Το πρόβλημα του σταθερού γάμου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Το πρόβλημα του σταθερού γάμου"

Transcript

1 Το πρόβλημα του σταθερού γάμου

2 Γάμος και Θεωρία Γραφημάτων Γάμος πρόβλημα ταιριάσματος Θα δούμε έναν αλγόριθμο ταιριάσματος (matching algorithm) που χρησιμοποιείται σε πολλές εφαρμογές Γνωριμίες (γραφεία, internet sites) Προβλήματα ανάθεσης (γιατροί και αγροτικά) Προβλήματα ανάθεσης πόρων (κατανομή φορτίου κίνησης στο internet - load balancing)

3 Το πρόβλημα ταιριάσματος (Matching Problem) Στην απλούστερη εκδοχή του προβλήματος ταιριάσματος έχουμε γράφημα όπου οι ακμές αναπαριστούν συμβατότητα Δύο κορυφές μπορούν να ταιριαστούν ή να παντρευτούν Στόχος: να δημιουργήσουμε το μέγιστο πλήθος συμβατών ζευγαριών Ορισμός ταιριάσματος (matching): Δίνεται γράφημα G με κορυφές, V, και ακμές, E Ταίριασμα (matching): συλλογή ακμών που δεν μοιράζονται κοινές κορυφές υπογράφημα του G όπου κάθε κορυφή έχει βαθμό 1 Κάθε άτομο μπορεί να παντρευτεί μόνον ένα άλλο άτομο

4 v8 v7 v6 v5 v1 v2 v3 v4

5 v8 v7 v6 v5 v1 v2 v3 v4

6 v8 v7 v6 v1 v5 v2 v1 v2 v3 v4 Ταίριασμα μεγέθους 2 2 γάμοι Υπάρχει μεγαλύτερο ταίριασμα;; v6 v5

7 v8 v1 v7 v7 v2 v6 v6 v3 v5 v5 v1 v2 v3 v4 Ταίριασμα μεγέθους 3 3 γάμοι Υπάρχει ταίριασμα μεγέθους 4 (4 γάμοι);;;;

8 v8 v7 v6 v5 v1 v2 Δεν υπάρχει ταίριασμα μεγέθους 4 Το ταίριασμα με μέγεθος 3 είναι το καλύτερο που μπορούμε να πετύχουμε! v3 v4

9 Πλήρες ταίριασμα (perfect matching) Όταν στο ταίριασμα υπάρχουν όλες οι κορυφές του γραφήματος το ταίριασμα είναι πλήρες (perfect matching) Ένα ταίρισμα είναι πλήρες όταν το μέγεθός του ισούται με το μισό του πλήθους των κορυφών Αν το πλήθος των ακμών του ταιριάσματος είναι V /2 όλες οι κορυφές υπάρχουν στο ταίριασμα

10 b1 b2 b3 b4 g1 g2 g3 g4

11 b1 b2 b3 b4 g1 g2 g3 g4

12 b1 b2 b3 b4 g1 g2 g3 g4 b1 b2 b3 b4 Πλήρες ταίριασμα!! g1 g2 g3 g4

13 Ταιριάσματα σε γραφήματα με βάρη (στις ακμές) Σε κάποιες περιπτώσεις, κάποια ταιριάσματα είναι προτιμότερα από άλλα αυτό αναπαρίσταται με βάρη χρησιμοποιούμε γραφήματα με βάρη στις ακμές b1 b2 b g1 g2 g3 Μικρότερο βάρος προτιμότερο ταίριασμα b4 g4

14 Ταιριάσματα σε γραφήματα με βάρη (στις ακμές) Σε κάποιες περιπτώσεις, κάποια ταιριάσματα είναι προτιμότερα από άλλα αυτό αναπαρίσταται με βάρη χρησιμοποιούμε γραφήματα με βάρη στις ακμές ΣΤΟΧΟΣ: να βρεθεί ταίριασμα με ελάχιστο βάρος

15 Βάρος ταιριάσματος Βάρος ταιριάσματος, Μ: άθροισμα βαρών όλων των ακμών του M Όταν μελετάμε ταιριάσματα με βάρη απαιτούμε πλήρη ταιριάσματα ώστε να μπορούν να ταιριαστούν όλες οι κορυφές Οπότε μπορεί να υπάρχουν όλες οι ακμές ακόμα και με πολύ μεγάλα βάρη, ακόμα και με άπειρο βάρος αν οι αντίστοιχες κορυφές δεν είναι συμβατές Διαφορετικά, δεν ταιριάζουμε κανέναν με κανέναν και έχουμε βάρος 0

16 Ταιριάσματα με ελάχιστο βάρος Ταιριάσματα με ελάχιστο βάρος: πλήρη ταιριάσματα με ελάχιστο βάρος Ένα ταίριασμα ελάχιστου βάρους για ένα γράφημα, G, είναι ένα πλήρες ταίριασμα για το G με ελάχιστο βάρος ανάμεσα σε όλα τα πλήρη ταιριάσματα για το γράφημα αυτό

17 Ταιριάσματα με ελάχιστο βάρος Ταιριάσματα με ελάχιστο βάρος: πλήρη ταιριάσματα με ελάχιστο βάρος Ένα ταίριασμα ελάχιστου βάρους για ένα γράφημα, G, είναι ένα πλήρες ταίριασμα για το G με ελάχιστο βάρος ανάμεσα σε όλα τα πλήρη ταιριάσματα για το γράφημα αυτό Κώστας Γιώργος Δήμητρα Κατερίνα Ποιο είναι το ταίριασμα με ελάχιστο βάρος στο γράφημα αυτό;

18 Ταιριάσματα με ελάχιστο βάρος Ταιριάσματα με ελάχιστο βάρος: πλήρη ταιριάσματα με ελάχιστο βάρος Ένα ταίριασμα ελάχιστου βάρους για ένα γράφημα, G, είναι ένα πλήρες ταίριασμα για το G με ελάχιστο βάρος ανάμεσα σε όλα τα πλήρη ταιριάσματα για το γράφημα αυτό Κώστας Γιώργος Δήμητρα Κατερίνα Ποιο είναι το ταίριασμα με ελάχιστο βάρος στο γράφημα αυτό; Οι κόκκινες ακμές με συνολικό βάρος 20 έστω και αν δεν είναι οι πιο επιθυμητές

19 Δυσκολία ; Το να βρούμε το μέγιστο ταίριασμα το μέγιστο πλήθος ακμών που μπορούμε να βάλουμε μαζί Το να βρούμε το πλήρες ταίριασμα με το ελάχιστο βάρος Είναι και τα 2 προβλήματα που λύνονται Ο σχετικός αλγόριθμος τρέχει σε πολυωνυμικό χρόνο αλλά δεν είναι υπολογιστικά δύσκολα (NP-complete) προβλήματα και γνωρίζουμε πώς λύνονται

20 Ενδιαφέρουσα παραλλαγή Θα δούμε μια ελαφρώς διαφορετική εκδοχή του προβλήματος που έχει μεγαλύτερη πρακτική σημασία αφού υπάρχει ένας πολύ όμορφος σχετικός αλγόριθμος Πλέον, οι συμμετέχοντες έχουν προτιμήσεις Λίστα προτιμήσεων Δεν περιέχει βάρη παρά μόνο διαταγμένες λίστες προτίμησης με τους ενδεχόμενους συντρόφους Οι προτιμήσεις δεν είναι κατ ανάγκη συμμετρικές Κώστας Γιώργος Δήμητρα Κατερίνα

