Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών. Τμήμα Αυτοματισμού. Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακού Ελέγχου. Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου με χρήση MATLAB

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών. Τμήμα Αυτοματισμού. Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακού Ελέγχου. Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου με χρήση MATLAB"

Transcript

1 Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Αυτοματισμού Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακού Ελέγχου Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου με χρήση MATLAB Επιμέλεια: Ξανθή Παπαγεωργίου Τμήματα: 16:00-18:00 & 18:00-0:00 Οκτώβρης 011

2 1. Εισαγωγή στο MATLAB Στην ενότητα αυτή θα κάνουμε μία εισαγωγή στις βασικές λειτουργίες του MATLAB. Θα δούμε ως ορίζουμε μεταβλητές (διανύσματα, πίνακες, πολυώνυμα, κλπ.), βασικές συναρτήσεις, πώς μπορούμε να δημιουργήσουμε εμείς συναρτήσεις, κα. Ξεκινώντας το πρόγραμμα βλέπουμε το μενού του προγράμματος, τη μπάρα των εργαλείων, τη γραμμή εντολών και μια σειρά από άλλα βοηθητικά παράθυρα, όπως φαίνεται και στο σχήμα. Το πιο βασικό παράθυρο από αυτά είναι η γραμμή εντολών στην οποία πληκτρολογούμε τις εντολές που θέλουμε να εκτελέσουμε και εκεί εμφανίζονται και τα αποτελέσματα των πράξεων-υπολογισμών που εκτελούμε. Για να ορίσουμε μία μεταβλητή αρκεί να πληκτρολογήσουμε στη γραμμή εντολών το όνομά της (το σύμβολό της) και στη συνέχεια την τιμή που αυτή η μεταβλητή παίρνει (π.χ. μεταβλητή x, a, b, κλπ.). Παρατηρήστε ότι για τη μεταβλητή b δεν συμβαίνει το ίδιο, διότι στο τέλος της εντολής έχει τοποθετηθεί το σύμβολο «;». Με αυτόν τον τρόπο καταχωρούμε τη μεταβλητή, χωρίς να γεμίζουμε την οθόνη μας με αυτήν την πληροφορία. Μενού Εργαλεία Current Directory Γραμμή Εντολών Command History Για να ορίσουμε τα διάνυσμα της μορφής y 1 3 πληκτρολογούμε: ενώ για να ορίσουμε το 1 x πληκτρολογούμε: 3 Επίσης, στη γραμμή εντολών μπορούμε να διενεργήσουμε πράξεις μεταξύ οποιονδήποτε μεταβλητών. Για παράδειγμα αν έχουμε ορίσει το διάνυσμα y, όπως παραπάνω, μπορούμε να εκτελέσουμε τις ακόλουθες πράξεις: y y, b y, c y /, d y *, καθώς επίσης και τις πράξεις: e y.*, f y.^, g y ^, h y./. Προσοχή στον πολλαπλασιασμό πινάκων! Ισχύει ο κανόνας που φαίνεται στο διπλανό σχήμα: Για να ορίσουμε πίνακες π.χ. Α (όπως δίνεται παρακάτω), τον ανάστροφο του Α, ενώ για τον αντίστροφο του πίνακα Α αρκεί η εντολή >> inv(a). A Για να υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές ενός πίνακα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εντολή >> eig(a), ενώ για να βρούμε τις διαστάσεις ενός πίνακα αρκεί η εντολή >> size(a). Επίσης, μπορούμε να κατασκευάσουμε πίνακες οποιασδήποτε διάστασης γεμισμένους με μηδενικά: >> zeros(3,5), γεμάτους με άσσους: >> ones(5,10), και να ορίσουμε μοναδιαίους πίνακες: >> eye(5). Επιπλέον το MATLAB αποτελεί ένα πολύ ισχυρό εργαλείο για το χειρισμό πινάκων. Με πολύ απλές εντολές μπορούμε να απομονώσουμε υποπίνακες από κάποιον υπάρχοντα πίνακα. 1

3 Σημαντικός είναι και ο αριθμός έτοιμων συναρτήσεων, ευρέως χρησιμοποιούμενες, που περιλαμβάνονται στο βασικό πακέτο του MATLAB. Για παράδειγμα ο υπολογισμός των τριγωνομετρικών αριθμών γίνεται από έτοιμες εντολές >> cos(pi/3), >> sin(pi), κλπ., όπου «pi» είναι το γνωστό σε όλους «π», καθώς επίσης και οι αντίστοιχες εντολές: >> cosd(60), κλπ., όπου παίρνουν σαν όρισμα τη γωνία σε μοίρες. Άλλες τέτοιες εντολές είναι: sin(x), cos(x), tan(x), abs(x), sqrt(x), exp(x), log(x), κλπ. Γενικά, αν κάποια συνάρτηση δεν γνωρίζουμε αν υπάρχει ή δεν είμαστε σίγουροι πώς συντάσσεται ή τι παίρνει για όρισμα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εντολή: >> help cosd, ή αντίστοιχα την εντολή που μας ενδιαφέρει. Επίσης, το MATLAB μας δίνει τη δυνατότητα να δημιουργήσουμε τις δικές μας συναρτήσεις για τους επιμέρους υπολογισμούς που θέλουμε να πραγματοποιήσουμε. Η βασική λειτουργία μίας συνάρτησης είναι η εξής: δημιουργείς μία συνάρτηση με ένα συγκεκριμένο όνομα που εκτελεί μία σειρά από υπολογισμούς, δίνεις κάποια δεδομένα ως είσοδο έπειτα σε ένα μαύρο πλέον για σένα κουτί και παίρνεις μία σειρά από αποτελέσματα, χωρίς να χρειάζεται εσύ να κάνεις οποιονδήποτε ενδιάμεσο υπολογισμό. Ας δούμε ένα πολύ απλό παράδειγμα μιας συνάρτησης. Θα επιλύσουμε το γνωστό σε όλους τριώνυμο με τη χρήση της διακρίνουσας. Στον editor του MATLAB δημιουργούμε ένα αρχείο πληκτρολογώντας όλες τις απαραίτητες εντολές, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα: Αφού αποθηκεύσουμε το αρχείο αυτό θα επιλύσουμε το τριώνυμο x x 1 0. Πληκτρολογούμε αρχικά τα δεδομένα μας που θα χρησιμοποιηθούν ως είσοδος στη συνάρτησή μας, και στη συνέχεια καλούμε τη συνάρτηση με την παρακάτω εντολή. Για τη δημιουργία πιο περίπλοκων συναρτήσεων, το MATLAB μας δίνει τη δυνατότητα να χρησιμοποιήσουμε εντολές ελέγχου με τη χρήση της εντολής >> if, ή εντολές για τη διενέργεια επαναληπτικών διαδικασιών με την εντολή >> for. Λεπτομέρειες σχετικά με τη σύνταξη και τη χρήση αυτών των συναρτήσεων μπορούμε να αντλήσουμε μέσω της εντολής >> help if ή >> help for, κλπ., όπως έχουμε αναφέρει και παραπάνω. Επίσης, μία άλλη πολύ χρήσιμη λειτουργία του MATLAB για τις εφαρμογές μας, σχετίζεται με τον ορισμό και τη διαχείριση πολυωνύμων. Ας δούμε μερικά παραδείγματα για το πώς μπορούμε να κάνουμε κάτι τέτοιο. Για να ορίσουμε το πολυώνυμο x x x, αρκεί στο MATLAB να εισάγουμε ένα διάνυσμα μόνο με τους συντελεστές των όρων του πολυωνύμου. Συγκεκριμένα εδώ πρέπει να εκτελέσουμε την εντολή: >> p1 = [ 1 - ]. Αντίστοιχα για 5 3 τον ορισμό του πολυωνύμου x x x, γράφουμε την εντολή: >> p = [ ]. Σχετικά με τα πολυώνυμα και πάλι έχουμε κάποιες έτοιμες εντολές που μπορούν να μας εξυπηρετήσουν στους υπολογισμούς μας. Για παράδειγμα στην εύρεση των ριζών ενός πολυωνύμου αρκεί η εντολή: >> roots(p). Επίσης, μία άλλη πολύ χρήσιμη εντολή του MATLAB σχετίζεται με τον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων. Για 4 παράδειγμα αν υποθέσουμε ότι θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε τα πολυώνυμα: 1 x x 1 και x 1. Το γινόμενο αυτών των δύο εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα και την αναγωγή ομοίων όρων, μας δίνει το πολυώνυμο: x x x x x 1. Για να εκτελέσουμε αυτήν τη πράξη με τη χρήση του MATLAB πρέπει πρώτα να ορίσουμε τα δύο αρχικά πολυώνυμα με τον τρόπο που είπαμε παραπάνω, δηλαδή να γράψουμε στη γραμμή εντολών: >> p1 = [ ], και >> p = [ ], και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσουμε την έτοιμη εντολή του MATLAB:

