Κεφάλαιο 1. Δx: απόλυτο σφάλμα του μεγέθους x. (Το Δx έχει τις ίδιες μονάδες με το x). Δx x Δx x

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 1. Δx: απόλυτο σφάλμα του μεγέθους x. (Το Δx έχει τις ίδιες μονάδες με το x). Δx x Δx x"

Transcript

1 Κεφάλαιο 1 Σύνοψη Θεωρία Σφαλμάτων: Βασικές γνώσεις περί σφαλμάτων με στόχο την κατανόηση των διαφόρων πηγών σφάλματος πειραματικών μετρήσεων, του τρόπου ποσοτικής εκτίμησης της επίδρασής τους στην (αν-)ακρίβεια των αποτελεσμάτων και του υπολογισμού της βέλτιστης τιμής του μετρούμενου μεγέθους. Γραφικές Παραστάσεις: Βασικές γνώσεις σχετικά με τη γραφική απεικόνιση και αξιολόγηση πειραματικών δεδομένων με έμφαση στην κατανόηση της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων. Προαπαιτούμενη γνώση Βασικές γνώσεις διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού. 1. Θεωρία σφαλμάτων Η μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους είναι αδύνατον να πραγματοποιηθεί με απόλυτη ακρίβεια. Το γεγονός αυτό πηγάζει από την ίδια τη φύση της διαδικασίας μέτρησης, η οποία δεν είναι τίποτε άλλο από τη σύγκριση του προς μέτρηση μεγέθους με την αντίστοιχη μονάδα μέτρησης. Πιο συγκεκριμένα η ακρίβεια της μέτρησης επηρεάζεται από την περιορισμένη ευαισθησία των αισθητήριων οργάνων του ανθρώπου καθώς και από διάφορους αστάθμητους εξωτερικούς παράγοντες. Έτσι η μετρούμενη τιμή x απέχει πάντα από την αληθινή τιμή X του συγκεκριμένου μεγέθους, η οποία και παραμένει ουσιαστικά άγνωστη. Η απόκλιση ΔX = x X καλείται πραγματικό σφάλμα της μέτρησης Ο κύριος σκοπός της Θεωρίας Σφαλμάτων είναι ο υπολογισμός της βέλτιστης τιμής από μια σειρά τέτοιων ανακριβών («λανθασμένων») μετρήσεων και η ποσοτική εκτίμηση της απόκλισης από την άγνωστη πραγματική τιμή του μετρουμένου μεγέθους. Ανάλογα με τις αιτίες στις οποίες οφείλονται, διακρίνουμε τα σφάλματα σε συστηματικά και τυχαία ή στατιστικά. Πριν εξηγήσουμε τις ιδιότητες αυτών των δύο κατηγοριών, επισημαίνουμε ότι για την περιγραφή των σφαλμάτων θα χρησιμοποιήσουμε τους ακόλουθους συμβολισμούς: Δx: απόλυτο σφάλμα του μεγέθους x. (Το Δx έχει τις ίδιες μονάδες με το x). Δx x Δx x : σχετικό σφάλμα του μεγέθους x 100%: σχετικό επί τοις εκατό (ή σχετικό ποσοστιαίο) σφάλμα του μεγέθους x 1.1. Συστηματικά σφάλματα Συστηματικά καλούνται τα σφάλματα, τα οποία οφείλονται: Στην ατέλεια των οργάνων και των συσκευών (π.χ. η χρησιμοποιούμενη μετροταινία έχει πραγματικό μήκος 999 mm = 0,999 m αντί για 1000 mm = 1 m). Στη μέθοδο μέτρησης (π.χ. κατά τη μέτρηση της διατομής ενός ελαστικού σωλήνα μέσω παχυμέτρου προκαλείται αναπόφευκτα μια έστω και μικρή παραμόρφωση, με αποτέλεσμα η μετρούμενη τιμή να είναι πάντα ( συστηματικά!) μικρότερη από την πραγματική). Σε διαφόρους σταθερούς παράγοντες, οι οποίοι δεν έχουν ληφθεί υπόψη (π.χ. τριβή, υγρασία, εξωτερικά ηλεκτρομαγνητικά πεδία, έλλειψη καθαρότητας των χρησιμοποιηθέντων ουσιών κ.λπ.). Όσες φορές και αν επαναλάβουμε μια μέτρηση υπό τις ίδιες συνθήκες, θα έχουμε τα ίδια συστηματικά λάθη και μάλιστα προς την ίδια κατεύθυνση (δηλαδή ή θα μικραίνουν ή θα μεγαλώνουν το αποτέλεσμα). 1

2 Τα συστηματικά σφάλματα δεν μπορούν να αποτελέσουν αντικείμενο κάποιας (μαθηματικής) θεωρίας σφαλμάτων. Μέλημά μας πρέπει λοιπόν να είναι (μέσω επιλογής καταλληλότερης μεθόδου μέτρησης, ακριβέστερων οργάνων κ.λπ.) η ελαχιστοποίηση της επίδρασής τους στην ακρίβεια των μετρήσεών μας. Εφόσον δε αυτή παραμένει σημαντική θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη με κατάλληλες διορθώσεις των αποτελεσμάτων μας Τυχαία ή στατιστικά σφάλματα Ακόμη και αν απαλείψουμε εντελώς τα συστηματικά σφάλματα, επαναλαμβανόμενες μετρήσεις ενός και του αυτού μεγέθους με την ίδια πάντα πειραματική διάταξη θα μας δίδουν αποτελέσματα, τα οποία δεν συμπίπτουν απόλυτα μεταξύ τους, αλλά κυμαίνονται γύρω από μια μέση τιμή. Το γεγονός αυτό οφείλεται στα λεγόμενα τυχαία ή στατιστικά σφάλματα, τα οποία δρουν και προς τις δύο κατευθύνσεις, δηλαδή άλλοτε μεγαλώνουν και άλλοτε μικραίνουν το αποτέλεσμα. Τα τυχαία σφάλματα οφείλονται: Στην ανεπάρκεια των αισθητηρίων οργάνων του παρατηρητή (π.χ. κατά τη μέτρηση χρονικών διαστημάτων είναι αδύνατο να σταματάμε το χρονόμετρο τη στιγμή ακριβώς που πρέπει, αλλά το σταματάμε άλλοτε λίγο νωρίτερα και άλλοτε λίγο αργότερα. Αν βέβαια ένας μη εξασκημένος παρατηρητής το σταματάει πάντα (= συστηματικά!) καθυστερημένα, τότε έχουμε ένα συστηματικό και όχι τυχαίο σφάλμα). Στην ανικανότητα του παρατηρητή (π.χ. κατά τη μέτρηση μήκους δέκα μέτρων με μετροταινία μήκους ενός μέτρου, δεν φροντίζουμε να τοποθετούμε την αρχή της μετροταινίας εκεί, όπου προηγουμένως βρισκόταν το τέλος της, αλλά άλλοτε λίγο μετά, άλλοτε λίγο πριν). Σε ασταθείς ενδείξεις οργάνων μέτρησης, κυρίως όταν φθάνουμε στα όρια της ευαισθησίας τους. Σε λανθασμένη ανάγνωση της ένδειξης οργάνων. Σε ασταθείς εξωτερικούς παράγοντες, όπως κραδασμούς, διακυμάνσεις θερμοκρασίας, υγρασίας, πίεσης κ.λπ. Λόγω του στατιστικού τους χαρακτήρα, τα τυχαία σφάλματα ακολουθούν τους νόμους της Στατιστικής, η οποία μας επιτρέπει να εκτιμήσουμε ποσοτικά το μέγεθός τους. 1.3 Υπολογισμός και σφάλμα πιθανότερης τιμής Υπολογισμός πιθανότερης τιμής Έστω ότι έχουμε επαναλάβει φορές τη μέτρηση ενός μεγέθους x και πήραμε τις τιμές x 1, x 2... x i... x. Συμβολίζουμε με x: την πιθανότερη τιμή του μετρουμένου μεγέθους (ή διαφορετικά τη βέλτιστη τιμή, η οποία βρίσκεται κατά πάσα πιθανότητα πλησιέστερα από κάθε άλλη προς την πραγματική τιμή X) x i (i = 1,2... ): τις μετρηθείσες τιμές x i x : την απόκλιση των μετρηθεισών τιμών από την πιθανότερη τιμή και θέτουμε την ερώτηση: Πώς υπολογίζεται η πιθανότερη τιμή x; Ως η πλέον χρήσιμη μέθοδος έχει καθιερωθεί διεθνώς η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων του Gauss, σύμφωνα με την οποία η πιθανότερη τιμή x επιλέγεται έτσι ώστε το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων (x i x ) 2 των μεμονωμένων τιμών x i από την πιθανότερη τιμή να γίνεται ελάχιστο: (x i x ) 2 = Mi d dx (x i x ) 2 = 0 2 (x i x ) = 0 2 x i 2x = 0 i=0 i=0 i=0 i=0 2

3 x = i=0 x i (Εξίσωση 1.1) Βλέπουμε λοιπόν ότι η πιθανότερη τιμή είναι η αριθμητική μέση τιμή Μέσο σφάλμα της μεμονωμένης και πιθανότερης τιμής Αν παραστήσουμε γραφικά τη συχνότητα i (= τον αριθμό), με την οποία εμφανίζεται κάθε τιμή x i του μεγέθους x, σε συνάρτηση από την τιμή του μεγέθους x, προκύπτει η λεγόμενη συνάρτηση κατανομής συχνοτήτων. Η συνάρτηση αυτή μας δίνει ουσιαστικά την πιθανότητα W i για τη μέτρηση μιας συγκεκριμένης τιμής x i. Εικόνα 1.1 Κανονική κατανομή Gauss Η συνάρτηση αυτή παίρνει για πολύ μεγάλο (θεωρητικά άπειρο) αριθμό μετρήσεων τη μορφή της λεγόμενης κανονικής κατανομής Gauss (βλ. Εικόνα 1.1). Όπως βλέπουμε έχει τη μορφή μιας «κωδωνοειδούς καμπύλης», στο μέσον περίπου της οποίας βρίσκεται η πιθανότερη τιμή x. (Όλα αυτά βέβαια εφόσον έχουμε μόνο τυχαία σφάλματα). Στα πλαίσια της κανονικής κατανομής Gauss έχουν επικρατήσει οι ακόλουθοι ορισμοί: Μέσο σφάλμα της μεμονωμένης μέτρησης: Δx = ± i=0 (x i x ) 2 1 (Εξίσωση 1.1) Το μέσο σφάλμα Δx της μεμονωμένης μέτρησης, το οποίο αναφέρεται συχνά και ως τυπική απόκλιση και συμβολίζεται με σ, εκφράζει ποσοτικά το μέτρο της μέσης απόκλισης των μετρηθεισών τιμών x i από τη μέση τιμή x. Συγκεκριμένα: στην περιοχή x ± Δx βρίσκεται το 68,3% όλων των τιμών στην περιοχή x ± 2Δx βρίσκεται το 95,4% όλων των τιμών στην περιοχή x ± 3Δx βρίσκεται το 99,7% όλων των τιμών Μέσο σφάλμα της πιθανότερης τιμής: Δx = i=0 (x i x ) 2 ( 1) = Δx (Εξίσωση 1.2) Το μέσο σφάλμα Δx της πιθανότερης τιμής καλείται και πιθανό σφάλμα και εκφράζει ποσοτικά το μέτρο της μέσης απόκλισης της πιθανότερης τιμής x από την πραγματική τιμή X. Συγκεκριμένα η πραγματική τιμή βρίσκεται: στην περιοχή x ± Δx με πιθανότητα 68,3% στην περιοχή x ± 2Δx με πιθανότητα 95,4% στην περιοχή x ± 3Δx με πιθανότητα 99,7% Σημειωτέον ότι αύξηση του αριθμού των μετρήσεων δεν ελαττώνει και πολύ το μέσο σφάλμα Δx της μεμονωμένης μέτρησης (όπως άλλωστε είναι και λογικό, αφού η ακρίβεια της μεμονωμένης μέτρησης δεν μπορεί να εξαρτάται από τον συνολικό αριθμό των μετρήσεων), μειώνει όμως σημαντικά το μέσο σφάλμα Δx της πιθανότερης τιμής. 3

4 Αντί του απολύτου, Δx, συνηθίζεται (και συνιστάται!) η χρήση του σχετικού επί τοις εκατό σφάλματος, Δx 100%, επειδή (σε αντίθεση με το απόλυτο) χαρακτηρίζει την ακρίβεια της μέτρησης. x Το αποτέλεσμα τέλος γράφεται ως εξής: x = x ± Δx ή καλύτερα x = x (1 ± Δx 100%) (Εξίσωση 1.3) x Παράδειγμα: Έστω ότι μετρήσαμε δέκα φορές μια απόσταση x. Ο υπολογισμός της μέσης τιμής x του (μέσου) σφάλματος Δx της μέσης τιμής, του σχετικού επί τοις εκατό σφάλματος, Δx 100%, της μέσης τιμής x και του (μέσου) σφάλματος Δx της μεμονωμένης τιμής φαίνεται στον παρακάτω Πίνακα: i x i (m) x i x (10 3 m) (x i x ) 2 (10 6 m 2 ) 1 63, , , , , , , , , =10 63, ,54 0 (πάντα!) 2040 Πίνακας 1.1 x = i=0 x i = 635,54 10 = 63,564 Δx = i=0 (x i x ) 2 ( 1) = = 0, , ,005m 10(10 1) Δx 100% = 0,005 = 0,00786 % 0,008% 63,564 Σημειωτέον ότι τα σφάλματα υπολογίζονται έτσι, ώστε να έχουν ένα ή το πολύ δύο μη μηδενικά ψηφία μετά την υποδιαστολή - ανεξαρτήτως θέσεως -, στρογγυλοποιούνται δε πάντα προς τα πάνω. Η μέση τιμή εξάλλου στρογγυλοποιείται έτσι, ώστε να έχει ακριβώς τόσα ψηφία (μηδενικά ή μη) μετά την υποδιαστολή, όσα και το σφάλμα. Το αποτέλεσμα εξάλλου γράφεται: x = x (1 ± Δx 100%) = 63,564(1 ± 0,008%)m x (Σημειώνουμε ότι ο τρόπος γραφής «63,564 m 0,008%» είναι λανθασμένος!) Εκτίμηση σφαλμάτων Είναι προφανές ότι η παραπάνω στατιστική αντιμετώπιση σφαλμάτων έχει νόημα μόνο στην περίπτωση πολλών μετρήσεων (συνήθως τουλάχιστον 10). Ιδιαίτερα στην περίπτωση μιας μόνο μέτρησης ( = 1) ο 4

5 υπολογισμός των σφαλμάτων Δx, Δx και Δx 100%, είναι και μαθηματικά αδύνατος εξ αιτίας του παράγοντα x ( - 1), ο οποίος υπεισέρχεται στις αντίστοιχες σχέσεις υπολογισμού. Στις περιπτώσεις αυτές το σφάλμα (είτε Δx, είτε Δx είναι ένα και το αυτό) εκτιμάται με βάση την ευαισθησία και ακρίβεια ένδειξης του οργάνου. Ως κατευθυντήρια γραμμή κατά την εν λόγω εκτίμηση χρησιμεύει ο ακόλουθος κανόνας: Για ευκρινή απόσταση των υποδιαιρέσεων της κλίμακας του οργάνου, το σφάλμα τίθεται ίσο με το ήμισυ της τιμής της απόστασης δύο διαδοχικών υποδιαιρέσεων. Διαφορετικά, το σφάλμα τίθεται ίσο με ολόκληρη την απόσταση. Παραδείγματα: Θερμόμετρο με υποδιαιρέσεις 1/10 C: σφάλμα Δt = 1/20 C. Αμπερόμετρο με υποδιαιρέσεις 0,2 Α: σφάλμα ΔΙ = 0,1 Α Έμμεσες μετρήσεις. Μέσο σφάλμα συναρτήσεως Πολύ συχνά το υπό προσδιορισμό μέγεθος F δεν μπορεί να μετρηθεί άμεσα, αλλά υπολογίζεται έμμεσα σαν συνάρτηση άλλων, άμεσα προσδιορισθέντων μεγεθών x, y, z...: F = f(x, y, z). Στην περίπτωση αυτή τα σφάλματα Δx, Δy, Δz μεταδίδονται και στο υπολογισμένο μέγεθος F. Συγκεκριμένα (και πάντα στα πλαίσια της κανονικής κατανομής Gauss) αν x, y, z: είναι οι μέσες τιμές των άμεσα μετρηθέντων μεγεθών x, y, z Δx, Δy, Δz: τα αντίστοιχα μέσα σφάλματα F = f(x, y, z): η συνάρτηση που μας ενδιαφέρει F = f(x, y, z ): η μέση τιμή της συνάρτησης, F/x, F/y, F/z: οι μερικές παράγωγοι της συνάρτησης ως προς x, y και z αντίστοιχα ΔF : το μέσο σφάλμα της συνάρτησης, το οποίο ακριβώς και θέλουμε να υπολογίσουμε. τότε (πάντα κατά Gauss) έχουμε για τη γενική περίπτωση: μέσο σφάλμα συναρτήσεως: ΔF = ± ( F x Δx)2 + ( F y Δy)2 + ( F z Δz)2 (Εξίσωση 1.4) Η σχέση αυτή είναι γνωστή ως νόμος μεταφοράς σφαλμάτων του Gauss. Από τη σχέση αυτή προκύπτει για τις ακόλουθες δύο μορφές συναρτήσεων: μέσο σφάλμα αθροίσματος: F = ax ± by ± cz ± ΔF = ± (aδx) 2 + (bδy) 2 + (cδz) 2 ± (Εξίσωση 1.5) Δηλαδή το μέσο σφάλμα ενός αλγεβρικού αθροίσματος μετρηθέντων μεγεθών ισούται με το γεωμετρικό (κατά Πυθαγόρα!) άθροισμα των μέσων σχετικών σφαλμάτων των μετρηθέντων μεγεθών, πολλαπλασιασμένων με τους παράγοντες του αθροίσματος. μέσο σχετικό σφάλμα γινομένου: F = x ±a y ±b z ±c ΔF F = ± (a Δx x )2 + (b Δy y )2 + (c Δz z )2 ± (Εξίσωση 1.6) Δηλαδή το μέσο σχετικό σφάλμα ενός γινομένου δυνάμεων μετρηθέντων μεγεθών ισούται με το γεωμετρικό άθροισμα των μέσων σχετικών σφαλμάτων των μετρηθέντων μεγεθών, πολλαπλασιασμένων με τους εκθέτες του γινομένου. Σημειωτέον ότι οι τυχόν υπάρχουσες σταθερές του γινομένου εξαφανίζονται, επειδή τα (σχετικά) τους σφάλματα είναι εξ ορισμού μηδέν. Παραδείγματα: 5

6 1. Υπολογισμός της ταχύτητας v με τη βοήθεια της μέτρησης του διανυθέντος διαστήματος s και του αντιστοίχου χρόνου t για ευθύγραμμη ομαλή κίνηση: v = s (1.7) = s t 1 Δv = ± ( Δs t v s )2 + ( Δt t )2 2. Υπολογισμός της επιτάχυνσης γ μέσω μέτρησης του διαστήματος s και του χρόνου t για ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση: γ = 2s (1.7) t2 = 2s t 2 Δγ Μέγιστο Σφάλμα Συναρτήσεως γ = ± ( Δs s )2 + (2 Δt t )2 Πολύ συχνά, είτε για λόγους υπολογιστικής άνεσης είτε επειδή έγινε απλώς εκτίμηση των σφαλμάτων των άμεσα μετρηθέντων μεγεθών (π.χ. στην περίπτωση μιας μόνο μέτρησης), χρησιμοποιείται το μέγιστο σφάλμα συναρτήσεως ΔF, το οποίο υπολογίζεται ως εξής: ΔF: μέγιστο σφάλμα συναρτήσεως Δx, Δy, Δz: μέσα σφάλματα των μέσων τιμών ή εκτιμηθέντα σφάλματα των μετρηθέντων μεγεθών, μέγιστο σφάλμα συναρτήσεως: ΔF = ± ( F x Δx + F y Δy + F Δz ) (Εξίσωση 1.7) z Από τη σχέση αυτή προκύπτει για τις ακόλουθες δύο μορφές συναρτήσεων: μέγιστο σφάλμα αθροίσματος: F = ax ± by ± cz ± ΔF = ±( aδx + bδy + cδz ± ) (Εξίσωση1.8) Δηλαδή το μέγιστο σφάλμα ενός αλγεβρικού αθροίσματος μετρηθέντων μεγεθών ισούται με το άθροισμα των (μέσων ή εκτιμηθέντων) σφαλμάτων των μετρηθέντων μεγεθών, πολλαπλασιασμένων με τους παράγοντες του αθροίσματος. μέγιστο σχετικό σφάλμα γινομένου: F = x ±a y ±b z ±c ΔF F Δx Δy Δz = ± ( a + b + c ± ) (Εξίσωση 1.9) x Δηλαδή το μέγιστο σχετικό σφάλμα ενός γινομένου δυνάμεων μετρηθέντων μεγεθών ισούται με το άθροισμα των μέσων σχετικών σφαλμάτων των μετρηθέντων μεγεθών, πολλαπλασιασμένων με τους εκθέτες του γινομένου. Σημειωτέον ότι οι τυχόν υπάρχουσες σταθερές του γινομένου εξαφανίζονται, επειδή τα (σχετικά) τους σφάλματα είναι εξ ορισμού μηδέν. Παραδείγματα: y 1. Υπολογισμός της ταχύτητας v με τη βοήθεια της μέτρησης του διανυθέντος διαστήματος s και του αντιστοίχου χρόνου t για ευθύγραμμη ομαλή κίνηση: v = s (1.10) Δv = s t 1 t v = ± ( Δs + Δt s t ) 2. Υπολογισμός της επιτάχυνσης γ μέσω μέτρησης του διαστήματος s και του χρόνου t για ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση: γ = 2s (1.10) Δγ = 2s t 2 t2 γ = ± ( Δs + 2 Δt s t ) 3. Προκειμένου να υπολογίσουμε την πυκνότητα ρ ενός σώματος προσδιορίζουμε τη μάζα του m μέσω ζυγού, ο οποίος έχει ευαισθησία 1g, και τον όγκο του V μέσω εκτόπισης νερού με ακρίβεια 0,5 cm 3. Έστω ότι παίρνουμε m = 80 g και V = 25 cm 3. Τα εκτιμούμενα (αφού z 6

7 κάναμε μόνο μια μέτρηση, βλ ) ποσοστιαία σχετικά σφάλματα της μάζας και του όγκου είναι: Δm 100% = 1 ΔV 0,5 100% = 1,25% 100% = 100% = 2% {1} m 80 V 25 Το μέγιστο σχετικό σφάλμα της πυκνότητας ρ είναι: ρ = m V Άρα ρ (1.4) = (1.10) = m V 1 m 1.5 Γραφικές παραστάσεις V (1 ± Δρ ρ Δρ ρ = ± ( Δm m + ΔV V = ± ( Δm 100% + ΔV m V = 3,25% 3,3% %) = 25 Δρ ) ρ 100% {1} Δρ 100% ) ± (1,25% + 2%) = ρ 100% g g (1 ± 3,3%) cm3 = 3,2(1 ± 3,3%) cm 3 Εκτός από τις σχετικά λίγες φυσικές σταθερές (π.χ. στοιχειώδες ηλεκτρικό φορτίο, παγκόσμια σταθερή των αερίων, σταθερή της παγκόσμιας έλξης κ.λπ.), η τιμή της συντριπτικής πλειοψηφίας των φυσικών μεγεθών εξαρτάται από την τιμή άλλων φυσικών μεγεθών. Π.χ. η τιμή του διαστήματος s ενός σώματος, το οποίο κινείται ευθύγραμμα και ομαλά (s v 0 t + γt 2 /2), εξαρτάται, όπως βλέπουμε, από την αρχική ταχύτητα v 0, την επιτάχυνση γ και τον χρόνο t, κατά τον οποίο διαρκεί η κίνηση. Πιο συγκεκριμένα, η αρχική ταχύτητα και η επιτάχυνση παίζουν τον ρόλο παραμέτρων, ενώ ο χρόνος τον ρόλο της ανεξάρτητης μεταβλητής και το διάστημα της εξαρτημένης μεταβλητής. Έτσι λέμε ότι το διάστημα είναι συνάρτηση του χρόνου και γράφουμε συμβολικά s = f(t). Ο αμεσότερος τρόπος να πάρουμε μια (ουσιαστικά πλήρη) εικόνα του τρόπου εξάρτησης ενός φυσικού μεγέθους από κάποιο άλλο είναι η γραφική παράσταση της αντίστοιχης συνάρτησης. Στα πλαίσια του Εργαστηρίου Φυσικής η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης συνίσταται ουσιαστικά στην ακόλουθη πρακτική διαδικασία: Μετράμε (με τον τρόπο που περιγράφεται στο αντίστοιχο κεφάλαιο) και καταχωρούμε σε κατάλληλο πίνακα τις τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής y για διάφορες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x. Σε χιλιοστομετρικό χαρτί DIN A4 χαράσσουμε τους άξονες της εξαρτημένης μεταβλητής y (άξονας τεταγμένων) κατακόρυφα και της ανεξάρτητης μεταβλητής x (άξονας τετμημένων) οριζόντια. Το μήκος των αξόνων επιλέγεται έτσι ώστε να εκμεταλλευόμαστε κατά το δυνατόν μεγαλύτερη επιφάνεια του χιλιοστομετρικού χαρτιού. Ανάλογα με το αν έχουμε ή όχι αρνητικές τιμές του y ή/και του x, διακρίνουμε διάφορες κατηγορίες αξόνων: Εικόνα 1.2 Κατηγορίες αξόνων. Στην συνέχεια βαθμονομούνται οι άξονες και μάλιστα με τέτοιο τρόπο, ώστε οι μετρήσεις να κατανέμονται κατά το δυνατόν σε όλη την έκταση του διαγράμματος. Η πυκνότητα εξάλλου της βαθμονόμησης (δηλαδή οι τιμές που σημειώνονται δίπλα στους άξονες) επιλέγεται να είναι ούτε πολύ πυκνή ούτε πολύ αραιή. Παράλληλα δε προς κάθε άξονα και προς την εξωτερική πλευρά του διαγράμματος γράφουμε το σύμβολο του φυσικού μεγέθους, το οποίο 7

8 παριστάνει ο συγκεκριμένος άξονας. Τα σύμβολα ακολουθούνται από τη μονάδα, την οποία χρησιμοποιούμε, μέσα σε παρένθεση (βλ. Εικόνα. 1.3). Εικόνα 1.3 Χαρακτηρισμός αξόνων διαγράμματος s(t). Με τη βοήθεια των υποδιαιρέσεων του χιλιοστομετρικού χαρτιού σημειώνουμε με μολύβι μόνο τα σημεία των μετρήσεων (y i, x i ) με μια ευδιάκριτη τελεία () ή χι () χωρίς να τραβάμε -διακεκομμένες ή μη- οριζόντιες και κατακόρυφες γραμμές και χωρίς να γράφουμε οπουδήποτε (π.χ. επάνω στους άξονες) τις αντίστοιχες μετρήσεις. Στη συνέχεια με καλοξυμένο μολύβι, χάρακα και (εφόσον πρόκειται για καμπύλη) καμπυλόγραμμο (ναι, ναι υπάρχουν και τέτοια!) χαράσσουμε τη γραμμή (ευθεία ή καμπύλη, ανάλογα με τη συνάρτηση - ποτέ τεθλασμένη!) έτσι, ώστε να περνάει όσο γίνεται πιο κοντά από όσο γίνεται πιο πολλά σημεία, ενώ συγχρόνως το άθροισμα των αποστάσεων των σημείων, τα οποία βρίσκονται κάτω από την καμπύλη να είναι κατά το δυνατόν ίσο με εκείνο των σημείων πάνω από την καμπύλη Αν η συνάρτηση είναι γραμμική, η χάραξη της αντίστοιχης ευθείας πρέπει να γίνεται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (βλ. κεφάλαιο 1.5.1). Από τη στιγμή που χαράσσουμε τη γραμμή ξεχνάμε τα πειραματικά σημεία και όλοι οι υπολογισμοί (π.χ. προσδιορισμός κλίσης, ενδιάμεσες τιμές κ.λπ.) γίνονται με βάση τη γραμμή Mέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων Όπως γνωρίζουμε από την Αναλυτική Γεωμετρία, η γενική μορφή της εξίσωσης μιας ευθείας είναι: y = ax + b (Εξίσωση 1.10) Οι σταθερές a και b έχουν την ακόλουθη σημασία: Η σταθερή a ισούται με την κλίση της ευθείας: a = dy = taφ = κλίση (Εξίσωση 1.11) dx Η σταθερή b είναι η τιμή του y, στην οποία η ευθεία τέμνει τον άξονα y: x = 0 y = b Αυτό σημαίνει ότι, αν b = 0, η ευθεία περνάει από την αρχή των αξόνων Εξάλλου η ευθεία τέμνει τον άξονα x στην τιμή x = -b/a: y = ax + b = 0 x = b/a Τα παραπάνω αποδίδονται στην Εικόνα 1.4. Εικόνα 1.4 Χαρακτηριστικά γνωρίσματα ευθείας. 8

9 Προσδιορισμός ευθείας της μορφής y = ax: Αν y i και x i είναι οι μετρηθείσες τιμές της εξαρτημένης και ανεξάρτητης μεταβλητής αντίστοιχα, τότε (y i αx i ) θα είναι οι αποκλίσεις των σημείων (y i, x i ) από την ιδανική γραμμική εξάρτηση y = ax. Προκειμένου να προσδιορίσουμε τη βέλτιστη ευθεία απαιτούμε το άθροισμα των τετραγώνων όλων των αποκλίσεων να γίνει ελάχιστο: i (y i ax i ) 2 = Mi (y a i i ax i ) 2 = 0 (y a i i 2 2ay i x i + (ax i ) 2 ) = 0 i (y a i 2 2ay i x i + (ax i ) 2 ) = 0 i ( 2y i x i + 2ax 2 i ) = 0 2 i (ax 2 i y i x i ) = 0 (ax 2 2 i i y i x i ) = 0 i ax i 2 i y i x i = 0 a i x i i y i x i a = i x iy i (Εξίσωση 1.12) i x i = 0 Αφού βρούμε την κλίση a, εργαζόμαστε πρακτικά ως εξής: Κάνουμε όλη την προεργασία του κεφαλαίου 2. Προσδιορίζουμε για τυχαία τιμή του x την αντίστοιχη τιμή του y = ax. Προσδιορίζουμε στο διάγραμμα το σημείο (y, x). Χαράσσουμε την ευθεία, η οποία περνάει από την αρχή των αξόνων και το παραπάνω σημείο (y, x). Προσδιορισμός ευθείας της μορφής y = ax + b: Με την ίδια μέθοδο όπως πριν (αλλά με πολύ περισσότερο υπολογιστικό κόπο) καταλήγουμε στις ακόλουθες σχέσεις για τις σταθερές a και b καθώς και τα αντίστοιχα σφάλματα Δa και Δb (βλέπε π.χ. Taylor J.R, A itroductio to error aalysis): a = i x iy i i x i δ i y i, b = y i 2 i i x i i x i i x i y i δ, Δa = Δy δ, Δb = Δy i x i 2 δ (Εξίσωση 1.13) όπου ο αριθμός των μετρήσεων και δ = x i 2 i Αφού βρούμε την κλίση a, εργαζόμαστε πρακτικά ως εξής: ( i x i ) 2, Δy = 1 (y 2 i i b ax i ) 2 + (aδx) 2 Κάνουμε όλη την προεργασία του κεφαλαίου 2. Προσδιορίζουμε για τυχαία τιμή του x την αντίστοιχη τιμή του y = ax + b. Προσδιορίζουμε στο διάγραμμα το σημείο (y, x). Χαράσσουμε την ευθεία, η οποία περνάει από το παραπάνω σημείο (y, x) και τέμνει τον άξονα y στο σημείο y = b. Παράδειγμα: Έστω ότι μετρήσαμε την τιμή της ωμικής αντίστασης R ενός σύρματος για επτά διαφορετικές θερμοκρασίες και πήραμε τις τιμές που φαίνονται στον παρακάτω Πίνακα (Χασάπης Δ.Δ., Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής). Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι μεταξύ αντίστασης R και θερμοκρασίας t μπορούμε (για μικρή σχετικά θερμοκρασιακή περιοχή) να δεχτούμε μια γραμμική εξάρτηση της μορφής R = at + b. i t i ( ) R i (Ω) t 2 i ( 2 ) t i R i ( Ω) 1 19,1 76,30 364,8 1457,3 2 25,0 77,80 625,0 1945,0 3 30,1 79,75 906,0 2400,5 4 36,0 80, ,0 2908,8 5 40,0 82, ,0 3294,0 6 45,1 83, ,0 3783,9 9

10 =7 50,0 85, ,0 4255,0 245,3 566, , ,5 Πίνακας 1.2 Σύμφωνα με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων παίρνουμε για τις παραμέτρους a και b: b = a = ,5 245,3 566, ,8 245,3 2 a = 0, , ,8 245, , ,8 245,3 2 b = 70,76 Χαράσσουμε την ευθεία σύμφωνα με τις παραπάνω οδηγίες (βλ. Εικόνα 1.5 και 1.6). Εικόνα 1.5 Χάραξη με τη βοήθεια των σημείων τομής με τους άξονες x και y (βλ. κεφάλαιο 1.5.1). 10

11 Εικόνα 1.6 Χάραξη σύμφωνα με τις οδηγίες του κεφαλαίου

12 Γραφικός προσδιορισμός κλίσης ευθείας και καμπύλης Κλίση ευθείας (βλ. Εικόνα 1.7): Χαράσσουμε ορθογώνιο τρίγωνο, του οποίου η υποτείνουσα είναι τμήμα της ευθείας, της οποίας την κλίση θέλουμε να προσδιορίσουμε. Το τρίγωνο πρέπει να είναι αρκετά μεγάλο για τον περιορισμό των λαθών ανάγνωσης. Υπολογίζουμε τα Δy και Δx των καθέτων πλευρών του τριγώνου με βάση τη βαθμονόμηση των αξόνων y και x αντίστοιχα (Με τι αντιστοιχούν τα μετρούμενα Δy χιλιοστά επί του άξονα y και με τι τα μετρούμενα Δx χιλιοστά επί του άξονα x;). Υπολογίζουμε την κλίση: κλίση = taφ = Δy Δx Εικόνα 1.7 Γραφικός υπολογισμός κλίσης ευθείας. Κλίση καμπύλης σε σημείο Σ: (βλ. Εικόνα 1.8): Προσδιορίζουμε το σημείο Σ επί της καμπύλης. Χαράσσουμε την εφαπτομενική ως προς την καμπύλη ευθεία στο σημείο Σ. Υπολογίζουμε την κλίση της εφαπτομενικής ευθείας, η οποία είναι εξ ορισμού και η ζητούμενη κλίση της καμπύλης στο σημείο Σ. κλίση(σ) = taφ = Δy Δx Εικόνα 1.8 Γραφικός υπολογισμός κλίσης καμπύλης σε σημείο Σ. 1.6 Μέτρηση μικρών διαστάσεων με το παχύμετρο Για τη μέτρηση μικρών μηκών ( 20 cm) με ακρίβεια σημαντικά μεγαλύτερη από εκείνη μιας απλής μετροταινίας, βαθμονομημένης σε χιλιοστά, χρησιμοποιείται το παχύμετρο (βλ. Εικόνα 1.9). Το παχύμετρο αποτελείται από έναν κανόνα, βαθμονομημένο σε χιλιοστά (mm) (κύρια κλίμακα). (Πολύ συχνά, ο κανόνας φέρει και δεύτερη κλίμακα, βαθμονομημένη σε ίντσες). Κατά μήκος της κυρίας κλίμακας μπορεί να ολισθαίνει μια μικρή κλίμακα, ο βερνιέρος. Μαζί με τον βερνιέρο μετακινούνται οι δύο κινητές σιαγώνες καθώς και η ουρά του παχύμετρου, η χρήση των οποίων φαίνεται στην Εικόνα

13 Εικόνα 1.9 Παχύμετρο. Ο βερνιέρος φέρει υποδιαιρέσεις (αριθμημένες από το 1 μέχρι το ), το συνολικό μήκος των οποίων ισούται με το μήκος ( - 1) υποδιαιρέσεων της κυρίας κλίμακας. Αυτό σημαίνει ότι κάθε υποδιαίρεση του βερνιέρου είναι κατά δ = 1/ χιλιοστά μικρότερη από κάθε υποδιαίρεση της κυρίας κλίμακας. Το μέγεθος αυτό καλείται σταθερά του βερνιέρου και αποτελεί το ελάχιστο μετρήσιμο μήκος. Στην πράξη ο βερνιέρος φέρει συνήθως 10, 20 ή 25 υποδιαιρέσεις, οπότε οι αντίστοιχες σταθερές είναι: = 10 δ = 1/10 = 0,1 mm = 20 δ = 1/20 = 0,05 mm = 25 δ = 1/25 = 0,04 mm Σύμφωνα με τα παραπάνω, αν συμπέσει η ν-οστή υποδιαίρεση της κλίμακας του βερνιέρου με μια τυχαία υποδιαίρεση x της κυρίας κλίμακας, τότε η αμέσως προηγούμενη (ν-1)-οστή υποδιαίρεση του βερνιέρου θα βρίσκεται κατά 1/ χιλιοστά μετά την αμέσως προηγούμενη (x-1)-οστή υποδιαίρεση της κυρίας κλίμακας, η (ν-2)-οστή υποδιαίρεση του βερνιέρου κατά 2/ χιλιοστά μετά την (x-2)-οστή υποδιαίρεση της κυρίας κλίμακας,... η μηδενική (δηλ. (ν-ν)-οστή) υποδιαίρεση του βερνιέρου κατά ν/ χιλιοστά μετά την (x-ν)- οστή υποδιαίρεση της κυρίας κλίμακας. Από τα παραπάνω προκύπτει ο ακόλουθος πρακτικός κανόνας ανάγνωσης της ένδειξης του παχυμέτρου: Κοιτάμε ποιά ένδειξη α της κυρίας κλίμακας βρίσκεται πριν τη μηδενική ένδειξη (το μηδέν) του βερνιέρου και τη σημειώνουμε μαζί με τη μονάδα της. Κοιτάμε ποιά ένδειξη ν του βερνιέρου συμπίπτει με κάποια (άσχετα ποια!) ένδειξη της κυρίας κλίμακας. Υπολογίζουμε τη μετρούμενη διάσταση L από τη σχέση L = a + ν/ = a + ν δ, προσέχοντας οι δύο προσθετέοι να έχουν τις ίδιες μονάδες! Παραδείγματα: Στις Εικόνες 1.10 και 1.11 υποθέτουμε, ότι χρησιμοποιούμε παχύμετρο με = 10 δ = 0,1 mm. Εικόνα 1.10 L = 16 cm + 9δ mm = 160 mm + 90,1 mm L = 160,9 mm = 16,09 cm 13

14 Εικόνα 1.11 L = 16 cm + 6δ mm = 160 mm + 60,1 mm L = 160,6 mm = 16,06 cm Βιβλιογραφία/Αναφορές Taylor J.R., A Itroductio to Error Aalysis: The Study of Ucertaities i Physical Measuremets, 2d ed. Sausalito, Uiversity Sciece Books, 1997 Χασάπης Δ.Δ., Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής, Αθήνα, Β. Γκιούρδας Εκδοτική,

ΧΑΣΑΠΗΣ Δ. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Καθηγητής Τ.Ε.Ι. Κεντρικής Μακεδονίας. Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής

ΧΑΣΑΠΗΣ Δ. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Καθηγητής Τ.Ε.Ι. Κεντρικής Μακεδονίας. Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής ΧΑΣΑΠΗΣ Δ. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Καθηγητής Τ.Ε.Ι. Κεντρικής Μακεδονίας Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής Συγγραφή Χασάπης Δ. Δημήτριος Κριτικός αναγνώστης Καλόμοιρος Ιωάννης Συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων

Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων Σφάλμα ανάγνωσης οργάνου Το σφάλμα αυτό αναφέρεται σε αβεβαιότητες στη μέτρηση που προκαλούνται από τις πεπερασμένες ιδιότητες του οργάνου μέτρησης και/ή από τις

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11: Προσδιορισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας με το απλό εκκρεμές

Κεφάλαιο 11: Προσδιορισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας με το απλό εκκρεμές Κεφάλαιο 11: Προσδιορισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας με το απλό εκκρεμές Σύνοψη Προσδιορισμός της έντασης του γήινου βαρυτικού πεδίου μέσω μέτρησης της περιόδου απλών αρμονικών ταλαντώσεων ενός απλού

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ Δημήτρης Στεφανάκης Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων (ΜΕΤ) χρησιμοποιείται για την κατασκευή της γραφικής παράστασης που περιγράφει ένα φαινόμενο,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8: Ελεύθερη πτώση

Κεφάλαιο 8: Ελεύθερη πτώση Κεφάλαιο 8: Ελεύθερη πτώση Σύνοψη Πειραματικός προσδιορισμός του διαγράμματος διαστήματος χρόνου s(t) ενός σώματος, το οποίο εκτελεί ελεύθερη πτώση. Υπολογισμός της κλίσης της καμπύλης s(t) σε μια τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Θεμελιώδης εξίσωση της Μηχανικής

Κεφάλαιο 4: Θεμελιώδης εξίσωση της Μηχανικής Κεφάλαιο 4: Θεμελιώδης εξίσωση της Μηχανικής Σύνοψη Διερεύνηση με τη βοήθεια της μηχανής του Atwood της σχέσης μεταξύ δύναμης και επιτάχυνσης, καθώς και προσδιορισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας. Προαπαιτούμενη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 1. Εισαγωγή ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Οι γραφικές παραστάσεις (ή διαγράμματα) χρησιμεύουν για την απεικόνιση της εξάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΤ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Σκοπός της άσκησης 1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σκοπός αυτής της άσκησης είναι η εξοικείωση των σπουδαστών με τα σφάλματα που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Μέτρηση των συντελεστών στατικής και κινητικής τριβής

Κεφάλαιο 2: Μέτρηση των συντελεστών στατικής και κινητικής τριβής Κεφάλαιο 2: Μέτρηση των συντελεστών στατικής και κινητικής τριβής Σύνοψη Προσδιορισμός των συντελεστών στατικής και δυναμικής τριβής με τη βοήθεια του κεκλιμένου επιπέδου. Προαπαιτούμενη γνώση Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. Αρκετές φορές τα πειραματικά δεδομένα πρέπει να απεικονίζονται υπό μορφή γραφικών παραστάσεων σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων καρτεσιανών συντεταγμένων. Με τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Εργαστήριο Φυσικής

Γενικό Εργαστήριο Φυσικής http://users.auth.gr/agelaker Γενικό Εργαστήριο Φυσικής Γενικό Εργαστήριο Φυσικής Σφάλματα Μελέτη φυσικού φαινομένου Ποσοτική σχέση παραμέτρων Πείραμα Επαλήθευση Καθιέρωση ποσοτικής σχέσης Εύρεση τιμής

Διαβάστε περισσότερα

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση.

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. 1. Εισαγωγή. Κάθε μέτρηση, όσο προσεκτικά και αν έχει γίνει, περικλείει κάποια αβεβαιότητα. Η ανάλυση των σφαλμάτων είναι η μελέτη και ο υπολογισμός αυτής της αβεβαιότητας στη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10: Νόμος του Hooke-Αρμονική ταλάντωση σπειρoειδούς ελατηρίου

Κεφάλαιο 10: Νόμος του Hooke-Αρμονική ταλάντωση σπειρoειδούς ελατηρίου Κεφάλαιο 1: Νόμος του Hooke-Αρμονική ταλάντωση σπειρoειδούς ελατηρίου Σύνοψη Πειραματική επαλήθευση του νόμου του Hooke, προσδιορισμός της σταθερής k του ελατηρίου μέσω μέτρησης της περιόδου αρμονικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Τι ονομάζουμε κίνηση; Τι ονομάζουμε τροχιά; Ποια είδη τροχιών γνωρίζετε; Κίνηση ενός αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ Ε. Σπανάκης, Δ. Θεοδωρίδης, Δ. Στεφανάκης, Γ.Φανουργάκης & ΜΤΠΧ

ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ Ε. Σπανάκης, Δ. Θεοδωρίδης, Δ. Στεφανάκης, Γ.Φανουργάκης & ΜΤΠΧ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΕΤΥ203 3 Ώρες εργαστηρίου την ημέρα Προαπαιτούμενo: Φυσική Ι (ΕΤΥ101) Βαθμός Μαθήματος: 0.1*(Μ.Ο. Βαθμών προφορικής εξέτασης) + 0.5*(Μ.Ο. Βαθμών Αναφορών) + 0.4*(Βαθμός Τελικής εξέτασης

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις

Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις 1. Σκοπός Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις Σκοπός της άσκησης είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τη γραφική απεικόνιση των δεδομένων τους, την χρήση των γραφικών παραστάσεων για την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6: Σύνθεση ομοεπιπέδων δυνάμεων

Κεφάλαιο 6: Σύνθεση ομοεπιπέδων δυνάμεων Κεφάλαιο 6: Σύνθεση ομοεπιπέδων δυνάμεων Σύνοψη Πειραματικός προσδιορισμός της δύναμης, η οποία εξισορροπεί δύο ομοεπίπεδες δυνάμεις και σύγκρισή της με τη συνισταμένη τους που υπολογίζεται αριθμητικά

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη της ευθύγραμμης ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης σώματος με χρήση συστήματος φωτοπύλης-χρονομέτρου. Περιγραφή - Θεωρητικές προβλέψεις - Σχεδιασμός

Μελέτη της ευθύγραμμης ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης σώματος με χρήση συστήματος φωτοπύλης-χρονομέτρου. Περιγραφή - Θεωρητικές προβλέψεις - Σχεδιασμός Εργαστήριο Φυσικής Λυκείου Επιμέλεια: Κ. Παπαμιχάλης Μελέτη της ευθύγραμμης ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης σώματος με χρήση συστήματος φωτοπύλης-χρονομέτρου Περιγραφή - Θεωρητικές προβλέψεις - Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

1. Πειραματικά Σφάλματα

1. Πειραματικά Σφάλματα . Πειραματικά Σφάλματα Σκοπός της εκτέλεσης ενός πειράματος στη Φυσική είναι ο προσδιορισμός ποσοτικός ή/και ποιοτικός- κάποιων φυσικών μεγεθών που περιγράφουν ένα συγκεκριμένο φαινόμενο. Ο ποιοτικός προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων Σφάλματα Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα μετράμε την

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. 1. Στρογγυλοποίηση Γενικά Κανόνες Στρογγυλοποίησης... 2

ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. 1. Στρογγυλοποίηση Γενικά Κανόνες Στρογγυλοποίησης... 2 ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Περιεχόμενα 1. Στρογγυλοποίηση.... 2 1.1 Γενικά.... 2 1.2 Κανόνες Στρογγυλοποίησης.... 2 2. Σημαντικά ψηφία.... 2 2.1 Γενικά.... 2 2.2 Κανόνες για την

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties

Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties Κατά την καταγραφή δεδοµένων, σε κάθε εγγραφή δεδοµένου θα πρέπει να δίδεται µαζί και το αντίστοιχο εκτιµώµενο σφάλµα ή αβεβαιότητα. Ο όρος σφάλµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Με διάγραμμα :

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Με διάγραμμα : Νόμος Νόμοι Πρότυπο ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Πρότυπο ευθύγραμμης ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης (Ε.Ο.Μ.Κ) Όταν η επιτάχυνση ενός

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Γνώσεις Πειραματική Διαδικασία

Εισαγωγικές Γνώσεις Πειραματική Διαδικασία ΕΚΦΕ Ν.ΚΙΛΚΙΣ 1 1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ : Κ. ΚΟΥΚΟΥΛΑΣ, ΦΥΣΙΚΟΣ - ΡΑΔΙΟΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΟΣ [ Ε.Λ. ΠΟΛΥΚΑΣΤΡΟΥ ] ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗΣ ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Στόχοι 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΥΛΙΚΩΝ. Μετρήσεις με Διαστημόμετρο και Μικρόμετρο

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΥΛΙΚΩΝ. Μετρήσεις με Διαστημόμετρο και Μικρόμετρο ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΥΛΙΚΩΝ Σκοπός της άσκησης Σε αυτή την άσκηση θα μετρήσουμε διαστάσεις στερεών σωμάτων χρησιμοποιώντας όργανα ακριβείας και θα υπολογίσουμε την πυκνότητα τους. Θα κάνουμε εφαρμογή της θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης

Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο υπολογισμός του μέτρου της στιγμιαίας ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός υλικού σημείου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1ο Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1ο Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η 1 Σκοπός Να αποκτήσουν οι μαθητές τη δυνατότητα να απαντούν σε ερωτήματα που εμφανίζονται στην καθημερινή μας ζωή και έχουν σχέση με την ταχύτητα, την επιτάχυνση, τη θέση ή το χρόνο κίνησης ενός κινητού.

Διαβάστε περισσότερα

Προετοιμασία των ομάδων για τον τοπικό διαγωνισμό.

Προετοιμασία των ομάδων για τον τοπικό διαγωνισμό. Προετοιμασία των ομάδων για τον τοπικό διαγωνισμό. Φυσική 1. Επεξεργασία πειραματικών δεδομένων: α) Καταγραφή δεδομένων σε πίνακα μετρήσεων, β) Επιλογή συστήματος αξόνων με τις κατάλληλες κλίμακες και

Διαβάστε περισσότερα

x 2,, x Ν τον οποίον το αποτέλεσμα επηρεάζεται από

x 2,, x Ν τον οποίον το αποτέλεσμα επηρεάζεται από Στη θεωρία, θεωρία και πείραμα είναι τα ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ... υπό ισχυρή συμπίεση ίδια αλλά στο πείραμα είναι διαφορετικά, A.Ensten Οι παρακάτω σημειώσεις περιέχουν τα βασικά σημεία που πρέπει να γνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ-ΦΥΣΙΚΗ Ι, 2013-14

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ-ΦΥΣΙΚΗ Ι, 2013-14 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Με τη λέξη σφάλμα στις θετικές επιστήμες αναφερόμαστε στην αβεβαιότητα που υπάρχει στην εύρεση του αποτελέσματος που προκύπτει από μια μέτρηση. Το να εκτιμήσουμε και να βρούμε τα σφάλμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7: Ευθύγραμμη oμαλά επιταχυνόμενη κίνηση

Κεφάλαιο 7: Ευθύγραμμη oμαλά επιταχυνόμενη κίνηση Κεφάλαιο 7: Ευθύγραμμη oμαλά επιταχυνόμενη κίνηση Σύνοψη Πειραματικός προσδιορισμός της μέσης και στιγμιαίας ταχύτητας στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση και επαλήθευση της σχέσης που ισχύει θεωρητικά

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε μια διάσταση

Κίνηση σε μια διάσταση Κίνηση σε μια διάσταση Θεωρούμε κίνηση κατά μήκος μιας ευθύγραμμης διαδρομής. Η απόσταση x του κινούμενου σώματος από ένα σημείο του άξονα της κίνησης που παραμένει ακίνητο χρησιμοποιείται ως συντεταγμένη.

Διαβάστε περισσότερα

Γνωριμία με το Σχολικό Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών

Γνωριμία με το Σχολικό Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών Φυσική Α Γενικού Λυκείου Γνωριμία με το Σχολικό Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών (Μετρήσεις, αβεβαιότητα, επεξεργασία δεδομένων) Υποστηρικτικό υλικό 20 Οκτωβρίου 2016 Μαρίνα Στέλλα, Υπεύθυνη ΕΚΦΕ Σχολικό Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 3 Θεωρία Σφαλμάτων Σκοπός

ΑΣΚΗΣΗ 3 Θεωρία Σφαλμάτων Σκοπός ΑΣΚΗΣΗ 3 Θεωρία Σφαλμάτων Σκοπός Σκοπός της άσκησης αυτής είναι ο σπουδαστής να μπορέσει να παρουσιάζει τα αποτελέσματα πειραματικών μετρήσεων σε μορφή. Τις περισσότερες φορές στις ασκήσεις του εργαστηρίου,

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση 8 Εξάρτηση της αντίστασης αγωγού από τη θερμοκρασία.

Εργαστηριακή Άσκηση 8 Εξάρτηση της αντίστασης αγωγού από τη θερμοκρασία. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Όνομα : Κάραλης Νικόλας Α/Μ: 9144 Εργαστηριακή Άσκηση 8 Εξάρτηση της αντίστασης αγωγού από τη θερμοκρασία. Συνεργάτες: Ιντζέογλου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Γραφικές παραστάσεις Μαρία Κατσικίνη E-mail: katsiki@auth.gr Web: users.auth.gr/katsiki Παρουσίαση αποτελεσμάτων με τη μορφή πινάκων Πίνακας : χρόνος και ταχύτητα του κινητού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ Μ- ΑΓΙΑΝΝΙΩΤΑΚΗ ΑΝ.-ΠΟΥΛΗ Κ.

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ Μ- ΑΓΙΑΝΝΙΩΤΑΚΗ ΑΝ.-ΠΟΥΛΗ Κ. ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 21-12-2014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ Μ- ΑΓΙΑΝΝΙΩΤΑΚΗ ΑΝ.-ΠΟΥΛΗ Κ. ΘΕΜΑ A Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς

Διαβάστε περισσότερα

Α u. u cm. = ω 1 + α cm. cm cm

Α u. u cm. = ω 1 + α cm. cm cm ΕΚΦΕ Ν.ΚΙΛΚΙΣ η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ : Κ. ΚΟΥΚΟΥΛΑΣ, ΦΥΣΙΚΟΣ - ΡΑΔΙΟΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΟΣ [ Ε.Λ. ΠΟΛΥΚΑΣΤΡΟΥ ] ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ II ΕΤΥ20

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ II ΕΤΥ20 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ II ΕΤΥ20 204 3 Ώρες εργαστηρίου την εβδομάδα Προαπαιτούμενo: Φυσική ΙΙ (ΕΤΥ102) Βαθμός Μαθήματος: 0.1*( 1*(Μ.Ο. Βαθμών προφορικής εξέτασης) + 0.5*(Μ.Ο. Βαθμών Αναφορών) + Βαθμός Τελικής

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ

Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ Παρουσίαση οργάνωσης των Εργαστηρίων Φυσικής Ι Ακαδ. Έτους 2013-14 http://www.physicslab.tuc.gr physicslab@isc.tuc.gr

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να

Διαβάστε περισσότερα

Τοπικός Μαθητικός Διαγωνισμός EUSO

Τοπικός Μαθητικός Διαγωνισμός EUSO Τοπικός Μαθητικός Διαγωνισμός EUSO 2014-2015 ΟΜΑΔΑ : 1] 2] 3] Γενικό Λύκειο Άργους Ορεστικού. 6 - Δεκ. - 1014 Φυσική Θέμα: Μέτρηση επιτάχυνσης. 1] Θεωρητική εισαγωγή Κίνηση είναι η αλλαγή της θέσης ενός

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων 1. Σκοπός Σκοπός του μαθήματος είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τις βασικές έννοιες που σχετίζονται με τη θεωρία Σφαλμάτων, όπως το σφάλμα, την αβεβαιότητα της μέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

kg(χιλιόγραμμο) s(δευτερόλεπτο) Ένταση ηλεκτρικού πεδίου Α(Αμπέρ) Ένταση φωτεινής πηγής cd (καντέλα) Ποσότητα χημικής ουσίας mole(μόλ)

kg(χιλιόγραμμο) s(δευτερόλεπτο) Ένταση ηλεκτρικού πεδίου Α(Αμπέρ) Ένταση φωτεινής πηγής cd (καντέλα) Ποσότητα χημικής ουσίας mole(μόλ) ΕΙΣΑΓΩΓΗ- ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Στα φυσικά φαινόμενα εμφανίζονται κάποιες ιδιότητες της ύλης. Για να περιγράψουμε αυτές τις ιδιότητες χρησιμοποιούμε τα φυσικά μεγέθη. Τέτοια είναι η μάζα, ο χρόνος, το ηλεκτρικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη της κίνησης σώματος πάνω σε πλάγιο επίπεδο. Περιγραφή - Θεωρητικές προβλέψεις - Σχεδιασμός

Μελέτη της κίνησης σώματος πάνω σε πλάγιο επίπεδο. Περιγραφή - Θεωρητικές προβλέψεις - Σχεδιασμός Εργαστήριο Φυσικής Λυκείου Επιμέλεια: Κ. Παπαμιχάλης Μελέτη της κίνησης σώματος πάνω σε πλάγιο επίπεδο Περιγραφή - Θεωρητικές προβλέψεις - Σχεδιασμός Βασικές έννοιες, σχέσεις και διαδικασίες Αδρανειακό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα

ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα Σκοπός ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα Σκοπός της άσκησης αυτής είναι ο σπουδαστής να μπορέσει να παρουσιάζει τα αποτελέσματα πειραματικών μετρήσεων σε μορφή καμπυλών και να μπορέσει εν τέλει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία σφαλμάτων. Μαθηματικός ορισμός του σφάλματος : σφάλμα=x-x όπου x & X είναι η μετρούμενη και η πραγματική τιμή αντίστοιχα.

Εισαγωγή στη θεωρία σφαλμάτων. Μαθηματικός ορισμός του σφάλματος : σφάλμα=x-x όπου x & X είναι η μετρούμενη και η πραγματική τιμή αντίστοιχα. Ε. Κ. Παλούρα 00 Ε. Κ. Παλούρα 00 Εισαγωγή στη θεωρία σφαλμάτων Εισαγωγή στη θεωρία σφαλμάτων Πείραμα Συστηματική παρατήρηση & μέτρηση φυσικών φαινομένων Επαλήθευση απλών νόμων Εκπαίδευση στον υπολογισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΡΑΒΔΟΥ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΤΗΣ ΡΑΒΔΟΥ

ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΡΑΒΔΟΥ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΤΗΣ ΡΑΒΔΟΥ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΡΑΒΔΟΥ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΤΗΣ ΡΑΒΔΟΥ Συνοπτική περιγραφή Μελετάμε την κίνηση μιας ράβδου που μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα,

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1η εξεταστική περίοδος από 4/10/15 έως 08/11/15 γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Α Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ονοματεπώνυμο: Καθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να επιλέξετε τη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση πειραματικών αποτελεσμάτων

Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση πειραματικών αποτελεσμάτων Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση πειραματικών αποτελεσμάτων Σύνοψη Πέραν από την ιδιαίτερη προσοχή που θα πρέπει να επιδείξουμε κατά τη λήψη μετρήσεων σε ένα πείραμα, μεγάλη σημασία έχει ο τρόπος που θα παρουσιάσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscorses.wordpress.com/ Βασικές Έννοιες Ένα σώμα καθώς κινείται περνάει από διάφορα σημεία.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1: ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1: ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1: ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ (A) ΜΕΤΡΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΣΤΕΡΕΟΥ (B) ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ (Γ) ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΕΓΕΘΩΝ ΣΕ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΝΤΑΣΗΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΝΤΑΣΗΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ 1 ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ 1 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΝΤΑΣΗΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ Α. ΣΤΟΧΟΙ Η εξοικείωση με τη χρήση απλών πειραματικών διατάξεων. Η εξοικείωση με

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Μαρία Κατσικίνη E-mal: katsk@auth.gr Web: users.auth.gr/katsk Τηλ: 0 99800 Γραφείο : Β όροφος, Τομέας Φυσικής Στερεάς Κατάστασης Σειρά των ασκήσεων Θεωρία : Σφάλματα Θεωρία :

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ. Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΛΥΣΕΙΣ. Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 01-013 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: 1η ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 1//1 ΘΕΜΑ 1 ο ΛΥΣΕΙΣ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα

Διαβάστε περισσότερα

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση.

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. 12ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. Το όργανο μέτρησης του βάρους ενός σώματος είναι : α) το βαρόμετρο, β) η ζυγαριά, γ) το δυναμόμετρο, δ) ο αδρανειακός ζυγός.

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαϊκή Ολυμπιάδα Φυσικών Επιστημών 2011 Πανελλήνιος προκαταρκτικός διαγωνισμός στη Φυσική. Σχολείο: Ονόματα των μαθητών της ομάδας: 1) 2) 3)

Ευρωπαϊκή Ολυμπιάδα Φυσικών Επιστημών 2011 Πανελλήνιος προκαταρκτικός διαγωνισμός στη Φυσική. Σχολείο: Ονόματα των μαθητών της ομάδας: 1) 2) 3) ΠΑΝΕΚΦΕ Ευρωπαϊκή Ολυμπιάδα Φυσικών Επιστημών 2011 Πανελλήνιος προκαταρκτικός διαγωνισμός στη Φυσική Σχολείο: Ονόματα των μαθητών της ομάδας: 1) 2) 3) Σχήμα 1 Εργαστηριακή Άσκηση: Μέτρηση της μάζας κινούμενου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα χρησιµοποιήσουµε βασικά όργανα του εργαστηρίου (διαστηµόµετρο, µικρόµετρο, χρονόµετρο) προκειµένου να: Να µετρήσουµε την πυκνότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Διάδοση αβεβαιοτήτων

Κεφάλαιο 6 Διάδοση αβεβαιοτήτων Κεφάλαιο 6 Διάδοση αβεβαιοτήτων Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφεται ο τρόπος με τον οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε την αβεβαιότητα σε μία σύνθετη μέτρηση. Αρχικά δίνονται προσεγγιστικοί τρόποι υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΚΦΕ Α Αν. Αττικής - Υπεύθυνος Κ. Παπαμιχάλης Εργαστηριακές ασκήσεις Φυσικής Β Γυμνασίου ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 7 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ Βασικές έννοιες: Θέση - μετατόπιση - χρόνος - χρονικό διάστημα - ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Σφάλματα Μετρήσεων Συμβατικά όργανα μετρήσεων Χαρακτηριστικά μεγέθη οργάνων Παλμογράφος Λέκτορας Σοφία Τσεκερίδου 1 Σφάλματα μετρήσεων Επιτυχημένη μέτρηση Σωστή εκλογή

Διαβάστε περισσότερα

1)Σε ένα πυκνωτή, η σχέση μεταξύ φορτίου Q και τάσης V μεταξύ των οπλισμών του, απεικονίζεται στο διάγραμμα.

1)Σε ένα πυκνωτή, η σχέση μεταξύ φορτίου Q και τάσης V μεταξύ των οπλισμών του, απεικονίζεται στο διάγραμμα. 1)Σε ένα πυκνωτή, η σχέση μεταξύ φορτίου Q και τάσης V μεταξύ των οπλισμών του, απεικονίζεται στο διάγραμμα. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Η χωρητικότητα του πυκνωτή είναι: α. 5 F, β. 1 / 5 μf, γ. 5

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12: Νόμος του Ohm

Κεφάλαιο 12: Νόμος του Ohm Κεφάλαιο 12: Νόμος του Ohm Σύνοψη Ποσοτική διερεύνηση της χαρακτηριστικής καμπύλης έντασης - τάσης διαφόρων ωμικών αγωγών, η οποία οδηγεί στη διατύπωση του νόμου του Ohm, καθώς και καταγραφή της χαρακτηριστικής

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια : Γαβριήλ Κωνσταντίνος Καθηγητής Φυσικής

Επιμέλεια : Γαβριήλ Κωνσταντίνος Καθηγητής Φυσικής ΖΗΤΗΜΑ Ο Ερωτήσεις ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ Σωστές διατυπώσεις Η ταχύτητα εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της θέσης του κινητού Ο ρυθμός μεταβολής της θέσης ( ταχύτητα ) του κινητού στην Ε.Ο.. είναι σταθερός Η επιτάχυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2014 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2014 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 04 Α Λυκείου 9 Μαρτίου 04 ΟΔΗΓΙΕΣ:. Η επεξεργασία των θεμάτων θα γίνει γραπτώς σε χαρτί Α4 ή σε Τετράδιο το οποίο θα σας δοθεί και το οποίο θα παραδώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 22: Νόμος του Joule

Κεφάλαιο 22: Νόμος του Joule Κεφάλαιο 22: Νόμος του Joule Σύνοψη Πειραματική επαλήθευση του νόμου του Joule. Προαπαιτούμενη γνώση Κεφάλαιο 1. Στοιχειώδεις γνώσεις κυκλωμάτων συνεχούς ρεύματος. 22.1 Ενέργεια και ισχύς συνεχούς ρεύματος

Διαβάστε περισσότερα

Α και Β ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ

Α και Β ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ Ευρωπαϊκή Ολυμπιάδα Φυσικών Επιστημών 2011-12 Τοπικός διαγωνισμός στη Φυσική 10-12-2011 Σχολείο: Ονόματα των μαθητών της ομάδας: 1) 2) 3) Κεντρική ιδέα της άσκησης Στην άσκηση μελετάμε την κίνηση ενός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών

Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται δύο κριτήρια απόρριψης απομακρυσμένων από τη μέση τιμή πειραματικών μετρήσεων ενός φυσικού μεγέθους και συγκεκριμένα

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση. Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία: Κυριακή 30 Οκτωβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ημερομηνία: Κυριακή 30 Οκτωβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Κυριακή 30 Οκτωβρίου 016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ )

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) Α. ΣΤΟΧΟΙ Η ικανότητα συναρμολόγησης μιας απλής πειραματικής διάταξης. Η σύγκριση των πειραματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαϊκή Ολυµπιάδα Φυσικών Επιστηµών 2009 Πανελλήνιος προκαταρκτικός διαγωνισµός στη Φυσική. Σχολείο: Ονόµατα των µαθητών της οµάδας: 1) 2) 3)

Ευρωπαϊκή Ολυµπιάδα Φυσικών Επιστηµών 2009 Πανελλήνιος προκαταρκτικός διαγωνισµός στη Φυσική. Σχολείο: Ονόµατα των µαθητών της οµάδας: 1) 2) 3) ΠΑΝΕΚΦΕ Ευρωπαϊκή Ολυµπιάδα Φυσικών Επιστηµών 2009 Πανελλήνιος προκαταρκτικός διαγωνισµός στη Φυσική 17-01-2009 Σχολείο: Ονόµατα των µαθητών της οµάδας: 1) 2) 3) Επισηµάνσεις από τη θεωρία Πάνω στον πάγκο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ 0 Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα

ΠΕΙΡΑΜΑ 0 Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα - &. ΠΕΙΡΑΜΑ 0 Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα χρησιµοποιήσουµε βασικά όργανα του εργαστηρίου (διαστηµόµετρο, µικρόµετρο, χρονόµετρο) προκειµένου: Να µετρήσουµε την πυκνότητα

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ

Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ Χρήσιμες έννοιες Κίνηση (σχετική κίνηση) ενός αντικειμένου λέγεται η αλλαγή της θέσης του ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς. Τροχιά σώματος ονομάζουμε τη νοητή γραμμή που δημιουργεί

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα