Osnove biokemije Enzimska kinetika. Boris Mildner. Kinetika proučava brzine reakcija
|
|
- Πάνος Σερπετζόγλου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Osnove biokemije Enzimska kinetika Boris Mildner Kinetika proučava brzine reakcija Za reakciju: A P Brzina reakcije v je: v = - d[a]/dt = d[p]/dt (1) pri čemu d označava smanjenje koncentracije supstrata, odnosno povećanje koncentracije produkta u jedinici vremena. Brzina reakcije jednaka je umnošku koncentracije A i konstante proporcionalnosti k, koju nazivamo konstantom brzine. v = k [A] (2) Reakcije kod kojih je brzina direktno proporcionalna koncentraciji reaktanta nazivaju se reakcije prvog reda. Konstantama brzina reakcija prvog reda jedinica je s -1. 1
2 Kinetika proučava brzine reakcija Mnoge biokemijske reakcije uključuju dva reaktanta i ove reakcije nazivamo reakcijama drugog reda. Primjeri ovih reakcija su: 2 A P ili A + B P Ove reakcije nazivamo bimolekularnim reakcijama, a brzine reakcija izražavaju se kao: v = k[a] 2 (3) odnosno v = k[a][b] (4) Konstante brzina, koje se nazivaju konstantama brzina drugog reda, imaju jedinice M -1 s -1 odnosno dm 3 mol -1 s -1. Kinetika proučava brzine reakcija Ponekad reakcije drugog reda izgledaju prividno kao reakcije prvog reda. Ako je na primjer za reakciju: A + B P (pri čemu je v = k[a][b]), koncentracija B daleko veća od koncentracije A, reakcija će biti prvog reda u odnosu na A i neće ovisiti o koncentraciji B. Ovakve reakcije nazivamo reakcijama pseudo-prvog reda. U određenim uvjetima reakcija može biti nultog reda. U tom slučaju brzina reakcije ne ovisi o koncentraciji reaktanta (supstrata). Reakcije katalizirane enzimima u određenim uvjetima mogu biti reakcije nultog reda. 2
3 Kinetika enzima Dijagram prikazuje brzinu reakcije v o, koja je definirana kao broj molova produkta koji nastaju u sekundi, u odnosu na koncentraciju supstrata. Reakciju katalizira konstantna koncentracija enzima. Može se uočiti da je enzimom katalizirana reakcija na početku gotovo linearna a povećanjem koncentracije supstrata gotovo dostiže maksimalnu brzinu reakcije kada reakcija gotovo dostigne maksimalnu brzinu reakcija je onda pseudo nultog reda, tj. ne ovisi o koncentraciji supstrata. Kinetika enzimskih reakcija k E + S 1 k 2 ES E + P k -1 k -2 Pri čemu: k 1 je konstanta brzine nastajanja enzim supstrat kompleksa (ES) k 2 je konstanta brzine nastajanja produkta (P) k -1 i k -2 su konstante reverzibilnih reakcija 3
4 3 faze enzimske reakcije: 1. Predustaljeno stanje: raste koncentracija ES 2. Ustaljeno stanje: konstantna koncentracija ES 3. Post-ustaljeno stanje: opada koncentracija ES Vremenski tijek enzimske reakcije Reakcija teče u tri faze do uspostavljanja ravnoteže: (1)predustaljeno, (2)ustaljeno stanje i (3)postustaljeno stanje Ustaljeno stanje Koncentracija d[p]/dt=konst. Ustaljeno stanje Vrijeme Predustaljeno stanje 4
5 Supstrat (S) se može prevesti u produkt (P) samo ako dođe u funkcionalni dodir s enzimom (E), stvorivši kompleks enzim-supstrat (ES): k 1 E + S ES E + P k -1 k 2 Reakcija ubrzo dostiže ustaljeno stanje gdje je koncentracija [ES] kompleksa gotovo konstantna. Početna brzina reakcije uglavnom odražava ustaljeno stanje i analizu početnih brzina reakcija nazivamo kinetikom ustaljenog stanja. U ovom pojednostavljenom modelu (Michalis-Menten) brzina razgradnje produkta je zanemariva, odnosno v = k -2 [P] = 0. Ustaljeno stanje 5
6 Za reakciju S P početne brzine enzimom katalizirane reakcije, v o, su tangente krivulja u vrijeme t = 0. Brzina reakcje, kod jednake koncentracije supstrata, se smanjuje tijekom vremena, kako se što više supstrata pretvara u produkt. v 03 v 02 v 01 Dijagram prikazuje da je količina nastalog produkta funkcija vremena. Početna brzina reakcije,v 0, za svaku koncentraciju supstrata određena je nagibom krivulje na početku reakcije kada je reverzibilna reakcija beznačajna. Prikazane v 0 su brzine koje se postižu kod prikazanih koncentracija supstrata (0,2-1,0 µmol dm -3 ). Utjecaj supstrata na početnu brzinu, v o, enzimom katalizirane reakcije. Ovdje se pretpostavlja da je koncentracija enzima konstantna tijekom cijelog toka reakcije. V m se približava asimptoti. Michaelisova konstanta K M jednaka je koncetraciji supstrata pri kojoj se postiže V m /2. 6
7 Kinetika enzimskih reakcija u ustaljenom stanju Model Michaelis-Menten k 1 E + S ES E + P k -1 k 2 [E] ukupni = [ES] + [E] slobodni Na početku reakcije: k -2 [P] = 0 Uvjeti ustaljenog stanja [ES] = const. [S] const.>> [E] [P] 0 k 1 k E + S ES 2 E + P k -1 U uvjetima kad se može zanemariti povratna reakcija, početna brzina nastajanja produkta proporcionalna je koncentraciji kompleksa ES: v 0 = dp dt = k 2 [ES] Početna brzina katalitičke reakcije v o = k 2 [ES] ujedno je i brzina katalizirane reakcije 7
8 k 1 k E + S ES 2 E + P k -1 Ukupna brzina nastanka ES kompleksa jednaka je razlici brzina reakcija u kojima ES kompleks nastaje (asocira) i brzina reakcija u kojima nestaje (disocira): d[es] dt = k 1 [E][S] - k -1 [ES] - k 2 [ES] Briggs-Haldane pretpostavka: koncentracija enzim-supstrat kompleksa (Michaelisov kompleks) u ustaljenom stanju je konstantna, odnosno d[es] = 0 dt stoga je: k 1 [E][S] = (k -1 + k 2 )[ES] k 1 k E + S ES 2 E + P k -1 Ukupna koncentracija enzima: [E T ] = [E] + [ES] ili [E] = [E T ] - [ES] ako se izraz za [E] uvrsti u jednadžbu k 1 [E][S] = (k -1 + k 2 )[ES] dobivamo: [ES](k -1 + k 2 + k 1 [S]) = k 1 [E T ] [S] Michaelisova konstanta je: K M = k -1 + k 2 Ako u gornju jednadžbu uvrstimo Michaelisovu konstantu, K M, i izrazimo [ES], dobivamo: [E T ][S] [ES] = K M + [S] k 1 8
9 k 1 k E + S ES 2 E + P k -1 Ako izraz za [ES], tj. [ES] = [E T ][S] K M + [S] uvrstimo u jednadžbu: v o = k 2 [ES], dobivamo: v o = k 2 [E T ] x [S] K M + [S] Budući da je maksimalna brzina V m : V m = k 2 [E T ], dobivamo: v o = V m [S] K M + [S] k 1 E + S ES E + P k -1 K M označava koncentraciju supstrata pri kojoj brzina reakcije iznosi polovinu maksimalne brzine reakcije Za v o = V m /2, [S] = K M k 2 v 0 = V m [S] K M + [S] K M je važna karakteristika enzimske reakcije i značajna je za biološke funkcije. Određivanje V m i K M je često jedna od prvih određenih karakteristika nekog enzima. Jednadžba opisuje pravokutnu hiperbolu s asimptotama u [S] =- K M i v o = V m 9
10 Ovisnost brzine reakcije o koncentraciji supstrata Na početku reakcije [S]<<K M v o V m kada je [S]>>K M K M, Michaelisova konstanta jedinstvena je vrijednost za svaki enzim i ne ovisi o koncentraciji enzima. k 1 E + S ES E + P k -1 Model pretpostavlja mjerenje početne brzine enzimske reakcije (v 0 ) pod uvjetima kada se povratna reakcija može zanemariti zbog toga što je: [P] = 0 (početak reakcije) i/ili k -1 << k 2 k 2 v o = V m [S] K M + [S] [S] je nezavisna varijabla, koju mijenjamo po volji v o je zavisna varijabla, koju mjerimo V m i K M su parametri modela 10
11 Praćenje reakcije Određivanje vremenskog raspona u kojem je prirast koncentracije produkta [P] linearan; u tom su rasponu ispunjeni uvjeti modela Michaelis- Menten. Početne brzine se za svaku reakcijsku smjesu očitavaju kao nagib u linearnom dijelu krivulje. Svakoj koncentraciji [S] pridružena je njoj pripadajuća početna brzina reakcije v 0. [P] Područje v 0 v 0 (4) v 0 (3) v 0 (2) [S] 4 [S] 3 [S] 2 [S] 1 v 0 (1) t nagib Matematičke transformacije Michaelis-Mentenove jednadžbe omogućavaju nam određivanje K M i V m Lineweaver-Burk: najpoznatija, ali ne i najbolja: v 0 = V m [S] K M + [S] -1 1 v 0 = K M V m 1 [S] + 1 V m Ova jednadžba nam omogućava eksperimentalno određivanje V m i K M. 11
12 Vrijednosti K M važne su karakteristike enzima Vrijednosti K M važne su karakteristike enzima Enzimi imaju vrlo različite K M vrijednosti K M nekog enzima ovisi o supstratu, uvjetima okoliša (ph, temperatura, ionska jakost) K M je mjera koncentracije supstrata koja je potrebna da se provede pretvorba znatne količine supstrata. Za mnoge enzime postoje dokazi da vrijednosti K M ukazuju na fiziološke koncentracije supstrata. Kod koncentracija supstrata koje su manje od K M, enzimi su vrlo osjetljivi na promjene u koncentracijama supstrata ali imaju malu aktivnost. Kod koncentracija supstrata koje su veće od K M enzimi imaju veliku katalitičku aktivnost ali su neosjetljivi na promjene u koncentraciji supstrata. 12
13 Vrijednosti K M i V m važne su karakteristike enzima V m nam omogućava određivanje obrtnog broja (prometni broj) enzima. Obrtni broj, k cat, je broj molekula supstrata koje enzim može pretvoriti u produkt u jedinici vremena kada je enzim u potpunosti zasićen supstratom. Obrtni broj, k cat = k 2. Kada je ukupna koncentracija aktivnih mjesta [E T ], tada je: V m = k 2 [E T ] i k cat = k 2 = V m /[E T ] 13
14 k cat /K M je mjera efikasnosti katalize U stanicama, većina enzima nije zasićena supstratima, te u fiziološkim koncentracijama supstrata brzina enzimske reakcije iznosi 10 50% V m. Za [S]<< K M v 0 = k cat [E T ] [S] K M + [S] k cat [E T ] [S] K M Kada je [S]<< K M brzina enzimske reakcije ovisi o vrijednostima k cat /K M, [S] i [E T ].. U ovim uvjetima k cat /K M je konstanta brzine interakcije između S i E. Konstanta brzine k cat /K M je mjera katalitičke efikasnosti jer uzima u obzir i brzinu katalize s određenim supstratom (k cat ) kao i mjeru (snagu) interakcije enzima sa supstratom (K M ). k cat /K M je mjera efikasnosti katalize 14
15 Većina se biokemijskih reakcija odvija s nekoliko supstrata A + B P + Q NAZIVLJE VIŠESUPSTRATNIH REAKCIJA Uni, bi, ter, kvad,... označava broj kinetički važnih molekula (supstrata i produkata). Naziv ističe red polazne i povratne reakcije: bibi 2S i 2P unibi 1S i 2P terbi 3S i 2P Mehanizam sekvencijski ping-pong uređeni slučajni Za provođenje većine biokemijskih reakcija potrebno je nekoliko supstrata Sekvencijski mehanizami nastajanja ternarnog kompleksa slučajni uređeni Ping-pong mehanizam (produkt odlazi iz kompleksa prije nego što se vezao drugi supstrat) te ne nastaje ternarni kompleks 15
16 Sekvencijska reakcija Clelandov prikaz bisupstratne sekvencijske reakcije. Prvi supstrat (NADH) veže se na enzim, a nakon toga se veže drugi supstrat (piruvat) te nastaje ternarni kompleks između dva supstrata i enzima. Nakon što je nastao ternarni kompleks dolazi do katalize pri čemu nastaje ternarni kompleks između dva produkta (laktata i NAD + ) i enzima. S enzima, produkti obično disociraju u slijedu. Reakcija dvostruke zamjene, ping-pong Clelandov prikaz ping-pong odnosno reakcije dvostruke zamjene. Prvi supstrat (aspartat) veže se na enzim te dolazi do prve katalitičke reakcije te nastaje na enzim vezana amino skupina (E-NH 3 ), a prvi produkt (oksaloacetat) disocira s enzima. Na aktivirani enzim se nakon toga veže drugi supstrat (α-ketoglutarat) na kojeg se, u drugoj enzimskoj reakciji, prenosi amino skupina te nastaje glutamat koji disocira s enzima. 16
17 Linewear-Burkov prikaz bisupstratnih reakcija u ustaljenom stanju. Sekvencijski mehanizam (nastaje ternarni kompleks ako se crte sijeku ) Ping-pong mehanizam (crte su paralelne) Alosterički enzimi su katalizatori a ujedno i regulacijski enzimi ( senzori metabolizma ) Alosterički enzimi važna su skupina enzima čija se katalitička aktivnost može regulirati. Oni reguliraju protok metabolita u metaboličkim putovima. Ovi enzimi ne podliježu Michaelis-Menteninoj kinetici i imaju višestruka aktivna mjesta. Aktivna mjesta alosteričkih enzima djeluju kooperativno što se može uočiti iz sigmoidnog oblika krivulje brzine reakcije u ovisnosti o koncentraciji supstrata. Regulacijski alosterički modulatori mogu ili stimulirati ili inhibirati enzimsku aktivnost. 17
18 Regulatorni alosterički enzimi reguliraju svoju aktivnost pomoću produkata koji nastaju tim putom Enzimi u metaboličkom putu ubrzavaju ili inhibiraju svoju katalitičku aktivnost ovisno o specifičnom podražaju, odnosno vezanjem pojedinog produkta metaboličkog puta. e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 A B C D E F Inhibicija povratnom spregom. Krajnji produkt se veže za prvi enzim puta te inhibira početak (odlučujući korak) metaboličkog puta kojeg katalizira alosterički enzim. Alosterički enzimi uobičajeno kataliziraju odlučujuće korake nekog metaboličkog puta. Regulatorni alosterički enzimi reguliraju svoju aktivnost pomoću produkata koji nastaju tim putom (-) e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 A B C D E F (+) e 8 e 9 J K (+) G H I e 6 e 7 (-) Suradnja dva metabolička puta kako bi nastao jedan produkt. Produkt K, povratnom spregom inhibira enzime e 1 i e 6, a te enzime povratnom spregom inhibiraju i krajnji produkti, F i I. Kako bi se reguliralo nastajanje K, produkt F stimulira enzim e 6, a produkt I, stimulira enzim e 1. 18
19 Michaelis-Mentenovim modelom ne možemo opisati alosteričke enzime Alosteričke enzime prepoznajemo prema sigmoidnom obliku krivulje. Regulacijski enzimi podliježu alosteričkoj regulaciji. Alosterički enzimi često su multimeri i alosterički modulator se veže na regulacijsku jedinicu koja kontrolira aktivnost katalitičke podjedinice enzima. Regulatorni enzimi izgrađeni od nekoliko podjedinica podliježu i kooperativnosti, (T R prijelazi), te to dodatno objašnjava sigmoidnost krivulja). 19
20 Supstrati i modulatori reguliraju ravnotežu između R i T stanja alosteričkih enzima (primjer kinetike aspartat transkarbamoilaze) Aspartat transkarbamoilaza je primjer alosteričkog regulacijskog enzima. Tri su regulacijske podjedinice prikazane žutom i crvenom bojom, dok su tri katalitičke podjedinice prikazane plavim i ljubičastim bojama. 20
21 Aspartat transkarbamoilaza katalizira odlučujući korak u biosintezi pirimidinskih baza Aspartat transkarbamoilaza katalizira odlučujući korak u biosintezi pirimidinskih baza Utjecaj regulatora na aktivnost alosteričkog enzima Citidin trifosfat (CTP) stabilizira T stanje aspartat transkarbamoilaze, i u tom stanju enzim otežano veže supstrat a time je i otežan i njegov prijelaz u R stanje pa je krivulja pomaknuta udesno (crvena krivulja). ATP je alosterički aktivator aspartat transkarbamoilaze i on stabilizira R stanje enzima. U R stanju supstrat se lakše veže za enzim i kinetika je brža, a to se opaža pomakom krivulje u lijevo (plava krivulja). 21
22 Signalne molekule reguliraju ravnotežu između R i T stanja alosteričkih enzima (a) (b) Kompleksni odnosi alosteričkih regulatora. U (a) je prikazan utjecaj supstrata, pozitivnog homotropnog modulatora, na odnos aktivnosti i koncentracije supstrata. (b) Utjecaj pozitivnog (+) i negativnog (-) modulatora. U ovom slučaju K 0,5 se mijenja, a V m ostaje nepromijenjena. Središnja krivulja prikazuje odnos supstrata i enzimske aktivnosti bez heterotropnog modulatora. (c) Primjer koji se u prirodi ne javlja često gdje heterotropni modulatori mijenjaju V m, a K 0,5 ostaje gotovo nepromijenjena. (c) Uobičajeni heterotropni modulatori alosteričkih enzima 22
23 Jedan regulacijski enzim može se fosforilirati na nekoliko različitih mjesta. Primjer višestrukih regulacijskih fosforilacija glikogen sintaze. 23
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραREAKCIJE ELIMINACIJE
REAKIJE ELIMINAIJE 1 . DEIDROALOGENAIJA (-X) i DEIDRATAIJA (- 2 O) su najčešći tipovi eliminacionih reakcija X Y + X Y 2 Dehidrohalogenacija (-X) X strong base + " X " X = l, Br, I 3 E 2 Mehanizam Ova
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραHeterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima
Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραObrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραA B C D. v v k k. k k
Brzina kemijske reakcije proporcionalna je aktivnim masama reagirajućih tvari!!! 1 A B C D v2 1 1 2 2 o C D m A B v m n o p v v k k m A B o C D p C a D n A a B A B C D 1 2 1 2 o m p n 1 2 n v v k k K a
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραSEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Διαβάστε περισσότεραIzbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραMehanizmi djelovanja enzima i regulacija aktivnosti enzima
Mehanizmi djelovanja enzima i regulacija aktivnosti enzima Boris Mildner Aktivnost enzima mijenja se promjenama temperature, ph, inhibitorima te vezanjem malih molekula ili iona Temperatura povećava brzinu
Διαβάστε περισσότεραPut pentoza fosfata. B. Mildner. Put pentoza fosfata
Put pentoza fosfata B. Mildner Put pentoza fosfata Svrha ovog puta je: A) da se stanici omogući dovoljno NADPH, koji služi kao reducens u biosintetskim reakcijama kao i u zaštiti stanica od kisikovih radikala.
Διαβάστε περισσότεραReverzibilni procesi
Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραHEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE
TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραVježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom
Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραOpća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava
Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog
Διαβάστε περισσότεραPROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραNOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραCIKLUS LIMUNSKE KISELINE (CLK)
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE CIKLUS LIMUNSKE KISELINE (CLK) Doc. dr. sc. Dragana Vuk Metabolička sudbina piruvata 1. Oksidacijska dekarboksilacija piruvata 2. Ciklus
Διαβάστε περισσότεραNovi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα