1 Vardoulakis I. Behavior of Granular Materials. In: Handbook of Materials Behavior Models (Jean

Transcript

1 3. Aντοχή και Αστοχία µη-συνεκτικών Eδαφών 3.1 Η αντοχή και ο βασικός µηχανισµός αστοχίας µη-συνεκτικών εδαφών Τριβή και διασταλτικότητα Θεωρία διασταλτικής τριβής κατά Taylor Εφαρµογές Κρίσιµο βάθος ανυποστήρικτης σήραγγας Εκτίµηση της υποστηρίξεως οροφής σήραγγας Η Τριαξονική δοκιµή θλίψεως Η θεωρία διασταλτικότητος σε τριαξονικές συνθήκες Θεωρία κρίσιµης καταστάσεως Συµπεριφορά κοκκωδών εδαφών κάτω από αστράγγιστες συνθήκες - Ρευστοποίηση 15 Παράρτηµα: 1964 Niigata Εarthquake, Japan 158 Συζυγείς ζώνες διατµήσεως σε περλίτη στη Σαρακίνα της Μήλου 1 1 Vardoulakis I. Behavior of Granular Materials. In: Handbook of Materials Behavior Models (Jean Lemaitre Ed.) Chapter 11.4, Academic Press, 21

2 18 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 H ιατµητική Aντοχή Μη-Συνεκτικών Eδαφών 23, Ιωάννης Γ. Βαρδουλάκης, Καθηγητής της Μηχανικής, Ε.Μ. Πολυτεχνείο, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Τοµέας Μηχανικής, Ηρώων Πολυτεχνείου 5, Ζωγράφου , Αθήνα. I.Vardoulakis@mechan.ntua.gr Τ.Θ. 144, Παιανία 192

3 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Η Αντοχή και ο Βασικός Μηχανισµός Αστοχίας µη- Συνεκτικών Εδαφών Για την κατασκευή µιας θεωρίας αντοχής των µη-συνεκτικών υλικών θα προσφύγουµε συνήθως σε κάποιο µικρο-µηχανικό προσοµοίωµα του εδάφους. Έτσι υποθέτουµε ότι η αντοχή ενός µη-συνεκτικού, κοκκώδους υλικού οφείλεται στην δυνατότητα αναπτύξεως δυνάµεων επαφής µεταξύ δύο κόκκων (i) και (j), i j i F, F = F. j i j Μικροµηχανικό µοντέλο δοµής κοκκώδους υλικού και µακροσκοπικές τάσεις i i Έστω N j και T j η ορθή και η διατµητική συνιστώσα αντιστοίχως της δυνάµεως επαφής στο κοινό επίπεδο επαφής µεταξύ δύο κόκκων. Υποθέτουµε ότι στην επαφή αυτή δεν αναπτύσσονται συνεκτικές δυνάµεις, οπότε δεχόµαστε ότι: α) η ορθή συνιστώσα είναι αυστηρά θλιπτική 2 και β) η διατµητική συνιστώσα της δυνάµεως επαφής υπακούει στον νόµο τριβής κατά Coulomb, i T j i N j tanϕ µ Οι επαφές των κόκκων χαρακτηρίζονται από µία γωνία εσωτερικής τριβής 3 ϕ, µ που εξαρτάται από την υφή και λειότητα της επιφάνειας των κόκκων. Ως συνέπεια αυτής της υποθέσεως θεωρούµε ότι και οι µακροσκοπικές τάσεις, που εµφανίζονται σε κάποιο "επίπεδο" αστοχίας υπακούουν σε ένα µακροσκοπικό νόµο τριβής, τ= σ tan ϕ (3.1) 2 Ένας τέτοιος σύνδεσµος καλείται µονόπλευρος (Αγγλ. unilateral constraint) 3 ηλ. της γωνίας τριβής που χαρακτηρίζει τις µεταξύ των κόκκων επαφές.

4 11 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Η γωνία φ καλείται γωνία τριβής του εδάφους. Για τον προσδιορισµό της γωνίας τριβής του εδάφους θα προσφύγουµε είτε σε εργαστηριακές δοκιµές, είτε σε δοκιµές πεδίου, είτε σε αντίστροφες στατικές αναλύσεις πραγµατικών περιπτώσεων αστοχίας γεωκατασκευών. Σχετικά µε το τρόπο αστοχίας των εδαφών θα παρατηρήσουµε ότι η "θραύση 4 " εντοπίζεται σε µία λεπτή ζώνη έντονης διατµήσεως του εδάφους, ενώ οι παρακείµενες εδαφικές µάζες εκατέρωθεν της "επιφάνειας" αστοχίας συµπεριφέρονται µάλλον ως απολύτως στερεά σώµατα. Θα παρατηρήσουµε δε ότι, όπως δείχνουν οι παρατιθέµενες φωτογραφίες και ραδιογραφίες, τα πειραµατικά δεδοµένα ενισχύουν την υπόθεση του Roscoe 5, ότι το πάχος της ζώνης εντοπισµού της διατµήσεως (της "επιφάνειας" αστοχίας) δεν εξαρτάται από τις εξωτερικές γεωµετρικές διαστάσεις του εκάστοτε προβλήµατος αλλά από τη µικροδοµή του υλικού και κυρίως από την διάσταση του µέσου κόκκου του υλικού 6,7. Προσδιορισµός του πάχους της ζώνης έντονης διατµήσεως, λοπθ εντοπίζεται το φαινόµενο της αστοχίασ ενός αµµώδους εδαφους καταπονούµενου σε διαξονική θλίψη. Στην αρνητική ραδιογραφία φαίνεται η ζώνη διατµήσεως σκιασµένη ως ζώνη έντονης αυξήσεως του πορώδους 8 4 Ο όρος θραύση είναι µάλλον ατυχής εν προκειµένω αφού τα εδάφη είναι υλικά κατ' εξοχήν κατακερµατισµένα και δεν δύνανται να θραυσθούν περαιτέρω, αν εξαιρέσουµε βεβαίως την περίπτωση φθοράς και κατακερµατισµού των κόκκων που ενίοτε συµβαίνει κάτω από σηµαντικές θλιπτικές και διατµητικές καταπονήσεις (άλεση). 5 K.H. Roscoe (197). The influence of strains in soil mechanics, Géotechnique, 2, Vardoulakis, I. Schefugenbildung in Sandkörpern als Verzweigungsproblem, Disertation, Unversität Karlruhe, 1977, Veröffentlichungen, I.B.F. Heft Nr.7. 7 Mühlhaus, H.-B. and I. Vardoulakis (1987). The thickness of shear bands in granular materials, Géotechnique, 37, Vardoulakis, I., Graf, B. and A. Hettler (1985). Shear-band formation in a fine-grained sand. 5th Int. Conf. on Numerical Methods in Geomechanics, 1, , Balkema, Rotterdam.

5 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Για παράδειγµα θεωρούµε το πρόβληµα της παθητικής ωθήσεως γαιών 9, όπου ένας κατακόρυφος, λείος και άκαµπτος τοίχος ωθείται παραλλήλως εντός του εδάφους και το ζητούµενο είναι η εκτίµηση µίας "ασφαλούς" τιµής για την "παθητική" ώθηση E p, που µπορεί να παραλάβει ο τοίχος χωρίς να καταρρεύσει το έδαφος επί του οποίου ο τοίχος αυτός αντιστηρίζεται. (α) (β) Μηχανικό προσοµοίωµα υπο κλίµακα παθητκής ωθήσεως κατακορύφου αναβαθµού από ξηρή άµµο µέσω λείου και άκαµπτου τοίχου. Μηχανισµός καταρρεύσεως κατά Coulomb συνιστάµενος από µία επίπεδη επιφάνεια αστοχίας: α) φωτογραφία, β) ραδιογραφία. 9 C. A. Coulomb, Essai sur une application des règles des maximis et des minimis à quelques problèmes de statique. Mémoires Académie Royale des Sciences,Vol. 7, Paris 1776.

6 112 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Από τα παραπάνω παραδείγµατα καθίσταται φανερό ότι για τη στατική ανάλυση ενός γεωστατικού προβλήµατος αστοχίας, όπως αυτό της παθητικής ωθήσεως γαιών, χρειαζόµαστε την πληροφορία σχετικά µε την αντοχή του εδάφους, όταν αυτό διατέµνεται και σχηµατίζει µία λεπτή διατµητική ζώνη ή "επιφάνεια" αστοχίας. Πράγµατι, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα, στο παραάδειγµα της εκτιµήσεως της παθητικής ωθήσεως, E p = min(e) θ θα δεχθούµε ότι οι ορθές και διατµητικές τάσεις κατά µήκος του επιπέδου αστοχίας υπακούουν στο εσωτερικής νόµο του Coulomb, Εξ. (3.1), οπότε η συνισταµένη τους Q σχηµατίζει γωνία ϕ µε την κάθετο στο επίπεδο αστοχίας. Στατική ανάλυση του προβλήµατος της παθητικής ωθήσεως γαιών 3.2 Τριβή και ιασταλτικότητα 1 Για τον εργαστηριακό προσδιορισµό της διατµητικής αντοχής ενός γεωυλικού συχνά θα προσφύγουµε στη σχετικά απλή δοκιµή της απ' ευθείας διατµήσεως 11, που πραγµατοποιείται στην αντίστοιχη συσκευή, η οποία υποτίθεται ότι επιβάλλει θραύση του δοκιµίου κατά µήκος µιάς οριζόντιας επιφάνειας στην θέση της σχισµής που χωρίζει το κινητό από το σταθερό τµήµα της συσκευής. Κατά τη δοκιµή αυτή το κατακόρυφο φορτίο N διατηρείται συνήθως σταθερό, ενώ επιβάλλεται η οριζόντια µετατόπιση του κινητού µέρους κάτω από σταθερή ταχύτητα. Μετρώνται συνεπώς η οριζόντια µετατόπιση u h του κινητού µέρους, η κατακόρυφη µετατόπιση u v της οριζόντιας πλάκας επιβολής του φορτίου N καθώς και η εκάστοτε τιµή της οριζόντιας δυνάµεως T. Για την περαιτέρω ανάλυση των δεδοµένων της δοκιµής υπολογίζουµε τη (µέση) ορθή και τη (µέση) διατµητική τάση στο επίπεδο της διατµήσεως, σ = N A, τ= T A 1 Αγγλ. dilatancy 11 Αγγλ. direct shear test

