BUKA U ZATVORENOM PROSTORU
|
|
|
- Βενέδικτος Πανταζής
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 BUKA U ZATVORENOM PROSTORU
2 Matematički modeli zvučnog polja Zvučno polje u zatvorenom prostoru velikih dimenzija modelira se primenom: Geometrijskog modela. Zvučni fenomeni se opisuju i objašnjavaju osnovnim principima geometrijske optike. Talasnog modela. Primenjuje se samo na prostore jednostavnog geometrijskog oblika sa graničnim površinama prostorije od istog materijala. Statističkog modela. Primenjuje se na prostore velikih dimenzija, nepravilnog geometrijskog oblika sa graničnim površinama koje mogu biti od različitih materijala.
3 Koeficijent apsorpcije Osnova statističke teorije bazira se na pojavi disipacije gubljenja zvučne energije na graničnim površinama prostorije. Iz tih razloga neophodno je prvo definisati veličinu koja karakteriše gubitke energije pri refleksiji talasa. Pri nailasku zvučnih talasa na diskontinuitet sredine sa različitim specifičnim impedansama deo zvučne energije se reflektuje (A+B+C). Deo energije se nepovratno gubi usled disipacije i pretvaranja u toplotnu energiju pri prostiranju talasa kroz vazdušnu sredinu (E+K) i pri prostiranju talasa kroz slojeve granične površine prostorije (F+G+H+J+I). ρc ρ 1 c 1 ρ 2 c 2 ρc Deo energije se prenosi na drugu stranu granične površine (D).
4 Koeficijent apsorpcije (+) Deo energije koji se nepovratno gubi apsorbovanjem slojem graničnih površina prostorije određen je koeficijentom apsorpcije, α, kao osnovnom karakteristikom apsorpcione moći nekog materijala. Koeficijent apsorpcije se definiše kao odnos apsorbovane energije u jedinici vremena, P α, i ukupne (incidentne) energije u jedinici vremena, P u, koju donese progresivni talas na graničnu površinu: α = P α P u Prema zakonu o održanju energije, ukupna energija jednaka je zbiru reflektovane energije, P r, i apsorbovane energije u jedinici vremena tako da postoji veza između koeficijenta apsorpcije i koeficijenta refleksije, r: Pr Pu Pα r = = = 1 α P P u u
5 Koeficijent apsorpcije (+) Vrednost koeficijenta apsorpcije je bezdimezionalna veličina, frekvencijski zavisna i kreće se u opsegu 0 1. Male vrednosti koeficijenta apsorpcije imaju materijali kod kojih se specifična impedansa znatno razlikuje od specifične impedanse vazduha. Takvi materijali nazivaju se reflektujući materijali (beton, staklo, metal...). Velike vrednosti koeficijenta apsorpcije imaju materijali kod kojih se specifična impedansa bliska specifičnoj impedansi vazduha. Takvi materijali nazivaju se apsorpcioni materijali (mekani, rastresiti porozni materijali, akustički i mehanički apsorberi...). Kod apsorpcionih materijala koeficijent apsorpcije je veći ili jednak 0.3. Koeficijent apsorpcije ima vrednost 1 za slučaj otvorenog prozora velikih dimenzija u odnosu na talasnu dužinu.
6 Apsorberi ZAPREMINSKI APSORBERI POVRŠINSKI APSORBERI STRELJANA
7 Koeficijent apsorpcije Kod realnih prostora granične površine su od materijala različitih apsorpcionih karakteristika. Tada se definiše srednji koeficijent apsorpcije zvuka kao: α = A S A apsorpciona površina prostorije, [m 2 ] S ukupna površina prostorije, [m 2 ] S = 2( ab+ ac+ bc) za slučaj paralelopipedne prostorije dimenzija: a x b x c Apsorpciona površina prostorije (ili kraće apsorpcija prostorije) predstavlja površinu sa koeficijentom apsorpcije 1 (otvoreni prozor) čiji je efekat apsorbovanja energije identičan apsorbovanju energije graničnim površinama prostorije: n α i koeficijent apsorpcije i-tog materijala A= αis i S i površina i-tog materijala, [m 2 ] i= 1
8 Koeficijent apsorpcije Prostorija sa različitim apsorpcionim materijalima, u pogledu apsorbovanja energije, se ponaša kao prostorija sa idealno krutim zidovima (α=0) na kojim postoji otvoreni prozor ukupne površine A. Statistička teorija se koristi za opisivanje zvučnog polja: prostorija velikih dimenzija: λ V 1/3 prostorija nepravilnog oblika sa nehomogenom strukturom graničnih površina u pogledu njihove apsorpcione moći na višim frekvencjama, f>100hz Statistička teorija se zasniva na zakonu o održanju energije. Pu = Pr + P α
9 Statistička teorija zvučnog polja Prostorija se posmatra kao rezervoar zvučne energije u kome se odigrava proces generisanja i trošenja zvučne energije. Posmatra se prostorija sa relativno malim srednjim koeficijentom apsorpcije (manji od 0.3) u koju je smešten izvor zvuka, zvučne snage P a, koji generiše i definiše ukupnu zvučnu energiju u prostoriji. P a
10 Statistička teorija zvučnog polja Kada prostorija ima relativno mali koeficijent apsorpcije, zvučni talasi koje generiše izvor zvuka višestruko se reflektuju (pri svakoj refleksiji gubi se deo zvučne energije), pre nego što oslabe toliko da se njihov doprinos ukupnom zvučnom polju može zanemariti. Dugo zadržavanje zvučnih talasa i energije u prostoriji omogućava uvođenje sledećih hipoteza: H1 H2 H3 U svaku tačku prostorije dolazi istovremeno mnoštvo talasa koji su prešli različite puteve tako da imaju različite amplitude i fazne stavove. U svakoj tački prostorije svi pravci nailaska talasa i nihovi fazni stavovi su pojednako zastupljeni i verovatni. Svaki talas pri svom kretanju kroz prostoriju prođe dovoljno blizu svake tačke prostorije.
11 Statistička teorija zvučnog polja Ako su ispunjene navedene hipoteze tada u prostoriji postoji DIFUZNO i HOMOGENO zvučno polje. Difuznost i homogenost zvučnog polja su osnov za primenu statističke teorije. Posledica difuznosti i homogenosti zvučnog polja je: INTENZITET ZVUKA JE U SVIM TAČKAMA PROSTORIJE ISTI. Izuzetak od gornjeg pravila postoji samo u neposrednoj blizini zvučnog izvora gde direktan talas može biti dominantan i to uglavnom u slučaju kada prostorija ima srednji koeficijent apsorpcije veći od 0.3.
12 Statistička teorija zvučnog polja Posledica ispunjenosti hipoteza H1 i H2: REZULTUJUĆI I INTENZITET ZVUKA U SVIM TAČKAMA PROSTORIJE JEDNAK JE ZBIRU INTENZITETA ZVUKA SVIH TALASA. I = i I i P a
13 Statistička teorija zvučnog polja (+) Proces nastajanja zvučnog polja u prostoriji: 1. PORAST ZVUČNE ENERGIJE Uključivanjem izvora zvuka on stalno emituje zvučnu energiju. Ukupna energija u prostoriji u početku se povećava. Gubici energije na graničnim površinama prostorije su srazmerni ukupnoj raspoloživoj energiju u prostoriji tako da i gubici rastu nakon uključenja izvora. 2. STACIONARNO STANJE U jednom trenutku gubici zvučne energije postaju jednaki energiji koju emituje izvor. P α = Pa Ukupna energija u prostoriji prestaje da raste i stanje ostaje nepromenjeno sve dok izvor radi.
14 Statistička teorija zvučnog polja 3. OPADANJE ZVUČNE ENERGIJE Po prestanku rada izvora ukupna energija u prostoriji počinje da opada usled gubitaka koji nastaju na graničnim površinama prostorije. Proces se završava kada se sva raspoloživa energija u prostoriji apsorbuje na graničnim površinama. Rešavanjem diferencijalna jednačina za gustinu energije za početne uslove: de ca + E dt 4 V = P V a
15 Statistička teorija zvučnog polja zakon promene gustine energije pri porastu energije u prostoriji. 4P a 1 e ca ca t = 4V E zakon opadanja gustine energije ca ca 4P t t a 4V 4V E = e = E0e ca Gustina zvučne energije raste po eksponencijalnom zakonu i asimptotski se približava vrednosti gustine energije u uslovima stacionarnog stanja, E 0. t, E = E 0 = 4Pa ca gustina energije vreme
16 Statistička teorija zvučnog polja Na osnovu dobijenih rešenja za porast i opadanje gustine zvučne energije u prostoriji mogu se izvesti odgovarajući izrazi za: gustina energije vreme porast intenziteta zvuka u prostoriji 1 e ca 4P t = a 4V I A stacionarno stanje t, I = I 0 = opadanje intenziteta zvuka u prostoriji 4P A a ca ca 4P t t a 4V 4V I = e = I0e A
17 1. Koeficijent apsorpcije. 2. Apsorpcija prostorije. 3. Hipoteze statističke teorije. 4. Proces generisanje zvučnog polja. 5. Jednačine porasta i opadanja nivoa. 6. Stacionarno stanje
18 Vreme reverberacije intenzitet zvuka NIVO ZVUKA, db P a T R vreme Proces i brzina opadanja zvučne energije u prostoriji opisuje se vremenom reverberacije. Vreme reverberacije,t R [s], se definiše kao vreme potrebno da zvučna energija u prostoriji opadne nakon isključenja izvora zvuka na milioniti deo vrednosti u odnosu na stacionarno stanje. VREME REVERBERACIJE VREME POTREBNO DA NIVO ZVUKA OPADNE ZA 60dB vreme Nakon isključenja izvora zvuka, gustina energije (odnosno intenzitet zvuka) u prostoriji opada po eksponencijalnom zakonu, dok nivo zvuka opada po linearnom zakonu!
19 Vreme reverberacije Vreme reverberacije je isto u svim tačkama prostorije. Vreme reverberacije ne zavisi od položaja izvora zvuka. 3. Vreme reverberacije zavisi od zapremine prostorije i apsorpcionih osobina graničnih površina. DOKAZ: ca t 4V E( t) = E0e t = T, E( T = E R R) ca 4V E( TR ) = E0e T R ca T R 4V 6 0 = E0 10 E e V T R = A SABINOV OBRAZAC W. C. Sabine, Sabinov izraz je primenljiv za prostorije sa približno difuznim zvučnim poljem gde je T R > 0.8 [s].
20 Vreme reverberacije Vreme reverberacije je osnovna akustička karakteristika prostorije koja omogućuje izračunavanje intenziteta zvuka u stacionarnom stanju: P I = 4 a PT 0 I A = 25 a 0 V V T R = A R Pri izvođenju Sabinovog obrasca uzeto je u obzir samo slabljenje energije usled apsorpcije graničnih površina. Na višim frekvencijama treba uzeti u obzir i disipaciju zvuka u vazduhu definisanu koeficijentom disipacije m: T V = R A+ 4 mv Pored toga što Sabinov obrazac važi samo za prostorije sa T R >0.8s, on ima još jedan nedostatak:
21 Vreme reverberacije (+) Pri potpunoj apsorpciji graničnih površina ( α =1) vreme reverberacije nije jednako nuli! V V V T R = = = A αs S Eyring je1930. izveo novu, precizniju formulu, uzimajući u obzir broj refleksija u prostoriji i dužinu srednjeg slobodnog puta: Ajringov obrazac gde je srednji koeficijent apsorpcije definisan kao: T R V = S ln( 1 α) ln( 1 α) = α 1+ α 2+ α 3+K 2 3 Sabinov obrazac
22 Vreme reverberacije (+) Vreme reverberacije je frekvencijski zavisna veličina! ina! Vreme reverberacije definiše vreme zadržavanja zvučne energije u prostoriji, odnosno brzinu nestanka energije nakon isključenja izvora. Duže e vreme reverberacije duže e zadržavanje avanje energije! Duže vreme reverberacije utiče na razumljivost govora u prostorijama.
23 Vreme reverberacije (+) Dodatna reverberacija povoljno utiče na subjektivni doživljaj muzike, dodajući određene komponente prostora kojih nema pri slušanju muzike na otvorenom prostoru. Optimalno vreme reverberacije zavisi od namene prostorije i njene zapremine: Pozorišta i slušaonice T 7 ) V 3 Ropt = ( Koncertne dvorane T 9 ) V 3 Ropt = ( Crkvena muzika T = ( 10 ) V Ropt 100
24 1. Vreme reverberacije. 2. Sabinov obrazac. 3. Ajringov obrazac. 4. Merenje vremena reverberacije. 5. Optimalno vreme reverberacije.
25 Akustička obrada prostorija Akustičkom obradom radnih, poslovnih ili stambenih prostorija, odnosno ugradnjom apsorpcionih materijala: Povećava se apsorpciona površina prostorije (ukupna apsoprcija prostorije). n A = 1α i= i S i Smanjuje se efekat talasa reflektovanih od graničnih površina prostorije 4Pa Ir = ( 1 α) A Smanjuje se vreme reverberacije V T R = A Smanjuje se nivo buke u prostoriji kao krajni efekat akustičke ke obrade!
26 Akustička obrada prostorija (+) Apsorpciona površina: Vreme reverberacije: Zadržavanje talasa u prostoriji: PRE AKUSTIČKE OBRADE V T R = A PRAZNA PROSTORIJA POSLE AKUSTIČKE OBRADE A A > A A T ' R < T R Udarac dlana o dlan ' T R = V ' A PROSTORIJA SA TEPIHOM nivo zvuka [db] Govor vreme [s]
27 Akustička obrada prostorija (+) Intenzitet zvuka: 1. Smanjenje nivoa buke: L < L ΔL < 0 Intenzitet zvuka: 2. Smanjenje nivoa buke: PRE AKUSTIČKE OBRADE I 4Pa = A I I I A ΔL = L L = 10log 10log = 10log = 10log ' I I I A 0 POVEĆANJEM APSORPCIONE POVRŠINE PROSTORIJE NIVO BUKE U PROSTORIJI SE SMANJUJE! I 25PT a = V R POSLE AKUSTIČKE OBRADE A A > A < 1 4Pa A I = ΔL < 0 A T ' R I I I T ΔL = L L = 10log 10log = 10log = 10log I I I T 0 < T SMANJENJEM VREMENA REVERBERACIJE NIVO BUKE U PROSTORIJI SE SMANJUJE! R 0 T T ΔL < 0 ' R R 0 < 1 I 25PT a = V ' R ' R R
28 Akustička obrada prostorija (+) Akustički materijali koji se koriste za akustičku obradu prostorija mogu se podeliti na: a) porozne materijale apsorpcija visokih frekvencija; b) mehaničke rezonatore apsorpcija srednjih frekvencija; c) akustičke rezonatore apsorpcija niskih frekvencija;
29 Akustička obrada prostorija (+) Industrijski pogon mašine za fino izvlačenje žice.
30 Akustička obrada prostorija (12) Nivoi buke pre akustičke obrade prostorije Pre obrade Nivoi buke posle akustičke obrade prostorije Posle obrade
31 Prostorije specijalne namene POLUANEHOIČNA PROSTORIJA
32 Prostorije specijalne namene (+) ANEHOIČNA PROSTORIJA
33 Prostorije specijalne namene (+) REVERBERACIONA PROSTORIJA
34 1. Zona direktnog talasa. 2. Zona reflektovanog talasa. 3. Granični radijus. 4. Akustička ka obrada. 5. Vrste apsorpcionih materijala.
35 Izolaciona moć pregrade Procesi koji nastaju kada zvučni talas naiđe na neku pregradu prikazani su na slici. Oznake na slici: Ukupna zvučna energija koja padne na pregradu. Deo zvučne energije koja se reflektuje usled diskontinuiteta sredine. Deo zvučne energije koja se reflektuje zbog vibriranja pregrade ka strani nailaska zvučnih talasa. Deo zvučne energije koja se prenosi na drugu stranu u obliku longitudinalnih i fleksionih talasa usled vibriranja pregrade. Deo zvučne energije koja se direktno prenosi na drugu stranu zbog porozne strukture pregrade. Deo zvučne energije koja se apsorbuje pregradom usled prostiranja talasa kroz poroznu strukturu pregrade i vibriranja pregrade. Deo zvučne energije koja se vibriranjem prenosi na druge elemente konstrukcije.
36 Izolaciona moć pregrade (+) Posledica zakona o održanju energije: 1. = Energija koja se reflektuje određena je koeficijentom refleksije: r P + P 2 3 = P 0 r 1 1 Energija koja se apsorbuje određena je koeficijentom apsorpcije: α = P 6 + P7 P 1 0 α 1 Energija koja se prenese na drugu stranu pregrade određena je koeficijentom transmisije: τ = P 4 + P5 P 1 0 τ 1 P 1 = P2 + P3 + P4 + P5 + P6 + P7 r + α + τ = 1
37 Izolaciona moć pregrade (+) Koeficijent transmisije je bezdimenzionalna frekvencijski zavisna veličina koja definiše propustljivost pregrade u odnosu na zvučnu energiju. Za uobičajne pregrade koeficijent transmisije ima vrednosti znatno manje od jedinice ( ). Za definisanje izolacije pregrade u odnosu na zvučnu energiju, a ne propustljivosti, koristi se recipročna vrednost koeficijenta transmisije. Recipročna vrednost koeficijenta transmisije daje vrednosti mnogo veće od jedinice, tako da bi se sistem velikih brojeva zamenio sistemom malih brojeva (recimo u opsegu od 0 100) uvodi se logaritamska veličina za izražavanje izolacije pregrade izolaciona moć pregrade. Izolaciona moć pregrade, R[dB], definiše se kao: 1 R = 10log = 10log τ P 4 P1 + P Izolaciona moć pregrade je frekvencijski zavisna veličina. 5 τ=10 5 1/τ= log(1/τ)=50 R[dB]
38 Izolaciona moć pregrade (+) U praksi se često umesto homogene, jedinstvene pregrade sreće pregrada sastavljena od delova različitih koeficijenata transmisije, odnosno izolacione moći. Na primer: pregrada sa prozorima ili vratima ili i sa prozorima i vratima. U tom slučaju se definiše srednji koeficijent transmisije: τ = Sτ + S τ2 + K+ Snτ n S n S = S i i= 1 odnosno izolaciona moć: 1 S R = 10log = 10log τ Sτ + S τ + K+ S ukupna površina pregrade, [m 2 ] τ i koeficijent transmisije i-tog segmenta pregrade R i izolaciona moć i-tog segmenta pregrade, [db] S n τ n
39 Zvučna izolacija Za prostorije međusobno odvojene pregradom definiše se pojam zvučne izolacije. P a Prostorija u kojoj se nalazi izvor zvuka naziva se predajna prostorija, dok se prostorija u koju se prenosi zvučna energija naziva L 1 L 2 prijemna prostorija. Zvučna izolacija, D[dB] predstavlja karakteristiku zvučne izolovanosti između dve prostorije i definiše se kao razlika nivoa zvuka u prostorijama: D = L 1 L 2 L 1 nivo zvuka u predajnoj prostoriji, [db] L 2 nivo zvuka u prijemnoj prostoriji, [db] Zvučni izvor, zvučne snage P a, smešten u predajnoj prostoriji emituje zvučnu energiju koja u prostoriji formira homogeno difuzno zvučno polje. Zvučna energija se iz predajne u prijemnu prostoriju prenosi različitim putevima: bočno provođenje Direktno kroz pregradu Kroz bočne zidove Kroz bočne zidove na pregradu Kroz pregradu na bočne zidove
40 Zvučna izolacija (+) Ako se zanemari efekat bočnog provođenja energije, zvučna energija se iz predajne u prijemnu prostoriju prenosi samo direktnim putem kroz pregradu. A 1 P a I 1 S 12 Zvučni izvor, zvučne snage P a, u predajnoj prostoriji, apsoprcione površine A 1, formira homogeno difuzno zvučno polje sa jednakim intenzitetom u svim takama: I 1 L 1 4Pa = A Energija koja u jedinici vremena u predajnoj prostoriji padne na pregradu površine S 12 iznosi: 1 P 1 P = 1 I1S 4 P 2 12 Deo energije koja se direktnim putem prenosi u prijemnu prostoriju određen je koeficijentom transmisije: P = τ 2 P 1 U prijemnoj prostoriji pregrada preuzima ulogu izvora zvuka, čija je zvučna snaga P 2.
41 Zvučna izolacija (+) Pregrada kao izvor zvuka formira u prijemnoj prostoriji, apsorpcione površine A 2, homogeno difuzno zvučno polje sa jednakim intenzitetom zvuka u svim tačkama: 4P2 I 2 = A 2 A 1 L 1 S 12 A 2 P a Zvučna energija koja se u jedinici vremena izrači u I2A2 P 2 = prijemnoj prostorijie je stoga: 4 Polazeći od definicije izolacione moći pregrade može se izvesti veza sa zvučnom izolacijom: I1S12 P1 4 I1 S12 I1 S S R = 10log = 10log = 10log = 10log + 10log R = D+ 10log P I 2 2A2 I2 A2 I2 A A D = L 1 L 2 I 1 P1 P 2 I 2 L 2
42 Zvučna izolacija (+) Metod merenja izolacione moći pregrade zasnovan je upravo na vezi zvučne izolacije i izolacione moći. S R = D+ 10log A 12 2 V A 2 = T 2 2 R = L 1 L 2 12 Tercni spektar izolacione moći S12T2 + 10log V 2 2 Мerenje: L1 nivo buke u predajnoj prostoriji L2 nivo buke u prijemnoj prostoriji T2 vreme reverberacije prijemne prostorije Merenje izolacione moći pregrade vrši se primenom tercnih filtera u opsegu Hz.
43 Izolaciona moć jednostruke pregrade Jednostruke pregrade su homogene pregrade sačinjene od jednog materijala u jednom sloju. Primer: zid od opeke. Jednostruke pregrade mogu biti sačinjene od više materijala u više slojeva, s tim da su drugi materijali znatno manje zastupljeni u odnosu na osnovni materijal. Drugi materijali nemaju značajniji uticaj na izolacionu moć pregrade. Primer: zid omalterisan s jedne strane, a s druge obložen lamperijom. Kako pregrade, uopšte, imaju veoma veliku ukupnu masu koristi se pojam površinske mase pregrade, M s [kg/m 2 ], koja predstavlja masu pregrade po jedinici površine: M s = m S S ukupna površina pregrade, [m 2 ] m ukupna masa pregrade, [kg]
44 1. Koeficijent transmisije. 2. Izolaciona moć. 3. Zvučna izolacija. 4. Zakon mase. 5. Oblast rezonanse. 6. Oblast koincidencije
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Akustika prostorija homogeno zvučno polje
Akustika prostorija U zatvorenim prostorijama prostiranje zvučnih talasa predstavlja dosta složenu pojavu. Za razliku od slobodnog prostora, gde postoji samo jedan talas koji se širi od zvučnog izvora,
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Obrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet
Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri
Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:
Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
6. REFLEKSIJA ZVUČNOG TALASA
AKUSTIKA TEMA 6 Refleksija zvučnog talasa 90 6. REFLEKSIJA VUČNOG TALASA 6.1 Uvod Refleksija zvuka je pojava nagle promene pravca prostiranja jednog dela energije zvučnog talasa. Do refleksije dolazi pri
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1
OSNOVNI ZAKONI TERMALNOG ZRAČENJA Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine Ž. Barbarić, MS1-TS 1 Plankon zakon zračenja Svako telo čija je temperatura
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti
MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom
RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA
UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,
Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Mašinsko učenje. Regresija.
Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
7. POJAVE PRI PROSTIRANJU ZVUKA U VAZDUHU
AKUSTIKA - TEMA 7: Pojave pri prostiranju zvuka u vazduhu 105 7. POJAVE PRI PROSTIRANJU ZVUKA U VAZDUHU 7.1 Uvod Na sudbinu zvučnog talasa kada krene od izvora, a time i na strukturu zvučnog polja, utiču
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja
Reverzibilni procesi
Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Fizički parametri radne i životne sredine Prof. dr Dragan Cvetković FIZIČKI KONCEPT BUKE. Fizički koncept buke
FIZIČKI KONCEPT BUKE Milonska, ovoplanetarna ljudska populacija pod bremenom decibelskih okova, zavisno podređena konzumiranju užitaka u tehnoloških revolucija, hita po umirujuću u terapiju inženjerske
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
konst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min
Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE
TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Kvantna optika Toplotno zračenje Apsorpciona sposobnost tela je sposobnost apsorbovanja energije zračenja iz intervala l, l+ l na površini tela ds za vreme dt. Apsorpciona moć tela je sposobnost apsorbovanja
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Uvod u neparametarske testove
Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =
100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =
PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)
PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni
Zadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE
TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa
Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za