10/31/2014. În evoluţia sistemelor dinamice unele semnale apar cu o anumită întârziere faţă de un anumit moment convenţional ales ca t = 0. (2.

Transcript

1 Transformata F(s) definită de (.37) este univocă şi se numeşte transformata Laplace directă.. Transformata Laplace inversă este univocă numai în cazul funcţiilor f(t) continue şi se defineşte prin relaţia (.39) si se noteaza c+ j st f(t) L { F(s) } F(s)e ds j c- j - f(t) L {F(s) } sau F(s) f(t). (.39) Transforma Laplace inversă permite determinarea funcţiei original f(t), când se cunoaşte funcţia imagine F(s) Utilizarea transformatei Laplace în studiul sistemelor dinamice prezintă următoarele avantaje: a) Transformata Laplace transformă operaţiile de derivare şi de integrare din domeniul timpului în operaţii algebrice (înmulţire şi împărţire cu s). b) În domeniul timpului, la rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale se determină mai întâi o soluţie generală dependentă de n constante de integrare, care sunt apoi determinate impunând ca soluţia generală să satisfacă anumite condiţii iniţiale. Prin utilizarea transformatei Laplace, condiţiile iniţiale sunt considerate de la început. c) În domeniul timpului se determină întâi soluţia generală a ecuaţiei omogene şi apoi utilizând metoda variaţiei constantelor, se determină o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene. În domeniul complex utilizând transformata Laplace soluţiile ecuaţiei omogene şi ecuaţiei neomogene se pot determina independent. În evoluţia sistemelor dinamice unele semnale apar cu o anumită întârziere faţă de un anumit moment convenţional ales ca t.

2 Fie f : t f(t), cu f(t) pentru t < (fig..5.a) şi funcţia g : t g(t) f(t - τ); g(t) pentru t < τ ; τ >, fig..5.b. Atunci F(s) L{ f(t) } si L{ -s g(t) } L{f(t - ) } e F(s) (.4) Intârzierii temporale îi corespunde înmulţirea imaginii cu e -sτ. Fig..5 Transformata Laplace se poate aplica şi distribuţiilor. Deoarece transformata Laplace unilaterală se aplică funcţiilor definite pe [, + ), se consideră numai distribuţiile din (-, + ) cu suport în [, + ). Dacă T este o distribuţie cu suport în [, + ) şi dacă există un număr real σ astfel ca. e t T să fie o distribuţie temperată atunci pentru Re s σ > σ se defineşte transformata Laplace a distributiei T prin relaţia -st L{ T }<T,e >. (.4) Distribuţiile δ(t), δ(t - τ), D δ(t), D δ(t - τ) sunt distribuţii temperate. Transformata Laplace a distribuţiei Dirac δ(t) se calculează cu relaţia st -st L{ (t) }< (t),e - > (t)e dt - -st (t) (t) e - st(t e t (.4) pentru ca g(t)δ(t) g()δ(t).

3 Din (.4) se obţine L{ (t) } - (t) dt. (.44) Pentru distribuţiile δ(t - τ), D δ(t), D δ(t - τ) transformatele Laplace se determină cu relaţiile -st -s -st -s L{ (t - ) } (t - ) e dt e (t)e dt e - L{ D (t) }< D (t),e < (t),s e -s t -s t > s - >< (t),(- ) - (t)e -s L{ D (t - ) } s e. -s t dt s d e dt -s t > (.45) (.46) (.47) Se consideră o funcţie f(t) discontinuă în t, şi derivabilă pentru t >. onform relaţiei (.9) derivata distribuţiei [f ] asociată funcţiei f(t) este [ f ] [ f ] +[ f(+ ) ] - [ f(- ) ] (t) (.48) [f]' este derivata generalizată, sau derivata în sens distribuţii a funcţiei discontinue f(t) şi se notează [ f ] D f (t). (.49) Aplicând transformata Laplace în (.48) rezultă L{ [ f ] } L{ [ f ] }+[ f( )- f(- ) ] L{ + L{ [ f ] } L { f (t) } sf(s)- f(+ ) L { (t) } (t) }. (.5) (.5) 3

4 Ţinând seama de (.5) din (.5) se obţine (.5) L{ [ f ] } L{ D f (t) } s F (s)- f( - Daca functia f(t) este continua în t, f( + ) f( - ), transformata Laplace a derivatei în sens distributii coincide cu transformata derivatei obisnuite. Pentru o functie f(t) cauzala, f( - ) si transformata Laplace a derivatei în sens distributii devine L{ Df(t) } sl{ f(t) } sf(s) (.53) Pentru o functie f(t) cu discontinuitati de speta întâi, fig..6.a, derivata sa generalizata va contine impulsuri Dirac în punctele de discontinuitate, fig..6.b. ). Fig..6 4

5 Functia de transfer. Definitie. Proprietati Marimea de iesire, y(t), a unui sistem dinamic, este influentata de marimea de intrare u(t) si de evolutia anterioara a sistemului. Se considera sistemele monovariabile care pleaca din repaus, deci u(t), y(t), pentru t < pentru t < (.54) Derivatele acestor marimi sunt nule pentru t < (j) u (), () y (), j,,...,(m -),,.. ( n ) (.55) Se considera un sistem liniar continuu monovariabil, descris de ecuatia diferentiala y (n) (t)+ a n- y (n-) (t)+...+ a (m) b (t)+...+b m n u () y (t)+b ; t () (t)+ a u(t) y(t) (.56) Se presupune ca sistemul fizic, realizeaza derivarea în sens distributii. Transformatele Laplace ale marimilor de intrare si iesire sunt U(s) L{ u(t) } ; Y(s) L{ y(t) } (.57) Se aplica transformata Laplace directa, ecuatiei (.56) pentru conditiile initiale nule (.55) si se obtine n n- m ( s +an-s +...+a s+a )Y(s)( bms +...+b s+b )U(s) (.58) sau Y(s) U(s) (.59) 5

6 Definitie: Functia de transfer a unui sistem liniar monovariabil continuu este raportul dintre transformata Laplace a marimii de iesire si transformata Laplace a marimii de intrare, pentru conditii initiale nule ale sistemului. Din (.59) rezulta functia de transfer (f.d.t) de forma Y(s) bm s n U(s) s + a n b s +b n- s a s + a m Q(s) P(s) (.6) Deoarece functia de transfer este o functie rationala orice sistem monovariabil descris de o ecuatie diferentiala de ordin n se numeste element rational de transfer sau R element. Functia de transfer este o functie de variabila complexa, s σ+ jω, si constituie o abstractizare în spatiul functiilor imagine, a structurii unui element rational de transfer. Polinomul P(s) este polinomul caracteristic al ecuatiei (.56). Ecuatia (.59) se poate reprezenta sub forma schemei bloc din fig..7. U(s) Y(s) Fig..7 PROPRIETATI - O functie de variabila complexa, care este reala atunci când variabila independenta este reala, se numeste functie reala în sens larg. Deoarece coeficientii care apar în functia, definita prin (.6) sunt reali, rezulta ca functiile de transfer ale elementelor rationale de transfer sunt functii reale. 6

7 O consecinta a acestui fapt este proprietatea de reflexie a functiei de transfer. bm s n s + a H( s ) ;( conjugat) (.6) n- m bm s +...+b s +b n n- s + an-s as + a bm s n s + a +...+b s +b n- s a s + a ( s) m n b s +b n- s a s + a m n m bm ( s)... bs +b n an ( s)... as + a H( s ) a urmare a proprietatii de reflexie polii si zerourile functiei de transfer sunt fie reali, fie în perechi complex conjugate. Radacinile numaratorului functiei, deci ale ecuatiei Q(s), notate z, z,..., z m sunt zerourile finite ale functiei. Radacinile numitorului functiei, deci ale ecuatiei P(s) notate p, p,..., p n sunt polii finiti ai functiei. Tinând seama de zerouri si poli, functia de transfer se poate scrie sub forma factorizata bm (s - z )(s - z )...(s- zm ) (s - p )(s - p )...(s- p ) n (.6) Daca m > n, la cei n poli finiti se adauga si punctul de la ca pol de ordinul m - n, astfel ca numarul total de poli este n+(m - n) m, egal cu numarul de zerouri. Daca m < n, la cele m zerouri finite se adauga si punctul de la ca zerou de ordinul n - m, astfel ca numarul total de zerouri este m+(n - m)n, deci egal cu numarul de poli. 7

8 Orice functie de transfer, fiind o functie de variabila complexa s σ + jω, poate fi scrisa H + j H Re Im (.63) si poate fi reprezentata într-un plan complex cu coordonatele H Re si jh Im denumit planul. Daca variabila complexa s descrie un contur închis în planul s, fig..8.a, atunci descrie de asemenea un contur închis în planul, fig..8.b. Teorema (auchy): Daca o functie meromorfa are z zerouri si p poli în interiorul unui contur închis si nu are nici un zerou si nici un pol pe conturul, atunci H (s) ds j (z - p) (.64) Fig..8 Se aplica teorema reziduurilor derivatei logaritmice a functiei de transfer. Se presupune ca în interiorul conturului, are zerourile z i, cu ordinele de multiplicitate m i, i,,..., μ, si polii p j, cu ordinele de multiplicitate n j, j,,..., v, astfel ca 8

9 mi z j n j p j Pentru functia H'(s)/, atât zerourile z i cât si polii p j sunt singularitati de tip pol. Fie z zeroul de ordin de multiplicitate m. Se pot scrie relatiile (s - m z ) H (s) - H (s) (s - m z ) H (s)+(s - m m z ) H ' (s) H '(s) m H (s) + ' s - z (.65) Rezulta ca z este pol pentru H'(s)/ si ca m /(s - z ) este termenul de rang (-) din dezvoltarea în serie in (.65) Laurent a functiei H'(s)/: _ p (s - z ) oeficientul acestui termen este reziduul corespunzator polului z al functiei H'(s)/ H (s) ds Rez ( z ) m j (.66) z unde z zeroul z. este un contur ce cuprinde în interiorul sau Daca se repeta rationamentul pentru toate zerourile z, z,..., z μ rezulta i Rez ( zi ) i m i z (.67) Pentru polul p de multiplicitate n se pot scrie relatiile 9

10 H (s) (s - p ) (s - p )H (s) - n H (s) H ' (s) (.68) n+ (s - p ) H (s) - n H (s) + ' s - p H (s) n Din (.68) rezulta ca p este pol pentru functia H'(s)/, iar reziduul corespunzator acestui pol este j p H (s) ds Rez ( p ) - n (.69) alculând reziduurile pentru toti polii p, p,..., p v rezulta j Rez ( p j ) j (-n ) - p j (.7) Din (.66) si (.7) se obtine imediat relatia (.64) H (s) ds j i Rez( z i )+ j Rez( ) p j j(z - p) O consecinta importanta a acestei teoreme, cunoscuta si sub numele de principiul argumentului rezulta prin integrarea membrului stâng din relatia (.64). Se obtine [ ln ] j (z - p) Dar pentru orice s se poate scrie (.7) e jarg [ ln ] + j [ arg ] j (z - p) Deoarece variatia pentru [ln] pe curba închisa este nula

11 [ arg ] (z - p) (.74) Relatia (.74) arata ca atunci când s parcurge conturul o singura data în sens pozitiv fazorul se roteste în jurul originii planului de z - p ori într-un sens dat de semnul diferentei z - p. Dintre toate contururile posibile, în studiul sistemelor automate prezinta interes conturul Nyquist care este un semicerc cu centrul în originea axelor planului s având raza infinit mare si limitat la stânga de axa imaginara, fig..9. onturul Nyquist exploreaza semiplanul drept al planului s în vederea analizei stabilitatii sistemelor dinamice. Parcurgerea axei imaginare din cadrul acestui contur, pentru valori ale lui ω ( -, + ), echivaleaza cu cunoasterea hodofrafului vectorului H(jω) care reprezinta raspunsul la frecventa al unui sistem dinamic caracterizat de functia de transfer. Fig..9 Fig.. Unele functii de transfer au adesea poli si zerouri situati pe axa imaginara a planului s, care constituie puncte singulare. Aceste puncte se exclud din conturul prin ocolirea lor cu semicercuri de raza infinit mica, asa cum se arata în fig... Daca notam cu z si p - numarul de zerouri, respectiv numarul de poli, de pe axa imaginara, relatiile: (.64) si (.74)

12 H (s) ds j (z - p) j ( z [ arg ] (z - p)+ ( z - p ) - p ) (.75) (.76) În functie de valorile m, n functia, are în punctul de la infinit un zerou de ordinul n - m sau un pol de ordinul m - n. Pentru conturul Nyquist din fig..9, integrala din relatia (.64) se poate scrie H (s) ds H (s) ds + H (s) ds (.77) MNP PM Arcul MNP este descris de relatia j s Re, -,, R (.78) Zerourile z, z,..., z μ, si polii p, p,..., p v ai functiei de transfer se pot neglija în raport cu variabila s MNP încât, în expresia lui, se pot considera numai termenii de grad maxim de la numarator si respectiv de la numitor. În aceste conditii se scrie m-n m-n- H (s) m - n bm s ; H (s) bm (m - n) s ; s (.79) smpn lim R MNP H (s) ds j (m - n) lim R lim R - lim R MNP lim R d j (m - n) j (n - m) b a m n m - n s R m-n ds(m - n), pentru lim R - n > m Rje Re j j d (.8)

13 Rezulta ca atunci când n > m, parcurgerea în planul s în sens pozitiv a semicercului de raza infinit mare al conturului Nyquist, de la θ - π/ la θ + π/, da nastere în planul, unei circumferinte de raza infinit mica, cu centrul în originea axelor, care înconjoara aceasta origine în sens negativ cu unghiul (n - m)π sau de (n - m)/ ori începând de la +(n - m)π/ când ω -. Tinând seama de (.77) si (.8), relatiile (.75) si (.76) devin H (s) lim ds j (z - p)+ j ( z - p ) - j (m - n) (.8) R PM lim R [ arg ] PM (z - p)+ ( z - p )- (m - n) (.8) La limita PM coincide cu axa imaginara a planului s pentru care s jω, ω ( -, +) si relatiile (.8), (.8) se scriu în forma H (s) ds j (z - p)+ j ( z - p ) - j (m - n) + j - - j (.83) + - arg H (j ) - (z - p)+ ( z - p )- (m - n) (.84) Relatia (.84) exprima variatia argumentului fazorului H(jω) când ω variaza de la - la +. Exemplul.4 Fie functia de transfer T T T s (T s +) s(s + ) (.85) T 3

14 Sa se reprezinte grafic si H(jω) pentru s apar tinând conturului Nyquist si respectiv axei imaginare a planului s. Fig.. Aceasta functie de transfer admite un pol în origine si unul în semiplanul s stâng. Pentru aceasta functie: m, n, z, p, z, p. onturul Nyquist pentru este reprezentat în fig...a. Pe semicercul de raza infinit mica s r.e jυ, r, s + /T /T si deci onturul Nyquist pentru este reprezentat în fig...a. Pe semicercul de raza infinit mica s r.e jφ, r, s + /T /T si - j e ; (-, ) (.86) T T s st T r T Pe acest semicerc lim lim (.87) r r T r Semicercul de raza infinit mica din planul s, când ω variaza de la ω + la ω - este transformat în planul, într-un semicerc de raza infinit mare, în sens pozitiv, de la υ -π/ la υ +π/. ând s variaza dupa semicercul mare al conturului Nyquist, în planul se obtine o circumferinta de raza constanta si infinit mica, care înconjoara originea în sens negativ de la (n -m)π/ π/ π, cînd ω -, la - π, când ω +. 4

15 Pentru restul conturului Nyquist s jω, deci H Re( )+ jh Im( ) T T j j + T + j. T T + T T + T T ând ω se obtine lim H Re - T T ; lim H Im - Deci pentru s jω admite o asimptota paralela cu axa imaginara de abscisa - T /T. ând ω, H Re (ω) H Im (ω). În acest fel în planul se obtine reprezentarea grafica din fig...b, iar în planul H(jω), reprezentarea grafica din figura..c. 5