מכונת טיורינג אוטומט מחסנית לא דטרמיניסטי שפות חופשיות הקשר (שפת ראי לא מסומנת)

Transcript

1 מכונת טיורינג אוטומט מחסנית לא דטרמיניסטי שפות חופשיות הקשר (שפת ראי לא מסומנת) אוטומט מחסנית דטרמיניסטי שפות חופשיות הקשר (שפת ראי מסומנת) סגירות:איחוד,שרשור,היפוך, חיתוך עם שפה רגולרית אוטומט סופי דטרמיניסטי שפות רגולריות סגירות:חיתוך,איחוד,שרשור,משלים,היפוך

2 זכויות יוצרים עלות השימוש בספר זה החל משנת הינה שקלים. את עלות השימוש יש להעביר ל: אברבוך חיים מרדכי רמת השרון מיקוד 4744 בספר הושקעו זמן ומחשבה מרובים על מנת לעשותו קריא ומובן לכל. אשמח לקבל תגובות הערות תוספות ותיקונים. או תודה מראש לכל מי שהכללתי שאלות ופתרונות שלו. כל מי שרואה עצמו נפגע מכך נא לשלוח לי מייל... בהצלחה 2

3 הערה: לעיתים בתוכן הענינים האותיות האנגליות יצאו גדולות כאשר בספר עצמו הן קטנות....8 הקדמה...8 כיצד ללמוד מהו אוטומט סופי דטרמיניסטי-אס"ד...9 מילה/שפה...3 דף תרגילים מספר -השלם פונקצית מעברים...6 דף תרגילים מספר 2 -השלם את החיצים...7 דף תרגילים מספר 3- רשום את השפה המתקבלת לכל אחד מהאוטומטים הבאים...9 תפקיד המצבים...22 צמצום תנאי שפה...23 דגשים לבניית אוטומט סופי...24 תנאים על אס"ד...25 אוסף תרגילים פתורים באס"ד...25 דף תרגילים מספר 4 -בנה אס"ד מתאים לשפה נתונה... 3 דף תרגילים מספר 5 -בנה אס"ד מתאים לשפה נתונה... 3 דף תרגילים מספר 6 -ביצוע מעקב והגדרת שפה...3 דף תרגילים מספר 7- מה מייצג כל מצב תאור אוטומט באמצעות טבלה...35 שפות "מיוחדות"...37 השפה הריקה...37 השפה המכילה את המילה הריקה בלבד...37 שפה שמספר המילים בה סופי...37 דף תרגילים מספר 8- בנית אס"ד...38 שפות שמתוארות על ידי חזקה...39 דף תרגילים מספר 8 א'- בנית אס"ד...4 אוטומט לא דטרמיניסטי/אוטומט לא שלם...4 דף תרגילים מספר 9 -תרגילים שונים...42 דף תרגילים מספר -אוטומט סופי לא דטרמיניסטי אוטומט מכפלה...48 דף תרגילים מספר -אוטומט מכפלה...55 מונחים )הדפס סגירות שפות רגולריות תחת דפים אלה(...56 פעולות

4 חיתוך - גם) L L2 פירושו כל המילים המתקבלות הן ב L והן בL2 ( איחוד - או ( L2 L פירושו כל המילים המתקבלות ב L או ב (. L שרשור) L L2 פירושו כל המילים אשר ניתן לחלק אותן לשני חלקים כך שהחלק השמאלי שייך ל L והימני ל L2( L R מסומן גם כ L פירושו היפוך R(L) משלים (L) מסומן L פירושו כל המילים שאינן מתקבלות ב. L...59 הכלה )השפות הרגולריות אינן סגורות תחת פעולה זו )...59 אוסף תרגילים פתורים בהוכחת רגולריות בעזרת חוקי סגירות...59 תבנית להוכחת רגולריות של שפה... 6 אוסף תרגילים פתורים בפעולות על שפות...65 דף תרגילים מספר 2 -סגירות שפות רגולריות הוכחת אי ופעולות בין שפות...68 שאלות ופתרונות שניתנו בקורס מורים מובילים בהנחיית ד"ר מיכל ארמוני...72 הכלת שפות...79 רגולריות...8 תבנית הוכחה לשפה אי רגולרית...83 טעויות שכיחות בהוכחת אי רגולריות...89 דף תרגילים מספר 3 -הוכחת אי רגולריות הסבר על אוטומט מחסנית באמצעות תרגילים L=A N B N N... L=A N B N N> 4 מקרים בהם מספר ה A גדול או קטן ממספר ה Bים בכפולה L=A N B 3N N... L=A 3N B N N> 2... L=A 2N B 3N N> 3... L= A 2N B 3N N מקרים בהם מספר ה A גדול או קטן ממספר ה Bים בקבוע L=A N B N+ N 4... L=A N+ B N N 5... L=A N- B N-2 N מקרים בהם יש שילוב של כפולה וקבוע L=A N+ B 3N N 6... L=A N+ B 3N-2 N 6... L=A N+ B 3N- N 7... L=A 2N+ B 3N- N מקרים בהם נדרש להכניס יותר מאות אחת למחסנית L= A N B K C K D N K,N> 8... L= A N B K+ C K D N K,N> מספר ה A ים שווה למספר ה B ים...

5 מקרים בהם יש לבצע הצבה עקב סימן מינוס בחזקה......L= A N B N-K C K N K דף תרגילים מספר 4 -בנית אוטומט מחסנית L= A N B K+ C K D N 2... L= A 2N- B 3N שילוב של אוטומט רגיל ואוטומט מחסנית...3 מקרים בהם אין צורך בהכנסת S L= A 2N+ B N+2 N תרגילים שונים )רובם פתורים( L={A N B K N, K, K=N/2} מחרוזת פנינים...24 תרגיל )דורון זוהר( } EVEN L={ (YX) N Z K (XY) J N,K N<J K אוטומט מחסנית לא דטרמיניסטי...26 מספר כללים לאוטומט מחסנית -חזקות...29 דף תרגילים מספר 5 -אוטומט מחסנית...3 דף תרגילים מספר 6 -אוטומט מחסנית...3 דף תרגילים מספר 7 -אסד ואוטומט מחסנית...3 סגירות שפות חופשיות הקשר...39 שרשור ( L2 L פירושו כל המילים אשר ניתן לחלק אותן לשני חלקים כך שהחלק השמאלי שייך ל L והימני ל L2(...4 איחוד ( L L2 פירושו כל המילים המתקבלות ב 4... או ב.)L2 L היפוך 4... L ( L L2 פירושו כל המילים המתקבלות הן ב 4... והן ב.)L2 L חיתוך שפה חופשית הקשר עם שפה רגולרית נותן שפה חופשית הקשר...4 חיתוך שתי שפות חופשיות הקשר שחיתוכן אינו חופשי הקשר מהי מכונת טיורינג מצב מקבל הסבר על מכונת טיורינג באמצעות תרגילים...44 דוגמה א: מכונת טיורינג המחליפה A ל B ו B ל A )בשפה מעל {A,B} )...44 דוגמה ב: מכונת טיורינג המוסיפה A בסוף המילה)בשפה מעל {A,B} )...44 דוגמה ג: מכונת טיורינג המוסיפה למילה באורך איזוגי)בשפה מעל {{ )...44 דוגמה ד: מכונת טיורינג הבודקת שהאות האחרונה A )מעל } A,B } )...45 דוגמה ה: מכונת טיורינג הבודקת שהאות הראשונה זהה לאחרונה )מעל } A,B } )...45 דף תרגילים במכונת טיורינג מכונת טיורינג לבדיקת שפות רגולריות )ניתן לבנות להן אוטומט סופי דטרמיניסטי(...47 מכונת טיורינג לשפות חופשיות הקשר ולא רגולריות

6 מקבלת מילים מעל {A,B} שמתחילות ב A ומסתיימות ב A ואורך רצף ה A בהתחלה ובסוף שווה...5 מכונת טיורינג לשפות לא חופשיות הקשר N A N B N C N מקבלת את המילים מעל {A,B,C} מהצורה מכונת טיורינג תרגילים שונים מקבלת רצף של A מוסיפה A בסופו ותוחמת את רצף ה A ים בסימני דולר חיבור F(X,Y)=X+Y F(X)=2X X> X>Y חיסור F(X,Y)=X-Y למעשה ניתן בפיתרון להשתמש ב X בלבד ואין צורך בשימוש בשתי אותיות גדולות שונות Y X > X+Y>Z חיסור F(X,Y)=X+Y-Z בנה מכונת טיורינג המבצעת חלוקה בשלוש עבור מספר אונרי L= A N B N C 2N N>= L= A N B N C M M>=N L= A N B N C M N>=M מהי השפה המתקבלת על ידי מכונת טיורינג X> Y> כפל F(X,Y)=X*Y תבניות במכונת טיורינג... 7 הערות למגן ולבגרות-דפי סיכום...7 סוגי שאלות )לא מלא(...8 בגרויות...8 תשמ"ז...82 תשמ"ח...82 תשמ"ח...83 תשמ"ט...84 תשן...84 תשנב...85 תשנג...85 תש"ס...87 תשס"א...88 תשס"ב תשס"ב תשס"ב תשס"ב פתרון...93 תשס"ג תשס"ג תשס"ג תשס"ג תשס"ג תשס"ג

7 תשס"ד תשס"ד תשס"ד תשס"ד תשס"ה תשס"ה תשס"ה תשס"ה תשס"ו תשס"ו תשס"ו תשס"ו תשס"ז תשס"ז תשס"ז תשס"ז פתרון...28 תשס"ח תשס"ח תשס"ח תשס"ח תשס"ט תשס"ט תשס"ט תשס"ט תש"ע תש"ע תש"ע תש"ע מבחן בגרות מבחן בגרות פתרון מבחן בגרות

8 הערה: לעיתים בתוכן הענינים האותיות האנגליות יצאו גדולות כאשר בספר עצמו הן קטנות. הקדמה הנושא מודלים חישוביים הינו נושא הנלמד גם במסגרת לימודים על תיכוני. לימוד הנושא במוסד אקדמי כולל הרחבה של הנושא מעבר לתוכנית הלימודים בתיכון. הספר שלהלן מקיף את רוב תוכנית הלימודים לפי הנחיות משרד החינוך. הסבר המושגים בויקיפדיה נעשה באופן מדעי/אקדמי וכאמור מכיל הרחבה של תוכנית הלימודים למרות זאת מומלץ לעיין בו. כיצד ללמוד עליכם לקרוא את הספר. חובה לעין בכל דוגמא ובכל מה שמסומן בירוק עם רקע צהוב כמו כן לעיין היטב בתרגילים הפתורים. אין לעבור לפרק הבא לפני שפתרתם מספר תרגילים מכל פרק. לקרוא היטב את עמודי הסיכום. לגבי מבחני בגרות ןפתרונותיהם מומלץ לעיין באתר של הילה קדמן kdmn.net 8

9 אוטומט_סופי/ מהו אוטומט סופי דטרמיניסטי-אס"ד אוטומט הינו כלי/מכונה/ציור שמטרתו לתאר שינוי מצב כתוצאה מפעולה/קלט/אירוע כלשהו. )בהמשך נרחיב את הגדרת האוטומט( דוגמא : אם אנו במצב "רעב" אזי לאחר שנאכל נעבור למצב "שבע". החץ מסמן את המצב שהינו נקודת ההתחלה/מוצא שלנו. בעיגולים נרשם מצב עכשווי וליד החיצים נרשמים האירועים. שבע אכלנו רעב דוגמא 2: מנורה כבויה תדלק באם נרים את המתג ותכבה כאשר נוריד. מצב התחלתי-המנורה כבויה. הרמת מתג כבוי דלוק הורדת מתג מה קורה כאשר המתג מורם ואנו מנסים להרים אותו תשובה : המנורה תישאר דלוקה. או כשהוא מורד ואנו מנסים להוריד אותו? תשובה: המנורה תישאר כבויה. הרמת מתג הורדת מתג דלוק הרמת מתג הורדת מתג כבוי 9 אוטומט סופי

10 דוגמא 3: נתונה דלת שבה שני מנעולים. מספיק שאחד המנעולים יהיה במצב סגור על מנת שלא תפתח. במצב התחלתי הדלת פתוחה כלומר שני המנעולים פתוחים. שימו לב שרק עבור מצב אחד הדלת פתוחה ועבור שלושה מצבים נוספים הדלת סגורה. פתח ב א סגור ב פתוח פתח א סגור ב סגור א א סגור ב סגור סגור ב א פתוח ב פתוח פתח א סגור א פתח ב א פתוח ב סגור כמובן שניסיון לפתוח מנעול שהינו כבר פתוח או לסגור מנעול שהינו כבר סגור ישאיר אותנו באותו מצב. נשלים את האוטומט ונקבל הדלת סגורה פתח ב סגור א א סגור ב פתוח הדלת סגורה פתח ב סגור ב פתח א סגור א פתח א הדלת פתוחה סגור א סגור ב א+ב סגורים א פתוח ב פתוח פתח א פתח ב סגור א פתח א סגור ב פתח ב הדלת ב סגור א פתוח סגורה פתח א סגור ב אוטומט סופי

11 דוגמא 4: לעיתים אנו רוצים להבדיל בין המצבים. חלקם יהיו מצבים מקבלים ("מצב טוב") ונסמנם בעיגול כפול וחלקם לא ונסמנם בעיגול רגיל. הדוגמא : מחרוזת(שרשרת) מורכבת מחרוזים בצבעים א (אדום) כ (כחול) וי (ירוק). מחרוזת נחשבת לתקינה אך ורק אם אין שני חרוזים צמודים מאותו צבע ואורכה לפחות אחד (מכילה לפחות חרוז אחד). בואו ונבנה את האוטומט המתאים: א י י י כ א א כ q4 כ י כ י א א כ q3 שימו לב: החץ מסמן את נקודת ההתחלה שמקובל לסמנה כ. האוטומט שנבנה סורק את המילה המייצגת את צבעי החרוזים מתחילתה(משמאל לימין). עיגול כפול פירושו מצב מקבל ובמקרה שלנו מחרוזת חרוזים תקינה. באוטומט שלעיל שלושה מצבים מקבלים. בואו נבצע מעקב על המילה)מחרוזת( הבאה משמאל לימין : יאיכאיכ עובר למצב צבע חרוז נבדק יאיכאיכ יאיכאיכ יאיכאיכ יאיכאיכ יאיכאיכ יאיכאיכ יאיכאיכ נמצא במצב q3 q3 q3 q3 הגענו למצב שהינו מצב מקבל. כלומר המחרוזת תקינה. שימו לב שאם נתונה מחרוזת לא תקינה כגון : יי מצב זה נקרא מלכודת של מצב לא מקבל. אנו מגיעים למצב q4 ואיננו יכולים לצאת ממצב זה. אוטומט סופי

12 בואו נבצע מעקב על המילה הבאה המייצגת את צבעי המחרוזת - משמאל לימין : יאייכאיכ עובר למצב צבע חרוז נבדק אייכאיכ אייכאיכ אייכאיכ אייכאיכ אייכאיכ אייכאיכ אייכאיכ נמצא במצב q3 q3 q3 q3 q4 q4 הגענו למצב לא מקבל כיוון שהופיע י פעמיים ברצף. (יי). שימו לב שלא משנה מה מופיע אחרי ה יי אנו נישאר במצב q4 ולכן למעשה אין טעם לבדוק אחרי הופעת ה יי. כיוון שהופעת יי פוסלת את המחרוזת 2 אוטומט סופי

13 מילה/שפה שימו לב!! נפגשנו פה בפעם הראשונה עם המושג מילה. מילה הינה סדרת סימנים השייכת לשפה. כל סימן מעביר אותנו מצב. (כמובן שיתכן שנישאר באותו המצב או נעבור למצב חדש). שפה הינה הגדרה של אילו מילים מתקבלות ואילו אינן מתקבלות. למשל לגבי המחרוזת עם הצבעים הגדרת השפה L תהיה : שפת כל המילים מעל }י,א,כ{ שאסור שיופיעו 2 אותיות/תווים/סימנים זהים ברצף. (נובע כמובן שגם שלושה או ארבעה ברצף אסור שיופיעו). דוגמא : 5 נתונה שפה המורכבת מהאותיות בלבד. כל המילים המתקבלות בשפה מתחילות ב & ואורך המילה לא מוגבל. צייר אוטומט שמקבל את המילים החוקיות בשפה ו"דוחה" את המילים שלא מתקבלות. $,@ $,@,& & $,@,&!!!! כל מצב )עיגול( הינו בעל משמעות. למשל באוטומט שבדוגמא 4 "אומר" אסור שאחרי ההגעה אלי יהיה הצבע ירוק כי לפני היה ירוק. באופן דומה וצבע אדום ו q3 וצבע כחול. באוטומט הנוכחי(דוגמא 5) פירושו שהמילה התחילה ב & ולכן כל המשך תקני ואילו פירושו שהמילה התחילה או $ ולכן כל המשך אינו תקני. בכל אוטומט עלינו לציין מהן אותיות השפה. כלומר מהו ה א"ב של השפה. באוטומט הקודם }י,כ,א{ המייצגים את הצבעים ירוק כחול אדום בהתאמה. באוטומט הנוכחי האותיות }&,@,${. 3 אוטומט סופי

14 דוגמא : 6 ליעל תא בבית הספר בו היא מחזיקה את ספרי הלימוד ודברים נוספים. הקוד למנעול הינו באורך 3 או 4 ומורכב מהספרות,2 בלבד. כמו כן אסור שהקוד יכיל רצף באורך שלוש של אותו המספר. צייר אוטומט שמקבל את הקודים החוקיים ,2,2 האוטומט אינו שלם. כלומר כל המעברים שאינם יכולים להגיע למצב מקבל הושמטו. 4 אוטומט סופי

15 האוטומט השלם,2 2 מלכודת למצב לא 2 מקבל ,2,2,2 מלכודת למצב לא מקבל,2 5 אוטומט סופי

16 דף תרגילים מספר -השלם פונקצית מעברים )כתוב בריבועים את אותיות השפה המתאימות לאור הגדרות השפה-תרגיל ראשון פתור( בנה שפה מעל {,} המקבלת את כל המילים בעלות אורך אי- זוגי אורך אי זוגי אורך זוגי,, בנה שפה מעל {,} המקבלת את כל המילים המתחילות ב בנה שפה מעל {,,} המקבלת את כל המילים שמספר ה ים +מספר ה ים אי-זוגי בנה שפה מעל {,} המקבלת את כל המילים המתחילות ב ומסתיימות ב 6 אוטומט סופי

17 דף תרגילים מספר 2 -השלם את החיצים (פונקצית מעברים-תרגיל ראשון פתור),, בנה שפה מעל {,} - כל המילים בעלות אורך זוגי שאורכן גדול מ,, בנה שפה מעל {,,} המקבלת את כל המילים שמספר ה ים +מספר ה ים אי-זוגי, בנה שפה מעל },{ המכילה או 7 אוטומט סופי

18 דוגמא 7 : בנה אוטומט מעל {,} המקבל מילים שמספר ה בהם הינו לכל היותר.,!!!! שימו לב שהמצב ההתחלתי הינו מצב מקבל. כלומר המילה הריקה שנסמנה ε או מתקבלת. ניתן לומר שאוטומט הינו מעין משחק שבו אנו מקבלים מילה סורקים אותה משמאל לימין ומטיילים על פני האוטומט לפי כל אות שנסרקת. אם בסוף סריקת המילה הגענו למצב מקבל המילה מתקבלת אחרת אינה מתקבלת.. n,m > n m דוגמא 8 : בנה אוטומט מעל {,} המקבל מילים מהצורה כלומר המילה צריכה להתחיל בלפחות אחד או יותר להמשיך ב אחד או יותר. (אסור שתסתיים ב ) n פירושו n פעמים 3. שקול ל שקול לכלום (למילה הריקה). q3, במהשך נחזור לתרגילים מסוג זה אוטומט סופי 8

19 דף תרגילים מספר 3- רשום את השפה המתקבלת לכל אחד מהאוטומטים הבאים )תרגיל ראשון פתור-הנח שכל סימני השפה מופיעים(,, השפה הינה מעל {,} ומקבלת כל מילה בעלת אורך זוגי (כולל המילה הריקה) אוטומט סופי,,,, 9 אוטומט סופי

20 ,,.,., אוטומט סופי 2

21 בנית אוטומט עד כעת עסקנו באוטומטים נתונים. נראה כעת איך בונים אוטומט.. בנה אוטומט מעל {,} של כל המילים המכילות. נבנה תחילה את המילה הקצרה ביותר המובילה למצב מקבל. כעת נתחיל להשלים ונוודא שמכל עיגול אנו יודעים להיכן נעבור עבור ועבור. נוסיף חוג עצמי ל של האות כיוון ש לא מקדם אותנו מבחינת הופעת. נוסיף קשת מ ל כיוון שהופעת קוטעת את ספירת ה ים., לבסוף הוספנו חוג עצמי ל כיוון שלאחר כל המשך מתקבל דוגמאות:,,, מילים מתקבלות : מילים שלא מתקבלות: 2 אוטומט סופי

22 2. בנה אוטומט מעל {,} של כל המילים המסתיימות ב. בנית השרשרת הקצרה ביותר למצב מקבל q3 q4 השלמת השאר q3 q4 לכל מצב (עיגול) באוטומט יש משמעות. כל מצב מיצג משהו. תפקיד המצבים של ישנו התו הראשון ישנו שני התווים הראשונים של q3 ישנו שלושת התווים הראשונים של q4 ישנו כל התווים הנדרשים להגעה למצב מקבל. מדוע מ באם מופיע אנו נשארים ב? למשל תשובה : כיוון שסיפא (החלק הסופי של המילה עד עתה ( הינו. מדוע מ q4 באם מופיע אנו חוזרים ל? למשל? תשובה: כיוון שהמילה צריכה להסתיים ב וכיון שסיפא המילה הינו 22 אוטומט סופי

23 צמצום תנאי שפה א. בנה אוטומט מעל {,} של כל המילים המתחילות ב או מכילות או ומסתיימות ב או. ניתוח המקרה כל המילים המתחילות ב או פירושו שהאות השניה צריכה להיות. כל המילים המכילות או (כיוון שהתנאי מופיע מוכל בתנאי מופיע ( ומילת התנאי הינה או ניתן לצמצם ולומר שחייב להופיע. כל המילים המסתיימות ב או (באופן דומה ניתן לצמצם ולומר שחייב שיסתיימו ב ).. ומסתיימות ב כלומר עלינו לבנות אוטומט מעל {,} של כל המילים שהאות השניה מכילות., q3 q4 q5. ומכילות וגם ב. בנה אוטומט מעל וגם ב של כל המילים המתחילות ב {,} ניתוח המקרה כל המילים המתחילות ב וגם מתחילות ב פירושו שחיבות להתחיל ב. כל המילים המכילות וגם פירושו למעשה שמכילות.. כלומר עלינו לבנות אוטומט מעל {,} של כל המילים המתחילות ב ומכילות,. q3 q3 q אוטומט סופי

24 דגשים לבניית אוטומט סופי. עיין תחילה בדוגמאות הפתורות. 2. בנה תחילה את המסלול למילה הקצרה ביותר המתקבלת בשפה. 3. בדוק האם המילה הריקה מתקבלת בשפה. 4. הבדל בין המקרים של מתחיל מכיל או מסתיים. 5. ראה האם ניתן לצמצם תנאים. 6. אס"ד הינם ראשי התיבות של אוטומט סופי דטרמיניסטי. באם הפתרון הינו אוטומט סופי דטרמיניסטי שלם ראה שכל מצב מטפל בכל קלט אפשרי פעם אחת בלבד..7 כאשר יש דרישה למשל שמספר ה ים במילה שארית חלוקה בשלוש תהיה... אזי שים לב שאין מעגל של -ים שאינו כפולה של שלוש בפתרון..8 אם הפתרון מורכב מתנאים של "מקיים תנאי א' וגם תנאי ב' " או "מקיים תנאי א' או תנאי ב' " נלמד בהמשך איך ניתן לפרק את הבעיה ולבנות את הפתרון באמצעות אוטומט מכפלה..9 בתחילה, פתרון תרגיל דורש זמן ומחשבה אך בהמשך לאחר פתרון תרגילים מסוגים שונים דרכך תהיה קלה יותר... שימו לב שיכול להיות יותר ממצב מקבל אחד. הסבר לגבי 4 3 ינתן בהמשך 2. אם אין דרישה לאוטומט דטרמיניסטי אזי לעיתים פתרון לא דטרמיניסטי הינו פשוט יותר. (אוטומט לא דטרמיניסטי יוסבר בהמשך). 3. לכל אוטומט לא דטרמיניסטי ניתן לבנות אוטומט דטרמיניסטי. 24 אוטומט סופי

25 תנאים על אס"ד כפי שניתן להבחין התנאי על האוטומט מגוון. להלן דוגמאות מייצגות: מתחיל ב, מכיל, מסתיים ב. אינו מתחיל ב, אינו מכיל, אינו מסתיים ב, אורך מילה זוגי, אורך מילה אי זוגי, שארית חלוקה ב 3 שווה, אות לפני אחרונה. כמובן שניתן גם לשלב תנאים, לדוגמא: אורך זוגי ותו לפני אחרון. אוסף תרגילים פתורים באס"ד תרגיל תאר באמצעות גרף אוטומט סופי דטרמיניסטי שיקבל את כל המחרוזות מעל לא"ב },{ המקיימת את שני התנאים : מופיעה בהן כתת מחרוזת בדיוק פעם אחת. אין בהן כלל מופעים של פרט לאלה שבמופע של. דגמה: המחרוזות ו תתקבלנה המחרוזות ו לא תתקבלנה פתרון, תרגיל 2 )קשה( נתון האוטומט הבא מעל הא"ב },{ :, q3 א. ב. הגדר אילו מילים מתקבלות) הגדר תפקיד כל מצב. 25 אוטומט סופי

26 # ( w) # ( w) 2 פתרון א. חייב להתקיים שעבור כל נקודה בקלט(רישא של המילה) ובמילים פשוטות מספר האפסים במילה פחות מספר ה במילה צריך להיות בין ל 2 (כולל) לכל רישא של המילה. ב. # ( w) # ( w) # ( w) # ( w) # ( w) # ( w) 2 תרגיל 3 נתונה השפה הבאה L= n W m n=m % 2. מכילה את הרצף ולא ב- מסתיימת המתחילה ב-, },{ היא מילה מעל W א. תן 2 דוגמאות שונות למילים בשפה. ב. בנה אוטומט סופי לשפה. פתרון נבנה תחילה את W כלומר מילה מעל },{ המתחילה ב-, מסתיימת ב- ולא מכילה את הרצף. פתרון ל W דטרמיניסטי אך לא מלא פתרון ל W דטרמיניסטי ומלא 26 אוטומט סופי

27 עתה ניגש לפתרון הכולל. מספר ה ים בהתחלה יכול להיות או בלבד. ולכן פשוט נחלק לשני מקרים. האחד בו מתחילה W מיד והשנייה בה יש בודד. ובשניהם נוסיף ים תוך שמירה על הזוגיות. תרגיל 4 עבור כל מצב שבאוטומט לו היה מצב מקבל מהי השפה המתקבלת. פתרון מספר אפסים זוגי מספר אפסים זוגי מספר אחדים זוגי. מספר אחדים אי זוגי. q3 מספר אפסים אי זוגי מספר אפסים אי זוגי מספר אחדים אי זוגי. מספר אחדים זוגי. q3 27 אוטומט סופי

28 * תרגיל 5 מה השפה המתקבלת על ידי האוטומט (הלא מלא) הבא? פיתרון {,} הינה מילה מעל W שמספר ה ים פחות מספר ה ים שווה 2 ובכל רגע נתון ( W) n כאשר בסריקתו מימין לשמאל מתקיים שמספר ה ים פחות מספר ה ים גדול שווה וקטן שווה ל 2. תרגיל 6 לפניך אוטומט סופי דטרמיניסטי המקבל את השפה L מעל הא"ב {,}, q3. כתוב מילה באורך מינימלי המתקבלת על ידי האוטומט. 2. כתוב מילה המתחילה ב שאורכה גדול מ 3 ומתקבלת על ידי האוטומט. 3. כתוב מילה המתחילה ב שאורכה גדול מ 3 ומתקבלת על ידי האוטומט. 4. מהי השפה L המתקבלת על ידי האוטומט? התייחס למילים המתחילות ב ומילים המתחילות ב. 28 אוטומט סופי

29 פיתרון או אם מתחיל ב אזי אורך מילה זוגי(גדול מאפס כמובן כי מתחיל ב ). אם מתחיל ב אזי n n זוגי (גדול מאפס כמובן כי מתחיל ב ) תרגיל 7 לפניך אוטומט סופי דטרמיניסטי לא שלם ההמקבל את השפה L מעל הא"ב {,,} פיתרון. כתוב מילה באורך מינימלי המתקבלת על ידי האוטומט. 2. כתוב מילה המתחילה ב שאורכה גדול מ 3 ומתקבלת על ידי האוטומט. 3. כתוב מילה המתחילה ב שאורכה גדול מ 3 ומתקבלת על ידי האוטומט. 4. מהי השפה L המתקבלת על ידי האוטומט? התייחס למילים המתחילות ב ומילים המתחילות ב * גדול שווה לאפס. אם מתחיל ב אזי (W)* 4. ) ומספר זוגי של.(ללא מכילה מספר איזוגי של W אם מתחיל ב אזי n שארית חלוקת n בשלוש שווה אוטומט סופי

30 דף תרגילים מספר 4 -בנה אס"ד מתאים לשפה נתונה בנה אוטומטים לשפות הבאות מעל },{ כאשר התנאי על מילה בשפה הינו: א. מתחיל ב ב. מסתיים ב מכיל ג. ד. מתחיל ב ה. מסתיים ב ו. מכיל ז. אינו מכיל ח. מתחיל ט. מכיל י. מסתיים ב דף תרגילים מספר 5 -בנה אס"ד מתאים לשפה נתונה מימין לקו האנכי ישנם התנאים על מילה בשפה. L={ w w{ א. היא מילה מעל הא"ב {,} המסתיימת ב L={ w w{ ב. היא מילה מעל הא"ב {,} המתחילה ב ומסתיימת ב L={ v v{ ג. היא מילה מעל הא"ב {,} המכילה או L={ w w{ ד. היא מילה מעל הא"ב {,} שאורך התו האחרון אי זוגי L={ ww2 w,w2{ ה. הינן מילים מעל הא"ב {,} כולל המילה הריקה, דוגמאות למילים המתקבלות בשפה: 3 אוטומט סופי

31 דף תרגילים מספר 6 -ביצוע מעקב והגדרת שפה לכל מעקב רשום את המסלול והאם המילה מתקבלת או שאינה מתקבלת. א. בצע מעקב עבור והאוטומט הנתון. ב. בצע מעקב עבור והאוטומט הנתון. ג. מהי השפה שהאוטומט מקבל.. $,@ $,@,& & $,@,& נתון האוטומט הבא מהי השפה המתקבלת?.2 q3 3. א. בצע מעקב עבור המילה והאוטומט הנתון. ב. בצע מעקב עבור המילה והאוטומט הנתון. ג. מהי השפה שהאוטומט מקבל. q3 3 אוטומט סופי

32 סיכום ראינו שאוטומט הינו "מכונה"/"מכשיר" המתארת מה קורה עבור קלט (מילה) נתון תוך כדי סריקתו משמאל לימין. ישנם אוטומטים בהם כל מצב הינו מצב תקין. למשל כיבוי או הדלקת נורה, אך אנו טיפלנו ונטפל בעיקר באוטומטים שלא כל קלט(מילה) חוקי ולכן באוטומט יהיו מצבים מקבלים ומצבים לא מקבלים כמו המחרוזת המורכבת מחרוזים. לכל אוטומט יש נקודות התחלה והקשתות(חיצים) והמידע שרשום עליהם אומרים לנו להיכן לעבור בכל שלב. מידע זה נקרא פונקצית המעברים. כמו כן לכל אוטומט יש את ה א"ב שלו דהיינו מה ניתן לרשום ליד הקשתות. מהדוגמאות שראינו עד עתה ניתן לראות כי אוטומט מורכב ממספר אבני יסוד. תיאור מתמטי פורמאלי של אוטומט הוא באמצעות החמישייה הבאה: A { Q,,, Q, F} כאשר : היא קבוצת מצבי האוטומט. הוא א"ב הקלט. היא פונקצית המעברים. הוא המצב ההתחלתי. היא קבוצת המצבים המקבלים שהינה חלק מקבוצת כל המצבים. (העיגולים) (נכתב ליד הקשתות) (הקשתות המכוונות והרשום לידן). (מסומן גם על ידי חץ) (העיגולים כפולים) שפה שניתן לבנות לה אס"ד נקראת שפה רגולרית 32 אוטומט סופי

33 דף תרגילים מספר 7- מה מייצג כל מצב להלן נתונים אוטומטים ומה הם מבצעים. עיין בפתרונות ורשום מה מייצג כל מצב. למשל בדוגמה הבאה מייצג את המילים בעלות אורך זגי ומצב מייצג את המילים בעלות אורך אי-זוגי. האוטומט מקבל את כל המילים בעלות אורך אי זוגי.,, נתון אוטומט מעל },{ המקבל מילה המכילה, פתרון מצפה להופעת ה הראשון לאחר הופעת ה הראשון לאחר הופעת כעת כל המשך מתקבל נתון אוטומט מעל },{ בו כל מילה מסתיימת ב אוטומט סופי 33

34 נתון אוטומט מעל },{ בו כל מילה מסתיימת ב או q3 q3 q4 q4 נתון אוטומט מעל },{ בו כל מילה מכילה או q3, q3 34 אוטומט סופי

35 אוטומט מעל {9,,} המייצג מספר דצימלי המתחלק בשלוש לללא שארית,3,6,9 בצע מעקב אחר המילה 72437,4,7 2,5,8 2,5,8,4,7 שארית חלוקה ב 3 שווה,3,6,9 2,5,8,4,7,3,6,9 35 אוטומט סופי

36 תאור אוטומט באמצעות טבלה ניתן לתאר אוטומט באמצעות טבלה. להלן מספר דוגמאות. אות נבדקת עובר ל נמצא ב כל האוטומטים מעל {,} מצב מובלט עם קו מתחת הינו מצב מקבל. אורך מילה אי זוגי,, אורך מילה זוגי )כולל מילה ריקה(,, אורך מילה זוגי )לא כולל מילה ריקה(,,,, ` מתחיל ב ומכיל את המילה הריקה,, 36 אוטומט סופי

37 שפות "מיוחדות" השפה הריקה, מעל {,} - אף מילה לא מתקבלת (זוהי השפה הריקה ומקובל לסמנה) השפה המכילה את המילה הריקה בלבד,, מעל {,} - רק המילה הריקה מתקבלת השפה המכילה את כל המילים מלבד המילה הריקה,, מעל {,} כל המילים לא כולל המילה הריקה שפה שמספר המילים בה סופי שים לב שמספר המילים בשפות שטיפלנו בהם עד עכשיו הינו אינסופי. בנה אוטומט(לא שלם) מעל {,,} כך ש L={e,,,} (שים לב שמספר המילים בשפה הינו 4) e הינה המילה הריקה q3 q4 שים לב שהאוטומט אינו שלם למשל מהמצב אין יודעים מה לעשות כאשר יש לנו או שמתחילות ב או אינן מתקבלות. כלומר מילים לכל שפה שמספר המילים בה סופי ניתן לבנות אוטומט סופי דטרמיניסטי. 37 אוטומט סופי

38 דף תרגילים מספר 8- בנית אס"ד בנה אוטומטים לשפות הבאות מעל },{ כאשר התנאי על מילה בשפה הינו:. א. מסתיים ב ב. מתחיל ב ומסתיים ב ג. מכיל או ד. מכיל או מספר + מספר זוגי כולל מילה ריקה ה. מספר זוגי וגם מספר זוגי ו. ז. אורך אי זוגי. ח. אורך זוגי כולל המילה הריקה. ט. אורך התו האחרון זוגי. י. אורך התו האחרון אי זוגי. יא. אורך זוגי לא כולל המילה הריקה. יב. אורך זוגי ומסתיים ב. יג. מכיל וגם יד. אינו מכיל. טו. כל המילים שבהן אורך הרצף האחרון זוגי( גדול מ ( ואסור שיתחילו ב טז. רצף כלשהו באורך 2 או באורך שחוזר על עצמו. דוגמה : 2. בנה אוטומטים לשפות הבאות מעל },,2{: א. ב. ג. ד. ה. ו. ז. ח. ט. י. יא. 22 אינו מופיע כתת מחרוזת ו מופיע כתת מחרוזת אחרונה במילה. 22 מתקבל ו 2 או 22 לא מתקבל. המקבל מילים המסתיימות ב או ו 2 יכול להופיע רק ברצף בהתחלה. המקבל מילים המסתיימות ב או ואין בהן רצף של 22. אורך זוגי מסתיים ב (גם המילה הריקה מתקבלת). אורך אי זוגי מסתיים ב. אורך זוגי מסתיים ב. אורך אי זוגי מסתיים ב. מכיל 2 או או 2 מתחיל ב או 22 ואינו מסתיים ב 2. המקבל את כל המחרוזות המסתיימות ב או ו 2 יכול להופיע רק ברצף בהתחלה. כל המילים המסתיימות ב או ואין בהן רצף של 22. מעל :},,{ בנה אס"ד לכל אחת מהשפות הבאות מתחיל ב ומסתיים ב יב. מספר ה זוגי ומספר ה אי זוגי יג. אות לפני אחרונה יד. אסור רצף באורך שניים. טו. אסור רצף באורך שלוש. טז. כל המילים שאחרי כל מופע של אם יש מופיע מיד רצף של שלש אותיות יז. אורכן זוגי ושאין בהן תת מילה יח. שארית חלוקת מספר ה בשלוש שווה יט. תת המחרוזת מופיעה בדיוק פעמיים כ אוטומט סופי

39 שפות שמתוארות על ידי חזקה לעיתים תיאור השפה נעשה באופן הבא: בנה אוטומט סופי דטרמיסיטי לשפה n, k n k תאור פורמלי זה אומר שהשפה חייבת להתחיל ב ים (לפחות ) ולאחרי זה ים (לפחות ). אסור שאחרי שמופיע יופיע מילים מתקבלות :,, מילים שאינן מתקבלות :,,, q3 הסבר הינה המילה הריקה.. הינה המילה 2 הינה המילה. וכו n הינם כל המילים שבהם מספר ים במילה שווה למספר ה יםכאשר ה ים בתחילת המילה n n וה ים בסוף המילה(לאחר ה ים). המילה הקצרה ביותר. 39 אוטומט סופי

40 דף תרגילים מספר 8 א'- בנית אס"ד בנה אס"ד לכל אחת מהשפות הבאות מעל :},{ n m. n m n m n m n m n m n m n m...d. מעל :},,{ מעל :},{ ) שקול לומר % 3 ( = ) שקול לומר % 3 ( % 3 = בנה אס"ד לכל אחת מהשפות הבאות k,m,n. k,m,n k m,n m n,k n m k n m k n m k n m k...d בנה אס"ד לכל אחת מהשפות הבאות L={,,,e}. m = n % 3. n m n m m % 3 = n % 3 אורך זוגי ואין רצף..d.2.3 {,} {,,2,3,4,5,6,7,8,9} מיוחדים מס' בינאריים המתחלקים ב 5 ללא שארית. מספר שלם המתחלק ב 3 ללא שארית..4 4 אוטומט סופי

41 אוטומט לא דטרמיניסטי/אוטומט לא שלם, האוטומט שמשמאל אינו דטרמיניסטי כיוון שמ עבור הקלט ניתן או לעבור ל או ל. כמו כן האוטומט אינו שלם כיוון שמ אין אנו יודעים להיכן אף ללכת עבור קלט או. האוטומט מקבל את כל המילים מעל {,} המסתיימות ב. הכלל הינו שאם קיים מסלול עבור מילה שמוביל למצב מקבל המילה מתקבלת אחרת אינה מתקבלת. לכל אוטומט לא דטרמיניסטי ניתן לבנות אוטומט דטרמיניסטי השקול לו. (כלומר שמקבל את אותם המילים ואותם בלבד).,,2 דוגמה נוספת,,2 האוטומט מקבל את כל המילים מעל {,,2} שהאות לפני האחרונה הינה. לעומת זאת שימו לב שאין זה נכון לומר על האוטומט הבא שהוא מקבל מילים שאינן מסתיימות ב.,,2 אם במבחן לא נאמר לבנות אוטומט דטרמיניסטי הרי שניתן לבנות לא דטרמיניסטי או דטרמיניסטי כרצונכם. 4 אוטומט סופי

42 דף תרגילים מספר 9 -תרגילים שונים תרגיל נתון האוטומט הבא מעל הא"ב }, } : q3, q4 א. ב. הגדר את השפה המתקבלת. הגדר תפקיד כל מצב. {,,2} תרגיל בנה אוטומט סופי לא דטרמיניסטי עבור השפות הבאות מעל א) האות האחרונה שווה לראשונה. ב) האות האחרונה לא הופיע קודם במילה. ג) האות לפני האחרונה שווה לאות הראשונה. תרגיל בנה אוטומט סופי דטרמיניסטי אשר מקבל את השפה הבאה מעל הא"ב}, { אוסף המילים המתחילות ב, מכילות מספר זוגי של אפסים ומסתיימות ב. (הערה : המילה מתקבלת בשפה זו) n m j n % 3= =m % 3 j=n%3 תרגיל נתונה השפה הבאה בנה אוטומט לשפה. תרגיל בנה אס"ד, המקבל את כל המילים מעל הא"ב { },, המכילות לפחות 2 אותיות ומספר אותיות ה בהן מתחלק ב אוטומט סופי

43 תרגיל נתונים שני האוטומטים (סופיים דטרמיניסטים) הבאים מעל }, {, strt, strt,, בדוק עבור שני האוטומטים האם המילים הבאות מתקבלות : (3) (2) () א. ב. הסבר במילים מהי השפה המתקבלת עבור האוטומט הראשון. - הבא דוגמא נגדית ואם אינה נכונה - הסבר מדוע, עבור שתי הטענות הבאות, אם הטענה נכונה (דוגמא שסותרת את הטענה). כל מילה המתקבלת באוטומט השני מתקבלת גם באוטומט הראשון. () כל מילה המתקבלת באוטומט הראשון מתקבלת גם באוטומט השני. (2) ג. 43 אוטומט סופי

44 תרגיל (השאלה הבאה מנוסחת בסגנון מבחני הבגרות) לפניך השפה L מעל הא"ב {,} L= { m n k n,m > זוגי k m+n+k{ לפניך סרטוט חלקי של אוטומט סופי דטרמיניסטי המקבל את L. בסרטוט חסרים סימני קלט. הסרטוט מכיל את כל המצבים של האוטומט ואת כל המצבים המקבלים. העתק למחברתך את הסרטוט והשלם אותו כך שיקבל את השפה. L עליך להשלים את סימני הקלט החסרים. שים לב: אין להוסיף מצבים לאוטומט, ואין להוריד ממנו מצבים. תרגיל (השאלה הבאה מנוסחת בסגנון מבחני הבגרות) השפה L מעל הא"ב {,} מקיימת את התנאי שהאות לפני האחרונה. לפניך סרטוט חלקי של אוטומט סופי דטרמיניסטי המקבל את L. בסרטוט חסרים סימני קלט ומעברים. q3 הסרטוט מכיל את כל המצבים של האוטומט ואת כל המצבים המקבלים. העתק למחברתך את הסרטוט והשלם אותו כך שיקבל את השפה. L עליך להשלים את סימני הקלט החסרים ואת המעברים החסרים. שים לב: אין להוסיף מצבים לאוטומט, ואין להוריד ממנו מצבים. 44 אוטומט סופי

45 תרגיל מה השפה המתוארת באוטומט הבא? תרגיל הגדר לכל אוטמט את השפה המתקבלת? q5 q4 q4 q3 q3 45 אוטומט סופי

46 תרגיל להלן שרטוט של השפה L מעל הא"ב.{,,} הגדר את השפה המתקבלת. תרגיל הגדר מהי השפה שמתקבלת מעל {,} תרגיל הגדר את השפה המתקבלת 46 אוטומט סופי

47 דף תרגילים מספר -אוטומט סופי לא דטרמיניסטי,,2 תרגיל הגדר לכל אחד מהאוטומטים הבאים מה השפה המתקבלת?,,2,,2,,2,,2 q3,,2 תרגיל הסבר מדוע לא נכונים המשפטים הבאים בהתייחס לאוטומטים שלידם?. הגדר מה השפות שהאוטומטים מקבלים. 2. האוטומט מקבל מילים המכילות פעם אחת בלבד. האוטומט אינו מקבל מילים המכילות.,,2 47 אוטומט סופי

48 אוטומט מכפלה לעיתים עלינו לבנות אוטומט אשר תיאורו מכיל תנאים שביניהם היחס וגם(חיתוך) או היחס או (איחוד). כמובן שתמיד ניתן לבנות את האוטומט המבוקש ישירות אך קיימת גם דרך טכנית לבנות אוטומט עבור כל תנאי ואז לשלב את האוטומטים. נראה מספר דוגמאות. נתחיל מדוגמה פשוטה (שברור שניתן לבנות לה ישירות אס"ד) תחילה נראה דוגמאות כאשר היחס בין התנאים הינו ו"גם" ולאחר מכן כאשר היחס הינו "או". 48 אוטומט סופי

49 אוטומט מכפלה )ים וים( בתהלוכה שבה משתתפים ים וים מתקיימים החוקים הבאים: התהלוכה מתחילה ב. התהלוכה מסתיימת ב. חייב להסתיים ב חייב להתחיל ב..2 q3 q4 עד עתה בנינו אוטומט עבור כל תנאי. כעת נבנה טבלה. נתחיל מהמצב ההתחלתי של שני האוטומטים שהינו q3 ונרשום לאיזה מצב מוביל אותנו. אנו רואים שבאוטומט השמאלי מוביל ל ובאוטומט הימני מוביל ל q3 מכאן ש מוביל ל q3 כנ"ל נבצע ל ונבחין שהוא מוביל ל q4 מכאן קיבלנו את השורה הראשונה בטבלה. כעת כל מצב שמופיע בעמודות ו ירשם בעמודת מצב וחוזרים על התהליך. בנית אוטמט המכפלה מצב q3 q3 q4 q4 q3 q3 q3 q3 q3 q3 q4 q4 q4 q4 q4 הינו מצב מקבל באוטומט השמאלי ו q4 הינו מצב מקבל באוטומט הימני לכן q4 הינו המצב המקבל באוטומט הסופי האוטומט לפי הטבלה האוטומט לאחר צמצום מצבים,3,3,3,3,4,4 2,4 2,4 2,3 49 אוטומט סופי

50 אוטומט מכפלה )ים וים( בתהלוכה שבה משתתפים ים וים מתקיימים החוקים הבאים. התהלוכה מתחילה ב. אסור שמשמאלו וימינו יהיו ים..3.4 אסור בין שני ים חייבת להתחיל ב q3 q4 q5 q6 בנית אוטמט המכפלה מצב q3 q4 q3 q4 q4 q5 q5 q6 q3 q3 q4 q3 המצבים המסומנים בירוק הינם מצבים מקבלים. (כל שילוב של מצב מקבל באוטומט אחד עם מצב מקבל באוטומט השני הינו מצב מקבל) שימו לב ש הינה מלכודת של מצב לא מקבל ולכן לא רשמנו אותה בעמודה "מצב",4,3 2,3,6,5,3 ראה מצגת הסבר 5 אוטומט מכפלה

51 אוטומט מכפלה )ים ים ועכברים( תרגיל דומה לקודם רק שהפעם נוספו עכברים. בתהלוכה שבה משתתפים עכברים ים וים מתקיימים החוקים הבאים. התהלוכה מתחילה ב. אסור שמשמאלו וימינו יהיו ים...2 עכבר אסור בין שני ים עכבר חייבת להתחיל ב עכבר q3 q4 עכבר q5 q6 עכבר עכבר בנית הטבלה עכבר עכבר q3 q4 q5 q4 q4 q6 q3 q5 q3 q3 q3 q3 q3 q4 q3 q3 האוטמט 4 3 עכבר עכבר 2,3,6 5 עכבר 3 עכבר עכבר 5 אוטומט מכפלה

52 אוטומט מכפלה)ים ים ועכברים תנאי מורכב יותר( בתהלוכה שבה משתתפים עכברים ים וים מתקיימים החוקים הבאים. התהלוכה מתחילה ב. אסור שהתהלוכה תסתיים בעכבר. אסור שמשמאלו וימינו יהיו ים אסור בין שני ים מתחילה ב ואסור שתסתיים בעכבר עכבר עכבר עכבר עכבר עכבר q4 q5 עכבר q6 q7 q3 עכבר עכבר עכבר q4 q5 q3 q4 q3 q4 q5 q5 q6 q4 q6 q7 q4 q4 q4 q5 q4 q4 q4 q5 q4 q4 עכבר עכבר עכבר עכבר עכבר 6 4 עכבר 52 אוטומט מכפלה

53 אוטומט מכפלה )מכיל "בת בת" אינו מכיל "בן בן" ) ילדים הושבו בשורה אך נקבעו כללים משונים: חייב שבשורה לפחות פעם אחת ישבו 2 בנות יחד כלומר אחת ליד השנייה (מכיל.( שימו לב שמותר גם שלוש בנות ביחד ואם שלוש בנות יושבות יחד אזי התנאי שני בנות יחד מתקיים. אסור ששני בנים ישבו יחדיו. (אינו מכיל (..2 מכיל אינו מכיל q3 q4 q q3 q3 q4 q3 q5 q4 q5 q5 q3 q3 q3 q3 q5 q3 q5 q5 q4 q4 q5 q4 q5 q5 q5 q את מצבים ניתן לאחד למלכודת אחת אוטומט מכפלה

54 אוטומט מכפלה )ים וים( )תנאי או( בתהלוכה שבה משתתפים ים וים מתקיימים החוקים הבאים: התהלוכה מתחילה בכל או חייבת להסתיים ב מסתיימת ב. חייבת להתחיל ב q3 q4 עד עתה בנינו אוטומט עבור כל תנאי. כעת נבנה טבלה. נתחיל מהמצב ההתחלתי של שני האוטומטים שהינו q3 ונרשום לאיזה מצב מוביל אותנו. אנו רואים שבאוטומט השמאלי מוביל ל ובאוטומט הימני מוביל ל q3 מכאן ש מוביל ל q3 כנ"ל נבצע ל ונבחין שהוא מוביל ל q4 מכאן קיבלנו את השורה הראשונה בטבלה. כעת כל מצב שמופיע בעמודות ו ירשם בעמודת מצב וחוזרים על התהליך. בנית אוטמט המכפלה מצב q3 q3 q4 q4 q3 q3 q3 q3 q3 q3 q4 q4 q4 q4 q4 הינו מצב מקבל באוטומט השמאלי ולכן בכל מקום שמופיע באוטומט המכפלה יהיה מצב מקבל. q4 הינו מצב מקבל באוטומט הימני ולכן בכל מקום שמופיע q4 באוטומט המכפלה יהיה מצב מקבל. האוטומט לפי הטבלה האוטומט לאחר צמצום מצבים,3,3,3,3,4 2,4 2,3 2,4 2,3 54 אוטומט מכפלה

55 דף תרגילים מספר -אוטומט מכפלה. בנה אוטומט מכפלה מעל {,} שאסור שיופיע ואות לפני אחרונה (נתון פתרון חלקי-השלם אותו). אינו מכיל אות לפני אחרונה q3 q4 q5 q6 2. נתונים שני האוטומטים הדטרמיניסטיים הבאים :,,,,, רשום במילים את השפה המתקבלת ע"י כל אחד מהאוטומטים. הגדר את השפות המתקבלות מ : ) חיתוך האוטומטים. 2) איחוד האוטומטים. בנה לכל סעיף ב ב' אוטומט מתאים בעזרת אוטומט מכפלה. א. ב. ג. ילדים הושבו בשורה לפי הכללים הבאים: i. חייב שבשורה לפחות פעם אחת ישבו 2 בנות יחד כלומר אחת ליד השניה (. שימו לב שמותר גם שלוש בנות ביחד ואם שלוש בנות יושבות יחד אזי התנאי שני בנות יחד מתקיים.).ii מספר הבנות זוגי אוטומט מכפלה

56 מונחים )הדפס דפים אלה( שימו לב!! עד עתה בבחינת הבגרות כאשר נעשה שימוש באחד מהסימונים הבאים הרי שהוא לווה בהסבר. דוגמה: בנה אוטומט מעל {,,} המקיים את התנאי => 2 המונחים # ( w) (מספר אותיות במילה קטן שווה 2) סימון משמעות האות היוונית מייצגת את המילה הריקה. מספר האותיות במילה הריקה הינו אפס. שפה שמכילה מילה ריקה היא לא שפה ריקה, שכן יש בה מילה אחת שהיא המילה הריקה השפה הריקה. מספר המילים בשפה הריקה הינו אפס. (אינה מכילה את המילה הריקה). בדרך כלל האות w מציינת מילה בשפה. מילה הינה סדרה סופית של אותיות מתוך אורך של מילה w מציין את מספר האותיות במילה מספר המופעים של אות הא"ב במילה w בדרך כלל האות L מציינת שפה של מילים מספר המילים בשפה L המילה w שייכת לשפה, L המילה נמצאת בשפה המילה w לא שייכת לשפה, L המילה לא נמצאת בשפה קבוצת אותיות א"ב של השפה. דוגמאות : שפת כל המילים שניתן להרכיב מאותיות קבוצת הא"ב שייך ל... מספר האחדים מביע את ערך המספר דוגמה: שווה 3 # ( ). דוגמה: 3 ={,,} ={,,} כולל המילה הריקה w w # ( w ) L L w L w L * Є מספר אונרי (,)* L = { w Є פירושו ש L הינה שפה מעל (,) כך # ( w) # ( w) { שמספר ה ים במילה שווה למספר ה ים במילה. הסימן פירושו "כך ש". 56 מונחים

57 סימון משמעות שרשור בין 2 מילים יוצר מילה חדשה המתקבלת מהצמדת המילה השנייה הראשונה או w 2 w מימין למילה מילה חדשה המתקבלת משרשור המילה w לעצמה i פעמים. חזקת שווה המילה הריקה. היפוך המילה w יוצר מילה חדשה המתקבלת מרישום אותיות המילה בסדר הפוך מימין לשמאל,L יוצר את שפת כל המילים משתי השפות יחד - שקול לקשר לוגי של איחוד שתי שפות L2 חיתוך שתי שפות של וגם שרשור שתי שפות מהשפה L, L2 2 יוצר את שפת כל המילים המשותפות לשתי השפות - שקול לקשר לוגי,L יוצר את שפת כל המילים המתקבלות משרשור מימין של כל מילה L L 2 לכל מילה מהשפה L חזקה של שפה מציינת שרשור השפה L לעצמה i פעמים היפוך השפה L יוצר את שפת כל המילים ההפוכות למילים בשפה L L מוכלת בשפה הכלה / חלקיות ]מוכל או שווה[ - השפה נמצאות בשפה L 2 או שווה לה, כל המילים בשפה L L 2 L 2 L מוכלת ממש בשפה ולא שווה לה - השפה הכלה / חלקיות ]מוכל ממש ולא שווה[ - השפה L 2 L נמצאות בשפה, L 2 כל המילים בשפה L חלקית לשפה L 2 L לא מוכלת בשפה השפה משלים יוצר את שפת כל המילים שאינן נמצאות בשפה L, L 2 הפרש שקול, L ולא נמצאות בשפה הפרש יוצר את שפת כל המילים שנמצאות בשפה L לביטוי L2 w w2 i w R( w), w L L 2 L L 2 LL 2 i L R( L), L L L 2 L L 2 L L 2 L L L 2 R R מלכודת של מצב מקבל הינו מצב שאומר שכל המשך שהוא המילה תתקבל. ומלכודת של מצב שאינו מקבל הינו מצב שאומר שכל המשך שהוא המילה לא תתקבל. דוגמה : כל המילים מעל {,,} המתחילות ב.,,,,, הגדרת המונחים בויקיפדיה 57 מונחים

58 סגירות שפות רגולריות תחת פעולות שפה רגולרית הינה שפה שניתן לבנות לה אוטומט אס"ד ולהיפך לשפה שניתן לבנות לה אס"ד קוראים שפה רגולרית. השפות הרגולריות סגורות תחת הפעולות הבאות: חיתוך, איחוד, שרשור, היפוך, משלים. חיתוך - גם) L L2 פירושו כל המילים המתקבלות הן ב L והן בL2 (. תהי L שפת כל המילים מעל {,} המתחילות ב. תהי L2 שפת כל המילים מעל {,} המסתיימות ב.. ומסתיימות ב הינם המילים המתחילות ב L3 = L L2 אם ידוע ש L רגולרית ו L2 רגולרית אזי L L2 גם כן רגולרית. איחוד - או ( L2 L פירושו כל המילים המתקבלות ב L או ב (. L2 תהי L שפת כל המילים מעל {,} המתחילות ב. תהי L2 שפת כל המילים מעל {,} המסתיימות ב.. או מסתיימות ב הינם המילים המתחילות ב L3 = L L2 אם ידוע ש L רגולרית ו L2 רגולרית אזי L L2 גם כן רגולרית. שרשור) L L2 פירושו כל המילים אשר ניתן לחלק אותן לשני חלקים כך שהחלק השמאלי שייך ל L והימני ל L2( תהי תהי -שים לב שגם מילה ריקה יכולה להיות חלק שמאלי אם L כוללת אותה או חלק ימני אם. המתחילות ב {,} שפת כל המילים מעל L. המסתיימות ב {,} שפת כל המילים מעל L2 L2 כוללת אותה(. L3 = L L2 הינם המילים המתחילות ב ומסתיימות ב. קיבלנו כמו החיתוך, אך לא תמיד נקבל כך. אם ידוע ש L רגולרית ו L2 רגולרית אזי L L2 גם כן רגולרית. שרשור של השפה הריקה עם כל שפה נותנת שפה ריקה. שפה המכילה את המילה הריקה אינה שפה ריקה. (האם נכון לומר ש.( L2 L = L L2 R(L) פירושו היפוך L מסומן גם כ. L R. כלומר עבור כל מילה ב L אנו הופכים אותה. תהי L שפת כל המילים מעל {,} המסתיימות ב. הינה שפת כל המילים המסתיימות ב R(L) 58 סגירות שפות רגולריות

59 משלים (L) מסומן L פירושו כל המילים שאינן מתקבלות ב. L. תהי L שפת כל המילים מעל {,} המתחילות ב הינה שפת כל המילים שאינן מתחילות ב. (כולל המילה הריקה). L L (האם נכון לומר שאחת משתי השפות L או מכילה את המילה הריקה). הכלה )השפות הרגולריות אינן סגורות תחת פעולה זו ). n n תהי L שפת כל המילים מעל.{,} תהי תהי 'L שפת כל המילים מעל {,} מהצורה L רגולרית בעוד 'L אינה רגולרית. הרחבה בנושא בעמוד סגירות שפות רגולריות

60 אוסף תרגילים פתורים בהוכחת רגולריות בעזרת חוקי סגירות תרגיל הוכח שהשפה L מעל {,,} שבה כל מילה מתחילה ב מסתיימת ב פתרון ומכילה את הרצף רגולרית.,,, ניתן לפרק את השפה לשלוש שפות. ולבנות אוטומט לכל שפה. כל המילים המתחילות ב L,, כל המילים המסתיימות ב L2,, כל המילים המכילות L3,,,, L=L L2 L3 המבוקשת מסגירות משפחת השפות הרגולריות לפעולת החיתוך נובע ש L רגולרית. (?? L=L L3 L2 (?? (האם נכון לומר ש L=L L2 L3 (האם נכון לומר ש תרגיל 2 הוכח שהשפה רגולרית. פתרון L מעל {,,} שבה כל מילה (מתחילה ב או מסתיימת ב ( ואינה מכילה את הרצף הפתרון דומה לפתרון התרגיל הקודם. ניתן לפרק את השפה לשלוש שפות. ולבנות אוטומט לכל שפה. L כל המילים המתחילות ב כל המילים המסתיימות ב כל המילים המכילות L2 L3 L ( L L2) L3 מסגירות משפחת השפות הרגולריות לפעולת החיתוך,איחוד,משלים נובע ש L רגולרית. 6 סגירות שפות רגולריות

61 תבנית להוכחת רגולריות של שפה נתונה השפה L מעל הא"ב { } המקיימת את התנאים הבאים: "התנאים" הוכח שהשפה רגולרית. הוכחה ננגדיר את השפות הבאות ונבנה אוטומט לכל שפה =L הינה שפה מעל {} המקיימת את תנאי א =L2 הינה שפה מעל {} המקיימת את תנאי ב =L3 הינה שפה מעל {} המקיימת את תנאי ג * * פעולה L=L פעולה L2 L3. (במילה פעולה אנו מתכוונים לחיתוך או איחוד או משלים או שרשור או היפוך) אנו רואים כי ניתן לבטא את L בעזרת השפות שבנינו. מסגירות משפחת השפות הרגולריות לפעולות החיתוך, איחוד, שרשור, משלים והיפוך נובע ש L רגולרית. 6 סגירות שפות רגולריות

62 תרגיל 3 תהי L שפת כל המילים מעל הא"ב {,} שבהן השארית של מספר האותיות מחולק ב- 2 שווה לשארית של מספר האותיות מחולק ב- 2. האם L רגולרית? הוכח את תשובתך., פתרון הדרך הפשוטה ביותר להוכחה הינה בנית האוטומט : תרגיל 4 תהי L שפת כל המילים מעל הא"ב {,,2} המסתיימות ב( או ב ( האות לפני האחרונה אורך המילה מתחלק ב 5 עם שארית גדולה מאפס וחייב שכל אות תופיע לפחות פעם אחת. האם L רגולרית? פתרון, נגדיר את השפות הבאות ונבנה אוטומט לכל שפה. את התנאי (מסתיים ב או ב ) והאות לפני האחרונה ניתן ל צמצם למסתיים ב.,2 L השפה שמסתיימת ב,2,2 השפה שמכילה את האות לפחות פעם אחת L2 באופן דומה L3 עבור ו L4 עבור 2.,2,,2,,2,,2 השפה שאורך המילה מתחלק בשלוש ללא שארית L5,,2,,2,,2,,2,,2,,2 השפה שאורך המילה מתחלק בחמש ללא שארית L6 L השפה המבוקשת L ( L ומסגירות L2 L3 L4) L5 L6 השפות הרגולריות לפעולות החיתוך ומשלים נובע ש L רגולרית 62 סגירות שפות רגולריות

63 תרגיל 5 בתרגיל זו שני סעיפים א ו ב שאין קשר ביניהם. ענה על שניהם. :},} א. לפניך השפה L מעל הא"ב אוסף כל המילים המתחילות ב, מספר ה ים במילה מתחלק ב 2 ללא שארית, הרצף מופיע במילה והרצף הוכח שהשפה רגולרית. אינו מופיע במילה. ב. לפניך שתי שפות : L= { () n () n n> } L2= { () n () n n> } רשום לגבי כל שפה האם היא רגולרית או לא. פתרון א נגדיר את השפות הבאות ונבנה אוטומט לכל שפה. אם כן, בנה את האוטומט, אם לא נסה לנמק מדוע. L הינה שפה מעל {,} של המילים המתחילות ב q3 q4, L2 הינה שפה מעל {,} של המילים שמספר ה במילה מתחלק ב 2 ללא שארית L3 הינה שפה מעל {,} של המילים שהרצף מופיע במילה q3,, L4 הינה שפה מעל {,} של המילים שהרצף מופיע q3 במילה,, L= L L2 L3 ( L 4 ) המבוקשת ומסגירות השפות הרגולריות לפעולות החיתוך ומשלים נובע ש L רגולרית 63 סגירות שפות רגולריות

64 פתרון ב L רגולרית וניתן לבנות לה אוטומט. (שים לב שעל הקשת יש ( שזה חוקי בתורת המודלים אך אין מלמדים לבנות כך לפי תכנית הלימודים. L2 אינה רגולרית כי ניתן להסתכל על השפה כ x n y n וקיימת תלות בין מספר ה xים למספר ה yים והתלות אינה חסומה. תרגיל 6 L L2 רגולרים. L-L2 רגולרית. נתון כי הוכח כי פתרון L-L2 = L L 2 ומחוקי הסגירות נובע שהיא רגולרית. תרגיל 7 הוכח כי השפה L מעל {,,2} שאורך המילה זוגי מכילה את הרצף 2 ולאחריו במקום כלשהו את הרצף רגולרית. פתרון נגדיר את השפות הבאות ונבנה אוטומט לכל שפה. אורך מילה זוגי מכיל 2 מכיל L L2 L L= L ( L2* L3) המבוקשת ומסגירות השפות הרגולריות לפעולות החיתוך ושרשור נובע ש L רגולרית. 64 סגירות שפות רגולריות

65 אוסף תרגילים פתורים בפעולות על שפות נתונות שתי שפות מעל.{,} הינה שפת כל המילים המכילות L הינה שפת כל המילים המסתיימות ב L2 מהי השפה L L2 פתרון זוהי שפת כל המילים המסתיימות ב ומכילות למשל, (לא בשפה ( מהי השפה L2 L פתרון זוהי שפת כל המילים המכילות ומימין ל מופיע (מכילות רצף ( למשל, (לא בשפה ( מהי השפה L L2. פתרון זוהי שפת כל המילים המסתיימות ב ומכילות. (כמו שרשור (L L2 מהי השפה LυL2 פתרון זוהי שפת כל המילים המסתיימות ב או מכילות.שימו לב שזוהי שפת כל המילים מעל, לא כולל המילה הריקה. למשל {,} מהי שפת המשלים ל L. פתרון זוהי השפה המכילה ים בלבד כולל המילה הריקה. ( n ) n 65 פעולות על שפות

66 נתונות שתי שפות מעל.{,,} (דומה לתרגיל הקודם רק שהוספנו את ( הינה שפת כל המילים המכילות L הינה שפת כל המילים המסתיימות ב L2.2 מהי השפה L L2 פתרון זוהי שפת כל המילים המסתיימות ב ומכילות למשל, (לא בשפה ( מהי השפה L2 L פתרון זוהי שפת כל המילים המכילות ומימין ל מופיע למשל, מהי השפה L L2 פתרון זוהי שפת כל המילים המסתיימות ב ומכילות. (כמו שרשור (L L2 מהי השפה LυL2 פתרון זוהי שפת כל המילים המסתיימות ב או מכילות. למשל, מהי שפת המשלים של L. פתרון זוהי השפה המכילה םי או םי כולל המילה הריקה. ( n n ) נתונות שתי שפות רגולריות L L2 כלשהן..3 L2= k k> האם נכון לומר ש R(L L2) == L2 L פתרון התשובה לא. דוגמה: L= n n> מילים שמתחילות ב מילים שמתחילות ב R(L L2) L2 L. ומסתיימות ב תהי L שפת כל המילים מעל {,} המתחילות ב.4 מהי השפה R(L) L פתרון השפה הריקה. מהי השפה R(L) L - פתרון L. 66 פעולות על שפות

67 נתון האוטומט הבא מעל הא"ב },{ : (קשה).5, א. ב. ג. א. ב. ג. הגדר את השפה שהאוטומט מקבל. בנה את האוטומט המשלים. האם יכול להיות שהאוטומט ההפוך לשפה כלשהי תהיה זהה לשפה המקורית (כלומר כל מילה המתקבלת בשפה המקורית תתקבל גם בשפה ההופכית, ולהפך. כמו כן כל מילה שלא מתקבלת בשפה המקורית לא תתקבל בהופכית ולהפך). פתרון המילים המתקבלות הם אלה שיש בהם לפחות פעם אחת במקום אי זוגי. האוטומט המשלים (שיש בו רק במקום אי זוגי לא כולל המילה הריקה. כן. מתחיל ב ומסתיים ב, T נתונה השפה הבאה מעל הא"ב {,} היא אוסף כל המילים המתחילות ומסתיימות באותה אות לא כולל המילה הריקה..6 או טענה T שווה T T הוכח או הפרך פתרון הטענה שגויה כי המילה הקצרה ביותר ב T היא וב T T המילה הקצרה ביותר מכילה 4 אותיות. דוגמה נוספת (כלומר ( ב TT ואינה ב T 67 פעולות על שפות

68 7. לפניך השפות הבאות: L=}w ב w זוגי }אוסף כל המילים מעל },{ שבהן מספר ה L2=}w ב w זוגי }אוסף כל המילים מעל },{ שבהן מספר ה L3= { n m n,m } הא"ב הוא },{ L4= { n m n,m } הא"ב הוא },{ L5 = { n n x n=x%3,x >= { הא"ב הוא { },, { שפת כל המילים מעל,,{ } שהרצף מופיע בהן בדיוק פעם אחת } = L6. Є (L L2) לפניך מספר טענות. קבע לכל אחת אם היא נכונה או לא ונמק את קביעתך. פתרון לא כי מספר ה במילה איזוגי ולפי התנאים חייב להיות זוגי. 2. (L L3) L2 = { n m n,m, )השפה הריקה) 3. L3 L4 = Ø 4. L5 L5 = { n n x n n x n=x%3, x>= } 5. L5 L6 = Ø 6. L5 R(L6) = {, } כן } m זוגי, n זוגי לא כי לא כי מתקבל בשניהם לא חייב להיות זהה L5 n כן כי אסור שיופיע ב לא כי גם כן מתקבל L = n n> L2 = n n> n> n n נתונות שתי שפות מעל.{,} מהי השפה L L2 פתרון n,k> n k כיוון ש n מופיע בשתי השפות רצוי לשנות את n באחת מהן לאות אחרת. פתרון שגוי.8 68 פעולות על שפות

69 דף תרגילים מספר 2 -סגירות שפות רגולריות ופעולות בין שפות השפות הבאות הינן מעל {,,} שפת כל המילים המתחילות ב. שפת כל המילים המתחילות ב. שפת כל המילים המתחילות ב. L L2 L3. מהן השפות הבאות? תן דוגמה למילה הקצרה ביותר המתקבלת בשפה ולמילה שאינה מתקבלת בשפה. כלומר שרשור כל מילה ב L למילה הריקה. L e א. L Ø ב. R(L) L ג. L-R(L) ד. L L2 ה. L L2 ו. L L2 L R(L2) L L2 L L2 L L2 L R(L2) R( L) R( L2) ( L L2) L L2 e L L3 L L3 L L2 L3 L3-L L - L3 ז. ח. ט. י. יא. יב. יג. יד. טו. טז. יז. 2. האם הכללים הבאים נכונים לכל שתי שפות רגולריות? A B A B A B A B 69 פעולות על שפות

70 3. נתונות השפות הבאות מעל {,,} L = { n m n>m>} L 2 ={ n 2m m>n>} מהן השפות הבאות? תן דוגמה למילה הקצרה ביותר המתקבלת בשפה. תן דוגמה למילה שאינה מתקבלת בשפה. א. L L2 ב. L L2 L L2 L R(L2) L L2 L L2 L L2 L R(L2) R( L) R( L2) ( L L2) ג. ד. ה. ו. ז. נגדיר * 4. כאוסף כל המילים מעל א"ב נתון, כולל המילה הריקה. בעבור שפה L כלשהי נגדיר : Init(L) = {u uv Є L u,v Є * } Fin(L) = {v uv Є L u,v Є * } Min(L) = L אינה שייכת ל אינה ריקה w ו w2 w=w.w2 המקיימות w ובעבור כל w2 w Є L לפניך 5 שפות מעל ה א"ב {,} L={ n n k k n k } L2={ n k n k } L3={ i i i } L4={ i k k i } L5={ i k i k } (L3)? Init מהי השפה? L L2 מהי השפה? Є Min(L4) האם Fin(L3)? מהי השפה L4 L5 רגולרית? האם Min(L5)? Є האם 7 פעולות על שפות

71 . {,, } מעל הא"ב L -L 5 )לצטר( 5. לפניך חמש השפות } אוסף כל המילים שבהן מספר האותיות ב - w אי זוגי / w L = { L 2 = { w / w % 3 = 2 } L 3 = { n 3n / n } } אוסף כל המילים שבהן מספר האותיות ב - w זוגי / w L 4 = { L5= { n n+ m n>=, m=n%3 } מהן השפות הבאות? L6= L5 L L 7 = L3 L 2 L8 = L3 L4 L9 = L L 2 L= L3 L L = L3 2. R(L5) L = { w / בלבד, מה השוני בתשובה הקודמת לו } אוסף כל המילים שאורכן אי זוגי ומכילות את האותיות.6 נתונות השפות הבאות מעל הא"ב {,} L={ n m n,m { L2={ n m n,m {.7 מהי השפה L. L2? הוכח את תשובתך. האם R(L) שווה L2? R(L). L2 הוכח את תשובתך. האם (L2) (L2). שווה 7 פעולות על שפות

72 שאלות ופתרונות שניתנו בקורס מורים מובילים בהנחיית ד"ר מיכל ארמוני שאלה )איריס ברגורי( תהיינה L 2 ו- L שפות מעל הא"ב (חוקי סגירות של שפות רגולריות) הוכח או הפרך (על ידי דוגמה נגדית) את הטענה הבאה: אם פתרון הטענה אינה נכונה. דוגמה נגדית: {,}. תהי L 2 L שפת כל המילים השייכות ל- L 2 אך אינן שייכות ל- L. ו- L 2 L רגולריות, אז L 2 רגולרית..L =. L 2 L }w w > 3} = { n n n>} L * * היא רגולרית (להוכחה מלאה יש כמובן להראות אוטומט סופי שמקבל את L). L 2 L ={ n n n>, 2n<3}={ n n n=} כלומר, L 2 L היא שפה סופית (שמכילה בדיוק מילה אחת) ולכן רגולרית. אבל ידוע כי L 2 אינה רגולרית. ומכאן ההוכחה. שאלה 3 )ויקטוריה צורי( תהי L שפת כל המילים מעל הא"ב {,,2}, שמתחילות במספר כלשהו (גדול ממש מ- ) של אפסים ואין בהן שתי אותיות צמודות. האם L רגולרית? הוכח את תשובתך. פתרון קל יותר לפתור שאלה זו בעזרת פירוק לשפות פשוטות יותר ושימוש בתכונות סגירות, אך גם פתרון ישיר, על ידי בניית אוטומט הוא אפשרי. בפתרון ישיר לעיתים קרובות שוכחים לטפל באות 2. L, L L L 2 ניתן לפרק את L כך: ו- L 2 מעל הא"ב {,,2}: L ={w L 2 ={w מתחילה ברצף לא ריק של אפסים }w מכילה רצף w{ L רגולרית הנה אוטומט שמקבל אותה (אוטומט דטרמיניסטי לא מלא),,2 L 2 רגולרית הנה אוטומט שמקבל אותה (אוטומט לא דטרמיניסטי): סגירות שפות רגולריות 72

73 ,,2,,2 L 2 מסגירות משפחת השפות הרגולריות לפעולת המשלים גם רגולרית, L L רגולרית. L 2 ומסגירות משפחת השפות הרגולריות לפעולת החיתוך גם הנה אוטומט מתאים עבור L:,,2,,2 והנה אוטומט מתאים עבור L: 2,2,,2,2 סגירות שפות רגולריות 73

74 שאלה 4 )ויקטוריה צור( נתבונן בשפה מעל הא"ב {,,} המכילה את כל המילים שאורכן אי-זוגי והן מקיימות לפחות אחד משני התנאים הבאים:..2 מתחילות ומסתיימות באותה אות. מכילות את הרצף. האם השפה רגולרית? הוכח את תשובתך. פתרון פתרון ישיר ללא שימוש בפירוק (ע"י בניית אוטומט סופי המקבל את השפה) אינו פשוט, אך ניתן להגיע לפתרון בעל מורכבות טכנית נמוכה ע"י שימוש בפירוק הבא: L 2 ו- L 3 מעל כאשר,L L = L (L 2 L 3 ) L ={w באורך אי-זוגי w{ L 2 ={w מתחילה ומסתיימת באותה אות w{ L 3 ={w מכילה את הרצף }w :{,,} הנה אוטומט סופי שמקבל את L:,,,, הנה אוטומט סופי שמקבל את L: 2,,,,,,,, q3 q4 q5 q זהו אוטומט סופי לא דטרמיניסטי. (אוטומט דטרמיניסטי עבור שפה זו הוא מורכב למדי). מטפל במקרה המיוחד שהמילה בת אות אחת כלומר האות המתחילה היא גם האות המסיימת (כמובן, אפשר לאחד את.(q 5 ו- q הנה אוטומט סופי שמקבל את L: 3 סגירות שפות רגולריות 74

75 ,,,, לכן,L L 2 ו- L 3 הן שפות רגולריות. מסגירות משפחת השפות הרגולריות לפעולת האיחוד גם L 2 L 3 רגולרית ומסגירות משפחת השפות הרגולריות לפעולת החיתוך גם ) 3 L (L 2 L היא רגולרית. 75 סגירות שפות רגולריות

76 שאלה 5 )ויקטוריה צורי( נתבונן בשפה מעל הא"ב {,,2}, המכילה את כל המילים שמתחילות ברצף או ברצף, ומסתיימות ברצף או ברצף. האם השפה היא רגולרית? הוכח את תשובתך. פתרון פתרון ישיר שאינו משתמש בפירוק אינו פשוט, כי קל לשכוח מילים כמו, שהן בשפה או ומקיימות תנאים בחפיפה. כמובן, כאשר מפרקים את השפה לשפות פשוטות, ההתמודדות היא עם כל תנאי בנפרד ואין צורך לחשוב על שילוב התנאים. ניתן להציג את השפה באופן הבא, כאשר L, L 2 (L L 2 ) (R(L ) L 3 ) L ={w מתחילה ב- w{ L 2 ={w מתחילה ב- w{ L 3 ={w מסתיימת ב- w{ L היא רגולרית הנה אוטומט סופי המקבל אותה: ו- L 3 הן מעל הא"ב {,,2}.,,2 L 2 היא רגולרית הנה אוטומט סופי המקבל אותה:,,2 L 3 היא רגולרית הנה אוטומט סופי המקבל אותה:,,2 q3 q4 מסגירות משפחת השפות הרגולריות לפעולת ההיפוך גם ) R(L רגולרית. מסגירות משפחת השפות הרגולריות לפעולת האיחוד גם L L 2 ו- R(L ) L 3 רגולריות, ומסגירות משפחת השפות הרגולריות לפעולת החיתוך גם ) 3 (L L 2 ) (R(L ) L רגולרית. 76 סגירות שפות רגולריות

77 שאלה 6 )ריקה רם( תהי L שפת כל המילים מעל הא"ב {,,} שאורכן לפחות 6, ובין 3 האותיות בהן מתחילה המילה אין שתי אותיות זהות ובין 3 האותיות בהן מסתיימת המילה אין שתי אותיות זהות. האם שפה זו רגולרית? הוכיחו את תשובתכם. פתרון ניתן להגדיר את L בעזרת שתי השפות הבאות: L היא שפת כל המילים מעל הא"ב {,,} שאורכן בדיוק 3 ואין בהן שתי אותיות זהות..{,,} היא שפת כל המילים מעל הא"ב L 2 L היא סופית ולכן רגולרית. L 2 אף היא רגולרית (מוכח בספר לתלמיד)..L=L L 2 L מסגירות משפחת השפות הרגולריות לשרשור גם L L 2 רגולרית ולכן גם L=(L L 2 ) L רגולרית. שאלה זו מדגימה יפה כי השימוש בפירוק יכול להפחית בצורה משמעותית את המורכבות הטכנית של הפתרון, ובמקרה זה אפילו אין צורך לבנות אוטומט, בעוד שבניית אוטומט ישיר לשפה כלל אינה טריוויאלית. שאלה 8 )אסנת אנגלמן, אסתי מאסטראסי ואורנה שטיין( הוכח כי שפת כל המילים מעל הא"ב {,,} שאינן מכילות רצף של שתי אותיות זהות היא רגולרית. פתרון ניתן לייצג את השפה בעזרת שלוש השפות הבאות, כולן מעל הא"ב{,, }:. היא שפת כל המילים שמכילות את הרצף L. היא שפת כל המילים שמכילות את הרצף L 2. היא שפת כל המילים שמכילות את הרצף L 3 L L2 השפה הנדונה היא L3.( ( L L2 (וניתן להציגה גם כ- (L3 L היא רגולרית. הנה אוטומט סופי שמקבל אותה (לא דטרמיניסטי).,,,, אוטומטים דומים מקבלים את עבור L 2.L 3 ו- L 2 נחליף את במעברים האלו ב-. לכן גם נחליף את במעברים מ- q ל- q ומ- q ל- q 2 ב-, ועבור L 3 L 2 ו- L 3 רגולריות. בייצוג הראשון מקבלים כי השפה הנדונה רגולרית ע"י שימוש שלוש פעמים בתכונת הסגירות של השפות הרגולריות לפעולת המשלים, ופעמיים שימוש בתכונת הסגירות של השפות הרגולריות לפעולת החיתוך. בייצוג השני מקבלים כי השפה הנדונה רגולרית ע"י שימוש פעמיים בתכונת הסגירות של השפות הרגולריות לפעולת האיחוד ופעם אחת שימוש בתכונת הסגירות של השפות הרגולריות לפעולת המשלים. 77 סגירות שפות רגולריות

78 שאלה 7 )רחלי צ'רניחוב( א. ב. ג. תהי L שפת כל המילים מעל הא"ב {,,} המקיימות את כל התנאים הבאים: ניתן לחלק את המילה לשני חלקים כך שחלקה הראשון מכיל את הרצף וחלקה השני מכיל את הרצף. המילה מכילה את הרצף. המילה אינה מכילה יותר משלוש אותיות רצופות. האם L רגולרית? הוכח את תשובתך. פתרון ניתן לייצג את L בעזרת השפות הבאות, כולן מעל הא"ב :{,,}. היא שפת כל המילים שמכילות את הרצף L. היא שפת כל המילים שמכילות את הרצף L 2. היא שפת כל המילים שמכילות את הרצף L 3 L ((L R(L)) L2 ) L3 L 2 ו- L 3 רגולריות:,L עבור :L A,,,, q3 עבור :L 2 A 2,,,, עבור :L 3 A 3,,,, q3 q4 מסגירות משפחת השפות הרגולריות לפעולת ההיפוך גם ) R(L רגולרית. מסגירות משפחת השפות הרגולריות לפעולת השרשור גם ) L R(L רגולרית. L 3 מסגירות משפחת השפות הרגולריות לפעולת המשלים גם רגולרית. L ((L R(L)) L2 מסגירות משפחת השפות הרגולריות לפעולת החיתוך גם (L R(L )) L 2 וגם ) L3 רגולרית. 78 סגירות שפות רגולריות

79 שאלה 9 )דגנית מורן( א. ב. תהי L שפת כל המילים מעל הא"ב {,,} המקיימות את כל התנאים הבאים: האות לפני האחרונה במילה היא, המילה מכילה פעמיים את הרצף ומספר האותיות במילה הוא זוגי. פתרון א. ב. הבא דוגמה למילה השייכת לשפה ודוגמה למילה שאינה שייכת לשפה. האם L רגולרית? הוכח את תשובתך. המילה שייכת לשפה. המילה אינה שייכת לשפה. נגדיר את שפות הבסיס הבאות מעל הא"ב :{,,}. שפת כל המילים שמכילות את הרצף L L 2 שפת כל המילים בהן מספר האותיות זוגי.. שפת כל המילים בהן האות לפני האחרונה היא L 3 כעת L = (L L ) L 2 L 3 L רגולרית הנה אוטומט סופי שמקבל אותה:,,,, q3 L 2 רגולרית הנה אוטומט סופי שמקבל אותה:,, L 3 רגולרית הנה אוטומט סופי שמקבל אותה:,,,, מסגירות משפחת השפות הרגולריות לשרשור גם L L לחיתוך גם L 2 L 3 רגולרית וגם ) 3.L = (L L ) (L 2 L רגולרית. מסגירות משפחת השפות הרגולריות 79 סגירות שפות רגולריות