) kartezijev pravokutni koordinatni sustav. Položaj točke T jednoznačno je

Transcript

1 Geodetski fakultet, d sc J Beba-Bkić Pedavaja i Matematike 5 ANALITIČKA GEOMETRIJA TOČKA, PRAVAC I RAVNINA Točka u postou Neka je ( O;i, j,k kateijev pavokuti koodiati sustav Položaj točke T jedoačo je uuu odeđe jeim koodiatama (,, koje su ujedo i kompoete adijvektoa OT : uuu T T,, OT i j k,, ( { } Udaljeost dviju točaka Neka su ( ( A,, i B,, dvije dae točke Njihova je udaljeost jedaka duljii vektoa uuu AB ( i ( j ( k, uuu uuu d A,B d AB AB ( ( ( ( ( Dijeljeje dužie u adaom omjeu Podijeliti dužiu AB u adaom omjeu : ači odediti točku T, uuta te dužie, takvu da vijedi: uuu uu AT : TB :, tj uuu uu AT TB (* Ako su A(,, a a a,b,, ( b b b T(,, {,, } {,, } koodiate adaih točaka u postou i oačimo li s koodiate tažee točke, jedakost (* možemo apisati u obliku: a a a b b b I jedakosti dvaju vektoa slijedi: a b a b, odoso a b ( ( ( a b a b a b 4

2 Geodetski fakultet, d sc J Beba-Bkić Pedavaja i Matematike Koodiate tažee točke su: a b a b a,, b Do koodiata točke T može se doći i aspisivajem jedakosti (* pomoću adijvektoa: uuu uuu uuu uuu OT OA ( OB OT Seđivajem, dobivamo ia a adijvekto točke T: OT uuu OA uuu OB uuu, odakle čitamo tažee koodiate Ravia u postou Poato am je da je eka avia π u postou odeđea sa: 3 točke; pavcem i točkom iva pavca; ukštea pavca; paalela pavca Aalitički je aviu ajjedostavije opisati pomoću jede točke i jedog vektoa koji je okomit a tu aviu i aivamo ga omalom avie Lako se vidi da adaom točkom polai samo jeda avia koja je okomita a adau omalu Neka je ( T,,, adaa točka postoa Ai Bj Ck A,B,C, vekto omale T,,, poivolja točka avie π { } ( Tada je: uuu TT {,, }, vekto koji leži u avii π uuu TT, tj vekto omale je okomit a svaki dugi vekto koji leži u avii π Slijedi: uuu TT, ( jedadžba avie u vektoskom obliku; ( ( ( A B C, ( algebaski oblik jedadžbe avie; Imožimo li iae u elaciji ( dobiva se 4

3 Geodetski fakultet, d sc J Beba-Bkić Pedavaja i Matematike A B C D, (3 kaoska ili opća jedadžba avie, gdje je D ( A B C D ishodište O (,, pipada avii π, odoso avia π polai ishodištem Segmeti oblik jedadžbe avie Podsjetimo se, kao pvo, dobivaja segmetog oblika jedadžbe pavca i jegove jedadžbe u općem obliku Neka je a b c jedadžba pavca p c pavac polai ishodištem; c dijeljejem s -c jedadžbu svodimo a oblik, koji aivamo m segmeti oblik pavca, pi čemu su m i duljie segmeata a koodiatim osima Aalogo, eka je A B C D jedadžba avie π D avia polai ishodištem; D dijeljejem s -D slijedi p q, (4 D D D gdje su p, q, Ia (4 A B C aivam se segmeti oblik avie, pi čemu su bojevi p, g, duljie segmeata a koodiatim osima Pesjeci avie s koodiatim aviama: &, tj tag avie π; p q p q &, tj tag avie π; p q p &, tj 3 tag avie π p q q Jedadžba avie adae s ti točke (,, (,, ( Zadatak: Neka su T, T, T,, ti ekolieae točke Odediti jedadžbu avie koja ih sadži!

4 Geodetski fakultet, d sc J Beba-Bkić Pedavaja i Matematike Rješeje: Neka je T(,, poivolja točka avie uuu uuuu uuuu Vektoi TT,TT,TT 3 su komplaai, tj leže u istoj avii uuu uuuu uuuu TT TT TT 3 mješoviti podukt im je jedak uli: ( uuu uuuu uuuu Uvstimo li kompoete vektoa TT,TT,TT 3, dobivamo jedadžbu tažee avie u obliku Aalogo, odediti jedadžbu avie adae s a pavcem i točkom iva pavca; b dvama ukšteim pavcima; c dvama paalelim pavcima (5 Idetiče avie Pomožimo li jedadžbu avie (3 ealim bojem, dobije se jedadžba A B C D, gdje je A A, B B, K, koja pedstavlja istu aviu u postou Dakle, dvije jedadžbe avia su jedadžbe jede te iste avie ako vijedi A B C D A B C D, a A,B,C,D Ako je eka od vijedosti A,B,C,D, to ači da je i bojik odgovaajućeg kvocijeta jedak uli Paalele avie Ravie π i π su paalele ako su im vektoi omala { A,B, C } i kolieai, tj α, α R, α, odoso A B C { A,B,C} α{ A,B, C}, tj α, a A,B,C A B C { A,B, } C Ako je eka od vijedosti A,B,C, to ači da je i bojik odgovaajućeg kvocijeta jedak uli 43

5 Geodetski fakultet, d sc J Beba-Bkić Pedavaja i Matematike Okomite avie Ravie π i π su okomite ako su im vektoi omala A,B, C i okomiti, tj, odoso A A B B C C { } { A,B, } C Kut imeđu dviju avia Ako su dvije avie paalele ili se podudaaju, kut ϕ među jima jedak je uli Ako se dvije avie π i π sijeku, kut ϕ među jima jedak je kutu imeđu jihovih vektoa omala { A,B, C } i { A,B, C } A A BB CC π cosϕ cosϕ, ϕ A B C A B C Nomiai oblik jedadžbe avie Neka je π avia s jedadžbom A B C D Tada je: { A,B,C}, A B C, { A,B,C} { cos α,cos β,cosγ A B C Pojiciajmo adijvekto bilo koje točke T(,, π a vekto omale Ta je pojekcija poitiva boj i jedaka je udaljeosti ishodišta koodiatog sustava od avie π Oačimo tu udaljeost s p Aalitički: cos α,cos β,cosγ,, p, odoso { } { } ( cosα ( cos β ( cosγ p, (6 što pedstavlja omiai ili Hesseov oblik jedadžbe avie Podijelimo sada kaosku jedadžbu avie modulom vektoa omale: A B C D / : A B C D, ± A B C ± A B C ± A B C ± A B C D ( cosα ( cos β ( cosγ, i uspoedbom sa (6 ± A B C } 44

6 Geodetski fakultet, d sc J Beba-Bkić Pedavaja i Matematike ± A D B C p Budući da je udaljeost p >, a pedak koijea se uvijek uima sgd Udaljeost točke od avie Zadao: - točka T o ( o, o, o, - avia π A B C D Udaljeost točke T o do avie π jedaka je udaljeosti točke T o do jeie otogoale pojekcije T o ' a aviu π Dakle, d d(t o, π d(t o, T o ' Tažeu udaljeost ćemo odediti a sljedeći ači: uuuu Neka je M(,, poivolja točka avie π, M T ' o Pojekcija vektoa MTo a jediiči vekto omale o točkom To jedaka je tažeoj udaljeosti (vidi sliku, tj d MT uuuu uuuu MT cosϕ uuuu MT cosϕ ϕ MT uuuu, o o o o o Aalitički, d,, cos α,cos β,cosγ, ( o o { } { } α β γ ( α β d cos cos cos cos cos cosγ d cosα cos β cosγ p ( M π p Upotebimo li poatu veu imeđu kaoskog i omalog oblika jedadžbe avie, udaljeost d možemo iaiti i a sljedeći ači: A B C D d ± A B C ± A B C ± A B C ± A B C odoso A B C D d sg D A B C (, Napomeimo da ovako dobivea udaljeost može biti i egativa veličia, što se dobiva u uuuu slučaju da je kut ϕ imeđu vektoa omale i vektoa MTo tupi kut Dakle, ϕ je tupi kut točka T o i ishodište O leže s iste stae avie π d <, ϕ je šiljasti kut točka T o i ishodište O leže s aih staa avie π d > 45

7 Geodetski fakultet, d sc J Beba-Bkić Pedavaja i Matematike Pame avia Pame avia čie sve avie koje polae jedim pavcem postoa Pame je ada (odeđe ako su adae dvije jegove avie π i π Neka su π A B C D, π A B C D jedadžbe avia koje odeđuju pame Ako je T(,, bilo koja točka koja pipada pesječici avia π i π, jee koodiate moaju adovoljavati obje dae jedadžbe kao i jihovu lieau kombiaciju ( A B C ν A B C D, µ, ν R µ ( D Odabiom kostati µ i ν dobivamo avie pamea oko ajedičkog pesječog pavca, i posebo: - a µ avia π, - a ν avia π Budući da su paameti µ i ν općeito aličiti od ule, dijeljejem jedim od jih (a pimje µ i u oaku ν/µ dobivamo jedostaviju jedadžbu pamea avia u obliku ( A B C ( A B C D D Simetale avie Simetale avie Σ i Σ dviju avia π i π koje se sijeku u ekom pavcu p su avie koje polae pesječicom p i aspolavljaju kutove koje π i π atvaaju Neka su π A B C D, { A,B, C }, π A B C D, { A,B, C }, jedadžbe i vektoi omala početih dviju avia Vektoi omala s, s avia Σ, Σ su međusobo okomiti i vijedi: s ( ( Slika pesjeka p: s ( ( Osim toga, budući da avie Σ, Σ polae pesječicom p avia π, π oe pipadaju pameu avia koji je s π i π odeđe Njihove su jedadžbe dae sa 46

8 Geodetski fakultet, d sc J Beba-Bkić Pedavaja i Matematike, π π Σ π π Σ odoso ( ( sg D sg D C B A D C B A C B A D C B A, ± ± ± K Σ Pavac u postou Jedadžba pavca Pavac p u postou odeđe je jedom svojom točkom T o i vektoom smjea p Zadao: - točka T (,,, - vekto smjea p {l, m, } Neka je T(,,, T p, bilo koja točka T p T T p, R, T T, p p K, ( vektoska jedadžba pavca Jedadžba ( koodiato: ( ( k mj li k j i k j i ( ( ( k j m i l k j i m l ( paametaska jedadžba pavca Svakoj vijedosti paameta odgovaa jeda točka pavca p i obato Elimiiamo li paameta i jedadžbi ( slijedi ( m l (3 kaoska jedadžba pavca 47

9 Geodetski fakultet, d sc J Beba-Bkić Pedavaja i Matematike Pavac ko dvije točke Zadao: - točke T (,, i T (,,, a time i vekto T T {,, } Kaoski oblik jedadžbe pavca: ( Paametaska jedadžba: ( ( ( Međusobi položaj dvaju pavaca Međusobi položaj dvaju pavaca p, p u postou odeđe je međusobim položajem jihovih vektoa smjea p, p Mogućosti su sljedeće: - vektoi smjea su kolieai p α p, α R - vektoi smjea su okomiti p p π p - vektoi smjea atvaaju eki kut ϕ, p cosϕ p p Udaljeost točke od pavca Zadao: - pavac p točkom T (,, i vektoom smjea p {l, m, }, - točka T (,, Teba odediti fomulu a iačuavaje udaljeosti točke od pavca Udaljeost točke T do pavca p jedaka je udaljeosti točke T do jeie pojekcije T ' a pavac p Dakle, d d(t, p d(t, T '? Pomotimo paalelogam aapet vektoima p i T T Njegovu povšiu P iačuavamo po fomuli P p d p T T, odakle slijedi p TT d p 48

10 Geodetski fakultet, d sc J Beba-Bkić Pedavaja i Matematike Udaljeost pavaca u postou Najčešči položaj dvaju pavaca u postou je mimosmjeost Vektoi smjeova mimosmjeih pavaca isu kolieai i pavci emaju ajedičku točku Zadao: - pavac p točkom T (,, i vektoom smjea p {l, m, }, - pavac p točkom T (,, i vektoom smjea p {l, m, } Teba odediti fomulu a iačuavaje udaljeosti dvaju pavca U tu svhu amislimo paalelepiped aapet vektoima p, p, T T Ako su vektoi p, p, T T komplaai slijedi da su p, p paaleli ili ukštei Ukoliko su ukštei udaljeost im je jedaka uli, a ukoliko su paaleli udaljeost se iačuava po fomuli a udaljeost točke od pavca Petpostavimo da vektoi p, p, T T isu komplaai Volume V paalelepipeda kojeg oi aapiju iačuavamo po fomuli V T T p ( p Međutim V B v, gdje je B baa, a v visia paalelepipeda Zbog B p p i v d, slijedi p p d T T p, ( p TT ( p p d p p Tasveala dvaju pavaca je bilo koji pavac postoa koji ih siječe Najkaća tasveala dvaju pavaca je pavac koji ih siječe i okomit je a svakom od jih 49

11 Geodetski fakultet, d sc J Beba-Bkić Pedavaja i Matematike Međusobi položaj pavca i avie Pavac kao pesjek dviju avia Neka su π B C D, π B C D { A,B, C }, A, { A,B, } A, C jedadžbe i vektoi omala dviju adaih avia Pitamo se kako odediti π π i koje su mogućosti? o π π π π π π, tj vektoi omala su kolieai k A B C k ; A B C o A B C D π π k ; A B C D, k R 3 o π π p Vekto smjea pavca p: p Točka pavca p dobije se ješavajem sustava dviju jedadžbi (avie π, π odabavši poivoljo eku vijedost a koodiatu, ili Kut imeđu pavca i avie Kut imeđu pavca i avie defiia se kao kut imeđu pavca p i jegove otogoale pojekcije p' a aviu π Zadao: - pavac p kaoskom jedadžbom, l m - avia π jedadžbom A B C D Tažei kut ćemo iačuati kao komplemet kuta vektoa smjea pavca i omale avie: ϕ π 9 o ϕ ( p, ( p, p'? ( p, cos ϕ p A B C l m o p Al Bm C ( 9 siϕ 5

12 Geodetski fakultet, d sc J Beba-Bkić Pedavaja i Matematike Pobodište pavca i avie Zadao: - pavac p l m - avia π A B C D, Teba odediti p π! Mogućosti: o p π p π ; o p π p π p; 3 o Pavac p pobada aviu π u jedoj točki čije koodiate adovoljavaju obje dae jedadžbe Postupak poalažeja pobodišta objasit ćemo a pimjeu Zadaci: Odabati m tako da se pavci aviu koju odeđuju 4 3 i m sijeku i odediti p 4 3 q, m, p { 3,, } Vektoi q, p, PQ moaju biti komplaai! m 3 m m 3, P(, 4, {,, }, {,, m} q {, m,}, m Q (, m, PQ {, m 3, } Ravia: 3 4 m 5 5

13 Geodetski fakultet, d sc J Beba-Bkić Pedavaja i Matematike Odediti jedadžbu pavca koji leži u avii 3, polai točkom T (,, i okomit je a pavac 3 Π 3 p p {, 3, 6} Ravia Σ točkom T okomito a pavac p: ( 3 ( 6 ( Σ Tažei pavac q Π Σ : ( Π { 3,, }, ( Σ {, 3, 6} i j k q 3 6i j 3k 3 6 T Π q Naći točku avie 3 jedako udaljeu od točaka A(,3,, B(4,, i C(,, 3 3 Polovište dužie CA P (,, ; CA i 3 j k 5 Polovište dužie CB Q (,, ; CB 3 i j k Ravia točkom P okomito a vekto CA : 3 3 α ( 3( 3 6 Ravia točkom Q okomito a vekto CB : ači: Pesjek avia α i β: ( α { 3,, } i q β (, ( β { 6, 4 } 6 j 3 4, k 4k 5

14 Geodetski fakultet, d sc J Beba-Bkić Pedavaja i Matematike Za , Q,, q Pobodište pavca q i avie 3 : 33 7 Kako je pavac q paalela sa -osi, uvstimo, u jedadžbu avie Slijedi, pa je tažea točka T (,, ači: Tažea točka se može dobiti i kao pesjek adae avie, avie α i avie β, tj kao ješeje sustava: Odediti pojekciju točke T (,, 8 a pavac pk a Ravia Π točkom T okomita a pavac p b Pobodište Q pavca p i avie Π Jedadžba pavca: pk p p,,, P,, K { } ( Ravia Π točkom T: ( ( ( Π Pobodište: t t t ( t ( t 4t t t 8 6t 6 t t 8 ( 3,, Q 53