Moderni Mehatronički Sustav
|
|
|
- Θυώνη Γερμανός
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Mehatronika Sadržaj predavanja: 1. Prednosti elektromehaničkog pogona 2. Vrste Povratne Sprege i Primjene 3. DC Servo motori 4. DC Permanent Magnet (PM) Brushless Servo Motori 5. Step Motori
2 Moderni Mehatronički Sustav Moderni mehatronički sustav se tipično sastoji od ovih komponenti: Sustava za upravljanje gibanjem (eng. motion controller). To može biti PLC (Programmable Logic Controller) ili namjensko embedded ili PC računalo za upravljanje cijelim sustavom. Elektroničkih sklopova za pokretanje elektromotora (motor drive or amplifier) Elektromotori (servomotori, step motori) Senzori za implementaciju povratne veze (feedback loop sensors) kao što su optički enkoderi, proximity sensors itd Mehaničke komponente za transmisiju mehaničke energije (remeni, vodilice, pužni mehanizmi, ležajevi itd...)
3 Prednosti Elektromehaničkog Pogona Većina današnjih mehatroničkih sustava pokretano je putem elektromehaničkog pogona zbog brojnih prednosti u usporedbi sa pneumatskim ili hidrauličkim pogonom: Preciznije pozicioniranje tereta (load) ili alata. Posljedica toga je manji broj defektnih proizvoda (ako se readi o proizvodnoj traci) što smanjuje potrošnju materijala Jednostavnije projektiranje mehatroničkog sustava te jednostavnija instalacija sustava, jednostavnije programiranje i jednostavnije obučavanje osoblja za rukovanje Kod projektiranja jednostavnija je kustomizacija po željama naručitelja mehatroničkog sustava (robota) Niži troškovi održavanja mehatroničkog sustava te kraće vrijeme popravka sustava Tiši i čišći rad sustava, mogućnosti curenja ulja ili zraka (pneumatski) su svedene na minimum Nisu potrebne pumpe ni kompresori zraka te nemaju cijevi koje mogu curiti ulje ili zrak
4 Servo Sustavi sa Povratnom Spregom (closed loop feedback) Povratna veza kontinuirano uspoređuje odziv sustava sa upravljačkim komandama sustava te kontinuirano korigira greške u položaju motora ili tereta, brzini motora ili tereta te u zakretnom momentu motora. Informacije o položaju, brzini te zakretnom momentu pružaju feedback senzori. Na taj način se uklanja devijacija u odnosu na zadane komande servo sustava. Senzori servo sustava su tipično: enkoderi (npr. optički) rezolveri tahometri
5 Povratna Sprega sa Tahometrom (velocity controlled loop) Povratna sprega sadrži tahometar koji može detektirati brzinu vrtnje motora. Tahometar generira pozitivni ili negativni signal pogreške koji su proprocionalni devijaciji brzine motora od one koje je zadao kontroler. Pomoću informacije o greški kontroler generira korigirani signal koji se pojačava u pojačalu te se tako brzina motora drži unutar zadanih granica.
6 Povratna Sprega sa Senzorom Položaja (position control loop) Ova vrsta povratne sprege tipično sadrži enkoder ili rezolver koji mjere položaj motora (direktno ili indirektno). Senzori položaja generiraju signal pogreške te kontroler uzima tu pogrešku u obzir te generira signal prema pojačalu. Servo sustavi sa povratnom spregom u obliku senzora položaja najčešće imaju tahometar kao dodatni senzor. Integriranjem signala tahometra (brzine) može se dobiti dodatna informacija o položaju. Kombiniranjem dvaju ili više signala položaja može se preciznije upravljati motorom (senzorska fuzija)
7 Primjer - Vijčani Mehanizam (Ballscrew) Vijčani mehanizam je primer linearnog aktuatora gdje se rotacija motora pretvara u translatorno gibanje. Ovim mehanizmom moguće je vrlo precizno pozicioniranje jer za jednu rotaciju motora imamo translatorni pomak koji ovisi o razmaku između navoja vijka. Motoru se može dodati i zupčasti prijenos (zupčanici) tako da se položaj može još preciznije definirati. Ako je prijenosni omjer npr. 1:10 onda za 10 rotacija motora imamo pomak koji odgovara razmaku između navoja vijka. Ovaj sustav je osjetljiv na nečistoće i abrazivne čestice koji upadaju na navoje vijka. Radi toga se najčešće nalazi u zatvorenom kućištu.
8 Vijčani Mehanizam - Povratna Sprega Tri su primjera povratne sprege: a) Optički enkoder ili rezolver montira se u kućište motora. b) Linearni optički enkoder ili LVDT nalazi se u kućištu zajedno s mehanizmom vijka c) Kao senzor položaja koristi se laserski interferometar. Ovo je naskuplja ali najtočnija opcija Moguće je i kombiniranje bilo koje od kombinacija (a), (b),(c) kako bi se postiglo bolje pozicioniranje i profil brzina ovisno o aplikaciji.
9 Trapezoidni Profil Brzina Servomotora Ako će motor raditi bez trzaja te u režimu visokih brzina kontroler mora preko pojačala postupno ubrzati servomotor do željene brzine. Na isti način se motor decelerira, gradualno dok potpuno ne stane. Dakle moramo upravljati akceleracijom i deceleracijom motora bez da preopteretimo motor.
10 Metode Automatske Regulacije sa Povratnom Spregom Najednostavnija metoda automatske regulacije je proporcionalna (P) a postoje još i derivacijska metoda (D) i integrirajuća metoda (I). Sve ove tri regulacijske metode se mogu kombinirati u PID regulacijsku metodu. Kod proporcionalne metode signal na pojačalu je linearno proporcionalan razlici željenog i izmjerenog signala Integracijska metoda daje signal na pojačalu je proporcionalan integralu razlike željenog i izmjerenog signala Kod derivacijske metode signal na pojačalu je proporcionalan derivaciji razlike željenog i izmjerenog signala Izlaz na PID kontroleru je signal koji je proporcionalan težinskim koeficijentima pomnoženim sa linearnom razlikom signala, derivacijom razlike signala i integralom razlike signala
11 PID Kontroler PID kontroler regulira procesnu varijablu u t koristeći težinske koeficjente K p, K d i K i te trenutne informacije o pogreški (P), informacije o pogreški akumuliranoj tijekom vremena (I) te o predviđanju što će se dogoditi sa pogreškom (D) u skorijoj budućnosti zasnovanom na derivaciji pogreške e t. u t = K p e t + K d de(t) dt + K i න e t dt
12 Metode Regulacije bez Povratne Sprege Tipičan primjer automatske regulacije bez povratne sprege je upravljanje step motorom. Step motor je motor koji dijeli puni zakret motora od 360 o na određeni broj fiksnih zakreta. Ako je broj takvih zakreta npr. N = 180 tada svaki pojedinačni pomak motora iznosi φ = 2 o Pod uvjetom da je motor ispravno dimenzioniran s obzirom na zakretni moment te maksimalnu brzinu vrtnje motora, ovakav motor može se voditi bez povratne sprege.
13 Podjela Elektromotora Elektromotri se mogu podijeliti na dvije osnovne kategorije elektromotora: Servo motori (koriste se sa povratnom vezom) Step motori (koriste se bez povratne veze) Servo elektromotori se opet mogu podijeliti na dva osnovna tipa elektromotora: AC (Alternating Current) elektromotori, za primjene male snage. Jeftiniji su, imaju visoku efikasnost i manje ih je potrebno održavati DC (Direct Current) elektromotori, za primjene gdje se traži velika snaga. Imaju veliki omjer zakretnog momenta i inercije što omogućava brzi odziv sustava
14 DC Servo Elektromotor - princip rada Kada se vodič kroz koji teče struja റI nalazi u magnetskom polju B na njega djeluje Lorentzova sila റF: (1) റF = റI B Izraz (1) proizlazi iz izraza za Lorentzovu silu na naboj q koji se kreće brzinom റv u elektromagnetskom polju: (2) റF = q E + റv B
15 DC Servo Elektromotor - princip rada Funkcija statora je da proizvede potrebno magnetsko polje. Kroz rotor teče struja tereta I L. Budući da struja teče kroz namote armature (žicu) na armaturu djeluje Lorentzova sila te proizvodi zakretni moment. Struja dolazi na žicu preko četkica komutatora. Smijer struje se kontinuirano mijenja preko čekica komutatora da bi se zakretni moment održao konstantnim.
16 DC Servo Elektromotor - Zakretni Moment Diferencijalni element sile d റF na diferencijalni element žice dറl dan je izrazom koji slijedi iz Lorentzove sile: (3) d റF = dq റv B = d റI B = i dറl B gdje je i gustoća struje. Sila na strane zavoja koji je u ravnini magnetskog polja je poništena silom s donje strane zavojnice (to je strana zavoja kovidjen odozgo na slici). Namot gledan odozgo Sila F na slici dade se rastaviti na komponente okomito na zavoj te komponente u smijeru zavoja. Komponente u smijeru zavoja se poništavaju. Dakle zakretnom momentu zavoja doprinose samo komponente okomite na zavoj
17 DC Servo Elektromotor - Zakretni Moment Dakle sila na zavoj odgovara integralu elementa sile d റF na bočne stranice (to so one okomito na prethodnu sliku) (4) റF = i 0 l d റl B = i 0 l d റl B Pošto se magnetsko polje B uzima da je konstantno, u izrazu (4) je izvučeno izvan integrala. Integrirajući izraz (4) dobije se: (5) റF = iറl B gdje je vektor റl takav da je u smijeru bočne žice i po iznosu odgovara duljini žice l. Iz prethodne slike može se zaključiti da je sila koja doprinosi zakretnom momentu po magnitudi jednaka: (6) F t = i l B cos θ
18 DC Servo Elektromotor - Zakretni Moment Zbog sile F t imamo zakretni moment na žicu T l koji je proporcionalan polovici duljine d: (7) T l = d 2 i l B cos θ Pošto moment T l djeluje na oba okomita segmenta žice ukupni zakretni moment je: (8) T = 2T l = d i l B cos θ Kada bi žica bila bez komutatora onda bi profil zakretnog momenta izgledao kao na slici:
19 DC Servo Elektromotor - Zakretni Moment Naš konačni cilj je da zakretni moment bude konstantan (dakle ravna crta). Ako sada dodamo komutator koji se sastoji od dva segmenta zakretni moment više neće biti negativan, tj. zbog inercije rotora imat ćemo kontinuiranu rotaciju.
20 DC Servo Elektromotor - Zakretni Moment Ako rotor ima N neovisnih namota armature, ispada da komutator mora imati 2N četkica. U tom slučaju imamo 2N polusinusoida koje se preklapaju unutar jednog perioda rotacije. Što je veći broj N to zakretni moment više postaje konstantan. U tom slučaju gubi se ovisnost zakretnog momenta o kutu θ: (9) T = d i l B Tok magnetskog polja Φ kroz rotor je proporcionalan iznosu magnetskog polja B kao: (10) Φ = B A gdje je A površina. U tom slučaju zakretni moment T se izražava kao: (11) T = K Φ Φi Konstanta K Φ se može odrediti iz izraza K Φ = l d A
21 DC Servo Elektromotor - Zakretni Moment sa N namota armature Što se broj namota armature N povećava to je zakretni moment T bliže konstantnom zakretnom momentu. Ripple zakretni moment se može smanjiti bilo povećanje broja namota N bilo se može isfiltrirati mehaničkim karakteristikama sustava.
22 DC Servo Elektromotor - Inducirani Napon (back e.m.f.) Pošto vodiči u rotaciji sijeku silnice magnetskog polja, dolazi do promjene magnetskog toka Φ c kroz zavoj armature te se inducira napon. Magnituda induciranog napona se može izračunati putem Faradayevog zakona elektromagnetske indukcije: (12) e = dφ c dt Predznak minus proilazi iz činjenice da je inducirani napon takav da stvara struju suprotnu onoj koja je taj inducirani napon generirala (zakoni očuvanja energije). Magnetski tok Φ c kroz samo jedan zavoj da se izračunati iz izraza: (13) Φ c = B A cos θ
23 DC Servo Elektromotor - Inducirani Napon (back e.m.f.) Deriviranjem izraza (13) po vremenu dobije se izraz za inducirani napon: (14) e = dφ c dt d B A cos θ = dt Pod pretpostavkom konstantnog magnetskog polja B dobije se: (15) e = dφ c dt d B A cos θ = dt = B A dcos θ dt = B A sin θ dθ dt = B A sin θ ω gdje je ω kutna brzina rotacije zavoja. Može se uzeti da zbog prisutnosti komutatora zavojnica najviše vremena provodi u kutu θ = π, te da je zbog toga većinu vremena sin θ 1. Zbog toga 2 inducirani napon u gornjem izrazu postaje e = B A ω. Slično kao i kod analize zakretnog momenta, e se može dovesti u vezu sa magnetskim tokom Φ: (16) e = Φ ω
24 Električna Shema DC Servo Motora DC Servo Motor se može predstaviti ekvivalentnom električnom shemom. Shema se sastoji od dva odvojena električna kruga, tj. od električnog kruga statora i električnog kruga rotora. Struja kroz stator proizvodi magnetsko polje neophodno za rad servo motora. Ekvivalentna električna shema DC Servo Motora L e - ekvivalentni induktivitet statora R e - ekvivalentni otpor stator i e - struja statora L a - ekvivalentni induktivitet armature rotora R a - ekvivalentni otpor armature rotora i a - struja armature rotora e - inducirani e.m.f. napon
25 Električna Shema DC Servo Motora Krugovi rotora i krugovi statora mogu se opisati linearnim diferencijalnim jednadžbama. Za električni krug statora možemo pisati: (17) v e t = L e di e (t) dt + R e i e (t) S druge strane, za električni krug rotora može se pisati diferencijalna jednadžba: (18) v a t = L a di a (t) dt + R a i a t + e(t) Razlika između jednadžbi (17) i (18) je u tome što kod kruga rotora imamo induciranu elektromotornu silu e(t). Rješenjem jednadžbi (17) i (18) dobivamo struje i napone na statoru, ondnosno na rotoru. Ranije smo spomenili da je elektromotorna sila e(t) proporcionalna brzini vrtnje motora tj. e = Φ ω = k e ω. Zbog toga se izraz (18) može napisati kao: (19) v a t = L a di a (t) dt + R a i a t + k e ω Konstanta k e se naziva električna konstanta DC servo motora.
26 Mehaničke Jednadžbe DC Servo Motora Kao što se već prije vidjelo, kada su rotor i stator pod naponom DC servo motor proizvodi zakretni moment. Već do sada smo vidjeli da je zakretni moment proporcionalan struji kroz namot armature T = K Φ Φi = k t i. Konstanta k t se naziva konstanta zakretnog momenta i vrlo je važna za rad motora te je najčešće specificira proizviđač kao što najčešće specificira i konstantu k e. Kada je motor pod teretom zakretni moment motora se može opisati jednadžbom: (20) T = J A + J L dω dt + T f + T L Veličine J A i J L su momenti inercije armature i tereta. T f je zakretni moment koji se javlja zbog trenja i u suprotnom je smijeru od rotacije armature. T L je zakretni moment koji se disipira na teretu.
27 Veza između Mehanike i Električne Sheme Kada je DC elektromotor postigao stabilno stanje (znači konstantu brzinu vrtnje - steady state) struja kroz armaturu je konstanta. Zbog toga u jednadžbi (19) imamo di a (t) = 0, dakle možemo dt pisati izraz: (21) v a t = R a i a t + k e ω Uvršćujući izraz T = k t i u jednadžbu (21) dobije se: (22) v a t = T R a k t + k e ω Ako jednadžbu (22) napišemo kao ovisnost zakretnog momenta T dobije se: (23) T = k t v R a t k tk e ω a R a Iz jednadžbe (23) može se zaklučiti da zakretni moment T ovisi linearno o brzini vrtnje ω.
28 Krivulja zakretnog momenta u ovisnosti o brzini vrtnje ω Iz jednadžbe (23) može se zaključiti da kad je ω = 0 imamo tzv. stall torque T s (zakretni moment kad se motor ne vrti): (24) T s = k t R a v a t Kada motor dosegne maksimalnu brzinu vrtnje imamo T = 0. Zbog toga iz (23) slijedi da: (25) ω max = T sr a k t k e
29 Snaga na DC Servo Motoru Uvrštavajući izraze (24),(25) u izraz (23) dobije se ovisnost zakretnog momenta o brzini vrtnje: (26) T ω = T s 1 ω ω max Snaga koju daje servo motor je produkt zakretnog momenta T i brzine vrtnje ω: (26) P ω = T ω ω = ωt s 1 ω ω max Derivirajući izraz (26) po brzini ω može se naći brzina vrtnje gdje imamo najveću snagu: (27) dp ω dω = T s 1 2ω ω max = 0 ω = 1 2 ω max Prozvođači motora često specificiraju i otpor armature R a. Na taj način možemo naći struju kod koje imamo stall torque T s, tj. I s = v a t R a.
30 Permanent Magnet (PM) Brushless DC Servo Motori Samo od tržište PM brushless servo motora bilježi porast od 165% u odnosu na porast tržišta servo motora od 29%. Očekuje se da će se budući razvoj mehatroničkih uređaja većinom oslanjati na PM brushless DC servo motore. Danas se PM brushless DC motori primjenjuju u aplikacijama kao što su: industrija i robotika medicina rezidentalne i javne aplikacije pomorski i kopneni transport nadzor kućni uređaji Najveći PM brushless DC motor na svijetu daje 36.5MW snage, 127 rpm i proizveo ga je DRS Technologies (NJ) 2006
31 Benefiti Korištenja PM Brushless DC Servo Motora Korištenje PM brushless DC servo motora u mehatroničkim aplikacijama donosi slijedeće benefite: Stator ne generira magnetsko polje putem zavojnica kroz koje teče struja, već se magnetsko polje generira putem permanentnih magneta (PM). To znači da se eliminiraju gubici kroz statorske zavojnice Imaju veliku gustoću zakretnog momenta i veliku gustoću snage po jedinici volumena u odnosu na ostale tipove elektromotora Imaju bolje dinamičke performanse nego motori sa električnom pobudom statora (veća gustoća magnetskog toka u zračnom rasporu) Jednostavnija je konstrukcija i održavanje motora Nema erozije četkica komutatora i smanjen neželjeni EMI (electomagnetic interference)
32 Shema PM Brushless DC Servo Motora Permanentni magneti se nalaze na rotoru elektromotora, tj. na osovini elektromotora. Time se eliminira potreba za četkicama komutatora jer rotor nije pod naponom. Na statoru se nalaze zavojnice kroz koje teče električna struja. Upravljajući strujom kroz stator regulira se brzina vrtnje motora. Korištenjem modernih magnetskih materijala (neodymium) postiže se snažni magnetski tok u zračnom rasporu. Na slici je dvopolni motor (ima dva para polova N- S).
33 Vođenje PM Brushless DC Motora Na slici je trofazni BLDC (Brushless DC Motor). Na rotoru se nalazi 1 par polova (u praksi se koristi 2-4 polova) Namoti na statoru su spojeni u zvijezdu. Iako se označava kao DC, motor je je u suštini trofazni te je spojen na kontroler pomoću trofaznog H mosnog spoja. Power MOSFET se koristi kao pojačalo snage.
34 Step Motori Step motori su motori bez četkica gdje je puna revolucija motora podjeljena na niz fiksnih koraka. Naziv dolazi od činjenice da se motor zakrene za fiksni kut kada od kontrolera dobije strujni impuls. Kut za koji se osovina motora zakrene zbog jednog impulsa se označava oznakom β i naziva se kutem koraka. Što je β manji, to je veći broj koraka po jednom punom okretu step motora te je veća rezolucija pomaka a samim time i bolje pozicioniranje. Tipične vrijednosti za kut koraka β su β = 1.8 o, 2.5 o, 7.5 o, 15 o Da bi se upravljalo sa step motorima potrebnan je vanjski krug, tj. mikrokontroler sa odgovarajućim algoritmima koji će davati odgovarajuće signale na faze step motora. Step motori imaju konstantni "holding torque", tj. zakretni moment koji ih drži na fiksnom položaju čak i kad nisu pod naponom.
35 Unipolarni i Bipolarni Step Motori Step motori dolaze u dvije forme, to su bipolarni i unipolarni step motori. Bipolarni step motori moraju voditi stuju u oba smijera (+,-) dok unipolarni vode struju u samo jednom smijeru. Glavni nedostatak unipolarnog step motora je ograničena sposobnosta da energizira sve namote istovremeno. Posljedica toga je manji zakretni moment, ali su sklopovi za upravljanje jednostavniji. Bipolarni step motor Unipolarni step motor
36 Step Motori - Princip Rada Ako damo napon na zavojnice na položaju "A" rotor će se pomaknuti upravo na taj položaj. Isto vrijedi i za položaje "A", "B", "C" i "D". Sve zavojnice na položaju (A) su međusobno spojene kao i zavojnice na položajima B,C,D. Ako sekvencijalno dajemo napon na zavojnice ADCB motor će se rotirati u smijeru kazaljke na satu. Učestalošću impulsa na ADCB možemo regulirati brzinu vrtnje (mikrokontroler). Promjenu smijera možemo postići tako što ćemo davati impulse u obrnutom redosljedu (BCDA) Što je više zavojnica na statoru, to je veća rezolucija step motora
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora. Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo
Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo Operacijsko Pojačalo Kod operacijsko pojačala izlazni napon je proporcionalan diferencijalu
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
konst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Prikaz sustava u prostoru stanja
Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave
Elektrodinamika ( ) ELEKTRODINAMIKA Q t l R = ρ R R R R = W = U I t P = U I
Elektrodinamika ELEKTRODINAMIKA Jakost električnog struje I definiramo kao količinu naboja Q koja u vremenu t prođe kroz presjek vodiča: Q I = t Gustoća struje J je omjer jakosti struje I i površine presjeka
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Magnetsko polje ravnog vodiča, strujne petlje i zavojnice
Magnetske i elektromagnetske pojave_intro Svojstva magneta, Zemljin magnetizam, Oerstedov pokus, magnetsko polje ravnog vodiča, strujne petlje i zavojnice, magnetska sila na vodič, Lorentzova sila, gibanje
Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Elektronički Elementi i Sklopovi
Sadržaj predavanja: 1. Strujna zrcala pomoću BJT tranzistora 2. Strujni izvori sa BJT tranzistorima 3. Tranzistor kao sklopka 4. Stabilizacija radne točke 5. Praktični sklopovi s tranzistorima Strujno
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
, Zagreb. Prvi kolokvij iz Analognih sklopova i Elektroničkih sklopova
Grupa A 29..206. agreb Prvi kolokvij Analognih sklopova i lektroničkih sklopova Kolokvij se vrednuje s ukupno 42 boda. rijednost pojedinog zadatka navedena je na kraju svakog zadatka.. a pojačalo na slici
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Elektronički Elementi i Sklopovi. Sadržaj predavanja: 1. MOSFET tranzistor obogaćenog tipa 2. CMOS 3. MESFET tranzistor 4. DC analiza FET tranzistora
Sadržaj predavanja: 1. MOSFET tranzistor obogaćenog tipa 2. CMOS 3. MESFET tranzistor 4. DC analiza FET tranzistora MOSFET tranzistor obogaćenog tipa Konstrukcija MOSFET tranzistora obogaćenog tipa je
FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI
SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Elektrodinamika
Elektrodinamika.. Gibanje električnog naboja u električnom polju.2. Električna struja.3. Električni otpor.4. Magnetska sila.5. Magnetsko polje električne struje.6. Magnetski tok.7. Elektromagnetska indukcija
Prof.dr.sc. Jasmin Velagić. Kolegij: Aktuatori
Lekcija 2 Električki strojevi Prof.dr.sc. Jasmin Velagić Elektrotehnički fakultet Sarajevo Kolegij: Aktuatori 2.1. Električki strojevi Koriste se kao izvršni članovi za pokretanje radnih mehanizama. Prema
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ
Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t
Elektronički Elementi i Sklopovi. Sadržaj predavanja: 1. Mreže sa kombiniranim DC i AC izvorima 2. Sklopovi sa Zenner diodama 3. Zennerov regulator
Sadržaj predavanja: 1. Mreže sa kombiniranim DC i AC izvorima 2. Sklopovi sa Zenner diodama 3. Zennerov regulator Dosadašnja analiza je bila koncentrirana na DC analizu, tj. smatralo se da su elementi
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Periodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Elektronički Elementi i Sklopovi
Elektronički Elementi i Sklopovi Sadržaj predavanja: 1. Teoretski zadaci sa diodama 2. Analiza linije tereta 3. Elektronički sklopovi sa diodama 4. I i ILI vrata 5. Poluvalni ispravljač Teoretski zadaci
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Rotacija krutog tijela
Rotacija krutog tijela 6. Rotacija krutog tijela Djelovanje sile na tijelo promjena oblika tijela (deformacija) promjena stanja gibanja tijela Kruto tijelo pod djelovanjem vanjskih sila ne mijenja svoj
Unipolarni tranzistori - MOSFET
nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Prostorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Fazne i linijske veličine Trokut i zvijezda spoj Snaga trofaznog sustava
7 TROFAZNI SUSTA Fazne i linijske veličine Trokut i zvijezda soj Snaga troaznog sustava Fourierova analiza 7.1. Troazni sustav Elektrorivredne tvrtke koriste troazne krugove za generiranje, rijenos i razdiobu
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Elektricitet i magnetizam. 2. Magnetizam
2. Magnetizam Od Oersteda do Einsteina Zimi 1819/1820 Oersted je održao predavanja iz kolegija Elektricitet, galvanizam i magnetizam U to vrijeme izgledalo je kao da elektricitet i magnetizam nemaju ništa
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
ELEKTROMOTORNI POGONI - AUDITORNE VJEŽBE
veučilište u ijeci TEHNIČKI FAKULTET veučilišni preddiplomki tudij elektrotehnike ELEKTOOTONI OGONI - AUDITONE VJEŽBE Ainkroni motor Ainkroni motor inkrona obodna brzina inkrona brzina okretanja Odno n
UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA
UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Induktivno spregnuta kola
Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..