O S N O V E G E O I N F O R M A T I K E
|
|
|
- Ῥαάβ Κορωναίος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 O S N O V E G E O I N F O R M A T I K E Dario Perković 2010
2 Geodetska osnova Geodetsku osnovu čine: geodetske točke koje služe za utvrñivanje koordinata izmjerom geodetski (geografski) zemljovidi koji služe za izradu drugih, tematskih zemljovida normizacija koja je potrebna za pravilno funkcioniranje GIS-a i njegovu ujednačenost u cijelom svijetu 2
3 Temeljni prostorni objekti Temeljni prostorni objekti u GIS-u koji služe za prikaz realnog svijeta u dvodimenzionalnom modeliranju su točka, linija i poligon. Putem temeljnih objekata i njihovom kombinacijom, prikazuju se stvarni objekti u GIS-u, a promatramo ih kao odgovarajuće tematske slojeve (točkaste, linijske i poligonalne). 3
4 Temeljni prostorni objekti Temeljni prostorni objekti u GIS-u 4
5 Temeljni prostorni objekti Točka može predstavljati bušeni objekt, izvor, morfopojavu ili vodnu postaju ali ovisno o mjerilu i crpilište, naselje itd., Linije mogu biti izolirane (npr. ponornice, trasiranje podzemnih voda), stablastog oblika (npr. riječna mreža) i u obliku mreže (cestovna mreža), Površine (poligoni) mogu biti izolirane (jezera), susjedne (općine) i ugnježñene površine (poligoni unutar poligona - izohipse) 5
6 Temeljni prostorni objekti Možemo reći da se iz osnovna tri oblika objekata izvode složene topološke strukture: o mreže linija (prometnica) o mreže poligona (mreža općinskih teritorija) o plohe (reljef terena) o prostorna tijela (akumulacijsko jezero) 6
7 Oblici pojavljivanja podataka Osnovni problem koji susrećemo u GIS-u je kako postići geometriju, topologiju nekog prostora. Upravo zbog toga se podaci pojavljuju u geometrijskom, grafičkom i opisnom obliku. Geometrijski podaci su prethodno nabrojani temeljni prostorni objekti u GIS-u. Geometrijski podaci Točka Točka je nositelj geometrijske informacije. Objektima u obliku točke obično je pridružen topografski znak. O mjerilu karte ovisi koji se objekti pojavljuju u obliku točke. 7
8 Oblici pojavljivanja podataka Točkom se obilježavaju: kod krupnih mjerila: stupovi, šahtovi, bunari, bušotine kod srednjih mjerila: kuće, crkve, stupovi dalekovoda, itd. kod vrlo sitnih mjerila: naselje, grad, itd. Linije i poligoni se promatraju kao nizovi karakterističnih točaka. Linija je definirana s dvije ili više točaka s pripadnim koordinatama na čijim su krajevima čvorovi. Linije dobivamo spajanjem točaka vektorima pa odatle i naziv vektorski podaci. Poligon je sačinjen od jedne ili više linija. 8
9 Oblici pojavljivanja podataka Grafički podaci Grafički podaci su: siva tonska vrijednost, boja, šrafura, simbol, vrsta linije itd. To se još zove i simbologija. Ovi podaci nastaju iz geometrijskih podataka dodavanjem grafičkih elemenata. Geometrijski i grafički elementi zajedno čine tzv. vektorsku grafiku. Grafičko oblikovanje rasterskih podataka naziva se rasterska grafika. 9
10 Oblici pojavljivanja podataka Opisni podaci Opisni podaci (tematski podaci ili atributi) su svi negeometrijski podaci: tekst, brojke, nazivi, svojstva. Primjer za to su kućni brojevi, brojevi parcela, imena ili nazivi vlasnika i sl.. Ovaj tip podataka je takoñer dodatak uz geometrijske podatke i uglavnom je manjeg sadržaja. 10
11 Oblici pojavljivanja podataka Po tomu se i razlikuje od atributnih podataka koji se nalaze u bazi podataka, a koji se prikazuju uz podatke zahvaljujući RDBMS*-u kao dijelu GIS-a. Podaci iz baze podataka se ne nalaze na kartama uz geometrijske podatke, već služe kao dodatna informacija o svakom geometrijskom elementu. *RDBMS kratica za Relational Database Management System, SUSTAV ZA UPRAVLJANJE RELACIJSKOM BAZOM PODATAKA (npr. Access, Oracle, SQL Server,...) 11
12 Vektorski i rasterski gis Geometrijski podaci se prikazuju u vektorskom ili rasterskom obliku. Vektorski podaci opisuju prostorne objekte pomoću točaka zadanih koordinatama u koordinatnom sustavu. Vektorski GIS je složeniji zbog potrebe za vrlo složenim prostornim operacijama, ali je zato i precizniji od rasterskog GIS-a. 12
13 Vektorski i rasterski gis Vektorski podaci se lako mogu ureñivati te im se mogu lako mijenjati pripadajući grafički i opisni podaci. Osim ureñivanja geometrije vektorskih podataka, moguće se i konverzije izmeñu pojedinih geometrijskih oblika (točke-poligoni, poligoni-centroidi, linijepoligoni, linije-točke,...). Ishodište vektorskih podataka je u lijevom donjem kutu crteža pa se vrijednost koordinate X povećava u desno, a koordinate Y prema gore. 13
14 Vektorski i rasterski gis Rasterski podaci u GIS-u se prikazuju kao površine koje se sastoje od točkica, a površine izgledaju kao poligonalne mreže različitih oblika i veličina. Rasterski GIS je pogodan za statističke obrade, te za obradu satelitskih i zračnih snimaka. Osnovni geometrijski element rasterskog GIS-a je piksel (pixel - Picture Element) pa se te mreže još nazivaju slikovnim matricama. 14
15 Vektorski i rasterski gis Svaka točkica ili piksel ima svoje lokalne koordinate (redak i stupac). Ishodište rastera je u lijevom gornjem kutu crteža (datoteke) pa se X vrijednosti povećavaju u desno, a Y vrijednosti prema dolje. Vektorski i rasterski model podataka se meñusobno nadopunjuju, a današnja programska podrška omogućuje pretvaranje jednog oblika u drugi. 15
16 Vektorski i rasterski gis raster vektor realni svijet Razlike u prikazu na računalu 16
17 3D modeli prostora 3D modeli prostora predstavljaju matematički prikaz trodimenzijskog prostora. To je skup podataka o točkama u 3D prostoru i drugih informacija koje računalo interpretira u virtualni objekt koji se prikazuje na zaslonu ili pisaču. Kada govorimo o 3D modelima prostora najčešće se misli na: digitalni model reljefa digitalni model terena (digitalni model površine) 17
18 3D modeli prostora Digitalni model reljefa-dmr (engl. Digital Elevation Model- DEM) predstavlja reljef (površina Zemlje) koji je numerički definiran nizom točaka s tri koordinate (X, Y i Z) i to u digitalnom obliku. Ovakav model ne sadrži vegetaciju niti izgrañene objekte. Koriste se točke isključivo sa sve tri koordinate, a mogu biti: nepravilno rasute na cijeloj površini (trokuti-tin) na pravilnoj mreži kvadrata na profilima. 18
19 3D modeli prostora Točke se kod DMR-a dobivaju neposrednom izmjerom na terenu, fotogrametrijskom izmjerom, georeferenciranjem satelitskih podataka i digitalizacijom karata (točaka i izohipsa - linija koje spajaju točke jednake nadmorske visine nad površinom mora). Rezultat digitalnog modela može izgledati kao: prikaz 3D linijama (linijama oblika i prijelomnicama) prikaz pojedinačnim markantnim točkama kotama prikaz izohipsama i kotama (digitalni model visina) prikaz profilima prikaz sjenčanim reljefom 19
20 3D modeli prostora Grad Zagreb prikazan pomoću DMR-a 20
21 3D modeli prostora Digitalni model terena-dmt (engl. Digital Terrain Model, DTM) je sličan pojam DMR-u ali on uključuje vegetaciju, izgrañene objekte i prijelomne linije u svrhu bolje aproksimacije terena. Često se upotrebljava i pojam digitalni model površine. Ovaj model nastaje spajanjem dvaju modela, DMR-a i digitalnog modela grañevina (DMO). 21
22 Geodetske pretpostavke ZEMLJA Zemlja je nebesko tijelo Zemlja je matematički aproksimirana rotacijskim elipsoidom (GEOIDOM) koji nastaje rotacijom elipse meridijana oko kraće osi Utvrñene su zemljovidne projekcije za preslikavanje dijelova Zemljine površine Utvrñen je pravokutni koordinatni sustav 22
23 Geodetske pretpostavke ZEMLJA Zemljine površine (P. H. Dana, 1994) 23
24 Geodetske pretpostavke ZEMLJA 24
25 Geodetske pretpostavke ZEMLJA Prema National Geodetic Surveyu, krovnoj geodetskoj ustanovi SAD-a ( geoid je ekvipotencijalna površina Zemljinoga gravitacijskog polja što najbolje odgovara srednjoj razini mora. S geografskog aspekta površina Zemlje nije jednaka površini geoida, uz ostalo i zato, što se ne odreñuje na temelju gravitacijskog polja već na temelju geomorfoloških značajki, od temeljnih geomorfoloških struktura do najsitnijih geomorfoloških skulpturnih oblika. 25
26 Geodetske pretpostavke ZEMLJA Iako se i geoid sastoji od udubina i uzvisina, okomiti razmak izmeñu najniže i naviše točke tog tijela manji je od maksimalnog okomitog razmaka Zemlje koju čini skup ravnina, udubina i uzvisina od m visine Mount Everesta do m dubine točke Challenger u Marijanskom jarku. Za matematičku osnovu karte, odnosno za konstrukciju kartografskih projekcija, oblik Zemlje u približnosti se odreñuje kao referentni elipsoid. 26
27 Geodetske pretpostavke ZEMLJA Tijekom povijesti izvršena su brojna mjerenja Zemlje i svoj prilog tomu su dali brojni znanstvenici. Jedan od njih je bio Njemac Friedrich Wilhelm Bessel koji je godine izračunao vrijednosti dimenzija Zemlje koje su se koristile u Pruskoj i većini drugih europskih država. On je izračunao da je ekvator dug ,368 km, a da je meridijanski opseg jednak ,423 km. 27
28 Geodetske pretpostavke ZEMLJA U Hrvatskoj je dugo bio u upotrebi Besselov elipsoid s dimenzijama poluosi: a = ,155 m i b = ,963 m gdje je a - ekvatorski polumjer b - polarni polumjer. 28
29 Geodetske pretpostavke Neki značajniji elipsoidi ZEMLJA Izvor Godina Ekvatorski polumjer Polarni polumjer Bessel , ,0 Hayford , ,0 Krassovsky , ,0 GRS , ,3141 WGS , ,
30 Geodetske pretpostavke ZEMLJA Dimenzije Zemlje dugoročno se mijenjaju u skladu s temeljnim geološkim i astrofizičkim mijenama, ali za praktične potrebe s tim se neznatnim promjenama ne može računati. Danas se kao relevatne vrijednosti uzimaju one koje je propisala Meñunarodna geodetska i geofizička unija i te bi podatke trebalo koristiti u svim znanostima i različitim drugim aspektima praktične primjene sve dok se drugačije ne odredi odlukom Unije. 30
31 Geodetske pretpostavke ZEMLJA Hrvatska je godine odlukom Vlade RH prešla na GRS 80 (Odluka o utvrñivanju službenih geodetskih datuma i ravninskih kartografskih projekcija Republike Hrvatske, NN 110/2004). U 2. stavku 1. članka Odluke izričito stoji: "Elipsoid GRS80 s veličinom velike poluosi a = ,00 m i spljoštenošću µ = 1/298, odreñuje se službenim matematičkim modelom za Zemljino tijelo u Republici Hrvatskoj." 31
32 Geodetske pretpostavke ZEMLJA Pogled na Zemlju iz svemira: najzorniji dokaz oblika Zemlje 32
33 Geodetske pretpostavke KOORDINATE I PROJEKCIJE Za odreñivanje položaja točke na elipsoidu služe geografske koordinate u kutnoj mjeri i to: geografska širina φ (nula je na ekvatoru) geografska dužina λ (nula je na meridijanu koji prolazi kroz Greenwich*) latitude, φ(phi) - paralele - geogr. širina - geodetski X - matematički Y longitude, λ(lambda) - meridijani - geogr. dužina - geodetski Y - matematički X * Greenwich grad s st., danas SI dio šireg gradskog područja Londona 33
34 Geodetske pretpostavke KOORDINATE I PROJEKCIJE Za praktične potrebe i uglavnom zbog rada na kompjuteru poželjne su pravokutne koordinate. Zbog toga se dijelovi Zemljine površine preslikavaju na ravnine. Za prikaz površine koriste se različite zemljovidne projekcije, pri kojima dolazi do deformacija duljina, površina i kutova. Kod nas je, za potrebe državne izmjere, za izradu katastarskih planova i topografskih zemljovida, u upotrebi Gauss-Krügerova projekcija (engl. Transverse Mercator Projection). To je konformna poprečna cilindrična projekcija geoida u ravninu, a koristi se za izradu zemljovida u mjerilima krupnijim od 1:
35 Geodetske pretpostavke KOORDINATE I PROJEKCIJE Kod Gauss-Krügerove projekcije cilj je postići što manje deformacije središnjeg meridijana područja jednog sustava. Zbog povećanja deformacija udaljavanjem od središnjeg meridijana, širina područja ovisi o točnosti preslikavanja. Uz minimalne pogreške, širina jednog koordinatnog sustava (zone) iznosi 3 po geografskoj dužini, tj. 1,5 isto čno i zapadno od središnjeg meridijana. 35
36 Geodetske pretpostavke KOORDINATE I PROJEKCIJE U Hrvatskoj su dodirni meridijani (X-osi) λ = 15 i λ = 18, a ekvator predstavlja Y-os. Ova dva meridijana predstavljaju dva koordinatna sustava, peti i šesti u odnosu na Greenwich. Ipak da bi se izbjegle negativne vrijednosti Y-koordinate, dodaje im se konstanta , a da se obilježi koordinatni sustav dodaju se Y-koordinati konstante i to u petom sustavu , a u šestom
37 Geodetske pretpostavke KOORDINATE I PROJEKCIJE Do u kartografiji i GIS-u podaci su bili u jednoj od tri projekcije koordinatnog sustava Transverse Mercator: projekcija središnji meridijan linearno mjerilo konstanta 15 (5. zona) (6. zona) Parametri u gornjoj tablici su neophodni za geotransformacije, odnosno reprojiciranje grafičkih i negrafičkih sadržaja iz pojedinih projekcija. 37
38 Geodetske pretpostavke KOORDINATE I PROJEKCIJE Odlukom Vlade Republike Hrvatske od 4. kolovoza godine je Hrvatski Terestrički Referentni Sustav za epohu skraćeno HTRS96, uveden za novi službeni položajni referentni koordinatni sustav Republike Hrvatske, a za potrebe detaljne državne kartografije je usvojen projekcijski koordinatni sustav poprečne Mercatorove (Gauss-Krügerove) projekcije - skraćeno HTRS96/TM (NN 114/2004, 117/2004) (Hrvatski geodetski institut, Parametri koje je potrebno koristiti od godine su: središnji meridijan linearno mjerilo konstanta
39 Geodetske pretpostavke GEODETSKI PLANOVI I KARTE Geodetski planovi i karte podloga su za sve stručne djelatnosti u kojima se koristi GIS i iz njih se preuzimaju podaci koji se unose u tematske karte. Oni postoje u različitim mjerilima ali ne pokrivaju uvijek cijeli teritorij Hrvatske. Danas se u mjerilima 1:500, 1:1000, 1:2000, 1:2880* i 1:2904 izrañuju katastarski planovi, koji sadrže katastarske čestice, grañevine i druge objekte. Planovi su izrañeni klasičnim metodama u razdoblju od godine. * Veći dio Hrvatske ima samo planove u mjerilu 1:2880 iz stare austrougarske izmjere. Oni su bez visinskog prikaza, a služe za pravno-imovinske namjene, eksproprijacije i sl.. 39
40 Hrvatska osnovna karta (HOK) u mjerilu 1:5000 podloga je za: idejne projekte cesta, pruga, kanala i sl., generalni urbanistički plan podloga za razne studije Postoji još Geodetske pretpostavke GEODETSKI PLANOVI I KARTE i HOK10 (1:10000). Topografske karte postoje u mjerilima 1:25.000, 1:50.000, 1: , 1: i 1: Rañene su za vojno-obrambene potrebe, a koriste se i kao podloga za izradu namjenskih karata (geoloških, hidroloških, pedoloških i dr.) te za izradu namjenskih karata (školskih, demografskih, turističkih itd.). Postoji i karta Euro Global Map u mjerilu 1: koja sadrži 6 tema i 13 slojeva u GIS formatu. 40
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Metode i instrumenti za određivanje visinskih razlika. Zdravka Šimić
Metode i instrumenti za određivanje visinskih razlika Zdravka Šimić Visinski prikaz terena - konfiguracija dio plana dio karte 2 Visinski prikaz terena Izohipse ili slojnice povezuju točke iste visine.
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
PROMETNI GEOINFORMACIJSKI SUSTAVI
Sveučilište u Zagrebu Fakultet prometnih znanosti PROMETNI GEOINFORMACIJSKI SUSTAVI prof. dr. sc. Hrvoje Gold 2009/2010 PROMETNI GEOINFORMACIJSKI SUSTAVI 02. KOORDINATNI SUSTAVI I PROJEKCIJE 1 2 Koordinatni
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
MJERILO. Dr. sc. Aleksandar Toskić, izv. prof. Geografski odsjek PMF-a
MJERILO Dr. sc. Aleksandar Toskić, izv. prof. Geografski odsjek PMF-a Zašto je potrebno poznavati mjerilo? Udaljenost jedna od osnovnih prostornih varijabli koja određuje smjer i intenzitet mnogih prostornih
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Kartografske projekcije. Dr. sc. Aleksandar Toskić, izv. prof. Gegrafski odsjek PMF-a
Kartografske projekcije Dr. sc. Aleksandar Toskić, izv. prof. Gegrafski odsjek PMF-a GLOBUS Prikaz Zemljine površine na kugli Prikaz bez deformacija (dužina, kutova, površina) Elipsoid ne odstupa znatnije
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Nova CROPOS on-line usluga za HTRS96/TM i HVRS71
Republika Hrvatska Državna geodetska uprava Sektor za državnu izmjeru Gruška 20, 10 000 Zagreb Nova CROPOS on-line usluga za HTRS96/TM i HVRS71 Donošenjem Odluke o utvrđivanju službenih geodetskih datuma
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Prostorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Kartografske projekcije
Kartografske projekcije Današnje predavanje Kako ćemo definirati položaj nekog objekta u prostoru? Koji je oblik Zemlje? Kako ćemo taj položaj definirati i prikazati u 2 dimenzije? Osnovni koncepti geodezije
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.
J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Analitička geometrija i linearna algebra
1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Koordinatni sistemi v geodeziji
Koordinatni sistemi v geodeziji 14-1 Koordinatni sistemi v geodeziji Koordinatni sistemi v geodeziji 2 Vrste koordinatnih sistemov Vzpostavitev koordinatnega sistema je potrebna zaradi pridobitve primernega
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.
Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k
Periodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA
ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Usporedba podataka iz digitalizacije i izmjere za dio K.o Severovci
SVEUCILIŠTE U ZAGREBU GEODETSKI FAKULTET UNIVERSITY OF ZAGREB FACULTY OF GEODESY Zavod za inženjersku geodeziju - Institute of Engineering Geodesy Kaciceva 26, HR-10000 Zagreb, CROATIA WEB: www.geof.hr;
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Prikaz sustava u prostoru stanja
Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.
GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66
M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/