Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Κάποια Αντιπροσωπευτικά Προβλήµατα. Έκδοση 1.3, 29/02/2012. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Κάποια Αντιπροσωπευτικά Προβλήµατα. Έκδοση 1.3, 29/02/2012. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne."

Transcript

1 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή: Κάποια Αντιπροσωπευτικά Προβλήµατα Έκδοση 1.3, 29/02/2012 Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1

2 1.1 Ένα πρώτο πρόβληµα: Ευσταθές Ταίριασµα

3 Ταίριασµα Γιατρών µε Νοσοκοµεία Στόχος. Δεδοµένου ενός συνόλου προτιµήσεων µεταξύ νοσοκοµείων και νέων γιατρών, να σχεδιάσουµε µία αυτοεπιβαλλόµενη (self-reinforcing) διαδικασία προσλήψεων. Ασταθές ζευγάρι: το ζευγάρι υποψήφιος x και νοσοκοµείο y είναι ασταθές εάν: ο x προτιµάει το y σε σχέση µε το νοσοκοµείο στο οποίο έχει προσληφθεί. το y προτιµάει τον x σε σχέση µε κάποιον από τους υποψηφίους που έχει επιλέξει. Ευσταθής ανάθεση. Ανάθεση που δεν περιλαµβάνει ασταθή ζευγάρια. Είναι µια φυσική και λογική απαίτηση. Η επιθυµία/προτίµηση κάθε οντότητας (υποψήφιος ή νοσοκοµείο) να κρατήσει την τρέχουσα επιλογή του θα εµποδίσει οποιαδήποτε αλλαγή στην τρέχουσα ανάθεση. 3

4 το πρόβληµα του ευσταθούς ταιριάσµατος Σκοπός. Δίνονται n άντρες και n γυναίκες και ζητείται ένα κατάλληλο" ταίριασµα. Κάθε άτοµο βαθµολογεί τα άτοµα του αντίθετου φύλου. Κάθε άντρας απαριθµεί τις γυναίκες σε φθίνουσα σειρά προτίµησης. Κάθε γυναίκα απαριθµεί τους άντρες σε φθίνουσα σειρά προτίµησης. 1η προτίµηση 3η προτίµηση 1η προτίµηση 3η προτίµηση 1 st 2 nd 3 rd Φώτης Άννα Βίκυ Γιώτα Χάρης Βίκυ Άννα Γιώτα Τάκης Άννα Βίκυ Γιώτα προτιµήσεις των αντρών 1 st 2 nd 3 rd Άννα Χάρης Φώτης Τάκης Βίκυ Φώτης Χάρης Τάκης Γιώτα Φώτης Χάρης Τάκης προτιµήσεις των γυναικών 4

5 ευσταθές ταίριασµα τέλειο ταίριασµα: ο καθένα αντιστοιχίζεται µονογαµικά. Κάθε άντρας παίρνει ακριβώς µία γυναίκα. Κάθε γυναίκα παίρνει ακριβώς έναν άντρα. ευστάθεια: δεν υπάρχει ζευγάρι µε κίνητρο να υπονοµεύσει την αντιστοίχιση µε συνδυασµένη ενέργεια. Σε ταίριασµα M, ένα ζευγάρι m-w που δεν έχει συνδεθεί είναι ασταθές εάν ο άντρας m και η γυναίκα w προτιµούν ο ένας τον άλλο σε σχέση µε τους τρέχοντες συντρόφους τους. Οι m και w από το ασταθές ζευγάρι m-w θα ωφεληθούν αµοιβαία εάν κλεφτούν. ευσταθές ταίριασµα: ένα τέλειο ταίριασµα χωρίς ασταθή ζευγάρια. το πρόβληµα του ευσταθούς ταιριάσµατος: δεδοµένων των προτιµήσεων n αντρών και n γυναικών, να βρεθεί ένα σταθερό ταίριασµα, εάν υπάρχει. 5

6 ευσταθές ταίριασµα Ερώτηση. Είναι το ταίριασµα Φ-Γ, Χ-B, Τ-A ευσταθές; 1η προτίµηση 3η προτίµηση 1η προτίµηση 3η προτίµηση 1 st 2 nd 3 rd Φώτης Άννα Βίκυ Γιώτα Χάρης Βίκυ Άννα Γιώτα Τάκης Άννα Βίκυ Γιώτα προτιµήσεις των αντρών 1 st 2 nd 3 rd Άννα Χάρης Φώτης Τάκης Βίκυ Φώτης Χάρης Τάκης Γιώτα Φώτης Χάρης Τάκης προτιµήσεις των γυναικών 6

7 ευσταθές ταίριασµα Ε. Είναι το ταίριασµα Φ-Γ, Χ-B, Τ-A ευσταθές; A. Όχι. Η Βίκυ και ο Φώτης θα τα φτιάξουν. 1η προτίµηση 3η προτίµηση 1η προτίµηση 3η προτίµηση 1 st 2 nd 3 rd 1 st 2 nd 3 rd Φώτης Άννα Βίκυ Γιώτα Χάρης Βίκυ Άννα Γιώτα Τάκης Άννα Βίκυ Γιώτα προτιµήσεις των αντρών Άννα Χάρης Φώτης Τάκης Βίκυ Φώτης Χάρης Τάκης Γιώτα Φώτης Χάρης Τάκης προτιµήσεις των γυναικών 7

8 ευσταθές ταίριασµα Ε. Είναι το ταίριασµα Φ-A, Χ-B, Τ-Γ ευσταθές; A. Ναι. 1η προτίµηση 3η προτίµηση 1η προτίµηση 3η προτίµηση 1 st 2 nd 3 rd 1 st 2 nd 3 rd Φώτης Άννα Βίκυ Γιώτα Χάρης Βίκυ Άννα Γιώτα Τάκης Άννα Βίκυ Γιώτα προτιµήσεις των αντρών Άννα Χάρης Φώτης Τάκης Βίκυ Φώτης Χάρης Τάκης Γιώτα Φώτης Χάρης Τάκης προτιµήσεις των γυναικών 8

9 το πρόβληµα του ευσταθούς συγκατοίκου Ε. Υπάρχουν πάντοτε ευσταθή ταιριάσµατα; A. Η απάντηση δεν είναι προφανής. πρόβληµα ευσταθούς συγκατοίκου. 2n άτοµα, και κάθε άτοµο απαριθµεί τους υπόλοιπους σε φθίνουσα σειρά προτίµησης από το 1 έως το 2n-1. να αναθέσουµε συγκατοίκους ώστε να µην υπάρχουν ασταθή ζευγάρια. 1 st 2 nd 3 rd Σε ορολογία θεωρίας παιγνίων: είναι ο πυρήνας (core) του συνεργατικού παιγνίου µη-κενός; Αδάµ Βασίλης Γιώργος Β Γ A Γ A Β Δ Δ Δ A-B, Γ-Δ A-Γ, B-Δ A-Δ, B-Γ B-Γ ασταθές A-B ασταθές A-Γ ασταθές Δηµήτρης A Β Γ Παρατήρηση. Ευσταθή ταιριάσµατα µπορεί να µην υπάρχουν πάντοτε για το πρόβληµα του ευσταθούς συγκατοίκου. 9

10 Αλγόριθµος Propose-And-Reject Αλγόριθµος Propose-and-Reject. [Gale-Shapley 1962] Μια µέθοδος που βρίσκει ένα ευσταθές ταίριασµα. Αρχικά όλα τα άτοµα είναι ελεύθερα. while (κάποιος άνδρας είναι ελεύθερος και υπάρχει γυναίκα στην οποία δεν έχει προτείνει) { Επέλεξε έναν τέτοιο άνδρα w = 1 η στη λίστα του m, από όσες δεν έχει προτείνει ακόµα if (w είναι ελεύθερη) αρραβωνιάζονται οι m και w else if (w προτιµάει m από τον τωρινό αρραβωνιαστικό της m') αρραβωνιάζονται οι m και w, και ο m' µένει ελεύθερος else w απορρίπτει την πρόταση του m } 10

11 απόδειξη ορθότητας: Τερµατισµός Παρατήρηση 1. Οι άντρες κάνουν προτάσεις στις γυναίκες σε φθίνουσα σειρά προτίµησης. Παρατήρηση 2. Αφότου αρραβωνιαστεί πρώτη φορά µια γυναίκα δεν µένει ξανά µόνη. Μπορεί απλά να αντικαθιστά τον αρραβώνα της µε αρραβώνα µεγαλύτερης προτίµησης. Ισχυρισµός. Ο αλγόριθµος τερµατίζει µετά από το πολύ n 2 επαναλήψεις του βρόχου while. Απ. Με κάθε εκτέλεση του βρόχου while ένας άντρας κάνει πρόταση σε µία γυναίκα. Υπάρχουν n 2 πιθανές προτάσεις. Ισχυρισµός. Στο παρακάτω παράδειγµα οι προτιµήσεις έχουν επιλεγεί έτσι ώστε ο αλγόριθµος Gale-Shapley να εκτελέσει πολλές φορές το βρόχο while (εάν κάνουν προτάσεις οι άντρες). 1 st 2 nd 3 rd 4 th 5 th 1 st 2 nd 3 rd 4 th 5 th Κώστας A B Γ Δ E Άννα Η Φ Χ Τ Κ Ηλίας B Γ Δ A E Βίκυ Φ Χ Τ Κ Η Φώτης Γ Δ A B E Γιώτα Χ Τ Κ Η Φ Χάρης Δ A B Γ E Δανάη Τ Κ Η Φ Χ Τάκης A B Γ Δ E Ελένη Κ Η Φ Χ Τ απαιτούνται n(n-1) + 1 προτάσεις 11

12 απόδειξη ορθότητας: τέλειο ταίριασµα Ισχυρισµός. Όλοι οι άντρες και όλες οι γυναίκες αποκτούν ταίρι. Pf. (απαγωγή σε άτοπο) Υποθέτουµε, για την απαγωγή σε άτοπο, ότι ο Τάκης δεν έχει ταίρι όταν τερµατίσει ο αλγόριθµος. Αυτό σηµαίνει ότι θα υπάρχει κάποια γυναίκα, πχ. η Άννα που επίσης δε θα έχει ταίρι όταν τερµατίσει ο αλγόριθµος. Από την παρατήρηση 2, η Άννα δεν έχει δεχθεί καµία πρόταση. Όµως, ο Τάκης έχει προτείνει σε όλες, εφόσον καταλήγει να είναι χωρίς ταίρι. 12

13 απόδειξη ορθότητας: ευστάθεια Ισχυρισµός. Δεν υπάρχουν ασταθή ζευγάρια. Απόδειξη. (απαγωγή σε άτοπο) Έστω ότι σε ένα ταίριασµα S* που υπολογίστηκε µε τον αλγόρθµο Gale- Shapley υπάρχουν δύο ασταθή ζευγάρια m-w και m -w για τα οποία ισχύει: Ο m προτιµά την w από την w και η w προτιµά τον m από τον m. Περίπτωση 1: Ο m δεν πρότεινε στην w. Ο m προτιµάει την w του έναντι της w. το m-w είναι ευσταθές. οι άντρες κάνουν προτάσεις σε φθίνουσα σειρά προτίµησης S* Άννα-Χάρης Βίκυ-Τάκης... Περίπτωση 2: Ο m έκανε πρόταση στην w. η w απέρριψε τον m (άµεσα ή µετά από λίγο) η w προτιµάει το m της έναντι του m. το m -w είναι ευσταθές. οι γυναίκες µόνο βελτιώνουν τον αρραβώνα τους Σε κάθε περίπτωση λοιπόν, το m-w είναι ευσταθές άτοπο. 13

14 σύνοψη Πρόβληµα ευσταθούς ταιριάσµατος. Δίνονται n άντρες και n γυναίκες και οι προτιµήσεις τους και ζητείται να βρεθεί ένα ευσταθές ταίριασµα, εάν υπάρχει. Αλγόριθµος Gale-Shapley. Εγγυάται την εύρεση ευσταθούς ταιριάσµατος για κάθε στιγµιότυπο του προβλήµατος. Ερώτηµα. Πως θα υλοποιήσουµε τον αλγόριθµο GS αποδοτικά; Ερώτηµα. Εάν υπάρχουν περισσότερα του ενός ευσταθή ταιριάσµατα, ποιο θα βρει ο αλγόριθµος GS; 14

15 αποδοτική υλοποίηση αποδοτική υλοποίηση. Θα περιγράψουµε µια υλοποίηση µε πολυπλοκότητα χρόνου O(n 2 ). Αναπαράσταση αντρών και γυναικών. Ας ονοµάσουµε τους άντρες 1,, n. Ας ονοµάσουµε τις γυναίκες 1',, n'. Αρραβώνες. Διατηρούµε µια λίστα ελεύθερων αντρών, πχ., δε µια ουρά (queue). Διατηρούµε δύο πίνακες wife[m], and husband[w]. δίνουµε σε ένα κελί στην τιµή 0 εάν το αντίστοιχο άτοµο είναι ελεύθερο εάν ο m αρραβωνιαστεί µε την w τότε wife[m]=w και husband[w]=m Οι άντρες κάνουν προτάσεις. Για κάθε άντρα, διατηρούµε µια λίστα γυναικών, διατεταγµένη µε βάση τις προτιµήσεις του. Διατηρούµε έναν πίνακα count[m] που καταγράφει το πλήθος των προτάσεων που έκανε κάθε άντρας m. 15

16 αποδοτική υλοποίηση Οι γυναίκες αποδέχονται/απορρίπτουν. Προτιµάει η γυναίκα w τον άντρα m από τον άντρα m'? Για κάθε γυναίκα, δηµιουργούµε µια αντίστροφη λίστα προτιµήσεων µε τους άντρες. Απαιτείται O(n) χρόνος προ-επεξεργασίας για την αντιστροφή. Μετά µπορούµε να αποφασίσουµε σε σταθερό χρόνο (constant time) εάν µια γυναίκα προτιµάει έναν άντρα έναντι ενός άλλου. Amy 1 st 2 nd 3 rd 4 th 5 th 6 th 7 th 8 th Pref Amy Inverse 4 th 8 th 2 nd 5 th 6 th 7 th 3 rd 1 st for i = 1 to n inverse[pref[i]] = i Η Άννα προτιµάει τον άντρα 3 από τον άντρα 6, εφόσον inverse[3] < inverse[6]

17 κατανόηση της λύσης Ερώτηµα. Για συγκεκριµένο στιγµιότυπο του προβλήµατος ενδέχεται να υπάρχουν περισσότερα του ενός ευσταθή ταιριάσµατα. Κάθε εκτέλεση του αλγορίθµου Gale-Shapley δίνει το ίδιο ευσταθές ταίριασµα (εάν για παράδειγµα εξετάσουµε τους άντρες µε διαφορετική σειρά); Εάν ναι, τότε ποιο είναι αυτό το ευσταθές ταίριασµα; Ένα στιγµιότυπο µε δύο ευσταθή ταιριάσµατα. A-Φ, B-Χ, C-Τ. A-Χ, B-Φ, C-Τ. 1 st 2 nd 3 rd 1 st 2 nd 3 rd Φώτης A B Γ Άννα Χ Φ Τ Χάρης B A Γ Βίκυ Φ Χ Τ Τάκης A B Γ Γιώτα Φ Χ Τ 17

18 κατανόηση της λύσης Ερώτηµα. Για δεδοµένο στιγµιότυπο του προβλήµατος, µπορεί να υπάρχουν αρκετά ευσταθή ταιριάσµατα. Όλες οι εκτελέσεις του αλγορίθµου Gale- Shapley δίνουν το ίδιο ευσταθές ταίριασµα; Αν ναι, τότε ποιο είναι αυτό το ευσταθές ταίριασµα? Ορισµός. Ο άντρας m είναι ένας έγκυρος σύντροφος της γυναίκας w εάν υπάρχει κάποιο ευσταθές ταίριασµα στο οποίο ο m και η w είναι ζευγάρι. Ανάθεση βέλτιστη για τους άντρες. Κάθε άντρας γίνεται ζευγάρι µε την καλύτερη (υψηλότερη στις προτιµήσεις του) από τις έγκυρες συντρόφους του. Ισχυρισµός. Όλες οι εκτελέσεις του αλγορίθµου GS δίνουν ανάθεση βέλτιστη για τους άντρες, η οποία είναι ένα ευσταθές ταίριασµα! Είναι µάλλον µη αναµενόµενο ότι η ανάθεση που βέλτιστη για τους άντρες είναι τέλεια (όλοι οι άντρες έχουν ταίρι), πολύ περισσότερο δε ότι είναι και ευσταθής (ή µήπως είναι αναµενόµενο αυτό;). Ταυτόχρονα βέλτιστη για κάθε έναν και για όλους τους άντρες. 18

19 βέλτιστο για τους άντρες Ισχυρισµός. Το ταίριασµα S* του αλγορίθµου GS είναι βέλτιστο για τους άντρες. Απόδειξη. (µε απαγωγή σε άτοπο) Έστω ότι στο ευσταθές ταίριασµα S* που υπολογίστηκε µε τον αλγόριθµο GS υπάρχουν ένας ή περισσότεροι άντρες που δεν έχουν γίνει ζευγάρι µε τη βέλτιστη σύντροφό τους. Όλοι οι άντρες κάνουν προτάσεις σε φθίνουσα κάποιος άντρας απορρίπτεται από µία έγκυρη σύντροφό του κατά την εκτέλεση του αλγορίθµου GS. Έστω ότι m είναι ο πρώτος άντρας που απορρίφθηκε από άλλη έγκυρη σύντροφό του (η οποία υποχρεωτικά θα είναι υψηλότερης προτίµησης για τον m). Έστω w η πρώτη έγκυρη σύντροφος του m που τον απέρριψε. S Έστω ότι στο S* όταν η w απορρίπτει τον m, Άννα-Χάρης συνάπτει δεσµό ή διατηρεί δεσµό µε έναν άντρα, έστω m, τον οποίο προτιµάει έναντι του m. Βίκυ-Τάκης Δηλαδή: Στο S* η w απέρριψε τον m και είναι µε τον m τον οποίο προτιµάει έναντι του m... 19

20 βέλτιστο για τους άντρες (συνέχεια) Ισχυρισµός. Το ταίριασµα S* του αλγορίθµου GS είναι βέλτιστο για τους άντρες. Απόδειξη. (µε απαγωγή σε άτοπο) Έχουµε µείνει στο ότι: Στο S* η w απέρριψε τον m και είναι µε τον m τον οποίο προτιµάει έναντι του m Εφόσον w είναι έγκυρη σύντροφος του m θα υπάρχει ευσταθές ταίριασµα S όπου m και w είναι ζευγάρι. Στο S ο m υποχρεωτικά θα έχει άλλο ταίρι, έστω την w. Ο m δεν έχει απορριφθεί από έγκυρη σύντροφο όταν ο m δέχεται την απόρριψη από την w. Εποµένως ο m προτιµάει την w έναντι της w. Όµως η w προτιµάει τον m από τον m. Εποµένως το m -w είναι ένα ασταθές ζεύγος στο S. Άρα το S δεν είναι ευσταθές ταίριασµα -> άτοπο. εφόσον αυτή είναι η πρώτη απόρριψη από έγκυρη σύντροφο στην εκτέλεση του αλγορίθµου S Άννα-Χάρης Βίκυ-Τάκης... 20

21 σύνοψη ευσταθούς ταιριάσµατος Πρόβληµα ευσταθούς ταιριάσµατος. Δεδοµένων των προτιµήσεων n αντρών και n γυναικών, να βρεθεί ένα ευσταθές ταίριασµα. δεν υπάρχει άντρας και γυναίκα, που δεν είναι ζευγάρι, αλλά προτιµούν ο ένας τον άλλο περισσότερο από ότι τον τρέχοντα σύντροφό τους Αλγόριθµος Gale-Shapley. Βρίσκει ένα ευσταθές ταίριασµα σε χρόνο O(n 2 ). Βέλτιστο για άντρες. Όταν οι άντρες είναι αυτοί που κάνουν τις προτάσεις στον αλγόριθµο GS, κάθε άντρας αντιστοιχίζεται µε τη βέλτιστη έγκυρη σύντροφο. η w είναι έγκυρη σύντροφος του m εάν υπάρχει κάποιο ευσταθές ταίριασµα όπου ο m και η w είναι ζευγάρι Ερώτηµα. Η ιδιότητα του βέλτιστου για τους άντρες ισχύει σε βάρος των γυναικών; 21

22 Χείριστο για τις Γυναίκες Χείριστη ανάθεση για γυναίκες. Κάθε γυναίκα αντιστοιχίζεται µε τον χειρότερο από τους έγκυρους συντρόφους της. Ισχυρισµός. Ο αλγόριθµος GS βρίσκει ένα χείριστο για τις γυναίκες ευσταθές ταίριασµα S*. Απόδειξη. Έστω ότι m-w είναι ζευγάρι στο S*, και ότι ο m δεν είναι ο χειρότερος έγκυρος σύντροφος για την w. Υπάρχει ευσταθές ταίριασµα S στο οποίο η w αντιστοιχίζεται µε έναν άντρα, έστω m, τον οποίο προτιµάει λιγότερο από τον m. Έστω w η σύντροφος του m στο S. Ο m προτιµάει την w έναντι της w. ισχύει η βέλτιστη ανάθεση για τους άντρες στο S* Εποµένως, στο S οι m και w θα προτιµούσαν να είναι ζευγάρι και εποµένως m-w είναι ένα ασταθές ζεύγος στο S. S Άννα-Χάρης Βίκυ-Τάκης... 22

23 Επεκτάσεις: Αντιστοίχιση Γιατρών σε Νοσοκοµεία Αντιστοιχία: άντρες νοσοκοµεία, γυναίκες γιατροί. Παραλλαγή 1. Κάποιοι συµµετέχοντες δηλώνουν κάποιες αναθέσεις ως µη αποδεκτές. πχ. η γιατρός Α δεν δέχεται να εργαστεί στην Αθήνα Παραλλαγή 2. Το πλήθος των αντρών και γυναικών δεν είναι το ίδιο. Παραλλαγή 3. Περιορισµένη πολυγαµία. Ορισµός. Το ταίριασµα S είναι ασταθές εάν υπάρχει νοσοκοµείο h και γιατρός r τέτοια ώστε: το νοσοκοµείο X επιθυµεί να προσλάβει 3 γιατρούς h και r είναι αµοιβαία αποδεκτά, και είτε ο r είναι χωρίς αντιστοίχιση, είτε ο r προτιµάει το h έναντι του τρέχοντος νοσοκοµείου του, και είτε το h δεν έχει καλύψει όλες τις θέσεις του, είτε ο h προτιµάει τον r σε σχέση µε έναν τουλάχιστον από τους γιατρούς που του ανατέθηκαν. 23

24 Εφαρµογή: Ανάθεση γιατρών σε νοσοκοµεία Πρόγραµµα NRMP. (National Resident Matching Program) Χρησιµοποιήθηκε αµέσως µετά το Δεύτερο Παγκόσµιο πόλεµο. Μέσα Μαρτίου, 23,000+ γιατροί. Το δίληµµα του Αποµακρυσµένου Νοσοκοµείου. Ορισµένα νοσοκοµεία (κυρίως σε αγροτικές/αποµακρυσµένες περιοχές) δεν ήταν δηµοφιλή και πολλοί γιατροί δήλωναν ότι δεν αποδέχονταν να πάνε σε αυτά. προτού διαδοθεί η χρήση των υπολογιστών Τα αποµακρυσµένα νοσοκοµεία δεν κάλυπταν τις θέσεις τους στο πρόγραµµα ταιριάσµατος NRMP. Πως µπορούµε να βρούµε ένα ευσταθές ταίριασµα που ευνοεί τα αποµακρυσµένα νοσοκοµεία? Θεώρηµα Αποµακρυσµένων Νοσοκοµείων (Rural Hospital Theorem). Τα αποµακρυσµένα νοσοκοµεία παίρνουν ακριβώς το ίδιο σύνολο γιατρών σε κάθε ευσταθές ταίριασµα! 24

25 Απάτη: Κίνητρο για ψευδείς δηλώσεις στον αλγόριθµο Gale-Shapley Ερώτηση. Μπορεί να υπάρχει κίνητρο να δηλώσει ένα άτοµο ψευδή στοιχεία για τις προτιµήσεις του/της στον αλγόριθµο Gale-Shapley; Υποθέτουµε ότι γνωρίζουµε ότι θα εκτελεστεί ο αλγόριθµος Gale-Shapley µε τις προτάσεις να γίνονται από τους άντρες. Υποθέτουµε ότι γνωρίζουµε τις προτιµήσεις όλων των υπολοίπων ατόµων. Απάντηση. Όχι, για όλους τους άντρες. Ναι, για ορισµένες γυναίκες. Κανένας µηχανισµός (mechanism) δεν µπορεί να εγγυηθεί ένα ευσταθές ταίριασµα και ταυτόχρονα να εξαλείψει κάθε κίνητρο για ψευδείς δηλώσεις. 1 st 2 nd 3 rd Φώτης 1 st A 2 nd B Γ 3 rd πραγµατικές προτιµήσεις των γυναικών Άννα Βίκυ Γιώτα Χ Φ Φ Φ Χ Χ Τ Τ Τ Χάρης B A Γ Τάκης A B προτιµήσεις των αντρών Γ η Άννα λέει ψέµατα Άννα Βίκυ 1 st 2 nd 3 rd Χ Τ Φ Φ Χ Τ Γιώτα Φ Χ Τ 25

26 1.2 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήµατα

27 1. Χρονοπρογραµµατισµός Διαστηµάτων (Interval Scheduling) Είσοδος. Ένα σύνολο εργασιών (jobs) µα χρόνους εκκίνησης και χρόνους τερµατισµού. Σκοπός. Να βρεθεί µέγιστο υποσύνολο εργασιών που είναι συµβατές µεταξύ τους. συµβατές εργασίες: εργασίες που δεν επικαλύπτονται a b c d e f g h Χρόνος 27

28 Χρονοπρογραµµατισµός Διαστηµάτων (Interval Scheduling) Πολυπλοκότητα: Το πρόβληµα ανήκει στην κλάση P των προβληµάτων που επιτρέπουν λύση σε πολυωνυµικό χρόνο (polynomial time). Μία λύση: Όπως θα δούµε σε παρακάτω µάθηµα µπορεί να επιλυθεί µε έναν «άπληστο» (greedy) αλγόριθµο. Η χρήση απληστίας είναι µια αλγοριθµική τεχνική. 28

29 2. Σταθµισµένος χρονοπρογραµµατισµός διαστηµάτων (weighted interval scheduling) Είσοδος. Ένα σύνολο εργασιών µε χρόνους εκκίνησης, χρόνους τερµατισµού και βάρη. Σκοπός. Να βρεθεί υποσύνολο µεγίστου βάρους µε εργασίες που είναι συµβατές µεταξύ τους Χρόνος 29

30 Σταθµισµένος χρονοπρογραµµατισµός διαστηµάτων (weighted interval scheduling) Πολυπλοκότητα: Είναι πιο απαιτητικό πρόβληµα από τον απλό χρονοπρογραµµατισµό διαστηµάτων, όµως ανήκει και αυτό στην κλάση P (επιλύεται σε πολυωνυµικό χρόνο). Μία λύση: Με χρήση της αλγοριθµικής τεχνικής του δυναµικού προγραµµατισµού (dynamic programming) 30

31 3. Διµερές ταίριασµα (bipartite matching) Είσοδος. Διµερές γράφηµα. Σκοπός. Να βρεθεί ταίριασµα µε µέγιστο πλήθος ακµών. A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 31

32 Διµερές ταίριασµα (bipartite matching) Πολυπλοκότητα: Ανήκει στην κλάση P (επιλύεται σε πολυωνυµικό χρόνο). Μια λύση: Με χρήση της αλγοριθµικής τεχνικής της επαύξησης (augmentation). Σταδιακά υπολογίζεται ένα όλο και µεγαλύτερο ταίριασµα οπισθοδροµώντας (backtracking) επιλεκτικά. 32

33 4. Ανεξάρτητο σύνολο (independent set) Είσοδος. Γράφηµα. Σκοπός. Να βρεθεί ανεξάρτητο σύνολο µε το µέγιστο πλήθος κορυφών. ανεξάρτητο σύνολο: υποσύνολο κορυφών τέτοιο ώστε δεν υπάρχει ακµή µεταξύ των κορυφών αυτών

34 Ανεξάρτητο σύνολο (independent set) Το πρόβληµα του ανεξάρτητου συνόλου: Ίσως δεν του φαίνεται µε την πρώτη µατιά, είναι όµως ένα πολύ γενικό πρόβληµα. Ο χρονοπρογραµµατισµός διαστηµάτων και το διµερές ταίριασµα µπορούν να κωδικοποιηθούν ως ειδικές περιπτώσεις του προβλήµατος του ανεξαρτήτου συνόλου. Αυτό σηµαίνει ότι ένας αλγόριθµος για το ανεξάρτητο σύνολο θα µπορούσε να επιλύσει τον χρονοπρογραµµατισµό διαστηµάτων, και το διµερές ταίριασµα. Αναγωγές: Ένας αλγόριθµος για το ανεξάρτητο σύνολο µπορεί να λύσει και το πρόβληµα του χρονοπρογραµµατισµού διαστηµάτων. Επίσης, ο ίδιος αλγόριθµος µπορεί να λύσει το πρόβληµα του διµερούς ταιριάσµατος. 34

35 Ανεξάρτητο σύνολο (independent set) Πολυπλοκότητα. Το πρόβληµα του ανεξαρτήτου συνόλου θεωρείται ότι δεν ανήκει στην κλάση P. Είναι γνωστό ότι είναι πλήρες για την κλάση NP (non-deterministic polynomial). Λύση. Δεν είναι γνωστός κάποιος πολυωνυµικός αλγόριθµος για την επίλυση του προβλήµατος. Εάν όµως µας δοθεί µια έτοιµη λύση, µπορούµε σε πολυωνυµικό χρόνο να επιβεβαιώσουµε την ορθότητα της λύσης. Παράδειγµα: Για ένα γράφηµα µε 1000 κόµβους θέλουµε να βρούµε εάν υπάρχει ανεξάρτητο σύνολο µεγέθους 100. Εύρεση ανεξάρτητου συνόλου: Δεν γνωρίζουµε αλγόριθµο πολυωνυµικού χρόνου που µπορεί να το κάνει αυτό. Επιβεβαίωση: Εάν όµως µας δοθεί ένα τέτοιο ανεξάρτητο σύνολο τότε µπορούµε σε πολυωνυµικό χρόνο να επιβεβαιώσουµε ότι πράγµατι είναι ένα τέτοιο ανεξάρτητο σύνολο. Παρατήρηση: Ίσως το θέµα της αποδοτικής επιβεβαίωσης να µοιάζει µικρής σηµασίας. Θα δούµε όµως (ξεκινώντας από το επόµενο πρόβληµα) ότι είναι ένα πολύ σηµαντικό κριτήριο. 35

36 5. Ανταγωνιστική χωροθέτηση υπηρεσιών (competitive facility location) Είσοδος. Γράφηµα µε βάρος σε κάθε κόµβο. Παίγνιο. Δύο παίκτες επιλέγουν κόµβους εναλλάξ. Δεν επιτρέπεται η επιλογή ενός κόµβου εάν έχει ήδη επιλεγεί κάποιος από τους γείτονές του. Σκοπός. Να επιλεγεί ένα υποσύνολο κόµβων µεγίστου βάρους Ο δεύτερος παίκτης µπορεί να εγγυηθεί συνολικό βάρος 20, όχι όµως

37 Ανταγωνιστική χωροθέτηση υπηρεσιών (competitive facility location) Πολυπλοκότητα. Φαίνεται να είναι µην ανήκει στην κλάση P αλλά ούτε και στην κλάση NP. Είναι πλήρες για την κλάση PSPACE. Επιβεβαίωση. Για συγκεκριµένο στιγµιότυπο του προβλήµατος µπορούµε να δείξουµε ότι ο παίκτης µπορεί πάντοτε να πετύχει πχ. σκορ τουλάχιστον 25; Εάν θεωρήσουµε ότι κάποιος γνωρίζει την απάντηση, µπορεί να µας πείσει και εµάς; Αρκετά επιτραπέζια παιχνίδια στρατηγικής είναι πλήρη για την κλάση PSPACE και εποµένως δεν γνωρίζουµε κάποιον αποδοτικό αλγόριθµο για την βέλτιστη επίλυσή τους. 37

38 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήµατα 1. Χρονοπρογραµµατισµός διαστηµάτων: n log n άπληστος (greedy) αλγόριθµος. 2. Σταθµισµένος χρονοπρογραµµατισµός διαστηµάτων: n log n αλγόριθµος µε δυναµικό προγραµµατισµό A 1 3. Διµερές ταίριασµα: n k αλγόριθµος βασισµένος αλγόριθµο µέγιστης ροής. B 2 C 3 D 4 E 5 4. Ανεξάρτητο σύνολο: NP-πλήρης (NP-complete) Ανταγωνιστική χωροθέτηση εργασιών: PSPACE-πλήρης (PSPACEcomplete)

39 Επιπλέον Διαφάνειες

40 Πρόβληµα Ευσταθούς Ταιριάσµατος Σκοπός: Δεδοµένων n αντρών και n γυναικών, να βρεθεί ένα κατάλληλο ταίριασµα. Κάθε άτοµο ταξινοµεί τα άτοµα του αντίθετου φύλου. Κάθε άντρας δίνει λίστα µε τις γυναίκες σε σειρά προτεραιότητας από την πρώτη προτίµησή του προς την τελευταία. Κάθε γυναίκα δίνει λίστα µε τους άντρες σε σειρά προτεραιότητας από την πρώτη προτίµησή της προς τον τελευταία. πρώτη προτίµηση τελευταία προτίµηση 1 st 2 nd 3 rd 4 th 5 th Κώστας Βίκυ Άννα Δανάη Ελένη Clare Ηλίας Δανάη Βίκυ Άννα Clare Ελένη Φώτης Βίκυ Ελένη Clare Δανάη Άννα Χάρης Άννα Δανάη Clare Βίκυ Ελένη Τάκης Βίκυ Δανάη Άννα Ελένη Clare προτιµήσεις των αντρών 40

41 Πρόβληµα Ευσταθούς Ταιριάσµατος Σκοπός: Δεδοµένων n αντρών και n γυναικών, να βρεθεί ένα κατάλληλο ταίριασµα. Κάθε άτοµο ταξινοµεί τα άτοµα του αντίθετου φύλου. Κάθε άντρας δίνει λίστα µε τις γυναίκες σε σειρά προτεραιότητας από την πρώτη προτίµησή του προς την τελευταία. Κάθε γυναίκα δίνει λίστα µε τους άντρες σε σειρά προτεραιότητας από την πρώτη προτίµησή της προς τον τελευταία. πρώτη προτίµηση τελευταία προτίµηση 1 st 2 nd 3 rd 4 th 5 th Άννα Τάκης Ηλίας Wyatt Χάρης Φώτης Βίκυ Φώτης Wyatt Χάρης Ηλίας Τάκης Γιώτα Wyatt Φώτης Χάρης Τάκης Ηλίας Δανάη Ηλίας Τάκης Χάρης Φώτης Wyatt Ελένη Χάρης Wyatt Τάκης Φώτης Ηλίας προτιµήσεις των γυναικών 41

42 κατανόηση της λύσης Ισχυρισµός. Το ευσταθές ταίριασµα που είναι βέλτιστο για τους άντρες είναι ασθενώς Pareto βέλτιστο (weakly Pareto optimal). Απόδειξη. Δεν υπάρχει άλλο τέλειο ταίριασµα (είτε ευσταθές είτε ασταθές) όπου κάθε άντρας αντιστοιχίζεται σε αυστηρά υψηλότερη προτίµησή του Έστω Α η τελευταία γυναίκα σε κάποια εκτέλεση του αλγορίθµου GS που δέχεται µια πρόταση. Κανένας άντρας δεν έχει απορριφθεί από την Α, εφόσον ο αλγόριθµος τερµατίζει όταν η τελευταία γυναίκα δέχεται την πρώτη πρόταση. Κανένας άντρας που αντιστοιχίζεται µε την Α δεν µπορεί να είναι σε καλύτερη αντιστοίχιση από ότι στο βέλτιστο για τους άντρες ευσταθές ταίριασµα 42

43 πηγές/αναφορές Κεφάλαιο 1, Σχεδίαση Αλγορίθµων, J. Kleinberg and E. Tardos, Ελληνική έκδοση από τις Εκδ. Κλειδάριθµος 43

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 3 Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισµοί και Εφαρµογές γραφήµατα γράφηµα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Ταιριάσματα Γράφημα Ταίριασμα (matching) Σύνολο ακμών τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Θέλουμε να βρούμε ένα μέγιστο ταίριασμα (δηλαδή με μέγιστο αριθμό ακμών) Ταιριάσματα

Διαβάστε περισσότερα

Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25)

Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25) Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Ο αλγόριθµος των BellmanFord Ο αλγόριθµος του Dijkstra ΕΠΛ 232 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 61

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

υναμικός Προγραμματισμός

υναμικός Προγραμματισμός υναμικός Προγραμματισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιωνυμικοί Συντελεστές ιωνυμικοί

Διαβάστε περισσότερα

ο ρόλος των αλγορίθμων στις υπολογιστικές διαδικασίες Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

ο ρόλος των αλγορίθμων στις υπολογιστικές διαδικασίες Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα αλγόριθμοι τεχνολογία αλγορίθμων 2 αλγόριθμοι αλγόριθμος: οποιαδήποτε καλά ορισμένη υπολογιστική διαδικασία που δέχεται κάποια τιμή ή κάποιο σύνολο τιμών, και δίνεικάποιατιμήήκάποιοσύνολοτιμώνως

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Εισαγωγή: Κάποια αντιπροσωπευτικά προβλήματα... 25. 2. Βασικά στοιχεία ανάλυσης αλγορίθμων... 57. 3. Γραφήματα...

Περιεχόμενα. 1. Εισαγωγή: Κάποια αντιπροσωπευτικά προβλήματα... 25. 2. Βασικά στοιχεία ανάλυσης αλγορίθμων... 57. 3. Γραφήματα... Περιεχόμενα Σχετικά με τους συγγραφείς...3 Πρόλογος... 11 Πρόλογος της ελληνικής έκδοσης... 23 1. Εισαγωγή: Κάποια αντιπροσωπευτικά προβλήματα... 25 1.1 Ένα πρώτο πρόβλημα: Ευσταθές Ταίριασμα...25 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Mh apofasisimèc gl ssec. A. K. Kapìrhc

Mh apofasisimèc gl ssec. A. K. Kapìrhc Mh apofasisimèc gl ssec A. K. Kapìrhc 15 Maòou 2009 2 Perieqìmena 1 Μη αποφασίσιμες γλώσσες 5 1.1 Ανάγω το πρόβλημα A στο B................................. 5 1.2 Αναγωγές μη επιλυσιμότητας..................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ, Sanjoy Dasgupta, Christos Papadimitriou, Umesh Vazirani, Κεφάλαιο 4 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ, Jon Kleinberg, Eva Tardos, Κεφάλαιο 4) 1 Θέματα

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Κεφάλαιο 1.3-1.4: Εισαγωγή Στον Προγραµµατισµό ( ιάλεξη 2) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Περιεχόµενα Εισαγωγικές Έννοιες - Ορισµοί Ο κύκλος ανάπτυξης προγράµµατος Παραδείγµατα Πότε χρησιµοποιούµε υπολογιστή?

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μ. Γρηγοριάδου Ρ. Γόγουλου Ενότητα: Η Διδασκαλία του Προγραμματισμού Περιεχόμενα Παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ Περίγραµµα Εισαγωγή Στοιχεία Πολυπλοκότητας Ηλίας Κ. Σάββας Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα: Τεχνολογίας Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Email: savvas@teilar teilar.gr Αλγόριθµοι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Άπληστοι Αλγόριθμοι. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Άπληστοι Αλγόριθμοι. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Άπληστοι Αλγόριθμοι ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άπληστοι Αλγόριθμοι... για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

2015 1-5 1. 5 5 4. 10 2. . 3. 6 3. . 6

2015 1-5 1. 5 5 4. 10 2. . 3. 6 3. . 6 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµίας από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 και, δίπλα, τη λέξη ΣΩΣΤΟ, αν

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της συνάρτησης Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται µια διαδικασία (κανόνας τρόπος ), µε την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθησιακές δυσκολίες ΙΙ. Παλαιγεωργίου Γιώργος Τμήμα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Μαθησιακές δυσκολίες ΙΙ. Παλαιγεωργίου Γιώργος Τμήμα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Μαθησιακές δυσκολίες ΙΙ Παλαιγεωργίου Γιώργος Τμήμα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Μάρτιος 2010 Προηγούμενη διάλεξη Μαθησιακές δυσκολίες Σε όλες

Διαβάστε περισσότερα

Ο Σέρλοκ Χόλμς, η εις άτοπο απαγωγή και οι απαρχές του internet.

Ο Σέρλοκ Χόλμς, η εις άτοπο απαγωγή και οι απαρχές του internet. Λέσχη Ανάγνωσης Γενικού Λυκείου Σαντορίνης Σχολικό έτος 2011-2012 Ο Σέρλοκ Χόλμς, η εις άτοπο απαγωγή και οι απαρχές του internet. Γιάννης Παπόγλου Το σμαραγδένιο στέμμα Σύµφωνα µε ένα παλιό µου ρητό,

Διαβάστε περισσότερα

Μια Επισκόπηση της Ύλης & Μερικές Οδηγίες

Μια Επισκόπηση της Ύλης & Μερικές Οδηγίες Μια Επισκόπηση της Ύλης & Μερικές Οδηγίες Βαγγέλης ούρος douros@aueb.gr 1 11/6/2012 Αλγόριθμοι, Εαρινό Εξάμηνο 2012, Φροντιστήριο #14 Γενικά Σχόλια (1) 2 Για το τελικό διαγώνισμα θα χρειαστείτε: Φοιτητική

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Τι καλείται ψευδοκώδικας; 2. Τι καλείται λογικό διάγραμμα; 3. Για ποιο λόγο είναι απαραίτητη η τυποποίηση του αλγόριθμου; 4. Ποιες είναι οι βασικές αλγοριθμικές δομές; 5. Να περιγράψετε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΚΟΥ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΚΟΥ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΚΟΥ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΥ 1) Στο «Τουρνουά Τένις» του Ιουλίου πρόκειται να συμμετάσχουν 250 άτομα. Σύμφωνα με τις δηλώσεις των παικτών του τουρνουά τένις, ένας στους δέκα παίκτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια Επίγνωση Προτεινόμενα Θέματα Πανελλαδικών ΑΕΠΠ 2015

Φροντιστήρια Επίγνωση Προτεινόμενα Θέματα Πανελλαδικών ΑΕΠΠ 2015 Φροντιστήρια Επίγνωση Προτεινόμενα Θέματα Πανελλαδικών ΑΕΠΠ 2015 Βάλβης Δημήτριος Μηχανικός Πληροφορικής ΘΕΜΑ Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 και δίπλα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ / Γ ΕΠΑΛ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 27/01/2013

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ / Γ ΕΠΑΛ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 27/01/2013 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ / Γ ΕΠΑΛ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 27/01/2013 ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Προηγούµενο Μάθηµα. Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων

Προηγούµενο Μάθηµα. Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Προηγούµενο Μάθηµα Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Ιωάννης Χατζηγιαννάκης ευτέρα, 20 εκεµβρίου, 2010 Αίθουσα Β3 Ασύγχρονα Κατανεµηµένα

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 18 Dijkstra s Shortest Path Algorithm 1 / 12 Ο αλγόριθμος εύρεσης της συντομότερης διαδρομής του Dijkstra

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7, 8 : Completeness

Chapter 7, 8 : Completeness CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Completeness 19 December 2008 1 1 Αναγωγές Πολυωνυμικού Χρόνου Ορισμός. f: Σ * Σ * ονομάζεται υπολογίσιμη σε πολυνωνυμικό χρόνο αν υπάρχει μια πολυωνυμικά φραγμένη

Διαβάστε περισσότερα

Ε ανάληψη. Προβλήµατα ικανο οίησης εριορισµών. ορισµός και χαρακτηριστικά Ε ίλυση ροβληµάτων ικανο οίησης εριορισµών

Ε ανάληψη. Προβλήµατα ικανο οίησης εριορισµών. ορισµός και χαρακτηριστικά Ε ίλυση ροβληµάτων ικανο οίησης εριορισµών ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη Αναζήτηση µε Αντι αλότητα Adversarial Search Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Προβλήµατα ικανο οίησης εριορισµών ορισµός και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006 Μάθημα: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Τρίτη, 6 Ιουνίου 2006 07:30 10:30

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Στο σηµείωµα αυτό αρχικά εξηγείται η έννοια αλγόριθµος και παραθέτονται τα σπουδαιότερα κριτήρια που πρέπει να πληρεί κάθε αλγόριθµος. Στη συνέχεια, η σπουδαιότητα των αλγορίθµων συνδυάζεται

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Δέντρα Αναζήτησης. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Δέντρα Αναζήτησης. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Δέντρα Αναζήτησης Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Το πρόβλημα Αναζήτηση Θέλουμε να διατηρήσουμε αντικείμενα με κλειδιά και να μπορούμε εκτός από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Dr. Christos D. Tarantilis Associate Professor in Operations Research & Management Science http://tarantilis.dmst.aueb.gr/ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 1- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ και ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ και ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΟΔΗΓΟΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ 2014 2015

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ και ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ και ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΟΔΗΓΟΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ 2014 2015 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ και ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ και ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΟΔΗΓΟΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ 2014 2015 Επιτροπή προπτυχιακών σπουδών: Κ. Βασιλάκης Κ. Γιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 1 Άγγελος Σιφαλέρας sifalera@uom.gr 4 η Διάλεξη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 2 Knapsack Problem, (1/9) Ένας επενδυτής διαθέτει ένα χρηματικό

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1

Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1 3 ΙΙ. ΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΚΑΙ ΤΑ Ε ΟΜΕΝΑ. Σχολείο Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1 Συχνότητα Γυµνάσιο 773 37.93% Λύκειο 1006 49.36% ΤΕΕ 259 12.71%

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 4ο Συνδυασμοί 2 2.3 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Έστω Χ= {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία x 1, x 2,...,

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές

Άριστες κατά Pareto Κατανομές Άριστες κατά Pareto Κατανομές - Ορισμός. Μια κατανομή x = (x, x ) = (( 1, )( 1, )) ονομάζεται άριστη κατά Pareto αν δεν υπάρχει άλλη κατανομή x = ( x, x ) τέτοια ώστε: U j( x j) U j( xj) για κάθε καταναλωτή

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/03/2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ Α Α1. Α2. 1. ΣΩΣΤΟ 1 στ 2. ΛΑΘΟΣ 2 δ 3. ΣΩΣΤΟ 3 ε 4. ΛΑΘΟΣ 4 β 5. ΣΩΣΤΟ 5 γ

ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/03/2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ Α Α1. Α2. 1. ΣΩΣΤΟ 1 στ 2. ΛΑΘΟΣ 2 δ 3. ΣΩΣΤΟ 3 ε 4. ΛΑΘΟΣ 4 β 5. ΣΩΣΤΟ 5 γ ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΑΕΠΠ / ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/03/2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Α2. 1. ΣΩΣΤΟ 1 στ 2. ΛΑΘΟΣ 2 δ 3. ΣΩΣΤΟ 3 ε 4. ΛΑΘΟΣ 4 β 5. ΣΩΣΤΟ 5 γ Α3. α. (σελ. 183-184) Στοίβα: ώθηση, απώθηση Ουρά:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Αλγόριθµοι Τυφλής Αναζήτησης. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η.

Κεφάλαιο 3. Αλγόριθµοι Τυφλής Αναζήτησης. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Κεφάλαιο 3 Αλγόριθµοι Τυφλής Αναζήτησης Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Αλγόριθµοι Τυφλής Αναζήτησης Οι αλγόριθµοι τυφλής αναζήτησης (blind

Διαβάστε περισσότερα

Ελαχιστοποίηση της Καταναλισκόμενης Ενέργειας σε Φορητές Συσκευές

Ελαχιστοποίηση της Καταναλισκόμενης Ενέργειας σε Φορητές Συσκευές Ελαχιστοποίηση της Καταναλισκόμενης Ενέργειας σε Φορητές Συσκευές Βασίλης Βλάχος vbill@aueb.gr Υποψήφιος Διδάκτορας Τμήματος Διοικητικής Επιστήμης και Τεχνολογίας 1 Σχεδιασμός ενσωματωμένων συστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Η γλώσσα προγραμματισμού C Γεώργιος Δημητρίου Βασικά Στοιχεία Το αλφάβητο της C Οι βασικοί τύποι της C Δηλώσεις μεταβλητών Είσοδος/Έξοδος Βασικές εντολές της C Αλφάβητο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΣΧΕ ΙΑ ΛΥΣΕΩΝ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΣΧΕ ΙΑ ΛΥΣΕΩΝ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ42 - ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ 2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2009-2010 2 oς Τόµος ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΣΧΕ ΙΑ ΛΥΣΕΩΝ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑ 2 i. υναµική τεχνική επικύρωσης:

Διαβάστε περισσότερα

εισαγωγικές έννοιες Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων και

εισαγωγικές έννοιες Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων και Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα ενθετική ταξινόμηση ανάλυση αλγορίθμων σχεδίαση αλγορίθμων 2 ενθετική ταξινόμηση 3 ενθετική ταξινόμηση Βασική αρχή: Επιλέγει ένα-έναταστοιχείατηςμηταξινομημένης ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10β: Αλγόριθμοι Γραφημάτων-Γραφήματα- Αναπαράσταση Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Α Β (ΟΧΙ Α) Η Β Α ΚΑΙ Β Α Η Β ΨΕΥ ΗΣ ΑΛΗΘΗΣ

Α Β (ΟΧΙ Α) Η Β Α ΚΑΙ Β Α Η Β ΨΕΥ ΗΣ ΑΛΗΘΗΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND)

ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND) ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND) Ένωση Ξένων Συνόλων (Disjoint Sets with Union) S 1,, S k : ξένα υποσύνολα ενός συνόλου U δηλ., S i S j =, αν i j, και S 1 S k = U. Λειτουργίες που θέλουµε

Διαβάστε περισσότερα

Υπερπροσαρμογή (Overfitting) (1)

Υπερπροσαρμογή (Overfitting) (1) Αλγόριθμος C4.5 Αποφυγή υπερπροσαρμογής (overfitting) Reduced error pruning Rule post-pruning Χειρισμός χαρακτηριστικών συνεχών τιμών Επιλογή κατάλληλης μετρικής για την επιλογή των χαρακτηριστικών διάσπασης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 3ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο 6ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο. Δομημένος Προγραμματισμός - Γενικές Ασκήσεις Επανάληψης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 3ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο 6ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο. Δομημένος Προγραμματισμός - Γενικές Ασκήσεις Επανάληψης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 3ο 1. Συμπληρώστε τα κενά με τη λέξη που λείπει. α. Ένα πρόβλημα το χωρίζουμε σε άλλα απλούστερα, όταν είναι ή όταν έχει τρόπο επίλυσης. β. Η επίλυση ενός προβλήματος προϋποθέτει την του. γ.

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκαλία της Ροµποτικής Επιστήµης στη ευτεροβάθµια Εκπαίδευση Εµπειρίες από άλλα εκπαιδευτικά συστήµατα και προσαρµογή στην Ελληνική πραγµατικότητα

ιδασκαλία της Ροµποτικής Επιστήµης στη ευτεροβάθµια Εκπαίδευση Εµπειρίες από άλλα εκπαιδευτικά συστήµατα και προσαρµογή στην Ελληνική πραγµατικότητα ιδασκαλία της Ροµποτικής Επιστήµης στη ευτεροβάθµια Εκπαίδευση Εµπειρίες από άλλα εκπαιδευτικά συστήµατα και προσαρµογή στην Ελληνική πραγµατικότητα Αντώνιος Τζες Αναπληρωτής Καθηγητής Τµήµατος Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θ.Ε. ΠΛΗ31 (2005-6) ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ #1 Στόχος Η εργασία επικεντρώνεται σε θέματα προγραμματισμού για Τεχνητή Νοημοσύνη και σε πρακτικά θέματα εξάσκησης σε Κατηγορηματική Λογική. Θέμα 1: Απλές Αναζητήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αν τότε. αλλιώς. Τέλος_αν. Τέλος_αν

Αν τότε. αλλιώς. Τέλος_αν. Τέλος_αν Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 2 0 1 5 Α Ν Α Π Τ Υ Ξ Η Ε Φ Α Ρ Μ Ο Γ Ω Ν Σ Ε Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Ο Π Ε Ρ Ι Β Α Λ Λ Ο Ν Τ Ε Χ Ν Ο Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Κ Α

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 10 Γράφοι (ή Γραφήµατα)

Ενότητα 10 Γράφοι (ή Γραφήµατα) Ενότητα 10 Γράφοι (ή γραφήµατα) ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 1 Γράφοι (ή Γραφήµατα) Ένας γράφος αποτελείται από ένα σύνολο από σηµεία (που λέγονται κόµβοι) και ένα σύνολο από γραµµές (που λέγονται ακµές)

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΛΗΣΕΙΣ ΩΣΤΕ ΣΗΜΑΣΙΑ ΣΤΗ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ. Του ρα Κώστα Γ. Κονή *

ΠΩΛΗΣΕΙΣ ΩΣΤΕ ΣΗΜΑΣΙΑ ΣΤΗ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ. Του ρα Κώστα Γ. Κονή * ΠΩΛΗΣΕΙΣ ΩΣΤΕ ΣΗΜΑΣΙΑ ΣΤΗ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ Του ρα Κώστα Γ. Κονή * Το θέµα των πωλήσεων ήταν και θα παραµείνει πάντοτε πρώτο στις προτεραιότητες κάθε επιχείρησης. Μάλλον, θα έπρεπε να ήταν το πρώτο θέµα πάντοτε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14. οµές Ευρετηρίων για Αρχεία. ιαφάνεια 14-1

Κεφάλαιο 14. οµές Ευρετηρίων για Αρχεία. ιαφάνεια 14-1 ιαφάνεια 14-1 Κεφάλαιο 14 οµές Ευρετηρίων για Αρχεία Copyright 2007 Ramez Elmasri and Shamkant B. NavatheΕλληνικήΈκδοση, ιαβλος, Επιµέλεια Μ.Χατζόπουλος 1 Θα µιλήσουµε για Τύποι Ταξινοµηµένων Ευρετηρίων

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 9 Λύσεις

Φροντιστήριο 9 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 9 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {a,b} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 183 / 198 Ταιρια σματα (Matchings) Ταίριασμα: Ένα

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι Αναδρομικός αλγόριθμος (recursive algorithm) Επιλύει ένα πρόβλημα λύνοντας ένα ή περισσότερα στιγμιότυπα του ίδιου προβλήματος. Αναδρομικός αλγόριθμος (recursive algorithm) Επιλύει ένα πρόβλημα λύνοντας

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(n), Ω(n), Θ(n) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Παιγνίων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Παιγνίων Παύλος Σ. Εφραιμίδης Περιεχόµενα Τι είναι η θεωρία παιγνίων Ο ρόλος ενός µαθηµατικού µοντέλου Το δίληµµα του φυλακισµένου Σηµείο ισορροπίας Nash Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων (game theory) µας βοηθάει

Διαβάστε περισσότερα

Ο φτωχός χαρτογράφος Χρωματισμός Γράφων

Ο φτωχός χαρτογράφος Χρωματισμός Γράφων Δραστηριότητα 13 Ο φτωχός χαρτογράφος Χρωματισμός Γράφων Ηλικιακή Ομάδα Απαιτούμενες Ικανότητες Χρόνος Μέγεθος ομάδας Aπό τις πρώτες τάξεις του Δημοτικού και πάνω. Χρωματισμός. 30 λεπτά ή και περισσότερο.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΕΣ

ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΕΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΕΣ Μία από τις πιο σηµαντικές υπηρεσίες που προσφέρει το διαδίκτυο στην επιστηµονική κοινότητα είναι η αποµακρυσµένη πρόσβαση των χρηστών σε ηλεκτρονικές βιβλιοθήκες

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Λεξικό, Union Find. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Λεξικό, Union Find. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Λεξικό, Union Find ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαχείριση ιαμερίσεων Συνόλου Στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Τεχνητή Νοημοσύνη 06 Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Εισαγωγικά (1/3) Τα προβλήματα όπου η εξέλιξη των καταστάσεων εξαρτάται από δύο διαφορετικά σύνολα τελεστών μετάβασης που εφαρμόζονται

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων (Data Structures)

Δομές Δεδομένων (Data Structures) Δομές Δεδομένων (Data Structures) Ανάλυση - Απόδοση Αλγορίθμων Έλεγχος Αλγορίθμων. Απόδοση Προγραμμάτων. Χωρική/Χρονική Πολυπλοκότητα. Ασυμπτωτικός Συμβολισμός. Παραδείγματα. Αλγόριθμοι: Βασικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ακ. Έτος 2012-2013 Βιβλιογραφία "C Προγραμματισμός", Deitel & Deitel, Πέμπτη Έκδοση, Εκδόσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Διδάσκων: Γ. Χαραλαμπίδης,

Διαβάστε περισσότερα

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους.

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους. Να βρεθεί ΠΓΠ ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς (το πρόβληµα βασίζεται σε αυτό των Aarik και Randolph, 975). Λύση: Για κάθε δυϊλιστήριο i (i=, 2, ) και πόλη j (j=, 2,, 4), θεωρούµε την µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων &

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων & 5 η αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα: Η αποτελεί θεµελιώδες πρόβληµα σε κάθε σύγχρονη οικονοµία. Το πρόβληµα της αποδοτικής κατανοµής των πόρων µπορεί να εκφρασθεί µε 4 βασικά ερωτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΑΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΩΤΟΥ ΑΘΟΥ 1. ηµειώστε το γράµµα αν η πρόταση είναι σωστή και το γράµµα αν είναι λάθος. 1. Ο αλγόριθµος πρέπει να τερµατίζεται µετά από εκτέλεση πεπερασµένου

Διαβάστε περισσότερα