«Δυναμικές και σημα(σ)ιολογικές αναπαραστάσεις κλασμάτων»

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "«Δυναμικές και σημα(σ)ιολογικές αναπαραστάσεις κλασμάτων»"

Transcript

1 «Ψηφιακές και Διαδικτυακές εφαρμογές στην Εκπαίδευση» «Δυναμικές και σημα(σ)ιολογικές αναπαραστάσεις κλασμάτων» Αλέξιος Μαστρογιάννης 1, Αντιγόνη Τρύπα 2 1 Εκπαιδευτικός Π.Ε, Μαθηματικός Msc, Επιμορφωτής ΤΠΕ-Ε, 16 ο Δημ. Σχολείο Αγρινίου 2 Εκπαιδευτικός Π.Ε, 16 ο Δημ. Σχολείο Αγρινίου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Πολλές έρευνες αλλά και η καθημερινή σχολική πραγματικότητα ενοχοποιούν τους κλασματικούς αριθμούς, ως παρελκυστικούς παράγοντες μάθησης και αριθμητικές περιοχές συχνών, μαθητικών ολισθημάτων. Η παρούσα πρόταση αφού κάνει μια μικρή ιστορική αναδρομή στην επινόηση και χρήση των κλασμάτων, από τους αρχαίους πολιτισμούς, ακολούθως αναφέρεται στην υπερίσχυση του σημερινού τρόπου γραφής τους, ως μιας σταδιακά τροποποιούμενης, ινδοαραβικής πρότασης. Στη συνέχεια εξετάζονται οι παράγοντες και οι εννοιολογικές δυσκολίες που δυσχεραίνουν και παρακωλύουν την κατανόηση των κλασματικών αριθμών, ειδικά σε μαθητές του Δημοτικού Σχολείου. Κατόπιν, μέσω μιας διαθεματικής και τεχνολογικής προσέγγισης, προτείνεται οι κλασματικοί αριθμοί να προσεγγιστούν, μέσω της μελέτης σημαιών διάφορων κρατών του κόσμου, με ενεργοποίηση, πρωτίστως, του μοντέλου περιοχής ή εμβαδού. Τα εθνικά αυτά σύμβολα είναι σχεδιασμένα, με τη βοήθεια των λειτουργιών και εργαλείων που προσφέρει το γνωστό, εκπαιδευτικό λογισμικό Δυναμικής Γεωμετρίας, Cabri Geometry ΙΙ, ενώ παρουσιάζονται κατά αύξουσα δυσκολία, κυρίως, ως προς την κατασκευή τους. Επωδοί της κλασματικής αυτής πραγμάτευσης, με γεωγραφικές, εντούτοις, καταφυγές και με συμβολικών εμβλημάτων ερείσματα αποτελούν οι αρκετά δύσκολες στο σχεδιασμό τους αμερικανική και ελληνική σημαία. Σε κάθε περίπτωση, λήφθηκαν υπόψη και τονίστηκαν στις προτεινόμενες δραστηριότητες, οι δυο συνιστώσες, οι δυο καίριες προϋποθέσεις κατά την ανάπτυξη της έννοιας των κλασμάτων (van de Walle, 2005): α) η ακέραια μονάδα πρέπει να αποτελείται από το σωστό αριθμό μερών και β) όλα τα μέρη πρέπει να είναι ίσα ή δίκαια μερίδια, ότι έχουν, δηλαδή το ίδιο μέγεθος (μήκος ή εμβαδό). Τέλος, με καθαρά εμπεδωτικό και διασαφητικό χαρακτήρα, κατά τη σπουδή αυτή των κλασμάτων, παρέχεται η γεωμετρική ερμηνεία του γινομένου δυο κλασματικών αριθμών, αλλά και μια, άκρως παραδειγματική, [620]

2 2o Πανελλήνιο Εκπαιδευτικό Συνέδριο Ημαθίας ΠΡΑΚΤΙΚΑ «οπτική απόδειξη» (ικανή να κατανοηθεί, ίσως, ακόμα και από μαθητές του Δημοτικού Σχολείου) μιας δημοφιλούς, φθίνουσας γεωμετρικής προόδου. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ: Αναπαραστάσεις κλασμάτων, σημαίες κρατών, Cabri Geometry II, διαθεματικότητα ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ουσιαστικό μέρος της παιδικής μαθηματικής ανάπτυξης αποτελεί η κατανόηση των κλασμάτων. Μάλιστα η εμπειρία των μαθητών με τους κλασματικούς αριθμούς ξεκινά, πριν την είσοδό τους στους σχολικούς ρυθμούς. Ο πιο γνωστός, οικείος και για αυτό δημοφιλής διαιρέτης παρονομαστής, από την νηπιακή, ακόμα, ηλικία είναι ο αριθμός 2 (από την έννοια του «μισού»). Κλάσματα χρησιμοποιούνταν και από τους αρχαίους λαούς και πολιτισμούς. Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι, στα ιερογλυφικά τους, εισήγαγαν κλασματικές μονάδες, με την τοποθέτηση ενός ειδικού οβάλ συμβόλου ( ), πάνω από τον αριθμό, που αντιπροσώπευε τον παρονομαστή. Ειδικά, τους κλασματικούς αριθμούς 1/2 και 2/3, οι Αιγύπτιοι τους παρίσταναν με ιδιαίτερα σύμβολα (για παράδειγμα, το σύμβολο αναπαριστούσε το κλάσμα 1/2). Στον πάπυρο του Rhind (ή Ahmes) ανακαλύφθηκαν και «ιερατικές» κλασματικές μονάδες που δηλώνονταν με την σχεδίαση μιας, υπερκείμενης των παρονομαστών, τελείας. Δικό τους, ιδιαίτερο σύμβολο είχαν τα κλάσματα 1/2, 1/3, 1/4 και 2/3. Το «Χ» για παράδειγμα, ήταν το σύμβολο του 1/4 (Cajori, 2007). Επίσης, οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν ένα δύσχρηστο, ελλιπές, μικτό (προσθετικό και θεσιακό, τμηματικά), εξηνταδικό αριθμητικό σύστημα. Η δομή του ήταν, κάπως, περίπλοκη αφού για να αναπαραστήσει τους αριθμούς μέχρι το 59 χρησιμοποιούσε και συνδύαζε, προσθετικά, μόνο 2 σύμβολα, μια σφήνα ( ), για το σύμβολο των μονάδων και μια γωνία ( ), για να δηλώνονται οι δεκάδες, δεν υπήρχε σύμβολο για το μηδέν, ενώ η γραφή μεγαλύτερων αριθμών επιτυγχανόταν μέσω ενός θεσιακού συστήματος. Τον αριθμό 60 συμβόλιζαν με το ίδιο σύμβολο των μονάδων (σφήνα) τον 2 60 με 2 σφήνες τις 10 εξηντάδες με το ίδιο σύμβολο των δεκάδων (γωνία), ενώ π.χ τις 80 εξηντάδες με 8 γωνίες. Αυτό είναι ένα από τα μειονεκτήματα του βαβυλωνιακού συστήματος. Οι 4 σφήνες μπορούσε να παριστάνουν τον αριθμό 4 ή τον 63 ή τον και πολλούς άλλους. Με το σύμβολο της σφήνας παρίσταναν επίσης και τα κλάσματα 1 1 1,, κ.ο.κ., κάτι που προσθέτει και ένα άλλο ένα μειονέκτημα στο σύστημα αυτό. Ο αριθμός με 1 γωνία και πέντε σφήνες, ίσως, ήταν ο 15, ή ο 14,1 ή ο 13,2 ή ο 12,3 κλπ. [621]

