Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
|
|
- Ἱππολύτη Κυπραίος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
2 4η LaT E X-έκδοση ( /6/0, 0:40 ) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Επιμελητών του δικτυακού τόπου, αλλά επίσης και από την Δημόσια συζήτηση του πάνω στα ϑέματα. Συνεργάστηκαν: Στράτης Αντωνέας, Ανδρέας Βαρβεράκης, Φωτεινή Καλδή, Σπύρος Καπελλίδης, Σπύρος Καρδαμίτσης, Νίκος Κατσίπης, Χρήστος Κυριαζής, Γρηγόρης Κωστάκος, Ροδόλφος Μπόρης, Μίλτος Παπαγρηγοράκης, Λευτέρης Πρωτοπαπάς, Σωτήρης Στόγιας, Αλέξανδρος Συγκελάκης, Κώστας Τηλέγραφος, Χρήστος Τσιφάκης. Το Δελτίο διατίθεται ελεύθερα από το δικτυακό τόπο
3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 ΘΕΜΑΑ. Α. Εστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα. Αν f (x) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το. μον.7 Α. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] ; μον.4 Α. Εστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x 0 A τοπικό μέγιστο ; μον.4 Α4. Νά χαρακτηρίσετε τίς προτάσεις πού ακολουθούν, γράφωντας στό τετράδιό σας τήν λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στό γράμμα πού αντιστοιχεί σέ κάθε πρόταση. α. Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα. β. Μια συνάρτηση f είναι -, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση = y έχει ακριβώς μια λύση ως προς x. γ. Αν είναι lim = +, τότε < 0 κοντά στο x 0. x x ( 0 δ. σφx ) =, x R {x ηµx = 0}. ηµ x ε. β g (x)dx = [ g(x) ] β β + f (x)g(x)dx, όπου f, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β]. α α α μον. 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ: Α. Εστω x,x με x < x. Θα δείξουμε ότι f(x ) < f(x ). Πράγματι, στο διάστημα [x,x ] η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ (x,x ) τέτοιο, ώστε f (ξ) = f(x ) f(x ), οπότε έχουμε x x f(x ) f(x ) = f (ξ)(x x ). Επειδή f (ξ) > 0 και x x > 0, έχουμε f(x ) f(x ) > 0, οπότε f(x ) < f(x ). Α. Μια συνάρτηση f ϑα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β) και επιπλέον. lim x α + = f(α) και lim = f(β). x β 3
4 Θέματα και Λύσεις Γ Λυκείου ϑετικής κατεύθυνσης 0 Α3. Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού A, ϑα λέμε ότι παρουσιάζει στο x 0 A τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ > 0, τέτοιο ώστε f(x 0 ) για κάθε A (x 0 δ,x 0 +δ). Το x 0 λέγεται ϑέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το f(x 0 ) τοπικό μέγιστο της f. Α4. α. Σωστό, β. Σωστό, γ. Λάθος, δ. Λάθος, ε. Λάθος. ΘΕΜΑ Β. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z και w για τους οποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις: z + z+ = 4 () και w 5w = (). Β. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ =. μον.6 Β. Αν z,z είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z με z z =, τότε να βρείτε το z +z. μον.7 Β3. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο επίπεδο είναι η έλλειψη με εξίσωση x 9 + y = και στη συνέχεια να βρείτε τη μέγιστη 4 και την ελάχιστη τιμή του w. μον.6 Β4. Για τους μιγαδικούς αριθμούς z, w που επαληθεύουν τις σχέσεις () και () να αποδείξετε ότι: z w 4. μον.6 ΛΥΣΗ: Για τους μιγαδικούς αριθμούς z και w ισχύουν οι επόμενες σχέσεις: z + z+ = 4 και w 5w =. Β. z + z+ = 4 (z )(z )+(z+)(z+) = 4 z z z++ z +z+z+ = 4 z = z = (3). Αρα, ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z είναι ο κύκλος με κέντρο το O(0,0) και ακτίνα ρ =. Β. Εχουμε ότι z = z =. Επίσης z z = z z = ( ) + Re(z z ) = Re(z z ) = 0. z + z Re(z z ) = Άρα z +z = z + z +Re(z z ) = + +0 = z +z =. Ομάδα Επιμελητών του 4
5 Θέματα και Λύσεις Γ Λυκείου ϑετικής κατεύθυνσης 0 Β3. Αν w = x+yi με x,y R και M(x,y) η εικόνα του, τότε w 5w = w 5w = 4x+6yi = 44 x 9 + y 4 =. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w είναι η έλλειψη με εξίσωση x 9 + y 4 =. Οι κορυφές της έλλειψης είναι A(3,0), A ( 3,0) και B(0,), 3 A A 3 O 0 3 B B w M(x, y) B (0, ). Ο μεγάλος άξονας έχει μήκος (AA ) = 6 και ο μικρός άξονας (BB ) = 4. (BB ) Για οποιοδήποτε σημείο M της έλλειψης ισχύει ότι (OM) (AA ). Άρα w 3 (4). Για w = i ή w = i, έχω ότι min w = και για w = 3 ή w = 3, έχω ότι max w = 3. Β4. Από τις (3), (4) και την τριγωνική ανισότητα προκύπτει: 0 < = (4) w = w (3) = w z = z w z+( w) = z w z + w (3) = + w (4) 3+ = 4. ΘΕΜΑΓ. Δίνεται η συνάρτηση = (x )lnx, x > 0. Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα = (0,] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα = [,+ ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της f. μον.6 Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x x = e 03, x > 0, έχει ακριβώς δύο ϑετικές ρίζες. μον.6 Γ3. Αν x, x με x < x είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματοςγ., να αποδείξετε ότι υπάρχει x 0 (x,x ) τέτοιο, ώστε f (x 0 )+f(x 0 ) = 0. μον.6 Ομάδα Επιμελητών του 5
6 Θέματα και Λύσεις Γ Λυκείου ϑετικής κατεύθυνσης 0 Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = + με x > 0, τον άξονα x x και την ευθεία x = e. μον.7 ΛΥΣΗ: Γ. Η συνάρτηση = (x )lnx, x > 0, είναι παραγωγίσιμη για κάθε x > 0, διότι προκύπτει από πράξεις μεταξύ των παραγωγίσιμων συναρτήσεων f (x) = x (πολυώνυμο), f (x) = lnx (λογαριθμική συνάρτηση). f (x) = lnx+ x = xlnx+x, x > 0 και f () = 0. x x Αν 0 < x <, τότε lnx < 0 xlnx < 0 και x < 0. Άρα xlnx+x < 0 f (x) < 0. Αν x >, τότε lnx > 0 xlnx > 0 και x > 0. Άρα xlnx+x > 0 f (x) > 0. Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,], έπεται ότι f ( (0,] ] = [ ) f(), lim x 0 + = [,+ ), διότι [ ] lim x 0 + = lim (x )lnx = +. x 0 + x f (x) O.E. Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [,+ ), έπεται ότι f ( [,+ ) ) = [ ) f(), lim x + = [,+ ), διότι lim = lim [(x )lnx ] = +. x + x + Τελικά το σύνολο τιμών της f είναι το [,+ ). Γ. Η εξίσωση x x = e 03, επειδή η λογαριθμική συνάρτηση είναι -, γράφεται ισοδύναμα: (x )lnx = 03 (x )lnx = 0 = 0. Επειδή f ( (0,] ) = [,+ ) και lim x 0 + = +, έπεται ότι υπάρχει διάστημα [k,] (0,] με f(k) > 0. Επειδή η f είναι συνεχής στο [k,] και 0 f ( [k,] ), από το ϑεώρημα ενδιαμέσων τιμών προκύπτει ότι υπάρχει x (k,) (0,), τέτοιο ώστε f(x ) = 0. Επειδή, επιπλέον, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,], το x είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης = 0 στο (0,). Ομοίως, επειδή f ( [,+ ) ) = [,+ ) και lim = +, έπεται ότι υπάρχει x + διάστημα [,m] [,+ ) με f(m) > 0. Επειδή η f είναι συνεχής στο [,m] και 0 f ( [,m] ), από το ϑεώρημα ενδιαμέσων τιμών προκύπτει ότι υπάρχει x (,m) [,+ ), τέτοιο ώστε f(x ) = 0. Επειδή, επιπλέον, η f είναι γνησίως αύξουσα στο [,+ ), το x είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης = 0 στο [,+ ). Τελικά η αρχική εξίσωση έχει ακριβώς δύο ϑετικές λύσεις x και x. Γ3. Θέλουμε να δείξουμε ότι η εξίσωση f (x)+ = 0 f (x)e x +e x = 0e x ( e x 0e x) = 0, έχει λύση στο διάστημα (x,x ). Ομάδα Επιμελητών του 6
7 Θέματα και Λύσεις Γ Λυκείου ϑετικής κατεύθυνσης 0 Θεωρούμε τη συνάρτηση H(x) = e x 0e x, x [x,x ]. Η συνάρτηση H είναι συνεχής στο [x,x ] διότι προκύπτει από πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμη στο (x,x ) διότι προκύπτει από πράξεις παραγωγισίμων συναρτήσεων με H (x) = f (x)e x +e x 0e x. Επίσης H(x ) = H(x ) = 0 διότι από το ερώτημαγ. ισχύει f(x ) = f(x ) = 0. Επομένως ισχύουν οι προϋποθέσεις του ϑεωρήματος Rolle για την H στο [x,x ]. Άρα υπάρχει x 0 (x,x ) ώστε H (x 0 ) = 0 f (x 0 )e x 0 +f(x 0)e x 0 0ex 0 = 0 ex 0 0 f (x 0 )+f(x 0 ) = 0. Γ4. Επειδή το σύνολο τιμών της f είναι το [,+ ), έπεται ότι για κάθε x > 0 ισχύει + 0 g(x) 0. Επίσης η μοναδική ρίζα της εξίσωσης =, άρα και της g(x) = 0, είναι το x =. Συνεπώς το ζητούμενο εμβαδό είναι το E = e g(x)dx = [ (x ) = lnx = (e ) = e e+ e ] e e (x )lnxdx = e (x ) ( x + x e ( e e+ ) + ( ) (x ) lnxdx e (e ) dx = x x+ x x )dx = (e ) [ x x+lnx = e 3 4 τ.μ. ] e dx 3.5 g(x) = + = (x )lnx e ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Το παραπάνω γράφημα δίνεται για την καλύτερη παρουσίαση της λύσης και δεν είναι απαραίτητο για την πληρότητα της λύσης στις εξετάσεις. Ομάδα Επιμελητών του 7
8 Θέματα και Λύσεις Γ Λυκείου ϑετικής κατεύθυνσης 0 ΘΕΜΑΔ. Εστω η συνεχής συνάρτηση f : (0,+ ) R, η οποία για κάθε x > 0, ικανοποιεί τις σχέσεις: 0, x+ dt x x, e ( lnx x = dt+e). Δ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε τον τύπο της. Αν είναι = e x (lnx x), x > 0, τότε: [ ] Δ. Να υπολογίσετε το όριο: lim () ηµ x 0 +. μον. 0 μον.5 Δ3. Με τη βοήθεια της ανισότητας lnx x, που ισχύει για κάθε x > 0, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F(x) = α dt, x > 0, όπου α > 0, είναι κυρτή (μονάδες ). Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι: F(x)+F(3x) > F(x), για κάθε x > 0. (μονάδες 4) μον.6 Δ4. Δίνεται ο σταθερός πραγματικός αριθμός β > 0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ (β,β), τέτοιο ώστε: F(β)+F(3β) = F(ξ). μον.4 ΛΥΣΗ: Για την συνεχή συνάρτηση f : (0,+ ) R, για κάθε x > 0, ισχύουν οι σχέσεις: 0, x+ dt x x (), e ( lnx x = dt+e) (). x+ Δ. Θεωρούμε συνάρτηση g(x) = dt x x, x (0,+ ). e Από την () έχουμε ότι: g(x) 0 g(x) g(), για κάθε x (0,+ ). Επομένως η g παρουσιάζει ολικό, άρα και τοπικό, ελάχιστο στο x =. Η συνάρτηση g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0, + ) (ως διαφορά συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων), και παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x = που είναι εσωτερικό σημείο του D g = (0,+ ). Ομάδα Επιμελητών του 8
9 Θέματα και Λύσεις Γ Λυκείου ϑετικής κατεύθυνσης 0 Επομένως από το ϑεώρημα του Fermat έχουμε ότι g () = 0. Ομως g (x) = f(x x+)(x ) x, x (0,+ ) και g () = f()+ e e. Επειδή g () = 0, προκύπτει ότι: f()+ e = 0 f() = e (I). Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (0,+ ) και ισχύει 0 για κάθε x (0,+ ). Επομένως διατηρεί πρόσημο και, λόγω της (I), έχουμε ότι < 0, για κάθε x (0,+ ). Τότε από την () έχουμε: ( lnx x = ) dt+e (II). Αφού < 0 για κάθε x (0,+ ), από την (II) βρίσκουμε ότι: lnx x = dt+e (III). Θέτουμε F(x) = dt, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (0, + ), [ Αιτιολόγηση: Η συνάρτηση με τύπο lnt t είναι συνεχής στο (0,+ ) ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων και αφού η f είναι συνεχής στο (0,+ ) με 0, για κάθε t > 0 η συνάρτηση είναι συνεχής στο (0, + ) ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Άρα ορίζεται η συνάρτηση Τότε F (x) = lnx x και η (III) παίρνει τη μορφή: F (x) = F(x)+e e x F (x) e x F(x) = e x+ ( e x F(x) ) = e x+ e x F(x) = e x+ +c, c R (IV). ] dt στο (0,+ ), στο οποίο είναι παραγωγίσιμη. Για x =, από την (IV) προκύπτει e F() = e + +c c =. Άρα η (IV) γίνεται : e x F(x) = e x+ + F(x) = e +e x dt = e x e (V) Το πρώτο μέλος της (V) είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση. Επίσης παραγωγίσιμη είναι και η συνάρτηση e x e ως διαφορά των παραγωγίσιμων συναρτήσεων e x (εκθετική) και e (σταθερή). Παραγωγίζοντας την (V) βρίσκουμε ότι: lnx x = e x = e x (lnx x). Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (0, + ) ως γινόμενο των παραγωγίσιμων συναρτήσεων e x [σύνθεση των παραγωγίσιμων e x (εκθετική) και x (πολυωνυμική)] και ln x x [διαφορά των παραγωγίσιμων ln x (λογαριθμική) και x (πολυωνυμική)]. Δ. Για x (0,) έχουμε ότι: lnx x lim x 0 + = lim x 0+ e x =, Ομάδα Επιμελητών του 9
10 Θέματα και Λύσεις Γ Λυκείου ϑετικής κατεύθυνσης 0 αφού lim x 0 +lnx =, lim x 0 +x = 0 και lim =. x 0 [ +ex ] Τότε για τον υπολογισμό του ορίου lim () ηµ x 0 +, ϑέτουμε u =, οπότε u 0. Επομένως, για x (0,) έχουμε ότι: [ ] ( lim () ηµ x 0 + = lim u 0 u ηµu ) u (ηµu u) συνu lim u 0 (u ) = lim = 0, u 0 u = lim u 0 ηµu u u συνx ηµu u διότι lim = 0 και δεδομένου ότι για το όριο lim πληρούνται οι x 0 x u 0 u προϋποθέσεις του ϑεωρήματος του De L Hospital, αφού lim u 0 (ηµu u) = lim = 0 u 0 u (ηµu u) συνu και υπάρχει το lim u 0 (u ) = lim = 0. u 0 u Δ3. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (0,+ ), οπότε ορίζεται η F(x) = α 0 0 = dt και είναι παραγωγίσιμη με F (x) = = e x (lnx x). Η F είναι παραγωγίσιμη αφού η f παραγωγίσιμη στο (0,+ ) με ( ) ( F (x) = f (x) = e x (lnx x)+e x x = e x lnx+x+ ) x e x x, αφού x lnx 0, για x (0,+ ). Επιπλέον, αφού ισχύει e x x > 0 για κάθε x > 0, έχουμε ότι F (x) > 0, για κάθε x (0,+ ), οπότε η συνάρτηση F είναι κυρτή στο (0,+ ) και η F είναι γνησίως αύξουσα στο (0, + ). Η συνάρτηση F είναι συνεχής στα [x,x], [x,3x] (0,+ ) με x > 0 αφού είναι συνεχής στο (0,+ ), είναι παραγωγίσιμη στα διαστήματα (x,x), (x,3x) (0,+ ) με x > 0, αφού είναι παραγωγίσιμη στο (0, + ). Επομένως, από το ϑεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού, υπάρχουν x (x,x), x (x,3x), τέτοια ώστε και F (x ) = F(x) F(x) x x F (x ) = F(3x) F(x) 3x x = F(x) F(x) x = F(3x) F(x) x (VI), (VII). Ομως x < x και η F είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+ ), οπότε F (x ) < F (x ). Από τις (VI), (VII) προκύπτει: F(x) F(x) x < F(3x) F(x) x x>0 = F(x) F(x) < F(3x) F(x) = F(x)+F(3x) > F(x). Δ4. Για κάθε x > 0, ισχύουν: lnx x lnx x και e x > 0,x > 0. Άρα = e x (lnx x) < 0, οπότε F (x) = < 0, για κάθε x > 0. Επομένως η συνάρτηση F είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,+ ). Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x) = F(x) F(β) F(3β), x [β,β] (0,+ ). Ομάδα Επιμελητών του 0
11 Θέματα και Λύσεις Γ Λυκείου ϑετικής κατεύθυνσης 0 Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο [β, β], ως άθροισμα των συνεχών συναρτήσεων F και της σταθεράς F(β)+F(3β), με h(β) = F(β) F(β) F(3β) = F(β) F(3β) > 0, αφού η συνάρτηση F είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,+ ) και β < 3β, και h(β) = F(β) F(β) F(3β) < 0, από το ερώτημαδ3. Επομένως h(β)h(β) < 0 και από το ϑεώρημα Bolzano για την συνάρτηση h στο διάστημα [β,β], προκύπτει ότι υπάρχει ξ (β,β), τέτοιο ώστε h(ξ) = 0 F(ξ) = F(β)+F(3β). Σχόλια: Α4 Εξήγηση των προτάσεων σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο: α. Σωστό σελ. 9 σχολικού βιβλίου: Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες M(α, β) και M (α, β) δύο συζυγών μιγαδικών z = α + βi και z = α βi είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα. β. Σωστό σελ. 5 σχολικού βιβλίου: Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση f είναι, αν και μόνο αν: Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση = y έχει ακριβώς μια λύση ως προς x. γ. Λάθος σελ. 78 σχολικού βιβλίου: Αν lim x x 0 = +, τότε > 0 κοντά στο x 0 δ. Λάθος σελ. 3 σχολικού βιβλίου: (σφx) = ηµ x ε. Λάθος σελ. 336 σχολικού βιβλίου: όπου f,g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [a,β] Β η Προσέγγιση: Εστω z = x+yi όπου x,y R. Τότε β a g (x)dx = [ g(x) ] β β a f (x)g(x)dx, a z + z+ = x +yi + x++yi = (x ) +(x+) +y = x +y + = 4 x +y =. Η εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο το (0,0) και ακτίνα ρ =. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ =. η Προσέγγιση: Αν ϑεωρήσουμε τα σημεία M(z),A(,0),B(,0), όπου M(z) είναι η εικόνα του μιγαδικού z, το A είναι η εικόνα του μιγαδικού, ενώ το B είναι η εικόνα του μιγαδικού. Παρατηρούμε ότι η σχέση γράφεται (MA) +(MB) = (AB) οπότε στο τρίγωνο AMB ισχύει το πυθαγόρειο ϑεώρημα. Άρα MA MB και, συνεπώς, το σημείο M κινείται σε κύκλο κέντρου O(0,0) και ακτίνας ρ =. Β η Προσέγγιση: Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε z = z = οπότε από τον κανόνα του παραλληλογράμμου z +z + z z = z + z (Άσκηση 9 σχολικό βιβλίο σελίδα 0. Η σχέση αυτή δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί εάν προηγουμένως δεν αποδειχθεί), έχουμε Ομάδα Επιμελητών του
12 Θέματα και Λύσεις Γ Λυκείου ϑετικής κατεύθυνσης 0 z +z +( ) = + z +z =. η Προσέγγιση: Αφού τα σημεία A(z ), B(z ) είναι σημεία του προηγούμενου κύκλου και (AB) = z z =, έπεται ότι η AB είναι πλευρά κανονικού τετραγώνου εγγεγραμμένου στον κύκλο. Είναι γνωστό ότι το απόστημα a 4 είναι το μισό της πλευράς AB και αν M το μέσον της AB τότε OM = OA + OB. Άρα OM = OA+ OB ή a4 = z + z. Δηλαδή z +z = (AB) =. Β3 Εναλλακτική προσέγγιση: Αν P,Q είναι οι εστίες της έλλειψης, το w είναι το μήκος της διαμέσου m του τριγώνου SPQ, όπου S τυχαίο σημείο της έλλειψης, και ισχύουν: w 3 με w =, όταν το S βρεθεί στο άκρο του μικρού άξονα, και w = 3, όταν το S βρεθεί στο άκρο του μεγάλου άξονα. Γ Εναλλακτική προσέγγιση για την μονοτονία της f η Προσέγγιση: f (x) = lnx+ x x. Είναι f () = 0 και για x >, ισχύει f (x) > 0 και για x <, ισχύει f (x) < 0. η Προσέγγιση: f (x) = lnx+ x, x (0,+ ). Η συνάρτηση f είναι και αυτή παραγωγίσιμη άρα και συνεχής στο (0,+ ) ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο εν λόγω διάστημα με f (x) = x + x, x > 0. Επομένως πρόκειται για κυρτή συνάρτηση στο (0,+ ) δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+ ). Παρατηρώ ότι f () = ln+ = 0 και για 0 < x < είναι: f (x) < f () f (x) < 0 απ όπου (λόγω της συνέχειας της συνάρτησης) προκύπτει πως η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, ]. Παρόμοια αν x > f (x) > f () f (x) > 0, επομένως λόγω της συνέχειας της συνάρτησης f αυτή είναι γνησίως αύξουσα στο [,+ ). Γ3 Εναλλακτική προσέγγιση: Θεωρώ τη συνάρτηση με τύπο: h(x) = f (x)+ 0, x [x,x ] h(x) = lnx x +(x )lnx 03, x [x,x ]. Η h είναι συνεχής στο [x,x ], ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων, και ισχύουν: h(x ) = lnx + x +(x )lnx 03 (x )lnx =03 ========= lnx + x < 0 (), σαν άθροισμα αρνητικών, επειδή ισχύουν: 0 < x < lnx < 0 και 0 < x < x > x < x < 0. h(x ) = lnx + x +(x )lnx 03 (x )lnx =03 ========= lnx + x > 0 (), σαν άθροισμα ϑετικών, επειδή ισχύουν: x > lnx > 0 και x > < > > 0. x x x Λόγω της συνέχεια της f και των (), (), πληρούνται οι προϋποθέσεις του ϑεωρήματος Bolzano και, συνεπώς, υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 (x,x ), τέτοιο ώστε h(x 0 ) = 0 f (x 0 )+f(x 0 ) = 0. Ομάδα Επιμελητών του
13 Θέματα και Λύσεις Γ Λυκείου ϑετικής κατεύθυνσης 0 Δ Εναλλακτικά για το πρόσημο της f Για x = έχουμε 3 4 dt 4 e > dt > dt < 0. Ομως η f ως συνεχής και μη μηδενική διατηρεί σταθερό πρόσημο. Αν ήταν > 0, τότε ϑα είχαμε 3 dt > 0. Άτοπο. Άρα το πρόσημο της f είναι αρνητικό. 4 Εναλλακτικά για την απόδειξη της παραγωγισιμότητας της f πριν την εύρεση του τύπου της. Εστω a(x) = lnx x, x > 0. Τότε a (x) = x =. x x Είναι a(x) a() = a(x) > 0. <0 === Άρα a(x) = lnx x > 0. Επομένως: Για x >, ισχύει dt > 0 για 0 < x <, ισχύει για x = ισχύει x Άρα, για κάθε x > 0, ισχύει dt > 0 dt+e = e 0. dt+e 0. x a (x) a(x) dt+e > e 0, O.M. dt+e < e 0 και Σημείωση : Το ολοκλήρωμα γίνεται μηδέν μόνο για x = αφού lnx x > 0. lnx x Άρα = και η f είναι παραγωγίσιμη. dt+e Παρατήρηση: Η εκφώνηση της άσκησης προϋποθέτει την ύπαρξη συνάρτησης f που ικανοποιεί τα δεδομένα (σε αντίθεση με την εκφώνηση Να βρεθεί η συνάρτηση f ώστε..). Χωρίς λοιπόν να είναι απαραίτητη η επαλήθευση στη συγκεκριμένη περίπτωση, αν επαληθεύσουμε, διαπιστώνουμε ότι πράγματι υπάρχει τέτοια συνάρτηση, η οποία ικανοποιεί τα δεδομένα του προβλήματος, και είναι η συνάρτηση που βρήκαμε. ( ) ( ) dt+e = e t () dt+e e x (lnx x) = ( ) e t dt+e e x (lnx x) = (e x e+e)e x (lnx x) = lnx x. Εναλλακτικά για την εύρεση της συνάρτησης f από τη σχέση (III) Θεωρούμε την συνάρτηση H(x) = dt+e, x > 0. Τότε η σχέση Ομάδα Επιμελητών του 3
14 Θέματα και Λύσεις Γ Λυκείου ϑετικής κατεύθυνσης 0 lnx x = dt+e (III), που έχει προκύψει στην προτεινόμενη λύση του ϑέματοςδ, γίνεται H (x) = H(x), και από εφαρμογή του σχολικού βιβλίου (σελ. 5) προκύπτει H(x) = ce x, x > 0. Για x =, προκύπτει e = H() = ce c =. Άρα τελικά H(x) = e x, x > 0. Αντικαθιστώντας στην (III), προκύπτει lnx x = e x = e x (lnx x), x > 0. Δ3 Εναλλακτικά για το ο μέρος του ερωτήματος Αφού η F είναι κυρτή, η εφαπτομένη στην C F σε οποιοδήποτε σημείο, βρίσκεται κάτω από την C F, εκτός από το σημείο επαφής τους. Η εφαπτομένη στην C F στο x 0 > 0, έχει εξίσωση y(x) = F(x 0 )+F (x 0 )(x x 0 ). Ισχύουν: F(3x 0 ) > y(3x 0 ) = F(x 0 )+F (x 0 )(3x 0 x 0 ) = F(x 0 )+F (x 0 )x 0, 3x 0 x 0, F(x 0 ) > y(x 0 ) = F(x 0 )+F (x 0 )(x 0 x 0 ) = F(x 0 ) F (x 0 )x 0, x 0 x 0. Προσθέτοντας, κατά μέλη, τις δυο προηγούμενες ανισότητες, προκύπτει ή ισοδύναμα F(3x 0 )+F(x 0 ) > F(x 0 ), για κάθε x 0 > 0, F(3x)+F(x) > F(x), για κάθε x > 0. Ομάδα Επιμελητών του 4
Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις
Διαβάστε περισσότεραΕκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) Τετάρτη 8 Μαΐου 26 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων η LaT E X-έκδοση ( 22/5/26)
Διαβάστε περισσότεραΑποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.
Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα
Διαβάστε περισσότεραΕστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο.
2 Μέτρα 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο χώρο Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο. Ορισμός 2.1. Μέτρο στον (X, A) λέμε κάθε συνάρτηση µ : A [0, ] που ικανοποιεί τις
Διαβάστε περισσότεραΠαραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.
Η παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ Σελίδα 1 από 10 Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α0 Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ = αχ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
Διαβάστε περισσότερα5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις
5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΓενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016
Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου Άλγεβρα Β λυκείου Εργασία2 η : «Συναρτήσεις» 13 Οκτώβρη 2016 Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςάυξουσασεέναδιάστημα του πεδίου ορισμού της; 2.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημα
Διαβάστε περισσότεραΗ ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.
A A N A B P Y T A Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς 9 5 0 Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Δρ. Νίκος Σωτηρόπουλος, Μαθηματικός Εισαγωγή Το άρθρο αυτό γράφεται με
Διαβάστε περισσότεραΑναλυτικές ιδιότητες
8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα
Σελίδα 1 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις
Διαβάστε περισσότεραÅéêïóéäùäåêÜåäñïí. www.mathematica.gr. Ìáèçìáôéêü Äåëôßï. Ôåý ïò 13ï. Ïêôþâñéïò 2014 ISSN: 2241-7133
ÅéêïóéäùäåêÜåäñïí Ìáèçìáôéêü Äåëôßï Ôåý ïò 3ï Ïêôþâñéïò 04 www.mathematica.gr ISSN: 4-733 Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ
15 Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε κάποιες ειδικές μορφές ΣΔΕ για τις οποίες υπάρχει μέθοδος επίλυσης. Περισσότερες μπορεί να δει κανείς στο Kloeden and Plaen (199), 4.-4.4. Θα
Διαβάστε περισσότεραΟι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)
Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές στην κίνηση Brown
13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΑς υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις
Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε
Διαβάστε περισσότερα602. Συναρτησιακή Ανάλυση. Υποδείξεις για τις Ασκήσεις
602. Συναρτησιακή Ανάλυση Υποδείξεις για τις Ασκήσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 2018 Περιεχόμενα 1 Χώροι με νόρμα 1 2 Χώροι πεπερασμένης διάστασης 23 3 Γραμμικοί τελεστές και γραμμικά
Διαβάστε περισσότεραΕξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος
ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου
Διαβάστε περισσότερα{ i f i == 0 and p > 0
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος
Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης
Διαβάστε περισσότεραΤο κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:
Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή)
Εισαωή στη Μιαδική Ανάλυση Σημειώσεις (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Ε. Στεφανόπουλος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιαίου Καρλόβασι Καλοκαίρι 26 Πρόλοος Οι σημειώσεις αυτές είναι αποτέλεσμα επεξερασίας
Διαβάστε περισσότεραΟ Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών
1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε
Διαβάστε περισσότεραΔιανυσματικές Συναρτήσεις
Κεφάλαιο 5 Διανυσματικές Συναρτήσεις 51 Διανυσματατικές συναρτήσεις Μια συνάρτηση με τιμές στοr n, n>1 λέγεται διανυσματική συνάρτηση Τις διανυσματικές συναρτήσεις ϑα τις συμβολίζουμε με παχειά γράμματα,
Διαβάστε περισσότερα«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»
HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΑνελίξεις σε συνεχή χρόνο
4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς
Διαβάστε περισσότερα17 Μαρτίου 2013, Βόλος
Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 - Λύσεις 1. Εστω ο πίνακας Α = [12, 23, 1, 5, 7, 19, 2, 14]. i. Να δώσετε την κατάσταση
Διαβάστε περισσότεραΔ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. 1η σειρά ασκήσεων
Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α 1η σειρά ασκήσεων Ονοματεπώνυμο: Αριθμός μητρώου: Ημερομηνία παράδοσης: Μέχρι την Τρίτη 2 Απριλίου 2019 Σημειώστε τις ασκήσεις για τις οποίες έχετε παραδώσει λύση: 1
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ
Διαβάστε περισσότεραΔιευθύνοντα Μέλη του
Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τουςεπιμελητέςτου http://www.mathematica.gr.
