ب ردارها فصل دوم F 1 F 2 R R بخش اول - استاتیک PROBLEMS. 6.1 through 6.18 Using. Fig. Fig. P6.1. Fig. P ft 8 ft. 2.4 m 2.4 m lb.

Transcript

1 ribing freus, to ب ردارها فصل دوم F 2 wn an sis ton in actinso, ted isll بخش اول - استاتیک F 2 F lb (a) F 1 25 m F 1 F 1 F 2 OLEMS bee80156_ch06_ indd age /16/09 11:50:46 M user-s173

2 m OLEMS bee80156_ch06_ indd age /16/09 11:50:46 M user-s lb هدفهای رفتاری پس از آموزش این فصل از فراگیر انتظار میرود بتواند: 1- کمیتهای فیزیکی را بشناسد. 2- انواع بردارها را تعریف نماید. 3- جمع و تفریق بردارها را به روش ترسیمی انجام دهد. 4- یک بردار را به مؤلفههای آن تجزیه نماید. 5- نمایش برداری بردارها را بداند. 6- مقدار بردار را با استفاده از مؤلفههای متعامد آن محاسبه نماید. 1-2 کمیت های فیزیکی کمیت های عددی یا اسکالر کمیت هایی هستند که فقط دارای اندازه یا مقدار می باشند مانند جرم زمان طول جسم و کار و انرژی کمیت های برداری کمیت هایی هستند که عالوه بر مقدار دارای جهت و راستا نیز می باشند. مانند: بردارهای نیرو گشتاور سرعت شتاب و جابجایی. 2-2 بردارها )Vector( هر بردار به صورت یک پیکان با طولی متناسب با مقدار آن ترسیم می شود به عنوان مثال در شکل )1-2( بردار نیروی ( ) F با مقدار 80 N و با زاویه 30 نسبت به محور و در جهت و راستای نشان داده شده ترسیم شده است. نکته: زاویه امتداد هر بردار باید با یک امتداد مبنا که معموال امتدادهای یا است مشخص شود. راستای بردار شکل 1-2 F= 80N 30 جهت بردار 8

3 however, the point of of application of of the force does not matter, as as long as as the line of of action remains unchanged. Thus, forces acting on a a rigid bod must be represented b b a a different kind of of vector, known as as a a sliding vector,, since forces ma be allowed to to slide along their lines of of action. We should note that all all the properties which will be derived in in the following sections for the forces بردارها acting انواع on a a rigid 3-2 bod will be valid more generall for an sstem of of لغزان sliding بردار vectors In In order to to keep our presentation more intuitive, however, we will carr برداری است که اگر در راستای خود جابهجا شود اثر آن بر جسم تغییر ننماید. همانند نیروی it it out in in terms of of phsical forces rather than in in terms of of mathematical sliding vectors. F در شکل )2-2( F یا F' F' W W شکل 2-2 eturning to to the eample of of the truck, we first observe that the line of of action of of the force F is is a a horizontal line passing ثابت بردار through both برداری Using است ). ). که 3.4 مکان. ( ( معینی را truck در the فضا of of اشغال میکند bumpers و نمی rear توانthe آن راand جابجا front نمود. the مثال the principle of of transmissibilit, we can therefore replace F b b an an equiva- او lent پای force جهت به F همان 9 9 acting مقدار و همانon the با rear ای که bumper. شود با ضربه In In می other انسان وارد words, به سر the ای که conditions of of motion are unaffected, and all all the other است. متفاوت eternal میآید وارد forces acting on the truck ( ( W,, 1,, 2 ) 2 ) remain unchanged ضربه the people بردارهای if if همسنگ push on the rear bumper instead of of pulling on front bumper. The )3-2( principle نامیم. شکل of of می transmissibilit بردارهای همسنگ and جهت را همthe concept موازی و of مساوی of دو بردار equivalent forces have limitations, however. onsider, for eample, a a short bar acted upon b b equal and opposite F aial forces 1 1 and 2, 2, as as shown in in. 3.5 a a.. ccording to to the principle of of transmissibilit, the force شکل 2 2 can 3-2 be replaced b b a a force having the same magnitude, the same direction, and the same line of of action but acting at at instead of of (. 3.5 b ). ). The forces 1 1 and acting on the same particle بردارهای زوج (a) (a) (d) (d) lb ' ' ' ' 2 2 (e) (e) 25 m 1 1 دو بردار مساوی موازی و مختلف الجهت را بردارهای زوج می نامیم. شکل )4-2( شکل 4-2 F OLEMS (c) (c) ( ( f ) f ) bee80156_ch06_ indd age /16/09 11:50:46 M user-s173

4 m OLEMS bee80156_ch06_ indd age /16/09 11:50:46 M user-s173 es his the of es b 600 lb بردارهای مخالف دو بردار مساوی هم راستا و مختلف الجهت را بردارهای مخالف گویند. شکل )5-2( V F avthe al θ ve- V ht- an شکل 5-2 ). es ure 1/1 the e بردار یکه )واحد( ace برداری که مقدار )اندازه( آن برابر واحد است را بردار یکه یا واحد مینامیم. di- e بردار نیرو ta- he ce برداری است که عالوه بر 19 مقدار جهت و eview راستا دارای hapter نقطه اثر نیز 1/9 میباشد rticle و واحد اندازهگیری آن نیوتن )N( است و مطابق قانون دوم نیوتن به صورت زیر تعریف en n n- میشود: ace m = 1400 kg W g. onvert ld ot rd om ns. f V شکل 6-2 W Helpful Hints the tbook, se we 1 2 s is Our calculator indicates دوم نیوتن a قانون result استفاده از of تعریف نیوتن با re N. Using the rules of significant-figure displa used in this tet- یک نیوتن مقدار نیرویی است که اگر به جرم یک کیلوگرم وارد شود در آن شتابی معادل یک. 3.2 ns. متر بر مجذور ثانیه و در to جهت result ا عمال نیرو written ایجاد the نماید. round F = m.abook, we four msignificant figures, or N. of 1N = 1kg 1 Had s 2 the number begun with an ke digit other than 1, we would have ns. rounded to three significant figures. 10 it gain using F F

5 lb جمع و تفریق بردارها عملیات جمع و تفریق کمیت های برداری با جمع و تفریق کمیت های عددی )اسکالر( متفاوت است. در این کتاب برای نشان دادن یک بردار مانند V از عالمت ( آن استفاده می شود و برای نشان دادن مقدار )اندازه( آن بردار عالمت ( ) در باالی ) باالی آن برداشته V V بردار : V 25 m OLEMS می شود روش های جمع و تفریق بردارها جمع و تفریق بردارها به دو روش 1- ترسیمی 2- محاسباتی انجام می شود که در این فصل با روش ترسیمی و در فصل بعد با روش های محاسباتی آشنا خواهید شد روش ترسیمی در این روش با استفاده از وسایل ترسیم و مقیاس مناسب جمع و تفریق بردارها انجام می شود. روش های ترسیمی جمع و تفریق بردارها شامل سه روش زیر می باشد: الف( روش مثلث اندازه یا مقدار بردار : V ب( روش متوازیاالضالع M user-s173 /Volumes/MHQ-New/MHQ152/MHQ152 ج( روش چندضلعی 44 M user-s173 /Volumes/MHQ-New/MHQ152/MHQ الزم به ذکر است که روشهای مثلث و متوازیاالضالع برای مجموع یا تفاضل دو بردار و روش چندضلعی برای مجموع یا تفاضل بیش از دو بردار مناسب میباشند. الف( روش مثلث دو بردار و Q مطابق شکل )7-2( مفروض است. برای بهدست آوردن مجموع به صورت زیر عمل میکنیم: آنها یعنی Vectors Q te scale, the length of this iate magnitude scale, the of length the force. of this he dicated magnitude b an arrowhead. of the force. indicated its sense. b an Two arrowhead. forces line dicate of action its sense. but Two different forces e a line and of b, action will have but directl different.1 a and b, will have directl o forces and Q acting b two a single forces force and Q which acting ed 2.2 b c ). a This single force force is called which g. an 2.2 be c ). obtained, This 11 force as shown is called m, can using be obtained, and Q as shown two Q Q (a) (a) 2.3 Vectors شکل 7-2 bee80156_ch06_ indd age /16/09 11:50:46 M user-s

6 m OLEMS bee80156_ch06_ indd age /16/09 11:50:46 M user-s173 1( از نقطه دلخواه مانند هم سنگ یکی از بردارها ترسیم می شود 9:31:51 M user-s173 /Volumes/MHQ-New/MHQ152/MHQ ( از انتهای بردار اول هم سنگ بردار دوم ترسیم می شود 3( برداری که از ابتدای بردار اول به انتهای بردار دوم وصل می شود مجموع دو بردار خواهد بود که مقدار آن به وسیلة خط کش مقیاس اندازه گیری می شود: شکل )8-2(, we can derive an alternative 2.4 ddition of Vectors 19 = + Q )1-2( 73 two vectors. This method, known /Volumes/MHQ-New/MHQ152/MHQ ollows. onsider. 2.6, where Q s 3 been determined b the paralparallelogram opposite Q is equal /Volumes/MHQ-New/MHQ152/MHQ /Volumes/MHQ-New/MHQ152/MHQ we could draw onl half of the /Volumes/MHQ-New/MHQ152/MHQ of the two vectors /Volumes/MHQ-New/MHQ152/MHQ /Volumes/MHQ-New/MHQ152/MHQ can thus be -to-tail fashion and then connect- In. 2.7 b, the other half of the شکل 8-2 he same result is obtained. This /Volumes/MHQ-New/MHQ152/MHQ (a) e on length is commutative. of this 2.3 Vectors is ngth defined of as this 2.3 Vectors 17 e of the force. the addition of the 17 s, length vector of this 2.3 Vectors f 2 Q representing Q an the arrowhead. force. 17 s arrowhead. and Q is obtained b adding of length this the of force. this 2.3 Vectors 2.3 Vectors se. Two forces Vectors 2.8 ). We write. 2.7 e an Two of force. arrowhead. the forces force. 2.3 Vectors 17 n but different 17 ب( روش متوازیاالضالع se. 1 (2Q) (2.2) ill an whead. ut have Two arrowhead. different directl forces t, se. while the same sign is used to و Q مطابق شکل )9-2( Q ave forces but Two directl different forces دو بردار Q 2.3 Vectors n action, confusion will be avoided l ifferent have but different directl 17 and Q acting Q = + Q een vector and scalar quantities. (a) مفروض است و مجموع آنها یعنی ll nd m directl force have of Q three acting directl which or more vectors. The Q مدنظر میباشد. طبق قانون متوازی االضالع به شرح (a) ill, and b definition acting, be Q Q rce force which is Qcalled obtained b d and Q (a) then adding the vector S 9-2 to the شکل Q زیر عمل مینمائیم: شکل )10-2( force acting Q ined, is as acting called shown which (a) (a) force which و (a) (a) 1( از نقطه دلخواه مانند O همسنگ بردارهای d, and as Q which shown as two (a) ( s force called 1 Q) is 1called S (2.3) passes through Q ترسیم مینمائیم ined, d Q two. 2.8 will shown as Q d shown 1 O the resultant be obtained is b adding the Q خطی sses به موازات بردار st and as three. two through Q It as follows two (a) that the sum 2( از انتهای بردار wo forces. tained resultant b This Q appling is repeatedl through oved passes or through derived the )d 1 ترسیم میشود )خط irs forces. of vectors This until he is all the Qgiven ltant resultant is is ctor. Q به موازات بردار خطی 3( از انتهای بردار Q es. d o forces. O This derived This Q Q Q Q d 1 را در نقطه Ó شکل 10-2 d( 2 تا خط ترسیم میشود )خط derived or derived d 2 قطع نماید. Q pendicular to the binding (. 2.3b); this یعنی خواهد و )4 برداری که از O به O' ترسیم میشود همان مجموع دو بردار shown. w 180 units long Q and oriented as nal e rules position through of addieample, two a single 180 rotation at the sum of the 180 rotations repre- بود که مقدار آن به وسیله خطکش مقیاس برداشت میشود. e z and aes is a 180 rotation represented (c) b ). learl, finite rotations of a rigid les and of the addi- other ition; of rules therefore, the cannot be represented 12 rules lb. addileeample, (c) Forces of addi of two addieample, law two of addi- are m two d and the the other other two (c) (c) + Q + Q Q 600 lb

7 ج( روش چندضلعی در این روش به منظور ترسیم مجموع چند بردار مانند شکل )11-2( از یک نقطه دلخواه مانند O شکل O همسنگ بردار اول را رسم میکنیم و از انتهای بردار رسم شده همسنگ بردار دوم ترسیم میشود. این روند تا ترسیم تمامی بردارها ادامه مییابد برداری که از ابتدای بردار اول به انتهای بردار آخر رسم میشود مجموع بردارها خواهد بود. شکل )12-2( شکل 12-2 نکته 1( هر گاه انتهای آخرین بردار بر ابتدای بردار اول منطبق گردد )یک چندضلعی بسته تشکیل شود( مجموع بردارها صفر خواهد بود. نکته 2( در حالتی که بردارها موازی یا همراستا باشند برای جمع و تفریق آنها کافیاست با در نظر گرفتن جهت بردارها آنها را روی یک محور ترسیم نمود. تذکر: عملیات تفریق دو یا چند بردار به روشهای فوق با استفاده از تعریف بردار مخالف مطابق شکل )13-2( امکانپذیر است. یعنی: = + ( ) )2-2( شکل lb تفاضل بردارهای و به روش مثلث 25 m OLEMS تفاضل بردارهای و به روش متوازی االضالع bee80156_ch06_ indd age /16/09 11:50:46 M user-s173

8 bee80156_ch06_ indd age /16/09 11:50:46 M user-s173 OLEMS 25 m lb مثال 1 را به روش ترسیمی نشان داده و و + در شکل زیر بردارهای اندازة تقریبی آنرا با خطکش مقیاس برداشت نمایید. )ابعاد شبکه برابر 10 واحد است( = + = مجموع دو بردار به روش مثلث 14

9 = + = 40 مجموع دو بردار به روش متوازی االضالع lb تفاضل دو بردار به روش مثلث تفاضل دو بردار به روش متوازی االضالع فيلم مربوط به اين موضوع را ببينيد. = = 63 = = m OLEMS bee80156_ch06_ indd age /16/09 11:50:46 M user-s173

10 m OLEMS bee80156_ch06_ indd age /16/09 11:50:46 M user-s lb 5-2 تجزیة یک بردار به مؤلفه های آن به روش ترسیمی همان گونه که در قسمت قبل دیدیم دو بردار با امتداد و مقادیر مشخص را می توان با استفاده از روش های مثلث یا متوازی االضالع با یکدیگر جمع نمود و مجموع آن ها را به دست آورد که این بردار مجموع را برآیند دو بردار اولیه نیز می نامند. حال چنان چه دو امتداد دلخواه در صفحه داشته باشیم و برداری به نام F نیز داده شده باشد می توان آن را بر روی دو امتداد مورد نظر به شرح ذیل تجزیه نمود که عکس عمل جمع دو بردار می باشد. شکل های )14-2( و )15-2( 1( از انتهای بردار F دو خط به موازات محورهای a و b ترسیم نموده )خطوط' a و' b ( تا O 2 قطع نماید. O 1 و آنها را در نقاط F a نشان داده میشود. F روی امتداد a خواهد بود که با )2 بردار OO 1 مؤلفة F b نشان داده میشود. F روی امتداد b خواهد بود که با نماد )3 بردار OO 2 مؤلفة روش فوق روش کلی برای تجزیة یک بردار است. حالت خاصی از آن تجزیة یک بردار روی دو محور متعامد )عمود بر هم( است که کاربرد زیای در حل مسائل ایستایی دارد. شکل 14-2 o o 2 شکل 15-2 o o 1 16

11 مثال 2 در شکل روبه رو بردار F را روی امتدادهای a و b تجزیه کنید. b' حل: a' lb تجزیة یک بردار به مؤلفه های متعامد آن در دستگاه مختصات دکارتی مطابق شکل )16-2( بردار با زاویه θ نسبت به محور مفروض است. می خواهیم آن را روی محورهای متعامد و تجزیه نمائیم. چنانچه مطابق مراحل سهگانه در بخش )5-2( عمل کنیم به شکل )17-2( خواهیم رسید. o a θ b 25 m شکل 16-2 OLEMS bee80156_ch06_ indd age /16/09 11:50:46 M user-s173

12 m OLEMS bee80156_ch06_ indd age /16/09 11:50:46 M user-s lb o 2 با و اندازه یا مقدار مؤلفههای استفاده از روابط مثلثاتی در مثلث رنگ شدة شکل )17-2( به شکل زیر محاسبه میشوند: o θ o 1 شکل 17-2 θ= = θ θ= = θ cos.cos sin.sin )3-2( مثال 3 نیروی F مطابق شکل بر میخی وارد میشود. مطلوباست تجزیه این نیرو روی محورهای و و محاسبه مقادیر مؤلفهها. حل: نیروی F را به مؤلفه های متعامد تجزیه F=1000N می کنیم. فيلم مربوط به اين موضوع را ببينيد. 30 F =1000N F 30 F F = F cos θ= 1000 cos 30 F = 866 / 02 N F = Fsin θ= 1000 sin 30 F = 500 N 18

13 نمایش برداری یک بردار در دستگاه مختصات دکارتی در دستگاه مختصات دکارتی محورهای o و o بر یکدیگر عمود بوده و بردارهای واحد )یکه( روی آن ها به ترتیب با i و j نمایش داده می شوند و برداری مانند بردار در این دستگاه با رابطة زیر تعریف می شود: = i+ j )4-2( مؤلفة روی محور می باشد. مؤلفة روی محور و که در رابطة باال مثال 4 فرم برداری بردار F در شکل )مثال 3( را بنویسید. حل: می باشد. 600 lb F= Fi+ فرم برداری بردار F به صورت Fj F = 866 / 02N F = 500N F = 866 / 02i+ 500j 25 m با توجه به نتایج مثال 3 داریم: OLEMS بنابراین: 7-2 تعیین اندازة یک بردار با استفاده از مؤلفه های متعامد آن همان طور که یک بردار را می توان به دو مؤلفه روی امتدادهای مختلف تجزیه کرد می توان به کمک مؤلفه های یک بردار اندازة بردار و زاویة آن را به کمک رابطة فیثاغورث و نسبتهای مثلثاتی تعیین کرد. i+ = داشته باشیم میتوان اندازه و زاویه آنرا هر گاه برداری مانند j = + = + 1 θ= tan 1 θ= tan با امتداد به صورت زیر تعیین نمود: مقدار )اندازه( بردار )5-2( زاویه بردار نسبت به محور ها )6-2( فيلم مربوط به اين موضوع را ببينيد. bee80156_ch06_ indd age /16/09 11:50:46 M user-s173

14 m OLEMS bee80156_ch06_ indd age /16/09 11:50:46 M user-s173 F =40 F=50 مثال 5 بردار j) F = ( 30 i + 40 را ترسیم نموده مقدار و زاویة آن را با محور ها به دست آورید. o θ=53/13 F =30 F= F + F F= F= lb خالصه فصل کمیت های فیزیکی به دو دستة کلی تقسیم می شوند: الف- کمیت های اسکالر )عددی( ب- کمیت های برداری بردارهای یکه )واحد( روی محورهای و در دستگاه مختصات دکارتی به ترتیب با i و j نمایش داده می شوند. جمع و تفریق کمیت های برداری با جمع و تفریق کمیت های عددی متفاوت می باشد. جمع و تفریق دو یا چند بردار به صورت ترسیمی با روش های مثلث و متوازی االضالع و چندضلعی انجام می شود. هر بردار را می توان روی دو محور دلخواه به مؤلفه های آن تجزیه نمود. مؤلفه های متعامد یک بردار در صفحه مختصات دکارتی با روابط زیر محاسبه می شوند: فرم برداری یک بردار با استفاده از مؤلفههای متعامد آن در صفحة مختصات دکارتی = i+ j عبارتاست از: برای جمع و تفریق بردارهای هم راستا و یا موازی کافی است اندازة آن ها را با یکدیگر به صورت جبری جمع و یا تفریق نمود. i+ = و زاویة آن با محور ها از روابط زیر تعیین میشوند: اندازه برداری مانند j 2 2 = + اندازه بردار θ= F θ= tan θ= tan θ= 53 / 13 F 30 =.cos θ =.sin θ 1 tan ( ) زاویه بردار با محور 20

15 خودآزمایی 1- کمیتهای فیزیکی را نام برده و هر یک را تعریف کنید و مثال بزنید. 2- از کمیتهای زیر کدامیک اسکالر و کدامیک برداری میباشند شتاب - وزن - سطح - حجم - جابهجایی 3- انواع بردارها را نام برده و هر کدام را تعریف کنید. 4- در هر شکل جمع بردارهای داده شده را به روش ترسیمی نشان دهید و اندازه و زاویة بردار برآیند با امتداد افق را با استفاده از خطکش و نقاله اندازهگیری نمائید. F 1 =2N F2 =1/5N F 1 =300N F 3 =100N. 6.1 F 2 =250N lb )الف( )ب( 25 m OLEMS bee80156_ch06_ indd age /16/09 11:50:46 M user-s173

16 m OLEMS bee80156_ch06_ indd age /16/09 11:50:46 M user-s lb + F را به روش ترسیمی تعیین Q و 5- در شکلهای زیر حاصل عبارات کنید. = 20kN =10kN 2 2 )الف( = 70/ 7kN Q = 79kN 1 1 F = 50kN )ب( 6- بردارهای زیر را به روش ترسیمی روی محورهای داده شده تجزیه کنید. F b a )الف( 22

17 S )ب( a )ج( b lb بردارهای زیر را به مؤلفه های متعامد آن تجزیه نمائید و فرم برداری آن ها را بنویسید. F=5kN 45 )الف( 25 m OLEMS bee80156_ch06_ indd age /16/09 11:50:46 M user-s173

18 m OLEMS bee80156_ch06_ indd age /16/09 11:50:46 M user-s lb T=2000N )ب( 60 F 3 =100 kn 4 3 F 1 =50 kn 30 )ج( F 2 =30 kn 8- بردارهای زیر را ترسیم نموده و اندازه و زاویه هر یک را نسبت به محور و تعیین F= 4i+ 3j F= 4 i+ 3j = 5i = 5i T = 3/ 5j T = 3/ 5j Q = 3i 3j Q= 3i 3j کنید. ب( د( الف( 3j F= 4i+ F= 4 i+ 3j = 5i = 5i T = 3/ 5j T = 3/ 5j ج( Q= 3i 3j Q= 3i 3j 24