ΠΥΘΑΓΟΡΙΣΜΟΣ, ΚΟΣΜΟΣ ΕΝΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3 Η ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΑΠ ΕΛΠ22 ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΤΣΑΜΠΟΥΚΟΣ ΑΜ.: 37565

Transcript

1 ` ΕΑΠ ΕΛΠ22 3 Η ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗ : ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΕΩΣ ΤΟΝ 20 Ο ΑΙΩΝΑ ΠΥΘΑΓΟΡΙΣΜΟΣ, ΕΝΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΟΣΜΟΣ ΦΟΙΤΗΤΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΤΣΑΜΠΟΥΚΟΣ ΑΜ.: Περιστέρι, 08/03/2010 ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Α. ΛΕΚΚΑΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ

2 ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ : «Ο Αλέξανδρος στο έργο του Φιλοσόφων διαδοχαί λέει ότι στα Πυθαγορικά Υπομνήματα βρήκε και τα εξής: Αρχή όλων γενικά των πραγμάτων είναι η μονάδα από τη μονάδα έγινε η αόριστη δυάδα, η οποία έχει ως υλικό υπόστρωμα τη μονάδα, που είναι το αίτιό της. Από τη μονάδα και την αόριστη δυάδα έγιναν οι άλλοι αριθμοί, από τους αριθμούς τα σημεία, από αυτά οι γραμμές, από αυτές έγιναν τα επίπεδα σχήματα, από τα επίπεδα έγιναν τα στερεά σχήματα, και από αυτά τέλος τα αισθητά σώματα, των οποίων τα υλικά στοιχεία είναι τέσσερα: πυρ, ύδωρ, γη και αέρας. Αυτά μεταβάλλονται και μετατρέπονται το ένα στο άλλο έτσι απ αυτά γίνεται ο κόσμος, έμψυχος, νοητικός, σφαιροειδής που στο κέντρο του βρίσκεται η γη, η οποία είναι κι αυτή σφαιροειδής και κατοικείται σ όλα τα μέρη της.» (Ανώνυμοι Πυθαγόρειοι, D. K. 58 Β 1a = Διογένης Λαέρτιος, VIII 24 25). «Λένε, λοιπόν, ότι ο πρώτος που έκανε γνωστή την ουσία της συμμετρίας και της ασυμμετρίας σε όσους ήταν ανάξιοι να αντιλαμβάνονται αυτές τις σχέσεις, έγινε τόσο μισητός, ώστε όχι μόνον τον εξόρισαν από την κοινότητά τους και την κοινή τράπεζα, αλλά του έχτισαν ακόμα και τον τάφο, ωσάν αυτός που κάποτε ήταν σύντροφός τους να εγκατέλειψε τη ζωή. Άλλοι όμως λένε ότι ακόμα και οι θεοί τους τιμώρησαν εκείνους που έκαναν γνωστή στο κοινό τη διδασκαλία του Πυθαγόρα. Γιατί, λένε, ότι χάθηκε στη θάλασσα εκείνος που φανέρωσε τον τρόπο, που κατασκευάζεται ένα εικοσάγωνο, που ήταν δωδεκάεδρο και μάλιστα ένα από τα λεγόμενα πέντε στερεά σχήματα, τα οποία εγγράφονται σε σφαίρα. Μερικοί άλλοι, τέλος, λένε ότι αυτό το έπαθε εκείνος, που φανέρωσε στους άλλους τα σχετικά με τις αναλογίες και τις ασυμμετρίες» (Ίππασος, D. K. 18 απόσπ. 4a = Ιάμβλιχος, Περί του Πυθαγορικού βίου, ). (H. Diels W. Kranz, Οι Προσωκρατικοί. Οι μαρτυρίες και τα αποσπάσματα, Απόδοση στα Νέα Ελληνικά Βασ. Α. Κύρκος, εκδ. Δ.Ν. Παπαδήμα, Αθήνα 2005, τόμ. Α, σελ. 254, ) Με αφετηρία τα παραπάνω κείμενα, απαντήστε στα εξής ερωτήματα: 1. Τι είναι οι φυσικοί αριθμοί κατά τους Πυθαγορείους, ποιες είναι οι ιδιότητές τους και ποιο ρόλο διαδραματίζουν στην πυθαγόρεια οντολογία; 2. Σε τι συνίσταται η έννοια της ασυμμετρίας και ποιες ήταν οι συνέπειες της ανακάλυψής της για το κοσμοείδωλο των Πυθαγορείων; 3. Πώς συνέβαλε η γεωμετρική θεωρία περί κανονικών πολυέδρων στην αντίληψη των Πυθαγορείων για τη φύση; 1

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΟΙ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...4 ΜΙΑ ΑΠΟΚΑΛΥΠΤΙΚΗ ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ...14 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

4 Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω. 3

5 ΟΙ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πλήθος πηγών μας βεβαιώνει ότι πριν την ελληνική ενασχόληση με τα μαθηματικά, είχε ήδη συσσωρευτεί αξιοσημείωτη γνώση σχετική με τους αριθμούς, τη μέτρηση επιφανειών και όγκων, καθώς και με τη δυνατότητα πολύπλοκων υπολογισμών, απαραίτητων για την κατασκευή μεγάλων έργων. Ο αρχαίος αιγυπτιακός πολιτισμός στην κοιλάδα του Νείλου και οι Βαβυλώνιοι στη Μεσοποταμία είχαν λοιπόν παρουσιάσει μια εξελιγμένη μαθηματική σκέψη με τη μορφή κανόνων βασισμένων στην εξαγωγή συμπερασμάτων. Η γνώση αυτή είχε το χαρακτήρα ασκήσεων με λύσεις που μπορούσαν να επαληθευτούν στην πράξη, χωρίς όμως να έχει καθοριστεί η οποιαδήποτε λογική τεκμηρίωση του αποτελέσματος. Αντίθετα μέσα από τον ορθολογισμό που χαρακτήριζε τον ελληνικό πολιτισμό, τα μαθηματικά δεν αντιμετωπίσθηκαν ως πρακτικές συνταγές για υπολογισμούς, αλλά ως αξιωματικοποιημένη παραγωγική επιστήμη που αναζητά αντικειμενική απόδειξη βασισμένη σε λογική συλλογιστική μέθοδο. 1 Οι έλληνες μαθηματικοί ξεπερνώντας τη στατική αντίληψη της ανατολής, δεν αρκούνται στη διαχείριση του πώς αλλά αναζητούν το γιατί, σηματοδοτώντας έτσι το πέρασμα από το προεπιστημονικό εμπειρικό στάδιο στη συγκροτημένη επιστήμη. 2 Σημαντικό ρόλο στην πορεία αυτής της μεταστροφής κατέχει η εισαγωγή της απόδειξης στα μαθηματικά, επίτευγμα που αποδίδεται στον Πυθαγόρα. Αυτός πρώτος αναπτύσσει τη μαθηματική σκέψη ξεκινώντας από το αξίωμα, μια αρχική υπόθεση που ενέχει τη θέση της αυταπόδεικτης αλήθειας και ακολουθώντας έναν κλειστό απαγωγικό συλλογισμό, επιτυγχάνει εντέλει την επιδιωκόμενη τεκμηρίωση. Ο Πυθαγόρας πρόσωπο που από την αρχαιότητα είχε ήδη λάβει μυθικές διαστάσεις, αποτελεί μια φιγούρα που συγκεντρώνει τις ιδιότητες του επιστήμονα και του αριστοκράτη πολιτικού, μα και αυτές του μυστικιστή και του θρησκευτικού προφήτη. 3 Γύρω από αυτόν σχηματίστηκε μια κλειστή κοινότητα, οι Πυθαγόρειοι, μια αδελφότητα μαθητών πιστών, μια θρησκευτική και φιλοσοφική ομάδα που υιοθετεί ένα αυστηρό τυπικό και γίνεται κοινωνός μιας γνώσης σημαντικής και απόρρητης. Μιας γνώσης που αποτελεί ένα πρωτόφαντο μείγμα θρησκείας, φιλοσοφίας και μαθηματικών, προσδίδοντας έτσι δυο όψεις στον πυθαγορισμό, μυστικιστικός αλλά και ορθολογικός, θρησκευτικός μα και επιστημονικός, θεωρητικός και πειραματικός μαζί, ηθικός και φιλοσοφικός. Η ιδιαιτερότητα της πυθαγόρειας διδασκαλίας εξάλλου, ο αλλόκοτος δηλαδή αριθμητικός μυστικισμός στον οποίο στηρίζει την οντολογία της, συντελεί στη θεωρητική ανάπτυξη των μαθηματικών και στην προώθηση της μελέτης τους, μέσα από την προσπάθειά των πυθαγορείων να 1 Cuomo S., Αρχαία μαθηματικά, επιμ. Π. Ι. Χαραλαμπάκος μτφρ. Γ. Κουσουνέλος, εκδ. Ενάλιος, Αθήνα 2007, σ Stuik D. J., Συνοπτική ιστορία των μαθηματικών, μτφρ. Ά. Φερεντίνου Νικολακοπούλου, εκδ. Δαίδαλος Ι. Ζαχαρόπουλος, Αθήνα χ.χ., σ Bell E. T., Οι μαθηματικοί, τόμ. Ι Από τον Ζήνωνα ως τον Cauchy, μτφρ. Μ. Μαγειρόπουλος, εκδ. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο 1992, σσ

6 εφαρμόσουν την έννοια της τάξης στον κόσμο. 4 Πράγματι οι Πυθαγόρειοι, έχοντας αναγνωρίσει τα μαθηματικά ως τη θεμελιώδη αρχή που συγκροτεί και οργανώνει τον κόσμο, αποδίδουν ιδιαίτερη βαρύτητα στη μελέτη των αριθμών και των ιδιοτήτων τους. Η περίφημη ρήση «τα πράγματα είναι αριθμοί» αποτέλεσε το κύριο δόγμα τους και βάση αυτού, αναζητούν τα αμετάβλητα στοιχεία που συγκροτούν το σύμπαν, τη φύση και την κοινωνία στοιχεία που πρέπει να ακολουθούν μια θεϊκή τάξη, η οποία συμβολικά μπορεί να εκφραστεί με τα μαθηματικά. Η μελέτη του ουρανού και οι αστρονομικές γνώσεις που ήδη διέθεταν, συνετέλεσαν στη διαμόρφωση της άποψης περί εύτακτης και αμετάβλητης κανονικότητας. Η σταθερότητα στην κίνηση και στο σχηματισμό των αστερισμών μαζί με την περιοδικότητα των φαινομένων, αποτέλεσαν εικόνα θεϊκής τελειότητας με τη μορφή αριθμητικών σταθερών, ένα απτό παράδειγμα της αρμονίας που συντρέχει τον κόσμο. Η ανακάλυψη αρμονικών λόγων και στη μουσική, λειτούργησε εξάλλου ως επιπρόσθετη απόδειξη αυτής της αρμονίας αλλά και ως επιβεβαίωση ότι αυτή μπορεί να εκφραστεί μαθηματικά μέσα από τη γλώσσα των αριθμών. 5 Ο ίδιος ο Πυθαγόρας, μελετώντας το μήκος των χορδών της λύρας, ανακάλυψε ότι τα διαστήματα της μουσικής κλίμακας που ονομάζουμε τέλειες αρμονίες, μπορούν να διατυπωθούν μαθηματικά ως αριθμητικοί λόγοι και συγκεκριμένα ως αναλογίες των τεσσάρων πρώτων φυσικών αριθμών. 6 Τέτοιες πολλαπλές αφορμές συντέλεσαν ώστε οι Πυθαγόρειοι να ταυτίσουν τη σταθερή ουσία του κόσμου με τους αριθμούς και τις μαθηματικές σχέσεις, στηρίζοντας τη θεωρία τους όχι μόνο σε αναλογίες και ιδιότητες που επισήμαναν με τις παρατηρήσεις τους, αλλά και σε όσες τεχνικά κατασκεύασαν οι ίδιοι. 7 Ουσιαστικά εξομοίωσαν ολόκληρη τη φύση με τους αριθμούς, υποθέτοντας ότι τα στοιχεία των αριθμών είναι στοιχεία όλων των όντων και θεωρώντας τον κόσμο ολόκληρο ως αρμονία και αριθμό. Άλλωστε για αυτούς ακόμα και η δημιουργία του κόσμου έχει αριθμητικό χαρακτήρα, αφού προέκυψε από τη διαίρεση του αριθμού ἕνα, τον οποίο ταυτίζουν με το προϋπάρχον, αδιαφοροποίητο, ενιαίο και πεπερασμένο εἶναι. Σε αυτόν εισβάλει το άπειρο, και με την εισπνοή του τον διασπά, δημιουργώντας τη δυάδα. Η εισβολή αυτή του άπειρου, η εισπνοή που διασπά το πεπερασμένο, δημιουργεί επίσης την τριάδα από τη δυάδα και συνεχίζοντας έχουμε εντέλει ολόκληρο το πυθαγόρειο σύμπαν ως αντίγραφο του συνόλου των φυσικών αριθμών. 8 4 Livio M., Ο Χρυσός Λόγος, Η ιστορία του Φ, του εκπληκτικότερου αριθμού, επιμ. Ελ. Κερκοπούλου, μτφρ. Μ. Σταυροπούλου, εκδ. Ενάλιος 2005, σσ Vegetti M., Ιστορία της Αρχαίας Φιλοσοφίας, μτφρ. Γ. Α. Δημητρακόπουλος, εκδ. Π. Τραυλός, Αθήνα , σσ Heath Th. L., Ιστορία των ελληνικών Μαθηματικών Ι, Από το Θαλή στον Ευκλείδη, μτφρ. Α. Αγγελή Ε. Βλάμου Θ. Γραμμένος Α. Σπανού, εκδ. Κέντρο Έρευνας Επιστήμης και Εκπαίδευσης, Αθήνα 2001, σ Windelband W. Heimsoeth H., Εγχειρίδιο ιστορίας της Φιλοσοφίας, τόμ. Α, Η Φιλοσοφία των αρχαίων Ελλήνων, Η Φιλοσοφία των ελληνιστικών και ρωμαϊκών χρόνων, μτφρ. Ν. Μ. Σκουτερόπουλος, εκδ. Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, Αθήνα , σ Αναπολιτάνος Δ. Α, Εισαγωγή στη φιλοσοφία των Μαθηματικών, εκδ. Νεφέλη, Αθήνα , σσ

7 Προτού όμως αναλύσουμε περαιτέρω την πυθαγόρεια αριθμολογία είναι χρήσιμο να διευκρινισθεί ότι για τους αρχαίους αριθμοί νοούνται μόνο οι θετικοί ακέραιοι, χωρίς να περιλαμβάνονται σε αυτούς το μηδέν και τα κλάσματα, ούτε βέβαια και οι άρρητοι αριθμοί. Επίσης είναι σημαντικό να συνειδητοποιήσουμε ότι οι αρχαίοι Έλληνες δεν αντιλαμβάνονται τους αριθμούς απλώς ως υπολογιστικά εργαλεία, ούτε τους μελετούν αφηρημένα αντιθέτως τους παριστούν με ψήφους, χαλίκια που παρατάσσουν σε σειρά, σχηματίζοντας σχήματα, ταξινομώντας τους και εξετάζοντας ενδιαφέρουσες ανακύπτουσες σχέσεις. 9 Μπορεί εξάλλου να μην είμαστε βέβαιοι ότι ο Πυθαγόρας επινόησε την ελληνική αριθμητική, είναι σίγουρα όμως αυτός που τη συστηματοποίησε σε δεκαδική βάση και ονομαστικά, ενώ ταξινόμησε τους αριθμούς σε καθορισμένες κατηγορίες, σε ποιότητες τάξεων σύμφωνα με την κοινή τους μορφή. 10 Μια τέτοια συστατική διάκριση, που ανάγεται στον ίδιο τον Πυθαγόρα 11 ήταν μεταξύ περιττού και άρτιου, ένας διαχωρισμός που αφορούσε την κύρια ιδιότητα των αριθμών και γοήτευε ιδιαιτέρως τους Πυθαγορείους, δημιουργώντας πλήθος συσχετισμούς. Οι περιττοί αριθμοί λοιπόν αναγνωρίζονται ως περιορισμένοι, πεπερασμένοι και προσδιορισμένοι. Λογίζονται ως αρσενικοί επειδή δεν μπορούν να χωρισθούν σε δυο ίσα μέρη, δηλαδή να διαιρεθούν δια του κατεξοχήν θηλυκού αριθμού, της δυάδας. Άλλωστε επειδή μπορούν να αποσυντεθούν σε δυο ίσα πλήθη σημείων εκατέρωθεν μιας κεντρικής μονάδας, συσχετίζονται με το Ἕνα και μέσω αυτού με το πέρας και το αρσενικό. Αυτή ακριβώς η δυνατότητα παραστατικής απόδοσης των περιττών αριθμών με τη μορφή ενός διάμεσου ανάμεσα σε δυο στοιχεία αρτιότητας (εικ. 1), τους ταυτίζει σε κοσμικό επίπεδο με την αρχή της ολότητας, αναγνωρίζοντας στη συγκεκριμένη απεικόνιση τη θεμελιακή σχέση Εικόνα 1 αρχή, μέση και τέλος. Αντίθετα οι άρτιοι αριθμοί είναι απεριόριστοι, άπειροι και απροσδιόριστοι. Χωρίς να περιορίζονται από τη μονάδα, δύνανται να αναπαράγονται επ άπειρον επικυρώνοντας το θηλυκό χαρακτήρα τους, έναν χαρακτήρα άπειρο και με απεριόριστη διαιρετότητα. 12 Η διαίρεση άλλωστε των ζυγών αριθμών σε δυο ίσα μέρη χωρίς ενδιάμεσο δεσπότη, αναγνωρίσθηκε ως στοιχείο ατέλειας και μη πληρότητας, χαρίζοντάς τους ένα ακόμα χαρακτηρισμό, αυτόν του ἀδέσποτου ή ἀνάριθμου. 13 Μια άλλη μορφή απεικόνισης, με την παράταξη των ψήφων γύρω από γνώμονες, αναπαριστά τους περιττούς σε μια διάταξη σημείων που περικλείουν 9 Χριστιανίδης Γ. κ.ά., «Η σχολή των Πυθαγορείων», στο: Ελληνική φιλοσοφία και επιστήμη: από την αρχαιότητα έως τον 20ό αιώνα, τόμ. Β Οι επιστήμες στην αρχαία Ελλάδα, στο Βυζάντιο και στον Νεότερο Ελληνισμό, εκδ. Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο, Πάτρα 2000, σ Mattéi J.-F., Ο Πυθαγόρας και οι Πυθαγόρειοι, μτφρ. Κ. Καψαμπέλη, εκδ. Μ. Καρδαμίτσα, Αθήνα 1995, σ Heath, ό.π., σ Mattéi, ό.π., σσ Schrödinger E., Η φύση και οι Έλληνες, ο Κόσμος και η Φυσική, σχολ. M. Bitbol, επιμ. & μτφρ. Θ. Γραμμένος, εκδ. Π. Τραυλός, Αθήνα , σ.43. 6

8 τη μονάδα και αποδίδουν ένα σχήμα τέλειο και πεπερασμένο, ένα τετράγωνο (εικ. 2), χαρίζοντάς τους για αυτό και την επωνυμία τετράγωνοι αριθμοί. Η συνεχής εξάλλου αναπαράσταση περιττών αριθμών με την προσθήκη σημείων στις πλευρές επάλληλων γνωμόνων αποδίδει πάντα το ίδιο τετράγωνο σχήμα συνδέοντάς τους με την έννοια του πέρατος. Κάθε άρτιος όμως αριθμός, στον ίδιο τρόπο απεικόνισης, στοιχίζεται γύρω από τη δυάδα, Εικόνα 2 δημιουργώντας ένα ακαθόριστο, ετερομερές και άρα ατελές σχήμα (εικ. 3), αποκτώντας έτσι το προσωνύμιο ετερομήκης αριθμός. 14 Με τους σχηματισμούς αυτούς οι Πυθαγόρειοι συσχέτισαν, μέσω της ομοιομορφίας, τους περιττούς με το πεπερασμένο και μέσω της επ άπειρον αλλαγής, τους άρτιους με το άπειρο. Συσχετισμοί που δεν μπορούν να εξηγηθούν ουσιαστικά αλλά που επέτρεψαν στους Πυθαγόρειους να αναγάγουν το περιττό και το άρτιο, αλλά και το συνδεδεμένο με αυτά ζεύγος πεπερασμένο άπειρο σε θεμελιώδης αρχές της Εικόνα 3 οντολογίας τους. 15 Η κοσμοθεωρία τους λοιπόν λαμβάνει δυϊστικό χαρακτήρα μέσα από αντιθέσεις όπως πέρας ἄπειρον, περιττὸν ἄρτιον, τετράγωνον ἑτερόμηκες. Αυτός ο συλλογισμός συμφωνεί με τη βασική πυθαγόρεια δοξασία ότι η κοσμική τάξη ακολουθεί μια σειρά παράλληλων όρων που είχε συστηματοποιηθεί σε ένα πίνακα δέκα εννοιολογικών δίπολων, σε δέκα ζεύγη αρχών που ανήκουν στην ίδια συστοιχία, μέλη μιας συγγενικής κλάσης. 16 Σε ένα πίνακα που παραπέμπει στο αξίωμα που θέλει τα αντίθετα αρχές των όντων και περιλαμβάνει πέρα από τα τρία ήδη αναφερθέντα και τα : ἑν πλῆθος, δεξιὸν ἀριστερὸν, ἄρρεν θῆλυ, ἠρεμοῦν κινούμενον, εὐθύ καμπύλον, φῶς σκότος και ἀγαθὸν κακὸν. 17 Δε θα ήταν άσκοπο να επισημανθεί σε αυτό το σημείο ο συσχετισμός των περιττών αριθμών με το φως και την καλοσύνη και των άρτιων με το σκοτάδι και το κακό, προκαταλήψεις και προλήψεις που επιβίωσαν για αιώνες. 18 Επανερχόμενοι στην Εικόνα 4 παρατακτική αναπαράσταση των αριθμών με ψήφους, και ακολουθώντας αυτή τη φορά μια διάταξη σε διάγραμμα ισοσκελούς τριγώνου προκύπτουν οι τρίγωνοι αριθμοί που 14 Mattéi, ό.π., σσ Kirk G. S. Raven J. E. Schofield M., Οι Προσωκρατικοί φιλόσοφοι, μτφρ. Δ. Κούρτοβικ, εκδ. Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, Αθήνα , σσ Αναπολιτάνος, ό.π., σσ Mattéi, ό.π., σσ Livio, ό.π., σ.53. 7

9 αντιπροσωπεύουν ένα συσχετισμό γεωμετρίας και αριθμητικής (εικ. 4). Όμως οι διακρίσεις των αριθμών συνεχίζονται επί μακρόν πέρα από τρίγωνους και τετράγωνους αριθμούς σε πεντάγωνους κ.ο.κ. 19 Εκτός από τους άρτιους και τους περιττούς έχουμε επίσης τους ἄρτια ἀρτιάκις όσους μπορούν δηλαδή να αναλυθούν σε γινόμενα αρτίων και τους περιττά περιττάκις που αποτελούν γινόμενα περιττών. Ο κατάλογος συνεχίζεται με τους ἄρτια περιττάκις και τους περιττά ἀρτιάκις, τον ἀρτιοπέριττο και τον περισσάρτιο, μα και τους σύνθετους και τους ὑπερτελεῖς και άλλους πολλούς. Μέσα σε αυτούς θα προκύψουν και οι τέλειοι αριθμοί που ισούνται με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών τους 20 καθώς και οι φίλιοι, αυτοί δηλαδή που ο ένας ισούται με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του άλλου. 21 Όλες αυτές οι διακρίσεις των αριθμών βάση των ιδιοτήτων τους, των σχέσεών τους και των παρατακτικών σχηματοποιήσεών τους, αποτέλεσαν για την πυθαγόρεια φιλοσοφία συστατικά στοιχεία μεθοδολογίας για την αποκωδικοποίηση της πραγματικότητας, εμπειρικής ή όχι. Είναι τα μέσα έρευνας και ερμηνείας των σχέσεων που διέπουν τον κόσμο, τους σχηματισμούς και τα φαινόμενα των υλικών σωμάτων, προσφέροντας τη δυνατότητα απόδοσης και διατύπωσης της θείας τάξης που εκτείνεται στις σφαίρες του σύμπαντος. Η αριθμολογική οντολογία τους βρίσκει έκφραση και στη μεταγραφή των τεσσάρων πρώτων αριθμών με γεωμετρικό τρόπο (εικ. 5). Η μονάδα αποτελεί το σημείο, ενώ η δυάδα με την προσθήκη δεύτερου σημείου συνιστά την ευθεία και παραπέμπει στη μία διάσταση του χώρου. Η προσθήκη ενός τρίτου σημείου, μας δίνει την τριάδα σχηματοποιημένη ως τρίγωνο, το απλούστερο δηλαδή επίπεδο σχήμα, αγγίζοντας έτσι τη δεύτερη διάσταση, την επιφάνεια. Τέλος ένα τέταρτο σημείο θα προστεθεί ώστε να δημιουργηθεί η τετράδα ως πυραμίδα, το απλούστερο δηλαδή στερεό σώμα, αποδίδοντας Εικόνα 5 έτσι την τρίτη διάσταση του χώρου, τον όγκο. 22 Με την απεικόνιση αυτή οι αριθμοί ανάγονται σε θεμελιώδη συστατικά όλης της πραγματικότητας, αποτελώντας συγχρόνως θεωρητική ιδέα μιας αριθμητικής δομής που μπορεί να γίνει αντιληπτή και να εξηγήσει στον άνθρωπο τη φαινομενική ποικιλία και τη μεταβολή των κοσμικών φαινομένων. 23 Στην προσπάθειά τους όμως να βάλλουν τα πράγματα του κόσμου σε τάξη, οι Πυθαγόρειοι επιδιώκουν να συνδέσουν καθετί με τους αριθμούς, εφευρίσκοντας για το αριθμητικό σύστημα και κυρίως για την πρώτη δεκάδα, 19 Stuik, ό.π., σσ Ο αριθμός 6 για παράδειγμα είναι τέλειος αφού ισούται με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του 1, 2 & Heath, ό.π., σσ.95-96, 98, Αναπολιτάνος, ό.π., σ Vegetti, ό.π., σ.84. 8

10 σχέσεις με κάθε περιοχή γνώσης, συσχετισμούς με βασικές έννοιες και θεότητες, με κοινωνικές συμβάσεις, ζώα και ότι άλλο χρειάζεται ώστε παρά τις παραδοξότητες των συμβολικών ερμηνειών, να επιτευχθεί τελικά μια αναγνωρίσιμη και μόνιμη εννοιολογική τάξη των πραγμάτων, καθορισμένη όμως πάντα με μαθηματικές σχέσεις. 24 Η μονάδα για παράδειγμα ως δημιουργός όλων των αριθμών δεν θεωρείτο η ίδια αριθμός. Επειδή περιέχει την αιτία όλων των αριθμών αποκαλείτο νούς, όπως δηλαδή η πηγή όλων των εννοιών αλλά και Θεός που είναι αιτία ύπαρξης κάθε πλήθους. Την ονόμαζαν επίσης κατὰ μίαν ἄποψιν ὕλη ενώ ως αιτιωδώς φορέας όλων των άρτιων και των περιττών αριθμών, των θηλυκών και των αρσενικών δηλαδή, είναι σπέρμα όλων των πραγμάτων και καλείται ἄρρεν καί θῆλυ. Η ευφάνταστη ονοματοθεσία συνεχίζεται με πλήθος ονομάτων. Χάος και χάσμα εξαιτίας της ομοιότητας της με το άπειρο, σύγχυσις και σκότος ως εικόνα της άγνωστης ακατανόητης και ανέκφραστης αρχής Στύξ λόγω της αμετάβλητης φύση της, τρόμος για το άρρητο της φύσης της μα και ἀμιγής για την απλότητα αυτού του άρρητου. Ονομάσθηκε και Ἄτλας επειδή συνδέει και διαχωρίζει όλους τους αριθμούς οπότε αποτελεί και τη μυθολογική απεικόνιση των στηλών του Άτλαντα. Την αποκαλούν Ἀπόλλων επειδή στερείται πλήθους αλλά και Δία επειδή είναι το Ἕνα η άρρητη αρχή των πραγμάτων. 25 Αντίστοιχα η δυάδα ονομάζεται τόλμη επειδή αποχωρίστηκε πρώτη από τη μονάδα, αἴτιον διαφορὰς και πλήθους αλλά και του ἄρτιου, απεριόριστη και αόριστη επειδή πρώτη της υπόσταση είναι το άπειρο, ίση αφού το άθροισμά της ισούται με το γινόμενό της αλλά άνιση και άμορφη επειδή στερείται μορφής, σχήματος και συγκεκριμένου ορισμού. Ως ο πρώτος θηλυκός αριθμός ταυτίζεται με τη γνώμη και τη διαίρεση μα αποτελεί και πηγή κάθε συμφωνίας, όπως και αρμονία αφού ο λόγος δύο προς ένα είναι ο αρμονικότερος. Λόγω της θηλυκής της φύσης είναι πηγή των θεοτήτων με θηλυκά χαρακτηριστικά αλλά ονομάζεται και Ἔρως, δικαιοσύνη, Ερατώ, υπομονή, αγένεια, ψεύδος, αδιακρισία, έριδα, Μοίρα και Θάνατος. 26 Η τριάδα αναγνωρίζεται ως ο πρώτος τέλειος αριθμός καθώς έχει τα τρία πράγματα που συγκροτούν το όλον, αρχή μέση και τέλος, ενώ αποτελεί την αιτία εκείνου που έχει τριπλές διαστάσεις. Είναι ο πρώτος εν ενεργεία περιττός αριθμός, ο πρώτος αρσενικός, ονομάζεται νούς επειδή είναι αιτία καλής συμβουλής, νόησης και γνώσης, ενώ αποτελεί μέσο και αναλογία αφού για κάθε αναλογία είναι απαραίτητοι τουλάχιστον τρεις όροι. 27 Οι συσχετισμοί και οι παραδοξολογίες συνεχίζονται και η τετράδα χαρακτηρίζεται ως το μέγιστο θαύμα, Θεός κατ άλλον τρόπο και κλειδούχος της φύσης. Επειδή είναι ο πρώτος ἄρτια ἀρτιάκις αριθμός ταυτίζεται με τη δικαιοσύνη, βάση των κυρίαρχων χαρακτηριστικών της που για τους αρχαίους 24 Windelband Heimsoeth, ό.π., σ Taylor T., Η θεωρητική αριθμητική των Πυθαγορείων, μτφρ. Μ. Οικονομοπούλου, εκδ. Ιάμβλιχος, Αθήνα 1995, σσ Στο ίδιο, σσ Στο ίδιο, σσ

11 είναι η επανόρθωση και η ισότητα. Είναι η φύση του Αιόλου αφού είναι τέσσερεις οι άνεμοι και παρέχει τον προσανατολισμό στο χώρο με τις τέσσερεις απαραίτητες κατευθύνσεις για τον ορισμό των συντεταγμένων. Ονομάζεται και πᾶς ἀριθμὸς, επειδή συμπεριλαμβάνει όλους τους αριθμούς μέχρι τη δεκάδα, ακόμα και την ίδια τη δεκάδα, αφού το άθροισμα των πρώτων τεσσάρων αριθμών ισούται με δέκα. 28 Πᾶς ἀριθμὸς ονομάζεται όμως και η δεκάδα, αλλά την καλούν και ιερή τετρακτύς, αναγνωρίζοντάς την ως τον πιο τιμημένο αριθμό αφού αναπαριστά τον κόσμο ως ένα σύνολο. Ως άθροισμα των πρώτων τεσσάρων φυσικών αριθμών αποτελούσε την ουσία της διδασκαλίας των Πυθαγορείων, συνδέοντας μεταξύ τους τις διάφορες σχέσεις που αυτοί εκφράζουν. Συνταιριάζει λοιπόν τη μοναδικότητα της μονάδας, την πόλωση της δυάδας, την αρμονία της τριάδας καθώς επίσης το χώρο και την ύλη που εκφράζει η τετράδα. 29 Από αυτούς τους τέσσερις αριθμούς εξάλλου είναι δυνατόν να κατασκευασθούν οι αναλογίες της τέταρτης, της πέμπτης και της ογδόης αρμονικής, αναλογίες που δίνουν αριθμητική οργάνωση στη φύση του ήχου και δημιουργούν τη μουσική αρμονία που για τους Πυθαγόρειους είχε σημασία κυριολεκτικά κοσμική. 30 Ακόμα και η ψυχή, η έννοια της οποίας είχε ισχυρή επίδραση στην πυθαγόρεια φιλοσοφία, σχετιζόταν με την αρμονία, μια αρμονία και σε αυτή την περίπτωση αριθμητικής φύσης, η οποία δεν αποτελεί απλώς την εξισορρόπηση σωματικών δυνάμεων. 31 Η ψυχή εξάλλου θεωρείται αθάνατη, ενσαρκώνεται διαρκώς σε μια πραγματικότητα που ακολουθεί με περιοδική επανάληψη κυκλική πορεία, εναλλάσσοντας διάφορα σώματα τα οποία αποτελούν και τη φυλακή της, δημιουργώντας έτσι άλλο ένα δίπολο, μια ακόμα αντίθεση ψυχής σώματος. Υπαρξιακός στόχος λοιπόν αναγνωρίζεται η αποδέσμευση από κάθε μιαρό και η κατανόηση του λόγου, η συνειδητοποίηση δηλαδή της θεϊκής οργάνωσης του κόσμου, η απόκτηση μιας γνώσης που μας επιτρέπει απελευθερωμένους να προσεγγίσουμε το ίδιο το θείο. 32 Η τετρακτύς τέλος σχετίζεται και με το τετράεδρο, το πρώτο γεωμετρικό στερεό αλλά και με τις βάσεις της σοφίας που είναι η αριθμητική, η μουσική, η γεωμετρία και η αστρονομία. Οι Πυθαγόρειοι μάλιστα τη χρησιμοποιούσαν για να ορκισθούν, επικαλούμενοι τον Πυθαγόρα σαν κάποιο Θεό στον όρκο: οὔ, μὰ τὸν ἁμετέρᾳ γενεᾷ παραδόντα τετρακτύν, παγὰν ἀενάου φύσεως ῥιζώματ ἔχουσαν. 33 Δεν υπολείπονται βέβαια ευφάνταστοι συσχετισμοί και για τους υπόλοιπους αριθμούς όπως για τον πέντε που τον ταύτιζαν με το γάμο επειδή είναι άθροισμα του πρώτου θηλυκού και του πρώτου αρσενικού αριθμού ενώ τον 28 Στο ίδιο, σσ Livio, ό.π., σ Heath, ό.π., σ Taylor, ό.π., σ Vegetti, ό.π., σ Mattéi, ό.π., σ

12 συσχέτιζαν και με το πεντάγραμμο ή πεντάλφα, το πεντάκτινο αστέρι που χρησιμοποιούσαν ως σύμβολο της αδελφότητάς τους και σημείο αναγνώρισης των μελών της. Στο συγκεκριμένο σύμβολο διέκριναν εξαιτίας των γεωμετρικών του ιδιοτήτων μια μαθηματική τελειότητα. Με τις άκρες του αστεριού εξάλλου συμβόλιζαν το θείο και τα τέσσερα στοιχεία της φύσης, ὕδωρ, γαῖα, ἰδέα ή ἱερόν, εἵλη (θερμότητα του ήλιου) και ἀήρ, με τα αρχικά αυτών των λέξεων να σχηματίζουν τη λέξη ὑγίεια. 34 Πέρα όμως από τους αριθμούς, τις ιδιότητές τους και τα αντιθετικά ζεύγη αρχών που οργανώνουν τον κόσμο, οι Πυθαγόρειοι διαθέτουν και τους τρεις αναλογικούς μέσους ως επιπλέον σκευή για την ερμηνεία και την κατανόηση της λειτουργίας του πυθαγόρειου σύμπαντος. Στο συγκεκριμένο σημείο είναι χρήσιμο να επισημανθεί ότι οι Νεοπυθαγόρειοι, υπακούοντας προφανώς στην ανάγκη αναγνώρισης της τελειότητας της δεκάδας σε όσο το δυνατόν περισσότερες εκφάνσεις της οντολογίας τους, αυξάνουν τους μέσους σε δέκα. Ας μη λησμονούμε εξάλλου και τα δέκα δίπολα αρχές, ενώ η εμμονή τους στον ιερό αριθμό δέκα εμφανίζεται και στην αστρονομία, όταν πρόσθεσαν έναν ανύπαρκτο πλανήτη, την Ἀντίχθονα, για να φθάσει ο αριθμός των ουρανίων σωμάτων στον τέλειο αριθμό δέκα και να αποκτήσει ο ουρανός ικανές αριθμητικές αναλογίες ώστε να προκύψει η «αρμονία των σφαιρών» την οποία άκουγε ο Πυθαγόρας. 35 Επιστρέφοντας στους τρεις βασικούς μέσους, έχουμε πρώτο τον αριθμητικό μέσο, εκείνον που διαφέρει κατά το ίδιο ποσό από τους δοθέντες προς σύγκριση όρους. Ο δεύτερος μέσος, ο γεωμετρικός, σε αντίθεση με τον αριθμητικό, μπορεί να ονομαστεί αναλογία αφού εξασφαλίζει με την ύπαρξή του τον ίδιο λόγο ανάμεσα στους αριθμούς από τους οποίους αποτελείται. 36 Ο αρμονικός μέσος τέλος προκύπτει όταν έχουμε τρεις όρους τέτοιους ώστε το κλάσμα των δύο να ισούται με το κλάσμα που έχει αριθμητή τη διαφορά του πρώτου όρου μειωμένου κατά τον τρίτο αριθμό και παρανομαστή τη διαφορά του τρίτου όρου μειωμένου κατά το δεύτερο. 37 Οι ιδιότητες αυτών των μέσων οδήγησαν του Πυθαγορείους στη σύγκριση του αριθμητικού μέσου με την ολιγαρχία, σχετίζοντας το πολίτευμα που κυβερνάν οι λίγοι επιδιώκοντας το δικό τους συμφέρον, με το συγκεκριμένο μαθηματικό μέσο που έχει μεγαλύτερο λόγο στους μικρούς του όρους. Επίσης αντιστοίχησαν τον αρμονικό μέσο με την αριστοκρατία επειδή εκεί υπάρχει μεγαλύτερος λόγος στους μεγαλύτερους όρους και το γεωμετρικό μέσο με τη δημοκρατία, όπου συμμετέχουν ισότιμα όλοι στη διακυβέρνηση, εκεί δηλαδή όπου υπάρχει ισότητα λόγου τόσο στους μεγαλύτερους όσο και στους μικρότερους όρους Livio, ό.π., σ Taylor, ό.π., σ Ο γεωμετρικός μέσος (M g ) δυο αριθμών α, β υπακούει στη σχέση M g = (α β), ώστε ο λόγος του ενός αριθμού προς το μέσο να ισούται με το λόγο του μέσου προς τον άλλο αριθμό. 37 Ο αρμονικός μέσος (M h ) δυο αριθμών α, β υπακούει στη σχέση M h =2αβ (α+β), ώστε α β=(α M h )/(M h -β). 38 Taylor, ό.π., σσ

13 Οι μαθηματικοί μέσοι εξάλλου σχετίζονται και με τις τρεις κόρες της Θέμιδας. Ο αριθμητικός συνδέεται με την Ειρήνη μιας και χρησιμοποιείται εν καιρώ ειρήνης στις συναλλαγές, ενώ εξασφαλίζει την ομοιότητα στα στοιχεία που βρίσκονται εν ηρεμία. Ο γεωμετρικός μέσος έχει σχέση με την Ευνομία, τη δίκαιη νομοθεσία, την κρίση του Δία, μέσω της οποίας το σύμπαν κοσμείται με γεωμετρικές αναλογίες. Ο αρμονικός τέλος έχει σχέση με τη Δίκη ή Δικαιοσύνη, μέσω της οποίας αποκτούν μεγάλο λόγο οι μεγαλύτεροι όροι και μικρό οι μικρότεροι. 39 Οι Πυθαγόρειοι λοιπόν αποδέχονται την απονομή της δικαιοσύνης όχι με κριτήρια απόλυτης ισότητας, αλλά βάση κοινωνικού γοήτρου, στον καθένα ανάλογα με την αξία του. 40 Η μεταξύ τους συμπεριφορά εξάλλου δεν στηρίζεται στην ισότητα αλλά σε ένα αίσθημα δικαιοσύνης που αποδεχόταν την ύπαρξη ιεραρχίας. Τέλος ακόμα και στην κοσμογονία βρίσκει εφαρμογή η μεσότητα, αφού αναγνωρίζουν γεωμετρική αναλογία στη συναρμογή του κόσμου, όταν ο Θεός έβαλε την ίδια αναλογία ανάμεσα σε φωτιά και αέρα, αέρα και νερό, νερό και γη. 41 Η πυθαγόρεια φιλοσοφία κινήθηκε λοιπόν σε ένα πολυδιάστατο επίπεδο, με εκφάνσεις στα μαθηματικά, τη μουσική, την αστρονομία, αλλά και την ιατρική. Οι Πυθαγόρειοι φρόντιζαν να διατηρούνται υγιείς δίνοντας ιδιαίτερη σημασία στη φυσική αγωγή και τη δίαιτα. Οι διδαχές τους αποτελούσαν έναν πλήρη τρόπο ζωής, προσδοκώντας στην ταύτιση με την αρμονία του κόσμου μέσω της ουσιαστικής άσκησης της ψυχής τους. 42 Ενός κόσμου στον οποίο τα μαθηματικά διατηρούν το ρόλο του ρυθμιστή όχι μόνο μέσω της αριθμητικής, αλλά και μέσα από τη γεωμετρία, αφού σύμφωνα και με τη ρήση του Πλάτωνα τὸν θεὸν ἀεὶ γεωμετρεῖν. Πράγματι θα διαπιστώσουμε ότι πέρα από τους αριθμούς, είναι και τα γεωμετρικά σχήματα που έχουν δομικό ρόλο στις χωρικές ιδιότητες του σύμπαντος. Αναπτύσσουν λοιπόν ακόμα μία απόκρυφη φιλόδοξη μυστικιστική θεωρία, εξηγώντας τη φυσική γέννηση του κόσμου βάσει γεωμετρικών θεωρήσεων. Δυστυχώς δεν έχει διασωθεί κείμενο που να αναλύει τη συγκεκριμένη πυθαγόρεια θεωρεία, αλλά σύμφωνα με μεταγενέστερες πηγές, το σχετικό πυθαγόρειο δόγμα αναπτύσσεται στον Τιμαίο, ενώ μάλιστα ο Πλάτωνας κατηγορείται ως λογοκλόπος σχετικά με όσα αναφέρει σε αυτό το έργο. Ο Αέτιος 43 εξάλλου αποδίδει στον Πυθαγόρα (εννοώντας μάλλον ολόκληρη τη σχολή) την ταύτιση των πέντε γεωμετρικών στερεών που σήμερα γνωρίζουμε ως πλατωνικά σώματα, με τα συστατικά στοιχεία που απαρτίζουν 39 Στο ίδιο, σ Vegetti, ό.π., σ Mattéi, ό.π., σ Taylor, ό.π., σσ Αέτιος, περιπατητικός φιλόσοφος από την Αντιόχεια της Συρίας (1 ος π.χ. αι.). Ασχολήθηκε με τη συστηματική καταγραφή φιλοσοφικών και επιστημονικών θεωριών των προγενεστέρων του. Γενικά ασχολήθηκε με την ιστορία των φυσικών επιστημών έχοντας ως πρότυπο ανάλογο σύγγραμμα του Θεόφραστου καθώς και εκείνες τις φυσικές φιλοσοφίες των Θαλλή, Πυθαγόρα και Ποσειδωνίου. Το έργο του κρίθηκε πολύτιμη πηγή διότι περιέχει αποσπάσματα έργων που έχουν χαθεί. 12

14 τον κόσμο. 44 Η αντιστοιχία λοιπόν που περιγράφει ο Πλάτωνας αποτελεί ανάπτυξη της πυθαγόρειας φιλοσοφίας, η οποία δίνει γεωμετρική δομή στα τέσσερα παραδοσιακά, στοιχεία δημιουργίας του κόσμου. Οι Πυθαγόρειοι εξάλλου γνώριζαν τις διάφορες ιδιότητες των κανονικών πολυγώνων αλλά και των κανονικών στερεών, 45 ενώ είχαν δείξει με ποιο τρόπο το επίπεδο μπορεί να καλυφθεί με κανονικά σχήματα και ο χώρος με κύβους. 46 Η φωτιά λοιπόν σχετίζεται με το τετράεδρο αφού δημιουργείται από μικροσκοπικές πυραμίδες. Η γη αντιστοιχίζεται με τα εξάεδρα αφού προέρχεται από τους κύβους, ο αέρας από το οκτάεδρα και τέλος το ύδωρ από τα εικοσάεδρα. Και τα τέσσερα αυτά στοιχεία δημιουργούνται από κανονικά στερεά τα οποία με τη σειρά τους κατασκευάζονται από ορθογώνια τρίγωνα. 47 Υπάρχει όμως ένα ακόμα κανονικό πολύεδρο που σχετίζεται με την πυθαγόρεια κοσμοθεωρία. Είναι το δωδεκάεδρο, το μόνο από τα πέντε κανονικά στερεά σώματα που δεν κατασκευάζεται από στοιχειώδη τρίγωνα αλλά από δώδεκα πεντάγωνα. Το ενδιαφέρον των Πυθαγορείων για το συγκεκριμένο στερεό θεωρείται δεδομένο αφού ο χώρος δράσης τους, η κάτω Ιταλία, είναι γεμάτη από κρυστάλλους πυριτίου, ένα μεταλλοειδές στοιχείο με μορφή κανονικών δωδεκάεδρων. 48 Ο μείζον ρόλος και η εξαρχής διάκριση του συγκεκριμένου πολύεδρου από τα υπόλοιπα, δικαιολογούνται από τις ιδιότητες που του αποδίδουν. Είναι σε μεγαλύτερο βαθμό εγγράψιμο στη σφαίρα από ότι τα άλλα κανονικά πολύεδρα και για αυτό ταυτίζεται με το σύμπαν, την κοσμική σφαίρα. Διαθέτει δώδεκα έδρες που αντιστοιχούν στους δώδεκα μήνες του χρόνου, αλλά και στο χώρο σχετίζεται με τις κοσμικές διαιρέσεις των σημείων του ζωδιακού κύκλου. Εξαιτίας της χρυσής τομής που διέπει το κανονικό πεντάγωνο 49 από το οποίο σχηματίζεται και των αριθμητικών αναλογιών που το χαρακτηρίζουν, κατέχει τη δύναμη να ενσαρκώσει τη δομή του Παντός. 50 Αν λοιπόν τα υπόλοιπα τέσσερα κανονικά πολύεδρα δημιούργησαν τα στοιχεία από τα οποία ήταν φτιαγμένα ο κόσμος, το πέμπτο, το δωδεκάεδρο, αποτελεί το σχήμα του αιθέρα, του υλικού που γέμιζε το χώρο του σύμπαντος γύρω από τη γήινη σφαίρα, αυτού που αποτελούσε την αρχή της κυκλικής κίνησης των άστρων, αλλά και της κίνησης της ανθρώπινης ψυχής, το πέμπτο στοιχείο, την πεμπτουσία. 51 Η επιλογή των πέντε κανονικών πολύεδρων ως αιτιώδης λόγος κοσμοαντίληψης αποβαίνει άκρως επαρκής για τον αναλογικό τρόπο σκέψης που χαρακτηρίζει τον Πυθαγορισμό. Φαντάζει άκρως ελκυστική και ταιριαστή 44 Mattéi, ό.π., σ Με τον όρο κανονικός στη γεωμετρία ονομάζουμε το γεωμετρικό σχήμα που έχει όλες τις πλευρές και τις γωνίες του ίσες. 46 Stuik, ό.π., σ Cuomo, ό.π., σσ Αναπολιτάνος, ό.π., σ Ο λόγος της πλευράς του κανονικού πενταγώνου προς τη διαγώνιό του ισούται με τη χρυσή τομή. 50 Mattéi, ό.π., σσ Στο ίδιο, σσ

15 με τη δομή της φιλοσοφίας τους, η ταύτιση της γης με τη σταθερότητα του κύβου και του αέρα με τη αστάθεια του οκτάεδρου. Επίσης η φωτιά συμφωνεί άριστα με το τετράεδρο, το οποίο έχει μικρό όγκο σε σχέση με την επιφάνειά του, ενώ αντιθέτως το νερό ταιριάζει με το εικοσάεδρο και το μεγάλο όγκο του. 52 Ο καθορισμός του κοσμοειδώλου τους από στερεομετρικά σχήματα συνάδει με την πυθαγόρεια αντίληψη ότι στη διαμόρφωση του χώρου, η σωματικότητα συνίσταται στο μαθηματικό περιορισμό του απείρου, ανάγοντας τα μαθηματικά σχήματα σε ουσία της φυσικής πραγματικότητας. 53 Εξάλλου και ο Φιλόλαος δεχόταν τα τέσσερα εμπεδόκλεια στοιχεία, τα οποία και συσχετίζει με τέσσερις θεότητες και τέσσερις γωνίες, ενωμένες εξαιτίας μιας πέμπτης γωνίας, αυτή του δωδεκαγώνου, την οποία προσδίδει στην επικυριαρχία του Δία. 54 ΜΙΑ ΑΠΟΚΑΛΥΠΤΙΚΗ ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ Οι πυθαγόρειοι ακολουθώντας έναν εμπνευσμένο δάσκαλο προφήτη, είχαν πετύχει να οικοδομήσουν ολόκληρο το σύμπαν πάνω στους αριθμούς, μετατρέποντάς το σε κόσμο, 55 κόσμημα ευταξίας δηλαδή, αποδίδοντας κάθε έκφανση της πραγματικότητας, φυσική, μεταφυσική, διανοητική, ηθική, κοινωνική και μαθηματική, στο διακριτό μοντέλο των αριθμών. Η ενασχόλησή τους με τα μαθηματικά ως προσπάθεια εύρεσης θεϊκής τάξης στο χάος, έχει ως αποτέλεσμα να τα αναγάγουν στο ύψος της θεωρητικής επιστήμης. Μια ανακάλυψή τους μάλιστα, η οποία αναγνωρίζεται σήμερα ως εξαιρετική συνεισφορά στη μαθηματική επιστήμη, έμελλε να δημιουργήσει τριγμούς στο πυθαγόρειο κοσμοείδωλο, ανατρέποντας εκ βάθρων τη μορφή της μαθηματικής οικοδόμησής του. 56 Η αποκάλυψη της ασυμμετρίας και των άρρητων αριθμών, αποτέλεσε γεγονός που μαρτυρείται από διάφορες πηγές, χωρίς όμως να γνωρίζουμε με βεβαιότητα τη χρονολογία και τον τρόπο με τον οποίο οι Πυθαγόρειοι κατέληξαν σε αυτήν. Ο Πρόκλος αφήνει να εννοηθεί ότι ο ίδιος ο Πυθαγόρας επινόησε τη συγκεκριμένη θεωρεία, αλλά ο Πάππος ο Αλεξανδρεύς 57 την παρουσιάζει ως επίτευγμα γενικότερα της σχολής των Πυθαγορείων. 58 Διχογνωμία όμως έχουμε και σχετικά με τον τρόπο ανακάλυψης. Ο Αριστοτέλης 52 Στο ίδιο, σσ Windelband Heimsoeth, ό.π., σ Mattéi, ό.π., σ Πυθαγόρας πρῶτος ὠνόμασε τὴν τῶν ὅλων περιοχὴν κόσμον ἐκ τῆς ἐν αὐτῷ τάξεως. (Πλούταρχος, Ηθικά) 56 Bell, ό.π., σ Πάππος ο Αλεξανδρεύς, ονομαστός Έλληνας μαθηματικός, γεωμέτρης και μηχανικός που έζησε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου (3 ος -4 ος μ.χ. αι.). Θεωρείται από τους τελευταίους Έλληνες μαθηματικούς. Από τα έργα του έχουν διασωθεί ελάχιστα μέρη από τα εκτενή σχόλια επί των Στοιχείων του Ευκλείδη και το μεγαλύτερο μέρος της Συναγωγής του, όπου είχε συγκεντρώσει, συστηματικά και συνοπτικά, τα σπουδαιότερα μαθηματικά ευρήματα του ελληνικού κόσμου στους τομείς της γεωμετρίας και της αριθμητικής, συμπληρωμένα και σχολιασμένα από τον ίδιο. 58 Χριστιανίδης Γ. κ.ά., «Η ανακάλυψη της ασυμμετρίας», στο: Ελληνική φιλοσοφία και επιστήμη: από την αρχαιότητα έως τον 20ό αιώνα, τόμ. Β Οι επιστήμες στην αρχαία Ελλάδα, στο Βυζάντιο και στον Νεότερο Ελληνισμό, εκδ. Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο, Πάτρα 2000, σ

16 διασώζει στα Αναλυτικά πρότερα την αρχαιότερη απόδειξη της ασυμμετρίας της διαγωνίου ενός τετραγώνου προς την πλευρά του. Η συγκεκριμένη απόδειξη που βασίζεται στην εἰς ἄτοπον ἀπαγωγή, κάνει χρήση του πυθαγόρειου θεωρήματος και καταδεικνύει το αδύνατο της συμμετρίας ανάμεσα σε διαγώνιο και πλευρά τετραγώνου, δηλαδή ανάμεσα σε υποτείνουσα και κάθετη πλευρά ορθογωνίου τριγώνου, αφού μια τέτοια υπόθεση καταλήγει στην απιθανότητα να έχουμε αριθμό που είναι συγχρόνως περιττός και άρτιος. Η όλη συλλογιστική συνάδει προς την πυθαγόρεια σχολή αφού εξαρτάται από τη στοιχειώδη θεωρεία των αριθμών. Στην πραγματικότητα αφορά την αρρητότητα του αριθμού 2 και την ασυμμετρία του ως προς τη μονάδα. 59 Μια άλλη άποψη πιθανολογεί την ανακάλυψη των ασύμμετρων μεγεθών από τον Ίππασο, έναν από τους αρχαιότατους μαθητές του Πυθαγόρα. Το ενδιαφέρον του για το κανονικό δωδεκάεδρο και η μελέτη των ιδιοτήτων του, τον οδήγησε στη συνειδητοποίηση της αδυναμίας εύρεσης κοινού μέτρου ανάμεσα στη διαγώνιο και στην πλευρά των πενταγώνων από τα οποία αποτελείται το συγκεκριμένο στερεό σώμα. Πράγματι η προσπάθεια προσδιορισμού αυτής της αναλογίας, μέσω της μεθόδου της αμοιβαίας αφαίρεσης, καταλήγει σε ναυάγιο, αφού η διαδικασία συνεχίζεται επ άπειρον χωρίς να προκύπτει το τμήμα εκείνο που είναι ικανό να αποτελεί κοινό λόγο τόσο για την πλευρά όσο και για τη διαγώνιο. Ουσιαστικά έχουμε την απουσία αλγοριθμικής περάτωσης στη διαδικασία εύρεσης κοινού μέτρου σε δυο όμοια συγκρινόμενα μήκη. 60 Η ύπαρξη της 2 και η αδυναμία εύρεσης ενός αριθμού που να ισούται με αυτήν, δηλώνουν ότι υπάρχει ένα μέγεθος που μπορεί να απεικονισθεί ως μήκος χωρίς όμως να υπάρχει συνάμα και ο αριθμός που το εκφράζει. 61 Αντίστοιχα και η αναλογία ανάμεσα στη διαγώνιο και στην πλευρά του πενταγώνου, ισούται με φ, με το χρυσό λόγο, 62 ο οποίος δεν μπορεί να εκφραστεί ως αναλογία ακέραιων αριθμών, με κανένα δηλαδή από τους αριθμούς των Πυθαγορείων. 63 Οι Πυθαγόρειοι βρίσκονται λοιπόν και στις δυο περιπτώσεις απέναντι στη δυσάρεστη για αυτούς έκπληξη των άρρητων αριθμών, των αριθμών δηλαδή που είναι απερίγραπτοι και άνευ λόγου. Πρέπει λοιπόν να αντιμετωπίσουν τις τεράστιες συνέπειες αυτής της ανακάλυψης που λαμβάνει αποκαλυπτικό χαρακτήρα και να εντάξουν στη φιλοσοφία τους αριθμούς που υπάρχουν αλλά δεν εκφράζονται. 64 Είναι απαραίτητο να αναθεωρήσουν την οντολογία τους και να επαναφέρουν την αρμονία ανάμεσα στην αριθμητική και στη γεωμετρία, δημιουργώντας αριθμούς πέρα από αυτούς που είχαν ορίσει οι ίδιοι και επεκτείνοντας την ατελή θεωρεία των αναλογιών ώστε να επαναβεβαιώσουν 59 Heath, ό.π., σ Αναπολιτάνος, ό.π., σσ Mattéi, ό.π., σ Ο Χρυσός λόγος φ ήταν γνωστός στους Πυθαγόρειους. Εμφανίζεται στις πλευρές του αστεριού της πεντάλφας, του μυστικού τους σύμβολου. Θεωρείται ότι δίνει αρμονικές αναλογίες και για αυτό έχει χρησιμοποιηθεί στην αρχιτεκτονική και τη ζωγραφική, ενώ εντοπίζεται και στη φύση. 63 Livio, ό.π., σ Mattéi, ό.π., σ

17 την κυριαρχία της. Προσδοκίες που όμως δεν επιτεύχθηκαν. Βασικό όμως προαπαιτούμενο της πυθαγόρειας οντολογίας είναι η δόμηση του κόσμου με ρητό τρόπο, αφού όλες οι δομικές σχέσεις του σύμπαντος πρέπει να αποτελούν σχέσεις ακεραίων αριθμών. Αναντίρρητο δεδομένο λοιπόν ήταν για αυτούς ότι υπάρχει πάντα αριθμός που αποτελεί το λόγο δυο οποιονδήποτε άλλων αριθμών και επίσης ότι δυο ομοειδή γεωμετρικά μεγέθη είναι απαραιτήτως ανάλογα με λόγο ένα ρητό αριθμό. 65 Δεδομένα που ανατράπηκαν διαψεύδοντας οριστικά την πεποίθηση για σύμμετρη δομή του κόσμου, κλονίζοντας την πίστη στην αριθμητική διάρθρωση και φύση του. 66 Το οικοδόμημα του Πυθαγορισμού, βασισμένο στον υποτιθέμενο ρόλο που είχαν οι εγγενείς ιδιότητες των παραδεχτών για αυτούς αριθμών και των λόγων τους, δεν μπορεί να παραμένει αλώβητο. Η διαπίστωση της ασυμμετρίας ανατρέπει τα θεμέλια του φιλοσοφικού τους συλλογισμού, πλήττοντας συγχρόνως τον ακραίο θαυμασμό τους για τους αριθμούς. Η ανακάλυψη είναι αδιαμφισβήτητη και επομένως πρέπει να αποτελεί ένα είδος κοσμικού σφάλματος, ένα λάθος που επιβάλλεται να κατασταλεί και να αποσιωπηθεί. 67 Στην υπέρτατη αυτή ανάγκη να κρατηθεί μυστική η μαθηματική αντιλογία που κατέστρεφε τα πιστεύω τους, δεν υπάκουσε ο Ίππασος που σύμφωνα με τις πηγές αποκάλυψε το απόρρητο μυστικό της Σχολής όταν κοινοποίησε τη γνώση του για το δωδεκάεδρο, τη σφαίρα με τα δώδεκα πεντάγωνα, διακινδυνεύοντας ουσιαστικά τη διάλυσή της. Για την ασέβειά του και την παραβίαση του όρκου, ο Ιάμβλιχος μας πληροφορεί ότι οι Πυθαγόρειοι τον αντιμετώπισαν ως νεκρό, ενώ οι θεοί των τιμώρησαν με πνιγμό. 68 Η κρίση απέβη καταστροφική για τους Πυθαγορείους και συνεχίσθηκε επί μακρόν έως ότου ο Εύδοξος βρει τη λύση με την εισαγωγή των άρρητων αριθμών, ανοίγοντας το δρόμο στις σύγχρονες μαθηματικές θεωρίες, στα συνεχιστικά μαθηματικά και τη μαθηματική ανάλυση. 69 Είναι γεγονός ότι ο τρόπος που οι Πυθαγόρειοι σχημάτισαν το κοσμοείδωλό τους δεν ακολουθούσε επιστημονικές αρχές, αλλά μια συμβολική αντίληψη για τον Αριθμό, μια σύλληψη κατεκτημένη ενορατικά και επαγωγικά. Υπάρχει όμως κάτι μεγαλεπήβολο στη φιλοδοξία τους να καταδείξουν την αρμονία ως το κλειδί για κάθε τομέα της φιλοσοφίας τους. Πόση διαφορά έχει άραγε η πεποίθηση τους για τη γενεσιουργό δύναμη του αριθμού και η ερμηνεία του γενετικού κώδικα υπό μαθηματική μορφή από τη σύγχρονη βιολογία; Μάλλον διαφέρει όσο και η μαθηματική φυσική από την απλοϊκή εξομοίωση των φυσικών στοιχείων με τα γεωμετρικά στερεά. Σε ένα σύμπαν λοιπόν που σύμφωνα με τον Αϊνστάιν πρέπει να είναι τόσο άπειρο όσο και η ανθρώπινη βλακεία, η αναλογία ίσως κλείνει το μάτι στην πεπερασμένη αντίληψή μας. 65 Heath, ό.π., σ Αναπολιτάνος, ό.π., σ Livio, ό.π., σ Στο ίδιο, σ Heath, ό.π., σ

18 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Αναπολιτάνος Διονύσιος Α, Εισαγωγή στη φιλοσοφία των Μαθηματικών, εκδ. Νεφέλη, Αθήνα Bell Eric Temple, Οι μαθηματικοί, τόμ. Ι Από τον Ζήνωνα ως τον Cauchy, μτφρ. Μανόλης Μαγειρόπουλος, εκδ. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο Cuomo Serafina, Αρχαία μαθηματικά, επιμ. Παναγιώτης Ι. Χαραλαμπάκος μτφρ. Γιώργος Κουσουνέλος, εκδ. Ενάλιος, Αθήνα Heath Thomas Little, Ιστορία των ελληνικών Μαθηματικών Ι, Από το Θαλή στον Ευκλείδη, μτφρ. Αθηνά Αγγελή Έλενα Βλάμου Θεοφάνης Γραμμένος Ανδρομάχη Σπανού, εκδ. Κέντρο Έρευνας Επιστήμης και Εκπαίδευσης, Αθήνα Kirk Geoffrey Stephen Raven John Earle Schofield Malcolm, Οι Προσωκρατικοί φιλόσοφοι, μτφρ. Δημοσθένης Κούρτοβικ, εκδ. Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, Αθήνα Livio Mario, Ο Χρυσός Λόγος, Η ιστορία του Φ, του εκπληκτικότερου αριθμού, επιμ. Ελένη Κερκοπούλου, μτφρ. Μαριάννα Σταυροπούλου, εκδ. Ενάλιος Mattéi Jean François, Ο Πυθαγόρας και οι Πυθαγόρειοι, μτφρ. Κική Καψαμπέλη, εκδ. Μ. Καρδαμίτσα, Αθήνα Schrödinger Erwin, Η φύση και οι Έλληνες, ο Κόσμος και η Φυσική, σχολ. Michel Bitbol, επιμ. & μτφρ. Θεοφάνης Γραμμένος, εκδ. Π. Τραυλός, Αθήνα Stuik Dirk Jan, Συνοπτική ιστορία των μαθηματικών, μτφρ. Άννα Φερεντίνου Νικολακοπούλου, εκδ. Δαίδαλος Ι. Ζαχαρόπουλος, Αθήνα χ.χ. Taylor Thomas, Η θεωρητική αριθμητική των Πυθαγορείων, μτφρ. Μαρία Οικονομοπούλου, εκδ. Ιάμβλιχος, Αθήνα

19 Vegetti Mario, Ιστορία της Αρχαίας Φιλοσοφίας, μτφρ. Γιάννης Α. Δημητρακόπουλος, εκδ. Π. Τραυλός, Αθήνα Windelband Wilhelm Heimsoeth Heinz, Εγχειρίδιο ιστορίας της Φιλοσοφίας, τoμ. Α, Η Φιλοσοφία των αρχαίων Ελλήνων, Η Φιλοσοφία των ελληνιστικών και ρωμαϊκών χρόνων, μτφρ. Νικόλαος Μ. Σκουτερόπουλος, εκδ. Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, Αθήνα Χριστιανίδης Γιάννης κ.ά., «Η σχολή των Πυθαγορείων», στο: Ελληνική φιλοσοφία και επιστήμη: από την αρχαιότητα έως τον 20ό αιώνα, τόμ. Β Οι επιστήμες στην αρχαία Ελλάδα, στο Βυζάντιο και στον Νεότερο Ελληνισμό, εκδ. Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο, Πάτρα 2000, σσ Χριστιανίδης Γιάννης κ.ά., «Η ανακάλυψη της ασυμμετρίας», στο: Ελληνική φιλοσοφία και επιστήμη: από την αρχαιότητα έως τον 20ό αιώνα, τόμ. Β Οι επιστήμες στην αρχαία Ελλάδα, στο Βυζάντιο και στον Νεότερο Ελληνισμό, εκδ. Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο, Πάτρα 2000, σσ