ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Τμήμα Φαρμακευτικής Α εξάμηνο. Αριστείδης Δοκουμετζίδης. Ύλη. Διανύσματα. Πίνακες Ορίζουσες - Συστήματα. Διαφορικές εξισώσεις

Transcript

1 1 ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τμήμα Φαρμακευτικής Α εξάμηνο Αριστείδης Δοκουμετζίδης Ύλη Διανύσματα Πίνακες Ορίζουσες - Συστήματα Διαφορικές εξισώσεις ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μία φυσική ποσότητα μπορεί να αναπαρίσταται στη απλούστερη περίπτωση από ένα βαθμωτό μέγεθος, δηλαδή 1 πραγματικό αριθμό, για παράδειγμα: Θερμοκρασία, συγκέντρωση, μάζα. Κάποιες όμως φυσικές ποσότητες απαιτούν περισσότερη πληροφορία και αναπαρίστανται από διανυσματικά μεγέθη: δηλαδή 1 πραγματικό αριθμό (μέτρο) και 1 κατεύθυνση, Παραδείγματα : ταχύτητα, επιτάχυνση, δύναμη. Γεωμετρική σημασία διανύσματος: κατευθυνόμενο ευθύγραμμο τμήμα Ορισμοί Αρχή Α, πέρας Β, σύμβολο ΑΑΑΑ Μηδενικό διάνυσμα ΑΑΑΑ Μέτρο διανύσματος (απόσταση των άκρων) ΑΑΑΑ Μοναδιαίο διάνυσμα ΑΑΑΑ = 1 Φορέας: η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα (μη μηδενικό) Ίσα διανύσματα: ίσο μέτρο και ίσες κατευθύνσεις

2 2 Διανύσματα που προκύπτουν με παράλληλη μεταφορά είναι ίσα ΑΑΑΑ = ΓΓΓΓ Παράλληλα ή συγγραμμικά: Διανύσματα που βρίσκονται σε παράλληλους φορείς //ΓΓΓΓ ΑΑΑΑ Το μηδενικό διάνυσμα είναι παράλληλο με όλα Αντίθετα διανύσματα Ίσα μέτρα και αντίθετες κατευθύνσεις ΒΒΒΒ = ΑΑΑΑ Πρόσθεση διανυσμάτων Το άθροισμα ή συνισταμένη 2 διανυσμάτων δίνεται από τον κανόνα του παραλληλόγραμμου uu + vv = ΟΟΟΟ + ΟΟΟΟ = ΟΟΟΟ Αφαίρεση διανυσμάτων Πρόσθεση με το αντίθετο διάνυσμα uu vv = ΟΟΟΟ ΟΟΟΟ = ΟΟΟΟ + ΟΟΟΟ = ΟΟΟΟ + ΒΒΒΒ = ΒΒΒΒ Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Ορισμός: Έστω διάνυσμα uu και λλ R, λλuu έχει μετρό λλ uu Κατεύθυνση αυτή του uu αν λ>0, αντίθετη του uu αν λ<0, αν λ=0, 0uu = 0 Συντεταγμένες διανύσματος στο επίπεδο Κάθε σημείο στο επίπεδο αντιστοιχεί σε ένα διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών, R 2 = R R. Το διάνυσμα που έχει αρχή την αρχή των αξόνων και πέρας

3 3 το σημείο A(a,b) γράφεται ΟΟΟΟ = (aa, bb) Μέτρο διανύσματος vv = ΟΟΟΟ = (aa, bb) είναι vv = aa 2 + bb 2 από πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΟΑΒ Κατεύθυνση του vv είναι η γωνία θ. Αν a 0, εφ θ=b/a Παράδειγμα Παρατηρήσεις Τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων ox και oy: ıı, ȷȷ ıı = (1,0), ȷȷ = (0,1) Το μηδενικό διάνυσμα 0 = (0,0) Το αντίθετο διάνυσμα του ΟΟΟΟ = (aa, bb) είναι το ΟΟΟΟ = ( aa, bb) Ένα οποιοδήποτε διάνυσμα vv μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των ıı, ȷȷ vv = (aa, bb) = aa(1,0) + bb(0,1) =aıı + bbȷȷ Διάνυσμα ΑΑΑΑ, με ΑΑ = (aa 1, bb 1 ) και ΒΒ = (aa 2, bb 2 ) ΑΑΑΑ = (aa 2 aa 1 )ıı + (bb 2 bb 1 )ȷȷ Πράγματι: ΑΑΑΑ = ΑΑΑΑ + ΓΓΓΓ Αφού ΑΑΑΑ = aa 2 aa 1 και //ıı ΑΑΑΑ θα είναι ΑΑΑΑ = (aa 2 aa 1 )ıı Παρόμοια ΓΓΓΓ = (bb 2 bb 1 )ȷȷ

4 4 Πρόταση: Διανύσματα uu = (aa 1, bb 1 ), vv = (aa 2, bb 2 ) uu = vv aa 1 = aa 2 και bb 1 = bb 2 Άθροισμα διανυσμάτων uu + vv (aa 1 + aa 2, bb 1 + bb 2 ) Αναφέραμε ότι το άθροισμα uu + vv των διανυσμάτων uu, vv προκύπτει από τον κανόνα του παραλληλογράμμου ΟΟΟΟ = ΟΟΟΟ + ΟΟΟΟ Έστω ΟΟΟΟ = (aa 3, bb 3 ), (0A 1 )=a 1, (0B 1 )=a 2, (0Γ 1 )=a 3, Αφου ΟΟΟΟ = ΒΒΒΒ και οι γωνίες ΑΟΑ 1 =ΓΒΔ τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΑΑ 1 και ΒΓΔ είναι ίσα. Τότε (ΟΑ 1 )=(ΒΔ)=(Β 1 Γ 1 )=a 1 Και (ΟΓ 1 )=(ΟΒ 1 )+(Β 1 Γ 1 ) δηλαδή a 3 =a 2 +a 1 Παρόμοια για b 3 =b 2 +b 1 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα: Ισχύει λλuu = (λλaa 1, λλbb 1 ), Εφαρμογή 1: Έστω uu = (1,3), vv = ( 2,4) uu + vv = ( 1,7), vv = (2, 4), 3uu = (3,9) Εφαρμογή 2: Για τα διανύσματα uu = (1, 1,0), vv = ( 1,2,3) και ww = (0,1,1), να βρεθεί το διάνυσμα ss = 2uu + 3vv + 4ww και το μέτρο του. 2uu = 2(1, 1,0) = (2, 2,0) 3vv = 3( 1,2,3) = ( 3,6,9) 4ww = 4(0,1,1) = (0,4,4) ss = 2uu + 3vv + 4ww = ( 1,8,13)

5 5 ss = ( 1) = = 234 Πρόταση: Αν uu, vv και ww διανύσματα του επιπέδου, και λ, μ, πραγματικοί αριθμοί, τότε uu + vv = vv + uu (αντιμεταθετική πρόσθεσης) vv + 0 = vv uu + (vv + ww ) = (uu + vv ) + ww, (προσεταιριστική πρόσθεσης) άθροισμα πολλών διαδοχικών διανυσμάτων, είναι το διάνυσμα με αρχή την αρχή του πρώτου και πέρας το πέρας του τελευταίου 0vv = 0 λλ0 = 0 uu + ( uu ) = 0 (λλ + μμ)uu = λλuu + μμuu (επιμεριστική ως προς βαθμωτή πρόσθεση) (λλλλ)uu = λλ(μμuu ) 1uu = uu λλuu = λλ uu λλ(uu + vv ) = λλuu + λλvv (επιμεριστική ως προς διανυσματική πρόσθεση) uu + vv uu + vv Εσωτερικό γινόμενο (ορισμός) των διανυσμάτων uu = (aa 1, bb 1 ) και vv = (aa 2, bb 2 ) Είναι uu vv = aa 1 aa 2 + bb 1 bb 2 Παράδειγμα uu = (1,3) και vv = ( 1,4) uu vv = = 11 Ιδιότητες uu vv = vv uu Αν uu 0, τότε uu uu > 0 uu = (aa 1, bb 1 ), uu uu = aa bb 2 1 = uu 2 Αν uu = 0, τότε uu uu = 0 Γωνία 2 διανυσμάτων (ορισμός) uu, vv είναι η μικρότερη γωνία που σχηματίζουν οι αντιπρόσωποί με αρχή την αρχή των αξόνων. αν υπάρχει πραγματικός λ ώστε uu = λλ vv η γωνία είναι 0 αν λ>0 και π αν λ<0

6 6 Πρόταση: Αν uu, vv 2 διανύσματα και φ η γωνία τους ισχύει συν φφ = Απόδειξη Θα βασιστούμε στον νόμο των συνημίτονων γγ 2 = αα 2 + ββ 2 2αααα συν ΓΓ uu vv uu vv uu, vv στην αρχή των αξόνων uu = (aa 1, bb 1 ) και vv = (aa 2, bb 2 ) Από το νόμο των συνημίτονων vv uu 2 = uu 2 + vv 2 2 uu vv συνφφ (1) Ισχύει vv uu 2 =(vv uu )(vv uu ) = vv vv 2uu vv + uu uu = vv 2 2uu vv + uu 2 (2) Από τις (1) και (2) έχουμε 2uu vv = 2 uu vv συνφφ uu vv = uu vv συνφφ Πρόταση: Αν uu, vv δύο μη μηδενικά διανύσματα ισχύει uu vv uu vv = 0 Απόδειξη uu = (aa 1, bb 1 ) και vv = (aa 2, bb 2 ) Αν uu vv τότε uu vv = uu vv συν ππ = 0 2 Αντίστροφα: Αν uu vv = 0 τότε uu vv συνφφ = 0 Αφού uu, vv μη μηδενικά, θα είναι συν φ=0, δηλαδή φ=π/2

7 7 Παραμετρική εξίσωση ευθείας Ευθεία (ε), Α, Β, Γ τρία σημεία της Ισχύει ΑΑΑΑ = ttαααα, όπου t πραγματικός αριθμός ΑΑΑΑ = (xx 2 xx 1 )ıı + (yy 2 yy 1 )ȷȷ OOOO = xx 1 ıı + yy 1 ȷȷ Για Γ(x, y) θα έχουμε OOOO = OOOO + ΑΑΑΑ = OOOO + ttαααα xxıı + yyȷȷ = xx 1 ıı + yy 1 ȷȷ + tt(xx 2 xx 1 )ıı + tt(yy 2 yy 1 )ȷȷ xxıı + yyȷȷ = [xx 1 + tt(xx 2 xx 1 )]ıı + [yy 1 + tt(yy 2 yy 1 )]ȷȷ Oι παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία (x 1, y 1 ) και (x 2, y 2 ): xx = xx 1 + tt(xx 2 xx 1 ) yy = yy 1 + tt(yy 2 yy 1 ) Απαλείφουμε την παράμετρο λύνοντας ως προς t την πρώτη: tt = xx xx 1 xx 2 xx 1 και αντικαθιστώντας στην δεύτερη yy yy 1 = (xx xx 1 ) yy 2 yy 1 xx 2 xx 1 Παράδειγμα: Οι παραμετρικές εξισώσεις ευθείας που περνάει από τα σημεία P(2,5) και Q(-3,9) xx = 2 5tt και yy = 5 + 4tt

8 8 Παρατηρήσεις ι) Οι παραμετρικές εξισώσεις ευθείας (ε) που περνάει από το σημείο ΑΑ(xx 1, yy 1 ) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα uu = (aa, bb) είναι: xx = xx 1 + aa tt και yy = yy 1 + bb tt Αν OOOO = rr, 1 OOOO = rr, 2 τότε ΑΑΑΑ = ttuu rr 2 rr 1 = ttuu rr 2 = rr 1 + ttuu xxıı + yyȷȷ = xx 1 ıı + yy 1 ȷȷ + tt(aaıı + bbȷȷ ) = (xx 1 + tt aa)ıı + (yy 1 + tt bb)ȷȷ Τελικά xx = xx 1 + tt aa, yy = yy 1 + tt bb ιι) Έστω ευθεία (ε) μια εξίσωση AAAA + BBBB + ΓΓ = 0 και δύο σημεία της PP 1 (xx 1, yy 1 ) και PP 2 (xx 2, yy 2 ) και uu = (ΑΑ, ΒΒ) θα έχουμε ότι uu PP 1 2 AAxx 1 + BByy 1 + ΓΓ = 0 και AAxx 2 + BByy 2 + ΓΓ = 0 Αφαιρώντας τις παραπάνω παίρνουμε AA(xx 2 xx 1 ) + BB(yy 2 yy 1 ) = 0 Για ένα διάνυσμα uu = (ΑΑ, ΒΒ) και ένα PP 1 2 = (xx 2 xx 1, yy 2 yy 1 ) θα ισχύει: uu PP 1 2 = 0 Δηλαδή uu PP 1 2

9 9 Απόσταση σημείου από ευθεία Έστω ευθεία (ε) μια εξίσωση AAAA + BBBB + ΓΓ = 0 και σημείο PP(xx 0, yy 0 ) εκτός της (ε). Η απόσταση του Ρ από την (ε) δίνεται από τον τύπο Απόδειξη dd(pp, εε) = AAxx 0 + BByy 0 + ΓΓ ΑΑ 2 + ΒΒ 2 Από προηγουμένη παρατήρηση το uu = (ΑΑ, ΒΒ) είναι κάθετο στην (ε). Η παραμετρική εξίσωση ευθείας (ε 1 ) που περνάει από το PP(xx 0, yy 0 ) και είναι κάθετη στην (ε) δηλαδή στο uu θα είναι: xx = xx 0 + tt ΑΑ, yy = yy 0 + tt ΒΒ Και οι συντεταγμένες του PP 1 (xx 1, yy 1 ) δίνονται από τις xx 1 = xx 0 + tttt, yy 1 = yy 0 + tttt Η τιμή του t που αντιστοιχεί στην τομή PP 1 (xx 1, yy 1 ) βγαίνει από τη λύση της εξίσωσης AA(xx 0 + tt ΑΑ) + BB(yy 0 + tt ΒΒ) + ΓΓ = 0 tt = AAxx 0 + BByy 0 + ΓΓ ΑΑ 2 + ΒΒ 2 Η απόσταση του PPPP 1 = (xx 1 xx 0, yy 1 yy 0 ) (μέτρο του PPPP ) 1 dd(pp, εε) = (xx 1 xx 0 ) 2 + (yy 1 yy 0 ) 2 = (tttt) 2 + (tttt) 2 = (AA 2 + BB 2 )tt 2 = (AAxx 0 + BByy 0 + ΓΓ) 2 (ΑΑ 2 + ΒΒ 2 ) (ΑΑ 2 + ΒΒ 2 ) 2 = AAxx 0 + BByy 0 + ΓΓ ΑΑ 2 + ΒΒ 2 Παράδειγμα Η απόσταση του σημείου M( 1,2) από την ευθεία ε: 4x+3y+8=0 είναι ίση με dd(μμ, εε) = 4( 1) = 10 5 = 2

10 10 Άσκηση για το σπίτι Δίνεται το τρίγωνο με κορυφές Α(-2,0), Β(2,4) και Γ(4,0). Γράψετε τις εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου και της διαμέσου ΑΕ. Να βρεθεί το μήκος της διαμέσου ΑΕ