21 Τι θα γίνει αν παντρέψουμε το Κώστα με τη Δήμητρα και το Γιώργο με την Κατερίνα και τους αφήσουμε σε ένα ερημικό νησί; Κώστας Γιώργος Δήμητρα Κατερίνα

22 Τι θα γίνει αν παντρέψουμε το Κώστα με τη Δήμητρα και το Γιώργο με την Κατερίνα και τους αφήσουμε σε ένα ερημικό νησί; Ο Κώστας και η Κατερίνα θα απατήσουν τους συντρόφους τους αφού προτιμούν περισσότερο ο ένας τον άλλον από τους συντρόφους τους Κώστας Γιώργος Δήμητρα Κατερίνα

23 Τι θα γίνει αν παντρέψουμε το Κώστα με τη Δήμητρα και το Γιώργο με την Κατερίνα και τους αφήσουμε σε ένα ερημικό νησί; Ο Κώστας και η Κατερίνα θα απατήσουν τους συντρόφους τους αφού προτιμούν περισσότερο ο ένας τον άλλον από τους συντρόφους τους Κώστας και Κατερίνα αποτελούν ένα «αδίστακτο ζευγάρι» (rogue couple) Κώστας Γιώργος Δήμητρα Κατερίνα

24 «Αδίστακτα ζευγάρια» (rogue couples) Σε ένα ταίριασμα (matching) Μ, ένα αγόρι x και ένα κορίτσι y, αποτελούν «αδίστακτο ζευγάρι» (rogue couple) αν προτιμούν ο ένας τον άλλον περισσότερο από τους συντρόφους τους στο ταίριασμα Μ Η ύπαρξη «αδίστακτων ζευγαριών» είναι κακό χαρακτηριστικό Προκαλούν αστάθεια ένα ταίριασμα είναι σταθερό (stable) αν δεν περιέχει «αδίστακτα ζευγάρια»

25 «Αδίστακτα ζευγάρια» (rogue couples) Οι προτιμήσεις των συμμετεχόντων δεν μεταβάλλονται Αν δεν υπάρχουν εξ αρχής «αδίστακτα ζευγάρια» δεν πρόκειται να δημιουργηθούν στο μέλλον ΣΤΟΧΟΣ: δημιουργία σταθερού πλήρους ταιριάσματος Ζητούμενο είναι να παντρέψουμε όλους τους συμμετέχοντες και το αποτέλεσμα να είναι σταθερό Μπορούμε να το πετύχουμε στο παράδειγμα; ΝΑΙ: Ο Γιώργος παντρεύεται τη Δήμητρα Αν και Γιώργος και Δήμητρα ίσως δεν είναι απόλυτα χαρούμενοι το συνολικό ταίριασμα είναι σταθερό! 2 1 Κώστας Δήμητρα 1 2 Γιώργος Κατερίνα

26 Υπάρχουν πάντα σταθερά πλήρη ταιριάσματα; Τι ισχύει στη γενική περίπτωση; Αν υπάρχουν περισσότερα άτομα με αυθαίρετες προτιμήσεις, υπάρχει πάντα σταθερό πλήρες ταίριασμα; Μπορεί ΝΑΙ μπορεί και OΧΙ Π.χ., αν επιτρέψουμε στα αγόρια να προτιμούν αγόρια και στα κορίτσια να προτιμούν κορίτσια τότε μπορεί να μην υπάρχει πάντα σταθερό πλήρες ταίριασμα Μπορούμε να εντοπίζουμε παραδείγματα όπου πάντα υπάρχει «αδίστακτο ζευγάρι» Αν απαιτήσουμε να ταιριάζονται μόνο αγόρια με κορίτσια και αντίστροφα τότε είναι δυνατόν να βρίσκουμε πάντα σταθερά πλήρη ταιριάσματα

27 Πέτρος Λουκάς 2 1 Δημήτρης 3 3 Χριστόφορος Θα αποδείξουμε ότι δεν υπάρχει σταθερό ταίριασμα για το παραπάνω σύνολο προτιμήσεων

28 Δεν υπάρχει σταθερό ταίριασμα στο γράφημα του σχήματος Απόδειξη (με απαγωγή σε άτοπο) Υποθέτουμε ότι υπάρχει σταθερό ταίριασμα, έστω Μ Θα δείξουμε ότι περιέχει «αδίστακτο ζευγάρι» Στο Μ, ο Χριστόφορος πρέπει να έχει κάποιο ταίρι Wlog (λόγω συμμετρίας) υποθέτουμε ότι ταιριάστηκαν Χριστόφορος και Πέτρος Το τρίγωνο εμφανίζει συμμετρία γιατί κάθε άτομο προτιμά το επόμενο επομένως, κάθε κορυφή του μοιάζει ίδια Πέτρος Μήπως υπάρχει «αδίστακτο ζευγάρι»; Μ όχι σταθερό!! Λουκάς Δημήτρης Χριστόφορος

29 Υπάρχουν πάντα σταθερά πλήρη ταιριάσματα; Τι ισχύει στη γενική περίπτωση; Αν υπάρχουν περισσότερα άτομα με αυθαίρετες προτιμήσεις, υπάρχει πάντα σταθερό πλήρες ταίριασμα; Μπορεί ΝΑΙ μπορεί και OΧΙ Π.χ., αν επιτρέψουμε στα αγόρια να προτιμούν αγόρια και στα κορίτσια να προτιμούν κορίτσια τότε μπορεί να μην υπάρχει πάντα σταθερό πλήρες ταίριασμα Μπορούμε να εντοπίζουμε παραδείγματα όπου πάντα υπάρχει «αδίστακτο ζευγάρι» Αν απαιτήσουμε να ταιριάζονται μόνο αγόρια με κορίτσια και αντίστροφα τότε είναι δυνατόν να βρίσκουμε πάντα σταθερά πλήρη ταιριάσματα

30 Έχουμε N αγόρια και N κορίτσια Υπάρχουν σενάρια που το πλήθος αγοριών και κοριτσιών δεν είναι το ίδιο Π.χ., αναθέσεις γιατρών σε αγροτικά Χρησιμοποιείται παραπλήσιος αλγόριθμος με αυτόν που θα δούμε στη συνέχεια Κάθε αγόρι διατηρεί τη δική του διαταγμένη λίστα προτιμήσεων για όλα τα κορίτσια Κάθε κορίτσι διατηρεί τη δική της διαταγμένη λίστα προτιμήσεων για όλα τα αγόρια Οι λίστες είναι πλήρεις και δεν υπάρχουν ισοπαλίες ΣΤΟΧΟΣ: να βρούμε πλήρες ταίριασμα που να μην περιέχει «αδίστακτα ζευγάρια»

31 Αγόρι 1: C, B, E, A, D Κορίτσι A: 3, 5, 2, 1, 4 Αγόρι 2: A, B, E, C, D Κορίτσι B: 5, 2, 1, 4, 3 Αγόρι 3: D, C, B, A, E Κορίτσι C: 4, 3, 5, 1, 2 Αγόρι 4: A, C, D, B, E Κορίτσι D: 1, 2, 3, 4, 5 Αγόρι 5: A, B, D, E, C Κορίτσι E: 2, 3, 4, 1, 5 Πώς θα μπορούσαμε να παράγουμε ταιριάσματα;;

32 Αγόρι 1: C, B, E, A, D Κορίτσι A: 3, 5, 2, 1, 4 Αγόρι 2: A, B, E, C, D Κορίτσι B: 5, 2, 1, 4, 3 Αγόρι 3: D, C, B, A, E Κορίτσι C: 4, 3, 5, 1, 2 Αγόρι 4: A, C, D, B, E Κορίτσι D: 1, 2, 3, 4, 5 Αγόρι 5: A, B, D, E, C Κορίτσι E: 2, 3, 4, 1, 5 Ιδέα: Χρησιμοποιώντας τον άπληστο αλγόριθμο (greedy algorithm) Δίνουμε σε κάθε αγόρι την καλύτερη δυνατή προτίμηση

33 Αγόρι 1: C, B, E, A, D Κορίτσι A: 3, 5, 2, 1, 4 Αγόρι 2: A, B, E, C, D Κορίτσι B: 5, 2, 1, 4, 3 Αγόρι 3: D, C, B, A, E Κορίτσι C: 4, 3, 5, 1, 2 Αγόρι 4: A, C, D, B, E Κορίτσι D: 1, 2, 3, 4, 5 Αγόρι 5: A, B, D, E, C Κορίτσι E: 2, 3, 4, 1, 5 Ιδέα: Χρησιμοποιώντας τον άπληστο αλγόριθμο (greedy algorithm) Δίνουμε σε κάθε αγόρι την καλύτερη δυνατή προτίμηση

34 Αγόρι 1: C, B, E, A, D Κορίτσι A: 3, 5, 2, 1, 4 Αγόρι 2: A, B, E, C, D Κορίτσι B: 5, 2, 1, 4, 3 Αγόρι 3: D, C, B, A, E Κορίτσι C: 4, 3, 5, 1, 2 Αγόρι 4: A, C, D, B, E Κορίτσι D: 1, 2, 3, 4, 5 Αγόρι 5: A, B, D, E, C Κορίτσι E: 2, 3, 4, 1, 5 Ιδέα: Χρησιμοποιώντας τον άπληστο αλγόριθμο (greedy algorithm) Δίνουμε σε κάθε αγόρι την καλύτερη δυνατή προτίμηση Για να ελέγξουμε αν το ταίριασμα είναι σταθερό εξετάζουμε αν υπάρχουν «αδίστακτα ζευγάρια»

35 Αγόρι 1: C, B, E, A, D Κορίτσι A: 3, 5, 2, 1, 4 Αγόρι 2: A, B, E, C, D Κορίτσι B: 5, 2, 1, 4, 3 Αγόρι 3: D, C, B, A, E Κορίτσι C: 4, 3, 5, 1, 2 Αγόρι 4: A, C, D, B, E Κορίτσι D: 1, 2, 3, 4, 5 Αγόρι 5: A, B, D, E, C Κορίτσι E: 2, 3, 4, 1, 5 Ιδέα: Χρησιμοποιώντας τον άπληστο αλγόριθμο (greedy algorithm) Δίνουμε σε κάθε αγόρι την καλύτερη δυνατή προτίμηση Για να ελέγξουμε αν το ταίριασμα είναι σταθερό εξετάζουμε αν υπάρχουν «αδίστακτα ζευγάρια» που όντως υπάρχουν όχι σταθερό ταίριασμα

36 Αγόρι 1: C, B, E, A, D Αγόρι 2: A, B, E, C, D Αγόρι 3: D, C, B, A, E Αγόρι 4: A, C, D, B, E Αγόρι 5: A, B, D, E, C Κορίτσι A: 3, 5, 2, 1, 4 Κορίτσι B: 5, 2, 1, 4, 3 Κορίτσι C: 4, 3, 5, 1, 2 Κορίτσι D: 1, 2, 3, 4, 5 Κορίτσι E: 2, 3, 4, 1, 5 Άλλη ιδέα: θα περιγράψουμε μια τελετή ταιριάσματος που διαρκεί για μέρες Η μέρα χωρίζεται σε 3 διαστήματα: Πρωί Απόγευμα Βράδυ

37 Αγόρι 1: C, B, E, A, D Αγόρι 2: A, B, E, C, D Αγόρι 3: D, C, B, A, E Αγόρι 4: A, C, D, B, E Αγόρι 5: A, B, D, E, C Κορίτσι A: 3, 5, 2, 1, 4 Κορίτσι B: 5, 2, 1, 4, 3 Κορίτσι C: 4, 3, 5, 1, 2 Κορίτσι D: 1, 2, 3, 4, 5 Κορίτσι E: 2, 3, 4, 1, 5 Άλλη ιδέα: θα περιγράψουμε μια τελετή ταιριάσματος που διαρκεί για μέρες Η μέρα χωρίζεται σε 3 διαστήματα: Πρωί Κάθε κορίτσι βγαίνει στο μπαλκόνι της Κάθε αγόρι πηγαίνει κάτω από το μπαλκόνι του κοριτσιού που προτιμά περισσότερο και παραμένει στη λίστα του και της προτείνει να την παντρευτεί Αρχικά, οι λίστες των αγοριών είναι πλήρεις Αν κατά τη διάρκεια του αλγορίθμου η λίστα κάποιου αγοριού αδειάσει: ΠΡΟΒΛΗΜΑ

38 Αγόρι 1: C, B, E, A, D Αγόρι 2: A, B, E, C, D Αγόρι 3: D, C, B, A, E Αγόρι 4: A, C, D, B, E Αγόρι 5: A, B, D, E, C Κορίτσι A: 3, 5, 2, 1, 4 Κορίτσι B: 5, 2, 1, 4, 3 Κορίτσι C: 4, 3, 5, 1, 2 Κορίτσι D: 1, 2, 3, 4, 5 Κορίτσι E: 2, 3, 4, 1, 5 Άλλη ιδέα: θα περιγράψουμε μια τελετή ταιριάσματος που διαρκεί για μέρες Η μέρα χωρίζεται σε 3 διαστήματα: Απόγευμα Κορίτσια με τουλάχιστον 1 μνηστήρα, επιλέγουν αυτόν που προτιμούν περισσότερο λέγοντάς του «Ίσως σε παντρευτώ, ξαναέλα αύριο» και απορρίπτουν τους υπόλοιπους μνηστήρες με χαμηλότερη προτεραιότητα λέγοντάς τους «Δεν υπάρχει περίπτωση να σε παντρευτώ ποτέ»

39 Αγόρι 1: C, B, E, A, D Αγόρι 2: A, B, E, C, D Αγόρι 3: D, C, B, A, E Αγόρι 4: A, C, D, B, E Αγόρι 5: A, B, D, E, C Κορίτσι A: 3, 5, 2, 1, 4 Κορίτσι B: 5, 2, 1, 4, 3 Κορίτσι C: 4, 3, 5, 1, 2 Κορίτσι D: 1, 2, 3, 4, 5 Κορίτσι E: 2, 3, 4, 1, 5 Άλλη ιδέα: θα περιγράψουμε μια τελετή ταιριάσματος που διαρκεί για μέρες Η μέρα χωρίζεται σε 3 διαστήματα: Βράδυ Κάθε αγόρι που πήρε απάντηση ΟΧΙ διαγράφει το αντίστοιχο κορίτσι από τη λίστα του Κάθε αγόρι που πήρε απάντηση ΙΣΩΣ επιστρέφει την επόμενη μέρα στο κορίτσι αυτό και της ξαναζητάει να την παντρευτεί

40 Αγόρι 1: C, B, E, A, D Αγόρι 2: A, B, E, C, D Αγόρι 3: D, C, B, A, E Αγόρι 4: A, C, D, B, E Αγόρι 5: A, B, D, E, C Κορίτσι A: 3, 5, 2, 1, 4 Κορίτσι B: 5, 2, 1, 4, 3 Κορίτσι C: 4, 3, 5, 1, 2 Κορίτσι D: 1, 2, 3, 4, 5 Κορίτσι E: 2, 3, 4, 1, 5 Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται Αν κάποια μέρα κάθε κορίτσι έχει το πολύ 1 μνηστήρα, ο αλγόριθμος τερματίζει και κάθε κορίτσι λέει στο μνηστήρα που έχει «Ναι, θα σε παντρευτώ»! Θα αποδείξουμε ότι δεν υπάρχει περίπτωση κάποιο κορίτσι να μην έχει μνηστήρα Επομένως: συνθήκη τερματισμού: κανένα κορίτσι δεν έχει 2 ή περισσότερους μνηστήρες κάτω από το μπαλκόνι της

41 Αγόρι 1: C, B, E, A, D Αγόρι 2: A, B, E, C, D Αγόρι 3: D, C, B, A, E Αγόρι 4: A, C, D, B, E Αγόρι 5: A, B, D, E, C Μέρα 1 Πρωί Απόγευμα Βράδυ 2,4, Κορίτσι A: 3, 5, 2, 1, 4 Κορίτσι B: 5, 2, 1, 4, 3 Κορίτσι C: 4, 3, 5, 1, 2 Κορίτσι D: 1, 2, 3, 4, 5 Κορίτσι E: 2, 3, 4, 1, 5

42 Αγόρι 1: C, B, E, A, D Αγόρι 2: A, B, E, C, D Αγόρι 3: D, C, B, A, E Αγόρι 4: A, C, D, B, E Αγόρι 5: A, B, D, E, C Μέρα 1 Πρωί Απόγευμα Βράδυ 2,4, Κορίτσι A: 3, 5, 2, 1, 4 Κορίτσι B: 5, 2, 1, 4, 3 Κορίτσι C: 4, 3, 5, 1, 2 Κορίτσι D: 1, 2, 3, 4, 5 Κορίτσι E: 2, 3, 4, 1, 5

43 Αγόρι 1: C, B, E, A, D Αγόρι 2: A, B, E, C, D Αγόρι 3: D, C, B, A, E Αγόρι 4: A, C, D, B, E Αγόρι 5: A, B, D, E, C Μέρα 1 Πρωί Απόγευμα Βράδυ 2,4, Κορίτσι A: 3, 5, 2, 1, 4 Κορίτσι B: 5, 2, 1, 4, 3 Κορίτσι C: 4, 3, 5, 1, 2 Κορίτσι D: 1, 2, 3, 4, 5 Κορίτσι E: 2, 3, 4, 1, 5

44 Αγόρι 1: C, B, E, A, D Αγόρι 2: B, E, C, D Αγόρι 3: D, C, B, A, E Αγόρι 4: C, D, B, E Αγόρι 5: A, B, D, E, C Μέρα 2 Πρωί Απόγευμα Βράδυ 5 2 1, Κορίτσι A: 3, 5, 2, 1, 4 Κορίτσι B: 5, 2, 1, 4, 3 Κορίτσι C: 4, 3, 5, 1, 2 Κορίτσι D: 1, 2, 3, 4, 5 Κορίτσι E: 2, 3, 4, 1, 5

45 Αγόρι 1: C, B, E, A, D Αγόρι 2: B, E, C, D Αγόρι 3: D, C, B, A, E Αγόρι 4: C, D, B, E Αγόρι 5: A, B, D, E, C Μέρα 2 Πρωί Απόγευμα Βράδυ 5 2 1, Κορίτσι A: 3, 5, 2, 1, 4 Κορίτσι B: 5, 2, 1, 4, 3 Κορίτσι C: 4, 3, 5, 1, 2 Κορίτσι D: 1, 2, 3, 4, 5 Κορίτσι E: 2, 3, 4, 1, 5

46 Αγόρι 1: C, B, E, A, D Αγόρι 2: B, E, C, D Αγόρι 3: D, C, B, A, E Αγόρι 4: C, D, B, E Αγόρι 5: A, B, D, E, C Μέρα 2 Πρωί Απόγευμα Βράδυ 5 2 1, Κορίτσι A: 3, 5, 2, 1, 4 Κορίτσι B: 5, 2, 1, 4, 3 Κορίτσι C: 4, 3, 5, 1, 2 Κορίτσι D: 1, 2, 3, 4, 5 Κορίτσι E: 2, 3, 4, 1, 5

47 Αγόρι 1: B, E, A, D Αγόρι 2: B, E, C, D Αγόρι 3: D, C, B, A, E Αγόρι 4: C, D, B, E Αγόρι 5: A, B, D, E, C Μέρα 3 Πρωί Απόγευμα Βράδυ 5 1, Κορίτσι A: 3, 5, 2, 1, 4 Κορίτσι B: 5, 2, 1, 4, 3 Κορίτσι C: 4, 3, 5, 1, 2 Κορίτσι D: 1, 2, 3, 4, 5 Κορίτσι E: 2, 3, 4, 1, 5

48 Αγόρι 1: B, E, A, D Αγόρι 2: B, E, C, D Αγόρι 3: D, C, B, A, E Αγόρι 4: C, D, B, E Αγόρι 5: A, B, D, E, C Μέρα 3 Πρωί Απόγευμα Βράδυ 5 1, Κορίτσι A: 3, 5, 2, 1, 4 Κορίτσι B: 5, 2, 1, 4, 3 Κορίτσι C: 4, 3, 5, 1, 2 Κορίτσι D: 1, 2, 3, 4, 5 Κορίτσι E: 2, 3, 4, 1, 5

49 Αγόρι 1: B, E, A, D Αγόρι 2: B, E, C, D Αγόρι 3: D, C, B, A, E Αγόρι 4: C, D, B, E Αγόρι 5: A, B, D, E, C Μέρα 3 Πρωί Απόγευμα Βράδυ 5 1, Κορίτσι A: 3, 5, 2, 1, 4 Κορίτσι B: 5, 2, 1, 4, 3 Κορίτσι C: 4, 3, 5, 1, 2 Κορίτσι D: 1, 2, 3, 4, 5 Κορίτσι E: 2, 3, 4, 1, 5

50 Αγόρι 1: E, A, D Αγόρι 2: B, E, C, D Αγόρι 3: D, C, B, A, E Αγόρι 4: C, D, B, E Αγόρι 5: A, B, D, E, C Μέρα 4 ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ αφού κάθε κορίτσι έχει 1 μνηστήρα Κορίτσι A: 3, 5, 2, 1, 4 Κορίτσι B: 5, 2, 1, 4, 3 Κορίτσι C: 4, 3, 5, 1, 2 Κορίτσι D: 1, 2, 3, 4, 5 Κορίτσι E: 2, 3, 4, 1, 5

51 Αγόρι 1: E, A, D Αγόρι 2: B, E, C, D Αγόρι 3: D, C, B, A, E Αγόρι 4: C, D, B, E Αγόρι 5: A, B, D, E, C Κορίτσι A: 3, 5, 2, 1, 4 Κορίτσι B: 5, 2, 1, 4, 3 Κορίτσι C: 4, 3, 5, 1, 2 Κορίτσι D: 1, 2, 3, 4, 5 Κορίτσι E: 2, 3, 4, 1, 5 Αγόρι 1: C, B, E, A, D Υπάρχουν μήπως «αδίστακτα ζευγάρια»; ΟΧΙ!! Το ταίριασμα είναι σταθερό!! Αγόρι 2: A, B, E, C, D Αγόρι 3: D, C, B, A, E Αγόρι 4: A, C, D, B, E Αγόρι 5: A, B, D, E, C

52 Για τον αλγόριθμο που μόλις παρουσιάσαμε πρέπει να αποδείξουμε: ότι όλα τα άτομα βρίσκουν ταίρι δηλ., συμμετέχουν στο ταίριασμα ότι δεν υπάρχουν «αδίστακτα ζευγάρια» ότι τρέχει γρήγορα ιδιότητες δικαιοσύνης: ο αλγόριθμος ευνοεί τα αγόρια ή τα κορίτσια;

53 Ο αλγόριθμος τερματίζει σε το πολύ N 2 +1 μέρες N είναι ο αριθμός αγοριών και των κοριτσιών Απόδειξη (με απαγωγή σε άτοπο) Έστω ότι ο αλγόριθμος ΔΕΝ τερματίζει σε N 2 +1 μέρες Για να δείξουμε ότι τερματίζει πρέπει να δείξουμε ότι κάνει κάποια πρόοδο κάθε μέρα Αν δεν τερματίζει ο αλγόριθμος κάποια μέρα αυτό σημαίνει ότι κάποιο κορίτσι είχε 2 ή περισσότερους μνηστήρες, απέρριψε τουλάχιστον 1 και το βράδυ το αγόρι αυτό διέγραψε το κορίτσι από τη λίστα του Άρα δεν τερματίζει ο αλγόριθμος όσο κάθε βράδυ κάποιο αγόρι διαγράφει κάποιο κορίτσι από τη λίστα του Αν ο αλγόριθμος δεν τερματίζει μετά από Ν 2 +1 μέρες θα πρέπει να έχουν γίνει Ν 2 +1 διαγραφές κοριτσιών από όλες τις λίστες αγοριών ΌΜΩΣ υπάρχουν Ν λίστες με Ν μέλη η καθεμία, δηλ., συνολικά μόνο Ν 2 δυνατές διαγραφές Καταλήγουμε επομένως σε άτοπο ο αλγόριθμος τερματίζει σε το πολύ N 2 +1 μέρες

54 Καθώς ένα κορίτσι περιμένει στο μπαλκόνι της, η κατάσταση μπορεί μόνο να βελτιωθεί Αφού κρατάει πάντα το αγόρι που προτιμάει περισσότερο από αυτά που τη διεκδικούν Και όταν κάποιο νέο αγόρι εμφανίζεται, πρέπει να το προτιμάει περισσότερο από το αμέσως προηγούμενο για να το κρατήσει Επομένως, όσο κάποιο κορίτσι απορρίπτει αγόρια το κάνει γιατί εμφανίστηκαν καλύτερες επιλογές και σε όποιον λέει «ίσως» επιστρέφει την επόμενη μέρα Σταθερό χαρακτηριστικό του αλγορίθμου: Όταν κάποιο κορίτσι έχει μνηστήρα, με το να προχωράει έχει μνηστήρες που της αρέσουν τουλάχιστον εξίσου Όταν κάποιο κορίτσι απορρίπτει κάποιο αγόρι, αποκτάει κάποιον μνηστήρα σίγουρα καλύτερο

55 P: αν ένα κορίτσι, G, απορρίψει κάποιο αγόρι, B, τότε το κορίτσι, G, έχει μνηστήρα, ή αν ο αλγόριθμος έχει τερματίσει, σύζυγο που προτιμάει από το B Απόδειξη (με επαγωγή στο πλήθος των ημερών) Για να αποδείξουμε ότι η ιδιότητα αυτή ισχύει πρέπει κατ αρχάς να δείξουμε ότι ισχύει στην αρχή του αλγορίθμου (Βάση της επαγωγής) Ισχύει η ιδιότητα τη μέρα 0; Ναι Επειδή κανένα αγόρι δεν έχει απορριφθεί ακόμα (Επαγωγική υπόθεση) Υποθέτουμε ότι η ιδιότητα P ισχύει στο τέλος της μέρας d (Επαγωγικό βήμα) Ισχύει η ιδιότητα P και στο τέλος της μέρας d+1; Εξετάζουμε 2 περιπτώσεις με βάση το πότε το κορίτσι G απέρριψε το αγόρι Β» H G απορρίπτει το B τη μέρα d+1 ΓΙΑΤΙ;; Γιατί εμφανίστηκε καλύτερο αγόρι!! Ισχύει η P τη μέρα d+1» H G απέρριψε το B πριν τη μέρα d+1, επειδή ίσχυε η P στο τέλος της μέρας d H G είχε ήδη καλύτερο μνηστήρα τη μέρα d που ξαναεμφανίστηκε τη μέρα d+1 για αυτό απέρριψε το B

56 Όλα τα άτομα βρίσκουν ταίρι Απόδειξη (με απαγωγή σε άτοπο) Έστω ότι κάποιο αγόρι, B, δεν βρήκε ταίρι Αφού δεν έχουν βρει όλα τα άτομα ταίρι σίγουρα κάποιο αγόρι δεν έχει ταίρι Τι σημαίνει ότι το αγόρι Β δεν έχει παντρευτεί όταν τερματίζει ο αλγόριθμος; Απορρίφθηκε από όλα τα κορίτσια γιατί αν περίμενε κάτω από κάποιο μπαλκόνι, θα είχε ακόμα κάποιο κορίτσι στη λίστα του και θα την παντρευόταν τελικά αφού ο αλγόριθμος τερματίζει κάθε κορίτσι είχε καλύτερο μνηστήρα και κάθε κορίτσι παντρεύεται άρα και κάθε αγόρι παντρεύεται συμπεριλαμβανομένου του Β ΑΤΟΠΟ Άρα, ο αλγόριθμος τερματίζει και όλα τα άτομα βρίσκουν ταίρι

57 Ο αλγόριθμος παράγει σταθερό ταίριασμα δεν υπάρχουν «αδίστακτα ζευγάρια» Απόδειξη (με απαγωγή σε άτοπο) Έστω ότι υπάρχει «αδίστακτο ζευγάρι» Έστω ο Bob και η Gail αυθαίρετο ζευγάρι που δεν είναι παντρεμένοι Πρέπει να δείξουμε ότι οι Bob και Gail δεν επιθυμούν ο ένας τον άλλο Γιατί τελικά δεν παντρεύτηκαν οι Bob και Gail; Η Gail απέρριψε το Bob Η Gail έχει άλλο μνηστήρα που προτιμά περισσότερο Η Gail παντρεύεται κάποιον που προτιμά περισσότερο από το Bob Gail, Bob δεν μπορεί να είναι «αδίστακτο ζευγάρι» αφού η Gail προτιμά το σύζυγό της Η Gail δεν απέρριψε το Bob Υπάρχει περίπτωση να ζήτησε ποτέ ο Bob στη Gail να τον παντρευτεί; ΌΧΙ γιατί αν είχε ζητήσει θα ήταν τώρα παντρεμένοι ο Bob δεν χρειάστηκε να φτάσει ποτέ τόσο χαμηλά στη λίστα του για να προτείνει στη Gail O Bob προτιμά τη σύντροφό του από τη Gail Σε κάθε περίπτωση, Bob και Gail δεν είναι «αδίστακτο ζευγάρι» δεν υπάρχουν «αδίστακτα ζευγάρια» το ταίριασμα είναι σταθερό!!

58 Δικαιοσύνη: ο αλγόριθμος ευνοεί τα αγόρια ή τα κορίτσια; Ίσως τα κορίτσια επειδή τελικά μένουν με το καλύτερο αγόρι από αυτά που τους προτείνουν γάμο ενώ αυτές κάθονται και περιμένουν τον κ. Τέλειο που μπορεί να μην εμφανιστεί ποτέ Ίσως τα αγόρια που όντως τολμάνε να διεκδικήσουν κορίτσια που προτιμούν περισσότερο Μπορεί να απορριφθούν αλλά συνεχίζουν να προσπαθούν Το ερώτημα είναι κεντρικό στην Κοινωνιολογία Στα ζωικά είδη, τι είναι προτιμότερο: να προτείνεις ή να αποδέχεσαι; Ποια προσέγγιση δίνει τα καλύτερα αποτελέσματα; Θα αποδείξουμε ότι η απάντηση είναι πως ο αλγόριθμος ευνοεί τα αγόρια

59 Για κάθε συλλογή λιστών προτίμησης, έστω S το σύνολο όλων των σταθερών ταιριασμάτων S ΓΙΑΤΙ; Γιατί ο αλγόριθμος που παρουσιάσαμε παράγει ένα σταθερό ταίριασμα υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο στο S και στ αλήθεια μπορούν να υπάρχουν και άλλα στοιχεία Για κάθε άτομο P το εύρος δυνατότητας (realm of possibility) είναι το σύνολο συντρόφων που μπορεί να έχει το άτομο αυτό σε ένα σταθερό ταίριασμα {Q M S {P,Q} M} Ο Κώστας δεν είναι ρεαλιστική επιλογή για τη Δήμητρα o Κώστας δεν ανήκει στο εύρος δυνατοτήτων της Δήμητρας αφού σε κάθε πλήρες ταίριασμα που ο Κώστας παντρευτεί τη Δήμητρα θα υπάρχει «αδίστακτο ζευγάρι» επειδή ο Κώστας θα κυνηγάει την Κατερίνα Κώστας Γιώργος Δήμητρα Κατερίνα

60 Βέλτιστος σύντροφος (optimal mate): ο προτιμότερος σύντροφος από το εύρος δυνατοτήτων ενός ατόμου Όχι απαραίτητα η πρώτη προτίμηση του ατόμου αυτού Χείριστος σύντροφος (pessimal mate): ο λιγότερο προτιμότερος σύντροφος από το εύρος δυνατοτήτων ενός ατόμου Ο αλγόριθμος παντρεύει κάθε αγόρι με τη βέλτιστη σύντροφο (optimal mate) κάθε κορίτσι με το χείριστο σύντροφο (pessimal mate) Κάπως παράδοξα συμπεράσματα δεδομένου ότι: Τα αγόρια κατεβαίνουν στη λίστα τους Τα κορίτσια συνεχώς βελτιώνουν τη θέση τους

61 Θα υποθέσουμε ότι είναι αληθές ότι ο αλγόριθμος παντρεύει κάθε αγόρι με τη βέλτιστη σύντροφο (optimal mate) και θα αποδείξουμε με απαγωγή σε άτοπο ότι Ο αλγόριθμος παντρεύει κάθε κορίτσι με το χείριστο σύντροφο (pessimal mate) Έστω ότι υπάρχει σταθερό ταίριασμα Μ που κάποιο κορίτσι καταλήγει με χειρότερο σύντροφο Β από αυτόν που της αποδίδει ο αλγόριθμος Ποιο αγόρι προτιμάει η G; Προτιμάει το αγόρι B To αγόρι Β ποια προτιμάει; Τη G (βλ. προηγούμενη διαφάνεια) Υπάρχει «αδίστακτο ζευγάρι» στο Μ το ταίριασμα Μ δεν είναι σταθερό!! B B M Αλγόριθμος G G

62 Συμπέρασμα: αξίζει τον κόπο να διεκδικείς αυτό που θες!! Ο αλγόριθμος έχει πολλές πρακτικές εφαρμογές Αναθέσεις γιατρών σε αγροτικά Ποιος είναι τα «αγόρια»; Το νοσοκομείο!!!!! Online dating Εξισορρόπηση φορτίου (load balancing) στο Web Οι web servers είναι τα αγόρια και προτιμούν αιτήματα που αποφέρουν μεγαλύτερο κέρδος Τα αιτήματα εξυπηρέτησης είναι τα κορίτσια και προτιμούν servers που είναι γρηγορότεροι

63 Για σκέψη: Φανταστείτε ότι τα Μουσεία στην Ελλάδα δέχονται ένα group το καθένα για επίσκεψη για να αυξήσουν έσοδα και visibility Τα Μουσεία προτιμούν μεγάλα groups Τα groups προτιμούν κοντινά Μουσεία Τι αποτελέσματα θα έδινε ο αλγόριθμος για σταθερό γάμο;;

Great Theoretical Ideas In Computer Science

Great Theoretical Ideas In Computer Science Steven Rudich Lecture 17 Great Theoretical Ideas In Computer Science Mar 14, 2003 CS 15-251 Spring 2003 Carnegie Mellon University Tα Μαθηματικά των Γνωριμιών του 1950: ποιος κερδίζει στη μάχη των φύλων;

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 4η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Ευσταθές Ταίριασμα Πρόβλημα Ευσταθούς Ταιριάσματος

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 6.0 Ευσταθή Ταιριάσματα Πρόβλημα Ευσταθούς Ταιριάσματος Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Ευσταθές Ταίριασμα και άλλα Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.5, 30/10/2014

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Ευσταθές Ταίριασμα και άλλα Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.5, 30/10/2014 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή: Ευσταθές Ταίριασμα και άλλα Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα Έκδοση 1.5, 30/10/2014 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 1.1 Ένα πρώτο πρόβλημα: Ευσταθές

Διαβάστε περισσότερα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)

Διαβάστε περισσότερα

Ευσταθές ταίριασμα. (υλικό βασισμένο στο βιβλίο. Slides by Kevin Wayne. Copyright 2005 Pearson-Addison Wesley. All rights reserved.

Ευσταθές ταίριασμα. (υλικό βασισμένο στο βιβλίο. Slides by Kevin Wayne. Copyright 2005 Pearson-Addison Wesley. All rights reserved. Ευσταθές ταίριασμα (υλικό βασισμένο στο βιβλίο των Kleinberg Tardos) Slides by Kevin Wayne. Copyright 2005 Pearson-Addison Wesley. All rights reserved. 1 Ανάθεση Ειδικευόμενων Ιατρών σε Νοσοκομεία Πρόβλημα.

