Analitička geometrija prostora
|
|
|
- Μνήμη Ζυγομαλάς
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Analitička geometrija prostora Franka Miriam Brückler
2 U analitičkog geometriji u ravnini se pomoću koordinata (uredenih parova realnih brojeva) proučavaju točke ravnine i njihovi jednodimenzionalni skupovi: pravci, krivulje drugog reda,... U trodimenzionalnom prostoru pojavljuju se i dvodimenzionalni podskupovi plohe. Najvažnije plohe u prostoru zovu se ravnine. Objekti u prostoru opisuju se s jednom ili više jednadžbi s tri nepoznanice, koje predstavljaju koordinate točaka tog objekta. Da bismo se mogli baviti analitičkom geometrijom prostora, potrebno je prvo odabrati koordinatni sustav. Ako je kao baza odabrana desna ortonormirana baza govorimo o Kartezijevom koordinatnom sustavu u prostoru. Koordinatne osi su brojevni pravci kroz O kojima se smjerovi redom podudaraju sa smjerovima vektora odabrane baze. Koordinatne ravnine su ravnine odredene s po dvije koordinatne osi.
3 Udaljenost dviju točaka i polovište dužine Za dvije točke T (x, y, z) i T (x y, z ) njihova udaljenost jednaka je duljini vektora TT, a ona je prema prethodnom jednaka TT TT. Ako je odabrana baza ortonormirana slijedi formula za udaljenost dvije točke u Kartezijevom koordinatnom sustavu: d(t, T ) = (x x) 2 + (y y) 2 + (z z) 2. Kako biste u općem kristalografskom sustavu izračunali udaljenost dviju točaka?
4 Udaljenost dviju točaka i polovište dužine Za dvije točke T (x, y, z) i T (x y, z ) njihova udaljenost jednaka je duljini vektora TT, a ona je prema prethodnom jednaka TT TT. Ako je odabrana baza ortonormirana slijedi formula za udaljenost dvije točke u Kartezijevom koordinatnom sustavu: d(t, T ) = (x x) 2 + (y y) 2 + (z z) 2. Kako biste u općem kristalografskom sustavu izračunali udaljenost dviju točaka? ( ) Polovište dužine TT dano je koordinatama x+x 2, y+y 2, z+z 2.
5 Što predstavlja jednadžba x = u ravnini?
6 Što predstavlja jednadžba x = u ravnini?... u prostoru? Što prestavljaju jednadžbe y = 0?
7 Što predstavlja jednadžba x = u ravnini?... u prostoru? Što prestavljaju jednadžbe y = 0? z = 0?
8 Što predstavlja jednadžba x = u ravnini?... u prostoru? Što prestavljaju jednadžbe y = 0? z = 0? x = 2?
9 Što predstavlja jednadžba x = u ravnini?... u prostoru? Što prestavljaju jednadžbe y = 0? z = 0? x = 2? x + 2y = 0?
10 Što predstavlja jednadžba x = u ravnini?... u prostoru? Što prestavljaju jednadžbe y = 0? z = 0? x = 2? x + 2y = 0? Dajte primjere točaka prostora koje zadovoljavaju jednadžbu x + 2y = 4!
11 Što predstavlja jednadžba x = u ravnini?... u prostoru? Što prestavljaju jednadžbe y = 0? z = 0? x = 2? x + 2y = 0? Dajte primjere točaka prostora koje zadovoljavaju jednadžbu x + 2y = 4! Kakav objekt ta jednadžba predstavlja?
12 Svaka linearna jednadžba Ax + By + Cz = D s tri nepoznanice opisuje neku ravninu u prostoru, kao što svaka linearna jednadžba s dvije nepoznanice opisuje neki pravac u ravnini. Takva jednadžba zove se opća jednadžba ravnine. U ravnini se nalaze točno one točke čije su koordinate (x, y, z) povezane jednadžbom ravnine. Sve jednadžbe koje se iz jednadžbe ravnine mogu dobiti njenim množenjem s brojem različitim od nule predstavljaju istu ravninu.
13 Svaka linearna jednadžba Ax + By + Cz = D s tri nepoznanice opisuje neku ravninu u prostoru, kao što svaka linearna jednadžba s dvije nepoznanice opisuje neki pravac u ravnini. Takva jednadžba zove se opća jednadžba ravnine. U ravnini se nalaze točno one točke čije su koordinate (x, y, z) povezane jednadžbom ravnine. Sve jednadžbe koje se iz jednadžbe ravnine mogu dobiti njenim množenjem s brojem različitim od nule predstavljaju istu ravninu. Koeficijenti A, B i C govore nam o nagibu ravnine prema koordinatnim osima, a D o udaljenosti ravnine od ishodišta.
14 Jednadžbom x + y 2z = 5 zadana je ravnina. Leži li u njoj ishodište?
15 Jednadžbom x + y 2z = 5 zadana je ravnina. Leži li u njoj ishodište? A točka (1, 8, 2)?
16 Jednadžbom x + y 2z = 5 zadana je ravnina. Leži li u njoj ishodište? A točka (1, 8, 2)? Koji uvjet moraju zadovoljavati koeficijenti A, B, C, D u općoj jednadžbi ravnine da bi se radilo o općoj ravnini koja prolazi kroz ishodište?
17 Jednadžbom x + y 2z = 5 zadana je ravnina. Leži li u njoj ishodište? A točka (1, 8, 2)? Koji uvjet moraju zadovoljavati koeficijenti A, B, C, D u općoj jednadžbi ravnine da bi se radilo o općoj ravnini koja prolazi kroz ishodište? O općoj ravnini koja je paralelna s osi ordinata?
18 Jednadžbom x + y 2z = 5 zadana je ravnina. Leži li u njoj ishodište? A točka (1, 8, 2)? Koji uvjet moraju zadovoljavati koeficijenti A, B, C, D u općoj jednadžbi ravnine da bi se radilo o općoj ravnini koja prolazi kroz ishodište? O općoj ravnini koja je paralelna s osi ordinata? O općoj ravnini koja je paralelna s (x, z)-ravninom?
19 Jednadžbom x + y 2z = 5 zadana je ravnina. Leži li u njoj ishodište? A točka (1, 8, 2)? Koji uvjet moraju zadovoljavati koeficijenti A, B, C, D u općoj jednadžbi ravnine da bi se radilo o općoj ravnini koja prolazi kroz ishodište? O općoj ravnini koja je paralelna s osi ordinata? O općoj ravnini koja je paralelna s (x, z)-ravninom? Ovise li vaši odgovori o tipu koordinatnog sustava?
20 Skalarni produkt vektora r = [u, v, w] u direktnom prostoru i vektora r = [h, k, l] u recipročnom prostoru iznosi r r = uh + vk + wl.
21 Skalarni produkt vektora r = [u, v, w] u direktnom prostoru i vektora r = [h, k, l] u recipročnom prostoru iznosi r r = uh + vk + wl. Neka je dana ravnina (u direktnom prostoru) jednadžbe Ax + By + Cz = D. Ta ravnina siječe koordinatne osi u točkama P = (D/A, 0, 0), Q = (0, D/B, 0), R = (0, 0, D/C).
22 Skalarni produkt vektora r = [u, v, w] u direktnom prostoru i vektora r = [h, k, l] u recipročnom prostoru iznosi r r = uh + vk + wl. Neka je dana ravnina (u direktnom prostoru) jednadžbe Ax + By + Cz = D. Ta ravnina siječe koordinatne osi u točkama P = (D/A, 0, 0), Q = (0, D/B, 0), R = (0, 0, D/C). Stoga je PQ = [ D/A, D/B, 0] i PR = [ D/A, 0, D/C]. Pogledajmo vektor [A, B, C] u recipročnom prostoru.
23 Skalarni produkt vektora r = [u, v, w] u direktnom prostoru i vektora r = [h, k, l] u recipročnom prostoru iznosi r r = uh + vk + wl. Neka je dana ravnina (u direktnom prostoru) jednadžbe Ax + By + Cz = D. Ta ravnina siječe koordinatne osi u točkama P = (D/A, 0, 0), Q = (0, D/B, 0), R = (0, 0, D/C). Stoga je PQ = [ D/A, D/B, 0] i PR = [ D/A, 0, D/C]. Pogledajmo vektor [A, B, C] u recipročnom prostoru. Slijedi: PQ [A, B, C] = PR [A, B, C] = 0.
24 Skalarni produkt vektora r = [u, v, w] u direktnom prostoru i vektora r = [h, k, l] u recipročnom prostoru iznosi r r = uh + vk + wl. Neka je dana ravnina (u direktnom prostoru) jednadžbe Ax + By + Cz = D. Ta ravnina siječe koordinatne osi u točkama P = (D/A, 0, 0), Q = (0, D/B, 0), R = (0, 0, D/C). Stoga je PQ = [ D/A, D/B, 0] i PR = [ D/A, 0, D/C]. Pogledajmo vektor [A, B, C] u recipročnom prostoru. Slijedi: PQ [A, B, C] = PR [A, B, C] = 0. Dakle, [A, B, C] je okomit na dva pravca ravnine Ax + By + Cz = D, tj. [A, B, C] je normala na ravninu Ax + By + Cz = D: Vektor normale n na ravninu Ax + By + Cz + D = 0 je vektor n = A a + B b + C c = [A, B, C].
25 Posebno, u Kartezijevom koordinatnom sustavu, trojka [A, B, C] odreduje vektor normale na smjer ravnine.
26 Posebno, u Kartezijevom koordinatnom sustavu, trojka [A, B, C] odreduje vektor normale na smjer ravnine. Jedan način zadavanja ravnine je trojkom [A, B, C] i jednom točkom: A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0. Odredite jednadžbu ravnine u Kks kojoj vektor normale ima smjer [2, 3, 4] i koja sadrži točku (1, 1, 1).
27 Posebno, u Kartezijevom koordinatnom sustavu, trojka [A, B, C] odreduje vektor normale na smjer ravnine. Jedan način zadavanja ravnine je trojkom [A, B, C] i jednom točkom: A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0. Odredite jednadžbu ravnine u Kks kojoj vektor normale ima smjer [2, 3, 4] i koja sadrži točku (1, 1, 1). Ravninu možemo zadati i jednom točkom (x 0, y 0, z 0 ) te s dva njoj paralelna vektora v = [v 1, v 2, v 3 ] i w = [w 1, w 2, w 3 ]. Kako biste tada odredili vektor normale te ravnine?
28 Posebno, u Kartezijevom koordinatnom sustavu, trojka [A, B, C] odreduje vektor normale na smjer ravnine. Jedan način zadavanja ravnine je trojkom [A, B, C] i jednom točkom: A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0. Odredite jednadžbu ravnine u Kks kojoj vektor normale ima smjer [2, 3, 4] i koja sadrži točku (1, 1, 1). Ravninu možemo zadati i jednom točkom (x 0, y 0, z 0 ) te s dva njoj paralelna vektora v = [v 1, v 2, v 3 ] i w = [w 1, w 2, w 3 ]. Kako biste tada odredili vektor normale te ravnine? Ravnina zadana trima točkama T i = (x i, y i, z i ), i = 1, 2, 3 ima jednadžbu x x 1 y y 1 z z 1 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 = 0. Kako biste mogli izvesti tu jednadžbu? Ovisi li ona o tipu
29 Paralelnost i okomitost ravnina Ako su jednadžbe ravnina Ax + By + Cz + D = 0 i A x + B y + C z + D = 0, uvjet paralelnosti ravnina možemo formulom zapisati kao A : A = B : B = C : C. Ekvivalentno: ravnine su paralelne ako je n n = 0, gdje su n i n njihove normale. Uvjet okomitosti ravnina možemo zapisati kao n n = 0, odnosno koordinatno (samo za Kartezijev koordinatni sustav) AA + BB + CC = 0.
30 Primjer Odabran je Kartezijev koordinatni sustav. Nadimo ravninu okomitu na ravnine x + y + z = 1 i x y + z = 2 koja prolazi ishodištem. Kako znamo jednu točku, (0, 0, 0), radi se o ravnini s jednadžbom oblika Ax + By + Cz = 0. Da bismo odredili koordinate vektora normale, iskoristimo uvjete okomitosti: 1A + 1B + 1C = 0 (okomitost na x + y + z = 1) i 1A 1B + 1C = 0 (okomitost na x y + z = 2). Tako smo dobili sustav A + B + C = 0, A B + C = 0. Zbrajanjem jednadžbi sustava i zatim dijeljenjem s dva vidimo da mora vrijediti C = A. Iz prve jednadžbe je onda A + B A = 0 tj. B = 0. Dakle, vektori normale imaju koordinate oblika [A, 0, A] s proizvoljnim A 0. Odaberimo jedan takav vektor, recimo s A = 1. Imamo vektor normale [1, 0, 1] te je tražena jednadžba ravnine x z = 0.
31 Kut izmedu ravnina Kut izmedu ravnina definira se kao kut izmedu njihovih normala, tj. cos ϕ = n n n. n Pritom se bira ϕ [0, π. Primjer Kut izmedu ravnina x y z = 0 i x y-ravnine z = 0, uz uvjet da je odabrani koordinatni sustav Kartezijev, dan je s cos ϕ = ( 1) 2 + ( 1) = 1, 2 3 te je ϕ 125, 264.
32 Segmentni oblik jednadžbe ravnine Često se koristi i segmentni oblik jednadžbe ravnine. Radi se o posebnom slučaju općeg oblika jednadžbe ravnine gdje se iz koeficijenata direktno vide probodišta koordinatnih osi (odsječci) i ravnine. To je oblik x m + y n + z p = 1, a brojevi m, n, p su redom odsječci ravnine na koordinatnim osima. Ravnina na slici desno ima segmentni oblik
33 Segmentni oblik jednadžbe ravnine Često se koristi i segmentni oblik jednadžbe ravnine. Radi se o posebnom slučaju općeg oblika jednadžbe ravnine gdje se iz koeficijenata direktno vide probodišta koordinatnih osi (odsječci) i ravnine. To je oblik x m + y n + z p = 1, a brojevi m, n, p su redom odsječci ravnine na koordinatnim osima. Ravnina na slici desno ima segmentni oblik x 2 + y 3 + z 4 = 1. Istu ravninu mogli smo zadati i jednadžbom 6x + 4y + 3z = 12.
34 Kako oblik Ax + By + Cz + D = 0 svesti na segmentni?
35 Kako oblik Ax + By + Cz + D = 0 svesti na segmentni? Koliko iznose stvarni odsječci ravnine 2x 5y + 3z = 15 na koordinatnim osima, ako je a = 1 m, b = 2 m i c = 4 m, α = β = γ = 90?
36 Kako oblik Ax + By + Cz + D = 0 svesti na segmentni? Koliko iznose stvarni odsječci ravnine 2x 5y + 3z = 15 na koordinatnim osima, ako je a = 1 m, b = 2 m i c = 4 m, α = β = γ = 90? Stvarne duljine odsječaka ravnine x m + y n + z p = 1 na osima jednake su ma, nb odnosno pc.
37 Kako oblik Ax + By + Cz + D = 0 svesti na segmentni? Koliko iznose stvarni odsječci ravnine 2x 5y + 3z = 15 na koordinatnim osima, ako je a = 1 m, b = 2 m i c = 4 m, α = β = γ = 90? Stvarne duljine odsječaka ravnine x m + y n + z p = 1 na osima jednake su ma, nb odnosno pc. Segmentni oblik jednadžbe se ne koristi za ravnine kroz ishodište. Takod, u matematici se taj oblik ne koristi ako je ravnina paralelna nekoj od koordinatnih osi, no uz malu modifikaciju koristit ćemo ga i za te slučajeve.
38 (Kristalna) rešetka se sastoji od svih točaka prostora koje u (kristalografskom) koordinatnom sustavu imaju cjelobrojne koordinate. Postoji sedam osnovnih tipova kristalnih rešetki, a koji su poznati pod nazivom kristalni sustavi. U kristalografiji od zanimanja su samo odredene, tzv. mrežne ravnine: ravnine koje prolaze kroz, medusobno relativno bliske, točke rešetke (kroz 3 i stoga beskonačno mnogo) točaka rešetke. Pritom se medusobno paralelne mrežne ravnine smatraju ekvivalentnim. Konkretan makroskopski kristal je poliedar omeden plohama (stranama poliedra) čije ravnine pripadaju pojedinom skupu medusobno ekvivalentnih mrežnih ravnina.
39 Promotrimo prvo dvodimenzionalni analog kristalne rešetke odreden bazom { a, b }. Na slici su ucrtana dva od mogućih smjerova mrežnih pravaca. Kad bismo neku točku rešetke prozvali ishodištem, vidimo da zadani smjer pravaca ima jednadžbe u segmentnom obliku x mλ + y nλ = 1 gdje su m, n, λ Z (uz fiksirane m i n za različite λ dobivamo različite, ali medusobno paralelne, mrežne pravce). Analogno, u prostoru će odabrani smjer ravnina u kristalnoj rešetki biti opisan jednadžbama segmentnog oblika s m, n, p, λ Z. x mλ + y nλ + z pλ = 1
40 Vidimo da su s trojkom (m, n, p) karakterizirane sve medusobno paralelne mrežne ravnine jednog smjera. Načelno, ta se trojka može odabrati proizvoljno, no uobičajena konvencija je da se (m, n, p) se bira tako da su m, n i p relativno prosti cijeli brojevi 1. Ti brojevi zovu se Weissovi parametri plohe na kristalu, točnije smjera njenih mrežnih ravnina. Kaže se da ploha ima Weissove parametre ma : nb : pc. U slučaju da je ravnina paralelna nekoj od koordinatnih osi, dogovorno se pripadni Weissov parametar označava s. Primjer Ploha paralelna s a i b ima Weissove parametre 1 Ili pak racionalni brojevi takvi da je n = 1.
41 Vidimo da su s trojkom (m, n, p) karakterizirane sve medusobno paralelne mrežne ravnine jednog smjera. Načelno, ta se trojka može odabrati proizvoljno, no uobičajena konvencija je da se (m, n, p) se bira tako da su m, n i p relativno prosti cijeli brojevi 1. Ti brojevi zovu se Weissovi parametri plohe na kristalu, točnije smjera njenih mrežnih ravnina. Kaže se da ploha ima Weissove parametre ma : nb : pc. U slučaju da je ravnina paralelna nekoj od koordinatnih osi, dogovorno se pripadni Weissov parametar označava s. Primjer Ploha paralelna s a i b ima Weissove parametre a : b : pc. Ploha paralelna sa c ima Weissove parametre 1 Ili pak racionalni brojevi takvi da je n = 1.
42 Vidimo da su s trojkom (m, n, p) karakterizirane sve medusobno paralelne mrežne ravnine jednog smjera. Načelno, ta se trojka može odabrati proizvoljno, no uobičajena konvencija je da se (m, n, p) se bira tako da su m, n i p relativno prosti cijeli brojevi 1. Ti brojevi zovu se Weissovi parametri plohe na kristalu, točnije smjera njenih mrežnih ravnina. Kaže se da ploha ima Weissove parametre ma : nb : pc. U slučaju da je ravnina paralelna nekoj od koordinatnih osi, dogovorno se pripadni Weissov parametar označava s. Primjer Ploha paralelna s a i b ima Weissove parametre a : b : pc. Ploha paralelna sa c ima Weissove parametre ma : nb : c. 1 Ili pak racionalni brojevi takvi da je n = 1.
43 Drugi način opisa smjera mrežnih ravnina su Millerovi indeksi (hkl). Ako su Weissovi parametri plohe ma : nb : pc te ako je v najmanji zajednički višekratnik od m, n i p, onda je h = v m, k = v n, l = v p. Ako je neki od Weissovih parametara, on se ne uzima u obzir za računanje v, a odgovarajući Millerov indeks je po definiciji jednak 0.
44 Drugi način opisa smjera mrežnih ravnina su Millerovi indeksi (hkl). Ako su Weissovi parametri plohe ma : nb : pc te ako je v najmanji zajednički višekratnik od m, n i p, onda je h = v m, k = v n, l = v p. Ako je neki od Weissovih parametara, on se ne uzima u obzir za računanje v, a odgovarajući Millerov indeks je po definiciji jednak 0. Millerovi indeksi predstavljaju koordinate jednog vektora normale na dani smjer ravnina ( n = [h, k, l] ).
45 Drugi način opisa smjera mrežnih ravnina su Millerovi indeksi (hkl). Ako su Weissovi parametri plohe ma : nb : pc te ako je v najmanji zajednički višekratnik od m, n i p, onda je h = v m, k = v n, l = v p. Ako je neki od Weissovih parametara, on se ne uzima u obzir za računanje v, a odgovarajući Millerov indeks je po definiciji jednak 0. Millerovi indeksi predstavljaju koordinate jednog vektora normale na dani smjer ravnina ( n = [h, k, l] ). Negativni Weissovi parametri i Millerovi indeksi označavaju se znakom minus iznad parametra odnosno indeksa. Tako primjerice ravnina 2x y = 3 ima Weissove parametre 1a : 2b : c, a Millerove indekse (210). Napomena x Ravnine x + y z = 1 i 2 + y 2 + z 2 = 1 su paralelne, ali se u kristalografsiji razlikuju jer su s različitih strana ishodišta. Prva od njih ima Millerove indekse (111), a druga (111).
46 Kakve ravnine opisuju Millerovi indeksi (110)?
47 Kakve ravnine opisuju Millerovi indeksi (110)? A (010)?
48 Kakve ravnine opisuju Millerovi indeksi (110)? A (010)? Primjer Promotrimo ravninu s jednadžbom x 15 + y 10 + z 20 odsječci na kristalografskim osima su = 1. Njeni
49 Kakve ravnine opisuju Millerovi indeksi (110)? A (010)? Primjer Promotrimo ravninu s jednadžbom x 15 + y 10 + z 20 = 1. Njeni odsječci na kristalografskim osima su 15, 10, 20. Weissovi parametri njenog smjera su stoga
50 Kakve ravnine opisuju Millerovi indeksi (110)? A (010)? Primjer Promotrimo ravninu s jednadžbom x 15 + y 10 + z 20 = 1. Njeni odsječci na kristalografskim osima su 15, 10, 20. Weissovi parametri njenog smjera su stoga 3a : 2b : 4c. Millerovi indeksi njenog smjera su
51 Kakve ravnine opisuju Millerovi indeksi (110)? A (010)? Primjer Promotrimo ravninu s jednadžbom x 15 + y 10 + z 20 = 1. Njeni odsječci na kristalografskim osima su 15, 10, 20. Weissovi parametri njenog smjera su stoga 3a : 2b : 4c. Millerovi indeksi njenog smjera su (463).
52 Kakve ravnine opisuju Millerovi indeksi (110)? A (010)? Primjer Promotrimo ravninu s jednadžbom x 15 + y 10 + z 20 = 1. Njeni odsječci na kristalografskim osima su 15, 10, 20. Weissovi parametri njenog smjera su stoga 3a : 2b : 4c. Millerovi indeksi njenog smjera su (463). Primjer Recimo da jedna ravnina danog smjera siječe koordinatne osi redom u točkama na udaljenostima 2a, b, 3c od ishodišta. Pripadni segmentni oblik jednadžbe te ravnine je
53 Kakve ravnine opisuju Millerovi indeksi (110)? A (010)? Primjer Promotrimo ravninu s jednadžbom x 15 + y 10 + z 20 = 1. Njeni odsječci na kristalografskim osima su 15, 10, 20. Weissovi parametri njenog smjera su stoga 3a : 2b : 4c. Millerovi indeksi njenog smjera su (463). Primjer Recimo da jedna ravnina danog smjera siječe koordinatne osi redom u točkama na udaljenostima 2a, b, 3c od ishodišta. Pripadni segmentni oblik jednadžbe te ravnine je Millerovi indeksi tog smjera su x 2 + y 1 + z 3 = 1.
54 Kakve ravnine opisuju Millerovi indeksi (110)? A (010)? Primjer Promotrimo ravninu s jednadžbom x 15 + y 10 + z 20 = 1. Njeni odsječci na kristalografskim osima su 15, 10, 20. Weissovi parametri njenog smjera su stoga 3a : 2b : 4c. Millerovi indeksi njenog smjera su (463). Primjer Recimo da jedna ravnina danog smjera siječe koordinatne osi redom u točkama na udaljenostima 2a, b, 3c od ishodišta. Pripadni segmentni oblik jednadžbe te ravnine je x 2 + y 1 + z 3 = 1. Millerovi indeksi tog smjera su (362).
55 Kako biste opisali x-os pomoću jedne ili više jednadžbi?
56 Kako biste opisali x-os pomoću jedne ili više jednadžbi? y-os? z-os?
57 Kako biste opisali x-os pomoću jedne ili više jednadžbi? y-os? z-os? Kako biste opisali pravac kroz ishodište koji leži u (y, z)-koordinatnoj ravnini?
58 Kako biste opisali x-os pomoću jedne ili više jednadžbi? y-os? z-os? Kako biste opisali pravac kroz ishodište koji leži u (y, z)-koordinatnoj ravnini? Kakve su koordinate točaka na pravcu koji ide kroz ishodište i zatvara jednake kutove prema svim trima koordinatnim osima (u Kks-u)?
59 Pravci u prostoru Pravac u prostoru odreden je svojim smjerom (tj. bilo kojim njemu paralelnim vektorom smjera) i jednom točkom. Alternativno, pravac možemo zadati kao presjek dvije neparalelne ravnine. Parametarske jednadžbe pravca s vektorom smjera s = [u, v, w] koji prolazi točkom (x 0, y 0, z 0 ) su oblika x = x 0 + ut, y = y 0 + vt, z = z 0 + wt, t R. Umjesto točkom i vektorom smjera, pravac može biti zadan i s dvije točke. U tom slučaju mu je vektor smjera vektor koji spaja te dvije točke, a bilo koju od njih uzmemo kao (x 0, y 0, z 0 ).
60 Skraćeni zapis parametarskih jednadžbi pravca, koji bismo dobili tako da iz svake od tri jednadžbe izrazimo parametar t i onda ih izjednačimo zove se kanonski oblik jednadžbe pravca u prostoru: x x 0 u = y y 0 v = z z 0 w. Oprez s tim oblikom! Pravac može biti zadan i kao presjek dvije (neparalelne) ravnine, tj. sustavom Ax + By + Cz + D = 0, A x + B y + C z + D = 0. Odredite parametarski i kanonski oblik jednadžbi pravca zadanog kao presjek ravnina x + y + z = 1 i 2x y = 5.
61 Paralelnost i mimosmjernost pravaca Pravci u prostoru mogu se ne sjeći bez da su paralelni. Uvjet paralelnosti pravaca je kolinearnost njihovih vektora smjera: ako su s = [u, v, w] i s = [u, v, w ] vektori smjera dva pravca, oni su paralelni ako je u : u = v : v = w : w. Pravci u prostoru koji se ne sijeku i nisu paralelni zovu se mimoilazni (mimosmjerni) pravci. Odredite sjecište pravaca x 0 = y+1 2 = z 3 2 i x 1 1 = y 2 1 = z 3 1.
62 Paralelnost i mimosmjernost pravaca Pravci u prostoru mogu se ne sjeći bez da su paralelni. Uvjet paralelnosti pravaca je kolinearnost njihovih vektora smjera: ako su s = [u, v, w] i s = [u, v, w ] vektori smjera dva pravca, oni su paralelni ako je u : u = v : v = w : w. Pravci u prostoru koji se ne sijeku i nisu paralelni zovu se mimoilazni (mimosmjerni) pravci. Odredite sjecište pravaca x 0 = y+1 2 = z 3 2 i x 1 1 = y 2 1 = z 3 1. Kako rješavanjem sustava odredenog jednadžbama dvaju pravaca možemo zaključiti u kakvom su medusobnom položaju ti pravci?
63 Kako iz kanonskog oblika jednadžbi pravca vidimo je li on paralelan osi aplikata?
64 Kako iz kanonskog oblika jednadžbi pravca vidimo je li on paralelan osi aplikata? Općenito, kut dvaju pravaca definira se kao kut njihovih vektora smjera. Posebno, uvjet okomitosti pravaca je s s = 0. U slučaju Kartezijevog koordinatnog sustava to se svodi na uu + vv + ww = 0. Nadite pravac (pravce) koji prolazi kroz ishodište, okomit je na x-os i sa z-osi zatvara kut od 45, ako su parametri koordinatnog sustava a = 5 cm, b = 3 cm, c = 4 cm, α = β = γ = 90.
65 Okomitost pravca na ravninu i paralelnost pravca s ravninom Pravac s vektorom smjera s = [u, v, w] je okomit na ravninu s vektorom normale n = [A, B, C] ako su ti vektori paralelni, a pravac je paralelan ravnini ako mu je vektor smjera okomit na njezin vektor normale.
66 Okomitost pravca na ravninu i paralelnost pravca s ravninom Pravac s vektorom smjera s = [u, v, w] je okomit na ravninu s vektorom normale n = [A, B, C] ako su ti vektori paralelni, a pravac je paralelan ravnini ako mu je vektor smjera okomit na njezin vektor normale. Stoga je uvjet okomitosti pravca na ravninu da je s n = 0, dakle u Kks da su koordinate od s i n proporcionalne,
67 Okomitost pravca na ravninu i paralelnost pravca s ravninom Pravac s vektorom smjera s = [u, v, w] je okomit na ravninu s vektorom normale n = [A, B, C] ako su ti vektori paralelni, a pravac je paralelan ravnini ako mu je vektor smjera okomit na njezin vektor normale. Stoga je uvjet okomitosti pravca na ravninu da je s n = 0, dakle u Kks da su koordinate od s i n proporcionalne,a uvjet paralelnosti pravca s ravninom je s n = 0. Zbog već pokazane formule r r = uh + vk + wl uvjet okomitosti pravca i ravnine iskazan je formulom ua + vb + wc = 0.
68 Okomitost pravca na ravninu i paralelnost pravca s ravninom Pravac s vektorom smjera s = [u, v, w] je okomit na ravninu s vektorom normale n = [A, B, C] ako su ti vektori paralelni, a pravac je paralelan ravnini ako mu je vektor smjera okomit na njezin vektor normale. Stoga je uvjet okomitosti pravca na ravninu da je s n = 0, dakle u Kks da su koordinate od s i n proporcionalne,a uvjet paralelnosti pravca s ravninom je s n = 0. Zbog već pokazane formule r r = uh + vk + wl uvjet okomitosti pravca i ravnine iskazan je formulom ua + vb + wc = 0. Odredite uvjet paralelnosti općeg pravca s (y, z)-ravninom i uvjet paralelnosti opće ravnine s x-osi.
69 Ako pravac nije paralelan ravnini, on ju siječe u jednoj točki koja se zove probodište pravca i ravnine. Odredite probodište pravca x 2 = y 1 2x + 3y + 4z = 1. 0 = z+2 3 i ravnine
70 Ako pravac nije paralelan ravnini, on ju siječe u jednoj točki koja se zove probodište pravca i ravnine. Odredite probodište pravca x 2 = y 1 2x + 3y + 4z = 1. 0 = z+2 3 i ravnine Kako biste definirali udaljenost točke do ravnine?
71 Ako pravac nije paralelan ravnini, on ju siječe u jednoj točki koja se zove probodište pravca i ravnine. Odredite probodište pravca x 2 = y 1 2x + 3y + 4z = 1. 0 = z+2 3 i ravnine Kako biste definirali udaljenost točke do ravnine? Udaljenost točke do ravnine definira se kao udaljenost točke do njene ortogonalne projekcije na ravninu, tj. do sjecišta ravnine s pravcom okomitim na ravninu koji prolazi kroz zadanu točku. Ako je koordinatni sustav Kartezijev, vrijedi: d(t, Π) = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A 2 + B 2 + C 2.
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
1 Millerovi indeksi. jer vektori
Millerovi indeksi U kristalografiji redovno se koriste kosokutni koordinatni sustavi u euklidskom prostoru R 3. Matematički model kristala je kristalna rešetka definirana jediničnom ćelijom kristala. Jedinična
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Analitička geometrija afinog prostora
Analitička geometrija afinog prostora Linearno zavisan i linearno nezavisan skup točaka U realnom afinom prostoru A n dane točke A i (r i ), i =,,, k, k +, k + pripadaju istoj s ravnini π s, s k, ako i
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
4. MONGEOVO PROJICIRANJE
4. MONGEOVO PROJICIRANJE 4.1. Projiciranje točke Niti centralno ni paralelno projiciranje točaka prostora na ravninu nije bijekcija. Stoga se pri takvim preslikavanjima suočavamo s problemom nejednoznačnog
0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.
Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Analitička geometrija u ravnini
Analitička geometrija u ravnini September 5, 2008 1 Vektori u koordinatnom sustavu 1.1 Udaljenost točaka u koordinatnom sustavu pravokutni koordinatni sustav potpuno je odred en ishodištem jediničnim vektorima
Prostorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Vanjska simetrija kristâla
Vanjska simetrija kristâla Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Listopad 2008. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 1 / 16 Vizualna simetrija Što je simetrija?
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Analitička geometrija Zadaci. 13. siječnja 2014.
Analitička geometrija Zadaci 13. siječnja 2014. 2 Sadržaj 1 Poglavlje 5 1.1 Ponavljanje. Uvod............................ 5 1.2 Koordinatizacija............................. 6 1.3 Skalarni produkt.............................
Pošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period.
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto
Skalarni umnozak vektora je skalar: a b = a b cos ϕ ; ϕ kut izmedju vektor a i b.
5. VEKTORI U PROSTORU 5. Opcenito o vektorima a Jedinicni vektor (ort) je vektor sa intenzitetom. a a a Zbroj dva vektora je vektor: a+ b c. Graficki, zbroj se dobije ulancavanjem dva vektora. Na kraj
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole
Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole 5. 1. Definicija parabole...............................
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Analitička geometrija i linearna algebra
1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
![Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.](/thumbs/72/66829778.jpg "Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.")
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
AB rab xi y j. Formule. rt OT xi y j. xi y j. a x1 i y1 j i b x2 i y 2 j. Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y)
Formule Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y) r xi y j r T0 T rt x y 1 x y xi y j Radijvektor u koordinatnoj ravnini koji pripada točki T(x,y) rt OT xi y j Vektor AB ako su: AB rab ( x x1 )i ( y y1
7.1 Međusobni položaji točaka, pravaca i ravnina
Poglavlje 7 Stereometrija Stereometrijom nazovamo geometriju (trodimenzionalnog euklidskog) prostora. Osnovni elementi prostora su točke, pravci i ravnine. Aksiome geometrije prostora nećemo navoditi.
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Vektori. 28. studenoga 2017.
Vektori 28. studenoga 2017. 1 / 42 Skalarna veličina: veličina odredena samo jednim (realnim) brojem ili skalarom npr. skalarne veličine su udaljenost, masa, površina, volumen,... Vektorska veličina: veličina
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Matematičke metode u kemiji Primjene linearne algebre
Matematičke metode u kemiji Primjene linearne algebre 1 Kristalne rešetke Definicija 1 Rešetka u afinom prostoru A s koordinatnim sustavom (O; a 1,..., a n ) je skup svih točaka prosotora sa cjelobrojnim
M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
( ) ( ) ( ) ( ) x y
Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Primjer prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela dan je na slici. Odredimo prodor tih tijela.
S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 90 Primjer 4.56. Osnovka ABCD uspravne četverostrane prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y
. ANALITICKA GEOMETRIJA. Pravac Imlicitni oblik jednadzbe pravca: a + by + c = 0 Opci oblik pravca: gdje je : y = k+ l k koeficijent smjera pravca, k = tan α l odsjecak pravca na osi y k > 0 pravac je
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Uvod u diferencijalni račun
Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?
Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler
Matrice linearnih operatora i množenje matrica Franka Miriam Brückler Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Franka Miriam Brückler. Listopad 2008.
Rešetke Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Listopad 2008. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad 2008. 1 / 22 Vanjska simetrija kristâla navela je ljude na zaključak da joj je uzrok
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Analitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora
Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
1. Trigonometrijske funkcije
. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni
2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.
. Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..