2.3 INVERZNA KINEMATIKA

Transcript

1 Kiemtik. INVERZN KINEMIK Iveri kiemtički robem toji e i otuk oređivj vrijbi gobov koje ogovrju om oožju i orijetiji vrh miutor. Rješeje ovog robem je o fumete vžoti trformiju kretj vrh miutor i oerijkog rotor u ogovrjući gobovki rotor k e žei otići urije efiiro kretje. Nime ivršvje og kretj e obvj u gobovkom rotoru jer ktutori ogoi okreću urvo gobove. Ježb irekte kiemtike u oerijkom rotoru im obik: [ ϕ ψ ] r. φ gje je oožj robot oređe i jegov orijetij Euerovim ugovim ϕ ψ. Vektor r e iv vektor vjkih koorit. I ovog vektor je vijivo obro oto rvio robot mor imti jmje šet tujev oboe kretj o kojih u ojej tri rotije bi ueo roivoji oožj i orijetiju u rotoru. Oim vektor vjkih koorit efiir e i vektor uutršjih ii urvjih koorit koji retvjju rotije i trije u ojeiim tujevim oboe kretj. Zbog tog će jihov broj biti jek broju tujev oboe kretj kojih ko što je već čeo treb biti šet. Vektor uutršjih koorit je utvri vektor kofigurije miutor q : [ q q q q q ] q.. q Vro je četo imeij vektor q mj o šet što fiiko či e robot e može roivojo orijetirti u rotoru već je orijetij jeomičo ii otuo uvjetov jegovim oožjem. Kiemtički moe robot retotvj ovje ve imeđu vektor uutršjih i vektor vjkih koorit. ko u imeije vektor r i q jeke riječ je o ereutom robotu i otoji koč ku rješej iverog kiemtičkog robem. ko e urvje koorite metu ogričej koj ijee i me kotrukije robot t je rješeje iverog kiemtičkog robem ereute robote jeočo. ko je imeij vektor r već o imeije vektor q riječ je o kiemtički reutom robotu i rješeje iverog kiemtičkog robem ije jeočo. Nime rješej im bekočo mogo imeđu jih e obire jeo koje je o om kriteriju jovojije. Zbog teškoć obirom jovojijeg rješej veći robot je ereut. Probem višetrukih rješej ovii e mo o broj tujev okretjivoti ego i o broj eutih Devit-Hrtebergovih rmetr; što je veći broj ovkvih rmetr veći je i broj rihvtjivih rješej. Nr. miutor tujev okretjivoti be ogričej u oćem učju otoji rihvtjivih rješej. U tom učju u otrebi eki oti kriteriji obir i tog ku. Potojje mehičkih ogričej gobovim može mjiti broj rihvtjivih rješej reu trukturu. Dobivje rješej u tvoreoj formi htijev ii gebrku ituiiju kko bi e uočie oe bite ježbe koje rže eote ii geometrijku ituiiju kko bi e uočie oe bite tčke trukturi u oou koje je ogoo omtrti oožj i orijetiju ko fukije mjeg broj eotih. mo gje e e može roći rješeje u tvoreoj formi rimjejuje e tehike umeričkog rješvj iko oe e ju v rihvtjiv rješej u oćem učju. Neottk umeričkog rješvj iverog kiemtičkog robem je retivo veiko vrijeme irčuvj u mogućot ivergeije otuk ko očeto rješeje ije ovojo tčo oređeo. Numeričko rješvje e Mr.. Jmi Vegić i.iž.e. Lbortorij Robotiku i utoome iteme

2 Kiemtik omogućuje reovje igurih tj robot i reumjervje otuk rčuj u ogovrjućem mjeru. o u veiki eoti bog tog rješeje iverog kiemtičkog robem mogo češće uži itički robem irčuvj. itičko rješeje iverog kiemtičkog robem je ekiite ježbe koje oveuju uutršje i vjke koorite. Međutim oo je veom ože robem koji o ije rješe u oćem obiku roivoju kofiguriju robot. itičko rješeje u oou rem umeričkome im veikih reoti. Je o jih je to što irčuvje trje mogo krće bog mjeg broj otrebih mtemtičkih oerij i o jeg e uvijek iguro oi. Sigur rješej je moguće urije revijeti i ueti u obir rješej u u oštovje ogričej urvjih koorit jeoč. N oovu veeog oi e o kjučk je robem ivere kiemtike ožeiji o robem irekte kiemtike bog ijeećih rog: - Ježbe u oćeito eiere te bog tog ije uvijek moguće ći rješeje u tvoreoj formi. - Mogućot otojj više rješej. - U učju kiemtički reutih miutor može biti bekočo mogo rješej - Moguće je em rihvtjivih rješej u kiemtičku trukturu miutor. U tvku e rješvju rimjeri ivere kiemtike eke tiiče trukture robotkih miutor koji e ureću u iutrijkoj roivoji. Primjer. roegmet r ruk Prik trukture miutor je S.. ogovrjuć ježb irekte kiemtike je.7. Potrebo je ći vrijbe gobov i koje ogovrju om oožju i orijetiji vrh miutor. Ukoiko je moguće ožejo je eifiirti oožj i orijetiju u obiku miimog broj rmetr: vije koorite i φ kooritom oom u ovom učju. P Sik.. roegmet r ruk. Mr.. Jmi Vegić i.iž.e. Lbortorij Robotiku i utoome iteme

3 Kiemtik Ovj robem e može riješiti gebrkim i geometrijkim utem. gebrko rješeje Orijetij vrh miutor je oi ijeećom reijom: φ. koj retvj jeu ježbu item kojeg treb riješiti. Ukoiko φ ije oi t je ruk reut i otoji bekočo mogo rješej iverog kiemtičkog robem. I ježbe.7 obivju e ježbe : φ. koje oiuju oožj tčke tj. ihoište kooritog item. Poožj ovii mo o ugov i. Kvrirje i umirje gorjih ježbi je: φ ooo. Prihvtjiv rješej e e u itervu. U učju rješej koje e ri tom itervu tčk bi e i iv otuog rog rotor. Nje je : ± gje e oitiv rek uim oji oožj kt egtiv rek gorji oožj kt kofiguriju S... N oovu retho v ir ugo jek je: t.. N ovom mjetu je vžo giti e io rotijke urvje koorite uvijek trži reko fukije rku tge bog tog što je tčot irčuvj rt fukije u ijeom oručju jee efiiije jek ri uotrebi fukije ri i ro tčot irčuvj mog bi otti robemtič u okoii tčke π / ooo. Sm fukij rt ooo t je rješeje u itervu [ π / π / ]. Sutituijom u jebže. obiv e item vije ježbe eoim i. Rješej ovog item u:. Mr.. Jmi Vegić i.iž.e. Lbortorij Robotiku i utoome iteme

4 Kiemtik Prem tome ugo je ijeećim irom: Kočo ugo može e irčuti i - ko: t....7 φ b Geometrijko rješeje Primje koiuog teorem trokut kojeg čie egmeti i egmet kojeg oveuju tčke i O je: o π ooo vije outive rihvtjive kofigurije trokut S... Buući je o π o ijei : i mor vrijeiti rog rotor robotke ruke.. Uvjet ije ovoje k je tčk iv otuog φ α β Sik.. Prihvtjive kofigurije voegmete re ruke. Mr.. Jmi Vegić i.iž.e. Lbortorij Robotiku i utoome iteme

5 Kiemtik N temeju otvke o rihvtjivim rješejim obiv e: o.8 gorji oožj kt u itervu π oji oožj u itervu π. Ugo α je oređe komoetm i rem ijeećem iru: Primjeom koiuog teorem obiv e ježb: α t..9 β i koje e ko uvrštvj ir obiv ir ugo β : β o. gje je β π što oigurv otojje trokut. N oovu ir.9 i. ijei ir ugo : α ± β. ri čemu e oitiv rek uim < i egtiv >. Ugo e obiv i.. Primjer. Sfer ruk Potrebo je roći vrijbe gobov i i oožj vrh miutor. D bi e rvojii vrijbe o kojih ovii ogičo je iriti oožj obirom kooriti item tim romtrti mtriču ježbu:. gje je fukij irekte kiemtike u obiku: Mr.. Jmi Vegić i.iž.e. Lbortorij Robotiku i utoome iteme

6 Kiemtik 7 Mr.. Jmi Vegić i.iž.e. Lbortorij Robotiku i utoome iteme i vektor oožj vrh miutor u oou kooriti item be:.. Uvrštvjem vrijeoti eemet mtri i u. ijev tr ite mtriče ježbe otje:. Prv tri retk četvrtog tu roukt gorjih mtri ju vektor oiije vrh miutor u oou kooriti item :.. ogim otukom eu tru mtriče ježbe. obiv e: i.. Iječvjem ir vektor u ob učj immo:..

7 Kiemtik 8 Prem tome vektor oiije uvoi e mje: ooo ovii mo o vrijbm t t t t. t t i. D bi e riješi ježb. Uvođejem gorjih mje u treći rek ijeve tre ježbe. obiv e ijeeć kvrt ježb: čije je rješeje t t t ±. Dv rješej ogovrju vjem ričitim kofigurijm. ko je ikrimit egtiv rješeje ježbe ije rihvtjivo outivo. Sijei je: t ±..7 Dijejem rve i ruge komoete obje tre mtriče ježbe. obiv e: oovu tog i ir vrijbu rugog gob : t..8 Kvrirje i umirje rve vije komoete obiju tr. je: ooo.9 gje je rihvtjivo mo rješeje >. Mr.. Jmi Vegić i.iž.e. Lbortorij Robotiku i utoome iteme

8 Kiemtik 9 Mr.. Jmi Vegić i.iž.e. Lbortorij Robotiku i utoome iteme Primjer. troomorf ruk troomorf truktur miutor troomorf ruk rik je S..7. Potrebo je roći vrijbe gobov i i oožj vrh miutor. ogo rethoom rimjeru rješv e ijeeć ježb :. Lijev tr gorje ježbe otje:. Vektor oožj vrh miutor u oou kooriti item je:.. ogim otukom eu tru mtriče ježbe. obiv e: i.. Iječvje ir. i. je:..

9 Kiemtik N oovu ježbe. obiv e ir ugo : Drugo rihvtjivo rješeje je: u uvjet e može romijeiti π. t.. π t. Struktur miutor koj rži gobove i jet voegmet tim refereti gob rotir oko oi. Z obivje ug rimjejuje e koiui teorem kko je to riko S... π Sik.. Primje koiuog teorem ko voegmete re ruke. Reutt rimjee koiuog teorem je: o π i kojeg e irekto rču ir ugo : ± t. Komoet vektor oožj vrh miutor už oi im obik: Mr.. Jmi Vegić i.iž.e.. Lbortorij Robotiku i utoome iteme

10 Kiemtik Mr.. Jmi Vegić i.iž.e. Lbortorij Robotiku i utoome iteme Ovj ir može e je iti ko: kvrirjem ijeve i ee tre gorje ježbe te jjim ređivjem ir obiv e kvrt ježb o :. Rješeje gorje kvrte ježbe je:.. t.7 Može e reoti otoje četiri rješej obirom vrijeoti vrijbi i. Ov rješej ogovrju ijeećim kofigurijm miutor:. oožj rme eo kt gore. oožj rme eo kt oe. oožj rme ijevo kt gore. oožj rme ijevo kt oe. Vžo je omeuti je moguće roći rješeje ko i mo ko vrijei:. U učju je bekočo mogo rješej otoji jer je moguće vrijbe gobov i eovio o vrijeoti vrijbe. U reom ogvju vijet će e je tkv kofigurij kiemtički igur.

11 Kiemtik Mr.. Jmi Vegić i.iž.e. Lbortorij Robotiku i utoome iteme Primjer. Četveroegmeti miutor fere trukture Ježb irekte kiemtike ovog robot je irom:..8 Možejem te ježbe obiv e:..9 Lijev tr ježbe. ioi:. gje je vektor oožj vrh miutor u oou kooriti item miutor jek:. De tr ježbe.9 ioi: - Iječvjem eemet [] mtrie. i eemet [] vektor. obije e:. što je gebrk ježb jeom eoiom. Z jeio rješvje uvoi e ijeeć utituij: i o α α. gje je: t α.

12 Kiemtik Sutituijom ježbi. u ježbu. obiv e: i α o α ooo i α. Koiu rgumet α t je: o α ± tko e može iti: t α. ± ± gje rek - ire korije očv tv. ijevormeu kofiguriju k tv. eormeu kofiguriju ferog robot. Buući je i robot eormei S.. u tvku će e orumijevti rek ire korije ježbe.. Rješvjem ježbe. i uvrštvjem. ijei kočo rješeje rvu urvju kooritu u obiku: t t..7 Rješeje može e obiti i ruge čie. Iječvjem eemet [] ježbe.9 obiv e: t.8 iječvjem eemet [] ježbe. obije e: t.9 Sve tri obivee ježbe irčuvje urvje koorite morju ti ito rješeje. Zbog rktičog rog regeoti običo e obiru ježbe ko je moguće koje ovie o vektoru vjkih koorit r. Iječvjem eemet [] tim eemet [] ježbe.9 obiju e vije ježbe: oke ijei: t. Međutim ugo irže vektorom vjkih koorit gi: ϕ. Mr.. Jmi Vegić i.iž.e. Lbortorij Robotiku i utoome iteme

13 Kiemtik Mr.. Jmi Vegić i.iž.e. Lbortorij Robotiku i utoome iteme što je jeotvij i rktičij ježb. Iječvjem eemet [] tim eemet [] ježbe.9 ijei: ko e i rve ježbe iri i ruge obiv e: oke ijei: t - Koorit jeočo je efiir ko e rihvti otk e i itervu ] [ π što oređuje kotrukij robot. Četvrt urvj koorit može e oreiti rem ježbm. i. ijeeći či: ϕ. Urvj korit mog bi e irčuti iječvjem eemet [] ii [] ježbe.9. Međutim u ob bi učj bio otrebo obviti ijejeje trigoometrijkom fukijom i ii o. D e to ibjege mtri.9 moži e mtriom ijeve tre. Dobije e je:. gje u mtrie i jeke:

14 Kiemtik Mr.. Jmi Vegić i.iž.e. Lbortorij Robotiku i utoome iteme Iječvjem eemet [] ježbe. ijei: oke e može irčuti urvj koorit ko:. čime je iveri kiemtički robem riješe. Primjer. Stfor miutor Ježb irekte kiemtike Stfor miutor je : q.. Z ovkvu trukturu miutor otoji rješeje u tvoreoj formi ogovrjući oožj vrh miutor. Ježb. može e iti u mogo ričitih formi obik. Ukoiko očimo ihoište kooritog item vrh fere ruke t vrijei: q. -.7 Možejem obje tre gorje ježbe ijev mtriom obiv e rugi obik ite:.8 Vektor oožj vrh fere ruke u oou kooriti item miutor ko uvrštvj mtri homogeih trformij u.8 uimjući u obir ijevu tru ježbe je:.9 eu tru ite ježbe:.7 gje u:. i i u komoete vektor oožj vrh miutor u oou kooriti item be.

15 Kiemtik Iječvjem ir.9 i.7 obiv e item tri ježbe tri eoie:..7 D bi e riješie ove ježbe uvoi e mje: ooo t t t t. t t Uvođejem gorjih mje u treću ježbu.7 tje kvrt ježb: t t čije je rješeje Sijei je: t ± t ±..7. Z otojje egiteiju rješej ir io korje mor biti oitiv. U učju egtivog rek rješeje e otoji ooo vrh miutor je iv otuog rog rotor. Dijejejem obje tre rve i ruge ježbe.7 obiv e: t..7 Vrijb može e obiti i ume kvrt rve i ruge ježbe.7: ± ri čemu u rihvtjiv mo oitiv rješej >. Po ježb irekte kiemtike. može e trformirti u ijeeći obik : [ ].7 ri čemu obje tre ježbe oređuju oožj i orijetiju vrh miutor u oou treći kooriti item. Lijev tr.7 je ot buući u vrijbe i rethoo oređee. Mr.. Jmi Vegić i.iž.e. Lbortorij Robotiku i utoome iteme

16 Kiemtik 7 Mr.. Jmi Vegić i.iž.e. Lbortorij Robotiku i utoome iteme ko ijevu tru ite ježbe očimo [ ].7 i omožimo ijev mtriom obiv e:..7 Proukt im ijeeći obik:..77 Mtrie.7 i.77 morju imti eemete itim vrijeotim ogovrjućim mjetim. Uoreb eemet [] gorjih mtri je irekto vrijeot ug : t..78 I eemet [] i [] obiv e : t.79 gje u i rethoo irčuti u.78. N otuo ietič či e obiv i eemet [] i [] : t.8 Ovim je otuk obivj vrijbi gobov vrše.