3 «Ψηφιακές και Διαδικτυακές εφαρμογές στην Εκπαίδευση» Επιπλέον, χρησιμοποιούσαν ειδικό σχεδιασμό και ονομασία για τον προσδιορισμό μερικών «έκτων», για τις κλασματικές μονάδες, δηλαδή, 1/2, 1/3, 1/6 και τα κλάσματα 2/3 και 5/6, στα οποία ο αριθμητής υπολειπόταν κατά ενός του παρονομαστή (Cajori, 2007). Οι αρχαίοι Έλληνες γράφανε, τέλος, τα κλάσματα με διάφορους τρόπους και πάντα χωρίς κλασματική γραμμή. Το κλάσμα 3/7 π.χ. ένας αρχαίος Έλληνας θα το παρίστανε ως γ ζ, ως γ ζ ζ (ο παρονομαστής γραφόταν, δεξιά, μία ή δυο φορές) ή ακόμα και ως. Ο Αρχιμήδης και ο Διόφαντος τοποθετούσαν τον παρονομαστή στη θέση του σημερινού εκθέτη δύναμης. Ο σημερινός κοινός τρόπος γραφής των κλασματικών αριθμών είναι πρόταση των Ινδών, ήδη, από τον 7ο μ. Χ αιώνα, που τους έγραφαν, όμως, δίχως την οριζόντια κλασματική γραμμή, η οποία υπήρξε επινόηση των Αράβων, και συγκεκριμένα του al-hassar, 6 αιώνες αργότερα. Ο Fibonacci, πέραν της εισαγωγής του δεκαδικού συστήματος και των αραβικών αριθμών στην Ευρώπη, ήταν και ο πρώτος Ευρωπαίος που χρησιμοποίησε την κλασματική γραμμή αν και παρέκλινε από το σύγχρονο τρόπο γραφής των κλασμάτων, αφού, σε περιπτώσεις μεικτών αριθμών, τα έγραφε αριστερά των ακεραίων (Cajori, 2007). Στα κατοπινά χρόνια, η οριζόντια γραμμή, δεν τύχαινε πλήρους και καθολικής αποδοχής από τους μαθηματικούς, καθώς αρκετοί την απέφευγαν, αλλά και από τους τυπογράφους. Οι τελευταίοι αντιστέκονταν στη χρήση της οριζόντιας γραμμής, καθότι αυτή απαιτούσε τρία κάθετα τυπογραφικά επίπεδα, μια διαδικασία δύσκολη και χρονοβόρα. Το 1845 ο De Morgan στο άρθρο του «The Calculus of Fractions», προσέφερε «τυπογραφική» ανακούφιση και παρηγοριά, με την υιοθέτηση της διαγωνίου γραμμής, τακτική που χρησιμοποιείται και σε σημερινά κείμενα. Μετά από αυτή τη συνοπτική, ιστορική και διαχρονική διαδρομή της κλασματικής αποτύπωσης και αναπαράστασης, είναι, «τοις πράγμασι» επιβεβλημένη και η μελέτη και ερμηνεία της διαχρονικότητας της μαθητικής δυσκολίας, ως προς την κατανόηση των κλασμάτων. Αναφορικά δε, με την, ομολογουμένως, «ταραγμένη» και προβληματική σχέση των μαθητών ειδικά του Δημοτικού, με τους κλασματικούς αριθμούς, και τις εννοιολογικές δυσκολίες που αντιμετωπίζουν, πολλές και διάφορες έρευνες έχουν πραγματοποιηθεί και καταγραφεί. Οι κυριότερες αιτίες τής περιπετειώδους αυτής συνύπαρξης οφείλονται: στην περιορισμένη χρήση των κλασματικών αριθμών στην καθημερινή ζωή στη δυσκολία ονομασίας, σύγκρισης και διάταξης των κλασμάτων στην αδυναμία σύλληψης και κατανόησης του διαφορετικού ρόλου των όρων του κλάσματος και της σχέσης που τους διέπει, γεγονός που επιφέρει και λογιστική διαφοροποίηση στην πραγμάτευση και το [622]

4 2o Πανελλήνιο Εκπαιδευτικό Συνέδριο Ημαθίας ΠΡΑΚΤΙΚΑ χειρισμό του αριθμητή και παρονομαστή, αφού θεωρούνται ως ανεξάρτητες, μεταξύ τους ποσότητες στη δυσχέρεια κατανόησης της ισοδυναμίας - ισότητας των κλασμάτων στην ύπαρξη πολλών κανόνων, κατά την εκτέλεση των 4 πράξεων της αριθμητικής (ειδικά στην πρόσθεση και αφαίρεση), μεταξύ κλασματικών αριθμών, σε σχέση, φυσικά, με τους ευκολονόητους φυσικούς αριθμούς στην παράξενη «κλασματική πραγματικότητα» ότι, δηλαδή, ίσα μέρη δυο διαφορετικών ποσών δεν παριστάνουν ίσες ποσότητες (Δηλαδή, για παράδειγμα, τα 3/4 του 12 είναι διαφορετικά από τα 3/4 του 20) στην εσφαλμένη αντίληψη περί της μη ύπαρξης άλλων κλασματικών αριθμών μεταξύ κ/μ και (κ+1)/μ στην κακή διδασκαλία τους (Hasemann, 1981; Nunes & Bryant, 1996; Καλδρυμίδου & Κοντοζήσης, 2003; Brizuela, 2006 ; Μαστρογιάννης & Μαλέτσκος, 2007). Τη δυσκολία επιτείνει και η πολύμορφη παράσταση των ρητών αριθμών άλλοτε ως δεκαδικών, άλλοτε ως κλασμάτων, ως μεικτών αλλά και ως συμμιγών. Χάριν αστεισμού, θα παρατηρούσε κάποιος ότι τα παραπάνω ενισχύει και η γνωστή ρήση του μεγάλου Γερμανού μαθηματικού Leopold Kronecker ( ): «Ο Θεός δημιούργησε μόνο τους ακέραιους αριθμούς. Πάντα τα λοιπά είναι έργο του ανθρώπου», (Bell, 1995), που εφευρέθηκαν, για να «τυραννούν» παιδικές ψυχές στο σχολείο όπως αρκετοί μαθητές διαμαρτύρονται. Ή ακόμα και η πικρή παραδοχή τής Αγκάθα Κρίστι: «Συνέχισα να κάνω αριθμητική με τον πατέρα μου, περνώντας, υπερήφανα, μέσω των κλασμάτων, στους δεκαδικούς. Έφθασα τελικά στο σημείο όπου τόσες πολλές αγελάδες έφαγαν τόσο πολύ γρασίδι, και οι δεξαμενές γέμισαν με νερό σε τόσες πολλές ώρες που το βρήκα, πράγματι, αρκετά συναρπαστικό» (Πηγή: Πολλοί μαθητές δεν αντιλαμβάνονται πως τα κλάσματα είναι αριθμοί, αφού τα θεωρούν, εσφαλμένα, ως μέρη, μόνο ενός σχήματος ή μιας ποσότητας, Η σχολική πρακτική, κυρίως, υπεύθυνη γι αυτή την αρρυθμία, δεν παρέχει αρκετές νύξεις, δεδομένου ότι εργασίες με γραφικές παραστάσεις, αλγεβρικές εξισώσεις και μοτίβα αριθμών περιλαμβάνουν, συνήθως, μόνο ακέραιους αριθμούς (Amato, 2005). Όπως σε πολλές περιοχές των μαθηματικών, παρομοίως και στα κλάσματα, η χρήση εικόνων και διαγραμμάτων ενδέχεται να καθιστά τους μαθητές ικανούς να κατανοήσουν και να συνειδητοποιήσουν διαδικασίες που σε διαφορετικές περιπτώσεις θα υπερέβαιναν τα αντιληπτικά τους, νοητικά εσκαμμένα. Έτσι, τα αναπαραστασιακά εργαλεία προβάλλουν, ίσως, ως τα [623]

5 «Ψηφιακές και Διαδικτυακές εφαρμογές στην Εκπαίδευση» πλέον κατάλληλα μέσα, για να κινηθούν οι μαθητές στο μαθησιακό τους μονόδρομο (Brizuela, 2004). Έρευνες έχουν δείξει, βέβαια, ότι τα σχεδιαγράμματα, σε κάποιες περιπτώσεις, δεν παρέχουν τα προσδοκώμενα αποτελέσματα, αφού οι μαθητές έχουν δυσκολίες, σε κάποια από αυτά, κατά τον προσδιορισμό, λόγου χάρη, της μονάδας ειδικά, όταν τα διαγράμματα είναι περισσότερα του ενός. Για παράδειγμα, σε σχέδιο, όπου δυο ακέραιες μονάδες είναι χωρισμένες αμφότερες σε πέμπτα, με σκιασμένη την πρώτη και τα 2/5 της επόμενης, πολλοί μαθητές αποκρίνονται ότι η ολική σκίαση αντιπροσωπεύει το 7/10 και όχι το σωστό 7/5 (Amato, 2005). Παρόλες αυτές τις ενστάσεις, έχει παρατηρηθεί, όμως, ότι τα διαγράμματα βοηθούν πολλές φορές στη λύση προβλημάτων με κλάσματα αλλά και στον έλεγχο των ορθών απαντήσεων. Η παρούσα παρέμβαση, ενδεδυμένη με «διαθεματικό χιτώνα», επιχειρεί μια γεωγραφική προσέγγιση στους κλασματικούς αριθμούς, μέσω της μελέτης σημαιών διάφορων χωρών του κόσμου. Η διαθεματικότητα στη διδασκαλία δίνει τη δυνατότητα εξέτασης μιας έννοιας κάτω από πολλές οπτικές γωνίες από διάφορα επιστημονικά πεδία, με αποτέλεσμα τη βαθύτερη και πολύπλευρη κατανόηση της (Παναγιωτακόπουλος & Πιερρακέας & Πιντέλας, 2005). Τα νέα Αναλυτικά προγράμματα Σπουδών, ευνοούν και προκρίνουν τη «διαθεματικότητα» ή «διεπιστημονικότητα», καλύτερα, της γνώσης καταργώντας, εν μέρει, τα διακριτά και αυτοτελή μαθήματα. Ακόμα η θεωρία των πολλαπλών τύπων νοημοσύνης τού H. Gardner (1993) έδωσε ερείσματα στη διαθεματική προσέγγιση. Με τον όρο διαθεματικότητα, αναφερόμαστε στη θεωρητική αρχή οργάνωσης του αναλυτικού προγράμματος, όπου επιχειρείται να προσεγγιστεί η γνώση ενιαιοποιημένη. Αντίθετα, ο όρος Διεπιστημονικότητα είναι ο τρόπος οργάνωσης του αναλυτικού προγράμματος, όπου διατηρούνται τα διακριτά μαθήματα, αλλά με ποικίλες τεχνικές και προσεγγίσεις, πραγματοποιούνται διασυνδέσεις και συσχετισμοί μεταξύ του περιεχομένου των διαφορετικών μαθημάτων. Ο στόχος, λοιπόν, της διδακτικής αυτής παρέμβασης είναι διττός: Αφενός οι μαθητές να αισθανθούν πολίτες του διεθνοποιημένου κόσμου, να αναπτύξουν πανανθρώπινες αξίες να σεβαστούν πολιτισμικές και άλλες ιδιαιτερότητες, ώστε τελικά, να διαμορφώσουν θετικές στάσεις απέναντι των άλλων λαών. Αφετέρου κινούμενοι σε καθαρά μαθηματικά πλαίσια οι μαθητές να αντιληφθούν την έννοια του κλάσματος, μέσα από πειραματισμούς και διαχωρισμούς σε μέρη μιας ακέραιας ποσότητας, όπως επίσης και μέσω συσχετισμών μεταξύ ομοειδών ποσοτήτων. Ακόμα να συγκρίνουν κλασματικούς αριθμούς, να τους απλοποιούν, να κατανοούν την ισοδυναμία τους αλλά και τις παρεπόμενες έννοιες του λόγου και της αναλογίας. Η αναλογία αποτελεί δομικό λίθο και μια από της βασικότερες έννοιες των Μαθηματικών, δεδομένου ότι, για μια πλειάδα μαθηματικών εννοιών, είναι [624]

6 2o Πανελλήνιο Εκπαιδευτικό Συνέδριο Ημαθίας ΠΡΑΚΤΙΚΑ πρωταρχική έννοια και βασικό συστατικό, όπως η κλίμακα, η ομοιότητα των γεωμετρικών σχημάτων, τα ποσοστά κ.ά. (Χιονίδου-Μοσκοφόγλου & Βλάχου, 2006). ΟΙ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ Στις περισσότερες των περιπτώσεων οι σημαίες των κρατών του κόσμου αποτελούνται από παράλληλες, κατακόρυφες ή οριζόντιες λωρίδες ενώ σε όλες, σχεδόν, υπάρχει συγκεκριμένος λόγος μήκους-πλάτους. Οι σημαίες σχεδιάστηκαν, μέσω των πολλών εργαλείων και λειτουργιών, που παρέχει το γνωστό δυναμικό περιβάλλον Γεωμετρίας Cabri Geometry II. Το Cabri Geometry δημιουργήθηκε από τους Jean-Marie Laborde και Frank Bellemain, στο Ινστιτούτο Πληροφορικής και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών (IMAG), στο πανεπιστήμιο Joseph Fourier, της Γκρενόμπλ, στη Γαλλία, σε συνεργασία με άλλους δύο φορείς, το Εθνικό Κέντρο Επιστημονικής Έρευνας της Γαλλίας (CNRS) και την ιδιωτική επιχείρηση Texas Instruments. Η συνολική προσπάθεια ήταν υπό την αιγίδα του γαλλικού υπουργείου Παιδείας. Το αλληλεπιδραστικό λογισμικό Cabri Geometry II εξελληνίστηκε και διανεμήθηκε για χρήση στα σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Το εκπαιδευτικό λογισμικό Cabri Geometry II είναι ένα δυναμικό, μαθησιακό μέσο διερευνητικής και ανακαλυπτικής προσέγγισης κατά τη διδασκαλία και μάθηση της γεωμετρίας αλλά, εν μέρει, και της άλγεβρας. Το λογισμικό διαθέτει πλησμονή εργαλείων και λειτουργιών για την πραγματοποίηση διάφορων και ποικίλων αλληλεπιδραστικών γεωμετρικών κατασκευών και δραστηριοτήτων, τα οποία διαδραματίζουν το ρόλο των διαμεσολαβητών, εν είδει, νοητικής σκαλωσιάς, μεταξύ των γεωμετρικών και αλγεβρικών εννοιών, που ενσωματώνουν και των μαθητών. Αποτελείται από 11 κουμπιά γεωμετρικών ενοτήτων (κατασκευές σχημάτων, μετασχηματισμοί, μετρήσεις, μορφοποιήσεις κλπ), που καθένα συνοδεύεται από ένα κυλιόμενο μενού, σχετικών λειτουργιών και κατασκευών. Μάλιστα τα εργαλεία αυτά απαιτούν σχετικά λίγο χρόνο προσαρμογής και κατανόησης του τρόπου λειτουργίας τους, ενώ προσφέρονται και για εξατομικευμένη μάθηση, αφού, μέσω αυτών, μπορεί να επιλεγεί η πλέον κατάλληλη, για κάθε μαθητή, στρατηγική λύσης. Οι μαθητές μπορούν, όχι μόνο να πειραματιστούν και να εκτελέσουν μια γεωμετρική κατασκευή, αλλά και να παρακινηθούν, να υποστηριχτούν και να επιβεβαιωθούν κατά τη διατύπωση συγκεκριμένων υποθέσεων και γενικεύσεων. Αυτό καθίσταται δυνατό, για τους μαθητές, με την ενεργοποίηση της επαγωγικής και παραγωγικής σκέψης, μέσα στο πλαίσιο ανάπτυξης της γεωμετρικής λογικής τους, σε συνδυασμό με τις προσπάθειές τους, για επινόηση μεθόδων απόδειξης αυτών των υποθέσεων και γενικεύσεών τους. Μάλιστα, η αίσθηση [625]

7 «Ψηφιακές και Διαδικτυακές εφαρμογές στην Εκπαίδευση» της γενικότητας προκαλείται από την πολλαπλότητα των σχετικών περιπτώσεων μιας δεδομένης γεωμετρικής μορφής ή σχήματος. Το Cabri Geometry είναι ένα εξαιρετικό αλληλεπιδραστικό περιβάλλον. Οι περισσότερες ενέργειες, δε, των μαθητών ακολουθούνται από σημαντική οπτική και αριθμητική ανατροφοδότηση καθώς επίσης και από κειμενικά μηνύματα οδηγιών και διόρθωσης. Αυτές οι δυνατότητες μπορούν να παρέχουν στους μαθητές δυνατότητες ενεργητικής μάθησης, σε αντίθεση με τα παραδοσιακά ανενεργά περιβάλλοντα, όπως το περιβάλλον χαρτί-μολύβι αλλά και άλλα περιβάλλοντα, όπου χρησιμοποιούνται φυσικά αντικείμενα. Το περιβάλλον Δυναμικής Γεωμετρίας Cabri-Geometry II παρέχει δυνατότητες κατασκευής και πραγματοποίησης μαθησιακών δραστηριοτήτων σύμφωνα με τις σύγχρονες κοινωνικές και εποικοδομιστικές θεωρήσεις για τη γνώση και τη μάθηση. Σύμφωνα με αυτές τις θεωρήσεις η μάθηση είναι μια ενεργητική, υποκειμενική και κατασκευαστική δραστηριότητα στην οποία καταλυτικό ρόλο παίζει το πλαίσιο συμφραζομένων στο οποίο πραγματοποιείται και ειδικότερα οι μαθησιακές δραστηριότητες και τα εργαλεία τα οποία παρέχονται προς χρήση στους μαθητές (Μαστρογιάννης & Κορδάκη, 2007). Τα εποικοδομιστικά υπολογιστικά μαθησιακά περιβάλλοντα μπορούν να ενεργήσουν ως καταλύτες σε ολόκληρο το πλαίσιο μάθησης, διαδραματίζοντας έναν ουσιαστικό, κρίσιμο και εξαιρετικό ρόλο, όπως, ασφαλώς, και οι κατάλληλα σχεδιασμένες δραστηριότητες μάθησης. Οι ολιστικές δραστηριότητες μάθησης μπορούν να βοηθήσουν τους μαθητές, ώστε να αποκτήσουν μια σφαιρική άποψη του θέματος, ενώ οι δραστηριότητες επίλυσης προβλήματος μπορούν να τους ενθαρρύνουν για να κατασκευάσουν τη γνώση, ενεργά, καθώς επίσης και να αποκτήσουν ορισμένες ουσιαστικές δεξιότητες επίλυσης προβλημάτων. Ακόμα το είδος των δραστηριοτήτων μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να εκφράσουν τις ενδοατομικές και διατομικές του διαφορές (Kordaki & Mastrogiannis, 2006 ; Mastrogiannis & Kordaki, 2006). Ως τα κυριότερα χαρακτηριστικά και πλεονεκτήματα του Cabri Geometry καταγράφονται, συνοπτικά, τα εξής: Υψηλή αλληλεπιδραστικότητα Φιλικότητα και ευχρηστία Πληθώρα εργαλείων και λειτουργιών Δυναμικό μαθησιακό περιβάλλον. Το περιβάλλον Cabri-Geometry II διαθέτει τη λειτουργία του «συρσίματος», μέσω του οποίου είναι δυνατός ο δυναμικός μετασχηματισμός σχημάτων, έτσι ώστε να διατηρούνται οι βασικές τους ιδιότητες. Έτσι οι μαθητές έχουν την ευκαιρία να πειραματιστούν, με μια απειρία σχημάτων της ίδιας κλάσης και να διατυπώσουν υποθέσεις, για τις βασικές τους ιδιότητες. Οπτική, αριθμητική και κειμενική ανατροφοδότηση, με δυνατότητες αυτοδιόρθωσης Καταγραφή των ενεργειών των μαθητών [626]

8 2o Πανελλήνιο Εκπαιδευτικό Συνέδριο Ημαθίας ΠΡΑΚΤΙΚΑ Δημιουργία μακροεντολών Υποστήριξη διαθεματικών δραστηριοτήτων Όλες οι σημαίες είναι κατασκευασμένες με τέτοιο τρόπο, ώστε, κάθε στιγμή, οποτεδήποτε χρειαστεί, ο χειρισμός ειδικού κουμπιού-σημείου να μεταβάλλει την αναλογία μήκους - πλάτους, αλλά και να την επαναφέρει στις σωστές και προκαθορισμένες από κάθε χώρα προδιαγραφές και διαστάσεις. Επιπλέον, επιτρέπεται η δυναμική μεταβολή κάθε σημαίας με την αλλαγή του μεγέθους της, χωρίς, όμως, ταυτόχρονη αλλαγή των επιμέρους στοιχείων της, αφού ο αρχικά επιλεγμένος λόγος παραμένει αμετάβλητος και εξακολουθεί να ισχύει. Πέραν, βέβαια, αυτών των χαρακτηριστικών οι χρωματικά πολυποίκιλες αυτές συνθέσεις, προσφέρουν και παιδαγωγικό τόνο ευθυμίας και ατμόσφαιρα μαθησιακής ευαρέσκειας, χαρακτηριστικά λίαν απαραίτητα στο χλωμό, άγευστο, απρόσωπο και εξοντωτικό, σύγχρονο Σχολείο. Επίσης, είναι δυνατό οι μαθητές να κατασκευάσουν οι ίδιοι κάθε σημαία. Αυτή η διαδικασία απαιτεί σαφώς γεωμετρικές και τεχνολογικές γνώσεις, αλλά λειτουργεί, όμως, αντισταθμιστικά, δεδομένου ότι τα μαθησιακά οφέλη είναι κατά πολύ πλουσιότερα. Ως μια γενική διδακτική κατεύθυνση θα μπορούσαν να τεθούν οδηγίες και ερωτήσεις όπως: Αναγνωρίστε και απαριθμήστε τα χρώματα Μεταβάλατε δυναμικά το δοσμένο λόγο και σημειώστε τις τροποποιήσεις που επιφέρει Σύρετε τη σημαία από (κάποια) σημεία της και καταγράψτε τις παρατηρήσεις σας Εκτιμήστε τι μέρος της σημαίας χρησιμοποιεί κάθε χρώμα. Κάθε λωρίδα αποτελεί κλασματική μονάδα; Εξηγήστε τις απαντήσεις σας Βρείτε τον κλασματικό αριθμό ενός μέρους (λωρίδας) Πώς μπορούμε να κατασκευάσουμε μια σημαία αν ξέρουμε μόνο ένα κομμάτι της και τις σχέσεις του με τα υπόλοιπα κομμάτια- λωρίδες; Διατάξτε τα κλάσματα που προκύπτουν Εντοπίστε τα ισοδύναμα (ίσα) κλάσματα Πώς μπορούμε να αξιοποιήσουμε τα εργαλεία και τις λειτουργίες του Cabri Geometry, για να επαληθεύσουμε και να επιβεβαιώσουμε τις εκτιμήσεις και τους υπολογισμούς μας; Τι μέρους του συνολικού εμβαδού καλύπτει κάθε λωρίδα; Τι μέρους του συνολικού ποσού των χρημάτων θα δαπανηθούν, για την αγορά κάθε χρωματιστής λωρίδας; Βρείτε τρόπους απόδειξης των ισχυρισμών σας Πώς σχεδιάζουμε τις σημαίες, ώστε να παραμένει, κατά τη μεταβολή τους, ο λόγος μήκους πλάτους; (με περιστροφή κατά -90 ο ενός [627]

9 «Ψηφιακές και Διαδικτυακές εφαρμογές στην Εκπαίδευση» οριζόντιου τμήματος, που σχηματίζει το δοσμένο λόγο με το συγγραμικό μήκος) Μια από τις απλές (στο σχεδιασμό) σημαίες είναι αυτή της Ινδονησίας (Σχήμα 1) με δύο ισομεγέθεις παράλληλες λωρίδες. 1. Ινδονησία 2. Ρωσία 3. Κολομβία 4. Ταϊλάνδη 5. Εμιράτα 6. Κονγκό 7. Μαδαγασκάρη 8. Ελβετία 9. Μπαγκλαντές Σχήμα 1: Σημαίες σχεδιασμένες με το Cabri Το 1/2 που αντιπροσωπεύει η κάθε λωρίδα μπορεί να επαληθευτεί και από (τον αυτόματο, από μια εντολή του λογισμικού) προσδιορισμό του εμβαδού της, σε σχέση με το συνολικό εμβαδό της σημαίας. Με τρεις παράλληλες λωρίδες είναι η σημαία της Ρωσίας και της Ιταλίας. Ελαφρώς δυσκολότερες στη μελέτη τους είναι οι σημαίες της Κολομβίας και της Ταϊλάνδης δεδομένου ότι περιέχουν ανισομεγέθεις λωρίδες. Μερικές ενδεικτικές ερωτήσεις που μπορούν να τεθούν είναι: Τι μέρος της κολομβιανής σημαίας καλύπτει η μπλε λωρίδα (το ½ του ½) Με τι ισούται το άθροισμα ½+¼ +¼ Χαράξτε μια νέα λωρίδα, παραποιώντας τη σημαία, ώστε όλες οι λωρίδες να παριστάνουν ίσες κλασματικές μονάδες Στη σημαία της Ταϊλάνδης γράψτε με δυο διαφορετικούς κλασματικούς αριθμούς το μέρος που αντιπροσωπεύει η μπλε λωρίδα. Ποιον από τους δυο συμφέρει να προτιμούμε; Περισσότερο απαιτητικές είναι οι σημαίες των Εμιράτων, της Μαδαγασκάρης και του Κονγκό, αφού οι κλασματικές σχέσεις (όλες οι λωρίδες της κάθε σημαίας είναι ισεμβαδικές) δεν μπορούν να επαληθευτούν, εύκολα, οπτικά. Μια λύση μπορεί, ενδεχομένως, να προέλθει από τη μέτρηση των εμβαδών των σημαιών και των λωρίδων που τις συνθέτουν και την κατοπινή διαίρεσή τους. Εδώ οι μαθητές μπορεί να διαπιστώσουν ότι διαφορετικά στη μορφή σχήματα είναι πιθανό να είναι ισεμβαδικά και να [628]

10 2o Πανελλήνιο Εκπαιδευτικό Συνέδριο Ημαθίας ΠΡΑΚΤΙΚΑ αποσαφηνίσουν τη συνεπαγωγή (και όχι ισοδυναμία), ότι, δηλαδή, τα ίσα σχήματα είναι ισεμβαδικά, χωρίς, κατ ανάγκη, να ισχύει και το αντίστροφο. Η σημαία της Ελβετίας είναι η μόνη με λόγο των διαστάσεων της ίσο με 1 (τετράγωνη). Η μελέτη της σημαίας αυτής προσφέρεται να δημιουργηθεί από τους ίδιους τους μαθητές, μεγάλων τάξεων, ίσως Λυκείου, λόγω των διαφορετικών αναλογιών που λαμβάνονται υπόψη, κατά τη σχεδίαση του εσωτερικού λευκού σταυρού. Η ίδια διδακτική τακτική προτείνεται να ακολουθηθεί και στην σημαία του Μπαγκλαντές, αφού η διάμετρος του κύκλου ισούται με το 1/5 του μήκους, ενώ το κέντρο του είναι το σημείο τομής της καθέτου, που άγεται από το 9/20 μέρος του μήκους της σημαίας, και της οριζόντιας (παράλληλης προς το μήκος) γραμμής, που σύρεται από το μέσο του πλάτους του. Τέλος οι δυο σημαίες των Ηνωμένων Πολιτειών και της Ελλάδας, θεωρούνται ως οι πλέον ιδανικές για τη μελέτη των κλασμάτων, δεδομένου ότι παρουσιάζουν συγκριτική, κλασματική ποικιλία, σε σχέση με τις υπόλοιπες (Σχήμα 2). Σχήμα 2. Ελληνική και αμερικανική σημαία σχεδιασμένες στο Cabri Η αμερικανική σημαία, ομολογουμένως, αρκετά δύσκολη στην κατασκευή της έχει αναλογία διαστάσεων 1:1,9. Αποτελείται από 13 ισομεγέθεις λωρίδες κόκκινες (7) και λευκές (6) που εναλλάσσονται. Το αριστερό μπλε ορθογώνιο έχει μήκος τα 2/5 του συνολικού και πλάτος τα 7/13 του συνολικού πλάτους της σημαίας. Το πλάτος του ορθογωνίου των αστεριών είναι χωρισμένο σε 10 τμήματα ενώ το μήκος του σε 12. Μερικές ερωτήσεις μπορούν να αφορούν στον εντοπισμό των μικρών ορθογωνίων του πλαισίου των αστεριών, ως μερών της σημαίας. Κάποιες άλλες, για παράδειγμα, στην εύρεση της κλασματικής μονάδας στο πλάτος ή στο μήκος του ορθογωνίου των άστρων. Ακόμα μια καλή μαθησιακή δραστηριότητα, ίσως, αποτελεί η διερεύνηση της δυνατότητας, ως προς τη μεταβολή του αρχικού λόγου των διαστάσεων (μ/π=1,9), ώστε το μπλε ορθογώνιο να μετασχηματιστεί σε τετράγωνο (2/5μ=7/13π, δηλαδή μ/π 1,35). [629]

