1 Vardoulakis I. Behavior of Granular Materials. In: Handbook of Materials Behavior Models (Jean

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 Vardoulakis I. Behavior of Granular Materials. In: Handbook of Materials Behavior Models (Jean"

Transcript

1 3. Aντοχή και Αστοχία µη-συνεκτικών Eδαφών 3.1 Η αντοχή και ο βασικός µηχανισµός αστοχίας µη-συνεκτικών εδαφών Τριβή και διασταλτικότητα Θεωρία διασταλτικής τριβής κατά Taylor Εφαρµογές Κρίσιµο βάθος ανυποστήρικτης σήραγγας Εκτίµηση της υποστηρίξεως οροφής σήραγγας Η Τριαξονική δοκιµή θλίψεως Η θεωρία διασταλτικότητος σε τριαξονικές συνθήκες Θεωρία κρίσιµης καταστάσεως Συµπεριφορά κοκκωδών εδαφών κάτω από αστράγγιστες συνθήκες - Ρευστοποίηση 15 Παράρτηµα: 1964 Niigata Εarthquake, Japan 158 Συζυγείς ζώνες διατµήσεως σε περλίτη στη Σαρακίνα της Μήλου 1 1 Vardoulakis I. Behavior of Granular Materials. In: Handbook of Materials Behavior Models (Jean Lemaitre Ed.) Chapter 11.4, Academic Press, 21

2 18 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 H ιατµητική Aντοχή Μη-Συνεκτικών Eδαφών 23, Ιωάννης Γ. Βαρδουλάκης, Καθηγητής της Μηχανικής, Ε.Μ. Πολυτεχνείο, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Τοµέας Μηχανικής, Ηρώων Πολυτεχνείου 5, Ζωγράφου , Αθήνα. Τ.Θ. 144, Παιανία 192

3 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Η Αντοχή και ο Βασικός Μηχανισµός Αστοχίας µη- Συνεκτικών Εδαφών Για την κατασκευή µιας θεωρίας αντοχής των µη-συνεκτικών υλικών θα προσφύγουµε συνήθως σε κάποιο µικρο-µηχανικό προσοµοίωµα του εδάφους. Έτσι υποθέτουµε ότι η αντοχή ενός µη-συνεκτικού, κοκκώδους υλικού οφείλεται στην δυνατότητα αναπτύξεως δυνάµεων επαφής µεταξύ δύο κόκκων (i) και (j), i j i F, F = F. j i j Μικροµηχανικό µοντέλο δοµής κοκκώδους υλικού και µακροσκοπικές τάσεις i i Έστω N j και T j η ορθή και η διατµητική συνιστώσα αντιστοίχως της δυνάµεως επαφής στο κοινό επίπεδο επαφής µεταξύ δύο κόκκων. Υποθέτουµε ότι στην επαφή αυτή δεν αναπτύσσονται συνεκτικές δυνάµεις, οπότε δεχόµαστε ότι: α) η ορθή συνιστώσα είναι αυστηρά θλιπτική 2 και β) η διατµητική συνιστώσα της δυνάµεως επαφής υπακούει στον νόµο τριβής κατά Coulomb, i T j i N j tanϕ µ Οι επαφές των κόκκων χαρακτηρίζονται από µία γωνία εσωτερικής τριβής 3 ϕ, µ που εξαρτάται από την υφή και λειότητα της επιφάνειας των κόκκων. Ως συνέπεια αυτής της υποθέσεως θεωρούµε ότι και οι µακροσκοπικές τάσεις, που εµφανίζονται σε κάποιο "επίπεδο" αστοχίας υπακούουν σε ένα µακροσκοπικό νόµο τριβής, τ= σ tan ϕ (3.1) 2 Ένας τέτοιος σύνδεσµος καλείται µονόπλευρος (Αγγλ. unilateral constraint) 3 ηλ. της γωνίας τριβής που χαρακτηρίζει τις µεταξύ των κόκκων επαφές.

4 11 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Η γωνία φ καλείται γωνία τριβής του εδάφους. Για τον προσδιορισµό της γωνίας τριβής του εδάφους θα προσφύγουµε είτε σε εργαστηριακές δοκιµές, είτε σε δοκιµές πεδίου, είτε σε αντίστροφες στατικές αναλύσεις πραγµατικών περιπτώσεων αστοχίας γεωκατασκευών. Σχετικά µε το τρόπο αστοχίας των εδαφών θα παρατηρήσουµε ότι η "θραύση 4 " εντοπίζεται σε µία λεπτή ζώνη έντονης διατµήσεως του εδάφους, ενώ οι παρακείµενες εδαφικές µάζες εκατέρωθεν της "επιφάνειας" αστοχίας συµπεριφέρονται µάλλον ως απολύτως στερεά σώµατα. Θα παρατηρήσουµε δε ότι, όπως δείχνουν οι παρατιθέµενες φωτογραφίες και ραδιογραφίες, τα πειραµατικά δεδοµένα ενισχύουν την υπόθεση του Roscoe 5, ότι το πάχος της ζώνης εντοπισµού της διατµήσεως (της "επιφάνειας" αστοχίας) δεν εξαρτάται από τις εξωτερικές γεωµετρικές διαστάσεις του εκάστοτε προβλήµατος αλλά από τη µικροδοµή του υλικού και κυρίως από την διάσταση του µέσου κόκκου του υλικού 6,7. Προσδιορισµός του πάχους της ζώνης έντονης διατµήσεως, λοπθ εντοπίζεται το φαινόµενο της αστοχίασ ενός αµµώδους εδαφους καταπονούµενου σε διαξονική θλίψη. Στην αρνητική ραδιογραφία φαίνεται η ζώνη διατµήσεως σκιασµένη ως ζώνη έντονης αυξήσεως του πορώδους 8 4 Ο όρος θραύση είναι µάλλον ατυχής εν προκειµένω αφού τα εδάφη είναι υλικά κατ' εξοχήν κατακερµατισµένα και δεν δύνανται να θραυσθούν περαιτέρω, αν εξαιρέσουµε βεβαίως την περίπτωση φθοράς και κατακερµατισµού των κόκκων που ενίοτε συµβαίνει κάτω από σηµαντικές θλιπτικές και διατµητικές καταπονήσεις (άλεση). 5 K.H. Roscoe (197). The influence of strains in soil mechanics, Géotechnique, 2, Vardoulakis, I. Schefugenbildung in Sandkörpern als Verzweigungsproblem, Disertation, Unversität Karlruhe, 1977, Veröffentlichungen, I.B.F. Heft Nr.7. 7 Mühlhaus, H.-B. and I. Vardoulakis (1987). The thickness of shear bands in granular materials, Géotechnique, 37, Vardoulakis, I., Graf, B. and A. Hettler (1985). Shear-band formation in a fine-grained sand. 5th Int. Conf. on Numerical Methods in Geomechanics, 1, , Balkema, Rotterdam.

5 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Για παράδειγµα θεωρούµε το πρόβληµα της παθητικής ωθήσεως γαιών 9, όπου ένας κατακόρυφος, λείος και άκαµπτος τοίχος ωθείται παραλλήλως εντός του εδάφους και το ζητούµενο είναι η εκτίµηση µίας "ασφαλούς" τιµής για την "παθητική" ώθηση E p, που µπορεί να παραλάβει ο τοίχος χωρίς να καταρρεύσει το έδαφος επί του οποίου ο τοίχος αυτός αντιστηρίζεται. (α) (β) Μηχανικό προσοµοίωµα υπο κλίµακα παθητκής ωθήσεως κατακορύφου αναβαθµού από ξηρή άµµο µέσω λείου και άκαµπτου τοίχου. Μηχανισµός καταρρεύσεως κατά Coulomb συνιστάµενος από µία επίπεδη επιφάνεια αστοχίας: α) φωτογραφία, β) ραδιογραφία. 9 C. A. Coulomb, Essai sur une application des règles des maximis et des minimis à quelques problèmes de statique. Mémoires Académie Royale des Sciences,Vol. 7, Paris 1776.

6 112 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Από τα παραπάνω παραδείγµατα καθίσταται φανερό ότι για τη στατική ανάλυση ενός γεωστατικού προβλήµατος αστοχίας, όπως αυτό της παθητικής ωθήσεως γαιών, χρειαζόµαστε την πληροφορία σχετικά µε την αντοχή του εδάφους, όταν αυτό διατέµνεται και σχηµατίζει µία λεπτή διατµητική ζώνη ή "επιφάνεια" αστοχίας. Πράγµατι, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα, στο παραάδειγµα της εκτιµήσεως της παθητικής ωθήσεως, E p = min(e) θ θα δεχθούµε ότι οι ορθές και διατµητικές τάσεις κατά µήκος του επιπέδου αστοχίας υπακούουν στο εσωτερικής νόµο του Coulomb, Εξ. (3.1), οπότε η συνισταµένη τους Q σχηµατίζει γωνία ϕ µε την κάθετο στο επίπεδο αστοχίας. Στατική ανάλυση του προβλήµατος της παθητικής ωθήσεως γαιών 3.2 Τριβή και ιασταλτικότητα 1 Για τον εργαστηριακό προσδιορισµό της διατµητικής αντοχής ενός γεωυλικού συχνά θα προσφύγουµε στη σχετικά απλή δοκιµή της απ' ευθείας διατµήσεως 11, που πραγµατοποιείται στην αντίστοιχη συσκευή, η οποία υποτίθεται ότι επιβάλλει θραύση του δοκιµίου κατά µήκος µιάς οριζόντιας επιφάνειας στην θέση της σχισµής που χωρίζει το κινητό από το σταθερό τµήµα της συσκευής. Κατά τη δοκιµή αυτή το κατακόρυφο φορτίο N διατηρείται συνήθως σταθερό, ενώ επιβάλλεται η οριζόντια µετατόπιση του κινητού µέρους κάτω από σταθερή ταχύτητα. Μετρώνται συνεπώς η οριζόντια µετατόπιση u h του κινητού µέρους, η κατακόρυφη µετατόπιση u v της οριζόντιας πλάκας επιβολής του φορτίου N καθώς και η εκάστοτε τιµή της οριζόντιας δυνάµεως T. Για την περαιτέρω ανάλυση των δεδοµένων της δοκιµής υπολογίζουµε τη (µέση) ορθή και τη (µέση) διατµητική τάση στο επίπεδο της διατµήσεως, σ = N A, τ= T A 1 Αγγλ. dilatancy 11 Αγγλ. direct shear test

7 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Σχηµατική παράσταση της συσκευής κατ' ευθείαν διατµήσεως Το κιβώτιο της συσκευής έχει ύψος Η (συνήθως H= 1. cm) και συνήθως τετραγωνική διατοµή σε κάτοψη, αρχικού εµβαδού A = L L ( L = 6. cm). Η επιφάνεια διατµήσεως µειώνεται προοδευτικά µε τη διατµητική µετατόπιση ( u h << L ) u = h A A 1 L Επειδή η δοκιµή ξεκινά από µία δεδοµένη αρχική ορθή τάση, θα θεωρήσουµε, χωρίς σηµαντικό λάθος, ότι η ορθή τάση παραµένει σταθερή, u h σ P A = σταθ. Ως παράδειγµα δοκιµής απ ευθείας διατµήσεως δίδονται στο παρακάτω διάγραµµα τα αποτελέσµατα δύο πειραµάτων σε άµµο Ottawa-standard 12. Τα εν λόγω πειράµατα διατµήσεως αφορούν µία πυκνά διαστρωµένη (αρχικός δείκτης πόρων, e =. 562 ) και µία σχετικά χαλαρά διαστρωµένη άµµο ( e =.652). Παρατήρηση Σηµειώνοµε ότι ο χαρακτηρισµός βάσει πυκνότητας ενός κοκκώδους εδάφους θα αποδοθεί µε τη λεγόµενη σχετική πυκνότητα 13 D r, που συσχετίζει το δείκτη πόρων της συγκεκριµένης άµµου µε τις αντίστοιχες µέγιστες και ελάχιστες τιµές που µπορούν να επιτευχθούν στο εργαστήριο σε τυποποιηµένες δοκιµές, Dr = emax e emax emin 12 D.W. Taylor, Foundamentals of Soil Mechanics, Wiley, Πρβλ. Κεφ. 1.4

8 114 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Τυπικά διαγράµµατα λόγου τάσεων και διασταλτικότητας σε άµµο Ottawa-standard (D.W. Taylor, 1948) εδοµένα του πειράµατος κατ' ευθείαν διατµήσεως το σε άµµο Ottawa-standard

9 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Από τα σχετικά διαγράµµατα του πειράµατος κατ' ευθείαν διατµήσεως παρατηρούµε ότι ο λόγος των τάσεων 14, τ σ = tan ϕ είναι γενικώς µία συνάρτηση της διατµητικής µετατόπισης. Για τον λόγο αυτό η τασική γωνία 15 ϕ καλείται και ενεργοποιηµένη γωνία τριβής 16 του υλικού και ο συντελεστής tanφ =µ (uh ) καλείται ενεργοποιηµένος συντελεστής τριβής 17. Από τα διαγράµµατα αυτά παρατηρούµε ότι σε µία σχετικά πυκνά διαστρωµένη άµµο ο λόγος των τάσεων αρχικά αυξάνει (κρατυνόµενος κλάδος) και εµφανίζει ένα µέγιστο (κορυφή 18 ), που ακολουθείται από ένα φθιτό κλάδο 19. Μια χαλαρή άµµος αντιθέτως εµφανίζει µονοτόνως αύξοντα λόγο τάσεων 2. Χαρακτηριστική καµπύλη λόγου τάσεων διατµητικής µεταιτοπίσεως για πυκνή άµµο 14 Αγγλ. stress ratio 15 Αγγλ. stress obliquity 16 Αγγλ. mobilized friction angle, 17 Αγγλ. mobilized friction coefficient 18 Αγγλ. peak 19 Αγγλ. softening branch 2 Πρβλ:

10 116 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Επίσης παρατηρούµε ότι, όταν ένα κοκκώδες υλικό υφίσταται διάτµηση, τότε αυτό εµφανίζει παράλληλα και αλλαγές στον όγκο του. Το φαινόµενο αυτό καλείται διασταλτικότητα 21 και αποδίδεται στον Reynolds 22. Σχηµατική εικόνα διασταλτικής λειτουργίας που οδηγεί από την κανονική πυκνή συσκευασία οµοειδών σφαιρών στην αντίστοιχη χαλαρή Ως διασταλτικότητα θα ορίσουµε γενικώς τον λόγο του ρυθµού αλλαγής όγκου προς τον ρυθµό διατµητικής παραµορφώσεως ε tan ψ = (3.2) γ Στο πείραµα της απ ευθείας διατµήσεως η γωνία ψ εµφανίζεται ως η γωνία που σχηµατίζει το διάνυσµα της ταχύτητας διατµήσεως µε το επίπεδο διατµήσεως (τον άξονα x στο σχήµα) και καλείται ως εκ τούτου (ενεργοποιηµένη) γωνία διασταλτικότητας 23 του υλικού. Πράγµατι, αν δεχθούµε ότι η διάτµηση εντοπίζεται µέσα σε µία λεπτή λωρίδα πάχους d και το πεδίο ταχυτήτων είναι γραµµικό v x = z u h, v z = d z u v d Ο ρυθµός αλλαγής όγκου στην λωρίδα διατµήσεως περιγράφεται από την ποσότητα, dv z u v ε = = dz d ενώ ο ρυθµός της διατµητικής τροπής από την ποσότητα dv x u γ = = h dz d 21 διασταλτικός = ικανός να διαστέλλει ή να διαστέλλεται. Aγγλ. dilatant (dilatancy) 22 Reynolds, O. (1885). On the dilatancy of media composed of rigid particles in contact. With experimental illustrations. Phil. Mag. (2) 2, Also: Truesdell, C. and Noll, W.: The Non- Linear Field Theories of Mechanics, Handbuch der Physik Band III/3, section 119, Springer Αγγλ. mobilized dilatancy angle

11 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Λεπτή λωρίδα από διατεµνόµενο κοκκώδες υλικό που εµφανίζει θετική διασταλτικότητα (αύξηση όγκου, αύξηση πορώδους) Άρα µε την προϋπόθεση ότι η παραµόρφωση µέσα στη ζώνη διατµήσεως είναι οµογενής παίρνουµε ότι η διασταλτικότητα του υλικού υπολογίζεται ανεξάρτητα από το πάχος d της ζώνης διατµήσεως ως ο λόγος της ταχύτητας διατµήσεως προς τον ρυθµό µεταβολής του ύψους του δοκιµίου, du tan ψ = v (3.3) duh Αυτό σηµαίνει ότι ο ενεργοποιηµένος συντελεστής διασταλτικότητας tanψ =β(uh ) προκύπτει ως η κλίση της αντίστοιχης πειραµατικής καµπύλης διασταλτικότητας, uv = uv(uh). Εισάγοντας ως αδιάστατη παράµετρο την διατµητική τροπή, u γ = h (3.4) d παρατηρούµε ότι τα πειραµατικά δεδοµένα µπορούν να γραφούν υπό µορφή αντίστοιχων συναρτήσεων των συντελεστών ενεργοποιηµένης τριβής και διασταλτικότητας tanϕ =µ ( γ), tanψ =β( γ) (3.5) Σηµειώνουµε τέλος ότι συµφώνως προς την σχέση (2.17) η µεταβολή της ογκοµετρικής τροπής συνδέεται µε την αλλαγή του πορώδους n ε = 1 n

12 118 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Αυτό σηµαίνει ότι διαστολική συµπεριφορά ( ψ > ) συνεπάγεται αύξηση του πορώδους ενώ συστολική συµπεριφορά ( ψ < ) µείωση του πορώδους. Επίσης παρατηρούµε ότι η διασταλτικότητα του κοκκώδους υλικού είναι γενικώς φθίνουσα συνάρτηση της µετατοπίσεως u h. Ειδικότερα από τα πειραµατικά δεδοµένα προκύπτει, ότι όταν η άµµος είναι πυκνά διαστρωµένη αυτή έχει γενικώς την τάση να διογκώνεται κατά την απ' ευθείας διάτµηση, ψ >. Αντιθέτως µία χαλαρά διαστρωµένη άµµος θα έχει την τάση να συρρικνώνεται ( ψ < ). Τέλος παρατηρούµε ότι για µεγάλες τιµές της διατµητικής µετατοπίσεως από το πείραµα προκύπτει ότι ο λόγος των τάσεων τείνει είτε εκ των άνω ή είτε εκ των κάτω προς µία σταθερή τιµή τ σ = tanϕ cs (3.6) ενώ παράλληλα η διασταλτικότητα του υλικού τείνει ασυµπτωτικά στο µηδέν (ισόχωρη παραµόρφωση) duv du h = tanψcs = που αντιστοιχεί στην κατάσταση σταθερού όγκου. Η κατάσταση αυτή καλείται κρίσιµη κατάσταση 24. Άρα στην κρίσιµη κατάσταση η γωνία διασταλτικότητας µηδενίζεται ( ψ cs = ), το πορώδες του κοκκώδους υλικού δεν µεταβάλλεται και η γωνία τριβής τείνει σε µία τιµή ϕ cs ϕcv (κρίσιµη γωνία τριβής 25 ). Η σταθερή τιµή του πορώδους n cs στην κρίσιµη κατάσταση δεν εξαρτάται από την αρχική του τιµή αλλά µόνο από την τιµή της (σταθερής) ορθής (ενεργού) τάσεως σ Θεωρία ιασταλτικής Τριβής κατά Taylor Στην βάση των παραπάνω πειραµατικών παρατηρήσεων µπορούµε τώρα να εισάγουµε ορισµένους χρήσιµους ορισµούς και να προχωρήσουµε στη διατύπωση µιας απλής καταστατικής θεωρίας για την περιγραφή της µηχανικής συµπεριφοράς των κοκκωδών υλικών σε απ' ευθείας διάτµηση. Γενικώς θα παρατηρήσουµε ότι κατά την παραµόρφωση ενός γεωυλικού θα αναλύσουµε την τροπή σε δύο συνιστώσες, την ελάστική και την πλαστική συνιστώσα. Π.χ. η διατµητική τροπή θα αναλυθεί ως εξής, e p γ = γ +γ Η ελαστική τροπή και αντιστοιχεί στο αναστρέψιµο τµήµα της ολικής τροπής, 24 Αγγλ. critical state (cs). 25 Αγγλ. friction angle at critical state. Ο δείκτης (cv) υποδηλώνει ότι στην κρίσιµη κατάστταση ο ογκος διατηρείται. (Αγγλ. constant volume)

13 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, e γ τ = G p όπου G είναι το µέτρο διατµήσεως του εδάφους. Η συνιστώσα γ καλείται πλαστική τροπή και αντιστοιχεί στην παραµένουσα (µη-αναστρέψιµη) τροπή. Ελαστο-πλαστικό και απολύτως στερεό-πλαστικό υλικό Χάριν απλότητας θα δεχθούµε ότι το κοκώδες υλικό συµπεριφέρεται ως ένα απολύτως στερεό-πλαστικό υλικό, δηλαδή θα δεχθούµε ότι οι παραµορφώσεις του είναι πλήρως µη-αντιστρέψιµες, θεωρώντας τις όποιεσδήποτε ελαστικές παραµορφώσεις αµελητέες G= e γ =, p γ γ Για τον ορισµό του µαθηµατικού προσοµοιώµατος ενός κοκκώδους υλικού θα ορίσουµε τώρα την λεγόµενη συνάρτηση διαρροής 26 F= τ σµ ( γ) Συµφώνως προς την εξίσωση (3.1) θα δεχθούµε ότι, όταν το κοκκώδες υλικό φορτίζεται και παραµορφώνεται πλαστικά (όταν "διαρρέει"), τότε ισχύει η αντίστοιχη συνθήκη διαρροής 27 F= τ=σµ ( γ) (3.7) Παρατηρούµε τώρα ότι η εξίσωση (3.3) µπορεί να γραφεί ως ένας κινηµατικός περιορισµός µεταξύ απειροστικών µεταβολών της (πλαστικής) διατµητικής και της ογκοµετρικής τροπής, δε =β( γ) δγ (3.8) 26 Αγγλ. yield function 27 Αγγλ. yield condition

14 12 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 'Eνας τέτοιος κινηµατικός περιορισµός καλείται ως ο νόµος πλαστικής ροής 28 του υλικού. Ενας απλός τρόπος, που µας επιτρέπει να συσχετίσουµε την ενεργοποιηµένη τριβή µε την ενεργοποιηµένη διασταλτικότητα ενός κοκκώδους υλικού είναι να δούµε προσεκτικά την έκφραση για το στοιχειώδες έργο παραµορφώσεως. Γενικώς, το έργο των εσωτερικών δυνάµεων ανά µονάδα µήκους της ζώνης διατµήσεως υπολογίζεται από το ολοκλήρωµα καθ' ύψος της ζώνης του στοιχειώδους έργου των τάσεων πάνω στις απειροστικές τροπές, d δw = ( σxxδεxx + +σxzδεxz +σzxδεzx +σzzδεzz)dz Στο καρτεσιανό σύστηµα που επιλέξαµε, οι τάσεις και οι µεταβολές των τροπών δίδονται απο τους παρακάτω πίνακες 29 σxx [ σ] = σ yy τ τ σ, [ δε] = δγ / 2 δγ / 2 δε εχόµεθα ότι οι τάσεις και οι τροπές είναι σταθερές µέσα στη ζώνη διατµήσεως. Το στοιχειώδες εργο των εσωτερικών δυνάµεων δίδεται εν προκειµένω από την έξής σχέση δ W = ( τδγ σδε)d (3.9) Από την έκφραση αυτή γίνεται φανερό ότι η διατµητική τάση τ είναι ενεργειακώς συζυγής µε τον ρυθµό διατµητικής παραµορφώσεως, δγ =δu h / d, όπως επίσης και ότι η ορθή τάση σ είναι συζυγής µε τον ρυθµό ογκικής παραµορφώσεως, δε =δu h / d. Λαµβάνοντας δε υπ όψιν τη συνθήκη διαρροής και τον νόµο πλαστικής ροής από την παραπάνω σχέση (3.9) παίρνουµε την εξής έκφραση για το στοιχειώδες έργο παραµορφώσεως δ W =σ(tanϕ tanψ) δu h Υποθέτουµε τώρα ότι όλο το έργο των εσωτερικών δυνάµεων αναλίσκεται, δ W = δd γεγονός το οποίο στη βάση του 2 ου θερµοδυναµικού αξιώµατος σηµαίνει ότι η ειδική κατανάλωση πρέπει να είναι θετική, οπότε 28 Αγγλ. plastic flow-rule 29 Προς αποφυγή λαθών δεχόµεθα την σύµβαση πρόσηµου της Μηχανικής, όπου οι θλιπτικές τάσεις είναι αρνητικές.

15 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, δd δuh δw = δuh =σ(tanϕ tanψ) > (3.1) Από την ανισότητα αυτή έπεται, ως πρώτος βασικός περιορισµός, ότι σε κάθε κατάσταση του κοκκώδους υλικού η γωνία διασταλτικότητας δεν µπορεί να υπερβεί την τιµή της αντίστοιχης γωνίας τριβής ψ <φ (3.11) Η λεγόµενη 1 η υπόθεση της θεωρίας διασταλτικής διατµήσεως του Taylor 3 επιτάσσει όπως η ειδική κατανάλωση ενέργειας είναι ανεξάρτητη της κατάστασης του υλικού, δd δuh =σ tanϕeq (3.12) Η 2 η υπόθεση της θεωρίας διασταλτικής διατµήσεως του Taylor απαιτεί επιπλέον ότι όλη η µηχανική ενέργεια αναλίσκεται σε θερµότητα, δ D= δq Οι υποθέσεις της θεωρίας του Taylor σηµαίνουν ότι ένα κοκκώδες, που χαρακτηρίζεται από εσωτερική τριβή και διασταλτικότητα συµπεριφέρεται ως ένα υλικό µε εσωτερική τριβή, που παραµορφώνεται ισόχωρα και που έχει γωνία τριβής ίση µε την γωνία ϕ eq που δίδεται από την διαφορά tanϕ eq = tanϕ tanψ (3.13) Άρα, συµφώνως προς την υπόθεση Taylor, ένα κοκκώδες υλικό θα ταυτισθεί από ενεργειακή σκοπιά µε ένα υποθετικό υλικό, που παραµορφώνεται ισόχωρα και που υπακούει στον νόµο τριβής κατά Coulomb. Η γωνία τριβής του από σκοπιά καταναλώσεως ενεργειακώς ισοδύναµου µέσου θα ταυτισθεί κατ' αρχήν µε την γωνία τριβής στην κρίσιµη κατάσταση όπου η παραµόρφωση είναι εξ ορισµού ισόχωρη 31, ϕ eq = ϕcs. Ενεργειακή ισοδυναµία µεταξύ πραγµατικού κοκκώδους υλικού µε εσωτερική τριβή και διασταλτικότητα και ιδεατού υλικού τύπου Coulomb, που παραµορφώνεται χωρίς µεταβολές όγκου και µε σταθερή γωνία τριβής. 3 D.W. Taylor. Fundamentals of Soil Mechanics, John Wiley, Γι' αυτό θα χρησιµοποιηθεί καµία φορά και ο συµβολισµός ϕ cv (Αγγλ. cconstant volume)

16 122 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Στη σχετική βιβλιογραφία θα βρούµε τη τιµή της ϕ eq να ταυτίζεται µε την τιµή της ενεργοποιηµένης γωνίας τριβής στην κατάσταση µέγιστης συµπυκνώσεως 32 (mc: n= min! ), ϕ eq = ϕmc. Αξίζει δε να σηµειωθεί ότι τόσο ο Rowe 33,34 όσο και ο de Joselin de Jong 35 επεξέτειναν την θεωρία αυτή και για άλλες τασικές οδεύσεις (όπως τριαξονική θλίψη, διαξονική θλίψη κ.λπ.) και ονόµασαν την γωνία ϕ eq ως την πραγµατική γωνία τριβής 36 και την ταύτισαν µε την γωνία τριβής ϕ µ µεταξύ των κόκκων ενός κοκκώδους υλικού, ϕ eq ϕµ. Από την σχέση Taylor στη κατάσταση αιχµής, τ σ max = tanϕp = tanϕeq + tanψp, tanψp duv du = h max συµπεραίνουµε ότι η αντοχή του κοκκώδους υλικού αποτελείται από µία συνιστώσα που αφορά στην τριβή µεταξύ κόκκων 37 ( ϕ eq ϕµ ) και µία συνιστώσα που αφορά στην εµπλοκή τους 38. Σηµειώνουµε ότι από την σχετική βιβλιογραφία βρίσκουµε την εξής εµπειρική σχέση, o ψ p ϕp 2 Αν λύσουµε την σχέση του Taylor ως προς το συντελεστή διασταλτικότητας tanψ = tanϕ tanϕeq (3.14) συµπεραίνουµε ότι µία χαλαρά διαστρωµένη άµµος ( ϕ p < ϕeq ), θα έχει την τάση κατά την διάτµηση να συµπυκνώνεται µε συνεχώς φθίνοντα ρυθµό, γεγονός που αντανακλάται σε συνεχή κράτυνση, δηλαδή σε µονότονη αύξηση της ενεργοποιηµένης γωνίας τριβής. Αντιθέτως µία πυκνά διαστρωµένη άµµος µετά από µια σύντοµη σχετικά αρχική φάση περαιτέρω συµπυκνώσεως θα έχει γενικώς την τάση να διασταλεί, γεγονός που οδηγεί στην ύπαρξη αντοχής αιχµής και φθιτού (ασταθούς) κλάδου. Από το συγκεκριµένο παράδειγµα κατ' ευθείαν διατµήσεως παίρνουµε τις εξής τιµές για τις παραµέτρους αντοχής της πυκνής άµµου Ottawa-standard: (α) γωνία 32 Αγγλ. maximum compaction. 33 P.W. Rowe (1962). The stress-dilatancy relation for static equilibrium of an assembly of particles in contact. Proc. Roy. Soc., 269, P.W. Rowe (1971). Theoretical meaning and observed values of deformation parameters for soil. Proc. Roscoe Mem. Symp., Cambridge, De Josselin de Jong (1976). Rowe's stress-dilatancy relation based on friction. Géotechnique, 26, Αγγλ. true angle of friction 37 Αγγλ. intergranular friction 38 Αγγλ. grain interlockng

17 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, o o τριβής αιχµής: πυκνή άµµος ϕ p = 32. 6, ϕ p = (β) γωνία διασταλτικότητας αιχµής: πυκνή άµµος ψ p = 9. 8, χαλαρή άµµος ψ p = (γ) γωνία τριβής στην κρίσιµη κατάσταση: ϕ o eq = 25.2 (25.5 ). Συνολικά οι δύο δοκιµές απ' ευθείας διατµήσεως δίδουν βάσει της σχέσεως τριβής-διασταλτικότητας του Taylor τη o βέλτιστη τιµή ϕ eq = Υπόθεση Taylor:Συντελεστές ενεργοποιηµένης τριβής και διασταλτικότητας για µία πυκνή και µία χαλαρή άµµο σε κατ' ευθείαν διάτµηση Βέλτιστη προσέγγιση των πειραµατικών δεδοµένων για πυκνή άµµο, ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη (3.1) του Taylor λόγου τάσεων-διασταλτικότητας

18 124 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Πειραµατική επαλήθευση της υποθέσεως Taylor Η θεωρία Taylor µπορείνα βελτιωθεί, άν χαλαρώσουµε την την 2 η υπόθεση και υποθέσουµε ότι µόνο ένα τµήµα της ειδικής καταναλώσεως µετατρέπεται σε θερµότητα, δεχόµενοι πως ένα (µικρό) µέρος αυτής αναλίσκεται σε "δοµική φθορά" των κόκκων (π.χ. κατακερµατισµός και λειοτρίβηση κόκκων). Η υπόθεση αυτή οδηγεί τελικά στην εξής σχέση 39, 1 tanϕ tanψ tanϕeq = (<λ< 1) 1 λ (3.15) Η εφαρµογή της παραπάνω εξισώσεως στα δεδοµένα από τα πειράµατα κατ' ευθείαν διατµήσεως του Taylor οδηγεί στα εξής αποτελέσµατα (πρβλ. Τα σχετικά γραφήµατα που ακολουθούν): Μετεπεξεργασία των πειραµατικών δεδοµένων κατ' ευθείαν διατµήσεως στη βάση της Εξ. (3.15) 4 Πυκνή άµµος Χαλαρή άµµος ϕ p ϕ eq λ I. Vardoulakis (23). Taylor's stress-dilatancy hypothesis revisited. Submitted for publication. 4 'Οπως φαίνεται και από τα επόµενα διαγράµµατα η προσεγγιση των πειραµατικών δεδοµένων έγινε στο φθιτό κλάδο των αντίστοιχων καµπύλων τάσεων-τροπών. Παρατηρούµε δε ότι εµπροκειµένω η διόρθωση που προκύπτει απότην Εξ. (3.15) είναι της τάξεως του 1%.

19 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Προσέγγιση δεδοµένων στη βάση της γενικευµένης θεωρίας Taylor στη βάση της Εξ. (3.15)

20 126 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Παρατηρήσεις Μέσα στα πλαίσια της Μαθηµατικής Θεωρίας της Πλαστικότητας θα παραστήσουµε γεωµετρικά την συνθήκη διαρροής (3.7) και τον νόµο πλαστικής ροής (3.8) στο ίδιο διάγραµµα, στο επίπεδο των τάσεων ( σ zz, σxz). Γραφική παράσταση της συνθήκης διαρροής και του νόµου πλαστικής ροής στο επίπεδο των τάσεων Από το σχετκό διάγραµµα κάνουµε τις εξής διαπιστώσεις: 1. Κατά την υλοποίηση του πειράµατος απ' ευθείας διατµήσεως οι τάσεις ακολουθούν την αµειγώς διατµητική "τασική όδευση" 41 (ΑΒ), αφού η όρθή τάση παραµένει (σε καλή προσέγγιση) σταθερή. 2. Η εκάστοτε εντατική κατάσταση στο επίπεδο αστοχίας παρίσταται στο διάγραµµα αυτό από το διάνυσµα OB, που έχει κλίση ίση προς την ενεργοποιηµένη τριβή, µ = tan ϕ (άρα βρίσκεται πάνω στην αντίστοιχη επιφάνεια διαρροής, F= ). 3. Ο νόµος πλαστικής ροής παρίσταται γεωµετρικά µε το διάνυσµα ΒΓ, το οποίο προσαρτάται στο εκάστοτε σηµείο της τασικής οδεύσεως, στο σηµείο Β, εν προκειµένω. Η αντίστροφη κλίση του διανύσµατος του ρυθµού της πλαστικής παραµορφώσεως ισούται µε την ενεργοποιηµένη διασταλτικότητα στο εν λόγω σηµείο, β= tan ψ. Αρα οι συνιστώσες του διανύσµατος αυτού στο εν λόγω σύστηµα είναι ανάλογές προς τον ρυθµό πλαστικής παροµορφώσεως όγκου και σχήµατος, αντιστοίχως. Αυτή η απεικόνιση είναι εν προκειµένω ιδαίτερα χρήσιµη, αφού τα εµπλεκόµενα στατικά και κινηµατικά µεγέθη είναι ενεργειακώς συζυγή συµφώνως πρός την σχέση (3.9). Αυτό σηµαίνει ότι το εσωτερικό γινόµενο του διανύσµατος των τάσεων ΟΒ µε το διάνυσµα του ρυθµού πλαστικής παραµορφώσεως ΒΓ αποδίδει το έργο του ρυθµού πλαστικής παραµορφώσεως 41 Αγγλ. stress path

21 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, ΟΒ ΒΓ= τδγ σδε= 1 δ D d Ειδικότερα τονίζουµε στο σηµείο αυτό ότι η παραπάνω καταστατική ανισότητα (3.11), µεταξύ γωνίας διασταλτικότητας και τριβής, σηµαίνει γεωµετρικά ότι το διάνυσµα του ρυθµού της πλαστικής παραµορφώσεως B Γ δεν είναι κάθετο πάνω στην αντίστοιχη "επιφάνεια" διαρροής,οβ. Αυτή είναι µία σηµαντική διαφορά της θεωρίας πλαστικότητας των µη-συνεκτικών γεωυλικών από την αντίστοιχη θεωρία των όλκιµων µετάλλων ή άλλων συνεκτικών υλικών, όπως οι άργιλοι κάτω από κατάλληλες συνθήκες. Στις περιπτώσεις αυτές το υλικό εµφανίζει διατµητική αντοχή c (συνεκτικότητα 42 ), που είναι ανεξάρτητη από την ορθή τάση στο επίπεδο αστοχίας και η παραµόρφωσή του υλικού είναι ισόχωρη. Συνθήκη διαρροής και νόµος πλαστικής ροής για συνεκτικό υλικό Στην περίπτωση συνεκτικών υλικών ισχύει η λεγόµενη συνθήκη καθετότητας 43, δηλαδή το διάνυσµα πλαστικής ροής ( δε = ) είναι κάθετο στην αντίστοιχη επιφάνεια διαρροής, F = τ c=. Η συνθήκη καθετότητας µε τη σειρά της αποτελεί τη βάση για την απόδειξη µιας σειράς γενικών προτάσεων, χρήσιµων για την ασφαλή εκτίµιση άνω και κάτω φραγµάτων του φορτίου καταρρεύσεως µιάς κατασκευής 44. Στην περίπτωση όµως που δεν ισχύει η συνθήκη καθετότητος τα σχετικά θεωρήµατα άνω και κάτω φράγµατος επίσης δεν ισχύουν, και ως εκ τούτου υπάρχει αβεβαιότητα όσον αφορά την πρακτική αξία ένος υπολογισµού σε σχέση µε το φορτίο καταρρεέυσεως της γεωκατασκευής. Η αδυναµία αυτή της θεωρίας πλαστικότητας των γεωυλικών αντανακλάται σε πολλές πρακτικές εφαρµογές, όπου δεν µπορούµε να εξασφαλίσουµε εκ προϊµίου την ποιότητα και αξία των θεωρητικών µας προβλέψεων και καθιστούν την πειραµτική εξακρίβωση καθώς και την παρατήρηση στο πεδίο απολύτως αναγκαίες. 42 Αγγλ. cohesion 43 Αγγλ. normality condition 44 πρβλ. Ι.Βαρδουλάκης, Μαθηµατική Οριακή Ανάλυση, Ε.Π.Μ., 23.

22 128 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Εφαρµογές Κρίσιµο βάθος ανυποστήρικτης σήραγγας Για την εκτίµηση του κρίσιµου βάθους κάτω από το οποίο µια σήραγγα θα µπορούσε θεωρητικά να παραµείνει βραχυπροθέσµως χωρίς σηµαντική υποστήριξη θεωρούµε τον µηχανισµό καταρρεύσεως, όπως αυτός προκυπτει από παρατηρήσεις και αντίστοιχα πειράµατα υπό κλίµακα στο εργαστήριο, όπως εκείνο του "υποχωρούντος θυροπετάσµατος" 45. Πείραµα υποχωρούντος θυροπετασµατος µε άµµο. Ενεργητικός τύπος µε συγκλίνουσες επιφάνειες αστοχίας Στην βάση αυτών των παρατηρήσεων προτάθηκε ο µηχανισµός του παρακάτω σχήµατος. Αυτός ο µηχανισµός καταρρεύσεως αποτελείται από µία κατακόρυφη σφήνα (Ι) = (ΑΓΓ'Β ' Α) πάνω από την στέψη της σήραγγας, η οποία σφήνα έχει την τάση να ολισθήσει προς τα κάτω υπό την επίδραση του βάρους της W. Η οποιαδήποτε παροδική υποστήριξη της οροφής θα θεωρηθεί στη φάση αυτή της ανλύσεως, χάριν απλότητας, αµελητέα. Μηχανισµός καταρρεύσεως οροφής "επιφανειακής" σήραγγας 45 Vardoulakis I., Graf B. and Gudehus G. (1981). Trap-door problem with dry sand: A statical approach based upon model test kinematics. Int. J. Num. Anal. Meth. Geomechanics, 5,

23 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Η σφήνα (Ι) ολισθαίνει σε σχέση µε το παρακείµενα εδάφη πάνω σε δύο επιφάνειες ολισθήσεως (ΓΓ') και ( '), που είναι συµµετρικές ως προς τον κατακόρυφο άξονα, που διέρχεται από το κέντρο της σήραγγας. Η επιφάνειες αυτές είναι ελαφρώς συγκλίνουσες πρός τα πάνω. Η κλίση τους προκύπτει από την παρατήρηση ότι η ταχύτητα v = vz ολισθήσεως της σφήνας είναι κατακόρυφη µε κατεύθυνση προς τα κάτω και σχηµατίζει µε τις επιφάνειες ολισθήσεως γωνία ψ p, την γωνία διασταλτικότητας του εδάφους στην κατάσταση αιχµής, δηλαδή στην κατάσταση, που αντιστοιχεί στην µέγιστη τιµή της ενεργοποιηµένης γωνίας τριβής, ϕ =ϕp. Έστω D = 2R η διάµετρος της σήραγγας και H= (AB) η απόσταση από την οροφή της στην ελεύθερη επιφάνεια. εχόµεθα ότι το ειδικό βάρος του εδάφους είναι γ και παράµετροι αντοχής σε απ' ευθείας διάτµηση, ϕ p,ψp και ϕ cs, που ικανοποιούν την συνθήκη Taylor, tanϕ p = tanψp + tanϕcs (3.16) Το βάρος της σφήνας υπολογίζεται παραµετρικά ως συνάρτηση του βάθους της στέψεως ως εξής, 2 1 H 1 H 2 W R 2 2 π π ψp = γ sin α tanα α+ cosψp + tanα tanψ p, α= 2 R 2 R 4 o 18 2 ή σε αδιάστατη µορφή * *2 * W = ah + 2bH + c (3.17) όπου * W W * H =, H = (3.18) 2 γr R 2 a= tanψp, b= tanα, c= 2(sin α tanα α) + cosψp (3.19) Για µία δυνατή µετατόπιση του µηχανισµού καταρρεύσεως προς τα κάτω, το βάρος παράγει έργο θετικό, ίσο προς, W ( εξ ) = W v (3.2) Σε κατάσταση ισορροπίας το έργο των εξωτερικών δυνάµεων ισούται µε το έργο των εσωτερικών δυνάµεων ( ) ( ) W εξ = εσ W (3.21)

24 13 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Στην οριακή περίπτωση όπου θεωρούµε ότι η ελαστική (εσωτερική) ενέργεια του υλικού είναι αµελητέα, το έργο των εσωτερικών δυνάµεων αναλίσκεται πλήρως σε θερµότητα στις επιφάνειες ολισθήσεως, οπότε, W ( εσ ) = Q (3.21) Άρα η κατανάλωση του µηχανικού έργου των εξωτερικών δυνάµεων σε θερµότητα, υπολογίζεται από το συνολικό έργο των διατµητικών και ορθών τάσεων κατά µήκος των επιφανειών ολισθήσεως, που λόγω συµµετρίας δίδεται από το ολοκλήρωµα Q= 2 ( τvs σvn)ds ( ΓΓ ) Απ' έυθείας διάτµηση κατά µήκος µίας από τις επίπεδες επιφάνειας αστοχίας Έστω Ν και Τ η ορθή και η διατµητική συνιστώσα των αντιδράσεων F πάνω στην σφήνα στις επιφάνειας ολισθήσεως λόγω τριβής, T = τds ( ΓΓ ) Άρα, N= σds ( ΓΓ ) Q= 2(T vs N vn) Από την συνθήκη διαρροής τ =σ tanϕ p έπεται, T= Ntanϕp ενώ από το νόµο πλαστικής ροής παίρνουµε, vn = vs tanψp Άρα η κατανάλωση ενέργειας δίδεται από τη σχέση

25 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Q= 2N(tanϕ p tanψp) vs Με την παρατήρηση ότι ισχύει η συνθήκη του Taylor (3.16) και ότι vs = v cosψp παίρνουµε τελικά ότι, Q= 2Ntanϕ cs cosψpv (3.22) Σε µία οριακή κατάσταση ισορροπίας το έργο των εξωτερικών δυνάµεων, δηλ. εµπροκειµένω το έργο του βάρους, µετατρέπεται πλήρως σε θερµότητα στις επιφάνειες ολισθήσεως, οπότε, από τις παραπάνω εξισώσεις (3.2) - (3.22) παίρνουµε 1 W N = 2 tanϕcs cosψ (3.23) p Όπως είναι και εµπειρικά γνωστό, µία σχέση σαν την παραπάνω εξ. (3.23) θέτει µία απαίτηση για την δυνατότητα ασφαλούς "παραλαβής" από την ευρύτερη περιοχή εκατέρωθεν της σήραγγας της δράσεως F που είναι αναγκαία ως αντίδραση πάνω στην σφήνα για την πλάγια εκτροπή του βάρους W µε την λειτουργία του λεγόµενου ανακουφιστικού τόξου πάνω από την σήραγγα. Για το λόγο αυτό θεωρούµε δύο πρίσµατα (ΙΙ), συµµετρικά εκατέρωθεν της σφήνας (Ι), που λειτουργούν ως ερείσµατα του ανακουφιστικού τόξου και υπολογίζουµε την οριζόντια συνιστώσα της δράσεως F της σφήνας πάνω στα εν λόγω πρίσµατα που δρα στα επίπεδα ( ') και (ΓΓ'), Λειτουργία ανακουφιστικού τόξου

26 132 Hwedge ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 cos( ϕp ψp) = N cosϕp η οποία λόγω τις εξιώσεως (3.23) γράφεται ως Hwedge = tanϕcs cos( ϕp ψp) W cosψp cosϕp και λόγω της συνθήκης Taylor ως, Hwedge = 1 1 W 2 tan( ϕp ψp) (3.24) και απαιτούµε όπως αυτή εξισορροπείται από την οριζόντια συνιστώσα των τάσεων στο κατακόρυφο επίπεδο (ΖΖ') και το συµµετρικό του στην εγγύς περιοχή εκατέρωθεν της σήραγγας. Πλευρική στήριξη ανακουφιστικού τόξου εχόµεθα ότι οι τάσεις σε κάποια απόσταση από την σήραγγα είναι γεωστατικές και µεταβάλλονται γραµµικά µε το βάθος σ v = γz, σh = Kσv Στη σχέση για την οριζόντια τάση υπεισέρχεται ο λεγόµενος συντελεστής ωθήσεως γαιών εν ηρεµία, ο οποίος δίδεται για κοκκώδη υλικά από τον εµπειρικό τύπο του Jaky 46 σε σχέση µε την κρίσµη γωνία τριβής, K = 1 sinϕcs 46 Jaky, J. (1948). The coefficient of earth pressure at rest. Journal of the Society of Hungarian Architects and Engineers, Vol. 78,, No. 22,

27 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Εµπειρική συσχέτιση συντελεστού ωθήσεως γαιών εν ηρεµία µε την γωνία τριβής στην κρίσιµη κατάσταση 47 Οπότε η οριζόντια αντίδραση των γαιών στο επίπεδο (ΖΖ') δίδεται από την σχέση Hstat 1 2 = Kγh, h= H+ R(1 sinψp) (3.25) 2 Από την ισορροπία οριζόντιων δυνάµεων, που ασκούνται πάνω στο σώµα (ΙΙ), παίρνουµε ότι η κατασκευή είναι ασφαλής, αν αµελήσουµε τυχόν διατµητικές δυνάµεις κατά µήκος της (Ζ ) και απαιτήσουµε H wedge = H stat Ισορροπία οριζόντιων δυνάµεων στο σώµα (ΙΙ) 47 Πρβλ. R. D. Holtz and W. D. Kovacs. An Introduction to Geotechnical Engineering, Prentice-Hall, 1981.

28 134 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Για την επίλυση αυτής της εξισώσεως συνοψίζουµε παρακάτω τις σχέσεις που την καθορίζουν, * 1 * 2 Hstat = K(H + 1 sinψp) 2 * 1 1 *2 * H wedge = ( ah + bh + c) 2 tan( ϕp ψp) 2 a= tanψp, b= tanα, c= 2(sin α tanα α) + cosψp Με τους συµβολισµούς f = K tan( ϕp ψp), k= 1 sinψp a = f+ a= K tan( ϕp ψp) + tanψp b = fk b= K tan( ϕp ψp)(1 sinψp) tanα c = fk c= K tan( ϕp ψp)(1 sinψp) 2(sin α tanα α) cosψp προκύπτει τελικά η επιλύουσα σχέση, a *2 * H + 2b H + c = (3.26) o Για δεδοµένη τιµή της κρίσιµης γωνίας τριβής, ϕ cs = 3 ( K. 58 ), τα αριθµητικά αποτελέσµατα της αναλύσεως παρατίθενται σε ένα διάγραµµα H o = f( ϕ p ). Π.χ. για γωνία τριβής αιχµής ϕ p = 3, εκτιµάται ένα βάθος της οροφής D της σήραγγας H= 2.5D. Απαιτούµενο βάθος οροφής σήραγγας σε µη-συνεκτικό έδαφος και µε την ελάχιστη υποστήριξη οροφής.

29 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Εκτίµηση της υποστηρίξεως οροφής σήραγγας Για την εκτίµιση µιας ασφαλούς τιµής της υποστηρίξεως της οροφής µιας ρηχής σήραγγας θα προσφύγουµε στον µηχανισµό καταρεύσεως. Αυτός προέκυψε από µία υπό κλίµακα προσοµοίωση του φαινοµένου από το πείραµα υποχωρούντος θυροπετάσµατος 48. Ραδιογραφία µηχανισµού αστοχίας οροφής στο πέιρµα υποχωρούντος θυροπετάσµτος µε υπερκείµενη ξηρή άµµο. Θεωρούµε ότι η κατασκευή υποστηρίξεως της σήραγγας µπορεί να προσοµοιωθεί µε µία οµοιόµορφα κατανεµηµένη εσωτερική πίεση p. Για την εκτίµηση αυτής της πιέσεως θεωρούµε και πάλι το µηχανισµό καταπίπτουσας σφήνας. Για την εκτίµηση τώρα µίας ασφαλούς τιµής για την πίεση υποστηρίξεως δεχόµεθα την ακραία θεωρητική τιµή για την διασταλτικότητα, ψ p = ϕp. Για την τιµή αυτή το έργο των ανθισταµένων δυνάµεων τριβής F είναι µηδέν 49 για µια δυνατή κατακόρυφη υποχώρηση της οροφής. Στην περίπτωση αυτή η ισορροπία των κατακόρυφων δυνάµεων που ασκούνται στην σφήνα δίδει, π π ϕp γd 1 2 o W = P p= 18 (3.27) 4 sinϕ ϕ p cos p Από το σχετικό διάγραµµα προκύπτει π.χ. για µια τιµή της γωνίας τριβής αιχµής o ϕ p = 3, η αντίστοιχη τιµή για την απαιτούµενη πίεση υποστηρίξεως του µησυνεκτικού υπερκείµενου εδάφους έναντι καταπτώσεως είναι p.2 ( γd). 48 Vardoulakis I., Graf B. and Gudehus G. (1981). Trap-door problem with dry sand: A statical approach based upon model test kinematics. Int. J. Num. Anal. Meth. Geomechanics, 5, Πρβλ την παρατήρηση που κάναµε στο προηγούµενο κεφάλαιο σχετικά µε την λεγόµενη συνθήκη καθετότητας της θεωρίας της πλαστικότητας.

30 136 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Μηχανισµός καταρρεύσεως οροφής για την ασφαλή εκτίµιση της πιέσεως υποστηρίξεως συναρτήσει της γωνίας τριβής αιχµής

31 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Η Τριαξονική οκιµή Θλίψεως Η µηχανική συµπεριφορά των εδαφών µελετάται εργαστηριακά συνήθως µε την τριαξονική δοκιµή θλίψεως. Όπως φαίνεται στο σχήµα, κατά την εν λόγω δοκιµή τοποθετείται ένα κυλινδρικό δοκίµιο εντός µίας κυψέλης πιέσεως και µέσω ενός εµβόλου επιτυγχάνεται η επιβολή του αξονικού φορτίου, P. Παράλληλα το δοκίµιο υπόκειται σε ολόπλευρη πίεση, σ c, η οποία επιβάλλεται µέσω του ρευστού της κυψέλης. Το δοκίµιο στεγανοποιείται από το ρευστό της κυψέλης µέσω µίας ελαστικής µεµβράνης που το περιβάλλει. Συνήθως το δοκίµιο θα είναι κορεσµένο µε ύδωρ. Στην περίπτωση της λεγόµενης στραγγιζόµενης, αργής, δοκιµής το ύδωρ των πόρων δύναται ελευθέρως (δηλ. υπο ατµοσφαιρική πίεση) να εισρέει ή να εκρέει από το δοκίµιο µέσω πωρολίθου και αγωγού, συνήθως µέσω της κάτω πλάκας φορτίσεως. Στην περίπτωση αυτή µετράµε τον όγκο Vwτου ύδατος που εισρέει ή εκρέει από το δοκίµιο κατά την διαδικασία φορτίσεως του. Στην περίπτωση της λεγόµενης αστράγγιστης δοκιµής το ύδωρ των πόρων δεν µπορεί να διαφύγει άλλα µέσω µίας αντισταθµιζόµενης συσκευής µπορεί κανείς να έχει µία µέτρηση της αναπτυσσόµενης πιέσεως των του ύδατος των πόρων p w. Τυπική διάταξη τριαξονικής δοκιµής Στο επόµενο σχήµα παραθέτουµε τη βελτίωση της τυπικής τριαξονικής συσκευής, όπως αυτή έχει προταθεί από τον συγγραφέα σε σειρά δηµοσιεύσεων και έχει γίνει δεκτή τουλάχιστον όσον αφορά δοκιµές για ερευνητικούς σκοπούς 5. Συµφώνως προς αυτή την πρόταση οι πλάκες επιβολής του φορτίου πρέπει να είναι µεγαλύτερες από το δοκίµιο, ώστε να µην εµποδίζουν την πλευρική διαστολή του. 5 Drescher A. and Vardoulakis I. (1982). Geometric softening in the triaxial test on granular material. Géotechnique, 32, Vardoulakis I. (1983). Rigid granular plasticity model and bifurcation in the triaxial test. Acta Μechanica, 49, Hettler A. and Vardoulakis I. (1984). Behavior of dry sand tested in a large triaxial apparatus. Géotechnique, 34,

32 138 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Οι πλάκες φορτίσεως πρέπει επίσης να είναι από σκληρό υλικό, λείες και να φέρουν ένα λεπτό στρώµα κατάλληλου λιπαντικού έτσι, ώστε µέσω µίας ελαστικής µεµβράνης επαφής να µειωθούν στο έλαχιστο οι παρασιτικές τριβές στά όρια του δοκιµίου. Επίσης η πάνω πλάκα πρέπει µετατίθεται παραλλήλως µέσω οδηγών για την αποφυγή λυγισµού του δοκιµίου. Τέλος ο λόγος του αρχικού ύψους H προς την αρχική διάµετρο D του δοκιµίου πρέπει είναι περίπου 1 (και όχι 2 όπως επιβάλλουν οι κανονισµοί) για την αποφυγή κατά το δυνατόν της βαρελοποιήσεως του δοκιµίου. Βελτιωµένη τραξονική συσκευή

33 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Φωτογραφία της βελτιωµένης τριαξονικής συσκεής 51 Λεπτοµέρεια διαµορφώσεως λιπάνσεως και διαµορφώσεως κεφαλής 52 Κατά την τριαξονική δοκιµή µετρώνται πρωτογενώς τα κάτωθι µεγέθη, Το αξονικό φορτίο ( P [kn] ) Η πίεση του ρευστού της κυψέλης ( σ c [kpa] ) Η µεταβολή του ύψους του δοκιµίου ( H [mm]) Η µεταβολή του όγκου του ύδατος των πόρων Vw, ή η µεταβολή της πιέσεως του ύδατος των πόρων pwή η µεταβολή της διαµέτρου Dή της περιµέτρου U. 51 Πρβλ. Hettler, A. (1983). Modelluntersuchungen fuerr Gruendungen in Sand. Bauingenieur, 58, Colliat-Dangus, J.-L., Desrues, J. and Foray, P. (1988). Triaxial testing of granular soil under elevated cell pressure. ASTM Sp. Techn. Publ. 977,

34 14 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Το ύψος και η διάµετρος του δοκιµίου κατά την παραµόρφωσή του δίδονται σε σχέση µε τις αρχικές τους τιµές και τις αντίστοιχες (θετικές) µεταβολές, H= H H, D= D + D Αρχικές διαστάσεις κυλινδρικού δοκιµίου και µετρούµενα µεγέθη κατά την τριαξονική δικιµή Οι αντίστοιχες λογαριθµικές τροπές σε κυλινδρικές συντεταγµένες ( r,z) είναι 53 λ z λ r H H H = ln ln 1 H = H H D D D = ln ln 1 D = + D D Οι λογαριθµικές τροπές, όπως υποδεικνύεται παραπάνω, για µικρές παραµορφώσεις ταυτίζονται µε προσέγγιση προσήµου µε τις ανίστοιχες γεωτεχνικές τροπές 54. Αυτές µε την σειρά τους ορίζονται ως εξής, H αξονική γεωτεχνική τροπή: ε 1= H D πλευρική γεωτεχνική τροπή: ε 3 = D Ο αρχικός και ο τρέχων όγκος του δοκιµίου είναι, 53 Παρατηρούµε ότι για µικρές τιµές του x ισχύει η προσέγγιση, ln( 1+ x) 1+ x 54 Στην Γεωτεχνική ισχύει η σύµβαση ότι οι θλιπτικές τάσεις και οι βραχύνσεις µηκών λαµβάνονται ως θετικές. Αντιθέτως στην Τεχνική Μηχανική οι εφελκυστικές τάσεις και οι επιµηκύνσεις θεωρούνται θετικές.

35 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, H 4 D V, H 4 D V 2 2 π = π = οπότε η λογαριθµική τροπή, 2 z r V V V V 1 ln V V ln D D H H ln 2 v + = = = +λ λ = είναι ένα µέτρο για την αλλαγή όγκου. Παρατηρούµε ότι για µικρές αλλαγές όγκου το λογαριθµικό µέτρο µεταβολής όγκου ταυτίζεται µε προσέγγιση προσήµου µε την αντίστοιχη γεωτεχνική τροπή για την µεταβολή του όγκου 2 v H H D D 2 H H 1 D D 1 1 V V + + = = ε ή 3 1 v 2ε + ε = ε Οπως αναφέραµε στα προηγούµενα κεφάλαια αυτών των Σηµειώσεων 55 οι µεταβολές του όγκου ενός εδαφικού δοκιµίου µε ασυµπίεστους κόκκους οφείλονται σε µεταβολές του πορώδους ή ισοδυνάµως του δείκτη πόρων, e n 1 n V V = = (3.28) Στην περίπτωση κορεσµένου εδάφους και ασυµπίεστου ρευστού οι µεταβολές του πορώδους ισούνται µε τις µεταβολές του όγκου του ύδατος των πόρων. Στην περίπτωσή µας θετική εκροή ύδατος από το δοκίµιο σηµαίνει µείωση του όγκου του και αντιστρόφως, άρα, V V w = Σε περίπτωση αστράγγιστης φορτίσεως, V w =, οπότε 56, + = = = H H D H H 1 D H H D D v 55 Πρβλ. εξ. (1.3) και (2.17) 56 x x) (1 1/ 2 + για 1 x <<.

36 142 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Στα πλαίσα της θεωρίας της Πλαστικότητος η ένταση διατµητικής παραµορφώσεως 57 ορίζεται ως εξής, g= 2 3 εr ε z Οι ολικές τάσεις σε κυλινδρικές συντεταγµένες υπολογίζονται από τα πρωτογενή δεδοµένα ως εξής, σz P = 2 πd / 4 +σc, σr = σθ = σc Ενεργές τάσεις υπολογίζονται από τις ολικές τάσεις στη βάση του ορισµού κατά Terzaghi, εξίσωση (2.21), σ z =σ z p w, κ.λπ. Στην σχετική τεχνική βιβλιογραφία θα συναντήσουµε τους παρακάτω ορισµούς, P µέγιστη γεωτεχνική τάση, σ 1 : σ 1 = σz = +σ 2 c, σ 1=σ1 pw πd / 4 ελάχιστη γεωτεχνική τάση, σ 2 = σ3 : σ 3 = σr = σc, σ 3 = σ3 pw αποκλίνουσα τάση 58 : q= σ1 σ3 = σ 1 σ p = σ1+ 2σ3 pw = σ 1+ 2σ q ο λόγος τάσεων: η = p µέση ενεργός τάση: ( ) ( ) 3.6 Η Θεωρία ιασταλτικότητας σε Τριαξονικές Συνθήκες Η θεωρία διασταλτικότητας του Taylor, που αναφέραµε στο προηγούµενο κεφάλαιο επεκτάθηκε σε συνθήκες τριαξονικής θλίψεως από τον Rowe 59,6. Για τη διατύπωση της θεωρίας αυτής εισάγουµε µέσω του κύκλου Mohr για τις τάσεις τον συντελεστή ενεργοποιηµένης τριβής και την αντίστοιχη γωνία τριβής σε τριαξονική θλίψη: σz σr sinϕ m = (3.29) σz +σr 57 Αγγλ. shearing strain intensity 58 Αγγλ. deviatoric stress 59 P.W. Rowe (1962). The stress-dilatancy relation for static equilibrium of an assembly of particles in contact. Proc. Roy. Soc., 269, P.W. Rowe (1971). Theoretical meaning and observed values of deformation parameters for soil. Proc. Roscoe Mem. Symp., Cambridge,

37 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Κύκλος Mohr των τάσεων σε τριαξονική θλίψη Αντί του παραπάνω συντελεστή ενεργοποιηµένης τριβής µπορούµε να ορίσουµε τον αντίστοιχο συντελεστή "παθητικής ωθήσεως", Km σz 1+ sinϕm 2 o = = = tan (45 + ϕm / 2) (3.3) σr 1 sinϕm Αντιστοίχως ο συντελεστής ενεργοποιηµένης διασταλτικότητας σε τριαξονική θλίψη ορίζεται ως ο λόγος µεταβολής του όγκου προς την αντίστοιχη διατµητική τροπή: dv δ = (3.31) dg Στην γεωτεχνική βιβλιογραφία χρησιµοποιείται αντιστοίχως η ποσότητα m dεv = 1 dε1 2dε3 = dε1 Παρατηρούµε ότι, δ ( dε + 2dε ) 1 3 = 2 (dε1 dε3 ) 3 3 m m 2 3 ( m 1) 2 Τα µέτρα αυτά για την διασταλτικότητα συσχετίζονται µε την αντίστοιχη γωνία ενεργοποιηµένης διασταλτικότητας, που ορίζεται στην περίπτωση τριαξονικής θλίψεως ως εξής 61,62 61 Vermeer, P.A. and de Borst, R. (1984). Non-associated plasticity for soils, concrete and rock. Heron, 29, No. 3.

38 144 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 3δ dε1+ 2dε3 sinψ m = = (3.32) 2 3+δ dε1 2dε3 Η υπόθεση του Rowe αφορά σε µία ενεργειακή εξίσωση, όπως εκείνη του Taylor. Ειδικώτερα ο Rowe υπέθεσε ότι κατά την διάρκεια µίας τριαξονικής θλίψεως ο λόγος του "παρεχόµενου" στο δοκίµιο έργου από το αξονικό φορτίο προς το έργο εκείνο που "αποδίδεται" από το δοκίµιο υπό µορφή πλευρικής διογκώσεως σε βάρος της πλευρική πιέσεως είναι σταθερός, " work in" " work out" σ1dε1 = = K c = σταθ. (3.33) 2σ3dε3 Θα παρατηρήσουµε στο σηµείο αυτό ότι, όπως φαίνεται στο παρακάτω σκίτσο η υπόθεση του Rowe βασίσθηκε σε µια αρχική ιδέα του Reynolds,. Σχηµατική παράταση της γνωστής ως εκτιµήσεως της διασταλτικότητας κατά Reynolds 63 Από τις παραπάνω σχέσεις (3.2) - (3.24) παίρνουµε τελικά την εξής γραµµική σχέση ως έκφραση της υποθέσεως Rowe, K m = K c m (3.34) Πειραµατικός έλεγχος της υποθέσεως του Rowe. εδοµένα από την εργασία των Schanz & Vermeer. 62 I. Vardoulakis and J. Sulem. Bifurcation Analysis in Geomechanics, Blackie Academic and Professional, sect , Πρβλ. Goddard, J.D. and Bashir Y.M. (199). On Reynolds dilatancy, recent developments in structured contunua. (eds. Dekee, D. and Kaloni, P.W. ), Vol. 2,

39 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Πειραµατικός έλεγχος της υποθέσεως του Rowe.) εδοµένα από την εργασία των King & Dickin 64 που αναφέρεται στην εργασία των Wan & Guo Στα παραπάνω διαγράµµατα από τις εργασίες των Schanz & Vermeer 65 και Wan & Guo 66, αναγνωρίζουµε την µερική τουλάχιστον επαλήθευση της υποθέσεως του Rowe. Στα διαγράµµατα αυτά παρατηρούµε ότι η ισοδύναµη γωνία τριβής, που ορίζεται κατ' αναλογίαν της σχέσεως (3.3) από την σχέση, Kc 2 o = tan (45 + ϕeq / 2) (3.35) κυµαίνεται µεταξύ των τιµών ϕ µ <ϕeq < ϕ cv που, όπως αναφέραµε πιο πάνω αντιστοιχούν αφ' ενός στην πραγµατική γωνία εσωτερικής τριβής του υλικού ϕ µ (δηλαδή τριβής στις επαφές των κόκκων) και στην φαινοµενολογική γωνία ενεργοποιηµένης τριβής που αντιστοιχεί στην κατάσταση ισόχωρης παραµορφώσεως ϕ cv. Στις παραπάνω αναφερόµενες εργασίες η γωνία τριβής ϕ cv ταυτίζεται µε την γωνία τριβής στην κρίσιµη κατάσταση, ϕ cv = ϕcs. 'Οπως δε αναφέρουν οι συγγραφείς η τιµή αυτή πρέπει να αντιδιασταλεί σαφώς από την τιµή ϕ mc, που λαµβάνει η ενεργοποιηµένη γωνία τριβής στην (αρχική) κατάσταση µεγίστης συµπυκνώσεως. 64 King, G.J.W. and Duickin, E.A. (197). Comparison of stress-dilatancy theories. J. Soil. Mech. Found. Div., ASCE, 96, (SM5) Schanz, T. and Vermeer, P.A. (1996). Angles of friction and dlatancy of sand. Géotechnique, 46, Wan, R.G. and Guo, P.J. (1999). A pressure and density dependent dilatancy model for sand for granular materials. Soils and Foundations, 39, 1-11.

40 146 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Παρατηρήσεις 1. Στην βάση των παραπάνω εξισώσεων (3.3)-(3.35) και για ϕ eq ϕcs έπεται ο τύπος των Vermeer & de Borst 67 για την διασταλτικότητα sinφm sinϕcs sinψ = (3.36) 1 sinϕm sinϕcs 2. Αξίζει να σηµειωθεί ότι τα αποτελέσµατα των Schanz & Vermeer παρουσιάζουν έντονα ασυνεχή συµπεριφορά. Αυτό το φαινόµενο είναι τυπικό σε κάθε περίπτωση που κανείς χρειάζεται για την βαθµονόµιση µίας θεωρίας να παραγωγίσει πειρµατικά δεδοµενα. Αυτό είναι φανερό στην προκείµενη περίπτωση αν γράψουµε την σχέση του Rowe αναλυτικά, σ1 σ3 = K c 2dε3 dε1 Το αριστερά σκέλος της παραπάνω εξισώσεως περιλαµβάνει την παράγωγο της πειραµτικής καµπύλης µεταβολής ακτινικής-αξονικής παραµορφώσεως. Γενικώς θα παρτηρήσουµε ότι δέον να αποφεύγεται η κατ' ευθείαν παραγώγιση πειραµατικών δεδοµένων αφού αυτή η διαδικασία οδηγεί σε ανεξέλεκτα σφάλµατα. Η παραγώγιση πειραµτικών δεδοµένων συνιστά από µαθηµατικής σκοπιάς ένα πρόβληµα µη-καλώς ορισµένο. Για την αντιµετώπισή του κάποια διαδικασία λείανσης των δεδοµένων είναι ανγκαία 68. Για παράδειγµα ας υπόθέσουµε ότι τα δεδοµένα για τον λόγο των τάσεων προσεγγίζονται από µία σχέση της µορφής, σ1 σ3 = f( ε1) τότε από την παραπάνω σχέση του Rowe παίρνουµε ε1 1 ε3 = f( ε) dε 2K c Με αυτή τη συνάρτηση θα πρέπει να προσεγγίσουµε τα πρωτογενή δεδοµένα { ε 3,ε 1 }, µε τη σταθερά K c ως παράµετρο βελτιστοποιήσεως 67 Πρβλ. Bolton, M.D. (1986). The strength and dilatancy of sands. Géotechnique, 36, Πρβλ. V.A. Morozov, Methods for Solving Incorrectly Posed Problems. Springer-Verlag, ch. 4 sect. 2, 1984).

41 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 'Ασκηση Να ελεγχθεί υ υπόθεση του Rowe για τα εξής δεδοµένα από ένα τριαξονικό πείραµα θλίψεως σε ξηρή άµµο Karlsruhe ( G s = 2. 66, e =. 539, H = 5.81cm, D = 6.94cm).

42 148 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Θεωρία Κρίσιµης Καταστάσεως 69 Στα διαγράµµατα τάσεων-παραµορφώσεων, που παραθέτουµε παρακάτω από την εργασία των Colliat-Dangus et al. 7, παρατηρούµε την µεταβολή της συµπεριφοράς µιας "πυκνής" ασβεστολιθικής άµµου σε τριαξονικές δοκιµές και για διάφορες τιµές της ολόπλευρης πιέσεως. Είναι φανερό από το τυπικό αυτό αποτέλεσµα ότι για δεδοµένο δείκτη πόρων e µία δεδοµένη άµµος για αρκετά χαµηλές ενεργές πιέσεις θα συµπεριφέρεται ως "πυκνή" (δηλ. θα εµφανίζει διαστολή) ενώ σε υψηλές ενεργές πιέσεις η ίδια άµµος θα συµπεριφέρεται ως "χαλαρή" 71. ιαγράµµατα τάσεων-τροπών για µία ασβεστολιθική άµµο και αύξουσα ολόπλευρη πίεση (Colliat-Dangus et al., 1988) Για τη µαθηµατική περιγραφή αυτού του φαινοµένου ξεκινάµε από την παρδοχή ότι ένα κοκκώδες υλικό εµφανίζει διαστολική συµπεριφορά όταν η πυκνότητα του (ο δείκτης πόρων) είναι µεγαλύτερη (µικρότερος) της αντίστοιχης πυκνότηας (δείκτη πόρων) στην "κρίσιµη κατάσταση". Πράγµατι αν λάµβουµε υπ' όψη τα πειραµατικά δεδοµένα οδηγούµεθα στο συµπέρασµα ότι η κρίσιµη κατάσταση χαρακτηρίζεται από µία µοναδική σχέση µεταξύ των ενεργών τάσεων, του δείκτη πόρων και της αποκλίνουσας τάσεως 72, ( cs) : F(p cs,qcs,ecs ) = (3.37) 69 Αγγλ. Critical State Soil Mechanics 7 Colliat-Dangus, J.-L., Desrues, J. and Foray, P. (1988). Triaxial testing of granular soil under elevated cell pressure. ASTM Sp. Techn. Publ. 977, Πρβλ. Li, X.S. and Dafalias, Y.F. (2). Dilatancy for cohesionless soils. Géotechnique, 5, Roscoe, K.H., Schofield, A.N. and Wroth, C.P. (1958). On the yielding of soils. Géotechnique, 8,

43 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Ειδικότερα µέσα στα πλαίσια της αντίστοιχης θεωρίας "Κρίσιµης Καταστάσεως" θα δεχθούµε συνήθως ότι: α) ο λόγος των τάσεων στην κρίσιµη κατάσταση είναι σταθερός, qcs 6sinϕ η cs cs = = M= (3.38) p cs 3 sinϕcs και β) ο δείκτης πόρων στην κρίσιµη κατάσταση αποδίδεται σε ένα ηµιλογαριθµικό διάγραµµα µε µία ευθεία p e cs = ecs,ref Λln (3.39) pref Οι αντίστοιχες ευθείες χαρακτηρίζονται ως οι γραµµές κρίσιµης καταστάσεως (CSL) 73. Τα ίχνη της "κρίσιµης επιφάνειας" F = στους αντίστοιχους υπόχωρους 'Οπως φαίνεται από το επόµενο διάγραµµα οι παραπάνω µαθηµατικές εκφράσεις συνιστούν απλουστεύσεις της πραγµατικής συµπεριφοράς των κοκκωδών υλικών. Γραµµή Κρίσιµης Καταστάσεως. εδοµένα από την εργασία των Verdugo & Ishihara 74 που ανφέρεται στην εργασία των Wan & Guo 73 Αγγλ. Critical State Line (CSL) 74 Verdugo, R. and Ishihara, K. (1996). The steady state of sandy soils. Soils and Foundations, 36,

3 ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ... 79

3 ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ... 79 Θεωρία Πλαστικής Ροής, Κεφ. 3, Ι. Βαρδουλάκης 2009 79 3 ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ 3 ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ... 79 3.1 Ελαστοπλαστικός ιαχωρισµός της Τροπής... 81 3.2 Συνθήκη ιαρροής... 83 3.3 Νόµος

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 1

Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 1 Εύκαμπτες Αντιστηρίξεις & Αγκυρώσεις Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 1 2. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΔΑΦΙΚΩΝ ΩΘΗΣΕΩΝ (& επανάληψη Εδαφομηχανικής) Γιώργος Μπουκοβάλας Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

1η Εργαστηριακή Άσκηση: Πείραµα εφελκυσµού µεταλλικών δοκιµίων

1η Εργαστηριακή Άσκηση: Πείραµα εφελκυσµού µεταλλικών δοκιµίων 1η Εργαστηριακή Άσκηση: Πείραµα εφελκυσµού µεταλλικών δοκιµίων 1.1. Σκοπός Οι σπουδαστές θα πρέπει να αναλύουν βήµα προς βήµα τους χειρισµούς που πρέπει να εκτελέσουν για να προσδιορίσουν πειραµατικά την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η Σκοπός Σκοπός του πειράµατος είναι ο προσδιορισµός των χαρακτηριστικών τιµών αντοχής του υλικού που ορίζονταιστηκάµψη, όπωςτοόριοδιαρροήςσεκάµψηκαιτοόριοαντοχής

Διαβάστε περισσότερα

(a) Λεία δοκίµια, (b) δοκίµια µε εγκοπή, (c) δοκίµια µε ρωγµή

(a) Λεία δοκίµια, (b) δοκίµια µε εγκοπή, (c) δοκίµια µε ρωγµή ΜηχανικέςΜετρήσεις Βασισµένοστο Norman E. Dowling, Mechanical Behavior of Materials: Engineering Methods for Deformation, Fracture, and Fatigue, Third Edition, 2007 Pearson Education (a) οκιµήεφελκυσµού,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

«γεωλογικοί σχηματισμοί» - «γεωϋλικά» όρια εδάφους και βράχου

«γεωλογικοί σχηματισμοί» - «γεωϋλικά» όρια εδάφους και βράχου «γεωλογικοί σχηματισμοί» - «γεωϋλικά» έδαφος (soil) είναι ένα φυσικό σύνολο ορυκτών κόκκων που μπορούν να διαχωριστούν με απλές μηχανικές μεθόδους (π.χ. ανακίνηση μέσα στο νερό) όλα τα υπόλοιπα φυσικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε κίνηση ενός κινητού; 2. Τι ονομάζουμε τροχιά ενός κινητού; 3. Τι ονομάζουμε υλικό σημείο; 4. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες Σημειώσεις

Πρόχειρες Σημειώσεις Πρόχειρες Σημειώσεις ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΔΟΧΕΙΑ ΠΙΕΣΗΣ Τα λεπτότοιχα δοχεία πίεσης μπορεί να είναι κυλινδρικά, σφαιρικά ή κωνικά και υπόκεινται σε εσωτερική ή εξωτερική πίεση από αέριο ή υγρό. Θα ασχοληθούμε μόνο

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Μεταπτυχιακό πρόγραµµα σπουδών «Αντισεισµικός Σχεδιασµός Τεχνικών Έργων» Μάθηµα: «Αντισεισµικός Σχεδιασµός Θεµελιώσεων,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης 5.1. Μορφές κάµψης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης Η γενική κάµψη (ή κάµψη), κατά την οποία εµφανίζεται στο φορέα (π.χ. δοκό) καµπτική ροπή (Μ) και τέµνουσα δύναµη (Q) (Σχ. 5.1.α).

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Ερπυσμού. ΕργαστηριακήΆσκηση 4 η

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Ερπυσμού. ΕργαστηριακήΆσκηση 4 η ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Ερπυσμού ΕργαστηριακήΆσκηση 4 η Σκοπός Σκοπός του πειράµατος είναι ο πειραµατικός προσδιορισµός της καµπύλης ερπυσµού, υπό σταθερό εξωτερικό φορτίο και ελεγχοµένη θερµοκρασία εκτέλεσης

Διαβάστε περισσότερα

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια 8 Κρούσεις Στην µηχανική µε τον όρο κρούση εννοούµε τη σύγκρουση δύο σωµάτων που κινούνται το ένα σχετικά µε το άλλο.το ϕαινόµενο της κρούσης έχει δύο χαρακτηριστικά : ˆ Εχει πολύ µικρή χρονική διάρκεια.

Διαβάστε περισσότερα

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση.

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. 12ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. Το όργανο μέτρησης του βάρους ενός σώματος είναι : α) το βαρόμετρο, β) η ζυγαριά, γ) το δυναμόμετρο, δ) ο αδρανειακός ζυγός.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Κατεργασία (process) είναι η διαδικασία µορφοποίησης των υλικών που εκµεταλλεύεται την ιδιότητά τους να παραµορφώνονται πλαστικά (µόνιµες µεγάλες παραµορφώσεις) και συνδυάζει

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Ε Ι Σ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4

Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Ε Ι Σ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυµα Σερρών Σχολή Τεχνολογικών Εφαρµογών Τµήµα Πολιτικών οµικών Έργων Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Ε Ι Σ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Βαθιές θεµελιώσεις ιδάσκων: Κίρτας Εµµανουήλ Σέρρες, Σεπτέµβριος 2010 1

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Μπουκοβάλας. Φεβρουάριος 2015. Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 3.1

Γιώργος Μπουκοβάλας. Φεβρουάριος 2015. Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 3.1 3. Ανάλυση & Σχεδιασμός ΕΥΚΑΜΠΤΩΝ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΕΩΝ Γιώργος Μπουκοβάλας Καθηγητής Ε.Μ.Π. Φεβρουάριος 2015 Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 3.1 Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Τι είναι αέριο; Λέμε ότι μία ουσία βρίσκεται στην αέρια κατάσταση όταν αυθόρμητα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ 1. Τι εννοούµε λέγοντας θερµοδυναµικό σύστηµα; Είναι ένα κοµµάτι ύλης που αποµονώνουµε νοητά από το περιβάλλον. Περιβάλλον του συστήµατος είναι το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση (FEM) της δυναµικής συµπεριφοράς του κοπτικού εργαλείου κατά το φραιζάρισµα

Μοντελοποίηση (FEM) της δυναµικής συµπεριφοράς του κοπτικού εργαλείου κατά το φραιζάρισµα Μοντελοποίηση (FEM) της δυναµικής συµπεριφοράς του κοπτικού εργαλείου κατά το φραιζάρισµα Κατά την διάρκεια των κοπών η κοπτική ακµή καταπονείται οµοιόµορφα σε µήκος της επιφάνειας αποβλίττου ίσο µε το

Διαβάστε περισσότερα

υναµική στο επίπεδο.

υναµική στο επίπεδο. στο επίπεδο. 1.3.1. Η τάση του νήµατος, πού και γιατί; Έστω ότι σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεµούν δύο σώµατα Α και Β µε µάζες Μ=3kg και m=2kg αντίστοιχα, τα οποία συνδέονται µε ένα νήµα. Σε µια στιγµή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1.

Διαβάστε περισσότερα

Περατότητα και Διήθηση διαμέσου των εδαφών

Περατότητα και Διήθηση διαμέσου των εδαφών Περατότητα και Διήθηση διαμέσου των εδαφών Costas Sachpazis, (M.Sc., Ph.D.) Διάρκεια = 17 λεπτά 1 Τι είναι Περατότητα των εδαφών? Ένα μέτρο για το πόσο εύκολα ένα ρευστό (π.χ., νερό) μπορεί να περάσει

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικές ιδιότητες υάλων. Διάγραμμα τάσης-παραμόρφωσης (stress-stain)

Μηχανικές ιδιότητες υάλων. Διάγραμμα τάσης-παραμόρφωσης (stress-stain) Μηχανικές ιδιότητες υάλων Η ψαθυρότητα των υάλων είναι μια ιδιότητα καλά γνωστή που εύκολα διαπιστώνεται σε σύγκριση με ένα μεταλλικό υλικό. Διάγραμμα τάσης-παραμόρφωσης (stress-stain) E (Young s modulus)=

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

2). i = n i - n i - n i (2) 9-2

2). i = n i - n i - n i (2) 9-2 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΗ ΤΑΣΗ ΙΑΛΥΜΑΤΩΝ Έννοιες που πρέπει να γνωρίζετε: Εξίσωση Gbbs-Duhem, χηµικό δυναµικό συστατικού διαλύµατος Θέµα ασκήσεως: Μελέτη της εξάρτησης της επιφανειακής τάσης διαλυµάτων από την συγκέντρωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κόσκινο κατά ASTM ή διάσταση

Κόσκινο κατά ASTM ή διάσταση Μάθημα: Εδαφομηχανική Ι, 5 ο εξάμηνο. Διδάσκων: Ιωάννης Ορέστης Σ. Γεωργόπουλος, Π.Δ.407/80, Δρ Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π. Θεματική περιοχή: Φυσικά χαρακτηριστικά εδαφών. Ημερομηνία: Δευτέρα 18 Οκτωβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις εδάφους νερού Σχέσεις μάζας όγκου των συστατικών του εδάφους Εδαφική ή υγρασία, τρόποι έκφρασης

Σχέσεις εδάφους νερού Σχέσεις μάζας όγκου των συστατικών του εδάφους Εδαφική ή υγρασία, τρόποι έκφρασης Γεωργική Υδραυλική Αρδεύσεις Σ. Αλεξανδρής Περιγραφή Μαθήματος Σχέσεις εδάφους νερού Σχέσεις μάζας όγκου των συστατικών του εδάφους Εδαφική ή υγρασία, τρόποι έκφρασης Χαρακτηριστική Χ ή καμπύλη υγρασίας

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 15 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Μαΐου 15 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ- Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ- ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 0 Μαΐου 05 Ώρα : 0:0 - :00 ΘΕΜΑ 0 (µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 Α) Τί είναι µονόµετρο και τί διανυσµατικό µέγεθος; Β) Τί ονοµάζουµε µετατόπιση και τί τροχιά της κίνησης; ΘΕΜΑ 2 Α) Τί ονοµάζουµε ταχύτητα ενός σώµατος και ποιά η µονάδα

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ (ΠΙΝΑΚΑΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟΣ)

ΟΡΙΑΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ (ΠΙΝΑΚΑΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟΣ) Σχεδιασμός Θεμελιώσεων με Πασσάλους με βάση τον Ευρωκώδικα 7.1 Β. Παπαδόπουλος Τομέας Γεωτεχνικής ΕΜΠ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΙΣ ΜΕ ΠΑΣΣΑΛΟΥΣ ΟΡΙΑΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ (ΠΙΝΑΚΑΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟΣ) ΑΣΤΟΧΙΑΣ Απώλεια συνολικής ευστάθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Κρούσης. ΕργαστηριακήΆσκηση 6 η

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Κρούσης. ΕργαστηριακήΆσκηση 6 η ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Κρούσης ΕργαστηριακήΆσκηση 6 η Σκοπός Σκοπός του πειράµατος είναι να κατανοηθούν οι αρχές του πειράµατος κρούσης οπροσδιορισµόςτουσυντελεστήδυσθραυστότητας ενόςυλικού. Η δοκιµή, είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VII. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΡΑΥΣΕΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. Εισαγωγή Θραύση (fracture) ονοµάζεται ο διαχωρισµός, ή θρυµµατισµός, ενός στερεού σώµατος σε δύο ή περισσότερα κοµµάτια, κάτω από την επίδραση

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικές & Μηχανικές Ιδιότητες

Φυσικές & Μηχανικές Ιδιότητες Μάθημα 5 ο Ποιες είναι οι Ιδιότητες των Υλικών ; Φυσικές & Μηχανικές Ιδιότητες Κατεργαστικότητα & Αναφλεξιμότητα Εφελκυσμός Θλίψη Έλεγχοι των Υλικών Φορτίσεις -1 ιάτμηση Στρέψη Έλεγχοι των Υλικών Φορτίσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Εύρεση της πυκνότητας στερεών και υγρών.

Εύρεση της πυκνότητας στερεών και υγρών. Μ4 Εύρεση της πυκνότητας στερεών και υγρών. 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή προσδιορίζεται πειραματικά η πυκνότητα του υλικού ενός στερεού σώματος. Το στερεό αυτό σώμα βυθίζεται ή επιπλέει σε υγρό γνωστής πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΠΥΡΙΔΩΝΑ ΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕ ΕΞΕΤΑΕΙ ΦΥΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31-05-2012 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 07.45 10.15 Οδηγίες 1. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 9 σελίδες.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

1. Μηχανικές ιδιότητες των στερεών 1.1 Καταπονήσεις και είδη παραµορφώσεων των στερεών

1. Μηχανικές ιδιότητες των στερεών 1.1 Καταπονήσεις και είδη παραµορφώσεων των στερεών . Μηχανικές ιδιότητες των στερεών. Καταπονήσεις και είδη παραµορφώσεων των στερεών Όπως αναφέραµε στην παράγραφο., µεταξύ των ατόµων, ή µορίων των στερεών ασκούνται συγχρόνως τόσο ελκτικές όσο και απωστικές

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικές ιδιότητες οδοντικών υλικών

Φυσικές ιδιότητες οδοντικών υλικών Φυσικές ιδιότητες οδοντικών υλικών Η γνώση των µηχανικών ιδιοτήτων των υλικών είναι ουσιώδης για την επιλογή ενδεδειγµένης χρήσης και την µακρόχρονη λειτουργικότητά τους. Στη στοµατική κοιλότητα διαµορφώνεται

Διαβάστε περισσότερα

XΑΛΥΒΔOΦΥΛΛΟ SYMDECK 73

XΑΛΥΒΔOΦΥΛΛΟ SYMDECK 73 XΑΛΥΒΔOΦΥΛΛΟ SYMDECK 73 20 1 XΑΛΥΒΔΌΦΥΛΛΟ SYMDECK 73 ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΣΥΜΜΙΚΤΩΝ ΠΛΑΚΩΝ Σύμμικτες πλάκες ονομάζονται οι φέρουσες πλάκες οροφής κτιρίων, οι οποίες αποτελούνται από χαλυβδόφυλλα και επί τόπου έγχυτο

Διαβάστε περισσότερα

. ΠΡΩΤΟΣ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ

. ΠΡΩΤΟΣ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ . ΠΡΩΤΟΣ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ 1. Σε µια ισόθερµη µεταβολή : α) Το αέριο µεταβάλλεται µε σταθερή θερµότητα β) Η µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας είναι µηδέν V W = PV ln V γ) Το έργο που παράγεται δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Ελαστικότητα-ακαµψία οφθαλµού Friedenwald 1937

Ελαστικότητα-ακαµψία οφθαλµού Friedenwald 1937 Ελαστικότητα-ακαµψία οφθαλµού Friedenwald 1937 Στατήρα Σταυρούλα 1 Εισαγωγή Ο συντελεστής οφθαλµικής ακαµψίας συσχετίζει τη µεταβολή της πίεσης µε τη µεταβολή του όγκου µέσα στον οφθαλµό. Η παράµετρος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας

Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας ΔΥΝΑΜΗ ΕΡΓΟ ΕΝΕΡΓΕΙΑ µηχανική, χηµική, θερµότητα, βαρυτική, ηλεκτρική, µαγνητική, πυρηνική, ραδιοενέργεια, τριβής, κινητική, δυναµική Περιεχόµενα Κεφαλαίου 8 Συντηρητικές

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ Σ ένα στερεό ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις. Όταν το στερεό ισορροπεί, δηλαδή ισχύει ότι F 0 και δεν περιστρέφεται τότε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν Στ=0,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική

Διαβάστε περισσότερα

Κατακόρυφος αρμός για όλο ή μέρος του τοίχου

Κατακόρυφος αρμός για όλο ή μέρος του τοίχου ΤΥΠΟΙ ΦΕΡΟΝΤΩΝ ΤΟΙΧΩΝ ΚΑΤΑ EC6 Μονόστρωτος τοίχος : τοίχος χωρίς ενδιάμεσο κενό ή συνεχή κατακόρυφο αρμό στο επίπεδό του. Δίστρωτος τοίχος : αποτελείται από 2 παράλληλες στρώσεις με αρμό μεταξύ τους (πάχους

Διαβάστε περισσότερα

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Β ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2009-2010 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Επιτρεπόμενη διάρκεια γραπτού 2,5 ώρες (150 λεπτά)

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Β ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2009-2010 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Επιτρεπόμενη διάρκεια γραπτού 2,5 ώρες (150 λεπτά) ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Β ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2009-2010 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31/05/2010 ΤΑΞΗ: Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ: 07:30 10:00 π.μ. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:... ΤΜΗΜΑ:...

Διαβάστε περισσότερα

Ν. Σαμπατακάκης Αν. Καθηγητής Εργαστήριο Τεχνικής Γεωλογίας Παν/μιο Πατρών

Ν. Σαμπατακάκης Αν. Καθηγητής Εργαστήριο Τεχνικής Γεωλογίας Παν/μιο Πατρών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΑΤΑΛΛΗΛΟΤΗΤΑ Ε ΑΦΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΠΙΧΩΜΑΤΩΝ (1 ο ΜΕΡΟΣ) Τεχνική Γεωλογία - Γεωτεχνική Μηχανική 1. Υλικά έδρασης (θεμελίωσης) κατασκευών 2. Υλικά κατασκευής τεχνικών έργων (επιχώματα,φράγματα,

Διαβάστε περισσότερα

Mάθημα: Θερμικές Στροβιλομηχανές. Εργαστηριακή Ασκηση. Μέτρηση Χαρακτηριστικής Καμπύλης Βαθμίδας Αξονικού Συμπιεστή

Mάθημα: Θερμικές Στροβιλομηχανές. Εργαστηριακή Ασκηση. Μέτρηση Χαρακτηριστικής Καμπύλης Βαθμίδας Αξονικού Συμπιεστή Ε.Μ. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕIΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡIΟ ΘΕΡΜIΚΩΝ ΣΤΡΟΒIΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΡΕΥΣΤΩΝ Mάθημα: Θερμικές Στροβιλομηχανές Εργαστηριακή Ασκηση Μέτρηση Χαρακτηριστικής Καμπύλης Βαθμίδας Αξονικού Συμπιεστή Κ. Μαθιουδάκη Καθηγητή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο T3. Ηχητικά κύµατα

Κεφάλαιο T3. Ηχητικά κύµατα Κεφάλαιο T3 Ηχητικά κύµατα Εισαγωγή στα ηχητικά κύµατα Τα κύµατα µπορούν να διαδίδονται σε µέσα τριών διαστάσεων. Τα ηχητικά κύµατα είναι διαµήκη κύµατα. Διαδίδονται σε οποιοδήποτε υλικό. Είναι µηχανικά

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου.

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. Μ3 Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή θα προσδιοριστεί η σταθερά ενός ελατηρίου χρησιμοποιώντας στην ακολουθούμενη διαδικασία τον νόμο του Hooke και τη σχέση της περιόδου

Διαβάστε περισσότερα

ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ. Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος Γ εξάμηνο

ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ. Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος Γ εξάμηνο ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος Γ εξάμηνο ΜΟΥΤΣΟΠΟΥΛΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΛΕΚΤΟΡΑΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΠΟΛΙΤΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ -Ειδικότητα Υδραυλική Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 1 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή... 1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή... 1 Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή... 1 1.1 Ιστορική αναδρομή...1 1. Μικροδομή του χάλυβα...19 1.3 Τεχνολογία παραγωγής χάλυβα...30 1.4 Μηχανικές ιδιότητες χάλυβα...49 1.5 Ποιότητες δομικού χάλυβα...58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Στερεοποίηση των Αργίλων

Στερεοποίηση των Αργίλων Στερεοποίηση των Αργίλων Costas Sachpazis, (M.Sc., Ph.D.) Διάρκεια: 17 Λεπτά. 1 Τι είναι Στερεοποίηση ; Όταν μία κορεσμένη άργιλος φορτίζεται εξωτερικά, GL Στάθμη εδάφους κορεσμένη άργιλος το νερό συμπιέζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΥΛΙΚΟΥ

ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΥΛΙΚΟΥ 19 Γ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΥΛΙΚΟΥ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι βασικότερες κατεργασίες με αφαίρεση υλικού και οι εργαλειομηχανές στις οποίες γίνονται οι αντίστοιχες κατεργασίες, είναι : Κατεργασία Τόρνευση Φραιζάρισμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΙΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ. Ν. Σαμπατακάκης Καθηγητής Εργαστήριο Τεχνικής Γεωλογίας Παν/μιο Πατρών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΙΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ. Ν. Σαμπατακάκης Καθηγητής Εργαστήριο Τεχνικής Γεωλογίας Παν/μιο Πατρών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΙΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ κύριο ερώτημα ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ ΑΝΩΔΟΜΗΣ το γενικό πρόβλημα πως θα αντιδράσει η απεριόριστη σε έκταση εδαφική μάζα??? ζητούμενο όχι «θραύση» εδαφικής μάζας εύρος καθιζήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση

Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1 H θέση ενός κινητού που κινείται σε ένα επίπεδο, προσδιορίζεται κάθε στιγμή αν: Είναι γνωστές οι συντεταγμένες του κινητού (x,y) ως συναρτήσεις του χρόνου Είναι γνωστό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1

ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 ΘΕΜΑ 1 0 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Έργο και Ενέργεια. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 7 Έργο και Ενέργεια. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 7 Έργο και Ενέργεια Περιεχόµενα Κεφαλαίου 7 Το έργο σταθερής δύναµης Εσωτερικό Γινόµενο δύο διανυσµάτων Έργο µεταβλητής δύναµης Σχέση Ενέργειας και έργου 7-1 Το έργο σταθερής δύναµης Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ

ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ 5 ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα διάφορα µηχανολογικά εξαρτήµατα παίρνουν την αρχική τους µορφή κατά κανόνα µε µεθόδους µορφοποίησης (ιδιαίτερα χύτευση) χωρίς αφαίρεση υλικού, αφήνοντας µικρή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

f = c p + 2 (1) f = 3 1 + 2 = 4 (2) x A + x B + x C = 1 (3) x A + x B + x Γ = 1 3-1

f = c p + 2 (1) f = 3 1 + 2 = 4 (2) x A + x B + x C = 1 (3) x A + x B + x Γ = 1 3-1 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΦΑΣΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΟΛΛΩΝ ΣΥΣΤΑΤΙΚΩΝ ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΙΑΛΥΤΟΤΗΤΑ Θέµα ασκήσεως Προσδιορισµός καµπύλης διαλυτότητας σε διάγραµµα φάσεων συστήµατος τριών υγρών συστατικών που το ένα ζεύγος παρουσιάζει περιορισµένη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 14: ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 14: ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 14: ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 159 Εισαγωγή: Μηχανική ονομάζεται το τμήμα της Φυσικής, το οποίο εξετάζει την κίνηση και την ισορροπία των σωμάτων. Επειδή η σημασία της είναι μεγάλη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ Η ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΩΝ ΤΕΛΕΙΩΝ ΑΕΡΙΩΝ

ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ Η ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΩΝ ΤΕΛΕΙΩΝ ΑΕΡΙΩΝ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ Η ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΩΝ ΤΕΛΕΙΩΝ ΑΕΡΙΩΝ Η εξίσωση αυτή εκφράζει μια σχέση μεταξύ της πίεσης, της θερμοκρασίας και του ειδικού όγκου. P v = R Όπου P = πίεση σε Pascal v = Ο ειδικός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Καραγιάννης, Καθηγητής

Χρήστος Καραγιάννης, Καθηγητής ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Ν Τομέας Δομικών Κατασκευών ΣΥΓΚΟΛΛΗΣΕΙΣ ΧΑΛΥΒΩΝ και ΑΓΚΥΡΩΣΕΙΣ ΟΠΛΙΣΜΟΥ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑΤΟΣ Χρήστος Καραγιάννης, Καθηγητής στις Κατασκευές α Ωπλισμένου

Διαβάστε περισσότερα