Sisteme de ordinul I şi II

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Sisteme de ordinul I şi II"

Αθανάσιος Καραβίας
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Siseme de ordiul I şi II. Scopul lucrării Se sudiază comporarea î domeiul imp şi frecveţă a sisemelor de ordiul II. Siseme de ordiul I. Comporarea î domeiul imp a sisemelor de ordiul I U sisem de ordiul I de ip rece-jos ese descris de ecuaţia difereţială: dy() τ + y () = x () (.) d ude x() ese irarea iar y() ese ieşirea sisemului. τ se umeşe cosaa de imp a sisemului. Î codiţii de repaos iiţial ecuaţia (.) descrie u sisem liiar si ivaria i imp a cărui fucţie de sisem ese: HTJ () s =, Re{} s > (.) + sτ τ Se obţi: răspusul la impuls: / h () = e τ σ () (.3) τ răspusul idicial (la semalul reapă): / τ s () = h( θ ) dθ σ() = ( e ) σ() (.4) Se observă că, pe duraa uei cosae de imp, răspusul la impuls scade de e ori. U sisem de ordiul I rece-sus ese descris de ecuaţia difereţială: dy() dx() τ + y () = τ (.5) d d Î codiţii de repaos iiţial, fucţia de sisem ese: sτ HTJ () s =, Re{} s > (.6) + sτ τ 3. Comporarea î domeiul frecveţă a sisemelor de ordiul I Răspusul î frecveţă al uui sisem de ordiul I rece-jos ese: HTJ ( ω) = HTJ ( s) s= jω = (.7) + jωτ iar al uui sisem rece-sus: jωτ HTS ( ω) = HTS ( s) s= jω = (.8) + jωτ

2 Siseme de ordiul II 4. Comporarea î domeiul imp a sisemelor de ordiul II rece-jos Ecuaţia difereţială ce caracerizează sisemele de ordiul II rece-jos ese: d y() dy() + ξω ( ) ( ) + y = x d d (.9) ude x() ese irarea iar y() ese ieşirea sisemului. ω se umeşe pulsaţie aurala, iar ξ se umeşe gradul de amorizare al sisemului. Î codiţii de repaos iiţial, ecuaţia (.9) descrie u sisem liiar si ivaria î imp, a cărui fucţie de sisem ese: H( s) ω s + ξs+ Re{ s} σ (.) Polii fucţiei de sisem su daţi de rădăciile ecuaţiei: s + ξs+ = (.) şi au expresiile: c = ξω + ω ξ (.) = ξ ξ c (.3) Î cazul < ξ <, polii su disicţi şi complex cojugaţi. Se spue ca sisemul ese î regim supracriic şi σ = ξ. Î cazul ξ =, polii su reali şi se cofudă. Se spue ca sisemul ese î regim criic şi σ = ω. Î cazul ξ >, polii su disicţi si reali. Se spue ca sisemul ese î regim subcriic şi σ = ξω + ω ξ. Î ulimele două cazuri sisemul de ordiul II ese echivale cu două siseme de ordiul I coecae î cascadă. Răspusul la impuls al sisemului se obţie aplicâd rasformaa Laplace iversă fucţiei (.). Dacă ξ se obţie: c c h () = M e e σ () (.4) ude: M = ξ (.5) Peru ξ = se obţie: ω h () = ω e σ () (.6) Peru < ξ < relaţia (.4) devie: h () = Aω ξω e si( ω ) () ξ σ ξ (.7) Fucţiile h () su reprezeae î Figura. peru diverse valori ale lui ξ.

3 Figura. Răspusul la impuls al sisemului de ordiul II rece-jos, peru diverse valori ale lui ξ. O caracerizare uilă a uui sisem ese daă de răspusul său la semalul reapă (răspus idicial), oa s(). Se obţie: c c e e s () = h () σ () = h( τ) dτ = + M σ() c c (.8) dacă ξ şi: s () = ( e e ) σ () (.9) dacă ξ =. Peru < ξ < se obţie: ξω e s ( ) = A si( ω arccos ) ( ) ξ + ξ σ ξ Fucţiile s() su reprezeae î Figura. peru diverse valori ale lui ξ. (.) 3

4 Figura. Răspusul idicial al sisemului de ordiul II rece-jos, peru diverse valori ale lui ξ. Se observă că, î regim supracriic, răspusul idicial preziă supracreşeri şi oscilaţii iar î regim subcriic impul sau de răspus ese lug. 5. Comporarea î domeiul frecveţă a sisemelor de ordiul II rece-jos Răspusul î frecveţă al uui sisem de ordiul II rece-jos se obţie di (.) peru s= jω : H( jω) = (.) ( jω) + ξjω + Diagramele Bode corespuzăoare su prezeae î Figura.3. Se observă că, î regim supracriic caracerisica de modul are u maxim la pulsaţia: dacă ξ <. Peru ξ << se poae cosidera: Maximul ese da de: ω max = ω ξ (.) ωmax ω (.3) H ω = ξ ξ (.4) ( max ) /( ) Peru ξ << se obţie: H ( ωmax ) = ξ (.5) 4

5 Figura.3 Diagramele Bode peru u sisem de ordiul II rece-jos, peru diverse valori ale lui ξ. Dacă log H( ω ) 3dB (.6) max 5

6 auci sisemul se comporă ca u filru rece-badă. Aces lucru se îâmplă peru: 4 8 < ξ =.38 (.7) 8 Î aces caz, bada la 3 db se poae calcula aproximaiv cu relaţia: B = ξ (.8) Se defieşe facorul de caliae al sisemului de ordiul II rece-jos: Q = (.9) ξ 6. Tipuri de siseme de ordiul II rece-jos rece-sus rece-badă opreşe-badă A HTJ () s = ω Re{} s σ s > TJ + ξs+ A s HTS () s = Re{} s σ s > TS + ξs+ A s ξω HTB () s = Re{} s > σ s TB + ξs+ A s HOB () s = Re{} s > σ s OB ( + ) + ξs+ Peru valorile lui σ vezi comeariile ce urmează relaţiei (.3) (.3) (.3) (.3) (.33) 7. Desfăşurarea lucrării Vom folosi geeraor de semal, osciloscop filru: rece jos FTJ led verde; rece bada FTB led porocaliu; filru rece sus FTS led rosu sursa de alimeare (±V) peru filru. Iesirea 5Ω a geeraorului de semal ese coecaa la irarea osciloscopului (caalul ) si la irarea filrului. Iesirea filrului ese vizualizaa pe caalul al osciloscopului. 7. Se deermiă experimeal caracerisicile de frecveţă peru rei ipuri de siseme de ordiul doi (rece jos, rece sus, rece badă). Se masoara caracerisica de ampliudie si de faza peru filre. Daele iiţiale su: Ui = V, ampliudiea semalului de la irare (sau V varf-la-varf) f = 3.4 khz, frecveţa de ăiere a filrului Se compleează abelul de mai jos peru cele rei ipuri de filre: 6

7 f [ khz ] [ V ] Uou Δ T[ s] T[ s ] ϕ [ rad ] Defazajul se calculeaza folosid regula de rei simpla: T s ϕ rad Valorile Δ T[ s] si [ ] Δ [ ].. [ ] T[ s ]. -π ϕ [ rad ] πδt = T T s su ciie folosid cursorul osciloscopului. La fel si U [ ] folosii Δ V peru ca semalul de iesire ese pe caalul!). 7. Se repreziă grafic pe hârie milimerică caracerisicile de ampliudie si faza: Uou [ V] = fucie( kf ) Ui [ V] ϕ rad = fucie kf I oal: 6 grafice. [ ] ( ) ou V (Aeie: 8. Exerciţii î Malab Semal siusoidal =. Să se scrie ilul Graficele g x, pe axa x se scrie, iar pe axa y să se scrie f () şi g(). Să se reprezie grafic fucţiile f () = si ( π 5) şi g( ) f ( ) fucţiilor f ( x ) şi ( ) =:.:. f=si(*pi*5*) g=-f plo(,f,,g,'g'),grid o ile('graficele fuciilor f() si g()') xlabel(''), ylabel('f() si g()') Exerciţiu Să se reprezie grafic fucţia discreă: x( ) = si π, peru [, ]. Graficul să fie de culoare roşie. Să se scrie ilul şi ideificările axelor. Rprezearea se face cu comada sem. Covoluţia semalelor 7

8 Să se calculeze covoluţia liiară îre secveţele: x [ ] δ[ ] δ[ ] δ[ ] h [ ] δ[ ] δ[ ] δ[ ] δ[ 3] = + + şi = Se defieşe covoluţia lor liiară pri: y[ ] = x[ k] h[ k]. k = x=[ ]; h=[ ] disp('rezulaul covoluiei ese:') y=cov(x,h) sem(y) Să se calculeze şi să se reprezie grafic produsul de covoluţie liiară a secveţelor: x= σ σ 5, peru [ ] [ ] [ ] [ ] (,9) h=, peru x=[oes(,5),zeros(,6)]; =:; h=.9.^; y=cov(x,h); subplo(,,),sem(:,x),ile('x'),grid subplo(,,),sem(,h),ile('h'),grid subplo(,,),sem(:legh(y)-,y),ile('y'),grid Exerciţii. Se dau secveţele:, daca =,,,3,4,5 x [ ] =, i res +, daca =,, h [ ] =, i res Calculaţi aaliic y [ ] = x [ ] h [ ], folosid fucţia cov, şi reprezeaţi grafic rezulaul obţiu.. Se dau secveţele:, daca =,, x [ ] =, i res 5-, daca =,,,3,4 h [ ] =, i res Calculaţi aaliic y [ ] = x [ ] h [ ], folosid fucţia cov, şi reprezeaţi grafic rezulaul obţiu. Semale periodice Î MATLAB u se po geera secveţe de lugime ifiiă asfel îcâ rebuie preciza umărul de perioade peru o aumiă secveţă.. x [ ] = peru 5 (3 periode) =:5; x=; figure() sem(,x),grid x=[x,x,x]; figure() 8

9 sem(:(legh(x)-),x),grid Exerciţii Să se defiească şi să se reprezie grafic urmăoarele secveţe:. x [ ] = σ[ ] σ[ 4] peru 5 (5 periode). x [ ] δ[ ] δ[ ] 3 = 3 peru 5 (7 periode) Semale complexe. Să se defiească secveţa complexă: π j 5 x [ ] = e peru Să se reprezie parea pară respeciv impară peru aceasă secveţă. =-:; x=exp(j**pi/5); subplo(,,),sem(,real(x)),ile('real') subplo(,,),sem(,imag(x)),ile('imagiar') Exerciţiu Să se defiească secveţa complexă:. x [ ] ( ) = 3 j peru Să se reprezie parea pară respeciv impară peru aceasă secveţă. Explicaţi rezulaul obţiu î urma comezilor: plo(x) plo(x) 9

Σχετικά έγγραφα

METODE AVANSATE DE MASURARE COMANDA SI AUTOMATIZARE

Elea Chirilă METODE AVANSATE DE MASURARE COMANDA SI AUTOMATIZARE NOTE DE CURS . NOTIUNI DE TEORIA AUTOMATIZARII.. Elemee ip ale sisemelor de reglare auomaa Relaţiile maemaice care exprimă feomeele fizice