ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι

Transcript

1 Συγγραφείς: Παναγιώτης Πετράκης, Φυσικός, MSc, Ε.ΔΙ.Π. Δρ. Ελευθερία Σεργάκη, Φυσικός, Ε.ΔΙ.Π. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι (Για τους φοιτητές των Σχολών Μ.Π.Δ., ΜΗΧ.Ο.Π., ΜΗ.ΠΕΡ.) ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ & ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΕΪΖΕΡ Σεπτέμβριος 016

2 Οι Εργαστηριακές Ασκήσεις που περιλαμβάνονται στο παρών βιβλίο είναι μία επιλογή από τις 1 υπάρχουσες για την υποστήριξη του εργαστηριακού μέρους του μαθήματος της Φυσικής Ι του 1 ου εξαμήνου σπουδών των φοιτητών/τριών του Πολυτεχνείου Κρήτης. Ο σχεδιασμός και η υλοποίηση των Εργαστηριακών Ασκήσεων έγινε από τον κ. Παναγιώτη Πετράκη και την κ. Ελευθερία Σεργάκη, μέλη του Εργαστηριακού Διδακτικού Προσωπικού του Πολυτεχνείου Κρήτης. Οι εκπαιδευτικές πειραματικές διατάξεις του «Εργαστηρίου Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ» και το κείμενο του παρόντος βιβλίου που αφορά αυτές τις πειραματικές διατάξεις είναι αποτέλεσμα μακρόχρονης εξέλιξης και βελτιώσεων από το 1986 έως σήμερα. Τα σχήματα που συνοδεύουν τα κείμενα είναι πρωτότυπα και σχεδιάστηκαν από τον κ. Παναγιώτη Πετράκη. Ευχαριστίες Ευχαριστούμε τον Διευθυντή του Εργαστηρίου και τους συναδέλφους εργαστηριακούς διδάσκοντες των οποίων οι προσπάθειες βοηθούν κάθε χρόνο στο να παρέχουμε αρτιότερη εκπαίδευση μέσω του Εργαστηρίου Φυσικής. Ειδικότερα όσον αφορά τις βελτιώσεις της παρούσας έκδοσης θα θέλαμε να ευχαριστήσουμε για την ουσιαστική συμβολή τους όλους τους συνάδελφους ΕΔΙΠ και ΕΤΕΠ που συμμετείχαν στην εκπαιδευτική διαδικασία των Εργαστηρίων Φυσικής τα προηγούμενα ακαδημαϊκά έτη και θα συμμετέχουν και στο τρέχον.

3 Εργαστήριο Δομής της ύλης & Φυσικής Λέιζερ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Γενική εισαγωγή - Θεωρία τυχαίων σφαλμάτων άμεσων μετρήσεων - Σφάλματα έμμεσων μετρήσεων - Όργανα μέτρησης διαστάσεων - Γραφικές παραστάσεις 1. Μετρήσεις Σφάλματα Άσκηση 1: Σφάλματα μετρήσεων. Υπολογισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας με διάφορες μεθόδους Άσκηση Α & B: Απλό εκκρεμές & Αντιστρεπτό εκκρεμές 3. Στροφικές ταλαντώσεις Άσκηση 3Α: Ροπή αδράνειας ράβδου 4. Θερμική διαστολή Άσκηση 5: Θερμική διαστολή μεταλλικών σωμάτων 5. Μηχανικές ταλαντώσεις Άσκηση 6Α: Απλή αρμονική κίνηση ελατηρίου 6. Θερμιδομετρία Άσκηση 7Α: Ειδική θερμότητα στερεών 7. Κινηματική Άσκηση 8: Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση Π.1

4 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Γενική εισαγωγή για την διεξαγωγή εργαστηριακών πειραμάτων ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Φυσική είναι μια επιστήμη που στηρίζεται κατ εξοχήν στο πείραμα. Ο σχεδιασμός ενός ελεγχόμενου πειράματος στο εργαστήριο έχει σαν σκοπό την επαλήθευση κάποιας υπάρχουσας θεωρίας ή και την διερεύνηση νέων φαινομένων. Η ανάπτυξη μιας θεωρίας στην Φυσική είναι πάντα αμφίδρομη διαδικασία, που αρχίζει και τελειώνει με πειράματα. Σκοπός του εργαστηρίου Φυσικής Ι είναι να δώσει μια πειραματική εμπειρία στον φοιτητή ώστε αυτός να εξασκηθεί πρακτικά στο τρόπο διεξαγωγής πειραμάτων, να εξοικειωθεί με την λειτουργία και τη χρήση οργάνων μέτρησης, με μεθόδους ανάλυσης πειραματικών δεδομένων, και να εμβαθύνει σε συγκεκριμένα θέματα της ύλης που διδάσκεται στην Φυσική Ι (ΦΥΣ 101). ΜΕΤΡΗΣΗ - ΣΦΑΛΜΑΤΑ Μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους είναι η διεργασία σύγκρισής του με ένα ομοειδές μέγεθος που αυθαίρετα το ορίζουμε σαν μονάδα. Αποτέλεσμα αυτής της διεργασίας είναι η αριθμητική τιμή του μεγέθους, που συνοδεύεται από τις κατάλληλες μονάδες (π.χ. 3 Kg, 5.5 m, 8 s). Η ακρίβεια (accuracy) μιας μέτρησης είναι αυτή που χαρακτηρίζει το πόσο αξιόπιστη είναι. Η ακρίβεια αυτή εξαρτάται από διάφορα σφάλματα τα οποία υπεισέρχονται κατά τη μέτρηση, είτε όταν αυτή είναι άμεση, είτε όταν αυτή είναι έμμεση δηλαδή όταν η τιμή του μετρούμενου μεγέθους είναι αποτέλεσμα αλγεβρικού συνδυασμού τιμών, που έχουν προκύψει από άμεσες μετρήσεις. Όταν μετράμε ένα μέγεθος αυτό που προσέχουμε να δούμε είναι αν βρίσκουμε το ίδιο περίπου αποτέλεσμα κάθε φορά. Αυτό γίνεται γιατί η πραγματική τιμή ενός μεγέθους, είναι αποτέλεσμα πολλών μετρήσεων, με την προϋπόθεση ότι οι μετρήσεις δίνουν κοντινές τιμές. Μπορούμε να υποστηρίξουμε ότι βρήκαμε την πειραματική τιμή ενός μεγέθους το οποίο μετράμε αν επαναλάβουμε τη μέτρηση του πολλές φορές, κάτω πάντα από τις ίδιες συνθήκες και οι αριθμητικές τιμές που βρίσκουμε διαφέρουν πολύ λίγο μεταξύ τους. Πειραματικό σφάλμα ορίζουμε την διαφορά μεταξύ της «πραγματικής» τιμής ενός μεγέθους από την τιμή που προκύπτει πειραματικά. ΕΙΔΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Τα σφάλματα τα διακρίνουμε στις παρακάτω κατηγορίες : 1) Ακούσια σφάλματα ή λάθη. ) Συστηματικά σφάλματα. 3) Στατιστικά ή τυχαία σφάλματα. 1) Τα ακούσια σφάλματα μπορεί να οφείλονται σε λανθασμένη ανάγνωση των αποτελεσμάτων και καταγραφή των παρατηρήσεων - μετρήσεων ή στη κακή τους επεξεργασίας. Η αποφυγή τους στηρίζεται στην ιδιαίτερη προσοχή του περαματιζόμενου. ) Τα συστηματικά σφάλματα είναι εκείνα που επιδρούν στο αποτέλεσμα συνήθως κατά την ίδια φορά, όσες φορές και αν επαναλάβουμε τη μέτρηση κάτω από τις ίδιες συνθήκες. Τα σφάλματα αυτά οφείλονται κυρίως: Εις.1

5 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Γενική εισαγωγή για την διεξαγωγή εργαστηριακών πειραμάτων Μη σωστή βαθμονόμηση (calibration) των οργάνων. (α) Κακός σχεδιασμός της κλίμακας του οργάνου. (β) Μετάθεση του μηδενός του οργάνου. Τη μέθοδο μέτρησης που χρησιμοποιούμε ή από "απρόβλεπτες περιστάσεις" που δημιουργούνται κατά τη διεξαγωγή του πειράματος και δεν έχουν ληφθεί υπόψη. Για παράδειγμα, μέτρηση της αντίστασης ενός πηνίου μετρώντας ρεύμα και τάση (στιγμιαία υπερθέρμανση του σύρματος), αλλαγή θερμοκρασίας, πίεσης κλπ. Από προσεγγίσεις στις εξισώσεις ή στις σχέσεις που χρησιμοποιούνται, προκειμένου να αντικαταστήσουμε πολύπλοκους τύπους με απλούστερες εξισώσεις και να καταλήξουμε σε ένα προσεγγιστικό αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, για να μετρήσουμε την περίοδο του απλού εκκρεμούς, l χρησιμοποιούμε την προσεγγιστική σχέση: T για μικρές γωνίες θ g (θ sinθ), ενώ η ακριβής σχέση δίνεται από τη σειρά: T l sin sin... g 4 64 Η εξάλειψή των συστηματικών σφαλμάτων εξαρτάται από την ικανότητα και την μεγάλη εργαστηριακή πείρα του πειραματιστή. 3) Τα τυχαία σφάλματα οφείλονται σε διάφορα αίτια που δεν ελέγχει ο πειραματιζόμενος (π.χ. η εκτίμηση ανάγνωσης ενός αναλογικού οργάνου, ακαθόριστες μεταβολές σε διάφορες πειραματικές συνθήκες που υποτίθεται ότι δεν αλλάζουν κ.α.), συμβαίνουν τυχαία και δεν επαναλαμβάνονται αναγκαστικά, όταν επαναληφθεί η μέτρηση. Είναι παρόντα ακόμα κι όταν τα ακούσια και τα συστηματικά σφάλματα απαλειφθούν. Παρότι τα συστηματικά σφάλματα είναι περισσότερο σοβαρά μπορούμε να τα αποφύγουμε. Τα τυχαία μπορούμε μόνο να τα περιορίσουμε. Στο εξής όταν θα μιλάμε για σφάλματα θα εννοούμε τα τυχαία. Επειδή η πραγματική τιμή μιας μέτρησης παραμένει άγνωστη, η ακρίβεια (accuracy) υποδηλώνει τα όρια μέσα στα οποία κυμαίνεται η πραγματική τιμή. Για παράδειγμα μια ζυγαριά με ακρίβεια ± 1% επί της μετρούμενης τιμής, χρησιμοποιείται για την μέτρηση μιας μάζας. Στην κλίμακα της ζυγαριάς διαβάζεται η τιμή 1 gr. Η πραγματική μάζα μπορεί να κυμαίνεται στην περιοχή από gr μέχρι 1.1 gr. Η ακρίβεια στη μέτρηση ενός μεγέθους μπορεί να εκφρασθεί με τρεις τρόπους: α) Ποσοστιαία (%) στην μετρούμενη τιμή. Π.χ. Αντίσταση 680Ω ± 5%, που σημαίνει ότι η πραγματική τιμή κυμαίνεται από 646 Ω μέχρι 714 Ω. β) Απόλυτα πάνω στη μετρούμενη τιμή. Π.χ. Μάζα 50 ± gr, που σημαίνει ότι η πραγματική τιμή κυμαίνεται από 48 gr μέχρι 5 gr. γ) Μικτά στην περίπτωση ψηφιακών οργάνων. Για παράδειγμα πηνίο 560 mh ± (0.1% + counts) σημαίνει ότι η πραγματική τιμή κυμαίνεται κατά ± (0.56 mh + mh) ή ±.56 mh γύρω από την τιμή των 560 mh. Εις.

6 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Γενική εισαγωγή για την διεξαγωγή εργαστηριακών πειραμάτων ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ Ο όρος σημαντικά ψηφία σε ένα αριθμητικό αποτέλεσμα αναφέρεται στον αριθμό των ψηφίων για τα οποία ο πειραματιστής έχει εμπιστοσύνη ότι είναι ακριβή. Σημαντικά ψηφία (significant digits) ενός αριθμού, ονομάζονται όλα τα ψηφία του αριθμού, εκτός από τα μηδενικά στην αρχή του, που δηλώνουν την τάξη των υπόλοιπων ψηφίων. Π.χ. στον αριθμό , τα τρία πρώτα δεν είναι σημαντικά ψηφία και χρησιμεύουν για να υποδηλώσουν την τάξη των άλλων ψηφίων. Αντίθετα το 0 μεταξύ του 7 και του 4 καθώς και το 0 στο τέλος του αριθμού είναι σημαντικά ψηφία. Επίσης το 0 στο τέλος του αριθμού είναι απαραίτητο, διότι συμβάλλει στον προσδιορισμό της ακρίβειας του. Επομένως ο παραπάνω αριθμός έχει 4 σημαντικά ψηφία. Στην περίπτωση μεγάλων ακέραιων αριθμών είναι προτιμότερο ο αριθμός να γράφεται σε εκθετική μορφή, ώστε να είναι εμφανή τα σημαντικά ψηφία, επειδή τα μηδενικά στο τέλος χρησιμεύουν είτε για να δηλώσουν την τάξη των άλλων ψηφίων είτε για να δηλώσουν σημαντικά ψηφία. Π.χ. ο αριθμός πρέπει να γράφεται 5.7 x 10 5 στην περίπτωση που έχει 3 σημαντικά ψηφία ή 5.70 x 10 5 αν έχει 4 σημαντικά ψηφία. Η διακριτική ικανότητα (resolution) ενός οργάνου είναι η μικρότερη δυνατή διαφορά στη μέτρηση του μεγέθους που μπορεί να μετρηθεί από το όργανο. Π.χ. ένα ψηφιακό ρολόι με ένδειξη 3 ψηφίων, στην κλίμακα των 100 s (μέγιστη ένδειξη 99.9 s) έχει διακριτικότητα 0.1 s (όση είναι η μονάδα του τελευταίου ψηφίου της απεικόνισης). Δηλαδή μπορεί να απεικονίσει ένα χρόνο ίσο με 7.3 ή μια άλλη 7.4 αλλά δεν μπορεί να μετρήσει ενδιάμεση τιμή. Η συνέπεια (consistency) ενός οργάνου είναι μια ένδειξη του πόσο προσεγγίζουν η ακρίβεια και η διακριτικότητα του οργάνου. Π.χ. για ένα ψηφιακό χρονόμετρο των 3 ψηφίων, δίνεται ακρίβεια στην κλίμακα των 1000 s ίση με ± 1%. Στην κλίμακα των 1000 s (μέγιστη ένδειξη 999 s) η μεγαλύτερη διακριτικότητα του οργάνου είναι 1 s. Η ακρίβεια σε κάθε μέτρηση είναι 1000 s x (± 1%) = ±10 s. Επομένως το τελευταίο ψηφίο της απεικόνισης δεν έχει κανένα ουσιαστικό νόημα και το όργανο χαρακτηρίζεται ασυνεπές. Αν το ίδιο όργανο έχει ακρίβεια ± 0.001% η διακύμανση της πραγματικής τιμής θα είναι: 1000 s x (± 0.001%) = ± 0.01 s, ενώ οι διαφορές των ενδείξεων δεν μπορούν να διαφέρουν μεταξύ τους λιγότερο από 1 s. Και σε αυτή την περίπτωση η πλεονάζουσα ακρίβεια χαρακτηρίζει το όργανο σαν ασυνεπές, διότι επιβαρύνει άδικα το κόστος του. Κατά την μέτρηση ενός μεγέθους, πολλές φορές απαιτείται η εκτίμηση (estimation) της ανάγνωσης, της αριθμητικής του τιμής, επειδή το όργανο που χρησιμοποιείται δεν παρέχει την απαραίτητη διακριτικότητα. Π.χ. στο σχήμα (1α) δείχνεται η κλίμακα ενός πολύμετρου με διακριτική ικανότητα 0. της μονάδας. Η βελόνα είναι τοποθετημένη μεταξύ των χαραγών 0. και 0.3. Η θέση θα μπορούσε να εκτιμηθεί στα.3. Το τελευταίο ψηφίο, επειδή προέρχεται από εκτίμηση, σημειώνεται ιδιαίτερα. Στο σχήμα (1β) δείχνεται η κλίμακα ενός πολύμετρου με διακριτική ικανότητα 0.5 της μονάδας. Η βελόνα βρίσκεται μεταξύ των γραμμών.0 και.5. Η μέτρηση εκτιμάται στα.. Ένας έμπειρος παρατηρητής θα μπορούσε να την εκτιμήσει στο.3. Εις.3

7 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Γενική εισαγωγή για την διεξαγωγή εργαστηριακών πειραμάτων Σχήμα 1. Διακριτική ικανότητα (resolution) οργάνου. (α) Κλίμακα οργάνου με διακριτική ικανότητα 0.1 (β) Κλίμακα οργάνου με διακριτική ικανότητα 0.5 Προσοχή πρέπει να δίνεται κατά την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων που περιέχουν εκτιμήσεις. Π.χ. για την μέτρηση ενός εμβαδού μετρήθηκαν οι διαστάσεις l 1 =1.37 mm και l =.56 mm. Το εμβαδόν υπολογίζεται από την σχέση s = l 1 l = 3.51 mm και όχι mm. Αυτό σημαίνει ότι μια έμμεση μέτρηση δεν μπορεί να έχει καλύτερη ακρίβεια από τις μετρήσεις που την συνιστούν. Στην περίπτωση των ψηφιακών οργάνων, τα ψηφία που αποτελούν την εκτίμηση της μέτρησης είναι τα τελευταία ψηφία, που αλλάζουν συνέχεια. ΤΥΧΑΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΚΑΤΑ ΤΙΣ ΑΜΕΣΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Αν επαναλάβουμε μια σειρά μετρήσεις με τον ίδιο τρόπο και κάτω από τις ίδιες συνθήκες, τότε μπορούμε να μελετήσουμε από στατιστική άποψη τις αποκλίσεις των τιμών που καταγράψαμε από τη μέση τιμή η οποία είναι η καλύτερη εκτίμηση που έχουμε της πραγματικής τιμής. Έστω ότι πήραμε τις μετρήσεις του Πίνακα 1. Πίνακας 1 n τιμή χρόνου i x i (s) Ο μέσος όρος ή μέση τιμή x avg (average, mean value) μιας σειράς n μετρήσεων δίνεται από τη σχέση: Εις.4

8 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Γενική εισαγωγή για την διεξαγωγή εργαστηριακών πειραμάτων x x... x 1 n [1] 1 n x xavg xi n n i 1 Ορίζουμε ως απόκλιση μιας μέτρησης από τη μέση τιμή το μέγεθος : d i x x [] i και παίρνει θετικές και αρνητικές τιμές. Αποτελεί εκτίμηση του σφάλματος αφού η μέση τιμή x είναι η πιο αντιπροσωπευτική τιμή του φυσικού μεγέθους που μετράμε. Για τις αποκλίσεις ισχύει : n 1 d i 0 [3] Για τη μέση τιμή των αποκλίσεων ισχύει η σχέση : d n di 1 [4] n και θα είναι το μέσο σφάλμα που γίνεται στις μετρήσεις. Για μεγάλο αριθμό μετρήσεων, ένα μέτρο σφάλματος βρίσκεται από το τυπικό σφάλμα της μέσης τιμής ( standard error in the mean) και υπολογίζεται από την σχέση: n 1 avg x xi x [5] ( n 1) n 1 όπου x i η πειραματική μετρούμενη τιμή του μεγέθους x. Το αποτέλεσμα των μετρήσεων ενός μεγέθους x θα γράφεται με τη μορφή: x = x ± σ avg [6] Ονομάζουμε συχνότητα επανάληψης (class frequency) n j μιας μέτρησης το πλήθος των μετρήσεων, στις οποίες έχουμε ίδια τιμή για τη μέτρηση x j. Στον πίνακα φαίνονται οι συχνότητες επανάληψης για τις αντίστοιχες μετρήσεις του πίνακα 1. Εις.5

9 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Γενική εισαγωγή για την διεξαγωγή εργαστηριακών πειραμάτων Πίνακας n τιμή συχνότητα x j n j Σχήμα. (α) Διάγραμμα συχνοτήτων επανάληψης με η = 10 (β) Διάγραμμα συχνοτήτων επανάληψης με η Από τις τιμές του πίνακα, μπορούμε να σχεδιάσουμε ένα καινούργιο διάγραμμα, ένα ιστόγραμμα, όπου στον άξονα των τεταγμένων θέτουμε τη συχνότητα επανάληψης των αποκλίσεων των τιμών του χρόνου. Στο σχήμα (α) δείχνεται ότι στο διάγραμμα αυτό οι περισσότερες μετρήσεις βρίσκονται στην τιμή των 0 s, ενώ οι υπόλοιπες μετρήσεις κατανέμονται γύρω από την κεντρική τιμή. Στο Σχήμα (β) δείχνεται ότι, αν αυξήσουμε τον αριθμό των μετρήσεων και τις ομαδοποιήσουμε σε μικρότερες αποστάσεις, τότε το διάγραμμα έχει μια περιβάλλουσα καμπύλη που τείνει να γίνει συνεχής, όπως αυτή στο σχήμα (β). Η κατανομή των τυχαίων σφαλμάτων περιγράφεται με την κατανομή Gauss ή κανονική κατανομή. Η κατανομή Gauss έχει μεγάλη πρακτική σημασία και εκφράζεται μαθηματικά με την σχέση: P 1 d e Εις.6

10 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Γενική εισαγωγή για την διεξαγωγή εργαστηριακών πειραμάτων Όπου Ρ είναι η πιθανότητα να εμφανιστεί απόκλιση d από την μέση τιμή και όπου σ είναι το εύρος της κατανομής, ονομάζεται τυπική απόκλιση (standard deviation) και δίνεται από τη σχέση: n 1 x i x [7] 1 n 1 Η κατανομή των τυχαίων σφαλμάτων μεταφέρει σε εικόνα το περιεχόμενο του πίνακα όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα 3, όπου απεικονίζονται και τα χαρακτηριστικά μεγέθη της κατανομής Gauss. Σχήμα 3. Κατανομή της πιθανότητας των τιμών σειράς μετρήσεων σε σχέση με την τυπική απόκλιση σ. Το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη μεταξύ x - σ και x + σ είναι ισούται με το 68.3% του εμβαδού όλης της επιφάνειάς της (από x = έως x =+ ). Η πιθανότητα που έχει μια μέτρηση να δώσει τιμή μεταξύ x - σ και x + σ είναι 68.3%, ενώ μεταξύ x -σ και x + σ είναι 95.4%. Άρα η τυπική απόκλιση σ, μπορεί να δείξει το μέτρο της διασποράς των τιμών του x που περιλαμβάνονται στην κατανομή, ενώ η μέση τιμή x καθορίζει τη θέση της καμπύλης στον άξονα των x, δηλαδή την τιμή του x γύρω από την οποία η καμπύλη Gauss είναι συμμετρική. Ένας πολύ συνηθισμένος τρόπος σύγκρισης των πειραματικών τιμών είναι η επί τοις εκατό (%) απόκλιση, που δίνει το εκατοστιαίο (%) σχετικό σφάλμα της πειραματικής τιμής από τη πραγματική τιμή: x x % απόκλιση της ποσότητας x 100% [8] x Εις.7

11 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Γενική εισαγωγή για την διεξαγωγή εργαστηριακών πειραμάτων ΤΥΧΑΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΚΑΤΑ ΤΙΣ ΕΜΜΕΣΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ Στις έμμεσες μετρήσεις, ο υπολογισμός ενός μεγέθους x, είναι αλγεβρική συνάρτηση πολλών άλλων μεγεθών (q 1,q,,q n ) τα οποία μετρούνται άμεσα. Για να υπολογίσουμε το ολικό σφάλμα του μεγέθους x, χρειάζεται η γνώση των επί μέρους σφαλμάτων που επιβαρύνουν τις μετρήσεις των μεγεθών q 1,q,,q n. Το μέγεθος x είναι μία συνάρτηση των q 1,q,,q n, δηλαδή x = f (q 1,q,, q n) Η μέση τιμή του x θα είναι: x = f (q 1,q,, q n ) Π.χ. η μέση τιμή του όγκου ενός κύβου V l l l 1 3 και V f ( l1, l, l3 ) Με βάση τη θεωρία διάδοσης σφαλμάτων ορίζουμε σαν πιθανό σφάλμα (δχ) το μέγεθος που δίνεται από τη σχέση: n x x x x x q... i q 1 q qn 1 qi q1 q qn [9] όπου x/ qi είναι η μερική παράγωγος του μεγέθους x ως προς q i. Μερική παράγωγος είναι όταν παραγωγίζουμε το μέγεθος x ως προς τη μεταβλητή q i, θεωρώντας τις υπόλοιπες μεταβλητές σταθερές. Για μικρό αριθμό μετρήσεων τα σ q1, σ q, είναι οι τυπικές αποκλίσεις της μέσης τιμής για τις ποσότητες q 1, q, (βλέπε σχέση [7], σελ. Εισ.6). Αν έχουμε μόνο μια μέτρηση για το καθένα από τα q 1, q, θέτουμε όπου σ q1, σ q, τα μέγιστα σφάλματα (σφάλματα οργάνων μέτρησης) για τα μεγέθη q 1, q, Αν έχουμε πραγματοποιήσει ένα μεγάλο αριθμό μετρήσεων n>30 για τα μεγέθη q 1, q, θέτουμε όπου σ q1, σ q, το τυπικό σφάλμα της μέσης τιμής για τα αντίστοιχα μεγέθη, (βλέπε σχέση [5], σελ. Εισ.5). n V ( l1l l3) ( l1l l3) ( l1l l3) Π.χ. V l i l 1 l l3 1 li l1 l l3 V V V l l l V Και 1 3 Σημείωση: Είναι προφανές ότι όταν το x εξαρτάται μόνο από μία μεταβλητή q, τότε η σχέση (9) γίνεται: x x x q q q q [9α] Στην περίπτωση που η έμμεση μέτρηση προκύπτει από το αλγεβρικό άθροισμα (πρόσθεση ή αφαίρεση), x= q 1 ± q ± Εις.8

12 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Γενική εισαγωγή για την διεξαγωγή εργαστηριακών πειραμάτων Τότε εφαρμόζοντας τη σχέση (9) προκύπτει: x q q... 1 το πιθανό σχετικό σφάλμα δίνεται από την έκφραση: x x 100% [10] Παράδειγμα υπολογισμού έμμεσου σφάλματος και αναγραφής αποτελέσματος: Έστω ότι ζητείται να προσδιορισθεί η πυκνότητα ενός σώματος με ογκομέτρηση και ζύγιση. Η σχέση που υπολογίζει την πυκνότητα είναι: m d [11] V όπου m η μάζα και V ο όγκος του σώματος. Για τον προσδιορισμό της μάζας και του όγκου γίνονται πολλές μετρήσεις. Η τιμή της πυκνότητας θα υπολογισθεί από τη σχέση [11] χρησιμοποιώντας τις μέσες τιμές, της σειράς των μετρήσεων, της μάζας και του όγκου. Δηλαδή η σχέση [11] γίνεται: m d [1] V αν τα m και V έχουν σφάλματα σ m και σ V, με βάση τη σχέση [9] για το πιθανό σφάλμα θα ισχύει: 1 m d m V V V όπου ο πρώτος και ο δεύτερος όρος προκύπτουν μετά από μερική παραγώγιση ως προς m και V αντίστοιχα της σχέσης [11]. Με βάση τη σχέση [10] για το πιθανό σχετικό σφάλμα, θα ισχύει: d m V d m V Αν στην παραπάνω μέτρηση έχουμε V m 1% και 1% V m d τότε το σφάλμα d είναι της τάξης του 1% και η χρήση του ζυγού ακριβείας για να πετύχει σφάλμα ζύγισης 1% είναι τελείως περιττή. Η αναγραφή του αποτελέσματος μαζί με το σφάλμα γίνεται ως εξής: Εις.9

13 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Γενική εισαγωγή για την διεξαγωγή εργαστηριακών πειραμάτων Επειδή η τιμή του πειραματικού αποτελέσματος γράφεται με τόσα δεκαδικά, όσα έχουν οι μετρήσεις το σφάλμα, στην παραπάνω περίπτωση το σφάλμα γράφεται με τον ίδιο αριθμό σημαντικών ψηφίων. Τα υπόλοιπα ψηφία στρογγυλοποιούνται. Αν στο παραπάνω πείραμα προσδιορισμού της πυκνότητας οι τιμές της μάζας και όγκου είχαν δεκαδικά ψηφία, η τιμή της πυκνότητας υπολογίστηκε d=6.384 gr/cm 3 και το σφάλμα υπολογίστηκε δd = 0.3 gr/cm 3, τούτο σημαίνει ότι πιθανό, η τιμή που βρέθηκε gr/cm 3 δεν θα διαφέρει της πραγματικής περισσότερο των 0.3 gr/cm 3 είτε προς μεγαλύτερη, είτε προς μικρότερη τιμή. Η τελική αναγραφόμενη πειραματική τιμή θα είναι : d δd = ( ) gr/cm 3. ΚΑΝΟΝΕΣ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΡΙΘΜΩΝ Οι κανόνες που καθορίζουν τη στρογγυλοποίηση ενός αριθμού είναι: Σύμφωνα με τους κανόνες των σημαντικών ψηφίων, καθορίζουμε ποια θα πρέπει να είναι η δεκαδική θέση του τελευταίου ψηφίου Αφού καθορίζουμε τη δεκαδική θέση του τελευταίου ψηφίου, κοιτάμε αν το ψηφίο που βρίσκεται δεξιά από το τελευταίο αυτό σημαντικό ψηφίο είναι μικρότερο από το πέντε (<5). Στη περίπτωση αυτή απορρίπτουμε όλα τα ψηφία που είναι στα δεξιά από αυτό. Αν το ψηφίο που βρίσκεται δεξιά από το τελευταίο αυτό σημαντικό ψηφίο είναι μεγαλύτερο από πέντε (>5), τότε αυξάνουμε το τελευταίο αυτό σημαντικό ψηφίο κατά μία μονάδα και αυτή απορρίπτουμε όλα τα ψηφία που είναι στα δεξιά του. Αν το ψηφίο που βρίσκεται δεξιά από το τελευταίο αυτό σημαντικό ψηφίο είναι ίσο με το πέντε (=5), τότε αν το τελευταίο σημαντικό ψηφίο είναι περιττός αριθμός στρογγυλοποιούμε προσθέτοντας μια μονάδα ενώ αν είναι άρτιος αριθμός το αφήνουμε όπως είναι. Παράδειγματα: α) Έστω ότι μετά την εφαρμογή των κανόνων των σημαντικών ψηφίων θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό στο πρώτο δεκαδικό ψηφίο. Το τελευταίο σημαντικό ψηφίο είναι το 4. Το ψηφίο δεξιά από το 4 είναι το 6, (δηλαδή μεγαλύτερο από το 5). Άρα σύμφωνα με τους κανόνες στρογγυλοποίησης το 4 θα αυξηθεί κατά μία μονάδα και ο αριθμός θα γραφτεί 3.5. β) Έστω ότι θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό στο δεύτερο δεκαδικό ψηφίο. Το τελευταίο σημαντικό ψηφίο είναι το 7. Το ψηφίο δεξιά από το 7 είναι το 5. Άρα σύμφωνα με τους κανόνες στρογγυλοποίησης επειδή το 7 είναι περιττός αριθμός θα αυξηθεί κατά μία μονάδα και ο αριθμός θα γραφτεί Εις.10

14 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Γενική εισαγωγή για την διεξαγωγή εργαστηριακών πειραμάτων ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Μέτρηση μήκους : Α. ΚΑΝΟΝΑΣ : Με ένα κανόνα μπορούμε να μετρήσουμε το μήκος σώματος με ακρίβεια μεταξύ του 0.5 mm και 1.0 mm (όχι μικρότερη του 0.5 mm). Τοποθετούμε το σώμα έτσι, ώστε η προς μέτρηση διάστασή του να εφάπτεται στον κανόνα και το ένα άκρο του σώματος να βρίσκεται στη χαραγή του κανόνα με την ένδειξη μηδέν. Τότε διαβάζουμε την ένδειξη του κανόνα στο άλλο άκρο του σώματος. Σχήμα 4. Β. ΔΙΑΣΤΗMΟMΕΤΡΟ ΜΕ ΒΕΡΝΙΕΡΟ (Caliper Vernier) Το διαστημόμετρο με βερνιέρο είναι ένα όργανο, που το χρησιμοποιούμε για να μετρήσουμε μήκη εσωτερικών ή εξωτερικών διαστάσεων και βάθους, με μεγαλύτερη ακρίβεια από αυτή που πετυχαίνουμε με τους κοινούς χάρακες (κανόνες). Η ακρίβεια αυτή είναι περίπου 0.1 mm (για βερνιέρο μήκους 9 mm) και φθάνει μέχρι 0.0 mm (για βερνιέρο μήκους 49 mm). Σχήμα 5. Διαστημόμετρο (παχύμετρο) Το διαστημόμετρο με βερνιέρο, που απεικονίζεται στο σχήμα 5, αποτελείται από ένα σταθερό μέρος «Α», το οποίο είναι η κύρια κλίμακα, και το κινητό μέρος «Β», στο οποίο υπάρχει η κλίμακα του βερνιέρου. Η κύρια κλίμακα είναι υποδιαιρεμένη σε mm. Στο άκρο του σταθερού μέρους «Α» υπάρχουν δυο αντιδιαμετρικά «ράμφη» «Γ» και «Δ», ενώ στο άκρο του κινητού μέρους «Β» υπάρχουν δυο αντίστοιχα αντιδιαμετρικά «ράμφη» «Γ» και «Δ». Για να μετρήσουμε εσωτερικές διαστάσεις χρησιμοποιούμε τα ράμφη «Δ» και «Δ», ενώ για τη μέτρηση εξωτερικών διαστάσεων χρησιμοποιούμε τα Εις.11

15 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Γενική εισαγωγή για την διεξαγωγή εργαστηριακών πειραμάτων ράμφη «Γ» και «Γ». Τέλος, το κινητό μέρος «Β» φέρει επάνω του, εκτός από την κλίμακα του βερνιέρου «Ε», και τη ράβδο «Ζ» για μετρήσεις βάθους. Τρόπος χρήσης του διαστημόμετρου που φέρει βερνιέρο : Σχήμα 6. Μέτρηση μήκους με βερνιέρο ακρίβειας ±0.05 mm [αποτέλεσμα για μία μέτρηση: (6.4 ± 0.05 mm)] Έστω ότι θέλουμε να μετρήσουμε το μήκος ενός δοκιμίου. Τοποθετούμε το δοκίμιο ανάμεσα στα ράμφη ώστε να υπάρχει απόλυτη επαφή με αυτό και διαβάζουμε την χαραγή (ένδειξη) της κύριας κλίμακας που βρίσκεται αριστερά του μηδενός του βερνιέρου. Αυτό είναι το ακέραιο μέρος του αποτελέσματος της μέτρησης Στη συνέχεια παρατηρούμε ποια γραμμή της κλίμακας του βερνιέρου συμπίπτει με κάποια γραμμή της κύριας κλίμακας (δείχνει σα να είναι προέκτασή της) και αυτός ο αριθμός της χαραγής της κλίμακας του βερνιέρου δίνει το δεκαδικό μέρος του αποτελέσματος της μέτρησης. Δηλαδή αν για παράδειγμα, (σχήμα 6.) η γραμμή της κύριας κλίμακας αριστερά από το μηδέν του βερνιέρου αντιστοιχεί στα 6 mm, και η 4.5 χαραγή του βερνιέρου συμπίπτει με μια γραμμή της κύριας κλίμακας, τότε το ζητούμενο μήκος είναι L=6.45 mm. Το δεκαδικό λοιπόν μέρος του αποτελέσματος μας το δείχνει ο αριθμός της χαραγής στην κλίμακα του βερνιέρου και η τιμή αυτή προστίθεται στην τιμή της κύριας κλίμακας, που βρίσκεται ακριβώς πριν το μηδέν του βερνιέρου. Έτσι προκύπτει η ακριβής τελική τιμή για το μήκος που θέλουμε να μετρήσουμε. Σε περίπτωση που καμία χαραγή της κλίμακας του βερνιέρου δεν συμπίπτει με κάποια χαραγή της κύριας κλίμακας, τότε κατ εκτίμηση κοιτάμε πια χαραγή της κλίμακας του βερνιέρου είναι πιο κοντά σε μία χαραγή της κύριας κλίμακας και η ένδειξη αυτής της χαραγής στην κλίμακα του βερνιέρου μας δείχνει το δεκαδικό μέρος του αποτελέσματος μας. Τότε έχουμε αποτέλεσμα ανάγνωσης κατ εκτίμηση με ακρίβεια όση η ακρίβεια μέτρησης του βερνιέρου, (0.05 mm στο παραπάνω παράδειγμα). Για να αποφύγετε κατά το δυνατό τα συστηματικά σφάλματα, θα πρέπει να ελέγξετε αν στο μικρόμετρό σας το μηδέν της κλίμακας του βερνιέρου και το μηδέν της κύριας κλίμακας συμπίπτουν όταν οι σιαγόνες είναι κλειστές. Αν αυτό δε συμβαίνει, τότε το όργανο παρουσιάζει μετάθεση του μηδενός. Εις.1

16 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Γενική εισαγωγή για την διεξαγωγή εργαστηριακών πειραμάτων Γ. ΜΙΚΡΟΜΕΤΡΟ Χρησιμότητα του οργάνου : Το μικρόμετρο χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να μετρήσουμε μικρά μήκη με μεγαλύτερη ακρίβεια από αυτήν που μας δίνει το διαστημόμετρο με βερνιέρο γιατί μας δίνει τη δυνατότητα να μετρήσουμε μήκη μέχρι 5 mm, με ακρίβεια περίπου ίση με ένα εκατοστό του χιλιοστομέτρου, δηλαδή ίση με 10 μικρόμετρα (0.01 mm = 10 μ). Λειτουργία του μικρομέτρου : Στο σχήμα 7, φαίνεται η αρχή λειτουργίας του μικρόμετρου που στηρίζεται στο γεγονός ότι ο κοχλίας κινείται πάντα σε σχέση με το περικόχλιο. Στα όργανα που χρησιμοποιούνται στο εργαστήριο, μια πλήρης στροφή του τύμπανου προκαλεί αξονική μεταφορά του κοχλία ίση με 0.5 mm. Σχήμα 7. Αρχή λειτουργίας του μικρόμετρου Σχήμα 8. Μικρόμετρο Περιγραφή του μικρομέτρου: Το μικρόμετρο του σχήματος 8 αποτελείται από : Έναν πεταλοειδή σκελετό Α που στο ένα άκρο του υπάρχει ένας σταθερός επαφέας (πέλμα) "Δ" και το άλλο του άκρο καταλήγει στο σταθερό περικόχλιο που βρίσκεται στο εσωτερικό του κοίλου κυλίνδρου "Β". Εις.13

17 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Γενική εισαγωγή για την διεξαγωγή εργαστηριακών πειραμάτων Μια κυλινδρική ράβδο που στο ένα άκρο της είναι προσαρτημένο στον κοχλία και το άλλο καταλήγει στον επαφέα "Ε" και Από ένα βαθμονομημένο τύμπανο "Η". Τα σπειρώματα του κοχλία και του περικοχλίου κατασκευάζονται με λείανση ακριβείας, ώστε να διασφαλίζεται η απρόσκοπτη κίνηση του επαφέα "Ε". Για να διατηρήσουμε μια μέτρηση, χρησιμοποιούμε το περικόχλιο ασφαλείας "Θ". Όταν περιστρέψουμε τον κοχλία, περιστρέφεται αντίστοιχα και το τύμπανο "Η" και έτσι αυξάνεται ή μειώνεται η απόσταση ΔΕ (δηλαδή το μετρούμενο μήκος) ανάμεσα στο σταθερό επαφέα "Δ" και στον επαφέα "Ε". Στο άκρο του τύμπανου υπάρχει ένας μηχανισμός "I" που ελέγχει την ασκούμενη πίεση στις επιφάνειες των σωμάτων που μετρούμε τις διαστάσεις τους και στις επιφάνειες των δυο επαφέων. Ο μηχανισμός αυτός αποτελείται από ελατήριο και συμπλέκτη τριβής ή καστάνια και ελατήριο και χρησιμεύει για την προστασία του οργάνου από τυχόν παραμορφώσεις που θα μπορούσαν να προκληθούν από άσκηση υπερβολικής πίεσης από κάποιον χρήστη. Έτσι η πίεση είναι πλέον ανεξάρτητη από το χρήστη και ταυτόχρονα περιορίζονται τα σφάλματα μέτρησης. Σχήμα 9. Μετρικό μικρόμετρο με 50 υποδιαιρέσεις κάλυκα, (ακρίβειας 0.01 mm) Στο σχήμα 9, φαίνεται ο τρόπος βαθμονόμησης ενός μικρομέτρου. Η τελική ένδειξη είναι η ένδειξη της κύριας κλίμακας, που υπάρχει στο ακίνητο μέρος του οργάνου, που είναι το βαθμονομημένο μέρος του κοίλου κυλίνδρου "Β" συν η ένδειξη της κλίμακας του τύμπανου "Η". Η κύρια κλίμακα θα μας δώσει μετρήσεις με ακέραια χιλιοστά στην επάνω πλευρά της και με μισά χιλιοστά στην κάτω πλευρά της και η ένδειξη στην κλίμακα του τύμπανου θα μας δώσει τα εκατοστά του χιλιοστού (η περιφέρεια του τύμπανου είναι υποδιαιρεμένη σε 50 ίσα μέρη). Αν το τύμπανο κάνει μια πλήρη στροφή, τότε ο επαφέας "Ε" μετακινείται κατά απόσταση ίση με το βήμα του κοχλία του τύμπανου, δηλαδή κατά 0.50 mm. Δηλαδή αν το τύμπανο περιστραφεί κατά μια γραμμή της υποδιαίρεσής του, ο κοχλίας θα μετατοπισθεί κατά 0.01 mm, που είναι και η μικρότερη απόσταση, που μπορεί να μετρηθεί με το μικρόμετρο. Παράδειγμα μέτρησης μήκους με τη χρήση του μικρομέτρου : Στο σχήμα 9, το μετρούμενο μήκος είναι: 5 mm (επάνω τμήμα της κύριας κλίμακας) mm (κάτω τμήμα της κύριας κλίμακας) mm (η ένατη γραμμή της Εις.14

18 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Γενική εισαγωγή για την διεξαγωγή εργαστηριακών πειραμάτων κλίμακας του τύμπανου συμπίπτει με τη βοηθητική γραμμή αναφοράς "Κ" της κύριας κλίμακας). Άρα το συνολικό μετρούμενο μήκος είναι : Οδηγίες χρήσης του μικρόμετρου : L= 5.00 mm mm mm = 5.59 mm Τοποθετούμε το αντικείμενο που πρόκειται να μετρήσουμε μεταξύ των επαφέων "Δ"και "Ε", χωρίς να το σφίξουμε δυνατά (γιαυτό χρησιμοποιούμε το μηχανισμό "I", που ήδη έχουμε περιγράψει παραπάνω). Προσέχουμε ώστε το αντικείμενο να εφάπτεται στους δυο επαφείς και να είναι μην είναι τοποθετημένο στις άκρες. Οι μετρήσεις μας πρέπει να διαβάζονται μετωπικά ως προς τις κλίμακες και όχι πλάγια, ώστε να περιοριστεί το σφάλμα κατά την παρατήρηση. Σημείωση: όταν δεν συμπίπτει καμιά γραμμή του κάλυκα με κάποια γραμμή της κύριας κλίμακας, θεωρούμε τη θέση της χαραγής της κλίμακας του τύμπανου που βρίσκεται πλησιέστερα στην οριζόντια γραμμή της κυρίας κλίμακας. ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Συνήθως τα αποτελέσματα ενός πειράματος παρουσιάζονται σε μια γραφική παράσταση. Η γραφική παράσταση μας δίνει τη δυνατότητα να διερευνήσουμε την εξάρτηση μεταξύ των ποσοτήτων (μεταβλητών). Αν σε ένα πείραμα έχουμε δυο μεταβλητές x και y, που η μια εξαρτάται από την άλλη (ανεξάρτητη μεταβλητή x και εξαρτημένη μεταβλητή y), τότε μπορούμε να τις συνδέσουμε μεταξύ τους με μια συνάρτηση y=f(x). Υποθέτουμε για λόγους απλούστευσης ότι η εξαρτημένη μεταβλητή y υπόκειται σε σφάλματα, και αγνοούμε τα σφάλματα στην ανεξάρτητη μεταβλητή x. Όπου είναι δυνατόν, χρησιμοποιούμε γραφική παράσταση που αποδίδει μια γραμμική συμπεριφορά (ευθεία γραμμή), της μορφής y=bx+α. Αυτή είναι πιο ακριβής στο σχεδιασμό και τα συμπεράσματα είναι πιο αξιόπιστα από ότι σε μια γραφική παράσταση που είναι καμπύλη. Οι σταθερές α και b πρέπει να είναι καλά επιλεγμένες, ώστε να έχουμε τις καλύτερες προσεγγίσεις. Για να μελετήσουμε μια συνάρτηση μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την κλίση b της καμπύλης που αντιστοιχεί στη συνάρτηση σε κάποιο σημείο x. Η κλίση b σε ένα σημείο x ορίζεται ως η τιμή της παραγώγου της συνάρτησης, που αντιπροσωπεύει η καμπύλη, στο σημείο x, δηλαδή : b dy dx lim x0 y x x yx x Η κλίση της ευθείας ΑΒ στο σχήμα 10, αντιπροσωπεύεται από το κλάσμα : Εις.15

19 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Γενική εισαγωγή για την διεξαγωγή εργαστηριακών πειραμάτων y x x yx x. Σχήμα 10. Κλίση καμπύλης Όταν Δx 0, η εφαπτομένη Ε της καμπύλης στο σημείο x ισούται με την κλίση b της καμπύλης σε αυτό το σημείο. Πρέπει να έχουμε υπόψη ότι η κλίση δεν ταυτίζεται γενικά με την εφαπτόμενη της γωνίας (tanφ). Και αυτό, διότι η εφαπτόμενη μιας γωνίας φ είναι αδιάστατο μέγεθος, καθαρός αριθμός, ενώ η κλίση ευθείας έχει μονάδες. Η μόνη περίπτωση, που η tanφ συμπίπτει με την αριθμητική τιμή της κλίσης ευθείας, είναι όταν έχουμε ισοδιάστατες μονάδες στους δυο ορθογώνιους άξονες. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ (LEAST SQUARES FIT) Για να τις προσδιορίσουμε όσο το δυνατό πιο αξιόπιστα και για να περιορίσουμε την επίδραση των σφαλμάτων, χρησιμοποιούμε τη Μέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων. Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων, είναι η αλγεβρική μέθοδος, που ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των κατακόρυφων αποκλίσεων των σημείων από την ευθεία. Δηλαδή ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων : Δy i =Σ( y i - α - bx I ) Σχήμα 11. Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων. Εις.16

20 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Γενική εισαγωγή για την διεξαγωγή εργαστηριακών πειραμάτων Η εξίσωση, y=bx+α περιέχει τις σταθερές α και b, που πρέπει να ικανοποιούν όσο το δυνατό καλύτερα όλες τις εξισώσεις μεταξύ των ζευγών των τιμών. Αν πραγματοποιήσουμε Ν μετρήσεις για τις μεταβλητές x και y, και κάθε τιμή y i της ποσότητας y αντιστοιχίζεται στην ποσότητα x i (όπου το i είναι ένας δείκτης, που παίρνει τιμές από 1 έως Ν),τότε στο τέλος του πειράματος έχουμε τα ζεύγη των μετρήσεων (x i, y i ) και έχουμε Ν εξισώσεις της μορφής : όπου i = 1,,...Ν. Με πρόσθεση όλων των εξισώσεων [13], έχουμε : y i = bx i +α [13] N N yi Na b xi [14] i1 i1 Πολλαπλασιάζουμε την [13] επί x i Προσθέτουμε όλες τις [15] και έχουμε : x i y i = b x i + α x i [15] N i1 x i y i a N i1 x i b N i1 x i [16] Οι εξισώσεις [14] και [16] λέγονται κανονικές εξισώσεις της ευθείας ελαχίστων τετραγώνων. Αν επιλύσουμε το σύστημα ως προς α και b, παίρνουμε. x i yi xi xi yi [17] όπου α η τεταγμένη επί την αρχή (η τεταγμένη, του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα y) και b η κλίση της ευθείας x N xi yi y i i b [18] i N x i x [19] Τα σφάλματα σ α και σ b στις τιμές των α και b αντίστοιχα δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις: Εις.17

21 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Γενική εισαγωγή για την διεξαγωγή εργαστηριακών πειραμάτων 1 N y i bx s i s x s x i i [0] b Ns b Ns [1] ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ Αφού έχουμε βρει τις τιμές των σταθερών α και b γνωρίζουμε ποια είναι ακριβώς η εξίσωση y=bx+α που συνδέει τις δύο μεταβλητές. Δηλαδή για παράδειγμα αν έχουμε βρει ότι α=0.40 και b=.50 η εξίσωση της ευθείας που θέλουμε να σχεδιάσουμε είναι η y=.50x Από την παραπάνω εξίσωση βρίσκουμε δύο σημεία της ευθείας τα οποία αρκούν για να την σχεδιάσουμε. Δηλαδή για δύο τυχαίες τιμές του x από την παραπάνω εξίσωση βρίσκουμε τις αντίστοιχες τιμές του y. Συνήθως χρησιμοποιούμε τις τιμές x=0 και y=0, οπότε βρίσκουμε τα σημεία με συντεταγμένες (0,y) και (x,0). π.χ. για την εξίσωση του παραπάνω παραδείγματος έχουμε: για x=0 τότε y =0.40 και για y=0 τότε x= - 0.4/.5 = Άρα γνωρίζουμε τα σημεία της ευθείας με συντεταγμένες (0, 0.4) και (-0.16, 0). Βρίσκουμε τα δύο αυτά σημεία πάνω στη γραφική και γνωρίζοντας ότι η ευθεία περνάει από αυτά τα δύο σημεία την σχεδιάζουμε. Στη συνέχεια, τοποθετούμε τα πειραματικά σημεία [όλα τα ζεύγη (x ι, y i )] από τις μετρήσεις μας πάνω στη γραφική. Αυτά θα πρέπει να είναι διασπαρμένα πάνω και γύρω από την διεύθυνση της ευθείας, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Εις.18

22 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Γενική εισαγωγή για την διεξαγωγή εργαστηριακών πειραμάτων Σχήμα με σωστό υπολογισμό της ευθείας Σχήμα με λάθος υπολογισμό της ευθείας Σε περίπτωση που δεν συμβαίνει αυτό και τα πειραματικά σημεία είναι διασπαρμένα σε διαφορετική διεύθυνση από αυτή της ευθείας (όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα) τότε έχουμε κάνει λάθος στον υπολογισμό των α και b και θα πρέπει να ελέγξουμε ξανά τους υπολογισμούς μας. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΕΛΑΧ. ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Ας θεωρήσουμε τον Πίνακα 3, που περιέχει τα πειραματικά δεδομένα μέτρησης, της μεταβολής της δύναμης F που εφαρμόζεται στο ελατήριο σαν συνάρτηση της επιμήκυνσης Δx του ελατηρίου από την θέση του φυσικού του μήκους. Για την ευκολότερη εφαρμογή της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων, κατασκευάζουμε τον παρακάτω πίνακα: Πίνακας 3. α/α Επιμήκυνση Δύναμη Δx i x i (cm) F i y i (N) x i x i.y i Σx i = 5 Σy i = 01 Σx Σx i = 165 i.y i =133 i i Δ= N x - x = = 00 xi yi xi xi yi = N xi yi - x y i i b= = =7.95 Δ 00 Εις.19

23 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Γενική εισαγωγή για την διεξαγωγή εργαστηριακών πειραμάτων Για τον προσδιορισμό των σφαλμάτων σ α και σ b κατασκευάζουμε τον επόμενο πίνακα: α/α Επιμήκυνση (cm) Δx i x i Πίνακας 4. Δύναμη (Ν) α+bx i Δy i =y i -(α+bx i ) Δy i F i y i Σx i = 5 Σy i = N - 3 s = yi - α - bx i = 6.7 =.3333 s x i = , σ α = ± ~ ± 1.36 Ns b , σ b = ± ~± 0.4 α ± σ α = (0.4 ± 1.4) Ν b ± σ b =(7.95± 0.4) Ν/cm Στο παρακάτω διάγραμμα γράφονται τα δεδομένα έτσι, ώστε να φαίνεται η σχέση μεταξύ της δύναμης και της επιμήκυνσης. Η επιμήκυνση Δx είναι ανεξάρτητη μεταβλητή και η δύναμη F είναι εξαρτημένη από τη επιμήκυνση. Έτσι, η δύναμη F i σχεδιάζεται κατά μήκος του άξονα y και η επιμήκυνση Δx i στον άξονα x. Εις.0

24 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Γενική εισαγωγή για την διεξαγωγή εργαστηριακών πειραμάτων ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΣΗΜΕΙΩΣΗ Πολλές φορές η σχέση μεταξύ δύο μεγεθών (μεταβλητών) δεν είναι γραμμική. Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να πάρουμε τη γραφική παράσταση που αποδίδει μια γραμμική συμπεριφορά (ευθεία γραμμή), αν πάρουμε στους άξονες δυνάμεις της μιας ή της άλλης (ή και των δύο) μεγεθών. Παράδειγμα: Στη περίπτωση του απλού εκκρεμούς, η γραφική παράσταση του χρόνου t συναρτήσει του μήκους l είναι παραβολή. Όμως η γραφική παράσταση του χρόνου t συναρτήσει του μήκους l είναι ευθεία γραμμή. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΧΕΣΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Σε ορισμένες περιπτώσεις δύο μεταβλητές x και y συνδέονται με μια σχέση της μορφής: y = Ax b όπου y είναι η εξαρτημένη και x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή ενώ Α είναι μια σταθερά και b είναι ένας εκθέτης. Λογαριθμίζοντας τη παραπάνω σχέση έχουμε: lny = lna + blnx Τώρα αν θέσουμε lny = y, lna = a και lnx = x τότε η σχέση αυτή γράφεται y = bx + a Όπως μπορούμε εύκολα να καταλάβουμε η παραπάνω σχέση είναι γραμμική. Μπορούμε να παραστήσουμε γραφικά το y = lny σε συνάρτηση με το x = lnx σε δεκαδικό σύστημα αξόνων [μιλλιμετρέ (millimetre) χαρτί], ή το lny σε συνάρτηση με το lnx σε λογαριθμικούς άξονες (λογαριθμικό χαρτί) αλλά στη περίπτωση αυτή θα πρέπει να προσέξουμε ότι στο λογαριθμικό χαρτί τοποθετούμε στους άξονες απευθείας τις τιμές των μεγεθών x, y και όχι των lnx και lny. Ο εκθέτης b είναι η κλίση της ευθείας στο λογαριθμικό χαρτί και υπολογίζεται από τη σχέση: lny - lny b= lnx - lnx 1 1 Παράδειγμα: Σε μια αδιαβατική μεταβολή μιας συγκεκριμένης ποσότητας αερίου ισχύει: PV c [] Εις.1

25 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Γενική εισαγωγή για την διεξαγωγή εργαστηριακών πειραμάτων όπου c μια σταθερά, P η πίεση και V ο όγκος του αερίου. Επίσης ισχύει ότι, γ=c p /C v όπου C p είναι ο ειδική θερμότητα υπό σταθερή πίεση και C v είναι η ειδική θερμότητα υπό σταθερό όγκο του αερίου. Έστω σε ένα πείραμα κατά το οποίο θέλουμε να υπολογίσουμε το λόγο γ για το αέριο He, κατά την αδιαβατική συμπίεση 1 mole αραιού He μετρήσαμε την πίεση P σε συνάρτηση με τον όγκο V του αερίου. Τα ζεύγη τιμών (V,P) που πήραμε φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. V(x10 - m 3 ) P(x10 5 N/m ) lnv lnp Λογαριθμίζοντας την [], η σχέση που συνδέει τον όγκο με την πίεση γίνεται: lnp= - γlnv + lnc Στη συνέχεια παραθέτουμε τρεις τρόπους παράστασης της ίδιας οικογένειας μετρήσεων. Σε ένα δεκαδικό διάγραμμα, η σχέση ανάμεσα στην πίεση P και στον όγκο V δεν είναι γραμμική και η εξάρτησή τους γραφικά φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα: Εις.

26 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Γενική εισαγωγή για την διεξαγωγή εργαστηριακών πειραμάτων Σε ένα δεκαδικό διάγραμμα, η σχέση ανάμεσα στον lnp και στον lnv είναι γραμμική και η εξάρτησή τους γραφικά φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα: Για τον υπολογισμό της κλίσης b της ευθείας στο διπλανό δεκαδικό διάγραμμα, επιλέγουμε τα σημεία: και Οπότε η κλίση είναι: x 1 = lnv 1 = -4.5 y 1 = lnp 1 = 1.8 x = lnv = -3.5 y = lnp = 11.1 b = y x y1 x 1 = (-3.5)-(-4.5) = -1.6 δηλαδή γ = 1.6 Σε ένα λογαριθμικό διάγραμμα, η σχέση ανάμεσα στην πίεση P και στον όγκο V είναι γραμμική και η εξάρτησή τους γραφικά φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα: Εις.3

27 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Γενική εισαγωγή για την διεξαγωγή εργαστηριακών πειραμάτων Στο λογαριθμικό διάγραμμα, από τα σημεία: και υπολογίζω την κλίση b: V 1 = 0.9 x 10 - m 3 P 1 =5.0 x 10 5 N/m V =3.7 x 10 - m 3, P =0.5 x 10 5 N/m lnp - lnp b= 1 b= lnv - lnv = δηλαδή γ= ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΣΩΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Ο σχεδιασμός των γραφικών παραστάσεων θα πρέπει να γίνεται σε χαρτί χιλιοστομετρικό (μιλλιμετρέ ή millimetre), για να διευκολύνεται η εύρεση των πειραματικών σημείων πάνω στο διάγραμμα. Στους άξονες σημειώνουμε πάντα τα φυσικά μεγέθη με τα σύμβολά τους και τις μονάδες μέτρησής τους, μέσα σε παρένθεση. Για παράδειγμα: δύναμη F(N), χρόνος t (sec). Οι πειραματικές τιμές των μεγεθών, μας καθορίζουν την εκλογή της μονάδας κλίμακας στους άξονες, έτσι ώστε να βρίσκονται εύκολα τα δεκαδικά κλάσματα Εις.4

28 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Γενική εισαγωγή για την διεξαγωγή εργαστηριακών πειραμάτων της μονάδας, π.χ. δέκατα, εκατοστά, χιλιοστά. Όλες οι τιμές των πειραματικών μεγεθών πρέπει να απεικονίζονται στο διάγραμμα. Δηλαδή η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή κάθε άξονα καθορίζεται από την ελάχιστη και τη μέγιστη πειραματική τιμή. Η επιλογή της κλίμακας πρέπει να είναι τέτοια, ώστε η γραφική παράσταση να εκτείνεται σε όσο το δυνατό μεγαλύτερο μέρος του χαρτιού. Οι άξονες x και y δεν είναι αναγκαίο να έχουν την ίδια βαθμονόμηση. Δεν είναι αναγκαίο το σημείο τομής των αξόνων να είναι το (0,0). Τις πειραματικές τιμές δεν τις γράφουμε πάνω στους άξονες. Αυτές απλά προσδιορίζονται με τη βοήθεια των κλιμάκων στους αντίστοιχους άξονες. Κάθε πειραματικό σημείο παριστάνεται με μια κουκκίδα ώστε να φαίνεται καθαρά πάνω στη γραφική παράσταση. ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Όταν γράφουμε έναν δεκαδικό αριθμό, το σύμβολο που χωρίζει το ακέραιο από το δεκαδικό μέρος του αριθμού συμβολίζεται είτε με κόμμα (,) είτε με τελεία (.), π.χ,3 ή.3. Στις παρούσες σημειώσεις χρησιμοποιείται η τελεία (.) σαν το σύμβολο που χωρίζει το ακέραιο από το δεκαδικό μέρος ενός αριθμού, π.χ m. Προσοχή όμως όταν γράφετε αριθμούς σε ένα πρόγραμμα δημιουργίας λογιστικών φύλλων (excel) θα πρέπει να είστε προσεκτικοί για το ποιο από τα παραπάνω δύο σύμβολα ζητάει το συγκεκριμένο πρόγραμμα ώστε να χωρίζει το ακέραιο από το δεκαδικό μέρος του αριθμού. Εις.5

29 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 1 Σφάλματα μετρήσεων Α Σ Κ Η Σ Η 1 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Απαραίτητες γνώσεις Διαστημόμετρο με βερνιέρο, τυχαία σφάλματα άμεσων και έμμεσων μετρήσεων. Σκοπός του πειράματος Η εκμάθηση - πρακτική της χρήσης οργάνων ακριβείας για την μέτρηση του μήκους και η χρήση σφαλμάτων στην επεξεργασία των μετρήσεων. Απαραίτητα όργανα για τη διεξαγωγή του πειράματος Στερεά σώματα διαφόρων σχημάτων. Διαστημόμετρο με βερνιέρο. Θεωρία (Η θεωρία της εισαγωγής των Εργαστηριακών Σημειώσεων). Πίνακας 1.1 Όγκοι στερεών σωμάτων 1.1

30 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 1 Σφάλματα μετρήσεων Οδηγίες για την εκτέλεση του πειράματος Στον πάγκο εργασίας σας υπάρχουν διάφορα στερεά σώματα. Για κάθε στερεό σώμα: 1. Μετρήστε με το παχύμετρο (διαστημόμετρο με βερνιέρο) τις απαραίτητες διαστάσεις που χρειάζεστε ώστε να μπορείτε να υπολογίσετε τον όγκο του.. Κάντε ένα σχήμα του στερεού και σημειώστε επάνω σε αυτό (χρησιμοποιώντας μεταβλητές x, y, z,...) τις διαστάσεις που μετράτε. 3. Μετρήστε την κάθε διάσταση από 3 φορές το κάθε μέλος της Ομάδας. Επειδή το κάθε σώμα δεν έχει ιδανικό σχήμα, να μετράτε την κάθε διάσταση σε διαφορετικές θέσεις κάθε φορά. 4. Τα αποτελέσματα να καταχωρηθούν σε πίνακες της μορφής: Διακρίτική ικανότητα βερνιέρου: ± Διακρίτική ικανότητα διαστημόμετρου: ± Προσοχή: Τα δεκαδικά ψηφία των μετρήσεων να είναι συνεπή με την διακριτική ικανότητα του οργάνου μέτρησης. Πίνακας μετρήσεων και υπολογισμών 1.1 Μετρήσεις 1 η η 3 η 4 η 5 η 6 η 7 η 8 η 9 η μέση Σώμα: τιμή... x x = y y = z z = Επεξεργασία των μετρήσεων Για κάθε στερεό σώμα: 1. Υπολογίστε την μέση τιμή κάθε διάστασης και το τυπικό σφάλμα της μέσης τιμής σ avg (από την σχέση [6] της εισαγωγής). Στον υπολογισμό του τυπικού σφάλματος της μέσης τιμής σ avg της κάθε διάστασης (αν γίνει με υπολογισμό χωρίς την χρήση excel), θα σας βοηθήσει ένας πίνακας της μορφής: Πίνακας υπολογισμών 1. x i (mm) x i (mm) xi x (mm) x x (mm) i Σ x i x = 1.

31 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 1 Σφάλματα μετρήσεων Τα αποτελέσματα να γραφούν ως εξής: x 1 ± σ χ avg = ± (m) y ± σ y avg = ± (m) z ± σ z avg = ± (m). Με την βοήθεια του πίνακα 1.1 «Όγκοι στερεών σωμάτων» γράψτε την μαθηματική σχέση που δίνει τον όγκο του στερεού σώματος. V Να υπολογίσετε την μέση τιμή του όγκου (στις διαστάσεις χρησιμοποιήστε τις μέσες τιμές που υπολογίσατε) και το πιθανό σφάλμα (σχέση [9] στην εισαγωγή). Γράψτε το αποτέλεσμα: V = ±... (μονάδες) (τιμή) (σφάλμα) Σημείωση: Προσέχτε ώστε να εφαρμόσετε όλους τους κανόνες μέτρησης και επεξεργασίας, (δηλ. σημαντικά ψηφία, δεκαδικά ψηφία, στρογγυλοποίηση, κ.λ.π.) όπως περιγράφονται στην εισαγωγή των Εργαστηριακών Σημειώσεων). Απαντήστε στις παρακάτω (υποχρεωτικές) ερωτήσεις: 1. Αν η ακρίβεια του όργανου μέτρησης είναι ± 0.01 mm ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις των μετρήσεων σας είναι σωστές: α) 8 mm β) 8.0 mm, γ) 8.00 mm, δ) 8.Μ mm όπου Μ είναι το τελευταίο νούμερο από τον αριθμό του φοιτητικού σας μητρώου.. Ποιο είναι το σφάλμα σ χ του μήκους χ=α-β, όπου το σφάλμα των μηκών α και β είναι: σ α =±(Μ+1)/10 mm, σ β =±(Μ-)/10 mm), όπου Μ είναι το τελευταίο νούμερο από τον αριθμό του φοιτητικού σας μητρώου. 3. Ποιο είναι το σφάλμα σ χ του μήκους χ=α+β, όπου η διακριτική ικανότητα (resolution) του μέτρου σας είναι 0.Μ mm, όπου Μ είναι το τελευταίο νούμερο από τον αριθμό του φοιτητικού σας μητρώου. 4. Να υπολογίσετε με την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων την κλίση b της ευθείας y=bx+α, που ικανοποιεί τα ζεύγη τιμών (y,x: 0,0 4, 9,3 0,5) 5. Να σχεδιάσετε σε χαρτί millimetre την ευθεία που έχει εξίσωση y=bx+α, όπου b= ms - και α=1 m. Βάλτε μονάδες στους άξονες y και x. 1.3

32 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση Υπολογισμός της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας με διάφορους μεθόδους ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Α Σ Κ Η Σ Η A&B ΑΠΛΟ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΕΠΤΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ Σκοπός του Πειράματος Ο υπολογισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας g, χρησιμοποιώντας: α) ένα Απλό Εκκρεμές, β) ένα Αντιστρεπτό Εκκρεμές μεταβλητού κέντρου βάρους (Κ.Β). Α. Απλό Εκκρεμές Απαραίτητες γνώσεις Απλή αρμονική ταλάντωση, απλό εκκρεμές, επιτάχυνση της βαρύτητας. Απαραίτητα όργανα Απλό εκκρεμές Βάση στήριξης Μετροταινία 1.50 m, διακριτικής ικανότητας +1 mm Φωτοδιακόπτης Ηλεκτρονικό χρονόμετρο 4 Καλώδια ηλεκτρικών συνδέσεων Μέθοδος Η επιτάχυνση της βαρύτητας g υπολογίζεται μετρώντας την περίοδο της ταλάντωσης ενός απλού εκκρεμούς για γνωστά διαφορετικά μήκη ταλάντωσης l. Επειδή το τετράγωνο της περιόδου ταλάντωσης εξαρτάται ανάλογα από το μήκος ταλάντωσης l, ενώ το g δεν αλλάζει με αυτό, από την κλίση και το σφάλμα της κλίσης της γραφικής παράστασης της ευθείας επιτάχυνση της βαρύτητας g και το σφάλμα έμμεσης μέτρησης δ g. Περιγραφή των οργάνων Τ = f(l), υπολογίζεται έμμεσα Στο πείραμα αυτό χρησιμοποιείται το απλό εκκρεμές το οποίο αποτελείται από μια μικρή σφαίρα, εξαρτημένη με ένα θεωρητικά αβαρές μη εκτατό νήμα από κάποιο σταθερό σημείο. Θεωρούμε ότι η μάζα της σφαίρας είναι συγκεντρωμένη στο κέντρο βάρους της οπότε το εκκρεμές αυτό μπορεί να θεωρηθεί σαν εκκρεμές σημειακής μάζας. Ο φωτοδιακόπτης και το ηλεκτρονικό χρονόμετρο περιγράφονται στο πείραμα 8. A-B.1

33 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση Υπολογισμός της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας με διάφορους μεθόδους Θεωρία Η κίνηση ενός απλού εκκρεμούς, για μικρές γωνίες εκτροπής από τη θέση ισορροπίας, είναι ένα παράδειγμα απλής αρμονικής κίνησης. Σαν απλό εκκρεμές ορίζεται ένα ιδανικό σύστημα, που περιλαμβάνει μια σημειακή μάζα m η οποία είναι εξαρτημένη από ένα σημείο Ο με ένα μη εκτατό αβαρές νήμα μήκους l και αμελητέας μάζας (σχήμα.1) Αν εκτρέψουμε το εκκρεμές από τη θέση ισορροπίας του, έτσι ώστε το νήμα να σχηματίζει γωνία θ ο με την κατακόρυφο και κατόπιν το αφήσουμε ελεύθερο, αυτό θα ταλαντωθεί σε κατακόρυφο επίπεδο. Η εξίσωση κίνησης της σημειακής μάζας θα μας προσδιορίσει τη φύση της ταλάντωσης. Η σημειακή μάζα κινείται πάνω σ' ένα τόξο ακτίνας l=οα. Οι δυνάμεις που ασκούνται σε αυτή είναι το βάρος της mg και η δύναμη Τ του νήματος. Η εφαπτομενική συνιστώσα της δύναμης του βάρους, F T, όπως φαίνεται και στο σχήμα.1 είναι η δύναμη επαναφοράς που δρα πάνω στην μάζα m. Ισχύει: F T = - mgημθ [.1] Σχήμα.1 Οι δυνάμεις στη σφαίρα ενός απλού εκκρεμούς. (το πρόσημο μείον δηλώνει ότι αυτή είναι αντίθετης φοράς από την απομάκρυνση S = CA. Για την εφαπτομενική κίνηση θα ισχύει η εξίσωση: όπου α Τ είναι η εφαπτομενική επιτάχυνση και ισούται με: F T = mα Τ [.] a T l d dt [.3] A-B.

34 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση Υπολογισμός της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας με διάφορους μεθόδους Από τις εξισώσεις [.1], [.] και [.3] προκύπτει: d g sin 0 dt l [.4] Για μικρή γωνία θ (δηλαδή μικρό μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης θ max =θ ο ) μπορούμε να θέσουμε όπου sinθ = θ, με τη θ εκφρασμένη σε ακτίνια, και η [.4] γίνεται: d g dt l 0 [.5] Η διαφορική εξίσωση [.5] δείχνει ότι η γωνιακή ταλάντωση ενός απλού εκκρεμούς είναι απλή αρμονική κίνηση με γωνιακή συχνότητα ω: [.6] Η λύση της εξίσωσης [.5] μας δίνει την γωνιακή μετατόπιση : g l θ = θ ο sin(ωt + α ) Όταν το πλάτος της ταλάντωσης είναι μικρό, sinθ θ και η κίνηση του εκκρεμούς είναι προσεγγιστικά απλή αρμονική. Από την εξίσωση [.6] παίρνουμε την περίοδο του απλού εκκρεμούς: T o 1 f l g [.7] Στη περίπτωση που το πλάτος της ταλάντωσης δεν είναι μικρό ισχύει sinθ θ. Τότε ο τύπος που μας δίνει την περίοδο του απλού εκκρεμούς εξαρτάται από τη μέγιστη γωνιακή μετατόπιση θ ο, και υπολογίζεται από μια απειροσειρά, όπως φαίνεται από την παρακάτω σχέση: T l 1 o o 1 sin sin... g.4 l g o 4 o T (1 sin sin...) [.8] A-B.3

35 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση Υπολογισμός της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας με διάφορους μεθόδους Σχήμα. Καμπύλη απόκλισης της περιόδου ενός απλού εκκρεμούς συναρτήσει του μέγιστου πλάτους ταλάντωσης θ ο. Το διάγραμμα της καμπύλης απόκλισης της περιόδου ενός απλού εκκρεμούς συναρτήσει του πλάτους θ ο απεικονίζεται στο σχήμα... Η περίοδος υπολογίζεται από την σχέση [.7] για πολύ μικρά πλάτη ταλάντωσης. Σημείωση: μόνο για πολύ μεγάλα πλάτη η περίοδος διαφέρει από την Τ ο. Όταν θ ο < 3 ο η περίοδος διαφέρει από την Τ ο λιγότερο από 1%. Στο πείραμα αυτό, αν δεχτούμε ότι το νήμα εξάρτησης είναι αβαρές και η μάζα της σφαίρας είναι συγκεντρωμένη στο κέντρο βάρους της, τότε για μικρές γωνίες εκτροπής (θ ο <5 ο ), η περίοδος του εκκρεμούς δίνεται από την σχέση [.7] από όπου προκύπτει ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας g/4π είναι η κλίση της ευθείας y=bx+α: l g T 4 τα l και T έχουν γραμμική σχέση της μορφής y bx a, g όπου y l, b, x T 4 [.9] Όμως σε πραγματικές συνθήκες το νήμα έχει βάρος καθώς επίσης η ύπαρξη ενός κάποιου συστήματος εξάρτησης έχει σαν αποτέλεσμα να διαφέρει το κέντρο βάρους (Κ.Β.) της σφαίρας από το γεωμετρικό της κέντρο. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα το μήκος l να μην αντιστοιχεί στην απόσταση του σημείου στήριξης από το γεωμετρικό κέντρο της σφαίρας. Επομένως τόσο η θέση του Κ.Β. του εκκρεμούς, όσο και το μήκος l του ισοδύναμου του απλού εκκρεμούς είναι άγνωστα. Για να ξεπεράσουμε την δυσκολία στον προσδιορισμό του l ακολουθούμε την εξής τεχνική: Δένουμε κόμπο σε κάποιο σημείο Α του νήματος. Ονομάζουμε l 1 την απόσταση του Α από το σημείο εξάρτησης και l την απόσταση του Α από το Κ.Β. της σφαίρας (σχήμα.3). A-B.4

36 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση Υπολογισμός της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας με διάφορους μεθόδους Σχήμα.3 Πειραματική διάταξη απλού εκκρεμούς, l =l 1 +l. Ισχύει ότι : l =l 1 +l [.10] Λόγω της [.10] η [.9] γίνεται: g l l T 4 g l T l [.11] που είναι γραμμική σχέση μεταξύ l 1 και Τ της μορφής g y bx a, όπου y l, b, l 4 1 Η εξίσωση αυτή περιγράφει μια γραμμική σχέση ανάμεσα στο l 1 και το Τ. Άρα η τιμή του g προσδιορίζεται από την κλίση b=g /4π, της ευθείας l 1 = f(τ ), που προκύπτει από μετρήσεις της περιόδου Τ για διάφορα μήκη l 1. Επίσης η απόσταση l του κόμπου από το Κ.Β. της σφαίρας προσδιορίζεται από την "τεταγμένη επί την αρχή" της ευθείας l 1 =f(τ ), (δηλ. το σημείο που η ευθεία τέμνει τον κάθετο άξονα). Οδηγίες για την εκτέλεση του πειράματος 1. Κάνετε την συνδεσμολογία του φωτοδιακόπτη με το ηλεκτρονικό χρονόμετρο. Επειδή ο ίδιος φωτοδιακόπτης δίνει το σήμα έναρξης και παύσης μέτρησης του A-B.5

37 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση Υπολογισμός της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας με διάφορους μεθόδους χρονόμετρου (σχήμα.4), η είσοδος start και η είσοδος stop του ηλεκτρονικού χρονόμετρου συνδέονται με διαφορετικά καλώδια πάνω στην μοναδική έξοδο ausgang του φωτοδιακόπτη. Η υποδοχή 5V του φωτοδιακόπτη συνδέεται με καλώδιο με την αντίστοιχη υποδοχή των 5V του χρονόμετρου. Τέλος η υποδοχή της γείωσης του φωτοδιακόπτη συνδέεται με καλώδιο με την αντίστοιχη υποδοχή γείωσης του χρονόμετρου. Οδηγίες για την λειτουργία του χρονόμετρου και του φωτοδιακόπτη που υπάρχουν στο πείραμα 8.. Ρυθμίστε το μήκος l 1 από τον κόμπο μέχρι το σημείο εξάρτησης του εκκρεμούς (βλέπε Σχήμα.3) ώστε l 1 =0.15(m). Ρυθμίστε κατάλληλα τη θέση του φωτοδιακόπτη και την θέση ανάρτησης του νήματος του εκκρεμούς ώστε το νήμα να «κόβει» την υπέρυθρη φωτεινή δέσμη του φωτοδιακόπτη. Προσπαθήστε να ρυθμίσετε το φωτοδιακόπτη έτσι, ώστε η σφαίρα να είναι όσο το δυνατόν πιο συμμετρικά μέσα σ αυτόν. 3. Εκτρέψτε το απλό εκκρεμές κατά μία μικρή γωνία και μετρήστε με το ηλεκτρονικό χρονόμετρο τον χρόνο μιας περιόδου, Τ. Η περίοδος μετράται σαν το άθροισμα δύο τμημάτων της περιόδου, ένα δεξιά και ένα αριστερά της φωτεινής δέσμης του φωτοδιακόπτη. Στο σχήμα.4 η t αρ συμβολίζει το τμήμα της πειόδου αριστερά και t δε το τμήμα της περιόδου δεξιά, Τ=t αρ +t δε. Η διαδικασία είναι η εξής: Σχήμα.4 Μέτρηση περιόδου Τ. Απομακρύνετε την σφαίρα κατά μικρή γωνία από την θέση ισορροπίας της και αφήστε την να εκτελέσει ταλαντώσεις. Κατά την διάρκεια των ταλαντώσεων αρχικά μηδενίζετε το χρονόμετρο που είναι συνδεδεμένο με τον φωτοδιακόπτη πρώτα την στιγμή που η σφαίρα βρίσκεται από την πλευρά (Ι) του φωτοδιακόπτη (σχήμα.4). Μόλις το νήμα της σφαίρας περάσει από την θέση (Γ) ενεργοποιεί το χρονόμετρο που αρχίζει να μετρά τον χρόνο μέχρι να ξαναπεράσει το νήμα από την θέση (Γ). Έτσι το χρονόμετρο μετράει τον χρόνο t αρ που χρειάζεται η σφαίρα για να κάνει την διαδρομή (ΓΒΓ). Στην συνέχεια και κατά την διάρκεια των ίδιων ταλαντώσεων μηδενίζετε και πάλι το χρονόμετρο την στιγμή που η σφαίρα βρίσκεται από την πλευρά (ΙΙ) του φωτοδιακόπτη. Τώρα το χρονόμετρο μετράει τον χρόνο t δε που χρειάζεται η σφαίρα για να κάνει την διαδρομή (ΓΑΓ). Η περίοδος Τ της ταλάντωσης είναι A-B.6

38 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση Υπολογισμός της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας με διάφορους μεθόδους το άθροισμα των δύο χρόνων t αρ και t δε. (Δηλαδή Τ = t αρ + t δε ). Προσοχή: το χρονόμετρο το ρυθμίζετε να έχει διακριτική ικανότητα μέτρησης ±0.001 s. 4. Εκτελέστε τις οδηγίες (1) και () για 8-10 διαφορετικά μήκη l 1, μετρώντας τον χρόνο φορές για κάθε μήκος. Φροντίστε ώστε αυτά να διαφέρουν μεταξύ τους ~ 5 cm. 5. Καταχωρείστε τις μετρήσεις σας σε πίνακα της μορφής: Πίνακας μετρήσεων και υπολογισμών.1 α/α l 1 (m) t αρ (s) t δε (s) T=t αρ + t δε (s) T (s) 1 T (s ) Επεξεργασία των μετρήσεων 1. Υπολογίστε για κάθε μήκος l 1, την περίοδο T, την μέση περίοδο T και το τετράγωνο της μέσης περιόδουt και συμπληρώστε τις αντίστοιχες στήλες του πίνακα.1.. Κάνετε την γραφική παράσταση l 1 =f(τ ) με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Η σχέση των l 1 και T είναι γραμμική και η καμπύλη σας θα έχει την μορφή ευθείας, y=α+bx. (Στην περίπτωση μας l 1 =α+bt ). Τις τιμές των α και b τις υπολογίζετε από τις σχέσεις (17) και (18) της εισαγωγής, καθώς και τα σφάλματα αυτών σ α και σ b από τις σχέσεις (0) και (1) της εισαγωγής στις σελίδες Εις.16-Εις.17 των Εργαστηριακών Σημειώσεων. Η γραφική παράσταση να σχεδιαστεί σε χαρτί μιλλιμετρέ με τον τρόπο που περιγράφεται στις σελίδες Εις.17 και Εις.18. Από την κλίση της ευθείας της σχέσης [.11] να υπολογίστε την επιτάχυνση της βαρύτητας g. Επίσης από τον σταθερό όρο της σχέσης [.11] υπολογίσετε την απόσταση l του κόμπου του νήματος του εκκρεμούς από το Κ.Β. της σφαίρας του πειράματος και σημειώστε το πάνω στην γραφική παράσταση l 1 = f(τ ). 3. Υπολογίστε το ολικό πιθανό σφάλμα δ g του g από τη σχέση (1) της σελίδας Εις.17 σε συνδυασμό με την σχέση (9) της σελ. Εις.8 (το g υπολογίζεται έμμεσα από την κλίση b της ευθείας της σχέσης [.11], g f () b. Αναλυτικότερα : A-B.7

39 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση Υπολογισμός της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας με διάφορους μεθόδους g b g b g f b 4 4, ( ) ( g) ( g) g b b b b [.1] 4. Υπολογίστε το σφάλμα σ l του μήκους του νήματος l, μεταξύ κόμπου και Κ.Β. της σφαίρας, από το σφάλμα του σταθερού όρου α της ευθείας της σχέσης [.11]. Αναλυτικότερα: l = α σ = σ l α Γράψτε τα αποτέλεσματα: g= ±... (μονάδες) (τιμή) (σφάλμα) l = ±... (μονάδες) (τιμή) (σφάλμα) Σημείωση: Προσέξτε ώστε να εφαρμόσετε όλους τους κανόνες μέτρησης, επεξεργασίας, γραφικών παραστάσεων, σύγκρισης και αναγραφής αποτελέσματος (δηλ. σημαντικά ψηφία, δεκαδικά ψηφία, στρογγυλοποίηση, κλίμακες στους άξονες των γραφικών παραστάσεων κ.λ.π.) όπως περιγράφονται στην εισαγωγή. Β. Αντιστρεπτό Εκκρεμές Απαραίτητες γνώσεις Φυσικό εκκρεμές, απλό εκκρεμές, γωνιακή αρμονική ταλάντωση, ροπή αδράνειας, θεώρημα του Steiner, ανηγμένο μήκος εκκρεμούς. Απαραίτητα όργανα Αντιστρεπτό εκκρεμές μεταβλητού Κ.Β και σταθερών σημείων ανάρτησης Ηλεκτρονικό Χρονόμετρο Φωτοδιακόπτης 4 καλώδια ηλεκτρικών συνδέσεων Μετροταινία 1.50 m, διακριτικότητας ± 1 mm Περιγραφή των οργάνων Η πειραματική διάταξη του διπλανού σχήματος έχει ύψος.0 m Το στέλεχος του εκκρεμούς, πάνω στο οποίο μπορεί να ολισθαίνουν δύο μάζες, έχει μήκος 1.65 m και φέρει δυο σταθερά σημεία ανάρτησης του εκκρεμούς (αιχμηρές ακμές). Η μία αιχμή τοποθετείται σε μια άρθρωση, που βρίσκεται στο πάνω μέρος ενός σταθερού μεταλλικού στύλου, στο οποίο στηρίζεται το εκκρεμές. Οι δυο μεταλλικές πλάκες, A-B.8

40 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση Υπολογισμός της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας με διάφορους μεθόδους μια με μάζα 1400 gr ανάμεσα στις δυο ακμές και μια άλλη με μάζα 1000 gr έξω από τις δυο αιχμηρές ακμές μαζί με τη μάζα της ράβδου, αποτελούν την μάζα του εκκρεμούς. Οι δύο μεταλλικές πλάκες μπορούν να μετακινηθούν πάνω στην ράβδο δίνοντας έτσι την δυνατότητα ρύθμισης διαφορετικού Κ.Β. πάνω στη ράβδο του εκκρεμούς. Η περίοδος ταλάντωσης του εκκρεμούς εξαρτάται από την απόσταση που έχει το Κ.Β. της μάζας του από το σημείο ανάρτησης. Το αντιστρεπτό εκκρεμές παρουσιάζει την ίδια περίοδο ταλάντωσης όταν αναρτηθεί από τις δύο διαφορετικές θέσεις ανάρτησης του μόνο για μια συγκεκριμένη κατανομή της μάζας του, δηλ. μόνο για μια συγκεκριμένη θέση του Κ.Β. του. Για όλες τις άλλες διαφορετικές θέσεις Κ.Β. του έχει διαφορετικές περιόδους ταλάντωσης. Θεωρία Φυσικό εκκρεμές Φυσικό εκκρεμές ονομάζουμε κάθε στερεό σώμα, που έχει κάποια κατανομή μάζας, και το οποίο έχει τη δυνατότητα να ταλαντώνεται και να περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, ο οποίος δεν περνά από το κέντρο βάρους του. Σχήμα.6 Φυσικό εκκρεμές Το S είναι το κέντρο βάρους. Ο Άξονας περιστροφής ΖΖ είναι οριζόντιος και περνάει από το σημείο Α. Το σώμα, που απεικονίζεται στο Σχήμα.6, έχει τη δυνατότητα να περιστραφεί γύρω από τον σταθερό οριζόντιο άξονα ΖΖ, που περνά από το σημείο Α (σημείο εξάρτησης Α) και εκτελεί γωνιακή ταλάντωση. Θα μελετήσουμε τη χρονική μεταβολή της γωνίας εκτροπής φ, που σχηματίζει η γραμμή ΑS με την κατακόρυφο. Το βάρος του εκκρεμούς προκαλεί ροπή επαναφοράς -mgs A sinφ και το σώμα αποκτά d γωνιακή επιτάχυνση a. dt Από το ο Νόμο του Newton της δυναμικής για την περιστροφική κίνηση του στερεού σώματος θα ισχύει η σχέση : I A d mgs sin A dt [.13] Στη σχέση αυτή η Ι Α είναι η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον οριζόντιο άξονα ΖΖ, m είναι η μάζα του εκκρεμούς, g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας και SA είναι η απόσταση μεταξύ του άξονα Α και του κέντρου βάρους S. Επειδή η ροπή επαναφοράς αντιτίθεται στην αύξηση της γωνίας φ, έχει αρνητικό πρόσημο. A-B.9

41 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση Υπολογισμός της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας με διάφορους μεθόδους Για ταλαντώσεις μικρού πλάτους θεωρούμε ότι sinφ ~ φ και η εξίσωση της κίνησης γίνεται: d mgs [.14] dt A 0 la Από τη διαφορική εξίσωση [.14] προκύπτει ότι η γωνιακή συχνότητα είναι : mgs A ω = [.15] I A δηλαδή η γωνιακή αρμονική ταλάντωση είναι απλή αρμονική κίνηση με γωνιακή συχνότητα ω. Η περίοδος του φυσικού εκκρεμούς δίνεται από τον τύπο : T A I mgs A [.16] A Αν ονομάσουμε Ι S τη ροπή αδράνειας ως προς το κέντρο βάρους S, τότε η ροπή αδράνειας Ι Α ως προς το κέντρο της κίνησης Α θα δίνεται, σύμφωνα με το θεώρημα του Steiner, από τη σχέση : Ι Α = Ι S + ms A [.17] Ανηγμένο μήκος του φυσικού εκκρεμούς : ονομάζουμε το μήκος l A ενός απλού εκκρεμούς, που έχει την ίδια περίοδο με το φυσικό εκκρεμές, όταν αυτό έχει σημείο ανάρτησης το Α. Δίνεται από τη σχέση : I A la [.18] ms A Αν προεκτείνουμε την ευθεία, που ενώνει το κέντρο της κίνησης Α με το κέντρο βάρους S προς το μέρος του S κατά ίσο μήκος με l A, τότε βρίσκουμε ένα νέο σημείο Μ Α, που ονομάζεται κέντρο αιώρησης του εκκρεμούς, επίσης ως προς τον άξονα Α. Στο σημείο αυτό (Μ Α ) θα μπορούσε να θεωρηθεί συγκεντρωμένη ολόκληρη η μάζα του φυσικού εκκρεμούς, χωρίς η περίοδός του να αλλάξει. Αντικαθιστώντας στη μαθηματική έκφραση [.18], που δίνει το ανοιγμένο μήκος του φυσικού εκκρεμούς, τη ροπή αδράνειας από την [.17] προκύπτει ότι : l A I S sa [.19] msa Αν τώρα θεωρήσουμε το κέντρο αιώρησης Μ Α σαν το σημείο εξάρτησης, στην περίπτωση αυτή, το ανηγμένο μήκος του εκκρεμούς θα είναι : A-B.10

42 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση Υπολογισμός της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας με διάφορους μεθόδους l M I S l A s A [.0] ml A s A Από την [.18] έχουμε : I S la- s A= ms [.1] A και αντικαθιστώντας την [.1] στην [.0] βρίσκουμε τελικά ότι l M = l A. Επομένως, αν ένα φυσικό εκκρεμές είναι εξαρτημένο από το σημείο Α και κατόπιν εξαρτηθεί από το κέντρο αιώρησης Μ Α, η περίοδός του δεν θα αλλάξει. Αυτό το γεγονός χρησιμοποιείται στην περίπτωση του αντιστρεπτού εκκρεμούς. Αντιστρεπτό εκκρεμές Σύμφωνα με τα παραπάνω, αντιστρεπτό εκκρεμμές είναι ένα φυσικό εκκρεμές του οποίου ο άξονας αιώρησης μπορεί να γίνει άξονας εξάρτησης και αντίστροφα. Δηλαδή υπάρχουν δύο σημεία εξάρτησης πάνω στο αντιστρεπτό εκκρεμές, γύρω από τα οποία αν ταλαντωθεί το εκκρεμές θα έχει την ίδια περίοδο. Το ανηγμένο μήκος l A του αντιστρεπτού εκρεμούς είναι η απόσταση ανάμεσα σε αυτά τα σημεία εξάρτησης. Σκοπός του πειράματος Ο σκοπός του πειράματος αυτού είναι να υπολογίσουμε την τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας g χρησιμοποιώντας ένα αντιστρεπτό εκκρεμές. Μέθοδος του πειράματος Μεταβάλλουμε την κατανομή των μαζών μέχρι να βρεθεί μια συγκεκριμένη θέση στην οποία οι περίοδοι ταλάντωσης για τα δυο διαφορετικά προκαθορισμένα σημεία ανάρτησης του εκκρεμούς θα γίνουν ίσες. Από την σχέση [.18] ισχύει ότι Αντικαθιστώντας την τιμή του επιτάχυνσης της βαρύτητα g ως εξής: I l ms A A A I στην εξίσωση [.16] υπολογίζουμε την A I I l ms l T T 4 T 4 A A A A A A A A mgsa mgsa mgsa g g 4 la TA [.] A-B.11

43 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση Υπολογισμός της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας με διάφορους μεθόδους Από την εξίσωση [.] μπορούμε να βρούμε την επιτάχυνση της βαρύτητας g, αν ξέρουμε την περίοδο Τ Α και το ανηγμένο μήκος του φυσικού εκκρεμούς l A. Το ανηγμένο μήκος εκκρεμούς l A του αντιστρεπτού ισούται με το διάστημα ανάμεσα στα δυο αιχμηρά σημεία εξάρτησης του και μπορεί να μετρηθεί με ακρίβεια με μια μετροταινία. Οδηγίες για την εκτέλεση του πειράματος 1. Μετακινήστε τις δυο ολισθαίνουσες μεταλλικές μάζες ώστε να έλθουν πολύ κοντά, και έτσι ώστε η μία αιχμηρή ακμή του αντιστρεπτού εκκρεμούς να είναι μεταξύ αυτών. Η απόσταση μεταξύ των δύο μαζών πρέπει να είναι τέτοια ώστε να είναι δυνατόν το εκκρεμές να εξαρτηθεί από αυτή την αιχμηρή ακμή.. Ονομάζουμε αυτήν την θέση ταλάντωσης ως πάνω θέση ταλάντωσης. Εκτρέψτε το εκκρεμές κατά μικρή γωνία από τη θέση ισορροπίας του και μετρήστε με το ηλεκτρονικό χρονόμετρο το χρόνο ενός τμήματος της περιόδου ταλάντωσης t δε, π.χ. προς τα δεξιά του φωτοδιακόπτη. Στη συνέχεια μετρήστε και το χρόνο του τμήματος της περιόδου ταλάντωσης t αρ, προς τα αριστερά του φωτοδιακόπτη. Η περίοδος για την πάνω θέση ταλάντωσης Τ πάνω υπολογίζεται από το αλγεβρικό άθροισμα των δύο αυτών χρόνων. Δηλαδή Τ πάνω = t δε +t αρ. Προσοχή: το χρονόμετρο το ρυθμίζετε να έχει διακριτική ικανότητα μέτρησης s. 3. Ξεκρεμάστε το εκκρεμές και αναρτήστε το από την άλλη αιχμηρή ακμή του. Ονομάζουμε αυτήν την θέση ταλάντωσης ως κάτω θέση ταλάντωσης. Επαναλάβετε την παραπάνω διαδικασία μέτρησης της περιόδου ταλάντωσης Τ κάτω 4. Συγκρίνετε τους χρόνους Τ πάνω και Τ κάτω. Εάν οι δυο περίοδοι Τ πάνω και Τ κάτω δεν συμπίπτουν και στο ο δεκαδικό ψηφίο, απομακρύνετε λίγο την μια από τις δυο κινητές μάζες και επαναλάβετε τις μετρήσεις μέχρις ότου επιτύχετε την ελάχιστη δυνατή διαφορά μεταξύ των Τ πάνω και Τ κάτω. Αυτή η ίδια περίοδος είναι η περίοδος Τ Α του αντιστρεπτού εκκρεμούς. 5. Στη συνέχεια, χωρίς πλέον να αλλάξετε την θέση των κινητών μαζών, επαναλάβετε τρεις ακόμη φορές την μέτρηση της Τ Α (δύο όταν είναι ανηρτημένο από την μία ακμή και μία από την άλλη) για να υπολογίσετε την μέση τιμή της. 6. Καταχωρείστε τις μετρήσεις σας σε πίνακα της μορφής: A-B.1

44 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση Υπολογισμός της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας με διάφορους μεθόδους Πίνακας μετρήσεων και υπολογισμών. α/α t δε (s) t αρ (s) T Α =t αρ + t δε (s) T (s) 1 7. Μετρήστε την απόσταση μεταξύ των αιχμηρών ακμών, που είναι ίση με το ανηγμένο μήκος l A του εκκρεμούς. Επεξεργασία των μετρήσεων 1. Υπολογίστε τη μέση τιμή της περιόδου Τ Α και το σφάλμα της απόκλισης από την μέση τιμή σ ΤΑ.. Από τη σχέση [.] υπολογίστε την επιτάχυνση της βαρύτητας g και το σφάλμα δ g. Tο σφάλμα του δ g του g υπολογίζεται από την θεωρία υπολογισμού σφάλματος έμμεσων μετρήσεων με την εφαρμογή της σχέσης [9] της σελίδας Εις.8 στην συνάρτηση g=f(l A,T) της σχέσης [.]. Το σφάλμα σ la του l A είναι η διακριτική ικανότητα της μετροταινίας και το σφάλμα σ Τ υπολογίζεται από την τυπική απόκλιση της μέσης τιμής των μετρήσεων του Τ Α (Τ Α είναι η περίοδος ταλάντωσης του αντιστρεπτού εκκρεμούς που είναι ίδια και για τα δύο διαφορετικά σημεία ανάρτησης του αντιστρεπτού εκκρεμούς). 3. Γράψτε τα αποτέλεσματα με την μορφή: g= ±... (μονάδες) (τιμή) (σφάλμα) Συγκρίνετε την πειραματικά ευρεθείσα τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας g, με την τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας g= 9.80 m/sec, που αντιστοιχεί στο γεωγραφικό πλάτος των Χανίων (35 0 Ν) καθώς και με το g του 1 ου μέρους του πειράματος (χρησιμοποιήστε τη σχέση [8] της σελ. Εις.8). Σημείωση: Να εφαρμόσετε όλους τους κανόνες μέτρησης, επεξεργασίας, σύγκρισης και αναγραφής αποτελέσματος (δηλ. σημαντικά ψηφία, δεκαδικά ψηφία, στρογγυλοποίηση, κ.λ.π.) όπως περιγράφονται στην Εισαγωγή των Εργαστηριακών Σημειώσεων. Ερωτήσεις προετοιμασίας Αφού διαβάσετε την εργαστηριακή άσκηση Α και Β θα πρέπει να μπορείτε να απαντάτε στις παρακάτω ερωτήσεις: A-B.13

45 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση Υπολογισμός της Επιτάχυνσης της Βαρύτητας με διάφορους μεθόδους Άσκηση Α (Απλό εκκρεμές) 1. Ποιος είναι ο σκοπός του πειράματος;. Τι ορίζεται ως απλό εκκρεμές; 3. Ποιες δυνάμεις ασκούνται πάνω στη σημειακή μάζα; Ποια είναι η δύναμη επαναφοράς που δρα πάνω στη μάζα; 4. Από ποια μεγέθη εξαρτάται η περίοδος του απλού (μαθηματικού) εκκρεμούς; Ορίστε την σχέση που δίνει την περίοδο του απλού εκκρεμούς; 5. Ποια βασική προϋπόθεση πρέπει να ισχύει για την γωνία ταλάντωσης του απλού εκκρεμούς έτσι ώστε η κίνησή του να θεωρείται απλή αρμονική κίνηση (ταλάντωση) με γωνιακή συχνότητα ω; 6. Γιατί υπάρχει ο κόμπος στο νήμα; Γιατί χωρίζουμε δηλαδή το l σε l 1 και l ; Ποια προβλήματα επιλύονται με τον τρόπο αυτό; 7. Πως υπολογίζεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g από την γραφική παράσταση που θα κατασκευάσετε; Άσκηση Β (Αντιστρεπτό εκκρεμές) 1. Ποιος είναι ο σκοπός του πειράματος;. Ορίστε το φυσικό εκκρεμές. 3. Τι είδους κίνηση εκτελεί το φυσικό εκκρεμές; 4. Ποιος είναι ο τύπος που δίνει την περίοδο του φυσικού εκκρεμούς. Ποια φυσικά μεγέθη περιλαμβάνει; Ορίστε τα φυσικά αυτά μεγέθη. 5. Πως ορίζεται το ανηγμένο μήκος ενός φυσικού εκκρεμούς και πως το ανηγμένο μήκος ενός αντιστρεπτού εκκρεμούς; 6. Από ποια σχέση θα υπολογίσετε την επιτάχυνση της βαρύτητας g; Βιβλιογραφία Halliday-Resnick, Φυσική, Μέρος Α, κεφ. 15 Alonso- Finn, Θεμελιώδης Πανεπιστημιακή Φυσική, τόμος Ι, Μηχανική, κεφ.1 Μαθήματα Φυσικής, Πανεπ. Berkeley, τόμος Ι, Μηχανική, κεφ. 7-8 HUGH D. YOUNG, Φυσική, Μέρος Α, κεφ. 13. A-B.14

46 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 3 Στροφικές ταλαντώσεις ΣΤΡΟΦΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Α Σ Κ Η Σ Η 3 A ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΡΑΒΔΟΥ Απαραίτητες γνώσεις Ροπή αδράνειας, αρμονική ταλάντωση, περίοδος και πλάτος ταλάντωσης. Σκοπός του πειράματος Υπολογισμός της ροπής αδράνειας ράβδου ως προς τον άξονα τον κάθετο στην ράβδο που περνά από το κέντρο βάρους (κ.β.) της ράβδου. Μέθοδος Η ροπή αδράνειας Ι ράβδου υπολογίζεται μετρώντας την περίοδο της οριζόντιας στροφικής ταλάντωσης της ράβδου για γνωστά μήκη ταλάντωσης l και τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της ράβδου (μάζα m και μήκος d). Επειδή το τετράγωνο της περιόδου ταλάντωσης εξαρτάται ανάλογα από το μήκος ταλάντωσης l, ενώ η ροπή αδράνειας δεν αλλάζει με αυτό, από την κλίση και το σφάλμα της κλίσης της γραφικής παράστασης της ευθείας l f( Τ ), υπολογίζεται έμμεσα η ροπή αδράνειας Ι και το σφάλμα έμμεσης μέτρησης δ Ι. Για την ελάττωση των σφαλμάτων μέτρησης της περιόδου ταλάντωσης: (α) μετρείται ο χρόνος μεγάλου αριθμού ταλαντώσεων, (β) οι μετρήσεις αυτές επαναλαμβάνονται για περισσότερες από μια φορές. Θεωρία Ορισμός ροπής αδράνειας Η ροπή αδράνειας σημειακής μάζας m ως προς κάποιο καθορισμένο άξονα γύρω από τον οποίο περιστρέφεται, ορίζεται από το γινόμενο της μάζας επί το τετράγωνο της απόστασης r της μάζας, από τον άξονα. Δηλαδή: I = mr [3.1] Η ροπή αδράνειας όπως φαίνεται από τον ορισμό αλλάζει τιμή ανάλογα με την επιλογή του άξονα περιστροφής του σώματος άρα δεν είναι μονόμετρο μέγεθος, αλλά ούτε και διανυσματικό μέγεθος αφού η μάζα και το διάνυσμα θέσης στο τετράγωνο είναι μονόμετρα μεγέθη. (Το r είναι το εσωτερικό γινόμενο r r που έχει σαν αποτέλεσμα μονόμετρο μέγεθος). Το μέγεθος αυτό ονομάζεται τανυστικό. Η μονάδα μέτρησης της ροπής αδράνειας στο SI είναι 1kg.m. 3A.1

47 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 3 Στροφικές ταλαντώσεις Σχήμα 3.1 Στο σχήμα 3.1 φαίνεται ότι η ροπή αδράνειας μιας σημειακής μάζας ως προς δύο διαφορετικούς άξονες περιστροφής τους z 1 και z είναι διαφορετική γιατί mr 1 mr. Για ένα σύστημα n διακριτών υλικών σημείων, που το καθένα έχει μάζα m i, η ροπή αδράνειας ως προς έναν καθορισμένο άξονα είναι ίση με το άθροισμα των ροπών αδράνειας όλων των επί μέρους σημείων ως προς τον άξονα στον οποίο αναφέρεται το σύστημα. I n m r [3.] i1 i i Όταν η κατανομή μάζας είναι συνεχής, όπως στην περίπτωση υλικού σώματος, θεωρούμε ότι το σώμα διαιρείται σε στοιχειώδεις μάζες dm, που όλα τα σημεία, σε μια συγκεκριμένη στοιχειώδη μάζα dm απέχουν σχεδόν την ίδια απόσταση r από τον άξονα περιστροφής. Το άθροισμα, στην παραπάνω εξίσωση γίνεται ολοκλήρωμα, κι έτσι η ροπή αδράνειας υπολογίζεται από τη σχέση: I r r dm r 1 [3.3] Σχήμα 3.. Τιμές ροπής αδράνειας διαφόρων ομογενών σωμάτων 3A.

48 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 3 Στροφικές ταλαντώσεις Θεώρημα των παραλλήλων αξόνων (Steiner). Ο Steiner απέδειξε το εξής θεώρημα. Η ροπή αδράνειας Ι, για οποιοδήποτε άξονα περιστροφής ενός σώματος είναι ίση προς τη ροπή αδράνειας Ι κμ του σώματος ως προς άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας (κ.μ.) και είναι παράλληλος στον άξονα που αναφερόμαστε, συν τη ροπή αδράνειας που θα είχε το σώμα, ως προς τον άξονα που αναφερόμαστε, αν ήταν υλικό σημείο στο κέντρο μάζας του σώματος (δηλαδή αν όλη η μάζα του σώματος ήταν συγκεντρωμένη στο κ.μ.). Για το στερεό του σχήματος 3.3, η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα που είναι παράλληλος ως προς τον z και απέχει απόσταση x από τον z, η ροπή αδράνειας εκφράζεται με τη σχέση Ι = Ι κμ + mx [3.4] όπου x είναι η απόσταση του κ.μ. από τον ζητούμενο άξονα περιστροφής. Σχήμα 3.3 Θεώρημα του Steiner Κινητική ενέργεια σώματος που στρέφεται γύρω από καθορισμένο άξονα. Σχήμα 3.4 Στερεό που περιστρέφεται ως προς άξονα που περνά από το κ.μ. του. 3A.3

49 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 3 Στροφικές ταλαντώσεις Όταν ένα σώμα περιστρέφεται γύρω από ένα άξονα με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, (Σχήμα 3.4), οι γραμμικές ταχύτητες των σημείων του σώματος είναι ανάλογες των αποστάσεων r 1, r, r 3 αυτών από τον άξονα. Δηλαδή ισχύει: υ 1 = ω r 1, υ = ω r, υ 3 = ω r 3 Η κινητική ενέργεια δίνεται από την σχέση: E m1 1 m m1 r1 1 1 m1r 1 mr I 1 m r [3.5] Γενικά ανάμεσα στις σχέσεις που εκφράζουν αντίστοιχα μεγέθη της μεταφορικής και της περιστροφικής κίνησης υπάρχει μια αντιστοιχία. Για να γίνει αντιληπτή η αντιστοιχία αυτή δίνεται ο παρακάτω πίνακας: Αντιστοίχηση μεγεθών Μεταφορικής και Περιστροφικής κίνησης Μεταφορική κίνηση Περιστροφική κίνηση Μετατόπιση x Γωνιακή μετατόπιση θ Ταχύτητα u=dx/dt Γωνιακή ταχύτητα ω=dθ/dt Επιτάχυνση a =dv/dt Γωνιακή Επιτάχυνση α=dω/dt Μάζα m Ροπή αδράνειας I Δύναμη F=m a Ροπή τ=ia Έργο W=Fdx W= τdθ Κινητική ενέργεια ½ mu ½ Ιω Ισχύς P=Fv P=τω Ορμή mu Στροφορμή Ιω Θεωρία πειράματος Έστω μια ράβδος μάζας Μ και ροπής αδράνειας Ι, που κρέμεται από δύο παράλληλα νήματα AC και BD μήκους l που απέχουν μεταξύ τους απόσταση d, (σχήμα 3.5). Η τάση του νήματος σε κάθε ένα από αυτά είναι Mg/. Σχήμα 3.5 Στροφική ταλάντωση ράβδου σε οριζόντιο επίπεδο, περί το κ.μ. 3A.4

50 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 3 Στροφικές ταλαντώσεις Η ράβδος ταλαντώνεται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο περί των κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της. Αν στρέψουμε τη ράβδο κατά μικρή γωνία θ γύρω από τον οριζόντιο άξονα, και αν φ είναι η γωνία απόκλισης των νημάτων από την κατακόρυφη θέση τους, τότε για μικρές γωνίες ισχύει l d [3.6] Οι συνιστώσες των τάσεων των νημάτων προκαλούν δυνάμεις επαναφοράς στα σημεία C' και D' μέτρου F Mg sin Mg Mgd 4l [3.7] Η ροπή του ζεύγους των δυνάμεων επαναφοράς, που δρα στη ράβδο είναι Mgd d 4l [3.8] Η εξίσωση κίνησης της ράβδου είναι I d Mgd dt 4l d Mgd dt 4lI 0 [3.9] Η κίνηση που εκτελεί η ράβδος είναι απλή αρμονική ταλάντωση και η περίοδος υπολογίζεται από τη σχέση 16 T I l [3.10] Mgd Οδηγίες για την εκτέλεση του πειράματος Σχήμα 3.6 3A.5

51 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 3 Στροφικές ταλαντώσεις 1. Ζυγίστε την ράβδο και μετρήστε το μήκος της L, στην αρχή ή στο τέλος του πειράματος.. Κρεμάστε την ράβδο οριζόντια, όπως δείχνεται στο σχήμα 3.6, με τη βοήθεια αλφαδιού, από νήματα ίσου μήκους και μετρήστε το μήκος l των νημάτων. Πρώτα ρυθμίζεται το μήκος του ενός νήματος και μετά με την βοήθεια του αλφαδιού ρυθμίζεται και το άλλο νήμα στο ίδιο ύψος. Παρακάτω περιγράφεται αναλυτικά η σωστή διαδικασία ρύθμισης σύμφωνα με το σχήμα 3.6: Από τους κοχλίες Κ ελευθερώνετε τα νήματα και με τη χρήση ενός «μέτρου» ρυθμίζεται αυτά να έχουν το ίδιο μήκος l που επιλέξατε. Με τη βοήθεια αλφαδιού Λ, ρυθμίζετε την ράβδο ώστε αυτή να είναι σε εντελώς οριζόντια θέση. Η οριζόντια θέση της ράβδου επιτυγχάνεται μετακινώντας έναν από τους δύο συνδέσμους Σ, πάνω ή κάτω. Με την διαδικασία αυτή δεν αλλάζουμε τα μήκη των νημάτων. Ρυθμίστε η γωνία μου σχηματίζουν τα νήματα με την ράβδο να είναι περίπου Αυτό επιτυγχάνεται αλλάζοντας τη απόσταση ανάμεσα στις δύο βάσεις Β. 3. Μετρήστε το μήκος d της ράβδου μεταξύ των νημάτων από τα οποία κρέμεται. 4. Εκτρέψετε τη ράβδο κατά μια μικρή γωνία γύρω από τον κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο βάρους της (δείτε σχήμα 3.5) και αφήστε την ώστε αυτή να αρχίσει να εκτελεί στροφική ταλάντωση. 5. Όταν ομαλοποιηθεί η ταλάντωση μετρήστε το χρόνο ταλάντωσης 10 διαδοχικών πλήρων ταλαντώσεων, δηλαδή 10 περιόδων. Επαναλάβατε την παραπάνω μέτρηση των 10 διαδοχικών πλήρων ταλαντώσεων άλλες δύο φορές. 6. Αλλάξετε το μήκος ταλάντωσης l των νημάτων, ελέγξτε ότι η ράβδος παραμένει οριζόντια και επαναλάβετε τα βήματα (4) και (5) για άλλα 7 διαφορετικά μήκη l. Οι μετρήσεις σας να γραφούν σε πίνακα της μορφής: Πίνακας μετρήσεων και υπολογισμών 3.1 Μάζα ράβδου, Μ =. ±. ( kg,) Μήκος ράβδου L= ± (m) Μήκος ανάμεσα στα νήματα d = ± (m) α/α l (m) t=10 T (s) t (t 1 +t +t 3 )/3 (s) 1η μετρ. (t 1 ) η μετρ. (t ) 3η μετρ. (t 3 ) T= t/10 (s) T (s) A.6

52 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 3 Στροφικές ταλαντώσεις Επεξεργασία των μετρήσεων 1. Υπολογίστε για κάθε μήκος l το μέσο χρόνο και στη συνέχεια την περίοδο Τ ( T πίνακα 3.1. t 10 t t t t των 10 ταλαντώσεων ) της ταλάντωσης, και συμπληρώστε τον. Υπολογίστε για κάθε μήκος l το τετράγωνο της περιόδου Τ και συμπληρώστε τον πίνακα 3.1. Mgd 3. Επειδή από την σχέση [3.10] ισχύει l T, δηλαδή l=f(t ), σχεδιάστε 16 I σε χαρτί millimetre, την γραφική παράσταση του l T, υπολογίζοντας τους συντελεστές της εξίσωσης της μορφής ευθείας y=bx+α με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. 4. Από την κλίση της ευθείας b και το σφάλμα της κλίσης σ b υπολογίστε την ροπή Mgd αδράνειας Ι πειρ (πειραματική τιμή) και το σφάλμα της δ Ιπειρ. Ισχύει b 16 I. Επειδή η ροπή αδράνειας Ι πειρ υπολογίζεται από έμμεσες μετρήσεις των b, Μ και d, δηλαδή Ι πειρ =f(b,m,d), για τον υπολογισμό του σφάλματος δ Ιπειρ χρησιμοποιήστε την σχέση (9) της σελ. Εις. 8. Σαν σφάλματα σ M, και σ d χρησιμοποιήστε την διακριτική ικανότητα (resolution) των συσκευών μέτρησης που χρησιμοποιήσατε. Το g και το π είναι σταθερές. 5. Γράψτε το αποτέλεσμα: Ι πειρ = ±... (μονάδες) (τιμή) (σφάλμα) ML 6. Από τη σχέση I που δίνει την ροπή αδράνειας ράβδου ως προς τον άξονα που 1 μελετήσατε (δείτε σχήμα 3.), υπολογίστε την θεωρητική τιμή I θεωρ. της ροπής αδράνειας και το σφάλμα της δ Ιθεωρ. Ισχύει ότι Ι θεωρ =f(m,l), για τον υπολογισμό του σφάλματος δ θεωρ χρησιμοποιήστε την σχέση (9) της σελ. Εις. 8. Σαν σφάλματα σ M, και σ L χρησιμοποιήστε την διακριτική ικανότητα (resolution) των συσκευών μέτρησης. 7. Γράψτε το αποτέλεσμα: Ι θεωρ = ±... (μονάδες) (τιμή) (σφάλμα) 3A.7

53 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 3 Στροφικές ταλαντώσεις 8. Με την βοήθεια της σχέσης (8) σελ. Εις.7, συγκρίνετε την θεωρητική τιμή με την πειραματική. Γράψτε την επί τοις εκατό (%) απόκλιση της πειραματικής τιμής από αυτήν της θεωρητικής. Σημείωση: Προσέξτε ώστε να εφαρμόσετε όλους τους κανόνες μέτρησης, επεξεργασίας, γραφικών παραστάσεων, σύγκρισης και αναγραφής αποτελέσματος (δηλ. σημαντικά ψηφία, δεκαδικά ψηφία, στρογγυλοποίηση, κλίμακες στους άξονες των γραφικών παραστάσεων κ.λ.π.) όπως περιγράφονται στην εισαγωγή. Ερωτήσεις προετοιμασίας Αφού διαβάσετε την εργαστηριακή άσκηση 3Α και θα πρέπει να μπορείτε να απαντάτε στις παρακάτω ερωτήσεις: 1. Ποιος είναι ο σκοπός του πειράματος;. Πώς ορίζεται η ροπή αδράνειας σημειακής μάζας ως προς άξονα; 3. Πώς ορίζεται η ροπή αδράνειας συστήματος υλικών σημείων ως προς άξονα και πως σώματος με συνεχή κατανομή μάζας; 4. Τι αναφέρει το θεώρημα Steiner; 5. Γύρω από ποιο άξονα και σε ποιο επίπεδο ταλαντώνεται η ράβδος; 6. Από τι εξαρτάται η περίοδος ταλάντωσης της ράβδου; 7. Με ποια μέθοδο θα υπολογιστεί η ροπή αδράνειας; 8. Πως υπολογίζεται η πειραματική τιμή της ροπής αδρανείας της ράβδου από την γραφική παράσταση που θα κατασκευάσετε; Βιβλιογραφία 1. Halliday-Resnick, Φυσική, Μέρος Α, κεφ. 1. HUGH D. YOUNG, Φυσική, Μέρος Α, κεφ. 9,10. 3A.8

54 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 5 Θερμική διαστολή μεταλλικών σωμάτων Α Σ Κ Η Σ Η 5 ΘΕΡΜΙΚΗ ΔΙΑΣΤΟΛΗ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Απαραίτητες γνώσεις Θερμοκρασία, θερμότητα, θερμική διαστολή των στερεών, γραμμική θερμική διαστολή, όργανα μέτρησης της θερμοκρασίας. Σκοπός του πειράματος Μελέτη της γραμμικής διαστολής μεταλλικής ράβδου σε σταθερή εξωτερική πίεση και υπολογισμός του συντελεστή γραμμικής διαστολής. Μέθοδος Καθώς θερμαίνουμε ή ψύχουμε μια μεταλλική ράβδο (διαστολή ή συστολή) μετράμε ταυτόχρονα με την μεταβολή της θερμοκρασίας της την αντίστοιχη μεταβολή των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της (διαστάσεις μήκους και διαμέτρου). Επειδή η σχέση μεταξύ της μεταβολής μήκους και θερμοκρασίας της ράβδου είναι γραμμική, l f( ), της μορφής y=bx+α, από την κλίση αυτής της ευθείας και το σφάλμα της κλίσης της υπολογίζουμε τον συντελεστή γραμμικής διαστολής καθώς και το σφάλμα του. Η δυσκολία στο πείραμα αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η μεταβολή της θερμοκρασίας σε όλο το μήκος της ράβδου πρέπει να γίνεται ομοιόμορφα και να έχει ακρίβεια η μέτρηση της μεταβολής μήκους της, καθώς είναι της τάξης του εκατοστού του χιλιοστού (0.01 mm ή 10 μm). Για λόγο αυτό τα μεταλλικά δοκίμια που χρησιμοποιούνται στο πείραμα έχουν την μορφή μιας στενόμακρης κούφιας ράβδου που στα δύο άκρα της έχει ανοίγματα ώστε να μπορεί να παροχετεύεται ατμός και να την θερμαίνει. Οι μεταλλικές ράβδοι πακτώνονται σταθερά πάνω σε κατάλληλη βάση με τρόπο τέτοιο ώστε η μια άκρη τους να ακουμπά σε αναλογικό καθετόμετρο που η μικρότερη μεταβολή μήκους που μετρά (resolution) είναι 10 μm. Η κάθε μεταβολή του μήκους των ράβδων, διαστολή ή συστολή, μετατοπίζει το κινητό στέλεχος του καθετόμετρου που μετρά. Η μέτρηση της μεταβολής της θερμοκρασίας γίνεται ηλεκτρονικά με ένα αισθητήρα θερμοκρασίας που ακουμπά εφαπτομενικά πάνω στην επιφάνεια της ράβδου. Απαραίτητα όργανα για τη διεξαγωγή του πειράματος Μεταλλικές ράβδοι δοκίμια (Αλουμινίου, Σιδήρου, Ορείχαλκου, μήκους 0,6 m) Κατάλληλη βάση για την πάκτωση των δοκιμίων Καθετόμετρα ακρίβειας μέτρησης 10 μm (0.01 mm) Αισθητήρες μέτρησης θερμοκρασίας Ψηφιακό θερμόμετρο Μονάδα παραγωγής ατμού (ηλεκτρική εστία, δοχείο με σκέπασμα, λαστιχένιος σωλήνας και σφιγκτήρες, νερό) 5.1

55 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 5 Θερμική διαστολή μεταλλικών σωμάτων Περιγραφή της πειραματικής διάταξης Σχήμα 5.1. Η πειραματική διάταξη. (1) Καθετόμετρα, () Μεταλλικά δοκίμια μορφής ράβδων μήκους 60 cm, (3) Μονάδα παραγωγής ατμού, (4) Βάση στήριξης, (5) Ψηφιακό πολύμετρο. Θεωρία Όταν μεταβάλλεται η θερμοκρασία των υλικών σε συνθήκες σταθερής εξωτερικής πίεσης, τότε συμβαίνουν μεταβολές στις διαστάσεις των υλικών και μεταβολές στην κατάσταση τους (στερεά υγρά αέρια). Κατά την θέρμανση τα περισσότερα στερεά διαστέλλονται ομαλά και πολύ λίγα συστέλλονται. Οι μεταβολές στις διαστάσεις του υλικού μετρώνται μέσω του συντελεστή θερμικής διαστολής α. Το νερό στην υγρή του μορφή είναι χαρακτηριστικό παράδειγμα ανώμαλης διαστολής. Έχει αρνητικό συντελεστή διαστολής από τους 0 C έως τους ~ 4 C για αυτό σε αυτή την περιοχή θερμοκρασιών συστέλλεται και η πυκνότητα του μεγαλώνει, με αποτέλεσμα το νερό να έχει μεγαλύτερη πυκνότητα από τον πάγο. Επειδή ο πάγος επιπλέει στο νερό διατηρείται η υδρόβια ζωή στη φύση. Σε αυτό το πείραμα θα μελετήσουμε τις μεταβολές των διαστάσεων που συμβαίνουν με την αλλαγή της θερμοκρασίας, χωρίς να έχουμε μεταβολή στην κατάσταση της ύλης. Σχήμα 5.. Καμπύλη της μεταβολής της ενέργειας μεταξύ δύο γειτονικών ατόμων σε κρυσταλλικό υλικό σαν συνάρτηση της μεταξύ τους απόστασης. Το ασύμμετρο της καμπύλης δείχνει ότι όταν αυξάνεται η ενέργεια αυξάνεται και η απόσταση μεταξύ των γειτονικών ατόμων άρα παρατηρείται διαστολή. 5.

56 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 5 Θερμική διαστολή μεταλλικών σωμάτων Για να κατανοήσουμε ποιοτικά το φαινόμενο της θερμικής διαστολής, κάνουμε την παραδοχή ότι οι δυνάμεις ηλεκτρικής φύσεως, που συγκρατούν μεταξύ τους τα άτομα σε κανονική διάταξη σε ένα κρυσταλλικό στερεό, είναι όμοιες με αυτές που θα ασκούνταν αν αυτά τα άτομα ήταν συνδεμένα μεταξύ τους με ελατήρια που είναι ευκολότερο να επιμηκυνθούν παρά να συμπιεσθούν. Σε οποιαδήποτε θερμοκρασία υπάρχει ταλάντωση κάθε ατόμου του στερεού γύρω από τη θέση ισορροπίας του (το πλάτος ταλάντωσης είναι περίπου 10-9 cm και αντίστοιχης συχνότητας της τάξης Ηz). Όταν αυξάνεται η θερμοκρασία του στερεού, αυξάνονται η αντίστοιχη ενέργεια ταλάντωσης. Όπως δείχνει η καμπύλη της δυναμικής ενέργειας μεταξύ δύο γειτονικών ατόμων σε ένα κρυσταλλικό στερεό σαν συνάρτηση της απόστασης μεταξύ των πυρήνων τους στο σχήμα 5., η απόσταση μεταξύ των γειτονικών ατόμων αυξάνει. Όταν η απόσταση μεταξύ δυο γειτονικών ατόμων γίνει μικρότερη από την τιμή της απόστασης ισορροπίας r o, τότε έχουμε την εμφάνιση ισχυρών απωστικών δυνάμεων, με αποτέλεσμα να αυξάνεται απότομα η καμπύλη δυναμικής ενέργειας (F=-dU/dr). Όταν η απόσταση μεταξύ δυο γειτονικών ατόμων γίνει μεγαλύτερη από την τιμή της απόστασης ισορροπίας r o, τότε εμφανίζονται ελκτικές δυνάμεις, που είναι ασθενέστερες, και αυτό έχει ως αποτέλεσμα να αυξάνει ομαλότερα η καμπύλη δυναμικής ενέργειας. Όταν αυξάνεται η θερμοκρασία, αυξάνεται και η ενέργεια της ταλάντωσης και μεγαλώνει η μέση απόσταση μεταξύ των ατόμων του στερεού, με συνέπεια να απομακρύνονται τα άτομα μεταξύ τους και να αυξάνουν όλες οι διαστάσεις του σώματος, ακόμα και τα κενά διαστήματα. Έτσι το στερεό ως σύνολο διαστέλλεται. Στην καμπύλη του σχήματος 5. φαίνεται ότι η μέση απόσταση (r 1, r ) μεταξύ δυο γειτονικών ατόμων του κρυσταλλικού στερεού μεγαλώνει όταν αυξάνει η θερμοκρασία (Τ >Τ 1 ), δηλαδή όταν αυξάνεται η ενέργεια της ταλάντωσης (Ε >Ε 1 ). Θετικός και αρνητικός συντελεστής γραμμικής μεταβολής Γραμμική θερμική διαστολή ενός στερεού λέγεται η μεταβολή οποιασδήποτε γραμμικής του διάστασης, δηλαδή για παράδειγμα του μήκους, του πλάτους ή του πάχους του, όταν αυξάνεται η θερμοκρασία του. Αν έχουμε μια τέτοια γραμμική διάσταση του στερεού και αυτή έχει μήκος l 1 σε θερμοκρασία θ 1 ο C, τότε για μεταβολή της θερμοκρασίας κατά ΔΤ = θ θ 1 =Δθ (σε ο C ή Κ), η μεταβολή του μήκους θα είναι αντίστοιχα Δl = l - l 1, όπου l είναι το μήκος του στερεού σε θερμοκρασία θ. Η σχέση που ισχύει είναι: Δl = αl 1 Δθ = l - l 1 = αl 1 (θ θ 1 ) [5.1] ή l = l 1 [1+ α (θ -θ 1 )] [5.] a 1 l 1 l [5.3] Όπου α ο συντελεστής γραμμικής διαστολής του στερεού. (Προσοχή ο συντελεστής γραμμικής διαστολής α δεν πρέπει να συγχέεται με τον σταθερό όρο της εξίσωσης της ευθείας y=bx+α καθώς είναι κάτι το διαφορετικό). 5.3

57 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 5 Θερμική διαστολή μεταλλικών σωμάτων Η σχέση αναλογίας [5.1] ισχύει μόνο προσεγγιστικά για μικρές μεταβολές της θερμοκρασίας Δθ. Από την σχέση [5.3] έχουμε ότι: l al1 [5.4] Η εξίσωση αυτή περιγράφει μια γραμμική σχέση ανάμεσα στο Δl και το Δθ. Άρα η τιμή του α προσδιορίζεται από την κλίση b=αl 1, της ευθείας Δl= f(δθ), που προκύπτει από μετρήσεις της επιμήκυνσης Δl για διάφορες διαφορές θερμοκρασίας Δθ. Ο συντελεστής γραμμικής διαστολής α, έχει μονάδες Κ -1 ή C -1 (grad -1 ) και εκφράζει τη σχετική μεταβολή του μήκους ανά βαθμό θερμοκρασίας. Η τιμή του εξαρτάται από τη φύση του υλικού και από το εύρος μεταβολής της θερμοκρασίας σε περίπτωση που αυτό είναι πολύ μεγάλο. Η τιμή του α είναι συνήθως θετική, αλλά υπάρχουν και λίγα υλικά, όπως το καουτσουκ, με αρνητικό α. Αρνητικός συντελεστής διαστολής Αρνητικό συντελεστή διαστολής παρουσιάζουν κάποια Αν υλικά με αρνητικό συντελεστή διαστολής αναμιχθούν με υλικά θετικού συντελεστή δημιουργούνται υλικά με ελεγχόμενο συντελεστή διαστολής, π.χ. μηδενικό. Παραδείγματα τέτοιων υλικών είναι το Cubic Zirconium Tungstate (ZrWO8), το CaCO 3, ο πάγος όταν έχει θερμοκρασία μικρότερη από -00 C (στην εξαγωνική κυβική μορφή του). Τα υλικά με ελεγχόμενο συντελεστή διαστολής έχουν μεγάλη πρακτική εφαρμογή, π.χ. στην κατασκευή οδοντιατρικών εφαρμογών, κεραμικών εστιών, κλπ. Το φαινόμενο αρνητικού συντελεστή διαστολής εξηγείται με ένα αριθμό φυσικών διεργασιών που προκαλούν συστολή με την αύξηση της θερμοκρασίας του υλικού, όπως εγκάρσιους τρόπους ταλάντωσης, μεταβάσεις φάσεων, την ύπαρξη της υψηλής πίεσης σε καταστάσεις μικρού όγκου και μεγάλης εντροπίας. Ο συντελεστής γραμμικής διαστολής α είναι γενικά ένας πολύ μικρός αριθμός. Για μια μεταβολή θερμοκρασίας 100 ο C, η τάξη μεγέθους της διαστολής ανά μέτρο μήκους είναι 1 mm, δηλαδή η ποσοστιαία μεταβολή του μήκους του στερεού, Δl /l 1, είναι της τάξης του 1/1000. Σχήμα 5.3 Η μορφή της μεταβολής του μήκους εξαρτάται από το εύρος της μεταβολής της θερμοκρασίας. Όταν θ 1 = 0 ο C, και l 1 = l 0 τότε η αντίστοιχη γραφική παράσταση παριστάνεται από ευθεία γραμμή, όπως φαίνεται στο σχήμα 5.3 (α). Αν το εύρος της μεταβολής της 5.4

58 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 5 Θερμική διαστολή μεταλλικών σωμάτων θερμοκρασίας είναι μεγάλο, τότε το α εξαρτάται από τη θερμοκρασία θ και η σχέση που συνδέει το μήκος με το α και τη θερμοκρασία είναι η παρακάτω: l T l1 1 a( T1 ) d [5.5] όπου l 1 είναι το μήκος σε μια θερμοκρασία αναφοράς θ 1. Η πειραματική καμπύλη που προκύπτει φαίνεται στο σχήμα 5.3 (β). Όπως βρέθηκε πειραματικά, ο συντελεστής γραμμικής διαστολής α των περισσοτέρων υλικών ελαττώνεται όταν ελαττώνεται η θερμοκρασία και μηδενίζεται στη θερμοκρασία του απολύτου μηδενός (-73 ο C ). Η καμπύλη του σχήματος περιλαμβάνει ένα οριζόντιο τμήμα στην περιοχή των πολύ χαμηλών θερμοκρασιών, που σημαίνει ότι εκεί έχουμε μηδενισμό του dl d. Κυβική θερμική διαστολή Η αύξηση της θερμοκρασίας σε ένα σώμα, υγρό ή στερεό, προκαλεί και αύξηση του όγκου του. Στα υγρά συνήθως η διαστολή του όγκου είναι περίπου δεκαπλάσια από τη διαστολή του όγκου των στερεών για τις ίδιες συνθήκες. Ισότροπο στερεό ονομάζεται αυτό που για μια δοσμένη μεταβολή θερμοκρασίας, η επί τοις εκατό μεταβολή του μήκους είναι ίδια για όλες τις διευθύνσεις του στερεού. Τότε προσεγγιστικά η σχετική μεταβολή του εμβαδού S ανά βαθμό μεταβολής της θερμοκρασίας θα δίνεται από τον τύπο : ΔS= α Α Δθ [5.6] και η σχετική μεταβολή του όγκου V ανά βαθμό μεταβολής της θερμοκρασίας θα δίνεται προσεγγιστικά από την σχέση: ΔV = 3α V Δθ [5.7] Σχέση μεταξύ συντελεστή κυβικής διαστολής και συντελεστή γραμμικής διαστολής Θεωρούμε ένα ισότροπο στερεό πρισματικό σώμα από το υλικό, με αρχικό όγκο V ο και με ακμές διαστάσεων x ο, y ο, z ο, δηλαδή, V ο = x ο y ο z ο. Όταν αυξήσουμε τη θερμοκρασία κατά Δθ, ο όγκος αυτού θα γίνει V θ και θα ισχύει η σχέση: V θ = x ο (1+αΔθ) y ο (1+αΔθ) z ο (1+αΔθ) = x ο y ο z ο ( 1+ α Δθ ) 3 V θ = V 0 ( 1+ 3a Δθ + 3α (Δθ) + α 3 (Δθ) 3 ) Οι όροι που περιέχουν το α και το α 3 μπορούν να απαλειφθούν χωρίς να έχουμε σημαντικό σφάλμα: 5.5

59 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 5 Θερμική διαστολή μεταλλικών σωμάτων V θ = V ο (1+3α Δθ) = V ο (1+β Δθ) όπου γ είναι ο συντελεστής κυβικής διαστολής του υλικού. γ = 3α [5.8] Οδηγίες για την εκτέλεση του πειράματος Προσοχή!! Υπάρχει κίνδυνος εγκαυμάτων. Κατά την διάρκεια του πειράματος οι θερμοκρασίες των ράβδων και του βραστήρα είναι υψηλές. Χρησιμοποιήστε τα κατάλληλα μονωτικά γάντια. Να κάθεστε σε σκαμπό με ρόδες ώστε αν παραστεί ανάγκη να μπορείτε να απομακρυνθείτε γρήγορα από τον πάγκο εργασίας. Διατηρείτε την επιφάνεια του πάγκου εργασίας ταχτοποιημένη κρατώντας μόνο τα απαραίτητα. Ο βραστήρας είναι συνδεμένος πάνω σε πολύμπριζο. Θερμαίνει όση ώρα έχετε το πολύμπριζο "ανοιχτό", power on και τον διακόπτη πάνω στον βραστήρα ανοιχτό. Εισαγωγή: 1. Οι μετρήσεις τις μεταβολής του μήκους των ράβδων σε συνάρτηση με τις αντίστοιχες μεταβολές θερμοκρασίας τους θα γίνουν κατά την διαδικασία της φυσικής ψύξης των ράβδων στη θερμοκρασία δωματίου από την θερμοκρασία που αρχικά θερμάνθηκαν. Η ράβδος που μελετάτε κάθε φορά, θερμαίνεται με τους ατμούς που παράγονται από ένα βραστήρα και διοχετεύονται με ένα λάστιχο, μέσα στη ράβδο που είναι κούφια. Οι ράβδοι θερμαίνονται αρχικά σε μια τυχαία θερμοκρασία μεγαλύτερη των 70 o C.. Πριν κάθε θέρμανση της ράβδου ελέγχετε την στάθμη του νερού μέσα στον βραστήρα. Πρέπει να είναι μέχρι τη μέση. Αν βάλετε περισσότερο νερό, αυτό καθώς κοχλάζει κατά τον βρασμό περνά μέσα στον λαστιχένιο σωλήνα και έτσι δυσκολεύει την παροχή καθαρών ατμών. 3. Ασφαλίζετε το καπάκι του βραστήρα ώστε να εφαρμόζει καλά. Οδηγείτε το λάστιχο που βγαίνει από το καπάκι του βραστήρα στην κατάλληλη υποδοχή που έχει στην άκρη της η ράβδος που θα θερμάνετε. Φροντίζετε το λάστιχο να είναι όσο γίνεται υπερυψωμένο του βραστήρα, ώστε να δυσκολεύεται το νερό να περάσει και να ανεβαίνουν μόνο ατμοί. 4. Η ελεύθερη άκρη της ράβδου εφάπτεται σε ένα καθετόμετρο (διαστημόμετρο). Πιέστε με το χέρι σας το κινητό στέλεχος του καθετόμετρου και παρατηρήστε την βελόνα του περιστρέφεται στο ρολόι του καθετόμετρου. Δείτε ότι μια περιστροφή 360 ο του δείκτη της βελόνας του αντιστοιχεί σε 1.00 mm. Ρυθμίστε το ρολόι του καθετόμετρου ώστε ο δείκτης να δείχνει την ένδειξη 0.00 mm. 5. Παρατηρήστε πάνω στο ρολόι την βαθμονόμηση του καθετόμετρου (αριθμό υποδιαιρέσεων που έχει διαιρεθεί η περίμετρος) και βρείτε την διακριτική ικανότητα του καθετόμετρου. Γράψτε στο τετράδιό σας την διακριτική ικανότητα του καθετόμετρου σε mm: 5.6

60 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 5 Θερμική διαστολή μεταλλικών σωμάτων ± mm Το θερμόμετρο που χρησιμοποιείτε για την μέτρηση της θερμοκρασίας της ράβδου είναι ψηφιακό. Ένα πολύμετρο συνδέεται με ένα ακροδέκτη με τον αισθητήρα θερμοκρασίας. Προσοχή: οι ακροδέκτες της πρίζας του αισθητήρα να είναι συνδεμένοι με την σωστή πολικότητα (+ και -) πάνω στην υποδοχή του πολύμετρου. 6. Ο αισθητήρας θερμοκρασίας στερεώνεται πάνω στην εξωτερική επιφάνεια της ράβδου. Ανοίξετε (power on) το πολύμετρο ρυθμίστε το να μετρά θερμοκρασία. Γράψτε στο τετράδιό σας την αρχική θερμοκρασία θ ο της ράβδου που θα θερμάνετε (τότε η ένδειξη στο καθετόμετρο πρέπει να είναι μηδέν!): θ ο = ±.. o C 7. Μετρήστε με βερνιέρο την διάμετρό της ράβδου. Γράψτε την στην μορφή: d θ0 = ± mm 8. Σημειώστε την διακριτική ικανότητα του ψηφιακού χρονομέτρου: ± s 9. Διαδικασία θέρμανσης της ράβδου σε μια θερμοκρασία από 70 C έως μέγιστη θερμοκρασία 90 C: Ανοίξετε τον διακόπτη του πολύμπριζου (power on) που τροφοδοτεί τον βραστήρα και τον διακόπτη του βραστήρα. Περιμένετε μέχρι να βράσει το νερό και να παράγονται ατμοί. Οι ατμοί παροχετεύονται μέσω λαστιχένιου σωλήνα στο εσωτερικό της ράβδου και την θερμαίνουν ομοιόμορφα. Η θερμοκρασία της αυξάνεται και αρχίζει να διαστέλλεται. Επειδή η παροχή ατμών είναι μεγάλη, η ράβδος διαστέλλεται πολύ γρήγορα και δεν προλαβαίνετε να μετράτε τα ζεύγη τιμών θερμοκρασίας θ ( C) και επιμήκυνσης Δl (μm.) Γι αυτό, μετρήσεις θα γίνουν κατά την φυσική ψύξη της ράβδου, που γίνεται με αργό ρυθμό. Θερμαίνετε την ράβδο σε μια θερμοκρασία από 70 C έως μέγιστη θερμοκρασία 90 C. Tότε, τo ρολόι του καθετόμετρου δείχνει την συνολική επιμήκυνση της ράβδου στην θερμοκρασία αυτή. Κλείστε τον διακόπτη του πολύμπριζου και του βραστήρα για να διακοπεί ο βρασμός και επομένως η παροχή ατμών στη ράβδο. Σε μία υψηλή θερμοκρασία μετρήστε ξανά την διάμετρο της ράβδου: θ τ = ±.. o C και d θτ = ± mm 10. Διαδικασία μετρήσεων κατά την ψύξη: Καθώς η διαδικασία της φυσικής ψύξης της ράβδου έχει αρχίσει ξεκινήστε, από μία θερμοκρασία της ράβδου λίγο μικρότερη από την μέγιστη που έχει φτάσει, να μετράτε από το καθετόμετρο την επιμήκυνση Δl της ράβδου σαν συνάρτηση της θερμοκρασίας (για 8 τουλάχιστον διαφορετικές θερμοκρασίες) όπως ψύχεται η ράβδος, καθώς και τον χρόνο t την στιγμή που παίρνετε την μέτρηση. 5.7

61 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 5 Θερμική διαστολή μεταλλικών σωμάτων Για να μετρήστε στο καθετόμετρο τις τιμές της επιμήκυνσης Δl της ράβδου σε συνάρτηση με τις αντίστοιχες τιμές της θερμοκρασίας θ στο πολύμετρο και τον χρόνο t στο χρονόμετρο, χρειάζεται πολύ καλός συντονισμός και των τριών μελών της εργαστηριακής ομάδας. Ένα μέλος της ομάδας αναλαμβάνει να παρατηρεί την θερμοκρασία στο πολύμετρο ενώ τα άλλα δύο μέλη παρατηρούν το ένα την ένδειξη του καθετόμετρου και το άλλο την ένδειξη του χρονόμετρου. Το μέλος που παρατηρεί την θερμοκρασία αποφασίζει σε ποια τιμή της θα παρθούν μετρήσεις και γράφει την τιμή που παρατηρεί. Την στιγμή που αποφασίζει να καταγράψει μια τιμή θερμοκρασίας, ειδοποιεί ταυτόχρονα τα υπόλοιπα άλλα δύο μέλη τα οποία σημειώνουν τις αντίστοιχες μετρήσεις της επιμήκυνσης Δl της ράβδου και του χρόνου t. Πάρετε μετρήσεις για τουλάχιστον 8 διαφορετικές θερμοκρασίες. Κατανέμεται το εύρος των μετρήσεων σας κατά την κρίση σας, μέχρι να πλησιάσει η ράβδος την τιμή θερμοκρασίας δωματίου. Στην 1 η σας μέτρηση θέσετε το χρονόμετρο σε συνεχή λειτουργία μέχρι το τέλος όλων των μετρήσεων. Για την πρώτη σας μέτρηση ο χρόνος t είναι μηδέν. Καταγράψτε τις μετρήσεις σας σε πίνακα της μορφής: Πίνακας μετρήσεων και υπολογισμών 5.1 Υλικό ράβδου: α/α θ ( C) Δθ ( C) Δl (mm) t (s) Επαναλάβετε τη παραπάνω διαδικασία θέρμανσης και ψύξης για δύο συνολικά διαφορετικού υλικού ράβδους. Προσοχή: Πριν κάθε νέα θέρμανση να ελέγχετε τη στάθμη του νερού μέσα στον βραστήρα. Για να θερμάνετε την νέα ράβδο να αποσυνδέσετε το λάστιχο από την προηγούμενη και να το συνδέσετε στο άκρο της νέας. Γράψτε τον νέο Πίνακα μετρήσεων, όμοια με τον προηγούμενο. Προσοχή: Mετά το τέλος όλων των μετρήσεων σας να ελέγξετε ότι είναι κλειστός (power off) ο διακόπτης πάνω στον βραστήρα και στο πολύμπριζο καθώς και το πολύμετρο. Επεξεργασία των μετρήσεων 1. Από τον πίνακα μετρήσεών σας για κάθε ράβδο, για κάθε θερμοκρασία να υπολογίστε την μεταβολή θερμοκρασίας Δθ (θ-θ 0 ) που αντιστοιχεί και συμπληρώστε την αντίστοιχη στήλη στον πίνακα Για κάθε ράβδο να σχεδιάσετε, την ευθεία Δl=f(Δθ), με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. 5.8

62 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 5 Θερμική διαστολή μεταλλικών σωμάτων 3. Από την κλίση ευθείας για κάθε υλικό υπολογίστε τον συντελεστή γραμμικής διαστολής α (όπως περιγράφεται πριν στην σελίδα 5.4) και το ολικό πιθανό σφάλμα δα (σχέση (9) σελ. Εις.8). Στην σχέση 5.4 το l 1 ισούται με το αρχικό μήκος l 0 που μετρήσατε για την κάθε ράβδο. Επειδή ο συντελεστή γραμμικής διαστολής α υπολογίζεται από έμμεσες μετρήσεις των b, και l 0, δηλαδή a=f(b,l 0 ), για τον υπολογισμό του σφάλματος δ α χρησιμοποιήστε την σχέση (9) της σελ. Εις. 8. Το σ b υπολογίζεται από την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων ενώ σαν σφάλματα σ lo, χρησιμοποιήστε την διακριτική ικανότητα (resolution) της μετροταινίας συσκευών που χρησιμοποιήσατε για να μετρήσετε το αρχικό μήκος κάθε ράβδου. Γράψτε τα αποτελέσματα με την μορφή: a = ±... (μονάδες) (τιμή) (σφάλμα) a. = ±... (μονάδες) (τιμή) (σφάλμα) 4. Από την βιβλιογραφία (π.χ. HUGH D. YOUNG "Φυσική", τόμος Α', σελίδα 41, πίνακας 15-1) βρείτε τις θεωρητικές τιμές των συντελεστών γραμμικής διαστολής των υλικών που μετρήσατε και συγκρίνατε τις με αυτές που υπολογίσατε βρίσκοντας την επί της εκατό απόκλιση, (σχέση (8) σελ. Εις.7 της εισαγωγής). 5. Από τα πειραματικά σημεία σχεδιάστε το διάγραμμα θ=f(t) και σχολιάστε τη μορφή της καμπύλης. 6. Τι συμπέρασμα βγάζετε από τη μέτρηση της διαμέτρου της ράβδου σε δυο διαφορετικές θερμοκρασίες; Σημείωση: Προσέχτε ώστε να εφαρμόσετε όλους τους κανόνες μέτρησης, επεξεργασίας, γραφικών παραστάσεων, σύγκρισης και αναγραφής αποτελέσματος (δηλ. σημαντικά ψηφία, δεκαδικά ψηφία, στρογγυλοποίηση, κλίμακες στους άξονες των γραφικών παραστάσεων κ.λ.π.) όπως περιγράφονται στην εισαγωγή. Ερωτήσεις προετοιμασίας Αφού διαβάσετε την εργαστηριακή άσκηση 5 θα πρέπει να μπορείτε να απαντάτε στις παρακάτω ερωτήσεις: 1. Ποιος είναι ο σκοπός του πειράματος;. Περιγράψτε το φαινόμενο της διαστολής των σωμάτων. 3. Τι εκφράζει ο συντελεστής γραμμικής διαστολής; Σε τι μονάδες μετριέται; Είναι θετικός ή αρνητικός; 5.9

63 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 5 Θερμική διαστολή μεταλλικών σωμάτων 4. Ποια σχέση μας δίνει την μεταβολή της γραμμικής διάστασης ενός σώματος Δl για μια μεταβολή Δθ της θερμοκρασίας του; 5. Από τι εξαρτάται ο συντελεστής γραμμικής διαστολής; 6. Τι ορίζεται σαν κυβική διαστολή; Ποια σχέση συνδέει τον συντελεστή γραμμικής διαστολής με τον συντελεστής κυβικής διαστολής; 7. Γιατί οι μετρήσεις γίνονται κατά την ψύξη της ράβδου κι όχι κατά την θέρμανση; 8. Πως υπολογίζεται o συντελεστής γραμμικής διαστολής a από την γραφική παράσταση που θα κατασκευάσετε; 9. Ποιους κανόνες ασφαλείας πρέπει να τηρήσετε το συγκεκριμένο πείραμα; Βιβλιογραφία 1. Halliday-Resnick, "Φυσική", Μέρος Α',Κεφ.1. HUGH D. YOUNG "Φυσική", τόμος Α', Κεφ Κ. Δ. Αλεξόπουλου ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ 5.10

64 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 6 Μηχανικές ταλαντώσεις ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Α Σ Κ Η Σ Η 6 A ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ Απαραίτητες γνώσεις Περιοδική κίνηση, Νόμος του Hooke - ελαστικότητα, κινητική και δυναμική ενέργεια ελατηρίου, απλή αρμονική ταλάντωση, περίοδος, δύναμη επαναφοράς. Σκοπός του πειράματος 1. επιβεβαίωση του νόμου του Hooke πειραματικά. Η μέτρηση της σταθεράς του ελατηρίου Μέθοδος Η μέτρηση της σταθεράς του ελατηρίου γίνεται με δύο μεθόδους: (α) Μετρώντας τις επιμηκύνσεις του ελατηρίου με γνωστά βάρη, (β) Μετρώντας την περίοδο ταλάντωσης του ελατηρίου όταν έχει επιμηκυνθεί με ένα γνωστό βάρος. Και στις δύο περιπτώσεις γίνεται γραφική παράσταση των μεγεθών που μεταβάλλονται επιλέγοντας κατάλληλα μεγέθη στους άξονες ώστε η καμπύλη της παράστασης να είναι ευθεία. Με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων υπολογίζεται η κλίση της ευθείας σε κάθε περίπτωση και στη συνέχεια υπολογίζεται η σταθερή του ελατηρίου. Απαραίτητα όργανα - 1 ελικοειδές ελατήριο - Διάφορες μάζες - 1μετροταινία - 1 ζυγαριά Θεωρία Μια κίνηση που επαναλαμβάνεται σε κανονικά χρονικά διαστήματα γύρω από μια θέση ισορροπίας, ονομάζεται ταλάντωση. Για παράδειγμα, μια μάζα δεμένη σ' ένα ελατήριο ταλαντώνεται αν εκτραπεί από τη θέση ισορροπίας της. Το ελατήριο είναι ένα ελαστικό σώμα. Ελαστικό ονομάζεται ένα σώμα στο οποίο η προκαλούμενη παραμόρφωση εξαφανίζεται, μόλις πάψει να ενεργεί η δύναμη που την προκαλεί, και έτσι το σώμα επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση. Αυτή η παραμόρφωση προκαλεί μεταβολή στο μέγεθος ή στο σχήμα του ελατηρίου ή και στα δυο. Όταν το ελατήριο δεν είναι παραμορφωμένο (επιμηκυμένο ή συμπιεσμένο), λέμε ότι βρίσκεται στην κατάσταση φυσικού του μήκους. Όταν μια δύναμη εφαρμόζεται στο άκρο ενός ελατηρίου προκαλεί μια επιμήκυνση ή συμπίεση του ελατηρίου. Το ελατήριο λόγω ελαστικότητας εξασκεί μια δύναμη που 6A.1

65 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 6 Μηχανικές ταλαντώσεις τείνει πάντοτε να επαναφέρει το σώμα στη θέση του φυσικού μήκους του και ονομάζεται δύναμη ελατηρίου. Εάν η μεταβολή στο μήκος x 1 του ελατηρίου δεν είναι πολύ μεγάλη (δεν ξεπερνά δηλαδή το όριο ελαστικότητας) τότε η δύναμη του ελατηρίου F είναι ανάλογη του x 1 : F kx 1 [6.1] Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή σα νόμος του Hooke. Ο συντελεστής αναλογίας k είναι η σταθερά του ελατηρίου, είναι πάντοτε θετική και έχει μονάδες Ν/m. Μπορούμε να θεωρούμε το k σαν το μέτρο της δύναμης ανά μονάδα επιμήκυνσης. Έτσι τα πολύ σκληρά ελατήρια έχουν μεγάλες τιμές του k. Η δύναμη F και η μεταβολή στο μήκος x 1 έχουν πάντα αντίθετα πρόσημα, ανεξάρτητα αν το σώμα βρίσκεται δεξιά ή αριστερά από τη θέση ισορροπίας. Όταν το ελατήριο τεντώνεται, το x 1 >0 και η F είναι αρνητική. Όταν το ελατήριο συμπιέζεται, το x 1 <0 και η F είναι θετική. Σχήμα 6.1 Έστω ένα ελατήριο με σταθερά k και μήκος l (σχήμα 6.1α). Όταν στο ελατήριο αυτό κρεμάσουμε στο κάτω άκρο του μια μάζα m, τότε αυτό επιμηκύνεται κατά x 1 και το σώμα ισορροπεί σε μια θέση (θέση ισορροπίας) όπου η δύναμη επαναφοράς ΣF= 0, (σχήμα 6.1β). Στην θέση αυτή το ελατήριο δεν έχει το φυσικό του μήκος. 6A.

66 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 6 Μηχανικές ταλαντώσεις Επομένως στην θέση ισορροπίας ισχύει: mg - F=0 mg=kx 1 [6.] Αν το σώμα μάζας m το τραβήξουμε λίγο προς τα κάτω και το αφήσουμε ελεύθερο, το σύστημα αρχίζει να ταλαντώνεται. Σε κάθε σημείο, αφού ασκείται και η δύναμη του βάρους (εκτός από την δύναμη του ελατηρίου) τότε η δύναμη επαναφοράς (ΣF) δεν ταυτίζεται με την δύναμη του ελατηρίου. Έστω ότι το σώμα βρίσκεται σε θέση που απέχει απόσταση x από τη θέση ισορροπίας όπως στο σχήμα 6.1γ. Τότε θα ισχύει: Η σχέση [6.3] λόγω της [6.] γίνεται: ΣF =mg - F =mg - k(x 1 +x)=mg- kx 1 - kx [6.3] ΣF = kx 1 - kx 1 - kx ΣF = - kx = - Dx [6.4] Η σχέση αυτή είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για να εκτελεί το σώμα απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D=k. Σύμφωνα με τον ο νόμο του Νεύτωνα η εξίσωση κίνησης κατά τον κατακόρυφο άξονα θα είναι: ΣF=mα - kx =ma mα + kx=0 a+kx/m=0 [6.5] Επομένως η διαφορική εξίσωση κίνησης του ελατηρίου είναι: d x dt k x 0 m [6.6] Η λύση αυτής της εξίσωσης είναι : x = A sin(ωt+φ) [6.7] Από την [6.7] φαίνεται ότι στην απλή αρμονική ταλάντωση, η θέση x είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου, όπου A είναι το πλάτος της ταλάντωσης, δηλαδή το μέγιστο μέτρο της μετατόπισης από τη θέση ισορροπίας. Το πλάτος είναι πάντοτε θετικό και η μονάδα μέτρησης στο SI είναι το 1m. Μια πλήρη ταλάντωση, ή κύκλος είναι μια "διαδρομή μετ' επιστροφής", όπως από το A στο - A και πίσω στο A, ή από τη θέση ισορροπίας στο A, μετά στο - A και πάλι πίσω στη θέση ισορροπίας. 6A.3

67 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 6 Μηχανικές ταλαντώσεις Η γωνιακή συχνότητα ω, είναι το γινόμενο του π επί τη συχνότητα f ω = π f όπου η ω εκφράζει τον ρυθμό μεταβολής ενός γωνιακού μεγέθους που μετριέται σε ακτίνια. Άρα οι μονάδες της ω είναι rad/sec. Η σταθερά φ ονομάζεται γωνία φάσης (αρχική φάση). Δείχνει σε ποιο σημείο και με πια ταχύτητα άρχισε η κίνηση. Η περίοδος της ταλάντωσης δίνεται από την σχέση: T m k ή T 4 k m [6.8] Η κινητική ενέργεια του σώματος, που είναι δεμένο στην άκρη του ελατηρίου είναι, 1 1 K m, και η δυναμική ενέργεια είναι, U kx. Η εξίσωση της ενέργειας είναι K+U =E= σταθερή. Η ολική ενέργεια εξαρτάται απευθείας από το πλάτος της κίνησης Α. Όταν μελετούμε το ελατήριο σαν απλό αρμονικό ταλαντωτή, εκτός από την προσαρτημένη μάζα m στο κατώτερο άκρο του ελατηρίου, ταλαντώνεται επίσης το ίδιο το ελατήριο μάζας m ελ. Όμως η μάζα του ταλαντευόμενου συστήματος δεν είναι απλά m+m ελ, γιατί όλα τα μέρη του ελατηρίου δεν ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος. Για παράδειγμα το κατώτερο άκρο ταλαντώνεται με το ίδιο πλάτος όπως και η μάζα m, ενώ το ανώτερο άκρο παραμένει ακίνητο. Ο διορθωτικός όρος που πρέπει να προστεθεί στη μάζα m υπολογίζεται ως εξής: Έστω L το μήκος του ελατηρίου όταν η μάζα θα ισορροπεί. Θα υπολογίσουμε την κινητική ενέργεια του ελατηρίου σε μια χρονική στιγμή όταν η ταχύτητα του κατώτερου άκρου ή της μάζας m, είναι υ. Θεωρούμε ένα στοιχειώδες κομμάτι του ελατηρίου μήκους dx, σε απόσταση x από το ανώτερο ακίνητο άκρο του. Τότε η μάζα του στοιχειώδους κομματιού του ελατηρίου, dm ελ, είναι: dm m L dx [6.9] Έστω ότι η ταχύτητα μεταβάλλεται γραμμικά από το κατώτερο προς το ανώτερο άκρο του ελατηρίου. Τότε η ταχύτητα υ ς του στοιχειώδους κομματιού θα είναι: x s L 6A.4 [6.10]

68 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 6 Μηχανικές ταλαντώσεις Η κινητική ενέργεια του στοιχειώδους κομματιού μήκους dx θα είναι : 1 1 m x de dm dx L L s 1 de m dx 3 x L [6.11] Και η ολική κινητική ενέργεια του ελατηρίου είναι: L L1 x E de m dx L E m [6.1] Από την εξίσωση [6.1] φαίνεται ότι η κινητική ενέργεια του ελατηρίου ισούται με την κινητική ενέργεια ενός σώματος που έχει μάζα ίση με το 1/3 της μάζας του ελατηρίου και κινείται με την ίδια ταχύτητα που κινείται και η μάζα m ελ. Δηλαδή η ισοδύναμη μάζα του συστήματος ταλάντωσης ισούται με την μάζα του εξαρτημένου σώματος συν το ένα τρίτο της μάζας του ελατηρίου (m+1/3 m ελ ). Εκτέλεση του πειράματος 1 η Μέθοδος έμμεσης μέτρησης της σταθεράς ελατηρίου 1. Ζυγίστε το ελατήριο (Α), και τη βάση στήριξης των βαρών (Β), (σχήμα 6.). Γράψτε τις μετρήσεις στην μορφή: m ελατ = (gr) και m Β = (gr). Στερεώστε σταθερά το ελατήριο στην άκρη της οριζόντιας ράβδου και στη συνέχεια ρυθμίστε τον δείκτη του ελατηρίου έτσι ώστε αυτός να ακουμπά μόλις πάνω στον κανόνα μέτρησης και να δείχνει μηδέν 0. Η ρύθμιση αυτή επιτυγχάνεται ολισθαίνοντας τον κανόνα πάνω στον κατακόρυφο στυλίσκο, ή μετακινώντας τον σύνδεσμο (Σ) αριστερά ή δεξιά και την οριζόντια ράβδο (Ρ) μέσα έξω. Γράψτε στο τετράδιο μετρήσεων την ένδειξη Δl o =0. 3. Διαδικασία φόρτισης του ελατηρίου: Κρεμάστε διαδοχικά στο ελατήριο 6 διαφορετικές μάζες m i. (Οι μάζες τοποθετούνται πάνω στο στήριγμα (Β) το 6A.5

69 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 6 Μηχανικές ταλαντώσεις οποίο κρέμεται από το ελατήριο.) Καταγράψτε κάθε φορά τη ένδειξη του δείκτη Δl i πάνω στον κανόνα. Προσοχή: ότι η συνολική μάζα m tot, η οποία είναι κρεμασμένη στο ελατήριο κάθε φορά υπολογίζεται από την συνολική μάζα των κρεμασμένων μαζών m i, και την μάζα της βάσης Β, m Β. Δηλαδή m tot, = m i + m Β. Σχήμα 6. Πειραματική διάταξη. Συνδυάστε τις μάζες που σας έχουν δοθεί έτσι ώστε οι τιμές του m i που θα χρησιμοποιήσετε να είναι: 50gr, 70gr, 90gr, 110gr, 130gr, 150gr. Γράψτε τις μετρήσεις σε πίνακα της παρακάτω μορφής, στις αντίστοιχες στήλες: α/α 1 3 m i (kg) Πίνακας μετρήσεων και υπολογισμών 6.1 m tot,= m i +m Β (kg) F=mg (N) Κατά την φόρτιση Δl i,φ (m) Κατά την αποφόρτιση Δl i,α (m) Μέση τιμή επιμήκυνσης x=( Δli, φ +Δli, α )/ (m) Διαδικασία αποφόρτισης του ελατηρίου: Στη συνέχεια και αφού η μάζα των 150 gr είναι τοποθετημένη πάνω στο στήριγμα και αναρτημένη στο ελατήριο αρχίστε να αφαιρείτε διαδοχικά τις μάζες έτσι ώστε να επιστρέφετε στην προηγούμενη τιμή του m i. Κάθε φορά που ξεκρεμάτε μια μάζα καταγράφετε την νέα ένδειξη Δl i του δείκτη στην αντίστοιχη στήλη του πίνακα 6.1. η Μέθοδος έμμεσης μέτρησης της σταθερής ελατηρίου 1. Για κάθε μία από τις μάζες m tot που χρησιμοποιήσατε στην 1 η μέθοδο, ακολουθήστε την παρακάτω διαδικασία: 6A.6

70 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 6 Μηχανικές ταλαντώσεις. Κρεμάστε τη μάζα (με το στήριγμα) στο άκρο του ελατηρίου, τεντώστε το ελατήριο προς τα κάτω, κατά μικρή απόσταση (<1cm), και αφήστε το κατόπιν ελεύθερο. Αν η ταλάντωση είναι ομαλή σε κατακόρυφο επίπεδο, μετρήστε το χρόνο ταλάντωσης 10 διαδοχικών πλήρων ταλαντώσεων, δηλαδή 10 περιόδων. Επαναλαμβάνετε την κάθε μέτρηση 3 φορές. Γράψτε τις μετρήσεις στην σε πίνακα της παρακάτω μορφής: α/α 1 3 m i (kg) Πίνακας μετρήσεων και υπολογισμών 6. m tot, = m i +m Β +m ελατ /3 (kg) t1 10T1 (s) t 10T (s) t3 10T3 (s) Μέση Περίοδος Ταλάντωσης T ( t t t ) (s) T (s ) Επεξεργασία των μετρήσεων 1η Μέθοδος 1. Για κάθε μάζα m i υπολογίστε την μάζα m tot, την δύναμη F, την επιμήκυνση x και συμπληρώστε τον πίνακα 6.1. Από τις τιμές του πίνακα 6.1, σχεδιάστε με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων την γραφική παράσταση της δύναμης F που εφαρμόζεται στο ελατήριο σαν συνάρτηση της επιμήκυνσης x που προκαλεί στο ελατήριο. Η γραφική παράσταση να γίνει με τον τρόπο που περιγράφεται στις σελίδες 17 και 18 της εισαγωγής. 3. Επειδή η σχέση F=f(x) είναι γραμμική της μορφής y=bx+α (στην περίπτωση αυτή F=bx+a), ο υπολογισμός της κλίσης της ευθείας και του σφάλματος της κλίσης επιτρέπει τον έμμεσο υπολογισμό της σταθεράς ελατηρίου k και του σφάλματός της δk (σχέσεις (1) σελ. Εις. 17, (9) σελ. Εις.8). Γράψτε τα αποτελεσμένα με την μορφή: k= ±... (μονάδες) (τιμή) (σφάλμα) 6A.7

71 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 6 Μηχανικές ταλαντώσεις η Mέθοδος 1. Για κάθε μάζα m i υπολογίστε την μάζα m tot, την μέση περίοδο ταλάντωσης T, το τετράγωνο της μέσης περιόδου ταλάντωσης T και συμπληρώστε τον πίνακα 6.. Από τις τιμές του πίνακα 6., σχεδιάστε με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων την γραφική παράσταση m tot =f(τ ) της μάζας που εφαρμόζεται στο ελατήριο σαν συνάρτηση της περιόδου ταλάντωσης του ελατηρίου. Η γραφική παράσταση να γίνει με τον τρόπο που περιγράφεται στις σελίδες 17 και 18 της εισαγωγής. k 3. Από την σχέση [6.8] ισχύει ότι, mtot T. Άρα η συνάρτηση m tot =f(τ ) 4 είναι γραμμική της μορφής y=bx+α (στην περίπτωση αυτή m tot =bτ +a), όπου k b. O υπολογισμός της κλίσης της ευθείας και του σφάλματος της κλίσης 4 επιτρέπει τον έμμεσο υπολογισμό της σταθεράς ελατηρίου k και του σφάλματός της δk (σχέσεις (1) σελ. Εις. 17, (9) σελ. Εις.8). Γράψτε τα αποτελέσματα με την μορφή: k= ±... (μονάδες) (τιμή) (σφάλμα) Σχολιάστε ποια από τις παραπάνω μεθόδους υπολογισμού του k είναι πιο αξιόπιστη. Ερωτήσεις προετοιμασίας Αφού διαβάσετε την εργαστηριακή άσκηση 6Α θα πρέπει να μπορείτε να απαντάτε στις παρακάτω ερωτήσεις: 1. Ποιος είναι ο σκοπός του πειράματος;. Με πόσους και ποιους τρόπους υπολογίζεται η σταθερά του ελατηρίου; 3. Τι αναφέρει ο νόμος του Hooke; 4. Τι ονομάζεται ταλάντωση, τι απλή αρμονική ταλάντωση, ποιο είναι το πλάτος της και ποια η περίοδος της; 5. Τι ορίζεται σαν ελαστικό σώμα; 6. Σε τι διαφέρουν η δύναμη του ελατηρίου και η δύναμη επαναφοράς; 7. Με ποιον τρόπο από την 1 η μέθοδο εκτέλεσης του πειράματος ελέγχετε αν το ελατήριο παραμορφώνεται ή όχι; 8. Ποια σχέση μας δίνει την περίοδο ταλάντωσης του ελατηρίου; Ορίστε τα μεγέθη που εμφανίζονται στην σχέση. 9. Πως υπολογίζεται η σταθερά του ελατηρίου k από τις γραφικές παραστάσεις που θα κατασκευάσετε; 6A.8

72 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 6 Μηχανικές ταλαντώσεις Βιβλιογραφία 1. Halliday-Resnick, Φυσική, Μέρος Α, κεφ. 15. Alonso- Finn, Μηχανική Ι, κεφ.1 3. Μαθήματα Φυσικής, Πανεπ. Berkeley, Μηχανική Ι 4. HUGH D. YOUNG, Φυσική, Μέρος Α, κεφ. 6. 6A.9

73 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 7 Θερμιδομετρία ΘΕΡΜΙΔΟΜΕΤΡΙΑ Α Σ Κ Η Σ Η 7 A ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ - ΘΕΡΜΟΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΣΤΕΡΕΩΝ Απαραίτητες γνώσεις Θερμότητα, θερμοκρασία μίγματος, Νόμος Dulong-Petit, εσωτερική ενέργεια, θεωρία Debye για τη θερμοχωρητικότητα των στερεών, θερμική αγωγιμότητα στερεού. Σκοπός του πειράματος 1. Υπολογισμός της ειδικής θερμότητας (θερμοχωρητικότητας) του θερμιδόμετρου.. Υπολογισμός της ειδικής θερμότητας (θερμοχωρητικότητας) και της μοριακής θερμοχωρητικότητας του χαλκού. Μέθοδος Όταν θερμά δείγματα στερεού ή υγρού, τοποθετούνται μέσα σε θερμιδόμετρο, το οποίο είναι γεμάτο με νερό διαφορετικής θερμοκρασίας, η θερμοχωρητικότητα των δειγμάτων μπορεί να προσδιοριστεί από τη μεταβολή της θερμοκρασίας του νερού. Απαραίτητα όργανα Θερμαντική συσκευή Ηλεκτρική εστία θέρμανσης Θερμιδόμετρο (δοχείο Dewar ) Θερμόμετρο Ζυγαριά Περιγραφή των οργάνων Θερμιδόμετρο Με το θερμιδόμετρο μπορεί να υπολογισθεί η θερμοχωρητικότητα και κυρίως η ειδική θερμότητα, στερεών σωμάτων και υγρών, σύμφωνα με τον ο νόμο της θερμοδυναμικής. Όταν εφαρμόζεται ο νόμος αυτός στο σύστημα του θερμιδόμετρου θα πρέπει να ληφθεί υπόψη και η θερμοχωρητικότητα του θερμιδόμετρου, που οφείλεται στα μέρη της συσκευής τα οποία έρχονται σε επαφή με το νερό. Αυτά είναι: τα τοιχώματα του δοχείου, ο αναδευτήρας, το θερμόμετρο. Επίσης υπάρχει διαρροή στο περιβάλλον από το σκέπασμα. Στο Σχήμα 7.1 δείχνεται ένα θερμιδόμετρο, όπου: (1) Πλαστική βάση. () Δοχείο Dewar 50 ml, έχει γυάλινα τοιχώματα, επαργυρωμένα εσωτερικά, μεταξύ των οποίων υπάρχει υψηλό κενό. (3) Σκέπασμα. (4) Δυο εκτατά ελατήρια για να στερεώνουν το σκέπασμα. (5) 'Άνοιγμα στο οποίο τοποθετείται το θερμόμετρο. 7A.1

74 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 7 Θερμιδομετρία (6) Αναδευτήρας με πλέγμα πάνω στον οποίο τοποθετείται το δείγμα. ΠΡΟΣΟΧΗ! να κρατάτε το θερμιδόμετρο από το δοχείο (1), γιατί με τη θέρμανση μπορεί να αποκολληθεί από τη βάση. Σχήμα 7.1 Θερμιδόμετρο Θεωρία Μετάδοση θερμότητας. Η θερμότητα είναι μια μορφή ενέργειας η οποία μπορεί να μεταφερθεί από ένα σώμα σε κάποιο άλλο με διάφορους μηχανισμούς. Οι μηχανισμοί αυτοί είναι: (i) Αγωγή είναι η μεταφορά ενέργειας μεταξύ δύο σωμάτων. Όταν τα δύο σώματα έλθουν σε επαφή, λόγω της διαφοράς θερμοκρασίας ανάμεσά τους, τα δύο σώματα τείνουν να έλθουν σε θερμική ισορροπία, (ii) Μεταφορά όταν μια μάζα μετακινείται στο χώρο μιας άλλης, (iii) Ακτινοβολία όπου η διάδοση ενέργειας γίνεται με ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Η θερμοκρασία ενός σώματος μπορεί να αλλάξει προσφέροντας ή απάγοντας θερμότητα από αυτό. Θερμοχωρητικότητα C ενός σώματος, ορίζεται η αναγκαία ποσότητα της θερμότητας dq που απορροφάται από το σώμα για να μεταβάλλει τη θερμοκρασία του κατά 1 ο C. Εκφράζεται στο S.I. σε Joule ανά Kelvin (JK -1 ) C= dq/dt [7.1] Στον 1 ο Νόμο της θερμοδυναμικής, du = dq-dw, όπου U είναι η εσωτερική ενέργεια του θερμοδυναμικού συστήματος. Οι "Q" και "W" είναι ποσότητες, όχι ιδιότητες και δεν χαρακτηρίζουν μια ορισμένη κατάσταση του συστήματος. Q είναι η 7A.

75 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 7 Θερμιδομετρία ποσότητα απορροφημένης ή αποδιδόμενης θερμότητας από το σύστημα στο περιβάλλον ενώ W είναι το παραγόμενο έργο από το σύστημα. Η τιμή τους εξαρτάται από τη διαδρομή που ακολούθησε το σύστημα για να φθάσει στη συγκεκριμένη κατάσταση. Η ολοκλήρωση της "dq" και της dw" δίνει μια πεπερασμένη ποσότητα και όχι την διαφορά δυο τιμών. Η θερμότητα αντιστοιχεί πάντοτε σε μεταφορά ενέργειας λόγω διαφοράς θερμοκρασίας. Δεν έχει νόημα να λέμε "η ποσότητα θερμότητας στο σώμα". Ο όρος θερμοχωρητικότητα είναι ατυχής γιατί δίνει τη λαθεμένη εντύπωση ότι το σώμα περιέχει κάποιο ποσό θερμότητας. Ειδική θερμότητα (ή ειδική θερμοχωρητικότητα) c ενός σώματος είναι η απαιτούμενη ποσότητα θερμότητας για να μεταβληθεί η θερμοκρασία μάζας 1 kg σώματος κατά 1 Ο grad, δηλαδή είναι η θερμοχωρητικότητα ανά μονάδα μάζας του σώματος. (grad: Μεταβολή θερμοκρασίας Δθ είτε σε 0 C είτε σε K). C 1 dq c m m dt [7.] εκφράζεται σε Joule ανά grad ανά kg (J. grad -1.kg -1 ) στο S.I. Γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα (ή γραμμομοριακή ειδική θερμότητα) C m ενός σώματος, είναι το ποσό της θερμότητας που χρειάζεται κάθε mole του σώματος, για να μεταβληθεί η θερμοκρασία του κατά 1βαθμό, δηλαδή είναι το γινόμενο της ειδικής θερμότητας επί το μοριακό βάρος (μονάδα μάζας θεωρείται το μοριακό βάρος). C m = cmβ = cal mole -1 K -1 [7.3] Στη θερμοχωρητικότητα των στερεών συνεισφέρουν πολλοί παράγοντες. Ο κυριότερος παράγοντας είναι οι ταλαντώσεις πλέγματος των κρυσταλλικών στερεών. Στα παραμαγνητικά άλατα, που είναι σύστημα μαγνητικών δίπολων, συνεισφέρει ο βαθμός προσανατολισμού των δίπολων. Στα μέταλλα συνεισφέρουν τα ηλεκτρόνια αγωγιμότητας. Αυτοί οι παράγοντες μπορούν να μελετηθούν χωριστά γιατί αλληλεπιδρούν ασθενέστατα μεταξύ τους. Η ποσότητα της απορροφημένης ή αποδιδόμενης θερμότητας δq, καθώς μεταβάλλεται η θερμοκρασία, εξαρτάται και διαφοροποιείται ανάλογα με τις συνθήκες του περιβάλλοντος: σε συνθήκες με σταθερό όγκο σε C V, σε συνθήκες με σταθερή πίεση σε C p. Στα στερεά ισχύει: C p = C V [7.4] Κατά τον θεωρητικό υπολογισμό της γραμμομοριακής θερμοχωρητικότητας C m, εφαρμόζονται στατιστικές μέθοδοι. Στην Κλασική Στατιστική Μηχανική, το θεώρημα της ισοκατανομής της ενέργειας οδηγεί στη σταθερή τιμή "3R" σε όλες τις χαμηλές 7A.3

76 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 7 Θερμιδομετρία θερμοκρασίες, κατά παράβαση των πειραμάτων και του τρίτου Νόμου της θερμοδυναμικής. C V = 3R (Dulong-Petit) [7.5] Το βασικό βήμα για την άρση αυτής της ασυμφωνίας, μεταξύ Κλασικής Θεωρίας και πειράματος, έκανε ο Einstein, το 1907, ο οποίος μελέτησε τις ταλαντώσεις πλέγματος σύμφωνα με την Κβαντική Θεωρία. Βελτιώσεις στη θεωρία του Einstein έγιναν από τον Debye: 3 TD / T 4 x dq de T x e dx C 3 3 V NK x dt V dt V T [7.6] D 0 e 1 όπου: x = hf/κτ, και "f" η συχνότητα των πλεγματικών ταλαντώσεων. Τ D = θερμοκρασία Debye Τ = Απόλυτη θερμοκρασία του σώματος σε Kelvin h = σταθερά του Plank k = R / N, σταθερά του Boltzmann R = 8,317 Joule / Kelvin, σταθερά των αερίων Ν = 6, μόρια (αριθμός Avogadro) Στο όριο των υψηλών θερμοκρασιών (Τ>>T D ), η σχέση [7.6] παίρνει τη μορφή του νόμου των Dulong-Petit: C V = 3R = 3NK [7.7] Στο όριο των χαμηλών θερμοκρασιών (Τ<<T D ), η σχέση [7.6] παίρνει την μορφή: C V = 1/5 π 4 ΝΚ(Τ/ T D ) [7.8] Στο Σχήμα 7., φαίνονται οι γραμμομοριακές θερμοχωρητικότητες C V μερικών υλικών. Η γραμμή Ι εκφράζει το νόμο των Dulong-Petit, η καμπύλη ΙΙ την θεωρία των Debye. Στο διάγραμμα φαίνονται μερικά επιλεγμένα σημεία μόνο. Σχήμα 7. Γραμμομοριακές θερμοχωρητικότητες σαν συνάρτηση της θερμοκρασίας 7A.4

77 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 7 Θερμιδομετρία Μετάδοση θερμότητας με αγωγή. Όταν δυο σώματα διαφορετικής θερμοκρασίας έρθουν σε επαφή και είναι θερμικά μονωμένα από το περιβάλλον τους, με βάση τον 0 Νόμο της θερμοδυναμικής, μεταφέρεται θερμότητα από το θερμότερο στο ψυχρότερο σώμα, μέχρι να αποκτήσουν την ίδια θερμοκρασία. Η σχέση που περιγράφει το φαινόμενο είναι: c 1 m 1 (θ 1 -θ m ) = c m (θ m -θ ) [7.9α] ή με τη βοήθεια της [7.], c 1 m 1 (θ 1 -θ m ) = C (θ m -θ ) c 1 m 1 Δθ 1 = C Δθ [7.9β] [7.9γ] όπου c 1, c : οι ειδικές θερμότητες των σωμάτων, C : η θερμοχωρητικότητα του ενός σώματος m 1, m : οι μάζες των σωμάτων, θ 1, θ : οι αρχικές θερμοκρασίες των σωμάτων θ m : η μέγιστη θερμοκρασία που παρατηρείται κατά την θερμική ισορροπία του συστήματος (η τελική θερμοκρασία του συστήματος).. Θερμικές απώλειες. Στα πειράματα με το θερμιδόμετρο, πάντα διαρρέει ένα ποσό θερμότητας στο περιβάλλον. Στα απλά πειράματα με το θερμιδόμετρο, όταν τα υλικά είναι καλοί αγωγοί της θερμότητας το μίγμα φθάνει στην τελική του θερμοκρασία πολύ γρήγορα. Έτσι ο χρόνος για διαρροές θερμότητας είναι μικρός και το ποσό της θερμότητας που διαρρέει είναι πολύ μικρό. Αντίθετα όταν τα υλικά είναι κακοί αγωγοί της θερμότητας, αποδίδουν τη θερμότητά τους πολύ αργά και ο χρόνος είναι αρκετός για να υπάρχει μεγάλη διαρροή θερμότητας. Όταν απαιτείται μεγάλη ακρίβεια στο πείραμα, πρέπει να λαμβάνεται υπόψη η διαρροή θερμότητας. Ο Newton υπολόγισε ότι το ποσό της θερμότητας που χάνεται στο περιβάλλον, είναι ανάλογο της θερμοκρασίας του περιβάλλοντος. Οδηγίες για την εκτέλεση του πειράματος Το πείραμα περιλαμβάνει στάδια, τα Α και Β. Μετρήσεις του πειράματος στο Α στάδιο Στο Α στάδιο γίνονται μετρήσεις για τον υπολογισμό της θερμοχωρητικότητας του θερμιδόμετρου. Τα σώματα μεταξύ των οποίων γίνεται ανταλλαγή θερμότητας είναι το θερμιδόμετρο και το νερό, όπου το νερό είναι θερμότερο του θερμιδόμετρου. 7A.5

78 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 7 Θερμιδομετρία m θερμ/τρου = + gr m θερμ/τρου+νερού = + gr θ αρχ. θερμι/τρου = + 0 C θ αρχ νερού = + 0 C θ τελ θερμ/τρου+νερού = + 0 C m νερού = (m θερμιδόμετρου +νερού ) (m θερμιδόμετρου )= + gr Σχήμα 7.3 Μετρήσεις του πειράματος στο Β στάδιο Στο Β στάδιο γίνονται μετρήσεις για τον υπολογισμό της ειδικής θερμότητας του χαλκού. Τα σώματα μεταξύ των οποίων γίνεται ανταλλαγή θερμότητας είναι το σύστημα θερμιδόμετρου νερού με τον χαλκό, όπου ο χαλκός είναι θερμότερος του θερμιδόμετρου. m θερμ/τρου+νερού = + gr m Cu = + gr θ αρχική, θερμιδ. + νερού = + 0 C θ Cu = + 0 C θ τελ, θερμιδ.+ νερού + Cu = + 0 C Σχήμα 7.4 Α στάδιο: Υπολογισμός της θερμοχωρητικότητας του θερμιδόμετρου 1. Αντιγράψτε στο τετράδιο μετρήσεων σας το σχήμα 7.3 για να συμπληρώσετε πάνω σε αυτό τις μετρήσεις που ζητούνται. Ο τρόπος που θα πάρετε τις μετρήσεις περιγράφεται στη συνέχεια.. Ανοίξτε την θέρμανση στην δεξαμενή του νερού και τοποθετήστε τον διακόπτη στους μεταξύ 50 και 60 0 C. Όταν ο λαμπτήρας της συσκευής σβήσει το νερό έχει αποκτήσει την θερμοκρασία που επιλέξατε. Κατά τη διάρκεια θέρμανσης του νερού στην συσκευή θέρμανσης εκτελέστε τα παρακάτω (3) και (4) βήματα της εκτέλεσης. 7A.6

79 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 7 Θερμιδομετρία 3. Να ζυγιστεί το θερμιδόμετρο άδειο και κλειστό μαζί με το καπάκι και τον αναδευτήρα. Αν χρειάζεται πριν τη ζύγιση, σκουπίσετε το θερμιδόμετρο με διηθητικό χαρτί. Συμπληρώστε την μέτρηση στο τετράδιο σας (σχήμα 7.3). m θερμιδόμετρου = + gr 4. Τοποθετήστε τον αισθητήρα του ψηφιακού θερμόμετρου στην κατάλληλη υποδοχή του θερμιδομέτρου (θέση [5] στο σχήμα 7.1). Ο αισθητήρας τοποθετείται όλος μέσα στο θερμιδόμετρο έτσι ώστε το άκρο του να είναι λίγο πιο πάνω από τον πυθμένα του θερμιδομέτρου. Μετρήστε την αρχική θερμοκρασία του θερμιδόμετρου. Συμπληρώστε την μέτρηση στο τετράδιο σας (σχήμα 7.3). θ αρχική θερμιδόμετρου = + 0 C Το θερμιδόμετρο παραμένει κλειστό (ασφαλισμένο) με το θερμόμετρο να παραμένει μέσα στο θερμιδόμετρο. 5. Μετρήστε με το θερμόμετρο την θερμοκρασία του νερού μέσα στην δεξαμενή ζεστού νερού και αμέσως μετά με ένα βοηθητικό δοχείο μεταφέρετε ποσότητα ζεστού νερού μέσα στο θερμιδόμετρο. Το νερό το βάζετε μέσα στο θερμιδόμετρο αφού πρώτα απασφαλίσετε το καπάκι του θερμιδομέτρου και γεμίστε το κατά τα /3 με το ζεστό νερό. Ασφαλίστε ξανά το καπάκι του θερμιδομέτρου. Η διαδικασία αυτή πρέπει να γίνει γρήγορα ώστε να μην ελαττωθεί η θερμοκρασία του ζεστού νερού πριν μπει στο θερμιδόμετρο. Συμπληρώστε την μέτρηση στο τετράδιο σας (σχήμα 7.3). θ αρχική ζεστού νερού = + 0 C 6. Αναδεύετε αργά, με την βοήθεια του αναδευτήρα (6) στο σχήμα 7.1, συνέχεια το νερό για 1 περίπου λεπτό και στη συνέχεια διαβάστε την τελική θερμοκρασία που δείχνει το θερμόμετρο και είναι η θερμοκρασία του συστήματος θερμιδόμετρο νερό. Συμπληρώστε την μέτρηση στο τετράδιο σας (σχήμα 7.3). θ τελική συστήματος = + 0 C 7. Αφαιρέστε τον αισθητήρα από το θερμιδόμετρο και ζυγίστε το θερμιδόμετρο μαζί με το νερό. Συμπληρώστε την μέτρηση στο τετράδιο σας (σχήμα 7.3). m θερμιδόμετρου + νερού = + gr Υπολογίστε τη μάζα του νερού και συμπληρώστε την μέτρηση στο τετράδιο σας (σχήμα 7.3). m νερού = (m θερμιδόμετρου +νερού ) (m θερμιδόμετρου )= + gr 7A.7

80 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 7 Θερμιδομετρία Β. Υπολογισμός της ειδικής θερμότητας στερεών (Cu). 1. Αντιγράψτε στο τετράδιο μετρήσεων σας το σχήμα 7.4 για να συμπληρώσετε πάνω σε αυτό τις μετρήσεις που ζητούνται. Ο τρόπος που θα πάρετε τις μετρήσεις περιγράφεται στη συνέχεια.. Μετά το στάδιο Α αδειάστε το θερμιδόμετρο.γεμίστε εκ νέου το θερμιδόμετρο, λίγο πιο πάνω από τη μέση, με κρύο νερό και κλείστε το καπάκι του (ασφαλίστε το). Ζυγίστε το θερμιδόμετρο μαζί με το νερό, για να υπολογιστεί η μάζα του νερού. Συμπληρώστε την μέτρηση στο τετράδιο σας (Σχήμα 7.4). m θερμιδόμετρου +νερού = + gr Άρα, m νερού = (m θερμιδόμετρου +νερού ) (m θερμιδόμετρου )= + gr 3. Να ζυγιστεί το δείγμα του χαλκού. Συμπληρώστε την μέτρηση στο τετράδιο σας (σχήμα 7.4). m χαλκού = + gr 4. Τοποθετήστε το δείγμα του χαλκού μέσα σε δοχείο που περιέχει νερό μέχρι τη μέση και βρίσκεται πάνω σε εστία θέρμανσης. Το δείγμα είναι ανηρτημένο πάνω από το δοχείο του νερού έτσι ώστε να βρίσκεται όλο μέσα στο νερό αλλά να μην ακουμπάει τον πυθμένα του δοχείου. Ανοίγετε την εστία θέρμανσης. Όταν αρχίσει να βράζει το νερό αφήνουμε το δείγμα του χαλκού να θερμανθεί μέσα στο νερό που βράζει για 10 min. Τότε, λόγω θερμικής αγωγιμότητας του υλικού του χαλκού, η θερμοκρασία του θα είναι περίπου θ Cu C. Συμπληρώστε την μέτρηση στο τετράδιο σας (σχήμα 7.4). Κατά τη διάρκεια θέρμανσης του νερού στην συσκευή θέρμανσης εκτελέστε το παρακάτω 4 και 5 βήματα της εκτέλεσης. Προσοχή: να προσέχετε τον βραστήρα. Υπάρχει κίνδυνος ΕΓΚΑΥΜΑΤΟΣ. 5. Τοποθετήστε τον αισθητήρα του ψηφιακού θερμόμετρου στην κατάλληλη υποδοχή του θερμιδομέτρου, όπως περιγράφτηκε πριν. 6. Αφού ο χαλκός έχει θερμανθεί για 10 min μέσα στο νερό που βράζει είναι έτοιμος για να τον μεταφέρουμε μέσα στο θερμιδόμετρο νερό. Από το θερμόμετρο διαβάστε την αρχική θερμοκρασία του συστήματος θερμιδόμετρου/νερού πριν ακριβώς ρίξουμε μέσα το δείγμα του χαλκού. Συμπληρώστε την μέτρηση στο τετράδιο σας (Σχήμα 7.4). θ αρχική, θερμιδ. + νερού = + 0 C 7. Σηκώστε λίγο το καπάκι του θερμιδομέτρου και κρατώντας το δείγμα του χαλκού, που βρίσκεται μέσα στο νερό που βράζει, από το νήμα που κρέμεται, βυθίστε το γρήγορα μέσα στο θερμιδόμετρο, ώστε η ανταλλαγή θερμότητας με το περιβάλλον 7A.8

81 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 7 Θερμιδομετρία να είναι μικρή (το νήμα θα μείνει έξω από το θερμιδόμετρο). Στη συνέχεια να ασφαλίστε το καπάκι. 8. Αναδεύετε συνέχεια το νερό σιγανά για 1 min και στη συνέχεια διαβάστε την τελική θερμοκρασία του συστήματος θερμιδόμετρου/ νερού/ χαλκού. Συμπληρώστε την μέτρηση στο τετράδιο σας (σχήμα 7.4). θ τελική, θερμιδ.+ νερού + Cu = + 0 C. Eπεξεργασία μετρήσεων Α. Υπολογισμός της θερμοχωρητικότητας του θερμιδόμετρου 1. Στο πρώτο μέρος του πειράματος γίνεται ανταλλαγή θερμότητας μεταξύ δυο σωμάτων: 1) θερμιδόμετρου (ψυχρότερο σώμα) και ) νερού (θερμότερο σώμα). Χρησιμοποιώντας κατάλληλα τις μετρήσεις σας από την σχέση [7.9γ], υπολογίστε την θερμοχωρητικότητα του θερμιδόμετρου, C θερμιδ και το ολικό πιθανό σφάλμα της θερμοχωρητικότητας του θερμιδόμετρου, δ Cθερμιδ. Η ειδική θερμότητα του νερού είναι: c νερού = 4187 Joule / (kgr 0 C) = 1 cal / (gr 0 C) = 1 Kcal /(Kg 0 C). Επειδή η θερμοχωρητικότητα του θερμιδόμετρου, C θερμιδ υπολογίζεται από έμμεσες μετρήσεις των, m νερού, Δθ 1 και Δθ, δηλαδή C θερμιδ =f(m νερού,δθ 1,Δθ ), για τον υπολογισμό του σφάλματος δ Cθερμιδ χρησιμοποιήστε την σχέση (9) της σελ. Εις. 8. Σαν σφάλματα σ mνερού, σ Δθ1 και σ Δθ χρησιμοποιήστε την διακριτική ικανότητα (resolution) των συσκευών μέτρησης που χρησιμοποιήσατε. Το c νερού είναι σταθερά. Γράψτε το αποτέλεσμα στην μορφή: C θερμιδ = ±... (μονάδες) (τιμή) (σφάλμα) Β. Υπολογισμός της ειδικής θερμοχωρητικότητας του Cu 1. Στο δεύτερο μέρος του πειράματος γίνεται ανταλλαγή θερμότητας μεταξύ των σωμάτων: α) συστήματος θερμιδόμετρου/νερού (ψυχρότερο σώμα) και β) χαλκού (θερμότερο σώμα). Ο χαλκός δίνει θερμότητα ίση με: Q mcu ccu ( Cu ) Q m c [7.10] Cu Cu 1 7A.9

82 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 7 Θερμιδομετρία Όπου, θ τελ = θ τελική, συτήματος: θερμιδ.+νερού + Cu Την θερμότητα αυτή την παίρνει το σύστημα θερμιδόμετρου/ νερού: Q C ( ) m c ( ) ό ύ ύ ό Q ( C m c )( ) ύ ύ ό Q ( C m c ) ύ ύ [7.11] (Την θ Cu την θεωρούμε περίπου ίση με C) (*) c νερού : η ειδική θερμότητα νερού (J/gK) m νερού : μάζα νερού ( gr ) m Cu : μάζα δείγματος χαλκού ( gr ) θ θερμ.-νερό : αρχική θερμοκρασία θερμιδομέτρου-νερού ( ο C) θ Cu : αρχική θερμοκρασία δείγματος χαλκού μετά την θέρμανση του ( ο C) θ τελ. : τελική θερμοκρασία συστήματος θερμιδόμετρου-νερού-cu ( ο C) C θερμιδ. : η θερμοχωρητικότητα του θερμιδόμετρου (J/K) Η ειδική θερμότητα του νερού είναι: c νερού = 4187 Joule / (kgr 0 C) = 1 cal / (gr 0 C) = 1 Kcal /(Kg 0 C). 1. Εξισώνοντας τις σχέσεις [7.10] και [7.11] και λύνοντας ως προς c Cu, υπολογίστε την ειδική θερμότητα του δείγματος του χαλκού που μελετήθηκε στο πείραμα και το ολικό πιθανό σφάλμα της ειδικής θερμότητας του χαλκού, δ Ccu.. Επειδή η ειδική θερμότητα του χαλκού c Cu, υπολογίζεται από έμμεσες μετρήσεις των, C θερμ, m νερού, m Cu, Δθ 1 και Δθ, δηλαδή c Cu =f(c θερμ, m Cu,m νερού,δθ 1,Δθ ), για τον υπολογισμό του σφάλματος δ Ccu χρησιμοποιήστε την σχέση (9) της σελ. Εις. 8. Σαν σφάλματα σ mνερού, σ Δθ1 και σ Δθ χρησιμοποιήστε την διακριτική ικανότητα (resolution) των συσκευών μέτρησης που χρησιμοποιήσατε και σαν σφάλμα σ Cθερμιδ το δ Cθερμιδ που υπολογίσατε στην επεξεργασία Α. Το c νερού είναι σταθερά. Γράψτε το αποτέλεσμα στην μορφή: c Cu = ±... (μονάδες) (τιμή) (σφάλμα) Να υπολογιστεί η γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα (γραμμομοριακή ειδική θερμότητα) του χαλκού (C Cu ) από την σχέση [7.3]. Το μοριακό βάρος (ΜΒ) του χαλκού είναι, ΜΒ cu =63,5 gr/mole 7A.10

83 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 7 Θερμιδομετρία 3. Από την βιβλιογραφία (π.χ. HUGH D. YOUNG, Φυσική, Μέρος Α, σελίδα 47, πίνακας 15-3) βρείτε τις θεωρητικές προσεγγιστικές τιμές για την ειδική θερμότητα και την γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα του Cu και συγκρίνατε τις με τις αντίστοιχες τιμές που υπολογίσατε στο πείραμα. Συγκρίνετε τις τιμές με την βοήθεια της σχέσης (8), σελ. Εις. 7 της εισαγωγής. 4. Σχολιάστε τις αποκλίσεις που έχουν οι πειραματικές σας τιμές από τις θεωρητικές. Εντοπίστε πιθανά σφάλματα κατά την διάρκεια της πειραματικής διαδικασίας. Ερωτήσεις προετοιμασίας Αφού διαβάσετε την εργαστηριακή άσκηση 7Α θα πρέπει να μπορείτε να απαντάτε στις παρακάτω ερωτήσεις: 1. Ποιος είναι ο σκοπός του πειράματος;. Τι ονομάζεται θερμότητα; Με ποιους διαφορετικούς μηχανισμούς γίνεται η μεταφορά της; 3. Είναι ορθή η διατύπωση «ένα σώμα περιέχει θερμότητα»; Εξηγείστε. 4. Τι ονομάζεται ειδική θερμότητα c (ειδική θερμοχωρητικότητα) ενός σώματος. Τύπος και μονάδες στο SI. 5. Τι ονομάζεται θερμοχωρητικότητα C ενός σώματος; Τύπος και μονάδες στο SI. 6. Τι ονομάζεται γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα (ή γραμμομοριακή ειδική θερμότητα) C m ενός σώματος; Τύπος και μονάδες στο SI. 7. Τι ισχύει όταν δύο σώματα με διαφορετικές θερμοκρασίες έλθουν σε επαφή;ποια σχέση περιγράφει το φαινόμενο; 8. Ποιους κανόνες ασφαλείας πρέπει να τηρήσετε στο συγκεκριμένο πείραμα; Βιβλιογραφία 1. Halliday-Resnick, Φυσική, Μέρος Α, κεφ. 1-, -, -3, -4, 3-7, HUGH D. YOUNG, Φυσική, Μέρος Α, κεφ. 15-5, 15-6, 15-7, A.11

84 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 8 Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση Α Σ Κ Η Σ Η 8 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Απαραίτητες γνώσεις oς νόμος του Newton, επιτάχυνση της βαρύτητας, ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, Ταχύτητα, επιτάχυνση, δύναμη τριβής. Σκοπός του πειράματος Υπολογισμός της επιτάχυνσης α κιν ενός κινητού και στη συνέχεια ο υπολογισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας g. Μέθοδος Μετρούμε τον χρόνο κίνησης t κινητού σε γνωστά διαστήματα S πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο, χωρίς τριβές, με μηδενική αρχική ταχύτητα. Η σχέση που συνδέει το s με το t είναι γραμμική της μορφής y=bx+α. Από την κλίση b της ευθείας και το σφάλμα της κλίσης σ b, μπορεί να υπολογιστεί έμμεσα το g και το σφάλμα του. Απαραίτητα όργανα 1. Αερόδρομος μήκους m. Αλφάδι 3. Φυσητήρας αέρα 4. Δύο φωτοδιακόπτες 5. Ηλεκτρονικό χρονόμετρο 6. Kινητό σώμα Περιγραφή οργάνων Σχήμα 8.1 Αερόδρομος Ο αερόδρομος (1) που χρησιμοποιείται στο πείραμα είναι κατασκευασμένος από αλουμινένιο σωλήνα τετραγωνικής εγκάρσιας διατομής και η κατασκευή του επιτρέπει ελευθερία τριβής πάνω στην επιφάνεια του, (σχήμα 8.1). Το ένα από τα δύο άκρα του είναι συνδεδεμένο μέσω ενός ελαστικού σωλήνα () με τον φυσητήρα αέρα (5). Μέσα από τις οπές διαμέτρου 0.1 mm, που υπάρχουν στις πλευρικές 8.1

85 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 8 Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση επιφάνειες του αερόδρομου, φυσάει αέρας ο οποίος τροφοδοτείται από τον φυσητήρα. Ο αέρας έχει σαν αποτέλεσμα να ελαχιστοποιεί την τριβή ανάμεσα στον αερόδρομο και στο κινητό το οποίο ολισθαίνει πάνω του. Στην κάθε πλευρά του αερόδρομου υπάρχει κλίμακα μέτρησης, ακρίβειας 1 mm, η οποία χρησιμοποιείται για την μέτρηση του διαστήματος που διανύει ένα κινητό. Το κινητό (3) είναι κατασκευασμένα από αλουμίνιο. Ο φυσητήρας αέρα (5) φέρει τους εξής διακόπτες: 1. Διακόπτη ON OFF.. Ρυθμιζόμενο διακόπτη για την επιλογή της παροχής του αέρα. Η δυναμική πίεση η οποία είναι δυνατόν να αναπτυχθεί, είναι 1 mbar. Οι φωτοδιακόπτες συνδέονται με το ηλεκτρονικό χρονόμετρο και δίνουν σήμα έναρξης ή παύσης της χρονομέτρησης της κίνησης του κινητού (start ή stop ). Ο φωτοδιακόπτης φέρει στις δύο απέναντι εσωτερικές του επιφάνειες από μια οπή. Από την μια οπή εκπέμπεται στην απέναντι υπέρυθρη ακτινοβολία μήκους κύματος 950 nm, ώστε ο φωτισμός του χώρου να μην προκαλεί παρεμβολές. Όταν αυτή η φωτεινή δέσμη διακοπεί από το κινητό, τότε ενεργοποιείται το start ή το stop του χρονόμετρου. Μέσα στον φωτοδιακόπτη υπάρχει φωτοδίοδος με ενισχυτή η οποία ενεργοποιείται από την υπέρυθρη ακτινοβολία έτσι ώστε να επιτυγχάνεται φωτοηλεκτρικός έλεγχος του ηλεκτρονικού χρονομέτρου. Στο πείραμα το αντικείμενο που ανιχνεύεται από τον φωτοδιακόπτη είναι ένας φωτοφράκτης (4) στο σχήμα 8.1, δηλαδή μία επίπεδη επιφάνεια ή μια ακίδα μικρών διαστάσεων, που είναι τοποθετημένος πάνω στα κινητά. Σχήμα 8. Φωτοδιακόπτης. Διαθέτει μια έξοδο σήματος Ausgang, και ένα ζευγάρι υποδοχών εισόδου τροφοδοσίας ηλεκτρικής τάσης. Συνδεσμολογία φωτοδιακόπτη με χρονόμετρο. Ο φωτοδιακόπτης φέρει την έξοδο σήματος Ausgang που συνδέεται με καλώδιο με την είσοδο start (5) ή stop (6) του χρονόμετρου (βλέπε σχήμα 8.3). Την είσοδο +5 V και την είσοδο γείωσης για να συνδεθεί με τις αντίστοιχες (11) του χρονόμετρου (σχήμα 8.3). Το ηλεκτρονικό χρονόμετρο φαίνεται στο σχήμα 8.3 και φέρει τους ακόλουθους διακόπτες: 1. Διακόπτης ON OFF.. Είσοδος σήματος του οποίου πρόκειται να μετρηθεί η συχνότητα 8.

86 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 8 Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση 3. Το ίδιο με το () αλλά για ομοαξονικό καλώδιο. 4. Ρυθμιζόμενος διακόπτης για την επιλογή του μετρούμενου μεγέθους και της ακρίβειας του. 5. Είσοδος σήματος το οποίο θέτει σε λειτουργία το Start του χρονομέτρου. 6. Είσοδος σήματος το οποίο θέτει σε λειτουργία το Stop του χρονομέτρου. 7. Διακόπτης ο οποίος θέτει σε λειτουργία το Start του χρονομέτρου. 8. Διακόπτης ο οποίος θέτει σε λειτουργία το Stop του χρονομέτρου. 9. Διακόπτης για τον μηδενισμό του χρονομέτρου. 10. Όταν οι διακόπτες δεν έχουν πιεσθεί, το Start ή το Stop τίθεται σε λειτουργία όταν δεχτούν ηλεκτρικό σήμα στις εισόδους (5) και (6). Όταν οι διακόπτες πιεστούν, το Start ή το Stop τίθεται σε λειτουργία όταν σταματήσει το σήμα που εισέρχεται στις εισόδους (5) και (6). 11. Έξοδος σήματος 5 V. Σχήμα 8.3 Ηλεκτρονικό χρονόμετρο. Θεωρία Ο δεύτερος νόμος του Newton μας λέει ότι όταν μια δύναμη ενεργεί σ' ένα σώμα, αυτό αποκτά μια επιτάχυνση που είναι ανάλογη της εφαρμοζόμενης δύναμης. Η αναλογία αυτή εκφράζεται από την σχέση: F m [8.1] (το σύμβολο Σ, που σημαίνει άθροισμα, επισημαίνει ότι αν ενεργούν περισσότερες από μια δυνάμεις στο σώμα, τότε πρέπει να χρησιμοποιείται το διανυσματικό άθροισμα των δυνάμεων αυτών). Όταν ένα σώμα ελευθερώνεται από μια κατάσταση ηρεμίας κοντά στην επιφάνεια της Γης, επιταχύνεται προς τα κάτω με σταθερή επιτάχυνση, εφ' όσον η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα και το σώμα διανύει μια απόσταση που είναι μικρή σε σύγκριση με την ακτίνα της Γης. Το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας μεταβάλλεται με το γεωγραφικό πλάτος και για τα μέσα πλάτη λαμβάνεται περίπου ίσο με g=9.80 m/s. 8.3

87 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 8 Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση Αν τώρα ένα σώμα τοποθετηθεί πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο με γωνία κλίσης φ, χωρίς τριβή (σχήμα 8.5), οι δυνάμεις που δρουν σε αυτό είναι το βάρος του mg και η αντίδραση του επιπέδου Ν. Αν αναλύσουμε το βάρος σε δύο συνιστώσες όπως φαίνεται στο σχήμα, είναι προφανές ότι η μόνη δύναμη που κινεί το σώμα είναι η συνιστώσα mgsinφ. (Η αντίδραση του επιπέδου Ν και η συνιστώσα mgcosφ αλληλοεξουδετερώνονται). Επομένως το σώμα αρχίζει να κινείται πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο προς τα κάτω, χωρίς αρχική ταχύτητα, με επιτάχυνση που δίδεται από τη σχέση: α κιν = gsinφ [8.] Σχήμα 8.4 Ανάλυση δυνάμεων βάρους πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο. Επειδή το κινητό δεν έχει αρχική ταχύτητα η απόσταση S που διανύει μπορεί να προσδιορισθεί και με τη βοήθεια της εξίσωσης: 1 S = aκιν t 1 S = gsinφ t [8.3α] [8.3β] όπου S είναι το διάστημα που διανύει το σώμα, που εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, όταν την χρονική στιγμή t o =0, η αρχική ταχύτητα του σώματος είναι υ ο =0 και το αρχικό διάστημα είναι S o =0. Από τη εξίσωση [8.3] βλέπουμε ότι η σχέση ανάμεσα στο διάστημα S και το τετράγωνο του χρόνου t είναι γραμμική. Η γραφική παράσταση S = f(t ), είναι μια ευθεία γραμμή της μορφής y=bx+α, της οποίας η κλίση είναι b = α κιν / [8.4] 8.4

88 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 8 Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση Οδηγίες για την εκτέλεση του πειράματος ΠΡΟΣΟΧΗ: ΜΗΝ ΜΕΤΑΚΙΝΕΙΤΕ ΤΟ ΚΙΝΗΤΟ ΠΑΝΩ ΣΤΟΝ ΑΕΡΟΔΡΟΜΟ ΟΤΑΝ ΑΥΤΟΣ ΔΕΝ ΤΡΟΦΟΔΟΤΕΙΤΑΙ ΜΕ ΑΕΡΑ. 1. Μελετήστε τους διακόπτες του χρονόμετρου σύμφωνα με την περιγραφή που δίνεται στο σχήμα 8.3. Επιλέξετε να μετράμε διακριτικότητα ±0.001 s.. Παρατηρήστε τους φωτοδιακόπτες και συγκρίνετε σύμφωνα με την περιγραφή τους που δίνεται στο σχήμα Ελέγξτε χρησιμοποιώντας το αλφάδι ότι ο αερόδρομος είναι σε οριζόντια θέση. Αν δεν είναι ρυθμίστε τον ώστε να είναι οριζόντιος από τα πόδια των οποίων το ύψος αυξομειώνεται. 4. Το κεκλιμένο θα δημιουργηθεί τοποθετώντας ένα τακάκι κάτω από το ένα πόδι του αερόδρομου. Αφού πρώτα μετρήσετε με το παχύμετρο το πάχος h που έχει το τακάκι, τοποθετήστε το έτσι ώστε να υπερυψωθεί το ένα άκρο του, (σχήμα 8.5). Σχήμα 8.5. Πειραματική διάταξη κεκλιμένου αερόδρομου. Η μια βάση του έχει ανυψωθεί κατά ύψος h. 5. Κάνετε την συνδεσμολογία των δυο φωτοδιακοπτών με το ηλεκτρονικό χρονόμετρο, σύμφωνα με το Σχήμα Μετρήστε πάνω στην κλίμακα του αερόδρομου την υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου που σχηματίζεται. Αυτή είναι η απόσταση l ανάμεσα στα πόδια στήριξης του αερόδρομου, (σχήμα 8.5). Το ημίτονο της γωνίας κλίσης φ του κεκλιμένου δίνεται από τη σχέση: sinφ = h / l [8.5] 8.5

89 Εργαστήριο Δομής της Ύλης & Φυσικής Λέιζερ Άσκηση 8 Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση Σχήμα 8.6 Ο φωτοδιακόπτης φέρει την έξοδο σήματος Ausgang που συνδέεται με καλώδιο με την είσοδο start ή stop του χρονόμετρου. Η είσοδος +5 V και η είσοδος γείωσης συνδέεται με τις αντίστοιχες του χρονόμετρου. 7. Θέσετε σε λειτουργία τον αεροσυμπιεστή ώστε να τροφοδοτήσετε τον αερόδρομο με αέρα. Τοποθετήστε τους δύο φωτοδιακόπτες σε γνωστή απόσταση S 1 πάνω από το κεκλιμένο την οποία μετράτε με μετροταινία. Την απόσταση την μετράμε από την αρχή του 1 ου φωτοδιακόπτη μέχρι την αρχή του ου ή από το τέλος του 1 ου μέχρι το τέλος του ου, (σχήμα 8.5). ΠΡΟΣΟΧΗ!! Κανονίστε το ύψος των φωτοδιακοπτών, έτσι ώστε ανάμεσα από το φωτοδιακόπτη να περνάει η κεραία του κινητού και όχι όλο το κινητό σώμα. Δείτε σχήμα Αφήστε από το υπερυψωμένο άκρο του αερόδρομου (*) το κινητό να κινηθεί προς τα κάτω και διαβάστε από το χρονόμετρο, τον χρόνο που χρειάζεται το κινητό να διανύσει την απόσταση S 1. Το χρονόμετρο θα ξεκινήσει αυτόματα μόλις το κινητό (η κεραία του) περάσει από τον πρώτο φωτοδιακόπτη και θα σταματήσει μόλις αυτό περάσει από τον δεύτερο φωτοδιακόπτη. (*) Η κεραία του κινητού πρέπει να ξεκινάει ακριβώς πριν τον πρώτο φωτοδιακόπτη (πριν την νοητή γραμμή που ενώνει τις δύο οπές του) ώστε το κινητό να έχει μηδέν αρχική ταχύτητα (γιατί S=1/ at ). Δείτε σχήμα 8.5. Ένας καλός τρόπος μέτρησης (όχι απαραίτητος) ώστε να μην επηρεάζουμε με το χέρι μας την κίνηση του κινητού είναι ο παρακάτω: Ρυθμίζουμε την ροή του αεροσυμπιεστή σε μία σταθερή τιμή (πχ στο ). Κλείνουμε τον αεροσυμπιεστή από τον διακόπτη ON/OFF. Τοποθετούμε το κινητό (χωρίς να το σέρνουμε πάνω στον αερόδρομο) έτσι ώστε η κεραία του να είναι ακριβώς πριν τον φωτοδιακόπτη (πριν την νοητή γραμμή που ενώνει τις δύο οπές του). Ανοίγουμε τον αεροσυμπιεστή. Το κινητό θα αρχίσει να κινείται μόνο του, λόγω του κεκλιμένου επιπέδου αφού θα πάψουν να υπάρχουν τριβές. 8.6