12. STATISTIČKI MODEL ZVUČNOG POLJA U PROSTORIJAMA

Transcript

1 AKUSTIKA TEMA 12 Statstčk model zvučnog polja u prostorjama STATISTIČKI MODEL ZVUČNOG POLA U PROSTORIAMA 12.1 Uvod Statstčka analza zvučnog polja u prostorj, takozvan statstčk model l statstčka teorja, posmatra ukupn energetsk blans rada zvučnog zvora u njoj. U takvom statstčkom pogledu polaz se od pretpostavke da zvučn zvor rad staconarno kontnualno od nekog trenutka njegovog uključenja. U tom smslu prostorja se analzra kao jedan rezervoar zvučne energje. Kada se zvor uključ rad konstantnom snagom P a, ukupna energja u prostorj W se od tog trenutka kontnualno povećava jer zvor pun prostorju zvučnom energjom. Istovremeno, sa pojavom zvučne enrgje u prostorj, nastaje proces trošenja te ste energje usled dspacje na grančnm površnama. T gubtc se opsuju snagom dspacje P α. Prema tome, nakon uključvanja zvučnog zvora u prostorj nastaju dva paralelna procesa od njhovog odnosa zavs stanje u zvučnom polju. Statstčk model zvučnog polja u prostorj bazra se na posmatranju balansa zmeđu procesa genersanja trošenja zvučne energje 12.2 Preduslov za analzu pomoću statstčke teorje Ako se pretpostav da sve grančne površne u prostorj maju relatvno mal koefcjent apsorpcje, onda zvučn talas u njoj dožve všestruke refleksje pre nego što oslabe tolko da vše ne doprnose zvučnom polju. Ako se stvore ovakv uslov, koj omogućavaju dugo zadržavanje energje u prostorj, onda se može pretpostavt da u svakoj tačk prostorje važ sledeće: - u svakom trenutku u svaku tačku prostora dolaz mnoštvo talasa koj su prethodno prešl razlčte puteve, pa zbog togaa maju razlčte ampltude faze. - sv pravc nalaska talasa sve vrednost njhovh faza podjednako su verovatn. Ovakvo stanje označeno je u lteratur kao dfuzno homogeno zvučno polje karakterstka je prostorje kao akustčkog sstema prenosa. U daljoj analz zvučnog polja smatra se da su dfuznost homogenost kao preduslov spunjen. U realnm okolnostma ov preduslov nsu uvek zadovoljen, pa je tačnost u prmen statstčkog modela povezana sa tm. U laboratorjskm uslovma prave se prostorje u kojma će se pr zvučnoj pobud stvarat dfuzno homogeno zvučno polje, da b se statstčk model mogao prmenjvat sa dovoljno velkom tačnošću. To su takozvane reverberacone

2 AKUSTIKA TEMA 12 Statstčk model zvučnog polja u prostorjama 158 prostorje (često se nazvaju reverberacone komore). One se prave sa veoma masvnm zdovma sa površnama od tvrdog materjala da b se mnzrala apsorpcja. Često se na betonskm površnama zdova lepe keramčke l staklene ploče da b se smanjla svaka poroznost površna tako mnmzrala apsorpcja. Drektan reflektovan zvuk Rezultujuće energetsko stanje zvučnog polja u svakoj tačk prostorje predstavlja zbr ntenzteta svh talasa koj u stom trenutku prolaze kroz nju: = (12.1) U uslovma homogenog dfuznog polja ovo je suma sa veoma mnogo sabraka ( tež beskonačno). Pojednačne vrednost sabraka varjaju u nekm grancama, al sv on potču z ogrančenh uslova koje nameće prostorja, pa među njma ne može bt velkh statstčkh razlka. Zbog toga vrednost zbra u zrazu (12.1) tež jednoj konstantnoj vrednost koja ne zavs od prostornh kordnata. Drugm rečma, ako je zvučno polje dfuzno homogeno, ntenztet reflektovanog zvuka po čtavoj prostorj je konstantan. Izuzetak je samo u neposrednoj blzn zvora, gde će uvek drektan zvuk bt domnantan. nvo reflektovanog zvuka (R) Slka 12.1 Odnos nvoa drektnog reflektovanog zvuka u prostorj u funkcj rastojanja od zvučnog zvora. mkrofon r c log r Ukupn nvo zvuka u prostorj može se razložt na dve komponente: na nvo drektnog zvuka, koj opada sa rastojanjem od zvora po zakonu šrenja talasnog fronta, nvo reflektovanog zvuka koj je konstantan po prostorj. Ovakva karakterstka zvučnog polja u prostorj lustrovana je na slc Na apscs djagrama u logartamskoj razmer predstavljeno je rastojanje od zvučnog zvora, a na ordnat relatvn nvo zvuka. Vd se da je u neposrednom okruženju zvučnog zvora nvo

3 AKUSTIKA TEMA 12 Statstčk model zvučnog polja u prostorjama 159 drektnog zvuka vš od nvoa reflektovanog zvuka. Postoj neko rastojanje od zvora na kome su ova dva nvoa jednaka. Ono se nazva poluprečnk zone drektnog zvuka, zbog toga što je unutar sfere postavljene oko zvora čj je to poluprečnk nvo drektnog zvuka vš od nvoa reflektovanog zvuka. Ova vrednost se u lteratur koja obrađuje oblast reprodukcje zvuka često nazva krtčno rastojanje. Njegova vrednost ne zavs od snage zvora, već samo od prostorje njenh relevantnh osobna, pošto se s promenama snage zvora menjaju oba nvoa: drektnog reflektovanog zvuka. ednačna dnamčke ravnoteže u prostorj ednačna dnamčke ravnoteže u prostorj pokazuje brznu promene energje: d W dt d = EdV = Pa P α (12.2) dt gde je W ukupna energja u prostorj, a E je gustna energje u elementu zapremne dv. Snaga dspacje P α funkcja je ukupne energje u prostorj W, jer je pr refleksj zvučnog talasa od grančne površne gubtak usled apsorpcje određen procentom upadne energje. ednačna (10.5) pokazuje da je prraštaj ukupne energje u prostorj dw u vremenu dt rezultanta dva prraštaja: - poztvnog koj potče od rada zvora P a dt, - negatvnog koj potče od apsorpcje na svm grančnm površnama P α dt. Statstčk model zvučnog polja u prostorj polaz od jednačne (12.2). Njenm rešavanjem dolaz se do relevantnh relacja koje defnšu stanje u zvučnom polju. Fzčk utcaj prostorje na zvučno polje u njoj zasnva se na procesu dspacje na svm unutrašnjm grančnm površnama. Merlo njhove apsorpcone moć je koefcjent apsorpcje α. Ovaj koefcjent je, po defncj, odnos apsorbovane snage P α upadne snage P a koja pogađa površnu: P α = α (12.3) P u U realnm okolnostma sposobnost površne da apsorbuje zvuk zavs od upadnog ugla. Zato je vrednost koefcjenta apsorpcje u opštem slučaju zavsna od velčne upadnog ugla zvučne energje Staconarno stanje zvučnog polja U procesu genersanja trošenja zvučne energje, koj se odvja pr radu konstantnog zvora zvuka, snaga zvora je konstantna, što znač da je protok energje koja ulaz u prostorju konstantan. Snaga dspacje na grančnm površnama funkcja je gustne energje koja h pogađa, što znač da se nakon uključenja zvučnog zvora kolčna energje koja se troš u jednc vremena permanentno povećava s povećanjem

4 AKUSTIKA TEMA 12 Statstčk model zvučnog polja u prostorjama 160 ukupne energje u prostorj W. U tom procesu postoj trenutak kada će se snaga genersanja snaga dspacje zjednačt, to jest: P α = P a (12.) Tada u prostorj nastupa staconarno stanje zvučnog polja. Kolčna energje u prostorj, W, a tme gustna energje E, prestaje da raste, odnosno nvo zvuka u prostorj nadalje ostaje konstantan, bez obzra kolko dugo zvor rado. Po sključenju zvučnog zvora dešava se analogna pojava, samo u suprotnom smeru. Po prestanku genersanja nove energje postojeća energja u prostorj se smanjuje. Zbog čnjence da je dspacja srazmerna procentu ukupne energje koja pogađa površne, taj proces asmptotsk težt nul. Snaga dspacje Sa desne strane jednačne dnamčke ravnoteže snaga zvučnog zvora je konstanta određena je njegovom prrodom. Za rešenje jednačne dnamčke ravnoteže u prostorj neophodno je utvrdt snagu dspacje. Ona nastaje u procesu refleksje kao posledca apsorpcje. Energja koja z zvučnog polja pogađa nek element zda površne ΔS zavs od ntenzteta zvuka u prostorj. Po prrod stvar energja koja ga pogađa element površne ΔS dolaz z poluprostora. Intenztet koj z nekog pravca pogađa posmatran element površne zavs od ntenzteta talasa, al od upadnog ugla zbog velčne projekcje površne na pravac nalaska. Ova stuacja je prkazana na slc dω ΔS Slka 12.2 Ilustracja uz zvođenje energje koja pogađa element površne zda Sa slke se vd da se može defnsat element prostornog ugla dω z koga se ΔS vd pod stm uglom. To je elementarn prostorn ugao u vdu prstena. Integraleć u grancama od 0 do π/2 ntenztet koj na element površne ΔS dolaz z prostornog ugla

5 AKUSTIKA TEMA 12 Statstčk model zvučnog polja u prostorjama 161 defnsanog prkazanm prstenom može se pokazat da je snaga dspacje ΔP u na elementu površne ΔS: Δ P u = ΔS (12.5) gde je ntenztet u homogenom dfuznom polju u prostorj. Prema tome, zbog geometrjskh uslova u prostorj snaga koja pogađa zdove srazmerna je jednoj četvrtn ntenzteta koj postoj u homogenom polju u prostorj, to jest dalje od zdova. Apsorbovana snaga ΔP α na elementu površne ΔS dobja se množeć upadnu snagu sa koefcjentom apsorpcje površne: ΔP α = αδs (12.6) U ovom zrazu α je statstčka vrednost koefcjenta apsorpcje koju površna složena zvučnom polju spoljava kada je zvučna energja pogađa sa svh strana. Name, fzčka prroda dspatvnh procesa na grančnm površnama je takva da vrednost koefcjenta apsorpcje zavs od upadnog ugla pod kojm talas pogađa površnu. Zbog toga je statstčka vrednost u zrazu (12.6) razlčta od vrednost koju materjal spoljava pr normalnoj ncdencj. Sv podac o koefcentma apsorpcje koj se u lteratur mogu nać za razne materjale upravo predstavljaju statstčku vrednost. Postupak merenja koefcjenta apsorpcje utvrđen standardom podrazumeva da se pr tome uzorak materjala nalaz u dfuznom polju sa podjednakom verovatnoćom svh uglova ncdencje. Ukupna snaga dspacje u prostorj P α zbr je pojednačnh dspacja na svm postojećm elementma grančnh površnama ΔS, to jest: P α ΔS α = (12.7) Intenztet koj predstavlja fluks zvučne energje je = Ec, pa se zraz (12.7) može napsat u funkcj gustne energje: P Ec α ΔS α = (12.8) Velčna defnsana sumom u gornjem zrazu nazva se apsorpcona površna prostorje l kratko apsorpcja: A = α ΔS (12.9) Vd se da je apsorpcja dmenzono (m 2 ). Suma u zrazu (12.9) obuhvata sve površne koje postoje u prostorj koje su zložene zvučnom polju. Za svaku pojednačnu površnu u prostorj može se defnsat ekvvalentna apsorpcona površna A = α ΔS.

6 AKUSTIKA TEMA 12 Statstčk model zvučnog polja u prostorjama 162 Pojam apsorpcone površne A neke realne površne u prostorj može se razumet kroz jednu analogju. Kada b se pretpostavlo da je čtava površna S od materjala koj nema nkakvu apsorcju, to jest za koju je α = 0, preko nje postavla jedna površna velčne A čj je koefcjent apsorpcje α = 1, snaga dspacje na toj provršn ostala b sta. Drugm rečma, površna A s koefcjentom apsorpcje 1 u dspatvnom procesu u prostorj potpuno zamenjuje čtavu realnu površnu S. Na osnovu zraza (12.9) može se uvest pojam srednjeg koefcjenta apsorpcje za čtavu prostorju: A α ΔS α = = (12.10) S S gde je S ukupna unutrašnja površna prostorje: S = Δ S (12.11) Srednj koefcjent apsorpcje može se shvatt kao ona vrednost koju treba da maju sve površne u prostorj, pa da ukupna apsorpcja u njoj ma stu vrednost kao u stanju kakvo jeste. Podatak o srednjem koefcjentu apsorpcje predstavlja pokazatelj ukupnh apsorpconh svojstava prostorje. Intenztet reflektovanog zvuka u prostorj Sa defnsanom snagom dspacje prema zrazma (12.7) (12.8) jednačna dnamčke ravnoteže postaje. dw dt E = Pa Pα = Pa (12.12) U homogenom zvučnom polju gustna energje je sta po čtavoj zapremn, pa je ukupna energja je W = EV. U jednačn dnamčke ravnoteže umesto ukupne energje može preć na gustnu energje: de dt Pa V E = (12.13) Ovo je dferencjalna jednačna čjm se rešavanjem dobja stanje u zvučnom polju. Za početne uslove u trenutku uključenja zvora (t = 0, E = 0) rešenje ove dferencjalne jednačne je: P a E = (1 e t ) (12.1)

7 AKUSTIKA TEMA 12 Statstčk model zvučnog polja u prostorjama 163 Ovaj zraz pokazuje uspostavljanja gustne zvučne energje u prostorj nakon uključenja zvora. Ako se umesto gustne energje uvede ntenztet, zraz (12.1) postaje: P a = (1 e t ) (12.15) A Ovaj zraz se može psat kao: = ( 1 e ) (12.16) 0 t Vd se da se po uključenju zvučnog zvora ntenztet zvuka povećava po eksponencjalnom zakonu, težeć svojoj maksmalnoj vrednost 0. Vrednost 0 bt ntenztet svo vreme staconarnog stanja u prostorj. Proces uspostavljanja ntenzteta zvuka u prostorj nakon uključenja zvora grafčk je lustrovan na slc o Slka Djagram uspostavljanja ntenzteta zvuka u prostorj nakon uključenja zvučnog zvora 0 vreme Maksmalna vrednost ntenzteta koja se dostže u staconarnom stanju je: Pa 0 = (12.17) A Vd se da ta vrednost zavs od zvora od prostorje. Drektno je srazmerna snaz zvora, a obrnuto srazmerna apsorpcj. Brzna kojom se uspostavlja zvučno polje nakon uključenja zvora defnsana je članom u eksponentu koj je: (12.18) Vz ovog zraza se vd da je proces uspostavljanja zvučnog polja sključvo karakterstka prostorje, odnosno njene velčne, zražene preko zapremne, apsorpcje.

8 AKUSTIKA TEMA 12 Statstčk model zvučnog polja u prostorjama 16 Porast ntenzteta je brž što je apsorpcja u prostorj veća, a sporj što je zapremna prostorje veća. Opadanje zvuka vreme reverberacje Na osnovu jednačne (12.13) može se utvrdt šta se dešava sa zvučnm poljem u prostorj kada se u njoj sključ staconarn zvučn zvor koj je do tog trenutka rado. Pretpostavlja se da je zvor rado dovoljno dugo da je pre tpga uspostavljeno staconarno stanje. Ako se pretpostav da se zvor sključ u trenutku t = 0, onda je početn uslov E = E 0. Rešenje jednačne je tada: t E E0e = (12.19) a za ntenzte zvuka je: t 0e = (12.20) Vd se da po sključenju staconarnog zvučnog zvora ntenztet zvuka u prostorj eksponencjalno opada. Ovo opadanje je prkazano grafčk na slc 12.. Eksponencjaln proces opadanja ntenzteta zvuka odgovara lnearnom opadanju nvoa zvuka, što je takođe prkazano na slc. o L o 0 vreme 0 vreme Slka 12. Opadanje ntenzteta zvuka (levo) nvoa zvuka (desno) nakon sključenja staconarnog zvučnog zvora u prostorj. Iz nagba krve opadanja nvoa zvuka sa slke 12. moguće je odredt vreme reverberacje prostorje, defnsano na početku poglavlja. Pad nvoa zvuka za 60 db odgovara smanjenju gustne energje na 10-6 od njene početne vrednost (smanjenje za 60 db). Kada se u zrazu za opadanje zvuka stav da je t = T energja E(T) = 10-6 E 0, dobja se da je vreme reverberacje: 0,163V T = (12.21) A

9 AKUSTIKA TEMA 12 Statstčk model zvučnog polja u prostorjama 165 Sve konstante u zrazu sadržane su svojm vrednostma u koefcjentu 0,163. Iz gornjeg zraza se vd da je vreme reverberacje, kao ndkator brzne opadanja zvuka, zavsno od ukupne apsorpcje zapremne prostorje. Prema tome, brzna opadanja zvuka nakon sključenja zvučnog zvora skazana vremenom reverberacje predstavlja karakterstku prostorje ne zavs od zvučnog zvora. Vreme reverberacje se može mert beleženjem procesa opadanja zvuka ocenom nagba krve opadanja. Pomoću merenja vremena reverberacje u prostorj poznate zapremne može se odredt velčna apsorpcje A.