y T - yy z x T + yy T + yz T + yx T + xy T + zy T - xz T - zx T - zz T - xx T + xx T + zx T + xz T + zz T - zy T - xy T - yx T - yz

Transcript

1 Συµπληρωµατικές Σηµειώσεις στα ΗΜ Πεδία (Κ. Χιτζανίδης Μάιος 2017 ΗΜ τάσεις σε υλικές επιφάνειες T + yy T + yz T + yx T + zy T + xy T - xx T - xz T - zx T - zz T + zz T + zx T + xz T + xx T - xy T - zy T - yx T - yz y T - yy z x M τάση: Δύναµη ανα µονάδα επιφάνειας (T xx,t xy,t xz : Οι 3 συνιστώσες της ΗΜ τάσης σε επιφάνεια κάθετη στο x (T yx,t yy,t yz : Οι 3 συνιστώσες της ΗΜ τάσης σε επιφάνεια κάθετη στο y (T zx,t zy,t zz : Οι 3 συνιστώσες της ΗΜ τάσης σε επιφάνεια κάθετη στο z

2 Συµπληρωµατικές Σηµειώσεις στα ΗΜ Πεδία (Κ. Χιτζανίδης Μάιος 2017 Ο τανυστής του Maxwell και το θεώρηµα διατήρησης της ΗΜ ορµής T em = T " p em = " D " B : χωρικη πυκνοτητα M ορµης " p em : ρυθµος ατροπης της πυκνοτητας της ΗΜ ορµης Ο τανυστής του Maxwell ταυτίζεται µε την ροή (διάνυσµα της ΗΜ ορµής (επίσης διάνυσµα. Αναλυτικά έχουµε: (T em, xx,t em,yx,t em,zx = (-T xx,-t yx,-t zx Οι 3 συνιστώσες της ροής της x συνιστώσας της ΗΜ ορµής (T em, xy,t em,yy,t em,zy = (-T xy,-t yy,-t zy Οι 3 συνιστώσες της ροής της y συνιστώσας της ΗΜ ορµής (T em, xz,t em,yz,t em,zz = (-T xz,-t yz,-t zz Οι 3 συνιστώσες της ροής της z συνιστώσας της ΗΜ ορµής Η ΗΜ ορµή ατρέπεται σε δύναµη που ασκείται πάνω σε φορτία και ρεύµατα. Άρα: p em = f L = ρ u E Ju B Ολοκληρωτική µορφή του νόµου διατήρησης της ΗΜ ορµής: d dt p em dv + # ˆn. T " ds = em S( V V S p em dv = ( ρ u E + Ju B dv V ( S Διαφορική µορφή του νόµου διατήρησης της ΗΜ ορµής: D B V S D B +. T " em =. " T = ρ u E Ju B T ji i=1,2,3 ( x, y,z Σηµειωτέον ότι:. T, ξ ξ j=1,2,3 = x, y,z, 1,2,3 j j=1,2,3

3 Συµπληρωµατικές Σηµειώσεις στα ΗΜ Πεδία (Κ. Χιτζανίδης Μάιος 2017 Γραµµικά ανισοτροπικά υλικά µέσα χωρίς απώλειες Η ΗΜ τάση επι επιφανείας πλευράς επιφάνειας ˆn δηλαδη, της πλευράς που «βλέπει» προς την θετική έννοια του µοναδιαίου (και κάθετου στην επιφάνεια διανύσµατος ˆn, στην περίπτωση που η πόλωση και η µαγνήτιση εξαρτάται αποκλειστικα από την ένταση του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου αντίστοιχα ανεξαρτήτως θέσεως στο υλικό δἰνεται γενικά από τη σχέση: E n. ˆ ( ED + B nˆ D. de + B. d Για γραµµικά υλικά χωρίς απώλειες η παραπάνω σχέση εξειδικεύεται στη: + ( n. ˆ ED + B nˆ D. E B. w em ὀπου w em ειναι η πυκνότητα της ηλεκτροµαγνητικής ενέργειας στην εν λόγω πλευρά. Ο δεύτερος προσθεταίος της παραπάνω έκφρασης είναι η ορθή τάση επι της επιφανείας της πλευράς. Ενώ ο πρώτος περιέχει και ορθή τάση αλλά και διατµηση. Έτσι, η µεν ορθή τάση προκύπτει πολλαπλασιαζοντας πρώτα βαθµωτα (µε την πράξη εσωτερικού γινοµένου µε το διάνυσµα ˆn και το αποτέλεσµα ά παλι µε ˆn για να εκφράσουµε το αποτέλεσµα διανυσµατικά. Έτσι λοιπόν η ορθή τάση µπορεί να γραφεί ως εξής: nn.e ˆ ˆ n.d+nn. ˆ ˆ ˆ n.b ˆ + nˆ nde ˆ. nb ˆ. w em Η διατµητική τἀση είναι διανυσµατικό µέγεθος και προκύπτει από το αρνητικό διπλό εξωτερικό γινόµενο της τάσης µε το διάνυσµα ˆn, δηλαδή µέσω της πάξης ˆ ( ˆ διατµητική τάση γίνεται: n n (*. Έτσι η ( n.e ˆ nˆ ( nˆ D ( n. ˆ nˆ ( nˆ B Συνοψίζοντας: ( ˆ ˆ( ˆ ( ˆ ˆ( ˆ ( ˆ ˆw em ( ˆ ( ˆ ˆ ( ˆ ( ˆ ˆ ( ˆ ορθή τάση πλευράς n = n n.e n.d + n n. n.b n διατµητική τάση πλευράς n = n.e n n D n. n n B Προφανώς, σε αλλαγή πλευράς θα πρέπει να θέσουµε nˆ πλευρά, µε το ˆn, ειναι η (+ και η "κάτω" πλευρά µε το ˆ ˆ n, Θεωρώντας ότι η "πάνω" n ειναι η (- (δηλαδή το µαναδιαίο διάνυσµα ˆn έχει κατεύθυνση +, για να υπολογίσουµε την συνολική τάση επί της επιφάνειας σε συγκεκριµένο σηµείο, θα πρέπει να αθροίσουµε διανυσµατικα τις παραπάνω εκφράσεις για ˆn και n ˆ. Αρα: (* Διότι: nˆ ( nˆ a a ( an. ˆ n ˆ

4 Συµπληρωµατικές Σηµειώσεις στα ΗΜ Πεδία (Κ. Χιτζανίδης Μάιος 2017 ορθή τάση σε επιφάνεια πλευρών (+ και ( wem + wem nˆ n.e ˆ n.d ˆ + nˆ n. ˆ n.b ˆ nˆ n.e ˆ n.d ˆ nˆ n. ˆ n.b ˆ nˆ nˆ διατµητική τάση σε επιφάνεια πλευρών (+ και ( nˆ P n.e ˆ n ˆ n ˆ D n. ˆ n ˆ n ˆ B + n.e ˆ n ˆ n ˆ D + n. ˆ n ˆ n ˆ B Εφαρµόζοντας τις συνθήκες Maxwell για τις επιφάνειες: και τις σχέσεις για κάθε υλικό µέσο: + στην επιφάνεια ( + ( ( + ( σ ˆ u = ( = ( + ( ( + (, ˆ n. ˆ D D, n. B B 0, nˆ E E = 0 n = K u παίρνουµε: D= ε E+ P, 0 B= µ + µ M 0 0 ορθή τάση σε επιφάνεια πλευρών (+ και ( ( + ( ( ( + ( ( ( + ( ( + u ( + ( ( ( + ( ( ( + ( µ 0 wem wem ε nn. ˆˆ E E E.n ˆ+ µ nn. ˆˆ.nˆ nˆ n.e ˆ σ nn. ˆˆ E E P.nˆ + nn. ˆˆ M.nˆ nˆ + nˆ διατµητική τάση σε επιφάνεια πλευρών (+ και ( + ( + ( ( ( + ( + ( + ( ( ( + ( + ( ( µ ( u ε n. ˆ E E nˆ nˆ E µ n. ˆ nˆ nˆ µ n. ˆ nˆ K nˆ nˆ P E P E.nˆ nˆ nˆ M M.nˆ Απλά ισοτροπικά υλικά µέσα Για γραµµικά υλικά στα οποία µπορούµε να θέσουµε: οι τάσεις αυτές γίνονται: D= ε E, B= µ

5 Συµπληρωµατικές Σηµειώσεις στα ΗΜ Πεδία (Κ. Χιτζανίδης Μάιος 2017 ( ( ορθή τάση σε επιφάνεια πλευρών (+ και ( ε ε nˆ n.e ˆ nˆ E nˆ n.e ˆ nˆ E µ µ + nˆ n. ˆ nˆ nˆ n. ˆ nˆ 2 2 διατµητική τάση σε επιφάνεια πλευρών (+ και ( ( + ( + σ u u nˆ nˆ E nˆ K n.b ˆ 0ταν το ηλεκτρικό πεδίο είναι µόνο εγκάρσιο στις δύο πλευρές της επιφανειας δεν υφίσταται διατµητική ηλεκτρική τάση, παρά µόνο ορθή και, λόγω του νόµου του Gauss για το ηλεκτρικό πεδίο, θα πάρουµε: ορθή ηλεκτρικη τάση σε επιφάνεια πλευρών (+ και ( + w nˆ e e Όταν το µαγνητικό πεδίο είναι µόνο εγκάρσιο στις δύο πλευρές της επιφανειας, δεν υφίσταται διατµητική µαγνητική τάση, παρά µόνο ορθή: ορθή µαγνητικη τάση σε επιφάνεια πλευρών (+ και ( + w nˆ m m Όταν τώρα το ηλεκτρικό πεδίο είναι µόνο εφαπτοµενικό στις δύο πλευρές της επιφανειας, µε δεδοµένο τη συνέχεια των εφαπτοµενικών συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου (νόµος Faraday δεν υφίσταται ορθή ηλεκτρική τάση. Στην περίπτωση εφαπτοµενικού µαγνητικου πεδίου στις δυο πλευρές της επιφάνειας έχουµε: w + ορθή µαγνητική τάση σε επιφάνεια πλευρών (+ και ( nˆ m m και η αντίστοιχη διατµητική µαγνητική τάση µηδενίζεται.