1 I X (f) := f(x t ) dt. f B

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 I X (f) := f(x t ) dt. f B"

Transcript

1 8 7!"$#!%') ""! -/.$ )! 98/:/; < E < <?A@"@C F IH J@ LKNMPOQK$RPSUT)VXW-YZR6KN[JMPT\VX]9SUY_^!R6`bacYUT)VdT)dfe`gRR6`bY9[hT\YUikjl^$^$SUOUT4RP`gaZYnmo`bpqKrd LT)T$cautvT\Vbpw`bYUKrY x { ) \} <?~ I I!$#!! x \ ƒ < f ˆ J ŠT)MC^Œ ajm Ž Q } \; L) 24JQ 7 6 " #""#"o X ) "# šœ d-rmct)^!r ; X f {Ÿ - < 9 I X f) : Ž )ž $ X fx t ) dt? < < f < ) v < < < l < / < < o < ž!) < J ) < < X ž < µ 4 { µ) t : t } Žr < < <."

2 } < 7 ) ŒŸ Žr < )- ' f µ) t ) µ) { t dt <} and - f µ) Ž t ) { µ) t } dt < ) < - < r < < < < < < ~ < ) fx) exp 2x)) < / ž J ) U < < < 6 ž - < < ' a exp µ) t )) 2 dt < < Q - < µ / ž < µ a/2. < \! 4 < < 9 K ajmciud < r; "ž < < š tqds Kr^!R ^$VbT)dd` ^"T4RP`gacY 7 # < < < : "$# ƒ 7 <.! "!2) Ž P."

3 ƒ W YcR6MPa i_su^!rp`gazy T\YUi ds_pwp T)M aruk MPKrdSUVgRPd LKNMPOQKNR6SUT\VX`bYZR6KN[JMPT\V3S_YU^!RP`gaZY9T\VbdT\d MCd-RU`gR RP`bYU[ R6`pqKrd KNRT\`VgKrind-R6S_iU`bKrda!/d acpqk OQKNMPOQKNR6SUT\V" S_YU^!RP`bacY9T\Vbd!#. ~ - %$ q. $#. A - ). 5".. ~ $E. 54. E2 4 ž <. 5"5. A# ; $ ) U2$4. ' $E ) U2$$ ] K9YUpqT\Y) T\^ T4O_OUMPacT)^%nR6aqOQKNMPO K$RPS9T\VF`bYZR6KN[JMPT\V3S_YU^!RP`gaZY9T\Vbd # # š O_OQKrYUi_`uacY.-œT/ YU`b[ZRR9KraJMPKrpwd ;:;<4?@8A3 C39 E?:F F 6IH 8CJK4ILNMO6PMQEI:NR4IE ; µ) { µ) t : t µt : t } ž < Q µ < o < o µ) 4 -! < ) < $ l < I f) : f µ) ) d < f Ž? " ) < < < 6 < - µ). < ' ) ) - < TS < < ) µ) Ž - < - < exp 2 µ) 6% ) d.."!.

4 ~ ƒ Ž Ž Ž < F ) ~ - P# < - < < < < P% l h ) Ÿ Žr < < ) v < < < Q; 6 4 < < # #. ~ - IP% < < R ž δ) ) 4 v 6 < γ µ w$ < o F - H a Z) : inf{t : Z t a} Ž < a < exp 2 µ) ) d - < : exp 2 µ) ) d - 2 ) Z. %Q < H R δ) ) δ 2 µ) < 2γ µ < ~ d δ2) {R H <} R δ) ) \ < " < "%. % µ. Ÿ $E < R δ) R δ2) ž - - δ δ 2 Ž r Ÿ 2$ 6#!5!" 2"5 # #!U < δ < < Œ\ ~ocÿ Ÿ r <! 5" ž. Œ \ I} P ~ < Ž } < 4 ž. <. d µ) { H <} λ µ) )." 2 b2n% #"%

5 Ž ~ ž < λ - < < 4 \ 2µ 4 µ) ). } d exp2r 3) ) < R 3) < \ž - l ' % < $E )! < 9 < < Ž l - < ) "% <!% % \ < < ž 4 ' < ) < µ). H π/2 R 3) ). X c < < < < 6!2"2 4. % $E < < < ) < < < f < exp 2a µ) ) d µ) { H } /a R δ) ) δ 2µ/a. - R δ) Ž < L L a exp /2) ) ) 2 d < H r /2) ) a r log a)/a). < b $%X \ 2{ a exp /2) ) ) d H /2) } r /2) ) < a r Ž /2 4 < l 4 "%' < < % < δ < 2!) < 4 /2) ž.. < < < < ) a exp µ) ) ) 2 d < µ < ;! < I6$% f' - <." # $% 5$% < < I6$% < $ < # < %

6 < < } Ž 4 Ž #! 2 - # 2 Ÿ < Ž Ž - $ < U IP% % Ž < < ; exp µ) )) 2 d! N ) - 6 < / < coh µ) ) ) 2 d - < br~ ) ; ) c 9 P# < < < 9 b $%' exp 2 µ) ) exp µ) )) 2 d < < ) ~ - %$ < < < ) < - ~ $E %' < 2N# < < o 9 { < < ~ - %$ - < Ž ) m µ q. % % < < < Ž < c $% < X /' Z <!4 < Ž < $ ) Ž { 4 < - ' < ) #"% Ž ' Ž < ; -!5 ' ) < - ) - ž - ) - J!5 J; < <! - ; Ž expξ t ) R t d exp2ξ) I"P% - < {ξ t } ξ x o < {R t } - < ž expx) {R c u : u } { c R u : u } <!) < \ ξ u x u νu ž < ν f x < R ž - ) ν δ 2 ν) %' < < ν < )."

7 } } < Ž I"P% < 4 < < < \. < < ) \ exp 2a µ) ) d µ) { <} < R ž δ 2) < R < δ 2) N < < ; < Ž!$ exp2a µ) ) d µ) { <} < R ž δ 3) ) X Ž - Ž < ) < <. 2. #. \ < < < Ž Ž < < - t {R δ 2 ) /a} d IP "% δ 2 2 µ ) /a. a < µ < a < "P% {R δ 3 ) </a} d I. % δ 3 2 µ ) /a. < a #" #..". % exp 2 µ) ) d µ Q t < $E < H < ' 2$% )- 4 Z µ) t : exp µ) t ) exp 2 µ) ) d t < L S < < _ 2N% o - <.". 5 6 " ~ - \!.$ < \! < $ < œ < ) N < - - ƒ - < < Ž. < \ < f - % "% "%' \!) < < ; I"P% o) Ž < ) b2n% % Ž ) Ž < - 2"2 % < XH ;! < /2) { } a exp /2) ) ) d 2 L /2) /2) { <} ) a exp /2) ) ) d 2.""

8 < < < L /2) ) < Ž /2). ƒ < 4 _Ÿ Ž. < ) #"%'Z #" "% #. % < %' 2) <!) < ; o < ž. )- Ÿ < < < ) < : < F < - < f < )! ) < < l < < < < œ - - \ < < - < }. % ; $E \!P% : < <.S < < ) < < - ) Ž < <!!) < Žr S ~ ƒ $E < < ) % < Ž Ÿ 4 < < < < < F < ' )! < % < <!) < %'oÿ < )! µ) ž < µ R δ) ž δ µ) - ž < µ. < - < ) <."

9 Ref. Functional a µ ) Hitting/occupation time 2) 2) 7) 22) 23) 2) 24) 3) 25) 8) 35) exp 2a µ) ) d H R 2 2µ/a) ) R 2 2µ/a) /a exp 2a µ) ) { µ) } d H /ar 2µ/a) ) exp 2a µ) ) { µ) exp 2a µ) ) { µ) exp2a µ) ) { µ) } d <} d <} d a exp /2) ) ) 2 d H r /2) ) d 2 2µ/a) {R </a} R 2 2µ/a) /a d 2 2µ/a) {R /a} R 2 2µ/a) /a d 22µ/a) {R </a} R 22µ/a) /a r log a)/a)." 5

10 Ref. Functional a µ ) Hitting/occupation time 9) 36) { /2) } a exp /2) ) ) 2 d H r /2) ) r log a)/a) 37) 69) 5) 49) 4) 34) 6) 52) 53) { /2) <} a exp /2) ) ) 2 d H λ a/2) ) a exp /2) )) 2 d H r a/2) ) λ Exp a) r log a) a { µ) <} d H λ µ) ) λ Exp2µ) {R δ2) </a} d H /ar δ) ) δ exp2r 3) ) ) d H π/2 R 3) ) exp 2R 3) ) d H R 2) ) R 3) ) 2γ d γ H /γ ) R 2γ )/γ )) ). "

11 ^ / ƒ M 6 M 4I:;CR 354?M 6 CR J%:3;<4?@8 3 R E E 6PE4 LN@474? 3 4? F M E ; { µ) t : t } ž < µ f Ž / < $ 65 2$# % I f) : f u µ) P#!% ) du < a.. fx) dx <. Q - 4 ) f < / < o' < \ µ) < < < I f) < < l < MPaJO acd` RP`gacY "!$#%#'!)'.-/23!) f : R R :;!< -;?#;!;@A#C;EF.F!HA;AIKJ ;6L'#M%3NO!P!RQ r : lim x fx)?#;!;s?- T 9U6A;76%;EF I : f u µ) )) 2 du. f x) V f x)) 2 dx <. R6 Z W3!H4X9!$ YO!RQ7 Z t : f µ) α t ) t A#CZE[ α t : inf{ : I t} <. \ 72FI]AI 6L_Q:6L f76a f µ) )) 2 d inf{t : Z t r}. Z!)`a-PF!;@b;cFde dz t dβ t f Z t ) dt β!)`gb6l?"n!<?!$? x) : Z f) ) f x)) 2 2 f x) µ f x). I % I %. 4

12 4 f µ) u ) f) u u f f µ) ) d µ) Qž 2 f µ) ) d u u $E f µ) ) d f µ) )) 2 µ) ) d. : ž ž u ž α t Z t Z αt f µ) ) d αt f µ) )) 2 µ) ) d. I f µ) )) 2 and α t f I α α µ) t t ; Ž $ < < µ) t β t : αt Z t Z β t β t t < f µ) ) d t t t Ž < ~ ƒ )) 2 f µ) α )) 2 µ) α ) dα f Z ) d. t < < r lim t fµ) t ) r a.. Z It f µ) t ) < r I H r Z) a... $

13 < - K p T)M5 ; f Ž r \ - Hx µ) ) Z x < " < f µ) )) 2 d inf{t : Z t fx)} a.. ) L f ) Ž < f < ) < < : < ) Ž M µ) t /!! Q : up{ µ) : t} : up{ µ : t} µ. {ρ µ) t : M µ) t µ) t : t } ž $ 24 < < 6 "% R. I65$% < µ < L ; f P% µ) t t ) µ t t. MPaJO acd` RP`gacY f V?!H "6L f.!p!$ FI_I T.A % 6L_Q:6 ;EF f!hkn#:6la?9!hfÿ VW-; VYO!PQ:!HI" ρ µ) A t : t f ρ µ) )) 2 d and α t : inf{ : A t}. d N6L#:9 Z Q!< Z t : f) fρ µ) ) α t R6 t A#CZE[ α t <. \ 7 f76a I : f µ) )) 2 µ) { } d inf{t : Z t r } r : f) r. \ 6a#7. Z!)`a-PF!;@b;U6L#cFde!$% dz t dβ t f f) Z t ) dt L t Z) Z f76a β!hk gb6l?"n!<v!$!)u 'S8F#:6LLV9!)[Y6L#:9 {L t Z) : t } fn!;#c!)#:6llvl7n- /2 ;V:6L Lb Z?!H`?!)"6Lf9!R!;FII..

14 # - K p T)M5 \ < < { % < <!$% < ) < < Ž < $E < f) fρ µ) Žr Z t t ) t t < I A. A < f ρ µ) ) dm µ) d µ) f ρ µ) ) d f )M µ) t t < < α t β t f ρ µ) t α t r t f ρ µ) ) d r " ) 2 t ) 2 f ρ µ) ) µf ρ µ) ) d. < ) d f )M µ) α t α t f f) Z ) d L t Z) L t Z) : f )M µ) ) α ) t < {Z t : t }. < ) t < <!$% Z t < r : f) r α t <. ) < r ) Z A lim f) fρ µ) t ) r t f ρ µ) )) 2 ρ µ) ) d < Ž < - K p T)M5 # < < < r <! r < ) ž < 4 L <. < ) < < < < l <.!2 < <

15 % M 4I R M 9 E4I:;9N M E 8CJKE78 F M M 6X M 4I: R J%:;3;<4? 8 3 CR E!"# Ž ) < < 4 "%o P% Ž )- Ž o4 "%' #. X < _H <. % C2N%' - f 2"2 2 ƒ 2) ) < ) Ž - < 2$%' MPaJO acd` RP`gacY. "!R P?6 <6L%$OI \ '7ZR6 µ) µ a ;UR-H-;?"!HFY'!$N7'!R!$7 -$ T exp 2a µ) ) d H R 2 2µ/a) P% ) f76a f76a ^ R!)` g 79a7-2 2µ/a) 6L#79"3!) 7F9!; AR?6A F )[FI 2 2µ/a exp 2a µ) ) d µ) { H } /a R 2µ/a) ) 2µ/a)!)AR?6A F$?'N'!H R #LVL < µ < a 6L#F$OI 2 2µ/a) {R exp 2a µ) ) d µ) { d. % } </a} f76a R!)AR?6A F?'!H-)-$ "'7!PN!P;$_I 2 2µ/a) /a i %%' f76a K exp 2a µ) ) d µ) { <} R!)AR?6A W<6L?3!H-)-$ ":@!RfF!P-$OI 2 2µ/a) /a " "% {R 2 2µ/a) /a} d 2N% exp2a µ) ) d µ) { d "#"% 22µ/a) <} {R </a} f76a R 22µ/a) /a. - K p T)M 5k < r < 4 - P%. % v C2N%'!#"% < r < ž <!4 - < < \ Ž µ). $#

16 T Ÿ a ; < < < Ž < a %' ) r < < F F < a ""% < r < fx) exp x). f ) < < < Z Ž x) µ) expx). 2 < ~ ƒ ; $ "P%% d Z t d β t 2µ dt Z f). 2 Z t Z ž - - δ 2 2µ P% < < < Ž Ž - < ; I"P% < ξ ž < ν µ. } Ž \ Ž - < " r Žr 4 L!P% < r ν Ž '. < < fx) a < ) exp ax) ) < 4 Ž < A t : t ρ µ) ž. < Ž Z exp 2a ρ µ) ) d < µ I65$% % lž - < ~ ƒ : < < < Z t : a exp a ρµ) )) α t Z t β t µ a t 2 ) a Z ) d L t Z) Z. α < Ž < exp 2a µ) ) d µ) { } A L Z) 4 Z. r. ). H /a Z). exp 2a ρ µ) ) d

17 S < X!"% % < H /a Z) 4 < 6 H /a R 2µ/a) ). F < < ;! H /a Z) < { œ < } F6 $% < < F Ž < {/a Z t : t } ž - 2 2µ/a - /a - - < < /a 4 < Ž R2 2µ/a) < < < ž - < X. r < - ^ i < < Ž. % H /a Z) H R 2 2µ/a) ). H R 2 2µ/a) ) H /a R 2µ/a) ) - R 2µ/a) Ž - < ; F Q ) F % %' 2$% A ) t t < ; exp 2a µ) ) d α ) t : inf{ : A ) t} { exp a µ) ) : t } a α ) t ž - 2 2µ/a - < 4 ; R ) 2 2µ/a) < ž - - exp 2a µ) ) µ) { } d H R 2 2µ/a) ) /a exp 2a µ) ) µ) { α ) d. 2 2µ/a) {R </a}. α ) - } dα) % < "6% < % {R 2 2µ/a) </a} d! $%

18 i 2$% < Ž exp 2a µ) ) µ) { K < ) "#"% < Ž $ µ. < < ž - A 2) t : <} d exp 2a µ) ) µ) { H R 2 2µ/a) ) Ž t α ) d. 2 2µ/a) {R /a} α ) <} dα) {R 2 2µ/a) /a} d.!5$% < ; µ 4 exp2a µ) ) d α 2) t : inf{ : A 2) t}. { expa µ) ) : t } a α 2) t 2 2µ/a ) - R 22µ/a) < r ^ Ž exp2a µ) ) d µ) { <} - d. 22µ/a) {R </a} %. $% /a. - K p T)M 5 ) : A 6 rp% < < Hx µ) ) exp 2a µ) ) d x fx) exp ax)/a. < ; o ž! - -. " H fx) R 2 2µ/a) ). P% <!

19 Ž 2.". <. $r 5 4. < - < < ρ 4 < ;! < < < ). 6% 2 c A 64. C2) a µ /2 < 4 ""% $% % exp 2 /2) ) d /2) { H } ρ) 2 ž - H ) {<} d 9 5$% H) exp 2 /2) ) d /2) { <} {} d. "r 24 "4 γ H ) )) E exp γ {} d 2γ. ž < 2 "A A 65" $% ) E x exp γh )) exp x 2γ) x γ < < - ) < exp 2 /2) ) d /2) { H <} λ ) λ < P% ) ) \. <. "%.". % -. %.$ %F. # < - a 2 a < X { ž ž < ; < ž I"P%. "5 ' Q. "%.". % ž

20 ^ - < R 2 2µ/a) fexpa µ) )) d - < < 4! #! " # a R 22µ/a) a R 2 2µ/a) ) 2 fa R 22µ/a) ) d ) ) 2 f a R 2 2µ/a) < )!"% % % -!) ) < ) b2$%. 2$% %' { 2"5 #! <! MPaJO acd` RP`gacY. \ KR-H-;?"!HFY!;F7;!P /!)-<_-$3 d δ2) {R H </a} /a R δ) ) δ f76a;kg`7.l:- 6a#:9L:?6aUP?6 F$OI ž < R { 2 2µ/a) - Q < R 22µ/a) ). 2N%'. H /a R 2µ/a) ). 5 /a. 8. 2)6% dt 2 2µ/a) {R t </a} dt 2 2µ/a) {R t </a} < o Ž dt 22µ/a) {R t </a}. ; Ž - δ 2µ/a < d. 2N% -. 5"

21 Ž : ' "#!"!"# L I %/ L c < 4 < < < A < - { < F c µ A exp2µµ) )) 2 d - ž c µ A exp2µµ) < < < < )) 2 d 4µ 2 µ /2. < r 2"2 F ~ a exp /2) < < $E ) ) 2 d < < c c µ A exp/2)!4 { < < A. ž )) 2 d ž < < a. 2"2 ) Ž < FH ; < ) < < <. %." % ' Ž ) Ž < ;! - < < < ž < < Ž 4 < < < ) Ž Žr < - MPaJO acd` RP`gacY. # c fa E[ /2) \ : R-H-;?"!HFY!;N:;!P!$:. '-; T a exp /2) ) ) 2 d H r β /2) ) f76a a r log a)/a)?' /2)!)KMg 6L"F!<? ;!; f!p O69!) β AR?6A F$OI /2 2{ a exp /2) ) ) d H /2) } r β /2). % ). 54. #"%

22 f76a a? r?6a? Q?!)%6L#!)[Y gb6l?"n!<vz!$ "!P β/2) O69!) APV6A[ $_I /2 ^ 2{ a exp /2) ) ) d H /2) <} λ β /2).$ % ) f76a a λ!h 9 f:;!<?-h-/ 3!)69! N "!R 5?6:? :6 a) V /2)!)`?!) I β T Ž ž Ž < $E " < < < v < < < F µ /2 ~ a ) fx) : log a exp x) f x) a expx) ). log a exp µ) t )) loga ) < α < u < < < ~ ƒ 2 µ) t d a exp µ) ) 2 A t : t Z u : f α µ) u ) log t t d a exp µ) ) ) 2 <! ) $ d a exp µ) ) d a exp µ) ) ).. $% 2 a a exp µ) α u ) Ž A. Ÿ < Ž Z loga/ a)) < Z u < α u <. } Ž. $% / - < Z Z u Z β /2) u µ 2 ) u ) d expz ). 5$

23 < β ž /2) < /2 4 {' < Z u u r " d a exp µ) ) ) H Z) 2 \ \ < Ž. #"% µ /2 < ). % Ž ). Ž < ) < ) ^ ) < )." %'.S r < < : < < # A Ž < < ) \! < Ž < µ \ 2{ ) 2 a exp µ) ) ) d a exp) µ) <} L µ) ) d < < L µ) ) < v ) 2 a exp) L µ) ) d Z < l < ~ < ~ ƒ µ) Ž. ž < #r a exp ) ) 2 Z d dz 2 Z d 2µZ d. < Z L µ) ) < ' \ µ. 4 a exp ) ) Z a ) Z 2 a exp u) ) Z u d u 2µ 2µ ) a exp u) a exp u) ) 2 Z u du. C : a exp u) ) 2 Z u du c ) < Ž C. S Žr C H Z) < % H Z) <. 5$% µ /2 < C H Z) a exp c ) ) Z c a ) Z 2 β $%

24 < < < β ž Z c < C H Z) 2{ a exp /2) ) ) d C /2) <} H Z) ξ Z /2a ) /' - K p T)M 5 < Hp /2) ) 6 $% : < g2$$% inf{ : β /2) ξ} < \ a ). d a exp /2) ) ) H qβ /2) ) 2 < ) p q log a )/a exp p)). Ÿ - < H ;! <. %." %' < < < H ) < ;! Ž 2"2 < Ž 4 Ž < < Žr ) 4 - ~ ±) a : { /2) R ± } Ž a exp /2) ) ) d. 2 MPaJO acd` RP`gacY. k K c )) F k c K) : E exp k ) a c L /2) ) K ) g2)p% a 8k exp r 2 ) 8k coh r 2 8k ) 2ca ) 8K ) inh r 2 8k )!"$#%' )! -.$ /2 r loga )/a). F k k) E exp k )) E exp k H r β /2) ) a exp /2) exp r ) 2 8k ). 5!2 )) ) ) 2 d

25 F K) E exp K E exp K H λ β /2) ) a a 2 2K 4 /2) )) { <} a exp /2) ) ) d )) 2 - F k ) E exp k ) a Ÿ ž Ÿ < ;!) < Œ ) - ) a < ž ) a ) a E exp ) a 8k coh r 2 /2) )) { } a exp /2) ) ) d 2 k H r β )) /2) ) 8k exp r ) 2. 8k ) inh r 2 8k ) " %% $ $ $ 2"2 h' < < < < - ) < < H ) ±) a exp2 /2) ) /2) { <} d a exp /2) )) 2 exp2 /2) ) /2) { } d. a exp /2) )) 2. "% < µ /2 Q: < R ) { <} d a ) ) 2 a ž. 5$# " H ) ž L /2) ). a < ž { } a ) 2 d w <

26 ; ž < < H ) H ) - ) ) a 4 8 { <} a ) d 2 \ { } a ) d 2 L /2) ) ) a ) < H ) H ) L H ) ) L H ) a ) d 2 L H ) L H ) < ) E exp K ) L H ) u ) ž {} a ) 2 d : {<} a ) 2 d :. H ). E exp K ) a E exp K Hu/2a) /2) ) )) exp L H ) ) a ) d 2 ) L /2) ) u u 4 a) 8 K ) <." %œ - g2$$% % <!4 < < ž < : < < # )) E exp k ) a c L /2) ) K ) a E exp k E exp k X 2) d c X2) a ) 2 X 2) d γ X2) a ) 2. 5 X2) )) ) < < )) 4 α 8K ) g2n "%

27 ž < X ) 2) - < P - ž - - Q γ c 4 a ) b2. % 8K ). ' Q 2" : Ž 2) ƒ 4 ". 2 2N#. < ž - X δ) δ 2 Ž : m < Ž [ ) x t E x exp )) x ) X δ) md) φt) δ/2 exp 2 t] 2 φ ) < v φv) Ž 3 u v t φ v) φ b2"2n% u) φ) md) φ) 4 Ž < uv] < < v t ž φ Ž φ. b2"2n% < φ ma) A < 2.r < E exp A ) 2k d a ) 2 2γ ε {}A) X 2) 2 ] E exp k ε {} < ~{ )) md) < < < Ž ) < r X 2) )) d γ X2) a ) 2 φ). φ - ) b2"2n% < φv) v t < φ v) < φ) 2$ ƒ % ) ) b2n#"% 2k a v) φv) b2 % 2 φ ) % φ ) 2γφ).. 5 g2 %

28 } } < < αα ) 2k < v) a v) α α 2 ± 8k ) : α ±. g2 % v) : v a )α and v) : v a )α A < < φv) : A v) v) \ g2 %' Ÿ œ < ) - < - -) b2n#!% ) 2γ ) ) 2γ ))) φ) w < w 8k /a < Ÿ < L4 - g2)p%. - b2$ "% b2n#!% < l) γ g2. % r loga )/a). - K p T)M 5 k - < Ž r γ % < a )) X E exp δ) ) δ/2 8k k a ) d 2 a ) ) ) δ/2. < Ž < < < δ < 2 \ X ž ) f a )) < v < a E exp k X δ) a ) d 2 8k a ) δ/2 x ) x ) ) δ/2 x v) : v a )α and x v) : v a )α. < b2$ "% l) Ž -. ž < - < < < < Ž %'. F -. 5" g2$ $%

29 Ž!" " ' 4 < ) #"% - b2$5"% % žx. <. { < ) Ž 2. ) < - L < o < H λ < < < ) b2"5$% < - < : ž - Ÿ < Ÿ Ž r < žx < ) b2$5"%'u < < : < < # A < < < Ž < r < r Ž < < ) < r." %. A# < œ r < Žr $E < < 2 žx. %' < Ž F ) < ) - \ < - MPaJO acd` RP`gacY. 6 µ d µ) { H } λ µ) ) f76a!)p?6 [ $@?' µ) λ!)m? 9 f'7;!<?-h-/ "!P; 5?67V76 2µ O!)A;69! N 67?F Qa?69! -$!)N f7'n7' µ). "6a?L ;U/ N! YO \ 6L: 3I FI Ÿ < < < r." %X. #r < - ) < #r d µ) { L <} µ) ) d Z d < Z < l < c ) < dz 2 Z d 2µZ d. < Z L µ) ) < ' \ µ. < < \ Ž C : C. Z u du Z c Z 2 β 2µ. 5"5 #!$% g2$5$% #!$%

30 ~ < β ž g2$5$% "6a VL \?S?R69 - I ) Z µ) t ) < L µ) ) < % < A t : l µ) t t t µ) { } dµ) 2 L t µ) ) µ) < < ; - { µ) } d and α t : inf{ : A t}. 2 L t µ) )!) < µ) α t µ) ) α t α t µ) { } dµ) l µ) α t α t { µ) } d µ α t µ) { d lµ) } α t < F < X : Ž ) α t { µ) d } µ t l µ). < 24 6 P% < < α t Ž ~ β t : α t d µ) { } ž F α t < µ) < Ž α t t l µ) # P% β α t µ t. t A t A Λ t Λ : Λ µ) ) : up{t : µ) t }. { µ) : t } ) α t < A Λ t lim µ) µ) t A α Λ. t Λ 2""

31 ' < ž # P%X α < Ž A β A µa Λ Λ l µ) Λ < l µ) β A Λ µa Λ l µ). A A Λ inf{t : β t µt l µ) }. ž β ž < P < \ 2µ Ž < β l µ) < ) Λ l µ) U ) ) { - A t : t µ) { d and } α t : inf{ : A t} Ž < < µ) ) µ) α t α t α t γ t µt l µ) α t {γ t : t } ž ž Ž $ ) t! " Ž - t < β γ 4 ) ) "# #) l µ) α t l µ) up { γ µ} t µ) { } dµ) l µ) α t up{ γ µ}. < $E < 24 < l µ) ) $E µ) α t 6. % β ) ) < - ;. )- < #" "% - ~ }. F6 2"2 $#" < Ž #" "% Ž < - < ) < Ž - F { g < ' #. % % 2"4

32 ' MPaJO acd` RP`gacY. \ 'KR-H-;?"!HFYR69 - -;O exp 2 R 3) ) d H R 2) ) f76a;kg`7.l:- 6a#:9L:?6aUP?6W<6L $OI #" "% x Λ x R 3) ) : up{t : R 3) t Ž - - 2). 2. # x}. < Ÿ $ < % < ΛxR 3) ) exp 2 R 3) ) d ž A t : t H ) exp 2 ) d exp 2 ) d x. ; Ž α t ž < ; - < {Z t : t } Z t : exp αt ) P - Z exp x) and < Z t < t < A H. x Ž #! "%' A H H Z) t % < /ž " " Ÿ < ) < < < q r < $E r )! MPaJO acd` RP`gacY. \ 'KR-H-;?"!HFY!;N:;!P /'-;3 ' " < < f76a R 3) ) 2γ d H /γ ) R δ) )? ; g`:9l:- 6L#:9a7?6L"AR?6A %<6L $OI γ δ 2γ )/γ ) 2"$ #. %

33 ž < { < < < o ) ž - #. % - < \ #. %X \ Ž H /γ ) R δ) ) γ ) 2 H R δ) ) < #. Ž < #. % Žr < γ ) 2 ) L H R δ) ) d. < < < Z 2) Ẑ 2) d δ 2) δ 2 ) 2γ d. # 2N% δ 3 γ 2 δ 3 % < ) # 2N% - < #C2N% {Z 2) < #"#!% < < # 2$%X Ž ž < u < < r Z 2) d ) 4 < Ẑ 2) < d. %' #"#"% : } { ) 2 Ẑ 2) /) : }. # % X # %' ' Ž #C2N% < Ž x δ 2 < < < ) #C2N% < Z 2) d ) 2γ # % < < Z 2) d ) 2γ x / ) 4 x 2γ 2) Ẑ 2) x # % dx. Ẑ 2) /) d ) 2γ 2 ) < < < - < u ) # % # %' 2".

34 ž } ' - K p T)M 5 < < ) #. %X Ž < R 3µ) < < < Ž - < exp 2 R 3µ) ) d d 2 9ž H R 22µ) ) < 2 dx µ cothµx) d 2 dx x. - #! $% f - 4 < < - # $%X µ. ) < o ) g2n% d δ2) {R H <} R δ) ) < R ž δ) - δ #!5"%X Ž $E ) ) - < #r % #!5"%9 - # #"!% ) # 2N% δ 2 < < Ẑ 2) δ 2 δ 3 ) d δ "% ) Z 2) δ ' #! $% µ < ) #" "%L #!5$% < δ d. $% Z 2) d Z 2) δ δ 2) 2 ) 2γ δ d. P% δ < < Ž - x δ < < < w ) P% < γ δ )/δ 2) ) δ 2) 2 Z 2) d Z x 2) ) 2δ )/δ 2) δ 2 x dx. "% 2δ )/δ 2"!2

35 ; Ÿ < Ž < < < < < ) Ž ž - - δ 2) 2 < Y ) 2) < < \ /2 Z 2) d ) 2δ )/δ 2) δ 2 "% δ 2 δ 2 - Z 2) - < < < < /x 2/δ Z 2) / d Z 2) d 2δ )/δ u) ' < Z 2) Y u 2) du 2δ )/δ < "%' M H 3F C3 OC< N6 8AC< L 4?8 M 6 M 4I:;CR 354?M C6PCR J:;3;<4?@8A3; R E < 9 < < < 9 IP#"% f)d <. < I f) f < - < < 6 < < Ž 7 ZQ < < ) γ µ % < ) x Ψ γ x) E x exp I γf)) E x exp γ ž < )- }! - t { Ψ γ µ) t ) exp γ $ 2"$# < < ) f µ) ) d } : t < ~ "# )) f µ) ) d.

36 ^ MPaJO acd` RP`gacY \?#;!;!)%'S8F#76aL?.!)FY?27F;!) 7 R6?-)- Ψ γ x V t t )) Ψ γ x) E x Ψ γ µ) t ) exp γ f µ). % ) d. 6L_Q:6L lim Ψ 2N% γx). x <. % < " ; < x <!) < ) l < < < < Ψ γ x) E x Ψ γ µ) H ) exp < Ψ γ µ) t ) exp Ψ γ ) Ψ γ ) t γ f µ) ) d γ H < ' ) E exp γ < Ž " < ) Ψ γ ) exp γ f µ) ) d exp γ 2N% - K p T)M #!% < E x exp γ < Ψ S ~ ƒ \ < γ < MPaJO acd` RP`gacY T 9 2EF f!h :YO6:!H-H!R / #3!P;!; I \ 7 H x f µ) ) d )) f µ) ) d Ψ γx) Ψ γ ). )) #"% ) f µ) ) d F t ). ) f µ) ) d Ž )!)!;#A"!)L #;!)'?' 7[!H : x Ψ γ x)!)?n!ff.!p;!pqfs8 F#:6LLV9!)[Ÿ?' #'!)'?9-/@3!)4576a7;!< -; a-pf!;@b; 6L -;: 2 v x) µ v x) γ fx) vx) lim vx). x 2" %

37 Ž Ž Ž Ž Ž < µ) - I t γf) γ t < f µ) ) d 4 Ž b < } 2 % < - % 4 n 2 A5 %'. % < Ψ γ. < ~ 6 %' < < l L - 2N 5. %' < < ' - Ž < < ' f ) - - ϕ γ ψ?[? 7'P?-bL-RN!$N γ.;6l:!hqlv69!<vu#;!;f < < h < < ' c c 2 < < h c ψ γ c 2 ϕ γ. } Ž < Ž < ϕ γ x) P x H ϕ γ ) x ) < ). ψ γ x) ψ γ ) x - < ϕ ψ Ž % f. < µ lim P xh ) < ) Žr ϕ γ ). - ψ γ. \ Ψ γ < 2N% ) - Ψ γ c < Ž ) < ψ γ - K p T)M < - T\pqO_VbK # Ÿ < ; f < Ψ γ < a exp /2) )) 2 d 2"

38 ) % b $%' Ž < < ) < fx) a expx)) 2 2 v x) µ v x) γ a expx)) 2 vx). x ln g) vln ) ) < µ. 2 2 g ) µ 2 ) g ) γ a ) 2 % g) < < < ž ž v. 5!2 2$5 < { Ž - µ /2 < 2γ ηξ) g) ξ a ln a ) < < % < 2γ η a η $% 2γ η. ; β : a/2 2γ < $% ηξ) A exp ) β 2 β)ξ exp ) β 2 β)ξ. < %X ψ) exp β 2 β) 2β ln ) a ) ) 2 β 2 ). a < ψ ) )) E x exp γ a exp /2) )) 2 d expx) ) 2 a) a expx) 2"" a 2 8γ a) 5$%.

39 l < ž 5"% E x exp γ < ) < < 4 "% < X X x ) X exp /2) ) /2) x - < )) x ) 2 a) a X ) d a 2 8γ a). 2 a x $% l)- - 5$% $%%' 5$% x a E exp γ e 2 d )) e 2 d e 2γ 2 Z /2 ) Žr < Z /2 Γ - ˆŽZ < \ / ). F) Ž - žx. < < < < ) 6 L µ) µ - R < < l < < wÿ ) <. µ)%_ ) - ' Ž <. \ - \ < < / ) g2n%' < 24 Œ' : 5$#. - µ). MPaJO acd` RP`gacY f9!r!rq f C 8;#!;A3#.ZSF f) e 2µ P% d V X 3!)4X.!; "!P; ;`YF7'767[6 d 2 µ 2 dx 2 2 f x) ) d fx) dx. $% 2""5

40 ' \ 7 H X) < [I I"!) X <?'N' 6L_Q:6L f76a 2µ. X Ž - < < I f) : X!)bP 7 f µ) ) d µ) { <} b9 f:;!<?-h-/ < / < 2 5 % - 3!HA6.! P% F < x S X x) f) e 2µ d H X) fx ) d "!R 5?6:?:6 ) / < o lim x SX x). < H X) < X <. )) Ψ γ x) : E x exp γi f) 4 < < 2 Ψ x) µ Ψ x) γ ) x) fx) Ψx) lim x Ψx). x < Ž 2). S X Ψ γ x) P x H µ) ) ) P x H µ) ) < ) Ψ γ ) <? / < Ψ γ x) x. < 4 < 2 u x) µ u!. % x) γ fx) ux). ; ) ψ γ ϕ γ < ) 3 Ž "%' ψγ ϕ γ < ) 3 Ž!. %' < f - < Ž < P#!%' Ž "% 246

41 Ž!. % < r 2). < ) - ψ γ. 8 ψ γ ψ γ ψ γ x) x ψ γ x) ψ γ) Sx) S ) ψ γ ) S) ψ γ) x S ) < Sx) exp 2µ x) < µ). x Ψ γ x) \ \ x E exp γ - ) ψ γx) ψ γ ) 2µ ψ γ x) 2µ ψ γ ) ψ γ) f µ) ) { µ) <} d )) F 2µ ψ γ ) 2µ ψ γ ) ψ γ). 2N% ψ γ ) : 2µ ψ γ ) ψ γ) < ' ψ γ f C. 8 < < Ž -!. % l < ψγ Ž X < ψ γ ψγ < ψγ < S ~ ƒ 2 u x) µ f x) ) u x) γ fx) ux) x. 2 fx) ž $E < { ψγ X t HX)) exp γ t H X) } fx ) d) : t < < Ž < 4 f " X x < H X) )) E x exp γ fx ) d ψ γ x) ψ γ ). #"% 24"

42 S Ž < ψ γ x) 2µ e 2µx dx 2µ 2µ ψ γ x) ψ γx)) e 2µx dx 2µ ψ γ ). c X < ) \ 2µ 2N% #"%X H X) )) 2µ e 2µx E x exp γ fx ) d dx - T\pqO_VbK : 2N%' < < < 4 < I : E exp γ < œ exp 2 µ) ) µ) { ž f µ) ) { µ) <} d )) <} d. R 2 2µ) I 2 2µ) {R d a.. } ) 2) ) Ž < I. fx) e 2x < < 2) ž < µ. < 4 Ž µ) I ' < < \ H µ) ) H µ) ) exp 2 µ) ) d < X - < ) ) 2µ. x < µ) x <. Ÿ < Ž exp ) 2 µ) d Hx ˆ µ) ) e 2x Hx ˆ µ) ) ) µ) exp 2 ˆ x) d exp 2 e 2x inf{t : R 2µ) t e x } 24P ) µ) ˆ d

43 < < < ˆµ) : - < < ž ž A inf{t : R 2µ) t < ˆR 2µ) 2µ. ƒ -!) - ˆR 2µ) < µ - 8 < Œ e x } inf{t : e x R 2µ) t } inf{e 2x t : e x R 2µ) e 2x t } e 2x inf{t : ˆR 2µ) t } - e x. exp 2 µ) ) d. µ) { H <} ˆR 2µ) ) ˆR 2µ) e ξ < ξ F < < - P ) 2µ. < < < < ) " % < < Žr < L - R - 2 "A.". %' M 3;9; 8 3 H O3N L54 4IL;MQ8 6 M F E ž < 4 % \ " % ˆR 2µ) < < : < / < < )! #! 2 %' m UKNaJMPKrp #5 W2AR?[V6LZgb6L?"N!<V!$ P?6 <6L $? L H ) )!R -;#a?- ;!) "!P; 6L:f# -;Q7- H ). \ '7 -$#L?-U;!) 6L#79 {L H ) : }!) a-rn!$@b;cfde!h2;76 "6L3a )! {L H ) X 2 X dβ 2 )!)?83!H:N9!$S?- FO?6L g 79a7-6L#:9 ) : } AR?6A;!)FY <6L $? 24.

44 H!)! {L!) $A83!H 7N.!;S?-"N_?6L g`7.l7-6l#:9 "!R H ) ) : } UP?6!)[Y QL?-R L H ) P?!H <6L )! I m UKNaJMPKrp #5 T 9A? ;EF µ)? -$ L ; -;#LV-b;!) t µ) ) F -$Q7- µ) R"!P;@6L:f# :.YE3% L?6L!) t. d%n' ; R?--$#L?-f!H ["-$Q:- µ) Q! \ 7 V f76a L µ) ) : lim t L t µ) ). {L µ) ) : } {Z 2µ) : } {L µ) ) : } {Z 22µ) : } Z δ2µ) δ 2?6LUa-RN!$NUb;cFde dx t 2 X t d t δ 2µX t ) dt 6a7 f#;!pq:-/ "!P '!)N!R! V-QL?-R 9 f'7;!<v-)-/ O!)A;69! N"!P5V67? 8 X :6 µ. J W;3# 5'!;F7;!P;!;:? -;!)'- /_"!R Z 2µ) Z 22µ) Nb;76"!)L 2µ) V 22µ)?6aU!)'N f:n:9i Z Z S : < < ž - < \. vž - < < X ) \ δ 2. ; L R δ) ) 4 < r < ž - R δ) < - < ; % m UKNaJMPKrp #5 kt T 9 E[ 3)!)P?6 F$OI \ : R f76a $V'!RI I {L R 3) ) : } {Z 2) : } 2) N737FO?6a@g`:9a7-6a#:9 b3!h:n9!$ O5AR?6A <6a Z 2) :F!H : ;cfde Z T 9 E[ δ 2?' dx 2 X d 2 d. R δ) {L H R δ) ) : }. \ 7 { Ẑ2) δ 2)δ 3 } : δ 2 f76a Ẑ N7':?83!H:N9!$EV-NFO?6aMg`7.L:- 6.!;OY[ )<6a $ $? 2) X-$7FYE; I 242 $% 5$%

