Great Theoretical Ideas In Computer Science

Transcript

1 Steven Rudich Lecture 17 Great Theoretical Ideas In Computer Science Mar 14, 2003 CS Spring 2003 Carnegie Mellon University Tα Μαθηματικά των Γνωριμιών του 1950: ποιος κερδίζει στη μάχη των φύλων;

2 WARNING: This lecture contains mathematical content that may be shocking to some students.

3 3,2,5,1,4 1,2,5,3,4 4,3,2,1,5 1,3,4,2,5 1,2,4,5, ,5,2,1,4 5,2,1,4,3 4,3,5,1,2 1,2,3,4,5 2,3,4,1,5 5 5

4 Σενάριο εύρεσης συντρόφου Υπάρχουν n αγόρια και n κορίτσια Κάθε κορίτσι διατηρεί λίστα προτίμησης για όλα τα αγόρια Κάθε αγόρι διατηρεί λίστα προτίμησης για όλα τα κορίτσια Στις λίστες υπάρχει 1 στοιχείο σε κάθε θέση Ερώτηση: Πώς κάνουμε το ταίριασμα; Με βάση ποια κριτήρια;

5 3,2,5,1,4 1,2,5,3,4 4,3,2,1,5 1,3,4,2,5 1,2,4,5, ,5,2,1,4 5,2,1,4,3 4,3,5,1,2 1,2,3,4,5 2,3,4,1,5 5 5

6 Αρκετά στοιχεία δίνουν ένα καλό ταίριασμα Μεγιστοποίηση της συνολικής ικανοποίησης Hong Kong και σε μεγάλο βαθμό United States Μεγιστοποίηση της ελάχιστης ικανοποίησης Δυτική Ευρώπη Ελαχιστοποίηση της μέγιστης διαφοράς στην κατάταξη των συντρόφων Σουηδία Μεγιστοποίηση του πλήθους των ατόμων που λαμβάνουν την πρώτη τους επιλογή Barbie και Ken Land

7 Δεν θα λάβουμε υπόψιν το τι είναι δίκαιο!

8 Παράνομα ζεύγη Υποθέστε ότι ταιριάζουμε όλα τα αγόρια και τα κορίτσια. Υποθέστε ότι κάποιο αγόρι και κάποιο κορίτσι θέλουν να είναι μαζί και όχι με τους συντρόφους που έλαβαν. Αυτοί αποτελούν ένα παράνομο ζεύγος.

9 Γιατί να είμαστε με αυτούς όταν μπορούμε να είμαστε μαζί;

10 Σταθερά ταιριάσματα Ένα ταίριασμα αγοριών-κοριτσιών καλείται σταθερό αν δεν περιέχει παράνομα ζεύγη. 3,2,5,1,4 1,2,5,3,4 4,3,2,1,5 1,3,4,2,5 1,2,4,5, ,5,2,1,4 5,2,1,4,3 4,3,5,1,2 1,2,3,4,5 2,3,4,1,5

11 Τι σημασία έχει η δικαιοσύνη αν δεν υπάρχει σταθερότητα; Κάθε λίστα κριτηρίων για καλά ταιριάσματα πρέπει να περιλαμβάνει τη σταθερότητα (stability) stability).. (Ένα( ταίριασμα είναι καταδικασμένο αν περιέχει παράνομο ζεύγος.) Κάθε λογική λίστα κριτηρίων πρέπει να περιέχει ως κριτήριο τη σταθερότητα.

12 Κοινωνική και πολιτική σοφία του Steven Rudich: H βιωσιμότητα αποτελεί προϋπόθεση για δίκαιη πολιτική.

13 Η μελέτη της σταθερότητας αποτελεί αντικείμενο της διάλεξης. Στη συνέχεια: Θα αναλύσουμε διάφορες μαθηματικές ιδιότητες ενός αλγορίθμου που μοιάζει με το πώς γινόταν η εύρεση συντρόφων το 1950 Θα ανακαλύψουμε τη γυμνή μαθηματική αλήθεια σχετικά με το ποιο φύλο διατηρεί τη ρομαντική πλευρά Θα δούμε πώς λειτουργεί η πιο επιτυχημένη παγκοσμίως υπηρεσία γνωριμιών

14 Δεδομένου ενός συνόλου λιστών προτιμήσεων, πώς βρίσκουμε ένα σταθερό ταίριασμα;

15 Δεδομένου ενός συνόλου λιστών προτιμήσεων, πώς βρίσκουμε ένα σταθερό ταίριασμα; Ένα λεπτό! Δεν γνωρίζουμε καν αν υπάρχει τέτοιο ταίριασμα!

