Hidravli ni oven. Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in ziko. Oddelek za ziko

Transcript

1 Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in ziko Oddelek za ziko Hidravli ni oven Seminar Avtor: Marko Kozin Mentor: do. dr. Daniel Sven²ek Ljubljana, mare 2014 Povzetek V seminarju sta predstavljena zgradba in osnovni prinip delovanja hidravli nega ovna. Podrobneje je opisan hidravli ni udar. Osnovna ena ba, ki opisuje delovanje hidravli nega ovna, pove, da je sprememba tlaka p sorazmerna s spremembo hitrosti toka v, gostoto teko ine ρ in hitrostjo ²irjenja tla nega vala. Podani sta zvezi za hitrost ²irjenja tla nega vala pri togih in proºnih eveh. Obravnavana sta primera hitrega in postopnega zapiranja zasuna. Na konu je nakazano, kako poi² emo razvoj tlaka in hitrosti ob poljubnem asu in za poljuben presek evi preko dinami ne in kontinuitetne ena be, ki predstavljata sistem nelinearnih parialnih diferenialnih ena b hiperboli nega tipa, ki jih re²imo z metodo karakteristik.

2 Kazalo 1 Uvod 2 2 Hidravli ni oven Zgradba hidravli nega ovna Prinip delovanja hidravli nega ovna Hidravli ni udar Uvod Opis vodnega udara Osnovne ena be Nadtlak in sprememba hitrosti Hitrost propagaije Hitro in postopno zapiranje zasuna Diferenialne ena be Zaklju ek 11 1 Uvod ƒe se vrnemo nekoliko let nazaj in si sku²amo predstavljati, kako je bilo pred ve desetletij pri nas ali pa je ²e danes v nerazvitem svetu, si teºko predstavljamo razmere pri oskrbi z vodo. Ljude, ki so ºiveli ob rekah in potokih ali pa so imeli doma vodnjake, so bili v neprimerno bolj²em poloºaju kot tisti, ki so ºiveli v gorskih in hribovskih vaseh. Takrat so morali vodo iz dolin prinesti z vedri in brentami, kar je bilo zamudno in zelo naporno. V tistih asih ²e niso poznali elektrike, ki dandanes uspe²no ºene elektri ne rpalke, te pa potiskajo vodo do vseh ²e tako zakotnih vasi. Namesto rpalk je ljudem prisko il na pomo hidravli ni oven, ki ima podobno vlogo kot rpalka, le da ne potrebuje elektrike. V hidravli ni oven doteka voda, sam pa manj²o koli ino vode potisne v vi²je leºe i predel. Seveda oven ne pre rpa vse vode, ampak je gre nekaj v izgubo [1]. 2 Hidravli ni oven 2.1 Zgradba hidravli nega ovna Poenostavljen sistem, v katerega je vgrajen hidravli ni oven, je prikazan na sliki 1. Sestavavljen je iz naslednih delov: A - spodnji zbiralnik (izvir), B - dovodna ev, C - udarni ventil, zasun, D - nepovratni ventil, E - ekspanzijska posoda, F - odto na ev, G - zgornji zbiralnik (rezervoar), K - varnostni ventil. Razdalja H je vi²inska razlika med hidravli nim ovnom in zgornjim zbiralnikom, razdalja h pa vi²inska razlika med hidravli nim ovnom in spodnjim zbiralnikom. 2

3 Slika 1: Preprosta zgradba hidravli nega ovna [5]. 2.2 Prinip delovanja hidravli nega ovna Naloga hidravli nega ovna je, da pre rpa vodo iz spodnjega zbiralnika v zgornji zbiralnik. Voda izteka iz spodnjega zbiralnika in doteka po dovodni evi v hidravli ni oven. Tlak pri udarnem ventilu je pribliºno enak zra nemu, saj je udarni vrntil na za etku odprt. Zato se potenialna energija, ki jo ima voda v spodnjem zbiralniku, pretvori v kineti no energijo. Ko prite e voda v hidravli ni oven, se udarni ventil zapre, zato hitrost vode pade na ni, tlak pa se pove a. Temu pojavu pravimo hidravli ni udar. V mirujo i vodi se pojavi tla ni val, ki se giblje stran od udarnega ventila. Tlak v hidravli nem ovnu je tako velik, da se odpre nepovratni ventil, voda pa vstopi v ekspanzijsko posodo in v odto no ev ter te e dalje proti zgornjemu zbiralniku. Tlak v dovodni evi pade na za etno vrednost, saj se voda za ne ponovno gibati. Odpre se tudi udarni ventil. Ko postane hidrostati ni tlak v odto ni evi ve ji od tlaka v dovodni evi, se nepovratni ventil zapre. Voda v dovodni evi postopoma ponovno doseºe dovolj veliko hitrost, zato se udarni ventil ponovno zapre in zgodba se ponovi. Ekspanzijska posoda ² iti eloten sistem pred po²kodbami, ki bi lahko nastale zaradi mo nih ta nih sunkov. V ekspanzijski posodi je zrak, ki se, ko se odpre nepovratni ventil, skr i. Ko se nepovratni ventil ponovno zapre, se zrak raz²iri in potisne vodo po odto ni evi proti zgornjemu zbiralniku. 3 Hidravli ni udar 3.1 Uvod V eveh, kjer te e voda pod tlakom, vsaka sprememba pretoka na za etku ali konu odseka evi povzro i tla ne valove v teko ini, ki se ²irijo v obe smeri. Ta pojav imenujemo hidra- 3

4 vli ni udar oz. vodni udar v primeru, ko se po eveh pretaka voda. Vodni udar nastane v tal nih evovodih elektratn, v vodovodnem omreºju, v namakalnih sistemih, zaradi sprememb pretoka pri obratovnju rpalk itd. Pri hidravli nem ovnu nastane zaradi zapiranja udarnega ventila. Neºeleni vplivi vodnega udara lahko ustavijo obratovanje sistemov, npr. v hidroelektrarnah, rpalnih sistemih, in po²kodujejo elemente sistema, npr. po²kodba evovoda. Obremenitve vodnega udara v dopustnih mejah lahko doseºemo z ustreznim krmiljenjem obratovalnih reºimov, vgradnjo elementov za blaºitev vodnega udara ali prerazporeditvijo elementov evnega sistema. 3.2 Opis vodnega udara Pojav vodnega udara bomo analizirali na primeru vodoravne evi dolºine l, ki povezuje rezervoar na levi in ventil - zasun na desni strani. Cev ima konstanten presek in enako debelino stene po elotni njeni dolºini. ƒe ob nekem asu prekinemo odtekanje vode po evi tako, da zasun zapremo, se zaradi vztrajnosti dotekajo e vode stisne ilinder vode, ki je tik ob zasunu. Na tem mestu se ev zaradi pove anega tlaka nekoliko raz²iri, odvisno od materiala, iz katerega je ev. Nadaljni dotok stiska nove ilindre vode in jih nabija drugega na drugega. Posledi no se pove uje presek evi v nasprotni smeri, kot doteka voda. Raz²irjanje evi in val nadtlakov se kot elasti ni val ²iri s hitrostjo. Hitrost je odvisna od premera evi, debeline stene, na ina vgraditve, materiala evi in od lastnosti teko ine v evi. Slika 2: Faze hidravli nega udara. Slika 2 prikazuje dest razli nih stanj, ki jih opazimo, e se zasun zapre ob asu t = 0. ƒas µ = 2l imenujemo faza. To je as, ki prete e od rojstva elasti nega vala pri zasunu do povratka na isto mesto. Tlak pri odboju elasti nega vala od mesta, kjer je tlak konstanten (rezervoar), vedno spremeni svoj predznak (nadtlak se odbije kot podtlak in obratno), od mesta, kjer so hitrosti v = 0 (zasun), pa se val odbije brez spremembe predznaka (nadtlak kot nadtlak, podtlak kot podtlak). To je podobno kot valovanje na vrvi, kjer se na prostem konu hrib odbije kot hrib in dolina kot dolina, na vpetem konu ps se hrib odbije kot dolina 4

5 in dolina kot hrib. ƒe se zasun zapre v trenutku, se pri zasunu in vzdolº evi pojavijo maksimalni podtlaki, ki ustrezajo polnemu vodnemu udaru. Ob asu t < 0 ima voda po elotni evi enako hitrost v, tlak je enak p 0. Ko ob asu t = 0 zapremo zasun, se pojavi nadtlak p, ki se kot val ²iri proti rezervoarju. Meja med obmo jem, kjer je voda ustavljena (v = 0) in obmo jem, v katerem voda ²e te e s hitrostjo v, se pomika proti rezervoarju s hitrostjo. To se dogaja v asovnem intervalu 0 < t < l, ob asu t = l pa je voda zaustavljena v elotni evi in izpostavljena nadtlaku p. Ob asu t = l + dt stisnjena voda deluje kot vzmet in se za ne raztezati in te i s hitrostjo v proti rezervoarju. Tlak pade na za etno vrednost p 0. Na odseku, ki ga val sprostitve tlaka ²e ni dosegel, voda ²e vedno miruje pod nadtlakom p. Ob asu t = µ = 2l je po vsej evi tlak p 0, voda pa se giblje s hitrostjo v proti rezervoarju. Ob asu t = µ = 2l + dt se voda, ki se giblje stran od ventila, v trenutku zaustavi. Pojavi se podtlak p, ki se ²iri proti rezervoarju in zaustavlja tok vode. Voda ob asu t = 3µ miruje po vsej evi pri podtlaku p. Vodni stolp 2 se obna²a kot raztegnjena vzmet, zato za ne ob asu t = 3µ + dt voda te i iz rezervoarja 2 proti ventilu. Zopet se za ne gibati proti ventilu s hitrostjo v, proti zasunu se ²iri tudi tla ni val. V evi je zopet tlak p 0, voda pa se giblje s hitrostjo v proti zasunu tako kot na za etku ob asu t < 0. ƒe se zasun ne zapre v trenutku, lo imo dva primera. ƒe je as zapiranja kraj²i od faze µ = 2l, se pri zasunu in vzdolº dolo enega odseka evi ²e vedno pojavljajo maksimalni nadtlaki, ki ustrezajo polnemu vodnemu udaru. Dolºina odseka evi, kjer se pojavijo maksimalni nadtlaki, je odvisna od dolºine evi l, od hitrosti zapiranja in od hitrosti potovanja tla nega vala. ƒe je as zapiranja dalj²i od faze µ = 2l in je zapiranje linearno, kar pomeni, da se pretok skozi zasun zmanj²uje linearno, se maksimalni nadtlak zmanj²a tudi pri zasunu. 3.3 Osnovne ena be Ena be, ki opisujejo vodni udar, se opirajo na naslednje predpostavke [2]: a) spremembe prostornine zaradi vodnega udara oz. pove anja tlaka so zelo majhne v primerjavi z za etno prostornino, b) spremembe hitrosti so zelo hitre - trenutne (silo trenja lahko zanemarimo), ) hitrost toka v je mnogo manj²a od hitrosti ²irjenja tla nih valov, kar pomeni, da je hitrost propagaije elasti nega vala neodvisana od intenzitete in smeri toka teko ine Nadtlak in sprememba hitrosti Slika 3 prikazuje tla ni val ob asu t, ki je oddaljen od zasuna za razdaljo s. V asu dt se elo vala premakne za ds. Dinami na ena ba za del ek teko ine se glasi dv dt = f 1 p ρ x, (1) kjer drugi len predstavlja gostoto sil, ki delujejo na del ek teko ine. 5

6 Slika 3: Poloºaj ela tla nega vala ob asu t in t + dt. Ko upo²tevamo zgornje predpostavke, dobimo za del ek teko ine z maso dm = ρsds, kjer je S presek evi δpsdt = ρdssδv, ter osnovno diferenialno ena bo hidravli nega udara δp = ρδv, (2) kjer je = ds dt hitrost ²irjenja vala. Zveza med spremembo hitrosti in spremembo tlaka je linearna, zato nam omogo a uporabo superpoziije. Nadtlaki in podtlaki, ki so posledia premikanja zasuna, se algebersko se²tevajo. Prirastek tlaka je neodvisen od za etnega stanja. Iz ena be (2) opazimo, da se pri hidravli nem udaru tlak v evi pove a, ko se zasun zapre, zato se hitrost zmanj²a. Ker je pove anje tlaka v hidrodinamiki pomembnej²e, se smatra ta primer kot normalen. Hidravli ni udar se nana²a na tak²en pojav, pri katerem se zasun zapre oz. odpre tako, da povzro i zmanj²anje hitrosti in pove anje tlaka. Ena bo (2) integriramo od nekega za etnega stanja p 0, v 0 do stanja p, v in dobimo Hitrost propagaije p = p p 0 = ρ(v 0 v) = ρ v. (3) I² emo analiti ni izraz za hitrost propagaije motnje pri spremembi hitrosti v v diferenialno kratkem asu dt [2]. Stene evi so toge Kontiniutetna ena ba se glasi (ρsv) (ρs) δx = δx. (4) x t Sprememba mase v prostornini Sds = Sdt je enaka masi vode, ki prite e skozi presek S. Z uporabo kontinuitetne ena be in dejstva, da je v, dobimo, da je ρ ρ = v 6 = pχ,

7 kjer je χ stisljivost vode. Uporabimo ena bo (3) in dobimo zvezo 1 = ρχ. To je ena ba za hitrost zvoka v vodi, ki zna²a pribliºno 1400 m s. ƒe nimamo toge evi, ampak elasti no ev s polmerom D, debelino sten δ in elasti nostjo E, dobimo za hitrost tla nega vala izraz [3] K 1 =. ρ 1 + KD Eδ Za jeklene evi zna²a drugi faktor v gornjem izrazu pribliºno 1 2, kar pomeni, da hitrost tla nih valov v proºnih eveh zna²a m. Hitrost tla nih valov je tudi v proºnih s eveh dovolj velika v primerjavi s hitrostjo teko ine v, da ²e vedno velja v Hitro in postopno zapiranje zasuna Hitro zapiranje O hitrem zapiranju govorimo takrat, kadar je as zapiranja zasuna kraj²i od t z = 2l. Naj bo zapiranje linearno (pretok skozi zasun se zmanj²uje linearno), as zapiranja pa t z < 2l. Kako se tlak ob zasunu spreminja s asom, prikazuje slika 4. Ker se hitrost linearno zmanj²uje, tlak linearno nara² a in ob asu t = t z doseºe maksimalno vrednost p max = ρv. Ob asu t = 2l tla ni val spremeni predznak, zato se vrne kot podtlak. Za etnemu valu nadtlaka sledi ob asu t = 2l 4l val podtlaka in ob asu t = ponovno val nadtlaka. Slika 4 prikazuje dajanski tlak pri zasunu, ki ga dobimo kot superpoziijo tla nih valov [2]. Slika 4: Sprememba tlaka pri hitrem zapiranju zasuna. Zvezo med tlakom in spremembo hitrosti, ki jo podaja ena ba (3), smo izpeljali s pomo jo ohranitvenega zakona za gibalno koli ino. Do enake zveze pridemo tudi preko ohranitvenega 7

8 zakona za energijo. Obravnavajmo primer, ko smo v limiti trenutnega zapiranja ventila in toge evi. Od ventila, kjer se teko ina v trenutku ustavi, se v smeri nazaj ²iri zvo ni val - valovno elo. Ker se energija ohranja, lahko re emo, da gre kineti na energija teko ine pred ustavitvijo v energijo akusti nega vala po ustavljanju. Zapi²emo lahko W kin = W akust, kjer je akusti na energija W akust = wv = wst, gostota energije zvoka w = j zvo nega toka j = δp2. Vse skupaj vstavimo v zgornjo ena bo 2ρ in gostota m v 2 2 = δp2 2ρ St, upo²tevamo ²e, da je t = s, V = Ss in zopet dobimo za amplitudo tla nega vala ena bo (3). Postopno zapiranje ƒe je as zapiranja zasuna dalj²i od t z = 2l, je zapiranje postopno. Tudi v tem primeru naj bo zapiranje linearno, as zapiranja pa t z > 2l. S pomo jo superpoziije pozitivnih in negativnih valov opazimo, da nastane maksimalni nadtlak v asu t = µ = 2l. Iz podobnih trikotnikov OAC in OA C na sliki 5 vidimo, da je tlak p max = p 0 µ t z = ρv 0 2l t z, p max = 2ρ lv 0 t z, (5) kar poznamo pod imenom Mihaudova formula [2]. V tem primeru nadtlak ni odvisen od hitrosti raz²irjanja tla nega vala, ampak od hitrosti zapiranja zasuna t z. Potrebno se je zavedati, da ena ba (5) velja samo takrat, kadar je as zapiranja zasuna t > 2l, tako da amplituda tlaka ne more v neskon nost. 3.4 Diferenialne ena be Do sedaj smo se ukvarjali s posameznimi problemi vodnega udara. Sedaj pa ºelimo pokazati pot do re²itve splo²nega problema, ki bo podajala razvoj tlaka in hitrosti ob poljubnem asu in za poljuben presek evi, zajemala pa naj bi tudi vpliv upora pri toku po evi. Spremenljivki, s katerima bomo popolnoma opisali tok teko ine, sta hitrost teko ine skozi presek evi v in tlak p, oziroma ekvivalentna tla na vi²ina H. Neodvisni spremenljivki bosta koordinata x in as t. Izhajali bomo iz dinami ne ena be in kontinuitetne ena be, ki ju bomo zapisali za kratek teko inski steber v evi [3]. Koeient trenja med teko ino in evjo naj bo sorazmeren s kvadratom hitrosti toka. Dinami no ena bo (1) smo ºe zapisali. Za odsek evi δx v smeri x jo ponovno zapi²emo dv dt = f x 1 p ρ x. (6) 8

9 Slika 5: Sprememba tlaka pri postopnem zapiranju zasuna. Slika 6: Prerez evi v navpi ni ravnini. Cev je nagnjene za kot θ glede na vodoravno ravnino, A in B sta preseka evi na razdalji δx, H je ekvivalentna tla na razlika, z pa navpi na koordinata. Zadnji len v zgornji ena bi predstavlja ploskovno porazdeljene sile na enoto mase, to so povr²inske sile stati nega tlaka. ƒlen f x sestavljata gostota sila teºe na enoto mase f g = g sin θ in gostota sila trenja na enoto mase f tr = λ v2 2D, ki je produkt striºne napetosti τ 0 in povr²ine odseka evi πdδx. Striºno napetost izrazimo po empiri ni ena bi τ 0 = λ ρv2 8, kjer je λ koeient trenja. Upo²tevamo ²e, da je p = γ(h z), kjer je γ = ρg, sin θ = z in iz ena be (6) dobimo dv dt + g H x + λv2 2D = 0. ƒe razpi²emo totalni diferenial hitrosti v parialnega in advekijskega ter upo²tevamo, da mora tretji len vedno obdrºati smer, ki je nasprotna hitrosti, dobimo dinami no ena bo v kon ni obliki v t + v v x + g H x + λv v = 0. (7) 2D x 9

10 Kontinuitetna ena ba nam pove, da je asovna sprememba mase v elementu volumna Sδx enaka neto masnemu pretoku skozi povr²ino elementa. Ena bo (4) razvijemo, delimo z ρs in vse lene uredimo na levi strani ter dobimo v S S x + 1 S S t + v ρ ρ x + 1 ρ ρ t + v x = 0 1 ds S dt + 1 dρ ρ dt + v x = 0. V prej²nem poglavju smo omenili vpliv proºnosti evi na hitrost ²irjenja tla nega vala. Napetost v steni evi s polmerom D, debelino sten δ in tlakom v notranjosti p lahko zapi²emo dσ dt = D dp 2δ dt. Ob upo²tevanju Hookovega zakona σ = ɛe, kjer je ɛ spei ni raztezek in E modul elasti nosti materiala evi dobimo dɛ dt = D dp 2δE dt, kjer je spei ni raztezek oboda dr = dɛ D 2 in tako je 1 ds S dt = D δe Stisljivost vode, izraºena z gostoto, je po deniiji zato lahko napi²emo D D. Pove anje preseka je ds = πddr = πddp 2δE 2 χ = dρ/ρ dp, dp dt. 1 dρ ρ dt = χdp dt. Kontinuitetna ena ba dobi obliko D dp δe dt + χdp dt + v ( x = χdp 1 + D ) + v dt χδe x = 0. Vstavimo ²e in dobimo 1 χρ ( ) = D χδe 1 dp v + 2 ρ dt x = 0. Ko upo²tevamo ²e, da je p = ρg(h z) dobimo kontinuitetno ena bo v kon ni obliki 2 g v x + v H x + H t 10 + v sin θ = 0. (8)

11 Dinami na ena ba in kontinuitetna ena ba predstavljata sistem nelinearnih ena b prvega reda hiperboli nega tipa. Re²evanje diferenialnih ena b takega tipa se lotimo z metodo karakteristik. Ker bomo obravnavali pojav s kratkim trajanjem in tudi v prizmati nih eveh, bo ta metoda dovolj natan na in ne preve kompliirana. Na²a naloga je, da dolo imo neznani funkiji H(x, t) in v(x, t) iz sistema ena b (7) in (8). Ko se gibljemo s elom tla nega vala velja, da sa se hitrost in tlak ne spreminjata, zato velja dh = 0 in dv = 0. Tako dobimo re²itev Za re²itev dobimo ²e dve ena bi karakteristik [3] dx dt = v + dx dt = v. (9) dh dt + dv g dt dh dt dv g dt + v sin θ + λv v 2gD = 0, + v sin θ λv v 2gD = 0. (10) Dobili smo ²tiri enea be karakteristik. Ena bi (9) dolo ata potovanje ela elementarnih valov. Iz njih lahko dolo imo mesto in as sre anja dveh elementarnih valov. Drugi dve ena bi (10) pa dolo ata tla no vi²ino H in hitrost v, ki nastaneta na mestu sre anja. Re²ujemo jih numeri no s pomo jo ra unalnikov [3], [4]. Ker je hitrost toka v zanemarljivo majhna v primerjavi s hitrostjo ²irjenja elementarnih valov, lahko v ena bi (9) v zanemarimo in je naklon karakteristik konstanten. 4 Zaklju ek Hidravli ni oven je naprava, ki lahko pre rpa vodo v vi²je leºe e predele. Koli ina pre rpane vode je odvisna od presekov evi, tla ne vi²ine in konguraije terena. Trºi² e ponuja razli no velike hidravli ne ovne, ki imajo razli ne kapaitete, preseke evi in tla ne vi²ine. Najzmoglivej²i ovni lahko pre rpajo vodo ve kot 300m visoko. Hidravli ni oven deluje na prinipu vodnega udara. Ker lahko v ekstremnih primerih nastanejo zaradi vodnega udara ogromni nadtlaki, ki lahko po²kodujejo vodni sistem, je potrebno paziti pri konstrukiji tak²nih sistemov. Izkoristek ovna je odvisen od mnogih parametrov npr. od konguraije terena, materiala, naklona dovodne evi, pada primarnega voda, velikosti evi itd. Ko je razmerje vi²inskih razlik h : H = 1 : 2, lahko izkoristek zna²a pribliºno 35%, pri razmerju h : H = 1 : 9 pa le okoli 1, 3%. Hidravli ni oven so izpodrinile elektri ne rpalke, ki imajo bolj²i izkoristek in so sedaj relativno poeni. Dandanes so se ohranili v nerazvitem svetu, pri nas pa se uporabljajo predvsem za oskrbo manj²ih porabnikov. Npr. v hribovitem svetu za oskrbo posameznih 11

12 hi² s pitno vodo, za oskrbo vikendov in zidani, priljubljen pa je tudi med vrti karji, ki ga uporabljajo za zalivanje vrtnin. Izdelava hidravli nega ovna je relativno preprosta, samo vzdrºevanje pa je poeni. Literatura [1] Andrej Likar, Klepe, Presek, 1994, 22/2, [2] Mladen Boreli, Hidraulika, Graževinski fakultet univerziteta u Beogradu, Beograd, [3] Rudi Rajar, Hidravlika nestalnega toka, Fakulteta za arhitekturo, gradbeni²tvo in geodezijo, Ljubljana, [4] J. F. Douglas, J. M. Gasiorek in J. A. Swaeld, Fluid Mehanis, 3rd edition, Longman Sienti & Tehnial, [5] ( ). [6] pdf ( ). 12