11 «Ψηφιακές και Διαδικτυακές εφαρμογές στην Εκπαίδευση» Κάποιες άλλες ερωτήσεις και δραστηριότητες θα αναφερθούν, ως κοινές, κατά τη μελέτη της γαλανόλευκης που, ευθύς, αμέσως αναρτάται. Και κατακλείδα, ας αποτελέσει, λοιπόν, το εθνικό μας σύμβολο το οποίο υιοθετήθηκε επίσημα ως τέτοιο, το Η ελληνική σημαία αποτελείται από 9 ίσες, οριζόντιες ρίγες, 5 μπλε οι οποίες εναλλάσσονται με τις υπόλοιπες 4 λευκές. Οι 9 λωρίδες αντιπροσωπεύουν τις ισάριθμες συλλαβές της φράσης «Ελευθερία ή Θάνατος» ή ίσως, τις εννέα Μούσες, κατά μιαν άλλη εκδοχή. Ο επίσημος λόγος των διαστάσεών της είναι 2:3. Αν υποθέσουμε ότι το πλάτος κάθε ρίγας είναι τα 2/18 του συνολικού πλάτους της σημαίας, και ότι το μήκος της είναι 27/27, τότε το μπλε αριστερό τετράγωνο έχει διαστάσεις 10/18 του πλάτους και 10/27 του μήκους. Οι ποσότητες που παριστάνουν αυτά τα διαφορετικά κλάσματα είναι (παραδόξως, ίσως, για πολλούς μαθητές) ίσες μεταξύ, τους αφού 10/18 2/3=20/54=10/27. Το καθένα τετράγωνο του σταυρού έχει διαστάσεις 4/18 του πλάτους και 4/27 του μήκους, ενώ ο λευκός σταυρός αποτελείται από 2 ίσες κάθετες ρίγες διαστάσεων 2/27 του μήκους και 10//18 του πλάτους η μία, και 2/18 του πλάτους και 4/27 του μήκους, η άλλη. Μερικές ενδεικτικές ερωτήσεις θα μπορούσε να ήταν οι ακόλουθες: Πόσες λωρίδες συνθέτουν τη ελληνική σημαία; Η κάθε ρίγα ποιο μέρος ολόκληρης της σημαίας αντιπροσωπεύει; Το μπλε τετράγωνο τι τμήμα ολόκληρης της σημαίας αντιπροσωπεύει; Οι λωρίδες που εκτείνονται μετά το μπλε τετράγωνο του σταυρού, τι μέρος ολόκληρων των λωρίδων αντιπροσωπεύουν; Δικαιολογήστε, γιατί διαφορετικά κλάσματα μπορούν να παριστάνουν ίσες ποσότητες Αν το μικρό μπλε τετράγωνο του σταυρού θεωρηθεί μονάδα μέτρησης, τότε ποιο το εμβαδόν της σημαίας; Μετασχηματίστε δυναμικά τη σημαία, ούτως ώστε το ¼ του μικρού μπλε τετραγώνου να χωρά τόσες φορές στη σημαία, όσες φανερώνει ο αριθμός του εμβαδού που εικονίζεται στην οθόνη. Ως εμπέδωση στη μελέτη των κλασμάτων προσφέρεται και η γεωμετρική ερμηνεία του γινομένου 2 κλασματικών αριθμών (Μέγας, 1982) αλλά και η «οπτική απόδειξη» ακόμα, ίσως και σε μαθητές του Δημοτικού Σχολείου, του αθροίσματος των απείρων όρων της γνωστής φθίνουσας γεωμετρικής προόδου με α όρο 1/2 και λόγο 1/2, δηλαδή της σχέσης S=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+ 1/ 2 1, όπως παρουσιάζονται στο σχήμα / 2 [630]

12 2o Πανελλήνιο Εκπαιδευτικό Συνέδριο Ημαθίας ΠΡΑΚΤΙΚΑ Σχήμα 3. Ερμηνείες και αποδείξεις, μέσω κλασμάτων, στο περιβάλλον του Cabri Στην πρώτη περίπτωση, εντός του περιβάλλοντος του Cabri Geometry II, το τετράγωνο ΑΒΓΔ διαιρείται κατά μήκος σε 4 τμήματα και κατά πλάτος σε 5. Προκύπτουν έτσι 20 ισεμβαδικά και ίσα ορθογώνια, εμβαδού, το καθένα, 1/20 του αρχικού τετραγώνου. Το κόκκινο ορθογώνιο έχει μήκος 3/4 και πλάτος 4/5. Το εμβαδόν του, φυσικά, ισούται με 12/20 του αρχικού τετραγώνου, ως το αποτέλεσμα του γινομένου των διαστάσεών του (3/4 4/5=12/20). Στη δεύτερη παραδειγματική περίπτωση δεν απαιτούνται μαθηματικοί τύποι. Τα «οπτικά μαθηματικά» προσφέρουν αρκετά αξιόλογα εφόδια για την επίλυση (Λιπορδέζης & Λυγερός & Φωτιάδης, 2008). Η πλευρά ενός τετραγώνου, με συνεχή χρήση της εντολής του λογισμικού «μέσον», χωρίζεται στις κλασματικές μονάδες, όπως εμφανίζονται στο σχήμα 3 και απαιτεί η σχέση S. Μέσω αυτής της επαναληπτικής διαδικασίας, η λύση, μάλλον, καθίσταται προφανής. Κατά τον Ν. Λυγερό, Έλληνα ερευνητή και επισκέπτη καθηγητή σε αρκετά ελληνικά Πανεπιστήμια, ο οποίος κατέχει έναν από τους υψηλότερους δείκτες ευφυΐας στην κλίμακα Stanford-Binet, με 189 βαθμούς «δεν είναι μαθηματικά αυτά που μαθαίνουν τα παιδιά στα σχολεία, στην καλύτερη περίπτωση είναι λογιστική. Δεν καθοδηγούμε τα παιδιά να μάθουν τι είναι η ομορφιά των μαθηματικών, η δύναμη των μαθηματικών, τα οπτικά μαθηματικά» (Από τον ιστότοπο: Στα γνωστικά μαθηματικά ανήκουν και τα οπτικά μαθηματικά, διότι ακολουθούν τα ίδια νοητικά σχήματα σε τομείς που είναι περιορισμένοι στο οπτικό. Η εισαγωγή εργαλείων, όπως είναι ο υπολογιστής, για την πραγματοποίηση αυτών των νοητικών σχημάτων αποτελεί μονοδρομική αναγκαιότητα, ώστε τα μαθηματικά, ακόμα και αν είναι ισχυρές αφαιρετικές δομές, να καταστούν πιο προσιτά και ελκυστικά στο μαθητή. Μέσω της οπτικοποίησης, οι μαθητές αντιλαμβάνονται και κατανοούν καλύτερα τις έννοιες των μαθηματικών, εισχωρώντας άμεσα και πρακτικά στον κόσμο των [631]

13 «Ψηφιακές και Διαδικτυακές εφαρμογές στην Εκπαίδευση» οπτικών μαθηματικών, τα οποία είναι ικανά να αλλάζουν τον τρόπο σκέψης, αφού οι μαθητές δε βλέπουν πια μόνο ό,τι καταλαβαίνουν (Λυγερός, 2005). ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα παρέμβαση παρουσιάστηκε μια διαθεματική πρόταση μελέτης κλασματικών αριθμών, μέσω σημαιών, διαφόρων κρατών. Η προσέγγιση αυτή μπορεί να παράσχει μαθησιακά ευεργετήματα, δεδομένου ότι οι περισσότερες σημαίες του κόσμου αποτελούνται από παράλληλες ρίγες. Μάλιστα μπορεί να αξιοποιηθούν οι δυο από τις τρείς κατηγορίες μοντέλων για τα κλάσματα: α) Τα μοντέλα περιοχής ή εμβαδού, όπου μια επιφάνεια διαιρείται σε μικρότερα μέρη. Το μοντέλο, αυτό κατά κόρον, χρησιμοποιήθηκε, κατά την πραγμάτευση των σημαιών και β) το μοντέλο μήκους ή μέτρησης, στο οποίο συγκρίνονται μήκη. Στο τρίτο μοντέλο τα κλάσματα αναπαρίστανται ως μέρη συνόλων (van de Walle, 2005). Επιπλέον οι μαθητές πέραν, όλων των άλλων, μπορούν να ασχοληθούν με το θεώρημα του Θαλή, κατά το χωρισμό ενός τμήματος σε ίσα μέρη, με αναλογίες, με στρογγυλοποίησες αριθμών, με μετρήσεις, με την καθετότητα και την παραλληλία αλλά και με αρκετές άλλες γεωμετρικές και αλγεβρικές έννοιες. Τέλος ως ένα πλεονέκτημα, μάλλον, καταγράφεται ο αβίαστος και αυθόρμητος τρόπος εξοικείωσης, με ένα μεγάλο ποσοστό των μενού και των λειτουργιών του Cabri Geometry II. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Amato, S. A. (2005), Developing students understanding of the concept of fractions as numbers, In Chick, H. L. & Vincent, J. L. (Eds.). Proceedings of the 29th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 2, pp Melbourne: Bell, E.T. (1995), Οι μαθηματικοί, Τόμος Ι, Παν/κές Εκδόσεις Κρήτης 3. Brizuela, B. (2004), Mathematical Development in young children, Exploring Notations, Teachers College Press, New York 4. Brizuela, B. (2006), Young children s notations for fractions, Educational Studies in Mathematics: Volume 62, Number 3 5. Cajori, F. (2007), A History of Mathematical Notations: Vol. I and II, Cosimo Classics, New York 6. Gardner, H. (1993), Multiple intelligences: The theory in practice. New York: Basic Books 7. Hasemann, K. (1981), Οn difficulties with fractions, Educational Studies in Mathematics: Volume 12, Number 1 8. Kordaki, M. & Mastrogiannis, Α. (2006), The potential of multiple solution tasks in e-learning environments: Exploiting the tools of Cabri Geometry II. In T. Reeves & S. Yamashita (Eds), Proceedings of World Conference on E-Learning in Corporate, Government, Healthcare & [632]

14 2o Πανελλήνιο Εκπαιδευτικό Συνέδριο Ημαθίας ΠΡΑΚΤΙΚΑ Higher Education (E-Learn 2006), October, 13-17, Honolulu, Hawaii, USA, (pp ), Chesapeake 9. Mastrogiannis, A. & Kordaki, M. (2006), The concept of similarity in triangles within the context of tools of Cabri-Geometry II, In Proceedings of m-icte 2006, November, 22-25, Seville, Spain (pp ) 10. Nunes, T. & Bryant, P. (1996), Children Doing Mathematics, Oxford: Blackwell 11. Van de Walle, J. (2005), Μαθηματικά για το Δημοτικό και το Γυμνάσιο: Μια Εξελικτική Διδασκαλία, Αθήνα: Τυποθήτω 12. Καλδρυμίδου, Μ. & Κοντοζήσης, Δ. (2003), Εικονικές Αναπαραστάσεις και εννοιολογική προσέγγιση των κλασματικών εννοιών: Η έννοια του μισού στα νήπια. Λευκωσία: Στο «Οι αναπαραστάσεις και τα Γεωμετρικά Μοντέλα στη μάθηση των μαθηματικών» Επιμ: Γαγάτσης - Ηλία 13. Λιπορδέζης, Σ. & Λυγερός, Ν. & Φωτιάδης, Ν. (2008), Μαθηματικές Προκλήσεις, Εκδόσεις Αρχιμήδης 14. Λυγερός, Ν. (2005), Οπτικά Μαθηματικά, 22ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας με θέμα: "Οι Σύγχρονες Εφαρμογές των Μαθηματικών και η Αξιοποίησή τους στην Εκπαίδευση, Λαμία, Νοεμβρίου Μαστρογιάννης, Α. & Κορδάκη, Μ. (2007), Δυναμικά περιβάλλοντα γεωμετρίας και η έννοια της Συμμετρίας στο Δημοτικό σχολείο. 4ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΕΠ-ΔΤΠΕ με θέμα: «Τ.Π.Ε. & Εκπαίδευση». Διοργάνωση: ΕΕΕΠ-ΔΤΠΕ (Επιστημονική Ένωση Εκπαιδευτικών Πρωτοβάθμιας για τη διάδοση των ΤΠΕ στην εκπαίδευση), Πειραιάς, 6-7 Οκτωβρίου Μαστρογιάννης, Α. & Μαλέτσκος Α. (2007), Η Γνωστική Επιστήμη, οι μαθητές Δημοτικού και τα κλάσματα. Συνέδριο Παν/μίου Ιωαννίνων με τίτλο: «Η Πρωτοβάθμια εκπαίδευση και οι προκλήσεις της εποχής μας», Ιωάννινα Μαΐου Μέγας, Π. (1981) Θεωρητική και Εφαρμοσμένη Αριθμητική. Αθήνα: Πνευματικός 18. Παναγιωτακόπουλος, Χ. & Πιερρακέας, Π. & Πιντέλας, Π. (2005), Σχεδίαση Εκπ/κού Λογισμικού, Πάτρα: ΕΑΠ 19. Χιονίδου-Μοσκοφόγλου, Μ. & Βλάχου, Ρ. (2006), Η χρήση του εκπαιδευτικού λογισμικού των μαθηματικών του παιδαγωγικού ινστιτούτου για τη διδασκαλία των λόγων και αναλογιών στη Στ Δημοτικού. Πανεπιστήμιο Αιγαίου-ΠΤΔΕ [633]

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Ο Jean-Marie LABORDE ξεκίνησε το 1985 το πρόγραμμα με σκοπό να διευκολύνει τη διδασκαλία και την εκμάθηση της Γεωμετρίας Ο σχεδιασμός και η κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II.

Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II. 9.2.3 Σενάριο 6. Συμμεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωμετρία Β Λυκείου. Συμμεταβολή μεγεθών. Εμβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστημα συντεταγμένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη

Διαβάστε περισσότερα

Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών).

Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών). Μάθημα 5ο Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών). Ο δεύτερος ηλικιακός κύκλος περιλαμβάνει την ηλικιακή περίοδο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 475 ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ Μαστρογιάννης Αθανάσιος Εκπαιδευτικός Δευτεροβάθμιας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Τάξη: Ε Η ομάδα χορού 1. Σε μια ομάδα παραδοσιακών χορών συμμετέχουν 39 αγόρια και 23 κορίτσια. Κάθε εβδομάδα προστίθενται στην ομάδα 6 νέα αγόρια και 8 νέα κορίτσια.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 184 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ιωάννου Στυλιανός Εκπαιδευτικός Μαθηματικός Β θμιας Εκπ/σης Παιδαγωγική αναζήτηση Η τριγωνομετρία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Διδακτική της Πληροφορικής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Διδακτική της Πληροφορικής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Διδακτική της Πληροφορικής Η Πληροφορική ως αντικείμενο και ως εργαλείο μάθησης

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα). τάξης είναι ένα από τα στοιχεία που το καθιστούν σηµαντικό. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI Πέτρος Κλιάπης Τάξη Στ Βοηθητικό υλικό: Σχολικό βιβλίο μάθημα 58 Δραστηριότητα 1, ασκήσεις 2, 3 και δραστηριότητα με προεκτάσεις Προσδοκώμενα

Διαβάστε περισσότερα

εργαλείο δυναμικής διαχείρισης γεωμετρικών σχημάτων και αλγεβρικών παραστάσεων δυνατότητα δυναμικής αλλαγής των αντικειμένων : είναι δυνατή η

εργαλείο δυναμικής διαχείρισης γεωμετρικών σχημάτων και αλγεβρικών παραστάσεων δυνατότητα δυναμικής αλλαγής των αντικειμένων : είναι δυνατή η εργαλείο δυναμικής διαχείρισης γεωμετρικών σχημάτων και αλγεβρικών παραστάσεων δυνατότητα δυναμικής αλλαγής των αντικειμένων : είναι δυνατή η μετακίνηση, περιστροφή, αυξομείωση, ανάκλαση και απόκρυψη του

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Σέργιος Σεργίου Λάμπρος Στεφάνου ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 16 ο Συνέδριο Ε.Ο.Κ. 8-19 Οκτωβρίου 2016 Αξιοποίηση των Δεικτών Επάρκειας Ομαδική Εργασία Διαφοροποιημένη διδασκαλία

Διαβάστε περισσότερα

Λάμπρος Στεφάνου. (Σύμβουλος Μαθηματικών) Συνέδριο ΚΕΣΕΑ-ΤΠΕ 8 Φεβρουαρίου 2014

Λάμπρος Στεφάνου. (Σύμβουλος Μαθηματικών) Συνέδριο ΚΕΣΕΑ-ΤΠΕ 8 Φεβρουαρίου 2014 Λάμπρος Στεφάνου (Σύμβουλος Μαθηματικών) Συνέδριο ΚΕΣΕΑ-ΤΠΕ 8 Φεβρουαρίου 2014 Καίριο ερώτημα: Γιατί να μη χρησιμοποιούμε μόνο τα χειριστικά υλικά; Η τεχνολογία μεγεθύνει το εύρος του περιεχομένου που

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΑ ΟΠΤΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

ΜΙΑ ΟΠΤΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΙΑ ΟΠΤΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Νικόλαος Τερψιάδης, Μαθηματικός ΣΧΟΛΕΙΟ Πειραματικό Λύκειο Πανεπιστημίου Μακεδονίας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ, 2015 1. Συνοπτική περιγραφή της ανοιχτής

Διαβάστε περισσότερα

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Γ Γυμνασίου» των Δημητρίου Αργυράκη, Παναγιώτη Βουργάνα, Κωνσταντίνου Μεντή, Σταματούλας Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργη, έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Παιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων

Παιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων Παιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων Βασίλης Κόμης, Επίκουρος Καθηγητής Ερευνητική Ομάδα «ΤΠΕ στην Εκπαίδευση» Τμήμα Επιστημών της Εκπαίδευσης και της

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο. Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών

Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο. Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών Το πρόβλημα Ζητήθηκε από τα παιδιά να χωριστούν σε ομάδες και να προσπαθήσουν να μοιράσουν

Διαβάστε περισσότερα

Βοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα.

Βοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα. Γιώργος Μαντζώλας ΠΕ03 Βοηθήστε τη ΕΗ Η προβληµατική της Εκπαιδευτικής ραστηριότητας Η επίλυση προβλήµατος δεν είναι η άµεση απόκριση σε ένα ερέθισµα, αλλά ένας πολύπλοκος µηχανισµός στον οποίο εµπλέκονται

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Γιατί η Ρομποτική στην Εκπαίδευση; A) Τα παιδιά όταν σχεδιάζουν, κατασκευάζουν και προγραμματίζουν ρομπότ έχουν την ευκαιρία να μάθουν παίζοντας και να αναπτύξουν δεξιότητες Η

Διαβάστε περισσότερα

Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ

Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ ΞΑΝΘΗ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2017 Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr Διδακτική της Άλγεβρας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών

Διαβάστε περισσότερα

Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης

Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΣΤΟΧΟΙ ΧΡΟΝΟΣ Αριθμοί και πράξειςακέραιοι 2, 3, 4, 5 2. να μπορούν να εκφράζουν αριθμούς μέχρι και το 1.000.000 με διάφορους τρόπους

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου Αθήνα, Φεβρουάριος 2008 ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου 1.

Διαβάστε περισσότερα

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel.

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Έντυπο Α Φύλλα εργασίας Μαθητή Διαμαντής Κώστας Τερζίδης Σωτήρης 31/1/2008 Φύλλο εργασίας 1. Ομάδα: Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Y404. ΔΙΜΕΠΑ: ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΜΑΘΗΤΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ ΗΡΑΚΛΗΣ ΑΕΜ: 3734 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΜΑΘΗΣΙΑΚΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΜΑΘΗΣΙΑΚΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 3 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ-ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 415 ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΜΑΘΗΣΙΑΚΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Μεταφετζής Γιώργος Δάσκαλος, 1ο ΔΣ Βόλου gmetafetz@in.gr

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα Σενάριο 3. Τα µέσα των πλευρών τριγώνου Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα τριγώνων, τριγωνοµετρικοί αριθµοί περίµετρος και εµβαδόν.

Διαβάστε περισσότερα

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it.

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it. Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού Νοέμβρης 2012 Χρύσω Αθανασίου (Σύμβουλος Μαθηματικών ) Ελένη Δεληγιάννη (Συγγραφική Ομάδα) Άντρη Μάρκου (Σύμβουλος Μαθηματικών) Ελένη Μιχαηλίδου (Σύμβουλος Μαθηματικών)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 5. Μονοψήφιος πολλαπλασιασμός Προβλήματα αναλογίας

ΕΝΟΤΗΤΑ 5. Μονοψήφιος πολλαπλασιασμός Προβλήματα αναλογίας Μονοψήφιος πολλαπλασιασμός Προβλήματα αναλογίας ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ2.13 Αναπτύσσουν και εφαρμόζουν αλγόριθμους της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού με τριψήφιους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI Όλγα Κασσώτη Εργασία που κατατίθεται ως παραδοτέο της παρακολούθησης εκπαιδευτικού προγράμματος στο πλαίσιο υλοποίησης της Πράξης με τίτλο: «Επιμόρφωση των Εκπαιδευτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΕΛΕΝΗ ΑΜ:453 ΕΞ.: Ζ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: ΔΡ. ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΤΣΩΛΗΣ ΚΟΛΟΜΒΟΥ ΑΦΡΟΔΙΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Προσομοίωσης

Εφαρμογές Προσομοίωσης Εφαρμογές Προσομοίωσης H προσομοίωση (simulation) ως τεχνική μίμησης της συμπεριφοράς ενός συστήματος από ένα άλλο σύστημα, καταλαμβάνει περίοπτη θέση στα πλαίσια των εκπαιδευτικών εφαρμογών των ΤΠΕ. Μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Παναγάκος Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Δημοτικής Εκπαίδευσης Βασικοί Στόχοι ενός Προγράμματος Σπουδών Ένα πρόγραμμα σπουδών επιδιώκει να επιτύχει δύο

Διαβάστε περισσότερα

O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική. Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών

O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική. Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών Η έννοια της δραστηριότητας Δραστηριότητα είναι κάθε ανθρώπινη δράση που έχει ένα κίνητρο και ένα

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητες για τη διδασκαλία των μαθηματικών Δημοτικού με τη χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού

Δραστηριότητες για τη διδασκαλία των μαθηματικών Δημοτικού με τη χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού Δραστηριότητες για τη διδασκαλία των μαθηματικών Δημοτικού με τη χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού Μαρία Κορδάκη Σχολική σύμβουλος Μαθηματικών Επ. καθ. (ΠΔ 407/80) Τμήμα Μηχ/κών Ηλ/κών Υπολογιστών και Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

5.4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ

5.4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ 5.4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ 5.4.1. Αποτελέσματα από το πρόγραμμα εξ αποστάσεως επιμόρφωσης δασκάλων και πειραματικής εφαρμογής των νοερών

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων.

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Απόλυτη τιµή πραγµατικών αριθµών. Συµµεταβολή σηµείων. Θέµα: Στο περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης

Εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης Εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης Υποδειγματικό Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΙΩΑΝΝΗΣ ΖΑΝΤΖΟΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Cabri II Plus Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας απευθύνεται σε μαθητές και δασκάλους όλων των βαθμίδων!

Cabri II Plus Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας απευθύνεται σε μαθητές και δασκάλους όλων των βαθμίδων! Cabri II Plus Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας απευθύνεται σε μαθητές και δασκάλους όλων των βαθμίδων! Επ ιτρέπ ει τη σχεδίαση και το χειρισμό γεωμετρικών αντικειμένων απ ό τα απ λά έως τα π ιο π ερίπ λοκα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ1.15 Αναπτύσσουν την έννοια του πολλαπλασιασμού ως αθροιστικής επανάληψης ίσων προσθετέων και διαισθητικά την έννοια της

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή. 2. Τεχνικές και «κρατούμενα»

1. Εισαγωγή. 2. Τεχνικές και «κρατούμενα» 1. Εισαγωγή Η προσέγγιση των Μαθηματικών της Β Δημοτικού από το παιδί προϋποθέτει την κατανόηση των μαθηματικών εννοιών που παρουσιάστηκαν στην Α Δημοτικού και την εξοικείωση του παιδιού με τις πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Εννοιολογική χαρτογράφηση: Διδακτική αξιοποίηση- Αποτελέσματα για το μαθητή

Εννοιολογική χαρτογράφηση: Διδακτική αξιοποίηση- Αποτελέσματα για το μαθητή Το λογισμικό της εννοιολογικής χαρτογράυησης Inspiration Η τεχνική της εννοιολογικής χαρτογράφησης αναπτύχθηκε από τον καθηγητή Joseph D. Novak, στο πανεπιστήμιο του Cornell. Βασίστηκε στις θεωρίες του

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Τα ερωτήματα που προκύπτουν από την εισαγωγή της Φυσικής στην Α γυμνασίου είναι :

Διαβάστε περισσότερα

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Οι τεχνικές επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων εμφανίζονται τουλάχιστον πριν 4000 χρόνια, στην αρχαία Μεσοποταμία, σημερινό Ιράκ. Οι μέθοδοι πιθανόν προήλθαν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Υπεύθυνος καθηγητής Χαράλαμπος Λεμονίδης Μέντορας Γεώργιος Γεωργιόπουλος ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ Θέμα Διδασκαλίας Πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 6. Μονοψήφια διαίρεση Προβλήματα αναλογίας

ΕΝΟΤΗΤΑ 6. Μονοψήφια διαίρεση Προβλήματα αναλογίας Μονοψήφια διαίρεση Προβλήματα αναλογίας ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ2.13 Αναπτύσσουν και εφαρμόζουν αλγόριθμους της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού με τριψήφιους

Διαβάστε περισσότερα

«Ψηφιακά δομήματα στα μαθηματικά ως εργαλεία μάθησης για το δάσκαλο και το μαθητή»

«Ψηφιακά δομήματα στα μαθηματικά ως εργαλεία μάθησης για το δάσκαλο και το μαθητή» Ψηφιακό σχολείο: Το γνωστικό πεδίο των Μαθηματικών «Ψηφιακά δομήματα στα μαθηματικά ως εργαλεία μάθησης για το δάσκαλο και το μαθητή» ΕΛΕΝΗ ΚΑΛΑΪΤΖΙΔΟΥ Πληροφορικός ΠΕ19 (1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο

Διαβάστε περισσότερα

Σταυρούλα Πατσιομίτου

Σταυρούλα Πατσιομίτου Αριστοτέλους Μεταφυσικά 1078 α 30 Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr Σ υνδέονται τα Μαθηματικά με την Αισθητική, με την Τέχνη, με την Τεχνολογία. Πόσο σημαντικό είναι να γνωρίζουμε την Ιστορία τους;

Διαβάστε περισσότερα

Αντιστρόφως ανάλογα ποσά

Αντιστρόφως ανάλογα ποσά Αντιστρόφως ανάλογα ποσά Υποδειγματικό Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΙΩΑΝΝΗΣ ΖΑΝΤΖΟΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Σημείωση

Διαβάστε περισσότερα

Το ανοργάνωτο Parking

Το ανοργάνωτο Parking Δημοτικό Υπαίθριο Parking Περίληψη: Σε κάθε πόλη είναι σημαντικό η δημιουργία όσο το δυνατόν περισσότερων θέσεων parking, ειδικά στο κέντρο της, ώστε να διευκολύνονται οι πολίτες και η εμπορική αγορά.

Διαβάστε περισσότερα

GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί. Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης

GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί. Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης Ενημερωτική Συνάντηση Ομάδων Εργασίας Ν.Α.Π. Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, Λευκωσία, 8 Μαΐου 2012 Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες ΣΧΟΛΕΙΟ Η εκπαιδευτική πρακτική αφορούσε τη διδασκαλία των μεταβλητών στον προγραμματισμό και εφαρμόστηκε σε μαθητές της τελευταίας τάξης ΕΠΑΛ του τομέα Πληροφορικής στα πλαίσια του μαθήματος του Δομημένου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΜΣ «ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ» Παραδείγματα Variation Μεταπτυχιακός Φοιτητής:

Διαβάστε περισσότερα

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους του Σταύρου Κοκκαλίδη Μαθηματικού Διευθυντή του Γυμνασίου Αρχαγγέλου Ρόδου-Εκπαιδευτή Στα προγράμματα Β Επιπέδου στις ΤΠΕ Ορισμός της έννοιας του σεναρίου.

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Δομή της παρουσίασης Δυσκολίες μαθητών γύρω από την έννοια της

Διαβάστε περισσότερα

Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr. Σενάριο : Μοντελοποίηση ταυτοτήτων σε στατικά και δυναμικά μέσα παραγοντοποίηση πολυωνύμων

Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr. Σενάριο : Μοντελοποίηση ταυτοτήτων σε στατικά και δυναμικά μέσα παραγοντοποίηση πολυωνύμων Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr Τάξη: Γ Γυμνασίου A Λυκείου Μάθημα : Άλγεβρα Διδακτική ενότητα: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες, Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων Εισαγωγή Σενάριο : Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σχολικό Έτος: 2014-2015 Μαθηματικός Περιηγητής 1 Διδακτέα ύλη και οδηγίες διδασκαλίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Εκπαιδευτική Τεχνολογία & Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ: Μέρος A

Διαβάστε περισσότερα

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Δ Τάξης

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Δ Τάξης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Δ Τάξης Κωνσταντίνος Χρίστου Ρίτα Παναούρα Δήμητρα Πίττα-Πανταζή Μάριος Πιττάλης Οκτώβριος 2014 Συγγραφική ομάδα: Συντονιστές: Επιστημονικός Συνεργάτης:

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 2012. ΜΕΡΟΣ Α Κεφ. 1

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΙ ΙΚΟ ΜΕΡΟΣ: ΚΛΑ ΟΣ ΠΕ60/70 (78 ώρες)

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΙ ΙΚΟ ΜΕΡΟΣ: ΚΛΑ ΟΣ ΠΕ60/70 (78 ώρες) ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΙ ΙΚΟ ΜΕΡΟΣ: ΚΛΑ ΟΣ ΠΕ60/70 (78 ώρες) 1. 9 Εκπαιδευτική χρήση βασικών εργαλείων πληροφορικής, πολυµεσικών εργαλείων και του διαδικτύου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ LOGO

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ LOGO 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ LOGO ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΑΘΗΤΗ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 1. Τοποθέτησε μια χελώνα στην επιφάνεια εργασίας. 2. Με ποια εντολή γράφει η χελώνα μας;.. 3. Γράψε την εντολή για να πάει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΧΑΛΑΣΜΑ ΔΕΚΑΔΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΧΑΛΑΣΜΑ ΔΕΚΑΔΑΣ ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΧΑΛΑΣΜΑ ΔΕΚΑΔΑΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ2.11 Αναπαριστούν καταστάσεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, τέλειας και ατελούς διαίρεσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100

ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.9 Αναγνωρίζουν και ονομάζουν τους όρους: άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο, αφαιρέτης, αφαιρετέος, προσθετέος, διαιρέτης,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Α+Β Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Α+Β Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Α+Β Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 1.1 Αριθμοί 1-1000 Γραφή, Ανάγνωση, Απαγγελία, Απαρίθμηση, Σύγκριση, Συμπλήρωση (κατά αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα»

Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα» Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα» Φύλλο δασκάλου 1.1 Ένταξη δραστηριότητας στο πρόγραμμα σπουδών Τάξη: Ε και ΣΤ Δημοτικού. Γνωστικά αντικείμενα:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτικές προσεγγίσεις στην Πληροφορική. Η εποικοδομιστική προσέγγιση για τη γνώση. ως ενεργητική και όχι παθητική διαδικασία

Διδακτικές προσεγγίσεις στην Πληροφορική. Η εποικοδομιστική προσέγγιση για τη γνώση. ως ενεργητική και όχι παθητική διαδικασία Διδακτικές προσεγγίσεις στην Πληροφορική Η εποικοδομιστική προσέγγιση για τη γνώση ως ενεργητική και όχι παθητική διαδικασία ως κατασκευή και όχι ως μετάδοση ως αποτέλεσμα εμπειρίας και όχι ως μεταφορά

Διαβάστε περισσότερα

Παιδαγωγικές εφαρμογές Η/Υ. Μάθημα 1 ο

Παιδαγωγικές εφαρμογές Η/Υ. Μάθημα 1 ο Παιδαγωγικές εφαρμογές Η/Υ Μάθημα 1 ο 14/3/2011 Περίγραμμα και περιεχόμενο του μαθήματος Μάθηση με την αξιοποίηση του Η/Υ ή τις ΤΠΕ Θεωρίες μάθησης Εφαρμογή των θεωριών μάθησης στον σχεδιασμό εκπαιδευτικών

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση 1. Εισαγωγή Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια Το εκπαιδευτικό λογισμικό «Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση» δίνει τη δυνατότητα στα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης.

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. Τα κόκκινα κομμάτια αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO Μία διδακτική προσέγγιση

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO Μία διδακτική προσέγγιση Μία διδακτική προσέγγιση ΣΕΝΑΡΙΟ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τίτλος σεναρίου: Διερεύνηση Θεωρήματος Bolzano (Θ.Β.)

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό πολυμεσικό σύστημα διδασκαλίας των μαθηματικών (Εφαρμογή στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση)

Εκπαιδευτικό πολυμεσικό σύστημα διδασκαλίας των μαθηματικών (Εφαρμογή στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Εκπαιδευτικό πολυμεσικό σύστημα διδασκαλίας των μαθηματικών (Εφαρμογή στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Γ. Γρηγορίου, Γ. Πλευρίτης Περίληψη Η έρευνα μας βρίσκεται στα πρώτα στάδια ανάπτυξης της. Αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20

ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.9 Αναγνωρίζουν και ονομάζουν τους όρους: άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο, μειωτέος, αφαιρετέος, προσθετέος,

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Γωνίες μεταξύ παραλλήλων ευθειών που τέμνονται από τρίτη ευθεία

Γωνίες μεταξύ παραλλήλων ευθειών που τέμνονται από τρίτη ευθεία Γωνίες μεταξύ παραλλήλων ευθειών που τέμνονται από τρίτη ευθεία Επαρκές Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΙΩΑΝΝΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ,

Διαβάστε περισσότερα

Γνωριμία και παιχνίδι με το δυαδικό σύστημα

Γνωριμία και παιχνίδι με το δυαδικό σύστημα Γνωριμία και παιχνίδι με το δυαδικό σύστημα Δότσος Παύλος, Σπανουδάκη Αργυρώ dotsos_1@hotmail.com, argspan25@yahoo.gr Καθηγητής Πληροφορικής Μέσης Εκπαίδευσης, Καθηγήτρια Πληροφορικής Μέσης Εκπαίδευσης

Διαβάστε περισσότερα

Β ΤΑΞΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ

Β ΤΑΞΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 Β ΤΑΞΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ -Αριθμοί μέχρι το 20. -Αξία θέσης ψηφίου - Έννοια δεκάδας και μονάδας. -Πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

H Συμβολή της Υπολογιστικής Σκέψης στην Προετοιμασία του Αυριανού Πολίτη

H Συμβολή της Υπολογιστικής Σκέψης στην Προετοιμασία του Αυριανού Πολίτη H Συμβολή της Υπολογιστικής Σκέψης στην Προετοιμασία του Αυριανού Πολίτη Κοτίνη Ι., Τζελέπη Σ. Σχ. Σύμβουλοι Κ. Μακεδονίας στην οικονομία, στη τέχνη, στην επιστήμη, στις ανθρωπιστικές και κοινωνικές επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

Σωτηρίου Σοφία. Εκπαιδευτικός ΠΕ0401, Πειραματικό Γενικό Λύκειο Μυτιλήνης

Σωτηρίου Σοφία. Εκπαιδευτικός ΠΕ0401, Πειραματικό Γενικό Λύκειο Μυτιλήνης «Αξιοποίηση των Τ.Π.Ε. στη Διδακτική Πράξη» «Ανάκλαση-Διάθλαση, Ηλεκτρομαγνητική επαγωγή, Κίνηση-Ταχύτητα: τρία υποδειγματικά ψηφιακά διδακτικά σενάρια για τη Φυσική Γενικού Λυκείου στην πλατφόρμα "Αίσωπος"»

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

Η ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Η ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Η θέση της Πανελλήνιας Ένωσης Καθηγητών Πληροφορικής Επιμέλεια κειμένου: Δ.Σ. ΠΕΚαΠ κατόπιν δημόσιας διαβούλευσης των μελών της Ένωσης από 20/07/2010. Τελική έκδοση κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα