سید شهاب ارکیان و امیر مافی

Transcript

1 شاپا (چاپی): ٢٣۴۵-۶۴٩٣ شاپا(الکترونیکی): ٢٣۴۵-۶۵٠٧ جلد ٢ شماره (١٣٩۶) ٣ صص. ۵١-۶٠ ١٣٩۶ دانشگاه اصفهان سید شهاب ارکیان و امیر مافی در این مقاله نتایج اثبات شده در طول پنجاه سال گذشته در ارتباط با ضرایب هیلبرت (I) ٠ e و (I) ١ e مربوط به ایده ال m -اولیە I از یک حلقە موضعی کوهن-مکالی (m,r) و رابطە آن با عمق حلقە مدرج وابستە gr(i) را بررسی می کنیم. تي وری توابع هیلبرت تقریبا ١٠٠ سال پیش از یکی مقالات دیوید هیلبرت سرچشمه گرفت [ ]. او در این رساله ثابت کرد اگر I یک ایده ال همگن از حلقە ] n, x, ١ C[x باشد آنگاه dim C I n با مقادیر یک چند جمله ای برحسب n برای n ٠ برابر است. در اینجا I n مجموعە چند جمله ای های همگن از درجە n است. در سال ١٩۵١ پیر ساموي ل نشان داد که اگر C را به یک حلقە موضعی آرتینی تغییر دهیم نتیجه هیلبرت درست است.[ ] همچنین وی ثابت کرد که اگر (m,r) یک حلقە موضعی و I یک ایده ال m -اولیە آن باشد آنگاه ) n H I (n) = λ(r/i برای n ۰ یک چند جمله ای برحسب n مانند (n) P I است که در آن ) n λ(r/i طول R/I n است. یعنی یک چندجمله ای مانند Q[x] P I (n) چنان موجود است که برای nهای به اندازه کافی بزرگ (n) H. I (n) = P I هدف ما مطالعە تابع (n) H I است. برخی از مو لفین (n) H I را تابع هیلبرت-ساموي ل I نامیده اند. ما از آن با نام تابع هیلبرت I یاد می کنیم. فرض کنید K یک میدان و R = n N R i یک حلقە جابجایی نوتری مدرج چنان باشد که = R ٠.R اگر ] ١ R = K[R یعنی K -جبر R توسط R ١ تولید شود R را حلقە مدرج استاندارد گوییم. همچنین اگر R به عنوان ] ١ -K[R مدول باتولید متناهی باشد R را مدرج شبه-استاندارد گوییم. به عنوان مثال حلقە چند جمله ای معمولی یک حلقه مدرج استاندارد است که در این صورت موضعی نیز خواهد بود. در سراسر این بحث حلقە چند جمله ای معمولی را با S و حلقە چند جمله ای صوری را با A نشان می دهیم. همچنین در تمامی این نوشتار بجز مواردی که قید شود (m,r) را یک حلقە جابجایی موضعی نوتری از بعد d و I را به عنوان یک ایده ال m -اولیە R در نظر می گیریم. چندجمله ای (n) P I را می توان به فرم استاندارد ضرایب دوجمله ای به صورت زیر نوشت: ( ) ( ) n + d ١ n + d ٢ P I (n) = e ٠ (I) e ١ (I) + + ( ١) d d ١ d e d (I) ۵١ عبارات و کلمات کلیدی. چند جمله ای هیلبرت تابع هیلبرت و عدد تقلیل. نویسنده مسي ول تاریخ دریافت: ٠٣/٠٩/١٣٩۵ تاریخ پذیرش:. ١٠/٠١/١٣٩۵

2 س. ش. ارکیان و ا. مافی نشریه ریاضی و جامعه/ جلد ٢ شماره (١٣٩۶) ٣ ۶٠ ۵١ اعداد صحیح (I) e i برای, d ١, = ٠, i را ضرایب هیلبرت I می نامند. در باره ضریب جمله پیشرو (I) ١ e چندگانگی I ١ نتایج خوبی به دست آمده است. ازجمله λ(r/j) (I) = ٠ e که در آن J یک تقلیل ٢ مینیمال I است و همچنین بستار صحیح I I بزرگترین ایدهال R است که چندگانگی آن با چندگانگی I برابر است.[ ] بهعلاوه بستار راتلیف-راش Ĩ I بزرگترین ایدهال R است که ضرایب هیلبرت آن با ضرایب هیلبرت I برابر است.[ ] اما در حالت کلی اطلاعات زیادی در باره سایر ضرایب هیلبرت I نداریم. = gr(i) تعریف می شود. هدف از این نوشتار بیان یک سری نتایج دربارۀ ارتباط حلقە مدرج وابستە I به صورت ١+n ٠=n In I/ عمق gr(i) و روابط خطی بین ضرایب هیلبرت (I) ٠ eو (I) ١ e است. به عنوان مثال اگر عمق gr(i) ١ d باشد همە ضرایب هیلبرت I مثبت است.