7 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Σχηµατική παράσταση της συσκευής κατ' ευθείαν διατµήσεως Το κιβώτιο της συσκευής έχει ύψος Η (συνήθως H= 1. cm) και συνήθως τετραγωνική διατοµή σε κάτοψη, αρχικού εµβαδού A = L L ( L = 6. cm). Η επιφάνεια διατµήσεως µειώνεται προοδευτικά µε τη διατµητική µετατόπιση ( u h << L ) u = h A A 1 L Επειδή η δοκιµή ξεκινά από µία δεδοµένη αρχική ορθή τάση, θα θεωρήσουµε, χωρίς σηµαντικό λάθος, ότι η ορθή τάση παραµένει σταθερή, u h σ P A = σταθ. Ως παράδειγµα δοκιµής απ ευθείας διατµήσεως δίδονται στο παρακάτω διάγραµµα τα αποτελέσµατα δύο πειραµάτων σε άµµο Ottawa-standard 12. Τα εν λόγω πειράµατα διατµήσεως αφορούν µία πυκνά διαστρωµένη (αρχικός δείκτης πόρων, e =. 562 ) και µία σχετικά χαλαρά διαστρωµένη άµµο ( e =.652). Παρατήρηση Σηµειώνοµε ότι ο χαρακτηρισµός βάσει πυκνότητας ενός κοκκώδους εδάφους θα αποδοθεί µε τη λεγόµενη σχετική πυκνότητα 13 D r, που συσχετίζει το δείκτη πόρων της συγκεκριµένης άµµου µε τις αντίστοιχες µέγιστες και ελάχιστες τιµές που µπορούν να επιτευχθούν στο εργαστήριο σε τυποποιηµένες δοκιµές, Dr = emax e emax emin 12 D.W. Taylor, Foundamentals of Soil Mechanics, Wiley, Πρβλ. Κεφ. 1.4

8 114 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Τυπικά διαγράµµατα λόγου τάσεων και διασταλτικότητας σε άµµο Ottawa-standard (D.W. Taylor, 1948) εδοµένα του πειράµατος κατ' ευθείαν διατµήσεως το σε άµµο Ottawa-standard

9 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Από τα σχετικά διαγράµµατα του πειράµατος κατ' ευθείαν διατµήσεως παρατηρούµε ότι ο λόγος των τάσεων 14, τ σ = tan ϕ είναι γενικώς µία συνάρτηση της διατµητικής µετατόπισης. Για τον λόγο αυτό η τασική γωνία 15 ϕ καλείται και ενεργοποιηµένη γωνία τριβής 16 του υλικού και ο συντελεστής tanφ =µ (uh ) καλείται ενεργοποιηµένος συντελεστής τριβής 17. Από τα διαγράµµατα αυτά παρατηρούµε ότι σε µία σχετικά πυκνά διαστρωµένη άµµο ο λόγος των τάσεων αρχικά αυξάνει (κρατυνόµενος κλάδος) και εµφανίζει ένα µέγιστο (κορυφή 18 ), που ακολουθείται από ένα φθιτό κλάδο 19. Μια χαλαρή άµµος αντιθέτως εµφανίζει µονοτόνως αύξοντα λόγο τάσεων 2. Χαρακτηριστική καµπύλη λόγου τάσεων διατµητικής µεταιτοπίσεως για πυκνή άµµο 14 Αγγλ. stress ratio 15 Αγγλ. stress obliquity 16 Αγγλ. mobilized friction angle, 17 Αγγλ. mobilized friction coefficient 18 Αγγλ. peak 19 Αγγλ. softening branch 2 Πρβλ:

10 116 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Επίσης παρατηρούµε ότι, όταν ένα κοκκώδες υλικό υφίσταται διάτµηση, τότε αυτό εµφανίζει παράλληλα και αλλαγές στον όγκο του. Το φαινόµενο αυτό καλείται διασταλτικότητα 21 και αποδίδεται στον Reynolds 22. Σχηµατική εικόνα διασταλτικής λειτουργίας που οδηγεί από την κανονική πυκνή συσκευασία οµοειδών σφαιρών στην αντίστοιχη χαλαρή Ως διασταλτικότητα θα ορίσουµε γενικώς τον λόγο του ρυθµού αλλαγής όγκου προς τον ρυθµό διατµητικής παραµορφώσεως ε tan ψ = (3.2) γ Στο πείραµα της απ ευθείας διατµήσεως η γωνία ψ εµφανίζεται ως η γωνία που σχηµατίζει το διάνυσµα της ταχύτητας διατµήσεως µε το επίπεδο διατµήσεως (τον άξονα x στο σχήµα) και καλείται ως εκ τούτου (ενεργοποιηµένη) γωνία διασταλτικότητας 23 του υλικού. Πράγµατι, αν δεχθούµε ότι η διάτµηση εντοπίζεται µέσα σε µία λεπτή λωρίδα πάχους d και το πεδίο ταχυτήτων είναι γραµµικό v x = z u h, v z = d z u v d Ο ρυθµός αλλαγής όγκου στην λωρίδα διατµήσεως περιγράφεται από την ποσότητα, dv z u v ε = = dz d ενώ ο ρυθµός της διατµητικής τροπής από την ποσότητα dv x u γ = = h dz d 21 διασταλτικός = ικανός να διαστέλλει ή να διαστέλλεται. Aγγλ. dilatant (dilatancy) 22 Reynolds, O. (1885). On the dilatancy of media composed of rigid particles in contact. With experimental illustrations. Phil. Mag. (2) 2, Also: Truesdell, C. and Noll, W.: The Non- Linear Field Theories of Mechanics, Handbuch der Physik Band III/3, section 119, Springer Αγγλ. mobilized dilatancy angle

11 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Λεπτή λωρίδα από διατεµνόµενο κοκκώδες υλικό που εµφανίζει θετική διασταλτικότητα (αύξηση όγκου, αύξηση πορώδους) Άρα µε την προϋπόθεση ότι η παραµόρφωση µέσα στη ζώνη διατµήσεως είναι οµογενής παίρνουµε ότι η διασταλτικότητα του υλικού υπολογίζεται ανεξάρτητα από το πάχος d της ζώνης διατµήσεως ως ο λόγος της ταχύτητας διατµήσεως προς τον ρυθµό µεταβολής του ύψους του δοκιµίου, du tan ψ = v (3.3) duh Αυτό σηµαίνει ότι ο ενεργοποιηµένος συντελεστής διασταλτικότητας tanψ =β(uh ) προκύπτει ως η κλίση της αντίστοιχης πειραµατικής καµπύλης διασταλτικότητας, uv = uv(uh). Εισάγοντας ως αδιάστατη παράµετρο την διατµητική τροπή, u γ = h (3.4) d παρατηρούµε ότι τα πειραµατικά δεδοµένα µπορούν να γραφούν υπό µορφή αντίστοιχων συναρτήσεων των συντελεστών ενεργοποιηµένης τριβής και διασταλτικότητας tanϕ =µ ( γ), tanψ =β( γ) (3.5) Σηµειώνουµε τέλος ότι συµφώνως προς την σχέση (2.17) η µεταβολή της ογκοµετρικής τροπής συνδέεται µε την αλλαγή του πορώδους n ε = 1 n

12 118 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Αυτό σηµαίνει ότι διαστολική συµπεριφορά ( ψ > ) συνεπάγεται αύξηση του πορώδους ενώ συστολική συµπεριφορά ( ψ < ) µείωση του πορώδους. Επίσης παρατηρούµε ότι η διασταλτικότητα του κοκκώδους υλικού είναι γενικώς φθίνουσα συνάρτηση της µετατοπίσεως u h. Ειδικότερα από τα πειραµατικά δεδοµένα προκύπτει, ότι όταν η άµµος είναι πυκνά διαστρωµένη αυτή έχει γενικώς την τάση να διογκώνεται κατά την απ' ευθείας διάτµηση, ψ >. Αντιθέτως µία χαλαρά διαστρωµένη άµµος θα έχει την τάση να συρρικνώνεται ( ψ < ). Τέλος παρατηρούµε ότι για µεγάλες τιµές της διατµητικής µετατοπίσεως από το πείραµα προκύπτει ότι ο λόγος των τάσεων τείνει είτε εκ των άνω ή είτε εκ των κάτω προς µία σταθερή τιµή τ σ = tanϕ cs (3.6) ενώ παράλληλα η διασταλτικότητα του υλικού τείνει ασυµπτωτικά στο µηδέν (ισόχωρη παραµόρφωση) duv du h = tanψcs = που αντιστοιχεί στην κατάσταση σταθερού όγκου. Η κατάσταση αυτή καλείται κρίσιµη κατάσταση 24. Άρα στην κρίσιµη κατάσταση η γωνία διασταλτικότητας µηδενίζεται ( ψ cs = ), το πορώδες του κοκκώδους υλικού δεν µεταβάλλεται και η γωνία τριβής τείνει σε µία τιµή ϕ cs ϕcv (κρίσιµη γωνία τριβής 25 ). Η σταθερή τιµή του πορώδους n cs στην κρίσιµη κατάσταση δεν εξαρτάται από την αρχική του τιµή αλλά µόνο από την τιµή της (σταθερής) ορθής (ενεργού) τάσεως σ Θεωρία ιασταλτικής Τριβής κατά Taylor Στην βάση των παραπάνω πειραµατικών παρατηρήσεων µπορούµε τώρα να εισάγουµε ορισµένους χρήσιµους ορισµούς και να προχωρήσουµε στη διατύπωση µιας απλής καταστατικής θεωρίας για την περιγραφή της µηχανικής συµπεριφοράς των κοκκωδών υλικών σε απ' ευθείας διάτµηση. Γενικώς θα παρατηρήσουµε ότι κατά την παραµόρφωση ενός γεωυλικού θα αναλύσουµε την τροπή σε δύο συνιστώσες, την ελάστική και την πλαστική συνιστώσα. Π.χ. η διατµητική τροπή θα αναλυθεί ως εξής, e p γ = γ +γ Η ελαστική τροπή και αντιστοιχεί στο αναστρέψιµο τµήµα της ολικής τροπής, 24 Αγγλ. critical state (cs). 25 Αγγλ. friction angle at critical state. Ο δείκτης (cv) υποδηλώνει ότι στην κρίσιµη κατάστταση ο ογκος διατηρείται. (Αγγλ. constant volume)

13 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, e γ τ = G p όπου G είναι το µέτρο διατµήσεως του εδάφους. Η συνιστώσα γ καλείται πλαστική τροπή και αντιστοιχεί στην παραµένουσα (µη-αναστρέψιµη) τροπή. Ελαστο-πλαστικό και απολύτως στερεό-πλαστικό υλικό Χάριν απλότητας θα δεχθούµε ότι το κοκώδες υλικό συµπεριφέρεται ως ένα απολύτως στερεό-πλαστικό υλικό, δηλαδή θα δεχθούµε ότι οι παραµορφώσεις του είναι πλήρως µη-αντιστρέψιµες, θεωρώντας τις όποιεσδήποτε ελαστικές παραµορφώσεις αµελητέες G= e γ =, p γ γ Για τον ορισµό του µαθηµατικού προσοµοιώµατος ενός κοκκώδους υλικού θα ορίσουµε τώρα την λεγόµενη συνάρτηση διαρροής 26 F= τ σµ ( γ) Συµφώνως προς την εξίσωση (3.1) θα δεχθούµε ότι, όταν το κοκκώδες υλικό φορτίζεται και παραµορφώνεται πλαστικά (όταν "διαρρέει"), τότε ισχύει η αντίστοιχη συνθήκη διαρροής 27 F= τ=σµ ( γ) (3.7) Παρατηρούµε τώρα ότι η εξίσωση (3.3) µπορεί να γραφεί ως ένας κινηµατικός περιορισµός µεταξύ απειροστικών µεταβολών της (πλαστικής) διατµητικής και της ογκοµετρικής τροπής, δε =β( γ) δγ (3.8) 26 Αγγλ. yield function 27 Αγγλ. yield condition

14 12 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 'Eνας τέτοιος κινηµατικός περιορισµός καλείται ως ο νόµος πλαστικής ροής 28 του υλικού. Ενας απλός τρόπος, που µας επιτρέπει να συσχετίσουµε την ενεργοποιηµένη τριβή µε την ενεργοποιηµένη διασταλτικότητα ενός κοκκώδους υλικού είναι να δούµε προσεκτικά την έκφραση για το στοιχειώδες έργο παραµορφώσεως. Γενικώς, το έργο των εσωτερικών δυνάµεων ανά µονάδα µήκους της ζώνης διατµήσεως υπολογίζεται από το ολοκλήρωµα καθ' ύψος της ζώνης του στοιχειώδους έργου των τάσεων πάνω στις απειροστικές τροπές, d δw = ( σxxδεxx + +σxzδεxz +σzxδεzx +σzzδεzz)dz Στο καρτεσιανό σύστηµα που επιλέξαµε, οι τάσεις και οι µεταβολές των τροπών δίδονται απο τους παρακάτω πίνακες 29 σxx [ σ] = σ yy τ τ σ, [ δε] = δγ / 2 δγ / 2 δε εχόµεθα ότι οι τάσεις και οι τροπές είναι σταθερές µέσα στη ζώνη διατµήσεως. Το στοιχειώδες εργο των εσωτερικών δυνάµεων δίδεται εν προκειµένω από την έξής σχέση δ W = ( τδγ σδε)d (3.9) Από την έκφραση αυτή γίνεται φανερό ότι η διατµητική τάση τ είναι ενεργειακώς συζυγής µε τον ρυθµό διατµητικής παραµορφώσεως, δγ =δu h / d, όπως επίσης και ότι η ορθή τάση σ είναι συζυγής µε τον ρυθµό ογκικής παραµορφώσεως, δε =δu h / d. Λαµβάνοντας δε υπ όψιν τη συνθήκη διαρροής και τον νόµο πλαστικής ροής από την παραπάνω σχέση (3.9) παίρνουµε την εξής έκφραση για το στοιχειώδες έργο παραµορφώσεως δ W =σ(tanϕ tanψ) δu h Υποθέτουµε τώρα ότι όλο το έργο των εσωτερικών δυνάµεων αναλίσκεται, δ W = δd γεγονός το οποίο στη βάση του 2 ου θερµοδυναµικού αξιώµατος σηµαίνει ότι η ειδική κατανάλωση πρέπει να είναι θετική, οπότε 28 Αγγλ. plastic flow-rule 29 Προς αποφυγή λαθών δεχόµεθα την σύµβαση πρόσηµου της Μηχανικής, όπου οι θλιπτικές τάσεις είναι αρνητικές.

15 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, δd δuh δw = δuh =σ(tanϕ tanψ) > (3.1) Από την ανισότητα αυτή έπεται, ως πρώτος βασικός περιορισµός, ότι σε κάθε κατάσταση του κοκκώδους υλικού η γωνία διασταλτικότητας δεν µπορεί να υπερβεί την τιµή της αντίστοιχης γωνίας τριβής ψ <φ (3.11) Η λεγόµενη 1 η υπόθεση της θεωρίας διασταλτικής διατµήσεως του Taylor 3 επιτάσσει όπως η ειδική κατανάλωση ενέργειας είναι ανεξάρτητη της κατάστασης του υλικού, δd δuh =σ tanϕeq (3.12) Η 2 η υπόθεση της θεωρίας διασταλτικής διατµήσεως του Taylor απαιτεί επιπλέον ότι όλη η µηχανική ενέργεια αναλίσκεται σε θερµότητα, δ D= δq Οι υποθέσεις της θεωρίας του Taylor σηµαίνουν ότι ένα κοκκώδες, που χαρακτηρίζεται από εσωτερική τριβή και διασταλτικότητα συµπεριφέρεται ως ένα υλικό µε εσωτερική τριβή, που παραµορφώνεται ισόχωρα και που έχει γωνία τριβής ίση µε την γωνία ϕ eq που δίδεται από την διαφορά tanϕ eq = tanϕ tanψ (3.13) Άρα, συµφώνως προς την υπόθεση Taylor, ένα κοκκώδες υλικό θα ταυτισθεί από ενεργειακή σκοπιά µε ένα υποθετικό υλικό, που παραµορφώνεται ισόχωρα και που υπακούει στον νόµο τριβής κατά Coulomb. Η γωνία τριβής του από σκοπιά καταναλώσεως ενεργειακώς ισοδύναµου µέσου θα ταυτισθεί κατ' αρχήν µε την γωνία τριβής στην κρίσιµη κατάσταση όπου η παραµόρφωση είναι εξ ορισµού ισόχωρη 31, ϕ eq = ϕcs. Ενεργειακή ισοδυναµία µεταξύ πραγµατικού κοκκώδους υλικού µε εσωτερική τριβή και διασταλτικότητα και ιδεατού υλικού τύπου Coulomb, που παραµορφώνεται χωρίς µεταβολές όγκου και µε σταθερή γωνία τριβής. 3 D.W. Taylor. Fundamentals of Soil Mechanics, John Wiley, Γι' αυτό θα χρησιµοποιηθεί καµία φορά και ο συµβολισµός ϕ cv (Αγγλ. cconstant volume)

16 122 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Στη σχετική βιβλιογραφία θα βρούµε τη τιµή της ϕ eq να ταυτίζεται µε την τιµή της ενεργοποιηµένης γωνίας τριβής στην κατάσταση µέγιστης συµπυκνώσεως 32 (mc: n= min! ), ϕ eq = ϕmc. Αξίζει δε να σηµειωθεί ότι τόσο ο Rowe 33,34 όσο και ο de Joselin de Jong 35 επεξέτειναν την θεωρία αυτή και για άλλες τασικές οδεύσεις (όπως τριαξονική θλίψη, διαξονική θλίψη κ.λπ.) και ονόµασαν την γωνία ϕ eq ως την πραγµατική γωνία τριβής 36 και την ταύτισαν µε την γωνία τριβής ϕ µ µεταξύ των κόκκων ενός κοκκώδους υλικού, ϕ eq ϕµ. Από την σχέση Taylor στη κατάσταση αιχµής, τ σ max = tanϕp = tanϕeq + tanψp, tanψp duv du = h max συµπεραίνουµε ότι η αντοχή του κοκκώδους υλικού αποτελείται από µία συνιστώσα που αφορά στην τριβή µεταξύ κόκκων 37 ( ϕ eq ϕµ ) και µία συνιστώσα που αφορά στην εµπλοκή τους 38. Σηµειώνουµε ότι από την σχετική βιβλιογραφία βρίσκουµε την εξής εµπειρική σχέση, o ψ p ϕp 2 Αν λύσουµε την σχέση του Taylor ως προς το συντελεστή διασταλτικότητας tanψ = tanϕ tanϕeq (3.14) συµπεραίνουµε ότι µία χαλαρά διαστρωµένη άµµος ( ϕ p < ϕeq ), θα έχει την τάση κατά την διάτµηση να συµπυκνώνεται µε συνεχώς φθίνοντα ρυθµό, γεγονός που αντανακλάται σε συνεχή κράτυνση, δηλαδή σε µονότονη αύξηση της ενεργοποιηµένης γωνίας τριβής. Αντιθέτως µία πυκνά διαστρωµένη άµµος µετά από µια σύντοµη σχετικά αρχική φάση περαιτέρω συµπυκνώσεως θα έχει γενικώς την τάση να διασταλεί, γεγονός που οδηγεί στην ύπαρξη αντοχής αιχµής και φθιτού (ασταθούς) κλάδου. Από το συγκεκριµένο παράδειγµα κατ' ευθείαν διατµήσεως παίρνουµε τις εξής τιµές για τις παραµέτρους αντοχής της πυκνής άµµου Ottawa-standard: (α) γωνία 32 Αγγλ. maximum compaction. 33 P.W. Rowe (1962). The stress-dilatancy relation for static equilibrium of an assembly of particles in contact. Proc. Roy. Soc., 269, P.W. Rowe (1971). Theoretical meaning and observed values of deformation parameters for soil. Proc. Roscoe Mem. Symp., Cambridge, De Josselin de Jong (1976). Rowe's stress-dilatancy relation based on friction. Géotechnique, 26, Αγγλ. true angle of friction 37 Αγγλ. intergranular friction 38 Αγγλ. grain interlockng

17 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, o o τριβής αιχµής: πυκνή άµµος ϕ p = 32. 6, ϕ p = (β) γωνία διασταλτικότητας αιχµής: πυκνή άµµος ψ p = 9. 8, χαλαρή άµµος ψ p = (γ) γωνία τριβής στην κρίσιµη κατάσταση: ϕ o eq = 25.2 (25.5 ). Συνολικά οι δύο δοκιµές απ' ευθείας διατµήσεως δίδουν βάσει της σχέσεως τριβής-διασταλτικότητας του Taylor τη o βέλτιστη τιµή ϕ eq = Υπόθεση Taylor:Συντελεστές ενεργοποιηµένης τριβής και διασταλτικότητας για µία πυκνή και µία χαλαρή άµµο σε κατ' ευθείαν διάτµηση Βέλτιστη προσέγγιση των πειραµατικών δεδοµένων για πυκνή άµµο, ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη (3.1) του Taylor λόγου τάσεων-διασταλτικότητας

18 124 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Πειραµατική επαλήθευση της υποθέσεως Taylor Η θεωρία Taylor µπορείνα βελτιωθεί, άν χαλαρώσουµε την την 2 η υπόθεση και υποθέσουµε ότι µόνο ένα τµήµα της ειδικής καταναλώσεως µετατρέπεται σε θερµότητα, δεχόµενοι πως ένα (µικρό) µέρος αυτής αναλίσκεται σε "δοµική φθορά" των κόκκων (π.χ. κατακερµατισµός και λειοτρίβηση κόκκων). Η υπόθεση αυτή οδηγεί τελικά στην εξής σχέση 39, 1 tanϕ tanψ tanϕeq = (<λ< 1) 1 λ (3.15) Η εφαρµογή της παραπάνω εξισώσεως στα δεδοµένα από τα πειράµατα κατ' ευθείαν διατµήσεως του Taylor οδηγεί στα εξής αποτελέσµατα (πρβλ. Τα σχετικά γραφήµατα που ακολουθούν): Μετεπεξεργασία των πειραµατικών δεδοµένων κατ' ευθείαν διατµήσεως στη βάση της Εξ. (3.15) 4 Πυκνή άµµος Χαλαρή άµµος ϕ p ϕ eq λ I. Vardoulakis (23). Taylor's stress-dilatancy hypothesis revisited. Submitted for publication. 4 'Οπως φαίνεται και από τα επόµενα διαγράµµατα η προσεγγιση των πειραµατικών δεδοµένων έγινε στο φθιτό κλάδο των αντίστοιχων καµπύλων τάσεων-τροπών. Παρατηρούµε δε ότι εµπροκειµένω η διόρθωση που προκύπτει απότην Εξ. (3.15) είναι της τάξεως του 1%.

19 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Προσέγγιση δεδοµένων στη βάση της γενικευµένης θεωρίας Taylor στη βάση της Εξ. (3.15)

20 126 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Παρατηρήσεις Μέσα στα πλαίσια της Μαθηµατικής Θεωρίας της Πλαστικότητας θα παραστήσουµε γεωµετρικά την συνθήκη διαρροής (3.7) και τον νόµο πλαστικής ροής (3.8) στο ίδιο διάγραµµα, στο επίπεδο των τάσεων ( σ zz, σxz). Γραφική παράσταση της συνθήκης διαρροής και του νόµου πλαστικής ροής στο επίπεδο των τάσεων Από το σχετκό διάγραµµα κάνουµε τις εξής διαπιστώσεις: 1. Κατά την υλοποίηση του πειράµατος απ' ευθείας διατµήσεως οι τάσεις ακολουθούν την αµειγώς διατµητική "τασική όδευση" 41 (ΑΒ), αφού η όρθή τάση παραµένει (σε καλή προσέγγιση) σταθερή. 2. Η εκάστοτε εντατική κατάσταση στο επίπεδο αστοχίας παρίσταται στο διάγραµµα αυτό από το διάνυσµα OB, που έχει κλίση ίση προς την ενεργοποιηµένη τριβή, µ = tan ϕ (άρα βρίσκεται πάνω στην αντίστοιχη επιφάνεια διαρροής, F= ). 3. Ο νόµος πλαστικής ροής παρίσταται γεωµετρικά µε το διάνυσµα ΒΓ, το οποίο προσαρτάται στο εκάστοτε σηµείο της τασικής οδεύσεως, στο σηµείο Β, εν προκειµένω. Η αντίστροφη κλίση του διανύσµατος του ρυθµού της πλαστικής παραµορφώσεως ισούται µε την ενεργοποιηµένη διασταλτικότητα στο εν λόγω σηµείο, β= tan ψ. Αρα οι συνιστώσες του διανύσµατος αυτού στο εν λόγω σύστηµα είναι ανάλογές προς τον ρυθµό πλαστικής παροµορφώσεως όγκου και σχήµατος, αντιστοίχως. Αυτή η απεικόνιση είναι εν προκειµένω ιδαίτερα χρήσιµη, αφού τα εµπλεκόµενα στατικά και κινηµατικά µεγέθη είναι ενεργειακώς συζυγή συµφώνως πρός την σχέση (3.9). Αυτό σηµαίνει ότι το εσωτερικό γινόµενο του διανύσµατος των τάσεων ΟΒ µε το διάνυσµα του ρυθµού πλαστικής παραµορφώσεως ΒΓ αποδίδει το έργο του ρυθµού πλαστικής παραµορφώσεως 41 Αγγλ. stress path

21 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, ΟΒ ΒΓ= τδγ σδε= 1 δ D d Ειδικότερα τονίζουµε στο σηµείο αυτό ότι η παραπάνω καταστατική ανισότητα (3.11), µεταξύ γωνίας διασταλτικότητας και τριβής, σηµαίνει γεωµετρικά ότι το διάνυσµα του ρυθµού της πλαστικής παραµορφώσεως B Γ δεν είναι κάθετο πάνω στην αντίστοιχη "επιφάνεια" διαρροής,οβ. Αυτή είναι µία σηµαντική διαφορά της θεωρίας πλαστικότητας των µη-συνεκτικών γεωυλικών από την αντίστοιχη θεωρία των όλκιµων µετάλλων ή άλλων συνεκτικών υλικών, όπως οι άργιλοι κάτω από κατάλληλες συνθήκες. Στις περιπτώσεις αυτές το υλικό εµφανίζει διατµητική αντοχή c (συνεκτικότητα 42 ), που είναι ανεξάρτητη από την ορθή τάση στο επίπεδο αστοχίας και η παραµόρφωσή του υλικού είναι ισόχωρη. Συνθήκη διαρροής και νόµος πλαστικής ροής για συνεκτικό υλικό Στην περίπτωση συνεκτικών υλικών ισχύει η λεγόµενη συνθήκη καθετότητας 43, δηλαδή το διάνυσµα πλαστικής ροής ( δε = ) είναι κάθετο στην αντίστοιχη επιφάνεια διαρροής, F = τ c=. Η συνθήκη καθετότητας µε τη σειρά της αποτελεί τη βάση για την απόδειξη µιας σειράς γενικών προτάσεων, χρήσιµων για την ασφαλή εκτίµιση άνω και κάτω φραγµάτων του φορτίου καταρρεύσεως µιάς κατασκευής 44. Στην περίπτωση όµως που δεν ισχύει η συνθήκη καθετότητος τα σχετικά θεωρήµατα άνω και κάτω φράγµατος επίσης δεν ισχύουν, και ως εκ τούτου υπάρχει αβεβαιότητα όσον αφορά την πρακτική αξία ένος υπολογισµού σε σχέση µε το φορτίο καταρρεέυσεως της γεωκατασκευής. Η αδυναµία αυτή της θεωρίας πλαστικότητας των γεωυλικών αντανακλάται σε πολλές πρακτικές εφαρµογές, όπου δεν µπορούµε να εξασφαλίσουµε εκ προϊµίου την ποιότητα και αξία των θεωρητικών µας προβλέψεων και καθιστούν την πειραµτική εξακρίβωση καθώς και την παρατήρηση στο πεδίο απολύτως αναγκαίες. 42 Αγγλ. cohesion 43 Αγγλ. normality condition 44 πρβλ. Ι.Βαρδουλάκης, Μαθηµατική Οριακή Ανάλυση, Ε.Π.Μ., 23.

22 128 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Εφαρµογές Κρίσιµο βάθος ανυποστήρικτης σήραγγας Για την εκτίµηση του κρίσιµου βάθους κάτω από το οποίο µια σήραγγα θα µπορούσε θεωρητικά να παραµείνει βραχυπροθέσµως χωρίς σηµαντική υποστήριξη θεωρούµε τον µηχανισµό καταρρεύσεως, όπως αυτός προκυπτει από παρατηρήσεις και αντίστοιχα πειράµατα υπό κλίµακα στο εργαστήριο, όπως εκείνο του "υποχωρούντος θυροπετάσµατος" 45. Πείραµα υποχωρούντος θυροπετασµατος µε άµµο. Ενεργητικός τύπος µε συγκλίνουσες επιφάνειες αστοχίας Στην βάση αυτών των παρατηρήσεων προτάθηκε ο µηχανισµός του παρακάτω σχήµατος. Αυτός ο µηχανισµός καταρρεύσεως αποτελείται από µία κατακόρυφη σφήνα (Ι) = (ΑΓΓ'Β ' Α) πάνω από την στέψη της σήραγγας, η οποία σφήνα έχει την τάση να ολισθήσει προς τα κάτω υπό την επίδραση του βάρους της W. Η οποιαδήποτε παροδική υποστήριξη της οροφής θα θεωρηθεί στη φάση αυτή της ανλύσεως, χάριν απλότητας, αµελητέα. Μηχανισµός καταρρεύσεως οροφής "επιφανειακής" σήραγγας 45 Vardoulakis I., Graf B. and Gudehus G. (1981). Trap-door problem with dry sand: A statical approach based upon model test kinematics. Int. J. Num. Anal. Meth. Geomechanics, 5,

23 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Η σφήνα (Ι) ολισθαίνει σε σχέση µε το παρακείµενα εδάφη πάνω σε δύο επιφάνειες ολισθήσεως (ΓΓ') και ( '), που είναι συµµετρικές ως προς τον κατακόρυφο άξονα, που διέρχεται από το κέντρο της σήραγγας. Η επιφάνειες αυτές είναι ελαφρώς συγκλίνουσες πρός τα πάνω. Η κλίση τους προκύπτει από την παρατήρηση ότι η ταχύτητα v = vz ολισθήσεως της σφήνας είναι κατακόρυφη µε κατεύθυνση προς τα κάτω και σχηµατίζει µε τις επιφάνειες ολισθήσεως γωνία ψ p, την γωνία διασταλτικότητας του εδάφους στην κατάσταση αιχµής, δηλαδή στην κατάσταση, που αντιστοιχεί στην µέγιστη τιµή της ενεργοποιηµένης γωνίας τριβής, ϕ =ϕp. Έστω D = 2R η διάµετρος της σήραγγας και H= (AB) η απόσταση από την οροφή της στην ελεύθερη επιφάνεια. εχόµεθα ότι το ειδικό βάρος του εδάφους είναι γ και παράµετροι αντοχής σε απ' ευθείας διάτµηση, ϕ p,ψp και ϕ cs, που ικανοποιούν την συνθήκη Taylor, tanϕ p = tanψp + tanϕcs (3.16) Το βάρος της σφήνας υπολογίζεται παραµετρικά ως συνάρτηση του βάθους της στέψεως ως εξής, 2 1 H 1 H 2 W R 2 2 π π ψp = γ sin α tanα α+ cosψp + tanα tanψ p, α= 2 R 2 R 4 o 18 2 ή σε αδιάστατη µορφή * *2 * W = ah + 2bH + c (3.17) όπου * W W * H =, H = (3.18) 2 γr R 2 a= tanψp, b= tanα, c= 2(sin α tanα α) + cosψp (3.19) Για µία δυνατή µετατόπιση του µηχανισµού καταρρεύσεως προς τα κάτω, το βάρος παράγει έργο θετικό, ίσο προς, W ( εξ ) = W v (3.2) Σε κατάσταση ισορροπίας το έργο των εξωτερικών δυνάµεων ισούται µε το έργο των εσωτερικών δυνάµεων ( ) ( ) W εξ = εσ W (3.21)

24 13 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Στην οριακή περίπτωση όπου θεωρούµε ότι η ελαστική (εσωτερική) ενέργεια του υλικού είναι αµελητέα, το έργο των εσωτερικών δυνάµεων αναλίσκεται πλήρως σε θερµότητα στις επιφάνειες ολισθήσεως, οπότε, W ( εσ ) = Q (3.21) Άρα η κατανάλωση του µηχανικού έργου των εξωτερικών δυνάµεων σε θερµότητα, υπολογίζεται από το συνολικό έργο των διατµητικών και ορθών τάσεων κατά µήκος των επιφανειών ολισθήσεως, που λόγω συµµετρίας δίδεται από το ολοκλήρωµα Q= 2 ( τvs σvn)ds ( ΓΓ ) Απ' έυθείας διάτµηση κατά µήκος µίας από τις επίπεδες επιφάνειας αστοχίας Έστω Ν και Τ η ορθή και η διατµητική συνιστώσα των αντιδράσεων F πάνω στην σφήνα στις επιφάνειας ολισθήσεως λόγω τριβής, T = τds ( ΓΓ ) Άρα, N= σds ( ΓΓ ) Q= 2(T vs N vn) Από την συνθήκη διαρροής τ =σ tanϕ p έπεται, T= Ntanϕp ενώ από το νόµο πλαστικής ροής παίρνουµε, vn = vs tanψp Άρα η κατανάλωση ενέργειας δίδεται από τη σχέση

25 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Q= 2N(tanϕ p tanψp) vs Με την παρατήρηση ότι ισχύει η συνθήκη του Taylor (3.16) και ότι vs = v cosψp παίρνουµε τελικά ότι, Q= 2Ntanϕ cs cosψpv (3.22) Σε µία οριακή κατάσταση ισορροπίας το έργο των εξωτερικών δυνάµεων, δηλ. εµπροκειµένω το έργο του βάρους, µετατρέπεται πλήρως σε θερµότητα στις επιφάνειες ολισθήσεως, οπότε, από τις παραπάνω εξισώσεις (3.2) - (3.22) παίρνουµε 1 W N = 2 tanϕcs cosψ (3.23) p Όπως είναι και εµπειρικά γνωστό, µία σχέση σαν την παραπάνω εξ. (3.23) θέτει µία απαίτηση για την δυνατότητα ασφαλούς "παραλαβής" από την ευρύτερη περιοχή εκατέρωθεν της σήραγγας της δράσεως F που είναι αναγκαία ως αντίδραση πάνω στην σφήνα για την πλάγια εκτροπή του βάρους W µε την λειτουργία του λεγόµενου ανακουφιστικού τόξου πάνω από την σήραγγα. Για το λόγο αυτό θεωρούµε δύο πρίσµατα (ΙΙ), συµµετρικά εκατέρωθεν της σφήνας (Ι), που λειτουργούν ως ερείσµατα του ανακουφιστικού τόξου και υπολογίζουµε την οριζόντια συνιστώσα της δράσεως F της σφήνας πάνω στα εν λόγω πρίσµατα που δρα στα επίπεδα ( ') και (ΓΓ'), Λειτουργία ανακουφιστικού τόξου

26 132 Hwedge ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 cos( ϕp ψp) = N cosϕp η οποία λόγω τις εξιώσεως (3.23) γράφεται ως Hwedge = tanϕcs cos( ϕp ψp) W cosψp cosϕp και λόγω της συνθήκης Taylor ως, Hwedge = 1 1 W 2 tan( ϕp ψp) (3.24) και απαιτούµε όπως αυτή εξισορροπείται από την οριζόντια συνιστώσα των τάσεων στο κατακόρυφο επίπεδο (ΖΖ') και το συµµετρικό του στην εγγύς περιοχή εκατέρωθεν της σήραγγας. Πλευρική στήριξη ανακουφιστικού τόξου εχόµεθα ότι οι τάσεις σε κάποια απόσταση από την σήραγγα είναι γεωστατικές και µεταβάλλονται γραµµικά µε το βάθος σ v = γz, σh = Kσv Στη σχέση για την οριζόντια τάση υπεισέρχεται ο λεγόµενος συντελεστής ωθήσεως γαιών εν ηρεµία, ο οποίος δίδεται για κοκκώδη υλικά από τον εµπειρικό τύπο του Jaky 46 σε σχέση µε την κρίσµη γωνία τριβής, K = 1 sinϕcs 46 Jaky, J. (1948). The coefficient of earth pressure at rest. Journal of the Society of Hungarian Architects and Engineers, Vol. 78,, No. 22,

27 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Εµπειρική συσχέτιση συντελεστού ωθήσεως γαιών εν ηρεµία µε την γωνία τριβής στην κρίσιµη κατάσταση 47 Οπότε η οριζόντια αντίδραση των γαιών στο επίπεδο (ΖΖ') δίδεται από την σχέση Hstat 1 2 = Kγh, h= H+ R(1 sinψp) (3.25) 2 Από την ισορροπία οριζόντιων δυνάµεων, που ασκούνται πάνω στο σώµα (ΙΙ), παίρνουµε ότι η κατασκευή είναι ασφαλής, αν αµελήσουµε τυχόν διατµητικές δυνάµεις κατά µήκος της (Ζ ) και απαιτήσουµε H wedge = H stat Ισορροπία οριζόντιων δυνάµεων στο σώµα (ΙΙ) 47 Πρβλ. R. D. Holtz and W. D. Kovacs. An Introduction to Geotechnical Engineering, Prentice-Hall, 1981.

28 134 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Για την επίλυση αυτής της εξισώσεως συνοψίζουµε παρακάτω τις σχέσεις που την καθορίζουν, * 1 * 2 Hstat = K(H + 1 sinψp) 2 * 1 1 *2 * H wedge = ( ah + bh + c) 2 tan( ϕp ψp) 2 a= tanψp, b= tanα, c= 2(sin α tanα α) + cosψp Με τους συµβολισµούς f = K tan( ϕp ψp), k= 1 sinψp a = f+ a= K tan( ϕp ψp) + tanψp b = fk b= K tan( ϕp ψp)(1 sinψp) tanα c = fk c= K tan( ϕp ψp)(1 sinψp) 2(sin α tanα α) cosψp προκύπτει τελικά η επιλύουσα σχέση, a *2 * H + 2b H + c = (3.26) o Για δεδοµένη τιµή της κρίσιµης γωνίας τριβής, ϕ cs = 3 ( K. 58 ), τα αριθµητικά αποτελέσµατα της αναλύσεως παρατίθενται σε ένα διάγραµµα H o = f( ϕ p ). Π.χ. για γωνία τριβής αιχµής ϕ p = 3, εκτιµάται ένα βάθος της οροφής D της σήραγγας H= 2.5D. Απαιτούµενο βάθος οροφής σήραγγας σε µη-συνεκτικό έδαφος και µε την ελάχιστη υποστήριξη οροφής.

29 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Εκτίµηση της υποστηρίξεως οροφής σήραγγας Για την εκτίµιση µιας ασφαλούς τιµής της υποστηρίξεως της οροφής µιας ρηχής σήραγγας θα προσφύγουµε στον µηχανισµό καταρεύσεως. Αυτός προέκυψε από µία υπό κλίµακα προσοµοίωση του φαινοµένου από το πείραµα υποχωρούντος θυροπετάσµατος 48. Ραδιογραφία µηχανισµού αστοχίας οροφής στο πέιρµα υποχωρούντος θυροπετάσµτος µε υπερκείµενη ξηρή άµµο. Θεωρούµε ότι η κατασκευή υποστηρίξεως της σήραγγας µπορεί να προσοµοιωθεί µε µία οµοιόµορφα κατανεµηµένη εσωτερική πίεση p. Για την εκτίµηση αυτής της πιέσεως θεωρούµε και πάλι το µηχανισµό καταπίπτουσας σφήνας. Για την εκτίµηση τώρα µίας ασφαλούς τιµής για την πίεση υποστηρίξεως δεχόµεθα την ακραία θεωρητική τιµή για την διασταλτικότητα, ψ p = ϕp. Για την τιµή αυτή το έργο των ανθισταµένων δυνάµεων τριβής F είναι µηδέν 49 για µια δυνατή κατακόρυφη υποχώρηση της οροφής. Στην περίπτωση αυτή η ισορροπία των κατακόρυφων δυνάµεων που ασκούνται στην σφήνα δίδει, π π ϕp γd 1 2 o W = P p= 18 (3.27) 4 sinϕ ϕ p cos p Από το σχετικό διάγραµµα προκύπτει π.χ. για µια τιµή της γωνίας τριβής αιχµής o ϕ p = 3, η αντίστοιχη τιµή για την απαιτούµενη πίεση υποστηρίξεως του µησυνεκτικού υπερκείµενου εδάφους έναντι καταπτώσεως είναι p.2 ( γd). 48 Vardoulakis I., Graf B. and Gudehus G. (1981). Trap-door problem with dry sand: A statical approach based upon model test kinematics. Int. J. Num. Anal. Meth. Geomechanics, 5, Πρβλ την παρατήρηση που κάναµε στο προηγούµενο κεφάλαιο σχετικά µε την λεγόµενη συνθήκη καθετότητας της θεωρίας της πλαστικότητας.

30 136 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Μηχανισµός καταρρεύσεως οροφής για την ασφαλή εκτίµιση της πιέσεως υποστηρίξεως συναρτήσει της γωνίας τριβής αιχµής

31 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Η Τριαξονική οκιµή Θλίψεως Η µηχανική συµπεριφορά των εδαφών µελετάται εργαστηριακά συνήθως µε την τριαξονική δοκιµή θλίψεως. Όπως φαίνεται στο σχήµα, κατά την εν λόγω δοκιµή τοποθετείται ένα κυλινδρικό δοκίµιο εντός µίας κυψέλης πιέσεως και µέσω ενός εµβόλου επιτυγχάνεται η επιβολή του αξονικού φορτίου, P. Παράλληλα το δοκίµιο υπόκειται σε ολόπλευρη πίεση, σ c, η οποία επιβάλλεται µέσω του ρευστού της κυψέλης. Το δοκίµιο στεγανοποιείται από το ρευστό της κυψέλης µέσω µίας ελαστικής µεµβράνης που το περιβάλλει. Συνήθως το δοκίµιο θα είναι κορεσµένο µε ύδωρ. Στην περίπτωση της λεγόµενης στραγγιζόµενης, αργής, δοκιµής το ύδωρ των πόρων δύναται ελευθέρως (δηλ. υπο ατµοσφαιρική πίεση) να εισρέει ή να εκρέει από το δοκίµιο µέσω πωρολίθου και αγωγού, συνήθως µέσω της κάτω πλάκας φορτίσεως. Στην περίπτωση αυτή µετράµε τον όγκο Vwτου ύδατος που εισρέει ή εκρέει από το δοκίµιο κατά την διαδικασία φορτίσεως του. Στην περίπτωση της λεγόµενης αστράγγιστης δοκιµής το ύδωρ των πόρων δεν µπορεί να διαφύγει άλλα µέσω µίας αντισταθµιζόµενης συσκευής µπορεί κανείς να έχει µία µέτρηση της αναπτυσσόµενης πιέσεως των του ύδατος των πόρων p w. Τυπική διάταξη τριαξονικής δοκιµής Στο επόµενο σχήµα παραθέτουµε τη βελτίωση της τυπικής τριαξονικής συσκευής, όπως αυτή έχει προταθεί από τον συγγραφέα σε σειρά δηµοσιεύσεων και έχει γίνει δεκτή τουλάχιστον όσον αφορά δοκιµές για ερευνητικούς σκοπούς 5. Συµφώνως προς αυτή την πρόταση οι πλάκες επιβολής του φορτίου πρέπει να είναι µεγαλύτερες από το δοκίµιο, ώστε να µην εµποδίζουν την πλευρική διαστολή του. 5 Drescher A. and Vardoulakis I. (1982). Geometric softening in the triaxial test on granular material. Géotechnique, 32, Vardoulakis I. (1983). Rigid granular plasticity model and bifurcation in the triaxial test. Acta Μechanica, 49, Hettler A. and Vardoulakis I. (1984). Behavior of dry sand tested in a large triaxial apparatus. Géotechnique, 34,

32 138 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Οι πλάκες φορτίσεως πρέπει επίσης να είναι από σκληρό υλικό, λείες και να φέρουν ένα λεπτό στρώµα κατάλληλου λιπαντικού έτσι, ώστε µέσω µίας ελαστικής µεµβράνης επαφής να µειωθούν στο έλαχιστο οι παρασιτικές τριβές στά όρια του δοκιµίου. Επίσης η πάνω πλάκα πρέπει µετατίθεται παραλλήλως µέσω οδηγών για την αποφυγή λυγισµού του δοκιµίου. Τέλος ο λόγος του αρχικού ύψους H προς την αρχική διάµετρο D του δοκιµίου πρέπει είναι περίπου 1 (και όχι 2 όπως επιβάλλουν οι κανονισµοί) για την αποφυγή κατά το δυνατόν της βαρελοποιήσεως του δοκιµίου. Βελτιωµένη τραξονική συσκευή

33 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Φωτογραφία της βελτιωµένης τριαξονικής συσκεής 51 Λεπτοµέρεια διαµορφώσεως λιπάνσεως και διαµορφώσεως κεφαλής 52 Κατά την τριαξονική δοκιµή µετρώνται πρωτογενώς τα κάτωθι µεγέθη, Το αξονικό φορτίο ( P [kn] ) Η πίεση του ρευστού της κυψέλης ( σ c [kpa] ) Η µεταβολή του ύψους του δοκιµίου ( H [mm]) Η µεταβολή του όγκου του ύδατος των πόρων Vw, ή η µεταβολή της πιέσεως του ύδατος των πόρων pwή η µεταβολή της διαµέτρου Dή της περιµέτρου U. 51 Πρβλ. Hettler, A. (1983). Modelluntersuchungen fuerr Gruendungen in Sand. Bauingenieur, 58, Colliat-Dangus, J.-L., Desrues, J. and Foray, P. (1988). Triaxial testing of granular soil under elevated cell pressure. ASTM Sp. Techn. Publ. 977,

34 14 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Το ύψος και η διάµετρος του δοκιµίου κατά την παραµόρφωσή του δίδονται σε σχέση µε τις αρχικές τους τιµές και τις αντίστοιχες (θετικές) µεταβολές, H= H H, D= D + D Αρχικές διαστάσεις κυλινδρικού δοκιµίου και µετρούµενα µεγέθη κατά την τριαξονική δικιµή Οι αντίστοιχες λογαριθµικές τροπές σε κυλινδρικές συντεταγµένες ( r,z) είναι 53 λ z λ r H H H = ln ln 1 H = H H D D D = ln ln 1 D = + D D Οι λογαριθµικές τροπές, όπως υποδεικνύεται παραπάνω, για µικρές παραµορφώσεις ταυτίζονται µε προσέγγιση προσήµου µε τις ανίστοιχες γεωτεχνικές τροπές 54. Αυτές µε την σειρά τους ορίζονται ως εξής, H αξονική γεωτεχνική τροπή: ε 1= H D πλευρική γεωτεχνική τροπή: ε 3 = D Ο αρχικός και ο τρέχων όγκος του δοκιµίου είναι, 53 Παρατηρούµε ότι για µικρές τιµές του x ισχύει η προσέγγιση, ln( 1+ x) 1+ x 54 Στην Γεωτεχνική ισχύει η σύµβαση ότι οι θλιπτικές τάσεις και οι βραχύνσεις µηκών λαµβάνονται ως θετικές. Αντιθέτως στην Τεχνική Μηχανική οι εφελκυστικές τάσεις και οι επιµηκύνσεις θεωρούνται θετικές.

35 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, H 4 D V, H 4 D V 2 2 π = π = οπότε η λογαριθµική τροπή, 2 z r V V V V 1 ln V V ln D D H H ln 2 v + = = = +λ λ = είναι ένα µέτρο για την αλλαγή όγκου. Παρατηρούµε ότι για µικρές αλλαγές όγκου το λογαριθµικό µέτρο µεταβολής όγκου ταυτίζεται µε προσέγγιση προσήµου µε την αντίστοιχη γεωτεχνική τροπή για την µεταβολή του όγκου 2 v H H D D 2 H H 1 D D 1 1 V V + + = = ε ή 3 1 v 2ε + ε = ε Οπως αναφέραµε στα προηγούµενα κεφάλαια αυτών των Σηµειώσεων 55 οι µεταβολές του όγκου ενός εδαφικού δοκιµίου µε ασυµπίεστους κόκκους οφείλονται σε µεταβολές του πορώδους ή ισοδυνάµως του δείκτη πόρων, e n 1 n V V = = (3.28) Στην περίπτωση κορεσµένου εδάφους και ασυµπίεστου ρευστού οι µεταβολές του πορώδους ισούνται µε τις µεταβολές του όγκου του ύδατος των πόρων. Στην περίπτωσή µας θετική εκροή ύδατος από το δοκίµιο σηµαίνει µείωση του όγκου του και αντιστρόφως, άρα, V V w = Σε περίπτωση αστράγγιστης φορτίσεως, V w =, οπότε 56, + = = = H H D H H 1 D H H D D v 55 Πρβλ. εξ. (1.3) και (2.17) 56 x x) (1 1/ 2 + για 1 x <<.

36 142 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Στα πλαίσα της θεωρίας της Πλαστικότητος η ένταση διατµητικής παραµορφώσεως 57 ορίζεται ως εξής, g= 2 3 εr ε z Οι ολικές τάσεις σε κυλινδρικές συντεταγµένες υπολογίζονται από τα πρωτογενή δεδοµένα ως εξής, σz P = 2 πd / 4 +σc, σr = σθ = σc Ενεργές τάσεις υπολογίζονται από τις ολικές τάσεις στη βάση του ορισµού κατά Terzaghi, εξίσωση (2.21), σ z =σ z p w, κ.λπ. Στην σχετική τεχνική βιβλιογραφία θα συναντήσουµε τους παρακάτω ορισµούς, P µέγιστη γεωτεχνική τάση, σ 1 : σ 1 = σz = +σ 2 c, σ 1=σ1 pw πd / 4 ελάχιστη γεωτεχνική τάση, σ 2 = σ3 : σ 3 = σr = σc, σ 3 = σ3 pw αποκλίνουσα τάση 58 : q= σ1 σ3 = σ 1 σ p = σ1+ 2σ3 pw = σ 1+ 2σ q ο λόγος τάσεων: η = p µέση ενεργός τάση: ( ) ( ) 3.6 Η Θεωρία ιασταλτικότητας σε Τριαξονικές Συνθήκες Η θεωρία διασταλτικότητας του Taylor, που αναφέραµε στο προηγούµενο κεφάλαιο επεκτάθηκε σε συνθήκες τριαξονικής θλίψεως από τον Rowe 59,6. Για τη διατύπωση της θεωρίας αυτής εισάγουµε µέσω του κύκλου Mohr για τις τάσεις τον συντελεστή ενεργοποιηµένης τριβής και την αντίστοιχη γωνία τριβής σε τριαξονική θλίψη: σz σr sinϕ m = (3.29) σz +σr 57 Αγγλ. shearing strain intensity 58 Αγγλ. deviatoric stress 59 P.W. Rowe (1962). The stress-dilatancy relation for static equilibrium of an assembly of particles in contact. Proc. Roy. Soc., 269, P.W. Rowe (1971). Theoretical meaning and observed values of deformation parameters for soil. Proc. Roscoe Mem. Symp., Cambridge,

37 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Κύκλος Mohr των τάσεων σε τριαξονική θλίψη Αντί του παραπάνω συντελεστή ενεργοποιηµένης τριβής µπορούµε να ορίσουµε τον αντίστοιχο συντελεστή "παθητικής ωθήσεως", Km σz 1+ sinϕm 2 o = = = tan (45 + ϕm / 2) (3.3) σr 1 sinϕm Αντιστοίχως ο συντελεστής ενεργοποιηµένης διασταλτικότητας σε τριαξονική θλίψη ορίζεται ως ο λόγος µεταβολής του όγκου προς την αντίστοιχη διατµητική τροπή: dv δ = (3.31) dg Στην γεωτεχνική βιβλιογραφία χρησιµοποιείται αντιστοίχως η ποσότητα m dεv = 1 dε1 2dε3 = dε1 Παρατηρούµε ότι, δ ( dε + 2dε ) 1 3 = 2 (dε1 dε3 ) 3 3 m m 2 3 ( m 1) 2 Τα µέτρα αυτά για την διασταλτικότητα συσχετίζονται µε την αντίστοιχη γωνία ενεργοποιηµένης διασταλτικότητας, που ορίζεται στην περίπτωση τριαξονικής θλίψεως ως εξής 61,62 61 Vermeer, P.A. and de Borst, R. (1984). Non-associated plasticity for soils, concrete and rock. Heron, 29, No. 3.

38 144 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 3δ dε1+ 2dε3 sinψ m = = (3.32) 2 3+δ dε1 2dε3 Η υπόθεση του Rowe αφορά σε µία ενεργειακή εξίσωση, όπως εκείνη του Taylor. Ειδικώτερα ο Rowe υπέθεσε ότι κατά την διάρκεια µίας τριαξονικής θλίψεως ο λόγος του "παρεχόµενου" στο δοκίµιο έργου από το αξονικό φορτίο προς το έργο εκείνο που "αποδίδεται" από το δοκίµιο υπό µορφή πλευρικής διογκώσεως σε βάρος της πλευρική πιέσεως είναι σταθερός, " work in" " work out" σ1dε1 = = K c = σταθ. (3.33) 2σ3dε3 Θα παρατηρήσουµε στο σηµείο αυτό ότι, όπως φαίνεται στο παρακάτω σκίτσο η υπόθεση του Rowe βασίσθηκε σε µια αρχική ιδέα του Reynolds,. Σχηµατική παράταση της γνωστής ως εκτιµήσεως της διασταλτικότητας κατά Reynolds 63 Από τις παραπάνω σχέσεις (3.2) - (3.24) παίρνουµε τελικά την εξής γραµµική σχέση ως έκφραση της υποθέσεως Rowe, K m = K c m (3.34) Πειραµατικός έλεγχος της υποθέσεως του Rowe. εδοµένα από την εργασία των Schanz & Vermeer. 62 I. Vardoulakis and J. Sulem. Bifurcation Analysis in Geomechanics, Blackie Academic and Professional, sect , Πρβλ. Goddard, J.D. and Bashir Y.M. (199). On Reynolds dilatancy, recent developments in structured contunua. (eds. Dekee, D. and Kaloni, P.W. ), Vol. 2,

39 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Πειραµατικός έλεγχος της υποθέσεως του Rowe.) εδοµένα από την εργασία των King & Dickin 64 που αναφέρεται στην εργασία των Wan & Guo Στα παραπάνω διαγράµµατα από τις εργασίες των Schanz & Vermeer 65 και Wan & Guo 66, αναγνωρίζουµε την µερική τουλάχιστον επαλήθευση της υποθέσεως του Rowe. Στα διαγράµµατα αυτά παρατηρούµε ότι η ισοδύναµη γωνία τριβής, που ορίζεται κατ' αναλογίαν της σχέσεως (3.3) από την σχέση, Kc 2 o = tan (45 + ϕeq / 2) (3.35) κυµαίνεται µεταξύ των τιµών ϕ µ <ϕeq < ϕ cv που, όπως αναφέραµε πιο πάνω αντιστοιχούν αφ' ενός στην πραγµατική γωνία εσωτερικής τριβής του υλικού ϕ µ (δηλαδή τριβής στις επαφές των κόκκων) και στην φαινοµενολογική γωνία ενεργοποιηµένης τριβής που αντιστοιχεί στην κατάσταση ισόχωρης παραµορφώσεως ϕ cv. Στις παραπάνω αναφερόµενες εργασίες η γωνία τριβής ϕ cv ταυτίζεται µε την γωνία τριβής στην κρίσιµη κατάσταση, ϕ cv = ϕcs. 'Οπως δε αναφέρουν οι συγγραφείς η τιµή αυτή πρέπει να αντιδιασταλεί σαφώς από την τιµή ϕ mc, που λαµβάνει η ενεργοποιηµένη γωνία τριβής στην (αρχική) κατάσταση µεγίστης συµπυκνώσεως. 64 King, G.J.W. and Duickin, E.A. (197). Comparison of stress-dilatancy theories. J. Soil. Mech. Found. Div., ASCE, 96, (SM5) Schanz, T. and Vermeer, P.A. (1996). Angles of friction and dlatancy of sand. Géotechnique, 46, Wan, R.G. and Guo, P.J. (1999). A pressure and density dependent dilatancy model for sand for granular materials. Soils and Foundations, 39, 1-11.

40 146 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 23 Παρατηρήσεις 1. Στην βάση των παραπάνω εξισώσεων (3.3)-(3.35) και για ϕ eq ϕcs έπεται ο τύπος των Vermeer & de Borst 67 για την διασταλτικότητα sinφm sinϕcs sinψ = (3.36) 1 sinϕm sinϕcs 2. Αξίζει να σηµειωθεί ότι τα αποτελέσµατα των Schanz & Vermeer παρουσιάζουν έντονα ασυνεχή συµπεριφορά. Αυτό το φαινόµενο είναι τυπικό σε κάθε περίπτωση που κανείς χρειάζεται για την βαθµονόµιση µίας θεωρίας να παραγωγίσει πειρµατικά δεδοµενα. Αυτό είναι φανερό στην προκείµενη περίπτωση αν γράψουµε την σχέση του Rowe αναλυτικά, σ1 σ3 = K c 2dε3 dε1 Το αριστερά σκέλος της παραπάνω εξισώσεως περιλαµβάνει την παράγωγο της πειραµτικής καµπύλης µεταβολής ακτινικής-αξονικής παραµορφώσεως. Γενικώς θα παρτηρήσουµε ότι δέον να αποφεύγεται η κατ' ευθείαν παραγώγιση πειραµατικών δεδοµένων αφού αυτή η διαδικασία οδηγεί σε ανεξέλεκτα σφάλµατα. Η παραγώγιση πειραµτικών δεδοµένων συνιστά από µαθηµατικής σκοπιάς ένα πρόβληµα µη-καλώς ορισµένο. Για την αντιµετώπισή του κάποια διαδικασία λείανσης των δεδοµένων είναι ανγκαία 68. Για παράδειγµα ας υπόθέσουµε ότι τα δεδοµένα για τον λόγο των τάσεων προσεγγίζονται από µία σχέση της µορφής, σ1 σ3 = f( ε1) τότε από την παραπάνω σχέση του Rowe παίρνουµε ε1 1 ε3 = f( ε) dε 2K c Με αυτή τη συνάρτηση θα πρέπει να προσεγγίσουµε τα πρωτογενή δεδοµένα { ε 3,ε 1 }, µε τη σταθερά K c ως παράµετρο βελτιστοποιήσεως 67 Πρβλ. Bolton, M.D. (1986). The strength and dilatancy of sands. Géotechnique, 36, Πρβλ. V.A. Morozov, Methods for Solving Incorrectly Posed Problems. Springer-Verlag, ch. 4 sect. 2, 1984).

41 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, 'Ασκηση Να ελεγχθεί υ υπόθεση του Rowe για τα εξής δεδοµένα από ένα τριαξονικό πείραµα θλίψεως σε ξηρή άµµο Karlsruhe ( G s = 2. 66, e =. 539, H = 5.81cm, D = 6.94cm).

42 148 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Θεωρία Κρίσιµης Καταστάσεως 69 Στα διαγράµµατα τάσεων-παραµορφώσεων, που παραθέτουµε παρακάτω από την εργασία των Colliat-Dangus et al. 7, παρατηρούµε την µεταβολή της συµπεριφοράς µιας "πυκνής" ασβεστολιθικής άµµου σε τριαξονικές δοκιµές και για διάφορες τιµές της ολόπλευρης πιέσεως. Είναι φανερό από το τυπικό αυτό αποτέλεσµα ότι για δεδοµένο δείκτη πόρων e µία δεδοµένη άµµος για αρκετά χαµηλές ενεργές πιέσεις θα συµπεριφέρεται ως "πυκνή" (δηλ. θα εµφανίζει διαστολή) ενώ σε υψηλές ενεργές πιέσεις η ίδια άµµος θα συµπεριφέρεται ως "χαλαρή" 71. ιαγράµµατα τάσεων-τροπών για µία ασβεστολιθική άµµο και αύξουσα ολόπλευρη πίεση (Colliat-Dangus et al., 1988) Για τη µαθηµατική περιγραφή αυτού του φαινοµένου ξεκινάµε από την παρδοχή ότι ένα κοκκώδες υλικό εµφανίζει διαστολική συµπεριφορά όταν η πυκνότητα του (ο δείκτης πόρων) είναι µεγαλύτερη (µικρότερος) της αντίστοιχης πυκνότηας (δείκτη πόρων) στην "κρίσιµη κατάσταση". Πράγµατι αν λάµβουµε υπ' όψη τα πειραµατικά δεδοµένα οδηγούµεθα στο συµπέρασµα ότι η κρίσιµη κατάσταση χαρακτηρίζεται από µία µοναδική σχέση µεταξύ των ενεργών τάσεων, του δείκτη πόρων και της αποκλίνουσας τάσεως 72, ( cs) : F(p cs,qcs,ecs ) = (3.37) 69 Αγγλ. Critical State Soil Mechanics 7 Colliat-Dangus, J.-L., Desrues, J. and Foray, P. (1988). Triaxial testing of granular soil under elevated cell pressure. ASTM Sp. Techn. Publ. 977, Πρβλ. Li, X.S. and Dafalias, Y.F. (2). Dilatancy for cohesionless soils. Géotechnique, 5, Roscoe, K.H., Schofield, A.N. and Wroth, C.P. (1958). On the yielding of soils. Géotechnique, 8,

43 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, Ι. Βαρδουλάκης, Ειδικότερα µέσα στα πλαίσια της αντίστοιχης θεωρίας "Κρίσιµης Καταστάσεως" θα δεχθούµε συνήθως ότι: α) ο λόγος των τάσεων στην κρίσιµη κατάσταση είναι σταθερός, qcs 6sinϕ η cs cs = = M= (3.38) p cs 3 sinϕcs και β) ο δείκτης πόρων στην κρίσιµη κατάσταση αποδίδεται σε ένα ηµιλογαριθµικό διάγραµµα µε µία ευθεία p e cs = ecs,ref Λln (3.39) pref Οι αντίστοιχες ευθείες χαρακτηρίζονται ως οι γραµµές κρίσιµης καταστάσεως (CSL) 73. Τα ίχνη της "κρίσιµης επιφάνειας" F = στους αντίστοιχους υπόχωρους 'Οπως φαίνεται από το επόµενο διάγραµµα οι παραπάνω µαθηµατικές εκφράσεις συνιστούν απλουστεύσεις της πραγµατικής συµπεριφοράς των κοκκωδών υλικών. Γραµµή Κρίσιµης Καταστάσεως. εδοµένα από την εργασία των Verdugo & Ishihara 74 που ανφέρεται στην εργασία των Wan & Guo 73 Αγγλ. Critical State Line (CSL) 74 Verdugo, R. and Ishihara, K. (1996). The steady state of sandy soils. Soils and Foundations, 36,