LUCRAREA NR. 5. functia sa de transfer (reprezentarea intrare-iesire a sistemului) determinandu-se cu relatia

Transcript

1 LUCRAREA NR Proprieăţi rucurale ale iemelor liniare (abiliae, conrolabiliae, obervabiliae). Reprezenarea în frecvenţă a iemelor O problemă imporană în udiul iemelor auomae o reprezină proprieaea de abiliae. Referior la udiul abiliăţii, MALAB dipune de o erie de inrucţiuni ce conţin aâ crierii algebrice câ şi frecvenţiale. Un iem monovariabil liniar i invarian in imp ee decri de ecuaiile inrare-areieşire: x& ( ) Ax( ) + bu( ) y( ) c x( ) + du( ) (1) funcia a de ranfer (reprezenarea inrare-ieire a iemului) deerminandu-e cu relaia 1 c ( I A) b + d () SABILIAEA Crieriul general de abiliae inernă: Condiţia neceară şi uficienă ca un iem liniar i invarian in imp decri de ecuaiile (1) ă fie inern aimpoic abil ee ca oae valorile proprii ale maricei A (adica rădăcinile polinomului caraceriic p( λ ) de( λi A) ) ă aibă parea reală negaivă (ă fie iuae în emiplanul complex negaiv C - ). Valorile proprii ale unei marici A e calculează cu funcţia MALAB eig(a). Polinomul caraceriic al unei marici A e calculează cu inrucţiunea poly(a), iar rădăcinile unui polinom e calculează cu inrucţiunea roo(p), unde p ee un vecor linie ce conţine coeficienţii polinomului în ordine decrecăoare a puerilor variabilei. Deci, valorile proprii unei marici e po calcula şi cu comanda roo(poly(a)). Dacă uilizăm funcţia eig cu inaxa [v,d]eig(a) e va genera o marice diagonală d cu valorile proprii ale maricei păraice A şi o marice v ale cărei coloane corepund vecorilor proprii ce verifică relaţia: A v v d. Fie iemul liniar i invarian in imp decri prin funcţie de ranfer (relaţie inrareieşire) M ( ) b + b m m 1 m m 1 n n 1 N( ) an + an 1 + L+ b1 + b, a n, m n (3) + La + a 1 In ace caz inereeaza abiliaea inrare mărginiă ieşire mărginiă, au pe cur, abiliaea inrare ieşire: Crieriul general de abiliae inrare-ieşire: Siemul liniar i invarian in imp decri de (3) ee abil inrare ieşire dacă şi numai dacă oţi polii (radacinile numiorului) funcţiei de 1

2 ranfer au parea reală negaivă (un iuaţi în emiplanul complex negaiv C - ). Obervaie: Daca funcţia de ranfer obţinuă uilizând () ee ireducibilă în forma primara (adica aşa cum rezula prin calcul direc şi fara implificari), aunci concluziile aupra abiliăţii inrare-ieşire un valabile şi penru abiliaea inernă a iemului. Vice-vera nu ee adevaraă. CONROLABILIAEA e verifică pe perechea (A, B) şi ee proprieaea unui iem care evidenţiază poibiliaea deerminării unei comenzi în vederea efecuării unei ranziţii în paţiul ărilor. OBSERVABILIAEA e verifică pe perechea (A, C) şi ee proprieaea unui iem care pune în evidenţă poibiliaea deerminării unei ări din prelucrarea mărimii măurae y. Fie iemul monovariabil de ordinul n în reprezenarea inrare-are-ieşire (A, B, C, D). Perechea (A, B) ee conrolabilă dacă şi numai dacă maricea de conrolabiliae R are n 1 rangul n, unde R [ B AB L A B]. Perechea (A, C) ee obervabilă dacă şi numai dacă maricea de obervabiliae Q are rangul n, unde C Q C A M C A Inrucţiunile MALAB penru calculul maricelor de conrolabiliae, repeciv de obervabiliae, un: R crb(a,b), repeciv Q obv(a,c). Rangul unei marici X e calculează cu inrucţiunea MALAB: rank(x). n 1.. REPREZENAREA ÎN FRECVENŢĂ A SISEMELOR Numim caraceriică de frecvenţă a unui iem liniar invarian în imp, cu o inrare şi o ieşire (SISO) rericţia la axa imaginară a funcţiei de ranfer: H ( j penru < ω < au ω <. Funcţia complexă H(j e poae crie în forma polară jω no j arg H ( j jϕ ( H ( j e A( e (4) H ( j unde cu A ( H ( j -a noa modulul funcţiei complexe şi cu ϕ( arg H ( j argumenul aceeia; expreia caraceriicii de frecvenţă în forma careziană ee no H ( j Re( H ( j) + j Im( H ( j) P( + jq( (5) Se inroduc rei ipuri de reprezenări grafice ale caraceriicii de frecvenţă: A. LOCUL DE RANSFER NYQUIS ee hodograful lui H(j în planul (P(, Q() penru < ω <. Deoarece hodograful ee imeric faţă de axa reală, ee uficienă raarea emihodografului ( ω < ).

3 B. CARACERISICILE DE FRECVENŢĂ BODE B.1 Caraceriicile ampliudine-pulaţie şi fază-pulaţie un reprezenările grafice ale dependenţelor L ( log1 H ( j (măura în db) şi ϕ( arg H ( j (măura în grade); ambele grafice au abcia (axa frecvenţelor) gradaă în cară logarimică. B. Caraceriica ampliudine-fază ee reprezenarea în planul (L, ϕ) a dependenţei paramerice L( şi ϕ(, unde abcia ϕ ee gradaă în grade, iar ordonaa L în db. A. Crieriul de abiliae Nyqui ee un crieriu frecvenţial care permie udiul abiliăţii iemului în circui închi din Fig. 1 cu funcţia de ranfer H M ( ) ( ), (6) 1 + N( ) + M ( ) doar pe baza informaţiilor furnizae de funcţia de ranfer în buclă dechiă, H() deci fără calculul poliilor (rădăcinile numiorului) lui H (). Penru ca rezulaele ă reflece şi abiliaea inernă a iemului rezulan, funcţia de ranfer H() în formă primară rebuie ă fie ireducibilă. u() - H() y() Fig. 1. Siem în circui închi prin reacţie negaivă uniară Crieriul Nyqui: Condiţia neceară şi uficienă penru ca iemul liniar şi invarian în imp decri prin funcţia de ranfer (3) ă fie abil inrare ieşire şi/au inern aimpoic abil ee ca variaţia argumenului vecorului cu originea în puncul criic ( 1,) al planului complex ( Re( H(jω )), Im( H(j )) şi vârful pe ramurile coninue ale emihodografului caraceriicii de frecvenţă H(j când ω variază crecăor în inervalul [, + ) ă fie: Δϕ ( + N ) π N p (7) unde: N p - reprezină numărul polilor lui H() iuaţi în emiplanul complex poziiv; N - reprezină numărul polilor lui H() iuaţi pe axa imaginară. Un iem auoma ee la limia de abiliae dacă emihodograful rece prin puncul criic ( 1,). Dacă nu un îndeplinie acee condiţii iemul ee inabil. Hodograful lui H ( j e obţine în MALAB cu comanda nyqui avand una dinre urmaoarele inaxe: nyqui(y) nyqui(y,w) nyqui(y1,y,...,yn) nyqui(y1,y,...,yn,w) [re,im,w] nyqui(n,d) [re,im] nyqui(n,d,w) 3

4 nyqui(y) raeaza hodograful Nyqui al unui iem liniar şi invarian în imp cu modelul y. Penru un iem decri prin funcţie de ranfer, vom avea: yf(n,d) unde cei doi parameri reprezină crierea in MALAB a polinoamelor zerourilor i polilor adică un vecori linie care conţin coeficienţii celor două polinoame ale funcţiei raţionale, în ordine decrecăoare a puerilor variabilei. ( + 3) Exemplul 1: Penru iemul cu funcţia de ranfer în buclă dechiă hodograful caraceriicii de frecvenţă în buclă închiă e obţine afel: hf([ 6],[1 3]); nyqui(h) Fig. Hodograful Nyqui penru iemul da Se obervă în Fig. reprezenarea în culoare roşie a puncului criic ( 1,) şi cele doua ramuri, imerice faţă de abcia, ale hodografului. Deoarece iemul da ee abil în bucla dechiă, variaia Δ ϕ din (7) rebuie a fie nulă, ceea ce e obervă uşor în graficul din Fig.. nyqui(y,w) pecifică explici şi frecvenele penru care au fo calculae valorile graficului. nyqui(y1,y,...,yn) i nyqui(y1,y,...,yn,w) reprezina în aceleai axe de coordonae hodografurile mai mulor ieme. [re,im,w] nyqui(n,d) afişează valorile componenei reale şi, repeciv, a celei imaginare ale caraceriicii de frecvenţă, precum şi frecvenţele w; în ace caz emihodograful e va afia cu comanda plo(re,im). [re,im] nyqui(n,d,w) permie definirea de căre uilizaor a frecvenţelor penru care e doreşe evalua răpunul; în ace caz vecorul în cară logarimică al frecvenţelor w (radiani/ecundă) va fi genera cu comanda logpace. Comanda logpace uilizaă penru generarea unui vecor de valori egal paţiae, în cară logarimică, înre valorile 1 a şi 1 b are una dinre inaxele: w logpace(a,b) generează un vecor cu 5 de elemene 4

5 w logpace(a,b,n) generează un vecor cu n elemene w logpace(a,pi) generează un vecor cu valori înre 1 a general în prelucrarea numerică a emnalelor. şi 1 π, uiliza în B. Caraceriicile de frecvenţă Bode e raează în MALAB foloind comanda bode cu una dinre urmăoarele inaxe: bode(y) bode(y,w) bode(y1,y,...,yn) bode(y1,y,...,yn,w) unde y ee modelul iemului liniar invarian în imp (coninuu au dicre şi monovariabil (SISO) au mulivariabil (MIMO)), deermina cu una din funcţiile MALAB f,, zpk (au frd). bode(y) reprezină grafic răpunul Bode al unui iem liniar şi invarian în imp; bode(y,w) permie pecificarea expliciă a domeniului de frecvenţe în care e doreşe raarea graficelor. bode(y1,y,...,yn) şi bode(y1,y,...,yn,w) reprezină grafic, înr-o ingură figură, răpunurile Bode ale celor N ieme. Comanda bode având inaxa mag,phae,w] bode(n,d) unde N şi D un vecorii polinoamelor zerourilor şi, repeciv, polilor funcţiei de ranfer calculează ampliudinea şi faza răpunului în frecvenţă penru frecvenţele w (în rad/ec.). În ace caz, penru reprezenarea grafică a dependenţelor e vor foloi comenzile: emilogx(w,*log(mag)) penru caraceriica emilogarimică de ampliudine L(, repeciv emilogx(w,phae) penru caraceriica emilogarimică de fază ϕ(. Se recomandă foloirea comenzii ubplo penru afişarea pe acelaşi ecran a celor două dependenţe. Exemplul : Penru iemul cu funcţia de ranfer din Exemplul 1, caraceriicile Bode e obţin inroducând în MALAB liniile de comandă hf([ 6],[1 3]); bode(h) grid Fig. 3. Caraceriicile Bode ampliudine-frecvenţă şi fază-frecvenţă 5

6 Comporarea iemului în circui închi poae fi apreciaă foloind indicaorii de caliae frecvenţiali definiţi pe caraceriica complexă de frecvenţă. Aceşi indicaori un: Frecvenţa de ăiere noaă ω reprezină frecvenţa la care ampliudinea caraceriicii de frecvenţă are valoarea 1, A( ω ) 1, au, echivalen L( ω ). Pe reprezenarea Nyqui a caraceriicii de frecvenţă, ω ee cea mai mare frecvenţă la care emihodograful inerecează cercul uniae cu cenrul în origine. Pe diagrama Bode ampliudine-pulaţie valoarea ω e deermină din condiţia L( ω ). Marginea de fază (MF) e evaluează în cazul unui iem abil şi e referă la caniaea neceară, din punc de vedere al fazei, penru ca iemul ă ajungă la limia abiliăţii. Pe emihodograful Nyqui, MF reprezină unghiul în en rigonomeric dinre axa reală negaivă şi direcţia vecorului H ( jω ). În cazul caraceriicilor Bode, MF ee dianţa răpunului de fază de la faza de -18 la frecvenţa de ăiere ω ; e calculează cu relaţia: MF 18 +ϕ( ω ), unde ϕ ( ω ) arg H ( jω ). Frecvenţa de ăiere de fază noaă ω π reprezină cea mai mică frecvenţă la care răpunul de fază ainge valoarea -18 : ω π min{ ω ϕ( 18 }. Marginea de ampliudine (MA) în cazul unui iem abil, marginea de ampliudine e referă la valoarea neceară penru ca ampliudinea iemului ă devină egală cu 1 aunci când faza ee egală cu -18 ; marginea de ampliudine ee definiă prin relaţia MA 1 H ( jωπ au echivalen (penru caraceriica ampliudine-pulaţie) MA L( jωπ ). Inrucţiunea MALAB penru calculul celor paru indicaori frecvenţiali ee [Gm,Pm,Wcg,Wcp] margin(y) unde Gm ee marginea de ampliudine (Gain margin), Pm ee marginea de fază (phae margin), iar Wcg şi Wcp un repeciv, frecvenţele de ăiere şi cea de ăiere de fază. Exemplu 3: Deerminarea marginilor de abiliae penru iemul din exemplul noru e face cu comanda margin(h) iar rezulaul ee reprezenarea grafica de mai jo în care e obervă că ω 3 rad / ec. MA, MF 9 şi 6

7 EMĂ: 1. Se dau iemele decrie prin funcţiile de ranfer: ,, ( + 1) a. Să e udieze abiliaea inrare - ieşire. b. Să e udieze foloind crieriul Nyqui abiliaea iemului în buclă închiă prin reacţie negaivă uniară, având pe calea direcă ubiemul cu funcţia de ranfer de mai u. c. Să e raeze caraceriicile de frecvenţă Bode. d. Să e calculeze pulaţia de ăiere, marginea de fază, pulaţia de ăiere de fază, marginea de ampliudine penru iemul cu H().. Se dau iemele cu reprezenarea de are: A, B, C D [ 1 ], A, B, C D [ 1 ], a. Să e udieze abiliaea inernă. b. Să e udieze conrolabiliaea şi obervabiliaea. 3. Să e udieze cu crieriul Nyqui abiliaea iemului din Fig. 1 când funcţia de ranfer pe calea direcă are, pe rând, una din expreiile de mai jo: 3( + 1) 1( + 1)( + 5) 1,,, ( + 3)( + 4)( ) ( 4 + 4) ( + 1)( + )( + 5) , ( + 3) ( + 3.5) 7