OPTIMIZACIJA LOGISTIČKIH MODELA Model distribucije Jedan-prema-jedan

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "OPTIMIZACIJA LOGISTIČKIH MODELA Model distribucije Jedan-prema-jedan"

Transcript

1 Preavanje 5-6 Generacja 7 OPTIMIZACIJA LOGISTIČKIH MODELA Moel strbucje Jean-prema-jean CILJ FUNKCIONISANJA LOGISTIČKIH MODELA: Istražvanja su pokazala a mogu a se naju optmalne sekvence transportnh puteva pr promenljvoj tražnj u vremenu, metoom nepreknh aproksmacja (CA-metoa) bez uvojenja "etalja" moela. Ovaj zaatak je matematčk analogan problemu vremensk zavsne tražnje, koj je traconalno rešavan namčkm programranjem. 3. Osnovne postavke logstčkh sstema Analzom su tretran logstčk zaac koje povezuju jean zvor jean ponor (jean-premajean problem) metoe za rešavanje zaataka. Osnovne postavke analze logst. sstema:. Utvrjvanje tačnh troškova se može postć bez precznh polaznh poataka.. Otpremanje sa optmalnh orešta, orejenh metoama lokalnh mnmzacja, ne povećava značajno logstčke troškove. Obzrom a se ne traž apsolutno tačno zračunavanje optmuma, ne zahteva se tačno utvrjvanje svh polaznh poataka. 3. Detaljsanje poacma ko traženja optmuma ometa efkasno traženje rešenja. 4. Prelažemo vostepen prstup rešavanju logstčkh problema. Prv (analtčk) korak uključuje malo etalja prlagojava se konceptu šrokh rešenja. Drug korak fnog poešavanja vo specfčnm rešenjma u sklau sa prvm postupkom koršćenje etaljnh poataka. VRSTA MODELA: Materja lustruje jenostavno prošrenje EOQ moela o kome je prethono blo reč. Dalje se analzraju sstem jean-jean sa stalnom stopom prozvonje potrošnje. Analza je usmerena na probleme velkog obma tačnost rezultata. ANALIZA: Posebno se sptuje st problem kaa potražnja varra. Korste se metoa kontnualnh aproksmacja (CA) analtčkog prstupa bazranog na ukupnm poacma. PRIMENA: Objašnjava kako CA prstup može bt prošren na multmenzonalan probleme sa ogrančenjma. Na kraju se skutuje o oblkovanju mreža. 3. Problem mnmuma logstčkh troškova pr stalnoj tražnj Istražmo problem za nalaženje optmalne velčne otpremanja, v*, prethono opsane: z = mn{a v + ; v v} (3.) v Razmotrmo slučaj kaa je v =. Ona vrenost v* mnmzuje konveksnu formu z v = {A v } A v + v = v = A : v A v + v * = (3.) Član prestavlja fksn trošak kretanja robe c f a član A troškove ržanja po artklu (holng cost), c h /D'. v* je vrenost tovara koja jenako vrenuje utcaj obava člana funkcje clja: Za optmalnu velčnu tovara, trošak čuvanja je jenak trošku kretanja. Optmalan trošak po artklu je:

2 Z* = (trošak/artkal )* = A (3.3) PONAŠANJE: Kao funkcja o c f, c h D, optmalan trošak po artklu raste sa paajućom stopom sa c f c h a paa sa otokom artkala D'. Postoje skale uštea jer već otok artkala vo smanjenju prosečnh troškova. ANALIZA: Isptajmo osetljvost krajnjh troškova moela usle:. Grešaka u orejvanju promenljvh, v,. Grešaka ulaza (A l ), 3. Grešaka u funkconalnom oblku jenačne. Osetljvost EOQ rešenja na orejvanje promenljve Pretpostavmo a je umesto v*, oabrana velčna tovara v = γ v*, ge je γ, koj obuhvata relatvnu grešku velčne v. Onos stvarnog optmalnog troška, z /z* broj, γ, već o : z γ' = z o * o A v + o = v A A = A γ + A A γ = γ + γ (3.4) PRIMENLJIVOST: Nezavsna o vrenost A, ova jenačna zražava relatvnu grešku zazvanu ulaznm greškama. Jenačna važ za sve EOQ moele. ANALIZA: Kako su uzrokovan poremećaj troškova usle ostupanja tovara o optmalnog: Ako je γ=.5, (optmalan tovar aproksmovan u okvru faktora ), poremećaj je γ <.5. Ako je γ zmeju.8.5, ona je γ <.5. Trošak sa ostupanjem o optmalnog rešenja za.5 %, može se ostć ako je tretrana promenljva ualjena o 5 %, o optmalne vrenost. POSLEDICE: Sa ruge strane ako je kolčnk γ nekolko puta već (l manj) o, ona su troškov plaćanja penala strog, tj., γ γ (l γ /γ). Osetljvost na grešku u poacma Pretpostavmo a jean o koefcjenata troškova A (l ) nje preczno poznat. Ako je A'= A δ (l ' = δ), za neko δ, ona je optmalno rešenje sa greškom optmalnog moela (prv zvo): l / v*' = δ A v*' = v * δ /, = v * δ /, ako je A' = A δ, ako je ' = δ, Kolčnk rešenja tovara sa greškom u poacma optmalnog tovara, v* '/v*, je δ -/ l δ /, pa se troškov penala plaćaju ako je prekoračenje troškova bue jenako γ = δ /. ZAKLJUČAK: Krajnj trošak je manje osetljv na promenu poataka promenljve. PRIMER: Ako je mput poznat ako je u okvru (.5 < δ < ), ona je.7<γ <.4 γ'<.. Troškov penala b bl oko %, ok su pre toga bl 5 %. Troškov penala paaju brzo kako se δ prblžava broju. Osetljvost optmalnog rešenja na poatke sa greškom je sreća jer su koefcjent troškova retko tačno poznat.

3 Osetljvost moela sa greškom Da b lustroval utcaj funkconalnh grešaka, pretpostavmo a je realan trošak, z komplkovan zraz (moža nepoznat zraz). Zato trošak može bt zražen u nekom omenu te komplkovane funkcje - ogrančen sa va EOQ zraza. To je z razloga što je uobčajeno a se troškov penala povezuju sa grancama u kojma se troškov kreću. Pretpostavmo na prmer a je stvarn trošak čuvanja z h (v) nje tačno jenak EOQ zrazu (Av), al zaovoljava naren uslov, za male vrenost : Ovakva stuacja se može pojavt na prmer ako sklašn prostor može a prm samo skromne kolčne robe. Av- / z h (v) Av+ / Zato što su vrenost A tolko male, velčna v se prhvata kao suboptmalna. Jasno je a razlka zmeju pravh troškova [z h (v*)+ /v*] prevđenh optmalnh troškova, z*, ne prelaz /. Uočava se a razlka meju optmalnm troškovma uz obru nformsanost unutar moela logstčke realzacje, mnmzuje zraz: mn{z h (v) + /v}, pr čemu z* ne prelaz /. REZULTAT toga je razlka stvarnh teoretskh mnmalnh troškova (uključuje troškove penala) ogrančena vrenošću. Občno su penal značajno smanjen u onosu na moguć maksmum. SLIKA 3. pokazuje neuobčajene uslove koj prozvoe najveće penale. Ako je malo u porejenju sa z* (na prmer %), funkconalna greška je bez posleca. TROSKOVI PO ARTIKLU (MOTION) Troškov kretanja TROŠKOVI PO ARTIKLU (HOLDING) v* Iskustven holng troškov VELIČINA TOVARA Optmaln troškov čuvanja (holng troškov) Prevjen optmaln tro škov čuvanja (holng troškov) Aktualn ( nepoznat) holng troškov z h(v) holng cost aproksmac ja zraza Av Slka 3.. Troškov penala kao rezultat greške u funkcj (holng) troškova čuvanja 3..4 Kombnacje grešaka Ako u logstčkom moelu postoje tr vrste grešaka, pa se može očekvat a troškov penala buu već. Najveće greške logstčkh moela su u slučaju kaa se es a se greške sumraju. PRIMER: Pretpostavmo a se ukupan obm tretrane robe - ne prat preczno a je rezultat tog utcaja ostupanje o 4 % zmeju zračunatog stvarnog obma robe. Vel smo a se zbog ovakvh ostupanja može očekvat povećanje logstčkh troškova o %. Pretpostavmo a jean mput (A l ) ma grešku sa faktorom, pa b on sam povećao troškove %. Ptanje: Da l b ona mogl a očekujemo povećanje troškova za ukupno %? Ogovor: Ne, Logčno je a uvojenje greške u mputu (kaa ukupan obm ne prat tačno proceuru), treba a bue manje o penala plaćenh kaa se proceura prat te očekuje (objektvnost stuacje). U našem prmeru, moguće je povećanje ukupnh troškova za 4 % (kvaratn koren zbra kvarata grešaka):.4 = (. +. ) /. Statstčka analza greške koja se provlač kroz moel, otkrva slčne zakone složenost u opštm kontekstma (Daganzo 985, Taylor 997).

4 REALIZACIJA: Ako u rešavanju bezuslovnh EOQ problema, najemo a je v* > v, ona rešenje nje moguće. U tom slučaju, optmalno je oabrat v = v. Optmalno EOQ rešenje: v* = mn, v (3.5a) A OPTIMALNI TROŠKOVI po artklu z* su: z* = A, z* = A v +, v ako je ako je A A v > v (3.5b) OSOINE: Prmetmo a je z* rastuća konkavna funkcja o A o (slka 3. a,b). Kao funkcja /A=D'/c h, pa tako D', z* je opaajuća konveksna funkcja. Obm uštee alje ostaje u opsegu D. Konačno, ukupan trošak po jenc vremena, D'z*, je proporconalan D' / ok se ne postgnu zahtev kapacteta, pa se otle povećava lnearno sa D'. Krtčna tačka D' crt = (v ) /c f. (Sl.3.c). z* ( a ) A z* ( b ) D'z* ( c ) / v A v A v / v D' crt D' Slka 3.. Optmaln EOQ troškov kao funkcja promene parametara

5 3.3 Problem optmalnost moela sa promenljvom tražnjom ZADATAK: Razmotrmo EOQ problem u toku zaatog vremena, kaa se korsnčka stopa D' menja na prevv načn. MODEL: CILJ: Potražnja se karakterše funkcjom D(t), što aje kumulatvan broj artkala naručenh u posmatranom perou vremena t. Izvo ove funkcje po vremenu D'(t) prestavlja stopu promenljve tražnje. Tražmo vremensk nz kaa tovar trebaju a buu prmljen (t,t,t,...t n- ), namčke velčna tovara (v, v, v, v n- ) koje mnmzuju troškove kretanja troškove čuvanja u toku vremena t [,t ]. POLAZNE VELIČINE SU: Fksn troškov po otpremljenom vozlu c f, a troškov čuvanja po artklu-vreme, c h =c r +c maksmalan obm robe v Optmalno rešenje moela sa promenljvom tražnjom ko koga su troškov čuvanja (Holng Cost) prblžn troškovma znajmljvanja (Rent Cost) Ako je trošak zalha zanemarljv, c <<c r, ona su troškov čuvanja prblžno jenak troškovma rente c h c r. Ovo svojstvo troškova čuvanja, uprošćava rešenje našeg problema. Ko seta o n opremanja, troškov kretanja u toku analze c f n, su nezavsn o vremena opremanja ukupnog obma. ZADATAK: Pronać set vremena otpremanja set obma koj b umanjo troškove čuvanja. Donja granca, maksmalne akumulacje na oreštu je obm najvećeg prstglog otpremanja, kaa su sva otpremanja jenaka. Najveće otpremanje premašuje D(t )/n. REŠENJE: Ako se naje set vremena velčna tovara koj je jenak maksmalnoj akumulacj, D(t )/n, taj set je optmalan načn zvršenja n otpremanja sa troškovma rente po jenc vremena c r D(t )/n. Slka 3.3 pokazuje ovakvo rešenje za hpotetčku kumulatvnu krvu upotrebe artkala D(t). Svako opremanje je ovoljno velko a zaovolj potražnju o sleećeg otpremanja. D (t ) UKUPAN ROJ ARTIKALA R (t) - Ovojen artkl ( opremljen) Q P T D (t ) n D (t ) n D (t) - Upotrebljen artkl VREME t t t t 3 t 4 t Slka 3.3. Orejvanje vremena otpremanje za najmanje troškove čuvanja

6 PROCEDURA: Kolčna robe zmeju vremena prjema robe je sta u svm slučajevma: D(t )/n. Jasno je a je optmalna strategja sleeća:. Poelt ornatnu osu o D(t ) na n jenakh segmenata, pa na osnovu namčke krve prozvonje, najte vremena t, ko kojh je D(t) = (/n) D(t ) za =,..., n-. Taj set su optmalna vremena otpremanja robe.. Otpremte jeva ovoljnu kolčnu robe tako a pokrjete potražnju o sleećeg otpremanja. NAREDNI ZADATAK: Pronać optmalan broj otpremanja n koj smanjuje krajnje troškove. (To ne zavs o vremena opremanja t, već samo o broja otpremanja n): Trošak / vreme = c r [D(t )/n] + c f [n/t ], ZAPAZIMO: c D(t ) n Trosak / artklu r = + cf D ' (3-6) n D(t ) Ge je D' prosečna stopa koršćenja: D' = D(t ) t Prmette a je u zrazu (3.6) za EOQ, velčna v = D(t )/n je tovar. Rešenje zahteva a n bue ceo broj (sa ogrančenjem v). Rezultat optmalnog rešenja je n* = l, (osm ako je vreme tako kratko, pa su optmaln troškov po artklu prblžn troškovma sa stalnom tražnjom). Ako je v < oo, rešenje proceure se ne menja. I alje je optmalno mat ste obme tovara, al b otpremanja trebala a buu veća - a zaovolje: D(t )/n v. Rešenje je u form (3.5) kaa je v smanjeno na ceo všestruk ntežer o D(t ) Rešenja kaa su troškov najma (rente) zanemarljv: PRVA SITUACIJA: Isptajmo još jenu ekstremnu al uobčajenu stuacju, ko koje su artkl vrlo mal skup, tako a već eo troškova čuvanja, potče o : artklasata u zalhama, a ne o troškova najma prostora (rente) za čuvanje. U tom slučaju troškov čuvanja na oreštu b trebalo a buu proporconaln zatamnjenoj površn na prethonoj slc 3.3. Kombnovan troškov čuvanja na zvorma oreštu, će takoje bt proporconalan površn, ako se (.) trošak čuvanja na zvoru gnorše l (.) ako je proporconalan površn. Stuacja (.) se javlja kaa zvor prozvo artkle za mnogo orešta, tako a su troškov za svaku estnacju neznatn. DRUGA SITUACIJA Prostče ako je prozvona strategja na zvoru opsana prema slc.. Tako vmo sa slke, a ukupno vreme čekanja (na zvoru) koje može bt vrenovano kao strategja otpremanja, mora bt slčno vremenu čekanja na oreštu, tj. mora bt proporconalno šrafranoj površn 3.3. TREĆI SCENARIO STAV: prostče ko tpčnh sstema prevoza putnka. Newell (97) je pokazao a kaa je set tačaka (t... t n- ) optmalan, svaka lnja PQ (na sl. 3.3) mora bt paralelna sa tangentnom lnjom D(t) u vreme prjema (tačka T na slc). Ako se ovaj uslov ne zaovolj, ona je moguće smanjt ukupnu šrafranu površnu, poboljšavanjem rešenja l olaganjem vremena prjema u malm kolčnama.

7 3.3.3 Numerčko rešenje Postoje razlčt načn a se reš problem velkog obma strbucje sa promenljvom tražnjom: PRVA PROCEDURA može bt namčk program u kome su vremena opremanja t oabrana za svaku etapu (=,..., n-), ge je stanje sstema uslovljeno prethonm vremenma opremanja, t -. Proceura namčkog programranja je u saglasnost sa optmalnm troškovma čuvanja za ato n, z* (n), koje može bt zamenjeno prvm zrazom u jenačn (3.6) a b zaovoljlo n*. DRUGA PROCEDURA zasnovana na Newellovom postupku, je manje složenost funkconše naročto obro ako je D(t) glatko, bez skokova talasanja (Slka 3.4):. Oaberte tačku P na ornat efnšte tačku T horzontalno esno na hpotetčkoj krvoj tr.. Nacrtajte o P paralelno sa tangentom D(t) na T, povucte z T vertkalnu lnju. Označte tačku preseka sa P. 3. Prethona va koraka nalaze tačku P z tačke P. Trebalo b ponovt to a b obl P 3 z P, P 4 z P 3, t.... Tme se efnšu prjemn korac krve, R(t). 4. Ako R(t) ne prolaz kroz krajnju tačku, (t, D(t )), ona položaj P treba menjat ok ova tačka ne proje kroz krajnju tačku. 5. Ako se oabere rugačja tačka P, to može rezultovat razlčtm brojem koraka pa će se troškov premeštanja menjat. Troškov čuvanja za ato P su proporconaln površn zmeju R(t) D(t). On će se takoje menjat ako se P premešta. Globaln optmum se može pronać pomeranjem pozcje P porejenjem ukupnh troškova čuvanja premeštanja. D ( t ) Tangenta UKUPAN ROJ ARTIKALA P P 3 R ( t ) T D ( t ) P T t t t t VREME Slka 3.4. Konstruktvn meto za ukupan broj otpremljenh artkala u jenc vremena Meto Kontnualnh aproksmacja (CA) IDEJA: Newell (97). Zasnva se na zamen vremena traženje {t } funkcjom kontnualne aproksmacje (CA), koja uslovljava nz o t sa prblžno mnmalnm troškovma. OSOINA: Meto obro funkconše, kaa se D(t) ne menja naglo, tj. ako je D(t ) D(t+ ), za sve (). Izraz je jenostavan osnova je razvajanja ukupnh troškova. INTERVAL: Uvemo vremenske ntervale prjema robe označmo sa I -t nterval zmeju uzastopnh prjemnh vremena [( t, t ), =,,... ]. Za ove ntervale možemo oret prpaajuće troškove "cena " ako poelmo ukupne troškove u toku peroa posmatranja na elove, koj ogovaraju svakom ntervalu. CENA: "Cena " uključuje fksne troškove c f, otpremanja jenog tovara troškove čuvanja robe, zražene prozvoom koefcjenta c senčene površne (vremena koje je roba provela u ntervalu I ): trošak = cf + c (površna)

8 USLOV: Zbr pojenačnh troškova je jenak ukupnm troškovma. Pošto je D'(t) kontnualno, pretpostavka je a postoj tačka t u svakom ntervalu I za koju se površna zna D(t) može zrazt u form: površna ' = ( t t ) D' (t ). To je oređeno z horzontalnh vertkalnh lnja trouglova koje prolaze kroz P (na prethonoj slc) prave lnje koja prolaz kroz T sa nagbom trouglova, - pa D'(t' ). USLOV: Pošto aproksmatvna krva lnja mora a preseca D(t) a ma jenaku površnu sa površnom tačne funkcje, pšemo: (površna) ( t t ) D'(t ' t ) ( t t ) D'(t ' = = ) t t (3.7) Ako efnšemo H s (t) kao konačnu funkcju uzastopnh vremenskh ntervala tako a H s (t) = t t ako je I t (slka 3.5), ona troškov po ntervalu mogu bt: HEADWAYS (RELACIJE) P P 45 H ( t ) s H ( t ) t t t VREME Sl. 3.5 Dobjanje nza vremena otpremanja z H(t) t ( troškov) = f + s D'(t' t ) t (3.8) H (t) c s c H Prmetmo a je to tačan zraz. Aproksmujemo D'(t ) sa D'(t)- što je logčno ako se D'(t) menja lagano. Ukupn toškov u toku celog peroa posmatranja mogu bt zražen kao ntegral: (t) t cf chs (t) trošak + D'(t) t (3.9) o Hs (t) CILJ: Tražmo funkcju H s (t) koja mnmzuje trošak (3.9). Zatvoren oblk rešenja može se postć ako u (3.9) H s (t) zamenmo glatkom funkcjom, prema slc 3.5: t cf ch(t) trošak + D'(t) t (3.) o Hs (t) PROCEDURA: Najemo H(t) koje mnmzuje jenačnu (3.) ona oabermo nz vremena otpremanja (za H s (t)) osleno H(t). OSOINA: Vrenost H(t) koje mnmzuje (3.) mnmzuje ntegral u svakom t, pa je tako:

9 H(t) cf c D ' (t) = (3..a) Ovo je vreme zmeju otpremanja na putne pravce za EOQ problem sa stalnom potražnjom D'=D'(t). Nz vremena otpremanja koja se slažu sa H(t), može se lako pronać, jer H(t) se menja sporo sa vremenom t. Slka 3.5 prelaže sstematsk načn realzacje. KONSTRUKCIJA: Počevš sa zvora (tačka t ), povcute lnju po uglom o 45 pronajte osečak o blo koje tačke na vertkalnoj os, kao što je P na slc, koja se seče sa lnjom o 45. Položaj P b trebalo a bue tako orejen, a je površna spo tog segmenta jenaka površn spo krve H(t). Apscsa tačke preseka je sleeće vreme otpremanja t. to orejuje t ako je poznato t. Konstrukcja se ona ponavlja o t a b se orelo t, z t a b se orelo t 3, t. U praks nje potrebno bt tolko preczan, jer mala ostupanja o optmalnh vrenost maju mnorn efekat. Zamenom esne strane o (3..a) za H(t) u ntegralu (3.) u saglasnost je sa zrazom za optmalne troškove: t ukupn trošak c cf D'(t) t ` (3..b) Integral ovog zraza je optmalan trošak po jenc vremena ako je D'=D'(t). Prmetmo a ntegral (3..b) može bt napsan kao: ccf [ D' (t)t], D' (t) Ge prv član prestavlja optmalan trošak po artklu za EOQ problem sa stalnom tražnjom D'(t); jenačna (3.3). Prosečan trošak po artklu (za sve artkle) se postže eljenjem (3..b) ukupnm brojem artkala, Rezultat je: trošak * artkal D (t t ) t = ccf t D'(t) t D' (t) D' (t)t D' (t)t (3..c) ZAPAŽANJE:. Jenačne 3. su jenostavne za zrau stuja l kompleksnh problema. Ovo je jena o atraktvnh karakterstka CA prstupa. CA prstup aje procenjene troškove, pa ako je aproksmatvan efnše kompletno - etaljno rešenje problema.. CA prstup se može takoje korstt pr orejvanju tačaka na blo kojoj lnj (vreme l nešto rugo), po uslovom a ukupn trošak ogovara prbžno (kratkm) ntervalma na lnj, ok ne obezbee a proporconalna cena blo kog ntervala zavs samo o karakterstka atog ntervala. 3. CA prstup se može korstt za locranje tačaka u multmenzonalnom prostoru kaa se ukupn trošak može zrazt zbrom susenh troškova, koj zavse samo o njhovh lokalnh karakterstka. Zato se smatra a je CA prstup (Newell 973) korsnj, jer je u multm slučaju teže korstt numerčke metoe sa kompleksnm grančnm uslovma.

10 Locranja teretnog termnala: (Projektn ra) Zaatak locranja teretnog termnala na stantnoj lnj zmeđu. Na toj lnj postoje zvor (termnal) sa kojh se sakupljaju artkl koj se transportuju o epoa. OPIS PROCESA: Dstantna lnja se pruža zmeju zvora o epoa koj je locran na ~ =. Protok tereta (broj artkala na an) koj potče zmeđu ( ) je funkcja o, D(t), koj raste o nule o v tot (slka 3.6). Artkl se pojenačno nose o termnala po cen c' po jenc stance artklu. Svakog ana, vozlo prelaz put, skupljajuć artkle, prkupljene na svakom termnalu nos h o epoa. v tot = D( ) M 3 UKUPAN ROJ ARTIKALA M (povr šna ) M ( površna ) R () D () ( površna ) 3 Depo m= m m m 3 3 DISTANCE, Sl. 3.6 Geometrjska konstrukcja problema lokacje termnala VRSTE TROŠKOVA: Trošak pomeranja za ovu operacju ma 3 komponente: trošak rukovanja (hanlng cost) na termnallma (po pretpostavkom a su konstantn pa ona zanemarljv), troškov prstupa termnalma (access cost) troškov kretanja (lne-haul cost) na lnj o termnala o epoa. Troškov prstupa su at prozvoom c ukupnog broja artkal-mlja prejenh nveno. Troškov kretanja (lnehaul cost) maju oblk ranje ate jenačne (.5.). ( troškov kre tan ja / an) cs ( + ns ) + c ( ) + c' ( vtot) =, n s broj zaustavljana (sključujuć epo), v tot =ukupna velčna tovara koja stže u epo. ~ ~ OSOINA: Prmette a troškov kretanja ne zavse o specfčnh lokacja zaustavljanja a se za razlku o troškova prstupa povećavaju sa n s. Kao funkcju o n s, skazujemo: ( troškov kre tan ja / an) c + cs ns =, (3.) c konstanta koja se može zanemart ko cljnh moelranja. Pošto je problem formulsan sa jenm putovanjem na an, suma troškova čuvanja (holng cost) ko svh zaustavljanja se može gnorsat posmatranje otkrva a je suma konstantna. Troškov zalha lnje snabevanja (ppng nventory cost) zavs o promenljvost zvora (trebalo b a rastu sa n s ) al za jeftne terete, efekt je bezančajan (jenačna 3.). Tako sv troškov zalha čuvanja (holng) se zanemaruju. Zaustavljanja su oređena razmenom zmeđu troškova vuče troškova prstupa. Njega je prv rešo Vuchc&Nowell (968), namčkm programranjem a kasnje Hurle (973) Wrasnghe&Ghonem (98), CA metoom.

11 Slka 3.6 pokazuje lokacju 3 termnala (u tačkama, 3 ) krve R(), koje pokazuju broj artkala u vozlu kao funkcju njhovh položaja. Ova krva raste u koracma na svakom termnalu. Velčna svakog koraka jenaka je broju prkupljenh artkala. Da b se mnmzoval troškov prstupa, svak artkal je usmeren ka najblžem termnalu a rezltat toga je a stepenasta krva prolaz kroz srenje tačke, M, pokazano na sl (koornate o M su: m=( + + )/, D(m ); sa m = m ns = ). POGLEDAJMO: Kako ukupn troškov mogu bt proporconaln kratkm ntervalma. Razmatrajuć prostor o (, ) u sleećm ntervalma koj okružuju svak termnal: I = (,m ], I = (m,m],...,ins = (mn, ) s. Svak nterval I povećava troškove prstupa proporconalno nevnom putu (artkl-mlja) ra prstupa termnalu. Ovo je pokazano osenčenom površnom na va kvaz-trougaona segmenta, pore same lokacje termnala (površna), tako: ( troškov prstupa) = ( površna) c' Ko male promene D(), troškov prstupa (access) su: ( troškov prstupa) ( m m ) D'() c' 4 Pošto svak termnal oaje c s nevnm troškovma kretanja (jenačna 3.), eo ukupnh troškova proporconalan I je: c' 4 ( ukupn troškov / an) c + ( m m ) D'( ) s Pošto je D'() D( ), za I sa malom promenom D'()), prethon zraz, je: ( ukupn troškov/ an) m cs c' + m ( m m ) 4 ( m m ) D'( ) Ako ozvolmo a s() se olkuje postepenom promenom funkcje, tako a s( )=m -m -, ona poslenj zraz možemo a napšemo, korsteć s() umesto m -m - : m c c' m s() 4 s ( ukupn troškov / an) + s( ) D'( ) Ukupan trošak sstema je ona: cs c' ( ukupn troškov/ an) + s( ) D'() s() 4 (3.3) Ako se EOQ zraz analtčk olazmo o: s() cs (3.4.a) c' D'() Izraz za mnmalne ukupne prosečne troškove (po artklu) su slčn (3..b) (3..c); ge prncp eljenja još uvek važ:

12 ukupn trošak jenca vremena Troškov artkal * * csc' [ c c' D'() ] s D'() D'() D'() (3.4.b) (3.4.c) Da b orel lokacju termnala, moramo poelt (, ] na nepreklopljene ntervale prblžno tačnh užna, I, I,..., počevš sa jenog kraja, korsteć (3.4.a) ponavljajuć postupak. Ako poslenj nterval nje tačne užne, ona se razllka može absorbovat malm promenama u rugm ntervalma. Ako je velko (tako a ma bar nekolko ontervala), ona fnaln eo treba a zaovolj s() m m, ako je I, sa tačnm aproksmacjama koje voe (3.4). Kaa utcaj površne efnšemo na ovaj načn, termnal se locraju pore. On b trebalo a buu smešten unutar svakog ntervala tako a je granca zmeđu susenh ntervala na stoj razaljn o susenog termnala. Usaglašavanje nza ntervala može bt jako teško, al u našem slučaju ge je I I +, najbolja lokacje je blzu centra svakog ntervala, pa se malo gub ako locramo termnale u centru.

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnčk fakultet unverzteta u Beogradu 6.maj 8. Odsek za Softversko nžnjerstvo Performanse računarskh sstema Drug kolokvjum Predmetn nastavnk: dr Jelca Protć (35) a) () Posmatra se segment od N uzastonh

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORJA ETONSKH KONSTRUKCJA 1 PRESEC SA PRSLNO - VELK EKSCENTRCTET ČSTO SAVJANJE - SLOODNO DENZONSANJE Poznato: Nepoznato: - statčk tcaj za pojedna opterećenja ( ) - sračnato - kvaltet materjala (, σ v

Διαβάστε περισσότερα

Metoda najmanjih kvadrata

Metoda najmanjih kvadrata Metoda ajmajh kvadrata Moday, May 30, 011 Metoda ajmajh kvadrata (MNK) MNK smo već uvel u proučavaju leare korelacje; gdje smo tražl da suma kvadrata odstupaja ekspermetalh točaka od pravca koj h a ajbolj

Διαβάστε περισσότερα

Ekonometrija 4. Ekonometrija, Osnovne studije. Predavač: Aleksandra Nojković

Ekonometrija 4. Ekonometrija, Osnovne studije. Predavač: Aleksandra Nojković Ekonometrja 4 Ekonometrja, Osnovne studje Predavač: Aleksandra Nojkovć Struktura predavanja Nelnearne zavsnost Prmene u ekonomskoj analz Prmer nelnearne zavsnost Isptujemo zavsnost zmeđu potrošnje dohotka.

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

( ) BROJNI PRIMER 4. Temeljni nosač na sloju peska. Slika 6.3. Rešenje: Ekvivalentni modul reakcije podloge/peska k i parametar krutosti λ :

( ) BROJNI PRIMER 4. Temeljni nosač na sloju peska. Slika 6.3. Rešenje: Ekvivalentni modul reakcije podloge/peska k i parametar krutosti λ : BROJNI PRIMER 4 Armrano etonsk temeljn nosač (slka 63), fundran je na dun od D f =15m, u sloju poto-pljenog peska relatvne zjenost D r 75% Odredt sleganje w, nag θ, transverzalnu slu T, moment savjanja

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA PRIBLIŽNI BROJ I GREŠKA tača vredost ekog broja X prblža vredost ekog broja X apsoluta greška Δ = X X graca apsolute greške (gorja graca) relatva greška X X

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα

Izbor prenosnih odnosa teretnog vozila - primer

Izbor prenosnih odnosa teretnog vozila - primer FTN No Sad Katedra za motore ozla Teorja kretanja drumskh ozla Izbor prenosnh odnosa Izbor prenosnh odnosa teretnog ozla - prmer ata je karakterstka dzel motora MG OM 906 LA (Izor: http://www.dmg-dusburg.de/html/d_c_om906la.html)

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

NAVODNJAVANJE MODELI DISTRIBUCIJE VODE U SISTEMIMA ZA NAVODNJAVANJE ŠKOLSKA 2016/2017 UNIVERZITET U BEOGRADU GRAĐEVINSKI FAKULTET

NAVODNJAVANJE MODELI DISTRIBUCIJE VODE U SISTEMIMA ZA NAVODNJAVANJE ŠKOLSKA 2016/2017 UNIVERZITET U BEOGRADU GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITET U BEOGRADU GRAĐEVINSKI FAKULTET NAVODNJAVANJE ŠKOLSKA 2016/2017 MODELI DISTRIBUCIJE VODE U SISTEMIMA ZA NAVODNJAVANJE Predmetn profesor: dr Mloš Stanć, dpl. građ. nž. Predmetn asstent: Željko

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetički i geometrijski niz

Aritmetički i geometrijski niz Zadac sa prethodh prjemh spta z matematke a Beogradskom uverztetu Artmetčk geometrjsk z. Artmetčk z. 00. FF Zbr prvh dvadeset člaova artmetčkog za čj je prv čla, a razlka A) 0 B) C) D) 880 E) 878. 000.

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIČKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U RIJECI Zavod za elektroenergetiku. Prijelazne pojave. Osnove elektrotehnike II: Prijelazne pojave

TEHNIČKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U RIJECI Zavod za elektroenergetiku. Prijelazne pojave. Osnove elektrotehnike II: Prijelazne pojave THNIČKI FAKUTT SVUČIIŠTA U IJI Zavod za elekroenergek Sdj: Preddplomsk srčn sdj elekroehnke Kolegj: Osnove elekroehnke II Noselj kolegja: v. pred. mr.sc. Branka Dobraš, dpl. ng. el. Prjelazne pojave Osnove

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam

Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam Polarzacja Proces asajaja polarzrae svjelos: a refleksja b raspršeje c dvolom d dkrozam Freselove jedadžbe Svjelos prelaz z opčkog sredsva deksa loma 1 u sredsvo deksa loma, dolaz do: refleksje (prema

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE I TERMOHEMIJA

OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE I TERMOHEMIJA OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE I TERMOHEMIJA OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE Hemjska termodnamka proučava promene energje (toplotn efekat) pr odgravanju hemjskh reakcja. MATERIJA ENERGIJA? Energja je dskontnualna

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Ovdje će se prikazati dva primjera za funkciju cilja sa dvije varijable: kružnicu i elipsu.

Ovdje će se prikazati dva primjera za funkciju cilja sa dvije varijable: kružnicu i elipsu. Neke metode z nelnearnog programranja Od metoda nelnearnog programranja koje se korste za rješavanje nekh problema sa specfčnom funkcjom clja zdvojt će se sljedeće: a) grafčka metoda, b) metoda neposrednog

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

1 Momenti inercije u odnosu na Dekartove koordinatne ose

1 Momenti inercije u odnosu na Dekartove koordinatne ose M. Tadć, Predavanja z Fzke 1, ETF, grupa P3, X predavanje, 2017. 1 Moment nercje u odnosu na Dekartove koordnatne ose Pretpostavmo da telo prkazano na slc 1 ma sva tr prostorne dmenzje razlčte od nule.

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Hamilton-Jacobijeva jednadžba

Hamilton-Jacobijeva jednadžba Klasčna mehanka 2 p. 1/26 Hamlton-Jacobjeva jednadžba - faznm portretom u blo kojem vremenskom trenutku odre den je fazn portret u svm ranjm kasnjm vremenma - svaka točka faznog portreta prpada odre denoj

Διαβάστε περισσότερα

Protok., tada je relativna brzina gibanja čestica fluida u odnosu na površinu w i., a protok Q je definiran izrazom Q= wnds = v u nds

Protok., tada je relativna brzina gibanja čestica fluida u odnosu na površinu w i., a protok Q je definiran izrazom Q= wnds = v u nds EHNIK FLUI I Što valja zapamtt 0 Protok olumensk protok l jenostao protok Q jest volumen čestca flua koje u jenčnom vremenu prođu kroz promatranu površnu orjentranu jenčnm vektorom normale n ko se čestce

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Prosti cevovodi

MEHANIKA FLUIDA. Prosti cevovodi MEHANIKA FLUIDA Prosti ceooi zaatak Naći brzin oe kroz naglaak izlaznog prečnika =5 mm, postaljenog na kraj gmenog crea prečnika D=0 mm i žine L=5 m na čijem je prenjem el građen entil koeficijenta otpora

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Ekonometrija 2. Ekonometrija, Osnovne studije. Predavač: Aleksandra Nojković

Ekonometrija 2. Ekonometrija, Osnovne studije. Predavač: Aleksandra Nojković Ekonometrja Ekonometrja, Osnovne studje Predavač: Aleksandra Nojkovć Struktura predavanja Svojstva ocena na malm uzorcma Asmptotska svojstva ocena Svojstva ocena dobjenh metodom ONK Svojstva ocena U regresonoj

Διαβάστε περισσότερα

transformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije

transformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije promatramo dva oordnatna sustava S S sa zaednčm shodštem z z y y x x blo o vetor možemo raspsat u baz, A = A x + Ay + Az = ( A ) + ( A ) + ( A ) (1) sto vred za ednčne vetore sustava S = ( ) + ( ) + (

Διαβάστε περισσότερα

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

12. STATISTIČKI MODEL ZVUČNOG POLJA U PROSTORIJAMA

12. STATISTIČKI MODEL ZVUČNOG POLJA U PROSTORIJAMA AKUSTIKA TEMA 12 Statstčk model zvučnog polja u prostorjama 157 12. STATISTIČKI MODEL ZVUČNOG POLA U PROSTORIAMA 12.1 Uvod Statstčka analza zvučnog polja u prostorj, takozvan statstčk model l statstčka

Διαβάστε περισσότερα

). Po njemu najveći hemijski afinitet imaju supstance čijim sjedinjavanjem dolazi do najvećeg smanjenja slobodne energije.

). Po njemu najveći hemijski afinitet imaju supstance čijim sjedinjavanjem dolazi do najvećeg smanjenja slobodne energije. HEMIJSKA RAVNOTEŽA HEMIJSKI AFINITET SUPSTANCI: težnja da stupe u hemjsku reakcju. Ranje se smatralo da je krterjum afnteta brzna. Kasnje se ocena hemjskog afnteta davala na osnovu kolčne oslobođene toplote

Διαβάστε περισσότερα

PREDAVANJE-11. Generacija 2007 Optimalno projektovanje u mašinstvu

PREDAVANJE-11. Generacija 2007 Optimalno projektovanje u mašinstvu Dr Momr Jovanovć OPTIMIZACIJA (autorzovana predavanja) 1 PREDAVANJE-11 Generacja 007 Optmalno projektovanje u mašnstvu 1.1 UVOD U OPTIMANO PROJEKTOVANJE PREDMET OPTIMIZACIJE (lustratvno): mnmalna masa

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

1. METODE RJEŠAVANJA NELINEARNE JEDNADŽBE S JEDNOM NEPOZNANICOM

1. METODE RJEŠAVANJA NELINEARNE JEDNADŽBE S JEDNOM NEPOZNANICOM . METODE RJEŠAVANJA NELINEARNE JEDNADŽBE S JEDNOM NEPOZNANICOM. METODA BISEKCIJE.. METODA Nakon početnog stražvanja unkcje poznat su nam Kako može zgledat na ntervalu [ l, d ]? <

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja Trgnmetrjsk blk kmpleksng brja Da se pdsetm: Kmpleksn brj je blka je realn de, je magnarn de kmpleksng brja, - je magnarna jednca, ( Dva kmpleksna brja su jednaka ak je Za brj _ je knjugvan kmpleksan brj.

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni sklopovi pojačala sa bipolarnim tranzistorom

Osnovni sklopovi pojačala sa bipolarnim tranzistorom Osnovn sklopov pojačala sa bpolarnm tranzstorom Prrodno-matematčk fakultet u Nšu Departman za fzku dr Dejan S. Aleksd Elektronka dr Dejan S. Aleksd Elektronka - Pojačavač polarn tranzstor kao pojačavač

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Složeni cevovodi

MEHANIKA FLUIDA. Složeni cevovodi MEHANIKA FLUIDA Složeni cevovoi.zaata. Iz va velia otvorena rezervoara sa istim nivoima H=0 m ističe voa roz cevi I i II istih prečnia i užina: =00mm, l=5m i magisalni cevovo užine L=00m, prečnia D=50mm.

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14.

Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14. Pojmo:. Vektor se F (transacja). oment se (rotacja) Dnamka krutog tjea. do. oment tromost masa. Rad krutog tjea A 5. Knetka energja k 6. oment kona gbanja 7. u momenta kone gbanja momenta se f ( ) Gbanje

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

10.1. Bit Error Rate Test

10.1. Bit Error Rate Test .. Bt Error Rat Tst.. Bt Error Rat Tst Zadata. Izračuat otrba broj rth formacoh bta u BER tstu za,, ogršo dttovaa bta a rjmu, tao da s u sstmu sa brzoom sgalzacj od Mbs mož tvrdt da j vrovatoća grš rosa

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα