ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΔΙΦΑΣΙΚΩΝ ΡΟΩΝ ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΩΝ ΝΕΥΤΩΝΕΙΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΒΑΣΕΙ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ CAHN-HILLIARD

Transcript

1 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΔΙΦΑΣΙΚΩΝ ΡΟΩΝ ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΩΝ ΝΕΥΤΩΝΕΙΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΒΑΣΕΙ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ CAHN-HILLIARD Γιάννης Βασιλόπουλος, Γιάννης Δημακόπουλος Τμήμα Χημικών Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Πατρών, 6054 Πάτρα ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα εργασία ασχολείται με την μοντελοποίηση και την προσομοίωση της χρονικά μεταβαλλόμενης διαστρωματοποιημένης διφασικής ροής Νευτώνειων ρευστών μέσα σε ένα περιοδικό κανάλι, όπου το περισσότερο ιξώδες ρευστό επικαλύπτει το κάτω τοίχωμα του καναλιού. Εξετάζουμε την ευστάθεια της διεπιφάνειας που αρχικά παρουσιάζει πεπερασμένου πλάτους κυματισμό υπό δυναμικές συνθήκες που προκαλούνται από την εφαρμογή μιας μόνιμης μακροσκοπικής βαθμίδας της πίεσης. Η αριθμητική επίλυση του διφασικού μοντέλου Cah Hilliard μαζί με τα ισοζύγιο ορμής και μάζας του συστήματος γίνεται μέσω μιας βελτιωμένης μεθόδου πεπερασμένων διαφορών. Αποτελέσματα της κατανομής της συγκέντρωσης, της πίεσης και του πεδίου ταχυτήτων παρουσιάζονται για ένα μεγάλο εύρος του αριθμού Cah, C, και του αριθμού Reyolds, Re που επιδεικνύουν την ευστάθεια και την ευρωστία του αριθμητικού σχήματος. Όταν το πλάτος του αρχικού κυματισμού είναι μικρό, παρατηρείται η σταδιακή απόσβεσή του λόγω της διεπιφανειακής τάσης. Το πεδίο ταχυτήτων επηρεάζεται σε σημαντικό βαθμό από την διαφορά ιξωδών μεταξύ των ρευστών και την παρουσίαση της διεπιφάνειας μόνο όταν ο αριθμός Reyolds είναι σχετικά μικρό. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ροή διφασικών ρευστών εμφανίζεται σε πολλές τεχνολογικές εφαρμογές στον χώρο της βιομηχανίας: εξόρυξη πετρελαίου από το υπέδαφος, μικροτεχνολογικές εφαρμογές, καταλυτικές διεργασίες. Ενδεικτικοί τύποι διφασικών ροών που εμφανίζονται σε αυτές τις διεργασίες, είναι η εναπόθεση μιας σταγόνας πάνω σε κάποια στερεή επιφάνεια [1], η διαστρωματοποιημένη ροή []. Η προσομοίωση χρονικά μεταβαλλόμενων διφασικών ροών στοχεύει στον υπολογισμό των τάσεων, της πίεσης και του πεδίου της ταχύτητας των δύο ρευστών σε κάθε χρονική στιγμή καθώς και την αναπαράσταση της εξέλιξης της διεπιφάνειας καθώς αυτή παραμορφώνεται. Η δυσκολία στην μοντελοποίηση αυτού του είδους ροών, ενέχεται στην περιγραφή της κίνησης της διεπιφάνειας μεταξύ των δύο ρευστών δίοτι δεν γνωρίζουμε εκ των προτέρων την θέση της στο χώρο ώστε να εφαρμόζονται κατάλληλα οι συνοριακές συνθήκες σε κάθε χρονική στιγμή. Διάφορες μέθοδοι έχουν αναπτυχθεί για την επίλυση αυτού του προβλήματος όπως οι μέθοδοι πεδίου φάσεων στις οποίες ανήκει και το μοντέλο Cah- Hilliard [3] η οποία προκύπτει από θερμοδυναμικές θεωρήσεις και είναι μια διαφορετική έκφραση της εξίσωσης διατήρησης της μάζας της κάθε μιας φάσης. Τότε, η διεπιφάνεια μεταξύ των δύο ρευστών θεωρείται ένα διάχυτο στρώμα πεπερασμένου και πολύ μικρού πάχους. Επομένως όλος ο ρευστός χώρος αντιμετωπίζεται και ως ένα βαθμωτό πεδίο της συγκέντρωσης της μιας εκ των δύο φάσεων. Λόγω της ανομοιογενούς περιοχής της διεπιφάνειας υπάρχει μια ομαλή μετάβαση των φυσικών ιδιοτήτων των ρευστών, όπως η πυκνότητα και το ιξώδες, καθώς διαπερνάται η διεπιφάνεια. Το μοντέλο Cah-Hiliard βασίζεται σε ένα σύστημα δύο μη αναμείξιμων, ασυμπίεστων και ισοθερμοκρασιακών Νευτώνειων ρευστών τα οποία βρίσκονται σε επαφή μεταξύ τους σε χωρίο το στερεό σύνορο του οποίου συμβολίζεται ως. Η διεπιφάνεα μεταξύ των δύο φάσεων είναι πεπερασμένου πάχους και διάχυτη. Υποθέτωντας ότι δεν υπάρχει σημείο επαφής μεταξύ διεπιφάνειας και στερεού τοιχώματος το συναρτησιακό της ελεύθερης ενέργειας Helmholtz δίνεται ως 1 Fmix c, c c foc d (1) Η ολοκληρωτέα ποσότητα είναι η πυκνότητα ελεύθερης ενέργειας του μείγματος των δύο ρευστών φάσεων. Ο πρώτος όρος εκφράζει την πυκνότητα ελεύθερης ενέργειας λόγω της ανομοιογενούς περιοχής της διεπιφάνειας, όπου είναι η παράμετρος βαθμίδας ενέργειας. Ο δεύτερος όρος είναι η πυκνότητα ελεύθερης ενέργειας του ομογενούς συστήματος και εκφράζει την προτίμηση του συστήματος στον πλήρη διαχωρισμό των φάσεων. Κατ επέκταση μπορεί να οριστεί το χημικό δυναμικό ως η παράγωγος μεταβολών του συναρτησιακού (1), το οποίο εκφράζει την μεταβολή της ελεύθερης ενέργειας καθώς τα σωματίδια των δύο φάσεων αλλάζουν θέση στο χώρο Fmix fm fm c c c ()

2 Τότε διάχυση μπορεί να συμβεί λόγω διαφοράς χημικού δυναμικού, επομένως η εξίσωση διατήρησης της μάζας γίνεται η εξίσωση Cah-Hilliard: c Fmix u c M c t c (3) H εξίσωση (3) είναι μια 4 ης τάξης μη γραμμική διαφορική εξίσωση μερικών παραγώγων και μοντελοποιεί την δημιουργία, την εξέλιξη και την διάλυση της διεπιφάνειας η οποία είναι ελεγχόμενα διάχυτη. Το βαθμωτό πεδίο της συγκέντρωσης της μιάς από τις δύο φάσεις συμβολίζεται με c cx, t, και η παράμετρος M c ονομάζεται ευκινησία. Λόγω του ότι η εξίσωση (3) αποτελεί μια διαφορετική εκδοχή της αρχής διατήρησης της μάζας του συστήματος, τότε θα πρέπει να ισχύει για την συνολική μάζα του συστήματος των δύο φάσεων d dt cx, td0 (4) ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Θεωρούμε τη μη-μόνιμη ροή δύο λεπτών σε πάχος Νευτώνειων ρευστών, διαφορετικών ιξωδών και ίδιων πυκνοτήτων τα οποία βρίσκονται αρχικά σε ηρεμία μέσα σε περιοδικό καρτεσιανό κανάλι διαστάσεων μικρομέτρου. Η ρευστή φάση που αποτελείται από ρευστό μικρότερου ιξώδους ( 1 ) (σχ. 1) καταλαμβάνει πάντα στην πάνω περιοχή του καναλιού. Η διεπιφάνεια ανάμεσα των δύο ρευστών αρχικά έχει ημιτονοειδή μορφή [5]. Τα ρευστά κινούνται λόγω της επιβολής μιας μακροσκοπικής βαθμίδας πίεσης στην κύρια διεύθυνση της ροής, εν προκειμένω eˆx ενώ η άνω και κάτω πλάκες παραμένουν ακίνητες. Σχήμα 1. Αρχική κατανομή των δύο λεπτών υμενίων σε κανάλι καρτεσιανής γεωμετρίας. Η γεωμετρία θεωρείται περιοδική στην είσοδο και έξοδο του αγωγού και τα τοιχώματα θεωρούνται μη διαπερατά και τραχεία. Διέπουσες εξισώσεις της διεργασίας είναι οι εξισώσεις της διατήρησης της ορμής και της συνολικής μάζας του διφασικού συστήματος, της διάχυσης της συγκέντρωσης και για τα δύο ρευστά. Οι εξισώσεις καθίστανται αδιάστατες αν χρησιμοποιήσουμε ως χαρακτηριστικά μεγέθη [,4] αυτά του Πίνακα 1. Χαρακτηριστικό Μονάδες μέγεθος Μήκος Lch L m Ταχύτητα u ˆ1 1 1 f L 1 m sec Πίεση ch pch fl ˆ 1 N m Χρόνος tch f L 1 sec 1 1 Συγκέντρωση c Πυκνότητα Ελεύθερης Ενέργειας ˆ ch 3 mol m 1 1 ch 3 f Πίνακας 1. Χαρακτηριστικά μεγέθη. J m

3 Η αδιάστατη μορφή του ισοζυγίου της ορμής δίνεται ως: Du 1 1 (5) P c Dt Re ReCa όπου u το διάνυσμα της ταχύτητας, c είναι η συγκέντρωση, είναι το χημικό δυναμικό που ορίζεται στην εξ. (), P είναι η πίεση που μπορεί να αναλυθεί σε ένα γραμμικό και ένα περιοδικό μέρος P p x (6) είναι η πυκνότητα: είναι ο τανυστής των τάσεων για Νευτώνεια ρευστά i c1 c1 1 1 u u T (7) (8) είναι το ιξώδες: i c1 c1 1 1 (9) Το ισοζύγιο μάζας για ασυμπίεστα ρευστά γράφεται ως: u 0 (10) Ενώ η εξίσωση διάχυσης της συγκέντρωσης ως: c 1 u c c 3 c C c t Pe Οι αδιάστατοι αριθμοί που εμφανίζονται στις παραπάνω εξισώσεις συνοψίζονται στον Πίνακα. (11) Αδιάστατος Αριθμός Ορισμός Επεξήγηση Peclet Cah Capillary Reyolds uchl Pe M c C L 1u Ca C ch 3 Re 1uchL iertia 1 viscous Πίνακας. Αδιάστατοι αριθμοί. advective trasport rate diffusive trasport rate iterfacial thickess characteristic legth viscous forces surface tesio Οι εξισώσεις (5), (10) & (11) δεν επιλύονται ξεχωριστά για κάθε ρευστό αλλά χρησιμοποιείται ένας ενιαίος φορμαλισμός για όλο το χωρίο, όπου γίνεται διαφοροποίηση κατά συνεχή τρόπο των ιδιοτήτων της πυκνότητας και του ιξώδους του ρευστού. Τυπικά χρησιμοποιείται ο δείκτης i που υποδεικνύει είτε το ρευστό 1 ή το ρευστό. Στην πράξη αυτό εκφράζεται μέσω της συνάρτησης του πεδίου των φάσεων c όπου η ρευστή φάση 1 αντιστοιχεί σε c 1 και η ρευστή φάση αντιστοιχεί σε c 1. Η μαθηματική τοποθέτηση του προβλήματος ολοκληρώνεται με εφαρμογή κατάλληλων συνοριακών συνθηκών και αρχικών συνθηκών. Επισημαίνεται ότι συμβολίζουμε το μοναδιαίο διάνυσμα στις επιφάνειες των τοιχωμάτων ως ˆ και αντίστοιχα το παράλληλο σε αυτές ως ˆt :

4 Έτσι για το πεδίο ταχυτήτων χρησιμοποιούμε την συνθήκη μη ολίσθησης & μη διείσδυσης επάνω στο τοίχωμα του αγωγού: ˆ ˆ ˆ ˆ u x, y 0 u x, y 0 t 0 (1) u x, y 1 u x, y 1 t 0 (13) και την συνθήκη περιοδικότητας μεταξύ της εισόδου και της εξόδου του καναλιού: 0, 4, u x y u x y (14) Αναφορικά με την εξίσωση της διάχυσης της συγκέντρωσης του συνολικού ρευστού, θεωρούμε ότι δεν υπάρχει ροή μάζας και δεν αναπτύσσεται καμία βαθμίδα χημικού δυναμικού επάνω στο στερεό τοίχωμα: ˆ c ˆ c 0 (15) y0 y1 ˆ ˆ y0 y1 0 (16) ενώ η συγκέντρωση και το χημικό δυναμικό στην είσοδο και έξοδο των ρευστών είναι επίσης περιοδικά: 0, 4,y x 0, y x 4,y c x y c x (17) (18) Αρχικά θεωρούμε πως τα δύο ρευστά βρίσκονται σε ηρεμία και η διαμόρφωση της συγκέντρωσης στον χώρο είναι της μορφής: y si k x 3 cx, t 0 tah,k C (19) όπου 3 x y si (0) είναι το αρχικό ύψος της διεπιφάνειας, δηλαδή η ισοϋψής καμπύλη c 0. Το χημικό δυναμικό, οι ταχύτητες και ο περιοδικός όρος της πίεσης στην αρχική τους κατάσταση είναι αντίστοιχα: x ux px,0,0,0 0 (1) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ Για την επίλυση των εξισώσεων χρησιμοποιούμε την μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών. Αρχικά διακριτοποιούμε το δισδιάστατο καρτεσιανό κανάλι σε x κυψελίδες στην x - διεύθυνση και σε y κυψελίδες στην y - διεύθυνση αντίστοιχα όπως φαίνεται στο σχ.. Προσεγγίζουμε την διακριτή μορφή των διαφορικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας κεντρικές πεπερασμένες διαφορές με ακρίβεια ης τάξης. Η χρονική ολοκλήρωση της εξίσωσης (11) γίνεται με τη μη-αναλυτή Euler, ενώ της εξίσωσης (5) με αναλυτή Euler. Ο υπολογισμός της περιοδικής πίεσης γίνεται μέσω της μεθόδου της προβολής [7]. Ενώ η εξίσωση (11) μετασχηματίζεται ισοδύναμα σε δύο μερικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης, όπου οι άγνωστοι είναι η συγκέντρωση και το χημικό δυναμικό. Ο αλγόριθμος που ακολουθείται ώστε να υπάρχει λύση στο χρονικό βήμα 1 είναι: 1. Υπολογίζουμε το αρχικό πεδίο ταχυτήτων u το οποίο θα έχει μηδενική απόκλιση, όπως επίσης και την αρχική πίεση p, συγκέντρωση c και χημικό δυναμικό. c c.. Υπολογίζουμε την πυκνότητα και το ιξώδες

5 3. Χρησιμοποιώντας αναλυτή Euler για την ολοκλήρωση στο χρόνο, επιλύουμε την εξίσωση (5) και * υπολογίζουμε ένα ενδιάμεσο πεδίο ταχυτήτων u το οποίο εν γένει δεν ικανοποιεί την συνθήκη ασυμπιεστότητας (εξίσωση (10)). Βασιζόμενοι στη μέθοδο της προβολής, η εξίσωση της συνέχειας (10) μετασχηματίζεται σε Poisso ως 1 προς την πίεση από την οποία υπολογίζεται η πίεση p. 1 p u t (5) 4. Το πεδίο ταχυτήτων διορθώνεται έτσι ώστε να είναι ασυμπίεστο 1 * t 1 u u p (6) 5. Χρησιμοποιώντας μη αναλυτή ολοκλήρωση Euler στο χρόνο υπολογίζουμε την συγκέντρωση και 1 το χημικό δυναμικό επιλύοντας την εξίσωση (11) με την μέθοδο Newto-Raphso 6. Τελικά θα έχουμε υπολογίσει όλες τις απαιτούμενες ποσότητες στο χρονικό βήμα 1 και η διαδικασία επαναλαμβάνεται για τα επόμενα χρονικά βήματα 1 c Σχήμα. Υπολογιστικό Χωρίο χρησιμοποιώντας Κεντρικές Πεπερασμένες Διαφορές. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Τα παρακάτω αποτελέσματα αφορούν παραμετρική ανάλυση ως προς τον αριθμό Reyolds θεωρώντας όλες τις υπόλοιπες παραμέτρους αμετάβλητες. Ο πίνακας 3 παρουσιάζει τις τιμές των αδιάστατων παραμέτρων που χρησιμοποιήσαμε στο δεδομένο πρόβλημα. Παράμετρος Τιμή Αδιάστατο Μήκος στην x -διεύθυνση Hx 4 Αδιάστατο Μήκος στην y -διεύθυνση H 1 Υπολογιστικές Κυψελίδες στην x -διεύθυνση x 56 Υπολογιστικές Κυψελίδες στην y -διεύθυνση y 19 Χρονικό Βήμα 5 t 10 Cah Number C 10 Peclet Number 4 Pe 10 Desity Ratio 1 Viscosity Ratio 1 Capillary Number 1 Ca 10 Πίνακας 3. Πειραματικές Παράμετροι. y

6 Αναφορικά στις τιμές του Reyolds αυτές κυμαίνονται από 1 έως 500. Πιο συγκεκριμένα, παρακάτω παρουσιάζουμε ενδεικτικά αποτελέσματα για 4 τιμές του Reyolds, Re 10,50,100,500. Στα σχήματα 3 και 4 φαίνονται τα προφίλ ταχυτήτων, στην είσοδο του καναλιού, της ux συνιστώσας σε διάφορες χρονικές στιγμές για διαφορετικούς αριθμούς Reyolds. Για αριθμούς Reyolds της τάξης του 10 (σχ 3), το προφίλ της ταχύτητας παρουσιάζει ασυμμετρία λόγω της επίδρασης της διαφοράς των ιξωδών τάσεων που αναπτύσσονται σε κάθε ρευστό. Σε μεγαλύτερους αριθμούς Reyolds (σχ.4) που οι ιξώδεις δυνάμεις παίζουν δευτερεύοντα ρόλο το προφίλ γίνεται σχεδόν συμμετρικό και επίπεδο στο μεγαλύτερο μέρος της διατομής, ενώ κοντά στο τοίχωμα έχουμε ταχεία μείωση της ταχύτητας που συνοδεύεται με την ανάπτυξη ενός πολύ έντονου συνοριακού στρώματος στις διατμητικές τάσεις. Παρά την ακραία μεταβολή μπορούμε να αριθμητικά να την προσέγγισουμε με υψηλή ακρίβεια και ευστάθεια Σχήμα 3. ux -προφίλ σε χρόνους t 0.4,0.8,1.0 για (α) Re 10 και (β) Re 50 Σχήμα 4. ux -προφίλ σε χρόνους t 0.4,0.8,1.0 για (α) Re 100 και (β) Re 500 Την χρονική εξέλιξη της διεπιφάνειας και της συγκέντρωσης σε διάφορες χρονικές στιγμές εμφανίζεται στο σχ. 5 όταν Re 500. Η διεπιφάνεια εξελίσσεται με κυματοειδή μορφή, όπου το πλάτος του κύματος αποσβένει σταδιακά υπό την επίδραση της επιφανειακής τάσης έως ότου αυτή καταλήξει επίπεδη. γ. δ. Σχήμα 5. Το πεδίο της συγκέντρωσης σε χρόνους t 0.0,0.4,0.8,1.0 (α.,β.,γ.,δ. αντίστοιχα) για Re 500.

7 Ο τρόπος που η εγκάρσια συνιστώσα της ταχύτητας μεταβάλλεται κατά μήκος της διεπιφάνειας παρουσιάζεται ενδεικτικά στο σχ. 6 για Re 50 σε διάφορους χρόνους. Υπάρχουν περιοδικές εναλλάγες του προσήμου της, με αντίστοιχες εναλλαγές των μεγίστών και ελαχίστών της. Όσο ο χρόνος περνάει η εγκάρσια ταχύτητα λαμβάνει όλο και μικρότερες τιμές που είναι δύο με τρεις τάξεις μεγέθους μικρότερη από την u x συνιστώσα. Σχήμα 6. Η uy συνιστώσα της ταχύτητας σε χρόνους t 0.4,0.8,1.0 (α.,β.,γ. αντίστοιχα) για Re 50. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Παρουσιάσαμε ενδεικτικά απότελεσματα από την μελέτη της διαστρωματοποιημένης ροής δύο ιξώδων και ασυμπίεστων ρευστών σε οριζόντιο κανάλι. Το μοντέλο Cah-Hiliard που χρησιμοποιηθηκε για την συνεχή προσέγγιση των δύο φάσεων φαίνεται πως διασφαλίζει την διατήρηση μάζας του συστήματος με μεγάλη ακρίβεια και να αποτελεί μια αρκετά χρήσιμη και βολική μεθοδολογία για προσομοίωσεις τέτοιου είδους προβλήματα. Αναφορικά με το φυσικό σύστημα που μελετήσαμε συμπαιραίνουμε πως η ροή του είναι ευσταθής εφόσον το μέγεθος της αρχικής διακύμανσης της διεπιφάνειας είναι μικρό. Η διεπιφάνεια συνεχώς εξομαλύνεται λόγω της σημαντικής επίδρασης της διεπιφανειακής τάσης. Στην συνεχεία σκοπεύουμε να μελετήσουμε ροές παρόμοιου τύπου υπό συνθήκες μικρότερων αριθμών Reyolds, διαφορετικών λόγων ιξωδών για την καλύτερη κατανόηση του φυσικού φαινομένου. Ευχαριστίες: Οι συγγραφείς θα ήθελαν να ευχαριστήσουν την οικονομική υποστήριξη του προγράμματος «Αριστεία» (FilcoMicra, αριθμός παραχώρησης 1918), με την συγχρηματοδότηση της Ελλάδας και της Ευρωπαϊκής ένωσης. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1]. J. Kim, Phase-Field Models for Multi-Compoet Fluid Flows, Comm. Comput. Phys. 1 (01), []. M. Zacharioudaki, C. Kouris, Y. Dimakopoulos ad J. Tsamopoulos, A direct compariso betwee volume ad surface trackig methods with a boudary-fitted coordiate trasformatio ad third-order upwidig, J. Comp. Phys. 7 (007), [3]. J.W. Cah ad J.E. Hilliard, Free eergy of a ouiform system. I: Iterfacial eergy, J. Chem. Phys. 8 (1958), 58. [4]. V. V. Khatavkar, P. D. Aderso, Capillary spreadig of a droplet i the partially wettig regime usig a diffuse-iterface model, J. Fluid Mech. 51 (007), [5]. J. Li, Y. Reardy ad M. Reardy, A umerical study of periodic disturbaces o two-layer Couette flow, Physics Of Fluids, 10 (1998). [6]. D. Jacqmi, Calculatio of Two-Phase Navier-Stokes Flows Usig Phase-Field Modelig, J. Comp. Phys. 155 (1999), [7]. A. J. Chori, A Numerical Method for Solvig Icompressible Viscous Problems, J. Comp. Phys. 135 (1997),