DIGITALNE KOMUNIKACIJE I

Transcript

1

2 aloge pisnega izpita DIGITALE KOMUIKACIJE I Izpitni rok: Določite napetostni obseg ( v voltih in dbm) 3-segmentnega kvantizatorja po A-zakonu tako, da bo psoometrično merjena moč kvantizacijskega popačenja praznega kanala manjša od,78nw na upornosti 6Ω.. Inormacijski signal z Laplaceovo distribucijo in eektivno napetostjo (volt) želimo kvantizirati s 4-nivojskim (-bitnim) kvantizatorjem. Določite decizijske meje 4 tako, da bodo vsi izhodni nivoji enako pogosti! Ali bi bila uporaba Humanove kode za kodiranje izhodnih nivojev smiselna? y y 4 y 3 3 y y 3. Signal s porazdelitvijo gostote verjetnosti za a p ( ) = a a drugod vodimo na vhod kvantizatorja z obsegom - = in + =. Kolikšno mora biti razmerje /a, da bo razmerje signala proti prekoračitvenemu popačenju db ali več? (S/ P db) 4. Digitalni signal na liniji ima štiri vrednosti ( -,5, -,5,,5,,5 ), ki so enako verjetne. Izračunajte in narišite verjetnostno unkcijo P( i ) za signal, ki ga dobimo, če seštejemo dve taki naključni napetosti. Koliko je eektivna vrednost napetosti novega signala?

3 aloge pisnega izpita DIGITALE KOMUIKACIJE I Izpitni rok: Določite napetostni obseg ( v voltih in dbm) 3-segmentnega kvantizatorja po A-zakonu tako, da bo psoometrično merjena moč kvantizacijskega popačenja praznega kanala manjša od,78nw na upornosti 6Ω.. Inormacijski signal z Laplaceovo distribucijo in eektivno napetostjo (volt) želimo kvantizirati s 4-nivojskim (-bitnim) kvantizatorjem. Določite decizijske meje 4 tako, da bodo vsi izhodni nivoji enako pogosti! Ali bi bila uporaba Humanove kode za kodiranje izhodnih nivojev smiselna? y y 4 y 3 3 y y 3. Signal s porazdelitvijo gostote verjetnosti za a p ( ) = a a drugod vodimo na vhod kvantizatorja z obsegom - = in + =. Kolikšno mora biti razmerje /a, da bo razmerje signala proti prekoračitvenemu popačenju db ali več? (S/ P db) 4. Digitalni signal na liniji ima štiri vrednosti ( -,5, -,5,,5,,5 ), ki so enako verjetne. Izračunajte in narišite verjetnostno unkcijo P( i ) za signal, ki ga dobimo, če seštejemo dve taki naključni napetosti. Koliko je eektivna vrednost napetosti novega signala?

4 aloge pisnega izpita DIGITALE KOMUIKACIJE I Izpitni rok: Signal z Laplaceovo distribucijo (µ =, σ = 3 ), merimo z enosmernim voltmetrom na izhodu nelinearnega vezja s karakteristiko: za y = a za Kolikšno napetost kaže voltmeter, če je a = 4? a > a. a vhod kvantizatorja s 3-segmentno karakteristiko po A-zakonu (T ma = 3,4 dbm) je priključen sinusni signal z eektivno napetostjo e = -6 dbm. Določite bite PYZ ABCD v izhodni kodi s katero sta kodirana vzorca temenskih vrednosti tega signala! 3. Kolikšno je dinamično območje ma / min v db -bitnega enakomernega kvantizatorja za signal z Laplaceovo distribucijo, na katerem je razmerje signal-šum 3 db ali več? Kolikšna je velikost stopnice, če je min = -43,3 dbm? 4. Določite šumno (ekvivalentno) pasovno širino naključnega signala, ki ima avtokorelacijo R (! ) dano z kjer je t = ms! R τ t ( τ ) Pe =,

5 aloge pisnega izpita z rešitvami DIGITALE KOMUIKACIJE I Izpitni rok: 9... Enakomeren 8-biten kvantizator z dosegoma = in + = uporabljamo za digitalizacijo signala z distribucijo gostote verjetnosti za a p ( ) = a a drugod e Določite maksimalno razmerje + v db, pri katerem še ne pride do ma prekoračitvenega popačenja! Kolikšno je tedaj razmerje S/ q? y p() /a a Slika. Karakteristika kvantizatorja (zgoraj) in porazdelitev gostote verjetnosti p() Iz slike, ki prikazuje kvantizatorsko karakteristiko in porazdelitev gostote verjetnosti, je razvidno, da prekoračitvenega popačenja ni, dokler je a +, zato za maksimum upoštevamo enačaj. a e a S = = p( ) d= ( ) d= a a 6 (.)

6 Izpitni rok 9.. Digitalne komunikacije I /8 od tod je eektivna vrednost signala a e =. (.) 6 ajvečje razmerje e + ma v db, je določeno kot e = log = log = log 6 = 7,78dB 6 e + + ma ormirana moč zrnatega popačenja izračunamo z velikostjo stopnice Δ (.3) z + + Δ = = n = (.4) S q (db) + n S S = = = q z 6 + n+ S n+ = log = log = (n + ) log = 7,3=5,7 db q (.5). a vhod kvantizatorja s 3-segmentno karakteristiko po A-zakonu (T ma = 3,4 dbm) je priključen sinusni signal z eektivno napetostjo e = - 6,86 dbm. Določite izhodno kodo (PYZ ABCD) največjega pozitivnega vzorca (pozitivna amplituda)! Iščemo kodo PCM koderja s 3 segmentno kompresijsko karakteristiko po A-zakonu za amplitudo sinusnega signala z eektivno vrednostjo 6,86 dbm. Enota dbm podaja moč, oz. eektivno napetost signala glede na reerenčno točko komunikacijskega sistema. istih enotah je podan tudi doseg koderja (kvantizatorja). Ker se meritve komunikacijskih naprav izvajajo s sinusnim signalom je doseg podan z izkrmilno mejo T ma, t.j. eektivno napetostjo sinusnega signala, katerega amplituda ravno doseže doseg kvantizatorja. Amplituda sinusnega signala je 3 db nad eektivno vrednostjo, zato velja: = + 3dB in = T + 3dB ma(dbm) e (dbm) (dbm) ma(dbm) (.) Od tod dobimo razmerje med amplitudo vhodnega signala in amplitudo ma = ma(dbm) (dbm) = ( e (dbm) + 3dB) ( Tma(dBm) + 3dB)= db = T = 6,86 dbm 3,4 dbm = db e (dbm) ma(dbm) (.) linearnem merilu pomeni to razmerje / kajti

7 Izpitni rok 9.. Digitalne komunikacije I 3/8 ma db = = =, (.3) Kodna beseda vzorca je sestavljena iz bitov PYZABCD, kjer je bit P polariteta, YZ sestavljajo dvojiški zapis segmenta S in ABCD stopnico L znotraj segmenta. Za absolutno vrednost vhodnega signala, ki je manjša od dosega, poišče analogno digitalni pretvornik vrednosti S in L tako, da je zadoščeno neenačbi S β (6 β + L) Δ < < (6 β + L+ ) Δ (.4) min Segment, na katerem leži vzorec najlaže ugotovimo s pomočjo območij, ki jih pokriva posamezen segment. Iz graa odsekoma linearne kompresijske krivulje, ki je shematsko prikazana na sliki, je razvidno, da amplituda danega vhodnega signala ( ma / = /) leži na 5. segmentu z S = 4 in β =. y min S β S = 7 S = 6 S = 5 S = 4 S = 3 6 Z upoštevanjem relacije 8 4 Slika. Shematski prikaz graa kompresijske karakteristike Δ min = (.5) in ugotovljenima vrednostima S in β, ki jih vstavimo v neenačbo (.4) dobimo (6 ) 3 + L < ma = (.6) L< = = 5,6 L< 9,6 L = 9 (.7) Koda pozitivne amplitude danega signala je, ker je S = 4 = in L = 9 =.

8 Izpitni rok 9.. Digitalne komunikacije I 4/8 3. aključni napetostni signal je opisan z avtokorelacijo R ( τ ) τ za τ < t = t drugod Kolikšna je njegova moč izražena v dbm, če ga opazujemo na upornosti 5 Ω? Kolikšna je ekvivalentna pasovna širina eq te napetosti, če je parameter t = ms? ( = eq S ()) Za močnostne signale velja ker je τ R ( τ ) = = = e (3.) T / R ( τ ) = lim tt ( ) ( τ ) dt T T + (3.) T / Kvadrat eektivne šumne napetosti je torej R () =, kar je tudi normalizirana moč (na upornosti Ω). e P = (3.3) R P (dbm) e = P log log log log 4 6 dbm mw = R mw = 5Ω mw = = (3.4) Slika 3. Gra avtokorelacije danega šuma Avtokorelacija R (τ) in gostota močnostnega S (ω) spektra sta Fourierev par. Pojem ekvivalentne pasovne širine naključnega signala se ujema z deinicijo šumne pasovne širine (noise bandwidth) iltra, kjer dejansko iltrsko karakteristiko nadomestimo z idealnim pasovnoprepustnim ali nizkim sitom. Ekvivalentna pasovna širina je deinirana z izrazom = = eq U S ( ) d S () (3.5)

9 Izpitni rok 9.. Digitalne komunikacije I 5/8 a sliki 4 sta prikazana oba graa gostote močnostnega spektra, S () in ekvivalentna gostota S eq (). Širina pravokotnika predstavlja dvojno nadomestno pasovno širino spektra, ker so obravnavani spektri dvostranski, realne rekvence pa so samo pozitivne. Slika 4. Gostota močnostnega spektra podanega šuma in ilustracija pojma ekvivalentne rekvence eq t jωτ e τ S ( ω) = R ( τ) e dτ = R ( τ)cosωτ dτ = U ( )cosωτ d t τ (3.6) Integral (3.6) izračunamo z metodo per partes ali s tabelami v priročniku. Končni rezultat je tω sin ( cos tω ) ( ) S ω = Ue = U et ω t t ω. (3.7) Izraz (3.7) podaja sicer močnostni spekter kot unkcijo krožne rekvence ω, kar ni težko prevesti na odvisnost on rekvence, če ω zamenjamo z π. Druga oblika izraza v enačbi (3.7) je ugodnejša, ker lahko iz nje takoj ugotovimo vrednost za =. Gra izračunane gostote močnostnega spektra je prikazan na sliki 4 s polno črto. Za izračun ekvivalentne širine, ki je zahtevana v izpitni nalogi, je gornje izvajanje nepotrebno, saj za njeno določitev zadostuje moč šuma in vrednost gostote močnostnega spektra pri =. Slednje lahko izračunano direktno z upoštevanjem lastnosti Fouriereve transormacije, oz. direktno iz njene deinicije. Če nas zanima vrednost pri = ω = potem lahko to naredimo direktno v enačbi (3.6) pred integriranjem jωτ τ τ, (3.8) S () = R ( τ ) e dτ = R ( ) d kar je dobro znana lastnost Fourierevega transorma: vrednost pri ω = je enaka integralu časovne unkcije čez vse čase, oz. ploščini lika pod časovno unkcijo. Torej lahko S () zelo enostavno izračunamo iz graa avtokorelacije na sliki 3. ω=

10 Izpitni rok 9.. Digitalne komunikacije I 6/8 S() = Ue t = Ue t (3.9) Isto vrednost dobimo tudi iz splošnega izraza (3.7), ki je na tem mestu podan za boljše razumevanje izračuna. Iz (3.5) in (3.9) dobimo in od tod eq = e = eq e U U U t (3.) = = = 5 Hz (3.) t ms 4. Kolikšni morata biti vrednosti H( ) (db) pri in pri zg, da bo izhodni signal enak vhodnemu analognemu signalu? a sliki narisani impulzi so po amplitudi enaki vzorcem analognega signala, kvantizacijsko napako pa zanemarite. zg = 8 khz, T = τ = 5 μs D/A τ H( ) iz T T t a sliki prikazani impulzi imajo amplitudo, ki ustreza vrednostim analognega vhodnega signala v časovnih trenutkih, ki so razmaknjeni za čas T. Do zahtevanih vrednosti rekvenčnega odziva pridemo prek spektra Z (ω) signala prikazanega na gornji sliki. Zadržane vzorce vzorčenega signala dobimo v po postopku vzorčenja signala z vlakom delta impulzov in z zadrževalnikom kot prikazuje slika 5. Za brezhibno rekonstrukcijo signala mora vhodni zvezni signal biti rekvenčno omejen, rekvenca vzorčenja pa vsaj dvakratnik najvišje rekvence zg. Tedaj lahko spekter vzorčenega signala zapišemo kot ( ) = vh( n ). (4.) T T n= Pri rekonstrukciji signala razširimo neskončno ozke impulze, s katerimi so zapisane vrednosti zveznega signala, povečati na širino τ <T. To dosežemo s pomočjo zadrževalnega vezja z impulznim odzivom h z (t). Absolutna vrednost rekvenčnega odziva tega vezja je sinπτ Hz( ) = F ( hz( t)) = τ (4.) πτ

11 Izpitni rok 9.. Digitalne komunikacije I 7/8 vh ( ) ( ) - z z - z z T T T vh (t) t v (t) t T T T T t τ h z (t) z (t) t z ( ) H z ( ) T - z z T Slika 5. Graični prikaz časovnih signalov in njihovih spektrov pri vzorčenju analognega signala T zato je spekter vzorčenega in zadržanega signala dan določen kot produkt rekvenčnega odziva H z () in v (). Amplitudni spekter signala na izhodu D/A pretvornika je torej τ sinπτ z( ) = a ( n ) (4.3) T πτ T n= Z izhodnim nizkim sitom moramo dušiti vse rekvenčno premaknjene spektre, ki nastopajo okrog celih mnogokratnikov vzorčevalne rekvence, primerno ojačiti pa moramo originalni del za n =. Da bo izhodni amplitudni spekter iz ( ) na prepustnem pasu od do z enak vhodnemu mora a ( ) veljati

12 Izpitni rok 9.. Digitalne komunikacije I 8/8 in od tod τ sinπτ iz ( ) = vh( ) H( ) = vh( ), (4.4) T πτ H( ) τ sinπτ =. (4.5) T πτ Zahtevani vrednosti pri rekvenci in zg = 8 khz dobimo τ sin H() = lim = H() (db) = log = 6 db τ 6 (4.6) τ sin( π 5 8) H( zg ) =,4 H( ) 6 zg (db) log,4 6, 6 db = = τ π 5 8 =

13 aloge pisnega izpita z rešitvami DIGITALE KOMUIKACIJE I Izpitni rok: naloga Distribucija trenutnih vrednosti naključnega signala (t), ki ga dobimo z normiranjem naključne napetostnega signala u(t) z maksimalno vrednostjo U ma, je podana z enačbo p k ( + ) za ( ) =. drugod arišite gra normirane porazdelitve in izračunajte njegovo maksimalno vrednost, če je Uma eektivna vrednost signala. Koliko db znaša razmerje U e? Z normiranjem signala u(t) z njegovo maksimalno vrednostjo U ma se izognemo težavam, z enotami v matematičnih izrazih u = (.) U a sliki. je prikazan gra distribucije trenutnih vrednosti normiranega naključnega signala (t). ma p ().5 k Slika. Gra porazdelitve p () Konstanto k izračunamo iz pogoja p ( ) d =, (.)

14 Izpitni rok Digitalne komunikacije I /6 ki mu morajo zadostovati porazdelitvene unkcije. Iz (.) in deinicije porazdelitve dobimo in od tod 3 k ( + ) d = k + = k = 3 (.3) 3 3 k =. (.4) Srednja kvadratna vrednost je enaka kvadratu eektivne vrednosti normiranega signala 4 3 e = = p ( ) d = p ( ) d = 3 ( + ) d = (.5) Ue e = = Uma = Ue = 3,6. (.6) U ma Iz leve enačbe v izrazu (.6) sledi tudi iskano razmerje med maksimalno in eektivno napetostjo (obremenilni aktor), ki ga moramo izraziti v db U U ma e db Uma = log = log = log = db. (.7) U e. naloga a vhod idealnega nizkega sita z mejno rekvenco zg = khz vodimo beli šum z enostransko gostoto močnostnega spektra. Izračunajte je gostoto na vhodu in avtokorelacijo R (τ) na izhodu, če je izhodna moč iltriranega šuma 4 dbm! a sliki. sta prikazani dvostranski gostoti močnostnega spektra na vhodu in na izhodu idealnega nizkega sita. S ( ) S iz ( ) / H( ) / - zg zg Slika. Spekter šuma na vhodu in izhodu idealnega nizkega sita Moč na izhodu iltra dobimo z integriranjem gostote močnostnega spektra izhodnega šuma. zg iz = iz ( ) = = zg (.) S d d zg

15 Izpitni rok Digitalne komunikacije I 3/6 4 7 iz = = = 4 dbm mw W Iz (.) in (.) dobimo iskano enostransko gostoto na vhodu 7 iz W 4 W/Hz pw/hz zg Hz (.) = = = = (.3) Avtokorelacija in gostota močnostnega spektra sta Fourierev par, zato velja zg jωτ jπ τ jπ τ iz ( τ) = iz ( ω) ω = iz ( ) = π R S e d S e d e d jπτ zg jπτ zg jπτ zg e e e = = = sin( π zgτ) = (.4) jπτ πτ j πτ = = zg zg sin( π zgτ) π τ zg R (τ) zg zg zg zg - zg zg τ Slika. Avtokorelacija izhodnega šuma

16 Izpitni rok Digitalne komunikacije I 4/6 3. naloga Določite napetostni obseg ( v voltih in dbm) 3-segmentnega kvantizatorja po A-zakonu tako, da bo psoometrično merjena moč kvantizacijskega popačenja praznega kanala manjša od,78 nw na upornosti 6Ω. Razlika med psoometrično merjeno močjo šuma P in navadno meritvijo brez iltra znaša -,5 db, z upoštevanjem razlike med prepustnim pasom izhodnega iltra (3 34 Hz) in polovico vzorčne rekvence ( s / = 4 Hz) pa še -, db pasovnim, kar lahko zapišemo =,5dB,dB = 3,6dB. (3.) P(dBmp) (dbm) (dbm) Moč psoometrično merjenega šuma praznega kanala je podana v vatih, zato razliko 3,6 db izrazimo v obliki razmerja moči izraženih v vatih = + 3, 6 db (dbm) P(dBm p) 3,6 P P = =,3 = 6,37nW Moč tega šuma je računana na upornosti 6 Ω, zato izračunamo eektivno napetost šuma iz zveze U (3.) = U = R (3.3) R Kvadrat eektivne napetosti šumne napetosti je enak normirani moči, zato za šum praznega kanala velja U od koder izračunamo velikost minimalne stopnice min in od tod še pozitivni doseg kvantizatorja min =, (3.4) 4 = U = R = 6,37nW 6Ω = 3,9 (3.5) 3 = = 3,9 48 = 7,98 8. (3.6) min 3 6Ω (8 ) (dbm/ 6Ω) = log = log =,dbm mw 6 Ω mw (3.7)

17 Izpitni rok Digitalne komunikacije I 5/6 4. naloga Govorni signal kvantiziramo z enakomernim kvantizatorjem s simetričnim dosegom. Koliko znaša minimalno potrebno število bitov n tega kvantizatorja, da bo razmerje moči signala in kvantizacijske napake boljše kot 3 db? Za govorni signal predpostavljamo dinamično področje ma / min = 35 db in Laplaceovo distribucijo. a sliki 4. je prikazan potek razmerja med močjo signala in močjo kvantizacijske napake v odvisnosti od razmerja med eektivno vrednostjo signala in dosegom za enakomeren kvantizator s simetričnim dosegom. Moč prekoračitvene napake p ni odvisna od števila nivojev, na katere je je razdeljen obseg kvantizatorja, temveč od razmerja med dosegom in eektivno vrednostjo signala ter od porazdelitvene unkcije. Moč prekoračitvene napake za Laplaceovo distribucijo je podana z iin iz (4.) izrazimo razmerje p S e = (4.) S e e e = (4.) p Iz graa na sliki 4. je razvidno, da je skupno razmerje S/ q za velike signale določeno le s prekoračitvenim popačenjem, zato določimo maksimalno izkrmiljenje ma / iz (4.) z upoštevanjem minimalnega zahtevanega razmerja S/ q = 3 db. Ker gre za razmerje moči na to prestavlja aktor, ki ga uporabimo v (4.) S q [ db] S p S z n + 6dB S q min n n- min ma min ma e db [ ] Slika 4. Razmerje med močjo signala in močjo popačenja za enakomerni kvantizator. Parameter n označuje število bitov v kodni besedi za zapis kvantizirane vrednosti vzorca.

18 Izpitni rok Digitalne komunikacije I 6/6 ma = = =,4 (4.3) S ln ln p Rezultat raje izrazimo v db ma db ma = log = log,4 = 3,77dB. (4.4) Potrebno število bitov kvantizatorja določimo iz minimalnega izkrmiljenja ( min /) db, ki ga dobimo iz zahtevanega dinamičnega območja ma / min = 35 db in rezultata (4.4) log log log log = = db = ma ma ma = = 3,77 db 35dB = 48,77dB min min ma min ma ma db min db Za enakomerni kvantizator s simetričnim dosegom uporabimo izraz za razmerje (S/ z ) db na spodnji meji dinamičnega območja db in izračunamo minimalno število bitov db min = (4.5) S min = 4,77dB+ 6,dB n + 3dB, (4.6) z 74 n =,3. (4.7) 6, Ker je število bitov lahko le celo število, je končni rezultat prvo celo število, ki zadostuje pogoju (4.7) n = 3. S tem številom bitov in z njim povezanim številom nivojev ima kvantizator nekoliko večje dinamično območje, kot ga naloga zahteva.

19 Izpitni rok: aloge pisnega izpita z rešitvami DIGITALE KOMUIKACIJE I aloga a vhod šest nivojskega kvantizatorja s podano karakteristiko je priključen signal z normalno distribucijo (Gaussovo) = in σ =. Določite Humanovo kodo za kodiranje izhodnih nivojev (simbolov) y i (i =,,6), in izračunajte povprečno število bitov na simbol n. Kolikšna je entropija inormacijskega izvora H(Y)? y y 5 y 5 y 4 -, -,7 y 3,7, y y π e.4 P(y 4 ) = P ( < <,7). 3,7 Slika. Gra gostote verjetnosti za Gaussovo (normalno) porazdelitev erjetnosti za posamezni izhodni nivo y i je določen z integralom gostote verjetnosti na ustreznem intervalu, za izhodni nivo y 4 je ta verjetnost določena z,7,7 ( 4) = ( ) = = (,7) () (.) Py p d e d Φ Φ π 3

20 Izpitni rok Digitalne komunikacije I /7 kjer Φ () označuje verjetnostni integral (kumulativno verjetnost) za normalno porazdelitev gostote verjetnosti s σ =, ki je tabeliran v matematičnem priročniku za pozitivne vrednosti naključne spremenljivke. Porazdelitev je simetrična zato so verjetnosti za negativne nivoje y, y in y 3 enake ustreznim pozitivnim nivojem. Za nivoje y 4, y 5, y 6 dobimo verjetnosti Py ( ) = Φ(,7) Φ() =,758,5 =,58 = Py ( ) 4 3 Py ( ) = Φ(,) Φ(,7) =,885,758 =,7 = Py ( ) 5 Py ( ) = Φ( ) Φ(,) =,885 =,5 = Py ( ) 6 Rezultati so strnjeni v spodnji tabeli. Kode za kodiranje posameznih nivojev določimo s Humanovim postopkom z redukcijo urejenega inormacijskega izvora. i P(y i ) koda n i P(y i ).n i I(y i ) I(y i ).P(y i ),5 3,345 3,,359,7 3,38,977,378 n =,484 3,58,56,955,54 4,58,56,955,54 HY ( ) =,484 5,7 3,38,977,378 6,5 3,345 3,,359 3,58,58,58,484,56 4,58,58,58,58,484,7,3,54,58 5,7,7,3,5,7 6,5 (.)

21 Izpitni rok Digitalne komunikacije I 3/7 aloga a vhod 8-bitnega kvantizatorja s simetričnim dosegom + = - = 5 je priključen signal z Laplaceovo distribucijo. Z voltmetrom (izmeničnim) izmerimo na vhodu eektivno napetost, dbm. Izračunajte enosmerno komponento vhodnega signala, če na izhodu izmerimo moč prekoračitvenega popačenja P = -9 dbm! Zrnato kvantizacijsko popačenje je popolnoma zanemarljivo v primerjavi s prekoračitvenim. Za normalizirano moč zrnatega popačenja s simetričnim dosegom velja izraz = = = 3 qz n n Za lažjo primerjavo zrnato popačenje izrazimo v dbm qz qz [dbm] = log = log R mw 3 REF n REF = mw = log3 n log + log = R mw REF 5 = 4,77dB n 6, + log = 96,9dBm,6 Izračun zrnatega popačenja je na tem mestu podan zgolj zaradi razjasnitve, da na izhodu pomerimo le prekoračitveno popačenje P, ki ga izračunamo s podano porazdelitveno unkcijo. R (.) (.) σ p ( ) = e (.3) σ + P = ( ) p( d ) + ( ) p ( d ) (.4) + e e - območje prekoračitve območje prekoračitve - Slika. Laplaceova porazdelitev gostote verjetnosti za naključno spremenljivko z enosmerno komponento ( )

22 Izpitni rok Digitalne komunikacije I 4/7 Z upoštevanjem simetričnosti dosega in porazdelitve (.3) dobimo P = ( + ) p ( ) d + ( ) p ( ) d = σ σ = ( + ) e d+ ( ) e d = (.5) σ σ = A+ B prvem integralu za negativno območje vpeljemo zamenjavo Integral A s to zamenjavo postane + = t ; = t = ; = t = = t ; d = dt ( t ) t σ σ σ σ A = t e d = e e t e d σ σ σ σ σ = e e = Izraz znotraj oklepaja v (.7) predstavlja srednjo kvadratno vrednost spremenljivke za pozitivne vrednosti naključne spremenljivke brez enosmerne vrednosti. Tega integrala ni potrebno računati saj σ nastopa kot parameter porazdelitve. S podobno substitucijo izračunamo integral B t = S tem dobimo izraz za moč prekoračitvene napake σ σ (.6) (.7) (.8) σ B = e e (.9) σ σ σ σ e + e p = σ e = Se ch σ, (.) kjer S predstavlja normalizirano moč signala (kvadrat eektivne vrednosti). Iz podatkov dobimo oziroma S p [db] = p[dbm] S[dBm] = p[dbm] e[dbm] =,db (.) Iz (.) dobimo p S, 3 = = 7,58 (.) 5 σ 3 p ch e 7,58 e 8,93 σ = = = S (.3)

23 Izpitni rok Digitalne komunikacije I 5/7 = Arch(8,93) = (.4) Do izraza (.) za moč prekoračitve lahko pridemo tudi na osnovi izraza za signal brez enosmerne komponente (predavanja, vaje) p Se σ = (.5) in slike.. Lahko si mislimo, da postane doseg za pozitivne signale manjši za negativno stran pa večji +. Dokler velja <, prispeva vsaka stran polovico napake, ki velja za simetrično porazdelitev. Od tod sledi + σ σ p = Se + Se (.6) aloga 3 Doseg 3-segmentnega neenakomernega kvantizatorja po A-zakonu je ±. Izračunajte izhodni šum praznega kanala v dbm in v dbmp! ormalizirana moč šuma praznega kanala kvantizatorja je dana z q () =, (3.) 4 kjer je () velikost stopnice kvantizatorja pri prehodu čez ničlo. Pri 3-segmentnem A-zakonu velja () = min = (3.) Za izračun moči v dbm moramo upoštevati moč na reerenčnem uporu, ki je za teleonske signale vedno 6 Ω, in jo primerjati z reerenčno močjo mw. min [dbm] = log = log = 5 dbm 4R mw 4 6Ω mw Pri psoometrično merjeni moči šuma moramo izračunano vrednost v dbm zmanjšati za 3,6 db. [dbmp] = [dbm] 3,6dB = 53,6dBmp (3.3) (3.4)

24 Izpitni rok Digitalne komunikacije I 6/7 aloga 4 Izhodni signal digitalnega komunikacijskega sistema je priključen na vhod spektralnega analizatorja. a vhod sistema je priključen sinusni signal. Iz slike na zaslonu analizatorja izračunajte: razmerje med signalom in kvantizacijskim šumom S/ q v db, dušenje izhodnega iltra v zapornem pasu, rekvenco vzorčenja. Ekvivalentna šumna pasovna širina vhodnega iltra je B eq = 4 Hz. dbm ~ A/D D/A db/div khz/div khz Iz slike lahko razberemo naslednje: na vhodu je harmonični signal z nivojem -dbm in rekvenco T = 4 khz, prva zrcalna harmonska komponenta ima rekvenco z = 8 khz in nivo -5 dbm. Zgornja mejna rekvenca rekonstrukcijskega iltra m = khz in na rekvenčnem pasu od do m je prisoten kvantizacijski šum, ki ga vhodni ilter analizatorja prevede v napetost v šumno napetost U = 6 dbm. Šumna napetost, ki jo prikazuje rekvenčni analizator, določena z gosto močnostnega spektra kvantizacijskega šuma S qz, ki je na rekvenčnem pasu m konstantna in ekvivalentno pasovno širino B eq = eq U B S Kvadrat šumne napetosti je preračunan v dbm po enačbi U qz (4.) U BeqSqz Sqz B eq [dbm] = log = log = log Hz + log R mw R mw R mw, (4.) Hz kar pomeni, da lahko izrazimo gostoto močnostnega spektra šuma v dbm/hz tako, da v dbm izrazimo moč na rekvenčnem intervalu Hz. S tem dobimo iz (4.) zvezo oziroma S qz U Beq [dbm] = Sqz[dBm/Hz] + log (4.3) Hz Beq [dbm/ Hz] = U[dBm] log = 6dBm log4 = 76dBm/ Hz. (4.4) Hz Celotna moč šuma je določena z mejno rekvenco rekonstrukcijskega iltra m po enačbi

25 Izpitni rok Digitalne komunikacije I 7/7 ki jo lahko zapišemo tudi z logaritmičnimi enotami podobno kot (4.3) m = S d = S q qz qz m, (4.5) m 4 q[dbm] = Sqz[dBm/ Hz] + log = 76dBm/ Hz+ log = 36dBm (4.6) Hz Razmerje med močjo signala in kvantizacijskega šuma S/ q dobimo z odštevanjem obeh moči izraženih v dbm S [db] = S[dBm] q[dbm] = dbm ( 36dBm) = 6dB (4.7) q Frekvenco vzorčenja izračunamo iz zrcalne rekvence testnega signala z = (4.8) z T = z + T = 8kHz+ 4kHz = khz (4.9) Dušenje rekonstrukcijskega iltra dobimo iz razmerja med velikostjo tesnega signala v prepustnem pasu in zrcalne rekvence v zapori H( ) = H( ) = S [dbm] S[dBm] = 5dBm ( dbm) = 4dB (4.) zap z z

26 aloge pisnega izpita z rešitvami DIGITALE KOMUIKACIJE I Izpitni rok: aloga a vhod štiri-nivojskega enakomernega kvantizatorja (Δ = ) je priključen signal, ki ima Lapalceovo distribucijo z μ =. Določite eektivno napetost vhodnega signala, če je verjetnost izhodne kode Y 3 enaka,36. Kolikšna je entropija inormacijskega izvora H(Y)? y,5 Y 4,5 Y 3 Y - -,5 Y -,5 erjetnost za izhodno kodo Y 3 je dana z integralom gostote verjetnosti na intervalu (,) 3 σ σ σ (.) PY ( ) = p ( d ) = e d = ( e ) Iz podane verjetnosti izračunamo σ σ = = (.) ln(,36) Enota standardne deviacije je volt saj so meje na abscisni kavantizatorske karakteristike v voltih, torej σ =,4. Entropijo H(Y ) izračunamo iz verjetnosti posameznih nivojev. Srednja vrednost vhodnega signala je zato velja 4 μ = = (.3) PY ( ) = PY ( 3) =,36 PY ( ) = PY ( ) =,5 PY ( ) =, (.4) HY ( ) = PY ( i ) = (,36 log,36 +,84 log,84) = log PY ( i ) log (.5) i= =,95bit/simbol

27 Izpitni rok Digitalne komunikacije I /6 aloga ajmanjša stopnica Δ min v neenakomernem A/D pretvorniku (3 segmentni A-zakon) znaša m. Kolikšen je relativni nivo (dbr) točke teleonskega sistema, v kateri bi ga lahko uporabili za pretvorbo analognih v digitalne signale, da bi ustrezal CCITT predpisom o izkrmilni meji (T ma = 3,4dBm)? Doseg izračunamo iz znane zveze = Δ 6 8 = Δ = m 48 = 4,96 (.) min min Doseg izrazimo v dbm, pri čemer uporabimo reerenčno upornost 6 Ω, ki se uporablja v teleoniji [] 4,96 [dbm] = log = log = 4,46dBm (.) R mw,6 Standardizirani doseg v reerenčno točki dobimo iz podatka T ma, ki predstavlja maksimalno eektivno vrednost nepopačenega sinusnega signala, ko temenska napetost doseže doseg kavantizatorja (A/D pretvornika). [dbm] = T ma [dbm] + 3dB = 6,4dBm (.3) Relativni nivo A/D pretvornik po A-zakonu, je razlika med dejanskimi signali izraženimi v dbm in predpisanimi v enoti dbm. [dbr] = [dbm] [dbm] = 4,46dBm 6,4dBm = 8,3dBr (.4) aloga 3 Določite minimalno vzorčno rekvenco za popolno rekonstrukcijo signala z gornjo mejno rekvenco z = khz! Kolikšna je eektivna napetost izhodne kvantizacijske napake, če je velikost stopnice enakomernega kvantizatorja m. Za rekonstrukcijo (dušenje zrcalnih rekvenc) regularno vzorčenega signala imamo na voljo nizko sito s podanim močnostnim rekvenčnim odzivom. H( ) -,3 m - m m,3 m

28 Izpitni rok Digitalne komunikacije I 3/6 S( ) H( ) z S( - ) - -,3 z - z z Slika 3. Spekter regularno vzorčenega signala pred rekonstrukcijo z nizkim sitom a sliki spektra vzorčenega signala vidimo, da lahko z danim iltrom izsejemo originalni signal, če velja,3 z + z =,3 z = 3kHz (3.) Moč izhodne kvantizacijske napake je določena rekonstrukcijskim nizkim iltrom in gostoto močnostnega spektra kvantizacijskega šuma, ki znaša τ q q S( ) = T = (3.) pri čemer vzamemo za širino izhodnih regularno vzorčenih impulzov kar τ = T. Širina τ sicer vpliva na velikost izhodnega signala in šuma, vendar ne vpliva na njuno razmerje. ormalizirana moč zrnatega popačenja enakomernega kvantizatorja je določena z velikostjo stopnice Δ q = (3.3),3 z q H( ) q - -,3 z - z z,3 z Slika 3. Močnostni spekter kvantizacijske napake na vhodu rekonstrukcijskega iltra z močnostnim rekvenčnim odzivom H( ) ormalizirana moč izhodne kvantizacijske napake je,3 z,3 z q q,3 z qr = R ( ) = ( ) = (,3 z + z ) = q,3,3. (3.4) S d H d z Izračunano minimalno rekvenco vzorčenja (3.) vstavimo v (3.4) in dobimo z

29 Izpitni rok Digitalne komunikacije I 4/6 qr Δ = q = (3.5) S R ( ) qr q - -,3 z - z z,3 z Slika 3.3 Gostota močnostnega spektra na izhodu rekonstrukcijskega nizkega iltra. Ploščina šrairanega lika (trapeza) predstavlja izhodno moč kvantizacijske napake Δ m UqR = qr = = =,88m (3.6) Ker je vzorčevalna rekvenca minimalna glede na dano karakteristiko nizkega sita, je moč izhodne kvantizacijske napake enaka vrednosti q določeni z enačbo (3.3), kjer ni upoštevan vpliv vzorčenja in karakteristike izhodnega iltra. aloga 4 a vhod 8-bitnega kvantizatorja s simetričnim dosegom + = - = 5 je priključen signal z Laplaceovo distribucijo. Z voltmetrom (izmeničnim) izmerimo na vhodu eektivno napetost, dbm. Izračunajte enosmerno komponento vhodnega signala, če na izhodu izmerimo moč prekoračitvenega popačenja P = -9 dbm! Zrnato kvantizacijsko popačenje je popolnoma zanemarljivo v primerjavi s prekoračitvenim. Za normalizirano moč zrnatega popačenja s simetričnim dosegom velja izraz Δ = = = 3 qz n n Za lažjo primerjavo zrnato popačenje izrazimo v dbm qz qz [dbm] = log = log = R mw n 3 R mw REF = log3 n log + log = R mw REF 5 = 4,77dB n 6, + log = 96,9dBm,6 REF (4.) (4.)

30 Izpitni rok Digitalne komunikacije I 5/6 Izračun zrnatega popačenja je na tem mestu podan zgolj zaradi razjasnitve, da na izhodu pomerimo le prekoračitveno popačenje P, ki ga izračunamo s podano porazdelitveno unkcijo. σ p ( ) = e (4.3) σ + P = + + ( ) p ( d ) ( ) p ( d ) (4.4) e e - območje prekoračitve območje prekoračitve - Slika 4. Laplaceova porazdelitev gostote verjetnosti za naključno spremenljivko z enosmerno komponento ( ) Z upoštevanjem simetričnosti dosega in porazdelitve (4.3) dobimo P = ( + ) ( ) + ( ) ( ) = σ σ p d p d (4.5) = ( + ) e d+ ( ) e d = σ σ = A+ B prvem integralu za negativno območje vpeljemo zamenjavo Integral A s to zamenjavo postane + = t ; = t = ; = t = = t ; d = dt A = t e d = e e t e d = σ ( t ) t σ σ σ σ σ σ σ σ = e e (4.6) (4.7)

31 Izpitni rok Digitalne komunikacije I 6/6 Izraz znotraj oklepaja v (4.7) predstavlja srednjo kvadratno vrednost spremenljivke za pozitivne vrednosti naključne spremenljivke brez enosmerne vrednosti. Tega integrala ni potrebno računati saj σ nastopa kot parameter porazdelitve. S podobno substitucijo t = (4.8) izračunamo integral B σ σ σ B = e e (4.9) S tem dobimo izraz za moč prekoračitvene napake σ σ σ σ e + e p = σ e = Se ch σ, (4.) kjer S predstavlja normalizirano moč signala (kvadrat eektivne vrednosti). Iz podatkov dobimo oziroma S Iz (4.) dobimo p [db] = p[dbm] S[dBm] = p[dbm] e[dbm] =,db p S, 3 (4.) = = 7,58 (4.) 5 σ 3 p ch e 7,58 e 8,93 σ = = = S (4.3) = Arch(8,93) = (4.4) Do izraza (4.) za moč prekoračitve lahko pridemo tudi na osnovi izraza za signal brez enosmerne komponente (predavanja, vaje) p Se σ = (4.5) in slike.. Lahko si mislimo, da postane doseg za pozitivne signale manjši stran pa večji +. Dokler velja za negativno < (4.6) vsaka stran prispeva polovico napake, ki velja za simetrično porazdelitev. Od tod sledi + σ σ p = Se + Se (4.7)

32 aloge. kolokvija z rešitvami DIGITALE KOMUIKACIJE I Datum: aloga astavitev napetosti generatorja sinusnega signala z notranjo upornostjo R g = 6 Ω je pravilna, če je izhod zaključen s prilagojenim bremenom. Izračunajte nastavitev napetosti na generatorju v dbm, da bo moč signala na vhodu P vh = 3 dbm! hodna upornost je R = Ω. vh??? dbm R g = 6 Ω P vh R vh = Ω apetost na vhodu izračunamo iz moči in vhodne upornosti: 3 P = 3 dbm = mw = W vh (.) Uvh vh vh vh vh Rvh P = U = R P = Ω W = 4,4 Generator ima notranjo upornost 6 Ω, zato moramo izračunati napetost napetostnega generatorja s pomočjo Théveninovega nadomestnega vezja. R g = 6 Ω (.) U g U vh R vh = Ω Slika. adomestno vezje za izračun napetosti U g U g Rg + Rvh = Uvh = 4 4,4 = 56,56 R vh Pri pravilni zaključitvi z bremenskim uporom 6 Ω, dobimo na uporu polovično napetost. Iz moči na uporu izračunamo pravilno nastavitev generatorja. (.3) U g ( 8, 8 ) P =,33W = = Rg 6Ω P,33W P [ dbm ] = log = log = 3,dBm mw mw (.4) (.5)

33 . kolokvij Digitalne komunikacije I /4 aloga Signal z Laplaceovo porazdelitvijo gostote verjetnosti (µ = =, σ = 3 ) merimo z dvovalnim usmerniškim vezjem, ki ima karakteristiko: Kolikšno napetost kaže enosmerni voltmeter, če velja A = 4? y A u iz uvh uvh < A = A uvh > A -A A Slika. - Karakteristika usmerniškega vezja Enosmerni voltmeter na izhodu meri povprečno vrednost izhodnega signala, ki je sorazmeren absolutni vrednosti vhodne napetosti oziroma je enaka A, če po absolutni vrednosti večja od A. U = E y = E ( ) = ( ) p ( ) d [ ] [ ] (.) Ker sta () in p () sodi unkciji, lahko račun poenostavimo in računamo le za pozitivne vrednosti. U = ( ) p ( ) d = p ( ) d+ A p ( ) d = A A σ σ = e d e d σ + = σ A A A A σ σ σ σ σ σ = e + e d+ A e σ A A A σ σ σ σ σ σ = Ae + e Ae + = σ = σ σ e A 4 3 U = Y = 3 e =,799 =,8 A = (.) (.3)

34 . kolokvij Digitalne komunikacije I 3/4 aloga 3 aključen stacionaren proces ima podano gostoto močnostnega spektra z izrazom 5 S ( ) = π drugod Izračunajte srednjo kvadratno vrednost in avtokorelacijo podanega procesa! jωτ jπ τ ( τ) = ( ω) ω = ( ) R S e d S e d π (3.) jωτ jτ jτ jωτ e e e R ( τ) = 5e dω sin π = = = τ π jτ τπ j τπ R sin τ ( τ ) = π τ Srednja kvadratna vrednost naključnega procesa oziroma njegova normalizirana moč signala je vrednost avtokorelacije v izhodišču sin τ = P = R() = lim = = 3,83 π τ τ π (3.) (3.3) (3.4) R () τ τ [s] Slika 3. Gra avtokorelacijske unkcije podanega rekvenčno omejenega naključnega procesa

35 . kolokvij Digitalne komunikacije I 4/4 aloga 4 a izhodu -bitnega kvantizatorja s simetričnim dosegom = 5 izmerimo razmerje med močjo signala močjo šuma S/ = 4 db. Kolikšna je moč vhodnega signala, če je na vhodu poleg signala prisoten tudi šum z eektivno napetostjo U = -48 dbm? Pri izračunu predpostavite, da ni prekoračitve obsega kvantizatorja! e U = -48dBm Q S = qz + vh = 4dB elikost stopnice enakomernega kvantizatorja s simetričnim dosegom je 5 = = = n 9,67m ormalizirana moč zrnatega kvantizacijskega popačenja je qz = = 7,94 6 (4.) (4.) a izhodu se moč vhodnega šuma in zrnatega kvantizacijskega popačenja seštevata. ormalizirano moč vhodnega šuma izračunamo z upoštevanjem reerenčne vrednosti upornosti 6 Ω. Iz moči šuma v dbm izračunamo najprej moč v W 4,8 8 vh = 48dBm = mw =,58 W, (4.3) ki jo lahko izrazimo tudi kot srednjo kvadratno vrednost oziroma kot kvadrat eektivne napetosti vhodnega šuma Skupni izhodni šum 6 [ ] = U = P R =,58 W 6Ω = 9,6 8 vh vh vh (4.4) (4.5) Izhodno razmerje S/ = 4 db predstavlja razmerje 4, od tod dobimo kvadrat eektivne napetosti signala Eektivna vrednost signala je 5 = + =,74 izh qz vh ( S 4 5 ) S = =, 74 =,74 e = S =,47 Moč vhodnega signala v dbm lahko izrazimo iz normalizirane moči (4.6) (4.6) (4.7) S S [W] e,74 [dbm] = log = log = log = 5,36 dbm mw R mw,6 (4.8)

36 aloge. kolokvija z rešitvami DIGITALE KOMUIKACIJE I Datum: aloga Izračunajte napetostni obseg (v voltih in dbm) 3-segmentnega kvantizatorja po A-zakonu, če je moč kvantizacijskega popačenja praznega kanala -73,6 dbmp (psoometrična meritev) na upornosti 6 Ω. ormalizirana moč šuma praznega kanala je povezana z velikostjo najmanjše stopnice kvantizatorja min Ker je moč podan v dbmp, jo najprej izrazimo v dbm kar lahko izrazimo tudi v vatih = (.) 4 [dbm] = [dbmp] + 3,6dB = 7dBm, (.) 7 [W] = mw = W. (.3) Ker je šum praznega kanala izražen (izmerjen) glede na standardno reerenčno upornost 6 Ω, se (.) spremeni v min min re 4Rre [W] = = 4R = 4 6Ω W =, 489m (.4) Med dosegom in velikostjo minimalne stopnice kvantizatorja po A-zakonu velja zveza a koncu izračunamo še doseg v dbm = min =,. (.5) [dbm] = log = log =, dbm mw 6Ω,6 (.6)

37 . kolokvij Digitalne komunikacije I /6 aloga Inormacijski signal z Gaussovo distribucijo in eektivno napetostjo (volt) želimo kvantizirati s 4- nivojskim (-bitnim) kvantizatorjem. Določite decizijske meje 4 tako, da bodo vsi izhodni nivoji enako pogosti. Za določene meje izračunajte izhodni nivo y 4 tako, da bo kvantizacijska napaka najmanjša! y y 4 y 3 3 y y π e.4 P ( < < 3 ) =, Slika. Gra normalne porazdelitve s prikazom verjetnosti za področje med in 3 Področje signala razdelimo na štiri področja, na katerih je nahajanje signala enako verjetno. To pomeni, da ploščina pod unkcijo gostote verjetnosti na intervalih ( i-, i ) povsod ena četrtina. Za normalno porazdelitev (Gaussovo) ne moremo verjetnosti analitično izraziti, zato za določitev mej uporabimo tabelirane vrednosti iz matematičnega priročnika. erjetnostni integral je tabeliran za vrednosti > zato najprej določimo 3. P ( < < ) = Φ( ) Φ( ) =,5. (.) 3 3 Iz simetričnosti zlahka določimo, da je =. Ker je Φ () =,5 dobimo Φ ( ) =,75 =, rednosti verjetnostnega integrala so tabelirane za normirano verjetnostno spremenljivko s σ =, kar je tudi eektivna (σ ) vrednost vhodnega signala. Z upoštevanjem simetričnosti intervalov dobimo vektor decizijskih mej (,,, 3, 4) = (,.675,,.675, ) (.) (.3)

38 . kolokvij Digitalne komunikacije I 3/6 Za določene meje je optimalni izhodni nivo kvantizatorja, ki da najmanjšo moč kvantizacijske napake, dan kot centroid intervala ( i-, i ) Za nivo y 4 dobimo integral y 3 i = i i i i p p ( ) d ( d ) 3 (.4) 4 4 y4 = e d = e =, 7, (.5) π π kjer smo upoštevali, da je vrednost imenovalca v (.4) enaka verjetnosti, ki zanaša ¼. Integral (.5) rešimo s substitucijo = t d = dt (.6) aloga 3 Kolikšno je relativno dušenje spektra regularno vzorčenega signala (τ = T ) v db, ki zajema rekvenčni pas od 9 khz do 6 khz? Frekvenco vzorčenja izberite tako, da je za prenos signala potrebna najnižja bitna hitrost R, rekonstrukcijski ilter pa je izikalno uresničljiv. Izračunajte to slabljenje tudi za polovico krajši čas zadrževanja! Analogni signal je pasovno omejen s rekvencama s = 9 khz in z = 6 khz. Ker je pasovna širiina manjša od spodnje mejne rekvence, lahko uporabimo nižjo rekvenco vzorčenja kot bi sledila iz WKS teorema o vzorčenju. Z pasovno omejene signale velja: z 6 k = int int = 7 = (3.) z s z s (3.) k k Iz (3.) in (3.) dobimo pogoj za najnižjo možno rekvenco, kjer v spektru vzorčenega signala ne pride do prekrivanja spektrov, to pa omogoča brezizgubno rekonstrukcijo originalnega signala. 6kHz 8kHz ajbolj logična izbira za rekvenco je sredina intervala možnih rekvenc, saj se pri mejnih vrednostih posamezni rekvenčni pasovi že stikajo. Izbrano vzorčno rekvenco = 7 khz preverimo na grau na sliki 3., ki prikazuje spekter regularno vzorčenega signala. kolikor izberemo rekvenco 6 khz, se stikata spektra originalnega signala in zrcalni rekvenčni pas okoli = 3 khz. Fizikalna uresničljivost zahteva prehodni rekvenčni pas med prepustnim in zapornim področjem. (3.3)

39 . kolokvij Digitalne komunikacije I 4/6 ( ) δ ( ) = = = 8 Slika 3. Simbolična predstavitev spektrov zgoraj: originalnega signala spodaj: idealno vzorčenega signala = 34 Kot je iz slike 3. razvidno, je razdalja med osnovnim in zrcalnimi spektri khz oziroma khz na spodnji oziroma zgornji rekvenčni meji. Relativno slabljenje spektra regularno vzorčenega signala na zgornji rekvenci, določa absolutna vrednost rekvenčnega odziva zadrževalnega vezja s τ = T. Za < velja od tod dobimo oziroma sinπ H( ) = τ sinc( τ ) = τsinc = π, (3.4) z sinπ 6 H( ) sin z s 9 π = = 7 =,97 (3.5) H( s) z s 6 9 sinπ sinπ 7 H( z ) [db] = log,97 = 9,67dB. (3.6) H( ) s Če skrajšamo izhodne impulze na polovico periode, se dušenje bistveno zmanjša z sinπ H( z) s = =,758 =,4dB. (3.7) H( s) z s sinπ

40 . kolokvij Digitalne komunikacije I 5/6 H ( ) τ = Τ Τ τ = Slika 3.3 Frekvenčni odziv zadrževalnega vezja aloga 4 Signal z eektivno napetostjo, srednjo vrednostjo nič in Laplaceovo distribucijo kvantiziramo s šestnivojskim neenakomernim kvantizatorjem. Določite Humanovo kodo za izhodne kode Y i (i =,, 6), če velja: i < i Yi = (,,..., ) = (,,5,,5,,,5,,5, ), 6 kjer je vektor decizijskih nivojev. Koliko znaša povprečno število bitov na simbol je entropija inormacijskega vira H(Y)? n? Kolikšna e P( y ) P( y 3 ) P( y P( y 4 ) ) P( y 5 ) P( y 6 ) Slika 4.4 Laplaceova porazdelitev in graična predstavitev verjetnosti posameznih simbolov ajprej izračunamo verjetnosti posameznih simbolov Y i iz gostote verjetnosti in mej intervalov. Ker je porazdelitev simetrična, računamo verjetnosti za intervale na pozitivni strani. 6,5 Y( 6) = Y( ) = ( ) = = = =,6 (4.),5,5 P y P y p d e d e e 5

41 . kolokvij Digitalne komunikacije I 6/6 5,5,5 Y( 5) = Y( ) = ( ) = =,865 (4.) P y P y p d e e 4 [ ] Py ( ) = Py ( ) =,5 Py ( ) + Py ( ) =,53 (4.3) Z izračunanimi verjetnostmi izhodnih nivojev s Humanovim postopkom določimo kode Y i, s katerimi kodiramo posamezni nivo. Rezultat postopka je strnjen v tabeli 4.. Tabela 4. erjetnosti izhodnih nivojev in Humanova koda Povprečno število bitov na simbol i P(y i ) Y i n i,6 4,865 3,53 4,53 5, ,6 4 Entropija inormacijskega izvora 6 n = nip( Yi) =,4 bit/simbol (4.4) i= 6 6 (4.5) HY ( ) = PY ( )log = PY ( )log PY ( ) =,395 bit/simbol i i i PY ( ) log i= i i=

42 Digitalne komunikacije aloga astavitev napetosti generatorja sinusnega signala z notranjo upornostjo R g = 6 Ω je pravilna, če je izhod zaključen s prilagojenim bremenom. Izračunajte nastavitev napetosti na generatorju v dbm, da bo moč signala na vhodu S vh = 3 dbm! hodna upornost je R vh = 5 Ω.??? dbm R g = 6 Ω S vh R vh = 5 Ω Slika. Povezava generatorja na vhod apetost na vhodu izračunamo iz moči in vhodne upornosti: 3 P = 3dBm = mw = mw vh (.) Uvh vh vh vh vh Rvh P = U = R P = 5Ω mw =,36 Generator ima notranjo upornost 6 Ω, zato moramo izračunati napetost napetostnega generatorja s pomočjo Théveninovega nadomestnega vezja. R g = 6 Ω (.) U g U vh R vh = 5 Ω Slika. adomestno vezje za izračun napetosti U U g Rg + Rvh = Uvh = 3,36 = 4, R vh Pri pravilni zaključitvi z bremenskim uporom 6 Ω, dobimo na uporu polovično napetost. Iz moči na uporu izračunamo pravilno nastavitev generatorja. g (.3) U g (,5 ) P = 7mW = = Rg 6Ω P 7mW P [ dbm ] = log = log = 8, 45dBm mw mw (.4) (.5)

43 Digitalne komunikacije aloga a zaslonu spektralnega analizatorja prikazuje spekter napetosti na izhodu komunikacijskega sistema. Izračunajte razmerje med močjo signala S in močjo šuma v db na opazovanem rekvenčnem pasu. Sistem testiramo s sinusno napetostjo s rekvenco khz. Šum predstavljajo vse druge komponente izhodnega spektra. Šumna pasovna širina iltra spektralnega analizatorja je B = Hz. dbm db/div khz/div khz Slika. Slika na zaslonu spektralnega analizatorja Spektralni analizator predstavlja selektiven voltmeter, ki meri napetost v ozkem rekvenčnem območju okoli pasovnega sita s centralno rekvenco, ki se spreminja v nastavljenem območju. Rezultat, ki ga vidimo na zaslonu, predstavlja moč oziroma eektivno napetost signala na izhodu pasovnega iltra, ki ima maksimum (center) pri tej rekvenci. Bločna shema spektralnega analizatorja je prikazana na sliki.. U vh ( ) H( - ) RMS U e ( ) [dbm] Slika. Poenostavljena shema spektralnega analizatorja Pasovno sito ima ozek prepustni pas okoli centralne rekvence, ki jo lahko spreminjamo na želenem intervalu. Pri meritvi čistega harmoničnega signala je inormacija o amplitudi oz eektivni vrednosti rekvenčne komponente, podana z lokalnim maksimumom odziva U(), ki ga vidimo na zaslonu. Teoretično neskončno ozka spektralna črta vhodnega signala se razširi na rekvenčni odziv pasovnega sita. Interakcijo med pasovnim sitom in spektralno črto na vhodu prikazujejo grai na sliki.3.

44 Digitalne komunikacije 3 U vh ( ) U H( - ) = > U ( ) U U H( - ) Slika.3 Izmerjeni spekter pri meritvi harmoničnega signala Zaradi velikega razpona amplitud med posameznimi rekvenčnimi pasovi so spektri prikazani v logaritmični enoti dbm. Pri meritvi šuma je na vhodu porazdeljen spekter z gostoto močnostnega spektra S v (). Če je ta gostota konstantna na rekvenčnem intervalu, ki je znatno večji od pasovne širine iltra, jo lahko preračunamo na osnovi šumne (ekvivalentne) pasovne širine B. S v ( ) n v H( - ) S i ( ) n v B H( - ) n v U ( ) ' ' zg zg Slika.4 Meritev signala s porazdeljenim spektrom Merilni rezultat na zaslonu predstavlja moč oziroma eektivno napetost na izhodu pasovnega iltra, ki je določena z vhodno gostoto in šumno pasovno širino. Dokler je centralna rekvenca pasovnega sita nižja od gornje mejne rekvence šuma zg izračunamo izhodno moč z enačbo < zg, (.) i v v v ' = S ( ) d = H( ) n d = n H( ) d = n B, (.) kjer je B šumna pasovna širina iltra. Moč ' je enaka e na vhodu detektorja. apetost oziroma moč pri posamezni rekvenci, ki jo vidimo na zaslonu, je podana dbm. Iz vrednosti ' v dbm izračunamo najprej gosto močnostnega spektra n v v dbm/hz, iz nje pa moč celotnega šuma. Preračune izvedemo v logaritemskih enotah. Gostoto močnostnega spektra vhodnega šuma dobimo iz (.) ' nv = [W / Hz]. (.3) B Gostota n v dbm/hz predstavlja moč v spektralnem pasu širine Hz izražene v dbm v

45 Digitalne komunikacije 4 nv Hz ' Hz nv[dbm / Hz] = log log mw = = mw B ' B B = log log = '[dbm] log mw Hz Hz (.4) Iz slike. na zaslonu odčitamo ' = -4 dbm. Z upoštevanjem (.4) in podane šumne pasovne širine B = Hz izračunamo n = 4dBm log = 6dBm/ Hz v a podoben način izračunamo celotno moč šuma, pri čemer uporabimo odčitek zg = 4 Hz in poenostavljen izračun oziroma = n v zg [W] (.5) (.6) n Hz [dbm] log log v zg = log mw = mw + Hz = = 6dBm+ log 4 = 6dBm+ 36dB = 4dBm Razmerje med močjo signala in celotnega šuma v db je torej S S S log log log S(dBm) = = = mw mw db = dbm ( 4 dbm) = 4 db (dbm) = (.7) (.8)

46 Digitalne komunikacije 5 aloga 3 Za naključno spremenljivko velja za Za negativne vrednosti je p ( ) = k e p ( ) =. Določite konstanti k in a, če velja σ =. Gra podane porazdelitve gostote verjetnosti je prikazan na sliki mora biti. Iz tega pogoja določimo konstanto k. p () k a Ploščina pod krivuljo Slika 3.5 Gra podane distribucije Parameter a ke ad = k( ae a) = ka = k = a v porazdelitvi določimo iz deinicije standardne deviacije (3.) ( ) σ = µ = = ( ) ( ) Povprečno vrednost izračunamo iz porazdelitve z upoštevanjem (3.) (3.) = p ( ) a a a a d e d ae a e d = ae a. (3.3) a = + = a = Integral v (3.3) izračunamo po metodi per partes. Srednjo kvadratno vrednost izračunamo na podoben način, pri čemer si lahko pomagamo z rezultatom (3.3). a a a a = = p ( ) d = e d = e + e d = a a Rezultata (3.3) in (3.4) vstavimo v (3.) in izračunamo parameter a. Porazdelitev σ = = a a = a a = p e za ( ) = za < (3.4) (3.5) (3.6) ima torej srednjo vrednost = in σ =.

47 Digitalne komunikacije 6 aloga 4 Izračunajte verjetnost, da je absolutna vrednost signala večja od eektivne! Porazdelitev gostote verjetnosti p () je podana s spodnjim graom. Konstanto k določite sami. p () k - ma ma Slika 4. Porazdelitev gostote verjetnosti Porazdelitev gostote verjetnosti mora izpolnjevati pogoj p ( ) d = (4.) Integral v(4.) predstavlja ploščino pod porazdelitvijo, ki jo izrazimo s pravili za ploščino trikotnika Porazdelitev p () sedaj zapišemo v obliki p p( ) d = k ma = k = za ( ) = ma ma za ma. (4.) (4.3) Ker je porazdelitev simetrična (soda unkcija spremenljivke ), je srednja vrednost naključne spremenljivke nič (integral lihe unkcije p ( ) na simetričnem intervalu je nič) Kvadrat eektivne vrednosti je enak srednji kvadratni vrednosti > = p ( ) d =. (4.4) e = = = p ( ) d p ( ) ma ma d. (4.5)

48 Digitalne komunikacije 7 Ker je porazdelitev simetrična, smo izračun poenostavili z integracijo za pozitivne vrednosti naključne spremenljivke. Z upoštevanjem (4.3) dobimo Zahtevana verjetnost je enaka ploščini pod unkcijo gostote verjetnosti na intervalih (- ma, - e ) in (e, ma ), ki je prikazana na sliki 4. s šrairanjem. ma ma 3 = d = d = ma ma ma ma 3 4 ma ma ma ma = ma 3 4 = = e p () k ma = =,48 6 ma (4.6) (4.7) - ma - e e ma Slika 4. Šrairana ploščina predstavlja verjetnost P ( ) e ma ma P( > e ) = p( ) d = d ma ma ma 6 6 Z zamenjavo t = preide integral (4.8) v preprostejšo obliko ma 6 ma t P( > e ) = ( t) dt = t,35 35% = + = = 6 6 (4.8) (4.9)

49 Digitalne komunikacije 8 aloga 5 Govorni signal kvantiziramo z enakomernim kvantizatorjem s simetričnim dosegom. Koliko znaša minimalno potrebno število bitov n tega kvantizatorja, da bo razmerje moči signala in kvantizacijske napake boljše kot 3 db? Za govorni signal predpostavljamo dinamično področje ma / min = 35 db in Laplaceovo distribucijo. a sliki 4. je prikazan potek razmerja med močjo signala in močjo kvantizacijske napake v odvisnosti od razmerja med eektivno vrednostjo signala in dosegom za enakomeren kvantizator s simetričnim dosegom. Moč prekoračitvene napake p ni odvisna od števila nivojev, na katere je razdeljen obseg kvantizatorja, temveč od razmerja med dosegom in eektivno vrednostjo signala ter od porazdelitvene unkcije. Moč prekoračitvene napake za Laplaceovo distribucijo je podana z in iz (5.) izrazimo razmerje p = S e S e = p (5.) (5.) Iz graa na sliki 5. je razvidno, da je skupno razmerje S/ q za velike signale določeno le s prekoračitvenim popačenjem, zato določimo maksimalno izkrmiljenje ma / iz (5.) z upoštevanjem minimalnega zahtevanega razmerja S/ q = 3 db. Ker gre za razmerje moči nam, to predstavlja aktor, ki ga uporabimo v (5.) S q [ db] S p e e S z n + 6dB S q min n n- min ma min ma db [ ] Slika 5. - Razmerje med močjo signala in močjo popačenja za enakomerni kvantizator. Parameter n označuje število bitov v kodni besedi za zapis kvantizirane vrednosti vzorca. e

50 Digitalne komunikacije 9 ma = = =, 4 S ln ln p (5.3) Rezultat raje izrazimo v db ma db ma = log = log, 4 = 3,77dB. (5.4) Potrebno število bitov kvantizatorja določimo iz minimalnega izkrmiljenja ( min /) db, ki ga dobimo iz zahtevanega dinamičnega območja / = 35 db in rezultata (5.4) log log log log = = db = ma ma ma = = 3,77 db 35dB = 48,77dB min min ma min ma ma db min db ma min (5.5) Za enakomerni kvantizator s simetričnim dosegom uporabimo izraz za razmerje (S/ z ) db na spodnji meji dinamičnega območja in izračunamo minimalno število bitov S min = 4,77dB+ 6,dB n + 3dB, (5.6) z db db 74 n =,3. (5.7) 6, Ker je število bitov lahko le celo število, je končni rezultat prvo celo število, ki zadostuje pogoju (5.7) n = 3. S tem številom bitov in z njim povezanim številom nivojev ima kvantizator nekoliko večje dinamično območje, kot ga naloga zahteva. min =