1 Vardoulakis I. Behavior of Granular Materials. In: Handbook of Materials Behavior Models (Jean

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 Vardoulakis I. Behavior of Granular Materials. In: Handbook of Materials Behavior Models (Jean"

Transcript

1 3. Aντοχή και Αστοχία µη-συνεκτικών Eδαφών 3.1 Η αντοχή και ο βασικός µηχανισµός αστοχίας µη-συνεκτικών εδαφών Τριβή και διασταλτικότητα Θεωρία διασταλτικής τριβής κατά Taylor Εφαρµογές Κρίσιµο βάθος ανυποστήρικτης σήραγγας Εκτίµηση της υποστηρίξεως οροφής σήραγγας Η Τριαξονική δοκιµή θλίψεως Η θεωρία διασταλτικότητος σε τριαξονικές συνθήκες Θεωρία κρίσιµης καταστάσεως Συµπεριφορά κοκκωδών εδαφών κάτω από αστράγγιστες συνθήκες - Ρευστοποίηση 15 Παράρτηµα: 1964 Niigata Εarthquake, Japan 158 Συζυγείς ζώνες διατµήσεως σε περλίτη στη Σαρακίνα της Μήλου 1 1 Vardoulakis I. Behavior of Granular Materials. In: Handbook of Materials Behavior Models (Jean Lemaitre Ed.) Chapter 11.4, Academic Press, 21

2 18 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 H ιατµητική Aντοχή Μη-Συνεκτικών Eδαφών 23, Ιωάννης Γ. Βαρδουλάκης, Καθηγητής της Μηχανικής, Ε.Μ. Πολυτεχνείο, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Τοµέας Μηχανικής, Ηρώων Πολυτεχνείου 5, Ζωγράφου , Αθήνα. Τ.Θ. 144, Παιανία 192

3 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Η Αντοχή και ο Βασικός Μηχανισµός Αστοχίας µη- Συνεκτικών Εδαφών Για την κατασκευή µιας θεωρίας αντοχής των µη-συνεκτικών υλικών θα προσφύγουµε συνήθως σε κάποιο µικρο-µηχανικό προσοµοίωµα του εδάφους. Έτσι υποθέτουµε ότι η αντοχή ενός µη-συνεκτικού, κοκκώδους υλικού οφείλεται στην δυνατότητα αναπτύξεως δυνάµεων επαφής µεταξύ δύο κόκκων (i) και (j), i j i F, F = F. j i j Μικροµηχανικό µοντέλο δοµής κοκκώδους υλικού και µακροσκοπικές τάσεις i i Έστω N j και T j η ορθή και η διατµητική συνιστώσα αντιστοίχως της δυνάµεως επαφής στο κοινό επίπεδο επαφής µεταξύ δύο κόκκων. Υποθέτουµε ότι στην επαφή αυτή δεν αναπτύσσονται συνεκτικές δυνάµεις, οπότε δεχόµαστε ότι: α) η ορθή συνιστώσα είναι αυστηρά θλιπτική 2 και β) η διατµητική συνιστώσα της δυνάµεως επαφής υπακούει στον νόµο τριβής κατά Coulomb, i T j i N j tanϕ µ Οι επαφές των κόκκων χαρακτηρίζονται από µία γωνία εσωτερικής τριβής 3 ϕ, µ που εξαρτάται από την υφή και λειότητα της επιφάνειας των κόκκων. Ως συνέπεια αυτής της υποθέσεως θεωρούµε ότι και οι µακροσκοπικές τάσεις, που εµφανίζονται σε κάποιο "επίπεδο" αστοχίας υπακούουν σε ένα µακροσκοπικό νόµο τριβής, τ= σ tan ϕ (3.1) 2 Ένας τέτοιος σύνδεσµος καλείται µονόπλευρος (Αγγλ. unilateral constraint) 3 ηλ. της γωνίας τριβής που χαρακτηρίζει τις µεταξύ των κόκκων επαφές.

4 11 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Η γωνία φ καλείται γωνία τριβής του εδάφους. Για τον προσδιορισµό της γωνίας τριβής του εδάφους θα προσφύγουµε είτε σε εργαστηριακές δοκιµές, είτε σε δοκιµές πεδίου, είτε σε αντίστροφες στατικές αναλύσεις πραγµατικών περιπτώσεων αστοχίας γεωκατασκευών. Σχετικά µε το τρόπο αστοχίας των εδαφών θα παρατηρήσουµε ότι η "θραύση 4 " εντοπίζεται σε µία λεπτή ζώνη έντονης διατµήσεως του εδάφους, ενώ οι παρακείµενες εδαφικές µάζες εκατέρωθεν της "επιφάνειας" αστοχίας συµπεριφέρονται µάλλον ως απολύτως στερεά σώµατα. Θα παρατηρήσουµε δε ότι, όπως δείχνουν οι παρατιθέµενες φωτογραφίες και ραδιογραφίες, τα πειραµατικά δεδοµένα ενισχύουν την υπόθεση του Roscoe 5, ότι το πάχος της ζώνης εντοπισµού της διατµήσεως (της "επιφάνειας" αστοχίας) δεν εξαρτάται από τις εξωτερικές γεωµετρικές διαστάσεις του εκάστοτε προβλήµατος αλλά από τη µικροδοµή του υλικού και κυρίως από την διάσταση του µέσου κόκκου του υλικού 6,7. Προσδιορισµός του πάχους της ζώνης έντονης διατµήσεως, λοπθ εντοπίζεται το φαινόµενο της αστοχίασ ενός αµµώδους εδαφους καταπονούµενου σε διαξονική θλίψη. Στην αρνητική ραδιογραφία φαίνεται η ζώνη διατµήσεως σκιασµένη ως ζώνη έντονης αυξήσεως του πορώδους 8 4 Ο όρος θραύση είναι µάλλον ατυχής εν προκειµένω αφού τα εδάφη είναι υλικά κατ' εξοχήν κατακερµατισµένα και δεν δύνανται να θραυσθούν περαιτέρω, αν εξαιρέσουµε βεβαίως την περίπτωση φθοράς και κατακερµατισµού των κόκκων που ενίοτε συµβαίνει κάτω από σηµαντικές θλιπτικές και διατµητικές καταπονήσεις (άλεση). 5 K.H. Roscoe (197). The influence of strains in soil mechanics, Géotechnique, 2, Vardoulakis, I. Schefugenbildung in Sandkörpern als Verzweigungsproblem, Disertation, Unversität Karlruhe, 1977, Veröffentlichungen, I.B.F. Heft Nr.7. 7 Mühlhaus, H.-B. and I. Vardoulakis (1987). The thickness of shear bands in granular materials, Géotechnique, 37, Vardoulakis, I., Graf, B. and A. Hettler (1985). Shear-band formation in a fine-grained sand. 5th Int. Conf. on Numerical Methods in Geomechanics, 1, , Balkema, Rotterdam.

5 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Για παράδειγµα θεωρούµε το πρόβληµα της παθητικής ωθήσεως γαιών 9, όπου ένας κατακόρυφος, λείος και άκαµπτος τοίχος ωθείται παραλλήλως εντός του εδάφους και το ζητούµενο είναι η εκτίµηση µίας "ασφαλούς" τιµής για την "παθητική" ώθηση E p, που µπορεί να παραλάβει ο τοίχος χωρίς να καταρρεύσει το έδαφος επί του οποίου ο τοίχος αυτός αντιστηρίζεται. (α) (β) Μηχανικό προσοµοίωµα υπο κλίµακα παθητκής ωθήσεως κατακορύφου αναβαθµού από ξηρή άµµο µέσω λείου και άκαµπτου τοίχου. Μηχανισµός καταρρεύσεως κατά Coulomb συνιστάµενος από µία επίπεδη επιφάνεια αστοχίας: α) φωτογραφία, β) ραδιογραφία. 9 C. A. Coulomb, Essai sur une application des règles des maximis et des minimis à quelques problèmes de statique. Mémoires Académie Royale des Sciences,Vol. 7, Paris 1776.

6 112 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Από τα παραπάνω παραδείγµατα καθίσταται φανερό ότι για τη στατική ανάλυση ενός γεωστατικού προβλήµατος αστοχίας, όπως αυτό της παθητικής ωθήσεως γαιών, χρειαζόµαστε την πληροφορία σχετικά µε την αντοχή του εδάφους, όταν αυτό διατέµνεται και σχηµατίζει µία λεπτή διατµητική ζώνη ή "επιφάνεια" αστοχίας. Πράγµατι, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα, στο παραάδειγµα της εκτιµήσεως της παθητικής ωθήσεως, E p = min(e) θ θα δεχθούµε ότι οι ορθές και διατµητικές τάσεις κατά µήκος του επιπέδου αστοχίας υπακούουν στο εσωτερικής νόµο του Coulomb, Εξ. (3.1), οπότε η συνισταµένη τους Q σχηµατίζει γωνία ϕ µε την κάθετο στο επίπεδο αστοχίας. Στατική ανάλυση του προβλήµατος της παθητικής ωθήσεως γαιών 3.2 Τριβή και ιασταλτικότητα 1 Για τον εργαστηριακό προσδιορισµό της διατµητικής αντοχής ενός γεωυλικού συχνά θα προσφύγουµε στη σχετικά απλή δοκιµή της απ' ευθείας διατµήσεως 11, που πραγµατοποιείται στην αντίστοιχη συσκευή, η οποία υποτίθεται ότι επιβάλλει θραύση του δοκιµίου κατά µήκος µιάς οριζόντιας επιφάνειας στην θέση της σχισµής που χωρίζει το κινητό από το σταθερό τµήµα της συσκευής. Κατά τη δοκιµή αυτή το κατακόρυφο φορτίο N διατηρείται συνήθως σταθερό, ενώ επιβάλλεται η οριζόντια µετατόπιση του κινητού µέρους κάτω από σταθερή ταχύτητα. Μετρώνται συνεπώς η οριζόντια µετατόπιση u h του κινητού µέρους, η κατακόρυφη µετατόπιση u v της οριζόντιας πλάκας επιβολής του φορτίου N καθώς και η εκάστοτε τιµή της οριζόντιας δυνάµεως T. Για την περαιτέρω ανάλυση των δεδοµένων της δοκιµής υπολογίζουµε τη (µέση) ορθή και τη (µέση) διατµητική τάση στο επίπεδο της διατµήσεως, σ = N A, τ= T A 1 Αγγλ. dilatancy 11 Αγγλ. direct shear test

7 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Σχηµατική παράσταση της συσκευής κατ' ευθείαν διατµήσεως Το κιβώτιο της συσκευής έχει ύψος Η (συνήθως H= 1. cm) και συνήθως τετραγωνική διατοµή σε κάτοψη, αρχικού εµβαδού A = L L ( L = 6. cm). Η επιφάνεια διατµήσεως µειώνεται προοδευτικά µε τη διατµητική µετατόπιση ( u h << L ) u = h A A 1 L Επειδή η δοκιµή ξεκινά από µία δεδοµένη αρχική ορθή τάση, θα θεωρήσουµε, χωρίς σηµαντικό λάθος, ότι η ορθή τάση παραµένει σταθερή, u h σ P A = σταθ. Ως παράδειγµα δοκιµής απ ευθείας διατµήσεως δίδονται στο παρακάτω διάγραµµα τα αποτελέσµατα δύο πειραµάτων σε άµµο Ottawa-standard 12. Τα εν λόγω πειράµατα διατµήσεως αφορούν µία πυκνά διαστρωµένη (αρχικός δείκτης πόρων, e =. 562 ) και µία σχετικά χαλαρά διαστρωµένη άµµο ( e =.652). Παρατήρηση Σηµειώνοµε ότι ο χαρακτηρισµός βάσει πυκνότητας ενός κοκκώδους εδάφους θα αποδοθεί µε τη λεγόµενη σχετική πυκνότητα 13 D r, που συσχετίζει το δείκτη πόρων της συγκεκριµένης άµµου µε τις αντίστοιχες µέγιστες και ελάχιστες τιµές που µπορούν να επιτευχθούν στο εργαστήριο σε τυποποιηµένες δοκιµές, Dr = emax e emax emin 12 D.W. Taylor, Foundamentals of Soil Mechanics, Wiley, Πρβλ. Κεφ. 1.4

8 114 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Τυπικά διαγράµµατα λόγου τάσεων και διασταλτικότητας σε άµµο Ottawa-standard (D.W. Taylor, 1948) εδοµένα του πειράµατος κατ' ευθείαν διατµήσεως το σε άµµο Ottawa-standard

9 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Από τα σχετικά διαγράµµατα του πειράµατος κατ' ευθείαν διατµήσεως παρατηρούµε ότι ο λόγος των τάσεων 14, τ σ = tan ϕ είναι γενικώς µία συνάρτηση της διατµητικής µετατόπισης. Για τον λόγο αυτό η τασική γωνία 15 ϕ καλείται και ενεργοποιηµένη γωνία τριβής 16 του υλικού και ο συντελεστής tanφ =µ (uh ) καλείται ενεργοποιηµένος συντελεστής τριβής 17. Από τα διαγράµµατα αυτά παρατηρούµε ότι σε µία σχετικά πυκνά διαστρωµένη άµµο ο λόγος των τάσεων αρχικά αυξάνει (κρατυνόµενος κλάδος) και εµφανίζει ένα µέγιστο (κορυφή 18 ), που ακολουθείται από ένα φθιτό κλάδο 19. Μια χαλαρή άµµος αντιθέτως εµφανίζει µονοτόνως αύξοντα λόγο τάσεων 2. Χαρακτηριστική καµπύλη λόγου τάσεων διατµητικής µεταιτοπίσεως για πυκνή άµµο 14 Αγγλ. stress ratio 15 Αγγλ. stress obliquity 16 Αγγλ. mobilized friction angle, 17 Αγγλ. mobilized friction coefficient 18 Αγγλ. peak 19 Αγγλ. softening branch 2 Πρβλ:

10 116 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Επίσης παρατηρούµε ότι, όταν ένα κοκκώδες υλικό υφίσταται διάτµηση, τότε αυτό εµφανίζει παράλληλα και αλλαγές στον όγκο του. Το φαινόµενο αυτό καλείται διασταλτικότητα 21 και αποδίδεται στον Reynolds 22. Σχηµατική εικόνα διασταλτικής λειτουργίας που οδηγεί από την κανονική πυκνή συσκευασία οµοειδών σφαιρών στην αντίστοιχη χαλαρή Ως διασταλτικότητα θα ορίσουµε γενικώς τον λόγο του ρυθµού αλλαγής όγκου προς τον ρυθµό διατµητικής παραµορφώσεως ε tan ψ = (3.2) γ Στο πείραµα της απ ευθείας διατµήσεως η γωνία ψ εµφανίζεται ως η γωνία που σχηµατίζει το διάνυσµα της ταχύτητας διατµήσεως µε το επίπεδο διατµήσεως (τον άξονα x στο σχήµα) και καλείται ως εκ τούτου (ενεργοποιηµένη) γωνία διασταλτικότητας 23 του υλικού. Πράγµατι, αν δεχθούµε ότι η διάτµηση εντοπίζεται µέσα σε µία λεπτή λωρίδα πάχους d και το πεδίο ταχυτήτων είναι γραµµικό v x = z u h, v z = d z u v d Ο ρυθµός αλλαγής όγκου στην λωρίδα διατµήσεως περιγράφεται από την ποσότητα, dv z u v ε = = dz d ενώ ο ρυθµός της διατµητικής τροπής από την ποσότητα dv x u γ = = h dz d 21 διασταλτικός = ικανός να διαστέλλει ή να διαστέλλεται. Aγγλ. dilatant (dilatancy) 22 Reynolds, O. (1885). On the dilatancy of media composed of rigid particles in contact. With experimental illustrations. Phil. Mag. (2) 2, Also: Truesdell, C. and Noll, W.: The Non- Linear Field Theories of Mechanics, Handbuch der Physik Band III/3, section 119, Springer Αγγλ. mobilized dilatancy angle

11 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Λεπτή λωρίδα από διατεµνόµενο κοκκώδες υλικό που εµφανίζει θετική διασταλτικότητα (αύξηση όγκου, αύξηση πορώδους) Άρα µε την προϋπόθεση ότι η παραµόρφωση µέσα στη ζώνη διατµήσεως είναι οµογενής παίρνουµε ότι η διασταλτικότητα του υλικού υπολογίζεται ανεξάρτητα από το πάχος d της ζώνης διατµήσεως ως ο λόγος της ταχύτητας διατµήσεως προς τον ρυθµό µεταβολής του ύψους του δοκιµίου, du tan ψ = v (3.3) duh Αυτό σηµαίνει ότι ο ενεργοποιηµένος συντελεστής διασταλτικότητας tanψ =β(uh ) προκύπτει ως η κλίση της αντίστοιχης πειραµατικής καµπύλης διασταλτικότητας, uv = uv(uh). Εισάγοντας ως αδιάστατη παράµετρο την διατµητική τροπή, u γ = h (3.4) d παρατηρούµε ότι τα πειραµατικά δεδοµένα µπορούν να γραφούν υπό µορφή αντίστοιχων συναρτήσεων των συντελεστών ενεργοποιηµένης τριβής και διασταλτικότητας tanϕ =µ ( γ), tanψ =β( γ) (3.5) Σηµειώνουµε τέλος ότι συµφώνως προς την σχέση (2.17) η µεταβολή της ογκοµετρικής τροπής συνδέεται µε την αλλαγή του πορώδους n ε = 1 n

12 118 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Αυτό σηµαίνει ότι διαστολική συµπεριφορά ( ψ > ) συνεπάγεται αύξηση του πορώδους ενώ συστολική συµπεριφορά ( ψ < ) µείωση του πορώδους. Επίσης παρατηρούµε ότι η διασταλτικότητα του κοκκώδους υλικού είναι γενικώς φθίνουσα συνάρτηση της µετατοπίσεως u h. Ειδικότερα από τα πειραµατικά δεδοµένα προκύπτει, ότι όταν η άµµος είναι πυκνά διαστρωµένη αυτή έχει γενικώς την τάση να διογκώνεται κατά την απ' ευθείας διάτµηση, ψ >. Αντιθέτως µία χαλαρά διαστρωµένη άµµος θα έχει την τάση να συρρικνώνεται ( ψ < ). Τέλος παρατηρούµε ότι για µεγάλες τιµές της διατµητικής µετατοπίσεως από το πείραµα προκύπτει ότι ο λόγος των τάσεων τείνει είτε εκ των άνω ή είτε εκ των κάτω προς µία σταθερή τιµή τ σ = tanϕ cs (3.6) ενώ παράλληλα η διασταλτικότητα του υλικού τείνει ασυµπτωτικά στο µηδέν (ισόχωρη παραµόρφωση) duv du h = tanψcs = που αντιστοιχεί στην κατάσταση σταθερού όγκου. Η κατάσταση αυτή καλείται κρίσιµη κατάσταση 24. Άρα στην κρίσιµη κατάσταση η γωνία διασταλτικότητας µηδενίζεται ( ψ cs = ), το πορώδες του κοκκώδους υλικού δεν µεταβάλλεται και η γωνία τριβής τείνει σε µία τιµή ϕ cs ϕcv (κρίσιµη γωνία τριβής 25 ). Η σταθερή τιµή του πορώδους n cs στην κρίσιµη κατάσταση δεν εξαρτάται από την αρχική του τιµή αλλά µόνο από την τιµή της (σταθερής) ορθής (ενεργού) τάσεως σ Θεωρία ιασταλτικής Τριβής κατά Taylor Στην βάση των παραπάνω πειραµατικών παρατηρήσεων µπορούµε τώρα να εισάγουµε ορισµένους χρήσιµους ορισµούς και να προχωρήσουµε στη διατύπωση µιας απλής καταστατικής θεωρίας για την περιγραφή της µηχανικής συµπεριφοράς των κοκκωδών υλικών σε απ' ευθείας διάτµηση. Γενικώς θα παρατηρήσουµε ότι κατά την παραµόρφωση ενός γεωυλικού θα αναλύσουµε την τροπή σε δύο συνιστώσες, την ελάστική και την πλαστική συνιστώσα. Π.χ. η διατµητική τροπή θα αναλυθεί ως εξής, e p γ = γ +γ Η ελαστική τροπή και αντιστοιχεί στο αναστρέψιµο τµήµα της ολικής τροπής, 24 Αγγλ. critical state (cs). 25 Αγγλ. friction angle at critical state. Ο δείκτης (cv) υποδηλώνει ότι στην κρίσιµη κατάστταση ο ογκος διατηρείται. (Αγγλ. constant volume)

13 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, e γ τ = G p όπου G είναι το µέτρο διατµήσεως του εδάφους. Η συνιστώσα γ καλείται πλαστική τροπή και αντιστοιχεί στην παραµένουσα (µη-αναστρέψιµη) τροπή. Ελαστο-πλαστικό και απολύτως στερεό-πλαστικό υλικό Χάριν απλότητας θα δεχθούµε ότι το κοκώδες υλικό συµπεριφέρεται ως ένα απολύτως στερεό-πλαστικό υλικό, δηλαδή θα δεχθούµε ότι οι παραµορφώσεις του είναι πλήρως µη-αντιστρέψιµες, θεωρώντας τις όποιεσδήποτε ελαστικές παραµορφώσεις αµελητέες G= e γ =, p γ γ Για τον ορισµό του µαθηµατικού προσοµοιώµατος ενός κοκκώδους υλικού θα ορίσουµε τώρα την λεγόµενη συνάρτηση διαρροής 26 F= τ σµ ( γ) Συµφώνως προς την εξίσωση (3.1) θα δεχθούµε ότι, όταν το κοκκώδες υλικό φορτίζεται και παραµορφώνεται πλαστικά (όταν "διαρρέει"), τότε ισχύει η αντίστοιχη συνθήκη διαρροής 27 F= τ=σµ ( γ) (3.7) Παρατηρούµε τώρα ότι η εξίσωση (3.3) µπορεί να γραφεί ως ένας κινηµατικός περιορισµός µεταξύ απειροστικών µεταβολών της (πλαστικής) διατµητικής και της ογκοµετρικής τροπής, δε =β( γ) δγ (3.8) 26 Αγγλ. yield function 27 Αγγλ. yield condition

14 12 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 'Eνας τέτοιος κινηµατικός περιορισµός καλείται ως ο νόµος πλαστικής ροής 28 του υλικού. Ενας απλός τρόπος, που µας επιτρέπει να συσχετίσουµε την ενεργοποιηµένη τριβή µε την ενεργοποιηµένη διασταλτικότητα ενός κοκκώδους υλικού είναι να δούµε προσεκτικά την έκφραση για το στοιχειώδες έργο παραµορφώσεως. Γενικώς, το έργο των εσωτερικών δυνάµεων ανά µονάδα µήκους της ζώνης διατµήσεως υπολογίζεται από το ολοκλήρωµα καθ' ύψος της ζώνης του στοιχειώδους έργου των τάσεων πάνω στις απειροστικές τροπές, d δw = ( σxxδεxx + +σxzδεxz +σzxδεzx +σzzδεzz)dz Στο καρτεσιανό σύστηµα που επιλέξαµε, οι τάσεις και οι µεταβολές των τροπών δίδονται απο τους παρακάτω πίνακες 29 σxx [ σ] = σ yy τ τ σ, [ δε] = δγ / 2 δγ / 2 δε εχόµεθα ότι οι τάσεις και οι τροπές είναι σταθερές µέσα στη ζώνη διατµήσεως. Το στοιχειώδες εργο των εσωτερικών δυνάµεων δίδεται εν προκειµένω από την έξής σχέση δ W = ( τδγ σδε)d (3.9) Από την έκφραση αυτή γίνεται φανερό ότι η διατµητική τάση τ είναι ενεργειακώς συζυγής µε τον ρυθµό διατµητικής παραµορφώσεως, δγ =δu h / d, όπως επίσης και ότι η ορθή τάση σ είναι συζυγής µε τον ρυθµό ογκικής παραµορφώσεως, δε =δu h / d. Λαµβάνοντας δε υπ όψιν τη συνθήκη διαρροής και τον νόµο πλαστικής ροής από την παραπάνω σχέση (3.9) παίρνουµε την εξής έκφραση για το στοιχειώδες έργο παραµορφώσεως δ W =σ(tanϕ tanψ) δu h Υποθέτουµε τώρα ότι όλο το έργο των εσωτερικών δυνάµεων αναλίσκεται, δ W = δd γεγονός το οποίο στη βάση του 2 ου θερµοδυναµικού αξιώµατος σηµαίνει ότι η ειδική κατανάλωση πρέπει να είναι θετική, οπότε 28 Αγγλ. plastic flow-rule 29 Προς αποφυγή λαθών δεχόµεθα την σύµβαση πρόσηµου της Μηχανικής, όπου οι θλιπτικές τάσεις είναι αρνητικές.

15 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, δd δuh δw = δuh =σ(tanϕ tanψ) > (3.1) Από την ανισότητα αυτή έπεται, ως πρώτος βασικός περιορισµός, ότι σε κάθε κατάσταση του κοκκώδους υλικού η γωνία διασταλτικότητας δεν µπορεί να υπερβεί την τιµή της αντίστοιχης γωνίας τριβής ψ <φ (3.11) Η λεγόµενη 1 η υπόθεση της θεωρίας διασταλτικής διατµήσεως του Taylor 3 επιτάσσει όπως η ειδική κατανάλωση ενέργειας είναι ανεξάρτητη της κατάστασης του υλικού, δd δuh =σ tanϕeq (3.12) Η 2 η υπόθεση της θεωρίας διασταλτικής διατµήσεως του Taylor απαιτεί επιπλέον ότι όλη η µηχανική ενέργεια αναλίσκεται σε θερµότητα, δ D= δq Οι υποθέσεις της θεωρίας του Taylor σηµαίνουν ότι ένα κοκκώδες, που χαρακτηρίζεται από εσωτερική τριβή και διασταλτικότητα συµπεριφέρεται ως ένα υλικό µε εσωτερική τριβή, που παραµορφώνεται ισόχωρα και που έχει γωνία τριβής ίση µε την γωνία ϕ eq που δίδεται από την διαφορά tanϕ eq = tanϕ tanψ (3.13) Άρα, συµφώνως προς την υπόθεση Taylor, ένα κοκκώδες υλικό θα ταυτισθεί από ενεργειακή σκοπιά µε ένα υποθετικό υλικό, που παραµορφώνεται ισόχωρα και που υπακούει στον νόµο τριβής κατά Coulomb. Η γωνία τριβής του από σκοπιά καταναλώσεως ενεργειακώς ισοδύναµου µέσου θα ταυτισθεί κατ' αρχήν µε την γωνία τριβής στην κρίσιµη κατάσταση όπου η παραµόρφωση είναι εξ ορισµού ισόχωρη 31, ϕ eq = ϕcs. Ενεργειακή ισοδυναµία µεταξύ πραγµατικού κοκκώδους υλικού µε εσωτερική τριβή και διασταλτικότητα και ιδεατού υλικού τύπου Coulomb, που παραµορφώνεται χωρίς µεταβολές όγκου και µε σταθερή γωνία τριβής. 3 D.W. Taylor. Fundamentals of Soil Mechanics, John Wiley, Γι' αυτό θα χρησιµοποιηθεί καµία φορά και ο συµβολισµός ϕ cv (Αγγλ. cconstant volume)

16 122 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Στη σχετική βιβλιογραφία θα βρούµε τη τιµή της ϕ eq να ταυτίζεται µε την τιµή της ενεργοποιηµένης γωνίας τριβής στην κατάσταση µέγιστης συµπυκνώσεως 32 (mc: n= min! ), ϕ eq = ϕmc. Αξίζει δε να σηµειωθεί ότι τόσο ο Rowe 33,34 όσο και ο de Joselin de Jong 35 επεξέτειναν την θεωρία αυτή και για άλλες τασικές οδεύσεις (όπως τριαξονική θλίψη, διαξονική θλίψη κ.λπ.) και ονόµασαν την γωνία ϕ eq ως την πραγµατική γωνία τριβής 36 και την ταύτισαν µε την γωνία τριβής ϕ µ µεταξύ των κόκκων ενός κοκκώδους υλικού, ϕ eq ϕµ. Από την σχέση Taylor στη κατάσταση αιχµής, τ σ max = tanϕp = tanϕeq + tanψp, tanψp duv du = h max συµπεραίνουµε ότι η αντοχή του κοκκώδους υλικού αποτελείται από µία συνιστώσα που αφορά στην τριβή µεταξύ κόκκων 37 ( ϕ eq ϕµ ) και µία συνιστώσα που αφορά στην εµπλοκή τους 38. Σηµειώνουµε ότι από την σχετική βιβλιογραφία βρίσκουµε την εξής εµπειρική σχέση, o ψ p ϕp 2 Αν λύσουµε την σχέση του Taylor ως προς το συντελεστή διασταλτικότητας tanψ = tanϕ tanϕeq (3.14) συµπεραίνουµε ότι µία χαλαρά διαστρωµένη άµµος ( ϕ p < ϕeq ), θα έχει την τάση κατά την διάτµηση να συµπυκνώνεται µε συνεχώς φθίνοντα ρυθµό, γεγονός που αντανακλάται σε συνεχή κράτυνση, δηλαδή σε µονότονη αύξηση της ενεργοποιηµένης γωνίας τριβής. Αντιθέτως µία πυκνά διαστρωµένη άµµος µετά από µια σύντοµη σχετικά αρχική φάση περαιτέρω συµπυκνώσεως θα έχει γενικώς την τάση να διασταλεί, γεγονός που οδηγεί στην ύπαρξη αντοχής αιχµής και φθιτού (ασταθούς) κλάδου. Από το συγκεκριµένο παράδειγµα κατ' ευθείαν διατµήσεως παίρνουµε τις εξής τιµές για τις παραµέτρους αντοχής της πυκνής άµµου Ottawa-standard: (α) γωνία 32 Αγγλ. maximum compaction. 33 P.W. Rowe (1962). The stress-dilatancy relation for static equilibrium of an assembly of particles in contact. Proc. Roy. Soc., 269, P.W. Rowe (1971). Theoretical meaning and observed values of deformation parameters for soil. Proc. Roscoe Mem. Symp., Cambridge, De Josselin de Jong (1976). Rowe's stress-dilatancy relation based on friction. Géotechnique, 26, Αγγλ. true angle of friction 37 Αγγλ. intergranular friction 38 Αγγλ. grain interlockng

17 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, o o τριβής αιχµής: πυκνή άµµος ϕ p = 32. 6, ϕ p = (β) γωνία διασταλτικότητας αιχµής: πυκνή άµµος ψ p = 9. 8, χαλαρή άµµος ψ p = (γ) γωνία τριβής στην κρίσιµη κατάσταση: ϕ o eq = 25.2 (25.5 ). Συνολικά οι δύο δοκιµές απ' ευθείας διατµήσεως δίδουν βάσει της σχέσεως τριβής-διασταλτικότητας του Taylor τη o βέλτιστη τιµή ϕ eq = Υπόθεση Taylor:Συντελεστές ενεργοποιηµένης τριβής και διασταλτικότητας για µία πυκνή και µία χαλαρή άµµο σε κατ' ευθείαν διάτµηση Βέλτιστη προσέγγιση των πειραµατικών δεδοµένων για πυκνή άµµο, ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη (3.1) του Taylor λόγου τάσεων-διασταλτικότητας

18 124 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Πειραµατική επαλήθευση της υποθέσεως Taylor Η θεωρία Taylor µπορείνα βελτιωθεί, άν χαλαρώσουµε την την 2 η υπόθεση και υποθέσουµε ότι µόνο ένα τµήµα της ειδικής καταναλώσεως µετατρέπεται σε θερµότητα, δεχόµενοι πως ένα (µικρό) µέρος αυτής αναλίσκεται σε "δοµική φθορά" των κόκκων (π.χ. κατακερµατισµός και λειοτρίβηση κόκκων). Η υπόθεση αυτή οδηγεί τελικά στην εξής σχέση 39, 1 tanϕ tanψ tanϕeq = (<λ< 1) 1 λ (3.15) Η εφαρµογή της παραπάνω εξισώσεως στα δεδοµένα από τα πειράµατα κατ' ευθείαν διατµήσεως του Taylor οδηγεί στα εξής αποτελέσµατα (πρβλ. Τα σχετικά γραφήµατα που ακολουθούν): Μετεπεξεργασία των πειραµατικών δεδοµένων κατ' ευθείαν διατµήσεως στη βάση της Εξ. (3.15) 4 Πυκνή άµµος Χαλαρή άµµος ϕ p ϕ eq λ I. Vardoulakis (23). Taylor's stress-dilatancy hypothesis revisited. Submitted for publication. 4 'Οπως φαίνεται και από τα επόµενα διαγράµµατα η προσεγγιση των πειραµατικών δεδοµένων έγινε στο φθιτό κλάδο των αντίστοιχων καµπύλων τάσεων-τροπών. Παρατηρούµε δε ότι εµπροκειµένω η διόρθωση που προκύπτει απότην Εξ. (3.15) είναι της τάξεως του 1%.

19 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Προσέγγιση δεδοµένων στη βάση της γενικευµένης θεωρίας Taylor στη βάση της Εξ. (3.15)

20 126 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Παρατηρήσεις Μέσα στα πλαίσια της Μαθηµατικής Θεωρίας της Πλαστικότητας θα παραστήσουµε γεωµετρικά την συνθήκη διαρροής (3.7) και τον νόµο πλαστικής ροής (3.8) στο ίδιο διάγραµµα, στο επίπεδο των τάσεων ( σ zz, σxz). Γραφική παράσταση της συνθήκης διαρροής και του νόµου πλαστικής ροής στο επίπεδο των τάσεων Από το σχετκό διάγραµµα κάνουµε τις εξής διαπιστώσεις: 1. Κατά την υλοποίηση του πειράµατος απ' ευθείας διατµήσεως οι τάσεις ακολουθούν την αµειγώς διατµητική "τασική όδευση" 41 (ΑΒ), αφού η όρθή τάση παραµένει (σε καλή προσέγγιση) σταθερή. 2. Η εκάστοτε εντατική κατάσταση στο επίπεδο αστοχίας παρίσταται στο διάγραµµα αυτό από το διάνυσµα OB, που έχει κλίση ίση προς την ενεργοποιηµένη τριβή, µ = tan ϕ (άρα βρίσκεται πάνω στην αντίστοιχη επιφάνεια διαρροής, F= ). 3. Ο νόµος πλαστικής ροής παρίσταται γεωµετρικά µε το διάνυσµα ΒΓ, το οποίο προσαρτάται στο εκάστοτε σηµείο της τασικής οδεύσεως, στο σηµείο Β, εν προκειµένω. Η αντίστροφη κλίση του διανύσµατος του ρυθµού της πλαστικής παραµορφώσεως ισούται µε την ενεργοποιηµένη διασταλτικότητα στο εν λόγω σηµείο, β= tan ψ. Αρα οι συνιστώσες του διανύσµατος αυτού στο εν λόγω σύστηµα είναι ανάλογές προς τον ρυθµό πλαστικής παροµορφώσεως όγκου και σχήµατος, αντιστοίχως. Αυτή η απεικόνιση είναι εν προκειµένω ιδαίτερα χρήσιµη, αφού τα εµπλεκόµενα στατικά και κινηµατικά µεγέθη είναι ενεργειακώς συζυγή συµφώνως πρός την σχέση (3.9). Αυτό σηµαίνει ότι το εσωτερικό γινόµενο του διανύσµατος των τάσεων ΟΒ µε το διάνυσµα του ρυθµού πλαστικής παραµορφώσεως ΒΓ αποδίδει το έργο του ρυθµού πλαστικής παραµορφώσεως 41 Αγγλ. stress path

21 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, ΟΒ ΒΓ= τδγ σδε= 1 δ D d Ειδικότερα τονίζουµε στο σηµείο αυτό ότι η παραπάνω καταστατική ανισότητα (3.11), µεταξύ γωνίας διασταλτικότητας και τριβής, σηµαίνει γεωµετρικά ότι το διάνυσµα του ρυθµού της πλαστικής παραµορφώσεως B Γ δεν είναι κάθετο πάνω στην αντίστοιχη "επιφάνεια" διαρροής,οβ. Αυτή είναι µία σηµαντική διαφορά της θεωρίας πλαστικότητας των µη-συνεκτικών γεωυλικών από την αντίστοιχη θεωρία των όλκιµων µετάλλων ή άλλων συνεκτικών υλικών, όπως οι άργιλοι κάτω από κατάλληλες συνθήκες. Στις περιπτώσεις αυτές το υλικό εµφανίζει διατµητική αντοχή c (συνεκτικότητα 42 ), που είναι ανεξάρτητη από την ορθή τάση στο επίπεδο αστοχίας και η παραµόρφωσή του υλικού είναι ισόχωρη. Συνθήκη διαρροής και νόµος πλαστικής ροής για συνεκτικό υλικό Στην περίπτωση συνεκτικών υλικών ισχύει η λεγόµενη συνθήκη καθετότητας 43, δηλαδή το διάνυσµα πλαστικής ροής ( δε = ) είναι κάθετο στην αντίστοιχη επιφάνεια διαρροής, F = τ c=. Η συνθήκη καθετότητας µε τη σειρά της αποτελεί τη βάση για την απόδειξη µιας σειράς γενικών προτάσεων, χρήσιµων για την ασφαλή εκτίµιση άνω και κάτω φραγµάτων του φορτίου καταρρεύσεως µιάς κατασκευής 44. Στην περίπτωση όµως που δεν ισχύει η συνθήκη καθετότητος τα σχετικά θεωρήµατα άνω και κάτω φράγµατος επίσης δεν ισχύουν, και ως εκ τούτου υπάρχει αβεβαιότητα όσον αφορά την πρακτική αξία ένος υπολογισµού σε σχέση µε το φορτίο καταρρεέυσεως της γεωκατασκευής. Η αδυναµία αυτή της θεωρίας πλαστικότητας των γεωυλικών αντανακλάται σε πολλές πρακτικές εφαρµογές, όπου δεν µπορούµε να εξασφαλίσουµε εκ προϊµίου την ποιότητα και αξία των θεωρητικών µας προβλέψεων και καθιστούν την πειραµτική εξακρίβωση καθώς και την παρατήρηση στο πεδίο απολύτως αναγκαίες. 42 Αγγλ. cohesion 43 Αγγλ. normality condition 44 πρβλ. Ι.Βαρδουλάκης, Μαθηµατική Οριακή Ανάλυση, Ε.Π.Μ., 23.

22 128 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Εφαρµογές Κρίσιµο βάθος ανυποστήρικτης σήραγγας Για την εκτίµηση του κρίσιµου βάθους κάτω από το οποίο µια σήραγγα θα µπορούσε θεωρητικά να παραµείνει βραχυπροθέσµως χωρίς σηµαντική υποστήριξη θεωρούµε τον µηχανισµό καταρρεύσεως, όπως αυτός προκυπτει από παρατηρήσεις και αντίστοιχα πειράµατα υπό κλίµακα στο εργαστήριο, όπως εκείνο του "υποχωρούντος θυροπετάσµατος" 45. Πείραµα υποχωρούντος θυροπετασµατος µε άµµο. Ενεργητικός τύπος µε συγκλίνουσες επιφάνειες αστοχίας Στην βάση αυτών των παρατηρήσεων προτάθηκε ο µηχανισµός του παρακάτω σχήµατος. Αυτός ο µηχανισµός καταρρεύσεως αποτελείται από µία κατακόρυφη σφήνα (Ι) = (ΑΓΓ'Β ' Α) πάνω από την στέψη της σήραγγας, η οποία σφήνα έχει την τάση να ολισθήσει προς τα κάτω υπό την επίδραση του βάρους της W. Η οποιαδήποτε παροδική υποστήριξη της οροφής θα θεωρηθεί στη φάση αυτή της ανλύσεως, χάριν απλότητας, αµελητέα. Μηχανισµός καταρρεύσεως οροφής "επιφανειακής" σήραγγας 45 Vardoulakis I., Graf B. and Gudehus G. (1981). Trap-door problem with dry sand: A statical approach based upon model test kinematics. Int. J. Num. Anal. Meth. Geomechanics, 5,

23 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Η σφήνα (Ι) ολισθαίνει σε σχέση µε το παρακείµενα εδάφη πάνω σε δύο επιφάνειες ολισθήσεως (ΓΓ') και ( '), που είναι συµµετρικές ως προς τον κατακόρυφο άξονα, που διέρχεται από το κέντρο της σήραγγας. Η επιφάνειες αυτές είναι ελαφρώς συγκλίνουσες πρός τα πάνω. Η κλίση τους προκύπτει από την παρατήρηση ότι η ταχύτητα v = vz ολισθήσεως της σφήνας είναι κατακόρυφη µε κατεύθυνση προς τα κάτω και σχηµατίζει µε τις επιφάνειες ολισθήσεως γωνία ψ p, την γωνία διασταλτικότητας του εδάφους στην κατάσταση αιχµής, δηλαδή στην κατάσταση, που αντιστοιχεί στην µέγιστη τιµή της ενεργοποιηµένης γωνίας τριβής, ϕ =ϕp. Έστω D = 2R η διάµετρος της σήραγγας και H= (AB) η απόσταση από την οροφή της στην ελεύθερη επιφάνεια. εχόµεθα ότι το ειδικό βάρος του εδάφους είναι γ και παράµετροι αντοχής σε απ' ευθείας διάτµηση, ϕ p,ψp και ϕ cs, που ικανοποιούν την συνθήκη Taylor, tanϕ p = tanψp + tanϕcs (3.16) Το βάρος της σφήνας υπολογίζεται παραµετρικά ως συνάρτηση του βάθους της στέψεως ως εξής, 2 1 H 1 H 2 W R 2 2 π π ψp = γ sin α tanα α+ cosψp + tanα tanψ p, α= 2 R 2 R 4 o 18 2 ή σε αδιάστατη µορφή * *2 * W = ah + 2bH + c (3.17) όπου * W W * H =, H = (3.18) 2 γr R 2 a= tanψp, b= tanα, c= 2(sin α tanα α) + cosψp (3.19) Για µία δυνατή µετατόπιση του µηχανισµού καταρρεύσεως προς τα κάτω, το βάρος παράγει έργο θετικό, ίσο προς, W ( εξ ) = W v (3.2) Σε κατάσταση ισορροπίας το έργο των εξωτερικών δυνάµεων ισούται µε το έργο των εσωτερικών δυνάµεων ( ) ( ) W εξ = εσ W (3.21)

24 13 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Στην οριακή περίπτωση όπου θεωρούµε ότι η ελαστική (εσωτερική) ενέργεια του υλικού είναι αµελητέα, το έργο των εσωτερικών δυνάµεων αναλίσκεται πλήρως σε θερµότητα στις επιφάνειες ολισθήσεως, οπότε, W ( εσ ) = Q (3.21) Άρα η κατανάλωση του µηχανικού έργου των εξωτερικών δυνάµεων σε θερµότητα, υπολογίζεται από το συνολικό έργο των διατµητικών και ορθών τάσεων κατά µήκος των επιφανειών ολισθήσεως, που λόγω συµµετρίας δίδεται από το ολοκλήρωµα Q= 2 ( τvs σvn)ds ( ΓΓ ) Απ' έυθείας διάτµηση κατά µήκος µίας από τις επίπεδες επιφάνειας αστοχίας Έστω Ν και Τ η ορθή και η διατµητική συνιστώσα των αντιδράσεων F πάνω στην σφήνα στις επιφάνειας ολισθήσεως λόγω τριβής, T = τds ( ΓΓ ) Άρα, N= σds ( ΓΓ ) Q= 2(T vs N vn) Από την συνθήκη διαρροής τ =σ tanϕ p έπεται, T= Ntanϕp ενώ από το νόµο πλαστικής ροής παίρνουµε, vn = vs tanψp Άρα η κατανάλωση ενέργειας δίδεται από τη σχέση

25 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Q= 2N(tanϕ p tanψp) vs Με την παρατήρηση ότι ισχύει η συνθήκη του Taylor (3.16) και ότι vs = v cosψp παίρνουµε τελικά ότι, Q= 2Ntanϕ cs cosψpv (3.22) Σε µία οριακή κατάσταση ισορροπίας το έργο των εξωτερικών δυνάµεων, δηλ. εµπροκειµένω το έργο του βάρους, µετατρέπεται πλήρως σε θερµότητα στις επιφάνειες ολισθήσεως, οπότε, από τις παραπάνω εξισώσεις (3.2) - (3.22) παίρνουµε 1 W N = 2 tanϕcs cosψ (3.23) p Όπως είναι και εµπειρικά γνωστό, µία σχέση σαν την παραπάνω εξ. (3.23) θέτει µία απαίτηση για την δυνατότητα ασφαλούς "παραλαβής" από την ευρύτερη περιοχή εκατέρωθεν της σήραγγας της δράσεως F που είναι αναγκαία ως αντίδραση πάνω στην σφήνα για την πλάγια εκτροπή του βάρους W µε την λειτουργία του λεγόµενου ανακουφιστικού τόξου πάνω από την σήραγγα. Για το λόγο αυτό θεωρούµε δύο πρίσµατα (ΙΙ), συµµετρικά εκατέρωθεν της σφήνας (Ι), που λειτουργούν ως ερείσµατα του ανακουφιστικού τόξου και υπολογίζουµε την οριζόντια συνιστώσα της δράσεως F της σφήνας πάνω στα εν λόγω πρίσµατα που δρα στα επίπεδα ( ') και (ΓΓ'), Λειτουργία ανακουφιστικού τόξου

26 132 Hwedge ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 cos( ϕp ψp) = N cosϕp η οποία λόγω τις εξιώσεως (3.23) γράφεται ως Hwedge = tanϕcs cos( ϕp ψp) W cosψp cosϕp και λόγω της συνθήκης Taylor ως, Hwedge = 1 1 W 2 tan( ϕp ψp) (3.24) και απαιτούµε όπως αυτή εξισορροπείται από την οριζόντια συνιστώσα των τάσεων στο κατακόρυφο επίπεδο (ΖΖ') και το συµµετρικό του στην εγγύς περιοχή εκατέρωθεν της σήραγγας. Πλευρική στήριξη ανακουφιστικού τόξου εχόµεθα ότι οι τάσεις σε κάποια απόσταση από την σήραγγα είναι γεωστατικές και µεταβάλλονται γραµµικά µε το βάθος σ v = γz, σh = Kσv Στη σχέση για την οριζόντια τάση υπεισέρχεται ο λεγόµενος συντελεστής ωθήσεως γαιών εν ηρεµία, ο οποίος δίδεται για κοκκώδη υλικά από τον εµπειρικό τύπο του Jaky 46 σε σχέση µε την κρίσµη γωνία τριβής, K = 1 sinϕcs 46 Jaky, J. (1948). The coefficient of earth pressure at rest. Journal of the Society of Hungarian Architects and Engineers, Vol. 78,, No. 22,

27 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Εµπειρική συσχέτιση συντελεστού ωθήσεως γαιών εν ηρεµία µε την γωνία τριβής στην κρίσιµη κατάσταση 47 Οπότε η οριζόντια αντίδραση των γαιών στο επίπεδο (ΖΖ') δίδεται από την σχέση Hstat 1 2 = Kγh, h= H+ R(1 sinψp) (3.25) 2 Από την ισορροπία οριζόντιων δυνάµεων, που ασκούνται πάνω στο σώµα (ΙΙ), παίρνουµε ότι η κατασκευή είναι ασφαλής, αν αµελήσουµε τυχόν διατµητικές δυνάµεις κατά µήκος της (Ζ ) και απαιτήσουµε H wedge = H stat Ισορροπία οριζόντιων δυνάµεων στο σώµα (ΙΙ) 47 Πρβλ. R. D. Holtz and W. D. Kovacs. An Introduction to Geotechnical Engineering, Prentice-Hall, 1981.

28 134 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Για την επίλυση αυτής της εξισώσεως συνοψίζουµε παρακάτω τις σχέσεις που την καθορίζουν, * 1 * 2 Hstat = K(H + 1 sinψp) 2 * 1 1 *2 * H wedge = ( ah + bh + c) 2 tan( ϕp ψp) 2 a= tanψp, b= tanα, c= 2(sin α tanα α) + cosψp Με τους συµβολισµούς f = K tan( ϕp ψp), k= 1 sinψp a = f+ a= K tan( ϕp ψp) + tanψp b = fk b= K tan( ϕp ψp)(1 sinψp) tanα c = fk c= K tan( ϕp ψp)(1 sinψp) 2(sin α tanα α) cosψp προκύπτει τελικά η επιλύουσα σχέση, a *2 * H + 2b H + c = (3.26) o Για δεδοµένη τιµή της κρίσιµης γωνίας τριβής, ϕ cs = 3 ( K. 58 ), τα αριθµητικά αποτελέσµατα της αναλύσεως παρατίθενται σε ένα διάγραµµα H o = f( ϕ p ). Π.χ. για γωνία τριβής αιχµής ϕ p = 3, εκτιµάται ένα βάθος της οροφής D της σήραγγας H= 2.5D. Απαιτούµενο βάθος οροφής σήραγγας σε µη-συνεκτικό έδαφος και µε την ελάχιστη υποστήριξη οροφής.

29 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Εκτίµηση της υποστηρίξεως οροφής σήραγγας Για την εκτίµιση µιας ασφαλούς τιµής της υποστηρίξεως της οροφής µιας ρηχής σήραγγας θα προσφύγουµε στον µηχανισµό καταρεύσεως. Αυτός προέκυψε από µία υπό κλίµακα προσοµοίωση του φαινοµένου από το πείραµα υποχωρούντος θυροπετάσµατος 48. Ραδιογραφία µηχανισµού αστοχίας οροφής στο πέιρµα υποχωρούντος θυροπετάσµτος µε υπερκείµενη ξηρή άµµο. Θεωρούµε ότι η κατασκευή υποστηρίξεως της σήραγγας µπορεί να προσοµοιωθεί µε µία οµοιόµορφα κατανεµηµένη εσωτερική πίεση p. Για την εκτίµηση αυτής της πιέσεως θεωρούµε και πάλι το µηχανισµό καταπίπτουσας σφήνας. Για την εκτίµηση τώρα µίας ασφαλούς τιµής για την πίεση υποστηρίξεως δεχόµεθα την ακραία θεωρητική τιµή για την διασταλτικότητα, ψ p = ϕp. Για την τιµή αυτή το έργο των ανθισταµένων δυνάµεων τριβής F είναι µηδέν 49 για µια δυνατή κατακόρυφη υποχώρηση της οροφής. Στην περίπτωση αυτή η ισορροπία των κατακόρυφων δυνάµεων που ασκούνται στην σφήνα δίδει, π π ϕp γd 1 2 o W = P p= 18 (3.27) 4 sinϕ ϕ p cos p Από το σχετικό διάγραµµα προκύπτει π.χ. για µια τιµή της γωνίας τριβής αιχµής o ϕ p = 3, η αντίστοιχη τιµή για την απαιτούµενη πίεση υποστηρίξεως του µησυνεκτικού υπερκείµενου εδάφους έναντι καταπτώσεως είναι p.2 ( γd). 48 Vardoulakis I., Graf B. and Gudehus G. (1981). Trap-door problem with dry sand: A statical approach based upon model test kinematics. Int. J. Num. Anal. Meth. Geomechanics, 5, Πρβλ την παρατήρηση που κάναµε στο προηγούµενο κεφάλαιο σχετικά µε την λεγόµενη συνθήκη καθετότητας της θεωρίας της πλαστικότητας.

30 136 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Μηχανισµός καταρρεύσεως οροφής για την ασφαλή εκτίµιση της πιέσεως υποστηρίξεως συναρτήσει της γωνίας τριβής αιχµής

31 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Η Τριαξονική οκιµή Θλίψεως Η µηχανική συµπεριφορά των εδαφών µελετάται εργαστηριακά συνήθως µε την τριαξονική δοκιµή θλίψεως. Όπως φαίνεται στο σχήµα, κατά την εν λόγω δοκιµή τοποθετείται ένα κυλινδρικό δοκίµιο εντός µίας κυψέλης πιέσεως και µέσω ενός εµβόλου επιτυγχάνεται η επιβολή του αξονικού φορτίου, P. Παράλληλα το δοκίµιο υπόκειται σε ολόπλευρη πίεση, σ c, η οποία επιβάλλεται µέσω του ρευστού της κυψέλης. Το δοκίµιο στεγανοποιείται από το ρευστό της κυψέλης µέσω µίας ελαστικής µεµβράνης που το περιβάλλει. Συνήθως το δοκίµιο θα είναι κορεσµένο µε ύδωρ. Στην περίπτωση της λεγόµενης στραγγιζόµενης, αργής, δοκιµής το ύδωρ των πόρων δύναται ελευθέρως (δηλ. υπο ατµοσφαιρική πίεση) να εισρέει ή να εκρέει από το δοκίµιο µέσω πωρολίθου και αγωγού, συνήθως µέσω της κάτω πλάκας φορτίσεως. Στην περίπτωση αυτή µετράµε τον όγκο Vwτου ύδατος που εισρέει ή εκρέει από το δοκίµιο κατά την διαδικασία φορτίσεως του. Στην περίπτωση της λεγόµενης αστράγγιστης δοκιµής το ύδωρ των πόρων δεν µπορεί να διαφύγει άλλα µέσω µίας αντισταθµιζόµενης συσκευής µπορεί κανείς να έχει µία µέτρηση της αναπτυσσόµενης πιέσεως των του ύδατος των πόρων p w. Τυπική διάταξη τριαξονικής δοκιµής Στο επόµενο σχήµα παραθέτουµε τη βελτίωση της τυπικής τριαξονικής συσκευής, όπως αυτή έχει προταθεί από τον συγγραφέα σε σειρά δηµοσιεύσεων και έχει γίνει δεκτή τουλάχιστον όσον αφορά δοκιµές για ερευνητικούς σκοπούς 5. Συµφώνως προς αυτή την πρόταση οι πλάκες επιβολής του φορτίου πρέπει να είναι µεγαλύτερες από το δοκίµιο, ώστε να µην εµποδίζουν την πλευρική διαστολή του. 5 Drescher A. and Vardoulakis I. (1982). Geometric softening in the triaxial test on granular material. Géotechnique, 32, Vardoulakis I. (1983). Rigid granular plasticity model and bifurcation in the triaxial test. Acta Μechanica, 49, Hettler A. and Vardoulakis I. (1984). Behavior of dry sand tested in a large triaxial apparatus. Géotechnique, 34,

32 138 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Οι πλάκες φορτίσεως πρέπει επίσης να είναι από σκληρό υλικό, λείες και να φέρουν ένα λεπτό στρώµα κατάλληλου λιπαντικού έτσι, ώστε µέσω µίας ελαστικής µεµβράνης επαφής να µειωθούν στο έλαχιστο οι παρασιτικές τριβές στά όρια του δοκιµίου. Επίσης η πάνω πλάκα πρέπει µετατίθεται παραλλήλως µέσω οδηγών για την αποφυγή λυγισµού του δοκιµίου. Τέλος ο λόγος του αρχικού ύψους H προς την αρχική διάµετρο D του δοκιµίου πρέπει είναι περίπου 1 (και όχι 2 όπως επιβάλλουν οι κανονισµοί) για την αποφυγή κατά το δυνατόν της βαρελοποιήσεως του δοκιµίου. Βελτιωµένη τραξονική συσκευή

33 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Φωτογραφία της βελτιωµένης τριαξονικής συσκεής 51 Λεπτοµέρεια διαµορφώσεως λιπάνσεως και διαµορφώσεως κεφαλής 52 Κατά την τριαξονική δοκιµή µετρώνται πρωτογενώς τα κάτωθι µεγέθη, Το αξονικό φορτίο ( P [kn] ) Η πίεση του ρευστού της κυψέλης ( σ c [kpa] ) Η µεταβολή του ύψους του δοκιµίου ( H [mm]) Η µεταβολή του όγκου του ύδατος των πόρων Vw, ή η µεταβολή της πιέσεως του ύδατος των πόρων pwή η µεταβολή της διαµέτρου Dή της περιµέτρου U. 51 Πρβλ. Hettler, A. (1983). Modelluntersuchungen fuerr Gruendungen in Sand. Bauingenieur, 58, Colliat-Dangus, J.-L., Desrues, J. and Foray, P. (1988). Triaxial testing of granular soil under elevated cell pressure. ASTM Sp. Techn. Publ. 977,

34 14 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Το ύψος και η διάµετρος του δοκιµίου κατά την παραµόρφωσή του δίδονται σε σχέση µε τις αρχικές τους τιµές και τις αντίστοιχες (θετικές) µεταβολές, H= H H, D= D + D Αρχικές διαστάσεις κυλινδρικού δοκιµίου και µετρούµενα µεγέθη κατά την τριαξονική δικιµή Οι αντίστοιχες λογαριθµικές τροπές σε κυλινδρικές συντεταγµένες ( r,z) είναι 53 λ z λ r H H H = ln ln 1 H = H H D D D = ln ln 1 D = + D D Οι λογαριθµικές τροπές, όπως υποδεικνύεται παραπάνω, για µικρές παραµορφώσεις ταυτίζονται µε προσέγγιση προσήµου µε τις ανίστοιχες γεωτεχνικές τροπές 54. Αυτές µε την σειρά τους ορίζονται ως εξής, H αξονική γεωτεχνική τροπή: ε 1= H D πλευρική γεωτεχνική τροπή: ε 3 = D Ο αρχικός και ο τρέχων όγκος του δοκιµίου είναι, 53 Παρατηρούµε ότι για µικρές τιµές του x ισχύει η προσέγγιση, ln( 1+ x) 1+ x 54 Στην Γεωτεχνική ισχύει η σύµβαση ότι οι θλιπτικές τάσεις και οι βραχύνσεις µηκών λαµβάνονται ως θετικές. Αντιθέτως στην Τεχνική Μηχανική οι εφελκυστικές τάσεις και οι επιµηκύνσεις θεωρούνται θετικές.

35 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, H 4 D V, H 4 D V 2 2 π = π = οπότε η λογαριθµική τροπή, 2 z r V V V V 1 ln V V ln D D H H ln 2 v + = = = +λ λ = είναι ένα µέτρο για την αλλαγή όγκου. Παρατηρούµε ότι για µικρές αλλαγές όγκου το λογαριθµικό µέτρο µεταβολής όγκου ταυτίζεται µε προσέγγιση προσήµου µε την αντίστοιχη γεωτεχνική τροπή για την µεταβολή του όγκου 2 v H H D D 2 H H 1 D D 1 1 V V + + = = ε ή 3 1 v 2ε + ε = ε Οπως αναφέραµε στα προηγούµενα κεφάλαια αυτών των Σηµειώσεων 55 οι µεταβολές του όγκου ενός εδαφικού δοκιµίου µε ασυµπίεστους κόκκους οφείλονται σε µεταβολές του πορώδους ή ισοδυνάµως του δείκτη πόρων, e n 1 n V V = = (3.28) Στην περίπτωση κορεσµένου εδάφους και ασυµπίεστου ρευστού οι µεταβολές του πορώδους ισούνται µε τις µεταβολές του όγκου του ύδατος των πόρων. Στην περίπτωσή µας θετική εκροή ύδατος από το δοκίµιο σηµαίνει µείωση του όγκου του και αντιστρόφως, άρα, V V w = Σε περίπτωση αστράγγιστης φορτίσεως, V w =, οπότε 56, + = = = H H D H H 1 D H H D D v 55 Πρβλ. εξ. (1.3) και (2.17) 56 x x) (1 1/ 2 + για 1 x <<.

36 142 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Στα πλαίσα της θεωρίας της Πλαστικότητος η ένταση διατµητικής παραµορφώσεως 57 ορίζεται ως εξής, g= 2 3 εr ε z Οι ολικές τάσεις σε κυλινδρικές συντεταγµένες υπολογίζονται από τα πρωτογενή δεδοµένα ως εξής, σz P = 2 πd / 4 +σc, σr = σθ = σc Ενεργές τάσεις υπολογίζονται από τις ολικές τάσεις στη βάση του ορισµού κατά Terzaghi, εξίσωση (2.21), σ z =σ z p w, κ.λπ. Στην σχετική τεχνική βιβλιογραφία θα συναντήσουµε τους παρακάτω ορισµούς, P µέγιστη γεωτεχνική τάση, σ 1 : σ 1 = σz = +σ 2 c, σ 1=σ1 pw πd / 4 ελάχιστη γεωτεχνική τάση, σ 2 = σ3 : σ 3 = σr = σc, σ 3 = σ3 pw αποκλίνουσα τάση 58 : q= σ1 σ3 = σ 1 σ p = σ1+ 2σ3 pw = σ 1+ 2σ q ο λόγος τάσεων: η = p µέση ενεργός τάση: ( ) ( ) 3.6 Η Θεωρία ιασταλτικότητας σε Τριαξονικές Συνθήκες Η θεωρία διασταλτικότητας του Taylor, που αναφέραµε στο προηγούµενο κεφάλαιο επεκτάθηκε σε συνθήκες τριαξονικής θλίψεως από τον Rowe 59,6. Για τη διατύπωση της θεωρίας αυτής εισάγουµε µέσω του κύκλου Mohr για τις τάσεις τον συντελεστή ενεργοποιηµένης τριβής και την αντίστοιχη γωνία τριβής σε τριαξονική θλίψη: σz σr sinϕ m = (3.29) σz +σr 57 Αγγλ. shearing strain intensity 58 Αγγλ. deviatoric stress 59 P.W. Rowe (1962). The stress-dilatancy relation for static equilibrium of an assembly of particles in contact. Proc. Roy. Soc., 269, P.W. Rowe (1971). Theoretical meaning and observed values of deformation parameters for soil. Proc. Roscoe Mem. Symp., Cambridge,

37 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Κύκλος Mohr των τάσεων σε τριαξονική θλίψη Αντί του παραπάνω συντελεστή ενεργοποιηµένης τριβής µπορούµε να ορίσουµε τον αντίστοιχο συντελεστή "παθητικής ωθήσεως", Km σz 1+ sinϕm 2 o = = = tan (45 + ϕm / 2) (3.3) σr 1 sinϕm Αντιστοίχως ο συντελεστής ενεργοποιηµένης διασταλτικότητας σε τριαξονική θλίψη ορίζεται ως ο λόγος µεταβολής του όγκου προς την αντίστοιχη διατµητική τροπή: dv δ = (3.31) dg Στην γεωτεχνική βιβλιογραφία χρησιµοποιείται αντιστοίχως η ποσότητα m dεv = 1 dε1 2dε3 = dε1 Παρατηρούµε ότι, δ ( dε + 2dε ) 1 3 = 2 (dε1 dε3 ) 3 3 m m 2 3 ( m 1) 2 Τα µέτρα αυτά για την διασταλτικότητα συσχετίζονται µε την αντίστοιχη γωνία ενεργοποιηµένης διασταλτικότητας, που ορίζεται στην περίπτωση τριαξονικής θλίψεως ως εξής 61,62 61 Vermeer, P.A. and de Borst, R. (1984). Non-associated plasticity for soils, concrete and rock. Heron, 29, No. 3.

38 144 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 3δ dε1+ 2dε3 sinψ m = = (3.32) 2 3+δ dε1 2dε3 Η υπόθεση του Rowe αφορά σε µία ενεργειακή εξίσωση, όπως εκείνη του Taylor. Ειδικώτερα ο Rowe υπέθεσε ότι κατά την διάρκεια µίας τριαξονικής θλίψεως ο λόγος του "παρεχόµενου" στο δοκίµιο έργου από το αξονικό φορτίο προς το έργο εκείνο που "αποδίδεται" από το δοκίµιο υπό µορφή πλευρικής διογκώσεως σε βάρος της πλευρική πιέσεως είναι σταθερός, " work in" " work out" σ1dε1 = = K c = σταθ. (3.33) 2σ3dε3 Θα παρατηρήσουµε στο σηµείο αυτό ότι, όπως φαίνεται στο παρακάτω σκίτσο η υπόθεση του Rowe βασίσθηκε σε µια αρχική ιδέα του Reynolds,. Σχηµατική παράταση της γνωστής ως εκτιµήσεως της διασταλτικότητας κατά Reynolds 63 Από τις παραπάνω σχέσεις (3.2) - (3.24) παίρνουµε τελικά την εξής γραµµική σχέση ως έκφραση της υποθέσεως Rowe, K m = K c m (3.34) Πειραµατικός έλεγχος της υποθέσεως του Rowe. εδοµένα από την εργασία των Schanz & Vermeer. 62 I. Vardoulakis and J. Sulem. Bifurcation Analysis in Geomechanics, Blackie Academic and Professional, sect , Πρβλ. Goddard, J.D. and Bashir Y.M. (199). On Reynolds dilatancy, recent developments in structured contunua. (eds. Dekee, D. and Kaloni, P.W. ), Vol. 2,

39 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Πειραµατικός έλεγχος της υποθέσεως του Rowe.) εδοµένα από την εργασία των King & Dickin 64 που αναφέρεται στην εργασία των Wan & Guo Στα παραπάνω διαγράµµατα από τις εργασίες των Schanz & Vermeer 65 και Wan & Guo 66, αναγνωρίζουµε την µερική τουλάχιστον επαλήθευση της υποθέσεως του Rowe. Στα διαγράµµατα αυτά παρατηρούµε ότι η ισοδύναµη γωνία τριβής, που ορίζεται κατ' αναλογίαν της σχέσεως (3.3) από την σχέση, Kc 2 o = tan (45 + ϕeq / 2) (3.35) κυµαίνεται µεταξύ των τιµών ϕ µ <ϕeq < ϕ cv που, όπως αναφέραµε πιο πάνω αντιστοιχούν αφ' ενός στην πραγµατική γωνία εσωτερικής τριβής του υλικού ϕ µ (δηλαδή τριβής στις επαφές των κόκκων) και στην φαινοµενολογική γωνία ενεργοποιηµένης τριβής που αντιστοιχεί στην κατάσταση ισόχωρης παραµορφώσεως ϕ cv. Στις παραπάνω αναφερόµενες εργασίες η γωνία τριβής ϕ cv ταυτίζεται µε την γωνία τριβής στην κρίσιµη κατάσταση, ϕ cv = ϕcs. 'Οπως δε αναφέρουν οι συγγραφείς η τιµή αυτή πρέπει να αντιδιασταλεί σαφώς από την τιµή ϕ mc, που λαµβάνει η ενεργοποιηµένη γωνία τριβής στην (αρχική) κατάσταση µεγίστης συµπυκνώσεως. 64 King, G.J.W. and Duickin, E.A. (197). Comparison of stress-dilatancy theories. J. Soil. Mech. Found. Div., ASCE, 96, (SM5) Schanz, T. and Vermeer, P.A. (1996). Angles of friction and dlatancy of sand. Géotechnique, 46, Wan, R.G. and Guo, P.J. (1999). A pressure and density dependent dilatancy model for sand for granular materials. Soils and Foundations, 39, 1-11.

40 146 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Παρατηρήσεις 1. Στην βάση των παραπάνω εξισώσεων (3.3)-(3.35) και για ϕ eq ϕcs έπεται ο τύπος των Vermeer & de Borst 67 για την διασταλτικότητα sinφm sinϕcs sinψ = (3.36) 1 sinϕm sinϕcs 2. Αξίζει να σηµειωθεί ότι τα αποτελέσµατα των Schanz & Vermeer παρουσιάζουν έντονα ασυνεχή συµπεριφορά. Αυτό το φαινόµενο είναι τυπικό σε κάθε περίπτωση που κανείς χρειάζεται για την βαθµονόµιση µίας θεωρίας να παραγωγίσει πειρµατικά δεδοµενα. Αυτό είναι φανερό στην προκείµενη περίπτωση αν γράψουµε την σχέση του Rowe αναλυτικά, σ1 σ3 = K c 2dε3 dε1 Το αριστερά σκέλος της παραπάνω εξισώσεως περιλαµβάνει την παράγωγο της πειραµτικής καµπύλης µεταβολής ακτινικής-αξονικής παραµορφώσεως. Γενικώς θα παρτηρήσουµε ότι δέον να αποφεύγεται η κατ' ευθείαν παραγώγιση πειραµατικών δεδοµένων αφού αυτή η διαδικασία οδηγεί σε ανεξέλεκτα σφάλµατα. Η παραγώγιση πειραµτικών δεδοµένων συνιστά από µαθηµατικής σκοπιάς ένα πρόβληµα µη-καλώς ορισµένο. Για την αντιµετώπισή του κάποια διαδικασία λείανσης των δεδοµένων είναι ανγκαία 68. Για παράδειγµα ας υπόθέσουµε ότι τα δεδοµένα για τον λόγο των τάσεων προσεγγίζονται από µία σχέση της µορφής, σ1 σ3 = f( ε1) τότε από την παραπάνω σχέση του Rowe παίρνουµε ε1 1 ε3 = f( ε) dε 2K c Με αυτή τη συνάρτηση θα πρέπει να προσεγγίσουµε τα πρωτογενή δεδοµένα { ε 3,ε 1 }, µε τη σταθερά K c ως παράµετρο βελτιστοποιήσεως 67 Πρβλ. Bolton, M.D. (1986). The strength and dilatancy of sands. Géotechnique, 36, Πρβλ. V.A. Morozov, Methods for Solving Incorrectly Posed Problems. Springer-Verlag, ch. 4 sect. 2, 1984).

41 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 'Ασκηση Να ελεγχθεί υ υπόθεση του Rowe για τα εξής δεδοµένα από ένα τριαξονικό πείραµα θλίψεως σε ξηρή άµµο Karlsruhe ( G s = 2. 66, e =. 539, H = 5.81cm, D = 6.94cm).

42 148 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Θεωρία Κρίσιµης Καταστάσεως 69 Στα διαγράµµατα τάσεων-παραµορφώσεων, που παραθέτουµε παρακάτω από την εργασία των Colliat-Dangus et al. 7, παρατηρούµε την µεταβολή της συµπεριφοράς µιας "πυκνής" ασβεστολιθικής άµµου σε τριαξονικές δοκιµές και για διάφορες τιµές της ολόπλευρης πιέσεως. Είναι φανερό από το τυπικό αυτό αποτέλεσµα ότι για δεδοµένο δείκτη πόρων e µία δεδοµένη άµµος για αρκετά χαµηλές ενεργές πιέσεις θα συµπεριφέρεται ως "πυκνή" (δηλ. θα εµφανίζει διαστολή) ενώ σε υψηλές ενεργές πιέσεις η ίδια άµµος θα συµπεριφέρεται ως "χαλαρή" 71. ιαγράµµατα τάσεων-τροπών για µία ασβεστολιθική άµµο και αύξουσα ολόπλευρη πίεση (Colliat-Dangus et al., 1988) Για τη µαθηµατική περιγραφή αυτού του φαινοµένου ξεκινάµε από την παρδοχή ότι ένα κοκκώδες υλικό εµφανίζει διαστολική συµπεριφορά όταν η πυκνότητα του (ο δείκτης πόρων) είναι µεγαλύτερη (µικρότερος) της αντίστοιχης πυκνότηας (δείκτη πόρων) στην "κρίσιµη κατάσταση". Πράγµατι αν λάµβουµε υπ' όψη τα πειραµατικά δεδοµένα οδηγούµεθα στο συµπέρασµα ότι η κρίσιµη κατάσταση χαρακτηρίζεται από µία µοναδική σχέση µεταξύ των ενεργών τάσεων, του δείκτη πόρων και της αποκλίνουσας τάσεως 72, ( cs) : F(p cs,qcs,ecs ) = (3.37) 69 Αγγλ. Critical State Soil Mechanics 7 Colliat-Dangus, J.-L., Desrues, J. and Foray, P. (1988). Triaxial testing of granular soil under elevated cell pressure. ASTM Sp. Techn. Publ. 977, Πρβλ. Li, X.S. and Dafalias, Y.F. (2). Dilatancy for cohesionless soils. Géotechnique, 5, Roscoe, K.H., Schofield, A.N. and Wroth, C.P. (1958). On the yielding of soils. Géotechnique, 8,

43 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Ειδικότερα µέσα στα πλαίσια της αντίστοιχης θεωρίας "Κρίσιµης Καταστάσεως" θα δεχθούµε συνήθως ότι: α) ο λόγος των τάσεων στην κρίσιµη κατάσταση είναι σταθερός, qcs 6sinϕ η cs cs = = M= (3.38) p cs 3 sinϕcs και β) ο δείκτης πόρων στην κρίσιµη κατάσταση αποδίδεται σε ένα ηµιλογαριθµικό διάγραµµα µε µία ευθεία p e cs = ecs,ref Λln (3.39) pref Οι αντίστοιχες ευθείες χαρακτηρίζονται ως οι γραµµές κρίσιµης καταστάσεως (CSL) 73. Τα ίχνη της "κρίσιµης επιφάνειας" F = στους αντίστοιχους υπόχωρους 'Οπως φαίνεται από το επόµενο διάγραµµα οι παραπάνω µαθηµατικές εκφράσεις συνιστούν απλουστεύσεις της πραγµατικής συµπεριφοράς των κοκκωδών υλικών. Γραµµή Κρίσιµης Καταστάσεως. εδοµένα από την εργασία των Verdugo & Ishihara 74 που ανφέρεται στην εργασία των Wan & Guo 73 Αγγλ. Critical State Line (CSL) 74 Verdugo, R. and Ishihara, K. (1996). The steady state of sandy soils. Soils and Foundations, 36,

3 ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ... 79

3 ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ... 79 Θεωρία Πλαστικής Ροής, Κεφ. 3, Ι. Βαρδουλάκης 2009 79 3 ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ 3 ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ... 79 3.1 Ελαστοπλαστικός ιαχωρισµός της Τροπής... 81 3.2 Συνθήκη ιαρροής... 83 3.3 Νόµος

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή εξέταση περιόδου Ιουνίου 2011 διάρκειας 2,0 ωρών

Γραπτή εξέταση περιόδου Ιουνίου 2011 διάρκειας 2,0 ωρών Γραπτή εξέταση περιόδου Ιουνίου 011 διάρκειας,0 ωρών Ονοματεπώνυμο: Αριθμός Μητρώου Φοιτητή: Μάθημα: Εδαφομηχανική (ΜΕ0011), 7 ο εξάμηνο. Διδάσκων: Ιωάννης Ορέστης Σ. Γεωργόπουλος, Επ.Συν.Τμ.Πολ.Εργ.Υποδ.

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη: Στην ισότροπη γραμμική ελαστικότητα, οι τάσεις με τις αντίστοιχες παραμορφώσεις συνδέονται μέσω των κάτωθι σχέσεων:

Υπόδειξη: Στην ισότροπη γραμμική ελαστικότητα, οι τάσεις με τις αντίστοιχες παραμορφώσεις συνδέονται μέσω των κάτωθι σχέσεων: Μάθημα: Εδαφομηχανική Ι, 5 ο εξάμηνο. Διδάσκων: Ιωάννης Ορέστης Σ. Γεωργόπουλος, Π.Δ.407/80, Δρ Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π. Θεματική περιοχή: Σχέσεις τάσεων παραμορφώσεων στο έδαφος. Ημερομηνία: Δευτέρα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΕΣ ΑΣΤΟΧΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ

ΘΕΩΡΙΕΣ ΑΣΤΟΧΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ 105 Κεφάλαιο 5 ΘΕΩΡΙΕΣ ΑΣΤΟΧΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ 5.1 Εισαγωγή Στα προηγούμενα κεφάλαια αναλύσαμε την εντατική κατάσταση σε δομικά στοιχεία τα οποία καταπονούνται κατ εξοχήν αξονικά (σε εφελκυσμό ή θλίψη) ή πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ. 3 η Σειρά Ασκήσεων. 1. Υπολογισµός Διατµητικής Αντοχής Εδάφους. 2. Γεωστατικές τάσεις

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ. 3 η Σειρά Ασκήσεων. 1. Υπολογισµός Διατµητικής Αντοχής Εδάφους. 2. Γεωστατικές τάσεις ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ 3 η Σειρά Ασκήσεων 1. Υπολογισµός Διατµητικής Αντοχής Εδάφους Συνοχή (c) Γωνία τριβής (φ ο ) 2. Γεωστατικές τάσεις Ολικές τάσεις Ενεργές τάσεις Πιέσεις πόρων Διδάσκοντες: Β. Χρηστάρας

Διαβάστε περισσότερα

Η αστοχία στα εδαφικά υλικά Νόμος Τριβής Coulomb

Η αστοχία στα εδαφικά υλικά Νόμος Τριβής Coulomb Η αστοχία στα εδαφικά υλικά Νόμος Τριβής Coulomb Ν u Τ 81 Η αστοχία στα εδαφικά υλικά Νόμος Τριβής Coulomb 82 Η αστοχία στα εδαφικά υλικά Νόμος Τριβής Coulomb 83 Η αστοχία στα εδαφικά υλικά Νόμος Τριβής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ. 3 η Σειρά Ασκήσεων. 1. Υπολογισμός Διατμητικής Αντοχής Εδάφους. 2. Γεωστατικές τάσεις

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ. 3 η Σειρά Ασκήσεων. 1. Υπολογισμός Διατμητικής Αντοχής Εδάφους. 2. Γεωστατικές τάσεις ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ 3 η Σειρά Ασκήσεων 1. Υπολογισμός Διατμητικής Αντοχής Εδάφους Συνοχή (c) Γωνία τριβής (φ ο ) 2. Γεωστατικές τάσεις Ολικές τάσεις Ενεργές τάσεις Πιέσεις πόρων Διδάσκοντες: Β. Χρηστάρας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Ανισοτροπία

Κεφάλαιο 8 Ανισοτροπία Κεφάλαιο 8 Ανισοτροπία Την ανισοτροπία στη μηχανική συμπεριφορά των πετρωμάτων δυνάμεθα να διακρίνουμε σε σχέση με την παραμορφωσιμότητα και την αντοχή τους. 1 Ανισοτροπία της παραμορφωσιμότητας 1.1 Ένα

Διαβάστε περισσότερα

1. Αστοχία εδαφών στην φύση & στο εργαστήριο 2. Ορισμός αστοχίας [τ max ή (τ/σ ) max?] 3. Κριτήριο αστοχίας Μohr 4. Κριτήριο αστοχίας Mohr Coulomb

1. Αστοχία εδαφών στην φύση & στο εργαστήριο 2. Ορισμός αστοχίας [τ max ή (τ/σ ) max?] 3. Κριτήριο αστοχίας Μohr 4. Κριτήριο αστοχίας Mohr Coulomb ΚΕΦΑΛΑΙΟ VΙ: ΑΣΤΟΧΙΑ & ΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΑΝΤΟΧΗ Ε ΑΦΩΝ 1. Αστοχία εδαφών στην φύση & στο εργαστήριο 2. Ορισμός αστοχίας [τ max ή (τ/σ ) max?] 3. Κριτήριο αστοχίας Μohr 4. Κριτήριο αστοχίας Mohr Coulomb Παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ Ε ΑΦΩΝ ΣΤΗ ΟΚΙΜΗ ΤΗΣ ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΗΣ ΤΡΙΑΞΟΝΙΚΗΣ ΦΟΡΤΙΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ Ε ΑΦΩΝ ΣΤΗ ΟΚΙΜΗ ΤΗΣ ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΗΣ ΤΡΙΑΞΟΝΙΚΗΣ ΦΟΡΤΙΣΗΣ οκιµή Κυλινδρικής Τριαξονικής Φόρτισης Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ Ε ΑΦΩΝ ΣΤΗ ΟΚΙΜΗ ΤΗΣ ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΗΣ ΤΡΙΑΞΟΝΙΚΗΣ ΦΟΡΤΙΣΗΣ 0. Εισαγωγή Σε προηγούµενα Κεφάλαια µελετήθηκε η παραµόρφωση των

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟ ΟΣ "ΛΟΦΟΣ-ΤΡΙΒΗ" ( Friction-Hill Method, Slab Analysis)

Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΛΟΦΟΣ-ΤΡΙΒΗ ( Friction-Hill Method, Slab Analysis) Η ΜΕΘΟ ΟΣ "ΛΟΦΟΣ-ΤΡΙΒΗ" ( Friction-Hill Metod, Slab Analysis) Α. Προβλήµατα επίπεδης παραµορφωσιακής κατάστασης A. ιπλή συµµετρία γεωµετρίας και φόρτισης Θεωρούµε τη σφυρηλάτηση ορθογωνικής µπιγέτας µε

Διαβάστε περισσότερα

Διατμητική Αντοχή των Εδαφών

Διατμητική Αντοχή των Εδαφών Διατμητική Αντοχή των Εδαφών Διάρκεια = 17 λεπτά & 04 δευτερόλεπτα Costas Sachpazis, (M.Sc., Ph.D.) 1 Διατμητική Αστοχία Γενικά τα εδάφη αστοχούν σε διάτμηση Θεμέλιο Πεδιλοδοκού ανάχωμα Επιφάνεια αστοχίας

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Εξαιτίας της συνιστώσας F X αναπτύσσεται εντός του υλικού η ορθή τάση σ: N σ = A N 2 [ / ] Εξαιτίας της συνιστώσας F Υ αναπτύσσεται εντός του υλικού η διατμητική τάση τ: τ = mm Q 2 [ N / mm ] A

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ερωτήσεις στην Ύλη του Μαθήματος. Ιανουάριος 2011

Επαναληπτικές Ερωτήσεις στην Ύλη του Μαθήματος. Ιανουάριος 2011 ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΔ Α Φ Ο Μ Α Ν Ι Κ Η Επαναληπτικές Ερωτήσεις στην Ύλη του Μαθήματος Ι Ελέγξτε τις γνώσεις σας με τις παρακάτω ερωτήσεις οι οποίες συνοψίζουν τα βασικά σημεία του κάθε κεφαλαίου. Γ. Μπουκοβάλας

Διαβάστε περισσότερα

Εδαφομηχανική Ι. Ιωάννης-Ορέστης Γεωργόπουλος

Εδαφομηχανική Ι. Ιωάννης-Ορέστης Γεωργόπουλος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Εδαφομηχανική Ι Ιωάννης-Ορέστης Γεωργόπουλος Δρ Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π., Π.Δ.407/80 Λέκτορας Εργαστήριο Γεωυλικών, Τομέας Μηχανικής, Σ.Ε.Μ.Φ.Ε., Ε.Μ.Π. I.Georgopoulos@mechan.ntua.gr

Διαβάστε περισσότερα

«ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΙΣ» 7ο Εξ. Πολ. Μηχανικών Ακ. Έτος

«ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΙΣ» 7ο Εξ. Πολ. Μηχανικών Ακ. Έτος ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ-ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ «ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΙΣ» 7ο Εξ. Πολ. Μηχανικών Ακ. Έτος 01-014 ΙΑΛΕΞΗ 1: ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΦΟΡΤΙΣΗ ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΩΝ ΠΑΣΣΑΛΩΝ Οι διαλέξεις υπάρχουν στην

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Θεωρία Κρίσιμης Κατάστασης Αργιλικών Εδαφών

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Θεωρία Κρίσιμης Κατάστασης Αργιλικών Εδαφών ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗ Μέρος» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 006-07 ΔΙΑΛΕΞΗ Θεωρία Κρίσιμης Κατάστασης Αργιλικών Εδαφών 0.0.006 ΔΙΑΛΕΞΗ Θεωρία Κρίσιμης Κατάστασης

Διαβάστε περισσότερα

AΡΧΙΚΕΣ ή ΓΕΩΣΤΑΤΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ

AΡΧΙΚΕΣ ή ΓΕΩΣΤΑΤΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 15780 ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΑΘΗΝΑ ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ Διδάσκων: Κωνσταντίνος Λουπασάκης,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Σημειώσεις. Επιμέλεια: Άγγελος Θ. Παπαϊωάννου, Ομοτ. Καθηγητής ΕΜΠ

ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Σημειώσεις. Επιμέλεια: Άγγελος Θ. Παπαϊωάννου, Ομοτ. Καθηγητής ΕΜΠ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σημειώσεις Επιμέλεια: Άγγελος Θ. Παπαϊωάννου, Ομοτ. Καθηγητής ΕΜΠ Αθήνα, Απρίλιος 13 1. Η Έννοια του Οριακού Στρώματος Το οριακό στρώμα επινοήθηκε για

Διαβάστε περισσότερα

4 ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΛΑΣΤΙΚΗΣ ΡΟΗΣ... 91

4 ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΛΑΣΤΙΚΗΣ ΡΟΗΣ... 91 Θεωρία Πλαστικής Ροής, Κεφ. 4, Ι. Βαρδουλάκης 2009 91 4 ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΛΑΣΤΙΚΗΣ ΡΟΗΣ 4 ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΛΑΣΤΙΚΗΣ ΡΟΗΣ... 91 4.1 Εισαγωγή... 93 4.2 Ελαστικότητα... 93 4.3

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Πειραματική Αντοχή Υλικών. Ενότητα: Μονοαξονική Θλίψη

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Πειραματική Αντοχή Υλικών. Ενότητα: Μονοαξονική Θλίψη ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Πειραματική Αντοχή Υλικών Ενότητα: Μονοαξονική Θλίψη Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος Τμήμα Μηχανολογίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Μηχανών. Εαρινό εξάμηνο 2017 Διδάσκουσα: Σωτηρία Δ. Χουλιαρά

Στοιχεία Μηχανών. Εαρινό εξάμηνο 2017 Διδάσκουσα: Σωτηρία Δ. Χουλιαρά Στοιχεία Μηχανών Εαρινό εξάμηνο 2017 Διδάσκουσα: Σωτηρία Δ. Χουλιαρά Ύλη μαθήματος -ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΥΛΙΚΩΝ -ΑΞΟΝΕΣ -ΚΟΧΛΙΕΣ -ΙΜΑΝΤΕΣ -ΟΔΟΝΤΩΤΟΙ ΤΡΟΧΟΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: 25% πρόοδος 15% θέμα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ "Α"

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ Α Ε. Μ. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ - ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΝΔΙΑΜΕΣΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι (Τμήμα Μ-Ω) Ακαδ. έτος 007-08 5 Ιανουαρίου 008 Διάρκεια: :30 ώρες ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Προχωρημένη Εδαφομηχανική Π. Ντακούλας, Αν. Καθηγητής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, Βόλος

Προχωρημένη Εδαφομηχανική Π. Ντακούλας, Αν. Καθηγητής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, Βόλος Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Προχωρημένη Εδαφομηχανική Π. Ντακούλας, Αν. Καθηγητής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, Βόλος Στόχος του μαθήματος Η μελέτη και εφαρμογή προχωρημένων καταστατικών σχέσεων για την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ

ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 15780 ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΑΘΗΝΑ ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ Διδάσκοντες: Βασίλειος Παπαδόπουλος,

Διαβάστε περισσότερα

Η ιαξονική Συσκευή Επίπεδης Παραµόρφωσης. The Biaxial Plane Strain Apparatus

Η ιαξονική Συσκευή Επίπεδης Παραµόρφωσης. The Biaxial Plane Strain Apparatus Η ιαξονική Συσκευή Επίπεδης Παραµόρφωσης The Biaxial Plane Strain Apparatus ΓΕΩΡΓΟΠΟΥΛΟΣ, Ι.Ο. Πολιτικός Μηχανικός, Υποψήφιος ιδάκτορας Ε.Μ.Π. ΒΑΡ ΟΥΛΑΚΗΣ, Ι. Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Στην παρούσα εργασία

Διαβάστε περισσότερα

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΦΥΣΙΚΕΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΦΥΣΙΚΕΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΤΕΧΝΙΚΑ ΥΛΙΚΑ 3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΦΥΣΙΚΕΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Ε. Βιντζηλαίου (Συντονιστής), Ε. Βουγιούκας, Ε. Μπαδογιάννης Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΦΕΡΟΥΣΑ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ Ε ΑΦΟΥΣ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ ΤΟΥ Ε ΑΦΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΦΕΡΟΥΣΑ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ Ε ΑΦΟΥΣ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ ΤΟΥ Ε ΑΦΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΦΕΡΟΥΣΑ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ Ε ΑΦΟΥΣ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ ΤΟΥ Ε ΑΦΟΥΣ Φέρουσα ικανότητα εδάφους (Dunn et al., 1980, Budhu, 1999) (Τελική) φέρουσα ικανότητα -q, ονοµάζεται το φορτίο, ανά µονάδα επιφανείας εδάφους,

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

5 ΟΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΛΙΚΩΝ ΜΕ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΤΡΙΒΗ 149

5 ΟΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΛΙΚΩΝ ΜΕ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΤΡΙΒΗ 149 5 ΟΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΛΙΚΩΝ ΜΕ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΤΡΙΒΗ 5 ΟΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΛΙΚΩΝ ΜΕ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΤΡΙΒΗ 149 5.1 Γεωυλικά: Υλικά µε Εσωτερική Τριβή 151 5.2 Τριβή και ιασταλτικότητα 152 5.3 Θεωρία ιασταλτικής Τριβής κατά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Θεωρούµε ινώδες σύνθετο υλικό ενισχυµένο µονοδιευθυντικά µε συνεχείς ίνες. Για τη µελέτη της µηχανικής συµπεριφοράς µιας τυχαίας στρώσης, πρέπει να είναι γνωστές οι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΑΝΤΟΧΗ ΤΩΝ ΑΣΥΝΕΧΕΙΩΝ ΒΡΑΧΟΜΑΖΑΣ

ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΑΝΤΟΧΗ ΤΩΝ ΑΣΥΝΕΧΕΙΩΝ ΒΡΑΧΟΜΑΖΑΣ ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΑΝΤΟΧΗ ΤΩΝ ΑΣΥΝΕΧΕΙΩΝ ΒΡΑΧΟΜΑΖΑΣ Σημειώσεις παραδόσεων Καθηγητή Σ Κ Μπαντή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τομέας Γεωτεχνικής Μηχανικής 2010 Η ΒΡΑΧΟΜΑΖΑ ΩΣ ΔΟΜΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΕΩΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ σ 1 σ 1 σ 3 ΑΡΧΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ για φέρουσα ικανότητα αβαθών θεµελίων (βασισµένες εν πολλοίς σε σηµειώσεις των Μ. Καββαδά, Καθηγητή

Διαβάστε περισσότερα

. Υπολογίστε το συντελεστή διαπερατότητας κατά Darcy, την ταχύτητα ροής και την ταχύτητα διηθήσεως.

. Υπολογίστε το συντελεστή διαπερατότητας κατά Darcy, την ταχύτητα ροής και την ταχύτητα διηθήσεως. Μάθημα: Εδαφομηχανική Ι, 7 ο εξάμηνο. Διδάσκων: Ιωάννης Ορέστης Σ. Γεωργόπουλος, Επιστημονικός Συνεργάτης Τμήματος Πολιτικών Έργων Υποδομής, Δρ Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π. Θεματική περιοχή: Υδατική ροή

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Α Βασικές έννοιες Στατική υλικού σημείου Αξιωματικές αρχές Νόμοι Νεύτωνα Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 1. Εισαγωγικές έννοιες στην μηχανική των υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενο μαθήματος Μηχανική των Υλικών: τμήμα των θετικών επιστημών που

Διαβάστε περισσότερα

2. Υπολογισμός Εδαφικών Ωθήσεων

2. Υπολογισμός Εδαφικών Ωθήσεων 2. Υπολογισμός Εδαφικών Ωθήσεων (επανάληψη από ΕΔΑΦΟ Ι & ΙΙ) Γιώργος Μπουκοβάλας Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2015 2.1 Ξηρό ή κορεσμένο έδαφος υπό στραγγιζόμενες συνθήκες φόρτισης 2.2 Κορεσμένο έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

προσομοίωση της τριαξονικής δοκιμής με τη Μέθοδο των Διακριτών Στοιχείων

προσομοίωση της τριαξονικής δοκιμής με τη Μέθοδο των Διακριτών Στοιχείων Τριαξονική Επιρροή δοκιμή μικροπαραμέτρων Αντοχή Γωνία διαστολικότητας στην Γωνία εσωτερικής τριβής Κρίσιμη γωνία τριβής Κορυφαία γωνία τριβής Δυστμησία Ξηρά μη συνεκτικά εδάφη Μικροδομή Τριαξονική δοκιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΑΝΤΟΧΗ ΤΩΝ ΕΔΑΦΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΑΝΤΟΧΗ ΤΩΝ ΕΔΑΦΩΝ Διατμητική Αντοχή των Εδαφών Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΑΝΤΟΧΗ ΤΩΝ ΕΔΑΦΩΝ 9. Εισαγωγή Όταν σε ένα εδαφικό υλικό (όπως και σε οποιοδήποτε άλλο υλικό) επιβληθούν εξωτερικά φορτία, αναπτύσσονται εσωτερικές

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟ ΟΣ "ΛΟΦΟΣ-ΤΡΙΒΗ" ( Friction-Hill Method, Slab Analysis)

Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΛΟΦΟΣ-ΤΡΙΒΗ ( Friction-Hill Method, Slab Analysis) Η ΜΕΘΟ ΟΣ "ΛΟΦΟΣ-ΤΡΙΒΗ" ( Friction-Hill Metod, Slab Analysis) Α. Προβλήµατα επίπεδης παραµορφωσιακής κατάστασης A. ιπλή συµµετρία γεωµετρίας και φόρτισης Θεωρούµε τη σφυρηλάτηση ορθογωνικής µπιγέτας µε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΙΣ»

ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΙΣ» ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΙΣ» 7ο Εξ. ΠΟΛ-ΜΗΧ ΜΗΧ. ΕΜΠ - Ακαδ. Ετος 2005-06 ΔΙΑΛΕΞΗ 8β Θεμελιώσεις με πασσάλους : Αξονική φέρουσα ικανότητα εμπηγνυόμενων πασσάλων με στατικούς τύπους 25.12.2005

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΟΡΟΦΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΩΠΟΥ ΑΒΑΘΩΝ ΣΗΡΑΓΓΩΝ ΣΕ ΜΑΛΑΚΟΥΣ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΟΡΟΦΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΩΠΟΥ ΑΒΑΘΩΝ ΣΗΡΑΓΓΩΝ ΣΕ ΜΑΛΑΚΟΥΣ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΟΡΟΦΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΩΠΟΥ ΑΒΑΘΩΝ ΣΗΡΑΓΓΩΝ ΣΕ ΜΑΛΑΚΟΥΣ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Ν. ΒΟΥΤΣΑΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ: Γ. ΕΞΑΔΑΚΤΥΛΟΣ,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1: Υπολογίστε την ορθή και διατμητική τάση, οι οποίες ασκούνται στα επίπεδα με κλίση α ως, όπως φαίνονται στα παρακάτω σχήματα.

ΑΣΚΗΣΗ 1: Υπολογίστε την ορθή και διατμητική τάση, οι οποίες ασκούνται στα επίπεδα με κλίση α ως, όπως φαίνονται στα παρακάτω σχήματα. Ν. Ηράκλειο, Αττικής Τ.Κ. 4 2 Μάθημα: Εδαφομηχανική Ι, 7 ο εξάμηνο. Διδάσκων: Ιωάννης Ορέστης Σ. Γεωργόπουλος, Επιστημονικός Συνεργάτης Τμήματος Πολιτικών Έργων Υποδομής, Δρ Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π.

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 1

Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 1 Εύκαμπτες Αντιστηρίξεις & Αγκυρώσεις Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 1 2. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΔΑΦΙΚΩΝ ΩΘΗΣΕΩΝ (& επανάληψη Εδαφομηχανικής) Γιώργος Μπουκοβάλας Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΤΟΥ Ε ΑΦΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΤΟΥ Ε ΑΦΟΥΣ Τάσεις στο Εσωτερικό του Εδάφους Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΤΟΥ Ε ΑΦΟΥΣ 3.1 Εισαγωγή Η λεπτοµερής περιγραφή της µετάδοσης τάσεων στο εσωτερικό των εδαφικών µαζών είναι ιδιαίτερα πολύπλοκη

Διαβάστε περισσότερα

Θεμελιώσεις τεχνικών έργων. Νικόλαος Σαμπατακάκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Γεωλογίας

Θεμελιώσεις τεχνικών έργων. Νικόλαος Σαμπατακάκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Γεωλογίας Θεμελιώσεις τεχνικών έργων Νικόλαος Σαμπατακάκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Γεωλογίας Ορισμός Θεμελίωση (foundation) είναι το κατώτερο τμήμα μιας κατασκευής και αποτελεί τον τρόπο διάταξης των δομικών

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Τεχνικής Μηχανικής Διαγράμματα Ελευθέρου Σώματος (Δ.Ε.Σ.) Υπολογισμός Αντιδράσεων Διαγράμματα Φορτίσεων Διατομών (MNQ) Αντοχή Φορέα? Αντικείμενο Τεχνικής Μηχανικής Σχήμα 2 F Y A Γ B A Y B Y 1000N

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η Σκοπός Σκοπός του πειράµατος είναι ο προσδιορισµός των χαρακτηριστικών τιµών αντοχής του υλικού που ορίζονταιστηκάµψη, όπωςτοόριοδιαρροήςσεκάµψηκαιτοόριοαντοχής

Διαβάστε περισσότερα

Ν. Σαμπατακάκης Αν. Καθηγητής Εργαστήριο Τεχνικής Γεωλογίας Παν/μιο Πατρών

Ν. Σαμπατακάκης Αν. Καθηγητής Εργαστήριο Τεχνικής Γεωλογίας Παν/μιο Πατρών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΑΝΤΟΧΗ Ε ΑΦΩΝ σ1 σ3 σ3 Εντατικές καταστάσεις που προκαλούν αστοχία είναι η ταυτόχρονη επίδραση ορθών (αξονικών και πλευρικών) τάσεων ή ακόμα διατμητικών. σ11 Γενικά, υπάρχει ένας κρίσιμος

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 3. ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΗΡΑΓΓΑ

2. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 3. ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΗΡΑΓΓΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 3. ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΗΡΑΓΓΑ 3. Παραδοχές Σήραγγα κυκλικής διατοµής (ακτίνα ) Συνθήκες επίπεδης παραµόρφωσης (κατά τον άξονα της σήραγγας z) Ισότροπη γεωστατική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Στρέψης. ΕργαστηριακήΆσκηση 3 η

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Στρέψης. ΕργαστηριακήΆσκηση 3 η ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Στρέψης ΕργαστηριακήΆσκηση 3 η Σκοπός Σκοπός του πειράµατος είναι ηκατανόησητωνδιαδικασιώνκατάτηκαταπόνησηστρέψης, η κατανόηση του διαγράµµατος διατµητικής τάσης παραµόρφωσης η ικανότητα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωτεχνική Έρευνα - Μέρος 3 Υποενότητα 8.3.1

Γεωτεχνική Έρευνα - Μέρος 3 Υποενότητα 8.3.1 Επιχειρησιακό Πρόγραμμα Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση Πρόγραμμα ια Βίου Μάθησης ΑΕΙ για την Επικαιροποίηση Γνώσεων Αποφοίτων ΑΕΙ: Σύγχρονες Εξελίξεις στις Θαλάσσιες Κατασκευές Α.Π.Θ. Γεωτεχνική Έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Ισοστατικά πλαίσια με συνδέσμους (α) (β) Στατική επίλυση ισοστατικών πλαισίων

Διαβάστε περισσότερα

α) Προτού επιβληθεί το φορτίο q οι τάσεις στο σημείο Μ είναι οι γεωστατικές. Κατά συνέπεια θα είναι:

α) Προτού επιβληθεί το φορτίο q οι τάσεις στο σημείο Μ είναι οι γεωστατικές. Κατά συνέπεια θα είναι: 6 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Μιχάλης Μπαρδάνης, Υποψήφιος Διδάκτορας ΕΜΠ Για την επίλυση των ασκήσεων σειράς αυτής αρκούν οι σχέσεις και οι πίνακες που παρατίθενται στα οικεία κεφάλαια

Διαβάστε περισσότερα

Βρείτε την εξίσωση της γραµµής ροής που τη χρονική στιγµή t = 0 διέρχεται από το σηµείο P ( 1,2 ).

Βρείτε την εξίσωση της γραµµής ροής που τη χρονική στιγµή t = 0 διέρχεται από το σηµείο P ( 1,2 ). ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εξ. ιδ. 04 Καθηγητής Ι. Βαρδουλάκης, Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. :00 µ.- 5:00 µ.µ., Τετάρτη 7 Αυγούστου 00 Γκ. 04, 05, 8, 0, 07, 07, 08 Θέµα : ίδεται το πεδίο ταχυτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Εδαφομηχανική Ι. Ανώτατη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής. Ιωάννης-Ορέστης Γεωργόπουλος

Εδαφομηχανική Ι. Ανώτατη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής. Ιωάννης-Ορέστης Γεωργόπουλος Ανώτατη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Εδαφομηχανική Ι Ιωάννης-Ορέστης Γεωργόπουλος Δρ Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π., Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΑΝΤΟΧΗ ΕΔΑΦΩΝ ΑΣΤΟΧΙΑ ΕΔΑΦΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΑΝΤΟΧΗ ΕΔΑΦΩΝ ΑΣΤΟΧΙΑ ΕΔΑΦΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΑΝΤΟΧΗ ΕΔΑΦΩΝ ΑΣΤΟΧΙΑ ΕΔΑΦΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ σ1 σ3 σ3 Εντατικές καταστάσεις που προκαλούν αστοχία είναι η ταυτόχρονη επίδραση ορθών (αξονικών και πλευρικών) τάσεων

Διαβάστε περισσότερα

1η Εργαστηριακή Άσκηση: Πείραµα εφελκυσµού µεταλλικών δοκιµίων

1η Εργαστηριακή Άσκηση: Πείραµα εφελκυσµού µεταλλικών δοκιµίων 1η Εργαστηριακή Άσκηση: Πείραµα εφελκυσµού µεταλλικών δοκιµίων 1.1. Σκοπός Οι σπουδαστές θα πρέπει να αναλύουν βήµα προς βήµα τους χειρισµούς που πρέπει να εκτελέσουν για να προσδιορίσουν πειραµατικά την

Διαβάστε περισσότερα

(a) Λεία δοκίµια, (b) δοκίµια µε εγκοπή, (c) δοκίµια µε ρωγµή

(a) Λεία δοκίµια, (b) δοκίµια µε εγκοπή, (c) δοκίµια µε ρωγµή ΜηχανικέςΜετρήσεις Βασισµένοστο Norman E. Dowling, Mechanical Behavior of Materials: Engineering Methods for Deformation, Fracture, and Fatigue, Third Edition, 2007 Pearson Education (a) οκιµήεφελκυσµού,

Διαβάστε περισσότερα

8.1.7 Σχεδιασμός και μη-γραμμική ανάλυση

8.1.7 Σχεδιασμός και μη-γραμμική ανάλυση Επιχειρησιακό Πρόγραμμα Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση Πρόγραμμα ια Βίου Μάθησης ΑΕΙ για την Επικαιροποίηση Γνώσεων Αποφοίτων ΑΕΙ: Σύγχρονες Εξελίξεις στις Θαλάσσιες Κατασκευές Α.Π.Θ. Πολυτεχνείο Κρήτης

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 4.9.

Πρόβλημα 4.9. Πρόβλημα 4.9. Να βρεθεί το δυναμικό V() παντού στο χώρο ενός θετικά φορτισμένου φύλλου απείρων διαστάσεων με επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ. Πάρτε τον άξονα κάθετα στο φύλλο και θεωρήστε ότι το φύλλο

Διαβάστε περισσότερα

7. Στρέψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών. 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών

7. Στρέψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών. 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών 7. Στρέψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών 2015 1 Εισαγωγή Σε προηγούμενα κεφάλαια μελετήσαμε πώς να υπολογίζουμε τις ροπές και τις τάσεις σε δομικά μέλη τα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

6/5/2017. Δρ. Σωτήρης Δέμης. Σημειώσεις Εργαστηριακής Άσκησης Θλίψη Σκυροδέματος. Πολιτικός Μηχανικός (Λέκτορας Π.Δ.

6/5/2017. Δρ. Σωτήρης Δέμης. Σημειώσεις Εργαστηριακής Άσκησης Θλίψη Σκυροδέματος. Πολιτικός Μηχανικός (Λέκτορας Π.Δ. Σημειώσεις Εργαστηριακής Άσκησης Θλίψη Σκυροδέματος Δρ. Σωτήρης Δέμης Πολιτικός Μηχανικός (Λέκτορας Π.Δ. 407/80) Έως τώρα Καταστατικός νόμος όλκιμων υλικών (αξονική καταπόνιση σε μία διεύθυνση) σ ε Συμπεριφορά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή 1-1 Η Επιστήµη της Αντοχής των Υλικών, 1-2 Γενικές παραδοχές, 1-3 Κατάταξη δυνάµεων, 1-4 Είδη στηρίξεων, 1-5 Μέθοδος τοµών, Παραδείγµατα, 1-6 Σχέσεις µεταξύ εσωτερικών και εξωτερικών δυνάµεων, Παραδείγµατα,

Διαβάστε περισσότερα

20/3/2016. Δρ. Σωτήρης Δέμης. Σημειώσεις Εργαστηριακής Άσκησης Εφελκυσμός χαλύβδινης ράβδου. Πολιτικός Μηχανικός (Πανεπιστημιακός Υπότροφος)

20/3/2016. Δρ. Σωτήρης Δέμης. Σημειώσεις Εργαστηριακής Άσκησης Εφελκυσμός χαλύβδινης ράβδου. Πολιτικός Μηχανικός (Πανεπιστημιακός Υπότροφος) Σημειώσεις Εργαστηριακής Άσκησης Εφελκυσμός χαλύβδινης ράβδου Δρ. Σωτήρης Δέμης Πολιτικός Μηχανικός (Πανεπιστημιακός Υπότροφος) Εργαστηριακή Άσκηση 1 Εισαγωγή στη Δοκιμή Εφελκυσμού Δοκίμιο στερεωμένο ακλόνητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΑΘΗΝΑ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΑΘΗΝΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 15780 ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΑΘΗΝΑ Αντικείμενο της Άσκησης ης Η παρουσίαση της διαδικασίας εκτέλεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ - ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ A

ΜΕ ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ - ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ A Σχολή Πολιτικών Μηχανικών ΕΜΠ Τομέας Γεωτεχνικής Εδαφομηχανική Ι Διαγώνισμα 26-10-2007 1 ΜΕ ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ - ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ A ΘΕΜΑ 1 ο : [Αναλογία στο βαθμό = 10%+15%+10%+10% = 45%] Βράχος

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση)

Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση) Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος Η ολική παραµόρφωση στερεού σώµατος στη γειτονιά ενός σηµείου, Ο, δηλαδή η συνολική παραµόρφωση ενός µικρού τµήµατος (στοιχείου) του σώµατος γύρω από το σηµείο µπορεί να αναλυθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1: ίδεται η περιγραφή µίας κίνησης ενός µονοδιάστατου Συνεχούς κατά Lagrange

ΘΕΜΑ 1: ίδεται η περιγραφή µίας κίνησης ενός µονοδιάστατου Συνεχούς κατά Lagrange ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εξ. ιδ. 04 Καθηγητής Ι. Βαρδουλάκης, Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 8:30 π.µ., Πέµπτη 8 Ιουλίου 004 ΘΕΜΑ : ίδεται η περιγραφή µίας κίνησης ενός µονοδιάστατου Συνεχούς

Διαβάστε περισσότερα

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΤΗΣ ΒΡΑΧΟΜΑΖΑΣ

ΑΝΤΟΧΗ ΤΗΣ ΒΡΑΧΟΜΑΖΑΣ ΑΝΤΟΧΗ ΤΗΣ ΒΡΑΧΟΜΑΖΑΣ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΝΤΟΧΗ = Οριακή αντίδραση ενός στερεού μέσου έναντι ασκούμενης επιφόρτισης F F F F / A ΑΝΤΟΧΗ [Φέρουσα Ικανότητα] = Max F / Διατομή (Α) ΑΝΤΟΧΗ = Μέτρο (δείκτης) ικανότητας

Διαβάστε περισσότερα

AΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

AΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ (ΚΕΦ. 6-11) 371 AΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ (ΚΕΦ. 6-11) ΑΣΚΗΣΗ 1 Το µηκυνσιόµετρο στο σηµείο Α της δοκού του σχήµατος καταγράφει θλιπτική παραµόρφωση ίση µε 0.05. Πόση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ

ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 15780 ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΑΘΗΝΑ ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ Διδάσκων: Κωνσταντίνος Λουπασάκης,

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Εδαφομηχανικής

Εργαστήριο Εδαφομηχανικής ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εργαστήριο Εδαφομηχανικής Ενότητα 13η: Τριαξονική Δοκιμή Πλαστήρα Βιολέττα Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1.

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1. ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ 1. Γενικά Με τη δοκιμή κάμψης ελέγχεται η αντοχή σε κάμψη δοκών από διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Παραμορφώσεις ανομοιόμορφων ράβδων

2.1 Παραμορφώσεις ανομοιόμορφων ράβδων ΑΞΟΝΙΚΗ ΦΟΡΤΙΣΗ 9 Αξονική φόρτιση. Παραμορφώσεις ανομοιόμορφων ράβδων. Ελαστική ράβδος ΑΒ μήκους, Γ B μέτρου ελαστικότητας Ε και / συντελεστή θερμικής διαστολής α, είναι πακτωμένη στα σημεία Α και Β και

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΙΣ»

ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΙΣ» ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΙΣ» 7ο Εξ. ΠΟΛ-ΜΗΧ ΜΗΧ. ΕΜΠ - Ακαδ. Ετος 005-06 ΔΙΑΛΕΞΗ 13 Θεμελιώσεις με πασσάλους : Εγκάρσια φόρτιση πασσάλων 1.05.005 1. Κατηγορίες πασσάλων. Αξονική φέρουσα ικανότητα

Διαβάστε περισσότερα

4/26/2016. Δρ. Σωτήρης Δέμης. Σημειώσεις Εργαστηριακής Άσκησης Διάτμηση Κοχλία. Βασική αρχή εργαστηριακής άσκησης

4/26/2016. Δρ. Σωτήρης Δέμης. Σημειώσεις Εργαστηριακής Άσκησης Διάτμηση Κοχλία. Βασική αρχή εργαστηριακής άσκησης Βασική αρχή εργαστηριακής άσκησης Σημειώσεις Εργαστηριακής Άσκησης Διάτμηση Κοχλία Δρ. Σωτήρης Δέμης Πολιτικός Μηχανικός (Λέκτορας Π.Δ. 407/80) Αξονικό φορτίο Ανάπτυξη διατμητικών τάσεων σε στοιχεία σύνδεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι.

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΔΙΑΤΜΗΣΗ 1. Γενικά Όλοι γνωρίζουμε ότι σε μια διατομή ενός καταπονούμενου φορέα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ

ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ Κεφάλαιο 3 ο : Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΡΟΗ ΑΕΡΑ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΛΙΝΔΡΟ

ΡΟΗ ΑΕΡΑ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΛΙΝΔΡΟ ΡΟΗ ΑΕΡΑ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΛΙΝΔΡΟ Η μελέτη της ροής μη συνεκτικού ρευστού γύρω από κύλινδρο γίνεται με την μέθοδο της επαλληλίας (στην προκειμένη περίπτωση: παράλληλη ροή + ροή διπόλου). Εδώ περιοριζόμαστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ Κ. Β. ΣΠΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ Καθηγητής ΕΜΠ Πορεία επίλυσης. Ευρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Νόμος Gauss Ο νόµος του Gauss εκφράζει τη σχέση μεταξύ της συνολικής ηλεκτρικής ροής που διέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια και του φορτίου

Διαβάστε περισσότερα

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 6. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας Ακτίνα καμπυλότητας 2 Εισαγωγή (1/2) Μελετήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Θέμα 1 ο Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 να επιλέξετε τη μια σωστή απάντηση: 1. Όταν ένα σώμα ισορροπεί τότε: i. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του

Διαβάστε περισσότερα

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση.

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. 12ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. Το όργανο μέτρησης του βάρους ενός σώματος είναι : α) το βαρόμετρο, β) η ζυγαριά, γ) το δυναμόμετρο, δ) ο αδρανειακός ζυγός.

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs.

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs. Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός hp://www.perifysikhs.com Αναζητώντας την αιτία των κινήσεων Η µελέτη των κινήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1: Υπολογίστε τη συνισταμένη κατακόρυφη δύναμη σε οριζόντιο επίπεδο με για συγκεντρωμένο σημειακό φορτίο, σύμφωνα με το σχήμα.

ΑΣΚΗΣΗ 1: Υπολογίστε τη συνισταμένη κατακόρυφη δύναμη σε οριζόντιο επίπεδο με για συγκεντρωμένο σημειακό φορτίο, σύμφωνα με το σχήμα. Μάθημα: Εδαφομηχανική Ι, 5 ο εξάμηνο. Διδάσκων: Ιωάννης Ορέστης Σ. Γεωργόπουλος, Π.Δ.407/80, Δρ Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π. Θεματική περιοχή: Μετάδοση τάσεων στο έδαφος (8 η σειρά ασκήσεων). Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα