1. תרמודינמיקה 2. קינטיקה ג- החוק השני והשלישי: מושגים ומנגנונים ג- ריאקציות חד-מולקולריות
|
|
- ramaic Αναγνώστου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 קצב ריאקציות כימיות כימיה פיסיקלית ד"ר דני פורת Tel: e-mil: Rm: Los Angeles 3 Course oo: Physicl Chemistry P. Atins & J. de Pul (7 th ed) Course site: סיל בוס קור ס. תרמודינמיקה א- תכונות הגזים ב- החוק הראשון של התרמודינמיקה: מושגים ומנגנונים ג- החוק השני והשלישי: מושגים ומנגנונים ד- דיאגרמת פזות ה- שיווי משקל כימי. קינטיקה א- מולקולות בתנועה ב- קצב ראקציות כימיות ג- קינטיקה של ריאקציות מורכבות שעור מס 4 קצב ריאקציות כימיות קריאה מ לווה מומלצת: Atins קינטיקה כימית ניסיונית א- שיטות ניסיוניות ב- קצב ריאקציות ג- חוקי קצב אינטגרליים ד- ריאקציות בקרבת שיווי משקל ה- התלות בטמפרטורה של קצב ריאקציות הסבר חוקי הקצב א- ריאקציות אלמנטריות ב- ריאקציות אלמנטריות עוקבות ג- ריאקציות חד-מולקולריות
2 ריאקציות כימיות הסטוכיומטריה של הריאקציה ריאקציות משניות ריכוז המגיבים והתוצרים בציר הזמן תלות הקצב בטמפרטורה ושמירת יציבותה הטכניקות המשמשות למעקב אחר הריכוזים בריאקציה תלויות במרכיבים המעורבים ובקצב הריאקציה 4 מעקב אחר ה תק דמות הרי אקציה ע"י שינוי הלחץ כאשר אחד ממרכיבי הריאקציה הוא גז אזי לעיתים ניתן לעקוב אחר התקדמות הריאקציה ע"י מעקב אחר שינוי הלחץ (בנפח קבוע) דוגמא: מהו שינוי הלחץ בהתפרקות: N O 5 (g) 4NO (g)+o (g) נניח לחץ התחלתי 5 p N הופך ל- 5/ מול מולקולות גז O 5 כל מול של N מתפרק אזי: O 5 נניח שחלק α ממולקולות N O 5 NO O Totl n(+3/α) n(-α) αn ½αn כמות כאשר α הלחץ הוא p וכאשר הריאקציה מסתיימת, 5/p מעקב אחר ה תק דמות הרי אקציה בשיט ות אחרות ניתן לעקוב אחר התקדמות הריאקציה בשיטות נוספות: בליעה אופטית: ספקטרוסקופיית בליעה של אחד ממרכיבי הריאקציה למשל ברום ב: 6 H (g)+br (g) HBr(g) מוליכות: כאשר מספר היונים בתמיסה משתנה במהלך הריאקציה ניתן למדוד את המוליכות למשל + H ב: (CH 3 ) 3 CCl(q)+H O(l) (CH 3 ) 3 COH(q)+H + (q)+cl - (q) :ph כאשר יש שינוי בריכוז הפרוטונים ניתן שיטות נוספות: אחר שינוי ה- ph ספקטרוסקופית פליטה, מסות, כרומטוגרפיה, EPR,NMR
3 יישום ניסיוני של המעקב אנליזה בזמן אמת טכניקת הזרימה method) :(flow הרכב המערכת נבדק תוך כדי התקדמות הריאקציה המגיבים מוזרקים לתא ערבוב וזורמים דרך צינור מוצא תוך כדי התקדמות הריאקציה (דורש כמות מגיבים גדולה וזרימה מהירה) התקדמות הריאקציה נבחנת ע"י ביצוע ספקטרוסקופיה במרחקים שונים לאורך הצינור (שקול לזמנים שונים לאחר תחילת הריאקציה) 7 יישום ני סיו ני של ה מעק ב אנליזה בזמן אמת טכניקת עצירת הזרימה flow) :(stopped ערבוב מהיר של המגיבים בתא קטן, עצירת ההזרקה התקדמות הריאקציה נבחנת ע"י ביצוע ספקטרוסקופיה בזמנים שונים סדר של מילישניות עד שניות פוטוליזה photolysis) :(flsh איתחול ומעקב ריאקציה בעזרת לייזרים מהירים sec) ) יישום ני סיו ני של ה מעק ב שיכוך כימי method) :(chemicl quench flow המגיבים מוזרקים לתא ערבוב כמו קודם אולם הריאקציה משוככת ע"י מגיב נוסף בשלבים שונים של התקדמות התערובת לאורך הצינור התקדמות הריאקציה נבחנת בנוחיות ללא לחץ זמן בשיטות שאינן בהכרח ספקטרוסקופיות השיטה מתאימה לריאקציות איטיות שיכוך על ידי הקפאה method) :(freeze quench הריאקציה משוככת תוך מילישניות על ידי קירור מהיר 9
4 קצבי ריאקצ יות הקצב של ריאקציות תלוי בהרכב ובטמפרטורה בריאקציה A+B 3C+D ריכוז מרכיב J הוא: [J] קצב הצריכה של מגיב R בזמן נתון הוא: -d[r]/ קצב היצירה של תוצר P בזמן נתון הוא: d[p]/ d d [ B ] d [C ] 3 d [ D ] קצבי ריאקציות ריבוי הקצבים הקשורים בריאקציה נמנע ע"י הגדרת קצב בריאקציה הומוגנית (פזה יחידה) נחלק בנפח ונקבל: הריאקציה, v, כקצב השינוי של מידת הריאקציה ζ dξ dn v J בריאקציה הטרוגנית פני השטח ונקבל: (שתי פזות ומעלה) נחלק בצפיפות v ν J d [ J ] ν J dσ J v ν J דוגמא קצב היצירה של NO בריאקציה (g) NOBr(g) NO(g)+Br הוא:.6 mmol/lsec ν NO + ν NOBr mmol v.8 L sec d [ NOBr ].6 mmol L sec קצב הצריכה של NOBr נתון הוא:.6 mmol/lsec
5 חוקי קצב וקבועי קצ ב לעיתים קצב הריאקציה יחסי לריכוזי המגיבים בחזקה כלשהי: הוא קבוע הקצב של הריאקציה אינו תלוי בריכוזים אך תלוי בטמפרטורה חוק הקצב v [ B ] הוא משוואה המבטאת את קצב הריאקציה בזמן נתון כפונקציה של ריכוזי כל המרכיבים המופיעים במשוואה הכימית של הריאקציה: vf([a],[b], ) עבור ריאקציה הומוגנית בגז ניתן להשתמש בלחצים החלקיים הקשורים לריכוזים המולריים: RT[A] p j 3 חוקי קצב וקבועי קצ ב חוק הקצב של ריאקציה נקבע באופן ניסיוני ובדר"כ לא ניתן לקבל אותו מהמשוואה הכימית של הריאקציה לדוגמא, לריאקציה הפשוטה: (g) Hr(g) H (g)+br יש חוק קצב מורכב: החוק יכול להיות מקרי או קשור במנגנון הריאקציה חוק קצב הריאקציה מאפשר, כאשר הוא וקבועי הקצב ידועים, לחזות את קצב הריאקציה על בסיס המרכיבים ואת הרכב התערובת בשלבים שונים של הריאקציה ולעיתים גם את מנגנון הריאקציה 4 [ H ][ Br ] v [ Br ] + [ HBr ] 3 חוקי קצב וקבועי קצ ב לעיתים קצב הריאקציה יחסי לריכוזי המגיבים בחזקה כלשהי: של סדר הריאקציה החזקה אליה מועלה הריכוז נקראת אותו מרכיב סדר הריאקציה יכול להיות מספר לא שלם: [B] v[a] ½ הסדר הכולל של הריאקציה הוא סכום סדרי הריאקציה של המרכיבים השונים חלק מהריאקציות ההטרוגניות הן מסדר אפס ואינן תלויות בריכוזי המגיבים: v יש ריאקציות שאין להן סדר כולל מוגדר 5 v [ B ]
6 קביעת חוק הקצב מרכיב "בידוד" לעיתים ניתן למצוא את חוק הקצב ע"י מסוים "בידוד" זה נעשה ע"י כך שכל שאר המרכיבים הם בעודף גדול וריכוזם בקירוב קבוע במהלך הריאקציה ניתן למדוד את קצב שינוי הריכוז של כל מרכיב "מבודד" בנפרד בדרך זו בידוד זה מוביל לחוק קצב "פסאודו סדר ראשון": v [ B ] 6 שיטת הקצב ים ה התחלתי ים שיטה זו מאפשרת למצוא, בשילוב עם השיטה הקודמת את הפרמטרים הרצויים הקצב נמדד בתחילת הריאקציה עבור מספר ריכוזים שונים נניח שהקצב עבור A מבודד הוא: v[a] אזי: log( v ) log( ) + log[ A ] שרטוט הקצבים עבור ריכוזים שונים לכל אחד ממרכיבי הריאקציה יאפשר לחלץ את ו- 7 חוקי קצב אינטגרליים חוקי הקצב של ריאקציות מסדר ראשון ניתנות לחישוב ע"י פתרון משוואות מהצורה: d פתרונן הוא מאחת הצורות (השקולות): ln t [ A] [ A] e t 8 אם ) ln([a]/[a] מסדר ראשון, אכספוננציאלית) משורטט כנגד t אזי, עבור ריאקציה נקבל ישר ששיפועו (דעיכה
7 d d נשנה צורת המשוואה: הוכחה פתרונן הוא מאחת הצורות (השקולות): t dx x ln x d ln t 9 דוגמא נסתכל בשינוי הלחץ החלקי באזומתאן ב- 6: K CH 3 N CH 3 (g) CH 3 CH 3 (g)+n (g) t [sec] 3 4 p [ - torr] בגז הלחצים החלקיים יחסיים לריכוזים ולכן: t [sec] 3 4 Ln(p/p ) משרטוט התוצאות נקבל: 3.6x -4 /sec מחצית החיים וקבועי זמן הוא t, / זמן מחצית החיים של ריאקציה מסדר ראשון, הזמן שבו [A] יורד למחצית ערכו המקורי: t ln ln ln.7 כלומר בריאקציה מסדר ראשון זמן מחצית החיים בלתי תלוי בריכוז המקורי אלא רק בקצב קבוע הזמן, τ, מערכו המקורי: הוא הזמן שבו הריכוז יורד ל- /e / e τ ln ln e t ln τ.7
8 ריאקציות מסדר שני חוקי הקצב של ריאקציות מסדר שני ניתנות לחישוב ע"י d פתרון משוואות מהצורה: [ A ] פתרונן הוא מאחת הצורות (השקולות): t רואים שאם בריאקציה מסדר שני נשרטט את [A]/ כנגד t אזי נקבל ישר ששיפועו, בעוד שהביטוי השני מאפשר לקבל את [A] בכל זמן לאחר תחילת הריאקציה [ A] [ A] + t[ A] 3 d [ A ] d הוכחה נשנה צורת המשוואה: פתרונן הוא מאחת הצורות (השקולות): t dx x x d t מחצית החיים זמן מחצית החיים של ריאקציה מסדר שני,,t / הוא הזמן שבו [A] יורד למחצית ערכו המקורי (הצבה :(tt / t כלומר בריאקציה מסדר שני זמן מחצית החיים תלוי גם בריכוז המקורי וגם בקצב כאשר הריכוז נמוך, זמן מחצית החיים ארוך "להיפטר" ממספר חומרים בעלי נזק סביבתי) (לכן קשה 4
9 ריאקציה נוספת מסדר שני ריאקציה נוספת מסדר שני, היא זו שהיא מסדר ראשון עבור שני מגיבים: כדי למצוא את הפרמטרים יש לדעת את הקשר הספציפי בין [A] ל- [B] לדוגמא כאשר: A+B P והריכוזים ההתחלתיים הם [A] [ B ] ו- [B] אזי: [ B ] ln ([ B ] )t פתרונות לסדרים נוספים בספר... 5 d [ A ][ B ] ריאקציות בקרבת שיווי משקל עד כה הזנחנו את הריאקציות ההפוכות אולם בקרבת שיווי משקל ריכוז התוצרים גדל ויש לקחת את כוון הריאקציה ההפוך בחשבון בדר"כ ריאקציות מתרחשות רחוק משיווי משקל 6 ריאקציות בקרבת שיווי משקל נבדוק את שינוי ההרכב עם הזמן בקרבת ש"מ כאשר שתי הריאקציות מסדר ראשון: A B B A v[a] v [B] הריכוז של A מוקטן ע"י הריאקציה קדימה ומוגדל ע"י הריאקציה ההפוכה, כך שהשינוי נטו הוא: d + [ B ] 7
10 ריאקציות בקרבת שיווי משקל אם הריכוז ההתחלתי של A הוא [A] ואין B אזי תמיד מתקיים [A]+[B][A] ולכן: d [ A] [ A] + ([ A] [ A]) ( + )[ A] + [ A ] [ A] A] eq + [ + e [ A] + הפתרון הוא: ( + )t [ A] ב: t הריכוזים בש"מ: [A] [ B] eq [A] [A] + 8 התלות בט מ פרטורה ש ל קצבי ריאקצ יה קבועי הקצב של רוב הריאקציות גדלים עם הטמפרטורה עבור ריאקציות רבות שרטוט לוגריתמי של קצב הריאקציה כנגד T/ נותן התנהגות ליניארית 9 משוואת ארניוס: E ln lna Ae RT E RT - A קבוע התדירות - אנרגית האקטיבציה ל- /T (ln שיפוע (דרך E הקשר בין מראה שאנרגית אקטיבציה גבוהה מצביעה על תלות חזקה יותר של קבוע הקצב בטמפרטורה E דוגמא: חישוב מקדמי ארניוס קצב הפירוק של אצטאלדהיד CHO) (CH 3 עם הטמפרטורה: T [K] [L/molsec] נתאים למשוואת ארניוס: K/T ln [L/molsec] השיפוע - -.7x החיתוך 7.7 E (.7x 4 K)x(8.3 J/Kmol)89 J/mol Ae 7.7 L/molsec.x L/molsec 3
11 התלות בט מ פרטורה ש ל קצבי ריאקצ יה הקצב של ריאקציה שבה E בלתי תלוי בטמפרטורה בריאקציות מסוימות אנרגית האקטיבציה שלילית, כלומר קצב הריאקציה יורד כאשר הטמפרטורה עולה זהו סימן לריאקציה מורכבת לעיתים התלות בטמפרטורה סוטה מחוק ארניוס (קו לא ליניארי) במקרים אלו ניתן להגדיר את אנרגית האקטיבציה ע"י: d ln E RT dt 3 מש מ עות הפ רמטר ים ניתן לקבל את פרמטרי ארניוס מהניסוי ולהשתמש בהם לחישוב השפעת הטמפרטורה על קבועי הקצב E אנרגית האקטיבציה: RT הריאקציה מתחילה במפגש מולקולות Ae A ו- B המוביל לעיוותים והחלפת אטומים קואורדינטת הריאקציה: אוסף התנועות, שינויי המרחק הבין- אטומי וזוויות הקשר המעורבים ישירות ביצירת תוצרים מהמגיבים הקומפלקס המשופעל: complex) (ctivted האנרגיה הפוטנציאלית עולה למכסימום ואוסף האטומים הרלוונטי נקרא הקומפלקס המשופעל 3 33 שינוי האנרגיה: מש מ עות הפ רמטר ים לאחר המכסימום האטומים מתארגנים מחדש והאנרגיה יורדת לערך אופיני לתוצרים מצב המעבר: stte) (trnsition השיא באנרגיה הוא אנרגית האקטיבציה,,E והמצב באנרגיה זו נקרא מצב המעבר חלק מהמולקולות המגיעות לשיא חוזר למצב המגיבים אנרגית האקטיבציה היא האנרגיה הקינטית המינימלית למגיבים כדי ליצור תוצרים Ae E RT
12 Ae E RT הגורם האכספוננציאלי: ריאקציה ב ג ז רק חלק זעיר ממולקולות הגז הן בעלות אנרגיה מספקת כדי להגיב ולהשתתף בריאקציה (מספרן נתון ע"י התפלגות בולצמן) כלומר הפרמטר האכספוננציאלי קובע את חלק ההתנגשויות שיש בהן אנרגיה קינטית מספקת כדי להוביל לריאקציה הגורם הפרה-אכספוננציאלי: זהו המדד לתדירות ההתנגשויות מכפלת גורם זה והאכספוננט מוביל למספר ההתנגשויות ה"מוצלחות" רוב הריאקציות הן סדרה של ריאקציות אלמנטריות, שבכל אחת מהן מעורב מספר קטן של מולקולות או יונים דוגמא: ריאקציות אלמנטר יות H + Br HBr + Br בריאקציה זו אטום מימן תוקף מולקולת ברום ונוצרים מולקולת HBr ואטום Br המולקולריות של ריאקציה אלמנטרית היא מספר המולקולות המגיבות בריאקציה אלמנטרית בריאקציה חד-מולקולרית מולקולה יחידה מתארגנת מחדש כמו באיור ריאקציות אלמנטר יות מתנגשות מולקולות שתי בי-מולקולרית בריאקציה קבוצות אטומים או עוברות אטומים, ומחליפות אנרגיה, שינוי כלשהו מולקולריות מתייחסת לריאקציה אלמנטרית הריאקציה הוא גודל הקשור לחוק הקצב בעוד שסדר חוק הקצב של ריאקציה חד-מולקולרית אלמנטרית הוא מסדר ראשון במגיבים: d A P : P מייצג את התוצרים (אחד או יותר) ריאקציה חד-מולקולרית אלמנטרית היא מסדר ראשון כי מספר מולקולות A הדועכות בזמן קצר יחסי למספר המולקולות הפנויות לדעיכה, כלומר לריכוז המולרי [A] 36
13 ריאקציה בי-מולקולרית היא מסדר שני כי הקצב שלה יחסי למספר ההתנגשויות בין המגיבים, כלומר לריכוזיהם אם ידוע שריאקציה היא תהליך בי-מולקולרי בשלב אחד אזי ניתן לכתוב את חוק הקצב ריאקציה שהיא תהליך בי-מולקולרי אלמנטרי היא בעלת קינטיקה מסדר שני ועשויה להיות מורכבת ולחייב מחקר מעמיק להבנת המנגנון שלה 37 ריאקציות אלמנטר יות A + B d P : [ B ] דוגמא: + CH 3CH O CH 3OCH CH + I CH 3I 3 v [ CH 3I ][ CH 3CH O ] ריאקציות אלמנטריות עוקבות: התפתחות הריכוזים ריאקציות מסוימות מתבצעות ע"י שלב ביניים: A הקצב של התפרקות חד-מולקולרית של A הוא: אם A אינו מתחדש ונוצר שלב ביניים I (בקצב [A] ) הדועך ) אזי קצב יצירת I יהיה: לתוצר P (בקצב [I] d [ I ] I d P [ I ] 38 ריאקציות אלמנטריות עוקבות: התפתחות הריכוזים 39 התוצר P ייווצר מדעיכה חד-מולקולרית של I: d [ P ] [ I ] [A] והוא מתפתח באופן: בתחילה רק A קיים וריכוזו d [ I ] + [ I ] :([I] מהצבת הפתרון ורה-אירגון נקבל ( e t e t t t [ I ] ( e e )
14 ריאקציות אלמנטריות עוקבות: התפתחות הריכוזים בכל השלבים: [A]+[I]+[P] [A] ולכן: e e t t הריכוז של A דועך מ- [A] לאפס הריכוז של I עולה למכסימום ודועך הריכוז של P עולה מאפס ל- [A] [ P ] + 4 השל ב קוב ע הקצב אם: >> אזי כל מולקולה I שנוצרת דועכת מייד ל- P כי: t >> e והמשוואה ל- P מצטמצמת ל: e t t [ P ] ( e )[ A ] I 4 כלומר יצירת P רק בקצב האיטי יותר, ולא בהפיכתו ל- P השלב A I נקרא השלב קובע הקצב כלומר יצירת השל ב קוב ע הקצב השלב A I הוא האיטי ביותר, שולט בקצב הריאקציה ואין לו "שלב עוקף" קצב הריאקציה דומה לשלב זה שכן שאר השלבים מהירים בהרבה שלב זה הוא בעל אנרגית האקטיבציה הגבוהה ביותר השלב קובע הקצב יכול לנבוע גם מריכוז נמוך של מגיב חיוני (שאינו מתייחס בהכרח לאנרגית אקטיבציה גבוהה 4
15 ככל שמספר השלבים גדל גם הסיבוך המתמתי גדל... פתרון אפשרי אחד הוא שיטות נומריות פתרון אחר הוא שימוש בקירוב המצב העמיד שבו מניחים שלאחר זמן אינקובציה מסוים, ריכוז מצבי הביניים זניח: 43 קירוב ה מצב הע מי ד d [ I ] מהצבה נקבל: d [ I ] [ I ] [A] [I] d [ P ] [ I ] כלומר P נוצר עם הקבוע קובע הקצב t t t [ P ] e ( e ) נניח תהליך מורכב יותר שבו מצב הביניים I בש"מ עם המגיבים: 44 (pre-equilirium) A + B הקצב יצירת I ודעיכתו חזרה גבוהים בהרבה מיצירת P: [ I ] K [ B ], >> I מהנחת ש"מ בין I ל- A,B נקבל: קדם שיווי משקל d [ P ] [ I ] [ B ] P K [ A][ B ] [ B ] ריאקציות חד-מולקולריות ומנגנון לי נדמ ן-הינשלווד ריאקציות רבות בפזה הגזית הן מסדר ראשון אולם האנרגיה לריאקציות אלו מתקבלת מהתנגשויות דו- גופיות, שהן בעקרון בי-מולקולריות פשוטות (מסדר שני)??? ההסבר נעוץ בשלב סופי חד-מולקולרי קובע קצב של דעיכה לתוצר המנגנון המוצלח הראשון שהוצע להסבר הריאקציות החד-מולקולריות ניתן ע"י לינדמן והינשלווד 45
16 46 מולקולה A מתנגשת ב- A אחרת ומעוררת אותה אנרגטית המולקולה יכולה לאבד את האנרגיה ע"י התנגשות נוספת עם A אחרת לחילופין, מנגנון לינדמן-הינשלווד (9) d [ A*] A + A A * + A : A + A* A + d [ A*] A : המולקולה המעוררת יכולה להתפרק לתוצרים בתהליך חד-מולקולרי A* d [ A*] P : [ A*] [ A*] אם השלב החד-מולקולרי איטי מספיק כדי להיות קובע קצב אזי לריאקציה כולה קינטיקה מסדר ראשון נדגים זאת ע"י קירוב המצב העמיד למצב הביניים המעורר :A* d [ A*] [ A*] [ A*] פתרון המשוואה הוא: מנגנון לינדמן-הינשלווד A*] + [ 47 d [ P ] [ A*] + זו עדיין משוואה מסדר שני מנגנון לינדמן-הינשלווד אם קצב ההתנגשויות בהן אובדת אנרגיה גדול בהרבה מזה של הדעיכה החד-מולקולרית לתוצרים כלומר: [ A*][ A ] [ A*] או << ולכן ניתן להזניח את במכנה של: d [ P ] [ A*] d [ P ] + >> ולקבל משוואה מסדר ראשון: 48
17 מנגנון לינדמן-הינשלווד ניתן לבחון את המנגנון שכן הוא חוזה שכאשר ריכוז A (ואיתו הלחץ החלקי של A) קטן, הריאקציה הופכת לסדר שני d [ P ] << הסיבה הפיסיקלית לשינוי היא שבלחצים נמוכים השלב קובע הקצב הוא היצירה הבי-מולקולרית של *A: נכתוב את הפתרון באופן: d [ P ] + [ A ] + 49 d [ P ] מנגנון לינדמן-הינשלווד + [ A ] + ניתן לכתוב את הביטוי לקבוע הקצב האפקטיבי: + הצורה הכללית של הגרף ההתאמה לתחזית אולם יש סטייה בפרטים ובערכים המספריים 5 אנרגית האקטיבצי ה של ריאקציה מורכבת הקצב של כל שלב בריאקציה מורכבת עשוי לציית לחוק ארניוס אולם הריאקציה כולה מתנהגת באופן מורכב יותר ( A E ( ) E ( ) RT RT e )( Ae E ( ) RT ( Ae ) כלומר לקבוע הקצב הכולל יש התנהגות ארניוס: E ( ) + E ( ) E ( ) ) A A A e ( E ( ) + E ( ) E ( )) RT כאשר () E ()+E ()>E עם הטמפרטורה אזי גדל 5 E אזי קטן ()+E ()<E כאשר () עם הטמפרטורה
18 סיל בוס קור ס 5. תרמודינמיקה א- תכונות הגזים ב- החוק הראשון של התרמודינמיקה: מושגים ומנגנונים ג- החוק השני והשלישי: מושגים ומנגנונים ד- דיאגרמת פזות ה- שיווי משקל כימי. קינטיקה א- מולקולות בתנועה ב- קצב ראקציות כימיות ג- קינטיקה של ריאקציות מורכבות
1. תרמודינמיקה 2. קינטיקה ג- החוק השני והשלישי: מושגים ומנגנונים ב- פיצוצים ב- פולימריזצית שרשרת ב- אנזימים
קינטיקה של ריאקציות מורכבות כימיה פיסיקלית 6967-4 ד"ר דני פורת Tel: -6586948 e-mail: orah@chem.ch.huji.ac.il Rm: Los Angeles Course boo: Physical Chemisry P. Ains & J. de Paula (7 h ed) Course sie: h://chem.ch.huji.ac.il/surface-asscher/gabriel/hys_chem.hml
Διαβάστε περισσότεραריאקציות כימיות
ריאקציות כימיות 1.5.15 1 הקדמה ריאקציה כימית היא תהליך שבו מולקולות (הנקראות מגיבים עוברות שינוי ויוצרות מולקולות אחרות (הנקראות תוצרים. הריאקציה יכולה להתרחש בשני הכיוונים. לפני ההגעה לשיווי משקל יהיה
Διαβάστε περισσότεραחורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א'
מד''ח 4 - חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' ( u) u u u < < שאלה : נתונה המד''ח הבאה: א) ב) ג) לכל אחד מן התנאים המצורפים בדקו האם קיים פתרון יחיד אינסוף פתרונות או אף פתרון אם קיים פתרון אחד או יותר
Διαβάστε περισσότεραל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך
מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות
Διαβάστε περισσότεραפתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( )
פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד a d U c M ( יהי b (R) a b e ל (R M ( (אין צורך להוכיח). מצאו קבוצה פורשת ל. U בדקו ש - U מהווה תת מרחב ש a d U M (R) Sp,,, c a e
Διαβάστε περισσότεραכימיה פיסיקלית כימיה פיסיקלית סילבוס קורס
כימיה פיסיקלית - 69167 דני פורת ד"ר Tel: 02-6586948 e-mail: porath@chem.ch.huji.ac.il Office: Los Angeles 027 Course book: Physical Chemistry P. Atkins & J. de Paula (7 th ed) Course site: http://chem.ch.huji.ac.il/surface-asscher/elad/daniclass.html
Διαβάστε περισσότεραתרגילים פרופ' עזרא בר-זיו המחלקה להנדסת מכונות (תשס"ד) שאלה 1 שאלה 2 נתון : Time (sec) Pressure, mm Hg (torr)
א( קורס יסודות תורת השריפה (6-1-441) פרופ' עזרא בר-זיו המחלקה להנדסת מכונות (תשס"ד) תרגילים גיליון מספר 1: תרגילים בקינטיקה כימית נתון : שאלה 1 PH מתפרק ב- 600 o (g) (g) C ל- PH ו- H. בזמן התפרקות נמדדו
Διαβάστε περισσότεραפתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur
פתרון תרגיל --- 5 מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת
Διαβάστε περισσότεραהמנגנון היחיד שעונה על כל התנאים הללו הוא,(III) ולכן זוהי התשובה הנכונה: (III) X slow
א פיסיקלית א' כימיה סמסטר אביב, תשע"א 0) פיתרון מס' 8: תרגיל 696 696). בחירת מנגנון הגיוני B A היא מסדר חלקי שני לגבי A וסדר חלקי אפס לגבי B. משמע, בשאלה נתון כי הריאקציה P כבר ניתן לראות כי הריאקציה לא
Διαβάστε περισσότεραתשובות לשאלות בפרק ד
תשובות לשאלות בפרק ד עמוד 91: ( היבט מיקרוסקופי ) בהתחלה היו בכלי מולקולות של מגיבים בלבד, אשר התנגשו וכך נוצרו מולקולות מסוג חדש, מולקולות תוצר. קיום של מולקולות תוצר מאפשר התרחשות של תגובה הפוכה, בה
Διαβάστε περισσότεραכימיה פיסיקלית א' (69163) תרגול מס'
תרגול מס' 3 מתרגלים: רועי עשור ואמיר ונד כימיה פיסיקלית א' סמסטר אביב, תשע"א () (6963) נושאי התרגול משוואות קצב כלליות לריאקציות כימיות משמעות והגדרות. ריאקציות אלמנטאריות מסדרים ו- (בהרחבה; סדר בבית).
Διαβάστε περισσότερα[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m
Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות
Διαβάστε περισσότεραתרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשע"ב זהויות טריגונומטריות
תרגול חזרה זהויות טריגונומטריות si π α) si α π α) α si π π ), Z si α π α) t α cot π α) t α si α cot α α α si α si α + α siα ± β) si α β ± α si β α ± β) α β si α si β si α si α α α α si α si α α α + α si
Διαβάστε περισσότεραשדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם
תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא
Διαβάστε περισσότεραתרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית
אנליזה נומרית 0211 סתיו - תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית נרצה לפתור את מערכת המשוואות יהי פתרון מקורב של נגדיר את השארית: ואת השגיאה: שאלה 1: נתונה מערכת המשוואות הבאה: הערך את השגיאה היחסית
Διαβάστε περισσότερα= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin(
א. s in(0 c os(0 s in(60 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 0 s in(70 מתאים לזהות של cos(θsin(φ : s in(θ φ s in(θcos(φ sin ( π cot ( π cos ( 4πtan ( 4π sin ( π cos ( π sin ( π cos ( 4π sin ( 4π
Διαβάστε περισσότεραהקדמה כללית: בקצרה על קצבי ריאקציות וכו' (בשל שינוי סדר התרגולים). שיטות ניסיוניות למדידת קצב של ריאקציות (דגש על ניטור לחץ, מדידת בליעה וטיטרציה).
כימיה פיסיקלית א' תרגול מס' 4 6916) נושאי התרגול הקדמה כללית: בקצרה על קצבי ריאקציות וכו' בשל שינוי סדר התרגולים). שיטות ניסיוניות למדידת קצב של ריאקציות דגש על ניטור לחץ, מדידת בליעה וטיטרציה)..1.2 1.
Διαβάστε περισσότεραערה: הגזירה היא חלקית, כלומר גוזרים את התלות המפורשת של G ב ξ בלבד, ולא נהוג לסמן את קצב השינוי באנרגיה החופשית של גיבס בתגובה כך: G
ה) יווי משקל ש תרגול כימי מידת התקדמות תגובה ; קצב שינוי באנרגיה החופשית של גיבס בתגובה ; קבוע ש"מ ;מנת ריאקציה אנרגיה חופשית של גיבס לערבוב ; עקרון לה שטלייה ; משוואת גיבס-הלמהולץ G G nrt ln n nrt lna,
Διαβάστε περισσότεραהתהליכים. H 2(g) + Cl 2(g) 2HCl (g) 1) Cl 2(g) 2Cl. 2) Cl. + H 2(g) HCl (g) + H. 3) H. + Cl 2(g) HCl (g) + Cl. 4) H. + HCl (g) H 2(g) + Cl.
סיכום הפרק קינטיקה כימית מהספר של מנזורולה עקרונות הכימיה חלק ב' הסיכום כולל שאלות פתורות סיכמה קשי עדנה תיכון היובל הרצליה קינטיקה כימית עוסקת בחקר מהירויות של תגובות כימיות ועוזרת בחקר המנגנונים של התהליכים.
Διαβάστε περισσότεραתרגול פעולות מומצאות 3
תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה
Διαβάστε περισσότεραפתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד
פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה
Διαβάστε περισσότεραלדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור
הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין
Διαβάστε περισσότεραPDF created with pdffactory trial version
הקשר בין שדה חשמלי לפוטנציאל חשמלי E נחקור את הקשר, עבור מקרה פרטי, בו יש לנו שדה חשמלי קבוע. נתון שדה חשמלי הקבוע במרחב שגודלו שווה ל. E נסמן שתי נקודות לאורך קו שדה ו המרחק בין הנקודות שווה ל x. המתח
Διαβάστε περισσότεραלוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים:
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( 2016 2015 )............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה.1
Διαβάστε περισσότερα69163) C [M] nm 50, 268 M cm
א ב ג סמסטר אביב, תשע"א 11) פיתרון מס' 4: תרגיל 69163 69163) פיסיקלית א' כימיה בליעה והעברה של אור חוק בר-למבר) כללי.1 נתון כי הסטודנט מדד את ההעברה דרך דוגמת החלבון בתוך תא של 1 ס"מ. גרף של העברה T) כתלות
Διαβάστε περισσότεραתרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות
Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון
Διαβάστε περισσότεραלוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור
Διαβάστε περισσότεραאלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2
אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק
Διαβάστε περισσότεραיסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p
Διαβάστε περισσότεραתרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות
תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות. פתרו את המשוואות הבאות. לא מספיק למצוא פתרון אחד יש למצוא את כולם! sin ( π (א) = x sin (ב) = x cos (ג) = x tan (ד) = x) (ה) = tan x (ו) = 0 x sin (x) + sin (ז) 3 =
Διαβάστε περισσότεραביוכימיה של התא תרגיל מס' 3: קינטיקה אנזימתית
ביוכימיה של התא 72120 תרגיל מס' 3: קינטיקה אנזימתית 1 ריאקציות אנזימתיות פרמטרים להסתכלות על ריאקציות: תרמודינמיים קינטיים אנרגיה חופשית של גיבס- תלויה באופי החומר וסביבתו, סוג הקשרים הכימיים ומספרם. -G
Διαβάστε περισσότερα"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי
הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת
Διαβάστε περισσότεραשעור מס' 10 תערובות פשוטות Atkins תערובות פשוטות כימיה פיסיקלית סילבוס קורס
תערובות פשוטות כימיה פיסיקלית - 69167 דני פורת ד"ר Tel: -6586948 e-mail: orath@chem.ch.hui.ac.il Office: Los ngeles 7 Course book: Physical Chemistry P. tkins & J. de Paula (7 th ed) Course site: htt://chem.ch.hui.ac.il/surface-asscher/elad/daniclass.html
Διαβάστε περισσότεραמשוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ
משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת
Διαβάστε περισσότεραשעור מס' 10 תערובות פשוטות Atkins גדלים מול ריים חלקיים תערובות פשוטות כימיה פיסיקלית גדלים מול ריים חלקיים סילבוס קורס נפח מולרי חלקי
4 תערובות פשוטות כימיה פיסיקלית - 69167 דני פורת ד"ר Tel: -6586948 e-mil: orth@chem.ch.hui.c.il Office: Los ngeles 7 Course book: Physicl Chemistry P. tkins & J. de Pul (7 th ed Course site: htt://chem.ch.hui.c.il/surfce-sscher/eld/dniclss.html
Διαβάστε περισσότεραשאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R
תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A
Διαβάστε περισσότεραLogic and Set Theory for Comp. Sci.
234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =
Διαβάστε περισσότεραTECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים
TECHNION Iael Intitute of Technology, Faculty of Mechanical Engineeing מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 d e C() y P() - ציור : דיאגרמת הבלוקים? d(t) ו 0 (t) (t),c() 3 +,P() + ( )(+3) שאלה מס נתונה
Διαβάστε περισσότεραCharles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.
Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.
Διαβάστε περισσότεραתשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן
תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר
Διαβάστε περισσότεραדף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)
Διαβάστε περισσότεραbrookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק
יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות
Διαβάστε περισσότεραסיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור
סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b
Διαβάστε περισσότεραwww.reshefmd.com רשף משולם לימודי ביולוגיה ורפואה reshefm87@gmail.com 054-3318431 בחינת הידע קבלה לתוכנית ה- 4 שנתית ללימודי רפואה כימייה כללית קשרים כימיים הקשר הכימי התוך מולקולרי העיקרי הוא הקשר הקוולנטי
Διαβάστε περισσότεραהתפלגות χ: Analyze. Non parametric test
מבחני חי בריבוע לבדיקת טיב התאמה דוגמא: זורקים קוביה 300 פעמים. להלן התוצאות שהתקבלו: 6 5 4 3 2 1 תוצאה 41 66 45 56 49 43 שכיחות 2 התפלגות χ: 0.15 התפלגות חי בריבוע עבור דרגות חופש שונות 0.12 0.09 0.06
Διαβάστε περισσότεραgcd 24,15 = 3 3 =
מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =
Διαβάστε περισσότεραאלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11
אלגברה לינארית ( - פתרון תרגיל דרגו את המטריצות הבאות לפי אלגוריתם הדירוג של גאוס (א R R4 R R4 R=R+R R 3=R 3+R R=R+R R 3=R 3+R 9 4 3 7 (ב 9 4 3 7 7 4 3 9 4 3 4 R 3 R R3=R3 R R 4=R 4 R 7 4 3 9 7 4 3 8 6
Διαβάστε περισσότεραדיאגמת פאזת ברזל פחמן
דיאגמת פאזת ברזל פחמן הריכוז האוטקטי הריכוז האוטקטוידי גבול המסיסות של פריט היווצרות פרליט מיקרו-מבנה של החומר בפלדה היפר-אוטקטואידית והיפו-אוטקטוידית. ככל שמתקרבים יותר לריכוז האוטקטואידי, מקבלים מבנה
Διαβάστε περισσότεραצעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים
מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה
Διαβάστε περισσότεραניהול תמיכה מערכות שלבים: DFfactor=a-1 DFt=an-1 DFeror=a(n-1) (סכום _ הנתונים ( (מספר _ חזרות ( (מספר _ רמות ( (סכום _ ריבועי _ כל _ הנתונים (
תכנון ניסויים כאשר קיימת אישביעות רצון מהמצב הקיים (למשל כשלים חוזרים בבקרת תהליכים סטטיסטית) נחפש דרכים לשיפור/ייעול המערכת. ניתן לבצע ניסויים על גורם בודד, שני גורמים או יותר. ניסויים עם גורם בודד: נבצע
Διαβάστε περισσότεραסדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל
סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר
Διαβάστε περισσότεραמתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1
1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n
Διαβάστε περισσότεραגמישויות. x p Δ p x נקודתית. 1,1
גמישויות הגמישות מודדת את רגישות הכמות המבוקשת ממצרך כלשהוא לשינויים במחירו, במחירי מצרכים אחרים ובהכנסה על-מנת לנטרל את השפעת יחידות המדידה, נשתמש באחוזים על-מנת למדוד את מידת השינויים בדרך כלל הגמישות
Διαβάστε περισσότεραהרצאה 7: CTMC הסתברויות גבוליות, הפיכות בזמן, תהליכי לידה ומוות
הרצאה 7: CTMC הסתברויות גבוליות, הפיכות בזמן, תהליכי לידה ומוות משואות קולמוגורוב pi, j ( t + ) = pi, j ( t)( rj ) + pi, k ( t) rk, j k j pi, j ( + t) = ( ri ) pi, j ( t) + ri, k pk, j ( t) k j P ( t)
Διαβάστε περισσότεραאלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6
אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,
Διαβάστε περισσότερα3-9 - a < x < a, a < x < a
1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.
Διαβάστε περισσότερα{ : Halts on every input}
אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.
Διαβάστε περισσότεραאלגברה ליניארית 1 א' פתרון 7
אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 7 2 1 1 1 0 1 1 0 1 0 2 1 1 0 1 0 2 1 2 1 1 0 2 1 0 1 1 3 1 2 3 1 2 0 1 5 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 4 0 0 0.1 עבור :A לכן = 3.rkA עבור B: נבצע פעולות עמודה אלמנטריות
Διαβάστε περισσότεραספקטרופוטומטריה (מדידת בליעת אור)
כימיה פיסיקלית א' (69163) חומר עזר על ספקטרופוטומטריה (מדידת בליעת אור) בליעה וחוק בר-למבר הספקטרוסקופיה היא הענף העוסק ביחסי הגומלין שבין האור והחומר; מדידה ספקטרוסקופית היא מדידה שבה מקבלים ספקטרום של
Διαβάστε περισσότερα( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת
הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (
Διαβάστε περισσότεραגבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות
08 005 שאלה גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות f ( ) f ( ) g( ) f ( ) ו- lim f ( ) ו- ( ) (00) lim ( ) (00) f ( בסביבת הנקודה (00) ) נתון: מצאו ) lim g( ( ) (00) ננסה להיעזר בכלל הסנדביץ לשם כך
Διαβάστε περισσότεραI. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx
דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה
Διαβάστε περισσότεραקיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות
קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית
Διαβάστε περισσότεραתרגילים באמצעות Q. תרגיל 2 CD,BF,AE הם גבהים במשולש .ABC הקטעים. ABC D נמצאת על המעגל בין A ל- C כך ש-. AD BF ABC FME
הנדסת המישור - תרגילים הכנה לבגרות תרגילים הנדסת המישור - תרגילים הכנה לבגרות באמצעות Q תרגיל 1 מעגל העובר דרך הקודקודים ו- של המקבילית ו- חותך את האלכסונים שלה בנקודות (ראה ציור) מונחות על,,, הוכח כי
Διαβάστε περισσότεραתשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.
בB בB תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: 035804 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 מכונית נסעה מעיר A לעיר B על כביש ראשי
Διαβάστε περισσότεραהרצאה. α α פלוני, וכדומה. הזוויות α ל- β שווה ל-
מ'' ל'' Deprmen of Applied Mhemics Holon Acdemic Insiue of Technology PROBABILITY AND STATISTICS Eugene Knzieper All righs reserved 4/5 חומר לימוד בקורס "הסתברות וסטטיסטיקה" מאת יוג'ין קנציפר כל הזכויות
Διαβάστε περισσότεραאלגברה לינארית מטריצות מטריצות הפיכות
מטריצות + [( αij+ β ij ] m λ [ λα ij ] m λ [ αijλ ] m + + ( + +C + ( + C i C m q m q ( + C C + C C( + C + C λ( ( λ λ( ( λ (C (C ( ( λ ( + + ( λi ( ( ( k k i חיבור מכפלה בסקלר מכפלה בסקלר קומוטטיב אסוציאטיב
Διαβάστε περισσότεραמתמטיקה בדידה תרגול מס' 12
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע
Διαβάστε περισσότεραיווקיינ לש תוביציה ןוירטירק
יציבות מגבר שרת הוא מגבר משוב. בכל מערכת משוב קיימת בעיית יציבות מהבחינה הדינמית (ולא מבחינה נקודת העבודה). חשוב לוודא שהמגבר יציב על-מנת שלא יהיו נדנודים. קריטריון היציבות של נייקוויסט: נתונה נערכת המשוב
Διαβάστε περισσότεραקבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.
א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.
Διαβάστε περισσότεραמבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים
מ( מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים M / M / תאור המערכת: תור שרת שירות פואסוני הגעה פואסונית הערות: במערכת M/M/ יש חוצץ אינסופי ולכן יכולים להיות בה אינסוף לקוחות, כאשר מקבל שירות והשאר ממתינים. קצב
Διαβάστε περισσότεραהחשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח.
החשמלי השדה הקדמה: מושג השדה חשמלי נוצר, כאשר הפיזיקאי מיכאל פרדיי, ניסה לתת הסבר אינטואיטיבי לעובדה שמטענים מפעילים זה על זה כוחות ללא מגע ביניהם. לטענתו, כל עצם בעל מטען חשמלי יוצר מסביבו שדה המשתרע
Διαβάστε περισσότεραמתמטיקה בדידה תרגול מס' 2
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: כמתים והצרנות. משתנים קשורים וחופשיים. 1 כמתים והצרנות בתרגול הקודם עסקנו בתחשיב הפסוקים, שבו הנוסחאות שלנו היו מורכבות מפסוקים יסודיים (אשר קיבלו ערך T או F) וקשרים.
Διαβάστε περισσότεραx a x n D f (iii) x n a ,Cauchy
גבולות ורציפות גבול של פונקציה בנקודה הגדרה: קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a תקרא סביבה של a. קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a אך לא מכילה את a עצמו תקרא סביבה מנוקבת של a. יהו a R ו f פונקציה מוגדרת
Διαβάστε περισσότεραסיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806
סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,
Διαβάστε περισσότεραהסתברות שבתחנה יש 0 מוניות ו- 0 נוסעים. הסתברות שבתחנה יש k-t נוסעים ו- 0 מוניות. λ λ λ λ λ λ λ λ P...
שאלה תורת התורים קצב הגעת נוסעים לתחנת מוניות מפולג פואסונית עם פרמטר λ. קצב הגעת המוניות מפולג פואסונית עם פרמטר µ. אם נוסע מגיע לתחנה כשיש בה מוניות, הוא מייד נוסע במונית. אם מונית מגיעה לתחנה כשיש בתחנה
Διαβάστε περισσότεραקבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים.
קבל קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים. על לוח אחד מטען Q ועל לוח שני מטען Q. הפוטנציאל על כל לוח הוא
Διαβάστε περισσότεραAtomic Mass Unit (AMU) gr mole = N AMU
ה. מבוא להנדסת חומרים- פתרונות פרק (מורחב): קשרים בין אטומיים איזוטופים- אטומים של אותו יסוד, אשר הם בעלי מסות שונות.. מסות השונות נובעות ממספר שונה של נויטרונים בגרעין. היסוד נקבע עפ"י מספר הפרוטונים
Διαβάστε περισσότεραפתרונות מלאים אלגברה 1 מ בחן אמצע חורף תשס"ג מטריצה הפיכה ב- הפיכה סקלרית, לכן A = αi
פתרונות מלאים אלגברה מ - 4 - בחן אמצע חורף תשס"ג -.. משך הבחינה :.5 שעות. שאלה מס' היא שאלת תרגילי בית. אין להשתמש בחומר עזר או מחשבונים. יש לענות על כל שאלה בדף נפרד ולנמק את התשובות. נא לרשום את השם
Διαβάστε περισσότεραהגדרה: מצבים k -בני-הפרדה
פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון
Διαβάστε περισσότεραפתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.
פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך
Διαβάστε περισσότεραמתמטיקה בדידה תרגול מס' 5
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון
Διαβάστε περισσότεραאלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6
אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 15 בינואר 016 1. יהי F שדה ויהיו q(x) p(x), שני פולינומים מעל F. מצאו פולינומים R(x) S(x), כך שמתקיים R(x),p(x) = S(x)q(x) + כאשר deg(q),deg(r) < עבור המקרים הבאים: (תזכורת:
Διαβάστε περισσότεραתרגול 2 גזים V V הינו הנפח המולרי. = n
תרגול גזים n כאשר גז אידאלי מקיים הינו הנפח המולרי. המשוואה התקבלה משילוב של שני חוקים אמפיריים: חוק בויל (6**) שהראה שעבור טמפרטורה קבועה ומסה קבועה ככל שהלחץ גדול יותר הנפח קטן יותר. וחוק שרל (chrel)
Διαβάστε περισσότερα1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )
הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y
Διαβάστε περισσότεραחידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד.
חידה לחימום ( M ש- N > (כך מספרים טבעיים Mו- N שappleי appleתוappleים בעלי אותה הזוגיות (שappleיהם זוגיים או שappleיהם אי - זוגיים). המספרים הטבעיים מ- Mעד Nמסודרים בשורה, ושappleי שחקappleים משחקים במשחק.
Διαβάστε περισσότερα2NH 3 (g) 2NO 2 (g) N 2 (g) + 3H 2 (g) N 2 (g) + 2O 2 (g) 2 ΔH>0 ΔH>0 ΔH < 0 ΔH <0
- מרים כרמי שאלה 1 נתונות שתי תגובות כימיות )1( ו-) 2 ) 1. N2(g) + 2O2(g) 2NO2(g) 2. N2(g) + 3H2(g) 2NH3(g) הערך את השינוי באנטרופיה של המערכת בכל אחת מהתגובות הנתונות. הסבר את תשובתך ברמה מיקרוסקופית.
Διαβάστε περισσότεραs ק"מ קמ"ש מ - A A מ - מ - 5 p vp v=
את זמני הליכת הולכי הרגל עד הפגישות שלהם עם רוכב האופניים (שעות). בגרות ע מאי 0 מועד קיץ מבוטל שאלון 5006 מהירות - v קמ"ש t, א. () נסמן ב- p נכניס את הנתונים לטבלה מתאימה: רוכב אופניים עד הפגישה זמן -
Διαβάστε περισσότεραבסל A רמת התועלת היא: ) - השקה: שיפוע קו תקציב=שיפוע עקומת אדישות. P x P y. U y P y A: 10>6 B: 9>7 A: 5>3 B: 4>3 C: 3=3 C: 8=8 תנאי שני : מגבלת התקציב
תנאי ראשון - השקה: שיפוע קו תקציב=שיפוע עקומת אדישות 1) MRS = = שיווי המשקל של הצרכן - מציאת הסל האופטימלי = (, בסל רמת התועלת היא: ) = התועלת השולית של השקעת שקל (תועלת שולית של הכסף) שווה בין המוצרים
Διαβάστε περισσότεραלחשיבות היחידות: מטוס שהתרסק בטרם סוף טיסתו עקב מילואו בדלק ביחידות של ק"ג ולא פאונדים Mars Climate Orbiter
מטרות התרגול (69163) תרגול מס' סמסטר אביב, תשע"א (011) חלק א' יחידות: 1 רענון נושא היחידות בתחומי הפיסיקה והכימיה אזכור של יחידות חשובות ושימושיות חלק ב' משוואת הגז האידיאלי וחוק דלטון חלק ג' ספקטרופוטומטריה
Διαβάστε περισσότερα1 סכום ישר של תת מרחבים
אלמה רופיסה :הצירטמ לש ןדרו'ג תרוצ O O O O O O ןאבצ זעוב סכום ישר של תת מרחבים פרק זה כולל טענות אלמנטריות, שהוכחתן מושארת לקורא כתרגיל הגדרה: יהיו V מרחב וקטורי, U,, U k V תת מרחבים הסכום W U + U 2 +
Διαβάστε περισσότερα(ספר לימוד שאלון )
- 40700 - פתרון מבחן מס' 7 (ספר לימוד שאלון 035804) 09-05-2017 _ ' i d _ i ' d 20 _ i _ i /: ' רדיוס המעגל הגדול: רדיוס המעגל הקטן:, לכן שטח העיגול הגדול: / d, לכן שטח העיגול הקטן: ' d 20 4 D 80 Dd 4 /:
Διαβάστε περισσότεραאלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה
Analytical Electromagnetism Fall Semester 202-3 אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה צפיפויות מטען וזרם צפיפות מטען נפחית ρ מוגדרת כך שאינטגרל נפחי עליה נותן את המטען הכולל Q dv ρ היחידות של ρ הן מטען
Διαβάστε περισσότεραקבוע הגזים: משוואת המצב של גז אידיאלי: חוק זה מסכם 3 חוקים פשוטים יותר: חוק :Boyle עבור תהליך איזותרמי )T=const( אין שינוי של קבוע בולצמן:
כימיה פיסיקלית ב )054( חורף תשע"ב קבוע הגזים: קבועים והמרות גז אידיאלי nr L 000 Lt J a ol K ol K ol K R 0.08 8.45 8.45 cal LHg Lorr ol K K ole K ole.987 6.67 6.67 c קבוע בולצמן: R N k k.8 0 B B J K מספר
Διαβάστε περισσότεραהרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי
הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב 2011 2010 פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים
Διαβάστε περισσότεραThe No Arbitrage Theorem for Factor Models ג'רמי שיף - המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בר-אילן
.. The No Arbitrage Theorem for Factor Models ג'רמי שיף - המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בר-אילן 03.01.16 . Factor Models.i = 1,..., n,r i נכסים, תשואות (משתנים מקריים) n.e[f j ] נניח = 0.j = 1,..., d,f j
Διαβάστε περισσότεραסיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות
סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim
Διαβάστε περισσότεραאלגברה לינארית 1. המערכת הלא הומוגנית גם כן. יתרה מזאת כל פתרון של (A b) הוא מהצורה c + v כאשר v פתרון כלשהו של המערכת ההומוגנית
אלגברה לינארית 1 Uטענה U: אם c פתרון של המערכת (A b) ו v פתרון של המערכת (0 A) אזי c + v פתרון של המערכת הלא הומוגנית גם כן. יתרה מזאת כל פתרון של (A b) הוא מהצורה c + v כאשר v פתרון כלשהו של המערכת ההומוגנית
Διαβάστε περισσότεραאטומים. n p. מול - מספר אבוגדרו 6.02x10 23 = N A חלקיקים. E n -Z 2 /n 2 (n ' > n) ΔE= Z 2 R(1/n 2-1/n '2 ) :(n ' = I.E.
ל( מבוא לכימיה - 2007 סיכום סיכמה: סתיו עופר על בסיס הדפים שחולקו בהרצאות של ד"ר גילה נוטסקו אטומים סימון יסוד: A Z X Z מספר אטומי: n p (מס. הפרוטונים) קובע את זהות האטום A מספר מסה (מסה מולרית): n p n+
Διαβάστε περισσότεραמשוואות דיפרנציאליות לינאריות הומוגניות עם מקדמים קבועים
משוואות דיפרנציאליות לינאריות הומוגניות עם מקדמים קבועים עבור משוואה דיפרנציאלית הומוגנית מסדר 2 n y (n) +p 1 (t)y (n 1) +p 2 (t)y (n 2) + +p n (t)y = 0, אין דרך כללית למצוא באופן מפורש ביטויים לפתרונות
Διαβάστε περισσότερα