Εισαγωγή στο MATLAB. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης

Transcript

1 Εισαγωγή στο MATLAB Η μελέτη των συστημάτων αυτομάτου ελέγχου στηρίζεται σε επιλύσεις γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Οι επιλύσεις αυτές παρόλο που μιλάμε για την πιο απλή μορφή διαφορικής εξίσωσης (γραμμική) είναι πάρα πολύ επίπονη και δύσκολη έως αδύνατη. Για το λόγο αυτό η μελέτη και οι μέθοδοι της αντιστάθμισης στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ήταν μέθοδοι οι οποίες δεν στηριζόταν σε τέτοιες επιλύσεις. Επρόκειτο κυρίως για γραφικές μεθόδους, με τις οποίες περισσότερο φανταζόμασταν πως θα είναι η έξοδος του συστήματος που σχεδιάζαμε, παρά την βλέπαμε. Η εξέλιξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών έφερε επανάσταση στις μεθόδους αντιμετώπισης των προβλημάτων σχεδιασμού Συστημάτων Συτομάτου Ελέγχου, οι οποίες στην πραγματικότητα εξελίσσονται με τη εξέλιξη των Υπολογιστών, λαμβάνοντας διάφορες μορφές, ανάλογα με τις δυνατότητες που είχαν αυτές οι μηχανές στην κάθε εποχή. Σήμερα είναι αλήθεια ότι οι πρωτοπόροι των συστημάτων θα τρελαινόταν από ενθουσιασμό, αν μπορούσαν να δουν τα υπολογιστικά εργαλεία που έχουμε όλοι στην καθημερινή μας εργασία. Το ωραίο είναι ότι οι κλασσικές μέθοδοι που είχαν αναπτυχθεί το 1920 έως το 1950, αντί να είναι σήμερα ξεπερασμένες, αναβαθμίστηκαν και ανανεώθηκαν με την χρήση των εκπληκτικών εργαλείων λογισμικού που διαθέτουμε σήμερα. Σήμερα έννοιες όπως αυτή της ψηφιακής προσομοίωσης αποχτούν ιδιαίτερο νόημα και σημασία. Όταν μιλάμε για ψηφιακή προσομοίωση εννοούμε την αριθμητική επίλυση των εξισώσεων μέσω ειδικού λογισμικού. Με την ψηφιακή προσομοίωση μπορούμε να δημιουργούμε μοντέλα συστημάτων στο γραφείο μας, τα οποία να μας δείχνουν την πλήρη λειτουργία ενός γραμμικού συστήματος. Σήμερα ένα από τα σημαντικότερα πακέτα λογισμικού για την δημιουργία προσομοιώσεων αλλά και γενικά για τα μαθηματικά όλων σχεδόν των τεχνικών ειδικοτήτων είναι το MATLAB της εταιρίας MathWorks INC. Το πακέτο συνεχώς κάνει νέες εκδόσεις συμπεριλαμβάνοντας όλο και περισσότερες συναρτήσεις, που εξυπηρετούν όλο και περισσότερες ειδικότητες. Οι εκδόσεις του λογισμικού συνεχώς ανανεώνονται και κυκλοφορεί για όλα τα λειτουργικά συστήματα WINDOWS, MAC και UNIX Το MATLAB είναι ένα πολυδύναμο πακέτο με πάρα πολλές δυνατότητες, μερικές από αυτές είναι: Επίλυση μαθηματικών εξισώσεων και προβλημάτων. To MATLAB έχει πολλά module τα οποία είναι προσαρμοσμένα στα εξειδικευμένα μαθηματικά πολλών κλάδων. Από αυτά το Control Toolbox αναφέρεται στα μαθηματικά των συστημάτων αυτομάτου ελέγχου. 61

2 Προσομοιώσεις, Ανάπτυξη μοντέλων και προτύπων για πάρα πολλούς κλάδους Επεξεργασία δεδομένων και παρουσίαση αυτών Data acquisition (εισαγωγή ψηφιακών δεδομένων από μετρήσεις) Δημιουργία Επιστημονικών και τεχνικών γραφικών για πάρα πολλές ειδικότητες Ειδικά module με γραφικό interface για την ανάπτυξη εφαρμογών σε πολλές ειδικότητες. Το MATLAB ακόμα διαθέτει ειδική γλώσσα προγραμματισμού, μέσω της οποίας μπορούμε να αναπτύσσουμε ειδικούς αλγορίθμους και ολοκληρωμένες εφαρμογές Υπάρχει επίσης module σύνδεσης των πάρα πολλών συναρτήσεων του MATLAB με τη γλώσσα C. Το MATLAB είναι σχετικά εύκολο στο χειρισμό του, αρκεί κάποιος να γνωρίζει τις βασικές αρχές του προγραμματισμού και βέβαια τα μαθηματικά που απαιτεί η ειδικότητα του. Στο MATLAB υπάρχει ένα ειδικό module που αναφέρεται σε μαθηματικά προσαρμοσμένα στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, και ονομάζεται Control Toolbox, όπως και ένα πολύ σημαντικό κομμάτι γραφικής προσομοίωσης σε θέματα συστημάτων που ονομάζεται SIMULINK. Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε το βασικό χειρισμό του MATLAB και θα πειραματιστούμε σε ασκήσεις ψηφιακής προσομοίωσης συναρτήσεων μεταφοράς. Το περιβάλλον εργασίας του MATLAB Το βασικό περιβάλλον του MATLAB είναι εκείνο στο οποίο βρισκόμαστε μόλις φορτώσουμε το βασικό πρόγραμμα. Είναι ένα περιβάλλον command editor, δηλαδή οι εντολές δίνονται σε γραμμή εντολής όπως γινόταν παλιότερα στο DOS. Το περιβάλλον αυτό φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Στο επάνω μέρος έχουμε το μενού. Από τα μενού σημαντικό είναι το μενού Desktop,με το οποίο ρυθμίζουμε το περιβάλλον εργασίας μας. Κάτω δεξιά υπάρχει το μενού START με το οποίο μπορούμε να ξεκινήσουμε άλλες λειτουργίες του MATLAB ή να δούμε παραδείγματα των διαφόρων modules. Δεν θα περιγράψουμε με λεπτομέρεια τα πάντα παρά μόνο όσα χρειαζόμαστε. Το MATLAB διαθέτει παρά πολύ αναλυτικό HELP που μπορεί κάποιος ανά πάσα στιγμή να το επικαλούμαστε, αλλά και για αρχική μελέτη. Επίσης δίνουμε βιβλιογραφία την οποία μπορεί κάποιος να την επικαλεστεί. 62

3 Γραμμή εντολής Εικόνα

4 Εικόνα 1.2 Το βασικό παράθυρο ονομάζεται command window. Από τα άλλα παράθυρα στο command history μας δείχνει με τη σειρά τις εντολές που εκτελέσαμε, είναι χρήσιμο διότι μπορεί κάποιος να ξανατρέξει μια εντολή από εκεί χωρίς να την ξαναγράψει. Το «help» μας οδηγεί και από εκεί στο παράθυρο του HELP, το οποίο είναι πάρα πολύ αναλυτικό, πολύ καλά τακτοποιημένο και πάρα πολύ χρήσιμο. Το «Lanch Pad» μας δίδει ένα κατάλογο με όλες τις βιβλιοθήκες του MATLAB. Το «Workspace» μας δίδει με γραφικό τρόπο όλες τις μεταβλητές και παραμέτρους που έχουμε στη μνήμη. Πράξεις μεταβλητές και command editor Ας ξεκινήσουμε με μερικές απλές πράξεις έτσι ώστε να γίνει κατανοητό πως ακριβώς δουλεύει ο editor του MATLAB. Οι τελεστές των αριθμητικών πράξεων ο τρόπος με τον οποίο γράφουμε μια αριθμητική παράσταση και η σειρά προτεραιότητας των πράξεων και είναι ίδια όπως και σε κάθε γλώσσα προγραμματισμού. Τελεστές και συναρτήσεις Τελεστές Συναρτήσεις + πρόσθεση sin(x) ημίτονο - αφαίρεση cos(x) συνημίτονο * πολ/σμός tan(x) εφαπτομένη / διαίρεση acos(x) τόξο συνημιτόνου (από 0 έως π) ^ δύναμη asin(x) τόξο ημιτόνου (από π/2 έως π/2) αντιστροφή atan(x) τόξο εφαπτομένης (από π/2 έως π/2) 64

5 Πράξεις στον editor του ΜΑΤLAB Οι βασικές αρχές του command editor είναι οι εξής: Γράφουμε πάντα την εντολή σε μια ελεύθερη γραμμή και εκτελούμε μόλις πατήσουμε το enter. Κάθε εντολή αποτελείται από 2 μέρη ως εξής: όνομα μεταβλητής = πράξεις, εντολές αριστερά θέτουμε την μεταβλητή και δεξιά τις εντολές και τις πράξεις, το αποτέλεσμα των οποίων αποθηκεύεται στην μεταβλητή. Μόλις πατήσουμε το enter εκτελούνται οι πράξεις και το αποτέλεσμα αποθηκεύεται στη μεταβλητή. Αν οι πράξεις εκτελεστούn σωστά από κάτω εμφανίζεται το αποτέλεσμα π.χ >> a=(50/32+5*40+45*5/4)/(45+65/4)^2 a = η πράξη η οποία εκτελείται παραπάνω είναι η εξής: αν η πράξη έχει λάθη και δεν εκτελεστεί, τότε βγάζει με κόκκινα γράμματα μηνύματα λάθους. Όσο βρισκόμαστε στον editor οι τιμές των μεταβλητών διατηρούνται στη μνήμη και μπορούμε να τις χρησιμοποιήσουμε σε επόμενες εντολές π.χ >> a=(50/32+5*40+45*5/4)/(45+65/4)^2 a = >> b=sin(10) b = 65

6 >> c=a^2+b/a c = Στον command editor δε γυρίζουμε πίσω, αν θέλουμε να εκτελέσουμε πάλι μια ίδια εντολή και να μην την ξαναγράψουμε μπορούμε σε νέα γραμμή να πατήσουμε τα βέλη προς τα πάνω και να δούμε τις προηγούμενες εντολές. Όταν φέρουμε την εντολή στη γραμμή μπορούμε να την εκτελέσουμε πάλι πατώντας enter, η να την αλλάξουμε και να την εκτελέσουμε. Oι τιμές στις μεταβλητές διατηρούνται μέχρι να δώσουμε μια καινούργια τιμή. Αν ξεχάσουμε τις μεταβλητές που έχουμε χρησιμοποιήσει μπορούμε να δώσουμε την εντολή who, οπότε θα μας δείξει όλες τις μεταβλητές που έχουμε χρησιμoποιήσει, π.χ >> who Your variables are: a b c Μορφή των αριθμητικών μεταβλητών Οι μεταβλητές στο MATLAB δεν είναι μόνο αριθμητικές, θα δούμε στη συνέχεια τις άλλες μορφές. Όσον αφορά τις αριθμητικές, έχουμε διάφορες μορφές. Οι εξ ορισμού μεταβλητές είναι πραγματικοί αριθμοί με 5 δεκαδικά ψηφία. Για να έχουμε διαφορετικό είδος μεταβλητής πρέπει να δώσουμε την εντολή : format <είδος> <όνομα μεταβλητής> Εντολή μεταβλητής Είδος μεταβλητής format long Πραγματικός αριθμός με 14 δεκαδικά format short Πραγματικός αριθμός με 5 δεκαδικά format bank Πραγματικός αριθμός με 2 δεκαδικά format hex Σε δεκαεξαδική μορφή format rat Δίνει με μορφή πηλίκου έναν μη ακέραιοι αριθμό 66

7 Παράδειγμα: >> pi ans = >> format long >> pi ans = >> c=15 c = 15 >> format hex >> c c = 402e Πράξεις με πολυώνυμα Έστω ένα πολυώνυμο το οποίο γράφουμε με φθίνουσα σειρά των όρων του: Χ 3 +7Χ 2 +9Χ-10 Καταχώρηση σε μεταβλητή : καταχωρούμε στη μεταβλητή έναν πίνακα-διάνυσμα που περιλαμβάνει τους συντελεστές των όρων με φθίνουσα σειρά. Προσοχή αν λείπουν κάποιοι όροι πρέπει να βάλουμε μηδέν. Η εντολή δίνεται με την εξής μορφή: <όνομα μεταβλητής-καταχωρητή>= [ a b c.] Προσοχή: οι συντελεστές δίνονται μέσα σε αγκύλες και δεν βάζουμε διαχωριστικά σημεία, παρά μόνο κενά. Πρέπει να κατανοήσετε ότι εδώ η μεταβλητή είναι ένας καταχωρητής που κρατάει τη σειρά των συντελεστών και όχι μόνο μία τιμή. Παράδειγμα του παραπάνω πολυωνύμου. >> d=[ ] d =

8 Εύρεση ριζών πολυωνύμων : με την παρακάτω εντολή βρίσκουμε τις ρίζες ενός πολυωνύμου, η εντολή συντάσσεται ως εξής: <καταχωρητής ριζών>= roots(όνομα πολυωνύμου) παράδειγμα: >> d=[ ] d = >> r=roots(d) r = i i i i Ανάκτηση συντελεστών πολυωνύμου από τις ρίζες του : Είναι το αντίθετο από το προηγούμενο, η εντολή συντάσσεται ως εξής: <καταχωρητής συντελεστών πολ. >= poly(καταχωρ. Ριζών) παράδειγμα: >> rizes=[ i 2-2i] rizes = i i >> polyonymo=poly(rizes) polyonymo =

9 Πολλαπλασιασμός και διαίρεση πολυωνύμων: Οι εντολές συντάσσονται ως εξής: <αποτέλεσμα> = conv(πολυώνυμο α, πολυώνυμο β) <πηλίκο, υπόλοιπο> =deconv(πολυώνυμο α, πολυώνυμο β) Παράδειγμα γινόμενο >> poly1=[1 3-2] poly1 = >> poly2=[ ] poly2 = >> ginomeno=conv(poly1,poly2) ginomeno = παράδειγμα διαίρεσης >> [piliko,ypoloipo]=deconv(poly1,poly2) piliko = ypoloipo = Μιγαδικοί αριθμοί Στο MATLAB χειριζόμαστε πάρα πολύ εύκολα τους μιγαδικούς αριθμούς. Ένα μιγαδικό αριθμό τον δηλώνουμε, όπως τον γράφουμε και στο χαρτί, 69

10 χρησιμοποιώντας για το φανταστικό μέρος το i η το j. Οι πράξεις δε επί των μιγαδικών γίνεται ακριβώς όπως και με τους πραγματικούς αριθμούς. Παράδειγμα: z1 = i >> z2=12+7i z2 = i >> synol=z1+z2 synol = i >> diafora=z1-z2 diafora = i >> ginom=z1*z2 ginom = i >> poilik=z1/z2 poilik = i 70

11 Συζυγής, Μέτρο και γωνία μιγαδικού. Οι εντολές διατυπώνονται ως εξής: <μέτρο>=abs(μιγαδικός) <γωνία>=angle(μιγαδικός) <συζυγής>=conj(μιγαδικός) <πραγματικό μέρος μιγαδικού>=real(μιγαδικός) <φανταστικό μέρος μιγαδικού>=imag(μιγαδικός) Πίνακες και πράξεις επί των πινάκων Στο MATLAB η εισαγωγή και χρήση των πινάκων είναι επίσης πολύ εύκολη, παρουσιάζουμε στη συνέχεια τις εντολές εισαγωγής και πράξεων επί των πινάκων. Εισαγωγή πίνακα. Ο πίνακας μπορεί να δίνεται με πολλούς τρόπους. Ο καταχωρητής-μεταβλητή αποθηκεύει τη σειρά στοιχείων του πίνακα, όπως ήδη έχουμε δει στα πολυώνυμα. Πρώτος τρόπος εισαγωγής: <καταχωρητής>= [ στοιχεία σειράς με κενά ανάμεσα για άλλη σειρά πατάμε enter] Παράδειγμα: >> pinakas1=[ ] pinakas1 = Δεύτερος τρόπος εισαγωγής : <καταχωρητής>= [ στοιχεία σειράς με κενά Παράδειγμα: ανάμεσα χωρίζουμε τις σειρές με ; ] >> pinakas2=[ ; ; ] pinakas2 =

12 τρίτος τρόπος : δημιουργούμε πίνακα από άλλους πίνακες Παράδειγμα 1 >> a=[1 4 3 ; 4 5 6] a = >> b=[7 8 9] b = >> pinakas3=[a;b] pinakas3 = Παράδειγμα 2 a = >> b=[13;14;15] b =

13 >> c=[16 17] c = >> pinakas4=[a b;c] pinakas4 = Πράξεις επί των πινάκων Οι πράξεις είναι απλές και γίνονται οι περισσότερες με την χρήση των τελεστών, απλά πρέπει να προσέχουμε να έχει νόημα. Αν η πράξη δε γίνεται διότι δεν ταιριάζουν οι διαστάσεις των πινάκων, το MATLAB βγάζει μήνυμα λάθους. Πρόσθεση /Αφαίρεση: πρέπει οι πίνακες να έχουν ίδια διάσταση: Παράδειγμα: >> a=[1 2; 3 4] a = >> b= [1 1; 1 1] b =

14 1 1 >> c=a+b c = >> d=a-b d = >> e=3*a e = >> z=3*a+5*b z = Πολλαπλασιασμός: Υπενθυμίζουμε ότι για να γίνει ο πολλαπλασιασμός των πινάκων πρέπει ο αριθμός στηλών του πρώτου πίνακα να ισούται με τον αριθμό γραμμών του δευτέρου πίνακα. Δηλαδή να ισχύει: c ik =a ij *b jk Παράδειγμα: a =

15 >> b=[ ; ] b = >> c=a*b c = ενώ αντίθετα να δώσουμε d=b*a, θα βγάλει λάθος: >> d=b*a??? Error using ==> * Inner matrix dimensions must agree. Η δύναμη του πινάκα, ισχύει αρκεί ο πίνακας να είναι τετραγωνικός Παράδειγμα: >> a=[1 2; 3 4] a = >> c=a^3 c =

16 Διάσταση πίνακα: <καταχωρητής>=size(πίνακας) Στοιχείο πίνακα: <καταχωρητής>= πίνακας(γραμμή, στήλη) Ορίζουσα πίνακα: <καταχωρητής>=det(πίνακας) Ανάστροφος πίνακας : <καταχωρητής>= (πίνακας) Αντίστροφος πίνακας: <καταχωρητής>=inv(πίνακας) Παράδειγμα: >> a=[1 2; 3 4] a = >> oriz=det(a) oriz = -2 >> anastr=a' anastr = >> antristr=inv(a) antristr = Ιδιοτιμές πίνακα: <καταχωρητής> = eig(πίνακας) Παράδειγμα >> a=[1 2; 3 4] 76

17 a = >> idiotimes=eig(a) idiotimes = Δημιουργία μοναδιαίου πίνακα: <καταχωρητής πίνακα> = eye(γραμμές, στήλες) Δημιουργία μηδενικού πίνακα: <καταχωρητής πίνακα> = zeros(γραμμές, στήλες) Δημιουργία πίνακα με όλα τα στοιχεία 1: <καταχωρητής πίνακα> =ones(γραμμές, στήλες) Παράδειγμα: a = >> b=zeros(3,3) b = >> s=ones(3,3) s = 77

18 Πράξεις με ανώτερα μαθηματικά Υπολογισμός παραγώγου συνάρτησης: <παράγωγος>=polyder(συνάρτηση) Παράδειγμα. Να βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης: X 4 +33X 3 +5X 2-6X+7 >> a=[ ] a = >> paragogos_a=polyder(a) paragogos_a = Υπολογισμός γινομένου συναρτήσεων: <παράγωγος>=polyder(συνάρτηση1, συνάρτηση2) Παράδειγμα: Να υπολογισθεί η παράγωγος των συναρτήσεων a(x)*b(x)=a (x)*b(x)+a(x)*b (x) >> b=[4 3 5] b = >> parag_a_epi_b=polyder(a,b) parag_a_epi_b =

19 Υπολογισμός αόριστου ολοκληρώματος: <ολοκλήρωμα>=int(συνάρτηση) Οι εντολή ολοκληρώματος και Laplace έχουν μια ιδιαιτερότητα δουλεύουν με παράσταση μαθηματική, και πρέπει να δηλώσουμε στην αρχή ποιο είναι το σύμβολο της μεταβλητής. Αν λοιπόν έχουμε με συνάρτηση του χρόνου με μεταβλητή t θα πρέπει προηγουμένως να δηλώσουμε το t σαν σύμβολο. Αυτό γίνεται με την δήλωση syms t Παράδειγμα: Θέλουμε το αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης y(t)=3t 3 +2t >> syms t >> y=3*t^3+2*t y = 3*t^3+2*t >> z=int(y) z = 3/4*t^4+t^2 Υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος: <ολοκλήρωμα>=int(συνάρτηση, κάτω όριο, άνω όριο) Παράδειγμα >> syms x >> y=x^2 y = x^2 >> z=int(y,0,10) z = 79

20 1000/3 Υπολογισμός Μετασχηματισμού Laplace: <Μετασχηματισμός >=laplace(συνάρτηση) παράδειγμα. >> syms f s t >> f=exp(2*t)*(t-3)^2 f = exp(2*t)*(t-3)^2 >> fl=laplace(f) fl = 2/(s-2)^3-6/(s-2)^2+9/(s-2) Υπολογισμός Αντίστροφου Μετασχηματισμού Laplace <Συνάρτηση >=ilaplace(μετασχηματισμός) παράδειγμα >> fs=2/(s-2) fs = 2/(s-2) >> z=ilaplace(fs) z = 2*exp(2*t) 80

21 Συνάρτηση μεταφοράς και χρονική απόκριση Ένα από τα σημαντικότερα Module του MATLAB είναι το κομμάτι για τα συστήματα αυτομάτου ελέγχου, το module αυτό ονομάζεται Control Toobox και εμπεριέχει σχεδόν όλα τα μαθηματικά που χρειαζόμαστε. Προς το παρών θα μελετήσουμε τον τρόπο με τον οποίο εισάγουμε την συνάρτηση μεταφοράς και πως καταγράφουμε τη χρονική απόκριση, Εισαγωγή συνάρτησης μεταφοράς. Η συνάρτηση μεταφοράς δίνεται με διάφορους τρόπους. Ο πρώτος τρόπος είναι να δώσουμε τα πολυώνυμα του αριθμητή και του παρανομαστή: <συνάρτηση μεταφ>=tf( αριθμητής, παρανομαστής) όπου αριθμητής και παρανομαστής δίνονται σαν πολυώνυμα παράδειγμα: θέλουμε να δώσουμε τις συναρτήσεις. 2S+1 10S 2-11S+5 H1(S)= H2(S)= S 3 +7S+20 3S 4-10S 2 +10S+11 >> h1=tf([2 1],[ ]) Transfer function: 2 s s^3 + 7 s + 20 >> a=[ ] a = >> b=[ ] b =

22 >> h2=tf(a,b) Transfer function: 10 s^2-11 s s^4-10 s^ s + 11 δεύτερος τρόπος να σώσουμε τη συνάρτηση μεταφοράς είναι με τους πόλους, τα μηδενικά και το κέρδος. <συνάρτηση μεταφ>=zpk (μηδενικά, πόλοι, κέρδος) Παράδειγμα. Θέλουμε να δώσουμε τη συνάρτηση μεταφοράς που έχει μηδενικά -1, - 4, -5 και πολους -10, -51, -7, -6+2i, -6-2i και κέρδος 15 >> h3=zpk([-1,-4,-5],[ i -6-2i],15) Zero/pole/gain: 15 (s+1) (s+4) (s+5) (s+10) (s+7) (s+51) (s^2 + 12s + 40) Πράξεις με τις συναρτήσεις μεταφοράς Μπορούμε να κάνουμε πράξει με τις συναρτήσεις μεταφοράς πολύ εύκολα απλά με τους μαθηματικούς τελεστές. Βέβαια υπάρχουν και ειδικές συναρτήσεις για τις 2 βασικές συνδεσμολογίες των συστημάτων δηλαδή: Συστήματα στη σειρά : <αποτέλεσμα>=series(συναρτ, συναρτ, συναρτ, ) Συστήματα παράλληλα: <αποτέλεσμα>=parallel(συναρτ, συναρτ, συναρτ, ) Συστήματα σε ανάδραση :< αποτέλεσμα>=feedback(συναρτ, συναρτ, πρόσημο) Παραδείγματα. >> hol=h1/h2 Transfer function: 6 s^5 + 3 s^4-20 s^ s^ s s^5-11 s^ s^ s^2-185 s >> ho11=feedback(h1,h2,-1) 82

23 Transfer function: 6 s^5 + 3 s^4-20 s^ s^ s s^ s^ s^4-39 s^3-142 s^ s Πόλοι και μηδενικά της συνάρτησης μεταφοράς Μπορούμε να βρούμε πολύ εύκολα τους πόλους και τα μηδενικά μιας συνάρτησης μεταφοράς και επομένως να γνωρίζουμε αμέσως αν είναι το σύστημα ευσταθές. Πόλοι της ΣΜ : <πόλοι>=pole(συνάρτ. Μεταφοράς) Μηδενικά της ΣΜ: <μηδενικά >=zero(συνάρτ. Μεταφοράς) Μπορούμε ακόμα να παραστήσουμε γραφικά στο μιγαδικό επίπεδο τους πόλους και τα μηδενικά της συνάρτησης μεταφοράς με την εντολή: pzmap Παράδειγμα. >> h=tf([0.1 1],[ ]) Transfer function: 0.1 s s^ s + 1 >> pole(h) ans = i i >> zero(h) ans = -10 Όταν δώσουμε την εντολή pzmap τότε εμφανίζεται ένα παράθυρο γραφικών όπου βλέπουμε τους πόλους και τα μηδενικά, όπως φαίνεται παρακάτω: 83

24 Εικόνα 1.4 Χρονική απόκριση της συνάρτησης μεταφοράς. Με την εντολές step και impulse έχουμε τη βηματική και κρουστική απόκριση της συνάρτησης μεταφοράς και την κρουστική αντίστοιχα. Όπως και με την εντολή pzmap εμφανίζεται το παράθυρο γραφικών όπου βλέπουμε τη χρονική απόκριση. Το παράθυρο των γραφικών έχει αρκετές εντολές. Μπορούμε να αποθηκεύσουμε το γραφικό για να το ανακαλέσουμε πάλι. Μπορούμε να αλλάξουμε πολλά στα γραφικά του διαγράμματος. Αυτό γίνεται με τις εντολές edit-properties: Μπορούμε να ορίσουμε τα όρια των αξόνων, μπορούμε να ορίσουμε τα χρώματα, και επίσης να προσθέσουμε διαγράμμιση (grid) και τίτλους σε πολλά σημεία (labels). 84

25 Βηματική απόκριση Κρουστική απόκριση Εικόνα

26 Προσομοίωση με το SIMULINK To SIMULINK είναι ένα γραφικό περιβάλλον, στο οποίο μπορούμε να κάνουμε προσομοίωση συστημάτων. Μπορούμε να πούμε ότι είναι φτιαγμένο ειδικά για τα ΣΑΕ και είναι πολύ εύκολο στο χειρισμό. Από το κεντρικό παράθυρο του MATLAB μπορούμε να πάμε στο παράθυρο βιβλιοθήκης του SIMULINK πατώντας το ειδικό σύμβολο SIMULINK Εικόνα 1.6 Το παράθυρο έναρξης του SIMULINK εμφανίζεται όπως φαίνεται παρακάτω. Στο παράθυρο αυτό εμφανίζεται μια βιβλιοθήκη με συστήματα και ειδικά μοντέλα από ειδικά επιστημονικά πεδία. Οι βασικές βιβλιοθήκες που μας ενδιαφέρουν είναι η βιβλιοθήκη SIMULINK και οι βιβλιοθήκες: Control system Toolbox και Simulink extras. Για να ξεκινήσουμε μια προσομοίωση πατάμε το «file new model» η το ctrl-n. Ανοίγει ένα νέο παράθυρο μέσα στο οποίο αρχίζουμε να «τοποθετούμε» τα συστήματα, τα οποία θα διασυνδέσουμε για να φτιάξουμε μια εφαρμογή. Η τοποθέτηση γίνεται σύροντας με το ποντίκι το μοντέλο που επιλέγουμε από την βιβλιοθήκη στο παράθυρο εργασίας. 86

27 Εικόνα 1.7 Για να ρυθμίσουμε τα στοιχεία του μοντέλου που επιλέξαμε το επιλέγουμε και πατάμε διπλό κλίκ, οπότε εμφανίζεται το παράθυρο ιδιοτήτων και εκεί ορίζουμε τα δικά μας στοιχεία. Ο χειρισμός των γραφικών πάνω στο παράθυρο εργασίας είναι ανάλογος με το χειρισμό όλων των γραφικών προγραμμάτων. Ας παρακολουθήσουμε την «κατασκευή» ενός συστήματος, έτσι ώστε να φανεί ο βασικός χειρισμός μέσα από το Παράδειγμα προσομοίωσης στο SIMULINK Από το κεντρικό παράθυρο του MATLAB ανοίγουμε το SIMULINK LIBRARY και στη συνέχεια ένα νέο παράθυρο, όπου θα φτιάξουμε ένα μοντέλο προσομοίωσης. 87

28 Ανοίγουμε την βιβλιοθήκη: Simulink continues και παίρνουμε το κουτάκι transfer function, το οποίο σύρουμε μέσα στο παράθυρό μας. Με διπλό κλίκ πάνω στο κουτάκι εμφανίζεται το παράθυρο ιδιοτήτων όπου δίνουμε με τη μορφή των πινάκων την συνάρτηση μεταφορας. Πάμε στην βιβλιθλήκη: Simulink sources και παίρνουμε την βηματική συνάρτηση. Κάνοντας διπλό κλίκ μπορούμε να ρυθμίσουμε την τελική τιμή της βηματικής από 1 σε 5. Πάμε στη βιβλιοθήκη: Simulink Sinks και παίρνουμε τον παλμογράφο. Πολύ ευκολα «συνδέουμε» τα συστήματα μεταξύ τους. Η σύνδεση γίνεται απλά με το ποντίκι. Εικόνα 1.8 Για να αρχίσουμε την προσομοίωση πατάμε το «κουμπάκι» start simulation, η την εντολή Simulation Start. Oταν η προσομοίωση ολοκληρωθεί μπορούμε να δούμε την οθόνη του παλμογράφου πατώντας διπλό κλίκ πάνω στο κουτάκι του παλμογράφου. Με αριστερό κλίκ πάνω στο παράθυρο του παλμογράφου μπορούμε να ρυθμίσουμε τις κλίμακες των αξόνων. Σημαντική είναι η εντολή Autoscale η οποία δείνει μια καλή εικόνα κλιμάκωσης του παλμογραφήματος. Πολύ σημαντικό είναι η ρύθμιση των παραμέτρων της προσομοίωσης, ιδιαίτετα ενδιαφέρει ο χρόνος μέχρι τον οποίο θα δούμε το παλμογράφημα. Αυτό ρυθμίζεται στην εντολή : Simulation Simulation parameters. 88

29 Εικόνα 1.9 Ας προσπαθήσουμε στην συνέχεια να βάλουμε άλλο ένα σύστημα και να παρακολουθήσουμε μαζί τα παλμογραφήματα στη βηματική είσοδο. Εικόνα 1.10 Τοποθετούμε το νέο συστημα και ορίζουμε τη νέα συνάρτηση μεταφοράς. Συνδέουμε τη είσοδο του νέου συστήματος με την βηματική πηγή. Η διακλάδωση γίνεται εύκολα. 89

30 Για να τοποθετήσουμε δύο κανάλια στην είσοδο του παλμογράφου, χρειάζεται ένας multiplexer. Αυτό το βρισκουμε στη βιβλιοθήκη signal routing και έχει το όνομα MUX Εικόνα 1.11 Μετά την προσομοίωση έχουμε στην οθόνη 2 κυματομορφές με διαφορετικό χρώμα. Παράδειγμα 2 δημιουργία πολύπλοκου συστήματος διασύνδεσης συστημάτων στο SIMULINK. Θα προσπαθήσουμε να προσοιώσουμε στο SIMULINK το σύστημα διασυνδεδεμένων συστημάτων που είδαμε σαν παράδειγμα στο σχήμα σελίδα H3(s) + -- AΣ H1(s) H2(s) H5(s) H7(s) κόμβος A + H4(s) H6(s) Εικόνα 1.12 Βέβαια στο MATLAB δεν υπολογίζουμε αφηρημένα μαθηματικά άρα θα πρέπει να ορίσουμε της συναρτήσεις H1(s) έως H6(s). Δίνουμε λοιπόν τις συναρτήσεις αυτές 1 ως εξής: H1() s 2 s 2s 1, 1 H2() s s 1, 1 H () s 3 10s 1, 1 H4() s 5s 1, 90

31 H () s s s 10 H () s s, s 11 1 H () s s 5, 1 Δημιουργούμε λοιπόν ένα νέο παράθυρο στο SIMULINK. Στη συνέχεια σύρουμε από τη βιβλιοθήκη Continous σύρουμε μέσα 6 φορές το block Transfer Function. Στη συνέχεια πάμε στη βιβλιοθήκη Math Operations και εισάγουμε 3 φορές το μπλόκ Sum. Εικόνα 1.13 Στη συνέχεια με πατώντας διπλό κλικ στο κάθε μπλο Transfer Function και δίνουμε την συνάρτηση μεταφοράς σαν πίνακα αριθμητή και παρανομαστή, με τον τρόπο που τις δίνουμε και στην εντολή tf. Με διπλό κλίκ πάνω στο μπλόκ sum μπορούμε να ρυθμίσουμε τα πρόσημα και το σχήμα από round=κυκλικό να το κάνουμε rectangle= παραλληλόγραμμο. Αριθμητής Παρανομαστής Πρόσημα Σχήμα Εικόνα

32 Στη συνέχεια θα συνδέσουμε τα συστήματα. Για να μην έχουμε μπλέγμένες γραμμές τα συστήματα Η3, Η4 και Η6 θα τα αλλάξουμε φορά. Αυτό γίνεται πατώντας πάνω στο κάθε σύστημα και πηγαίνοντας στην εντολή του παραθύρου Format Flipe Block. Επίσης βάζουμε τα σωστά πρόσημα στα Sum και μετατρέπουμε το δεύτερο σε παραλληλόγραμμο. Φέρουμε μέσα την πηγή βηματικής εισόδου (Step) και τον παλμογράφο (Scope). Στη συνέχεια κάνουμε τις συνδέσεις Εικόνα 1.15 Προσοχή: Ο τρόπος των συνδέσεων δεν διαφέρει πολύ από τον τρόπο που χρησιμοποιούμε σε όλα τα λογισμικά, μερικές όμως οδηγίες μπορούν να σας βοηθήσουν. Οτανα πάτε στην έξοδο ενός μπλόκ το οποίο θέλετε να συνδέσετε ο κάρσορας γίνεται σταυρός, τότε πατήστε αριστερό κλίκ και σύρετε μέχρι την είσοδο στην οποία θέλετε να συνδέσεται. Για να είναι οκ η σύνδεση πρέπει η γραμμή να είναι συνεχής μαύρη. Η κόκκινη γραμμή σημαίνει ότι η σύνδεση δεν έχει ολοκληρωθεί, Αν θέλετε γρήγορη σύνδεση πατήστε τον πλήκτρο Ctrl και κανετε κλίκ στο αρχικό μπλόκ και στη συνέχεια κλίκ στο τελικό μπλόκ. Αν θέλετε να βάλετε κόμβο σε ένα σημείο μιας γραμμής από την οποία θα εκκινήσσετε μια σύνδεση. Πατήστε το Ctrl και κάντε κλικ στο σημείο εκείνο της γραμμής. 92

33 Αν θέλετε η γραμμή σύνδεσης που σχεδιάζετε να έχει διαδρομή που εσείς θέλετε κάθε φορά που θέλετε να κάνετε γωνία πατήστε κλικ Το σύστημα μας είναι έτοιμο για προσομοίωση. Πατάμε το πλήκτρο play η από το μενού την εντολή Simulation start. Για να δούμε το παλμογράφημα κάνουμε διπλό κλικ πάνω στον παλμογράφο και έχουμε το αποτέλεσμα που βλέπουμε παρακάτω. Εικόνα 1.16 Σκεφτείτε ότι αυτό που θέλουμε να δούμε είναι αυτή η εικόνα, και αναλογιστήτε πόσες πράξεις θέλει για να φτάσουμε μονο στην τελική συνάρτηση μεταφοράς αν κάνουμε απλοποίηση του διαγράμματος όπως είπαμε σε προηγούμενη παράγραφο. Και βέβαια η συνάρτηση αυτή σκεφτείτε αν και πως θα μπορούσε να λυθεί «με το χέρι». Αυτό το λέμε για μπορέσει να κατανοήσει ο αναγνώστης την αξία των σημερινών λογισμικών εργαλείων. Αν θέλουμε να δούμε την έξοδο μέχρι το χρόνο 20sec, πρέπει να θέσουμε τον stop time στο 20. Στη έκδοση 7 φαίνεται στο παράθυρο εντολών του simulink. Μπορείτε να το κάνετε και από την εντολή configuration parameterms Stop time Εικόνα

34 Όταν αλλάξουμε το χρόνο επαναλαμβάμουμε την προσομοίωση και βλέπουμε το νέο παλμογράφημα. Υπολογισμός της συνάρτησησης μεταφοράς της συνδεσμολογίας Το Simulink έχει την δυνατότητα να μας δώσει και την ολική συνάρτηση μεταφοράς της πολύπλοκης συνδεσμολογίας. Ας δούμε πως γίνεται αυτό. Η διαδικασία αυτή γίνεται με λίγο διαφορετικό τρόπος στην έκδοση 7 από τις προηγούμες θα δώσουμε πρώτα για την έκδοση 7 και θα κάνουμε αναφορά στις παλίωτερες εκδόσης. Θα χρησιμοποιήσουμε την διαδικασία που ονομάζει το MATLAB linear analysis. Το MATLAB μπορεί να υπολογίσει τη συνάρτηση μεταφοράς μεταξύ δύο σημείων τα οποία εμείς θα ορίσουμε και λέγονται linerisation points input point kai outpout points. Εμεις τα δύο σημεία θα τα τοποτετήσουμε στην εκεί που είναι η βηματική (είσοδο-input point) και εκει που είναι ο παλμογράφος (έξοδος output point). Η τοποθέτηση γίνεται κάνοντας κλικ στη γραμμή που θέλουμε και μετά δεξί κλίκ. Στο μενού που εμφανίζεται επιλέγουμε linearisation points input point και μετά output point. Input point Output point ααφούαφού Εικόνα 1.18 Αφού θέσαμε τα δύο σημείμα παμε στην συνεχεια στο μενού Tools Control design Lineat Analysis και πάμε στην καρτέλα που βλέπουμε στο επόμενο σχήμα,., 94

35 Παράγει το γραμμικό μοντέλο Εικόνα 1.19 Στο καρτελάκι αυτό πατήστε το πλήκτρο Linearised Model όπως φαίνεται στο σχήμα Το MATLAB θα μας δώσει την έξοδο που πήραμε στον παλμογράφο και το καρτελλάκι που βλέπουμε στο επόμενο σχήμα. Επικέξτε ακριβως αυτά που δείνχουμε στο σχήμα. Επιλέξτε Model Επιλέξτε Tranfer Function Εικόνα 1.20 Στο καρτελάκι που θα εμφανιστεί το MATLAB μας δίνει την συνάρτηση μεταφοράς της συνδεσμολογίας. Η συνάρηση μεταφοράς είναι μια πάρα πολύ μεγάλη παράσταση, με αριθμητή 4 ου βαθμού και παρανομαστή 10 ου 95

36 Εικόνα