Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Ευσταθές Ταίριασμα και άλλα Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.5, 30/10/2014
|
|
- Λαδων Γιάνναρης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή: Ευσταθές Ταίριασμα και άλλα Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα Έκδοση 1.5, 30/10/2014 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1
2 1.1 Ένα πρώτο πρόβλημα: Ευσταθές Ταίριασμα
3 Ταίριασμα Γιατρών με Νοσοκομεία Στόχος. Δεδομένου ενός συνόλου προτιμήσεων μεταξύ νοσοκομείων και νέων γιατρών, να σχεδιάσουμε μία αυτοεπιβαλλόμενη (self-reinforcing) διαδικασία προσλήψεων. Ασταθές ζευγάρι: το ζευγάρι υποψήφιος x και νοσοκομείο y είναι ασταθές εάν: ο x προτιμάει το y σε σχέση με το νοσοκομείο στο οποίο έχει προσληφθεί. το y προτιμάει τον x σε σχέση με κάποιον από τους υποψηφίους που έχει επιλέξει. Ευσταθής ανάθεση. Ανάθεση που δεν περιλαμβάνει ασταθή ζευγάρια. Είναι μια φυσική και λογική απαίτηση. Η επιθυμία/προτίμηση κάθε οντότητας (υποψήφιος ή νοσοκομείο) να κρατήσει την τρέχουσα επιλογή του θα εμποδίσει οποιαδήποτε αλλαγή στην τρέχουσα ανάθεση. 3
4 το πρόβλημα του ευσταθούς ταιριάσματος Σκοπός. Δίνονται n άντρες και n γυναίκες και ζητείται ένα κατάλληλο" ταίριασμα. Κάθε άτομο βαθμολογεί τα άτομα του αντίθετου φύλου. Κάθε άντρας απαριθμεί τις γυναίκες σε φθίνουσα σειρά προτίμησης. Κάθε γυναίκα απαριθμεί τους άντρες σε φθίνουσα σειρά προτίμησης. 1η προτίμηση 3η προτίμηση 1η προτίμηση 3η προτίμηση 1 st 2 nd 3 rd Φώτης Άννα Βίκυ Γιώτα Χάρης Βίκυ Άννα Γιώτα Τάκης Άννα Βίκυ Γιώτα προτιμήσεις των αντρών 1 st 2 nd 3 rd Άννα Χάρης Φώτης Τάκης Βίκυ Φώτης Χάρης Τάκης Γιώτα Φώτης Χάρης Τάκης προτιμήσεις των γυναικών 4
5 ευσταθές ταίριασμα τέλειο ταίριασμα: ο καθένας αντιστοιχίζεται μονογαμικά. Κάθε άντρας παίρνει ακριβώς μία γυναίκα. Κάθε γυναίκα παίρνει ακριβώς έναν άντρα. ευστάθεια: δεν υπάρχει ζευγάρι με κίνητρο να υπονομεύσει την αντιστοίχιση με συνδυασμένη ενέργεια. Σε ταίριασμα M, ένα ζευγάρι m-w που δεν έχει συνδεθεί είναι ασταθές εάν ο άντρας m και η γυναίκα w προτιμούν ο ένας τον άλλο σε σχέση με τους τρέχοντες συντρόφους τους. Οι m και w από το ασταθές ζευγάρι m-w θα ωφεληθούν αμοιβαία εάν κλεφτούν. ευσταθές ταίριασμα: ένα τέλειο ταίριασμα χωρίς ασταθή ζευγάρια. το πρόβλημα του ευσταθούς ταιριάσματος: δεδομένων των προτιμήσεων n αντρών και n γυναικών, να βρεθεί ένα σταθερό ταίριασμα, εάν υπάρχει. 5
6 ευσταθές ταίριασμα Ερώτηση. Είναι το ταίριασμα Φ-Γ, Χ-B, Τ-A ευσταθές; 1η προτίμηση 3η προτίμηση 1η προτίμηση 3η προτίμηση 1 st 2 nd 3 rd Φώτης Άννα Βίκυ Γιώτα Χάρης Βίκυ Άννα Γιώτα Τάκης Άννα Βίκυ Γιώτα προτιμήσεις των αντρών 1 st 2 nd 3 rd Άννα Χάρης Φώτης Τάκης Βίκυ Φώτης Χάρης Τάκης Γιώτα Φώτης Χάρης Τάκης προτιμήσεις των γυναικών 6
7 ευσταθές ταίριασμα Ε. Είναι το ταίριασμα Φ-Γ, Χ-B, Τ-A ευσταθές; A. Όχι. Η Βίκυ και ο Φώτης θα τα φτιάξουν. 1η προτίμηση 3η προτίμηση 1η προτίμηση 3η προτίμηση 1 st 2 nd 3 rd 1 st 2 nd 3 rd Φώτης Άννα Βίκυ Γιώτα Χάρης Βίκυ Άννα Γιώτα Τάκης Άννα Βίκυ Γιώτα προτιμήσεις των αντρών Άννα Χάρης Φώτης Τάκης Βίκυ Φώτης Χάρης Τάκης Γιώτα Φώτης Χάρης Τάκης προτιμήσεις των γυναικών 7
8 ευσταθές ταίριασμα Ε. Είναι το ταίριασμα Φ-A, Χ-B, Τ-Γ ευσταθές; A. Ναι. 1η προτίμηση 3η προτίμηση 1η προτίμηση 3η προτίμηση 1 st 2 nd 3 rd 1 st 2 nd 3 rd Φώτης Άννα Βίκυ Γιώτα Χάρης Βίκυ Άννα Γιώτα Τάκης Άννα Βίκυ Γιώτα προτιμήσεις των αντρών Άννα Χάρης Φώτης Τάκης Βίκυ Φώτης Χάρης Τάκης Γιώτα Φώτης Χάρης Τάκης προτιμήσεις των γυναικών 8
9 το πρόβλημα του ευσταθούς συγκατοίκου Ε. Υπάρχουν πάντοτε ευσταθή ταιριάσματα; A. Ναι. Η απάντηση όμως δεν είναι προφανής. πρόβλημα ευσταθούς συγκατοίκου. 2n άτομα, και κάθε άτομο απαριθμεί τους υπόλοιπους σε φθίνουσα σειρά προτίμησης από το 1 έως το 2n-1. Σε ορολογία θεωρίας παιγνίων: είναι ο πυρήνας (core) του συνεργατικού παιγνίου μη-κενός; να αναθέσουμε συγκατοίκους ώστε να μην υπάρχουν ασταθή ζευγάρια. 1 st 2 nd 3 rd Αδάμ Βασίλης Γιώργος Β Γ A Γ A Β Δ Δ Δ A-B, Γ-Δ B-Γ ασταθές A-Γ, B-Δ A-B ασταθές A-Δ, B-Γ A-Γ ασταθές Δημήτρης A Β Γ Παρατήρηση. Ευσταθή ταιριάσματα μπορεί να μην υπάρχουν πάντοτε για το πρόβλημα του ευσταθούς συγκατοίκου. 9
10 Αλγόριθμος Propose-And-Reject Αλγόριθμος Propose-and-Reject. [Gale-Shapley 1962] Μια μέθοδος που βρίσκει ένα ευσταθές ταίριασμα. Αρχικά όλα τα άτομα είναι ελεύθερα. while (κάποιος άνδρας είναι ελεύθερος και υπάρχει γυναίκα στην οποία δεν έχει προτείνει) { Επέλεξε έναν τέτοιο άνδρα m w = 1 η στη λίστα του m, από όσες δεν έχει προτείνει ακόμα if (w είναι ελεύθερη) αρραβωνιάζονται οι m και w else if (w προτιμάει m από τον τωρινό αρραβωνιαστικό της m') αρραβωνιάζονται οι m και w, και ο m' μένει ελεύθερος else w απορρίπτει την πρόταση του m } 10
11 David Gale and Lloyd Shapley David Gale (December 13, 1921 March 7, 2008) University of California, Berkeley Lloyd Stowell Shapley (born June 2, 1923) Professor Emeritus at University of California, Los Angeles (UCLA) Source: wikipedia entrys about David Gale and Lloyd Shapley 11
12 David Gale and Lloyd Shapley Source: wikipedia entrys about David Gale and Lloyd Shapley 12
13 Αποδείξεις Παρατήρηση 1. Οι άντρες κάνουν προτάσεις στις γυναίκες σε φθίνουσα σειρά προτίμησης. Παρατήρηση 2. Αφότου αρραβωνιαστεί πρώτη φορά μια γυναίκα δεν μένει ξανά μόνη. Μπορεί απλά να αντικαθιστά τον αρραβώνα της με αρραβώνα μεγαλύτερης προτίμησης. Ισχυρισμός. Ο αλγόριθμος τερματίζει μετά από το πολύ n 2 επαναλήψεις του βρόχου while. Ισχυρισμός. Όλοι οι άντρες και όλες οι γυναίκες αποκτούν ταίρι. Ισχυρισμός. Δεν υπάρχουν ασταθή ζευγάρια. 13
14 απόδειξη ορθότητας: Τερματισμός Παρατήρηση 1. Οι άντρες κάνουν προτάσεις στις γυναίκες σε φθίνουσα σειρά προτίμησης. Παρατήρηση 2. Αφότου αρραβωνιαστεί πρώτη φορά μια γυναίκα δεν μένει ξανά μόνη. Μπορεί απλά να αντικαθιστά τον αρραβώνα της με αρραβώνα μεγαλύτερης προτίμησης. Ισχυρισμός. Ο αλγόριθμος τερματίζει μετά από το πολύ n 2 επαναλήψεις του βρόχου while. Απ. Με κάθε εκτέλεση του βρόχου while ένας άντρας κάνει πρόταση σε μία γυναίκα. Υπάρχουν n 2 πιθανές προτάσεις. Ισχυρισμός. Στο παρακάτω παράδειγμα οι προτιμήσεις έχουν επιλεγεί έτσι ώστε ο αλγόριθμος Gale-Shapley να εκτελέσει πολλές φορές το βρόχο while (εάν κάνουν προτάσεις οι άντρες). 1 st 2 nd 3 rd 4 th 5 th 1 st 2 nd 3 rd 4 th 5 th Κώστας A B Γ Δ E Άννα Η Φ Χ Τ Κ Ηλίας B Γ Δ A E Βίκυ Φ Χ Τ Κ Η Φώτης Γ Δ A B E Γιώτα Χ Τ Κ Η Φ Χάρης Δ A B Γ E Δανάη Τ Κ Η Φ Χ Τάκης A B Γ Δ E Ελένη Κ Η Φ Χ Τ απαιτούνται n(n-1) + 1 προτάσεις 14
15 απόδειξη ορθότητας: τέλειο ταίριασμα Ισχυρισμός. Όλοι οι άντρες και όλες οι γυναίκες αποκτούν ταίρι. Pf. (απαγωγή σε άτοπο) Υποθέτουμε, για την απαγωγή σε άτοπο, ότι ο Τάκης δεν έχει ταίρι όταν τερματίσει ο αλγόριθμος. Αυτό σημαίνει ότι θα υπάρχει κάποια γυναίκα, πχ. η Άννα που επίσης δε θα έχει ταίρι όταν τερματίσει ο αλγόριθμος. Από την παρατήρηση 2, η Άννα δεν έχει δεχθεί καμία πρόταση. Όμως, ο Τάκης έχει προτείνει σε όλες, εφόσον καταλήγει να είναι χωρίς ταίρι. 15
16 απόδειξη ορθότητας: ευστάθεια Ισχυρισμός. Δεν υπάρχουν ασταθή ζευγάρια. Απόδειξη. (απαγωγή σε άτοπο) Έστω ότι σε ένα ταίριασμα S* που υπολογίστηκε με τον αλγόρθμο Gale- Shapley υπάρχουν δύο ζευγάρια m-w και m -w για τα οποία ισχύει: Ο m προτιμά την w από την w και η w προτιμά τον m από τον m. Περίπτωση 1: Ο m δεν πρότεινε στην w. Ο m προτιμάει την w του έναντι της w. το m-w είναι ευσταθές. οι άντρες κάνουν προτάσεις σε φθίνουσα σειρά προτίμησης S* Άννα-Χάρης Βίκυ-Τάκης... Περίπτωση 2: Ο m έκανε πρόταση στην w. η w απέρριψε τον m (άμεσα ή μετά από λίγο) η w προτιμάει το m της έναντι του m. το m -w είναι ευσταθές. οι γυναίκες μόνο βελτιώνουν τον αρραβώνα τους Σε κάθε περίπτωση λοιπόν, το m-w είναι ευσταθές άτοπο. 16
17 σύνοψη Πρόβλημα ευσταθούς ταιριάσματος. Δίνονται n άντρες και n γυναίκες και οι προτιμήσεις τους και ζητείται να βρεθεί ένα ευσταθές ταίριασμα, εάν υπάρχει. Αλγόριθμος Gale-Shapley. Εγγυάται την εύρεση ευσταθούς ταιριάσματος για κάθε στιγμιότυπο του προβλήματος. Ερώτημα. Πως θα υλοποιήσουμε τον αλγόριθμο GS αποδοτικά; Ερώτημα. Εάν υπάρχουν περισσότερα του ενός ευσταθή ταιριάσματα, ποιο θα βρει ο αλγόριθμος GS; 17
18 αποδοτική υλοποίηση αποδοτική υλοποίηση. Θα περιγράψουμε μια υλοποίηση με πολυπλοκότητα χρόνου O(n 2 ). Αναπαράσταση αντρών και γυναικών. Ας ονομάσουμε τους άντρες 1,, n. Ας ονομάσουμε τις γυναίκες 1',, n'. Αρραβώνες. Διατηρούμε μια λίστα ελεύθερων αντρών, πχ., δε μια ουρά (queue). Διατηρούμε δύο πίνακες wife[m], and husband[w]. δίνουμε σε ένα κελί στην τιμή 0 εάν το αντίστοιχο άτομο είναι ελεύθερο εάν ο m αρραβωνιαστεί με την w τότε wife[m]=w και husband[w]=m Οι άντρες κάνουν προτάσεις. Για κάθε άντρα, διατηρούμε μια λίστα γυναικών, διατεταγμένη με βάση τις προτιμήσεις του. Διατηρούμε έναν πίνακα count[m] που καταγράφει το πλήθος των προτάσεων που έκανε κάθε άντρας m. 18
19 αποδοτική υλοποίηση Οι γυναίκες αποδέχονται/απορρίπτουν. Προτιμάει η γυναίκα w τον άντρα m από τον άντρα m'? Για κάθε γυναίκα, δημιουργούμε μια αντίστροφη λίστα προτιμήσεων με τους άντρες. Απαιτείται O(n) χρόνος προ-επεξεργασίας για την αντιστροφή. Μετά μπορούμε να αποφασίσουμε σε σταθερό χρόνο (constant time) εάν μια γυναίκα προτιμάει έναν άντρα έναντι ενός άλλου. Amy Pref 1 st 8 2 nd 3 rd th 5 th 6 th 7 th 8 th Amy Inverse 4 th 8 th 2 nd 5 th 6 th 7 th 3 rd 1 st for i = 1 to n inverse[pref[i]] = i Η Άννα προτιμάει τον άντρα 3 από τον άντρα 6, εφόσον inverse[3] < inverse[6]
20 κατανόηση της λύσης Ερώτημα. Για συγκεκριμένο στιγμιότυπο του προβλήματος ενδέχεται να υπάρχουν περισσότερα του ενός ευσταθή ταιριάσματα. Κάθε εκτέλεση του αλγορίθμου Gale-Shapley δίνει το ίδιο ευσταθές ταίριασμα (εάν για παράδειγμα εξετάσουμε τους άντρες με διαφορετική σειρά); Εάν ναι, τότε ποιο είναι αυτό το ευσταθές ταίριασμα; Ένα στιγμιότυπο με δύο ευσταθή ταιριάσματα. A-Φ, B-Χ, C-Τ. A-Χ, B-Φ, C-Τ. 1 st 2 nd 3 rd 1 st 2 nd 3 rd Φώτης A B Γ Άννα Χ Φ Τ Χάρης B A Γ Βίκυ Φ Χ Τ Τάκης A B Γ Γιώτα Φ Χ Τ 20
21 κατανόηση της λύσης Ορισμός. Ο άντρας m είναι ένας έγκυρος σύντροφος της γυναίκας w εάν υπάρχει κάποιο ευσταθές ταίριασμα στο οποίο ο m και η w είναι ζευγάρι. Ανάθεση βέλτιστη για τους άντρες. Κάθε άντρας γίνεται ζευγάρι με την καλύτερη (υψηλότερη στις προτιμήσεις του) από τις έγκυρες συντρόφους του. Ισχυρισμός. Όλες οι εκτελέσεις του αλγορίθμου GS δίνουν ανάθεση βέλτιστη για τους άντρες, η οποία είναι ένα ευσταθές ταίριασμα! Είναι μάλλον μη αναμενόμενο ότι η ανάθεση που είναι βέλτιστη για τους άντρες είναι τέλεια (όλοι οι άντρες έχουν ταίρι), πολύ περισσότερο δε ότι είναι και ευσταθής (ή μήπως είναι αναμενόμενο αυτό;). Ταυτόχρονα βέλτιστη για κάθε έναν και για όλους τους άντρες. 21
22 Κατανόηση της λύσης Ισχυρισμός. Το ταίριασμα S* του αλγορίθμου GS είναι βέλτιστο για τους άντρες. Ισχυρισμός. Ο αλγόριθμος GS βρίσκει ένα χείριστο για τις γυναίκες ευσταθές ταίριασμα S*. 22
23 βέλτιστο για τους άντρες Ισχυρισμός. Το ταίριασμα S* του αλγορίθμου GS είναι βέλτιστο για τους άντρες. Απόδειξη. (με απαγωγή σε άτοπο) Έστω ότι στο ευσταθές ταίριασμα S* που υπολογίστηκε με τον αλγόριθμο GS υπάρχουν ένας ή περισσότεροι άντρες που δεν έχουν γίνει ζευγάρι με τη βέλτιστη σύντροφό τους. Όλοι οι άντρες κάνουν προτάσεις σε φθίνουσα κάποιος άντρας απορρίπτεται από μία έγκυρη σύντροφό του κατά την εκτέλεση του αλγορίθμου GS. Έστω ότι m είναι ο πρώτος άντρας που απορρίφθηκε από άλλη έγκυρη σύντροφό του (η οποία υποχρεωτικά θα είναι η υψηλότερης προτίμησης έγκυρη σύντροφο για τον m). Έστω w η πρώτη έγκυρη σύντροφος του m που τον απέρριψε. Έστω ότι στο S* όταν η w απορρίπτει τον m, συνάπτει δεσμό ή διατηρεί δεσμό με έναν άντρα, έστω m, τον οποίο προτιμάει έναντι του m. Δηλαδή: Στο S* η w απέρριψε τον m και είναι με τον m τον οποίο προτιμάει έναντι του m 23
24 βέλτιστο για τους άντρες (συνέχεια) Ισχυρισμός. Το ταίριασμα S* του αλγορίθμου GS είναι βέλτιστο για τους άντρες. Απόδειξη. (με απαγωγή σε άτοπο) Έχουμε μείνει στο ότι: Στο S* η w απέρριψε τον m και είναι με τον m τον οποίο προτιμάει έναντι του m Εφόσον w είναι έγκυρη σύντροφος του m θα υπάρχει ευσταθές ταίριασμα S όπου m και w είναι ζευγάρι. Στο S ο m υποχρεωτικά θα έχει άλλο ταίρι, έστω την w. Στο S*, ο m δεν έχει απορριφθεί από έγκυρη σύντροφο όταν ο m δέχεται την απόρριψη από την w. Επομένως ο m προτιμάει την w έναντι της w. Όμως η w προτιμάει τον m από τον m. Επομένως το m -w είναι ένα ασταθές ζεύγος στο S. Άρα το S δεν είναι ευσταθές ταίριασμα -> άτοπο. εφόσον αυτή είναι η πρώτη απόρριψη από έγκυρη σύντροφο στην εκτέλεση του αλγορίθμου 24
25 σύνοψη ευσταθούς ταιριάσματος Πρόβλημα ευσταθούς ταιριάσματος. Δεδομένων των προτιμήσεων n αντρών και n γυναικών, να βρεθεί ένα ευσταθές ταίριασμα. δεν υπάρχει άντρας και γυναίκα, που δεν είναι ζευγάρι, αλλά προτιμούν ο ένας τον άλλο περισσότερο από ότι τον τρέχοντα σύντροφό τους Αλγόριθμος Gale-Shapley. Βρίσκει ένα ευσταθές ταίριασμα σε χρόνο O(n 2 ). Βέλτιστο για άντρες. Όταν οι άντρες είναι αυτοί που κάνουν τις προτάσεις στον αλγόριθμο GS, κάθε άντρας αντιστοιχίζεται με τη βέλτιστη έγκυρη σύντροφο. η w είναι έγκυρη σύντροφος του m εάν υπάρχει κάποιο ευσταθές ταίριασμα όπου ο m και η w είναι ζευγάρι Ερώτημα. Η ιδιότητα του βέλτιστου για τους άντρες ισχύει σε βάρος των γυναικών; 25
26 Χείριστο για τις Γυναίκες Χείριστη ανάθεση για γυναίκες. Κάθε γυναίκα αντιστοιχίζεται με τον χειρότερο από τους έγκυρους συντρόφους της. Ισχυρισμός. Ο αλγόριθμος GS βρίσκει ένα χείριστο για τις γυναίκες ευσταθές ταίριασμα S*. Απόδειξη. Έστω ότι m-w είναι ζευγάρι στο S*, και ότι ο m δεν είναι ο χειρότερος έγκυρος σύντροφος για την w. Έστω ευσταθές ταίριασμα S στο οποίο η w αντιστοιχίζεται με έναν άντρα, έστω m, τον οποίο προτιμάει λιγότερο από τον m. Στο S, έστω w η σύντροφος του m. Ο m προτιμάει την w έναντι της w. ισχύει η βέλτιστη ανάθεση για τους άντρες στο S* Επομένως, στο S οι m και w θα προτιμούσαν να είναι ζευγάρι και επομένως m-w είναι ένα ασταθές ζεύγος στο S. 26
27 Επεκτάσεις: Αντιστοίχιση Γιατρών σε Νοσοκομεία Αντιστοιχία: άντρες νοσοκομεία, γυναίκες γιατροί. Παραλλαγή 1. Κάποιοι συμμετέχοντες δηλώνουν κάποιες αναθέσεις ως μη αποδεκτές. πχ. η γιατρός Α δεν δέχεται να εργαστεί στην Αθήνα Παραλλαγή 2. Το πλήθος των αντρών και γυναικών δεν είναι το ίδιο. Παραλλαγή 3. Περιορισμένη πολυγαμία. το νοσοκομείο X επιθυμεί να προσλάβει 3 γιατρούς Ορισμός. Το ταίριασμα S είναι ασταθές εάν υπάρχει νοσοκομείο h και γιατρός r τέτοια ώστε: h και r είναι αμοιβαία αποδεκτά, και είτε ο r είναι χωρίς αντιστοίχιση, είτε ο r προτιμάει το h έναντι του τρέχοντος νοσοκομείου του, και είτε το h δεν έχει καλύψει όλες τις θέσεις του, είτε ο h προτιμάει τον r σε σχέση με έναν τουλάχιστον από τους γιατρούς που του ανατέθηκαν. 27
28 Εφαρμογή: Ανάθεση γιατρών σε νοσοκομεία Πρόγραμμα NRMP. (National Resident Matching Program) Χρησιμοποιήθηκε αμέσως μετά το Δεύτερο Παγκόσμιο πόλεμο. Μέσα Μαρτίου, > γιατροί. Το δίλημμα του Απομακρυσμένου Νοσοκομείου. Ορισμένα νοσοκομεία (κυρίως σε αγροτικές/απομακρυσμένες περιοχές) δεν ήταν δημοφιλή και πολλοί γιατροί δήλωναν ότι δεν αποδέχονταν να πάνε σε αυτά. Τα απομακρυσμένα νοσοκομεία δεν κάλυπταν τις θέσεις τους στο πρόγραμμα ταιριάσματος NRMP. Πως μπορούμε να βρούμε ένα ευσταθές ταίριασμα που ευνοεί τα απομακρυσμένα νοσοκομεία? προτού διαδοθεί η χρήση των υπολογιστών Θεώρημα Απομακρυσμένων Νοσοκομείων (Rural Hospital Theorem). Τα απομακρυσμένα νοσοκομεία παίρνουν ακριβώς το ίδιο σύνολο γιατρών σε κάθε ευσταθές ταίριασμα! 28
29 Απάτη: Κίνητρο για ψευδείς δηλώσεις στον αλγόριθμο Gale-Shapley Ερώτηση. Μπορεί να υπάρχει κίνητρο να δηλώσει ένα άτομο ψευδή στοιχεία για τις προτιμήσεις του/της στον αλγόριθμο Gale-Shapley; Υποθέτουμε ότι γνωρίζουμε ότι θα εκτελεστεί ο αλγόριθμος Gale-Shapley με τις προτάσεις να γίνονται από τους άντρες. Υποθέτουμε ότι γνωρίζουμε τις προτιμήσεις όλων των υπολοίπων ατόμων. Απάντηση. Όχι, για όλους τους άντρες. Ναι, για ορισμένες γυναίκες. Κανένας μηχανισμός (mechanism) δεν μπορεί να εγγυηθεί ένα ευσταθές ταίριασμα και ταυτόχρονα να εξαλείψει κάθε κίνητρο για ψευδείς δηλώσεις. 1 st 2 nd 3 rd Φώτης 1 st A 2 nd B Γ 3 rd πραγματικές προτιμήσεις των γυναικών Άννα Βίκυ Γιώτα Χ Φ Φ Φ Χ Χ Τ Τ Τ Χάρης B A Γ Τάκης A B προτιμήσεις των αντρών Γ η Άννα λέει ψέματα Άννα Βίκυ 1 st 2 nd 3 rd Χ Τ Φ Φ Χ Τ Γιώτα Φ Χ Τ 29
30 Επιπλέον Διαφάνειες
31 Πρόβλημα Ευσταθούς Ταιριάσματος Σκοπός: Δεδομένων n αντρών και n γυναικών, να βρεθεί ένα κατάλληλο ταίριασμα. Κάθε άτομο ταξινομεί τα άτομα του αντίθετου φύλου. Κάθε άντρας δίνει λίστα με τις γυναίκες σε σειρά προτεραιότητας από την πρώτη προτίμησή του προς την τελευταία. Κάθε γυναίκα δίνει λίστα με τους άντρες σε σειρά προτεραιότητας από την πρώτη προτίμησή της προς τον τελευταία. πρώτη προτίμηση τελευταία προτίμηση 1 st 2 nd 3 rd 4 th 5 th Κώστας Βίκυ Άννα Δανάη Ελένη Clare Ηλίας Δανάη Βίκυ Άννα Clare Ελένη Φώτης Βίκυ Ελένη Clare Δανάη Άννα Χάρης Άννα Δανάη Clare Βίκυ Ελένη Τάκης Βίκυ Δανάη Άννα Ελένη Clare προτιμήσεις των αντρών 31
32 Πρόβλημα Ευσταθούς Ταιριάσματος Σκοπός: Δεδομένων n αντρών και n γυναικών, να βρεθεί ένα κατάλληλο ταίριασμα. Κάθε άτομο ταξινομεί τα άτομα του αντίθετου φύλου. Κάθε άντρας δίνει λίστα με τις γυναίκες σε σειρά προτεραιότητας από την πρώτη προτίμησή του προς την τελευταία. Κάθε γυναίκα δίνει λίστα με τους άντρες σε σειρά προτεραιότητας από την πρώτη προτίμησή της προς τον τελευταία. πρώτη προτίμηση τελευταία προτίμηση 1 st 2 nd 3 rd 4 th 5 th Άννα Τάκης Ηλίας Κώστας Χάρης Φώτης Βίκυ Φώτης Κώστας Χάρης Ηλίας Τάκης Γιώτα Κώστας Φώτης Χάρης Τάκης Ηλίας Δανάη Ηλίας Τάκης Χάρης Φώτης Κώστας Ελένη Χάρης Κώστας Τάκης Φώτης Ηλίας προτιμήσεις των γυναικών 32
33 κατανόηση της λύσης Ισχυρισμός. Το ευσταθές ταίριασμα που είναι βέλτιστο για τους άντρες είναι ασθενώς Pareto βέλτιστο (weakly Pareto optimal). Απόδειξη. Έστω Α η τελευταία γυναίκα σε κάποια εκτέλεση του αλγορίθμου GS που δέχεται μια πρόταση. Κανένας άντρας δεν έχει απορριφθεί από την Α, εφόσον ο αλγόριθμος τερματίζει όταν η τελευταία γυναίκα δέχεται την πρώτη πρόταση. Κανένας άντρας που αντιστοιχίζεται με την Α δεν μπορεί να είναι σε καλύτερη αντιστοίχιση από ότι στο βέλτιστο για τους άντρες ευσταθές ταίριασμα Δεν υπάρχει άλλο τέλειο ταίριασμα (είτε ευσταθές είτε ασταθές) όπου κάθε άντρας αντιστοιχίζεται σε αυστηρά υψηλότερη προτίμησή του 33
34 πηγές/αναφορές Κεφάλαιο 1, Σχεδίαση Αλγορίθμων, J. Kleinberg and E. Tardos, Ελληνική έκδοση από τις Εκδ. Κλειδάριθμος Αγγλικές διαφάνειες για το πρώτο κεφάλαιο από τον Kevin Wayne. 34
1.1 Ένα πρώτο πρόβληµα: Ευσταθές Ταίριασµα
Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή: Κάποια Αντιπροσωπευτικά Προβλήµατα Βασισµένο στις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Copyright 2005 Pearson-Addison Wesley. All rights reserved. 1 1.1 Ένα πρώτο πρόβληµα: Ευσταθές
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Κάποια Αντιπροσωπευτικά Προβλήµατα. Έκδοση 1.3, 29/02/2012. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή: Κάποια Αντιπροσωπευτικά Προβλήµατα Έκδοση 1.3, 29/02/2012 Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 1.1 Ένα πρώτο πρόβληµα: Ευσταθές Ταίριασµα Ταίριασµα
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 4η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Ευσταθές Ταίριασμα Πρόβλημα Ευσταθούς Ταιριάσματος
Διαβάστε περισσότεραΕυσταθές ταίριασμα. (υλικό βασισμένο στο βιβλίο. Slides by Kevin Wayne. Copyright 2005 Pearson-Addison Wesley. All rights reserved.
Ευσταθές ταίριασμα (υλικό βασισμένο στο βιβλίο των Kleinberg Tardos) Slides by Kevin Wayne. Copyright 2005 Pearson-Addison Wesley. All rights reserved. 1 Ανάθεση Ειδικευόμενων Ιατρών σε Νοσοκομεία Πρόβλημα.
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 6.0 Ευσταθή Ταιριάσματα Πρόβλημα Ευσταθούς Ταιριάσματος Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 4η
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 4η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραStable Matching. Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας
Stable Matching Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr 1 Ιστορία... Το 1962 οι Gale και Shapley δύο οικονομολόγοι μαθηματικοί (mathematical economists) έθεσαν το ερώτημα: Μπορούμε να σχεδιάσουμε
Διαβάστε περισσότεραΤο πρόβλημα του σταθερού γάμου
Το πρόβλημα του σταθερού γάμου Γάμος και Θεωρία Γραφημάτων Γάμος πρόβλημα ταιριάσματος Θα δούμε έναν αλγόριθμο ταιριάσματος (matching algorithm) που χρησιμοποιείται σε πολλές εφαρμογές Γνωριμίες (γραφεία,
Διαβάστε περισσότεραInitialize each person to be free. while (some man is free and hasn't proposed to every woman) { Choose such a man m w = 1 st woman on m's list to
Κεφάλαιο 2 Δοµές Δεδοµένων Ι Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 Δοµές Δεδοµένων Ι Στην ενότητα αυτή θα γνωρίσουµε ορισµένες Δοµές Δεδοµένων και θα τις χρησιµοποιήσουµε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.4, 30/10/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 1 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα Έκδοση 1.4, 30/10/2014 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 1.2 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα 1. Χρονοπρογραμματισμός Διαστημάτων
Διαβάστε περισσότεραGreat Theoretical Ideas In Computer Science
Steven Rudich Lecture 17 Great Theoretical Ideas In Computer Science Mar 14, 2003 CS 15-251 Spring 2003 Carnegie Mellon University Tα Μαθηματικά των Γνωριμιών του 1950: ποιος κερδίζει στη μάχη των φύλων;
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10: Επαναληπτική Βελτίωση Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι Οπισθοδρόµησης
Αλγόριθµοι Οπισθοδρόµησης Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Η οπισθοδρόµηση στο σχεδιασµό αλγορίθµων Το πρόβληµα των σταθερών γάµων και ο αλγόριθµος των Gale-Shapley Το πρόβληµα
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Έννοιες Δοµών Δεδοµένων
Δοµές Δεδοµένων Δοµές Δεδοµένων Στην ενότητα αυτή θα γνωρίσουµε ορισµένες Δοµές Δεδοµένων και θα τις χρησιµοποιήσουµε για την αποδοτική επίλυση του προβλήµατος του ευσταθούς ταιριάσµατος Βασικές Έννοιες
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4. Άπληστοι Αλγόριθµοι (Greedy Algorithms) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 4 Άπληστοι Αλγόριθµοι (Greedy Algorithms) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 4.1 Χρονοπρογραµµατισµός Διαστηµάτων Χρονοπρογραµµατισµός Διαστηµάτων Το πρόβληµα.
Διαβάστε περισσότεραΛίστα Λσ Προτίμησης Ανδρών. Έκτορας Βάσω Δήμητρα Άννα Ελένη Γεωργία. Βασίλης Δήμητρα Βάσω Άννα Γεωργία Ελένη Γιάννης Βάσω Ελένη Γεωργία Δήμητρα Άννα
Βασίλης Βασίλης Γά Βασίλης Ανδρέας Βασίλης Βασίλης Βασίλης Ανδρέας Βασίλης Ο Ανδρέας κάνει πρόταση στην. Βασίλης Γά Βασίλης Ανδρέας Βασίλης Βασίλης Βασίλης Ανδρέας Βασίλης Βασίλης Γά Βασίλης Ανδρέας Βασίλης
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβληµα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβληµα αναζήτησης είναι ένα πρόβληµα στο
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4.0 Επιλογή Αλγόριθμοι Επιλογής Select και Quick-Select Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros
Διαβάστε περισσότεραΑπλές Δοµές Δεδοµένων Στην ενότητα αυτή θα γνωρίσουµε ορισµένες απλές Δοµές Δεδοµένων και θα τις χρησιµοποιήσουµε για την αποδοτική επίλυση του προβλή
Απλές Δοµές Δεδοµένων Απλές Δοµές Δεδοµένων Στην ενότητα αυτή θα γνωρίσουµε ορισµένες απλές Δοµές Δεδοµένων και θα τις χρησιµοποιήσουµε για την αποδοτική επίλυση του προβλήµατος του ευσταθούς ταιριάσµατος
Διαβάστε περισσότεραΠροβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας
Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας October 11, 2011 Στο μάθημα Αλγοριθμική και Δομές Δεδομένων θα ασχοληθούμε με ένα μέρος της διαδικασίας επίλυσης υπολογιστικών προβλημάτων. Συγκεκριμένα θα δούμε τι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Παύλος Εφραιμίδης V1.1,
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Παύλος Εφραιμίδης V1.1, 2015-01-19 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ
ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2015-2016 Θέμα Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις προτάσεις 1-4 και δίπλα τη λέξη ΣΩΣΤΟ,
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΧαροκόπειο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής. Διπλωματική εργασία. «Υλοποίηση αλγορίθμων βελτιστοποίησης ευσταθούς κατανομής»
Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Διπλωματική εργασία «Υλοποίηση αλγορίθμων βελτιστοποίησης ευσταθούς κατανομής» Ευαγγελία Γιαννούση, itp13103 Επιβλέπων καθηγητής: Δρ. Παύλος Ειρηνάκης
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Ταξινόμησης Μέρος 4
Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Μέρος 4 Μανόλης Κουμπαράκης Δομές Δεδομένων και Τεχνικές 1 Μέθοδοι Ταξινόμησης Βασισμένοι σε Συγκρίσεις Κλειδιών Οι αλγόριθμοι ταξινόμησης που είδαμε μέχρι τώρα αποφασίζουν πώς να
Διαβάστε περισσότεραMh apofasisimèc gl ssec. A. K. Kapìrhc
Mh apofasisimèc gl ssec A. K. Kapìrhc 15 Maòou 2009 2 Perieqìmena 1 Μη αποφασίσιμες γλώσσες 5 1.1 Ανάγω το πρόβλημα A στο B................................. 5 1.2 Αναγωγές μη επιλυσιμότητας..................................
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι. Μάρθα Σιδέρη. epl333 lect
Αλγόριθμοι Μάρθα Σιδέρη epl333 lect1 2011 1 1 Τι είναι αλγόριθμος?? ιαδικασία για να λύνουμε υπολογιστικά προβλήματα. Βήμα βήμα σαφής διαδικασία επίλυσης προβλήματος (μετασχηματισμού της εισόδου στην επιθυμητή
Διαβάστε περισσότεραΜη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας
Διακριτά Μαθηματικά Τελική Εξέταση Απρίλιος 204 Σελ. από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Εισαγωγή Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Βιβλιογραφία Jon Kleinberg και Éva Tardos, Σχεδιασμός αλγορίθμων, Εκδόσεις Κλειδάριθμος,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.0 ( ) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 3 Γραφήµατα v1.0 (2010-05-25) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισµοί και Εφαρµογές γραφήµατα γράφηµα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4. Διαίρει και Βασίλευε (Divide and Conquer) Παύλος Εφραιμίδης V1.1,
Κεφάλαιο 4 Διαίρει και Βασίλευε (Divide and Conquer) Παύλος Εφραιμίδης V1.1, 2015-01-19 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 Διαίρει και Βασίλευε (Divide-and-Conquer) Διαίρει-και-βασίλευε
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) ({ G η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική που δεν παράγει καμιά λέξη με μήκος μικρότερο του 2 } (β) { Μ,w
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Τελικό επαναληπτικό διαγώνισμα Επιμέλεια: Δρεμούσης Παντελής
ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Τελικό επαναληπτικό διαγώνισμα Επιμέλεια: Δρεμούσης Παντελής ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες. 1. Μια διαδικασία
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 3: Παίγνια με περισσότερους παίκτες και μέθοδοι απλοποίησης παιγνίων. Ε. Μαρκάκης. Επικ.
Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 3: Παίγνια με περισσότερους παίκτες και μέθοδοι απλοποίησης παιγνίων Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Παίγνια πολλών παικτών 2 Παίγνια με > 2 παίκτες Όλοι οι ορισμοί που
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Λύσεις 2η σειράς ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης: 18 Μαίου 2015 Πρόβλημα 1. (14
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ανεπίλυτα Προβλήματα από τη Θεωρία Γλωσσών (5.1) To Πρόβλημα της Περάτωσης Το Πρόβλημα της Κενότητα
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3 Αλγόριθμοι Επιλογής Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Αλγόριθμοι Επιλογής Γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΠολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων. Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις.
Θέση Church-Turing I Πολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων. Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις Θέση Church-Turing: Όλες οι υπολογίσιμες συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Η δομή δεδομένων Σωρός και η Ταξινόμηση Σωρού (The Heap data structure and Heapsort) Έκδοση 1.3, 14/11/2014
Κεφάλαιο 2 Η δομή δεδομένων Σωρός και η Ταξινόμηση Σωρού (The Heap data structure and Heapsort) Έκδοση 1.3, 14/11/2014 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 Σωρός και Ταξινόμηση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Βασικά στοιχεία ανάλυσης αλγορίθμων. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 2 Βασικά στοιχεία ανάλυσης αλγορίθμων Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 2.1 Υπολογιστική Επιλυσιμότητα "For me, great algorithms are the poetry of computation.
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G,k η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική η οποία παράγει κάποια λέξη 1 n όπου n k } (β) { Μ,k η Μ είναι
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Ταξινόμησης Μέρος 1
Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Μέρος 1 Μανόλης Κουμπαράκης 1 Το Πρόβλημα της Ταξινόμησης Το πρόβλημα της ταξινόμησης (sorting) μιας ακολουθίας στοιχείων με κλειδιά ενός γνωστού τύπου (π.χ., τους ακέραιους ή τις
Διαβάστε περισσότεραΤαιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του
Ταιριάσματα Γράφημα Ταίριασμα (matching) Σύνολο ακμών τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Θέλουμε να βρούμε ένα μέγιστο ταίριασμα (δηλαδή με μέγιστο αριθμό ακμών) Ταιριάσματα
Διαβάστε περισσότεραΜαθησιακές δυσκολίες ΙΙ. Παλαιγεωργίου Γιώργος Τμήμα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
Μαθησιακές δυσκολίες ΙΙ Παλαιγεωργίου Γιώργος Τμήμα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Μάρτιος 2010 Προηγούμενη διάλεξη Μαθησιακές δυσκολίες Σε όλες
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι. Μάρθα Σιδέρη. ιαδικαστικά: ύο πρόοδοι 31 Μαρτίου, 18 Μαΐου 7-9μμ 20% η μία, ύο Προγραμματιστικές 1 προσθετικό βαθμό η μία.
Αλγόριθμοι Μάρθα Σιδέρη epl333 lect 011 1 ιαδικαστικά: ύο πρόοδοι 31 Μαρτίου, 18 Μαΐου 7-9μμ 0% η μία, ύο Προγραμματιστικές 1 προσθετικό βαθμό η μία. Οι πρόοδοι είναι προαιρετικές και το ποσοστό μετράει
Διαβάστε περισσότεραΚοινωνικά Δίκτυα Θεωρία Παιγνίων
Κοινωνικά Δίκτυα Θεωρία Παιγνίων Ν. Μ. Σγούρος Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων, Παν. Πειραιώς sgouros@unipi.gr Ορισμοί Ένα Παίγνιο (game) ορίζεται ως μια δραστηριότητα με τα ακόλουθα τρία χαρακτηριστικά: Υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι
Θέματα Απόδοσης Αλγορίθμων 1 Η Ανάγκη για Δομές Δεδομένων Οι δομές δεδομένων οργανώνουν τα δεδομένα πιο αποδοτικά προγράμματα Πιο ισχυροί υπολογιστές πιο σύνθετες εφαρμογές Οι πιο σύνθετες εφαρμογές απαιτούν
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτικά προβλήματα σχετικά με την έννοια της επανάληψης
Διδακτικά προβλήματα σχετικά με την έννοια της επανάληψης Έρευνες-Δομές Επανάληψης Από τις έρευνες προκύπτει ότι οι αρχάριοι προγραμματιστές δεν χρησιμοποιούν αυθόρμητα την επαναληπτική διαδικασία για
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 16: Αναγωγές
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 16: Αναγωγές Τι θα κάνουμε σήμερα Το Πρόβλημα του Τερματισμού (4.2) Εισαγωγή στις Αναγωγές Ανεπίλυτα Προβλήματα από την Θεωρία των Γλωσσών (5.1) Απεικονιστικές
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 3 Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισµοί και Εφαρµογές γραφήµατα γράφηµα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2017 18 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης 8.1. (i) Έστω ότι α και β είναι δύο τύποι της προτασιακής
Διαβάστε περισσότεραΝα γράψετε τους αριθμούς 1, 2, 3 από τη Στήλη Α και δίπλα το γράμμα α, β, γ, δ, ε από τη Στήλη Β που δίνει τη σωστή αντιστοιχία.
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 2016-2017 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : Προγραμματισμός Υπολογιστών / Γ ΕΠΑ.Λ. ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 22-1-2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΙΧΑΛΕΑΚΟΣ- ΑΝΝΑ ΚΑΤΡΑΚΗ ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Μέρος 5ο ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1 Η ΕΝΤΟΛΗ for Με την εντολή for δημιουργούμε βρόχους επανάληψης σε
Διαβάστε περισσότεραΚατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων
ΕΠΛ Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Σεπτέμβριος 008 Κατ οίκον Εργασία Σκελετοί Λύσεων Άσκηση Παρατηρούμε ότι ο χρόνος εκτέλεσης μέσης περίπτωσης της κάθε εντολής if ξεχωριστά: if (c mod 0) for (k ; k
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 8η
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 8η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΑΞΗ: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ HM/NIA: 21/2/2016
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΑΞΗ: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ HM/NIA: 21/2/2016 ΘΕΜΑ A (Α1) Να σημειώσετε με κατάλληλο τρόπο ανάλογα με το αν θεωρείτε σωστή ή λανθασμένη κάθε μία από τις
Διαβάστε περισσότερα5. Απλή Ταξινόμηση. ομές εδομένων. Χρήστος ουλκερίδης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων
Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 5. Απλή Ταξινόμηση 2 ομές εδομένων 4 5 Χρήστος ουλκερίδης Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 11/11/2016 Εισαγωγή Η
Διαβάστε περισσότερα, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκοντες: Δ.Φωτάκης Θ. Σούλιου η Γραπτή Εργασία Ημ/νια παράδοσης 5/4/8 Θέμα (Διαδικασίες Απαρίθμησης.
Διαβάστε περισσότερα3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων
1/48 3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΣΗΜΜΥ, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 2/48 1 Άσκηση 1: Πομποί και Δέκτες 2 Άσκηση 2: Διακοπές στην Ικαρία 3 Άσκηση 3: Επιστροφή στη Γη 4 Άσκηση
Διαβάστε περισσότερα5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ 5.1 Εισαγωγή στους αλγορίθμους 5.1.1 Εισαγωγή και ορισμοί Αλγόριθμος (algorithm) είναι ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών οι οποίες εκτελούν κάποιο ιδιαίτερο έργο. Κάθε αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος
Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr
Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Πολυταινιακές Μηχανές Turing (3.2.1) Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων...
Περιεχόμενα Ανάλυση προβλήματος 1. Η έννοια πρόβλημα...13 2. Επίλυση προβλημάτων...17 Δομή ακολουθίας 3. Βασικές έννοιες αλγορίθμων...27 4. Εισαγωγή στην ψευδογλώσσα...31 5. Οι πρώτοι μου αλγόριθμοι...54
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4)
Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Η διαδικαστική γλώσσα προγραμματισμού WHILE Τριάδες Hoare Μερική και Ολική Ορθότητα Προγραμμάτων Κανόνες
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.
Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά
Διαβάστε περισσότεραΕπιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη
Επιλογή και επανάληψη Η ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το κεφάλαιο είναι συναφής µε την ύλη που αναπτύσσεται στο 2 ο κεφάλαιο. Όπου υπάρχουν διαφορές αναφέρονται ρητά. Προσέξτε ιδιαίτερα, πάντως, ότι στο
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 4 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΛήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων
Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον Θεωρία Παιγνίων Αβεβαιότητα παρουσία άλλου πράκτορα Μια άλλη πηγή αβεβαιότητας είναι η παρουσία άλλου πράκτορα στο περιβάλλον, ακόμα κι όταν ένας πράκτορας είναι
Διαβάστε περισσότεραq(g \ S ) = q(g \ S) S + d = S.
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος & Σ. Κ. Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε
Διαβάστε περισσότερα10/3/17. Μικροοικονομική. Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων. Μια σύγχρονη προσέγγιση. Εφαρµογές της θεωρίας παιγνίων. Τι είναι τα παίγνια;
HA. VAIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Θεωρία παιγνίων Η θεωρία παιγνίων βοηθά στην ανάλυση της στρατηγικής συμπεριφοράς από φορείς που κατανοούν ότι οι
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 5 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΜη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας
Εισαγωγή στο Σχεδιασμό & την Ανάλυση Αλγορίθμων Εξέταση Ιουνίου 2015 Σελ. 1 από 7 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΚΟΥ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΥ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΚΟΥ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΥ 1) Στο «Τουρνουά Τένις» του Ιουλίου πρόκειται να συμμετάσχουν 250 άτομα. Σύμφωνα με τις δηλώσεις των παικτών του τουρνουά τένις, ένας στους δέκα παίκτες είναι
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτικές Ερωτήσεις Θεωρίας
Ενδεικτικές Ερωτήσεις Θεωρίας Κεφάλαιο 2 1. Τι καλούμε αλγόριθμο; 2. Ποια κριτήρια πρέπει οπωσδήποτε να ικανοποιεί ένας αλγόριθμος; 3. Πώς ονομάζεται μια διαδικασία που δεν περατώνεται μετά από συγκεκριμένο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ' ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΑΡΧΗ lησ ΣΕΛΙΔΑΣ - Δ/ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ' ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 13 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότεραΕπισκόπηση του Αλγορίθμου Gale-Shapley για το πρόβλημα σταθερού γάμου 1 / 10
1 / 10 Λ3 - Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ι Διδάσκων: Η. Κουτσουπιάς Καραγεώργος Βασίλειος Επισκόπηση του Αλγορίθμου Gale-Shapley για το πρόβλημα σταθερού γάμου Εισαγωγή Το 1962, οι David Gale και Lloyd
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3. Γραφήματα. v1.3 ( ) Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 3 Γραφήματα v1.3 (2014-01-30) Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισμοί και Εφαρμογές γραφήματα γράφημα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΑΕΠΠ/Γ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ-ΘΕΡΙΝΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 12/11/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΚΑΤΡΑΚΗ Α.-ΣΙΟΤΡΟΠΟΣ Π.-ΛΙΟΔΑΚΗΣ Ε.
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 2017-2018 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΑΕΠΠ/Γ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ-ΘΕΡΙΝΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 12/11/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΚΑΤΡΑΚΗ Α.-ΣΙΟΤΡΟΠΟΣ Π.-ΛΙΟΔΑΚΗΣ Ε. ΘΕΜΑ Α Α1. Να γράψετε τον αριθμό
Διαβάστε περισσότεραΚατανεμημένα Συστήματα Ι
Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 27 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 1 Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Προηγούμενη
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα 2. Λύση & Επεξηγήσεις. Τέλος_επανάληψης Εμφάνισε "Ναι" Τέλος Α2
Διδακτική πρόταση ΕΝΟΤΗΤΑ 2η, Θέματα Θεωρητικής Επιστήμης των Υπολογιστών Κεφάλαιο 2.2. Παράγραφος 2.2.7.4 Εντολές Όσο επανάλαβε και Μέχρις_ότου Η διαπραγμάτευση των εντολών επανάληψης είναι σημαντικό
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΞΗ: ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Ημερομηνία: Σάββατο 20 Απριλίου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΜη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας
Μαθηματική Λογική Τελική εξέταση Ιούλιος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΑσκή σεις στή δομή επανα λήψής
Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον 1 Ασκή σεις στή δομή επανα λήψής Ανάγνωση Στοιχείων Εύρεση Πλήθους 1. Να γραφεί αλγόριθμος ο οποίος να διαβάζει Ν πραγματικούς αριθμούς. Αλγόριθμος Άσκηση1
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Ελάχιστα Γεννητικά Δένδρα Ελάχιστο Γεννητικό
Διαβάστε περισσότεραΤΕΤΑΡΤΟ 4 ο δίωρο: ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Γιώτη Ιφιγένεια (Α.Μ. 6222) Λίβα Παρασκευή (Α.Μ. 5885)
ΤΕΤΑΡΤΟ 4 ο δίωρο: ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Γιώτη Ιφιγένεια (Α.Μ. 6222) Λίβα Παρασκευή (Α.Μ. 5885) Ανάλυση σε επιμέρους στόχους: 1. Εκτιμούν τη μορφή γραφημάτων με βάση τα δεδομένα τους. 2. Κατανοούν ότι
Διαβάστε περισσότεραΑ1. Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις με τη λέξη Σωστή ή με τη λέξη Λάθος.
ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΑΕΠΠ / Γ- ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08-11-2015 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Ι.ΜΙΧΑΛΕΑΚΟΣ- Α.ΚΑΤΡΑΚΗ - Π.ΣΙΟΤΡΟΠΟΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις
Διαβάστε περισσότερα53 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σ Α Β Β Α Ϊ Δ Η Μ Α Ν Ω Λ Α Ρ Α Κ Η
53 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σ Α Β Β Α Ϊ Δ Η Μ Α Ν Ω Λ Α Ρ Α Κ Η ΠΑΓΚΡΑΤΙ: Φιλολάου & Εκφαντίδου 26 : 210/76.01.470 210/76.00.179 ΘΕΜΑ Α [Α.1.1]. Από ποιους παράγοντες εξαρτάται η επιλογή της
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότερα2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ
ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Σημειώστε αν είναι
Διαβάστε περισσότεραΆπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17)
Άπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Σχεδιασµός αλγορίθµων µε Άπληστους Αλγόριθµους Στοιχεία άπληστων αλγορίθµων Το πρόβληµα επιλογής εργασιών ΕΠΛ 232
Διαβάστε περισσότεραΠληροφορική 2. Αλγόριθμοι
Πληροφορική 2 Αλγόριθμοι 1 2 Τι είναι αλγόριθμος; Αλγόριθμος είναι ένα διατεταγμένο σύνολο από σαφή βήματα το οποίο παράγει κάποιο αποτέλεσμα και τερματίζεται σε πεπερασμένο χρόνο. Ο αλγόριθμος δέχεται
Διαβάστε περισσότεραΤομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα
Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)
Διαβάστε περισσότεραΕιδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων
Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 α) Η δομή σταθμισμένης ένωσης με συμπίεση διαδρομής μπορεί να τροποποιηθεί πολύ εύκολα ώστε να υποστηρίζει τις
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4. Διαίρει και Βασίλευε (Divide and Conquer) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 4 Διαίρει και Βασίλευε (Divide and Conquer) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 Διαίρει και Βασίλευε (Divide-and-Conquer) Διαίρει-και-βασίλευε (γενικά) Χωρίζουµε
Διαβάστε περισσότερα