4 . Γραφικές Παραστάσεις στο MATLAB Στην ενότητα αυτή θα κάνουμε μία εισαγωγή σε βασικές δυνατότητες που μας δίνει το MATLAB σχετικά με τη σχεδίαση γραφικών παραστάσεων και γραφικών απεικονίσεων γενικότερα. Θα δούμε κάποια παραδείγματα απλών γραφικών παραστάσεων όπως είναι το ημίτονο και το συνημίτονο. Παράγουμε 100 δεδομένα από το 0 ως 1 στη μεταβλητή x με την εντολή: >> x = linspace ( 0, 1, 100 ). Και στη συνέχεια με αυτά τα ορίσματα υπολογίζουμε τα ημίτονα και τα συνημίτονα: >> y = sin(*pi*x) και >> z = cos(*pi*x). Για να φτιάξουμε τη γραφική παράσταση του ημιτόνου αρκεί η εντολή: >> plot ( x, y ) και μας δίνει το αποτέλεσμα του αριστερά σχήματος παρακάτω. Προκειμένου να απεικονίσουμε και το συνημίτονο στο ίδιο γράφημα ώστε να μπορούμε να κάνουμε τη σύγκριση, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την εντολή >> hold on, με την οποία παγώνει το τρέχων γράφημα και πάνω σε αυτό προστίθεται και το καινούριο πληκτρολογώντας με τον ίδιο ακριβώς τρόπο την εντολή >> plot ( x, z ), και παίρνουμε το αποτέλεσμα του μεσαίου σχήματος παραπάνω. Επίσης, το MATLAB μας δίνει πολλές δυνατότητες να παίξουμε με τις χρωματικές αποχρώσεις, τα σύμβολα κλπ., έτσι ώστε να δημιουργήσουμε εντυπωσιακά και χρήσιμα γραφικά. Για παράδειγμα μπορούμε να αλλάξουμε τις γραμμές και τα σύμβολα ων σημείων με την απλή εντολή: >> plot ( x, y, ro ). Με την εντολή αυτή σε κάθε σημείο της καμπύλης τοποθετούμε κόκκινα κυκλάκια (όπως φαίνεται και στο δεξιά σχήμα παραπάνω). Για να δούμε την γκάμα των εντολών που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε στο MATLAB για τη δημιουργία γραφικών παραστάσεων, αρκεί να πληκτρολογήσουμε την εντολή που μάθαμε παραπάνω για να ανακαλύψουμε τις δυνατότητες της εντολής plot: >> help plot. Ενδεικτικά δείτε το διπλανό πίνακα. Επιπλέον, έχουμε μια σειρά από δυνατότητες εμπλουτισμού των γραφικών μας παραστάσεων πέραν των χρωματικών και συμβολικών επιλογών. Μπορούμε να τοποθετήσουμε επικεφαλίδες, τίτλους στους άξονες, κάποιο επεξηγηματικό κείμενο μέσα στο χώρο της γραφικής απεικόνισης σε συγκεκριμένη θέση, να εισάγουμε πλέγμα ώστε να είναι πιο εύκολη η αναγνώριση και ανάγνωση των δεδομένων που αναπαριστώνται, και άλλα πολλά. Ενδεικτικά κάποιες εντολές που δημιουργούν τα παραπάνω είναι: o Εισαγωγή τίτλου στο γράφημα: >> title ( Trigonometria ) o Εισαγωγή τίτλων στους άξονες: >> xlabel ( Time ) και >> ylabel ( Sin & Cos ) o Τοποθέτηση κειμένου σε συγκεκριμένη θέση του γραφήματος: >> text ( 0.6, 0.6, TEST ) o Εισαγωγή πλέγματος: >> grid on Τα αποτελέσματα που παράγουν αυτές οι εντολές πάνω στο γράφημα, απεικονίζονται στο παρακάτω σχήμα. 3

5 Όλες αυτές οι εντολές μπορούν να παρακαμφθούν εύκολα με τη χρήση του παραθυρικού μενού που παρέχει το MATLAB. Συγκεκριμένα από το μενού του παραθύρου του γραφήματος ακολουθώντας τις επιλογές που δείχνει η παρακάτω εικόνα, μας ανοίγει ένα μενού ιδιοτήτων του γραφήματος, μέσα από το οποίο μπορούμε να μεταβάλλουμε όλες τις παραμέτρους του γραφήματος με πολύ απλό και εύκολο τρόπο. 4

