Μαθηματικά Πληροφορικής

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά Πληροφορικής"

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009

2

3 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα Υποθέσεις και Θεωρήματα Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη Εικασίες Ασκήσεις Αποδείξεις Εξαντλητικήμέθοδος Μαθηματικήεπαγωγή Ασκήσεις Αναδρομή και Επαγωγή 35 Ασκήσεις Αποδείξεις Υπαρξης ΗΑρχήτουΠεριστερώνα Ασκήσεις Η Μέθοδος της ιαγωνίου Αριθμήσιμασύνολα ΗΜέθοδοςτης ιαγωνίου Οιπραγματικοίαριθμοί Υπολογισιμότητα Ασκήσεις ιακριτή Πιθανότητα ειγματικοίχώροικαιπιθανότητα Τυχαίεςματαβλητέςκαιαναμενόμενητιμή Ανεξαρτησία Ασκήσεις RSA και πρώτοι αριθμοί 83 1

4 Π 7.1 RSA Ασκήσεις Ανάλυση Αλγορίθμων ΟσυμβολισμόςO Οισυμβολισμοί καιfi Ασκήσεις Γράφοι Ειδικέςκατηγορίεςγράφων Περιγραφήγράφωνσευπολογιστή ένδρακαισυνεκτικότητα Επίπεδοιγράφοι ΚύκλοιτουEulerκαιτουHamilton Ταιριάσματα Ασκήσεις Α Λύσεις επιλεγμένων ασκήσεων 129 Β Άλλες Πηγές 155 2

5 Πρόλογος Οι σημειώσεις αυτές είναι στα αρχικά στάδια γραφής. Είναι ελλιπείς και περιέχουν τυπογραφικά λάθη, ανακρίβειες, και πιθανώς λάθη ουσίας. ίνονται σαν βοήθημα στους φοιτητές του Τμήματος Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών του Πανεπιστήμιου Αθηνών για το ακαδημαϊκό έτος Αν έχετε παρατηρήσεις, σχόλια, ή βρείτε λάθη παρακαλώ να στείλτε στο για να περιληφθούν σε πιθανή πληρέστερη μελλοντική έκδοση. Το κεφάλαιο Αναδρομικές εξισώσεις είναι γραμμένο από τον Ιωάννη Εμίρη, που δίδαξε το μάθημα το ακαδημαϊκό έτος Ευχαριστώ όσους έστειλαν σχόλια και τυπογραφικά λάθη για προηγούμενες εκδόσεις των σημειώσεων. Ειδικά ευχαριστώ τον ημήτρη Αραπάκη και τον Ιωάννη Εμίρη. Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Ηλίας Κουτσουπιάς 3

6

7 Συμβολισμός Σύνολα Ακόμα και το πιο βασικό σύνολο αριθμών, το σύνολο των φυσικών αριθμών,ορίζεταιαπόμερικούςσυγγραφείςσαν{1,2,3,...}καιαπόάλλουςσαν{0,1,2,3,...}.εδώϑαπροτιμήσουμετηνπρώτηπερίπτωση το σύνολοn {1,2,3,...}ϑατοονομάζουμεσύνολοφυσικώναριθμώνκαι τοσύνολοn 0 {0,1,2,3,...}ϑατοονομάζουμεσύνολομηαρνητικών ακεραίων. Κάποια βασικά σύνολα αριθμών: Φυσικοίήϑετικοίακέραιοι(NήZ + ):1,2,3... Μηαρνητικοίακέραιοι(N 0 ήz + 0 ):0,1,2,... Ακέραιοι(Z):0,1, 1,2, 2,... Θετικοίρητοί(Q + ): 1 1, 1 2,2 1,1 3,2 2,3 1,1 4,... Ρητοί(Q):0, 1 1, 1 1,1 2, 1 2,2 1, 2 1,1 3, 1 3,... Πραγματικοί(R) Ενας γενικός τρόπος περιγραφής συνόλων είναι να περιγράψουμε τις ιδιότητες των στοιχείων του: {x P(x)} όπου P(x) είναι μια ιδιότητα. Για παράδειγμα, ή {x xείναιφυσικόςπουδιαιρείταιμετο3} {n n Nκαιυπάρχειk N:n k 2 +k+1} Οσυμβολισμός{x P(x)}ορίζειτοσύνολοπούπεριέχειόλαταστοιχεία που ικανοποιούν την ιδιότητα P(x). Ετσι, το πρώτο παράδειγμα παραπάνωορίζειτοσύνολο{3,6,9,...}. Ενασυνηθισμένολάθοςείναι νααγνοήσουμετησύμβασηότιτοσύνολο{x P(x)}περιέχει όλαταστοιχεία που ικανοποιούν την ιδιότητα P(x). Ετσι, είναι λάθος να πούμε πωςτοπρώτοπαράδειγμαορίζειτοσύνολο {9,18,27,...} πράγματι, όλαταστοιχείατου{9,18,27,...}διαρούνταιμετο3,αλλάδενείναιτα μόνα. 5

8 Π Άλλα Σύμβολα x :Τοακέραιομέροςτουx.Πιοσυγκεκριμένα x είναιοακέραιοςπου ικανοποιεί x x< x +1.Π.χ. 3 3, 3.4 3, x :Ομικρότερος ακέραιος που είναι μεγαλύτερος ή ίσος με x. Πιο συγκεκριμένα,το x είναιοακέραιοςπουικανοποιεί x 1<x x Π.χ. 3 3, 3.4 4, ( n k) : Ισονμε n (n 1) (n k+1) n! 1 2 k k!(n k)!. Οσοιτρόποιυπάρχουνγιαναδιαλέξουμε k στοιχεία από ένα σύνολο n διαφορετικών στοιχείων. Εμφανίζεται επίσης στην ανάπτυξη διωνύμου (a+b) n n k 0 ( n 0 ( ) n a n k b k k ) a n + ( ) n a n 1 b+ 1 ( ) ( ) n n a n 2 b b n. 2 n k 6

9 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα Στο Λύκειο, αλλά πολλές φορές και στο Πανεπιστήμιο, τα μαθηματικά μας παρουσιάζονται σαν έτοιμο προϊόν. Βλέπουμε συνήθως τη μια όψη των πραγμάτων, τη φωτεινή πλευρά όπου βρίσκονται τα ϑεωρήματα που κάποιος έχει διατυπώσει και αποδείξει(πολλές φορές πριν από αιώνες). εν βλέπουμε συνήθως την άλλη πλευρά, την αθέατη, που είναι τα ϑεωρήματα που είτε κανένας δεν τα έχει σκεφτεί και διατυπώσει ακόμα, είτε έχουν μεν διατυπωθεί αλλά δεν έχουν αποδειχτεί ακόμα. Για να κατανοήσουμε όμως σε βάθος τα πράγματα χρειάζεται όχι μόνο να μάθουμε κάποια ϑεωρήματα, αποδείξεις και τεχνικές, αλλά να γνωρίζουμε τι ξέρουμε και τι δεν ξέρουμε. Αυτή η μεταγνώση μιας επιστημονικής περιοχής είναι καμιά φορά πιο σημαντική από την ίδια τηγνώση.ηενδιαφέρουσαπεριοχήμεάλλαλόγιαείναιτοσύνοροτων δυο πλευρών, εκεί που η σημερινή έρευνα προσπαθεί να επεκτείνει τη φωτεινή περιοχή σε βάρος της αθέατης. 1.1 Παρατήρηση- Υπόθεση- Απόδειξη Παρατηρώντας προσεκτικά τα δεδομένα ενός προβλήματος συνήθως καταλήγουμε να διατυπώσουμε μια ή περισσότερες υποθέσεις. Μια υπόθεση είναι μια λογική πρόταση που πιστεύουμε ότι είναι αληθής. Οταν μια τέτοια πρόταση αποδειχτεί τότε λέγεται θεώρημα, πρόταση, ή λήμμα. Η διατύπωση σωστών υποθέσεων είναι συνήθως το πιο σημαντικό βήμα για τη μελέτη ενός προβλήματος. Μια καλή υπόθεση πρέπει να είναικαθαράδιατυπωμένη,ναείναιαπλήκαιλιτήκαιναέχειτοκατάλληλο επίπεδο αφαίρεσης. Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει μια τυπική διαδικασία που αρχίζει με παρατηρήσεις και καταλήγει σε κατάλληλο ϑεώρημα. Παρατηρήσεις, δεδομένα Υπόθεση Απόδειξη Λήμμα Θεώρημα Από τα δεδομένα εξάγουμε συνήθως υποθέσεις τις οποίες προσπαθούμε να αποδείξουμε. Αν αποτύχουμε, τροποποιούμε την υπόθεση και επαναλαμβάνουμε. Αλλά ακόμα και αν πετύχουμε να αποδείξουμε την 9

10 1. Υ Θ υπόθεση, η ίδια η απόδειξη συχνά υποδεικνύει κατάλληλες γενικεύσεις ή εξειδικεύσεις της υπόθεσης. Ας δούμε ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα αυτής της διαδικασίας. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1.1. Ας πούμε ότι παίζουμε με τα ακέραια πολλαπλάσιατηςχρυσήςτομής φ. Ηχρυσήτομή φ είναιη μεγαλύτερηρίζατηςεξίσωσης φ 2 φ+1καιέχειπολλέςκαταπληκτικές ιδιότητες. Σχετίζεται για παράδειγμα με τους αριθμούς Fibonacci και με την αναπαράσταση των αριθμών ως συνεχή κλάσματα. 1 φ Εμφανίζεται συχνά σε βιολογικές διαδικασίες και φαίνεται να έχει σχέση με την αισθητική αντίληψη μας λέγεται για παράδειγμα ότι κτήρια με λόγο διαστάσεων ίσο με φ έχουν αισθητική τελειότητα. Αςπαρατηρήσουμεόμωςταπολλαπλάσιατου φκαι φ 2 : 1 φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ Τι παρατηρείτε για το ακέραιο μέρος των αριθμών αυτών; Μια παρατήρηση είναι ότι εμφανίζονται οι αριθμοί 1(αριστερά), 2(δεξιά), 3, 4 (αριστερά), 5 (δεξιά), 6 (αριστερά) κοκ. Μια φυσική υπόθεση επομένως είναι η ακόλουθη. Υπόθεση1. Τοακέραιομέροςτωνπολλαπλασίωντου φκαι φ 2 περιλαμβάνει όλους τους φυσικούς αριθμούς. Πριν προσπαθήσουμε να αποδείξουμε ότι η υπόθεση ισχύει, ας προσπαθήσουμε να την ελέγξουμε πειραματικά. Γράφουμε ένα σύντομο πρόγραμμα που να ελέγχει την υπόθεση για όλους τους φυσικούς αριθμούςαπό1έωςαςπούμετο1000ήτο10000.εναλλακτικά,ελέγχουμε αν η υπόθεση ισχύει για κάποιον(ή κάποιους) μεγάλους τυχαίους α- ριθμούς ως εξής. ιαλέγουμε, για παράδειγμα, ένα μεγάλο τυχαίο αριθμόn,αςπούμεn Ηυπόθεσηείναιότιοnείναιτοακέραιο μέρος κάποιου πολλαπλασίου του φ. Είναι; Αυτό είναι εύκολο 10

11 1.1. Παρατήρηση- Υπόθεση- Απόδειξη νατοελέγξουμεωςεξής: Μεποιονακέραιοkπρέπειναπολλαπλασιάσουμετο φώστετοαποτέλεσμαναείναιλίγομεγαλύτεροαπόn; Προφανώςμετοk n/ φ 1000/ Αλλάγιαk 619 έχουμε kφ Ο 1000 λοιπόν δεν είναι ακέραιο μέρος κάποιου πολλαπλασίου του φ. Ας επαναλάβουμε τους υπολογισμούςγιατο φ 2. Βρίσκουμεk n/ φ 2 382γιατοοποίοισχύει kφ Ηυπόθεσηλοιπόνισχύειγιαn Αν επαναλάβουμε την ιδία διαδικασία για πολλά n ϑα παρατηρήσουμε ότι η υπόθεση ισχύει για όλα. Ενας τέτοιος πειραματικός έλεγχος μιας υπόθεσης, αν και δεν μας βεβαιώνει απόλυτα ότι η υπόθεση είναι αληθής, μας οπλίζει με αρκετή εμπιστοσύνη στην ορθότητα της ώστε να προσπαθήσουμε να την αποδείξουμε. Εξάλλου σήμερα έχουμε το κατάλληλο εργαλείο για αυτό, τον υπολογιστή. Ο πειραματικός έλεγχος πρέπει να αποτελεί ένα ουσιαστικό συστατικό της αποδεικτικής διαδικασίας. Εκτός της εμπιστοσύνης, μας δίνει συνήθως και αρκετές πληροφορίες για να μας καθοδηγήσουν στην απόδειξη. Αλλά ο πειραματικός έλεγχος μιας υπόθεσης μπορεί να μας οδηγήσει μερικές φορές σε λάθος συμπεράσματα. Μόνο μια αυστηρή απόδειξη ϑα μας βεβαιώσει για την ορθότητα μιας υπόθεσης. Η ιστορία των μαθηματικών είναι γεμάτη από παραδείγματα υποθέσεων που φαίνονταν αληθείς αλλά αποδείχτηκαν ψευδείς μερικές φορές δε, η πραγματικότητα αποδείχτηκε διαμετρικά αντίθετη της εικαζόμενης. Ας προσπαθήσουμε λοιπόν να αποδείξουμε την υπόθεση. Απόδειξη της υπόθεσης 1.Αςορίσουμε A { kφ :k 1,2,...} B { kφ 2 :k 1,2,...} ΘέλουμεναδείξουμεότιN A B. Είναιδύσκολοναεπιχειρηματολογούμε με απειροσύνολα για αυτό ας επικεντρωθούμε στα υποσύνολα πουπεριλαμβάνουνμόνοτουςαριθμούς1,2,...,n. A n A {1,2,...,n} { kφ : kφ nκαιk 1,2,...} B n B {1,2,...,n} { kφ 2 : kφ 2 nκαιk 1,2,...} Θέλουμεναδείξουμεότιόλοιοιφυσικοί {1,2,...,n}ανήκουνστο A n B n. Βρισκόμαστεσεκομβικόσημείοτηςαπόδειξης. ιαλέξαμε, ελπίζουμε, το σωστό συμβολισμό και οριοθετήσαμε κατάλληλα το πρόβλημα. Πώς προχωράμε όμως στην απόδειξη; Φυσικά, δεν υπάρχει κάποιαγενικήμέθοδοςπουναμαςβοηθάεισ αυτό.ηικανότηταόμως του καθενός μας να βρει μια κατάλληλη προσέγγιση εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από την εξάσκηση και εμπειρία μας. Αν έχουμε λύσει δεκάδες παρόμοιες περιπτώσεις, η λύση εμφανίζεται μαγικά από μόνη της. Το συγκεκριμένο πρόβλημα είναι ένα καλό παράδειγμα για να δούμε τη δημιουργική διαδικασία των μαθηματικών. Είναι ένα πρόβλημα 11

12 1. Υ Θ εύκολονατοκατανοήσουμεκαιόπωςϑαδούμεέχειμιαλύσηπουδεν απαιτεί παρά μόνο γνώσεις Λυκείου. Είναι όμως σχετικά δύσκολο πρόβλημα ακόμα και για έμπειρους μαθηματικούς γιατί έχει μια έξυπνη προσέγγιση. Η έξυπνη ιδέα που ϑα χρησιμοποιήσουμε είναι να επικεντρώσουμετηνπροσοχήμαςόχισταστοιχείατουσυνόλουa n αλλά στον αριθμό των στοιχείων του, στον πληθάριθμό του. Πόσα στοιχεία, λοιπόν, έχει το A n ; Τα στοιχεία του A n είναι της μορφής kφ,όπου kφ n.σεκάθεkαντιστοιχείέναακριβώςστοιχείο. Αυτόμπορείναμηνήτανέτσιαντο φήτανμικρότεροτου1,αλλάεπειδή φ>1ισχύει.πιοσυγκεκριμένα,επειδήτα(k+1)φ kφ φ,έχουμεείτε (k+1)φ kφ +1είτε (k+1)φ kφ +2. Αφού λοιπόν για κάθε k έχουμε διαφορετικό στοιχείο, τα στοιχεία τουa n είναιακριβώςόσοιοιφυσικοίkγιατουςοποίουςισχύει kφ n. Αλλάαυτήησχέσηείναιισοδύναμημε kφ<n+1 k< n+1 φ k n+1 φ. ηλαδή,οαριθμόςτωνστοιχείωντουσυνόλουa n είναι A n n+1 φ.με τονίδιοτρόποβρίσκουμε B n n+1 φ2. Οσυνολικόςαριθμόςλοιπόντων στοιχείωνκαιτωνδυοσυνόλων,a n καιb n,είναι A n + B n n+1 φ + n+1. (1.1) φ2 Θαδείξουμεότιαυτόςοαριθμόςείναιίσοςμεn.Παρατηρούμεπρώτα ότι 1 φ + 1 φ 2 1(αυτόπροκύπτειανδιαιρέσουμεόλουςτουςόρουςτης φ 2 φ+1με φ 2 ).Επομένως Αφούοιδυοαριθμοί n+1 φ n+1 φ +n+1 φ 2 n+1. και n+1 φ 2 είναιάρρητοικαιέχουνάθροισμαn+1, ταακέραιαμέρητουςέχουνάθροισμαn.(γιαπαράδειγμα1001/ ,1001/ , , ) είξαμελοιπόνότι A n + B n n. ΑπότονορισμότωνA n καιb n, ξέρουμεπωςτασύνολαa n 1 B n 1 καιa n B n μπορούνναδιαφέρουν μόνοστοστοιχείοn.αφούόμωςδείξαμεπως A n + B n nκαι A n 1 + B n 1 n 1,συμπεραίνουμεπωςτοA n B n περιέχειτοστοιχείοn.αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη της υπόθεσης αφού κάθε στοιχείο n ανήκει στοa B. Αν παρατηρήσουμε προσεκτικά το τελευταίο μέρος της παραπάνω απόδειξης ϑα διαπιστώσουμε ότι όχι μόνο αποδείξαμε ότι κάθε φυσικός αριθμόςγράφεταισαν kφ ήσαν kφ 2,αλλάκαιότιαυτόσυμβαίνειμε 12

13 1.1. Παρατήρηση- Υπόθεση- Απόδειξη μοναδικότρόπο.ολόγοςείναιτοnυπάρχεισταa n καιb n ακριβώςμια φοράαφού( A n + B n ) ( A n 1 + B n 1 ) n (n 1) 1. Οταν βλέπουμε μια απόδειξη πρέπει να προσπαθούμε να καταλάβουμε ποια είναι η κεντρική ή οι κεντρικές ιδέες. Για παράδειγμα, μια φυσική ερώτηση για την παραπάνω απόδειξη είναι Ποια ακριβώς ιδιότητα του φ χρησιμοποιήσαμε; Αν διαβάσουμε προσεκτικά την απόδειξη ϑα παρατηρήσουμε ότι χρησιμοποιήσαμε ακριβώς τις εξής δυο ιδιότητες: φ 1+ 1 φ2 1. Απόαυτόπροκύπτειαμέσωςπως φ>1,μιαιδιότητα που χρησιμοποιήθηκε και αυτή σε κάποιο σημείο της απόδειξης. Οφκαι φ 2 είναι ϑετικοί άρρητοι. Την ιδιότητα αυτή χρησιμοποιήσαμε όταν βγάλαμε το συμπέρασμα ότι τα ακέραια μέρη των αριθμών n+1 n+1 φ και φ 2 έχουνάθροισμαn,επειδήοιδυοαυτοίαριθμοί έχουνάθροισμαn+1. Ανοι φκαι φ 2 ήτανρητοίτότεγιακάποια nοιαριθμοί n+1 φ n+1αντίγιατοεπιθυμητόn. και n+1 φ 2 ϑαήτανακέραιοικαιϑαείχανάθροισμα Επομένως η ίδια απόδειξη ϑα ήταν σωστή για οποιουσδήποτε ϑετικούς άρρητους λκαι μπουικανοποιούντηνεξίσωση 1 λ +1 μ 1. Ετσιμπορούμε να γενικεύσουμε την υπόθεση στο εξής ϑεώρημα: Θεώρημα2. Εστω θετικοί άρρητοι λ και μ που ικανοποιούν 1 λ +1 μ 1. Για κάθε φυσικό αριθμόn, υπάρχει μοναδικός ακέραιοςkτέτοιος ώστεn kλ ή n kμ. Γιαπαράδειγμα,για λ 2και μ 2+ 2έχουμε 1 λ + μ 1 1. Άρα κάθε φυσικός αριθμός γράφεται με μοναδικό τρόπο σαν το ακέραιο μέροςκάποιουπολλαπλάσιουτου 2ήτου2+ 2(δοκιμάστετο!). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1.2. Ας δούμε όμως ένα ακόμα παράδειγμα της διαδικασίας υπόθεση-απόδειξη-ϑεώρημα-γενίκευση. Ας παρατηρήσουμε τις τιμέςτουπολυώνυμουn 2 n+41γιαn 1,2,...: 41,43,47,53,61,.... Παρατηρούμε ότι όλοι αυτοί οι αριθμοί είναι πρώτοι. Επομένως είναι φυσικό να κάνουμε την υπόθεση Υπόθεση3.Γιακάθεφυσικόαριθμόn,οαριθμόςn 2 n+41είναιπρώτος. 13

14 1. Υ Θ οκιμάζοντας πολλές τιμές για το n διαπιστώνουμε ότι η υπόθεση δενισχύει. Ισχύειγιαn 1,2,...,40,αλλάγιαn 41βλέπουμεότιτο διαιρείταιπροφανώςαπότο41. ** Οπωςδιαπιστώσαμε,τοπολυώνυμοn 2 n+41δενκαταφέρνειναπαράγει όλους τους πρώτους αριθμούς και μόνο αυτούς. Υπάρχουν όμως πολυώνυμα που έχουν αυτή την ιδιότητα; Αναπάντεχα, η απάντηση είναι καταφατική(αλλά το πολυώνυμο πρέπει να έχει πολλές μεταβλητές). Π. χ. υπάρχει πολυώνυμο με 26 μεταβλητές που έχει αυτή την ιδιότητα και πιο συγκεκριμένα: το σύνολο των ϑετικών τιμών αυτού του πολυώνυμου είναι ακριβώς το σύνολο των πρώτων αριθμών. 1.2 Εικασίες Μερικές φορές παρά τις προσπάθειες μας δεν καταφέρνουμε να αποδείξουμε αλλά ούτε να διαψεύσουμε μια υπόθεση. Μια τέτοια υπόθεση αποκαλείται εικασία. Οι εικασίες είναι η κινητήρια δύναμη των μαθηματικών και της επιστήμης γενικότερα. Προσπαθώντας να αποδείξουμε εικασίες αναγκαζόμαστε να ανακαλύψουμε νέες ϑεωρίες και τεχνικές. Μερικές διάσημες εικασίες είναι οι ακόλουθες: Το τελευταίο ϑεώρημα του Fermat. Η εικασία, που τώρα αποτελεί ϑεώρημα,είναιότιηεξίσωσηx n +y n z n δενέχειλύσηγιαμημηδενικούςακέραιουςx,y,καιzκαιγιαακέραιοn>2. Προτάθηκεαπότον Pierre Fermat τον 17ο αιώνα και αποδείχτηκε από τον Andrew Wiles τη δεκαετία του Η εικασία του Goldbach. Το 1742 ο Christian Goldbach διατύπωσε την εξής υπόθεση: Κάθε άρτιος αριθμός μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφτείσανάθροισμα2πρώτωναριθμών. Π.χ ,6 3+3, Ηεικασίαδενέχειαποδειχτείούτεκαταρριφθείακόμα. Εχει όμως επιβεβαιωθεί με τη βοήθεια υπολογιστή για όλους τους άρτιους μέχρι Τοϑεώρηματων4χρωμάτων. Ηεικασία,πουκαιαυτήείναιτώρα πια ϑεώρημα, είναι ότι κάθε επίπεδος χάρτης μπορεί να χρωματιστεί με 4 χρώματα έτσι ώστε γειτονικές χώρες να έχουν διαφορετικά χρώματα. Η υπόθεση αυτή προτάθηκε πριν από 130 χρόνια περίπου και αποδείχτηκετελικάτο1976απότουςkennethappelκαιwolfganghaken. Η απόδειξη βασίζεται στον έλεγχο 1936 περιπτώσεων και η κάθε περίπτωση απαιτεί τον έλεγχο πολλών λογικών συνδυασμών. Μόνο με τη βοήθεια υπολογιστή μπορούν να ελεγχθούν όλες οι περιπτώσεις. Παραμένει ανοικτό πρόβλημα αν υπάρχει σύντομη απόδειξη, που δεν απαιτεί τεράστια υπολογιστική ικανότητα. 14

15 1.2. Εικασίες Η εικασία του 3x+1. Πάρεέναφυσικόαριθμόx. Ανείναιάρτιος διαίρεσετονμετο2, αλλιώςυπολόγισετο3x+1. Επανέλαβεμετο αποτέλεσμαμέχριναπροκύψειτο1. Γιαπαράδειγμα: Η εικασία λέει ότι αν αρχίσουμε από οποιοδήποτε φυσικό αριθμό x ϑα καταλήξουμε πάντα στο 1. Η εικασία προτάθηκε από διάφορους, γι αυτό και λέγεται επίσης το πρόβλημα του Collatz, το πρόβλημα του Ulam, ο αλγόριθμος του Hasse, κλπ. Η εικασία δεν έχει αποδειχτεί ούτε καταρριφθεί ακόμα. Εχει όμως επιβεβαιωθεί με τη βοήθεια υπολογιστή για αρκετά μεγάλους αριθμούς. Η εικασία του Riemann. Η συνάρτηση ζ του Riemann ορίζεται ως εξής: ζ(x) 1 1 x+ 1 2 x+ 1 3 x+... Γιαx>1τοάθροισμασυγκλίνει.Ησυνάρτησημπορείναεπεκταθείκαι στους μιγαδικούς αριθμούς. ΗεικασίατουRiemannλέειότιοιμόνεςρίζεςμεϑετικόπραγματικό τμήμα της αναλυτικής επέκτασης της συνάρτησης ζ, δηλαδή οι τιμές τουxπουικανοποιούν ζ(x) 0μεR(x)>0,είναιμιγαδικοίαριθμοί μεπραγματικότμήμαίσομε1/2. ΗεικασίαπροτάθηκεαπότονRiemann πριν από 150 χρόνια περίπου και δεν έχει ακόμα αποδειχτεί ούτε καταρριφθεί. Η εικασία του Riemann σχετίζεται άμεσα με την πυκνότητα των πρώτων αριθμών. Πόσοι πρώτοι αριθμοί είναι μικρότεροι από 1000; Από n; Αςορίσουμεαυτόντοναριθμόως π(n). Πόσομεγάλοείναιτο π(n); Εχειαποδειχτείότιτο π(n)είναιπερίπουn/lnn. Αυτόείναιτοπερίφημο Θεώρημα των πρώτων αριθμών. Αλλάπόσοκοντάστοn/lnnείναι το π(n);ηεικασίατουriemannείναιισοδύναμημετηνπρότασηότιτο π(n)καιτοn/lnnδιαφέρουνκατάτοπολύc nlnnγιακάποιασταθερά c. Η εικασία του Riemann είναι ένα εξαίρετο παράδειγμα για την ενότητα των μαθηματικών γιατί συνδέει διάφορες περιοχές όπως η Θεωρία Αριθμών και η Ανάλυση. Υπάρχουν για παράδειγμα εικασίες ισοδύναμες με την εικασία του Riemann ακόμα και στην ϑεωρία σημάτων (σταθερά de Bruijn Newman). Αποτελεί επίσης εξαίρετο παράδειγμα για το πως ϑέματα εντελώς θεωρητικά μπορεί με την ανάπτυξη της τεχνολογίας να γίνουν πρακτικά. Η εικασία αυτή για παράδειγμα έχει άμεση σχέση με την κρυπτογραφία δημόσιου κλειδιού. ΗεικασίαP NP. Ηπιοσημαντικήεικασίαστηνπληροφορικήκαιμια απότιςσημαντικότερεςεικασίεςγενικότεραείναιηεικασίαp NP.Η εικασία λέει ότι υπάρχουν προβλήματα που λύνονται από μη ντετερμινιστικές μηχανές Turing σε πολυωνυμικό χρόνο αλλά απαιτούν περισσότερο από πολυωνυμικό χρόνο σε ντετερμινιστικές μηχανές. Με πιο απλά 15

16 1. Υ Θ λόγια, η εικασία λέει ότι υπάρχουν προβλήματα για τα οποία είναι αρκετάπιοδύσκολοναβρούμετηλύσητουςαπότοναεπιβεβαιώσουμε την ορθότητά της. Ενα τέτοιο πρόβλημα είναι το πρόβλημα της ικανοποιησιμότητας α- πλών λογικών προτάσεων που είναι γνωστό σαν SATISFIABILITY. Σ αυτό το αλγοριθμικό πρόβλημα, δίνεται μια λογική πρόταση, για παράδειγμα, (x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ), και ϑέλουμε να βρούμε αν υπάρχουν τιμές των μεταβλητών που κάνουν την πρόταση αληθή. Προφανώς, αν κάποιος μας υποδείξει κατάλληλες τιμές μπορούμε εύκολα να επιβεβαιώσουμε αν οι τιμές αυτές έχουν την επιθυμητή ιδιότητα. Αλλά χωρίς κάποια τέτοια υπόδειξη, πόσο δύσκολο είναιναελέγξουμεανυπάρχουντέτοιεςτιμές;ηεικασίαp NPλέειότι χωρίς υπόδειξη, το πρόβλημα είναι δύσκολο, και πιο συγκεκριμένα, ότι δενμπορείναλυθείπάντασεχρόνοπολυωνυμικόωςπροςτομήκοςτης πρότασης. Ασκήσεις 1.1.Θεωρείστεταπρώταk 10πολλαπλάσιατου φκαιπαρατηρείστε τοδεκαδικότουςμέρος: 0.618,0.236,0.854,0.472,0.090, Σχεδιάστε τις τιμές στο ευθύγραμμο τμήμα[0, 1] και παρατηρείστε τα διαστήματα που δημιουργούνται. Ισοδύναμα, ταξινομήστε πρώτα τις τιμές αυτές(μαζί με τους αριθμούς 0 και 1) και έπειτα παρατηρείστε τις διαφορές μεταξύ διαδοχικών τιμών. Τι παρατηρείτε; Είναι όλα τα διαστήματα διαφορετικά μεταξύ τους; Επαναλάβετεγιαk 15. ιατυπώστεμιαπρότασηπουαφορά τον πληθάριθμο του συνόλου αυτών των διαστημάτων για οποιοδήποτε ακέραιο k. Γράψτε ένα πρόγραμμα που να ελέγχει την πρότασή σας για μικρά k,π.χ.k<1000. Προαιρετικό και κάπως δύσκολο πρόβλημα: οκιμάστε να αποδείξτε την πρόταση αυτή. Υπάρχειπαρόμοιοφαινόμενογιαταπολλαπλάσιατου 2; 1.2. Στο πρόβλημα του Collatz βρείτε ένα αριθμό n τέτοιο ώστε αν αρχίσουμε από το n ϑα φτάσουμε σε κάποιο αριθμό μεγαλύτερο του 10n Η κολλητή σας χτίζει καινούργιο σπίτι. Εχει παραγγείλει πλακάκια και τυχαίνει να είσαστε μαζί όταν παραλαμβάνει τα πλακάκια της κουζίνας. Οταν ανοίγετε όμως τα κουτιά, σας περιμένει μια έκπληξη. Το σχήμα τους δεν είναι ορθογώνιο αλλά το τετράπλευρο του Σχήματος 1.1(a).Ηφίλησαςείναιέτοιμηναεπικοινωνήσειμετηνεταιρείακαινα τα επιστρέψει, όταν την πείθετε να το σκεφτείτε λίγο. Πόσο cool ϑα 16

17 Ασκήσεις είναι η κουζίνα αν μπορούσατε να την στρώσετε με τέτοια πλακάκια! Μπορείτε; (a) Σχήμα 1.1: Cool πλακάκια (b) Την επόμενη ημέρα που ϑαυμάζετε τα στρωμένα πλακάκια της κουζίνας, καταφθάνουν τα πλακάκια του μπάνιου. Η φίλη σας απελπίζεται μόλις βλέπει το σχήμα τους(σχήμα 1.1(b)), αλλά εσείς την πείθετε πως είναι way cool αν καταφέρετε να στρώσετε το μπάνιο με τέτοια πλακάκια. Μπορείτε; Ηφίλησαςέχειαρχίσεινααναρωτιέταιτιείδουςπλακάκιαϑατης φέρουν για το σαλόνι. Οταν όμως επικοινωνείτε με την εταιρία πλακακιών το μόνο που μαθαίνετε είναι πως τα πλακάκια του σαλονιού είναι και αυτά τετράπλευρα. Είναι ανακούφιση που δεν είναι πεντάπλευρα ή επτάπλευρα, αλλά η φίλη σας αναρωτιέται αν ϑα είναι δυνατό να καλύψει το σαλόνι με αυτά. Θέλετε να την καθησυχάσετε πως κάθε τετράπλευρο μπορεί να το κάνει αυτό, αλλά είστε σίγουροι; Μπορείτε να της το αποδείξετε; 1.4. Ας δοκιμάσουμε να γράψουμε τους φυσικούς αριθμούς σαν άθροισμα τετραγώνων

18 1. Υ Θ Πόσα τετράγωνα το πολύ χρειάζονται για κάθε φυσικό αριθμό; ιατύπωσε μια κατάλληλη πρόταση. Η απόδειξή της είναι δύσκολη και πέρα από τα πλαίσια του μαθήματος Οι τριγωνικοί αριθμοί είναι οι 1,3,6,10,15,... Ο n-οστός τριγωνικός αριθμόςείναιίσοςμετοάθροισμα1+2+ +n n(n+1)/2.μπορείτε να καταλάβετε γιατί τους λένε τριγωνικούς; (Πόσες τελείες έχουν τα παρακάτω τρίγωνα;) Προβληματίζεστε αν είναι δυνατό να γράψετε κάθε φυσικό αριθμό σαν άθροισμα τριγωνικών αριθμών. Μετά από κάποιες δοκιμές φαίνεται να γίνεται. Αλλά αναρωτιέστε πόσοι τριγωνικοί αριθμοί χρειάζονται για κάθε φυσικό αριθμό. Για παράδειγμα: οκιμάστε να γράψετε τους φυσικούς αριθμούς μέχρι το 20 σαν ά- ϑροισμα όσο το δυνατό λιγότερων τριγωνικών αριθμών. Τι παρατηρείτε; Γενικεύστεκαιδιατυπώστεμιαπρότασηγιαόλουςτουςφυσικούς 1. Η απόδειξή της πρότασης είναι δύσκολη, πέρα από τα πλαίσια του μαθήματος. 1 ΗπρότασηαυτήσημειώθηκεστοημερολόγιοτουGauss,τουΑρχιμήδητωννεωτέρων χρόνων, με το επιφώνημα Εύρηκα. 18

19 2 Αποδείξεις Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ ϑα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έ- χει πεπερασμένο αριθμό περιπτώσεων, τις εξετάζουμε όλες. Μαθηματικήεπαγωγή. ΕστωμιαπρότασηP(n)πουισχύειγιαn 1. ΑνηP(n)συνεπάγεταιτηνP(n+1),τότεηπρότασηισχύειγιαόλους τους φυσικούς. Αναδρομική επαγωγή. Επαγωγή όχι στους φυσικούς αλλά σε μια δομή που ορίζεται αναδρομικά. Κατασκευαστική απόδειξη ύπαρξης. είχνουμε την ύπαρξη ενός στοιχείου δίνοντας ένα αλγόριθμο που το παράγει. Μη κατασκευαστική απόδειξη ύπαρξης. Τέτοιες αποδείξεις χρησιμοποιούν την αρχή του περιστερώνα και τις γενικεύσεις του κατάλληλη καταμέτρηση την πιθανοτική μέθοδο που βασίζεται στο ότι ένα στοιχείο υπάρχει όταν έχει μη μηδενική πιθανότητα ύπαρξης. την διαγωνιοποίηση του Cantor. 2.1 Εξαντλητικήμέθοδος Αυτή η μέθοδος εφαρμόζεται όταν έχουμε πεπερασμένο αριθμό περιπτώσεων που κάθε μια μπορεί να ελεγχθεί άμεσα. Η μέθοδος συνίσταται στον έλεγχο όλων των περιπτώσεων. Σήμερα που έχουμε στη διάθεση μας ισχυρούς υπολογιστές, αυτή η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε πολλά προβλήματα. Ας δούμε μερικά παραδείγματα αυτής της μεθόδου. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2.1 (Σκύλος-κατσίκα-χορτάρι). Ενας βοσκός έχει ένα σκύλο, μια κατσίκα και ένα δεμάτι χορτάρι και ϑέλει να χρησιμοποιήσει μιαβάρκαγιαναδιασχίσειέναποτάμι.τοπρόβλημαείναιότιηβάρκα 19

20 2. Α είναιμικρήκαιχωράειμόνοτοβοσκόκαιένααπότα3πράγματαή ζώαπουϑέλειναμεταφέρειαπέναντι. Επιπλέονοσκύλοςϑαφάειτην κατσίκακαιηκατσίκατοχορτάριανμείνουνχωρίςτοβοσκόστηνίδια όχθη. Υπάρχειτρόποςοβοσκόςναμεταφέρεισώακαιασφαλήκαιτα τρία απέναντι; Αυτό είναι ένα πρόβλημα που η ουσία του μπορεί να εκφραστεί με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων. Ας ορίσουμε σαν κατάσταση το σύνολο των 4 στοιχείων (B βοσκός, Σ σκύλος, K κατσίκα, X χορτάρι)πουβρίσκεταιστηναρχικήόχθη. Ηαρχικήκατάσταση είναι{b, Σ,K,X}καιϑέλουμεναφτάσουμεστηντελικήκατάσταση{}. Κάθεκατάστασηείναιέναυποσύνολοτου{B, Σ,K,X},άραυπάρχουντο πολύ 16 καταστάσεις(άσκηση 2.5). Επιπλέον μπορούμε να φτιάξουμε ένα γράφο με κόμβους τις καταστάσεις και ακμές που δηλώνουν μετάβασηαπόμιακατάστασησεάλλη.π.χ.ογράφοςέχειμιαακμήαπότην αρχικήκατάσταση{b, Σ,K,X}στηνκατάσταση{Σ,X},πουδηλώνειότι οβοσκόςπήρετηνκατσίκακαιτημετέφερεστηναπέναντιόχθη. Από το γράφο αυτό αφαιρούμε όλες τις καταστάσεις/κόμβους που δεν επιτρέπονται από τους περιορισμούς του προβλήματος. Π. χ. η κατάσταση {B, Σ} δεν επιτρέπεται γιατί στην απέναντι πλευρά βρίσκεται μόνη της ηκατσίκαμετοχορτάρι.τοπρόβλημαέχειλύσηανκαιμόνοανσεαυτό το γράφο υπάρχει διαδρομή που οδηγεί από την αρχική κατάσταση {B, Σ,K,X}στηντελική{}. Αν και η χρήση του γράφου καταστάσεων είναι μάλλον περιττή για το παραπάνω πρόβλημα πρόκειται για παλιό δημοφιλή γρίφο που έ- χει απλή λύση η μέθοδος αυτή έχει γενικότερη εφαρμογή και αξία. Ο προσεγγιστικός υπολογισμός του μεγέθους των καταστάσεων αποτελεί βασικό συστατικό της μεθόδου ο αριθμός αυτός μας δηλώνει πότε είναι χρήσιμη μια εξαντλητική προσέγγιση του προβλήματος. Για παράδειγμα, υπολογίσαμε παραπάνω ότι ο αριθμός των πιθανών καταστάσεων είναι το πολύ 16. Φανταστείτε μια γενίκευση του προβλήματος όπου ο βοσκός έχει 100 στοιχεία να μεταφέρει απέναντι και ότι κάποιοι συνδυασμοί αυτών δεν επιτρέπονται. Ο συνολικός αριθμός καταστάσεων ανεβαίνειστο2 101,έναςαριθμόςαπαγορευτικάμεγάλοςπουδενεπιτρέπει να δοκιμάσουμε όλες τις περιπτώσεις σήμερα, ακόμα και με τον πιο ισχυρό υπολογιστή. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2.2(Ματ σε 3 κινήσεις). Στην κατηγορία των προβλημάτων που λύνονται με την εξαντλητική μέθοδο ανήκουν τα προβλήματα σκακιούτηςμορφής ματσε3κινήσεις.μπορούμεκαισ αυτήτηνπερίπτωση να δοκιμάσουμε όλες τις περιπτώσεις που είναι πεπερασμένες σε αριθμό. Είναι όμως εφικτό; Αν υποθέσουμε ότι σε μια τυπική κατάσταση ο κάθε παίκτης μπορεί να κάνει περίπου 40 κινήσεις, οι δυνατές περιπτώσειςγια ματσε3κινήσεις είναιπερίπου40 5,έναςαριθμός που είναι μέσα στις δυνατότητες των σημερινών υπολογιστών. Αν όμως το πρόβλημα είναι ματ σε 7 κινήσεις, ο αριθμός των καταστάσεων είναιπερίπου40 15,πέρααπότιςσημερινέςυπολογιστικέςδυνατότητες. 20

21 2.1. Εξαντλητική μέθοδος Σ αυτή την περίπτωση χρειάζεται να επιστρατεύσουμε άλλες τεχνικές πουεκμεταλλεύονταιτηγνώσημαςγιατοσκάκικαιβοηθούνώστενα ελεγχθούν λιγότεροι συνδυασμοί. Τα σημερινά προγράμματα σκακιού μπορούν χρησιμοποιώντας τέτοιες τεχνικές να λύσουν συνήθως τέτοια προβλήματα. Αλλά ϑεωρείστε το εξής πρόβλημα σκακιού: μας δίνεται η αρχική σκακιέρα και μας ζητείτε ματ σε 137 κινήσεις. Αυτό είναι πιθανό να έχειλύσηκαικάποιαημέρανατηβρούμε,αλλάείναιπολύπιοπέρα από τις σημερινές υπολογιστικές δυνατότητες. Αν και το πρόβλημα είναι πεπερασμένο, δεν είναι εφικτό η εξαντλητική μέθοδος δεν δίνει τη λύση. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2.3. Σε κάθε ομάδα 6 ατόμων μπορούμε πάντα να βρούμεείτεμιαομάδα3ατόμωνπουγνωρίζονταιανάδυοείτεμια ομάδα 3 αγνώστων μεταξύ τους ατόμων. Ισοδύναμα, μπορούμε να εκφράσουμε το πρόβλημα με την ορολογία των γράφων, αν κάθε άτομο είναι ένας κόμβος και οι ακμές υποδηλώνουν γνωριμία. Ενα υποσύνολο κόμβων λέγεται πλήρης υπογράφος ή κλίκα όταν κάθε ζεύγος κόμβων του υποσυνόλου ενώνεται με ακμή. Ενα υποσύνολο κόμβων λέγεται κενός υπογράφος ή ανεξάρτητο σύνολο όταν κανένα ζεύγος κόμβων του υποσυνόλου δεν ενώνεται με ακμή. Πρόταση4. Κάθε γράφος με 6 κόμβους περιέχει ένα πλήρη υπογράφο με 3 κόμβους ή έναν κενό υπογράφο με 3 κόμβους. Για παράδειγμα, στο γράφο του Σχήματος 2.1, ο υπογράφος με κόμβους{1,4,6}είναικενός. Ανστογράφοπροσθέσουμετηνακμή[4,6] που καταστρέφει την ιδιότητα στον υπογράφο{1, 4, 6}, τότε ο υπογράφος{1, 4, 5} γίνεται πλήρης υπογράφος Σχήμα2.1: Εναςγράφοςμε6κόμβους 21

22 2. Α Για να αποδείξουμε την Πρόταση 4 μπορούμε να ελέγξουμε έναπρος-ένα όλους τους γράφους 6 κόμβων. Πόσοι γράφοι των 6 κόμβων υπάρχουν; Οι πιθανές ακμές ενός τέτοιου γράφου είναι 15(Άσκηση 2.6). Κάθεμιααπόαυτέςτιςακμέςμπορείναυπάρχειήόχιστογράφο,άρα υπάρχουν2 15 γράφοιτων6κόμβων. Ολοιαυτοίοιγράφοιμπορούν να ελεγχθούν με τη βοήθεια υπολογιστή. Θα δούμε αργότερα, ότι αυτό μπορεί να δειχτεί και με άλλη, εκτός της εξαντλητικής, μέθοδο και πιο συγκεκριμένα με επαγωγή. Ο αριθμός των κόμβων στην παραπάνω πρόταση δεν μπορεί να μειω- ϑείαπότο6στο5.προσέξτεότιηπρότασηαναφέρεταισεκάθεγράφο. Άραανυπάρχειέστωκαιέναςγράφοςπουδενέχειτηνιδιότητα,δηλαδή ένα αντιπαράδειγμα στην πρόταση, τότε η πρόταση δεν ισχύει. Για 5 κόμβους υπάρχει το εξής αντιπαράδειγμα: Ο κύκλος με 5 κόμβους (Σχήμα2.2)δενέχειούτεπλήρηυπογράφομε3κόμβους, ούτεκενό υπογράφο με 3 κόμβους. Σχήμα2.2:ΟγράφοςC 5 Υπάρχουν αντίστοιχες προτάσεις για μεγαλύτερους γράφους: Πρόταση5. Κάθε γράφος με 18 κόμβους είτε περιέχει ένα πλήρη υπογράφο με 4 κόμβους είτε ένα κενό υπογράφο με 4 κόμβους. Πρόταση6. Κάθε γράφος με 49 κόμβους είτε περιέχει ένα πλήρη υπογράφο με 5 κόμβους είτε ένα κενό υπογράφο με 5 κόμβους. Πόσους γράφους χρειάζεται να ελέγξουμε για να επιβεβαιώσουμε αυτές τις προτάσεις. Με την ίδια συλλογιστική που χρησιμοποιήσαμε στηνπρόταση4,οαριθμόςτωνακμώνενόςγράφουμεnκόμβουςείναι ( n 2) n(n 1)/2. Υπάρχουνεπομένως2 n(n 1)/2 γράφοιμεnκόμβους 22

23 2.2. Μαθηματική επαγωγή Για να δείξουμε την Πρόταση 5 με την εξαντλητική μέθοδο, χρειάζεται ναελέγξουμε / γράφους. ΑντίστοιχαγιατηνΠρόταση6 χρειάζεταιναελέγξουμε / Ανκαιοιπροτάσειςαυτές έχουν πεπερασμένο αριθμό περιπτώσεων, δεν μπορούν αν ελεγχθούν εξαντλητικά σήμερα, γιατί ο αριθμός των περιπτώσεων είναι πολύ μεγάλος. Οι προτάσεις έχουν αποδειχθεί, όχι όμως με την εξαντλητική μέθοδο. Η αποδείξεις τέτοιων προτάσεων είναι αρκετά πολύπλοκες. Αυτόυποδηλώνεικαιτογεγονόςότιδενγνωρίζουμεανοαριθμός49 στην τελευταία πρόταση είναι ο μικρότερος δυνατός 2.2 Μαθηματικήεπαγωγή Η πιο κοινή αποδεικτική μέθοδος είναι η μαθηματική επαγωγή που βασίζεται στην παρακάτω πρόταση. Πρόταση 7(Μαθηματική επαγωγή). Εστω P(n) μια λογική πρόταση που αφορά ένα αριθμόnτέτοια ώστε η πρόταση ισχύει γιαn 1 και για κάθε φυσικόn, η πρότασηp(n) συνεπάγεται την πρότασηp(n+1). Τότε η πρότασηp(n) ισχύει για κάθε φυσικό αριθμόn. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2.4. Ας χρησιμοποιήσουμε μαθηματική επαγωγή για να φράξουμετουςαρμονικούςαριθμούςh k πουορίζονταιως H k k. Οι αρμονικοί αριθμοί εμφανίζονται πολλές φορές στην ανάλυση αλγορίθμων και ϑα ήταν πολύ χρήσιμο να τους εκφράσουμε σε κλειστή μορφή (όχι σαν άθροισμα). υστυχώς αυτό είναι ανέφικτο, αλλά για τις εφαρμογές αρκεί συνήθως μια καλή προσέγγιση. Η παρακάτω πρόταση δίνει μια καλή άνω προσέγγιση: Λήμμα8. Για κάθε φυσικόn:h 2 n 1+n. Απόδειξη. Βάση της επαγωγής: Για n 1έχουμεH 2 1 H 2 3/2 και 1+n 2καιεπομένωςτολήμμαισχύει:3/

24 2. Α Επαγωγική υπόθεση: Υποθέτουμε ότι το λήμμα ισχύει για κάποιο φυσικόαριθμόn:h 2 n 1+n. Επαγωγικό βήμα:θαδείξουμεότιισχύειγιαn+1,δηλαδήότιh 2 n+1 1+(n+1). Εχουμε H 2 n n+1 ( n)+( 2 n H 2 n+( 2 n n+1). 2 n+1) Λαμβάνοντας υπόψη την επαγωγική υπόθεση, για να δείξουμε το λήμμα αρκείναδείξουμεότιτοάθροισμαμέσαστηνπαρένθεσηείναιτοπολύ1. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι το άθροισμα μέσα στην παρένθεση έχει 2 n όρους και ο κάθε όρος είναι μικρότερος από 1/2 n. Εχουμε δηλαδή 1 H 2 n+1 H 2 n+( 2 n n+1) (1+n)+( 1 2 n n) (1+n)+2 n1 2 n (1+n)+1 1+(n+1). Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να φράξουμε τους αρμονικούς αριθμούςαπόκάτω: 1+ n 2 H 2 n (Άσκηση2.8). Ανϑέσουμεk 2n, τότε μπορούμεναξαναγράψουμετιςπροτάσειςως:1+ 1 / 2 logk H k 1+logk που δείχνουν ότι οι αρμονικός αριθμός είναι της ιδίας τάξης μεγέθους μετονlogk. Θεώρημα9. Για κάθε φυσικόk:1+ 1 / 2 logk H k 1+logk. Μερικές φορές χρειάζεται η βάση της επαγωγής να είναι κάποιο n 1.Αυτόμπορείνασυμβείγιαδυοτουλάχιστονλόγους: 24 Θέλουμε να δείξουμε ότι μια πρόταση P(n) που αφορά ακέραιους αριθμούςισχύειγιακάθεn k,όπουk 1είναιμιασταθερά(για παράδειγμα Άσκηση 2.9). ΘέλουμεμενναδείξουμεότιμιαπρότασηP(n)ισχύειγιακάθε φυσικό n, αλλά είναι ευκολότερο να δείξουμε το επαγωγικό βήμα

25 2.2. Μαθηματική επαγωγή ότανn k,όπουk>1είναιμιασταθερά. Σ αυτήτηνπερίπτωση αποδεικνύουμε ξεχωριστά τις περιπτώσεις για n < k(για παράδειγμα Άσκηση 2.10). Σε πολλές περιπτώσεις χρειαζόμαστε πιο ισχυρή επαγωγική υπόθεση: υποθέτουμεότιηπρότασηισχύειγια1,2,...,nκαιδείχνουμεότι ισχύειγιαn+1. Οι παραπάνω παραλλαγές της μαθηματικής επαγωγής είναι περιπτώσεις της ισχυρής μαθηματικής επαγωγής(που αποδεικνύεται στην Άσκηση 2.11). Θεώρημα 10(Ισχυρή μαθηματική επαγωγή). Εστω ότι μια πρόταση P(n) είναι αληθής για κάποιο ακέραιοn n 0 και οι προτάσειςp(n 0 ),P(n 0 +1),...,P(n) συνεπάγονται την πρότασηp(n+ 1), για κάθε ακέραιο αριθμόn n 0. Τότε η πρότασηp(n) ισχύει για κάθε ακέραιο αριθμόn n 0. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2.5. Οι αριθμοί Fibonacci ορίζονται ως εξής: F 0 1, F 1 1, καιγιακάθεn 2: F n F n 1 +F n 2. Λήμμα11. Να δειχτεί ότι για κάθε ακέραιοn 0, F n φ n, όπου φ είναι η χρυσή τομή. Απόδειξη. Θα χρησιμοποιήσουμε ισχυρή επαγωγή με βάση της επαγωγής το0. Βάση της επαγωγής: Γιαn 0καιn 1τολήμμαισχύειγιατί F 0 1 φ 0 καιf 1 1 φ 1. Επαγωγική υπόθεση: Υποθέτουμε ότι το λήμμα ισχύει για κάθε φυσικό αριθμόk nκαιειδικότεραγιαn 1καιγιαn. 25

26 2. Α Επαγωγικό βήμα:θαδείξουμεότιισχύειγιαn+1:f n+1 φ n+1. Από τον ορισμό των αριθμών Fibonacci, έχουμε F n+1 F n +F n 1 φ n 1 + φ n φ n 1 (1+φ) φ n 1 φ 2 φ n+1. Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να φράξουμε το ρυθμό αύξησης των αριθμών Fibonacci από κάτω. Για παράδειγμα μπορούμε να δείξουμε 1/ 2 φ n F n (Άσκηση2.12). ΠροκύπτειλοιπόνότιοαριθμόςFibonacciF n είναιτηςίδιαςτάξηςμεγέθουςμετο φ n. Θεώρημα12. Για κάθε θετικό ακέραιοn: 1 / 2 φ n F n φ n. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2.6. Να δειχτεί ότι για κάθε ακέραιους n,m 0, οι αριθμοί Fibonacci ικανοποιούν την F n+m F n F m +F n 1 F m 1. Απόδειξη. Και πάλι ϑα χρησιμοποιήσουμε ισχυρή επαγωγή. Παρατηρήστε αρχικά ότι έχουμε δύο μεταβλητές. Θα χρησιμοποιήσουμε επαγωγή μόνοστοnκαιτοmϑατοϑεωρούμεσταθερό.θαδείξουμεότιγιακάθε n Nισχύει: F n+m F n F m +F n 1 F m 1. Επαγωγική βάση:γιαn 1ηπρότασηF 1+m F 1 F m +F 0 F m 1 F m +F m 1 ισχύει για κάθε m από τον ορισμό των αριθμών Fibonacci. Επαγωγικό βήμα: Θεωρούμε ότι η πρόταση που ϑέλουμε να αποδείξουμεισχύειγιακάθεk n. Θαδείξουμεότιηπρότασηείναιαληθής γιαn+1δηλαδήότιf (n+1)+m F n+1 F m +F n F m 1.Πράγματιλοιπόν: F (n+1)+m F n+m +F (n 1)+m (F n F m +F n 1 F m 1 )+(F n 1 F m +F n 2 F m 1 ) (F n F m +F n 1 F m )+(F n 1 F m 1 +F n 2 F m 1 ) (F n +F n 1 )F m +(F n 1 +F n 2 )F m 1 F n+1 F m +F n F m 1. Η παραπάνω πρόταση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό τουf n χωρίςναχρειάζεταιναυπολογίσουμεόλουςτουςενδιάμεσους 26

27 2.2. Μαθηματική επαγωγή Αλγόριθμος 2.1: Αλγόριθμος του Ευκλείδη 1: function EUCLID(a, b) Υποθέτουμε ότι a > b 2: ifb 0then 3: returna gcd(a,0) a 4: else 5: δ EUCLID(b,amodb) gcd(a,b) gcd(b,amodb) 6: return δ 7: end if 8: end function αριθμούςfibonacci. Πιοσυγκεκριμένα,γιαναυπολογίσουμετονF 2k+1 καιf 2k χρειάζεταιναξέρουμεμόνοτουςf k καιf k 1 : F 2k+1 F k+1 F k +F k F k 1 (F k +F k 1 )F k +F k F k 1 F 2 k +2F kf k 1 F 2k F k F k +F k 1 F k 1 F 2 k +F2 k 1 Γιαπαράδειγμα,μπορούμεναυπολογίσουμετονF 31 ωςεξής: F 31 F F 15F 14 F 15 F F 7F 6 F 14 F 2 7 +F2 6 F 7 F F 3F 2 F 6 F 2 3 +F2 2 F 3... F 2... ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2.7. Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης gcd(a, b) δυο μη αρνητικών ακεραίων ορίζεται σαν ο μέγιστος ακέραιος που διαιρεί τους a και b. Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης μπορεί να βρεθεί με τον αλγόριθμο του Ευκλείδη(Αλγόριθμος 2.1), έναν από τους αρχαιότερους αλγόριθμους. Χωρίςβλάβητηςγενικότηταςμπορούμεναυποθέσουμεότιa b. Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη βασίζεται στο a ανb 0 gcd(a,b) gcd(b,amodb) ανb>0. Πόσα βήματα κάνει ο αλγόριθμος για να υπολογίσει τον μέγιστο κοινό διαιρέτη δυο αριθμών; Εξαρτάται από τους αριθμούς φυσικά, αλλά ϑέλουμε να έχουμε μια εκτίμηση για τη χειρότερη περίπτωση. Το Θε- ώρηματουlaméλέειότιοαριθμόςτωνδιαιρέσεων, ήισοδύναμαοι 27

28 2. Α φορέςπουυπολογίζουμετοamodb,είναιτοπολύ5φορέςοαριθμός των δεκαδικών ψηφίων του b. Εδώ ϑα δείξουμε ένα παραπλήσιο αποτέλεσμα. Θεώρημα 13. Για κάθε θετικούς ακέραιους a, b με a 2 και a b, ο αριθμός των διαιρέσεων του αλγόριθμου του Ευκλείδη δεν ξεπερνά το2loga. Απόδειξη. Με επαγωγή στο a. Βάση της επαγωγής:γιαa 2καιb 1,2,είναιεύκολοναελέγξουμε εξαντλητικά ότι ο αλγόριθμος κάνει ακριβώς μια διαίρεση και η πρόταση ισχύει. Επαγωγικό βήμα: Οταν καλούμε τον αλγόριθμο με a, b, στο επόμενο βήμαγίνονταιb,amodb. Ηεπαγωγήϑαεφαρμοζότανεύκολαανηνέα τιμή της πρώτης παραμέτρου, δηλαδή το b, ήταν ας πούμε το πολύ το μισό του a. υστυχώς, όμως αυτό δεν συμβαίνει όταν το b είναι περίπουίσομετοa.ευτυχώςόμωςσ αυτήτηνπερίπτωσηστηδεύτερη επανάληψηηπρώτηπαράμετροςγίνεταιίσημεamodb. Η βασική ιδέα λοιπόν της απόδειξης είναι ότι σε δυο επαναλήψεις ητιμήτουaμειώνεταικάτωαπότομισότηςαρχικήςτιμής. Πιοσυγκεκριμένα,γιακάθεa b,amodb<a/2. Γιανατοδείξουμεαυτό, διακρίνουμεδυοπεριπτώσεις. Ανb a/2,τότεamodb<b a/2. Αν πάλιb>a/2,τότεamodb a b<a/2. Ο αριθμός των διαιρέσεων του αλγόριθμου του Ευκλείδη με πρώτη παράμετρο το a είναι 2 συν τον αριθμό των διαιρέσεων όταν η πρώτη παράμετρος είναι amodb, το όποιο είναι το πολύ a/2. Από την επαγωγική υπόθεση, ο συνολικός αριθμός διαιρέσεων είναι το πολύ 2+2log(a/2) 2+2(loga 1) 2loga. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2.8(Ισχυροποίηση της επαγωγικής υπόθεσης). Μια χρήσιμη τεχνική για να αποδείξουμε μια πρόταση με μαθηματική επαγωγή είναι να ισχυροποιήσουμε την επαγωγική υπόθεση. Για παράδειγμα, ϑεωρείστε την παρακάτω πρόταση. Πρόταση14. Για κάθε φυσικό αριθμόn: n 2 2. Απόδειξη. Ας προσπαθήσουμε να χρησιμοποιήσουμε επαγωγή για να δείξουμε την πρόταση. Υποθέτουμε ότι η πρόταση ισχύει για n. Προ- 1 σθέτουμεκαισταδυομέλητο (n+1) 2. Αλλά,τώρατοδεξίμέλοςείναι 2 πουδενείναιμικρότεροτου2. Ηπροσέγγισηαυτήλοιπόν 2+ 1 (n+1) 28

29 2.2. Μαθηματική επαγωγή αποτυγχάνει. Τι μπορούμε να κάνουμε; Θα δείξουμε μια ισχυρότερη πρόταση.πιοσυγκεκριμέναϑαδείξουμεότι n n. Πράγματι έχουμε Βάση της επαγωγής:γιαn 1,1 2 1/1καιηπρότασηισχύει. Επαγωγικό βήμα: Εστω ότι η πρόταση ισχύει για κάποιο φυσικό n, δηλαδή n n. Προσθέτουμεκαισταδύομέλητο 1 (n+1) 2. Ετσιέχουμε (n+1) n + 1 (n+1) n+1 πουδείχνειότιηπρότασηισχύεικαιγιαn+1. Ας δούμε άλλο ένα παράδειγμα όπου η ισχυροποίηση της επαγωγικής υπόθεσης βοηθάει. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2.9(Ramsey theory). Εχουμε ήδη αναφερθεί στο τμήμα των εξαντλητικών αποδείξεων στο ϑεώρημα ότι κάθε γράφος 6 κόμβων περιέχειείτεέναπλήρηυπογράφο3κόμβωνείτεένακενόυπογράφο3 κόμβων Το ϑεώρημα αυτό δείχνει ότι ακόμα και σε τυχαίους γράφους υπάρχουν ψήγματα κάποια τάξης ή κανονικότητας. Τα ϑεωρήματα αυτού του είδους ονομάζονται ϑεωρήματα Ramsey. Το πιο βασικό ϑεώρημα Ramsey, είναι η γενίκευση της παραπάνω πρότασης που λέει ότι κάθε γράφοςμεr k κόμβουςπεριέχειείτεέναπλήρηυπογράφομεkκόμβους είτεένακενόυπογράφομεkκόμβους,όπουr k είναικάποιοςακέραιος πουεξαρτάταιαπότοk. Π.χ. R 2 2,R 3 6καιR ενγνωρίζουμεποιαείναιακριβώςταr k γιαk 5,αλλάαυτόδενμαςεμποδίζει να αποδείξουμε το ϑεώρημα: Θεώρημα15(Ramsey). Για κάθε φυσικόk, υπάρχει φυσικόςr k τέτοιος ώστε κάθε γράφος μεr k ή περισσότερους κόμβους περιέχει είτε ένα πλήρη υπογράφο μεkκόμβους είτε ένα κενό υπογράφο μεkκόμβους. Αν προσπαθήσουμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της επαγωγής για τη πρόταση αυτή ϑα διαπιστώσουμε ότι δεν γίνεται. Ο λόγος είναι ότιηπρότασηp(k)δενσυνεπάγεταιτηνπρότασηp(k+1). Τοκόλπο είναι να κάνουμε κάτι που αρχικά φαίνεται οξύμωρο: ϑα αποδείξουμε μια ισχυρότερη πρόταση. Αν το σκεφτούμε όμως λίγο παύει να είναι οξύμωρογιατίμιαισχυρότερηεπαγωγικήυπόθεσηp (k)μπορείνασυνεπάγεταιτηνp (k+1). ϑαδείξουμελοιπόντηνπαρακάτωγενικότερη πρόταση. 29

30 2. Α Θεώρημα 16(Ramsey). Για κάθε θετικούς ακέραιους k, m υπάρχει φυσικός R k,m τέτοιος ώστε κάθε γράφος μεr k,m ή περισσότερους κόμβους περιέχει είτε ένα πλήρη υπογράφο μεkκόμβους είτε ένα κενό υπογράφο μεmκόμβους. Απόδειξη. Ας δούμε πρώτα πώς μπορούμε να αποδείξουμε την πρόταση γιαk m 3,πουείναιίδιαμετηνΠρόταση4,καιμετάϑαγενικεύσουμετηβασικήιδέαγιαοποιαδήποτεkκαιm. ΟπωςήδηέχουμεαναφέρειR 3,3 6.Αςπάρουμελοιπόνέναοποιοδήποτεγράφομε6κόμβουςκαιαςϑεωρήσουμεένακόμβοv.Ανοvέχει τουλάχιστον 3 ακμές, δηλαδή έχει τουλάχιστον 3 γειτονικούς κόμβους, τότε διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Ανδυοαπότουςγείτονεςτουvενώνονταιμεακμή,τότεμαζίμε τονvκάνουνέναπλήρηυπογράφο3κόμβων. Αλλιώς οι γείτονες του v σχηματίζουν ένα κενό υπογράφο μεγέθους (τουλάχιστον) 3. Με πολύ παρόμοιο τρόπο εργαζόμαστε και όταν ο v έχει λιγότερους από 3 γειτονικούς κόμβους. Σ αυτή την περίπτωση, ϑεωρούμε τους μη γειτονικούς κόμβους του v. Αν υπάρχουν δυο που δεν ενώνονται, τότε μετονvσχηματίζουνένακενόυπογράφο3κόμβων,αλλιώςοιμηγειτονικοί κόμβοι του v σχηματίζουν ένα πλήρη υπογράφο με(τουλάχιστον) 3κόμβους. Η παραπάνω συλλογιστική επεκτείνεται και στη γενική περίπτωση, τηνοποίαϑααποδείξουμεμεεπαγωγήστοk+m. Βάση της επαγωγής:γιαk+m 2,οιμόνοιϑετικοίακέραιοιπουέχουν αυτήτηνιδιότηταείναιk m 1. Ογράφοςμεέναμόνοκόμβοείναι πλήρης(καικενός)γράφος.άραηπρότασηισχύειγιαr 1,1 1. Επαγωγικό βήμα: Η επαγωγική υπόθεση είναι(α) ότι κάθε γράφος με τουλάχιστονr k 1,m κόμβουςπεριέχειείτεέναπλήρηυπογράφομεk 1 κόμβουςείτεένακενόυπογράφομεmκόμβους,και(β)ότικάθεγράφος μετουλάχιστονr k,m 1 κόμβουςπεριέχειείτεέναπλήρηυπογράφομεk κόμβουςείτεένακενόυπογράφομεm 1κόμβους. Γιαναδείξουμετηνπρότασηγιακάποιαkκαιm,αςπάρουμετώρα ένα γράφο με μεγάλο πλήθος κόμβων(που ϑα τον καθορίσουμε αργότερα). Ας ϑεωρήσουμε ένα κόμβο v αυτού του γράφου. Οι υπόλοιποι κόμβοιτουγράφουχωρίζονταισεδυοσύνολα: τοσύνολοaτωνγειτόνωντουvκαιτοσύνολοbτωνμηγειτόνων(σχήμα2.3). Επειδήοv είναιγείτοναςμεόλουςτουςκόμβουςτουa,σεκάθεπλήρηγράφοa μπορούμεναπροσθέσουμετονvκαιναέχουμεέναπλήρηγράφομεένα περισσότερο κόμβο. Παρόμοια, σε κάθε κενό υπογράφο του B μπορούμε να προσθέσουμε τον κόμβο v. 30

31 Ασκήσεις v A B R k 1,m R k,m 1 Σχήμα 2.3: Επαγωγική απόδειξη του Θεωρήματος Ramsey ΑντοσύνολοAτωνγειτόνωνέχειτουλάχιστονR k 1,m κόμβους,τότε, απότηνεπαγωγικήυπόθεση,περιέχειείτεέναπλήρηυπογράφομεk 1 κόμβους είτε ένα κενό υπογράφο με m κόμβους. Αν προσθέσουμε τον v,τότετομέγεθοςτουπλήρηυπογράφουαυξάνεταικατάένα.άρααν τοσύνολοaτωνγειτόνωνέχειτουλάχιστονr k 1,m κόμβους,ηπρόταση ισχύει. Παρόμοια,αντοσύνολοBτωνμηγειτόνωνέχειτουλάχιστονR k,m 1 κόμβους,ηπρότασηισχύει. Ανλοιπόνογράφοςέχειτουλάχιστον1+ R k 1,m +R k,m 1,τότεείτετοτοσύνολοAτωνγειτόνωνέχειτουλάχιστον R k 1,m κόμβους,είτετοσύνολοbτωνμηγειτόνωνέχειτουλάχιστονr k,m 1 κόμβους. Άρα η πρόταση ισχύει πάντα. ΜπορούμεναεκτιμήσουμεέναπάνωφράγμαστοναριθμόR k,m από τηναναδρομικήσχέσηr k,m 1+R k 1,m +R k,m 1,όπωςπροκύπτειαπότην παραπάνω απόδειξη. Από αυτή τη σχέση και με επαγωγή μπορούμε να δείξουμεότιr k,m 2 k+m 1 1(Άσκηση2.18). Γιαπαράδειγμα,γιατο R 5,5 έχουμεr 5, γιααυτήτηνπερίπτωση,γνωρίζουμεαπό άλλεςμεθόδουςτοκαλύτεροφράγμαr 5,5 49,όπωςείδαμεπαραπάνω στην Πρόταση 6. Ασκήσεις 2.1. Εχουμετρίαδοχείαμεχωρητικότητα10, 7και3λίτρα. Τοδοχείοτων10λίτρωνείναιγεμάτονερόκαιταάλλαδοχείαείναιάδεια. Θέλουμε να μοιράσουμε το νερό σε δυο(ακριβώς) ισόποσα μέρη. Πως μπορούμε να το πετύχουμε; Περιγράψτε τις καταστάσεις του συστήματος και χρησιμοποιείστε την εξαντλητική μέθοδο για να λύσετε το πρόβλημα. Πόσες καταστάσεις έχει το σύστημα; ώστε ένα χαλαρό πάνω φράγμα Εχουμε 5 μπάλες και μια παλάντζα(μια ζυγαριά χωρίς διαβαθμίσεις που συγκρίνει δυο ποσότητες, αλλά δεν δείχνει ποιο είναι το 31

32 2. Α βάρος τους). Ξέρουμε ότι μια από τις μπάλες έχει διαφορετικό βάρος από τις υπόλοιπες και ϑέλουμε να βρούμε ποια είναι. Πόσες ζυγίσεις χρειάζονται για να το πετύχουμε; 2.3. ώστε ένα παράδειγμα γράφου με 11 κόμβους που δεν περιέχει ούτε πλήρη ούτε κενό υπογράφο με 4 κόμβους ώστε ένα παράδειγμα γράφου με 12 κόμβους που δεν περιέχει ούτε πλήρη ούτε κενό υπογράφο με 4 κόμβους είξτε με επαγωγή ότι ο αριθμός των υποσυνόλων ενός συνόλου, συμπεριλαμβανομένου του κενού συνόλου και του εαυτού του, με n στοιχείαείναι2 n είξτε με επαγωγή ότι ο αριθμός των ακμών ενός μη κατευθυνόμενουπλήρουςγράφουμεnκόμβουςείναιn(n 1)/ είξτεμεεπαγωγήότιανpείναιπρώτοςαριθμόςτότεγιακάθε φυσικόαριθμόx:x p x(modp) είξτεότιγιακάθεφυσικόn:1+ n 2 H 2 n είξτεότιγιακάθεφυσικόn 4:2 n n είξτεότιγιακάθεφυσικόn: n i 1 5 2i 1 n Αποδείξτε το Θεώρημα 10 χρησιμοποιώντας μόνο την Πρόταση 7. Βοήθεια: Για να αλλάξουμε τη βάση της επαγωγής από 1 σε n 0, ϑεωρούμετηνπρότασηq(n) P(n 1+n 0 ) Ναδειχτείότιγιακάθεφυσικόαριθμόn, F n φ n /2, όπου φ είναιηχρυσήτομή είξτε χρησιμοποιώντας Μαθηματική Επαγωγή ότι για κάθε μη αρνητικό ακέραιο n ισχύει: (4n+1) (4n+3) 4 Που φαίνεται να συγκλίνει αυτό το άθροισμα; Θέλουμε να δείξουμε πως το παρακάτω γινόμενο συγκλίνει σε κάποιο ϑετικό αριθμό και όχι στο 0. Για παράδειγμα σε κάποιο αριθμό μεγαλύτερο του ( Q 1 1 )(1 1 )(1 1 ) Ενας τρόπος είναι να δείξουμε χρησιμοποιώντας Μαθηματική Επαγωγή ότιγιακάθεακέραιοn 1ισχύει: ( 1 1 )(1 1 ) (1 1 ) 2 n 1 ( 1+ 1 ) 4 2 n 1, 32

33 Ασκήσεις απότοοποίοπροκύπτειπωςq 1/4.Αποδείξτετο. Μπορείτε να βρείτε και να αποδείξετε ένα καλύτερο(μεγαλύτερο) φράγμα; Υπόδειξη: Με ελάχιστες αλλαγές στην απόδειξή σας μπορείτε ναδείξετετηνγενικότερηπρόταση:γιακάθεkκαιn>k: ( 1 1 )( 2 k ) 2 k+2 (1 1 ) 2 n (1 1 )( 2 k 1+ 1 ) 2 n 1. Χρησιμοποιώντας αυτή την πρόταση, το αρχικό γινόμενο φράσσεται από Q [( 1 1 )(1 1 ) (1 1 )](1 1 ) 2 k 2 k γιακάθεk.ειδικάγιαk 2,τογινόμενοείναιτουλάχιστον9/ Αποδείξτεπροσεκτικάπωςσεκάθεαύξουσαακολουθίαa 1,a 2,...,a n μεa i {1,2,...,n},υπάρχεικάποιοkτέτοιοώστεa k k. Γιαπαράδειγμα,στηνακολουθία2,3,3,5,6,6,6,έχουμεa 3 3(επίσηςa 6 6) Οικινήσειςτου ΙππουστοσκάκιέχουνσχήμαΓ(απότηϑέση (x,y) μπορεί να πάει στις ϑέσεις (x±2,y±1) και (x±1,y±2)). Ας ϑεωρήσουμε μια άπειρη σκακιέρα(που επεκτείνεται μέχρι το άπειρο προςταδεξιάκαιπάνω)καιαςυποθέσουμεότιαρχικάο Ιπποςείναι στοκάτωαριστερόάκροτης(1,1). είξτε με επαγωγή ότι για κάθε ϑέση (x,y), με x,y N, υπάρχει διαδρομήπουξεκινάαπότηναρχικήϑέσηκαικαταλήγειστηϑέση(x,y). Γιαποιαnμπορείναγίνειτοίδιοότανησκακιέραείναιπεπερασμένηκαιέχειδιαστάσειςn n; Γιαπαράδειγμα,ανn 2δενμπορεί ναγίνειγιατίο Ιπποςδενμπορείκαννακινηθείαπότηναρχικήϑέση καιεπομένωςδενμπορείναεπισκεφτείτηϑέση(1,2) είξτε ότι 1.R k,m R m,k 2.R 1,m 1 3.R 2,m m είξτεότιανr 1,m R k,1 1καιR k,m 1+R k 1,m +R k,m 1,γιακάθε ϑετικόακέραιοkκαιm,τότεr k,m 2 k+m Τριγωνοποίηση πολυγώνου καλείται κάθε υποδιαίρεση του εσωτερικού του σε τρίγωνα που ορίζοντα από ευθύγραμμα τμήματα μεταξύ των κορυφών του, τα οποία δεν τέμνονται μεταξύ τους. Αποδείξτε πως γιαπολύγωνομεn 3κορυφές,κάθετριγωνοποίησήτουπεριέχειn 2 τρίγωνα. 33

34

35 3 Αναδρομή και Επαγωγή Η ιδέα της μαθηματικής επαγωγής μπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δομές εκτός από το σύνολο των φυσικών N. Μπορούμε να μιμηθούμε τον επαγωγικό ορισμό του συνόλου των φυσικών για να ορίσουμε αναδρομικά νέες δομές στις οποίες μπορούμε να κάνουμε επαγωγή. Πριν αναφερθούμε σε λεπτομέρειες ας δούμε ένα παράδειγμα. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3.1. Ας ορίσουμε ένα σύνολο S επαγωγικά ως εξής: Βάση του ορισμού: 3 S Επαγωγικός ορισμός:ανx,y Sτότεκαιx+y S Οπως φαίνεται αρχικά το σύνολο S περιέχει μόνο ένα στοιχείο, το 3. ΣτοπρώτοβήματηςεπαγωγήςτοσύνολοSέχειεπιπλέοντοστοιχείο6. Στο επόμενο επαγωγικό βήμα το σύνολο S έχει επιπλέον τα στοιχεία 9, 12 κ.ο.κ. Με τη βοήθεια του επαγωγικού ορισμού του συνόλου S μπορούμε να αποδείξουμε ότι περιέχει ακριβώς όλα τα πολλαπλάσια του 3. Εχουμε εδώδυοσύνολα.τοσύνολοsπουορίζεταιεπαγωγικάκαιτοσύνολοa των πολλαπλασίων του 3, που ορίζεται περιγραφικά: A {3n:n N}. Θέλουμεναδείξουμεότιταδυοσύνολαείναιίσα,A S. Ετσιπρέπει να δείξουμε δυο προτάσεις. A S,δηλαδήότικάθεϑετικόπολλαπλάσιοτου3ανήκειστοS. Θα το κάνουμε με μαθηματική επαγωγή. Πιο συγκεκριμένα ϑα δείξουμεμεμαθηματικήεπαγωγήότιγιακάθεακέραιοn:3n S. S A,δηλαδήότικάθεαριθμόςπουπαράγεταιμετουςπαραπάνωκανόνες,είναιπολλαπλάσιοτου3. Θατοκάνουμεμεδομική επαγωγή. Στην δομική επαγωγή, δείχνουμε ότι κάθε στοιχείο μια δομής που ορίζεται αναδρομικά έχει κάποια συγκεκριμένη ιδιότητα στην προκειμένη περίπτωση ότι διαιρείται με το 3. Απόδειξη του A S. Θα δείξουμε με μαθηματική επαγωγή ότι για κάθεnισχύειότι3n S. Βάση της επαγωγής: Επιβεβαιώνουμεότι3 Sαπότηβάσητουορισμού του συνόλου S. 35

36 3. Α Ε Επαγωγικό βήμα: Εστωότι3n S. Θαδείξουμεότι3(n+1) S. Παρατηρούμεότι3 S, και3n S. Απότονεπαγωγικόορισμότου συνόλουsανδύοστοιχείαανήκουνσεαυτό,τηνίδιαιδιότηταέχεικαι το άθροισμά τους, δηλαδή 3+3n S κάτι που ολοκληρώνει την επαγωγή. ΑπόδειξητουS A. ΓιανααποδείξουμετοδεύτεροεγκλεισμόS A πρέπει να εκμεταλλευτούμε τον επαγωγικό ορισμό του S. Θα δείξουμε ότιόλαταστοιχείατουλοιπόνότιsείναιπολλαπλάσια3. Ποιοσυγκεκριμένα, ϑα δείξουμε ότι και οι δύο κανόνες που παράγουν στοιχεία του S παράγουν πολλαπλάσια του 3. Βάση δομικής επαγωγής: Η βάση του ορισμού παράγει μόνο ένα στοιχείο,το3,πουείναιπολλαπλάσιοτου3. Επαγωγικό βήμα: Σε κάποιο στάδιο της κατασκευής του συνόλου S υποθέτουμε ότι αυτό περιέχει πολλαπλάσια του 3. ϑα δείξουμε ότι στο επόμενο βήμα όπου νέα στοιχεία εισάγονται στο σύνολο S έχουν την ίδια ιδιότητα.ανλοιπόνx,y Sμεx,yπολλαπλάσιατου3,αρκείναδείξουμε ότικαιτονέοστοιχείοτουs, x+yείναιεπίσηςπολλαπλάσιοτου3. Πράγματι από την ιδιότητα των x, y έχουμε ότι για κάποιους ακεραίους k 1,k 2,x 3k 1,y 3k 2 καιάραx+y 3(k 1 +k 2 ),πουολοκληρώνειτη δομική επαγωγή. Το παραπάνω είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα αναδρομικού ορισμού και της δομικής επαγωγής. Η ιδέα λοιπόν του επαγωγικού ο- ρισμού εννοιών είναι πολύ βασική και χρησιμοποιείται ευρύτατα στην Πληροφορική για τη δημιουργία και μελέτη νέων δομών. Το πιο χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί η ϑεωρία των δομών δεδομένων. Για να αποδεικνύουμε προτάσεις για δομές που ορίζονται αναδρομικά χρησιμοποιούμε τη δομική επαγωγή. Ορισμός 17 ( ομική επαγωγή). Εστω σύνολο ή δομή που ορίζεται επαγωγικά. Για να αποδείξουμε μια ιδιότητα P για κάθε στοιχείο του συνόλου αρκεί να ακολουθήσουμε τα επόμενα βήματα: Βάση της επαγωγής: Αποδεικνύουμε ότι τα στοιχεία του συνόλου που ορίζονται στο βήμα Βάση του ορισμού του έχουν την ιδιότητα. Επαγωγικό βήμα: Θεωρούμε ότι σε κάποιο βήμα της κατασκευής του, τα στοιχεία του έχουν την ιδιότητα. Αποδεικνύουμε ότι αν ταστοιχείατου έχουντηνιδιότηταp,τότεκαιτανέαστοιχεία πουορίζονταιστο επαγωγικό βήματουορισμούτου έχουντην ιδιότητα. Με τη δομική επαγωγή είμαστε έτοιμοι να ορίσουμε και να μελετήσουμε δομές που ορίζονται με αναδρομικό τρόπο. Θα ασχοληθούμε 36

37 μετοσύνολοτωνσυμβολοσειρών,τοσύνολοτωνδένδρωνμερίζα,τα δυαδικάδένδρακαιταπλήρηδυαδικάδένδρα.κάθεμιααπόαυτέςτις δομές ϑα την ορίσουμε επαγωγικά και ϑα αποδείξουμε προτάσεις με τη βοήθεια της δομικής επαγωγής. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3.2(Συμβολοσειρές ενός αλφαβήτου). Εστω Σ ένα πεπερασμένο σύνολο που ϑα το ονομάζουμε αλφάβητο. Παραδείγματα αλφαβήτουείναιτο{α, β,..., ω}καιτο{0,1,...}.οισυμβολοσειρέςενός αλφαβήτου Σ είναι οι πεπερασμένες ακολουθίες που παράγονται με τα στοιχείατουαλφαβήτου. Γιαπαράδειγμα,ηακολουθία(ε, υ, ρ, η, κ, α) είναι συμβολοσειρά του αλφαβήτου {α, β,..., ω}. Για απλότητα, στις συμβολοσειρές παραλείπουμε τα κόμματα και τις παρενθέσεις έτσι για παράδειγμαγράφουμε ευρηκααντίγια(ε, υ, ρ, η, κ, α). Επίσης,χρησιμοποιούμε το σύμβολο ε για να συμβολίσουμε την κενή συμβολοσειρά, που αντιστοιχεί στην ακολουθία() χωρίς κανένα στοιχείο. Μερικοί συγγραφείς χρησιμοποιούν το σύμβολισμό λ για την κενή συμβολοσειρά. Το σύνολο των συμβολοσειρών ενός αλφαβήτου Σ, που το συμβολίζουμεμε Σ,μπορείναοριστείαναδρομικάωςεξής: Ορισμός18(Σύνολοσυμβολοσειρών Σ αλφάβητου Σ). Βάση του ορισμού:ηκενήσυμβολοσειρά εανήκειστο Σ, ε Σ. Επαγωγικός ορισμός:ανw Σ και σ Στότεwσ Σ. Για παράδειγμα ας πάρουμε το αλφάβητο που περιέχει τα σύμβολα 0 και1, Σ {0,1}.Σύμφωναμετηβάσητουορισμού,οισυμβολοσειρέςτου Σ περιέχουν την κενή υπακολουθία. Μετά την πρώτη εφαρμογή του επαγωγικού βήματος, στις συμβολοσειρές περιλαμβάνονται οι συμβολοσειρές 0, και 1. Μετά το δεύτερο βήμα εφαρμογής του επαγωγικού βήματος παίρνουμε επιπλέον τις συμβολοσειρές 00, 01, 10, 11 κ.ο.κ. Το σύνολο επομένωςπουπαράγεταιείναιτο{ε,0,1,00,01,10,11,000,001,...}. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3.3 (Μήκος και παράθεση συμβολοσειρών). Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω επαγωγικό ορισμό των συμβολοσειρών μπορούμε να ορίσουμε με αυστηρό τρόπο το μήκος μιας συμβολοσειράς, ή πράξεις πάνω στις συμβολοσειρές, π. χ. την παράθεση(concatenation) συμβολοσειρών, καθώς και να αποδείξουμε ιδιότητες για αυτές. Ορισμός 19(Μήκος συμβολοσειράς). Βάση του ορισμού:ορίζουμε (ε) 0. Επαγωγικός ορισμός:ανw Σ και σ Σορίζουμε (wσ) (w)+1. 37

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2 12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate Κατηγορίες οφέλους και κόστους που προέρχονται από τις δημόσιες δαπάνες Για την αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Μάθημα: Ενόργανη Γυμναστική Χρήσιμα θεωρία στο κεφάλαιο της ενόργανης γυμναστικής για το γνωστικό αντικείμενο ΠΕ11 της Φυσικής Αγωγής από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Κολλίντζα.

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης 7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0,

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0, Άλγεβρα Β Λυκείου - Πολυώνυμα: Θεωρία, Μεθοδολογία και Λυμένες ασκήσεις Κώστας Ράπτης Μάιος 2011 Μέρος I Πολυώνυμα 1 Πολυώνυμα 1.1 Στοιχεία ϑεωρίας Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφήςαx ν,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Ποια έντομα είναι εχθροί των φυτών και πώς θα τα αντιμετωπίσετε

Ποια έντομα είναι εχθροί των φυτών και πώς θα τα αντιμετωπίσετε Ποια έντομα είναι εχθροί των φυτών και πώς θα τα αντιμετωπίσετε Δυστυχώς είναι μια πραγματικότητα της ζωής ότι αν διατηρείτε στο σπίτι σας φυτά, υπάρχει πάντα η πιθανότητα να υποστούν ζημίες από βλαβερούς

Διαβάστε περισσότερα

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 16 Απριλίου, 2006 Ώρα: 10:30-13:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίµιο αποτελείται από τρία (3) µέρη µε σύνολο δώδεκα (12) θέµατα. 2) Επιτρέπεται

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming)

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 1 Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Μηχανικών Μηχανολογίας και Κατασκευαστικής ΜΜΚ 452: Μηχανικές Ιδιότητες και Κατεργασία Πολυμερών Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 2 Εισαγωγή: Η

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Διδαγμένο Κείμενο ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. Επομένως οι αρετές δεν υπάρχουν μέσα μας εκ φύσεως ούτε αντίθετα προς τη φύση μας, αλλά έχουμε από τη φύση την ιδιότητα να τις δεχτούμε

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο του καλού κηπουρού

Το εγχειρίδιο του καλού κηπουρού Το εγχειρίδιο του καλού κηπουρού 1. Φροντίδα των φυτών Αφού αποφάσισες να φυτέψεις πρέπει να είσαι έτοιμος να ασχοληθείς με τα φυτά σου και να παρακολουθείς τις ανάγκες τους. Θα πρέπει να ποτίζεις όποτε

Διαβάστε περισσότερα

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να - 1 - Ο παράξενος πραματευτής Ανθολόγιο Ε & Στ τάξης: 277-279 Οικονομικές έννοιες Ανταλλαγή Αντιπραγματισμός Εμπόριο Ερωτήσεις Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών.

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. ΘΕΩΡΙ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. 1. ΣΥΝΟΛ: το σκεπτικό. σύνολο = πολλά στοιχεία ως «ένα», ως «μία» ολότητα. τα στοιχεία ανήκουν στο σύνολο, ή είναι μέλη του συνόλου το σύνολο περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Κλασικός Αθλητισμός Δρόμοι : Μεσαίες και μεγάλες αποστάσεις Ταχύτητες Σκυταλοδρομίες Δρόμοι με εμπόδια Δρόμοι Μεσαίων και Μεγάλων αποστάσεων Στην αρχαία εποχή ο δρόμος που είχε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό.

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. 1 ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate, εισηγητής Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ

ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ Eugene T. GENDLIN University of Chicago, U.S.A Αυτό το άρθρο είναι μια αναθεωρημένη έκδοση της πλήρους

Διαβάστε περισσότερα

23/2/07 Sleep out Πλατεία Κλαυθμώνος

23/2/07 Sleep out Πλατεία Κλαυθμώνος 23/2/07 Sleep out Πλατεία Κλαυθμώνος Μια βραδιά στο λούκι με τους αστέγους «Έχετε ποτέ σκεφτεί να κοιμηθείτε μια χειμωνιάτικη νύχτα στο δρόμο;» Με αυτό το ερώτημα απευθύναμε και φέτος την πρόσκληση στους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΚΕΙΜΕΝΟ. Πέµπτη 19 Νοεµβρίου 1942. Αγαπητή Κίττυ,

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΚΕΙΜΕΝΟ. Πέµπτη 19 Νοεµβρίου 1942. Αγαπητή Κίττυ, ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΝΕΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΕΚΦΡΑΣΗ - ΕΚΘΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Αγαπητή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανεξάρτητα δείγματα: Αφορά δύο κανονικούς πληθυσμούς με παραμέτρους

Διαβάστε περισσότερα

Μεταγλωττιστές ΙΙ. nkavv@uop.gr. Καταμερισμός καταχωρητών. Νικόλαος Καββαδίας nkavv@uop.gr Μεταγλωττιστές ΙΙ

Μεταγλωττιστές ΙΙ. nkavv@uop.gr. Καταμερισμός καταχωρητών. Νικόλαος Καββαδίας nkavv@uop.gr Μεταγλωττιστές ΙΙ Μεταγλωττιστές ΙΙ Καταμερισμός καταχωρητών Νικόλαος Καββαδίας nkavv@uop.gr 01 Δεκεμβρίου 2010 Γενικά για τον καταμερισμό καταχωρητών Καταμερισμός καταχωρητών (register allocation): βελτιστοποίηση μεταγλωττιστή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ Π. ΨΩΝΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ

Διαβάστε περισσότερα

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα!

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα! Βελτίωση Εικόνας Σήμερα! Υποβάθμιση εικόνας Τεχνικές Βελτίωσης Restoration (Αποκατάσταση) Τροποποίηση ιστογράμματος Ολίσθηση ιστογράμματος Διάταση (stretching) Ισοστάθμιση του ιστογράμματος (histogram

Διαβάστε περισσότερα

Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές

Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές 1.Σκοποί: Οι μαθητές Να κατανοήσουν τις έννοιες της περιοδικής κίνησης και της ταλάντωσης Να κατανοήσουν ότι η περιοδική κίνηση δεν είναι ομαλή Να γνωρίσουν τα μεγέθη

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις ΙΙ. Σημερινό μάθημα

Συναρτήσεις ΙΙ. Σημερινό μάθημα Συναρτήσεις ΙΙ 1 Σημερινό μάθημα Εμβέλεια Εμφωλίαση Τύπος αποθήκευσης Συναρτήσεις ως παράμετροι Πέρασμα με τιμή Πολλαπλά return Προκαθορισμένοι ρ Παράμετροι ρ Υπερφόρτωση συναρτήσεων Inline συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και

Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Περίληψη Κεφαλαίου: Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και αφετέρου η σωστή εφαρμογή του Επιχειρηματικού

Διαβάστε περισσότερα

Κείµενο διδαγµένο Κείµενο από το πρωτότυπο

Κείµενο διδαγµένο Κείµενο από το πρωτότυπο ΤΡΙΤΗ 29 ΙΟΥΝΙΟΥ 1999 ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Κείµενο διδαγµένο Κείµενο από το πρωτότυπο Θουκυδίδη Ιστορία Γ, 70 Καὶ (ἦν γὰρ Πειθίας ἐθελοπρόξενός τε τῶν Ἀθηναίων καὶ τοῦ δήµου προειστήκει)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας

Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας Γ. Η. Πανάγος 1195 ΟΡΘΗ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΚΛΙ ΝΙΚΩΝ ΜΕΛΕΤΏΝ Η ορθή πρακτική διεξαγωγής των κλινικών δοκιμών (GCP) είναι ένα διεθνές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΑΛΟΝΤΑΣ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ FOUCAULT ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΟΥΣΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΣΤΑ ΜΕΣΑ ΜΑΖΙΚΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗΣ

ΠΡΟΒΑΛΟΝΤΑΣ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ FOUCAULT ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΟΥΣΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΣΤΑ ΜΕΣΑ ΜΑΖΙΚΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗΣ ΠΡΟΒΑΛΟΝΤΑΣ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ FOUCAULT ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΟΥΣΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ Εργασία για το µάθηµα του εαρινού εξαµήνου του µεταπτυχιακού προγράµµατος του τµήµατος Επικοινωνίας & Μέσων Μαζικής Ενηµέρωσης του Εθνικού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα 11.1. Εισαγωγή Τα τηλεπικοινωνιακά δίκτυα είναι διαιρεμένα σε μια ιεραρχία τριών επιπέδων: Στα δίκτυα πρόσβασης, τα μητροπολιτικά δίκτυα και τα δίκτυα κορμού. Τα δίκτυα κορμού

Διαβάστε περισσότερα

Συγκέντρωση Κίνησης. 6.1. Εισαγωγή. 6.2. Στατική Συγκέντρωση Κίνησης

Συγκέντρωση Κίνησης. 6.1. Εισαγωγή. 6.2. Στατική Συγκέντρωση Κίνησης Συγκέντρωση Κίνησης 6.1. Εισαγωγή Σε ένα οπτικό WDM δίκτυο, οι κόμβοι κορμού επικοινωνούν μεταξύ τους και ανταλλάσουν πληροφορία μέσω των lightpaths. Ένα WDM δίκτυο κορμού είναι υπεύθυνο για την εγκατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης (β) Η απόλυτη υπεραξία Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Στο κεφάλαιο για την αγορά και την πώληση της εργατικής δύναμης (ελληνική έκδοση: τόμος

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων 1

Αναγνώριση Προτύπων 1 Αναγνώριση Προτύπων 1 Σημερινό Μάθημα Βασικό σύστημα αναγνώρισης προτύπων Προβλήματα Πρόβλεψης Χαρακτηριστικά και Πρότυπα Ταξινομητές Classifiers Προσεγγίσεις Αναγνώρισης Προτύπων Κύκλος σχεδίασης Συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ

ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΤΜΤΡΗΣΗ ΘΜΛΙΚΩΝ ΣΥΝ ΥΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ. ΣΥΝΥΣΤΙΚΣ ΜΟΡΦΣ: η μορφολογία. Όλες οι συνδυαστικές μορφές που θα εξετάσουμε είναι διαφόρων ειδών συναρτήσεις. Οι «παράμετροι» που παραλλάσονται είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

Δίκαιο και Οικονομικά: Οι Εξετάσεις

Δίκαιο και Οικονομικά: Οι Εξετάσεις Δίκαιο και Οικονομικά: Οι Εξετάσεις Το κείμενο αυτό ανανεώνεται με τη δική σας παρέμβαση, τις ερωτήσεις, τα σχόλια και τις παρατηρήσεις σας. Θα συνεχίζει να ανανεώνεται μέχρι την ημέρα των εξετάσεων. Αυτή

Διαβάστε περισσότερα

To παιχνίδι την Αρχαία Ελλάδα

To παιχνίδι την Αρχαία Ελλάδα To παιχνίδι την Αρχαία Ελλάδα Μέχρι τα επτά του χρόνια το παιδί έμενε στο σπίτι, όπου έπαιζε διάφορα παιχνίδια. Ο Πλάτων κι ο Αριστοτέλης συμβούλευαν τους γονείς να αφήνουν τα παιδιά τους να διασκεδάζουν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ Επιμέλεια Άγγελου Αργυρακόπουλου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σημειώσεις για το μάθημα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Παπάνα Αγγελική http://users.auth.gr/~agpapana/statlogistics E mail: papanagel@yahoo.gr, agpapana@gen.auth.gr Α.Τ.Ε.Ι. Θεσσαλονίκης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΑΡΧΕΙΑ Ο πιο γνωστός τρόπος οργάνωσης δεδομένων με τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών είναι σε αρχεία. Ένα αρχείο μπορούμε να το χαρακτηρίσουμε σαν ένα σύνολο που αποτελείται από οργανωμένα

Διαβάστε περισσότερα

(14 ο,15 ο,16 ο ) ΟΡΘΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ: ΕΝΟΤΗΤΑ Ι ΙΙ ΙΙΙ

(14 ο,15 ο,16 ο ) ΟΡΘΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ: ΕΝΟΤΗΤΑ Ι ΙΙ ΙΙΙ (14 ο,15 ο,16 ο ) ΟΡΘΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ: ΕΝΟΤΗΤΑ Ι ΙΙ ΙΙΙ Το πρόβλημα της «ορθότητας» ενός αλγορίθμου. Θεωρούμε συχνότατα τους αλγορίθμους, (όπως και σε αυτές τις σημειώσεις), ως προγράμματα γραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

Η διπλωματική εργασία

Η διπλωματική εργασία Η διπλωματική εργασία Αριστείδης Χατζής * Το κείμενο αυτό ανανεώνεται συνέχεια με τη δική σας παρέμβαση, τις ερωτήσεις, τα σχόλια και τις παρατηρήσεις σας. Αυτή η εκδοχή ανανεώθηκε στις 12 Δεκεμβρίου 2006.

Διαβάστε περισσότερα

Βιωματική Απόκριση. (Άρθρο του Eugene Gendlin) ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΑΠΟΚΡΙΣΕΙΣ. Βιωμένο νόημα

Βιωματική Απόκριση. (Άρθρο του Eugene Gendlin) ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΑΠΟΚΡΙΣΕΙΣ. Βιωμένο νόημα Βιωματική Απόκριση (Άρθρο του Eugene Gendlin) ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΑΠΟΚΡΙΣΕΙΣ Βιωμένο νόημα Τα προσωπικά προβλήματα και οι δυσκολίες της ζωής δεν είναι ποτέ μόνο γνωσιακού επιπέδου, δεν είναι ποτέ μόνο θέμα του

Διαβάστε περισσότερα

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες 20 Φεβρουαρίου 2010 1. Ένας έμπορος αγόρασε 720 κιλά κρασί προς 2 το κιλό. Πρόσθεσε νερό, το πούλησε προς 2,5 το κιλό και κέρδισε 500. Το νερό που πρόσθεσε ήταν σε κιλά: α) 88 β) 56 γ) 60 δ) 65 2. Κατάθεσε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2011-12 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

Opinion Mining. Χριστίνα Αραβαντινού aravantino@ceid.upatras.gr. Χριστίνα Αραβαντινού Opinion Mining Μάιος 2014 1 / 26

Opinion Mining. Χριστίνα Αραβαντινού aravantino@ceid.upatras.gr. Χριστίνα Αραβαντινού Opinion Mining Μάιος 2014 1 / 26 Opinion Mining Χριστίνα Αραβαντινού aravantino@ceid.upatras.gr Μάιος 2014 Χριστίνα Αραβαντινού Opinion Mining Μάιος 2014 1 / 26 Περιεχόμενα Εισαγωγή Εφαρμογές ομή μιας άποψης Είδη απόψεων Προσεγγίσεις

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός gior.panagopoulos@gmail.com Βουλδής Άγγελος Φυσικός angelos_vouldis@hotmail.com Μεντζελόπουλος Λευτέρης Φυσικός MSc Περιβαλλοντολογία

Διαβάστε περισσότερα

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΠΕ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ ΑΝΤΙΟΠΗ ΓΙΓΑΝΤΙ ΟΥ Τοµεάρχης Λειτουργίας Κέντρων Ελέγχου Συστηµάτων Μεταφοράς ιεύθυνσης ιαχείρισης Νησιών ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΡΗΤΗΣ 2009 Εγκατεστηµένη Ισχύς (Ατµοµονάδες, Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΙΚΟΝΑΣ ADOBE PHOTOSHOP CS ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ Β. ΣΥΜΕΩΝΙ ΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ. Μορφές δημόσιου δανεισμού. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ. Μορφές δημόσιου δανεισμού. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ Μορφές δημόσιου δανεισμού Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate 1 Ανάλογα με την πηγή προελεύσεως των πόρων Με βάση το κριτήριο αυτό, ο δανεισμός διακρίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Επιλέγοντας τις κατάλληλες γλάστρες

Επιλέγοντας τις κατάλληλες γλάστρες Επιλέγοντας τις κατάλληλες γλάστρες Το τι γλάστρες θα χρησιμοποιήσετε εξαρτάται κυρίως από το πορτοφόλι σας αλλά και το προσωπικό σας γούστο. Οι επιλογές σας είναι αμέτρητες, τόσο σε ποιότητες όσο και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ : ΕΞΙ

Διαβάστε περισσότερα

Φόρμα Σχεδιασμού Διάλεξης (ημ/α: 17/03/08, έκδοση: 1.0)

Φόρμα Σχεδιασμού Διάλεξης (ημ/α: 17/03/08, έκδοση: 1.0) 1. Κωδικός Μαθήματος: (Εισαγωγή στον Προγραμματισμό) 2. Α/Α Διάλεξης: 1 1. Τίτλος: Εισαγωγή στους υπολογιστές. 2. Μαθησιακοί Στόχοι: Συνοπτική παρουσίαση της εξέλιξης των γλωσσών προγραμματισμού και των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΚΑΙ. 10 βήματα για να κόψεις το κάπνισμα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΚΑΙ. 10 βήματα για να κόψεις το κάπνισμα ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΖΩΗΣ ΤΜΗΜΑ ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΠΝΕΥΜΟΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΤΕΡΜΑ ΤΟ ΚΑΠΝΙΣΜΑ ΚΑΙ ΏΡΑ ΓΙΑ ΆΣΚΗΣΗ 10 βήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γεώργιος Κ. Πατρίκιος, Δικηγόρος, ΜΔΕ Δημοσίου Δικαίου, Υπ. Διδάκτωρ Νομικής Σχολής Πανεπιστημίου Αθηνών. ΘΕΜΑΤΙΚΗ : Η αρμοδιότητα των διοικητικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1 5, να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Περιγράμματος

Περιγραφή Περιγράμματος Περιγραφή Περιγράμματος Σήμερα! Περιγραφή Περιγράμματος Κώδικας Αλύσσου (chain code) Πολυγωνική γραμμή Υπογραφή (signature) περιγράμματος Μετασχηματισμός Fourier περιγράμματος 1 Περιγραφή Περιγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ Δρ Φασουλάς Χαράλαμπος Συντονιστής, Υπεύθυνος του Τμήματος Γεωποικιλότητας του Μουσείο Φυσικής Ιστορίας Κρήτης

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ Δρ Φασουλάς Χαράλαμπος Συντονιστής, Υπεύθυνος του Τμήματος Γεωποικιλότητας του Μουσείο Φυσικής Ιστορίας Κρήτης 2 ιά ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ Δρ Φασουλάς Χαράλαμπος Συντονιστής, Υπεύθυνος του Τμήματος Γεωποικιλότητας του Μουσείο Φυσικής Ιστορίας Κρήτης ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ Δρ Αμπαρτζάκη Μαρία, Παιδαγωγικό

Διαβάστε περισσότερα