45 Ž H } MQJ%M 6 M 3;<"M E 7 Ÿ Ÿ < < Žr - ž < l % -?65 # #!5! 4v5" ;Q bl~o/~ - } $ ) ) ž - ) h Ž Ž } - $!% # "$! % "$ % % # - $%'?: Ž "5 )!. < Už \ $ l ) H ) } l - %!P. ; <!54!5 4ž ' ) \?65" $# 2 cž _ "$ # %'-! QžX < Jž \ž \ž \!"$r # Cž U S N ž}w µ % ž ƒ. % $ # "! #".! #r U!"!24 < Žc?A@"@! < :!2"". N@! %$ - 7! \ ) ž h ' ) < l < '." v N#! v5 \ _ ~ < Ž } Žc < 3; Ž ' \ < - Ÿ ž Žr ž 7 ' Z 7 - )! % " $ "- ' $ $ % - % Ž #"# % # 5. )žx \! )ž c ".!!~ I} ' "} } S Ž Ž < ž " ) - $! \2$5 2N# #! \!"!4 5 ~ } ' } } S < ' < ž $ " # \24N ' "% 6. 6! )!"" 24P# ) ž

46 } ' 6 ~ } ' } } < ž 6 Žr -!) ~of}! "% "- " $% --- " 2"2)4ž \!"4" \! " Q~ } ' Q} } < Ž \ ž # %.$. %!5"#. )!" " P ~ I} } $E < Ÿ < Ž < ž < $ 6 4!" v65!54" ). ~ } } ž < - \"# 64! 6"#! 4Z65!5 2 : _~ ~o : ž < % - J # 5. v5" "54 P# ~oj~ < < ) < " "$# % '. 5 54Z65"5" ~o_~ < ž % -.". ". 2)")!!4" : 4~! $ % - % $ Ÿ ) < Jž Z65" 2) 6 ƒ Až/J~." -.-- % )ž ' )?65 # 65 ' 7 ƒ?s Ÿ - < ' F - } ~ $ ' 7 ƒ ~o - " $"."---.- $%' -"-."."." $"." " % $ % < \: - ) - 2$# #! \ž v5"54"! \!! : r } 7 < ƒ ž ž - - " $ % " $ $ $ F2. 6?

47 ~ } Ž } 7 ˆ Ÿ < ž } $ % # "$! % "$ % % # - $%' )! ): Žr. # v65"5 \! " ' - % " ' # ". 7 IU < S < Ž Ž ž < Ž % -? Z65" $ 2 ' _J} #$." -- - $ % \ž ' )?65 2)! "# o} 7 7 cq } F < ) ž < # ) #! 65"5 ) ƒ $!% % $" # $.$#! $ $ #.$# $ { ) < < \; v65!2.! ƒ < Ž." $" % "$#% #-! )ž ' 4?5"54"!! 7 ž - " 4Z65!5 7 J; }! # -." $ % " $ $ $ $ c! $#!"# Z65 r. 7 U; - f4 ' ) 7 ) } œ -) - % "P. ; - < )ž ' ) \! 65" $#r. : } o < ) ž - - $! # % " $!)!".. : Z} S!" 2) ) < ž - 9 6$r 6$ 54 24

48 ' S.". ' } }h < ž Ž % -"$ ' - )2 P#. v65"5!54. 2 ' )} } ž 6 2)?65!5"54. # ' P} } ' ž?p#!5 Q $ - 2M X < Ž Q $E 2M X < " "$.! 4 6 Q $E 2M X < v Ž ) P "# )!""4. ' P} } Q $E 2M X < ' 9ž \ < < Ž A.? # \ "4".$ ' c} } QS ~ $E < ' ž < % -. 6!2! )!!.. ' _ } ž v Z~o } -!!" % "- " $% -- 2" "# ž ' ) )! c!"4!. 5 7 )Q } ž Žr ~o!ÿ 6." $" %!Ž $#r ) -"$# - -! "-! $#.$ 4Pž ' ) r65! 4" \ 2$ 7 _Q } ) ž." $ % " $$ $ J#!5 2N "# 2N# Z65! $ 2) ~ov: Ž }! # # % - / \ž ' ) J!" " 2N _ f ) "?P 2 "# 64!v5" $# 2. _! S # $# $ $!. 5 ) <..".". \!!4" 246 )- ž <

49 < < } ƒ 2"2 _ } CS ~ - %$ - 7 / S rÿ - "6F."-- $# $ %.$#." $!"."---.- % "!! " % "- $! X "!2)_Ÿ < 2N# _ } -? ž < $ ) % # " #% J!"$#r 2 ž{ ' % - 42$ 2). 2N )!!. 2 S! < $ # "! #". " 5 54"\ "!2) 2$ ~o Ÿ #$ -." % - % # #! 7 Ÿ $5 o}?8 ' < ){!4. v65!54" #! o} -"$ -"$% # "$! % žx < \ž?65"5$r # o} -q 4 w Ž % -!5!"!! 4X65"5" < #. #" o} ž œ $# "-! "- " "- v... 24v65"5. 9 #. % #. o} $ % # "$! % -$%' " Už ' )! c "4" # 2 o} - % $ % # "$ % "$ % % # - -$%' " %% -"$ -. " $ : Ž v65"5 F 2465

Molekulare Ebene (biochemische Messungen) Zelluläre Ebene (Elektrophysiologie, Imaging-Verfahren) Netzwerk Ebene (Multielektrodensysteme) Areale (MRT, EEG...) Gene Neuronen Synaptische Kopplung kleine

Διαβάστε περισσότερα

Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr. 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t. Łs t r t t Ø t q s

Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr. 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t. Łs t r t t Ø t q s Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr st t t t Ø t q s ss P r s P 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t P r røs r Łs t r t t Ø t q s r Ø r t t r t q t rs tø

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,

Διαβάστε περισσότερα

(... )..!, ".. (! ) # - $ % % $ & % 2007

(... )..!, .. (! ) # - $ % % $ & % 2007 (! ), "! ( ) # $ % & % $ % 007 500 ' 67905:5394!33 : (! ) $, -, * +,'; ), -, *! ' - " #!, $ & % $ ( % %): /!, " ; - : - +', 007 5 ISBN 978-5-7596-0766-3 % % - $, $ &- % $ % %, * $ % - % % # $ $,, % % #-

Διαβάστε περισσότερα

Teor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 2016, stor

Teor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 2016, stor eor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 6, stor. 93 5 Abstract. e article is devoted to models of financial markets wit stocastic volatility, wic is defined by a functional of Ornstein-Ulenbeck process

Διαβάστε περισσότερα

Z L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / / + 3 / / / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " #

Z L L L N b d g 5 *  # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / / + 3 / / / / + * 4 / / 1  5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3  # Z L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / 0 1 2 / + 3 / / 1 2 3 / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " # $ % $ ' $ % ) * % @ + * 1 A B C D E D F 9 O O D H

Διαβάστε περισσότερα

x y 2 = 2 sin θ 2 dx = K R n e x pt n+p 1 e tp dt. dx = pt p 1 e tp dt dx. t x 1 e t dt.

x y 2 = 2 sin θ 2 dx = K R n e x pt n+p 1 e tp dt. dx = pt p 1 e tp dt dx. t x 1 e t dt. Συναρτησιακές Ανισότητες και Συγκέντρωση του Μέτρου (-) Ασκήσεις Κεφάλαιο : Ισοπεριμετρικές ανισότητες και συγκέντρωση του μέτρου Θεωρούμε την μοναδιαία Ευκλείδεια σφαίρα S n = {x R n : x = } στον R n

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

! " # $ % & $ % & $ & # " ' $ ( $ ) * ) * +, -. / # $ $ ( $ " $ $ $ % $ $ ' ƒ " " ' %. " 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; ; < = : ; > : 0? @ 8? 4 A 1 4 B 3 C 8? D C B? E F 4 5 8 3 G @ H I@ A 1 4 D G 8 5 1 @ J C

Διαβάστε περισσότερα

Q π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.

Q π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο ο φ. II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

!"#$%#&'(#)*+,$-.#/ 0%&#1%&%#)*2!1/&%3) 0&/(*+"45 64.%*)52(/7

!#$%#&'(#)*+,$-.#/ 0%&#1%&%#)*2!1/&%3) 0&/(*+45 64.%*)52(/7 !"#$%#&'(#)*+,$-.#/ 0%&#1%&%#)*2!1/&%3) 0&/(*+"45 64.%*)52(/7 2010 2012 !"#$%!&'()$!!"#$% &!#'()* +(, $-(./!'$% $+0 '$ 1!")& '(, 2,3!4#*'& '&5 67µ3(, 0'$# (%!)%/µ(" '&5 $+849!:5 ()(-)&4:;(.# -$% & +4

Διαβάστε περισσότερα

! "# $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 "$ 6, ::: ;"<$& = = 7 + > + 5 $?"# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B"',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,.

! # $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 $ 6, ::: ;<$& = = 7 + > + 5 $?# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,. ! " #$%&'()' *('+$,&'-. /0 1$23(/%/4. 1$)('%%'($( )/,)$5)/6%6 7$85,-9$(- /0 :/986-$, ;2'$(2$ 1'$-/-$)('')5( /&5&-/ 5(< =(4'($$,'(4 1$%$2/996('25-'/(& ;/0->5,$ 1'$-/%'')$(($/3?$%9'&-/?$( 5(< @6%-'9$

Διαβάστε περισσότερα

.. ntsets ofa.. d ffeom.. orp ism.. na s.. m ooth.. man iod period I n open square. n t s e t s ofa \quad d ffeom \quad orp ism \quad na s \quad m o

.. ntsets ofa.. d ffeom.. orp ism.. na s.. m ooth.. man iod period I n open square. n t s e t s ofa \quad d ffeom \quad orp ism \quad na s \quad m o G G - - -- - W - - - R S - q k RS ˆ W q q k M G W R S L [ RS - q k M S 4 R q k S [ RS [ M L ˆ L [M O S 4] L ˆ ˆ L ˆ [ M ˆ S 4 ] ˆ - O - ˆ q k ˆ RS q k q k M - j [ RS ] [ M - j - L ˆ ˆ ˆ O ˆ [ RS ] [ M

Διαβάστε περισσότερα

f(w) f(z) = C f(z) = z z + h z h = h h h 0,h C f(z + h) f(z)

f(w) f(z) = C f(z) = z z + h z h = h h h 0,h C f(z + h) f(z) Ω f: Ω C l C z Ω f f(w) f(z) z a w z = h 0,h C f(z + h) f(z) h = l. z f l = f (z) Ω f Ω f Ω H(Ω) n N C f(z) = z n h h 0 h z + h z h = h h C f(z) = z f (z) = f( z) f f: Ω C Ω = { z; z Ω} z, a Ω f (z) f

Διαβάστε περισσότερα

SWOT 1. Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries. ISIGInstitute of. International Sociology Gorizia

SWOT 1. Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries. ISIGInstitute of. International Sociology Gorizia SWOT 1 Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries ISIGInstitute of International Sociology Gorizia ! " # $ % ' ( )!$*! " "! "+ +, $,,-,,.-./,, -.0",#,, 12$,,- %

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +

Διαβάστε περισσότερα

!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).

!! #7 $39 % (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ). 1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3

Διαβάστε περισσότερα

HONDA. Έτος κατασκευής

HONDA. Έτος κατασκευής Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V

Διαβάστε περισσότερα

) * +, -. + / - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 : ; < 8 = 8 9 >? @ A 4 5 6 7 8 9 6 ; = B? @ : C B B D 9 E : F 9 C 6 < G 8 B A F A > < C 6 < B H 8 9 I 8 9 E ) * +, -. + / J - 0 1 2 3 J K 3 L M N L O / 1 L 3 O 2,

Διαβάστε περισσότερα

!"#!"!"# $ "# '()!* '+!*, -"*!" $ "#. /01 023 43 56789:3 4 ;8< = 7 >/? 44= 7 @ 90A 98BB8: ;4B0C BD :0 E D:84F3 B8: ;4BG H ;8

Διαβάστε περισσότερα

γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000

Διαβάστε περισσότερα

MÉTHODES ET EXERCICES

MÉTHODES ET EXERCICES J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com

Διαβάστε περισσότερα

u = 0 u = ϕ t + Π) = 0 t + Π = C(t) C(t) C(t) = K K C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt Kt 2 ϕ = 0

u = 0 u = ϕ t + Π) = 0 t + Π = C(t) C(t) C(t) = K K C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt Kt 2 ϕ = 0 u = (u, v, w) ω ω = u = 0 ϕ u u = ϕ u = 0 ϕ 2 ϕ = 0 u t = u ω 1 ρ Π + ν 2 u Π = p + (1/2)ρ u 2 + ρgz ω = 0 ( ϕ t + Π) = 0 ϕ t + Π = C(t) C(t) C(t) = K K C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt Kt C(t) ϕ ϕ 1 ϕ = ϕ 1 p ρ

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β ( ) ... Χ 2 Υ 11 Χ 12. Χ... p Χ 22 Υ 21 Υ 1. Χ... np ... ,..., ˆ. i,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β ( ) ... Χ 2 Υ 11 Χ 12. Χ... p Χ 22 Υ 21 Υ 1. Χ... np ... ,..., ˆ. i, "! #%$ &(' )*- /" 3 45687495:;< >?@AB DE"F G HIJ KL"MNONP QRTVUW"XZYZ[U\8Q ] ^`_ a_bcdfe _ cghjk_ e e l ezmh o`qqr stujvwxzryz"o{"q }~ u Vƒ Š ~Œ Ž w %š wœ" "žÿš Vœ` % % Z ž œ% œ Ÿ ž 8 œ9 w " 9 œ Vª«w f

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης.

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. 1. Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ελέγξτε βάσει του ορισμού της παραγωγισιμότητας αν είναι παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο

Διαβάστε περισσότερα

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit rkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS TAMPRN YLIOPISTO D 2008 6 TAMPR 2009 TAMPRN YLIOPISTO TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS JULKAISUSARJA D VRKKOJULKAISUT D 2008 6, TOUKOKUU 2009

Διαβάστε περισσότερα

payload mass (kg) Data point

payload mass (kg) Data point : %"$" +, + %$ "?'&, + '&) + " %g -, 'm )" % "?/. F $ % D - ;2Z " " % ) 4 F 65y 55 6 4 8 ) % + &%48 9 : ] @& ""'& $ A + \VAf + " 5\ %f" 6AA_" f'af6q"b> %)6C. 5\ ".K" % BD " /.KBD & [?> %

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Μοντέλα Επιχειρησιακών Ερευνών Συστήματα αναμονής Ι Ιωάννης Δημητρίου Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών, idimit@math.upatras.gr Δ.Π.Μ.Σ. «Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων» Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Όρια - Συνέχεια ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Όρια - Συνέχεια ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Όρια Συνέχεια ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ mail: info@iliaskosgr wwwiliaskosgr f] g,! R f] g,, f] g

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ο ο 3 α. 3"* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο

ο ο 3 α. 3* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο 18 ρ * -sf. NO 1 D... 1: - ( ΰ ΐ - ι- *- 2 - UN _ ί=. r t ' \0 y «. _,2. "* co Ι». =; F S " 5 D 0 g H ', ( co* 5. «ΰ ' δ". o θ * * "ΰ 2 Ι o * "- 1 W co o -o1= to»g ι. *ΰ * Ε fc ΰ Ι.. L j to. Ι Q_ " 'T

Διαβάστε περισσότερα

Gradient Descent for Optimization Problems With Sparse Solutions

Gradient Descent for Optimization Problems With Sparse Solutions Gradient Descent for Optimization Problems With Sparse Solutions The Harvard community has made this article openly available. Please share how this access benefits you. Your story matters Citation Chen,

Διαβάστε περισσότερα

Déformation et quantification par groupoïde des variétés toriques

Déformation et quantification par groupoïde des variétés toriques Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue Fédéic Cadet To cite thi veion: Fédéic Cadet. Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue. Mathématiue [math]. Univeité d Oléan, 200.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΣ ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ BMW (Ισχύει από 02/03/2015)

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΣ ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ BMW (Ισχύει από 02/03/2015) ΛΙΑΝΙΚΗ F21 - Νέα Σειρά 1 3θυρη 2P71 116i 1.499 109 116-126 22.650 21.220 116i Έκδοση Advantage 24.150 22.720 116i Έκδοση Sport Line 26.000 24.570 116i Έκδοση Urban Line 26.000 24.570 116i Έκδοση M Sport

Διαβάστε περισσότερα

(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X

(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΣ ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ BMW

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΣ ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ BMW F21 - Σειρά 1 3θυρη 1P11 114i 1.598 102 127-132 21.900 20.470 1D11 116i 1.598 136 125-134 23.900 22.470 1D31 118i 1.598 170 129-137 27.050 25.620 1D51 125i 1.997 218 154 / 148 34.900 32.100 1N71 M135i

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 26/10/2017. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 26/10/2017. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Συνθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκσεις - 26/0/207 Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης της

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1

Διαβάστε περισσότερα

1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x

Διαβάστε περισσότερα

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs

Διαβάστε περισσότερα

a,b a f a = , , r = = r = T

a,b a f a = , , r = = r = T !" #$%" &' &$%( % ) *+, -./01/ 234 5 0462. 4-7 8 74-9:;:; < =>?@ABC>D E E F GF F H I E JKI L H F I F HMN E O HPQH I RE F S TH FH I U Q E VF E WXY=Z M [ PQ \ TE K JMEPQ EEH I VF F E F GF ]EEI FHPQ HI E

Διαβάστε περισσότερα

ŒˆŠ Š ˆ Š ˆ ˆ ˆ œ ƒ ƒˆƒ Š ƒ.. ˆÏÌ μ,.. ²

ŒˆŠ Š ˆ Š ˆ ˆ ˆ œ ƒ ƒˆƒ Š ƒ.. ˆÏÌ μ,.. ² ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2007.. 38.. 2 ŒˆŠ Š ˆ Š ˆ ˆ ˆ œ ƒ ƒˆƒ Š ƒ.. ˆÏÌ μ,.. ² ÊÎ μ- ² μ É ²Ó ± É ÉÊÉ Ö μ Ë ± ³... ±μ ²ÓÍÒ, Œƒ, Œμ ± μ ³Ê² Ê É Ö μ É Ö μ²ê³ ± μ ±μ Î ± Ö ³μ ²Ó, μ μ²öõð Ö ÊÎ ÉÓ ² Ö Ëμ - ³ Í μ ÒÌ,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ε Ν Δ Ε Ι Κ Τ Ι Κ Ε Σ Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

= df. f (n) (x) = dn f dx n

= df. f (n) (x) = dn f dx n Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0

Διαβάστε περισσότερα

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ) 6 Νοεμβρίου 07 Αναλυτικές συναρτήσεις Άσκηση (i) Δείξτε ότι η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου εάν και μόνο εάν η if(z) είναι αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Vol. 37 ( 2017 ) No. 3. J. of Math. (PRC) : A : (2017) k=1. ,, f. f + u = f φ, x 1. x n : ( ).

Vol. 37 ( 2017 ) No. 3. J. of Math. (PRC) : A : (2017) k=1. ,, f. f + u = f φ, x 1. x n : ( ). Vol. 37 ( 2017 ) No. 3 J. of Math. (PRC) R N - R N - 1, 2 (1., 100029) (2., 430072) : R N., R N, R N -. : ; ; R N ; MR(2010) : 58K40 : O192 : A : 0255-7797(2017)03-0467-07 1. [6], Mather f : (R n, 0) R

Διαβάστε περισσότερα

3607 Ν. 7.28/88. E.E., Παρ. I, Αρ. 2371,

3607 Ν. 7.28/88. E.E., Παρ. I, Αρ. 2371, E.E., Παρ. I, Αρ. 271, 16.12. 607 Ν. 7.2/ περί Συμπληρματικύ Πρϋπλγισμύ Νόμς (Αρ. 5) τυ 19 εκδίδεται με δημσίευση στην επίσημη εφημερίδα της Κυπριακής Δημκρατίας σύμφνα με τ Άρθρ 52 τυ Συντάγματς- - Αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

Παρασκευή 1 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση 1. Λύση. Παρατήρηση. Ασκηση 2. Λύση.

Παρασκευή 1 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση 1. Λύση. Παρατήρηση. Ασκηση 2. Λύση. (, ) =,, = : = = ( ) = = = ( ) = = = ( ) ( ) = = ( ) = = = = (, ) =, = = =,,...,, N, (... ) ( + ) =,, ( + ) (... ) =,. ( ) = ( ) = (, ) = = { } = { } = ( ) = \ = { = } = { = }. \ = \ \ \ \ \ = = = = R

Διαβάστε περισσότερα

ˆ œ ˆ ˆ ˆ Šˆ Œ ˆ ˆ Š ˆ Ÿ Œˆ ˆ Œˆ ŒŠ Œ ˆ Ÿ

ˆ œ ˆ ˆ ˆ Šˆ Œ ˆ ˆ Š ˆ Ÿ Œˆ ˆ Œˆ ŒŠ Œ ˆ Ÿ ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2009.. 40.. 6 ˆ œ ˆ ˆ ˆ Šˆ Œ ˆ ˆ Š ˆ Ÿ Œˆ ˆ Œˆ ŒŠ Œ ˆ Ÿ ˆ Œ.. Ê μ, ƒ. ƒ. ³Ö,.. Éμ ±μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ˆ 1603 ˆ ˆ ˆŸ ˆ ˆ œ Š Œ ˆ Ÿ 1614 Î μ μ Ö É ²Ó μ μ μ É É±. 1614 μöé μ ÉÓ μ μ Ö

Διαβάστε περισσότερα

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις Μιαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Κεφάλαιο 1. Εισαωικά 5 Η αλεβρική δοµή 5 Η τοπολοική δοµή τού 6 Το εκτεταµένο µιαδικό επίπεδο 7 Συνεκτικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3. 3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3

Διαβάστε περισσότερα

]Zp _[ I 8G4G /<4 6EE =A>/8E>4 06? E6/<; 6008:6> /8= 4; /823 ;1A :40 >176/812; 98/< ;76//40823 E182/;G g= = 4/<1

]Zp _[ I 8G4G /<4 6EE =A>/8E>4 06? E6/<; 6008:6> /8= 4; /823 ;1A :40 >176/812; 98/< ;76//40823 E182/;G g= = 4/<1 ! " #$ # %$ & ' ( ) *+, ( -+./0123 045067/812 15 96:4; 82 /178/? = 1@4> 82/01@A74; B824= 6/87 60/8567/; C 71 04D47/10; C 82/1 /

Διαβάστε περισσότερα

Modeling floods in a dense urban area using 2D shallow water equations

Modeling floods in a dense urban area using 2D shallow water equations odeling floods in a dense urban area using 2D shallow water equations E. ignot, A. Paquier,. Haider To cite this version E. ignot, A. Paquier,. Haider. odeling floods in a dense urban area using 2D shallow

Διαβάστε περισσότερα

Q Q Q 2Q b a a b

Q Q Q 2Q b a a b "! $# % &'()!, "!*.- -0, *# 354 36 4*78 8 :9* :65;< 3= $>?3@ 89A 3; 4CB 8D E :F :G 3$>%H3Ï J @KLK@NMPO O@Ï 3Q S "-T O J3QL'0 U * S -TW 3Q@XYS -Z-TW Q@@[U%'0 * \ * S ]9C;C 8 D_a` 8 b;a b=dce b9 3Q@Q@ 65F

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ : Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Σκελετοί Λύσεων Άσκηση [0 μονάδες] α Να αναφέρετε τρεις μεθόδους μέσω των οποίων μπορούμε να αποφασίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ , º 1(130).. 7Ä ±μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê

Ó³ Ÿ , º 1(130).. 7Ä ±μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê Ó³ Ÿ. 006.. 3, º 1(130).. 7Ä16 Š 530.145 ˆ ƒ ˆ ˆŒ ˆŸ Š ƒ.. ±μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê É μ ² Ö Ó μ μ Ö μ μ²õ μ É μ ÌÉ ±ÊÎ É ² ³ É μ - Î ±μ μ ÊÌ ±μ Ëμ ³ μ- ±² μ ÒÌ ³μ ²ÖÌ Ê ±. ³ É ÔÉμ μ μ μ Ö, Ö ²ÖÖ Ó ±μ³

Διαβάστε περισσότερα

f a o gy s m a l nalg d co h n to h e y o m ia lalg e br coh the oogy lagebr

f a o gy s m a l nalg d co h n to h e y o m ia lalg e br coh the oogy lagebr - - - * k ˆ v ˆ k ˆ ˆ E x ˆ ˆ [ v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ E x ˆ ˆ ˆ ˆ v ˆ Ex U U ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ v ˆ M v ˆ v M v ˆ ˆ I U ˆ I 9 70 k k ˆ ˆ - I I 9ˆ 70 ˆ [ ˆ - v - - v k k k ˆ - ˆ k ˆ k [ ˆ ˆ D M ˆ k k 0 D M k [ 0 M v M ˆ

Διαβάστε περισσότερα

9.BbF`2iBbB2`mM; A,.Bz2`2Mx2Mp2`7?`2M 7Ƀ` T `ib2hh2.bz2`2mib H;H2B+?mM;2M 8.BbF`2iBbB2`mM; AA, 6BMBi2 1H2K2Mi2 o2`7?`2m

9.BbF`2iBbB2`mM; A,.Bz2`2Mx2Mp2`7?`2M 7Ƀ` T `ib2hh2.bz2`2mib H;H2B+?mM;2M 8.BbF`2iBbB2`mM; AA, 6BMBi2 1H2K2Mi2 o2`7?`2m R R R K h ( ) L 2 (Ω) H k (Ω) H0 k (Ω) R u h R 2 Φ i Φ i L 2 A : R n R n n N + x x Ax x x 2 A x 2 x 3 x 3 a a n A := a n a nn A x = ( 2 5 9 A = )( x ( ) 2 5 9 x 2 ) ( ) 2x +5x = 2. x +9x 2 Ax = b 2x +5x

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BOLOGNA. DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA ELETTRICA Viale Risorgimento n BOLOGNA (ITALIA) FOR THE CURRENT DISTRIBUTION

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BOLOGNA. DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA ELETTRICA Viale Risorgimento n BOLOGNA (ITALIA) FOR THE CURRENT DISTRIBUTION UVERSÀ DEG SUD D BOOGA DPAREO D GEGERA EERCA Vl Rogo - 36 BOOGA (AA AAYCA SOUOS FOR HE CURRE DSRBUO A RUHERFORD CABE WH SRADS. F. Bch Ac h gocl o of h ol co coffc og h of Rhfo cl vg. h olo fo h gl l c

Διαβάστε περισσότερα

Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen

Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen Dissertation date: GF F GF F SLE GF F D Ĉ = C { } Ĉ \ D D D = {z : z < 1} f : D D D D = D D, D = D D f f : D D

Διαβάστε περισσότερα

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² µ, Ê

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² µ, Ê ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2004.. 35.. 5 Š 539.12.01 ˆ ˆ Š œ Ÿ Š Ÿ ˆŸ Ÿ ƒ.. Ë ³µ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² µ, Ê ˆ 1116 Š ˆ ˆ ŒŸ Œ ˆŠ 1119 Š Ÿ ˆŸ Ÿ ˆ Œ Š œ ˆ 1121 Š Ÿ ˆŸ Ÿ Š œ Œ ˆŒ ˆ Œ 1130 Š ˆ Œ ˆ Š Ÿ Š Ÿ ˆŸ Ÿ 1134 ˆ ˆ œ

Διαβάστε περισσότερα

!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!

!!# $ %% %$ & % !'!  #$! " "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(

Διαβάστε περισσότερα

5 Ι ^ο 3 X X X. go > 'α. ο. o f Ο > = S 3. > 3 w»a. *= < ^> ^ o,2 l g f ^ 2-3 ο. χ χ. > ω. m > ο ο ο - * * ^r 2 =>^ 3^ =5 b Ο? UJ. > ο ο.

5 Ι ^ο 3 X X X. go > 'α. ο. o f Ο > = S 3. > 3 w»a. *= < ^> ^ o,2 l g f ^ 2-3 ο. χ χ. > ω. m > ο ο ο - * * ^r 2 =>^ 3^ =5 b Ο? UJ. > ο ο. 728!. -θ-cr " -;. '. UW -,2 =*- Os Os rsi Tf co co Os r4 Ι. C Ι m. Ι? U Ι. Ι os ν ) ϋ. Q- o,2 l g f 2-2 CT= ν**? 1? «δ - * * 5 Ι -ΐ j s a* " 'g cn" w *" " 1 cog 'S=o " 1= 2 5 ν s/ O / 0Q Ε!θ Ρ h o."o.

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

ÏÑÏÓÇÌÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ( )( ) ( )( ) Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. w w + 1= + 1. α= α.

ÏÑÏÓÇÌÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ( )( ) ( )( ) Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. w w + 1= + 1. α= α. Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ ο Α Σχολικό βιβλίο σελ Β σελ Β σελ Γ α Λ β Σ γ Λ δ Λ ε Σ ΘΕΜΑ ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ + w z = w z w = + w z zw = + w w w + zw = z w( + z) = z z z

Διαβάστε περισσότερα

!"! #!"!!$ #$! %!"&' & (%!' #!% #" *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2!

!! #!!!$ #$! %!&' & (%!' #!% # *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2! # $ #$ % (% # )*%%# )# )$ % # * *$ * #,##%#)#% *-. )#/###%. )#/.0 )#/.* $,)# )#/ * % $ % # %# )$ #,# # %# ## )$# 11 #2 #**##%% $#%34 5 # %## * 6 7(%#)%%%, #, # ## # *% #$# 8# )####, 7 9%%# 0 * #,, :;

Διαβάστε περισσότερα

ιαµέριση (Partition) ορισµένη στο διάστηµα I = [a, b]

ιαµέριση (Partition) ορισµένη στο διάστηµα I = [a, b] ιαµέριση (Prtition) ορισµένη στο διάστηµα I = [, b] P = {x 0,x 1,x 2,...,x n } = x 0

Διαβάστε περισσότερα

M p f(p, q) = (p + q) O(1)

M p f(p, q) = (p + q) O(1) l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 99 Α. α) Ψ β) Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

! "#" "" $ "%& ' %$(%& % &'(!!")!*!&+ ,! %$( - .$'!"

! #  $ %& ' %$(%& % &'(!!)!*!&+ ,! %$( - .$'! ! "#" "" $ "%& ' %$(%&!"#$ % &'(!!")!*!&+,! %$( -.$'!" /01&$23& &4+ $$ /$ & & / ( #(&4&4!"#$ %40 &'(!"!!&+ 5,! %$( - &$ $$$".$'!" 4(02&$ 4 067 4 $$*&(089 - (0:;

Διαβάστε περισσότερα

2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς. 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η. 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν. 5. Π ρ ό τ α σ η. 6.

2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς. 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η. 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν. 5. Π ρ ό τ α σ η. 6. Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α 1. Ε ι σ α γ ω γ ή 2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν 5. Π ρ ό τ α σ η 6. Τ ο γ ρ α φ ε ί ο 1. Ε ι σ α γ ω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΤΗΣ ΕΠΙΣΗΜΗΣ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΣ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ Αρ της 22ας ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2002 ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ ΜΕΡΟΣ II

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΤΗΣ ΕΠΙΣΗΜΗΣ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΣ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ Αρ της 22ας ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2002 ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ ΜΕΡΟΣ II Ν. 7()/22 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤ ΤΗΣ ΠΣΗΜΗΣ ΦΗΜΡΔΑΣ ΤΗΣ ΔΗΜΚΡΑΤΑΣ Αρ. 366 της 22ς ΝΜΡΥ 22 ΝΜΘΣΑ ΜΡΣ περί Συμπληρωμτικύ Πρϋπλγισμύ Νόμς (Αρ. 13) τυ 22 εκδίδετι με δημσίευση στην πίσημη φημερίδ της Κυπρικής Δημκρτίς

Διαβάστε περισσότερα

γ n ϑ n n ψ T 8 Q 6 j, k, m, n, p, r, r t, x, y f m (x) (f(x)) m / a/b (f g)(x) = f(g(x)) n f f n I J α β I = α + βj N, Z, Q ϕ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς Στοιχεῖα ἄκρος καὶ μέσος λόγος ὕδωρ αἰθήρ ϕ φ Φ τ

Διαβάστε περισσότερα

C M. V n: n =, (D): V 0,M : V M P = ρ ρ V V. = ρ

C M. V n: n =, (D): V 0,M : V M P = ρ ρ V V. = ρ »»...» -300-0 () -300-03 () -3300 3.. 008 4 54. 4. 5 :.. ;.. «....... :. : 008. 37.. :....... 008.. :. :.... 54. 4. 5 5 6 ... : : 3 V mnu V mn AU 3 m () ; N (); N A 6030 3 ; ( ); V 3. : () 0 () 0 3 ()

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Όρια συναρτήσεων. Άσκηση. Ποιό είναι το σύνολο στο οποίο έχει νόημα και ποιό το σύνολο στο οποίο ισχύει καθεμιά από τις ανισότητες: x+2 > 00, > 000, < < ; x 2 x

Διαβάστε περισσότερα

Œ ƒ ˆ ˆˆ. Î ± É ÉÊÉ ³..., Œµ ± ˆ ˆˆ Œ ƒ ˆ ˆˆ 1051 Ð ³ Î Ö 1051 Î ± Ö É Í Ö 1059

Œ ƒ ˆ ˆˆ. Î ± É ÉÊÉ ³..., Œµ ± ˆ ˆˆ Œ ƒ ˆ ˆˆ 1051 Ð ³ Î Ö 1051 Î ± Ö É Í Ö 1059 ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2002.. 33.. 5 Š 530.145 Œ ˆ Œ ˆ Œ ƒ ˆ ˆˆ.. Œ µ µ Î ± É ÉÊÉ ³..., Œµ ± ˆ ˆˆ Œ ƒ ˆ ˆˆ 1051 Ð ³ Î Ö 1051 Î ± Ö É Í Ö 1059 µ ³µÉ Í Ö µéò 1070 ˆ Š Œ ˆ Œ ˆ 1077 ³ ɵ µ µ³ É Î Ö ³µ ²Ó 1078 ³

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Επιµέλεια: Ι. Σπηλιώτης Άσκηση.3 σελ.45 Εξάγονται δύο σφαίρες από την Α και τοποθετούνται στην Β. Υπάρχουν τρία δυνατά ενδεχόµενα: Ε : εξάγονται δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός ΙΙ Ενότητα 1: Λογισμός ΙΙ Κ. Δασκαλογιάννης Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 1 / 210 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

. Το CD περιέχει επίσης τα κείµενα των ιστοριών και τις εικόνες µε ασπρόµαυρα σχέδια για να τις χρωµατίσουν τα παιδιά. χρήσης του CD.

. Το CD περιέχει επίσης τα κείµενα των ιστοριών και τις εικόνες µε ασπρόµαυρα σχέδια για να τις χρωµατίσουν τα παιδιά. χρήσης του CD. Ref O U R m ` d c de i a` _ ^] \[X Z YX WV kj { xyz V } o p b e k d u R ~ O ~ U U } b y a k o { a r ih p g x h v k i o b a` _ r hgkj se k ƒv h o { k se d s oe gk gf c i g s dk zr Uƒl v ` i e`fgh v fg v

Διαβάστε περισσότερα

Im{z} 3π 4 π 4. Re{z}

Im{z} 3π 4 π 4. Re{z} ! #"!$%& '(!*),+- /. '( 0 213. $ 1546!.17! & 8 + 8 9:17!; < = >+ 8?A@CBEDF HG

Διαβάστε περισσότερα

Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Young

Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Young Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Youg Ασπασία Κωτσογιάννη Περίληψη Ο µετασχηµατισµός Fourier Εστω f L. Ορίζουµε. fξ = π fxe ix ξ dx, ξ. Το ολοκλήρωµα Lebesgue στη σχέση. συγκλίνει για κάθε ξ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΟ ΠΟΥ ΠΑΡΑΓΕΙ ΜΙΑ ΣΤΑΘΕΡΗ ΥΝΑΜΗ

ΕΡΓΟ ΠΟΥ ΠΑΡΑΓΕΙ ΜΙΑ ΣΤΑΘΕΡΗ ΥΝΑΜΗ Έργο και Ενέργεια ΕΡΓΟ ΠΟΥ ΠΑΡΑΓΕΙ ΜΙΑ ΣΤΑΘΕΡΗ ΥΝΑΜΗ Έστω ένα σωμάτιο πάνω στο οποίο εξασκείται μια σταθερή δύναμη F. Έστω ότι η κίνηση είναι ευθύγραμμη κατά την διεύθυνση του διανύσματος F. Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

ˆ ˆ ˆ - ˆ Šˆ ˆ Œ. B. ʱ Ï Î

ˆ ˆ ˆ - ˆ Šˆ ˆ Œ. B. ʱ Ï Î ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2003.. 34.. 6 Š 539.1.07: 621.384.8 Œ -. Œ ˆ ˆ ˆ - ˆ Šˆ ˆ Œ. B. ʱ Ï Î É Ê ± É ÉÊÉ Ö µ Ë ±, ƒ ÉÎ, µ Ö ˆ 1520 Œ ˆ ˆŠ Ÿ ˆ 1522 Š Œ - 1528 ˆ Œ Œ - 1542 Š ˆ Šˆ Œ Œ - 1548 ²µ. Œ ˆ ˆŒŒ ˆ ˆ -

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. A(x 1, x 2 )

Περιεχόμενα. A(x 1, x 2 ) Περιεχόμενα A(x 1, x 2 7 Ολοκληρώματα της Μαγνητοϋδροδυναμικής και Μαγνητοϋδροδυναμικά Κύματα Σχήμα 7.1: Οι τριδιάστατες ελικοειδείς μαγνητικές γραμμές στις οποίες εφάπτεται το διάνυσμα του μαγνητικού

Διαβάστε περισσότερα

Χημικές Διεργασίες: Χημική Ισορροπία η σύνδεση με τη Θερμοδυναμική

Χημικές Διεργασίες: Χημική Ισορροπία η σύνδεση με τη Θερμοδυναμική : Χημική Ισορροπία η σύνδεση με τη Θερμοδυναμική Η Θερμοδυναμική σε μία τάξη Θεμελιώδης συνάρτηση: F(U, S, V) = 0 Ενέργεια, ικανότητα παραγωγής έργου Εντροπία, μη ικανότητα παραγωγής έργου, μη διαθεσιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

ITU-R P (2012/02) &' (

ITU-R P (2012/02) &' ( ITU-R P.530-4 (0/0) $ % " "#! &' ( P ITU-R P. 530-4 ii.. (IPR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. ITU-T/ITU-R/ISO/IEC (http://www.itu.int/publ/r-rec/en ) () ( ) BO BR BS

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής. Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής. Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

X Y 5 Z 2404 [0\0 234 ] = \ ] Y^\_ 054 ] ` 0_\04 4 a = ] 8 b 8b 8 c d X e e \0] 4 `4Z e \ 5023 f \ 5 g h i] 50] 5 `0 4 j k lmn l m

X Y 5 Z 2404 [0\0 234 ] = \ ] Y^\_ 054 ] ` 0_\04 4 a = ] 8 b 8b 8 c d X e e \0] 4 `4Z e \ 5023 f \ 5 g h i] 50] 5 `0 4 j k lmn l m !" # $ % % & "# ' ( " & ) ' ' * "!"'+,, + - "!"'.!& +!, / 01 234 53 67 899 86: ; < 0 4 2 = >? @ A B C D E D C F A GHII DCAFJ HH K F I B HIL F KH D MND K BO I ADPD KH L F KGHG FAF E HQHL BRS FADS FA H ND

Διαβάστε περισσότερα

L. F avart. CLAS12 Workshop Genova th of Feb CLAS12 workshop Feb L.Favart p.1/28

L. F avart. CLAS12 Workshop Genova th of Feb CLAS12 workshop Feb L.Favart p.1/28 L. F avart I.I.H.E. Université Libre de Bruxelles H Collaboration HERA at DESY CLAS Workshop Genova - 4-8 th of Feb. 9 CLAS workshop Feb. 9 - L.Favart p./8 e p Integrated luminosity 96- + 3-7 (high energy)

Διαβάστε περισσότερα

tel , version 1-7 Feb 2013

tel , version 1-7 Feb 2013 !"## $ %&' (") *+ '#),! )%)%' *, -#)&,-'" &. % /%%"&.0. )%# "#",1 2" "'' % /%%"&30 "'' "#", /%%%" 4"," % /%%5" 4"," "#",%" 67 &#89% !"!"# $ %& & # &$ ' '#( ''# ))'%&##& *'#$ ##''' "#$ %% +, %'# %+)% $

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

! " # $ % # "& #! $! !! % " # '! $ % !! # #!!! ) " ***

!  # $ % # & #! $! !! %  # '! $ % !! # #!!! )  *** ! " # $ % # # $ # # "& # $! $! #!! % " # '! $ % "!! $ "!!! # ( #!!! ) #! " *** # .....5.......9..........9.....4.3....... 9.4. -...3.......36....36......4.3....45.3......46.3......5.3.3....59.3.4.......65

Διαβάστε περισσότερα