Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Transcript

1 Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Э. Дж. Ибрагимов, О сходимости в среднем рядов Фурье Якоби, Владикавк. матем. журн., 6, том 8, номер, 4 59 Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением Параметры загрузки: IP: ноября 7 г., 7:4:5

2 Ç Q N Å! #" $ %'&*,+ -.* / *,4657 8#9: ;<>=@?BAC DE?BA'F GIHJKGL!MONGOH PM@QRH SUTVL!WOTUNXSBYZL[GKQ]\_^_SU`6TbacY_d_GKe6M f DhgjikD,lmpoVq rsutkvpw xyz ~ U ƒ [ z yz ƒy ˆ~ ŠŒ u h Ž ƒy y ƒ ~ O ~ ~ O y ~ šu œ uˆ~ ž Z ' 6 j ª#«ž z ƒ ~ pz yz[ ~ ƒ ~ z ƒ y ~ šu œ uˆ~ ž pƒ xbz ƒ± ²u ƒyz h y ˆŽ Z~ ž ~ ž U ƒyy ~³Œ~ ³z µo Z¹pº» ¼½¾' À Á!Âpº Ã½ ¼Ä a Í_Æ» ¼ ¹pºÁ ¼Å Æ» p½ ÇÅ ¾»ŒÈ#½ÉÅÊ,½» ¼Å!Ç» Â É¹ Ê Â#¾Ép½ Ç \ ÆÂ arykë ½Ã ÅÌ fx a + a cos x + b si x = arî ½ ÂÊUº ¹½ ÂpºÏ p½ð! ¹ Å 6¹ Ë ½ ¼½ Â½ Á Î Æ¹ Ë Ñ Å Å Õ º» ¼Å Õ ¹ Ä6È» Æ'Ê,ÊbÂ#¾É º Ö Ø a ¹½ ÂÊUº Î Æ¹ Ë Ñ Å Å f r Ù½ Ç½ Â#¾'¼ f r = f L r S f; x f L r, fx r r dx <, r <. Õ ¼½[Â#¾ÉÚÖ Ø6»ŒÈ#½ÉÅ ¼»¾jÇ>» Â É¹ ÊRÖÛ» Ó ½ Ë ºÏº¼ p Ê Ì S Å»»>ÜÝ ÞßÉ ¾ Î Æ¹ Ë Ñ Å Á r Ø» Å aôó ½» p Ép½ Ç#º¼ ¹½» ¼ lim f S f r =. f L r Ó Â Å < r < Æ» ¼ º¹½ ÇÅ' ¹ ÂpºÇ ¹» ¼Ç½ S f r C r f r, =,,..., Ç Ë ½ ¼½ Â½Ê ÏºÇÅ» Å ¼¼½ Ë ½à½ ¼ ¼½ ¼ Î º Ë ¼jâ Ë ÇÅ Ç#º p ¹ ¼ ¹b¼½ÊuÆ C r r. á Õ ¼½ Ó Â Å ÅÊ, ¼ãÊ,» ¼½jÖ äø ¼Ì Ì'¼Â Å å½ ¹½Ê, ¼Â Å Õ» Ë º¾à» Å» ¼ ÊUº>½Ã ÂpºÏÆ ¼æÃºÏÅ»OÇ L ç º¼ ÊXè@ºÆÉp Â Í_â Å d º¼½ ¹éÅ J Å' p d ½Ã ÂêÉp½ Ë ºÏº Å r Õ ¼½]¾'Ç ¾'ëK¼»¾éÃºÏÅ»º ÊuÅ. < r < L r,» Å» ¼ ÊUº J ººÂpºbÜ ääß Ó Â Å r < Åk» Å» ¼ ÊUº ^ ½ ì[ºíüý î ß Ó Â Å < r <, º Ç L r,, < r <, a» Å» ¼ ÊUº Ó Â ½Ã ÂpºÏ½ Ç#º¹ Å Á \ ÆÂ Êu¹½ å½ Õ p ¹½ Ç ï ºå Â Âpº[Ü î ß Ì Âpº Ã½ ¼ æüý ñß,ù ÌBò!Ì \ ½ÊuÅ ¹Æ Ë ºÏº Ë ½ â Î Î Å Ñ Å ¹ ¼¹ ÄZ!Æ» p½ ÇÅ ¾ Ó Â Å Ë ½ ¼½ Â Ä6ÈÅÊ, ¼Ê, ó p» ¼½jÖ äø Ó Â Å r =. ^ ÉÅ ÇÅ ¼ ¹ ÄZÊ Î º Ë ¼½Ê Ó ½» p 6â¼½ å½ ½ Ë ºÏº p»¾>â ÏÆ ¼ º¼ Ù ÌÍO½ ºÂÉ º>ÜÝ ä ôßp½k¼½ê Õ ¼½» Å» ¼ ÊUºÀÊu¹½ å½ Õ p ¹½ Ç>ï ÐÀº¹'ÉÂpº L r, ¾'Ç ¾ ¼»¾ÃºÏÅ»½Ê Ó Â Å 4 ÃºÏÅ»½Ê Ë ½ åé º < r < 4 Åõ¹ K¾'Ç ¾ ¼»¾ r [, 4 4,. Q É º ¹ Á ìà Ê L Ð Ì W ÁÊUº¹öÅ ^ Ì S ÆÉÅ ¹ Ü ñß Ó ½ Ë ºÏº Å Õ ¼½ Ó Â Å r = 4 r = 4» Å» ¼ ÊUº>Êu¹½ å½ Õ p ¹½ Çãï ÐÀº¹'ÉÂpº>¼ º Ë Ð! ¹ _¾'Ç ¾ ¼»¾jÃºÏÅ»½ÊbÇ L r. ùœûü ž z³ ~ ýhþÿ

3 a Ç º Q îî " - 5 <[ 5 Q Ì Í[Ì N ½ ¼½ Â ¹ ÄÁöÜ ßÆ Ë ºÏº Æ» p½ ÇÅ ¾¹pº Î Æ¹ Ë Ñ Å ë Ó Â Å Ë ½ ¼½ Â Ä6ÈÅÊ, ¼>Ê,» ¼½jÖ äø Ó Â Å f Ç» È r [, 4 4,, ¼Ì ÌBÇ» Æ Õ º¾È Ë ½ åé ºÊu¹½ å½ Õ p ¹ Ä@ï ÐÀº¹'ÉÂpº¹ À½Ã ÂpºÏÆëK¼jÃºÏÅ» L r, ¼ º Ë Õ ¼½ Ó ½» p Ép½ Ç#º¼ ¹½» ¼ Ë ½ ¹» ¼ º¹ ¼ ï Ã å ºà» Æ'Ê,Ê \ ÆÂ a ï ÐÀº¹'ÉÂpº¹ ½ åâpº¹ Å Õ ¹pº'Ì6Í_Â Å Õ Ê Ó ½ Â#¾É Ë Å Ó Â ÅÃ Å Ð! ¹ Å Á Õ º» ¼¹ ÄZÊuÅ» Æ'Ê,ÊUº ÊuÅ Ç L r < r Ó ºÉ ºëK¼»!¹pºÅ' Æ 4»½ Ç ó Õ ì!åêuåà¹pº Ë º»»ºÈ Î Æ¹ Ë Ñ Å Áà» Ép½» ¼ º¼½ Õ ¹½õÈ#½ Â½ ì!åêuåéå Î Î Â ¹ Ñ Åpº ¹½ó ÂpºÏ¹½» ¼¹ ÄZÊuÅà» Ç½ Á» ¼Ç#º ÊuÅÌ Q Ì N Ì e ºÉ Ë ½ ÇÜÝ ßBÅ»» p Ép½ Ç#º Ó ½ Â#¾É Ë Å Ó Â ÅÃ Å Ð! ¹ Å Á» Æ'Ê,ÊUº ÊuÅ \ ÆÂ a ï ÐÀº¹'ÉÂpº Ó Â Å Æ» p½ ÇÅ Å Õ ¼½ ] ¼Ì Ì [4,, f H m+α r r [, 4 f m x + h f m x r dx Å Å ÏÆ Õ Å' Ó ½ Â#¾Ép½ Ë Â½» ¼ º>½Ã½Ã À ¹ ¹ Ä6È Ë ½ ¹» ¼ º¹ ¼æï Ã å º L r, γ = sup f r G ¼Ê, ¼ÅÊí¼ º Ë Ð!» p ÉÆëK!Å Á Â ÏÆ ¼ º¼ x α + x β P α,β r C h α, < α, r = r/r x + γ S, f; x, γ. r º¹½ ¹» Å Â½ Ç#º¹ ¹ ÄÁàÙ ÌÍO½ ºÂÉp½Ê Ç ÜÝ äß Ì H Å» ¼ ÊUº x α, β ¾'Ç ¾ ¼»¾ ÃºÏÅ»½Ê@Ç L r, 4 < r < 4; Ó Â Å a β ÃºÏÅ»½ÊíÇ â¼ º» Å» ¼ ÊUº¹ ¾'Ç ¾ ¼»¾ L r,,» Å r [, 4 4,. G Ã½ Ï¹pº Õ ÅÊ åép L r M = f : M r f L r, QL r = f : Qf L r, Mx = x α + x β Qx = x A + x B S f = S α,β f; x = x, α, β >, x, A, B R, C f = α, β P x Õ º» ¼¹pº¾» Æ'Ê,ÊUº!Â#¾É º \ ÆÂ Ó ½[½ Â ¼½ ¹½ ÂÊuÅ Â½ Ç#º¹ ¹ ÄZÊk»KÇ»½Ê P α,β x Mx Êu¹½ å½ Õ p ¹pº Ê L,r M, Q = sup S fq r : f QL r, fq r. ñþñàå Ì e Ì N º Ë Ë ¹'È#½ Æ Ó ¼Ü ß Ó ½ Ë ºÏº ¹ ½ÃÈ#½ÉÅÊuÄÔÅãÉp½» ¼ º¼½ Õ ¹ Ä x α + x β α,β P x ï>ì e Ì J ½É º Ë Õ ¼½ Ó Â Å < r < Æ» p½ ÇÅ ¾ YKË ½Ã Å A + r α + < mi 4, α +, B + r β + < mi 4, β + É ¾æ½ åâpº¹ Å Õ ¹ ¹½» ¼Å Ë ½ ¹» ¼ º¹ ¼[ï Ã å º L,r M, Q, ¼Ì' Ì» Å» ¼ ÊUº α, β > ½Ã ÂpºÏÆ ¼íÃºÏÅ»Ç L r, Ó Â Å < r <. Ü ä' ß,É º ½ Ñ ¹ Ë Å Æ Ë p½ ¹ ¹ Å ¾ Î Æ¹ Ë Ñ Å Å f ½ ¼ Õ º» ¼Å Õ ¹ Ä6È» Æ'Ê,ÊkÂ#¾Ép½ Ç \ ÆÂ a

4 Ö - - ƒ"hƒ $Bö" - #" ' K - î YKË ½Ã ÅÔÇ L r [, ] Ó Â Å Æ» p½ ÇÅ Å Õ ¼½ È#½ ¼¾ÔÃ Ä ½É¹½bÅ Ï¹ ÂpºÇ ¹» ¼Ç Ö ôøã¹ àçä Ó ½ ¹ ¾ ¼»¾ Ó Â Å Õ Ê f Hr γ+α. Q Âpº Ã½ ¼ Ü Þß W Ì N Ì d ºÏº Ë ½ Ç#ºOÉ º ¼ Ó ½ Â#¾Ép½ ËæË ½ ¹» ¼ º¹ ¼!ï Ã å º L,r M, Q Ç Ó Â½» ¼Âpº¹» ¼Ç QL r. G Ã½ Ï¹pº Õ ÅÊ ÏºÉ º¹ ¹ Ä6È¹pº Õ Â Ï [, ] < r < < µ =,,... É ¾ Ë ½ ¼½ Â Ä6È a Ë º»» Î Æ¹ Ë Ñ Å Á e»½ Ç#º f L Å Ë ½ ¹ r Õ ¹à» p ÉÆëK!Å ÁÅ ¹ ¼ åâpº Br +µ h µr f x + h f x r r[, h] dh C. H ÌUÙ Ì W [ºÉÅÊ ÜÝ ß Æ Ë ºÏº Ép½» ¼ º¼½ Õ ¹ ÄZ jæ» p½ ÇÅ ¾í¹pº Î Æ¹ Ë Ñ Å ë ½ ¼ Å Õ ¹ ÄZ ½ ¼ Ó Â Å Ç ó Ép ¹ ¹ Ä6ÈíÇ Ü ß Ó Â Å Ë ½ ¼½ Â Ä6È ÅÊ, ¼ Ê,» ¼½kÖ äø ºà¼ º Ë Ð! Ó Â Å Ç ½ Ñ ¹ Ë Å» Ç ÂÈ'Æ Õ º» ¼¹ ÄZÊuÅ» Æ'Ê,ÊUº ÊuÅ Â#¾Ép½ Ç \ ÆÂ acykë ½Ã ÅjÇ Å \ ÆÂ a ï ÐÀº¹'ÉÂpº[Ç L L r < r <. G Ã½ Ï¹pº Õ ÅÊ Õ Â Ï a Ó Â½» ¼Âpº¹» ¼Ç½ Î Æ¹ Ë Ñ Å Áö» Æ'Ê,ÊuÅ Â Æ ÊuÄ6È» L [, ] p < p ó ½ Á» ¼ Ó ¹ ë»ç»½ê µx = x α + x dx < α <, º a ¹½ ÂÊuÆ f f L [, ], åép åép Í_Æ» ¼ f = Cα fx p p dµx <, Cα = Γα + // α+/ Γα + Γ dµx = x α + x dx. fx = a α, f =, f B +µ r a α, fp α, x, 4 fxp α, x dµx aêî ½ ÂÊUº ¹½ _ÂpºÏ p½ð! ¹ Å ÇÀÂ#¾É \ ÆÂ Î Æ¹ Ë Ñ Å Å f L [, ] Ó ½ÀÊu¹½ å½ Õ p ¹pº Ê ½Ã ÂpºÏÆëK!Å'È½ Â ¼½ å½ ¹pº ¹ ÆëI» Å» ¼ ÊuÆõ¹pº[½ ¼Â Ï Ë [, ]»OÇ»½Ê µx, ¼Ì Ì åép P α, xp α,, k, k x dµx = h α, k =, h α = α+ Γ + α + Γ + + α + Γ + Γ + α +. YKË ½Ã Å G Ã½ Ï¹pº Õ ÅÊ Õ Â Ï α, S f; x Õ º» ¼Å Õ ¹ Æë» Æ'Ê,ÊuÆæÂ#¾É º Ö îø Ì Q ¹pº» ¼½¾' À Á» ¼ º¼ ¹pºÁ'Ép ¹ Ä Ë ½ â Î Î Å Ñ Å ¹ ¼¹ ÄZ Æ» p½ ÇÅ ¾íÉ ¾»ŒÈ#½ÉÅÊ,½» ¼Å Ç» Â É¹ Ê Â#¾Ép½ Ç \ ÆÂ acykë ½Ã ÅÚÖ îø ¼Ì Ì ÇÄ Ó ½ ¹ ¹ Å ¾j»½½ ¼¹½ ìà ¹ Å ¾ α, lim f S f =, p <. 5

5 á î#þ " - 5 <[ 5 H p ÉÆ¾ ÜÝ ñß Ë ºÐÀÉÆë Ó ½» p Ép½ Ç#º¼ ¹½» ¼ Ã ÆÉp Êb¹pºÏÄÇ#º¼ É ¾ Î Æ¹ Ë Ñ Å Å åép m ¹pº¼ÆÂpº ¹ Ä6È Õ Å» f,» Å m =,,... α+ lim E f =, p <, 6 m E f = if P H f P a ¹pºÅ' Æ Õ ìà Ó Â ÅÃ Å Ð! ¹ Å õçê, ¼Â Å Ë Î Æ¹ Ë Ñ Å Å L f º å Ã ÂpºÅ Õ» Ë ÅÊuÅíÊu¹½ å½ Õ p ¹pº ÊuÅ» ¼ Ó ¹ ÅÊ, ¹ ìà OÅ' ÅÂpºÇ¹½. G ¼Ê, ¼ÅÊ Õ ¼½>» Â ÉÅj½ Ó ¼ÅÊUº ¹ Ä6ÈÉ ¾ f Ó ½» p Ép½ Ç#º¼ ¹½» ¼ ÁàÅÊ, ëk¼»¾å ¼ º Ë Å Õ ¼½ ¼½!» p ÉÆ ¼!Å ÏÀÖ ÞØ» ÅæÆ Õ» ¼ ¹pº Ó Â ÅÊ, Â ÜÝ»Ì'î ßÛØ Ì t_tkqíaöü ôß DZ" - h h K u = m lim Õ ¼½ É ¾[ ë_ã½ å½ < α < S α, f; x = = =. 7 f L Å #" 'ƒ - " '$B - τ u fxk u dµu, + α + Γ + α + α+ Γα + Γ + P Γα + τ u fx = Γ Γα + E f Ó Â Å ÖÛ»ÊÌ α, u, r α fx, t, r dr, fx, t, r = f xt + r x t r x t - - ã$ $ - - [5] 5 $ S º»»Ê,½ ¼Â ÅÊk½Ã½Ã À ¹ ¹ ÄZ» Æ'Ê,ÊuÄ t_tkqbdz" V α, m f; x = Q º p ó Í_Æ»» ¹pº m + = #" 'ƒ - -- $ - S α, f; x =,,.... < α < f V α, m f + α+ m = O + E f, p <. m + Í_Æ» ¼ Q x a º å Ã ÂpºÅ Õ» Ë Å ÁÊu¹½ å½ Õ p ¹j» ¼ Ó ¹ Å Ê, ¹ ìà KÅ' ÅÂpºÇ¹½ Á Æ Ë p½ ¹ ¾'ëK!Å Á»¾Çã» Â É¹ Êí½ ¼ f Ì P º ËjË º Ë $ B S α, Q x = Q x, =, +,..., ¹pºÅÊ, ¹

6 ¼½ - - ƒ"hƒ $Bö" - #" ' K - î ç º Ê, ¼ÅÊ J = Õ ¼½ m + f V α, m f = = m + S α, = S α, = f Q m + Cα S α, f f m + = f Q + E f. S α, = = Cα m + M» Ó ½ ÏÆ¾[¼ ½ Â ÊuÆ \ Æ'Ã Å ¹ ÅjÜÝ N Å ¹ Ë ½ Ç» Ë ½ å½ü ä»ì ñß Ó ½ Æ Õ ÅÊ ¼½ J Cα m + M ¼ º ËjË º Ë Ü ôß J f Q ; x = p τ u f Q x i + α + Γi + α + α, P α+ Γi + i Γα + i=»ìô τ u f Q Cα m + E f = = = α+ Cα m + E f si t α+ L ¾ ½ Ñ ¹ Ë Å K x = = α+ Cα m + E f = m+ ß Ó Â Å dµx p p udµu dµx p p =, º Ó Â Å p > ½Ã½Ã À ¹ ¹½ ¹ ÂpºÇ ¹» ¼Ç½ i + α + Γi + α + α, P α+ Γi + i Γα + i= τ u f f, i= u dµu. i + α + Γ i + α + P α, α+ Γ i + i u dµu Γα + i + α + Γi + α + α, P = i= α+ Γi + i cos t Γα + + m+ J. Ç½» Ó ½ ÏÆ Ê,»¾»½½ ¼¹½ ìà ¹ Å ÊRÜ ää = α+ Cα m + E f J. + J..»Ì ôß + α + Γ + α + α+ Γ α, + P Γ + α + x = Γα + α+ Γ + P Γα + α+, 8. 9 x.

7 î " - 5 <[ 5 G ¼ Ë ÆÉ º[»OÆ Õ ¼½ÊÚ¹ ÂpºÇ ¹» ¼Ç#ºÖÛ»ÊÌÜÝ»ÌpäÞî ßÛØ si t γ+ cos t β+ P γ,β cos t M, γ, β, t [, ], Ó Â Å γ = α + Å β =, ºO¼ º Ë Ð! _»½½ ¼¹½ ìà ¹ Å ¾ÖÛ»ÊÌ Ü ä»ì'ñ Ó ½ Æ Õ ÅÊ Õ ¼½ α+ K cos t α+ Γα + P α+, M ÏæÖ ñø6»_æ Õ ¼½ÊRÖ Ø6Ã ÆÉp ÊÚÅÊ, ¼ = O = L ¾ ½ Ñ ¹ Ë Å α+ J. = m+ m+ J. Å» Ó ½ ÏÆ Ê cos t = O si t α+ = α+ ßÛØ Γ + α α Γ,, si t α,. K cos t si t α = O + m α+ m + + α+ m = O m +. m + Î ½ ÂÊuÆ Æ d Â Å» ¼½ Î Î ¾ a@l ºÂÃ ÆÜÝ Þ m+»ì ôß t α α Γ + α + + α + P α, x + P α, + x K x = + α + Γ +. Γα + x P ½ åé º Ó ½ Æ Õ ÅÊ J. = C α m+ si t α = Γ + α + + α + P α, cos t + P α, + α + Γ + + cos t. ç Ép» ÀÅæÇ É º ¹ Á ìà Ê C α, C α,... Ã ÆÉÆ¼!½Ã½ Ï¹pº Õ º¼ Ó ½ p½ð[å ¼ ¹ ÄZ Ó ½» ¼½¾'¹ ¹ ÄZ ÏºÇÅ»¾'!Å ½ ¼ α. Í_Â ÅÊ, ¹ ¾'¾ Ó Â ½Ã ÂpºÏ½ Ç#º¹ Å!òKÃ ¾ Ó ½ Æ Õ ÅÊ = Γ + α + + α + Γ + = i= = = + α + P α, x + P α, + x Γ + α + + α + Γ + Γ + α α + 7 Γ + ip α, i x i + P α, i+ x + α + i= P α, i x Γ + m + α m + α + Γ + m + P α, x + P α, + x + α + P α, x =

8 - - ƒ"hƒ $Bö" - #" ' K - î#ñ Γ + α + + α + Γ + α + + = = + α + 7 α, P i x + P i= α + = i= P α, x + P α, + x + α + = + Γ + α + + α + Γ + α α + + α + 7 Γ + α, + x P α, x Γ + m + α m + α + Γ + m + P α, i x + m + P α, + x Γ + α α + Γ + P α, x α + = α + + α + + Γ + α + = + α α + Γ + + P α, x α + + α + = Γ + α + + α + ^ Õ Å ¼ÄÇ#º¾öÖ îø ÇjÖ ôø i= Γ + Ó ½ Æ Õ º Ê P α, i x P α, x Γ + m + α m + α + Γ + m + P α, x + m + P α, x + P α, x α + = P α, x. 4 J. = J. + J. + J.. 5 G Ñ ¹ ÅÊ Ë ºÐÀÉÄÁ[Å Ï â¼å'è Å ¹ ¼ åâpº p½ ÇÌ M» Ó ½ ÏÆ¾À¹ ÂpºÇ ¹» ¼Ç½>Ö Ø Ó Â Å Ó ½ Æ Õ º Ê J. = C α m+ Γ + α + C α = α si t α = + P α, + cos t α + m+ C α = γ = α Å β =, α + + α α α + Γ + i= t α + P α, + cos t + α + α C 4 α = m+ α P α, i cos t P α, i cos t i= t α + + α + m+ i= i t α C 5 α + m α+. m + α 6

9 Ø " - 5 <[ 5 Q ½» Ó ½ Ï½ Ç#ºÇì!Å» õ» ¹½ Ç#ºÀ¹ ÂpºÇ ¹» ¼Ç½Ê Ö Ø Ã ÆÉp ÊÚÅÊ, ¼ J. = C α ò ¹pº p½ åå Õ ¹½[É ¾ α + Γ + α + + α + Γ + = P α, m+ cos t C 6α α P α, cos t + α + C 7 α + m+ J Ó ½ Æ Õ º Ê ½ Ñ ¹ Ë Æ. si t α P α, cos t m+ si t α P α, cos t = α+ t α C8 α. m + α 7 P Ó Â Æ Õ Å ¼ÄÇ#º¾öÖ ÞØ BÖ Ø6ÇÖ J. C 9α + m α+ m + α. 8 Ó ½ Æ Õ º Ê òræ Õ Å ¼ÄÇ#º¾öÖ ÞØ Å J. C α + m α+ m + α. 9 Ö ñøçö ñø ÅÊ, Ê + α+ m J C α E f. m + ^ ¼Ç Â#ÐÀÉp ¹ Å p Ê,ÊuÄR» p ÉÆ ¼ãÅ ÏãÖ Ø ÅöÖ ä Ø Ì t_tkq D <[ - - B $ - $ #" 'ƒ - -- $ - $ B fx - Bƒ - $ - m ¼½>» ÂpºÏÆ» p ÉÆ ¼>Å ÏO p Ê,ÊuÄ]ä'Ì á P Ó Â Ó ½ p½ð[åê d m f; x = = #vpo tkqíapd 6 #" 'ƒ - -- $ - m = lim f V m f =, p <. m + =+ S α, f; x S α, f; x m + a α, + fp α, + x, =,,... m + m - B $ õ f - Bƒ - $ - * - #" p < $ B f S α, f = o d m f = o,.

10 - - ƒ"hƒ $Bö" - #" ' K - ¼½>» p ÉÆ ¼>Å Ï ¹ ÂpºÇ ¹» ¼Ç á d m f = V α, m f S α, f f V α, f + f S α, f, f S α, f f V α, f + d m f Åõ p Ê,ÊuÄ ô'ì #vpo tkq BD6<[ k - -* - /@" $ -* - / - - Bƒ - $ - - / - $ ' - -- $ - $ B 4 m m - B íúƒ"hƒ $B * $B ö - - $ #" $ / B * - B - "! m m lim =, lim S α, f S α, f =, p <. ã» p ÉÆ ¼>Å Ï ¹ ÂpºÇ ¹» ¼Ç#º S α, f S α, f f S α, f + f S α, f. #Ì#Í_Æ» ¼!ÅÊ, ëk¼àê,» ¼½æÖ ä' Ø,ÅàÖ ääø Ì P ½ åé º ¹pºÁ'Ép ¼»¾õ½ Ó ¼ÅÊUº ¹pº¾ãÉ ¾ Ó ½» p Ép½ Ç#º¼ ¹½» ¼ m, ÆÉp½ Ç p ¼Ç½ Â#¾'ëK [º¾»½½ ¼¹½ ìà ¹ Å ë Ö Ø ÅõÉ ¾¹ d m f = m + m + =+ S α, f S α, f m S α, + f S α, f = o. = P ½ Â ÊUºãä Ép½ Ë ºÏº¹pº'Ì 'wps ÚApD 6 j - à - Bƒ - $ - * / - $ -- $ - $ - ". #" α + p >. #" α + p =. #" α + p < 4 lim =+ lim - B jõƒ"hƒ $B 5 =+ lim =+ a α, a α, a α, m, - B - " ãj - f α =, l f =, 4 f =, 5 f

11 Q ä " - 5 <[ 5 Í_Â ÅÊ, ¹ ¾'¾ ¹ ÂpºÇ ¹» ¼Ç½ N Å ¹ Ë ½ Ç» Ë ½ å½ º!¼ º Ë Ð! ¹ ÂpºÇ ¹» ¼Ç½ÖÛ»ÊÌÜÝ p Ê,ÊUº[îÌ ôßûø Ó ½ Æ Õ º Ê = Cα α p, P α, = O l, =+ a α,, S α, f S α, f fp α, p x dµx = O =+ a α, p α + p >, α + p =, α + p <, =+ a α, f P α, α p, α + p >, f l, α + p =,, α + p <. 6 G ¼ Ë ÆÉ ºãÅ» p ÉÆ ¼¹pºìÀ Æ¼Ç Â#ÐÀÉp ¹ Å ÅÃ½æÇÄ Ó ½ ¹ ¹ Å jö äôø BÖ ä Ø Ç p Õ ¼õÏºæ»½Ã½ ÁàÇÄ Ó ½ ó ¹ ¹ Å OÆ» p½ ÇÅ ¾ Ö ääø ¼ ½ Â ÊuÄ]ä'Ì W Å Ð! C a ¹ Ë ½ ¼½ Â ÄZ Ç½½Ã À Oå½ Ç½ Â#¾ ÂpºÏ Å Õ ¹ ÄZ Ó ½ p½ð[å ¼ ¹ ÄZ Ó ½» ¼½¾'¹ ¹ ÄZ Ì 'wps BD 6 ã õ - j - Bƒ - $ - $ #" $ / B m, B - - " ã - * / - $ -- $ - $. #" α + p > a α, f C p α, 7. #" α + p = a α, f C l, 8. #" α + p < a α, - " - B jõƒ"hƒ $B 5 4 Ó Â Å ÇÄ Ó ½ ¹ ¹ Å ÅjÆ» p½ ÇÅ ÁÚÖ ä Ø BÖ äñø Å ÏæÖ äþø ÅÊ, Ê L Á» ¼ÇÅ ¼ ¹½ f C, 9 S α, f S α, f = O l + m = o,. +, åép Å a C C É º ¹ Á ìà Ê Ó Â Å α β C β α C β Ó ½ p½ð[å ¼ ¹ ÄZ Ó ½» ¼½¾'¹ ¹ ÄZ Ì t_tkq DZ" #" 'ƒ - -- $ - $ B < α < P α+, cos t si t S ºÏ½Ã Ê Å ¹ ¼ åâpº Ó ½>»ŒÈ# Ê, α+,. ¹ Ë ½ ¼½ Â ÄZ J = + + = J + J + J.

12 ß ô - - ƒ"hƒ $Bö" - #" ' K - ^ Õ Å ¼ÄÇ#º¾¹ ÂpºÇ ¹» ¼Ç½Ö Ø L º p = O J = J Ó ½ Æ Õ ÅÊ cos t si t α+ P α+, si t α = O P α+, cos t si t α+ t α = O α. = O t α = O α+ α+ = O α. ÅÊ, Ê M Ï!º» ÅÊ Ó ¼½ ¼Å Õ» Ë ½ Á Î ½ ÂÊuÆ Ä@ÜÝ Þ P α+, cos t = cos [ + α + 4 si t t»ìpä α α + ] + O si t, c t c, J = = O = O + P α+, cos t si t α+ si t α t α + si t = O + = O + O si t α si t cos t α si t si t + cos t α+ cos t + = O + O + O si t α+ + si + O si + O α cos t si t α α si si t α+ t cos α = O + O.

13 î " - 5 <[ 5 ^ Õ Å ¼ÄÇ#º¾öÖ ô' Ø Ö ôäø Å Ö ôôø ÇjÖ ô Ø Ó ½ Æ Õ º Ê P α+, cos t si t α+ = O + O,, Õ ¼½[ÂpºÇ¹½» Å' ¹½>Æ¼Ç Â#ÐÀÉp ¹ Å ë p Ê,ÊuÄ Ì 'wps DZ" #" 'ƒ - -- $ - < α < $ B K cos t si t α+ α+,. Q Ä¼ Ë º ¼ãÅ Ï Åõ p Ê,ÊuÄ 4 Ì G ¼» ë6é ºà» p ÉÆ ¼ Õ ¼½ Ë ½ ¹» ¼ º¹ ¼Äcï Ã å ºàÇ ¹ õ½ åâpº¹ Å L,µ Õ ¹ ÄcÅ» p Ép½ Ç#º¼ ¹½» Å'ó» ¼ ÊUº α, P α x α + x ¹ O½Ã ÂpºÏÆ ¼æÃºÏÅ»ºÀÇ Q» Ç¾'ÏÅj»_â¼ÅÊ Î º Ë ¼½Ê L,µ. Å ¹ ¼ Â» ¹» p ÉÆëK!Å Á Â ÏÆ ¼ º¼Ì #vpo tkq D Bƒ - $ - $ #" $ / Ú B * - B m - " ã - * / - $ æ" '$B - - f S α, f,µ = o *. H ½ å º» ¹½>¼ ½ Â Ê, ä Ép½» ¼ º¼½ Õ ¹½[Ép½ Ë ºÏº¼ = Cα = Cα M» Ó ½ ÏÆ¾ ¹ ÂpºÇ ¹» ¼Ç½Ö Ø m a + lim =, 4 = + S α, f S α, f =+ + Õ ¼½ÀÅ ÏãÖ ôîø» p ÉÆ ¼Ö ääø Ì L Á» ¼ÇÅ ¼ ¹½,µ a α, fp α, cos t Ó Â Å + γ = α Å β = si t α+ = CαA + B + C. Ó ½ Æ Õ º Ê 5 A = =+ = O =+ a α, =+ a α, fp α, cos t f si t α+ P α, cos t si t α+ a α, f si t α+

14 - - ƒ"hƒ $Bö" - #" ' K - = O =+ a α, f = O m ¼ º Ë Ë º Ë»½ å º» ¹½ã¼ ½ Â Ê, S º»»Ê,½ ¼Â ÅÊ Å ¹ ¼ åâpº =+ Ì äàå Ï>Ü ôß t α+ = O lim =+ α, a f = o,, a α, f + m α 6 a α, f =. 7 C = =+ L ¾ ½ Ñ ¹ Ë Å Å ¹ ¼ åâpº º =+ a α, = O = O m f =+ a α, fp α, cos t =+ si t α+ P α, cos t si t α+ a α, f a α, B Âpº»»Ê,½ ¼Â ÅÊíÇÄÂpºÐ! ¹ Å t α+ f = o,. 8 = =+ a α, J x = f Í_Â ½Ã ÂpºÏ½ Ç#º¹ Å!òKÃ ¾æÉ º ¼ J x = +a α, =+ f a α, + f =+ a α, fp α, x + α + Γ + Γ + α + + α + Γ + Γ + α + P α, x. Γ + α, a f i + α + Γ i + α + + α + Γ + α + Γ i + P α, x. i= Γ + m + Γ + α + α, + m + α + P x Γ + m + α + = + α + Γ + Γ + + α + Γ + α + + α + 5 Γ + α + Γ + P α, x. =

15 Þ " - 5 <[ 5 ^ Õ Å ¼ÄÇ#º¾Ï Ép» àö Ø Ó ½ Æ Õ º Ê J x = Γ + α, a f Γ + α + =+ + α + Γ + α + Γ + P α+, x + a α, Γ + m + α + m + α + Γ + m + α + P α+, x 9 P º ËjË º Ë a α, α + 5 P α+, x. ¼½ Γ + α, a f Γ + α, a f + α + Γ + α + = + α + Γ + α + Γ + α, a + f Γ + α, a f + α + 5 Γ + α + = + α + 5 Γ + α + Γ + α, a f Γ + α, + a f + α + Γ + α + + α + 5 Γ + α + = Γ + α, a f + α + 5 Γ + α + + Γ + α, a f Γ + α α + + α α + = Γ + α, a f + α + 5 Γ + α + + Γ + α, a f Γ α + + α + + α + α + + α + + α α +, Æ Õ Å ¼ÄÇ#º¾öÖ î Ø ÇjÖ ôñø J x = =+ Ó ½ Æ Õ º Ê a α, fp α, + α, a f x = + α + 5 P =+ α, a f α + + α + α + α+, + α + + α + 5 P x + =+ α, a f + m + α + α+, + m + α + P α, x a + + f + α + 5 P + α, a f α+, = + α + 5 P x = α, a + f α + + α + α + α+, + α + + α + 5 P x =+ α, +a f + m + α + + m + α + P α+, x a α, + f + + α + 5 P α+, α+, α+, x x x. 4 4

16 Ø - - ƒ"hƒ $Bö" - #" ' K - M ÏæÖ î ØÅ Ö ô Ø Ó ½ Æ Õ º Ê B = =+ =+ a a α, f a α, + + =+ + a α, + a + f f α, f α, α, fp cos t si t α+ G ¼ Ë ÆÉ º[»_Æ Õ ¼½ÊÚ p Ê,ÊuÄÔî Ó ½ Æ Õ ÅÊ P α+, cos t si t α+ P α+, cos t si t α+ P α+, cos t si t α+ α+, P cos t si t α+. B = O =+ P º Ë Ë º Ë»½ å º» ¹½Ö ä' Ø α, a α, f a f + + m + α, a + f a + m =+ + f. 4 α, ¼½ÀÆ Õ Å ¼ÄÇ#º¾öÖ ôþø lim lim a α, f = lim + m Ö ô Ø Å ^ Õ Å ¼ÄÇ#º¾â¼½[ÂpºÇ ¹» ¼Ç½ 'wps D 6 Ö ôîø ÇjÖ î#äø =+ a α, º!¼ º Ë Ð! æö ôþø Å a α, + m f + m = lim Ã ÆÉp ÊbÅÊ, ¼ a α, f, α, fp cos t si α+ =. Ö ô ØÇÖ ô m lim =, α, a f c α, f S f = o,,µ. Ó ½ Æ Õ ÅÊbÆ¼Ç Â#ÐÀÉp ¹ Å ¼ ½ Â ÊuÄ Ì, -

17 û $ " s s s û " ü A s ù ü! ü ü A ü! ü " s û s " - 5 <[ 5 L Á» ¼ÇÅ ¼ ¹½ =+ a α, 'wps à?bd 6 f c =+ = O l + m m lim =, a α, f S α, f =,.,µ #" c +γ = o,. γ > * - L Á» ¼ÇÅ ¼ ¹½ =+ a α, f c =+ c γ+ γ = o,. js #ovq ovq ~ ˆƒ pz y uƒ ~ z6 ~ ZšU u ~6~ ~³Œ~yz y ã ~ y ~ pz pƒ ƒ pz yz ˆ# œ œ! "#" $%" œ'&h +, -./ :96; <>= 4!zž Ž à y ƒ³œ z ~ ƒ * Œù û # ~ ~ ƒ ƒy ˆz œ Œù# "BDC E FGH IKJ#LNMO#PQ#RS DT#UVXWY S Z[]\ T Y_^`^'abW_cTXdeV Z S ff Y_TgQV ^ S W_V T Z W_caDT Yh i Y_T DadQV Zj#[ T \ku ls m ^ S d m a S W_c opz[ W œ ù œq T#r œ i'"#" sut6fwvpjxzyq 8NH ~ ~ MOQ S Œû# j#ƒ *X abyy_a f T#r h Z T#^'V S r [OS Z d S f r S Da V Z W_a j Y S r [> ƒ a S W_c R œ sw œq T#r œ i' ˆ JQCQ_E >kz D* T W_a T ZS ff Y_TgQV ^ S W_V T Z Uwh>Y S W_V T ZS r \ ƒz bw_v T Z[7 i Y_T XŠ dqv Z U ƒ Y j c S W_c Q T œ œq T#r œ i' * "#" Œe w Ž # > ~ ˆz uˆ~y zy N, ž ƒ³zƒ!šu œ uˆ~ ž V ~ zy z œ s œ QL r # û û þ ƒ Zx X$ " ' w Q_xGJX v a S Z DT ZX aby j a Z Da7T \RS DT#UV [ aby_v a [ i Y_T k ^'aby S W_c w T œ œq û# T#r " œ i'" ù û* '.# D,;7 š Œù ~ ~ O y ~ šu ~_ y ~³Œ~ ƒyz œ, ÿzy z þ~ ˆ NA 7ž œ œ! ù s $s œ'&h 6IKFx'PQ 8X e X wh x y #*Q ù a S Z DT ZX aby j a Z Da T \ T YW_cT j T ZS r [ aby_v a [7 i Y_T wk ^'aby S W_c w T œ œ>$ " œ i' * Œù Ž>/_ = 576+'², ž ÿu ƒy h y ˆŽ >ƒ pz õšu Z ~ y ~³Œ~ ƒyz uˆ~ ž [ y ƒ³œ z y ~ ˆ œ " œ # þ ƒ Zx w$%sw# Že. D wš w! ~ h y ˆŽ 6 U ƒyy ~ ƒyy ~ ±E ' ± ~U ƒ y ±E ~ ±E, œ'# FEE «6J~ ~ FEb ca ^'a S Z DT ZX aby j a Z DauT \ T YW_cT j T ZS r [ aby_v a [ T \f T#r h Z T#^'V S r [K i Y_T ± S W_r k S d DV ² QkU œ œq T#r " œ i' " FEE «³ 6J~ ~ FEb O * Œù cā ^'a S Z DT ZX aby j a Z Dā T \ T YW_cT j T ZS r [ aby_v a [Oo Y S Z[Nk ^'aby S W_c N T œ œ q T#r û œ i'" " s 6F~ p«moµ>wt7k D* Y_aD^ S Y #S Ur a [ aby_v a [ T \ T YW_cT j T ZS r \ ƒz bw_v T Z[: i Y_T T Z dqt Z S W_c T œ œq T#r #" s œ i' še. KŒ j ž ÿu ƒy _ y ~³Œ~ *# ƒyz uˆ~ ž 6x y?k~ ˆ# y±e z?_z ±Eˆz?K ƒ zy ˆz œ œ>$ œ'&h # ù*x Œû OH _ ¹> Xƒ YOr a [O[ aby_v a [ DT Z º]ƒj a [ S W_c»' œ œq # T#r œ i' # * s#s u5¼/d.= š QŒ Q½u zƒ ˆ u~ ~³Œ~yz y, y ~³Œ~ ƒy, pz û œ " # ¾ = u > ÀX! ~ ž ÿu ƒy Z h y ˆŽ ƒ ƒ y ~³Œ~, ƒyy ~³Œ~ ± ~ h ± pz ±E, û ù œ s û uà := +Q > ~ ~ _ ~ ZšU V y Á'?_z ž œ œq T#r $ Œù œ i' *û

18 ü " s ü ü s ñ - - ƒ"hƒ $Bö" - #" ' K - D, = +Q+ 8 =.. #¼ < O ù 8še Q= >+QA, z ƒy z ± ~ y ~ # ±E, œsw û O N R ~ ~ ~ õšu œê uˆ~ ž ã y ƒ³œ z y ~ ˆ œuþuy ƒ ~ ~ ˆ# œ þ ƒ 'Vˆ #XA Ae! GFX X _E PQŠ ü,ü V Z a Š V j a Z[ c S\ WedQa [ S#S Y [ ca Z YW_cT j T ZS r [ h [ W_aD^ [ S W_c» adv W [ cqy_v \ W œ œq T#r V [[ƒ a œ i'" "u5±/ / + V ~³Œ~yz y, y ~³Œ~ D* ù ƒy, pz ³ û œ' ù ù!" #$ %'& $*+-,./546$7 8 9 :; <$=?>$@BADCBEGFDHI AJ=?KML NO=?E =?KBP@B<CB>QHR y pz pz ˆ _ ƒ zy ˆ uaenà h ž z ÿzyz X/ ¼ =u _¼BS#;7 D.D,Q¼ = TVU žxw ZYVþ [ NA6 Qk» ³ƒ W zˆ šz³z ƒ z Š ± ^ S V \.] ^ _` a b'c._d a"^ ef.gh._d e$ejike ^ lmoqpsrmutlmwvxpsy zxpsmt pl ~lyw "psyb rwtl ƒbpsyw "p ƒ - ˆŠ Œ ' Žp Ì Ì ca DT Z dqv W_V T Z[ T Z DTwa" DV a Z W [±\ T Y ^'a S Z DT ZX aby j a Z DaOT \? T ƒ Y_V aby RS * DT#UV [ aby_v a [7S Y_aOT#UQW S V Z ad w ca S [ hq^ f W_T W_V \ T Y_^ ƒ r S a \ T Y W_caOUa [ W S ff Y_TgQV ^ S W_V T Z V Z adua [j#ƒ a [fs Da [ S Y_adQabY_V ad S Z d S ZS [ hq^ f W_T W_V aq ƒs r V Wph \ T Y q S r ada i * T ƒ[[ V Zu[ƒ ^ [ V [ T#UQW S V Z ad T#^'a f Y_T f abyw_v a [ T \6j a Z aby S r V m ad [ cv \ W \ ƒz bw_v T Z S Y_a S r [ T [ W ƒ dqv ad ' šj «U S [ V [ T f W_V ^ S r [ aq ƒ a Z Da T ƒ Y_V aby * \ ƒz bw_v T Z# RS DT#UV [ aby_v a [ 'q S r r ada * i T ƒ[[ V Z [ƒ ^ [ >j a Z aby S r V m ad [ cv \ W