Διαβάστε περισσότεραΟ τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2
12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει
Διαβάστε περισσότεραΔιευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr
Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του mathematica.gr. Μετατροπές
Διαβάστε περισσότεραιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27
ιάσταση του Krull Χ. Χαραλάμπους Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Ιανουάριος, 2017 Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 1 / 27 Ορισμοί Εστω R (αντιμεταθετικός) δακτύλιος. Ορισμός Η διάσταση του Krull
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία
1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να
Διαβάστε περισσότεραΜεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης
7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε (X = = (X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων αριθμών
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1
Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) ύο καράβια αναχωρούν από το ίδιο λιµάνι. Το ένα κινείται µε 5 Km/h προς τα νότια και το άλλο µε Km/h προς τα ανατολικά. Να εκϕράσετε
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Διαβάστε περισσότεραΜεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης
7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων
Διαβάστε περισσότεραΑρτιες και περιττές συναρτήσεις
Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.
Διαβάστε περισσότεραΗ εξίσωση Black-Scholes
8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το
Διαβάστε περισσότεραΜονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ
Διαβάστε περισσότεραΠαντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα.
2 Δεσμευμένη μέση τιμή 2.1 Ορισμός Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Για X : Ω R τυχαία
Διαβάστε περισσότεραΑρτιες και περιττές συναρτήσεις
Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το
Διαβάστε περισσότερατους στην Κρυπτογραφία και τα
Οι Ομάδες των Πλεξίδων και Εφαρμογές τους στην Κρυπτογραφία και τα Πολυμερή Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΕΜΠ Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: Λαμπροπούλου Σοφία Ιούλιος, 2013 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Διαβάστε περισσότεραΣχέσεις και ιδιότητές τους
Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Ερευνα Ι
Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Μ. Ζαζάνης Κεφάλαιο 1 Τετραγωνικές μορφές στον R n και το ϑεώρημα του Taylor Ορισμός 1. Εστω a 11 a 1n A =.. a n1 a nn συμμετρικός πίνακας n n με στοιχεία στους πραγματικούς αριθμούς.
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές διαφορικές εξισώσεις
14 Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14.1 Γενικά Στοχαστική διαφορική εξίσωση λέμε μια εξίσωση της μορφής dx = µ(, X ) d + σ(, X ) db, X = x, (14.1) με µ, σ : [, ) R R μετρήσιμες συναρτήσεις, x R, και B
Διαβάστε περισσότεραΠερικλέους Σταύρου Χαλκίδα Τ: & F: W:
Περικλέους Σταύρου 31 34100 Χαλκίδα Τ: 2221-300524 & 6937016375 F: 2221-300524 @: chalkida@diakrotima.gr W: www.diakrotima.gr Προς: Μαθητές Α, Β & Γ Λυκείου / Κάθε ενδιαφερόμενο Αγαπητοί Φίλοι Όπως σίγουρα
Διαβάστε περισσότεραMartingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα
3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή,
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Εκτίμηση Πυκνότητας με k NN k NN vs Bayes classifier k NN vs Bayes classifier Ο κανόνας ταξινόμησης του πλησιέστερου γείτονα (k NN) lazy αλγόριθμοι O k NN ως χαλαρός
Διαβάστε περισσότεραΜεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης
7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ) ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = ) = P(X = ) = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων
Διαβάστε περισσότεραΚατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες
5 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 51 Ορισμός, ύπαρξη, και μοναδικότητα Ορισμός 51 Μια στοχαστική ανέλιξη { : t } ορισμένη σε έναν χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και με τιμές στο R λέγεται (μονοδιάστατη)
Διαβάστε περισσότερα21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου
Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο
Διαβάστε περισσότερα1) A= ΑΣΚΗΣΗ 9 (KARKAR) Να βρεθούν οι αριθμοί x, y, για τους οποίους ισχύει : x 1+ y 1= x+
Διασκεδαστικά Μαθηματικά ΑΣΚΗΣΗ (Atemlos) Ο κ. Χρήστος έγραψε δυο αριθμούς στον πίνακα και ζήτησε από τους μαθητές του να υπολογίσουν το γινόμενο. Το ψηφίο μονάδων του ενός από τους δυο αριθμούς ήταν 8
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ. ΘΕΜΑ 1ο
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1ο ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της
Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0.
Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση f(x) = λe λx αν x, αν x
Διαβάστε περισσότεραΕξέταση Ηλεκτρομαγνητισμού Ι 2 Φεβρουαρίου 2018
ΕΚΠΑ, Τμήμα Φυσικής Εξέταση Ηλεκτρομαγνητισμού Ι 2 Φεβρουαρίου 2018 ΘΕΜΑ 1 Γραμμική κατανομή φορτίου εκτείνεται από h έως +h κατά μήκος του άξονα z με ετερογενή πυκνότητα λ 0 < 0 για h z < 0 και λ 0 >
Διαβάστε περισσότεραP(x)= x x x x x.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Γιώργος Απόκης) Κάποιος αγόρασε κιλά πατάτες, γνωρίζοντας ότι αποτελούνται κατά 99% από νερό. Τις άφησε στον ήλιο για μια βδομάδα και υπολόγισε ότι τώρα αποτελούνται
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση
Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.
Διαβάστε περισσότεραΧαρακτηριστικές συναρτήσεις
13 Χαρακτηριστικές συναρτήσεις 13.1 Μετασχηματισμός Fourier μέτρου πιθανότητας στο R Εστω (Ω, F, µ) χώρος μέτρου και f : Ω C Borel-μετρήσιμη συνάρτηση. Το πραγματικό και φανταστικό μέρος της f, που τα
Διαβάστε περισσότεραα 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0,
Άλγεβρα Β Λυκείου - Πολυώνυμα: Θεωρία, Μεθοδολογία και Λυμένες ασκήσεις Κώστας Ράπτης Μάιος 2011 Μέρος I Πολυώνυμα 1 Πολυώνυμα 1.1 Στοιχεία ϑεωρίας Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφήςαx ν,
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ : ΕΞΙ
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ------------------------------------------------------------------------------------- H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει αντικείμενο
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance
Διαβάστε περισσότεραCSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα
Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 10η Ενότητα: Χρονικά Εξελισσόμενες ικτυακές Ροές Σπύρος Κοντογιάννης kntg@cse.ui.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ &
Διαβάστε περισσότεραΕυρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα
17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα
ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 1. Εστω η στοίβα S και ο παρακάτω αλγόριθμος επεξεργασίας της. Να καταγράψετε την κατάσταση
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 1ο Α. α) Δίνεται η συνάρτηση F(x)=f(x)+g(x). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι: F (x)=f (x)+g (x).
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1ο Α. α) Δίεται η
Διαβάστε περισσότεραΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983
20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση δικτύων διανομής
ΑστικάΥδραυλικάΈργα Υδρεύσεις Επίλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης & Ανδρέας Ευστρατιάδης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατύπωση του προβλήματος Δεδομένου ενός δικτύου αγωγών
Διαβάστε περισσότεραΔιευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr
Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του mathematica.gr. Μετατροπές
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.
ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται
Διαβάστε περισσότεραΗ έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία. Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης
Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης 9 Φεβρουαρίου 2015 2 Περιεχόμενα I ΑΡΙΘΜΟΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 7 1 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΩΤΟΙ
Διαβάστε περισσότεραPhg :
To Eikosidwdek edron} parousi zei jèmata pou èqoun suzhthjeð ston istìtopo http://www.mathematica.gr. H epilog kai h frontðda tou perieqomènou gðnetai apì touc Epimelhtèc tou http://www.mathematica.gr.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ31: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 017-018 Φροντιστήριο 5 1. Δικαιολογήστε όλες τις απαντήσεις σας. i. Δώστε τις 3 βασικές ιδιότητες ενός AVL δένδρου.
Διαβάστε περισσότεραΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 07 08 ΛΕΥΚΑΔΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ
Διαβάστε περισσότεραHY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.
HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων
Διαβάστε περισσότεραΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ IOYNIOY 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότεραΤαξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,
Διαβάστε περισσότερα1. Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί 2 2 πίνακες, δηλαδή, a 21 a, και ανάλογα για τους B, C. Υπολογίστε τους πίνακες (A B) C και A (B C) και
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Εαρινό Εξάμηνο 0 Ασκήσεις για προσωπική μελέτη Είναι απολύτως απαραίτητο να μπορείτε να τις λύνετε, τουλάχιστον τις υπολογιστικές! Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί πίνακες,
Διαβάστε περισσότεραΣυντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ
Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.
ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,
Διαβάστε περισσότεραΔημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Ενα δεύτερο μάθημα στις πιθανότητες Ενα δεύτερο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss
Κεφάλαιο 1 Πίνακες και απαλοιφή Gauss Γύρω απ το γινομένου πινάκων Κάτι σαν τυπολόγιο Αν AB = C, τότε: 1 (C) i j = (i-γραμμή A) ( j-στήλη B) Το συμβολίζει εσωτερικό γινόμενο 2 (i-γραμμή C) = k(a) ik (k-γραμμή
Διαβάστε περισσότεραΑφιερώνεται στο Δάσκαλο μου Χρήστο Αλεξόπουλο, για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε στα μαθητικά μου χρόνια Άγγελος Βουλδής
Αφιερώνεται στο Δάσκαλο μου Χρήστο Αλεξόπουλο, για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε στα μαθητικά μου χρόνια Άγγελος Βουλδής Αφιερώνεται στους Δασκάλους μας, που μας βοήθησαν να φτάσουμε μέχρι εδώ
Διαβάστε περισσότερα"Η απεραντοσύνη του σύμπαντος εξάπτει τη φαντασία μου. Υπάρχει ένα τεράστιο σχέδιο, μέρος του οποίου ήμουν κι εγώ".
"Η απεραντοσύνη του σύμπαντος εξάπτει τη φαντασία μου. Υπάρχει ένα τεράστιο σχέδιο, μέρος του οποίου ήμουν κι εγώ". "Ότι ανόητο είπα μπορεί και να είναι ένα ρέψιμο κάποιου ξεχασμένου αστέρα..." "Δεν κάνει
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο. Αλυσίδες
Διαβάστε περισσότεραΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ
ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Μάθημα: Ενόργανη Γυμναστική Χρήσιμα θεωρία στο κεφάλαιο της ενόργανης γυμναστικής για το γνωστικό αντικείμενο ΠΕ11 της Φυσικής Αγωγής από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Κολλίντζα.
Διαβάστε περισσότεραΦυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός
Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός gior.panagopoulos@gmail.com Βουλδής Άγγελος Φυσικός angelos_vouldis@hotmail.com Μεντζελόπουλος Λευτέρης Φυσικός MSc Περιβαλλοντολογία
Διαβάστε περισσότερα