[ ] برای بیان تکنیک ها و نتایجی در این زمینه به عنوان مثال دو قضیه از هوکابا ٣ و مارلی ۴ را بیان کرده ایم. این قضایا به عنوان حالت های خاص ی از نتایج ثابت شده در یک دوره پنجاه ساله به سرعت به دست می آیند. برای این قضایا و نتایج آنها برهان های ساده ای در [ ] اراي ه شده است. در بخش دوم رابطە عمق gr(i) و ضرایب هیلبرت I را بررسی می کنیم. به عنوان مثال در این بخش نامعادلە مهم (I) ١ (I) e ٠ λ(r/i) e و شرط برقراری تساوی را در آن بررسی کرده ایم. در بخش سوم قضایایی درباره چند جمله ای های هیلبرت در حلقه های موضعی کوهن-مکالی بیان می کنیم. نتایج بخش چهارم شامل چند نامساوی درباره ضرایب هیلبرت بالاتر یک ایده ال مانند, e ٢ ٣ e است. در بخش پنجم یک بررسی دقیق از نظریه ی عناصر و دنباله های سطحی ۵ را می آوریم. این نظریه را در کتاب های مدرن جبر جابجایی نمی توان یافت. برای حصول نتیجە مناسب گزاره های مفیدی را از کتاب های [ ] [ ] و همچنین چندین مقاله در این زمینه جمع آوری کرده ایم. خواننده را دعوت می کنیم برای تکمیل اطلاعاتش در این زمینه به [ ] مراجعه کند. I gr(i) در این بخش ارتباط عمق gr(i) و ضرایب هیلبرت ایده ال m -اولیه مانند I از حلقە موضعی کوهن-مکالی (m,r) را بررسی می کنیم. شاید یکی از اولین کارها در این زمینه مقالە نورثکات باشد.[ ] برای کسب اطلاعات بیشتر [ ] را ببیند. (نورثکات ١٩۶٠). فرض کنید (m,r) یک حلقە موضعی کوهن-مکالی چنان باشد که R/m نامتناهی است. همچنین فرض کنید I یک ایده ال m -اولیه از R باشد. در اینصورت (I) ١ (I) e ٠ ( λ(r/i e (I) ١ e ٠ و تساوی برقرار است اگر و تنها اگر I توسط d عنصر منظم تولید شود. در این حالت = ٠ (I) e i برای, d,٢ =,١ i و gr(i) با یک حلقه چند جمله ای با d متغیر روی R/I یکریخت است. از قضیە نورثکات می توان نتیجه گرفت که یک حلقە موضعی کوهن-مکالی مانند (m,r) منظم است اگر و تنها اگر = ١ (m) ٠ e. در قضیە ٢.۴ هونیکه [ ] و اویشی [ ] شرایطی را به دست آورده اند که تحت آن شرایط تساوی (I) ١ (I) e ٠ λ(r/i) = e برقرار است. قبل از آن تعریف تقلیل یک ایده ال را یادآوری می کنیم. (تقلیل ایده ال) فرض کنید,J I دو ایده ال از حلقه R و J I باشد. گوییم J یک تقلیل I است هرگاه برای هر I کوچکترین تقلیل J اگر تحت رابطه شمول.I n+١ = I.I n ١ < n و برای هر I ١ = I که در آن JI n = I n+١ ٠ n باشد J را تقلیل مینیمال I گوییم. عدد تقلیل ایده ال I نسبت به r J (I) J کوچکترین عدد طبیعی n است که ١+n.JI n = I در چنین حالتی برای هر k ٠ ١+n J. k I n = I عدد تقلیل r(i) کوچکترین عدد (I) r J است که در آن ایده ال J تقلیل مینیمال I است. 1 multiplicity 2 reduction 3 Huckaba 4 Marley 5 superficial ۵٢

3 مروری بر تابع هیلبرت یک ایده ال نشریه ریاضی و جامعه/ جلد ٢ شماره (١٣٩۶) ٣ ۶٠ ۵١ مفهوم تقلیل یک ایده ال نخستین بار توسط نورثکات و ریس در [ ] معرفی شد. فرض کنید R یک حلقه نوتری و I یک = R[It] تعریف شده است که در آن t یک متغیر است. فرض ایده ال باشد. I به صورت R -جبر n=٠ In t n کنید J ایده ال دیگری از R مشمول در I باشد. در اینصورت J یک تقلیل I است اگر و تنها اگر R[It] یک [ R[Jt -مدول متناهی باشد.[ ] در نتیجه با فرض K K J I تقلیل I است اگر و تنها اگر K یک تقلیل J و J یک تقلیل I باشد. همچنین در حلقە موضعی (m,r) ایده ال J یک تقلیل ایده ال I است هرگاه J I و J + mi یک تقلیل I باشد. یکی از قضایای مهم در این ارتباط قضیە ریس در [ ] است. (ریس ١٩۶١). فرض کنید (m,r) یک حلقە موضعی کوهن-مکالی I یک ایده ال m -اولیه شامل ایده ال J باشد. در اینصورت گزاره های زیر معادلند: J یک تقلیل I است..I J.e ٠ (I) = e ٠ (J) (هونیکه اویشی ١٩٨٧). فرض کنید (m,r) یک حلقە موضعی کوهن-مکالی از بعد d با میدان خارجقسمتی نامتناهی باشد. در اینصورت (I) ١ (I) e ٠ λ(r/i) = e اگر و تنها اگر برای هر تقلیل مینیمال J از I ٢.JI = I بهعلاوه در این حالت gr(i) کوهن-مکالی است = ٠ (I) e i برای, d ٢, = i و برای هر n ٠ ( ) ( ) n + d ١ n + d ٢ H I (n) = P I (n) = e ٠ (I) e ١ (I). d d ١ چون برای هر تقلیل مینیمال J از (I) = λ(r/j) I ٠ e می توان قضیە هونیکه-اویشی را به این صورت بازگو کرد که λ(i/j) (I) = ١ e اگر و تنها اگر.JI = I ٢ هوکابا [ ] و هوکابا-مارلی [ ] قضیە هونیکه-اویشی را به صورت زیر تعمیم داده اند. (هوکابا ١٩٩۶) فرض کنید (m,r) یک حلقە موضعی کوهن-مکالی از بعد d با میدان خارج قسمتی نامتناهی باشد. فرض کنید J تقلیل مینیمال I باشد. در اینصورت.depth gr(i) d و تساوی برقرار است اگر و تنها اگر ١ e ١ (I) Σ n ١ λ(i n /JI n ١ ) هوکابا و مارلی یک محک برای بررسی کوهن-مکالی بودن gr(i) از روی (I) ١ e به صورت زیر اراي ه کرده اند [ ]. (هوکابا-مارلی ١٩٩٧). فرض کنید (m,r) یک حلقە موضعی کوهن-مکالی از بعد d با میدان خارج قسمتی نامتناهی باشد. فرض کنید J یک تقلیل مینیمال ایده ال m -اولیه I باشد. در اینصورت ) ١ n ١ n λ(i n J/ I (I) Σ ١ e اگر و تنها اگر gr(i) کوهن-مکالی باشد. در [ ] ورما این دو قضیە را به صورت ساده تری به کمک استقرا روی d اثبات کرده است. حال ارتباط gr(i) depth و ضرایب هیلبرت را بررسی می کنیم. نقطە شروع این بحث نامساوی آبیانکار است [ ]. فرض کنید I یک ایده ال از حلقە موضعی (m,r) باشد. تعداد عناصر مولد مینیمال I را با µ(i) نشان می دهیم. (آبیانکار ١٩۶٧). فرض کنید (m,r) یک حلقە موضعی کوهن-مکالی از بعد d باشد. در اینصورت.e ٠ (m) µ(m) d + ١ سالی ۶ نیز در یک سری از مقالات خود به بررسی تاثیر شرایط خاصی روی عمق gr(i) پرداخته است. 6 J. Sally ۵٣

4 س. ش. ارکیان و ا. مافی نشریه ریاضی و جامعه/ جلد ٢ شماره (١٣٩۶) ٣ ۶٠ ۵١ (سالی ١٩٧٧). فرض کنید (m,r) یک حلقە موضعی کوهن-مکالی از بعد d با میدان خارجقسمتی نامتناهی باشد. فرض کنید J یک تقلیل مینیمال m باشد. در اینصورت R چندگانگی مینیمال دارد اگر و تنها اگر.Jm = m ٢ در این حالت gr(m) کوهن-مکالی است و برای هر n ٠ ( ) ( ) n + d ١ n + d ٢ H m (n) = P m (n) = e ٠ (m) e ١ (m) d d ١ در ادامه مفهوم مهم مدول های سالی را که اولین بار توسط و سکان سیلوس در [ ] مطرح شده است بررسی می کنیم. فرض کنید R یک حلقە نوتری I یک ایده ال و J یک تقلیل I باشد. مدول سالی I نسبت به S J (I) J به وسیلە رشته دقیق ٠ IR[Jt] IR[It] S J (I) := I n+۱ /I n J ٠ تعریف می شود. برخی از خواص مدول سالی را می توانید در [ ] ببینید. فرض کنید (m,r) یک حلقە موضعی کوهن-مکالی از بعد d با میدان خارج قسمتی نامتناهی باشد. فرض کنید J یک تقلیل مینیمال ایده ال m -اولیه I باشد. در اینصورت اگر ٠ (I) S J آنگاه ارتفاع ٧ همه ایدهالهای اول وابستە I یک است. بهویژه بعد -R[Jt] مدول (I) d S J است. ٠ n در اینصورت برای هر.S = S J (I) = n=٠ S n فرض کنید ( ) ( ) n + d ١ n + d ٢ H I (n) = e ٠ (I) + (λ(r/i) e ٠ (I)) λ(s d d ١ n ١ ) از این رو اگر ٠ S آنگاه ) n λ(s یک تابع چند جمله ای از درجه ١ d است. فرض کنید s i برای ١ d, ١, = ٠, i ضرایب هیلبرت S باشد. در اینصورت.e i+١ (I) = s i ١ i و برای e ١ (I) = e ٠ (I) λ(r/i) + s ٠ در قضیە ١٠.٢ وازپینتو ارتباط بین مدول سالی و عمق gr(i) را بررسی کرده است.[ ] J با میدان خارج قسمتی نامتناهی باشد. فرض کنید d یک حلقە موضعی کوهن-مکالی از بعد,R) (m فرض کنید یک تقلیل مینیمال ایده ال m -اولیه I باشد. در اینصورت گزاره های زیر معادلند:.s ٠ = Σ r J (I) n=٠ λ(i n+١ /JI n ) S کوهن-مکالی است..depth gr(i) d ١ در این بخش فرض می کنیم( m,r) یک حلقە موضعی کوهن-مکالی یک-بعدی با میدان خارج قسمتی نامتناهی باشد. فرض کنید I یک ایده ال m -اولیه باشد. تابع هیلبرت I تابع ) n H I (n) = λ(r/i است. چند جمله ای هیلبرت P I (n) I از درجه یک است. ما آن را به صورت P I (n) = e ٠ n e ١ می نویسیم. عدد اصل موضوعی ٨ ایده ال I به صورت n(i) = min{k Z H I (k + ١) = P I (k + ١)} 7 height 8 postulation ۵۴

5 مروری بر تابع هیلبرت یک ایده ال نشریه ریاضی و جامعه/ جلد ٢ شماره (١٣٩۶) ٣ ۶٠ ۵١ = R[It]/mR[It].F (I) = بعد کرول (I) F را با l(i) نشان می دهیم. تعریف شده است. فرض کنید ٠=n In /mi n چون = dim R ١ = height(i) ١ =.l(i) همچنین چون R/m نامتناهی است a I چنان موجود است که (a) یک تقلیل I است. (نورثکات ١٩۶٠). فرض کنید I یک ایده ال m -اولیه از حلقە موضعی کوهن-مکالی یک-بعدی (m,r) با میدان خارج قسمتی نامتناهی باشد. فرض کنید (a) یک تقلیل I باشد. در اینصورت (١) P I (n + ١) H I (n + ١) P I (n) H I (n) n برای هر ۰.e ٠ e ١ λ(r/i) ٠ ١ e و تساوی برقرار است اگر و تنها اگر I ایده ال اصلی پارامتری باشد. در واقع نورثکات در قضیە ١.٣ با تغییر ایده ال اصلی به یک سیستم پارامتری گزاره های دوم و سوم را برای هر حلقە موضعی کوهن-مکالی از بعد d اثبات می کند. وی این کار را از طریق استفاده از عناصر سطحی و با کاهش به بعد یک انجام می دهد. سوالی که اکنون ممکن است مطرح شود این است که اگر در قضیە ١.٣ فرض کنیم بعد R برابر ٢ باشد آیا بازهم می توان درستی تساوی ١ را نتیجه گرفت متا سفانه همان طور که مثال ٢.٣ نشان می دهد پاسخ این پرسش منفی است. فرض کنید K یک میدان,y x دو متغیر و [y S = K[x, حلقه چندجملهای روی میدان K و همچنین ) ٧, y ٢, x ٢ y ۵, x ۵ y ٧ I = (x باشد. در اینصورت ( ) n + ١ P I (n) = ۴٩ ٢١n + ۴. ٢ همچنین = ٣٣ (١) I ١١١, H = (٢) I ٢٣٧, H = (٣) I H و = ۴١٠ (۴) I.H از اینرو P I (٠) H I (٠) = ۴ P I (١) H I (١) = ١ P I (٢) H I (٢) = ٢ P I (٣) H I (٣) = ٢ P I (۴) H I (۴) = ٠. به نظر می رسد ارتباط ساده ای بین مقادیر (n) P I (n) H I وجود نداشته باشد. توجه داشته باشید که محاسبات مربوط به مثال ٢.٣ توسط نرم افزار مکالی ٩ انجام شده است. به وسیله این نرم افزار می توان توابع هیلبرت یک ایده ال همگن در یک حلقه مدرج را به دست آورد و به این ترتیب می توان چند جمله ای هیلبرت آن را نیز محاسبه کرد. توجه داشته باشید با وجود اینکه تابع هیلبرت مثال ٣.۴ رفتار خوبی ندارد اما ٠ ۴ = (I) ٢ e. بنابراین ممکن است انتظار داشته باشید که همواره (I) ٢ e نامنفی باشد حتی اگر گزاره «برای هر n ٠ (n) P» I (n) H I درست نباشد. ناریتا اولین فردی بود که در [ ] این موضوع را در قالب قضیە زیر اثبات کرد. 9 Macaulay ۵۵

6 س. ش. ارکیان و ا. مافی نشریه ریاضی و جامعه/ جلد ٢ شماره (١٣٩۶) ٣ ۶٠ ۵١ فرض کنید (m,r) یک حلقە موضعی شبه منظم از بعد ٢ و I یک ایده ال m -اولیه باشد. در اینصورت ٠ (I) ٢ e و تساوی برقرار است اگر و تنها اگر I در معادله زیر برای عددی صحیح مانند r و عناصر پارامتری I ٢, ω ١ ω صدق کند: I ٢r = I r ω r ١ + Ir ω r ٢. به هر صورت ممکن است این امر نوعی ناهنجاری تلقی شود و همیشه هر اثبات برای آن با استفاده از یک تکنیک خاص فاقد عمومیت به نظر می رسد. در مثال زیر می بینیم (I) ٣ e ٠. این امر نشان می دهد که نمی توان انتظار داشت این امر درباره همه ضرایب هیلبرت درست باشد. فرض کنید K یک میدان z]] z, y, x A = K[[x, y, سه متغیر و xyz), ٢, yz ٢, x ٢ y, xy ٣, z ٣, y ٣.I = (x مجددا میتوان با استفاده از نرمافزار مکالی چند جملهای هیلبرت I را به صورت زیر بهدست آورد. ( ) ( ) n + ٢ n + ١ P I (n) = ٢٧ ١٨ + ۴n + ١. ٣ ٢ بنابراین ١ = (I) ٣.e فرض کنید (m,r) یک حلقە موضعی کوهن-مکالی و (a) J =: یک تقلیل ایده ال m -اولیه I باشد. در اینصورت.[ ] ai = اگر و تنها اگر I ٢ e ٠ e ١ = λ(r/i) قضیە زیرضمن اراي ه یک تساوی برای محاسبه e ١ یک کران پایین برای آن معرفی کرده شرط برقراری تساوی را در آن بیان می کند. (هوکابا-مارلی). فرض کنید (m,r) یک حلقە موضعی کوهن-مکالی و (a) J =: یک تقلیل ایده ال m -اولیه I باشد. در اینصورت.e ١ (I) = Σ n ١ λ(i n /JI n ١ ) Σ n ١ λ(i n /J I n ) n ١ λ(i n /J I n ) (I) = Σ ١ e اگر و تنها اگر gr(i) کوهن-مکالی باشد. برای این قضیه یک برهان متفاوت نیز توسط ر سی در [ ] اراي ه شده است..t ٣ m = باشد. واضح است که m ٢ m = (t ٣, t ۴, t ۵ ) و A = K[[t ٣, t ۴, t ۵ ]] یک متغیر t یک میدان K فرض کنید چون A کوهن-مکالی است = ٣ A) = λ(a/t ٣ ) ٣ (t ٠ (m) = e ٠.e از روابط t ٣ m = m ٢ و = ١ λ(a/m) = ١ e ٠ e نتیجه می گیریم = ٢ (m) ١.e بنابراین ٢ ٣n = (n) P m برای هر n.٢ هدف ما در این بخش معرفی کران هایی برای ضرایب هیلبرت بالاتر یک ایده ال مانند, e ٢ ٣ e است. در ابتدا مشابه آنچه در قضیە ٣.۶ برای (I) ١ e مشاهده شد ر سی و همکاران در [ ] یک کران بالا برای (I) ٢ e به صورت زیر اراي ه کرده اند. فرض کنید (m,r) یک حلقە موضعی کوهن-مکالی از بعد d و J یک تقلیل ایده ال m -اولیه I باشد. دراینصورت depth gr(i) برقرار است اگر و تنها اگر J مانند I به علاوه تساوی به ازای یک تقلیل مینیمال.e ٢ (I) Σ n ١ nλ(i n+١ /JI n ).d ١ هوکابا و هونیکه در [ ] مثال زیر را آورده اند که در آن کران بالای معرفی شده در قضیە قبل برای (I) ٢ e به دست می آید. ۵۶

7 مروری بر تابع هیلبرت یک ایده ال نشریه ریاضی و جامعه/ جلد ٢ شماره (١٣٩۶) ٣ ۶٠ ۵١.dim A = d باشد. لذا = ٣ A = K[[x, y, z]] متغیر و z, y, x یک میدان با مشخصه ای غیر از ٣ K فرض کنید فرض کنید I = N + m ۵ که در آن m ایده ال ماکسیمال R و )) ٣ + z ٣ ), z(y ٣ + z ٣ ), y(y ٣ + z ٣ N = (x ۴, x(y است. به سادگی دیده می شود که I یک ایده ال m -اولیه و نرمال است (همه توان های آن بطور صحیح بسته است) که = gr(i) depth + t ٣ t٢ + ۴٣t + ٣١ = (t) P I بنابراین = ۴ (I) ٢.e به علاوه برای هر تقلیل مینیمال I مانند J داریم (١ در اینصورت t) ٣.d ١.I ۴ = و JI ٣ λ(i ٢ /JI) = ٢, λ(i ٣ /JI ٢ ) = ١ قضیە ۴.٣ با ویژگی عمق حلقه مدرج ایده الی که دومین ضریب هیلبرت آن به اندازه کافی به کران بالای معرفی شده در قضیە ۴.١ نزدیک است سروکار دارد. فرض کنید (m,r) یک حلقە موضعی کوهن-مکالی از بعد d ١ و J یک تقلیل ایده ال m -اولیه I باشد. به علاوه فرض کنید یکی از شرایط زیر برقرار باشد: ٢ ) n /JI n+١ n ١ nλ(i Σ ٢ e e ٢ Σ n ١ nλ(i n+١ /JI n ) به طور صحیح بسته است و ۴ I ایده ال در اینصورت ٢ d.[ ] depth gr(i) ایتو در [ ] نشان داد که برای هر ایده ال m -اولیە نرمال مانند (I) I ٣ e ٠. البته مثال زیر نشان می دهد که حکم ایتو در حالت کلی درست نیست. فرض کنید K یک میدان, zو,y x w متغیر و [[w A = K[[x,,y,z باشد. در اینصورت R یک حلقه منظم موضعی و دارای بعد چهار است. فرض کنید ) ٣ R. = A/(w واضح است که R یک حلقه کوهن -مکالی موضعی و دارای بعد سه است. فرض کنید, zو,y x w به ترتیب تصویر,z,y x و w در R باشد. در اینصورت m =,x),y,z w)r یک ایده ال ماکسیمال R است. فرض کنید, y.w, z.w)r ٢, z ٢.I = (x, y ناریتا در [ ] نشان داده است که < ٠ (I) ٣.e مارلی نیز در [ ] یک ایده ال مانند I از حلقه چند جمله ای با سه متغیر را اراي ه نموده است که (I) ٣ e ٠. ر سی و همکاران در [ ] به وسیله قضیە ۵.۴ و با فرضیات کمتر نتیجە ایتو را بهبود بخشیده اند. فرض کنید (m,r) یک حلقە موضعی کوهن-مکالی از بعد ٣ با میدان خارج قسمتی نامتناهی باشد. فرض کنید I یک ایده ال m -اولیه از R چنان باشد که برای عددی مانند I q n(i) q به طور صحیح بسته باشد که در آن I q در ٢.٢ تعریف شده است. در اینصورت (I) ٣ e.٠. ٢ r(i n ) مثبت است. به ویژه e ٢ I) n ) ٢ n توجه داریم که در حالتی که بعد حلقه سه باشد برای هر در این بخش ابتدا به معرفی نظریه عناصر و دنباله های سطحی می پردازیم. سپس گزاره هایی را درباره عناصر و دنباله های سطحی بیان می کنیم. وجود یک عنصر سطحی ایده الی مانند I این امکان را فراهم می کند که بین ضرایب هیلبرت I و I/(a) ارتباط برقرار کنیم. در نتیجه ابتدا می توان ضرایب هیلبرت را برای بعد یک بررسی کرده سپس این اطلاعات را به ابعاد بالاتر گسترش داد. فرض کنید I یک ایده ال از حلقە موضعی (m,r) باشد. عنصر x R را یک عنصر سطحی از مرتبه s برای I گوییم هرگاه x I s و عدد صحیح c چنان وجود داشته باشند که برای هر.(I n : Rx) I c = I n c n > c ۵٧

8 س. ش. ارکیان و ا. مافی نشریه ریاضی و جامعه/ جلد ٢ شماره (١٣٩۶) ٣ ۶٠ ۵١ ابتدا وجود عناصر سطحی یک ایده ال را مورد بررسی قرار می دهیم. فرض کنید I یک ایده ال از حلقە موضعی (m,r) باشد. در اینصورت گزاره های زیر برقرار است. اگر I پوچ توان باشد آنگاه هر عنصر I سطحی است. a. I \ موجود است که I ٢ a مانند I پوچ توان نباشد آنگاه یک عنصر سطحی I اگر فرض کنید I یک ایده ال از حلقە موضعی m) (R, ٢ a I \ I و a = a + I ٢ باشد. در اینصورت a یک عنصر سطحی I است اگر و تنها اگر برای هر n ٠ نگاشت ضربی n+٢ /I n+١ I n+١ a : I n /I یک به یک باشد. فرض کنید I یک ایده ال از حلقە موضعی m) (R, باشد. دنباله, x s I, ٢, x ١ x را یک دنباله سطحی I گوییم هرگاه برای s ٢, = ١, i ) i ١..., x, ١ x i := x i + (x یک عنصر سطحی ) i ١..., x, ١ I/(x باشد. به استقرا بر روی s و به کمک لم آرتین-ریس ١٠ می توان گزاره زیر را برای دنباله های سطحی به دست آورد. فرض کنید I یک ایده ال از حلقە موضعی m) (R, و, x s, ٢, x ١ x یک دنباله سطحی I باشد. در اینصورت برای هر n ٠ n ١..., x s )I, ١..., x s ) = (x, ١.I n (x فرض کنید (m,r) یک حلقە موضعی از بعد d و I یک ایده ال m -اولیه R باشد. فرض کنید a R را یک عنصر سطحی I باشد. در اینصورت ١ d.dim R/aR = به علاوه اگر = ١ d آنگاه (a) یک تقلیل I است. قضیە ۵.٧ ارتباط مفاهیم تقلیل مینیمال یک ایده ال و دنباله سطحی را نشان می دهد. فرض کنید m) (R, یک حلقە موضعی از بعد d و I یک ایده ال R باشد. فرض کنید, x d..., ٢, x ١ x یک دنباله سطحی I باشد. در اینصورت ) d, x..., ٢, x ١ J = (x یک تقلیل مینیمال I است.[ ] همچنین ورما تلاش کرده است عکس قضیە ۵.٧ را اثبات کند. می توان نتیجه تلاش او را در قضیە ۵.٨ دید.[ ] عناصر سطحی و چند جمله ای های هیلبرت (m,r) یک حلقە موضعی کوهن-مکالی از بعد d با میدان خارج قسمتی نامتناهی باشد. فرض کنید J یک تقلیل ایده ال m -اولیه I باشد. در اینصورت J می تواند توسط یک دنباله سطحی I تولید شود. فرض کنید I یک ایده ال m -اولیه از حلقە موضعی (m,r) باشد. فرض کنید R دارای میدان خارج قسمتی نامتناهی باشد و.dim R = d در قضیە ۶.۵ دیدیم که اگر a یک عنصر سطحی I باشد آنگاه ١ d.dim R/aR = در این قسمت ارتباط بین ضرایب هیلبرت I و I/aR را بررسی می کنیم. فرض کنید f : N N یک تابع عددی باشد. عملگر تفاضلی را به صورت (١ f(n f(n) = f(n) تعریف می کنیم. در قضیە ۵.٩ ملاحظه می کنیم که دنباله های سطحی ابزار استقرایی مناسبی برای مطالعه ضرایب هیلبرت هستند. I یک عنصر سطحی a باشد. فرض کنید,R) (m بعدی d از حلقە موضعی یک ایده ال m -اولیه I فرض کنید R/(a) R = و I/(a) I = باشد. در اینصورت 10 Artin-Rees Lemma.dim R/(a) = d از اینرو ١.P I (n) = P I (n) + λ(٠ : a) ۵٨

9 مروری بر تابع هیلبرت یک ایده ال نشریه ریاضی و جامعه/ جلد ٢ شماره (١٣٩۶) ٣ ۶٠ ۵١.e d ١ (I) = e d ١ (I) + λ(٠ : a) و e i (I) = e i (I) i = ٠, ١,..., d برای ٢ برای مشاهده برهان ) [ ] قضیە ۵-١٣) را ببینید. K حلقه چندجمله ای روی میدان S = K[x, y, z, w] متغیر w, z, y, x یک میدان K فرض کنید e ٠ (I) بنابراین = ١٢.P I (t) = ۶ + ۳t + ۴t٢ t ٣ (١ باشد. در اینصورت t) ٣ I = (x, y ٢, z ٢, yw, zw) و R = S/(w ٣ ).n(i) و = ٠ depth gr(i) همچنین = ١.e ٣ (I) = ١, e ٢ (I) = ١, e ١ (I) = ٨ I = (x ۵, y ۵, x ۴ y, x ٢ y ٣ ) K حلقە چندجمله ای روی میدان S = K[x, y] دو متغیر و y, x یک میدان K فرض کنید.n(I) و = ٢ depth gr(i) همچنین = ٠.P I (t) = ١٩ + ٣t + ٣t٢ t ٣ + t ۴ باشد. در اینصورت t) ٢ (١ [1] S. Abhyankar, Local rings of high embedding dimension, Amer. J. Math., 89 (1967) [2] W. Bruns and J. Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press, Cambridge, [3] A. Corso, C. Polini and M. E. Rossi, Depth of associated graded rings via Hilbert coefficients of ideals, J. Pure Appl. Algebra, 201 (2005) [4] D. Hilbert, Uber die Tbeorie der algebraiscben Formen, Math. Ann., 36 (1890) [5] S. Huckaba, A d-dimensional extension of a lemma of Huneke s and formulas for Hilbert coefficients, Proc. Amer. Math. Soc., 124 (1996) [6] S. Huckaba and C.Huneke, Normal ideals in regular rings, J. Reine Angew. Math., 510 (1999) [7] S. Huckaba and T. Marley, Hilbert coefficients and the depths of associated graded rings, J. London Math. Soc. (2), 56 (1997) [8] C. Huneke, Hilbert functions and symbolic powers, Michigan Math. J., 34 (1987) [9] C. Huneke and I. Swanson, Integral closure of ideals, rings and modules, Cambridge University Press, [10] S. Itoh, Coefficients of normal Hilbert polynomials, J. Algebra, 150 (1992) [11] T. Marley, The coefficients of the Hilbert polynomial and the reduction number of an ideal, J. London Math. Soc., 40 (1989) 1 8. [12] M. P. Murthy, Commutative Algebra, 12, University of Chicago Lecture Notes, [13] M. Narita, A note on the coefficients of the Hilbert characteristic functions in semi-regular local rings, Proc. Cambridge Philos. Soc., 59 (1963) [14] D. G. Northcott, A note on the coefficients of the abstract Hilbert function, J. London Math. Soc., 35 (1960) [15] D. G. Northcott and D. Rees, Reductions of ideals in local rings, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., 50 (1954) [16] A. Ooishi, -genera and sectional genera of commutative rings, Hiroshima Math. J., 17 (1987) [17] L. J. Ratliff and D. E. Rush, Two notes on reductions of ideals, Indiana Univ. Math. J., 27 (1978) [18] D. Rees, A-Transforms of local rings and a theorem on multiplicities of ideals, Proc. Camb. Phil. Soc., 57 (1961) [19] M. E. Rossi, A bound on the reduction number of a primary ideal, Proc. Amer. Math. Soc., 128 (2000) [20] P. Samuel, La notion de multiplicite en algebre et en geometrie algebrique, J. Math. Pures Appl., 30 (1951) [21] G. Valla, Problems and results on Hilbert functions of graded algebras, Six Lectures on Commutative Algebra, Edited by J. Elias, J. M. Giral, R. M. Miro -Roig and S. Zarzuela, Birkh auser Verlag, [22] W. Vasconcelos, Hilbert functions, analytic spread and Koszul homology, Contemp. Math., 159 (1994) [23] M. Vaz Pinto, Hilbert functions and Sally modules, J. Algebra, 192 (1996) [24] J. K. Verma, Hilbert coefficients and depth of the associated graded ring of an ideal, arxiv: [math.ac]. ۵٩

10 س. ش. ارکیان و ا. مافی نشریه ریاضی و جامعه/ جلد ٢ شماره (١٣٩۶) ٣ ۶٠ ۵١ سنندج میدان سهره وردی دانشگاه فرهنگیان (پردیس شهید مدرس) سید شهاب ارکیان متولد دی ماه ١٣۵۴ در شهر بیجار است. وی در سال ١٣٧٨ از دانشگاه کردستان در رشتە دبیری ریاضی فارغ التحصیل شده در سال ١٣٨٠ مدرک کارشناسی ارشد خود را در رشتە ریاضی محض تحت راهنمایی پروفسور ذاکری از دانشگاه خوارزمی اخذ نمود. ارکیان در سال ١٣٨٠ به عنوان دبیر ریاضی به استخدام آموزش و پرورش درآمد و در سال ١٣٨٣ کار خود را به عنوان عضو هیي ت علمی گروه ریاضی در دانشگاه فرهنگیان کردستان (مرکز تربیت معلم سابق) آغاز کرد. ارکیان در سال ١٣٩٣ دوره دکتری خود را در دانشگاه کردستان و با راهنمایی دکتر مافی آغاز کرد. سنندج خیابان پاسداران دانشگاه کردستان گروه ریاضی امیر مافی متولد دی ماه ١٣۵٣ در شهر سردشت آذربایجان غربی است. وی در سال ١٣٨۴ دکتری خود را در رشتە ریاضی محض از دانشگاه خوارزمی تحت راهنمایی پروفسور ذاکری اخذ نمود. مافی در سال ١٣٨۴ به عنوان استادیار گروه ریاضی دانشگاه اراک استخدام شد و تا سال ١٣٨٧ در آن دانشگاه به کار خود ادامه داد و از آن پس به استخدام گروه ریاضی دانشگاه کردستان درآمد. اکنون وی دانشیار گروه ریاضی دانشگاه کردستان می باشد. ۶٠