MOGUĆNOST KORIŠĆENjA RECIKLIRANIH MATERIJALA KAO AGREGATA ZA BETON U SAVREMENOJ GRAĐEVINSKOJ PRAKSI

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "MOGUĆNOST KORIŠĆENjA RECIKLIRANIH MATERIJALA KAO AGREGATA ZA BETON U SAVREMENOJ GRAĐEVINSKOJ PRAKSI"

Transcript

1 MOGUĆNOST KORIŠĆENjA RECIKLIRANIH MATERIJALA KAO AGREGATA ZA BETON U SAVREMENOJ GRAĐEVINSKOJ PRAKSI

2 Savremena građevinska praksa, u skladu sa aktuelnim konceptom održivog razvoja, sve više se bavi problemima reciklaže materijala. Ovaj pregledni rad govori o svojstvima recikliranih materijala i specifičnostima tehnologije spravljanja betona na bazi "demoliranog" betona, drobljene opeke i reciklirane gume. Na kraju prikazuju se generalne smernice za proces projektovanja sastava betona na bazi recikliranih agregata.

3 Poznato je da nagomilavanje čvrstog otpada predstavlja jedan od problema naše civilizacije. Povećanje broja stanovnika, urbanizacija i industrijalizacija direktno utiču na rast potrošnje svih vrsta, a samim tim i povećanje čvrstog otpada. Moguće rešenje ovog problema daje filosofija održivog razvoja. Da podsetimo, "održivi razvoj" podrazumeva takav razvoj, koji će obezbediti korišćenje prirodnih resursa i stvorenih dobara na način, da omogući zadovoljenje potreba sadašnjih generacija, bez ugrožavanja budućih generacija da zadovolji svoje potrebe.

4 Održivi razvoj je jedna od retkih sveprisutnih tema, iz dana u dan sve aktuelnija, pre svega zato što je od izuzetne važnosti za savremeno društvo. Oblast primene održivog razvoja je praktično neiscrpna, obzirom da je primenljiva na sve vidove ljudske delatnosti. Tako je i u oblasti gradjevinarstva; ona deluje na mnogo nivoa, od kojih je jedan proizvodnja i primena recikliranih materijala, a posebno betona. Pod reciklažom se u opštem slučaju podrazumeva jednokratno ili višekratno korišćenje otpadnog materijala kao delotvorne zamene za komercijalni proizvod, ili kao sirovine u industrijskom procesu.

5 Najčešći slučaj dobijanja agregata na bazi opekarskog loma i na bazi "starog" demoliranog betona, a koji bi poslužio za dobijanje novog betona, je svakako putem recikliranja. Ovo stoga što se usled potrebe za modernizacijom centralnih gradskih zona često vrše temeljne rekonstrukcije pojedinačnih objekata, ili čak čitavih kvartova, pri čemu se dotrajali objekti najčešće delimično, odnosno potpuno ruše, a otpadni građevinski materijal (šut) uklanja sa ovih lokacija. Takođe, zbog degradacije u toku vremena i ograničenog eksploatacionog veka, mnoge objekte treba zameniti novim, tehnički i ekonomski povoljnijim rešenjima.

6 U poslednje vreme, svedoci smo nažalost brojnih razornih prirodnih (zemljotresi, poplave, požari) i veštačkih (ratovi, teroristički napadi) katastrofa, nakon čega je neminovno raščišćavanje ruševina i uklanjanje otpadnog građevinskog materijala. Otuda, deponovanje ovakvog materijala postaje sve veći problem, naročito u gusto naseljenim urbanim područjima. Rešavanje ovog problema predstavlja poseban izazov, kako u tehničkom, tehnološkom, ekonomskom, tako i u sve aktuelnijem ekološkom pogledu.

7 Treba istaći da prilikom recikliranja čvrstog građevinskog otpada naročitu pažnju treba posvetiti uklanjanju nepoželjnih i/ili štetnih primesa, kao što su kreč, gips, glina, humus i sl. Ako se uzme u obzir da je preko 80% ukupne površine građevinskih objekata u našoj zemlji izvedeno delimično ili potpuno od opeke, jasno je da budućnost u ovoj oblasti leži u recikliranju stare, degradirane opeke.

8 Većina (razvijenih) zemalja poslednjih godina aktivno se bavi razradom politika i mera kako bi se smanjilo iscrpljivanje prirodnih resursa sirovina, odnosno podsticanje održivosti njihovog korišćenja putem reciklaže, korišćenja sekundarnih sirovina, razvoja alternativnih tehnologija i supstitucije neobnovljivih resursa. Ovo je aktivan odgovor na nekontrolisani rast gradova i prekomernu potrošnju materijala sirovina.

9 Prema navodima [1] od svih građevinskih materijala u najvećem procentu se reciklira opeka (35%), beton (20%), pa drvo (12%), pesak (10%) itd Drvo 12% Plastika 8% Čelik 3% Pesak 10% Ostalo 12% Beton 20% Opeka 35% Slika 1. Procentualna zastupljenost građevinskih materijala koji se recikliraju

10 Kada govorimo o betonu kao potencijalnom ekološkom ili ''zelenom'' materijalu, treba prvo naglasiti njegove osnovne nedostatke na tom planu. Naime, proizvodnja komponentnih materijala (cementa, agregata, hemijskih i mineralnih dodataka), kao i samog betona zahteva veliku količinu energije i generalno predstavlja izvor značajnog zagađenja životne sredine. Zato je način implementacije poznatog principa "3R" (Reduce, Recycle, Renewable) u ovoj oblasti veoma značajan. Cilj je smanjiti potrošnju energije i stepen zagađenja (Reduce), ponovo koristiti stari beton (Recycle) - kao agregat za novi beton (Renewable resource).

11 Većina razvijenih zemalja poslednjih godina aktivno se bavi razradom politika i mera kako bi se smanjilo iscrpljivanje prirodnih resursa sirovina, odnosno podsticanje održivosti njihovog korišćenja putem reciklaže, korišćenja sekundarnih sirovina, razvoja alternativnih tehnologija i supstitucije neobnovljivih resursa.

12 Uopšteno govoreći, građevinarstvo je aktivnost štetna po životnu sredinu. Njeni štetni efekti uključuju narušavanje biosfere i biodiverziteta, iskorišćavanje i transformaciju terena, iscrpljivanje prirodnih resursa (energije, minerala, vode, plodnog zemljišta), hemijska, fizička i vizuelna zagađenja (zemljište, vazduh, voda), generisanje otpada i promenu klime.

13

14

15

16 Klase agregata od recikliranog betona

17 Klase agregata od recikliranog betona i moguća primena u građevinarstvu

18 Brojni primeri u svetu nedvosmisleno pokazuju da je neophodno učiniti političku odluku i implementirati princip ''zagađivač plaća'' (polluter pays principle), ma koliko jasno je izražena potreba za recikliranjem. Generalno, građevinska industrija je relativno konzervativna, pa promene u ustaljenim procedurama zahtevaju dosta vremena i potrebne su im dugoročne politike i strategije. Uvođenjem ekonomskih instrumenata, koji podstiču recikliranje i upotrebu recikliranog agregata, mogu se prevazići ekonomske barijere. Treba naglasiti da su izvesne države, u ovom smislu, već uvele posebne takse i novčane naknade u korist recikliranja. Danska vlada je još godine uvela taksu na otpad koji se ne reciklira nego odlaže na deponijama. Danas je ta taksa reda veličine 50 evra po toni odloženog otpada.

19 2. OSNOVNA SVOJSTVA RECIKLIRANOG AGREGATA Upotreba recikliranog agregata kao komponente za spravljanje novog betona podrazumeva potpuno (temeljno) poznavanje svojstava takvog agregata. Tu se, pre svega, misli na upijanje vode, zapreminsku i specifičnu masu, količinu prašinastih (sitnih) čestica, sadržaj organskih i eventualno štetnih materija, drobljivost, otpornost prema habanju, kao i otpornost prema dejstvu mraza.

20 Naime, ispitivanja su pokazala da, po pravilu, reciklirani agregat u odnosu na prirodni ima: veće upijanje vode, manju zapreminsku i specifičnu masu, veću količinu prašinastih čestica, veći sadržaj organskih i eventualno drugih štetnih materija, veću drobljivost, manju otpornost prema habanju i manju otpornost prema dejstvu mraza.

21 Izgled recikliranog agregata

22

23 Poznato je da se agregat od drobljenog betona sastoji od upotrebljenog originalnog agregata i sloja maltera koji zaostaje nakon drobljenja. Upijanje vode recikliranog agregata je značajno veće nego kod prirodnog, što je svakako povezano sa: tipom prvobitno (originalnog) agregata čvrstoćom provobitnog betona najkrupnijim zrnom agregata u prvobitnom betonu.

24 Malter koji obavija zrno je porozniji materijal u odnosu na zrno prirodnog agregata, a njegova poroznost zavisi od vodocementnog faktora betona koji je recikliran [2, 3, 4]. Važno je istaći da i postupak dobijanja usitnjavanja recikliranog agregata ima uticaja na svojstva novog betona; tako količina malterske komponente koja obavija zrno recikliranog agregata direktno zavisi od načina drobljenja "starog" betona, ali isto tako i od dimenzija recikliranog agregata [8, 9]. Oblik zrna recikliranog agregata je mnogo nepravilniji nego kod prirodnog agregata, a površina hrapavija.

25 Tekstura drobljenog agregata zavisi od načina drobljenja, tj. vrste upotrebljene mašine za drobljenje. Reciklirani agregat ima ispucalu površinu, što rezultira povećanjem propustljivosti vode i vazduha između cementne paste i agregata. Zato i beton spravljen sa recikliranim agregatom ima veće vrednosti propustljivosti gasova, pare i vode u odnosu na običan beton (Zaharieva i sar. [10]).

26 Na zrnima recikliranog agregata, kao što je već rečeno, uvek se nalaze izvesne količine relativno krte cementne paste i maltera, što čini ove agregate poroznijim i manje otpornim na mehaničke uticaje. Značajno svojstvo recikliranog agregata je da se malter uvek vezuje za originalno zrno agregata. Maseni procenat "stare" cementne paste iznosi 28±4.5% prema Zaharieva i sar. [10], dok je u slučaju primene recikliranog sitnog agregata (peska) ovaj procenat nešto viši prema Sánchez de Juan i sar. [17].

27 U stvari, procenat "stare" cementne paste varira u jako širokim granicama (25-64%) što se može sagledati iz dostupne aktuelne literature. Ako se zna da ovaj procenat maltera, tj. "stare" cementne paste direktno zavisi od načina drobljenja, onda su napred prikazana variranja objašnjiva. Autori Sánchez de Juan i sar. [17] preporučuju da maksimalan procenat maltera na recikliranom agregatu bude manji od 44%, za konstruktivne betone.

28 Neki autori [16] predložili su podelu recikliranog agregata na klase, na osnovu upijanja vode i otpornosti na dejstvo mraza metodom potapanja u rastvor natrijum sulfata (Na2SO4). Tako su za krupan reciklirani agregat predložene tri klase, pri čemu je maksimalno upijanje vode 7%, a za sitan reciklirani agregat dve klase, pri čemu je ograničeno maksimalno upijanje vode 10%. U tesnoj vezi sa ovim, autori su dali i preporuke za moguću primenu u građevinarstvu (armirani i nearmirani beton, tamponi, slojevi za izravnavanje itd.).

29 Strukturu betona, kao što je poznato, čini trofazni sistem i to: makrostruktura struktura dvokomponentnog sistema u čiji sastav ulazi malterska komponenta i krupan agregat mikrostruktura tj. struktkura cementnog kamena i prelazna (tranzitna) zona (inter face) između agregata i cementnog kamena.

30 Prelazna zona između cementne paste i zrna agregata kod betona je uvek kritično mesto i od njenih svojstava (kvalitet, debljina) zavise mnoga svojstva betona kao kompozita, a naročito njegova trajnost [12].

31 Prelazne (tranzitne) zone u betonu sa recikliranim agregatom

32 a) b) a) normalan postupak (NMA), (b) metoda iz dve faze (TSMA)

33 Poboljšanje strukture recikliranog agregata prema metodi u dve faze (TSMA)

34 Dodatak silikatne prašine u slučaju primene recikliranog agregata, kao i kod običnih betona, generalno vodi poboljšanju performansi betona. Beton sa dodatkom silikatne prašine ostvaruje veću čvrstoću u dužem vremenskom intervalu. Osnovna mehanička svojstva betona spravljenih u dve faze (TSMA) u odnosu na normalan (NMA) postupak mešanja, tj. čvrstoća pri pritisku, čvrstoća pri savijanju, čvrstoća pri zatezanju cepanjem i statički modul elastičnosti, kod RAC mogu se poboljšati od 10% do 30%, u zavisnosti od sadržaja recikliranog agregata u novom betonu [2].

35 Normalni postupak spravljanja betona (i), metod iz dve faze - TSMAs (ii) i metod iz dve faze sa proporcionalnim doziranjem silikatne prašine i cementa TSMAsc (iii)

36

37 Eksperimentalna ispitivanja pokazuju da se primenom keramičkog agregata (drobljena opeka) može spraviti kompozit tipa maltera betona zadovoljavajućih mehaničkih svojstava. Naime, čvrstoća pri pritisku je cca 30 MPa a čvrstoća pri savijanju je između 5 i 6 MPa. Rezultati ispitivanja mehaničkih karakteristika pokazuju da dodatak polipropilenskih vlakana utiče povoljno na poboljšanje ovih svojstava kompozita. Tako na primer, pri istoj konzistenciji maltera, povećanje čvrstoće pri pritisku iznosi od 5 do 16 %, a čvrstoće pri savijanju od 4 do 25 %, u odnosu na rezultate dobijene ispitivanjem uzoraka spravljenih bez dodatka predmetnih vlakana. Ovaj procenat povećanja čvrstoće varira i u funkciji primenjenog agregata, tj. zavisno od toga da li je upotrebljena samo drobljena opeka ili drobljena opeka u kombinaciji sa sitnim rečnim agregatom - peskom [24,25].

38 Na osnovu rezultata eksperimentalnih ispitivanja [22,23,26] može se zaključiti da gumeni granulat može uspešno da se koristi kod spravljanja kompozita tipa betona. Pri ovome, procenat zamene ukupne količine agregata u betonu recikliranim gumenim agregatom utiče na svojstva betona kako u svežem, tako i u očvrslom stanju. Uticaj na svojstva betona u svežem stanju u prvom redu se ogleda u promenjenoj zapreminskoj masi, procentu uvučenog vazduha, redosledu doziranja komponenata, kao i u prisustvu superplastifikatora radi postizanja određene konzistencije.

39 Uticaj dodatka gumenog agregata na očvrsli beton ogleda se u promeni smanjenju mehaničkih čvrstoća; naime, čvrstoća pri pritisku, kao i čvrstoća pri zatezanju opadaju saglasno procentu primenjenog recikliranog agregata. Ovaj stav je potvrđen i u prethodnim ispitivanjima drugih istraživača.

40

41

42 Dobijeni betoni sa recikliranom gumom kao agregatom pripadaju kategoriji lakih betona (γ < 2000 kg/m3) i nalaze široku primenu u građevinarstvu. Što se tiče trajnosti ovakvih kompozita, ohrabruje činjenica da su oni otporni na dejstvo mraza i dejstvo mraza i soli, kako su to i pokazala ova eksperimentalna ispitivanja.

43 Zbog svojih svojstava kao što su elastičnost, trajnost, otpornost na cikluse smrzavanja i odmrzavanja, gumeni granulat već je našao veliku primenu u niskogradnji. Naime, već dugi niz godina reciklirana guma se koristi kao dodatak asfaltima u izgradnji puteva, obzirom da tako do izražaja dolaze prednosti pomenutog materijala kao što su: smanjenje buke, puta kočenja, kao i duži upotrebni vek kolovoza uz povećanu otpornost na pojavu pukotina. Kompoziti na bazi gumenog granulata koriste se takođe za izradu galanterije za putnu industriju: parking i stubići za signalizaciju, ivičnjaci, pružni prelazi, pragovi, saobraćajne barijere, itd. Gumeni granulati, takođe, zbog napred navedenih svojstava, našli su veliku primenu pri izradi elemenata za železnice kao što su gumeni paneli, pragovi, ublaživači brzina i dr.

44 S obzirom da beton sa dodatkom gumenog granuta ima odličnu apsorbciju vibracija, visoku apsorbciju zvuka, nižu osetljivost na temperaturne promene, reciklirana guma takođe ima primenu u izradi obloga za izolaciju krovova, zvučnih barijera u građevinarstvu, vodootpornih membrana, poroznih bitumenskih veziva, gumenih cevi, podloga za sportske terene i dečja igrališta, popločavanje šetališta, bašta, prostora oko bazena, itd.

45

46

47 5. GENERALNE SMERNICE ZA PROJEKTOVANJE SASTAVA BETONA NA BAZI RECIKLIRANOG AGREGATA Projektovanje sastava betona spravljenog na bazi recikliranog agregata se obavlja na osnovu poznatih empirijskih obrazaca, npr. Skramtajeva [19] ili Bolomeja [21], iz tehnologije betona. Pri tome, osnovno je odrediti zapreminsku masu recikliranog agregata za svaku korišćenu frakciju, kao i upijanje vode. Problem većeg upijanja vode kod recikliranog agregata može se rešiti na tri načina prema [19] i [21], tj. slično kao kod lakoagregatnih betona. Prvi način je zasićenje vodom recikliranog agregata putem prethodnog potapanja; drugi način podrazumeva povećanje potrebne količine vode za spravljanje betona na osnovu merenja upijanja vode u trajanju od 30 minuta. Treći način je dodavanje vode na gradilištu, do postizanja zahtevane konzistencije.

48 Autori Malešev i Radonjanin [19], koji su vršili obimna eksperimentalna ispitivanja iz ove oblasti, preporučuju određivanje upijanja vode u trajanju od 30 min za recikliran agregat i taj podatak koriste u proračunu kao dodatnu količinu vode za spravljanje betona. Autori predlažu proveru projektovane konzistencije posle 30 min.

49 Eksperimenti su pokazali da je potreba za slobodnom vodom kod betona izrađenog sa krupnim recikliranim agregatom veća za 10 l/m3 u odnosu na uobičajeni beton, pa je i ovo relevantan podatak u preporukama nekih autora.

50 Zbog veće potrebe za slobodnom vodom kod mešavina sa recikliranim agregatom računska količina cementa treba da bude nešto veća, radi očuvanja istog vodocementnog faktora. Što se tiče vrste cementa, za spravljanje betona na bazi recikliranog agregata po pravilu se mogu koristiti sve vrste cementa (CEM I CEM V) dostupne u našim fabrikama.

51 Potpuno poznavanje svojstava recikliranog agregata, načina njegovog dobijanja, tj. drobljenja i selekcija po kategorijama klasama zavisno od primarnih svojstava (zapreminska masa, upijanje vode, otpornost prema mrazu, čvrstoća originalnog betona i dr.) sigurno će učiniti manje rasipanje rezultata u nekim budućim istraživanjima. Isto tako, pravilan redosled doziranja komponenata i brižljivo projektovanje sastava uz pridržavanje generalnih smernica, omogućiće dobijanje betona viših i visokih performansi tj. konstruktivnih betona na bazi recikliranog agregata.

52 Saradnja istraživača različitih struka (građevinskih inženjera, tehnologa, hemičara, mineraloga) je u ovom smislu dobrodošla, radi potvrđivanja mikrostrukturnih svojstava novospravljenih betona. Na taj način reciklirani agregat neće više biti heterogena komponenta, tj. nepoznanica u tehnologiji spravljanja betona, već čvrsti građevinski otpad kojim stručnjaci znalački upravljaju.

53 Istraživanja mnogih naučnika u ovoj oblasti pokazuju da ima veoma velikih varijacija u rezultatima ispitivanja, pa se ne može doneti generalni stav o npr. optimalnom procentu zamene prirodnog agregata recikliranim krupnim agregatom, kao i o pitanju korišćenja sitnog recikliranog agregata. Ako se ovome doda još i mogućnost upotrebe pomenutih pucolanskih dodataka, kao i upotreba hemijskih dodataka tipa superplastifikatora, onda svakako postoji prostor za dalja eksperimentalna istraživanja u ovoj oblasti, u granicama ekonomske isplatljivosti.

54 Postojanje kontradiktornih rezultata ispitivanja različitih naučnika iz ove oblasti u nekim slučajevima usporava i zamagljuje put intenzivnijeg korišćenja recikliranog agregata u betonima. Nadajmo se da će sinergija prikazana na sl. 7, između postrojenja za reciklažu, standarda i informacione mreže, učiniti korišćenje recikliranog agregata kao komponente betona masovnijim. Pri ovome, posebnu pažnju treba posvetiti prethodnim ispitivanjima i specifičnostima u tehnologiji spravljanja betona na bazi recikliranog agregata.

55 U opšte prihvaćenom opredeljenju, tj. u politici zaštite životne sredine, postavlja se pitanje kako uticati na upotrebu i povećanje procenta recikliranja građevinskih materijala, pogotovo betona. Ovo se može postići edukacijom, dostupnim informacijama, planiranjem projekata, razumevanjem problematike recikliranja u najširem smislu reči, kao i selekcijom i sertifikacijom recikliranih materijala.

56 Mogućnosti za recikliranje baziraju se na strateškim, političkim i ekonomskim parametrima. Uspeh betona na bazi recikliranog agregata danas je u nekim evropskim zemljama baziran na integralnom menadžmentu resursima. Uspeh recikliranja betona u budućnosti biće baziran na globalnim vizijama za implementaciju postupaka proizvodnje i primene betona na bazi recikliranog agregata u celom svetu, u cilju očuvanja prirodnih resursa i zaštite životne sredine.

57

58

59 Hvala na pažnji

MIKROARMIRANI BETONI I MALTERI

MIKROARMIRANI BETONI I MALTERI MIKROARMIRANI BETONI I MALTERI VRSTE VLAKANA ZA MIKROARMIRANJE MALTERA I BETONA Prirodnog porekla celulozna pamučna jutana od konoplje od bambusa,, i dr. VLAKNA Vešta tačkog porekla čelična (od običnog

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

VEŽBA 7. ISPITIVANJE BETONA I NJEGOVIH KOMPONENTI

VEŽBA 7. ISPITIVANJE BETONA I NJEGOVIH KOMPONENTI VEŽBA 7. ISPITIVANJE BETONA I NJEGOVIH KOMPONENTI O betonu... Beton je konstruktivni materijal koji nastaje očvršćavanjem mešavine: kamenih agregata, mineralnog veziva i vode aditivi Aktivne komponente

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

PROJEKAT BETONSKE MEŠAVINE Redosled postupaka

PROJEKAT BETONSKE MEŠAVINE Redosled postupaka Redosled postupaka - Izbor komponentnih materijala (na osnovu vrste konstrukcije, sredine u kojoj se gradi i ekonomskih aktora) - Određivanje nominalno najvećeg zrna agregata (D) (na osnovu planova oplate

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

BETONI VISOKIH. Uvod. pritisku granicu od 100 MPa. em rezultat primene određenih postupaka tokom proizvodnje i ugrađivanja betonskih mešavina.

BETONI VISOKIH. Uvod. pritisku granicu od 100 MPa. em rezultat primene određenih postupaka tokom proizvodnje i ugrađivanja betonskih mešavina. BETONI VISOKIH ČVRSTOĆA Uvod Zahvaljujući intenzivnom razvoju u oblasti teorije i tehnologije betona, danas se na bazi cementa kao veziva mogu dobiti i betoni kod kojih čvrstoće pri pritisku premašuju

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

AGREGAT. Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aedif. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

AGREGAT. Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aedif.   SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU AGREGAT Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aeif. jcrnojevac@gmail.com SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU JOSIP JURAJ STROSSMAYER UNIVERSITY OF OSIJEK 1 Pojela agregata PODJELA AGREGATA - PREMA

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Mašinsko učenje. Regresija.

Mašinsko učenje. Regresija. Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje EuroCons Group Karika koja povezuje Filtracija vazduha Obrok vazduha 24kg DNEVNO Većina ljudi ima razvijenu svest šta jede i pije, ali jesmo li svesni šta udišemo? Obrok hrane 1kg DNEVNO Obrok tečnosti

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

PROJEKAT BETONSKE MEŠAVINE Redosled postupaka

PROJEKAT BETONSKE MEŠAVINE Redosled postupaka Redosled postupaka - Izbor koponentnih aterijala (na osnovu vrste konstrukcije, sredine u kojoj se gradi i ekonoskih faktora) - Određivanje noinalno najvećeg zrna agregata (D) (na osnovu planova oplate

Διαβάστε περισσότερα

LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM

LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM Vrste opterećenja Ispitivanje zatezanjem Svojstva otpornosti materijala Zatezna čvrstoća Granica tečenja Granica proporcionalnosti Granica elastičnosti Modul

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJENA RECIKLIRANOG AGREGATA IZ GRAĐEVNOG OTPADA

PRIMJENA RECIKLIRANOG AGREGATA IZ GRAĐEVNOG OTPADA PRIMJENA RECIKLIRANOG AGREGATA IZ GRAĐEVNOG OTPADA 1 UVOD Recikliranje građevinskog otpada u pojedinim europskim zemljama, kao što su Nizozemska, Belgija i Danska čini više od 80% ukupno proizvedenog građevinskog

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Prof. dr DRAGICA JEVTIĆ, dipl.inž.tehn. DODACI BETONU

Prof. dr DRAGICA JEVTIĆ, dipl.inž.tehn. DODACI BETONU Prof. dr DRAGICA JEVTIĆ, dipl.inž.tehn. DODACI BETONU Upotrebljavamo termin dodatak betonu ili aditiv (,,adjuvant" na francuskom,,,admixture" na engleskom) koji označava svaki proizvod dodat pri mešanju

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele: Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA

3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA MEHANIKA TLA: Onovni paraetri tla 4. OSNONI POKAZATELJI TLA Tlo e atoji od tri faze: od čvrtih zrna, vode i vazduha i njihovo relativno učešće e opiuje odgovarajući pokazateljia.. Specifična težina (G)

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Opšte KROVNI POKRIVAČI I

Opšte KROVNI POKRIVAČI I 1 KROVNI POKRIVAČI I FASADNE OBLOGE 2 Opšte Podela prema zaštitnim svojstvima: Hladne obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina, Tople obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina i prodora hladnoće

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Projektovanje sastava betona

Projektovanje sastava betona Projektovanje sastava betona Predavanje, 04.12.2012. Pripremili: Doc.dr. Merima Šahinagić-Isović Asis. Marko Ćećez SADRŽAJ Opće postavke Izbor komponentnih materijala Agregat Cement Voda Aditivi Sastav

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

Drugi zakon termodinamike

Drugi zakon termodinamike Drugi zakon termodinamike Uvod Drugi zakon termodinamike nije univerzalni prirodni zakon, ne važi za sve sisteme, naročito ne za neobične sisteme (mikrouslovi, svemirski uslovi). Zasnovan je na zajedničkom

Διαβάστε περισσότερα

Osobine očvrslog betona

Osobine očvrslog betona Osobine očvrslog betona Predavanje, 13.11.2012. Pripremili: Doc.dr. Merima Šahinagić-Isović Asis. Marko Ćećez Struktura očvrslog betona Svojstva očvrslog betona zavise: Karakteristika komponenata Strukture

Διαβάστε περισσότερα

Osobine očvrslog betona

Osobine očvrslog betona Osobine očvrslog betona Predavanje, 19.11.2013. Pripremili: Doc.dr. Merima Šahinagić-Isović Asis. Marko Ćećez SADRŽAJ Struktura očvrslog betona Voda u očvrslom betonu Prsline i pukotine Fizičko-mehaničke

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα