ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Θέματα εξέτασης στο μάθημα «Μηχανική του Συνεχούς Μέσου» (ΕΜ57) Ηράκλειο, 9 Μαΐου 009 Θέμα 1 ο (μονάδες.0) Έστω ο τανυστής προβολής P= 1 n n, όπου n = 1. α) [μονάδες: 0.4] Υπολογίστε το ίχνος του P. β) [μονάδες: 1.0] Βρείτε τα ιδιοδιανύσματα και τις αντίστοιχες ιδιοτιμές του P χωρίς να κάνετε πράξεις (με ορίζουσες, μητρώα κλπ), αλλά μόνο σκεφτόμενοι/ες γεωμετρικά. γ) [μονάδες: 0.6] Έστω ο τανυστής ανάκλασης A= 1 n n. Να υπολογιστεί το γινόμενο AP. Εξηγήστε το αποτέλεσμα γεωμετρικά. Θέμα ο (μονάδες.0) Συνεχές μέσο υφίσταται την παραμόρφωση f : Δ Δ με συνιστώσες (ως προς ΟΚ βάση { i }) τις: f1( x) = x1, f( x) = x + x1, f( x) = x+ x1x α) [μονάδες: 0.6] Να υπολογιστεί το μητρώο συνιστωσών της βαθμίδας παραμόρφωσης ως προς τη βάση { i }. Είναι η παραμόρφωση ομοιογενής; Είναι ισόχωρη; β) [μονάδες: 0.6] Να υπολογιστεί το μητρώο συνιστωσών του δεξιού Cauchy-Grn τανυστή Cx ( ) ως προς τη βάση { i }. γ) [μονάδες: 0.6] Να υπολογιστούν οι εκτάσεις λ( x, i ) κατά τις διευθύνσεις των διανυσμάτων της ΟΚ βάσης { i } και να εξετάσετε αν έχουμε αύξηση ή ελάττωση του μήκους των υλικών ινών σε αυτές τις διευθύνσεις. δ) [μονάδες: 0.6] Να υπολογιστούν τα ημίτονα των γωνιών διάτμησης γ ( xo, i, j), i j, στο υλικό σημείο x o = 1+. ε) [μονάδες: 0.6] Να βρεθεί η έκταση στο υλικό σημείο x o = 1+, κατά τη διεύθυνση του διανύσματος v = Θέμα ο (μονάδες.5) v y t y y y y. Δίνεται το χωρικό πεδίο ταχύτητας: (, ) ( t = ) + ( ) 1 1 α) [μονάδες: 0.5] Εξετάστε αν το υλικό είναι ασυμπίεστο. β) [μονάδες: 0.6] Εξετάστε αν η κίνηση είναι αστρόβιλη. γ) [μονάδες: 1.4] Υπολογίστε το χωρικό πεδίο επιτάχυνσης. Θέμα 4 ο (μονάδες.5) Σώμα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας με πεδίο τανυστή τάσεων Cauchy T = y d c, όπου d είναι γνωστό σταθερό μη-μηδενικό διάνυσμα και c άγνωστο σταθερό μη-μηδενικό διάνυσμα. α) [μονάδες: 0.6] Να βρεθεί ποια ιδιότητα πρέπει να έχει το c και επιλέξτε ένα τέτοιο c για να απαντήσετε στα υπόλοιπα ερωτήματα. β) [μονάδες: 1.] Θεωρώντας ότι η πυκνότητα είναι ρ = ρ = σταθ., να βρεθεί το πεδίο δύναμης σώματος ανά μονάδα όγκου ρb. γ) [μονάδες: 0.7] Να βρεθεί το διάνυσμα ολκής t( n, y) στα επίπεδα που είναι κάθετα στο d. Διάρκεια εξέτασης:.5 ώρες

2 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΜΑΪΟΥ 009 Θέμα 1 α) ( ) ( ) tr( P) = tr 1 n n = tr1 r n n = nin = n = 1 = β) Αν v ένα οποιοδήποτε τυχαίο διάνυσμα του E, τότε το που έχει μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα το n. Σχηματικά: v Pv είναι η προβολή του v πάνω στο επίπεδο n Pn Από τον ορισμό του ιδιοδιανύσματος, ξέρουμε ότι ένας τανυστής δεν αλλάζει τη διεύθυνση ενός ιδιοδιανύσματος του (μπορεί ν αλλάζει ή όχι τη φορά και το μέγεθος του). Σκεφτόμενοι/ες στην περίπτωση μας λοιπόν γεωμετρικά, έχουμε: Προφανώς, το κάθετο διάνυσμα n προβάλλεται στο μηδενικό διάνυσμα o. Άρα, Pn = 0n, δηλαδή το n (και επομένως κάθε μη-μηδενικό διάνυσμα πάνω στη διεύθυνση του n ) είναι ιδιοδιάνυσμα του P με ιδιοτιμή λ 1 = 0. Επίσης, αν m είναι οποιοδήποτε διάνυσμα που ανήκει στο επίπεδο, τότε αυτό προβάλλεται στον εαυτό του. Άρα, Pm = m, δηλαδή είναι ιδιοδιάνυσμα του P με ιδιοτιμή λ = 1. Οποιοδήποτε άλλο διάνυσμα του E προβάλλεται σε διάνυσμα που δεν είναι στην ίδια ευθεία. Άρα, δεν υπάρχουν άλλα ιδιοδιανύσματα. Ο χαρακτηριστικός χώρος (ιδιόχωρος) της λ 1 = 0 είναι η ευθεία που ορίζεται από το n, ενώ ο χαρακτηριστικός χώρος (ιδιόχωρος) της λ = 1 είναι το επίπεδο προβολής. AP = 1 n n 1 n n = 11 1( n n ) ( n n )1 + ( n n )( n n ) = = 1 ( n n) ( n n) + ( nin)( n n) = 1 ( n n) + n ( n n) = = 1 ( n n) + ( n n) = 1 n n = P Άρα, AP = P, το οποίο σημαίνει ( AP) =, v Pv v E, δηλαδή A( ) =, Pv Pv v E. Γεωμετρική ερμηνεία: Αν v ένα οποιοδήποτε τυχαίο διάνυσμα του E, τότε το Av είναι το «είδωλο» του v ως προς το επίπεδο που έχει μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα το n. Αν λοιπόν ο A εφαρμοστεί στο Pv το οποίο ανήκει στο επίπεδο για κάθε v E, το «είδωλο» του θα είναι ο εαυτός του. γ) ( )( ) 1

3 Θέμα f1( x) f1( x) f1( x) x1 x x f ( x) f( x) f( x) f( x) = ij = = xj x1 x x f( x) f( x) f( x) x1 x x 0 0 [ F( x) ] = x1 0, το οποίο εξαρτάται από το x και άρα η ΠΜΦ δεν είναι ομοιογενής x x1 1 i α) F( x) f( x) F ( x) [ F( x) ] 0 0 Επίσης, dt{ F( x)} = x1 0 = 6 1, και άρα η ΠΜΦ δεν είναι ισόχωρη. x x 1 1 x1 x 0 0 C( x) F( x) F( x) C( x) 0 x x 0 T β) [ ] [ ] [ ] [ ] = = x x x1 + x 6x1+ x1x x [ Cx ( )] = 6x1+ xx 1 9+ x1 x1 x x1 1 γ) λ ( x, ) = C ( x) = 4+ 4x + x , το οποίο είναι μεγαλύτερο από 1 x Δ, και άρα έχουμε αύξηση μήκους των υλικών ινών που στην κατάσταση αναφοράς είναι παράλληλες στο 1. λ ( x, ) = C ( x) = 9+ x 1, το οποίο είναι επίσης μεγαλύτερο από 1 x Δ, και άρα έχουμε αύξηση μήκους όλων των υλικών ινών που στην κατάσταση αναφοράς είναι παράλληλες στο. λ ( x, ) = C ( x) = 1, και άρα δεν μεταβάλλεται το μήκος των υλικών ινών που στην κατάσταση αναφοράς είναι παράλληλες στο. δ) Στο υλικό σημείο x o = 1+, έχουμε x 1 = 1, x = 1 και x = 0, οπότε το μητρώο συνιστωσών του Cx ( ) που βρήκαμε στο ερώτημα (β) δίνει: Cx ( o ) = Άρα, από τη σχέση: [ ] προκύπτουν: sin γ (,, ) = { xo i j } Cij( xo) (χωρίς άθροισμα στους δείκτες), C ( x ) C ( x ) ii o jj o

4 C1( xo ) 7 7 sin { γ ( xo, 1, ) } = = =, C ( x ) C ( x ) o C1( xo) 1 1 sin { γ ( xo, 1, ) } = = = C ( x ) C ( x ) o C( xo ) 1 1 sin { γ ( xo,, ) } = = = C ( x ) C ( x ) ε) Έχουμε: λ (, ) = ( ) o o o o x o F x o, όπου το μοναδιαίο διάνυσμα κατά τη διεύθυνση του διανύσματος v = 1+ + Στο υλικό σημείο x o = 1+, έχουμε x 1 = 1, x = 1 και x = 0, οπότε το μητρώο συνιστωσών του F( x ) που βρήκαμε στο ερώτημα (α) δίνει: 0 0 [ F( x o )] = Επίσης, το μοναδιαίο κατά διεύθυνση του διανύσματος v = 1+ + είναι το: Άρα: [ F x ] [ F x ][ ] = v = + + = + + v ( ) ( ) 0 0 / 14 6 / 14 ( o) = ( o) = 0 1/ 14 = 9/ / 14 6 / Επομένως, λ ( x o, ) = F( x o) = + + = Θέμα v1( y, v( y, v( y, iv y, t = + + = y y + 0= 0, y E και t y y y α) ( ) 1 Άρα το υλικό είναι ασυμπίεστο. 1 β) (, ) = = ( ) + ( ) v y t y y y y y 1 1 yy yy το οποίο δεν είναι ίσο με o για όλα τα ( y, και άρα το υλικό δεν είναι αστρόβιλο.

5 v( y, a yt, = v yt, a yt, = + { v( yt, )} v( yt, ) (1) t γ) ( ) ( ) ( ) όπου: v y t ( ) t ( ) ( ), t t = y1y 1+ yy () v1( y, v1( y, v1( y, y1 y y vi ( yt, ) v( yt, ) v( yt, ) v( yt, ), = v( y, = ij y j y1 y y v( y, v( y, v( y, y1 y y { v( y } y 0 y 1 v( y, = 0 y y t y 0 y 1 yy 1 yy 1 t { v y, t } v( y, = 0 y y yy = yy Άρα: ( ) t t {, } (, ) = ( ) + ( ) Δηλαδή: ( ) v y t v y t y y y y 1 1 Αντικαθιστώντας τις () και () στην (1) προκύπτει το χωρικό πεδίο επιτάχυνσης: () a y t = y y y y + y y + y y t t (, ) ( ) ( ) a yt = yy y + y y y + (, ) ( 1) ( 1) 1 1 Θέμα 4 α) Από το τοπικό ισοζύγιο στροφορμής (Τ.Ι.Σ.) έχουμε: T T T T = T y d c = ( y d c) y d c = y ( d c) y d c = y c d, η οποία ισχύει y, άρα και για y o y 0. Επομένως, d c = c d d c v = c d v v E Και από τον ορισμό της ισότητας τανυστών προκύπτει ότι ( ) ( ), cv i d= dv i c v E ( ) ( ), 4

6 Δηλαδή, ο τανυστής d c απεικονίζει κάθε διάνυσμα v σε διάνυσμα πάνω στη διεύθυνση του d, ενώ ο τανυστής c d σε διάνυσμα πάνω στη διεύθυνση του c. Αφού, όμως οι δύο τανυστές είναι ίσοι τα c και d πρέπει να βρίσκονται στην ίδια διεύθυνση. Άρα, c = λd με λ {0}. Επιλέγω c = d για ν απαντήσω στα υπόλοιπα ερωτήματα. Άρα, T = y d d β) Από το τοπικό ισοζύγιο ορμής (Τ.Ι.Ο.) σε κατάσταση ισορροπίας, έχουμε: Tij it + ρb = o ρb = it ρbi = y j (4) T y = y d d T y = y d d T y = y y d d Όμως, ( ) ( ) ( ) ( ) ij ij i j ij k k i j ij Tij yk y T k ij Tij = y dd + y dd = δ ydd = ydd y y y y y Άρα, η (4) γίνεται: k i j k i j kj k i j j i j j j j j j ρb = y d d ρb = y d d ρb = y i d d ( ) ( ) i j i j i j j i i i ρb = y d d b = d d y ( i ) ρ ( ) γ) Το μοναδιαίο διάνυσμα n 1 κάθετο στο εν λόγω επίπεδο είναι n = d. d 1 y y Άρα, t( n, y) = T n = ( y d d) d = ( did) d = d d = y d d d d d 5