8. Navadne diferencialne enačbe
|
|
- Μαργαρίτες Δημητρίου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 8. Navadne diferencialne enačbe 8.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija x in y. Numerična rešitev je sestavljena iz zaporedja x 0 < x 1 < x 2 <... in pripadajočega zaporedja y 0, y 1, y 2,..., tako da je vsak y n približek za rešitev v x n, oziroma y n y(x n ), n = 0, Moderne metode avtomatično določajo velikosti korakov h n = x n+1 x n tako, da napake približkov y n ostanejo v vnaprej določenih mejah.
2 Osnovna delitev metod Rešujemo začetni problem y = f(x, y) pri začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0. Računamo približke y 0, y 1, y 2,... za vrednosti y(x 0 ), y(x 1 ), y(x 2 ),... v točkah x 0 < x 1 < x 2 <. Označimo y(x i ) : točna vrednost rešitve v x i, y i : izračunani približek za y(x i ). Metode za reševanje začetnega problema delimo na: enokoračne metode: y n+1 izračunamo iz y n, večkoračne metode: y n+1 izračunamo iz y n, y n 1,..., y n k. Metode ločimo še na: eksplicitne metode: imamo direktno formulo za y n+1, implicitne metode: y n+1 dobimo tako, da rešimo nelinearno enačbo.
3 Zgled rešitve in vej Rešitve za y = cos(3x 2 )+sin(4x)y pri začetnih pogojih y(0) = 0.3, 0.2,..., 0.3.
4 Obstoj rešitve Funkcija f(x, y), kjer je f : R 2 R, na območju D = [a, b] Ω R 2 zadošča Lipschitzovemu pogoju na y s konstanto L, če za poljubna (x, y 1 ), (x, y 2 ) D velja f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) L y 1 y 2. Zadostni pogoj, da je f Lipschitzova je, da je f odvedljiva po y, saj je potem lahko L = max f y(x, y). (x,y) D Če f ustreza Lipschitzovemu pogoju, potem za vsak (x 0, y 0 ) D obstaja podinterval [a, b], ki vsebuje x 0, na katerem rešitev začetnega problema y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, obstaja in je enolična.
5 Občutljivost začetnega problema Naj f ustreza Lipschitzovemu pogoju s konstanto L. problema y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, je y(x). Točna rešitev začetnega Če je ỹ(x) rešitev začetnega problema z zmotenim začetnim pogojem y = f(x, y), y(x 0 ) = ỹ 0, potem za poljuben x x 0 velja ỹ(x) y(x) e L(x x 0) ỹ 0 y 0. Če namesto začetnega problema y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, rešujemo bližnji problem ŷ = f(x, ŷ), f(x 0 ) = ŷ 0, velja ŷ(x) y(x) e L(x x0) ŷ 0 y 0 + el(x x0) 1 L f f, kjer je f f = max (x,y) D f(x, y) f(x, y).
6 Stabilnost rešitve začetnega problema Rešitev začetnega problema y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, je stabilna, če za vsak ɛ > 0 obstaja tak δ > 0, da za vsak ỹ(x), ki je rešitev ỹ = f(x, ỹ), ỹ(x 0 ) = ỹ 0, kjer je ỹ 0 y 0 < δ, velja ỹ(x) y(x) ɛ za vse x x 0. Če ima začetni problem stabilno rešitev, lahko pričakujemo, da rešitev pri zmotenem začetnem pogoju ostane blizu točne rešitve. Stabilna rešitev je asimptotično stabilna, če gre ỹ(x) y(x) proti 0, ko gre x proti neskončnosti. Pri asimptotični rešitvi lahko pričakujemo, da bo napaka zmotenega začetnega pogoja šla proti 0, ko gre x proti neskočnosti. Zgled: Rešitev diferencialne enačbe y (x) = λy, y(0) = y 0, kjer je λ = a + ib C, je y(x) = y 0 e λx = y 0 e ax (cos(bx) + i sin(bx)). Rešitev je asimptotično stabilna pri re(λ) < 0, stabilna pri re(λ) 0, in nestabilna pri re(λ) > 0.
7 8.2. Eulerjeva metoda Najpreprostejša enokoračna metoda je eksplicitna Eulerjeva metoda z nastavkom y n+1 = y n + hf(x n, y n ) x n+1 = x n + h Uporablja fiksen premik h. Ideja je, da se v vsaki točki premaknemo v smeri tangente. Implicitna Eulerjeva metoda je y n+1 = y n + hf(x n+1, y n+1 ). Pri implicitni metodi je potrebno v vsakem koraku rešiti nelinearni sistem za y n+1.
8 Zgled Eksplicitna Eulerjeva metoda na primeru y = cos(3x 2 )+sin(4x)y, y(0) = 1, h = 0.2
9 Zgled Primerjava eksplicitne Eulerjeve metode na primeru y y(0) = 1, interval je [0, 4]. = cos(3x 2 ) + sin(4x)y,
10 Taylorjeva vrsta Če y = f(x, y) odvajamo, dobimo y = f y = f x + f y y = f x + f y f y = f xx + 2f xy f + f yy f 2 + f y (f x + f y f). Po Taylorjevi vrsti izračunamo y(x 1 ) = y(x 0 + h) = y 0 + hy 0 + h2 2 y 0 +. Zgled y = xy + 1, y(0) = 0, y(0.2) =? y = xy + 1 = y (0) = 1 y = xy + y = y (0) = 0 y = xy + 2y = y (0) = 2 y(h) = h h3 +. Pri h = 0.2 dobimo y 1 = = Nadaljujemo s točko (0.2, ).
11 Red lokalne napake Definicija 1. Pravimo, da je ima metoda lokalno napako reda k, če se pri točni vrednosti y n = y(x n ) izračunani y n+1 ujema z razvojem y(x n + h) v Taylorjevo vrsto okrog x n do vključno člena h k. Lokalna napaka predstavlja napako v enem samem koraku. Metoda iz prejšnjega zgleda ima red 3, sicer pa z razvijanjem v Taylorjevo vrsto lahko dobimo metodo poljubnega reda. Eulerjeva metoda (eksplicitna in implicitna) ima red 1. V grobem velja, da ima metoda z lokalno napako reda k globalno napako reda k 1.
12 Globalna napaka Globalna napaka ni preprosto kar vsota lokalnih napak. Numerična metoda za reševanje začetnega problema je stabilna, kadar majhne motnje ne povzročijo divergence numerične rešitve. Vsaka enokoračna metoda se da zapisati v obliki y n+1 = y n + θ(x n, y n, h), kjer je θ(x, y, h) funkcija prirastka. Če θ(x, y, h) zadošča Lipschitzovemu pogoju na y s konstanto L, lokalna napaka v vsakem koraku pa je po absolutni vrednosti omejena z Dh p+1, potem za globalno napako velja y n y(x) Dh pel(x x 0) 1 L + e L(x x 0) y 0 y(x 0 ).
13 Območje stabilnosti Modelna enačba je y = λy, y(0) = y 0, ki ima rešitev y(x) = y 0 e λx. je rešitev asimptotično stabilna. Če je re(λ) < 0, Zgled 1: Če vzamemo eksplicitno Eulerjevo metodo, potem dobimo y 1 = (1 + λh)y 0 in y k = (1 + λh) k y 0. Če naj bo pri re(λ) < 0 Eulerjeva metoda stabilna, mora veljati 1 + λh < 1, torej mora biti h omejen (hλ mora ležati v krogu z radijem 1 okrog 1). Zgled 2: Če vzamemo implicitno Eulerjevo metodo, potem dobimo (1 λh)y 1 = y ( 0 1 in y k = 1 λh) k y0. 1 Sedaj mora pri re(λ) < 0 veljati 1 λh 1, torej h ni omejen in za ta začetni problem je implicitna Eulerjeva metoda vedno stabilna.
14 8.3 Runge-Kutta metode Najprej izračunamo k i = hf(x n + α i h, y n + m β ij k j ), i = 1,..., m, j=1 nato pa y n+1 = y n + m γ i k i. i=1 Pri tem je m stopnja R-K metode, kar ne smemo zamenjevati z redom metode. Konstante α i, β ij in γ i določimo tako, da se y n+1 čim bolj ujema z razvojem y(x n + h) v Taylorjevo vrsto. Pri tem velja α i = m j=1 β ij. V primeru, ko je β ij = 0 za i j, je metoda eksplicitna, sicer pa implicitna.
15 Dvostopenjska eksplicitna Runge-Kutta metoda reda 2 k 1 = hf(x n, y n ) k 2 = hf(x n + αh, y n + βk 1 ) y n+1 = y n + γ 1 k 1 + γ 2 k 2. Z razvijanjem v Taylorjevo vrsto dobimo k 1 = hf k 2 = hf + αh 2 f x + βhk 1 f y + O(h 3 ) y n+1 = y n + (γ 1 + γ 2 )hf + γ 2 αh 2 f x + γ 2 βh 2 ff y + O(h 3 ), kar primerjamo z y(x n + h) = y(x n ) + hf h2 (f x + ff y ) + O(h 3 ). Sledi γ 1 + γ 2 = 1, αγ 2 = 1 2, βγ 2 = 1 2.
16 Sistem ima več rešitev, saj za poljubni γ 2 0 dobimo γ 1 = 1 γ 2, α = 1 2γ 2, β = 1 2γ 2. Zgleda dvostopenjske R-K metode drugega reda sta: Heunova metoda k 1 = hf(x n, y n ) k 2 = hf(x n + h, y n + k 1 ) y n+1 = y n (k 1 + k 2 ), napaka : O(h 3 ). modificirana Eulerjeva metoda k 1 = hf(x n, y n ) k 2 = hf(x n h, y n k 1) y n+1 = y n + k 2, napaka : O(h 3 ).
17 Štiristopenjska eksplicitna Runge-Kutta metoda reda 4 k 1 = hf(x n, y n ) k 2 = hf(x n h, y n k 1) k 3 = hf(x n h, y n k 2) k 4 = hf(x n + h, y n + k 3 ) y n+1 = y n (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ), napaka : O(h 5 ). Zgled: Rešujemo y = y 5e x sin(x), y(0) = 1 in vzemimo h = 0.1. Dobimo k 1 = hf(x 0, y 0 ) = 0.1 f(0, 1) = 0.1 k 2 = hf(x h, y k 1) = 0.1 f(0.05, 0.95) = k 3 = hf(x h, y k 2) = 0.1 f(0.05, ) = k 4 = hf(x 0 + h, y 0 + k 3 ) = 0.1 f(0.1, ) = y 1 = y (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) =
18 Primerjava metod različnega reda Na diferencialni enačbi y = y 5e x sin(5x), y(0) = 1 na intervalu [0, 3] primerjamo eksplicitno in implicitno Eulerjevo metodo (red 1), Heunovo metodo (red 2) in Runge-Kuttino metodo reda 4, pri vseh je h = 0.3.
19 8.4 Adaptivna ocena koraka Če imamo na voljo oceno lokalne napake, lahko h adaptivno prilagajamo. Denimo, da po 4 stopenjski R-K metodi reda 4 iz y(x) izračunamo y(x + 2h) enkrat s korakom 2h, drugič pa v dveh korakih s korakom h. Podobno kot pri Richardsonovi ekstrapolaciji dobimo y(x + 2h) = y (1) + (2h) 5 C 1 + O(h 6 ) y(x + 2h) = y (2) + 2(h) 5 C 2 + O(h 6 ) in je ocena za lokalno napako y (1). = y(2) y (1) 15 Ko je velik, razpolovimo h, če je dovolj majhen pa lahko h podvojimo. Za izračun in y (1) potrebujemo 11 izračunov f (4 izračune za vsako R-K, prvi pa se ponovi dvakrat).
20 Runge-Kutta-Fehlbergova metoda Boljši primer adaptivne metode je Fehlbergova metoda, kjer vzamemo 6 stopenjsko R-K metodo k i = hf(x n + α i h, y n + i 1 j=1 potem pa iz istih k 1,..., k 6 sestavimo metodo reda 5 β ij k j ), i = 1,..., 6, y n+1 = y n + 6 γ i k i i=1 in metodo reda 4 y n+1 = y n + 6 γi k i. Ocena za napako y n+1 je potem kar y n+1 y n+1 = 6 i=1 (γ i γ i )k i. i=1
21 Runge-Kutta-Fehlbergova metoda k 1 = hf(x n, y n ) k 2 = hf(x n h, y n k 1) k 3 = hf(x n h, y n k k 2) k 4 = hf(x n h, y n k k k 3) k 5 = hf(x n + h, y n k 1 8k k k 4) k 6 = hf(x n h, y n 8 27 k 1 + 2k k k k 5) y n+1 = y n k k k k 6, napaka : O(h 6 ) y n+1 = y n k k k k 5, napaka : O(h 5 ). V naslednjem koraku vzamemo razmik qh, kjer je ɛ željena natančnost q = ( ) 1/4 ɛh 2 yn+1 y. n+1
22 8.5 Reševanje začetnih problemov v Matlabu Na voljo imamo več funkcij. Ena izmed njih je ode45. Kličemo jo v obliki [x,y]=ode45(fun,span,y0), kjer je fun ime funkcije yodv=fun(x,y), ki pri x in y (lahko vektor) izračuna vrednosti odvoda iz diferencialne enačbe. Zgled uporabe: funcion yprime=fun(t,x) yprime=-y-5*exp(-t)*sin(5*t); tspan=[0 3]; yzero=1; [x,y]=ode45( fun,tspan,y0) plot(x,y, *-- ); Ostale metode so še ode23, ode113, ode23s,....
23 8.6 Sistemi diferencialnih enačb prvega reda Sistem y 1 = f 1 (x, y 1, y 2,..., y k ) y 2 = f 2 (x, y 1, y 2,..., y k ). y k = f k (x, y 1, y 2,..., y k ) z začetnimi pogoji y 1 (x 0 ) = y 10, y 2 (x 0 ) = y 20,..., y k (x 0 ) = y k0 rešujemo tako kot eno enačbo, če jo zapišemo v vektorski obliki Y = F (x, Y ), kjer je Y = [y 1 y 2 y k ] T.
24 Heunovo metodo Zgled k 1 = hf(x n, y n ) k 2 = hf(x n + h, y n + k 1 ) y n+1 = y n (k 1 + k 2 ). za sistem uporabimo v obliki y = f(x, y, z) z = g(x, y, z) k 1 = hf(x n, y n, z n ) l 1 = hg(x n, y n, z n ) k 2 = hf(x n + h, y n + k 1, z n + l 1 ) l 2 = hg(x n + h, y n + k 1, z n + l 1 ) y n+1 = y n (k 1 + k 2 ) z n+1 = z n (l 1 + l 2 ).
25 Zgled Iz y = x 3y + 2z z = 1 + 2y z 2 tako dobimo k 1 = h(x n 3y n + 2z n ) l 1 = h(1 + 2y n zn) 2 k 2 = h((x n + h) 3(y n + k 1 ) + 2(z n + l 1 )) l 2 = h(1 + 2(y n + k 1 ) (z n + l 1 ) 2 ) y n+1 = y n (k 1 + k 2 ) z n+1 = z n (l 1 + l 2 ).
26 Začetni problem drugega reda 8.7 Diferencialne enačbe višjega reda y = f(x, y, y ) y(x 0 ) = y 0 y (x 0 ) = y 0 lahko numerično rešimo tako, da ga prevedemo na naslednji sistem enačb prvega reda y = p, y(x 0 ) = y 0, p = f(x, y, p), p(x 0 ) = y 0. Zgled 1. Začetni problem drugega reda y = x + y 2 in y(0) = 1, y (0) = 0, lahko prevedemo na sistem dveh enačb prvega reda y = p, y(0) = 1, p = x + y 2, p(0) = 0.
27 8.8 Večkoračne metode Splošni nastavek je k α i y n i + h i=0 k β i f n i = 0, kjer je f i = f(x i, y i ), privzamemo pa še α 0 = 1. Če je β 0 = 0, je metoda eksplicitna, sicer pa implicitna. i=0
28 Adamsove metode Adamsove metode dobimo tako, da enačbo y = f(x, y) integriramo na [x n, x n+1 ] y n+1 y n = xn+1 xn y dx = xn+1 xn f(x, y)dx, f pa nadomestimo z interpolacijskim polinomom na točkah: a) x n, x n 1,..., x n k+1 : eksplicitne Adams-Bashforthove formule y n+1 = y n + hf n, napaka O(h 2 ), y n+1 = y n + h 2 (3f n f n 1 ), napaka O(h 3 ), y n+1 = y n + h 12 (23f n 16f n 1 + 5f n 2 ), napaka O(h 4 ). b) x n+1, x n,..., x n k+2 : implicitne Adams-Moultonove formule y n+1 = y n + hf n+1, napaka O(h 2 ), y n+1 = y n + h 2 (f n+1 + f n ), napaka O(h 3 ), y n+1 = y n + h 12 (5f n+1 + 8f n f n 1 ), napaka O(h 4 ).
29 Kombinacija prediktor korektor Ponavadi pri večkoračnih metodah uporabljamo prediktor-korektor kombinacijo ekplicitne in implicitne metode. Z ekplicitno metodo izračunamo prediktor yn+1, P za korektor implicitno metodo rešujemo iterativno tako, da na desno stran vstavimo približek yn+1, P na levi pa dobimo yn+1. K S tem se izognemo reševanju nelinearne enačbe. Primer je Milneov par y n+1 = y n 3 + 4h 3 (2f n f n 1 + 2f n 2 ), napaka O(h 5 ) : prediktor y n+1 = y n 1 + h 3 (f n+1 + 4f n + f n 1 ), napaka O(h 5 ) : korektor ki ga uporabljamo v obliki y (P ) n+1 = y n 3 + 4h 3 (2f n f n 1 + 2f n 2 ), y (K) n+1 = y n 1 + h 3 (f(x n+1, y (P ) n+1 ) + 4f n + f n 1 ).
30 Zgled uporabe metode prediktor korektor Milneov par y (P ) n+1 = y n 3 + 4h 3 (2f n f n 1 + 2f n 2 ), y (K) n+1 = y n 1 + h 3 (f(x n+1, y (P ) n+1 ) + 4f n + f n 1 ) uporabimo na y = y 5e x sin(5x), y(0) = 1. Denimo, da smo pri h = 0.1 že izračunali y 1 = , y 2 = , y 3 = , sedaj pa iščemo y 4. y (P ) 4 = (2 ( ) ( )) = y (K) 3 4 = ( ( ) ) = Postopek lahko nadaljujemo, y (K) 4 vnesemo na desno stran in dobimo nov približek. y (K2) 4 = ( ( ) ) = y (K3) 3 4 = ( ( ) ) = Sedaj nadaljujemo s točko y 4 = in gremo na računanje y 5.
31 Rodovna polinoma in red večkoračne metode Linearna večkoračna metoda ima obliko k i=0 α iy n i + h k i=0 β if n i = 0, kjer je α 0 = 1. Lokalna napaka T (x n+1 ) je razlika med y(x n+1 ) in y n+1 ob predpostavki, da so vse prejšnje vrednosti točne. T (x n+1 ) = k α i y(x n+1 i ) + h i=0 k β i f(x n+1 i, y(x n+1 i )). i=0 Ko y in y razvijemo v Taylorjevo vrsto okrog točke x n k, dobimo y(x n k+j ) = y (x n k+j ) = r=0 r=0 (jh) r y (r) (x n k ), r! (jh) r y (r+1) (x n k ). r! Ko razvoja vstavimo v izraz za lokalno napako, dobimo T (x n+1 ) = d 0 y(x n k ) + d 1 hy (x n k ) + d 2 h 2 y (x n k ) +. Metoda je reda p, če je d 0 = d 1 = = d p = 0 in d p+1 0.
32 Večkoračna metoda Ničelna stabilnost k k α i y n i + h β i f n i = 0 i=0 i=0 mora biti stabilna za enačbo y (0) = 0. Dobimo diferenčno enačbo k α i y n i = 0. i=0 Njen karakteristični polinom k i=0 α iξ k i ima k ničel ξ 1,..., ξ k. Splošna rešitev (pri enostavnih ničlah) je k y n = A j ξj n. j=1 Za ničelno stabilnost mora veljati: ξ i 1 za i = 1,..., k, pri čemer je pri ξ j = 1 enostavna ničla. Večkoračna metoda je konvergentna, če je reda vsaj 1 in je ničelno stabilna.
33 8.9 Inherentna stabilnost Inherentna stabilnost je odvisna od problema in neodvisna od numerične metode. a) y = y 1, y(0) = 1, splošna rešitev je y(x) = Ce x + 1 in C = 0, numerično pa dobimo C 0. Problem je inherentno absolutno in relativno nestabilen. b) y = y + 1, y(0) = 1, splošna rešitev je y(x) = Ce x + 1 in C = 0, numerično pa dobimo C 0. Problem je inherentno absolutno in relativno stabilen.
34 c) y = y + e 2x, y(0) = 1, splošna rešitev je y(x) = Ce x + e 2x in C = 0, numerično pa dobimo C 0. Problem je inherentno absolutno nestabilen in relativno stabilen. d) y = y e 2x, y(0) = 1, splošna rešitev je y(x) = Ce x + e 2x in C = 0, numerično pa dobimo C 0. Problem je inherentno absolutno stabilen in relativno nestabilen. Pri relativni nestabilnosti včasih pomaga, če obrnemo interval in računamo nazaj.
35 8.10 Pregled metod v Matlabu V Matlabu je na voljo več metod za reševanje začetnih problemov, vse so adaptivne: ode45: Temelji na eksplicitnem Runge-Kutta pravilu reda 4 in 5 (podobno kot Fehlbergova metoda). To je metoda, ki najpogosteje daje dobre rezultate, zato je priporočljivo problem najprej poskusiti rešiti s to metodo. ode23: Temelji na eksplicitnem Runge-Kutta pravilu reda 2 in 3. Kadar ne zahtevamo velike natančnosti in v primeru majhne togosti je lahko metoda bolj učinkovita kot pa ode45. ode113: Gre za Adams-Bashworth-Moultonovo večkoračno prediktor-korektor metodo, kjer vedno naredimo en korak korektorja. Lahko je bolj učinkovita od ode45 v primerih, ko zahtevamo visoko natančnost in pa kadar je funkcija f iz diferencialne enačbe še posebej zapletena in želimo imeti čim manj izračunov f.
36 Togi primeri Prejšnje tri metode so namenjene za netoge sisteme. V primeru, ko ne dajejo dobrih rezultatov imamo lahko opravka s togim sistemom in takrat uporabimo naslednje metode: ode15s: Večkoračna metoda, ki temelji na metodah za numerično odvajanje. Je sicer manj učinkovita kot ode45, a deluje na zmerno togih primerih, ko ode45 odpove. ode23s: Uporablja modificirano Rosenbrockovo metodo reda 2. Kadar ne zahtevamo velike natančnosti je lahko bolj učinkovita kot ode15s in deluje na naketerih zelo togih primerih, ko ode15s odpove. ode23t: Varianta trapezne metode. Uporabna za zmerno toge primere kadar ne zahtevamo velike natančnosti. ode23tb: Varianta implicitne dvostopenjske Runge-Kutta metode, primerna za zelo toge sisteme.
37 Način uporabe Vse metode uporabljamo na enak način, zato je dovolj pogledati le uporabo npr. ode45. Osnovna uporaba je [x,y] = ode45( f,xab,y0), kjer metoda f določa diferencialno enačbo y = f(x, y), xab = [a b] je interval, na katerem rešujemo enačbo in y 0 je začetni pogoj y(a) = y 0. Kot rezultat dobimo vektorja izračunanih x in y. Dodatne opcije, s katerimi nastavimo npr. željeno natančnost, podamo v obliki [x,y] = ode45( f,xab,y0,options). Pri tem moramo opcije options podati ali prej definirati s pomočjo funkcije odeset. Tako npr. z options=odeset( RelTol,1e-4, AbsTol,1e-8) povečamo relativno in absolutno natančnost (privzeti vrednosti sta 1e-3 in 1e-6).
α i y n i + h β i f n i = 0, Splošni nastavek je k
10.4 Večkoračne metode Splošni nastavek je k α i y n i + h i=0 k β i f n i = 0, kjer je f i = f(x i, y i ), privzamemo pa še α 0 = 1. Če je β 0 = 0, je metoda eksplicitna, sicer pa implicitna. i=0 Adamsove
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Poglavje 6 Navadne diferencialne enačbe 6.1 Uvod Splošna rešitev navadne diferencialne enačbe n-tega reda F(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 je n-parametrična družina funkcij. Kadar želimo iz splošne rešitve
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραEnočlenske metode veljajo trenutno za najprimernejše metode v numeričnem reševanju začetnih problemov. Skoraj vse sodijo v
Enočlenske metode J.Kozak Uvod v numerične metode - / 4 Enočlenske metode veljajo trenutno za najprimernejše metode v numeričnem reševanju začetnih problemov. Skoraj vse sodijo v skupino Runge-Kutta metod.
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραvezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότερα3.1 Reševanje nelinearnih sistemov
3.1 Reševanje nelinearnih sistemov Rešujemo sistem nelinearnih enačb f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0. f n (x 1, x 2,..., x n ) = 0. Pišemo F (x) = 0, kjer je x R n in F : R n
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότεραTema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)
Matematične metode v fiziki II 2013/14 Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE Diferencialne enačbe v fiziki Večina osnovnih enačb v fiziki je zapisana v obliki diferencialne enačbe. Za primer
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραMatematično modeliranje 3. poglavje Dinamično modeliranje: diferencialne enačbe, sistemi diferencialnih enačb
Matematično modeliranje 3. poglavje Dinamično modeliranje: diferencialne enačbe, sistemi diferencialnih enačb Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani 2017/2018 Za kaj rabimo diferencialne
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραUvod v numerične metode
Uvod v numerične metode Bor Plestenjak soba 4.04 bor.plestenjak@fmf.uni-lj.si http://www-lp.fmf.uni-lj.si/plestenjak/vaje/vaje.htm asistent: Gašper Jaklič Režim 2 sklopa domačih nalog - 20% pisne ocene
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραNumerična analiza. Bor Plestenjak. Fakulteta za matematiko in fiziko. Jadranska 21, 4. nadstropje, soba 4.04
Numerična analiza Bor Plestenjak Fakulteta za matematiko in fiziko Jadranska 21, 4. nadstropje, soba 4.04 govorilne ure: četrtek 11-12 oz. po dogovoru bor.plestenjak@fmf.uni-lj.si http://www-lp.fmf.uni-lj.si/plestenjak/vaje/vaje.htm
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραUvod v numerične metode
Uvod v numerične metode B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode 2011-2012 1 / 56 Jernej Kozak Jadranska 21, IV. nadstropje, št. 407. Iz dvigala, v desno, do konca hodnika in korak v smeri Krima.
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότερα11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE
11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE Hiperbolična kvazi linearna PDE ima obliko au xx + bu xy + cu yy = f, (1) kjer so a, b, c, f funkcije x, y, u, u x in u y, ter velja b 2 4ac > 0. Če predpostavimo,
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Διαβάστε περισσότεραNekaj zgledov. J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) / 21
Nekaj zgledov J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) 2011-2012 1 / 21 V robnih problemih rešitev diferencialne enačbe zadošča dodatnim pogojem, ki niso vsi predpisani v isti točki. Že osnovna zahteva, kot
Διαβάστε περισσότεραUvod v numerične metode (matematika)
Bor Plestenjak Uvod v numerične metode (matematika) delovna verzija verzija: 5. oktober 202 Kazalo Uvod 5. Numerična matematika................................. 5.2 Plavajoča vejica......................................
Διαβάστε περισσότεραDragi polinom, kje so tvoje ničle?
1 Dragi polinom, kje so tvoje ničle? Vito Vitrih FAMNIT - Izlet v matematično vesolje 17. december 2010 Polinomi: 2 Polinom stopnje n je funkcija p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, a i R.
Διαβάστε περισσότεραBor Plestenjak. Numerične metode. delovna verzija. verzija: 4. marec 2010
Bor Plestenjak Numerične metode delovna verzija verzija: 4. marec 200 Kazalo Uvod 7. Numerična matematika................................. 7.2 Plavajoča vejica...................................... 0.3
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA III
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 215 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραDomača naloga 6: dušeno nihanje
Domača naloga 6: dušeno nihanje Vaje iz predmeta Numerične metode v fiziki Igor Grešovnik Kazalo: 1 Naloga 6a Nihanje... 1.1 Enačbe nihanja... 1. Numerično reševanje problema... 3 1..1 Reševanje sistema
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότερα8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραOdvode odvisnih spremenljivk po neodvisni spremenljivki bomo označevali s piko: Sistem navadnih diferencialnih enačb prvega reda ima obliko:
4 Sisemi diferencialnih enačb V prakičnih primerih večkra naleimo na več diferencialnih enačb, ki opisujejo določen pojav in so medsebojno povezane edaj govorimo o sisemih diferencialnih enačb V eh enačbah
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότερα1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe (študijsko gradivo) Matija Cencelj 1. maja 2003 2 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Preprosti primeri......................... 8 2 Diferencialne enačbe prvega reda 11 2.1 Ločljivi spremenljivki.......................
Διαβάστε περισσότεραInterpolacija in aproksimacija funkcij
Poglavje 4 Interpolacija in aproksimacija funkcij Na interpolacijo naletimo, kadar moramo vrednost funkcije, ki ima vrednosti znane le v posameznih točkah (pravimo jim interpolacijske točke), izračunati
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραProgrami v Matlabu za predmet numerične metode
Programi v Matlabu za predmet numerične metode 18. 04 2002 1 1 Reševanje nelinearnih enačb Napisali bomo program za reševanje nelinearnih enačb z uporabo posameznih metod. Rešujete nelinearne enačbe oblike
Διαβάστε περισσότεραProblem lastnih vrednosti
Problem lastnih vrednosti Naj bo A R n n. Iščemo lastni par, da zanj velja Ax = λx, kjer je x C n, x 0 (desni) lastni vektor, λ C pa lastna vrednost. Vektor y 0, pri katerem je y H A = λy H, je levi lastni
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dveh in več spremenljivk
Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),
Διαβάστε περισσότεραIterativne metode - vježbe
Iterativne metode - vježbe 5. Numeričke metode za ODJ Zvonimir Bujanović Prirodoslovno-matematički fakultet - Matematički odjel 21. studenog 2010. Sadržaj 1 Eulerove metode (forward i backward). Trapezna
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I Skripta za vaje iz Matematike I (UNI + VSP) Ljubljana, množice Osnovne definicije: Množica A je podmnožica
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva
Διαβάστε περισσότεραJasna Prezelj DIFERENCIALNE ENAČBE. za finančno matematiko
Jasna Prezelj DIFERENCIALNE ENAČBE za finančno matematiko Ljubljana 211 naslov: DIFERENCIALNE ENAČBE ZA FINANČNO MATEMATIKO avtorske pravice: Jasna Prezelj izdaja: prva izdaja založnik: samozaložba Jasna
Διαβάστε περισσότερα5.1 Predpogojevanje. K 1 Ax = K 1 b,
5.1 Predpogojevanje Konvergenca metod podprostorov za reševanje linearnega sistema Ax = b je v veliki meri odvisna od razporeditve lastnih vrednosti (in lastnih vektorjev) matrike A. Kadar je konvergenca
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότεραOsnovne lastnosti odvoda
Del 2 Odvodi POGLAVJE 4 Osnovne lastnosti odvoda. Definicija odvoda Odvod funkcije f v točki x je definiran z f f(x + ) f(x) (x) =. 0 Ta definicija je smiselna samo v primeru, ko x D(f), ita na desni
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA II
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA II Maribor, 2016 Kazalo Uvod v linearno algebro 1 1.1 Matrike................................ 1 1.2 Računanje
Διαβάστε περισσότεραMatematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija
Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a
Διαβάστε περισσότεραRealne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1
Realne funkcije Funkcija f denirana simetri nem intervalu D = ( a, a) ali D = [ a, a] (i) je soda, e velja f(x) = f( x), x D; (ii) je liha, e velja f(x) = f( x), x D. Naj bo f denirana D f in x 1, x 2
Διαβάστε περισσότεραUporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Διαβάστε περισσότεραRačunalniško vodeni procesi I
Šolski center Velenje Višja strokovna šola Velenje Trg mladosti 3, 33 Velenje Računalniško vodeni procesi I Osnove višješolske matematike Interno gradivo - druga, popravljena izdaja Robert Meolic. september
Διαβάστε περισσότεραPoglavje 2. Sistemi linearnih enačb
Poglavje 2 Sistemi linearnih enačb Najpogostejši problem, na katerega naletimo pri numeričnem računanju, je reševanje sistema linearnih enačb Tak sistem lahko dobimo direktno iz matematične formulacije
Διαβάστε περισσότεραZbirka rešenih izpitnih nalog iz numeričnih metod
Zbirka rešenih izpitnih nalog iz numeričnih metod Borut Jurčič - Zlobec Andrej Perne Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Ljubljana 6 Kazalo Iterativno reševanje nelinearnih enačb 4 Navadna
Διαβάστε περισσότεραPrediktor-korektor metodi
Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραVARIACIJSKE SUBDIVIZIJSKE SHEME
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Seminar za Numerično analizo VARIACIJSKE SUBDIVIZIJSKE SHEME Ljubljana, 004 Marjeta Krajnc . Uvod Subdivizija je postala v zadnjih letih zelo pomembno
Διαβάστε περισσότεραAfina in projektivna geometrija
fina in projektivna geometrija tožnice () kiciraj stožnico v evklidski ravnini R, ki je določena z enačbo 6 3 8 + 6 =. Rešitev: tožnica v evklidski ravnini je krivulja, ki jo določa enačba a + b + c +
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Διαβάστε περισσότεραShefferjeva polinomska zaporedja
Shefferjeva polinomska zaporedja Marko Razpet Matematični kolokviji Ljubljana, 23. marca 2006 Page 1 of 63 Predstavljen bo osnovni koncept umbralnega računa, kakršnega sta razvila Gian-Carlo Rota in Steven
Διαβάστε περισσότεραNajprej zapišemo 2. Newtonov zakon za cel sistem v vektorski obliki:
NALOGA: Po cesi vozi ovornjak z hirosjo 8 km/h. Tovornjak je dolg 8 m, širok 2 m in visok 4 m in ima maso 4 on. S srani začne pihai veer z hirosjo 5 km/h. Ob nekem času voznik zaspi in ne upravlja več
Διαβάστε περισσότεραINŽENIRSKA MATEMATIKA I
INŽENIRSKA MATEMATIKA I REŠENE NALOGE za izredne študente VSŠ Tehnično upravljanje nepremičnin Marjeta Škapin Rugelj Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Kazalo Števila in preslikave 5 Vektorji 6 Analitična
Διαβάστε περισσότεραRačunski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I
Kemijska tehnologija Visokošolski strokovni program Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 29. 8. 2013 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument. Ugasni in odstrani mobilni telefon.
Διαβάστε περισσότεραOznake in osnovne definicije
Oznake in osnovne definicije B Plestenjak, JKozak: Numerične metode 2011-2012 1 / 53 Sistem n linearnih enačb z n neznankami a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b
Διαβάστε περισσότεραDel 5. Vektorske funkcije in funkcije več spremenljivk
Del 5 Vektorske funkcije in funkcije več spremenljivk POGLAVJE 1 Krivulje v R n 1. Risanje vektorskih funkcij in vektorskih zaporedij Funkcija iz R v R n je podana z dvema podatkoma: z definicijskim območjem,
Διαβάστε περισσότερα11. Posplošeni problemi lastnih vrednosti
11. Posplošeni problemi lastnih vrednosti Dani sta kvadratni n n matriki A in B. Množico vseh matrik oblike A λb, kjer je λ C, imenujemo matrični šop in označimo z (A, B) ali A λb. Karakteristični polinom
Διαβάστε περισσότεραKombinatorika. rekurzivnih enačb in rodovne funkcije. FMF Matematika Finančna matematika. Vladimir Batagelj. Ljubljana, april
FMF Matematika Finančna matematika Kombinatorika Reševanje rekurzivnih enačb in rodovne funkcije Vladimir Batagelj Math fun: Pascal triangle Ljubljana, april 2008 4. Dec 2012 različica: December 4, 2012
Διαβάστε περισσότεραcot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.
TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II Skripta za vaje iz Matematike II (UNI + VSP) Ljubljana, determinante Determinanta det A je število, prirejeno
Διαβάστε περισσότερα