6 3. Μοντελοποίηση Γραμμικών Συστημάτων στο MATLAB Στην ενότητα αυτή θα κάνουμε μία εισαγωγή σε βασικές έννοιες που σχετίζονται με την περιγραφή γραμμικών, χρονικά μη μεταβαλλόμενων συστημάτων με τη χρήση του MATLAB. Συγκεκριμένα θα αναλύσουμε την περιγραφή των συστημάτων αυτών στο πεδίο του χρόνου (χώρος κατάστασης) και την περιγραφή τους στο πεδίο των συχνοτήτων (συναρτήσεις μεταφοράς). Ένα τέτοιο σύστημα περιγράφεται από τις εξισώσεις: x A x B u y C x D u όπου x: είναι το διάνυσμα των μεταβλητών κατάστασης, y: είναι το διάνυσμα των μετρήσιμων μεταβλητών, u: είναι το διάνυσμα των μεταβλητών ελέγχου και Α, Β, C, D είναι οι παράμετροι του συστήματος. Ας εξετάσουμε το απλό ηλεκτρικό σύστημα του διπλανού σχήματος. Στο σύστημα αυτό το διάνυσμα των μεταβλητών κατάστασης είναι: x x it () 1 () t x i() t dt, u ( t ) e ( t ) είναι η μεταβλητή ελέγχου και y( t) R i( t) είναι η μετρήσιμη μεταβλητή. Η εξίσωση που το περιγράφει είναι: di( t) 1 L Ri( t) i( t) dt e( t). Για να περιγράψουμε το σύστημα αυτό με τη dt c μορφή των εξισώσεων κατάστασης πρέπει να προσδιορίσουμε τις παραμέτρους Α, Β, C, D. Η παραπάνω εξίσωση του συστήματος μπορεί να γραφεί: 1 1 R 1 Lx1 Rx1 x u x1 u x1 x. c L L cl Επίσης ισχύει: x i( t) x1 x 1 x1 0 x 0 u και y( t) R x1 0 x 0 u. Επομένως, οι εξισώσεις κατάστασης του συστήματος έχουν τη διπλανή μορφή, όπου προσδιορίζονται οι πίνακες Α, Β, C, D των παραμέτρων του συστήματος. Για συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων του ηλεκτρικού κυκλώματος R=1, L=1 και c=1, μπορούμε να ορίσουμε τους πίνακες Α, Β, C, D στο MATLAB. Στη συνέχεια με χρήση κατάλληλης εντολής μπορούμε να δηλώσουμε στο MATLAB ότι οι πίνακες αυτοί αντιστοιχούν σε περιγραφή του συστήματος στο χώρο κατάστασης. Η απαιτούμενη εντολή είναι η ss: (State Space) συνάρτηση του χώρου κατάστασης και συντάσσεται σε αντιστοιχία με όλες τις συναρτήσεις του MATLAB που έχουμε δει ως τώρα. Μία άλλη περιγραφή ενός συστήματος είναι η συνάρτηση μεταφοράς. Για να υπολογίσουμε τη συνάρτηση μεταφοράς χρησιμοποιούμε το μετασχηματισμό Laplace. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα του ηλεκτρικού κυκλώματος που εξετάσαμε παραπάνω, ο μετασχηματισμός Laplace της διαφορικής εξίσωσης του συστήματος μας δίνει: Is ( ) 1 Ys () sli( s) RI( s) E( s) sl R I( s) E( s). Η συνάρτηση μεταφοράς γενικά ορίζεται ως: Gs () και sc sc Rs () RI () s RCs επομένως προκύπτει G s G() s. Για να ορίσουμε τη συνάρτηση αυτή στο MATLAB, αρκεί E( s) LCs RCs 1 να προσδιορίσουμε τα πολυώνυμα αριθμητή (ar) και παρονομαστή (par) και στη συνέχεια να δηλώσουμε ότι πρόκειται για συνάρτηση μεταφοράς με την απαιτούμενη εντολή που είναι η tf: (Transfer Function) συνάρτηση μεταφοράς και συντάσσεται σε αντιστοιχία με όλες τις συναρτήσεις του MATLAB που έχουμε δει ως τώρα. Το MATLAB μας δίνει τη δυνατότητα να πηγαίνουμε από τη μία περιγραφή στην άλλη με χρήση μίας εντολής. Στο σχήμα παρακάτω, φαίνεται η διάκριση μεταξύ των δύο περιγραφών και ο τρόπος μεταπήδησης από τη μία στην άλλη. 5

7 Επίσης, το MATLAB μας δίνει τη δυνατότητα με εντολές να χειριστούμε δομικά διαγράμματα για το σχεδιασμό συστημάτων ελέγχου. Για μπλοκ διαγράμματα που βρίσκονται σε σειρά ισχύει η εντολή: Για μπλοκ διαγράμματα που βρίσκονται παράλληλα ισχύει η εντολή: Για μπλοκ διαγράμματα σε συστήματα με ανάδραση ισχύει η εντολή: 6

8 Ας εξετάσουμε το παράδειγμα του πολύ απλού μηχανικού συστήματος του διπλανού σχήματος. Στο σύστημα αυτό το διάνυσμα των μεταβλητών κατάστασης είναι: x x 1 () t, u ( t ) ( ) x xt xt F t είναι η μεταβλητή ελέγχου και y( t) x( t) η μετρήσιμη μεταβλητή. Η εξίσωση που το περιγράφει είναι: F k x b x m x. Για να περιγράψουμε το σύστημα αυτό με τη μορφή των εξισώσεων κατάστασης πρέπει να προσδιορίσουμε τις παραμέτρους Α, Β, C, D. Η παραπάνω εξίσωση του συστήματος μπορεί 1 k b να γραφεί: u k x1 b x m x x u x1 x m m m. Επίσης ισχύει: x1 x( t) x x1 0 x1 1 x 0 u και y( t) x( t) y( t) 1 x1 0 x 0 u. Επομένως, οι εξισώσεις κατάστασης του συστήματος έχουν τη διπλανή μορφή, όπου προσδιορίζονται οι πίνακες Α, Β, C, D των παραμέτρων του συστήματος. Για συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων του μηχανικού συστήματος k=0, b=10 και m=1, μπορούμε να ορίσουμε τους πίνακες Α, Β, C, D στο MATLAB και στη συνέχεια με χρήση της κατάλληλης εντολής μπορούμε να δηλώσουμε στο MATLAB ότι οι πίνακες αυτοί αντιστοιχούν σε περιγραφή συστήματος στο χώρο κατάστασης. Ένα άλλο παράδειγμα απλού συστήματος είναι το υδραυλικό σύστημα του διπλανού σχήματος. Στο σύστημα αυτό το διάνυσμα των μεταβλητών κατάστασης είναι: x () t h t, u( t) F ( t) είναι η μεταβλητή ελέγχου και y( t) h( t) η μετρήσιμη μεταβλητή. Η εξίσωση που το περιγράφει είναι: d A h t F in t F out t dt dh t dh t A Fin t c h t A Fin t c h t. Για να περιγράψουμε dt dt το σύστημα αυτό με τη μορφή των εξισώσεων κατάστασης πρέπει να προσδιορίσουμε τις παραμέτρους Α, Β, C, D. Η παραπάνω εξίσωση του συστήματος μπορεί να γραφεί: 1 c A x t u t c x t x t u t x t. Επίσης ισχύει: A A y( t) h( t) x( t) y( t) 1 x 0 u. Για συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων του υδραυλικού συστήματος c=1 και Α=1, μπορούμε να ορίσουμε τους πίνακες Α, Β, C, D στο MATLAB και στη συνέχεια με χρήση της κατάλληλης εντολής μπορούμε να δηλώσουμε στο MATLAB ότι οι πίνακες αυτοί αντιστοιχούν σε περιγραφή συστήματος στο χώρο κατάστασης. in 7

9 4. Μελέτη Δυναμικής Συμπεριφοράς Γραμμικών Συστημάτων στο MATLAB Στην ενότητα αυτή θα κάνουμε μία εισαγωγή σε βασικές έννοιες που σχετίζονται με τη μελέτη της δυναμικής συμπεριφοράς γραμμικών χρονικά μη μεταβαλλόμενων συστημάτων με τη χρήση του MATLAB. Μπορούμε να εξετάσουμε την απόκριση του συστήματος σε βηματική είσοδο μέσω της εντολής: >> step( sys_ss_c ) ή >> step( sys_tf_c ) Επίσης, μπορούμε να εξετάσουμε την απόκριση του συστήματος σε κρουστική είσοδο με χρήση της εντολής: >> impulse( sys_ss_c ) ή >> impulse ( sys_tf_c ) Επιπρόσθετα, τo MATLAB μας δίνει τη δυνατότητα να μελετήσουμε τη συμπεριφορά ενός συστήματος σε μία τυχαία είσοδο, μέσω της εντολής: >> lsim( sys_ss_c, u, t ) ή >> lsim ( sys_tf_c, u, t ) όπου u είναι το διάνυσμα των στοιχείων της τυχαίας είσοδου και t το χρονικό διάστημα της προσομοίωσης. Για να δούμε ένα απλό παράδειγμα ας δημιουργήσουμε για >> t = 0 : 0.1 : 5 μία τυχαία είσοδο, ας πούμε μία ημιτονοειδή είσοδο >> u = sin( *pi*t ). Η απόκριση του συστήματος σε αυτήν την είσοδο παράγεται με την εντολή: >> lsim( sys_ss_c, u, t ). 8

10 5. Μελέτη Γραμμικών Συστημάτων στο Πεδίο των Συχνοτήτων (BODE) Στην ενότητα αυτή θα κάνουμε μία εισαγωγή σε βασικές έννοιες που σχετίζονται με τη μελέτη των γραμμικών χρονικά μη μεταβαλλόμενων συστημάτων στο πεδίο των συχνοτήτων με τη χρήση του MATLAB. Για το σχεδιασμό διαγραμμάτων BODE με τη βοήθεια του MATLAB χρειαζόμαστε την εντολή >> bode(sys_ss_c) ή >> bode (sys_tf_c), αναλόγως τη μορφή του συστήματος το οποίο θέλουμε να εξετάσουμε. Για ένα απλό παράδειγμα συστήματος με 1 συνάρτηση μεταφοράς Gs () παίρνουμε το διάγραμμα s s 1 BODE του διπλανού σχήματος. Σημαντικό στοιχείο μελέτης ενός συστήματος με τη χρήση των διαγραμμάτων BODE είναι ο προσδιορισμός των περιθωρίων κέρδους και φάσης του συστήματος. Το περιθώριο κέρδους καθορίζεται από το διάγραμμα BODE ως εξής: Στο διάγραμμα της φάσης βρίσουμε τη συχνότητα ω 1 στην οποία η καμπύλη τέμνει τις -180 ο. Για αυτήν τη συχνότητα εξετάζουμε στο διάγραμμα του μέτρου πόσο απέχει η καμπύλη από τα 0dB. Αυτό είναι το περιθώριο κέρδους σε db και ισχύει ότι K db 0log G. g Αντίστοιχα για το περιθώριο φάσης πάμε στο διάγραμμα του μέτρου και βλέπουμε σε ποια συχνότητα ω η καμπύλη τέμνει τα 0dB. Για αυτήν τη συχνότητα πάμε στο διάγραμμα της φάσης και εξετάζουμε πόσο απέχει η καμπύλη από τις -180 ο. Αυτό καθορίζει το περιθώριο της φάσης. Για να εξάγουμε αυτά τα περιθώρια με τη βοήθεια του MATLAB μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εντολή: >> [ Gm, Pm, wg, wp ] = margin( sys_tf_c ). Ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο του MATLAB είναι ο LTI viewer, ο οποίος καλείται με την εντολή: >> ltiview. Με την εντολή αυτή μας ανοίγει ένα παράθυρο και μέσα από ένα εύχρηστο μενού μπορούμε να εισάγουμε το σύστημά μας και να το μελετήσουμε. Δείτε ένα από παράδειγμα εισαγωγής (File->Import) και εξέτασης ενός συστήματος με την ακολουθία των βημάτων που εμφανίζονται στις παρακάτω εικόνες. Μας δίνεται η δυνατότητα να το μελετήσουμε σε κάποια απόκριση, να δούμε το διάγραμμα BODE κλπ., (πατάμε δεξί κλικ και επιλέγουμε από Plot Types) και μια σειρά από χαρακτηριστικά του συστήματος πολύ εύκολα και γρήγορα (δεξί κλικ από Plot Characteristics και να επιλέξουμε για παράδειγμα σε ένα διάγραμμα BODE να μας εμφανίσει τα περιθώρια κέρδους και φάσης). 9

11 Ας δούμε τώρα ένα παράδειγμα ενός συστήματος με νεκρό χρόνο στην απόκρισή του στις μεταβολές της εισόδου. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένας αγωγός μέσα στον οποίο κινείται αέρας με κάποια ταχύτητα v σταθερή και σε κάποιο σημείο μέσα στον αγωγό ο αέρας θερμαίνεται. Η μέτρηση της θερμοκρασίας γίνεται κατά την έξοδο του αέρα από τον αγωγό και σε κάποια απόσταση από το σημείο θέρμανσης. Ο ελεγκτής της θερμοκρασίας που ρυθμίζει τη θέρμανση του αέρα είναι αναμενόμενο να έχει διαφοροποιημένη ένδειξη σε σχέση με την πραγματική μεταβολή της θερμοκρασίας κατά τη θέρμανση του αέρα κατά ένα χρονικό διάστημα d=l/v. Η συνάρτηση μεταφοράς k ds αυτού του συστήματος με νεκρό χρόνο είναι: G s e και για να μπορέσουμε να τη δηλώσουμε στο MATLAB s 1 χρειαζόμαστε την εντολή: >> sys_tf_c = tf ( ar, par, outputdelay, d). Δοκιμάστε να εισάγεται το σύστημα αυτό στο MATLAB για μεταβλητές k=1, τ=1, και d=0,5. Με τη χρήση του LTI viewer μπορούμε να δούμε την απόκριση του συστήματος σε βηματική είσοδο, καθώς και το διάγραμμα BODE για το σύστημα αυτό. Τα αποτελέσματα απεικονίζονται στις παρακάτω εικόνες. 10

12 6. Εισαγωγή στο Simulink Στην ενότητα αυτή θα κάνουμε μία εισαγωγή σε βασικές έννοιες του Simulink που περιέχει το MATLAB. Το Simulink μας δίνει τη δυνατότητα να φτιάξουμε εύκολα και γρήγορα μοντέλα συστημάτων ώστε να μπορούμε να δοκιμάσουμε τη συμπεριφορά τους. Για να ξεκινήσουμε το Simulink στη γραμμή εντολών του MATLAB πληκτρολογούμε την εντολή: >> simulink. Ανοίγει ένα μενού από επιλογές ώστε να μπορούμε να σχεδιάσουμε το σύστημα που μας ενδιαφέρει κάθε φορά. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να φτιάξουμε το μοντέλο του συστήματος κλειστού βρόγχου που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, όπου η συνάρτηση μεταφοράς του προς έλεγχο συστήματος είναι: Gs () 1 s 1 και η συνάρτηση K μεταφοράς του ελεγκτή είναι: Gc () s s. Για να φτιάξουμε το μοντέλο αυτό στο Simulink ανοίγουμε ένα καινούριο αρχείο και το σχεδιάζουμε βήμα προς βήμα. Εισάγουμε τις συναρτήσεις μεταφοράς και ρυθμίζουμε ανάλογα τις παραμέτρους με βάση τα δεδομένα μας και στη συνέχεια ακολουθώντας την αλληλουχία των παρακάτω εικόνων παίρνουμε το ολοκληρωμένο μοντέλο και ορίζουμε το σύστημα κλειστού βρόγχου να πάρει μια βηματική είσοδο. Για διάφορες τιμές του κέρδους Κ του ελεγκτή εξετάζουμε τη συμπεριφορά και την απόκριση του συστήματός μας. Παρακάτω εμφανίζεται η απόκριση του συστήματος για κέρδος Κ=1, Κ=3 και Κ=30. 11

13 1

14 13

15 7. Βαθμονόμηση PID Ελεγκτών Στην ενότητα αυτή θα κάνουμε μία εισαγωγή σε βασικές έννοιες που σχετίζονται με τη σχεδίαση και βαθμονόμηση PID ελεγκτών με τη χρήση του MATLAB. Η τυπική μορφή ενός PID ελεγκτή είναι u t u 0 P t I t D t, όπου ο πρώτος όρος σχετίζεται με τις αρχικές συνθήκες. Ο δεύτερος όρος περιγράφει το αναλογικό μέρος του ελεγκτή και είναι της μορφής Ο τρίτος όρος περιγράφει το ολοκληρωτικό μέρος του ελεγκτή και είναι της μορφής όρος περιγράφει το διαφορικό μέρος του ελεγκτή και είναι της μορφής D t kc D Για το σχεδιασμό του κατάλληλου ελεγκτή (κατάλληλη επιλογή των αντίστοιχων παραμέτρων) ακολουθούμε τα εξής βήματα. Αρχικά προσδιορίζουμε τα κρίσιμα μεγέθη του συστήματος (κρίσιμη συχνότητα και κρίσιμο κέρδος) και από εκεί εξάγουμε τις απαραίτητες πληροφορίες για το σύστημα που θέλουμε να ελέγξουμε. k P t kc e t. t c I t e d. Ο τελευταίος t0 I de t dt. Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα του συστήματος που φαίνεται στο διπλανό σχήμα, όπου το σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς 1 0.5s G() s e. Για το σύστημα αυτό με τη βοήθεια του s 1 διαγράμματος BODE προκύπτουν τα κρίσιμα μεγέθη: 3.67 K 3.80 και επομένως προκύπτει και η περίοδος P cr Ας δούμε ένα χρήσιμο πίνακα για τη βαθμονόμηση κατάλληλων ελεγκτών στηριγμένο πάνω στη μέθοδο Ziegler- Nichols. Ο πίνακας αυτός μας δίνει τους εμπειρικούς τύπους υπολογισμών των αντίστοιχων παραμέτρων των απαιτούμενων μερών του παραπάνω ελεγκτή για τις περιπτώσεις σχεδιασμού ελεγκτών P, PI, PID. cr cr, Άρα για να σχεδιάσουμε έναν PID ελεγκτή πρέπει να εστιάσουμε στην τελευταία γραμμή του παραπάνω πίνακα και να προσδιορίσουμε τις τιμές των παραμέτρων αντίστοιχα. Στο μοντέλο του Simulink που μπορούμε να κατασκευάσουμε για να ελέγξουμε τον PID ελεγκτή που σχεδιάσαμε, αντικαθιστούμε το μπλοκ του ελεγκτή που μέχρι τώρα αποτελούνταν από μία απλή συνάρτηση μεταφοράς με ένα νέο μπλοκ που αντιστοιχεί στο συγκεκριμέν ο ελεγκτή μας, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. cr

16 Εμείς καλούμαστε να ρυθμίσουμε και αυτήν τη φορά το μπλοκ αυτό στο μοντέλο του Simulink με τις κατάλληλες τιμές των παραμέτρων. Θέλει μια ιδιαίτερη προσοχή πώς εισάγουμε αυτές τις παραμέτρους. Συγκεκριμένα πρέπει να προσέξουμε τη μορφή που μας δηλώνει το Simulink (διπλανό σχήμα) ότι πρέπει να του δώσουμε τα δεδομένα. Ας ξεκινήσουμε με τη δήλωση του αναλογικού μέρους του ελεγκτή. Αυτό μπαίνει ως έχει με βάση τους υπολογισμούς μας στο πεδίο Proportional. Για το ολοκληρωτικό μέρος του ελεγκτή απαιτείται ένας υπολογισμός όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, και εισαγωγή του δεδομένου στο πεδίο Integral. Τέλος, για το διαφορικό μέρος του ελεγκτή ο υπολογισμός φαίνεται στο παρακάτω σχήμα και εισάγουμε το δεδομένο στο πεδίο Derivative. Επομένως, μετά τον κατάλληλο σχεδιασμό του ελεγκτή και με τη βοήθεια του μοντέλου στο Simulink παίρνουμε την απόκριση του συστήματος σε βηματκή είσοδο όπως στο παρακάτω σχήμα. 15

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Οκτώβριος 011 MATLAB

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink

Δυναμική Μηχανών I. Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink Δυναμική Μηχανών I 5 6 Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Σημαντική πληροφορία για τη συμπεριφορά και την ευστάθεια ενός γραμμικού συστήματος, παίρνεται, μελετώντας την απόκρισή του

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Το Maxima είναι ένα πρόγραμμα για την εκτέλεση μαθηματικών υπολογισμών, συμβολικών μαθηματικών χειρισμών, αριθμητικών υπολογισμών και γραφικών παραστάσεων. Το Maxima λειτουργεί

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Το πακέτο ΕXCEL: Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Eπιμέλεια των σημειώσεων και διδασκαλία: Ευαγγελία Χαλιώτη* Θέματα ανάλυσης: - Συναρτήσεις / Γραφικές απεικονίσεις - Πράξεις πινάκων - Συστήματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Για τη δημιουργία ενός διανύσματος με στοιχεία από το 0 μέχρι το 20 με βήμα το 2 (χρησιμοποιείται συνήθως για διανύσματα χρόνου) δίνουμε

Για τη δημιουργία ενός διανύσματος με στοιχεία από το 0 μέχρι το 20 με βήμα το 2 (χρησιμοποιείται συνήθως για διανύσματα χρόνου) δίνουμε Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Άσκηση 1 η Εισαγωγή στο Matlab 1 Άσκηση 1 η : Εισαγωγή στο Matlab Αντικείμενο Εξοικείωση με τις βασικές λειτουργίες του Matlab (πρόγραμμα αριθμητικής ανάλυσης και

Διαβάστε περισσότερα

Τοποθετήστε τη δισκέτα στο drive B και σε περιβάλλον MS-DOS πληκτρολογήστε: B:

Τοποθετήστε τη δισκέτα στο drive B και σε περιβάλλον MS-DOS πληκτρολογήστε: B: Συστήματα floppy disk Τοποθετήστε τη δισκέτα στο drive B και σε περιβάλλον MS-DOS πληκτρολογήστε: B: Συστήματα σκληρού δίσκου Οι χρήστες σκληρού δίσκου θα πρέπει να δημιουργήσουν ένα directory με το όνομα

Διαβάστε περισσότερα

Τυπικές χρήσεις της Matlab

Τυπικές χρήσεις της Matlab Matlab Μάθημα 1 Τι είναι η Matlab Ολοκληρωμένο Περιβάλλον Περιβάλλον ανάπτυξης Διερμηνευμένη γλώσσα Υψηλή επίδοση Ευρύτητα εφαρμογών Ευκολία διατύπωσης Cross platform (Wintel, Unix, Mac) Τυπικές χρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Βιομηχανικοί Ελεγκτές

Βιομηχανικοί Ελεγκτές Βιομηχανικοί Ελεγκτές Σημειώσεις Εργαστηρίου Έλεγχος Στάθμης Δοχείου με P.I.D. Ελεγκτή Περιεχόμενα 1. Τρόπος Εισαγωγής στο πρόγραμμα εξομοίωσης. 2. Τρόπος λειτουργίας εξομοιωτή. 3. Αναγνώριση ιδιοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink. Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος

Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink. Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος 1 Τι είναι τα Matlab και Simulink? Το Matlab (MATrix LABoratory) είναι ένα περιβάλλον επιστημονικού

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Καθ. Εφαρμογών: Σ. Βασιλειάδου Εργαστήριο Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου για Ηλεκτρολόγους Μηχανικούς Εργαστηριακές Ασκήσεις Χειμερινό

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 2013-14 (Ιούνιος 2014)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 2013-14 (Ιούνιος 2014) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 201314 (Ιούνιος 2014) ΘΕΜΑ 1 Ο (3,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό λειτουργικό διάγραμμα που περιγράφει ένα αναγνωριστικό αυτοκινούμενο

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση του Mathematica

Παρουσίαση του Mathematica Παρουσίαση του Mathematica Εργαστήριο Σκυλίτσης Θεοχάρης Καλαματιανός Ρωμανός Καπλάνης Αθανάσιος Ιόνιο Πανεπιστήμιο (www.ionio.gr)( Εισαγωγή Σύμβολα πράξεων ή συναρτήσεων: Πρόσθεση + Αφαίρεση - Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ

ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε Πτυχιακή εργασία ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΘΕΣΗΣ ΓΡΑΦΙΔΑΣ ΕΚΤΥΠΩΤΗ ΕΚΠΟΝΗΣΗ: ΚΟΛΙΩΤΣΑ ΜΑΡΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΤΣΙΡΙΓΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη Αναφορά σε Βασικές Έννοιες Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων

Σύντομη Αναφορά σε Βασικές Έννοιες Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών: «Τεχνολογίες και Συστήματα Ευρυζωνικών Εφαρμογών και Υπηρεσιών» Μάθημα: «Επεξεργασία Ψηφιακού Σήματος και Σχεδιασμός Υλικού» Σύντομη Αναφορά σε Βασικές Έννοιες Ψηφιακής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τίτλος Μαθήματος Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

M files RCL Κυκλώματα

M files RCL Κυκλώματα M files RCL Κυκλώματα Στο MATLAB γράφουμε τις δικές μας εντολές και προγράμματα μέσω αρχείων που καλούνται m-files. Έχουν το επίθεμα.m π.χ compute.m Υπάρχουν δύο είδη m-files: τα αρχεία script (script

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου

Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 3, Ενότητες 3. 3.8 Παρασκευόπουλος [5]:

Διαβάστε περισσότερα

To SIMULINK του Matlab

To SIMULINK του Matlab ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Β ΧΗΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΘ. Κ. ΚΥΠΑΡΙΣΣΙΔΗΣ, ΛΕΚΤΟΡΑΣ Χ. ΧΑΤΖΗΔΟΥΚΑΣ Τ.Θ. 472 54 124 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Μάθημα: ΡΥΘΜΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ακαδ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID. Ελεγκτής τριών όρων Η συνάρτηση μεταφοράς του PID ελεγκτή είναι η ακόλουθη:

ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID. Ελεγκτής τριών όρων Η συνάρτηση μεταφοράς του PID ελεγκτή είναι η ακόλουθη: ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID Εισαγωγή Αυτό το βοήθημα θα σας δείξει τα χαρακτηριστικά καθενός από τους τρεις ελέγχους ενός PID ελεγκτή, του αναλογικού (P), του ολοκληρωτικού (I) και του διαφορικού (D) ελέγχου, καθώς και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ 7 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Αντιστοιχεί σε πραγματικό πόλο: j j j Έτσι το μέτρο: ιαγράμματα χρήση ασυμπτώτων τομή τους

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Η Mathematica είναι ένα ολοκληρωμένο μαθηματικό πακέτο με πάρα πολλές δυνατότητες σε σχεδόν όλους τους τομείς των μαθηματικών (Άλγεβρα, Θεωρία συνόλων, Ανάλυση,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα αυτομάτου ελέγχου (ΙΙ) Modern Control Theory

Συστήματα αυτομάτου ελέγχου (ΙΙ) Modern Control Theory Σ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Συστήματα αυτομάτου ελέγχου (ΙΙ) Modern Control Theory (Προσομοίωση δυναμικών συστημάτων) Διδάσκων : Αναπληρωτής Καθηγητής 1 Προσομοίωση δυναμικών συστημάτων Θα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

Έναρξη Τερματισμός του MatLab

Έναρξη Τερματισμός του MatLab Σύντομος Οδηγός MATLAB Β. Χ. Μούσας 1/6 Έναρξη Τερματισμός του MatLab Η έναρξη της λειτουργίας του MatLab εξαρτάται από το λειτουργικό σύστημα. Στα συστήματα UNIX πληκτρολογούμε στη προτροπή του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής ver. 0.2 10/2012 Εισαγωγή στο Simulink Το SIMULINK είναι ένα λογισµικό πακέτο που επιτρέπει τη µοντελοποίηση, προσοµοίωση οίωση

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 475 ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ Μαστρογιάννης Αθανάσιος Εκπαιδευτικός Δευτεροβάθμιας

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων Πίνακες Ένας πίνακας είναι μια δισδιάστατη λίστα από αριθμούς. Για να δημιουργήσουμε ένα πίνακα στο Matlab εισάγουμε κάθε γραμμή σαν μια ακολουθία αριθμών που ξεχωρίζουν με κόμμα (,) ή κενό (space) και

Διαβάστε περισσότερα

Γενικός τρόπος σύνταξης: Όνομα_συνάρτησης(όρισμα1,όρισμα2,,όρισμαΝ) Η ονομασία τους είναι δεσμευμένη. Παραδείγματος χάριν: sin(x) cos(x) tan(x) exp(x)

Γενικός τρόπος σύνταξης: Όνομα_συνάρτησης(όρισμα1,όρισμα2,,όρισμαΝ) Η ονομασία τους είναι δεσμευμένη. Παραδείγματος χάριν: sin(x) cos(x) tan(x) exp(x) Εσωτερικές (built-in) συναρτήσεις του Matlab Γενικός τρόπος σύνταξης: Όνομα_συνάρτησης(όρισμα1,όρισμα2,,όρισμαΝ) Επιτελούν διάφορες προκαθορισμένες λειτουργίες Η ονομασία τους είναι δεσμευμένη Παραδείγματος

Διαβάστε περισσότερα

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ένα σύστηµα εκκρεµούς όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα: Πάνω στη µάζα Μ επιδρά µια οριζόντια δύναµη F l την οποία και θεωρούµε σαν είσοδο στο σύστηµα. Έξοδος του συστήµατος θεωρείται η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο GNU Octave/MATLAB

Εισαγωγή στο GNU Octave/MATLAB Εισαγωγή στο GNU Octave/MATLAB Δρ. Βασίλειος Δαλάκας Καλώς ήρθατε στο εργαστήριο Σημάτων και Συστημάτων με το λογισμικό Octave (Οκτάβα). Οι σημειώσεις αυτές έχουν βασιστεί στις σημειώσεις του εργαστηρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Laplace

Μετασχηματισμοί Laplace Μετασχηματισμοί Laplace Ιδιότητες μετασχηματισμών Laplace Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f(t) F(s) δ(t) 1 u(t) 1 / s t 1 / s 2 t n n! / s n1 e αt, α>0 1 / (s α) te αt, α>0 1 / (s α) 2 ημωt ω / (s

Διαβάστε περισσότερα

Ηβασική δοµή δεδοµένων είναι ο πίνακας που δεν χρειάζεται να οριστεί η διάσταση του.

Ηβασική δοµή δεδοµένων είναι ο πίνακας που δεν χρειάζεται να οριστεί η διάσταση του. MATrix LABoratory Ηβασική δοµή δεδοµένων είναι ο πίνακας που δεν χρειάζεται να οριστεί η διάσταση του. Τι είναι το MATLAB ; Μια γλώσσα υψηλού επιπέδου η οποία είναι χρήσιµη για τεχνικούς υπολογισµούς.

Διαβάστε περισσότερα

Τρισδιάστατος Τόπος των Ριζών

Τρισδιάστατος Τόπος των Ριζών Τρισδιάστατος Τόπος των Ριζών Το διάγραμμα του τόπου των ριζών έχει εξελιχθεί σε ένα τυπικό εργαλείο για την σχεδίαση συστημάτων ελέγχου. Λίγοι όμως από τους σπουδαστές γνωρίζουν ότι το διάγραμμα του τόπου

Διαβάστε περισσότερα

SMART Notebook Math Tools

SMART Notebook Math Tools SMART Notebook Math Tools Windows λειτ ουργικά συστ ήματ α Εγχειρίδιο Χρήστ η Σημείωση για το εμπορικό σήμα Τα SMART Board, SMART Notebook, smarttech, το λογότυπο SMART και όλα τα σλόγκαν SMART είναι εμπορικά

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Ψηφιακή Επεξεργασία Ήχου

Μάθημα: Ψηφιακή Επεξεργασία Ήχου Τμήμα Τεχνών Ήχου και Εικόνας Ιόνιο Πανεπιστήμιο Μάθημα: Ψηφιακή Επεξεργασία Ήχου Εργαστηριακή Άσκηση 1 «Διαχείριση και Δημιουργία Βασικών Σημάτων, Δειγματοληψία και Κβαντισμός» Διδάσκων: Φλώρος Ανδρέας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) Άσκηση 1. Α) Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος την χρονική στιγμή t=0 sec ο διακόπτης κλείνει. Βρείτε τα v c και i c. Οι πυκνωτές είναι αρχικά αφόρτιστοι. Β)

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόγραμμα συγχρηματοδοτείται 75% από το Ευρωπαϊκό κοινωνικό ταμείο και 25% από εθνικούς πόρους.

Το πρόγραμμα συγχρηματοδοτείται 75% από το Ευρωπαϊκό κοινωνικό ταμείο και 25% από εθνικούς πόρους. Το πρόγραμμα συγχρηματοδοτείται 75% από το Ευρωπαϊκό κοινωνικό ταμείο και 25% από εθνικούς πόρους. ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ, ΧΗΜΕΙΑΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ORIGIN ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Θεωρία και Εφαρμογές

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Θεωρία και Εφαρμογές Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Θεωρία και Εφαρμογές Διδακτικές Σημειώσεις Τμήματος Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τομέας Αρχιτεκτονικής Υπολογιστικών και Βιομηχανικών εφαρμογών Δρ. Βολογιαννίδης Σταύρος email:

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά στοιχεία του MATLAB

Βασικά στοιχεία του MATLAB ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Εξοικείωση µε το περιβάλλον του MATLAB και χρήση βασικών εντολών και τεχνικών δηµιουργίας προγραµµάτων, συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ. Κινητική του υλικού σηµείου Ερωτήσεις Ασκήσεις

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ. Κινητική του υλικού σηµείου Ερωτήσεις Ασκήσεις ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Κινητική του υλικού σηµείου Ερωτήσεις Ασκήσεις Α. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Να γράψετε στο φύλλο των απαντήσεών

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 2014

Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 2014 Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 204 ΘΕΜΑ Ο (2,0 μονάδες) Η διαδικασία διεύθυνσης ενός αυτοκινήτου κατά την οδήγησή του μπορεί να περιγραφεί με ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου κλειστού βρόχου.

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΜΚ 105: Πειραματική και Στατιστική Ανάλυση Δημιουργία Πινάκων και Γραφικών Παραστάσεων στην Excel 18/09/14

ΜΜΚ 105: Πειραματική και Στατιστική Ανάλυση Δημιουργία Πινάκων και Γραφικών Παραστάσεων στην Excel 18/09/14 ΜΜΚ 105: Πειραματική και Στατιστική Ανάλυση Δημιουργία Πινάκων και Γραφικών Παραστάσεων στην Excel 18/09/14 1. Δημιουργία Πίνακα 1.1 Εισαγωγή μετρήσεων και υπολογισμός πράξεων Έστω ότι χρειάζεται να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 26 Γραφικά δύο διαστάσεων... 11. 27 Γραφικά τριών διαστάσεων... 45

Περιεχόμενα. 26 Γραφικά δύο διαστάσεων... 11. 27 Γραφικά τριών διαστάσεων... 45 Περιεχόμενα 26 Γραφικά δύο διαστάσεων... 11 26.1 Η συνάρτηση plot...11 26.2 Στυλ γραμμών, σημειωτές, και χρώματα...14 26.3 Κάνναβοι διαγραμμάτων, πλαίσιο αξόνων, και ετικέτες...16 26.4 Προσαρμογή αξόνων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ Σ.Α.Ε. µε χρήση του CONTROL SYSTEM TOOLBOX του MATLAB

ΜΕΛΕΤΗ Σ.Α.Ε. µε χρήση του CONTROL SYSTEM TOOLBOX του MATLAB Σ.Ν.. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑΣ ο Έτος ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΜΕΛΕΤΗ Σ.Α.Ε. µε χρήση του CONTROL SYSTEM TOOLBOX του MATLAB - Σύντοµη εισαγωγή στο Control System Toolbox - Παρουσίαση Εφαρµογών ( συνοδεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.)

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση είναι ένας έτοιμος τύπος ο οποίος δέχεται σαν είσοδο τιμές ή συνθήκες και επιστρέφει ένα αποτέλεσμα, το οποίο μπορεί να είναι μια τιμή αριθμητική, αλφαριθμητική, λογική, ημερομηνίας

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1: ΧΡΩΜΑΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΗ 1: ΧΡΩΜΑΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1: ΧΡΩΜΑΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΚΙΤΡΙΝΟ (4), ΠΡΑΣΙΝΟ (5), ΠΟΡΤΟΚΑΛΙ (x1000), ΑΣΗΜΙ (10%) ΤΙΜΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ: 45 x10 3 Ω=45kΩ, ΑΚΡΙΒΕΙΑ =10% Γράψτε κώδικα matlab ο οποίος θα διαβάζει το

Διαβάστε περισσότερα

SMART Notebook 11.1 Math Tools

SMART Notebook 11.1 Math Tools SMART Ntebk 11.1 Math Tls Λειτουργικά συστήματα Windws Οδηγός χρήστη Δήλωση προϊόντος Αν δηλώσετε το προϊόν SMART, θα σας ειδοποιήσουμε για νέα χαρακτηριστικά και αναβαθμίσεις λογισμικού. Κάντε τη δήλωση

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier 1 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο της επεξεργασίας σήματος αλλά και συχνή αιτία πονοκεφάλου για όσους πρωτοασχολούνται

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Συστηµάτν Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 11.1 Γενικά περί συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μια συνήθης διαφορική εξίσωση (ΣΔΕ) 1 ης τάξης έχει τη μορφή dy d = f (, y()) όπου f(, y) γνωστή και y() άγνωστη συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρωµένο Περιβάλλον Σχεδιασµού Και Επίδειξης Φίλτρων

Ολοκληρωµένο Περιβάλλον Σχεδιασµού Και Επίδειξης Φίλτρων Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων 20 Ολοκληρωµένο Περιβάλλον Σχεδιασµού Και Επίδειξης Φίλτρων Α. Εγκατάσταση Αφού κατεβάσετε το συµπιεσµένο αρχείο µε το πρόγραµµα επίδειξης, αποσυµπιέστε το σε ένα κατάλογο µέσα

Διαβάστε περισσότερα

ηµιουργία αρχείου στον matlab editor Πληκτρολόγηση ακολουθίας εντολών

ηµιουργία αρχείου στον matlab editor Πληκτρολόγηση ακολουθίας εντολών Προγραµµατισµός Αρχεία εντολών (script files) Τυπικό hello world πρόγραµµα σε script ηµιουργία αρχείου στον matlab editor Πληκτρολόγηση ακολουθίας εντολών disp( ( 'HELLO WORLD!'); % τυπική εντολή εξόδου

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη Μιγαδικών Αριθμών

Επανάληψη Μιγαδικών Αριθμών Σήματα και Συστήματα ΗΜΥ0 //006 Επανάληψη Μιγαδικών Αριμών Δημήτρης Ηλιάδης, eldemet@ucy.ac.cy Που χρησιμεύει: Από τη εωρία των Σειρών Fourier, γνωρίζουμε πως οποιοδήποτε περιοδικό σήμα ανεξαρτήτως πολυπλοκότητας,

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση της πρωτοβάθμιας εξίσωσης με χρήση πλαισίων κειμένου και κουμπιών. Με το σετ αυτών των 4 εντολών τι κάνω ; Διαβάζω τις 2 μεταβλητές α και β.

Επίλυση της πρωτοβάθμιας εξίσωσης με χρήση πλαισίων κειμένου και κουμπιών. Με το σετ αυτών των 4 εντολών τι κάνω ; Διαβάζω τις 2 μεταβλητές α και β. Επίλυση της πρωτοβάθμιας εξίσωσης με χρήση πλαισίων κειμένου και κουμπιών. Οι βασικές εντολές επίλυσης της πρωτοβάθμιας εξίσωσης είναι: 1. Ερώτηση [δώσε το α] 2. Κάνε α απάντηση 3. Ερώτηση [δώσε το β]

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟ MICROSOFT EXCEL 2003

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟ MICROSOFT EXCEL 2003 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟ MICROSOFT EXCEL 2003 Μία από τις βασικές λειτουργίες του Excel είναι και η παραγωγή γραφημάτων για την απεικόνιση επεξεργασμένων αριθμητικών δεδομένων στα φύλλα εργασίας.

Διαβάστε περισσότερα

Χρήση του Simulation Interface Toolkit για την Εξομοίωση και Πειραματισμό Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Χρήση του Simulation Interface Toolkit για την Εξομοίωση και Πειραματισμό Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Χρήση του Simulation Interface Toolkit για την Εξομοίωση και Πειραματισμό Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Γ. Νικολακόπουλος, Μ. Κουνδουράκης, Α. Τζες και Γ. Γεωργούλας Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Εκτελώντας το πρόγραμμα παίρνουμε ένα παράθυρο εργασίας Γεωμετρικών εφαρμογών. Τα βασικά κουμπιά και τα μενού έχουν την παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η χρονική απόκριση μπορεί να ληφθεί από αναλυτικά μέσα όπως η μέθοδος μετασχηματισμού Laplace, εναλλακτικά δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί εξομοίωση από Η/Υ. Η προσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μια από τις πιο όμορφες εφαρμογές του τριωνύμου στη φυσική είναι η μεγιστοποίηση κάποιου μεγέθους μέσα από αυτό. Η ιδέα απλή και βασίζεται στη λογική επίλυσης του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

12ο ΓΕΛ ΠΕΙΡΑΙΑ Οµάδα Α. Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση:

12ο ΓΕΛ ΠΕΙΡΑΙΑ Οµάδα Α. Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: 12ο ΓΕΛ ΠΕΙΡΑΙΑ Οµάδα Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α ΤΕΤΡ/ΝΟΥ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ονοµατεπώνυµο: Τµήµα: Ηµεροµηνία: 17/12/2010 Ζήτηµα 1ο Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: 1) Μια

Διαβάστε περισσότερα

MATLAB. Λογισµικό υλοποίησης αλγορίθµων και διεξαγωγής υπολογισµών.

MATLAB. Λογισµικό υλοποίησης αλγορίθµων και διεξαγωγής υπολογισµών. MATLAB Tι είναι το λογισµικό MATLAB? Λογισµικό υλοποίησης αλγορίθµων και διεξαγωγής υπολογισµών. Σύστηµα αλληλεπίδρασης µε τοχρήστηγια πραγµατοποίηση επιστηµονικών υπολογισµών (πράξεις µε πίνακες επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 3 Καθηγητής Χ. Χαμζάς Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα.3- ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ένα διακριτό discree ή ψηφιακό digial σύστημα είναι μία διαδικασία προσδιορισμού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας 6 Ncola Tapaoul Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 4 Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

POWERPOINT 2003. Είναι το δημοφιλέστερο πρόγραμμα παρουσιάσεων.

POWERPOINT 2003. Είναι το δημοφιλέστερο πρόγραμμα παρουσιάσεων. POWERPOINT 2003 1. Τι είναι το PowerPoint (ppt)? Είναι το δημοφιλέστερο πρόγραμμα παρουσιάσεων. 2. Τι δυνατότητες έχει? Δημιουργία παρουσίασης. Μορφοποίηση παρουσίασης. Δημιουργία γραφικών. Δημιουργία

Διαβάστε περισσότερα