16 Δεδομένου ενός συνόλου λιστών προτιμήσεων, πώς βρίσκουμε ένα σταθερό ταίριασμα; Πώς μπορούμε να τροποποιήσουμε την ερώτηση που θέσαμε;

17 Καλύτερες ερωτήσεις: Περιέχει κάθε σύνολο λιστών κριτηρίων κάποιο σταθερό ταίριασμα; Υπάρχει γρήγορος αλγόριθμος που, δεδομένου οποιουδήποτε συνόλου λιστών προτιμήσεων, να υπολογίζει ένα σταθερό ταίριασμα, εφόσον υπάρχει;

18 Σκεφτείτε την εξής ερώτηση: Περιέχει κάθε σύνολο λιστών κριτηρίων κάποιο σταθερό ταίριασμα;

19 Ιδέα: Επίτρεψε στα ζεύγη να χωρίζουν και να ξαναφτιάχνονται έως ότου γίνουν σταθερά.

20 Μπορούμε να επιχειρηματολογήσουμε για το ότι τα ζεύγη δεν θα χωρίζουν και θα ξαναφτιάχνονται ες αεί;

21 2,3,4 Μια παραλλαγή: bisexual dating 3,1, ,2,4 *,*,* 3 4

25 2,3,4 Ασταθείς συγκάτοικοι σε ατέρμονη κίνηση. 3,1, ,2,4 *,*,* 3 4

26 Διαίσθηση Κάθε απόδειξη για το ότι ετερόφυλα ζεύγη δεν χωρίζουν και ξαναφτιάχνοται συνεχώς πρέπει να περιέχει κάποιο βήμα που αποτυγχάνει στην bisexual περίπτωση

27 Διαίσθηση Αν έχουμε ιδέα για απόδειξη που δουλεύει εξίσου καλά στην ετερόφυλη εκδοχή και στην bisexual εκδοχή, τότε η ιδέα αυτή δεν είναι κατάλληλη για να συμπεράνουμε ότι τα ζεύγη τελικά σταματούν να μεταβάλλονται

28 Ο παραδοσιακός Marriage Algorithm

29 Ο παραδοσιακός Marriage Algorithm Ενδιαφερόμενοι άντρες Γυναίκα Σκοινί

30 Ο παραδοσιακός Marriage Algorithm Κάθε μέρα που κάποιο αγόρι λαμβάνει ένα Όχι : Πρωί Κάθε κορίτσι κάθεται στο μπαλκόνι της Κάθε αγόρι προτείνει κάτω από το μπαλκόνι του κοριτσιού που προτιμάει περισσότερο και παραμένει στη λίστα του Απόγευμα (για τα κορίτσια για τα οποία ενδιαφέρεται τουλάχιστον ένα αγόρι) Στο καλύτερο αγόρι που ενδιαφέρθηκε σήμερα: Ίσως, ξαναπέρνα αύριο Στα υπόλοιπα αγόρια: Όχι, δεν σε θέλω Βράδυ Κάθε αγόρι που απορρίφθηκε διαγράφει το κορίτσι από τη λίστα προτιμήσεών του Κάθε κορίτσι μένει με το αγόρι που του είπε ίσως

31 Ο παραδοσιακός Marriage Algorithm πάντα παράγει σταθερό ταίριασμα;

32 Ο παραδοσιακός Marriage Algorithm πάντα παράγει σταθερό ταίριασμα; Ένα λεπτό! Υπάρχει βασικότερη ερώτηση!

33 Ο παραδοσιακός Marriage Algorithm τερματίζει πάντα; Μπορεί να υπάρξει περίπτωση για την οποία ο αλγόριθμος δεν καθορίζει τι πρέπει να γίνει (core dump error) Μπορεί να συνεχίσει να εκτελείται για άπειρο αριθμό ημερών

34 Ο παραδοσιακός Marriage Algorithm Κάθε μέρα που κάποιο αγόρι λαμβάνει ένα Όχι : Πρωί Κάθε κορίτσι κάθεται στο μπαλκόνι της Κάθε αγόρι προτείνει κάτω από το μπαλκόνι του κοριτσιού που προτιμάει περισσότερο και παραμένει στη λίστα του Απόγευμα (για τα κορίτσια για τα οποία ενδιαφέρεται τουλάχιστον ένα αγόρι) Στο καλύτερο αγόρι που ενδιαφέρθηκε σήμερα: Ίσως, ξαναπέρνα αύριο Στα υπόλοιπα αγόρια: Όχι, δεν σε θέλω Βράδυ Κάθε αγόρι που απορρίφθηκε διαγράφει το κορίτσι από τη λίστα προτιμήσεών του Κάθε κορίτσι μένει με το αγόρι που του είπε ίσως

35 Λήμμα Βελτίωσης: Αν ένα κορίτσι έχει δεσμεύσει κάποιο αγόρι, τότε το κορίτσι πάντα θα έχει δεσμευμένο κάποιο αγόρι τουλάχιστον τόσο καλό όσο αυτό που δέσμευσε. Θα απέρριπτε το αγόρι που ήδη έχει δεσμεύσει για να πει ίσως σε κάποιο καλύτερο αγόρι Θα απέρριπτε το καλύτερο αγόρι για κάποιο ακόμα καλύτερο Θα απέρριπτε το ακόμα καλύτερο αγόρι για κάποιο ακόμα καλύτερο κοκ Άτυπη Επαγωγή

36 Λήμμα Βελτίωσης: Αν ένα κορίτσι έχει δεσμεύσει κάποιο αγόρι, τότε το κορίτσι πάντα θα έχει δεσμευμένο κάποιο αγόρι τουλάχιστον τόσο καλό όσο αυτό που δέσμευσε. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Έστω q η ημέρα που το κορίτσι δέσμευσε για πρώτη φορά το αγόρι b. Αν δεν ισχύει το Λήμμα, θα πρέπει να υπάρχει μικρότερο k τέτοιο ώστε το κορίτσι δέσμευσε κάποιο αγόρι b * κατώτερο του b κατά την ημέρα q+k. Όμως μία ημέρα νωρίτερα, είχε δεσμεύει κάποιο αγόρι τουλάχιστον τόσο καλό όσο το b. Επομένως, κάποιο αγόρι καλύτερο από το b * επέστρεψε την επόμενη ημέρα. Το κορίτσι θα διαλέξει το καλύτερο αγόρι οπότε δημιουργείται αντίφαση για το ότι δέσμευσε κάποιο αγόρι χειρότερο από το b την ημέρα q+k. Τυπική Επαγωγή

37 Συμπέρασμα: Κάθε κορίτσι θα δεσμευτεί με το αγόρι που προτιμάει περισσότερο από αυτά που την διεκδίκησαν κατά την εκτέλεση του TMA

38 Λήμμα: Κανένα αγόρι δεν μπορεί να απορριφθεί από όλα τα κορίτσια Απόδειξη με εις άτοπον απαγωγή. Έστω αγόρι b που απορρίφθηκε από όλα τα κορίτσια. Τότε: Κάθε κορίτσι πρέπει να έχει κάποιο αγόρι διαφορετικό του b (με βάση το Λήμμα Βελτίωσης, αφότου κάποιο κορίτσι δεσμεύσει κάποιο αγόρι πάντα θα έχει τουλάχιστον ένα αγόρι) Τα n κορίτσια έχουν δεσμεύσει n αγόρια, και το b δεν είναι ανάμεσα σε αυτά. Επομένως, υπάρχουν τουλάχιστον n+1 αγόρια Άτοπο

39 Θεώρημα: Ο παραδοσιακός Marriage Algorithm (TMA) τερματίζει πάντα σε το πολύ n 2 ημέρες Η βασική λίστα όλων των n αγοριών περιέχει αρχικά n X n = n 2 κορίτσια. Κάθε ημέρα που τουλάχιστον ένα αγόρι λαμβάνει ένα Όχι, τουλάχιστον ένα κορίτσι διαγράφεται από τη βασική λίστα Επομένως, ο αριθμός των ημερών φράσσεται από το αρχικό μέγεθος της βασικής λίστας Επιπλέον, αφού κάθε λίστα ποτέ δεν μειώνεται κάτω από 1, ο αριθμός των ημερών φράσσεται από την ποσότητα n(n-1) = n 2.

40 Άψογα! Γνωρίζουμε ότι ο TMA τερματίζει και παράγει ταίριασμα. Είναι το ταίριασμα σταθερό;

41 Θεώρημα: Έστω T το ταίριασμα που παράγεται από τον TMA. Το T είναι σταθερό. g b g *

42 Θεώρημα: Έστω T το ταίριασμα που παράγεται από τον TMA. Το T είναι σταθερό. Σας απέρριψα όταν ήρθατε στο μπαλκόνι μου, τώρα έχω καλύτερο αγόρι. g b g *

43 Θεώρημα: Έστω T το ταίριασμα που παράγεται από τον TMA. Το T είναι σταθερό. Έστω b και g αυθαίρετο ζευγάρι στο T. Υποθέστε ότι το b προτιμάει το g * από το g. Θα δείξουμε ότι το g * προτιμάει το αγόρι της από το b. Κατά την εκτέλεση του TMA, το b διεκδίκησε τη g * πριν διεκδικήσει τη g. Επομένως, κάποια στιγμή η g * απέρριψε το b για κάποιο αγόρι που προτιμούσε. Με βάση το Λήμμα Βελτίωσης, το αγόρι με το οποίο κατέληξε το προτιμούσε επίσης σε σύγκριση με το b. Άρα, κάθε αγόρι θα απορριφθεί από κάθε κορίτσι που προτιμάει από αυτό με το οποίο έμεινε τελικά. Το T είναι σταθερό.

44 Γκάλοπ Ποιοι έχουν καλύτερα αποτελέσματα στις παραδοσιακές γνωριμίες, τα αγόρια ή τα κορίτσια;

45 Ξεχάστε τον TMA για λίγο Πώς θα ορίζαμε αυτό που εννοούμε όταν λέμε το βέλτιστο κορίτσι για κάποιο αγόρι b? Ελαττωματική Απόπειρα: Το κορίτσι στην κορυφή της λίστας του b

46 To Βέλτιστο Κορίτσι Για ένα αγόρι το βέλτιστο κορίτσι είναι αυτό που βρίσκεται ψηλότερα στη λίστα προτίμησης του αγοριού και ανατίθεται στο αγόρι σε κάποιο σταθερό ταίριασμα. Είναι το καλύτερο κορίτσι που μπορεί θεωρητικά να πάρει σε ένα σταθερό κόσμο. Πιθανώς, να είναι καλύτερη από το κορίτσι που θα του ανατεθεί στο σταθερό ταίριασμα που παράγεται από τον TMA.

47 Το Χείριστο Κορίτσι Για ένα αγόρι το χείριστο κορίτσι είναι αυτό που βρίσκεται χαμηλότερα στη λίστα προτίμησης του αγοριού και ανατίθεται στο αγόρι σε κάποιο σταθερό ταίριασμα. Είναι το χειρότερο κορίτσι που μπορεί θεωρητικά να πάρει σε ένα σταθερό κόσμο.

48 Ο Παράδεισος και η Κόλαση των γνωριμιών Ένα ταίριασμα είναι βέλτιστο για τα αγόρια (male- optimal) αν κάθε αγόρι λαμβάνει τη βέλτιστη σύντροφο. Είναι ο καλύτερος από όλους τους σταθερούς κόσμους για όλα τα αγόρια ταυτόχρονα. Ένα ταίριασμα είναι χείριστο για τα αγόρια (male- pessimal) αν κάθε αγόρι λαμβάνει τη χείριστη σύντροφο. Είναι ο χειρότερος από όλους τους σταθερούς κόσμους για όλα τα αγόρια ταυτόχρονα.

49 Ο Παράδεισος και η Κόλαση των γνωριμιών Ένα ταίριασμα είναι βέλτιστο για τα αγόρια (male- optimal) αν κάθε αγόρι λαμβάνει τη βέλτιστη σύντροφο. Επομένως, το ταίριασμα αναθέτει ταυτόχρονα σε κάθε αγόρι τη βέλτιστη σύντροφο. Ένα male-optimal ταίριασμα είναι πάντα σταθερό;

50 Ο Παράδεισος και η Κόλαση των γνωριμιών Ένα ταίριασμα είναι βέλτιστο για τα κορίτσια (female-optimal) αν κάθε κορίτσι λαμβάνει το βέλτιστο σύντροφο. Είναι ο καλύτερος από όλους τους σταθερούς κόσμους για όλα τα κορίτσια ταυτόχρονα. Ένα ταίριασμα είναι χείριστο για τα κορίτσια (female-pessimal pessimal) αν κάθε κορίτσι λαμβάνει το χείριστο σύντροφο. Είναι ο χειρότερος από όλους τους σταθερούς κόσμους για όλα τα κορίτσια ταυτόχρονα.

51 Η γυμνή μαθηματική αλήθεια! Ο Traditional Marriage Algorithm πάντα παράγει male-optimal optimal, female- pessimal ταιριάσματα.

52 Θεώρημα: ο TMA παράγει male-optimal ταιριάσματα Υποθέστε, αντίθετα, ότι κάποιο αγόρι απορρίπτεται από το βέλτιστο κορίτσι του κατά τον TMA. Έστω t η νωρίτερη χρονική στιγμή που συμβαίνει αυτό. Συγκεκριμένα, τη χρονική στιγμή t, κάποιο αγόρι b απορρίφθηκε από το βέλτιστο κορίτσι του g γιατί αυτή είπε ίσως σε κάποιο αγόρι b * που προτιμούσε. Από τον ορισμό του t, το αγόρι b * δεν είχε ακόμα απορριφθεί από το δικό του βέλτιστο κορίτσι. Επομένως, το αγόρι b * προτιμάει τη g τουλάχιστον όσο και το βέλτιστο κορίτσι του.

53 Κάποιο αγόρι b απορρίφθηκε από το βέλτιστο κορίτσι του g γιατί αυτή είπε ίσως σε κάποιο άλλο αγόρι b * που προτιμούσε περισσότερο. Το αγόρι b* προτιμάει τη g τουλάχιστον όσο και το βέλτιστο κορίτσι του. Πρέπει να υπάρχει κάποιο σταθερό ταίριασμα S στο οποίο το αγόρι b και το κορίτσι g είναι ζευγάρι. Το αγόρι b* προτιμάει τη g περισσότερο από τη σύντροφό του στο S H g είναι εξίσου καλή με τη βέλτιστη προτίμησή του και δεν την έχει στο σταθερό ταίριασμα S Το κορίτσι g προτιμάει το b* περισσότερο από το σύντροφό της στο S Ο b είναι σύντροφός της στο S και τον απορρίπτει για τον b * στον TMA

54 Κάποιο αγόρι b απορρίφθηκε από το βέλτιστο κορίτσι του g γιατί αυτή είπε ίσως σε κάποιο άλλο αγόρι b * που προτιμούσε περισσότερο. Το αγόρι b* προτιμάει τη g τουλάχιστον όσο και το βέλτιστο κορίτσι του. Πρέπει να υπάρχει κάποιο σταθερό ταίριασμα S στο οποίο το αγόρι b και το κορίτσι g είναι ζευγάρι. Το αγόρι b* προτιμάει τη g περισσότερο από τη σύντροφό του στο S H g είναι εξίσου καλή με τη βέλτιστη προτίμησή του και δεν την έχει στο σταθερό ταίριασμα S Το κορίτσι g προτιμάει το b* περισσότερο από το σύντροφό της στο S Ο b είναι σύντροφός της στο S και τον απορρίπτει για τον b * στον TMA Αντίφαση για τη σταθερότητα του S.

55 Ποια τεχνική απόδειξης χρησιμοποιήσαμε μόλις;

56 Ποια τεχνική απόδειξης χρησιμοποιήσαμε μόλις;

57 Θεώρημα: Το TMA ταίριασμα,, T, είναι female-pessimal pessimal. Γνωρίζουμε ότι είναι male-optimal. Υποθέστε ότι υπάρχει σταθερό ταίριασμα S όπου κάποιο κορίτσι g τα πάει χειρότερα από ό,τι στο T. Έστω b ο σύντροφός της στο T. Έστω b * ο σύντροφός της στο S. Από την υπόθεση, η g προτιμάει τον b σε σχέση με το σύντροφό της στο S Ο b προτιμάει τη g σε σχέση με τη σύντροφό του στο S Γνωρίζουμε ήδη ότι η g είναι το βέλτιστο κορίτσι του Επομένως, το S δεν είναι σταθερό. Άτοπο

58 Συμβουλή στα κορίτσια Μάθετε να κάνετε την πρώτη κίνηση.

59 Η μεγαλύτερη, πιο επιτυχημένη υπηρεσία γνωριμιών παγκοσμίως χρησιμοποιεί έναν υπολογιστή και εκτελεί τον TMA!

60 The Match : Γιατροί και αγροτικά Κάθε απόφοιτος ιατρικής σχολής υποβάλλει λίστα προτιμήσεων για νοσοκομεία που επιθυμεί να κάνει το αγροτικό του Κάθε νοσοκομείο υποβάλλει λίστα προτιμήσεων για ασκούμενους Ο TMA εκτελείται (κατάλληλη επέκταση για να χειρίζεται και πολυγαμία - Mormon marriages) Στην αρχική του εκδοχή το σύστημα ήταν βέλτιστο για τα νοσοκομεία (hospital-optimal)

61 Ιστορικό 1900 Ιδέα να έχουν τα νοσοκομεία ασκούμενους (αγροτικούς) γιατρούς (λέγονταν ασκούμενοι ) Κατά τις επόμενες δεκαετίες Έντονος ανταγωνισμός μεταξύ νοσοκομείων λόγω ανεπαρκούς κάλυψης των ασκούμενων Κάθε νοσοκομείο υποβάλλει την προσφορά του ανεξάρτητα Η διαδικασία καταλήγει σε αγώνα δρόμου. Τα νοσοκομεία καθυστερούν ολοένα και περισσότερο την ημερομηνία οριστικοποίησης συμβάσεων

62 Ιστορικό 1944 Παράλογη Κατάσταση. Οι αναθέσεις γίνονται με αναμονή 2 ετών! Όλοι οι συμμετέχοντες ήταν δυσαρεστημένοι Οι ιατρικές σχολές δεν ανακοίνωναν πληροφορία για τους φοιτητές πριν κάποια λογική ημερομηνία Διορθώθηκε η κατάσταση;

63 Ιστορικό 1944 Παράλογη Κατάσταση. Οι αναθέσεις γίνονται με αναμονή 2 ετών! Όλοι οι συμμετέχοντες ήταν δυσαρεστημένοι Οι ιατρικές σχολές δεν ανακοίνωναν πληροφορία για τους φοιτητές πριν κάποια λογική ημερομηνία Οι προσφορές γίνονταν με λογικότερα διαστήματα αναμονής αλλά προέκυψαν νέα προβλήματα

64 Ιστορικό Ίδια επίπεδα ανταγωνισμού Τα νοσοκομεία άρχισαν να θέτουν περιορισμούς στις προσφορές τους Η αναμονή μειώνεται στις 12 ώρες Πολλά δυσαρεστημένα άτομα Μεγάλες αστάθειες που προκύπτουν από ελλιπή συνεργασία

65 Ιστορικό 1950 Κεντρικοποιημένο σύστημα Κάθε νοσοκομείο κατατάσσει τους ασκούμενους Κάθε ασκούμενος κατατάσσει τα νοσοκομεία Το National Resident Matching Program παράγει τις αναθέσεις (ταιριάσματα) Ουπς! Τα ταιριάσματα δεν ήταν πάντα σταθερά. Από το 1952 ο αλγόριθμος ήταν το TMA (hospitaloptimal) και επομένως τα ταιριάσματα ήταν σταθερά.

66 Η ιστορία επαναλαμβάνεται! NY TIMES, 17 Μαρτίου 1989 Η κάποτε ευπρεπής διαδικασία επιλογής υπαλλήλων από ομοσπονδιακούς δικαστές εκφυλίστηκε να είναι ανοιχτή προς όλους με συνέπεια κάποιοι δικαστές να αγωνίζονται για τους κορυφαίους φοιτητές νομικής... Οι δικαστές πίεζαν συνεχώς τη διαδικασία... Πρόσφεραν θέσεις εργασίας για το Φεβρουάριο του 2 ου έτους της Νομικής... Με βάση λιγότερους βαθμούς και ασαφή στοιχεία...

67 NY TIMES Ο νόμος της ζούγκλας βασιλεύει... O σύλλογος των Αμερικανικών Νομικών Σχολών συμφώνησε να μην επιτρέπεται εργασία πριν το Σεπτέμβριο του 3 ου έτους... Κάποιοι παρατείνουν τις προσφορές μόνο για μερικές ώρες. Ο δικαστής Winter έκανε την προσφορά του σε μια φοιτήτρια του Yale ώρα και της έδωσε περιθώριο μέχρι το μεσημέρι για να δεχτεί... Ώρα απέσυρε την προσφορά του

68 Marry Well!

69 ΑΝΑΦΟΡΕΣ D. Gale and L. S. Shapley, College admissions and the stability of marriage, American Mathematical Monthly 69 (1962), Dan Gusfield and Robert W. Irving, The Stable Marriage Problem: Structures and Algorithms,, MIT Press, 1989