφάλμα. (c) Για λόγους απλούστευσης, θέτουμε Άρα θα είναι ή. Όπου είναι προφανώς θετικός αριθμός. Άρα και. Αφού. Αφού

Σφάλμα. (c) Για λόγους απλούστευσης, θέτουμε Άρα θα είναι ή. Όπου είναι προφανώς θετικός αριθμός. Άρα και. Αφού. Αφού Πρόβλημα 10.1 Σε Σφάλμα 14 6.7 10 % (πολύ μικρό!!) Είναι ακόμα μικρότερο του c (c) Για λόγους απλούστευσης, θέτουμε Άρα θα είναι ή Όπου είναι προφανώς θετικός αριθμός. Άρα και Πρόβλημα 10.2 (a) Ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 )

Κβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 ) vs of Io vs of Io D of Ms Scc & gg Couo Ms Scc ική Θεωλης ική Θεωλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 746 dok@cc.uo.g cs.s.uo.g/dok ομηχ ομηχ δ ά τρεις διαστ Εξίσωση Schödg σε D Σε μία διάσταση Σε τρείς

Διαβάστε περισσότερα