קובץ שאלות ופתרונות של שאלות ממבחנים מנושאים שונים
|
|
- Βασίλης Δημητρακόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 אוטומטים ושפות פורמליות סמסטר אביב 2016 קובץ שאלות ופתרונות של שאלות ממבחנים מנושאים שונים קובץ ונערך ע"י אורן אשכנזי ומיכל הורוביץ תכונות סגור ודקדוקים רגולריים. עבור שפות L 1, L 2 מעל א"ב Σ נגדיר את השפה v }.L = {uv: u L 1, v L 2, u =.1 הוכיחו/הפריכו את הטענות הבאות באמצעות תכונות סגור בלבד: אם L 1, L 2 רגולריות אז L רגולרית. א. אם L 1 רגולרית ו L 2 ח"ה אז L ח"ה. ב. בסעיפים הבאים הוכיחו כי אם L 1, L 2 רגולריות אז L ח"ה. ג. באמצעות תכונות סגור. ד. ע"י בניית דקדוק ח"ה מתאים. הערה: מספיק לנמק את נכונותו, ואין צורך להוכיח באופן מלא את שפת הדקדוק. א. לא נכון! דוגמא נגדית: {b} L 1 = {a}, L 2 = מעל א"ב b}.{a, השפות L 1, L 2 רגולריות מכיוון שהשפות {b},{a} סופיות ולכן רגולריות, ומסגירות השפות הרגולריות לאיטרציה. כמוכן מתקיים: L = {uv: u {a}, v {b}, u = v } = {a i b j : i, j 0, a i = b j } = {a n b n : n 0} ידוע שהשפה 0} n {a n b n : אינה רגולרית, כלומר L אינה רגולרית, בניגוד לטענה. ב. ג. לא נכון! דוגמא נגדית: 0} n L 1 = {c}, L 2 = {a n b n : מעל א"ב c}.{a, b, השפה L 1 רגולרית מכיוון ש{ c } שפה סופית ולכן רגולרית, ומסגירות השפות הרגולריות לאיטרציה. כמוכן ידוע שהשפה L 2 היא ח"ה. מתקיים: 0} n.l = {uv: u {c}, v {a n b n : n 0}, u = v } = {c 2n a n b n : נניח בשלילה ש L שפה חסרת הקשר. נגדיר הומומורפיזם c} h: {a, b, c} {a, b, באופן הבא:.h(a) = cc, h(b) = a, h(c) = b נשים לב שמתקיים: 0} n.h 1 (L) = {w n 0, h(w) = c 2n a n b n } = {a n b n c n שפה זו היא חסרת הקשר מסגירות השפות חסרות ההקשר להומומורפיזם הפוך. אך זה בסתירה לכך שידוע שהשפה {0 n a} n b n c n אינה חסרת הקשר! לכן קיבלנו ש L אינה ח"ה, בניגוד לטענה. נכון! נסמן {Σ Σ. = σ} : σ כמוכן נסמן ב w את המילה w בתוספת תיוג על כל אות במילה.
2 w נשים לב שלכל מילה. σ Σ: h באופן הבא: h 1 : Σ Σ 1 (σ) = σ נגדיר הומומורפיזם מתקיים w.h 1 (w) = נגדיר: } 2.L 2 = h 1 (L 2 ) = {w : w L שפה זו היא רגולרית מסגירות השפות הרגולריות להומומורפיזם. נסמן 0} n,l ab = {a n b n : ידוע ששפה זו היא חסרת הקשר. ) (Σ Σ,f: {a, b} 2 באופן הבא: f(a), f(b) נשים לב כי.f(a) = Σ, f(b) = Σ נגדיר הצבה שתיהן שפות סופיות, לכן הן רגולריות ולכן גם חסרות הקשר, ולכן ההצבה f היא הצבה ח"ה. נגדיר: v }.L 3 = f(l ab ) = {f(a n b n ): n 0} = {uv : u, v Σ, u = שפה זו היא חסרת הקשר מסגירות השפות חסרות ההקשר להצבה ח"ה. נגדיר: } 2.L 4 = L 1 L 2 = {uv : u L 1, v L 2 } = {uv : u L 1, v L שפה זו היא רגולרית מסגירות השפות הרגולריות לשרשור סופי. נגדיר v }.L 5 = L 3 L 4 = {uv : u L 1, v L 2, u = שפה זו היא חסרתהקשר מסגירות השפות חסרות ההקשר לחיתוך עם שפות רגולריות. Σ h 2 : Σ Σ באופן הבא:. σ Σ: h נשים לב ש: 2 (σ) = h 2 (σ ) = σ נגדיר הומומורפיזם.h 2 (L 5 ) = {h 2 (uv ): u L 1, v L 2, u = v } = {uv: u L 1, v L 2, u = v } = L לכן קיבלנו שהשפה L היא חסרת הקשר מסגירות השפות חסרות ההקשר להומומורפיזם. רעיון הבנייה: ניקח דקדוקים רגולריים עבור השפות L 1, L 2 ונשלב את הכללים שלהם לבניית דקדוק חסר הקשר. הכללים של הדקדוקים הנ"ל גוזרים את המילים אות אחר אות. אז כדי לגזור,uv L נגזור את u ואת v בוזמנית, אות אחר אות, וכך נוכל לדאוג שהן מאותו אורך. כדי לשלוט על שתי הגזירות בוזמנית, צריך משתנה דקדוקי משותף שמבצע את שתיהן, והוא חייב להיות ממוקם באמצע בין u ל v לכל אורך הגזירה. לכן נגזור את u משמאל לימין ואת v מימין לשמאל, ע"י כך שניקח דקדוקים לינארי ימני ולינארי שמאלי בהתאמה. ד. בניה: נניח שמתקיים ε L 2 ε, L 1 )נתייחס בהמשך למקרים שזה לא המצב(. ניקח דקדוק לינארי ימני ) 1 G 1 = (V 1, Σ, P 1, S כך ש L(G 1 ) = L 1 ודקדוק לינארי שמאלי ) 2 G 2 = (V 2, Σ, P 2, S כך ש L(G 2 ) = L 2 )שני הדקדוקים קיימים כי השפות רגולריות(. כמוכן נוודא ששני הדקדוקים ללא כללי ε )זה אפשרי כי ראינו שתמיד קיים דקדוק רגולרי שכלל ה ε היחיד בו הוא S, ε וכאן אין כזה כי הנחנו ש ε לא בשפות(. כעת נבנה את הדקדוק הבא: G = (V 1 V 2, Σ, P, (S 1, S 2 )) P = {(X 1, X 2 ) σ 1 (Y 1, Y 2 )σ 2 X 1 σ 1 Y 1 P 1, X 2 Y 2 σ 2 P 2 } {(X 1, X 2 ) σ 1 σ 2 X 1 σ 1 P 1, X 2 σ 2 P 2 } הסבר לבניה: המשתנים הם זוגות של משתנים מ V, 1, V 2 כך אנחנו יכולים לשלוט על שתי הגזירות בו זמנית. בכל פעם נגזור אות אחת של u לפי כלל מ P 1 ואות אחת של v לפי כלל מ P 2 ונעדכן את המשתנה המשותף בהתאם. אם שני המשתנים הנוכחיים מאפשרים גזירה טרמינלית אז נאפשר גם גזירה טרמינלית מהמשתנה המשותף. לפיכך נקבל: u = ו v w = uv כך ש: u L 1, v קיימים L 2 w L w = uv, k = u = v ו S, S כך ש: u, v Σ 1 k 2 k G2 v G1 u קיימים by the above explanation w L(G) (S 1, S 2 ) k G w
3 טיפול ב ε : מפתה לטפל בכללי ε ע"י הוספת: } 2 {(X 1, X 2 ) ε X 1 ε P 1, X 2 ε P לכללי הגזירה בבניה הנ"ל. אבל נשים לב שזה יוצר מקרה בעייתי. למשל יתכן שב G 1 הכללים הם 1 S,aS 1 ε ואז קיימת הגזירה:,S 1 as 1 a וב G 2 הכלל היחיד הוא,S 2 b ואז קיימת הגזירה: S, 2 b אבל ב G לא נקבל גזירה למילה ab כי מדובר בגזירות באורך שונה. לכן לצורך הפשטות לקחנו מראש דקדוקים ללא כללי ε, ואז ברור שאורך הגזירה שווה לאורך המילה והכל מסתדר יפה. במידה וכן מתקיים ε L 1 או,ε L 2 פשוט נבצע את הבניה הנ"ל עבור {ε} L 1 ו{ ε },L 2 ונקבל דקדוק ח"ה עבור {ε} L, ממנו ניתן בקלות לבנות דקדוק ח"ה עבור L )ע"י בנית דקדוק לאיחוד שפות שנלמדה בכיתה(. תכונות סגור ולמת הניפוח לשפות רגולריות. תהי N}.L = {a i b j i j רגולרית. הוכיחו/הפריכו ע"י תכונות סגור בלבד: L א. הוכיחו/הפריכו: L מקיימת את למת הניפוח לשפות רגולריות. ב. L אינה רגולרית! א. נניח בשלילה שהשפה L היא רגולרית. {b} {a} רגולרית מכיוון ש{ b },{a} סופיות ולכן רגולריות, ומסגירות השפות הרגולריות השפה לשרשור סופי ולאיטרציה. השפה {a} {b} L רגולרית מסגירות השפות הרגולריות לחיסור. נשים לב כי: {a} {b} L = {w w {a} {b}, w L} = {a i b j i, j 0, a i b j L} = {a n b n n 0} ידוע שהשפה {0 n a} n b n אינה רגולרית ולכן קיבלנו סתירה. לכן L אינה רגולרית. השפה L אינה מקיימת את למת הניפוח. ב. נניח בשלילה שהיא כן מקיימת, ויהי n הקבוע המובטח מהלמה. נביט במילה,z = a n b עבורה מתקיים z n וגם z L )כי > 0 n! תמיד(. z = uvw המקיים את תנאיה. מכיוון ש n uv אז בהכרח הפירוק לפי הלמה קיים פירוק כיוון ש 1 v מתקיים 1.t כמוכן מתקיים מהצורה: w = a n s t b n+n!,v = a t,u = a s.t n לכן גם, v uv n n! i = )זה מספר שלם מכיוון ש n t 1.) אבל: לפי הלמה z i L לכל,i N בפרט עבור t z i = uv i w = a s a ti a n s t b n+n! = a s a n!+t a n s t b n!+n = a n!+n b n!+n L זו סתירה. לכן קיבלנו שהשפה L אינה מקיימת את למת הניפוח. מ. למת הניפוח לשפות רגולריות או בנית אוטומט.,perm(u) = {v Σ : σ Σ, # נסמן,u Σ σ (u) = # σ (v)} יהי Σ א"ב כך ש 2 Σ. עבור כלומר perm(u) היא קבוצת כל המילים המתקבלות מ u ע"י פרמוטציה של האותיות. נגדיר את השפה: perm(u)}.l = {w Σ : u, u Σ, w = uu, u הוכיחו/הפריכו: L רגולרית. הנחיה: כדי להוכיח, עליכם לבנות אוטומט סופי, ולנמק את נכונות הבנייה, אך אין צורך בהוכחת נכונות פורמלית. כדי להפריך, יש להשתמש בלמת הניפוח לשפות רגולריות..2.3
4 השפה אינה רגולרית! נניח בה"כ ש Σ,a} {b )נתון ש 2 Σ, סימני האותיות אינם מגבילים כלליות(. נניח בשלילה ש L רגולרית, לכן היא מקיימת את למת ניפוח. יהי n הקבוע המובטח מהלמה. נביט במילה.z = a n bba n נשים לב כי z n וכן z L )כי מתקיים ) n.)a n b perm(ba לפי הלמה קיים פירוק z = uvw המקיים את תנאיה. מכיוון ש n uv הפירוק הוא בהכרח מהצורה.w = a n s t bba n,v = a t,u = a s כמו כן 1 v לכן 1.t לפי הלמה, לכל i מתקיים,z i L בפרט:.z 0 = uv 0 w = a s a n s t bba n = a n t bba n L.u perm(u) וגם: z כך ש: u Σ 0 = uu לפי הגדרת L, קיימת # b (u) = # b (u 0.)# אך הפירוק היחיד של z שמקיים את זה הוא: )כי = 2 ) 0 b (z כלומר = 1 ).u אבל # בסתירה לכך ש( perm(u.u = ba n,u = a n t a (u) = n t < n = # a (u ) b L אינה רגולרית. הוכחה מההרצאה. הוכחת נכונות שפה של אוטומט. הוכיחו כי השפות הרגולריות סגורות תחת הפעולה של הומומורפיזם הפוך..4 אינטואיציה: אנחנו רוצים לבנות אוטומט שמקבל את השפה (L) h. 1 כלומר אוטומט שמקבל מילה w אמ"מ h(w) היא מילה ב L. כדי להכריע האם h(w) היא מילה ב L או לא, נריץ סימולציה של אס"ד שמקבל את L. יש לשים לב שהקלט לאוטומט שאנחנו בונים הוא המילה w עצמה, ולכן על כל אות σ שמופיעה בקלט, נריץ את הסימולציה "בבת אחת" על כל האותיות ב( h(σ. לצורך כך נסתפק באותם מצבים של האוטומט המקורי, כל מה שצריך זה רק לשנות את הגדרת δ שתבצע את הסימולציה כנדרש. הוכחה: יהי הומומורפיזם Δ,h: Σ ותהי Δ L שפה רגולרית. קיים אס"ד F) A = (Q, Δ, q 0, δ, כך ש L.L(A) = נבנה אס"ד A באופן הבא: A = (Q, Σ, q 0, δ, F) q Q, σ Σ: δ (q, σ) = δ (q, h(σ)) נוכיח שמתקיים: (L),L(A ) = h 1 ומכאן שהשפה (L) h 1 היא שפה רגולרית. טענת עזר: h(w)) q Q, w Σ : δ (q, w) = δ (q, הוכחה באינדוקציה על w : בסיס: = 0 w כלומר.w = ε אז מתקיים: h(ε)), δ (q, ε) = q = δ (q, ε) = δ (q, כנדרש. )שני המעברים הראשונים ע"פ הגדרת הרחבת פונקצית המעברים באס"ד, השלישי ע"פ הגדרת הרחבת h למילים(. צעד: + 1 n w = ונניח שהטענה מתקיימת לכל מילה u כך ש n u. 1, w אז נסמן w = uσ כך ש Σ.u Σ, σ מתקיים:
5 δ (q, w) = δ (q, uσ) = δ (δ (q, u), σ) = δ (δ (q, h(u)), σ) = δ (δ (q, h(u)), h(σ)) = δ (q, h(u)h(σ)) = δ (q, h(uσ)) = δ (q, h(w)) כנדרש. )המעבר השני לפי הגדרת, δ השלישי לפי הנחת האינדוקציה על u, הרביעי ע"פ הגדרת δ, החמישי ע"פ משפט מההרצאה, השישי ע"פ הרחבת h למילים(. כעת, מטענת העזר נובע שמתקיים: L(A ) = {w δ (q 0, w) F} = {w δ (q 0, h(w)) F} = {w h(w) L} = h 1 (L) )המעברים הראשון והשלישי מהגדרת שפה של אס"ד, השני מטענת העזר, הרביעי מהגדרת 1 h(. יחסים ואפיון אלגברי של שפות. הוכיחו/הפריכו את הטענות הבאות: א. אם קיים יחס שקילות, R, המעדן שפה L וכן index(r) הוא סופי אז L שפה רגולרית. ב. אם קיים יחס שקילות, R, אינווריאנטי מימין המעדן שפה L וכן index(r) הוא אינסופי אז L שפה לא רגולרית..5 ב. א. לא נכון! ניקח לדוגמא את היחס R שמתקבל ע"י החלוקה: {L,L}. המחלקות כמובן זרות ומכסות את Σ, לכן מגדירות יחס שקילות. כמוכן, אם xry אז מהגדרת המחלקות,x y L או,x, y L כלומר R מעדן את L ע"פ הגדרת עידון שפה. כמוכן, 2 index(r) )זה לא שוויון כי יתכן שאחת המחלקות שהגדרנו ריקה(, כלומר סופי. כל זה מתקיים ללא תלות ב L עצמה, לכן כל שפה L לא רגולרית תהווה פה דוגמא נגדית, למשל = L.{a n b n n 0} לא נכון! ניקח לדוגמא את היחס R המוגדר ע"י החלוקה: } Σ {{w} w )כלומר כל מחלקה היא מילה אחת(. המחלקות כמובן זרות ומכסות את Σ, לכן מגדירות יחס שקילות. מתקיים = Σ.index(R) = כמוכן, היחס הוא אינווריאנטי מימין כי אם xry אז x = y ואז לכל Σ z מתקיים xz = yz ולכן xzryz כנדרש. יתר על כך, היחס R מעדן כל שפה L כי אם xry אז x = y ואז כמובן שמתקיים y (x, y L) (x, (L. לכן כל שפה L רגולרית תהווה פה דוגמא נגדית, למשל. הגדרת R L ומשפט נרוד. יהי } n Σ = {σ 1,, σ א"ב, ונגדיר שפה L מעל א"ב Σ בצורה הבאה: L = {w Σ : 1 i n, פעמים i לכל היותר w מופיעה ב σ i } הגדירו את מחלקות השקילות של היחס R, L וקבעו האם L רגולרית. הוכיחו את תשובתכם..6
6 אינטואיציה: כל מילה שיש בה אות σ i שמופיעה יותר מ i פעמים נמצאת במחלקה S out )לא משנה איזה סיפא נוסיף, המילה לא בשפה(. מבין שאר המילים, מה שמעניין אותנו זה כמה פעמים בדיוק מופיעה כל אות )לפי זה ניתן לדעת לכל סיפא אם היא מכניסה את המילה לשפה או לא(, סדר האותיות אינו רלוונטי. n מחלקות השקילות:.S נגדיר:, i, 0 v i כך ש i v N n v = {w Σ : i, # σi (w) = v i } לכל וקטור.S out = {w Σ : i, # σi בנוסף נגדיר: i} (w) > מחלקות השקילות של R L הן S out וכל S v הנ"ל. מספר הדרכים לבחור v כנ"ל: 1)! + (n i=1 (i + 1) =, לכן נקבל + 1 1)! + (n,index(r L ) = ולכן L רגולרית ע"פ משפט נרוד. הוכחת מחלקות השקילות: v.σ 1 v 1 σ n אף מחלקה אינה ריקה:,σ 1 σ 1 S out ולכל v כנ"ל: n S v :Σ לכל Σ w נסתכל על (# =.v אם v מקיים את σ1 (w),, # σn (w)) המחלקות מכסות את.w S out ולכן i, # σi התנאי, i, 0 v i i אז.w S v אחרת, (w) > i המחלקות זרות: אין צורך להוכיח )נובע מההוכחה בהמשך שלכל,x y שלא באותה מחלקה מתקיים,(x, y) R L כי R L רפלקסיבי(. לכל,x y שהם באותה מחלקה, נחלק למקרים: S( נשים לב שלכל אות מתקיים z. Σ v )מהגדרת # σi (x) = # σi (y).x, y S v o תהי סיפא #. σi לפי הגדרת L, מס' הפעמים שכל אות מופיעה במילה קובע חד (xz) = # σi ולכן גם (yz) משמעית אם המילה בשפה או לא, לכן מתקיים xz, yz L או.xz, yz L לכן, מתקיים,(x, y) R L כנדרש..# σj תהי Σ,z נשים (y) > כך ש j σ j וקיימת,# σi (x) > כך ש i σ i אז קיימת.x, y S out (x, y) לכן, מתקיים.xz, yz L כלומר:.# σj (yz) > j וכן,# σi לב שמתקיים גם (xz) > i o,r L כנדרש. לכל,x y שהם לא באותה מחלקה, נחלק למקרים:.v ונניח בה"כ:,v אז נבחר.v v i v i > v i i כך ש i x S v, y S v o כך ש i v z = σ i )החזקה חוקית כי בהכרח v, אחרת v אינו וקטור חוקי להגדרת i i i נביט בסיפא.xz L ולכן # σi המחלקות(. נשים לב שמתקיים: (xz) = v i + i v i > i,# σi לעומת זאת, (yz) = v i + i v i = i i # σj )אחרת אינו וקטור חוקי להגדרת (yz) = # σj וגם לכל אות אחרת (y) = v j j :σ j המחלקות(, לכן.yz L לפיכך, (x, y) R L כנדרש. # σi )אחרת v אינו וקטור (x) = v i i מתקיים σ i לכל אות.z = ε נבחר.x S v, y S out חוקי להגדרת המחלקות( לכן.xε = x L.yε = y L לכן.# σj לעומת זאת, מהגדרת S, out קיימת σ j כך ש j (y) > v לפיכך,,(x, y) R L כנדרש. o
7 משפט נרוד. יהי } n Σ = {σ 1,, σ א"ב, 2,n ויהי k טבעי נתון. נגדיר את השפה הבאה: L = {w Σ : # σ1 (w) # σ2 (w) # σn (w) k} קבעו אם השפה רגולרית, והוכיחו באמצעות משפט נרוד..7 נוכיח ש( index(r L הוא סופי, ולכן על פי משפט נרוד השפה L הינה רגולרית. נשים לב שלשם כך לא צריך לזהות במדויק את מחלקות השקילות של R, L מספיק לתת חסם עליון סופי על מספרן. נשים לב שהקבוצה k} S = {w Σ : 1 i n, # i (w) > מוכלת כולה במחלקת שקילות אחת של :R L לכל שתי מילים,x, y S ולכל סיפא Σ z מתקיים.xz, yz L זאת מכיוון שלא משנה מה נוסיף להן עדיין תהיה אות שמופיעה יותר מ k פעמים ולכן התנאי של השפה לא יתקיים. לכן.xR L y כמוכן, נשים לב שב S יש מס' סופי של מילים, שכן במילות S כל אות מופיעה לכל היותר k פעמים ולכן אורך המילים חסום ע"י.kn ראינו בכיתה שאם אורך המילים בשפה חסום אז השפה היא סופית. כלומר, במקרה הגרוע ביותר, מחלקות השקילות של R L הן אחת שמכילה את S, ו S נוספות שמכילות כל אחת מילה אחת )לא יתכנו יותר כי מחלקות השקילות אינן ריקות(, ולכן קיבלנו S,index(R L ) 1 + ומכיוון ש S סופי אז ) L index(r הוא סופי. למת הניפוח לשפות ח"ה. תהי k}.l = {a i b j c k 10 i j הוכיחו באמצעות למת הניפוח לשפות ח"ה כי L אינה ח"ה. נניח בשלילה שהשפה L ח"ה, ולכן מקיימת את למת הניפוח לשפות ח"ה. יהי n הקבוע המובטח מהלמה. נסמן 10) max(n,,m = ונתבונן במילה.z = a m b m c m מתקיים z L כי 10,m וכן z, = 3m n לכן קיים פירוק z = uvwxy המקיים את תנאי הלמה. מכיוון ש, vwx n m אז תתהמילה vwx יכולה להכיל לכל היותר אחת מהאותיות,a. c בפרט גם במילה vx מופיעה לכל היותר אחת מהאותיות a או c. נחלק לשני מקרים: o אם > 0 (vx),# a אז כאמור = 0 (vx).# c נסתכל על הניפוח:.z 2 = uv 2 wx 2 y L נשים לב כי מתקיים:.# c (z 2 ) = # c (uvwxy) + # c (vx) = # c (z) = m אך מצד שני, באותו אופן נקבל:,# a (z 2 ) = # a (uvwxy) + # a (vx) > m בסתירה לכך ש L z 2 )כי אז חייב להתקיים: ) 2.)# a (z 2 ) # c (z o אם = 0 (vx),# a אז מכיוון ש 1 vx )מובטח מהלמה( מתקיים > 0 (vx) # b או.z 0 = uv 0 wx 0 y = uwy L כל האותיות בא"ב(. נסתכל על הניפוח: )אלו # c (vx) > 0 נשים לב כי מתקיים:.# a (z 0 ) = # a (uvwxy) # a (vx) = # a (z) = m אך מצד שני, באותו אופן נקבל: # b (z 0 ) < m או לחלופין # c (z 0 ) < m, שניהם בסתירה לכך ש L z 0 )כי אז חייב להתקיים: ) 0.)# a (z 0 ) # b (z 0 ) # c (z בכל מקרה הגענו לסתירה, לכן L אינה ח"ה..8
8 למת הניפוח לשפות ח"ה. הוכיחו את למת הניפוח לשפות ח"ה. לצורך ההוכחה, נתון דקדוק ח"ה (S G =,V),T,P שכל חוקיו הם מהצורה A α כך ש V A ו T) α 5,α (V.2 שימו לב: יש להשתמש אך ורק בדקדוק הנתון G )ואסור, לדוגמה, להעביר אותו לצורה נורמלית(..9 תהי שפה ח"ה L ודקדוק ח"ה S) G = (V, T, P, כנ"ל כך ש L.L(G) = טענה: יהי h גובה עץ הגזירה של z מילת חזית של עץ גזירה ב G המושרש במשתנה A כלשהו. מתקיים:.5 h 5 או במילים אחרות,,h log 5 z הוכחה באינדוקציה על h גובה עץ הגזירה: בסיס: = 0 h. אזי בעץ יש רק שורש שהוא משתנה, וזו גם מילת החזית. מתקיים כנדרש: z. = 1 = 5 h צעד: נניח נכונות עבור h. ויהי + 1 h גובה עץ הגזירה של z מילת חזית של עץ גזירה ב G המושרש במשתנה,h A ונתבונן בצעד הגזירה הראשון:.A α לכל משתנה ב α מתקיים כי תת העץ המושרש במשתנה, גובהו לכל היותר h ולכן, על פי הנחת האינדוקציה, אורך מילת החזית שלו היא לכל היותר 5. h בנוסף, 5 α, ולכן אורכה של z הוא לכל היותר = h h 5. מש"ל טענת העזר. כעת, נראה שעבור 1+ V n = 5 מתקיימים תנאי הלמה. תהי מילה z כך ש n z ו( L(G, z L = ויהי עץ גזירה ל z ב G. מהטענה נובע שגובה העץ מקיים: + 1 V.h log 5 z log 5 n = כלומר ישנו מסלול מהשורש לאחד העלים העובר בדרך בלפחות + 1 V צמתים פנימיים )כולל השורש, לא כולל העלה(. נסתכל על + 1 V הצמתים הפנימיים הקרובים יותר לעלה במסלול הזה. כל צומת פנימי מייצג משתנה, ולכן מעקרון שובך היונים קיים משתנה שמופיע לפחות פעמיים, נסמנו A. נסמן ב T 1 את תתהעץ ששורשו ה A העליון, וב T 2 את תתהעץ ששורשו ה A התחתון. נשים לב שגובהו של T 1 הוא לכל היותר + 1 V )נשתמש בזה בהמשך(. כעת, נסמן ב w את מילת החזית של T, 2 ב vwx את מילת החזית של )w T 1 חייבת להיות תתמילה שלה כי T 2 הוא תת עץ של T(, 1 וב uvwxy את מילת החזית של עץ הגזירה כולו vwx( חייבת להיות תתמילה שלה, כנ"ל(. כלומר מצאנו פירוק z, = uvwxy ונוכיח שהוא מקיים את תנאי הלמה: T 1 הוא כאמור בגובה + 1 V h. טענת העזר הנ"ל תקפה גם עליו )היא מתייחסת לכל עץ גזירה של. vwx 5 h 5 V +1 = n כלומר, מתקיים:.h log 5 vwx לכן.)S ולא רק לעץ ששורשו G לשורש של T 1 יש לפחות 2 בנים, אחד מהם אבקדמון של T, 2 נסמן את תת העץ המושרש בו ב T, 3 ובן נוסף שנסמן את תת העץ המושרש בו ב T 4 )הבן הנ"ל הוא משתנה או טרמינל σ(. נשים לב ש w תת מילה של מילת החזית של T, 3 לכן מילת החזית של T, 4 נסמנה v, היא תתמילה של v או של x )תלוי אם T 4 משמאל או ימין של.)T 3 נשים לב כי v ε )כי אין כללי.)ε לכן נקבל: > 0 v. vx נשים לב שמתקיים,S uay uvaxy uvwxy ובפרט: A vax וגם.A w נוכיח באינדוקציה שלכל 0 i מתקיים,S uv i Ax i y ולכן ע"י שרשור הגזירה A w נקבל,S uv i wx i y ומכאן L(G),uv i wx i y L = כנדרש. בסיס: = 0,i ראינו קודם שמתקיים:.S uay = uv 0 Ax 0 y צעד: אם S uv i Ax i y אז ע"י שרשור הגזירה A vax נקבל S uv i+1 Ax i+1 y )1 )2 )3
9 ג. 10. ביטויים רגולריים, למת הניפוח, דקדוקים. יהי Σ א"ב שאיננו מכיל את הסימנים ),),,+,,ε,, ותהי R Σ קבוצת הביטויים הרגולריים מעל Σ. נסתכל על R Σ כשפה מעל א"ב )} (, +,, ε,,.δ = Σ {, R. Σ הגדירו את א. הוכיחו/הפריכו: R Σ רגולרית. ב. הוכיחו/הפריכו: R Σ ח"ה. ג. הנחיה: כדי להוכיח יש לבנות דקדוק ח"ה ולנמק נכונותו, וכדי להפריך יש להשתמש בלמת הניפוח לשפות ח"ה. הערה: אם רוצים לדייק בפתרון שאלה זו, יש לציין שבמהלך הפתרון נסמן את ε המילה הריקה בסימון חדש ε, זאת כדי שניתן יהיה להבחין בינה לבין האות ε. Δ כמוכן נשתמש ב[ [ בתור סוגריים המתארים קדימויות, כדי להבדיל מסימני הסוגריים בא"ב. עם זאת, אלה לא עניינים מהותיים לשאלה ופתרון שלא היה מתייחס לכך היה מתקבל. יש לתת כאן במדויק את ההגדרה הסינטקטית מהכיתה. אין צורך בהגדרה הסמנטית. א. לא נכון! ב. נניח בשלילה ש R Σ רגולרית, ולכן מקיימת את למת הניפוח. יהי n הקבוע המובטח מהלמה. נבנה באופן אינדוקטיבי ב"ר רגולרי r i באופן הבא: ) + i.r 0 =, r i+1 = (r נשים לב שהשתמשנו רק בכללים של,R Σ לכן.r n R Σ [+ )] 0 0 ( = = 0 r כנדרש.,r n = ( n [+ )] n באינדוקציה על :n בבסיס, נראה שמתקיים צעד,,r n+1 = (r n + ) = (( n [+ )] n + ) = ( n+1 [+ )] כנדרש. מתקיים + 1 4n, r n = ולכן לפי הלמה קיים פירוק r n = uvw המקיים את תנאיה. נשים לב כי n האותיות הראשונות של r n הן כולן ")", ומכיוון ש n uv אז הפירוק הוא בהכרח מהצורה הבאה:.uv 0 w R Σ אבל:.u = ( s, v = ( t, w = ( n s t [+ )] n ע"פ הלמה בהכרח מתקיים w] [uv 0 w] = n t < n = # ) [uv 0 (,# זאת בסתירה.uv 0 w = ( n t [+ )] n ולכן מתקיים לכך שלכל r R Σ מתקיים [r] [r] = # ) ( #. טענה זו הוכחה בתרגול )ולא בהרצאה(, ולכן אין להשתמש בה ללא הוכחה. נכון! נסמן } k,σ = {σ 1,, σ ונבנה דקדוק חסר הקשר ל R Σ באופן הבא: G = ({S}, Δ, P, S) P: S ε σ 1 σ k (S + S) (S S) (S ) הסבר: כללי הגזירה של S תואמים בדיוק את כל כללי הבסיס והיצירה של R Σ ולכן ניתן לגזור ממנו בדיוק את כל הביטויים הרגולריים ב R Σ )גזירה של ביטוי r תתבצע בסדר הפוך ליצירה שלו ע"פ כללי.)R Σ
10 r, הוכיחו את תשובתכם. בהינתן ביטוי רגולרי 11. בעיות הכרעה, ביטויים רגולריים. תארו אלגוריתם הפותר את בעיית ההכרעה הבאה. האלגוריתם קובע האם קיימת L[r] z עבורה קיים פירוק z = uvw המקיים 1, v ו L[r] uv i w לכל 0.i טענה: שפה L רגולרית היא אינסופית אם ורק אם קיימת z L עבורה קיים פירוק z = uvw המקיים.i לכל 0 uv i w L ו, v 1 הוכחה: אם L רגולרית ואינסופית אז אורך המילים בה אינו חסום )הוכח בכיתה(. לכן קיימת מילה z L כך ש n z עבור n הקבוע המובטח בלמת הניפוח. מהלמה נובע ש z מקיימת את הנדרש. אם קיימת z L המקיימת את הנדרש אז uv i w L לכל 0.i מכיוון ש ε v מדובר באינסוף מילים שונות )כל אחת באורך שונה(, לכן L אינסופית. כעת מהטענה נובע שהאלגוריתם המבוקש צריך, בהינתן ב"ר r, להכריע האם L[r] אינסופית. פשוט נשתמש,infinity(r) לכן בכיתה נלמד אלגוריתם עבור כך המשתמש בפונקציה רקורסיבית באלגוריתם זה. 12. שקילות מודלים אוטומט מחסנית. בשאלה זו נציג מודל אוטומט מחסנית חדש. יהי F) M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0,, אוטומט מחסנית המקבל ע"י ריקון המקיים את התנאי הבא: לכל :q Q, σ Σ {ε}, Z Γ אם Z) (q, γ) δ(q, σ, אז 2. γ אפיינו במדויק את השפות הניתנות לזיהוי באמצעות אוטומט במודל זה. ציינו והוכיחו: 1. האם מתקבלות בדיוק השפות הרגולריות? או 2. האם מתקבלות בדיוק השפות חסרותההקשר? הערה: אם אתם בונים אוטומט סופי או אוטומט מחסנית לצורך ההוכחה, עליכם לתת בניה מדויקת ופורמלית, וכן לתת הסבר לא פורמלי שלה. אין צורך לתת הוכחת נכונות פורמלית. השפות הניתנות לזיהוי ע"י מודל זה הן בדיוק השפות חסרות ההקשר. נוכיח שקילות למודל אוטומט מחסנית המקבל ע"י ריקון שנלמד בכיתה )ראינו שמודל זה מקבל בדיוק את השפות חסרות ההקשר(. מודל חדש " " אוטומט מחסנית המקבל ע"י ריקון: יהי M אוטומט במודל החדש. המודל החדש הינו אוטומט מחסנית בתוספת מגבלה על δ, לכן ניתן לקחת את M עצמו בתור אוטומט במודל אוטומט מחסנית המוכר. בשני המודלים הקבלה ע"י ריקון, ולכן השפה היא אותה שפה. אוטומט מחסנית המקבל ע"י ריקון " " מודל חדש: יהי M אוטומט מחסנית. נבנה אוטומט מחסנית במודל החדש כך שיתקיים (M).L e (M ) = L e M
11 אינטואיציה לבניה: נסמלץ את ריצת האוטומט M. כדי להתגבר על המגבלה שלא ניתן לרשום יותר מ 2 אותיות למחסנית בבת אחת, נכניס את האותיות שאנחנו רוצים למחסנית אחתאחת. למשל אם יש מעבר שצריך לרשום למחסנית B(. )במקום AB השלישי C(, )במקום השניBC C, נעשה זאת ב 3 צעדים: הראשון ירשום למחסנית,ABC את כל הצעדים האלה נעשה כמסעי אפסילון ממצב מיוחד שזו אחריותו. כאשר המצב מסיים להכניס למחסנית את כל מה שרצינו, הוא עובר למצב המקורי שאליו האוטומט היה אמור לעבור, והסימולציה נמשכת. כדי לזכור בכל רגע מה נותר להכניס למחסנית ולאן צריך לעבור בסוף, ניצור מצב כזה לכל קומבינציה אפשרית של Γ q,q γ )במילים אחרות, "נקודד" לתוך שם המצב את מה שצריך לזכור(. אך זה יוצר בעיה: מספר הקומבינציות האלו הוא אינסופי, ומספר המצבים חייב להיות סופי. כדי לפתור את הבעיה, נשים לב שאין צורך בכל γ Γ אפשרית, מספיק להגביל את אורכה של γ לאורך הכי גדול שמופיע בכלל של,p) (γ δ(q,,σ (Z δ: )האורך הזה חסום בהכרח מכיוון שהפלט של (Z δ(q,,σ תמיד סופי, לפי הגדרת אוטומט מחסנית, כלומר סך כללי המעבר ש δ מגדירה הוא סופי(. בניה פורמלית: יהי ),, 0.M = (Q, Σ, Γ, δ, q נסמן Z)}.K = max{ γ : q, p, σ, Z: (p, γ) δ(q, σ, ונגדיר: M = (Q Q, Σ, Γ, δ, q 0,, ) Q = {q γ q Q, γ Γ, γ K} (1) q Q, σ Σ {ϵ}, Z Γ: δ (q, σ, Z) = {(p, ε) (p, ε) δ(q, σ, Z)} {(p γ, Y) (p, γy) δ(q, σ, Z), Y Γ} (2) q γy Q, Y Γ, Z Γ: δ (q γy, ε, Z) = {(q γ, YZ)} (3) q ε Q, Z Γ: δ (q ε, ε, Z) = {(q, Z)} הסבר לבניה: המצבים ב Q מבצעים סימולציה ל M, המצבים ב אחראים על הכתיבה למחסנית. המצב q Q γ משמעו שיש לרשום כעת γ למחסנית ולבסוף לעבור למצב q להמשך הסימולציה. כלל )1( של δ: כל כלל מעבר שרושם ε למחסנית נשאיר כמו שהוא. לכל כלל מעבר (Z,p), γy) δ(q,,σ )כלומר כלל הרושם לפחות אות אחת למחסנית(, במקום לרשום γy למחסנית )לא אפשרי אם > 2 ) γy נרשום רק Y ונעבור למצב q γ שאחראי לרשום את שאר γ. כלל )2( של δ: אם אנחנו במצב q γy אז נוסיף Y למחסנית )על גבי Z שנמצא שם כרגע( ונעבור למצב q γ )כלומר "נסיר" את Y מהזכרון של המצב(. כלל )3( של δ: אם אנחנו במצב q ε משמע שסיימנו לרשום למחסנית מה שהיה צריך וניתן לקפוץ למצב q להמשך הסימולציה )המחסנית נותרת ללא שינוי(. שימו לב: מפתה לרשום את כלל )1( כך: Z)},δ (q, σ, Z) = {(p γ, ε) (p, γ) δ(q, σ, כלומר לאפשר p γ למצב לבצע את כל הרישום למחסנית ובכך לטפל בכל המקרים בצורה אחידה ואלגנטית. אך נשים לב שזה לא יעבוד כצפוי: המעבר ל p γ רושם ε למחסנית והוא עלול לרוקן אותה בניגוד למה שהמעבר שהוא מסמלץ היה עושה. במצב זה החישוב "יתקע" ולא ימשיך כצפוי. לכן בכל מצב ש ε γ אנחנו חייבים לרשום מיד לפחות אות אחת למחסנית כדי להשאיר אותה לא ריקה.
12 13. צורות נורמליות ודקדוקים ח"ה. בהינתן שפה ח"ה L מעל א"ב,Σ נגדיר את השפה הבאה: } L.L = { u σ v σ Σ, u, v Σ, uv א. הוכיחו ש L ח"ה באמצעות תכונות סגור בלבד. ב. בהינתן דקדוק ח"ה עבור L, תנו בנייה פורמלית של דקדוק ח"ה עבור L. אין להסתמך על סעיף א', אלא יש להגדיר דקדוק בצורה ישירה ומפורשת )הערה: אסור להשתמש באוטומטי מחסנית(. נמקו את נכונות הבנייה. א. תהי L שפה ח"ה. נגדיר הומומורפיזם Σ h: Σ {$} באופן הבא:. σ Σ: h(σ) = σ,h($) = ε השפה (L) h 1 ח"ה מסגירות השפות ח"ה להומומורפיזם הפוך. נשים לב שהשפה (L) h 1 היא שפת כל המילים שמתקבלות ע"י מילה מ ש L "דחפו" לתוכה סימני $ בכל מיני מקומות )יתכן גם כמה ברצף(, כלומר: h 1 (L) = {$ i 0σ 1 $ i 1σ 2 $ i 2 σ n $ n : n 0, σ 1 σ 2 σ n L} השפה Σ{$} Σ היא רגולרית )מסגירות השפות הרגלוריות לשרשור וכי {$} סופית ולכן רגולרית, ו Σ רגולרית.) לכן השפה {$}Σ L 2 = h 1 (L) Σ הינה ח"ה מסגירות השפות ח"ה לחיתוך עם שפה רגולרית. נשים לב שמתקיים: L}.L 2 = {u$v u, v Σ, h(u$v) L} = {u$v uv נגדיר הצבה Σ f: Σ $ 2 באופן הבא:. σ Σ: f(σ) = {σ},f($) = Σ נשים לב ש f מחזירה שפה סופית בכל המקרים, לכן רגולרית ובפרט ח"ה, ולכן ההצבה f היא הצבה ח"ה. לכן ) 2 f(l היא שפה ח"ה מסגירות השפות ח"ה להצבה ח"ה. מתקיים: L.f(L 2 ) = {f(u$v) uv L} = {uσv σ Σ, uv L} = כלומר קיבלנו שהשפה L היא ח"ה, כנדרש. ב. רעיון הבניה: נשנה את כללי הדקדוק G של L כך שיכפו גזירת אות נוספת במקום כלשהו במילה, ורק אחת. נשאיר את המשתנים וכללי הגזירה של G, ובנוסף, על כל משתנה X נגדיר משתנה X שייעודו הוא "לגזור מה ש X גוזר, בתוספת אות אחת איפשהו". בכל גזירה מ X נבחר אחת משתי אפשרויות: לגזור תבנית פסוקית ע"פ כלל של G ונוסיף לתבנית אות אחת, או שנעביר את האחריות להוספת האות לאחד מהמשתנים שגזרנו )ע"י כך שנתייג אותו(. בניה פורמלית: יהי (S G =,V),Σ,P דקדוק ח"ה עבור L. נבנה את הדקדוק הבא: G = (V V, Σ, P P, S ) V = {X X V} P = {X ασβ σ Σ, X αβ P} {X αy β Y V, X αyβ P} הערה: ניתן להשתמש כאן בצורה נורמלית של חומסקי כדי לפשט מעט את הבניה. אך יש לשים לב שאנחנו גם מטפלים במקרה ש L ε. נימוק נכונות: כפי שנכתב ברעיון הבניה. ב G יש את אותם הכללים כמו ב G, ובנוסף גם כללי גזירה של משתנים מתויגים בהם מכניסים בדיוק אות אחת נוספת בתבנית הנגזרת ע"י כללי P או מעבירים אחריות הלאה להמשך הגזירה ע"י תיוג משתנה אחד בתבנית הנגזרת על פי כללי P. המשתנה ההתחלתי מתויג על מנת להכניס אות נוספת במילה.
13 14. בניית אוטומט מחסנית. בהינתן אוטומט סופי דטרמיניסטי F).A = (Q, Σ, δ, q 0, ), M,M = ({q M }, Σ, Γ, q M,, δ תנו בניה של אוטומט מחסנית בעל מצב יחיד, א. כך ש( L(A.L e (M) = השלימו את טענת העזר הבאה והשתמש בה על מנת להוכיח את נכונות הבניה בסעיף א'. ב. אין צורך להוכיח את טענת העזר. טענת עזר: אם: α),(q M, x, ) (q M, ε, כאשר: Γ,x Σ, α אז: = α א. רעיון הבניה: אנחנו רוצים לסמלץ אס"ד באוטומט מחסנית, לכן אין צורך להשתמש במחסנית בכלל. מצד שני, הוגבלנו לשימוש במצב אחד, לכן ננצל את המחסנית כדי לזכור באיזה מצב של האס"ד אנו נמצאים )א"ב המחסנית יהיה מצבי האס"ד, ובכל רגע נתון יהיה במחסנית תו אחד שאומר מה המצב. הנוכחי( בניה פורמלית: M = ({q M }, Σ, Q, q M, q 0, δ M, ) (1) q Q, σ Σ: δ M (q M, σ, q) = {(q M, δ(q, σ))} (2) q f F: δ M (q M, ε, q f ) = {(q M, ε)} נשים לב כי התו ההתחלתי במחסנית הוא q, 0 ו Q Γ. = ב. הוכחת נכונות:.α = δ (q אז,x Σ,α Q + כאשר (q M, x, q 0 ) 0, x) טענת העזר השלמה: אם α) (q M, ε, )נשים לב שהחלפנו את ב q 0 ואת Γ ב Q, ע"פ הגדרת M(. כעת נוכיח L(A) :L e (M) = תהי (M),x L e לכן מתקיים ε) (q M, x, q 0 ) (q M, ε, ע"פ הגדרת שפה של אוטומט מחסנית המקבל ע"י ריקון. נשים לב שצעד החישוב האחרון רוקן את המחסנית, לכן הוא בהכרח ע"פ כלל )2( של δ M )הכלל הראשון רושם תו למחסנית(. כלומר מתקיים: δ (q 0, x) = q f ולכן כאשר.q (q M, x, q 0 ) f F מטענת העזר נקבל (q M, ε, q f ) (q M, ε, ε) L(A) x כנדרש. M יכול להיות מופעל על כל.δ (q 0, x) = q f F נשים לב שכלל )1( של תהי L(A),x אז: קונפיגורציה של M )כל עוד נותר קלט והמחסנית לא ריקה(, ושהפעלתו מעולם לא מרוקנת את נמצא לכן כש M את הקלט בתו אחד. בכל הפעלה ומקצרת אליה תו(, המחסנית )כי רושמת פעמים עד שהקלט נגמר. כלומר נקבל x ניתן להפעיל את הכלל ) 0 q) M,,x q בקונפיגורציה α).(q M, x, q 0 ) x (q M, ε, מטענת העזר נובע ש,α = δ (q 0, x) = q f F ולכן ע"י הפעלת כלל )2( נקבל ε).(q M, ε, q f ) (q M, ε, בסה"כ קיבלנו ε),(q M, x, q 0 ) (q M, ε, כנדרש.
מודלים חישוביים תרגולמס 5
מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך
Διαβάστε περισσότεραלוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור
Διαβάστε περισσότεραפתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד
פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה
Διαβάστε περισσότεραפתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur
פתרון תרגיל --- 5 מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת
Διαβάστε περισσότεραאוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה:
2 תרגול אוטומט סופי דטרמיניסטי אוטומטים ושפות פורמליות בר אילן תשעז 2017 עקיבא קליינרמן הגדרה אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה: (,, 0,, ) כאשר: א= "ב שפת הקלט = קבוצה סופית לא ריקה של מצבים מצב
Διαβάστε περισσότεραאוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר
אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר דקדוק חסר הקשר דקדוק חסר הקשר הנו רביעיה > S
Διαβάστε περισσότεραיסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p
Διαβάστε περισσότερα{ : Halts on every input}
אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.
Διαβάστε περισσότεραLogic and Set Theory for Comp. Sci.
234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =
Διαβάστε περισσότεραלוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים:
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( 2016 2015 )............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה.1
Διαβάστε περισσότεραתרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות
Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון
Διαβάστε περισσότεραפתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( )
פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד a d U c M ( יהי b (R) a b e ל (R M ( (אין צורך להוכיח). מצאו קבוצה פורשת ל. U בדקו ש - U מהווה תת מרחב ש a d U M (R) Sp,,, c a e
Διαβάστε περισσότεραשדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם
תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא
Διαβάστε περισσότεραחורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א'
מד''ח 4 - חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' ( u) u u u < < שאלה : נתונה המד''ח הבאה: א) ב) ג) לכל אחד מן התנאים המצורפים בדקו האם קיים פתרון יחיד אינסוף פתרונות או אף פתרון אם קיים פתרון אחד או יותר
Διαβάστε περισσότεραניתן לקבל אוטומט עבור השפה המבוקשת ע "י שימוששאלה 6 בטכניקתשפה המכפלה שנייה כדי לבנות אוטומט לשפת החיתוך של שתי השפות:
שאלה 1 בנה אוטומט המקבל את שפת כל המילים מעל הא"ב {,,} המכילות לפחות פעם אחת את הרצף ומיד אחרי כל אות מופיע הרצף. ניתן לפרק את השפה לשתי שפות בסיס מעל הא"ב :{,,} שפת כל המילים המכילות לפחות פעם אחת את
Διαβάστε περισσότεραאוטומטים ושפות פורמליות תרגולים
אוטומטים ושפות פורמליות תרגולים מבוסס על תרגולים של מר גולדגביכט עומר, אוניברסיטת בר אילן 2012. שיעור 1 הגדרות: א"ב: אוסף סופי ולא ריק של סימנים/אותיות/תווים. נסמן אותו באות. דוגמאות: 9},... 1,,{0, {א,..,.
Διαβάστε περισσότεραל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך
מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות
Διαβάστε περισσότεραbrookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק
יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות
Διαβάστε περισσότεραביטויים רגולריים הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) הרצאה 5
הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) ביטויים רגולריים הרצאה 5 המצגת מבוססת על ספרם של פרופ' נסים פרנסיז ופרופ' שמואל זקס, "אוטומטים ושפות פורמליות", האוניברסיטה הפתוחה, 1987. גרסה ראשונה
Διαβάστε περισσότεραדף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)
Διαβάστε περισσότεραמתמטיקה בדידה תרגול מס' 5
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון
Διαβάστε περισσότεραהרצאה נושאי הקורס 0.2 א"ב ומילים 0.3 שפות 1. מהו חישוב? 2. מהו מחשב? 3. מהו אלגוריתם? 4. מה ניתן לחשב? מה לא ניתן?
הרצאה 1 0.1 נושאי הקורס 1. מהו חישוב? 2. מהו מחשב? 3. מהו אלגוריתם? 4. מה ניתן לחשב? מה לא ניתן? בקורס זה נעסוק בבעיות חישוב הנקראות בעיות הכרעה. בהינתן קלט, אנו נבצע "חישוב" ובסופו נחזיר תשובה האם הקלט
Διαβάστε περισσότεραצעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים
מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה
Διαβάστε περισσότεραמינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות
מינימיזציה של DFA L. הוא אוטמומט מינימלי עבור L של שפה רגולרית A ראינו בסוף הסעיף הקודם שהאוטומט הקנוני קיים A DFA בכך הוכחנו שלכל שפה רגולרית קיים אוטומט מינמלי המזהה אותה. זה אומר שלכל נקרא A A לאוטומט
Διαβάστε περισσότεραשפות פורמאליות אוטומטים
הנושאים שנעבור שפות פורמאליות אוטומטים שפות פורמאליות מכונות/אוטומטים דקדוקים תורת הקומפילציה אהרון נץ מבוסס על השקפים של עומר ביהם שמבוססים על שקפי הרצאה מהקורס אוטומטים ושפות פורמאליות בטכניון, פרופ'
Διαβάστε περισσότεραRegular Expressions (RE)
Regular Expressions (RE) ביטויים רגולריים עד כה דנו במספר מודלים חישוביים להצגת (או ליצור) שפות רגולריות וראינו שכל המודלים האלה הם שקולים מבחינת כוח החישובי שלהם. בסעיף זה נראה עוד דרך להצגת (או ליצור)
Διαβάστε περισσότεραשפות פורמאליות אוטומטים
שפות פורמאליות אוטומטים תורת הקומפילציה אהרון נץ מבוסס על השקפים של עומר ביהם שמבוססים על שקפי הרצאה מהקורס אוטומטים ושפות פורמאליות בטכניון, פרופ' שמואל זקס 1 הנושאים שנעבור שפות פורמאליות מכונות/אוטומטים
Διαβάστε περισσότεραתרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשע"ב זהויות טריגונומטריות
תרגול חזרה זהויות טריגונומטריות si π α) si α π α) α si π π ), Z si α π α) t α cot π α) t α si α cot α α α si α si α + α siα ± β) si α β ± α si β α ± β) α β si α si β si α si α α α α si α si α α α + α si
Διαβάστε περισσότεραלדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור
הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין
Διαβάστε περισσότεραמודלים חישוביים פתרון תרגיל 5
מודלים חישוביים פתרון תרגיל 5 כתוב אוטומט דטרמיניסטי לשפות הבאות מעל הא"ב.Σ={,} א. *Σ. q, ב. q, ג. {ε}, q, q ד. } = 3 {w w mod, q, q,, ה. ''} {w w does not contin the sustring q 4 q 3 q q כתוב אוטומט דטרמיניסטי
Διαβάστε περισσότεραאלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6
אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,
Διαβάστε περισσότεραמשוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ
משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת
Διαβάστε περισσότεραgcd 24,15 = 3 3 =
מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =
Διαβάστε περισσότερα( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת
הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (
Διαβάστε περισσότεραחלק 1 כלומר, פונקציה. האוטומט. ) אותיות, אלפבית, א"ב (.
תוכן עניינים תקציר מודלים חישוביים ערך יגאל הינדי 2 2 2 3 4 6 6 6 7 7 8 8 9 11 13 14 14 15 16 17 17 18 19 20 20 20 20 - האוטומט הסופי - אוטומט סופי דטרמניסטי 2 פרק - מושגים ומילות מפתח 2.1 - הגדרת אוטומט
Διαβάστε περισσότεραc ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )
הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה
Διαβάστε περισσότεραמודלים חישוביים כריעות R זוהי מחלקת השפות הכריעות. מחלקה זו סגורה תחת פעולת המשלים. רדוקציה בעיית ההכרעה רדוקציית מיפוי.
מודלים חישוביים סיכום כריעות טענה: לא כל הפונקציות חשיבות. מספר התוכניות הוא בן מניה. כל תוכנית מגדירה פונקציה מספרית אחת לכל היותר. לכן מספר האלגוריתמים הוא בן מניה בעוד שמספר הפונקציות המספריות אינו
Διαβάστε περισσότεραמתמטיקה בדידה תרגול מס' 13
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.
Διαβάστε περισσότεραהגדרה: מצבים k -בני-הפרדה
פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון
Διαβάστε περισσότερα= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin(
א. s in(0 c os(0 s in(60 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 0 s in(70 מתאים לזהות של cos(θsin(φ : s in(θ φ s in(θcos(φ sin ( π cot ( π cos ( 4πtan ( 4π sin ( π cos ( π sin ( π cos ( 4π sin ( 4π
Διαβάστε περισσότεραסיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות
סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim
Διαβάστε περισσότεραבעיות חשיבות: :(State transition system) STS מושגים: רדוקציה: f אינה חשיבה g אינה חשיבה; בבעיות הכרעה: f לא כריעה g לא כריעה.
1 סיכומים למבחן בקורס מודלים חישוביים סמסטר א' 2008-9 (פרופ' נחום דרשוביץ) חלק ראשון: חישוביות בעיות חשיבות: דוגמאות לפוקנציות לא חשיבות: פונקציה תיאור הערות, הבונה החרוץ בהינתן מספר n, מה הוא הפלט הגדול
Διαβάστε περισσότερα[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m
Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות
Διαβάστε περισσότεραאינפי - 1 תרגול בינואר 2012
אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,
Διαβάστε περισσότεραהגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות
אלגוריתמים חמדניים אלגוריתם חמדן, הוא כזה שבכל צעד עושה את הבחירה הטובה ביותר האפשרית, ולא מתחרט בהמשך גישה זו נראית פשטנית מדי, וכמובן שלא תמיד היא נכונה, אך במקרים רבים היא מוצאת פתרון אופטימאלי בתרגול
Διαβάστε περισσότεραמודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות
מודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות סשה גולדשטיין, sashag@cs 20 ביוני 2011 תקציר הסיכום להלן מהווה תקציר של חומר הקורס ואיני נוטל עליו כל אחריות. אתם יכולים להיעזר גם בהקלטות השיעורים וכמובן בספר הלימוד.
Διαβάστε περισσότεραמתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1
1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n
Διαβάστε περισσότεραמודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות (חישוביות) 67521
מודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות (חישוביות) 67521 22 ביוני 2012 מרצה: גיא קינדלר מתרגל: שאול אלמגור "...one TM to rule them all..." באדיבות בן מאירי איני לוקחת אחריות על מה שכתוב כאן, so tread lightly
Διαβάστε περισσότεραמכונת טיורינג אוטומט מחסנית לא דטרמיניסטי שפות חופשיות הקשר (שפת ראי לא מסומנת)
מכונת טיורינג לא דטרמיניסטי שפות חופשיות הקשר (שפת ראי לא מסומנת) דטרמיניסטי שפות חופשיות הקשר (שפת ראי מסומנת) סגירות:איחוד,שרשור,היפוך, חיתוך עם שפה רגולרית אוטומט סופי דטרמיניסטי שפות רגולריות סגירות:חיתוך,איחוד,שרשור,משלים,היפוך
Διαβάστε περισσότεραx a x n D f (iii) x n a ,Cauchy
גבולות ורציפות גבול של פונקציה בנקודה הגדרה: קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a תקרא סביבה של a. קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a אך לא מכילה את a עצמו תקרא סביבה מנוקבת של a. יהו a R ו f פונקציה מוגדרת
Διαβάστε περισσότεραקבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.
א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.
Διαβάστε περισσότεραמבני נתונים ואלגוריתמים תרגול #11
מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול # התאמת מחרוזות סימונים והגדרות: P[,,m] כך Σ * טקסט T )מערך של תווים( באורך T[,,n] n ותבנית P באורך m ש.m n התווים של P ו T נלקחים מאלפבית סופי Σ. לדוגמא: {a,b,,z},{,}=σ.
Διαβάστε περισσότεραפתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות סמסטר א תשע ז
פתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות 88-211 סמסטר א תשע ז הוראות בהגשת הפתרון יש לרשום שם מלא, מספר ת ז ומספר קבוצת תרגול. תאריך הגשת התרגיל הוא בתרגול בשבוע המתחיל בתאריך ג טבת ה תשע ז, 1.1.2017. שאלות
Διαβάστε περισσότεραI. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx
דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה
Διαβάστε περισσότεραשאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R
תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A
Διαβάστε περισσότεραתרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית
אנליזה נומרית 0211 סתיו - תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית נרצה לפתור את מערכת המשוואות יהי פתרון מקורב של נגדיר את השארית: ואת השגיאה: שאלה 1: נתונה מערכת המשוואות הבאה: הערך את השגיאה היחסית
Διαβάστε περισσότεραלוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר
לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת
Διαβάστε περισσότεραlogn) = nlog. log(2n
תכנוןוניתוחאלגוריתמים סיכוםהתרגולים n log O( g( n)) = Ω( g( n)) = θ ( g( n)) = תרגול.3.04 סיבוכיות { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 f ( n) c g( n) } { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 c g( n) f ( n) } { f ( n)
Διαβάστε περισσότεραבחינה בסיבוכיות עמר ברקמן, ישי חביב מדבקית ברקוד
בחינה בסיבוכיות עמר ברקמן, ישי חביב מדבקית ברקוד סמסטר: א' מועד: א' תאריך: יום ה' 0100004 שעה: 04:00 משך הבחינה: שלוש שעות חומר עזר: אין בבחינה שני פרקים בפרק הראשון 8 שאלות אמריקאיות ולכל אחת מהן מוצעות
Διαβάστε περισσότεραאוטומטים, שפות פורמליות ו ח ישוּב יוּת
אוטומטים, שפות פורמליות וחישוביות (202-1-2011) סיכום מאת תומר גודינגר אוטומטים, שפות פורמליות ו ח ישוּב יוּת פרטים אדמיניסטרטיביים המרצים בקורס: ברנד, ברפמן, קנטורוביץ' ואבו-עפאש אתר הקורס: http://csbguacil/~auto141/ain
Διαβάστε περισσότεραמתמטיקה בדידה תרגול מס' 2
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: כמתים והצרנות. משתנים קשורים וחופשיים. 1 כמתים והצרנות בתרגול הקודם עסקנו בתחשיב הפסוקים, שבו הנוסחאות שלנו היו מורכבות מפסוקים יסודיים (אשר קיבלו ערך T או F) וקשרים.
Διαβάστε περισσότεραתרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012
תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),
Διαβάστε περισσότεραמודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015)
מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015) מרצה: פרופ' בני שור מתרגלים: אורית מוסקוביץ' וגל רותם 28.1.2015 הנחיות: 1. מומלץ לקרוא את כל ההנחיות והשאלות בתחילת המבחן, לפני כתיבת התשובות. 2. משך
Διαβάστε περισσότεραr. כלומר התחיל במצב ההתחלתי, סיים במצב מקבל, ובדרך עבר בצורה חוקית. ניתן להגדיר
מודלים חישוביים סיכום למבחן אוטומטים: שפות / מחרוזות / הגדרות בסיסיות: א"ב: Σ הוא אוסף סופי של תווים, סימנים. מחרוזת / מילה: רצף סופי של אותיות מא"ב מסוים, כאשר מספר האותיות הוא אורכה המחרוזת הריקה: ε
Διαβάστε περισσότεραפתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.
פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך
Διαβάστε περισσότεραאלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6
אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 15 בינואר 016 1. יהי F שדה ויהיו q(x) p(x), שני פולינומים מעל F. מצאו פולינומים R(x) S(x), כך שמתקיים R(x),p(x) = S(x)q(x) + כאשר deg(q),deg(r) < עבור המקרים הבאים: (תזכורת:
Διαβάστε περισσότεραתורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות
תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית
Διαβάστε περισσότερα(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p;
מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות בנושאים () זמני ריצה של פונקציות רקורסיביות () מיונים השאלות פתרו את נוסחאות הנסיגה בסעיפים א-ג על ידי הצבה חוזרת T() כאשר = T() = T( ) + log T() = T() כאשר =
Διαβάστε περισσότεραמכונת טיורינג אוטומט מחסנית לא דטרמיניסטי שפות חופשיות הקשר (שפת ראי לא מסומנת)
מכונת טיורינג אוטומט מחסנית לא דטרמיניסטי שפות חופשיות הקשר (שפת ראי לא מסומנת) אוטומט מחסנית דטרמיניסטי שפות חופשיות הקשר (שפת ראי מסומנת) סגירות:איחוד,שרשור,היפוך, חיתוך עם שפה רגולרית אוטומט סופי דטרמיניסטי
Διαβάστε περισσότεραסיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806
סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,
Διαβάστε περισσότεραהרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי
הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב 2011 2010 פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים
Διαβάστε περισσότεραמבני נתונים ויעילות אלגוריתמים
מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים (8..05). טענה אודות סדר גודל. log טענה: מתקיים Θ(log) (!) = הוכחה: ברור שמתקיים: 3 4... 4 4 4... 43 פעמים במילים אחרות:! נוציא לוגריתם משני האגפים: log(!) log( ) log(a b
Διαβάστε περισσότεραלוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר
לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת
Διαβάστε περισσότεραתרגול פעולות מומצאות 3
תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה
Διαβάστε περισσότεραחישוביות, אוטומטים ושפות מכונה סיכומי הרצאות
חישוביות, אוטומטים ושפות מכונה סיכומי הרצאות 6 ביוני 2011 מרצה: גיא קינדלר מתרגל: רועי פוקס סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmail.com אתר הסיכומים שלי: http://bit.ly/huji_notes 1 תוכן
Διαβάστε περισσότεραמבחן במודלים חישוביים + פתרון מוצע
מבחן במודלים חישוביים + פתרון מוצע סמסטר ב' התשס"ט, מועד ב' תאריך: 1.9.2009 מרצים: ד"ר מירי פרייזלר, פרופ' בני שור מתרגלים: יהונתן ברנט, רני הוד מומלץ לקרוא את כל ההנחיות והשאלות בתחילת המבחן, לפני תחילת
Διαβάστε περισσότεραA-PDF Merger DEMO : Purchase from to remove the watermark
A-PDF Merger DEMO : Purchase from wwwa-pdfcom to remove the watermark סוכם על ידי אבי שוע shuaav@gmalcom http://wwwcshujacl/~shuaav אני מקווה שהסיכומים יעזרו לכם ולעוד רבים טעויות אני (ואף אחד אחר) לא
Διαβάστε περισσότεραטענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.
1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח
Διαβάστε περισσότεραגבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות
08 005 שאלה גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות f ( ) f ( ) g( ) f ( ) ו- lim f ( ) ו- ( ) (00) lim ( ) (00) f ( בסביבת הנקודה (00) ) נתון: מצאו ) lim g( ( ) (00) ננסה להיעזר בכלל הסנדביץ לשם כך
Διαβάστε περισσότερα1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )
הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y
Διαβάστε περισσότεραמודלים חישוביים תרגולמס 7
מודלים חישוביים תרגולמס 7 13 באפריל 2016 נושאי התרגול: מכונת טיורינג. 1 מכונת טיורינג נעבור לדבר על מודל חישוב חזק יותר (ובמובן מסוים, הוא מודל החישוב הסטנדרטי) מכונות טיורינג. בניגוד למודלים שראינו עד
Διαβάστε περισσότεραאלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11
אלגברה לינארית ( - פתרון תרגיל דרגו את המטריצות הבאות לפי אלגוריתם הדירוג של גאוס (א R R4 R R4 R=R+R R 3=R 3+R R=R+R R 3=R 3+R 9 4 3 7 (ב 9 4 3 7 7 4 3 9 4 3 4 R 3 R R3=R3 R R 4=R 4 R 7 4 3 9 7 4 3 8 6
Διαβάστε περισσότεραחישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r
ל' ' פונקציות פרימיטיביות רקורסיביות חישוביות הרצאה 4 האם כל פונקציה מלאה היא פרימיטיבית רקורסיבית? לא נראה שתי הוכחות: פונקציות רקורסיביות (המשך) זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה קיומית: קיימות פונקציות
Διαβάστε περισσότεραאוטומטים ושפות פורמליות מבוא לתורת החישוביות
אוטומטים ושפות פורמליות מבוא לתורת החישוביות ד ר סמי זעפרני מוקדש לזכרו של משה בנסל חבר, עמית, ומורה דרך מהדורה June 27,2.3 הקדשה הספר מוקדש לזכרו היקר של משה בנסל (955-2), אשר במהלך שלושים שנות עבודתו
Διαβάστε περισσότεραאלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2
אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק
Διαβάστε περισσότερα' 2 סמ ליגרת ןורתפ םיפרגה תרותב םימתירוגלא דדצ 1 : הלאש ןורתפ רבסה תורעה
אלגוריתמים בתורת הגרפים פתרון תרגיל מס' 2 לשאלות והערות נא לפנות לאילן גרונאו (shrilan@cs.technion.ac.il) א) ב) ג) גרף דו-צדדי (bipartite) הינו גרף (E )G V, אשר קיימת חלוקה של צמתיו לשתי קבוצות U,W e =
Διαβάστε περισσότεραמבוא ללוגיקה מתמטית 80423
מבוא ללוגיקה מתמטית 80423 24 במרץ 2012 איני לוקחת אחריות על מה שכתוב כאן, so tread lightly אין המרצה או המתרגל קשורים לסיכום זה בשום דרך. הערות יתקבלו בברכה.noga.rotman@gmail.com אהבתם? יש עוד! www.cs.huji.ac.il/
Διαβάστε περισσότεραאלגוריתמים בתורת הגרפים חלק שני
גירסה 1.00 5.12.2002 אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק שני מסמך זה הינו השני בסדרת מסמכים אודות תורת הגרפים, והוא חופף בחלקו לקורס "אלגוריתמים בתורת הגרפים" בטכניון (שאינו מועבר יותר). ברצוני להודות תודה מיוחדת
Διαβάστε περισσότεραתכנון אלגוריתמים 2016 עבודה 1 שאלה 1 פתרון נתונות שתי בעיות. יש למצוא: אורך מסלול קצר ביותר המתחיל באחד מן הקודקודים s 1,..., s k ומסתיים ב t.
תכנון אלגוריתמים 2016 עבודה 1 פתרון שאלה 1 נזכר כי בגרף (E G, =,V) עבור שני קודקודים d(u, (v,u, v הוא אורך מסלול קצר ביותר מ u ל v. אם אין מסלול מ u ל.d(u, v) =,v נתונות שתי בעיות. בעיה א' מופע: גרף מכוון
Διαβάστε περισσότεραסיכום לינארית 1 28 בינואר 2010 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך.
סיכום לינארית 28 בינואר 2 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך הערות יתקבלו בברכה nogarotman@gmailcom תוכן עניינים 3 מבוא והגדרות בסיסיות 6 שדות 7 המציין של
Διαβάστε περισσότεραתורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית,
תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות L
Διαβάστε περισσότεραi שאלות 8,9 בתרגיל 2 ( A, F) אלגברת יצירה Α היא זוג כאשר i F = { f קבוצה של פונקציות {I קבוצה לא ריקה ו A A n i n i מקומית מ ל. A נרשה גם פונקציות 0 f i היא פונקציה n i טבעי כך ש כך שלכל i קיים B נוצר
Διαβάστε περισσότεραסדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל
סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר
Διαβάστε περισσότεραמתמטיקה בדידה תרגול מס' 12
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע
Διαβάστε περισσότεραמודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות 67521
מודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות 67521 חיים שחור סיכומי שיעורים של ד"ר גיא קינדלר 21 ביוני 2012 תוכן עניינים 2.................................................. אוטומטים ושפות רגולריות 1 3........................................................
Διαβάστε περισσότεραאלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט
467 אלגברה א', סמסטר חורף תשס"ט, פתרונות לשיעורי הבית, עמוד מתוך 6 467 אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט תוכן עניינים : גליון שדות... גליון מרוכבים 7... גליון מטריצות... גליון 4 דירוג,
Διαβάστε περισσότεραתורת הקומפילציה הרצאה 4 ניתוח תחבירי )Parsing( של דקדוקי LR(0) ו-( LR(1 )חזרה + המשך(
תורת הקומפילציה 236360 הרצאה 4 ניתוח תחבירי )Parsing( של דקדוקי LR(0) ו-( LR(1 )חזרה + המשך( 1 תזכורת: סוגי הניתוח התחבירי )predictive מהשורש לעלים )נקרא גם s "ניתוח תחזית" top-down x y bottom-up מהעלים
Διαβάστε περισσότεραאוטומטים ושפות פורמליות מבוא לתורת החישוביות
אוטומטים ושפות פורמליות מבוא לתורת החישוביות סמי זעפרני המחלקה להנדסת חשמל ואלקטרוניקה מכללת אורט בראודה כרמיאל מוקדש לזכרו של משה בנסל חבר, עמית, ומורה דרך מהדורה March 24,2.2 הקדשה הספר מוקדש לזכרו היקר
Διαβάστε περισσότεραco ארזים 3 במרץ 2016
אלגברה לינארית 2 א co ארזים 3 במרץ 2016 ניזכר שהגדרנו ווקטורים וערכים עצמיים של מטריצות, והראינו כי זהו מקרה פרטי של ההגדרות עבור טרנספורמציות. לכן כל המשפטים והמסקנות שהוכחנו לגבי טרנספורמציות תקפים גם
Διαβάστε περισσότεραמבחן מועד ב' בהצלחה! אנא קיראו היטב את ההוראות שלהלן: ודאו כי כל עמודי הבחינה נמצאים בידכם.
7.8.2017 מבחן מועד ב' תאריך הבחינה: שמות המרצים: מר בועז ארד פרופ' עמוס ביימל מר יהונתן כהן דר' עדן כלמטץ' גב' מיכל שמש אנא קיראו היטב את ההוראות שלהלן: שם הקורס: תכנון אלגוריתמים מספר הקורס: 202-1-2041
Διαβάστε περισσότερα