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Ένα πρώτο πρόβληµα: Ευσταθές Ταίριασµα

1.1 Ένα πρώτο πρόβληµα: Ευσταθές Ταίριασµα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή: Κάποια Αντιπροσωπευτικά Προβλήµατα Βασισµένο στις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Copyright 2005 Pearson-Addison Wesley. All rights reserved. 1 1.1 Ένα πρώτο πρόβληµα: Ευσταθές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 4η

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 4η Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 4η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

d(v) = 3 S. q(g \ S) S

d(v) = 3 S. q(g \ S) S Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

q(g \ S ) = q(g \ S) S + d = S.

q(g \ S ) = q(g \ S) S + d = S. Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος & Σ. Κ. Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.4, 30/10/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 1. Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.4, 30/10/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 1 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα Έκδοση 1.4, 30/10/2014 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 1.2 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα 1. Χρονοπρογραμματισμός Διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Εύρεση ελάχιστων μονοπατιών Αλγόριθμος του ijkstra Θέματα μελέτης Πρόβλημα εύρεσης ελάχιστων μονοπατιών σε γραφήματα (shortest path problem) Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Σημειωματάριο Δευτέρας 4 Δεκ. 2017

Σημειωματάριο Δευτέρας 4 Δεκ. 2017 Σημειωματάριο Δευτέρας 4 Δεκ. 2017 Ο αλγόριθμος Floyd-Warshall για την έυρεση όλων των αποστάσεων σε ένα γράφημα με βάρη στις ακμές Συνεχίσαμε σήμερα το θέμα της προηγούμενης Τετάρτης. Έχουμε ένα γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Διατύπωση Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη από κλέφτες. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα Σχετίζεται με τη διαχείριση της κίνησης οχημάτων στους δρόμους Αν δεν υπήρχαν καθυστερήσεις στην κίνηση στις πόλεις Αποφυγή σπατάλης ενέργειας

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ, Sanjoy Dasgupta, Christos Papadimitriou, Umesh Vazirani, Κεφάλαιο 4 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ, Jon Kleinberg, Eva Tardos, Κεφάλαιο 4) 1 Θέματα

Διαβάστε περισσότερα

Stable Matching. Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας

Stable Matching. Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας Stable Matching Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr 1 Ιστορία... Το 1962 οι Gale και Shapley δύο οικονομολόγοι μαθηματικοί (mathematical economists) έθεσαν το ερώτημα: Μπορούμε να σχεδιάσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε

Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Εισαγωγή Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Βιβλιογραφία Jon Kleinberg και Éva Tardos, Σχεδιασμός αλγορίθμων, Εκδόσεις Κλειδάριθμος,

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 27 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 1 Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Προηγούμενη

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο. Παράδειγμα - Αλγόριθμος Prim. Γιατί δουλεύουν αυτοί οι αλγόριθμοι;

Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο. Παράδειγμα - Αλγόριθμος Prim. Γιατί δουλεύουν αυτοί οι αλγόριθμοι; Άπληστοι Αλγόριθμοι ΙΙI Αλγόριθμοι γραφημάτων Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο Παράδειγμα Κατασκευή δικτύων Οδικά, επικοινωνίας Έχουμε ένα συνεκτικό γράφημα (V,E) και ένας βάρος we σε κάθε ακμή e. Να βρεθεί υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου 11η Διάλεξη 12 Ιανουαρίου 2017 1 Ανεξάρτητο σύνολο Δοθέντος ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος G = (V, E), ένα ανεξάρτητο σύνολο (independent set) είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Κάποια Αντιπροσωπευτικά Προβλήµατα. Έκδοση 1.3, 29/02/2012. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Κάποια Αντιπροσωπευτικά Προβλήµατα. Έκδοση 1.3, 29/02/2012. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή: Κάποια Αντιπροσωπευτικά Προβλήµατα Έκδοση 1.3, 29/02/2012 Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 1.1 Ένα πρώτο πρόβληµα: Ευσταθές Ταίριασµα Ταίριασµα

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 α) Η δομή σταθμισμένης ένωσης με συμπίεση διαδρομής μπορεί να τροποποιηθεί πολύ εύκολα ώστε να υποστηρίζει τις

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7: X Y Σχήμα 7.2: Παράδειγμα για το Πόρισμα 7.2, όπου: 1 = {1, 2, 5}, 2 = {1, 2, 3}, 3 = {4}, 4 = {1, 3, 4}. Θ

Διάλεξη 7: X Y Σχήμα 7.2: Παράδειγμα για το Πόρισμα 7.2, όπου: 1 = {1, 2, 5}, 2 = {1, 2, 3}, 3 = {4}, 4 = {1, 3, 4}. Θ Διάλεξη 7: 2.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Μαργώνης & Σ. Κ. 7.1 Εφαρμογές του Θεωρήματος του Hall Πόρισμα 7.1 (Ελλειματική εκδοχή Θεωρήματος Hall) Δίνεται διμερές

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4: Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός

Διάλεξη 4: Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:

Διαβάστε περισσότερα

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Ταιριάσματα Γράφημα Ταίριασμα (matching) Σύνολο ακμών τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Θέλουμε να βρούμε ένα μέγιστο ταίριασμα (δηλαδή με μέγιστο αριθμό ακμών) Ταιριάσματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο

Διαβάστε περισσότερα

e 2 S F = [V (H), V (H)]. 3-1 e 1 e 3

e 2 S F = [V (H), V (H)]. 3-1 e 1 e 3 Διάλεξη 3: 19.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Λίβανος & Σ. Κ. 3.1 Ακμοδιαχωριστές, Τομές, Δεσμοί Ορισμός 3.1 Ακμοδιαχωριστής (edge-separator) ενός γραφήματος =

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k

Διαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση επιλύουμε αναδρομικά τα υποπροβλήματα πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Μαθηματική Επαγωγή ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

α n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0

α n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0 Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Η ύλη συνοπτικά... Γεννήτριες συναρτήσεις Τι είναι η γεννήτρια Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ ΗΥ8: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 07 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 4/06/07 ΛΥΣΕΙΣ Σημείωση: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές. Ενδεχομένως, υπάρχουν και άλλοι σωστοί τρόποι επίλυσης. Θέμα

Διαβάστε περισσότερα

για NP-Δύσκολα Προβλήματα

για NP-Δύσκολα Προβλήματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Παύλος Εφραιμίδης V1.1,

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Παύλος Εφραιμίδης V1.1, Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Παύλος Εφραιμίδης V1.1, 2015-01-19 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Συντομότερες Διαδρομές

Συντομότερες Διαδρομές Συντομότερες Διαδρομές Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συντομότερη Διαδρομή Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος διαδρομής

Διαβάστε περισσότερα

(18 ο ) ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΓΩΓΗ - ΙI: «διάμεσος &θεσιακή επιλογή στοιχείου»

(18 ο ) ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΓΩΓΗ - ΙI: «διάμεσος &θεσιακή επιλογή στοιχείου» (8 ο ) ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΑΓΩΓΗ - ΙI: «διάμεσος &θεσιακή επιλογή στοιχείου» Το πρόβλημα του διαμέσου στοιχείου: ένα θεμελιακό πρόβλημα Συναντήσαμε ήδη αρκετές φορές το πρόβλημα του να «κόψουμε» ένα σύνολο στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα

Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κεφάλαιο 6 Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι C. L. Liu and C. Liu 1985, Cameron 1994, Diestel 2005 και Stanley 1986. 6.1 Διμερή γραφήματα Η κλάση

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης

Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2017 18 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης 8.1. (i) Έστω ότι α και β είναι δύο τύποι της προτασιακής

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Κατανεμημένα Συστήματα Ι Εκλογή αρχηγού και κατασκευή BFS δένδρου σε σύγχρονο γενικό δίκτυο Παναγιώτα Παναγοπούλου Περίληψη Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Ορισμός του προβλήματος Ο αλγόριθμος FloodMax

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή Μαθηματική Επαγωγή Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { ww w {a,b}* }. (β) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes. A B C x y z y z x z x y

Notes. Notes. Notes. Notes. A B C x y z y z x z x y Κοινωνική επιλογή και Ευημερία Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 3 Δεκεμβρίου 01 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Κοινωνική επιλογή και Ευημερία 3 Δεκεμβρίου 01 1 / 50 Κοινωνική επιλογή. Κοινωνική επιλογή.

Διαβάστε περισσότερα

S A : N G (S) N G (S) + d S d + d = S

S A : N G (S) N G (S) + d S d + d = S Διάλεξη 7: 2.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Μαργώνης 7.1 Εφαρμογές του Θεωρήματος του Hall Πόρισμα 7.1 (Ελλειματική εκδοχή Θεωρήματος Hall) Εάν σε διμερές γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Οπισθοδρόµησης

Αλγόριθµοι Οπισθοδρόµησης Αλγόριθµοι Οπισθοδρόµησης Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Η οπισθοδρόµηση στο σχεδιασµό αλγορίθµων Το πρόβληµα των σταθερών γάµων και ο αλγόριθµος των Gale-Shapley Το πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1

ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 Θέματα μελέτης Πρόβλημα αναζήτησης σε γραφήματα Αναζήτηση κατά βάθος (Depth-first search DFS) Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth-first search BFS) 2 Γράφημα (graph) Αναπαράσταση συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 1 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G,k η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική η οποία παράγει κάποια λέξη 1 n όπου n k } (β) { Μ,k η Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ανεπίλυτα Προβλήματα από τη Θεωρία Γλωσσών (5.1) To Πρόβλημα της Περάτωσης Το Πρόβλημα της Κενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Λίστα Λσ Προτίμησης Ανδρών. Έκτορας Βάσω Δήμητρα Άννα Ελένη Γεωργία. Βασίλης Δήμητρα Βάσω Άννα Γεωργία Ελένη Γιάννης Βάσω Ελένη Γεωργία Δήμητρα Άννα

Λίστα Λσ Προτίμησης Ανδρών. Έκτορας Βάσω Δήμητρα Άννα Ελένη Γεωργία. Βασίλης Δήμητρα Βάσω Άννα Γεωργία Ελένη Γιάννης Βάσω Ελένη Γεωργία Δήμητρα Άννα Βασίλης Βασίλης Γά Βασίλης Ανδρέας Βασίλης Βασίλης Βασίλης Ανδρέας Βασίλης Ο Ανδρέας κάνει πρόταση στην. Βασίλης Γά Βασίλης Ανδρέας Βασίλης Βασίλης Βασίλης Ανδρέας Βασίλης Βασίλης Γά Βασίλης Ανδρέας Βασίλης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 9-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΠΡΟΤΑΣΗ. Αν ισχύει y n για άπειρους n και x R και y n y R, τότε x y. Απόδειξη. Υποθέτουμε (για άτοπο) ότι y < x. Γνωρίζουμε ότι υπάρχει κάποιος αρκετά

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G 1, G 2 οι G 1 και G 2 είναι δύο CFG που παράγουν μια κοινή λέξη μήκους 144 } (β) { D,k το D είναι ένα DFA

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 12 16 2 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 13 1 με τις ακόλουθες ιδιότητες 4 14 9 7 4 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση

Διαβάστε περισσότερα

Χρωματισμός γραφημάτων

Χρωματισμός γραφημάτων Χρωματισμός γραφημάτων Χρωματισμός γραφημάτων Έστω γράφημα G Αποδίδουμε 1 ακριβώς χρώμα σε κάθε κορυφή του G έτσι ώστε κορυφές που συνδέονται με ακμή να λαμβάνουν διαφορετικά χρώματα Χρωματισμός γραφημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 8η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Διαβάστε περισσότερα

z 1 E(G) 2(k 1) = 2k 3. x z 2 H 1 H 2

z 1 E(G) 2(k 1) = 2k 3. x z 2 H 1 H 2 Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο (MST) Συνεκτικό μη-κατευθ. G(V, E, w) με βάρη Βάρος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Μαθηματικά Πληροφορικής 7ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ταιριάσματα(matchings) Ορισμός(Ταίριασμα) Εστωγράφημα G = (V,E).Ταίριασμακαλείταιένασύνολο M E,τέτοιοώστεκάθεκόμβοςτου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας

Διαβάστε περισσότερα

HY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems

HY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems HY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems Ημερομηνία Παράδοσης: 0/1/017 την ώρα του μαθήματος ή με email: mkarabin@csd.uoc.gr Γενικές Οδηγίες α) Επιτρέπεται η αναζήτηση στο Internet και στην βιβλιοθήκη

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1

Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1 Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης 4.1. (α) Αποδείξτε ότι αν η h είναι συνεπής, τότε h(n

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα υπολογισμού στον πολιτισμό

Θέματα υπολογισμού στον πολιτισμό Θέματα υπολογισμού στον πολιτισμό Ενότητα 9: Το πρόβλημα της Πινακοθήκης (The art gallery problem) Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ ενθαρρυντική εικόνα. Σαφώς καλύτερη

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { D το D είναι ένα DFA το οποίο αποδέχεται όλες τις λέξεις στο Σ * } (α) Για να διαγνώσουμε το πρόβλημα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών

Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών Μετασχηματισμοί Υπολογιστικών Προβλημάτων Αναγωγές και Πληρότητα Προσαρμογή από

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { R η R είναι μια κανονική έκφραση η οποία παράγει μια μη πεπερασμένη γλώσσα} (β) { G η G είναι μια CFG η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Συντομότερες ιαδρομές

Συντομότερες ιαδρομές Συντομότερες ιαδρομές ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συντομότερη ιαδρομή Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος διαδρομής Απόσταση d(u,

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Εισαγωγή στο Σχεδιασμό & την Ανάλυση Αλγορίθμων Εξέταση Ιουνίου 2015 Σελ. 1 από 7 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Αλγόριθμοι Γραφημάτων Τοπολογική Διάταξη

Διαβάστε περισσότερα

Συντομότερες ιαδρομές

Συντομότερες ιαδρομές Συντομότερες ιαδρομές ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Ένωση Ξένων Συνόλων

Κεφάλαιο 11 Ένωση Ξένων Συνόλων Κεφάλαιο 11 Ένωση Ξένων Συνόλων Περιεχόμενα 11.1 Εισαγωγή... 227 11.2 Εφαρμογή στο Πρόβλημα της Συνεκτικότητας... 228 11.3 Δομή Ξένων Συνόλων με Συνδεδεμένες Λίστες... 229 11.4 Δομή Ξένων Συνόλων με Ανοδικά

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Δένδρα. Δένδρα

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Δένδρα. Δένδρα Δένδρα Δένδρα Ειδική κατηγορία γραφημάτων: συνεκτικά γραφήματα που δεν περιέχουν απλά κυκλώματα [1857] Arthur Cayley: για απαρίθμηση ορισμένων ειδών χημικών ενώσεων Χρησιμοποιούνται σε πληθώρα προβλημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 4ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10: Επαναληπτική Βελτίωση Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα