Uvod v numerične metode

Transcript

1 Uvod v numerične metode B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Jernej Kozak Jadranska 21, IV. nadstropje, št Iz dvigala, v desno, do konca hodnika in korak v smeri Krima. Jernej.Kozak@fmf.uni-lj.si Asistent: Gašper Jaklič

2 Obveznosti B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 V dogovorjenem roku je treba uspešno rešiti dve domači nalogi. Pozitivna ocena domačih nalog predstavlja 20%-ni delež pisnega dela končne ocene. Opraviti je treba pisni izpit. Ocena pisnega izpita predstavlja 80%-ni delež pisnega dela končne ocene. Opravljen pisni izpit velja en mesec. Ustni izpit. Predpogoj za opravljanje ustnega izpita je pozitivna ocena pisnega dela. Na ustni izpit se prijavite na strani http: //

3 Osnovno o numeričnem računanju B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Pri numeričnem reševanju dane naloge iščemo rešitev v numerični obliki. To pomeni, da npr. kot namesto iracionalnega števila 3 vrnemo njegov numerični približek Numerična metoda Numerična metoda je postopek, ki iz vhodnih numeričnih podatkov s končnim zaporedjem elementarnih operacij izračuna numerični približek za rešitev danega problema. Elementarne operacije Elementarne operacije, ki jih lahko numerična metoda uporabi, so odvisne od okolja. Mi bomo privzeli kar +,, /, in. Za zglede bomo uporabljali program Matlab, včasih bo za demonstracijo primernejši program Mathematica. Namesto Matlaba lahko doma uporabljate prosto dostopen program Octave.

4 Numerično računanje se razlikuje od eksaktnega računanja Prva nadloga: predstavitev realnih števil v računalniku. Računamo s števili, ki so predstavljena v plavajoči piki (ali plavajoči vejici). Je kaj pri računanju s tako predstavljenimi števili kaj nepričakovanega? Vzamemo kalkulator in izračunamo 100 (100/3 33) 100/3. Rezultat je (ne)pričakovan, npr. v Matlabu dobimo Za osnovne računske operacije naj bi veljala asociativnost, toda, če npr. vzamemo potem v Matlabu dobimo x = y = z = , x y z z y x = B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56

5 Numerična matematika B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Numerična matematika se ukvarja z razvojem in analizo algoritmov za numerično reševanje matematičnih problemov. Ukvarjali se bomo z naslednjimi problemi: linearni sistem: poišči x R n, ki reši sistem Ax = b za A R n n in b R n. nelinearni sistem: poišči rešitev enačbe f (x) = y, kjer je f : R n R n. linearni problem najmanjših kvadratov: poišči x R n, ki minimizira Ax b 2 za A R m n in b R m, kjer je m > n. lastne vrednosti: izračunaj lastne vrednosti in vektorje matrike A R n n. interpolacija: poišči polinom, ki gre skozi točke (x 0, f (x 0 )),..., (x n, f (x n )). integriranje: izračunaj integral b a f (t)dt. diferencialne enačbe: reši začetni problem y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0.

6 Povezani predmeti B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Prva stopnja: Numerična linearna algebra Numerične metode II (IŠRM) Druga stopnja: Iterativne numerične metode v linearni algebri Numerična aproksimacija in interpolacija Računalniško podprto (geometrijsko) oblikovanje Numerična integracija in navadne diferencialne enačbe Numerično reševanje parcialnih diferencialnih enačb Numerične metode za linearne sisteme upravljanja

7 Ozadje B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Številne fizikalne, tehnološke, in druge procese lahko simuliramo na računalniku. Postopek je sestavljen iz naslednjih korakov: 1 razvoj matematičnega modela, 2 razvoj numeričnih metod za numerično reševanje modela, 3 implementacija numeričnih metod, 4 simuliranje procesov z računalnikom, 5 predstavitev dobljenih numeričnih rezultatov v pregledni obliki, 6 analiza dobljenih rezultatov, po potrebi se vrnemo na enega izmed prejšnjih korakov. Mi se bomo ukvarjali v glavnem s točkama 2. in 3.

8 Kdaj uporabljamo numerične metode B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Ko drugih možnosti ne poznamo, npr.: iskanje ničel polinoma pete stopnje: x 5 + 3x 1 = 0, reševanje transcendentne enačbe: x + ln x = 0, računanje določenega integrala: 1 0 ex2 dx, večina nelinearnih enačb, diferencialnih enačb,.... Kadar so udobnejše oziroma manj časovno ali prostorsko zahtevne od analitičnih rešitev, npr.: računanje inverzne matrike velikosti , Cardanove formule za določanje ničel kubičnega polinoma.

9 Problem prevedemo na lažji problem B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Glavni princip pri numeričnem reševanju je, da namesto podanega težkega problema rešujemo lažji problem, ki ima ali enako rešitev ali pa se rešitvi ne razlikujeta dosti. Npr.: neskončne procese nadomestimo s končnimi procesi, neskončno razsežne prostore nadomestimo s končno razsežnimi, diferencialne enačbe nadomestimo z algebraičnimi enačbami, nelinearni problem nadomestimo z linearnim, zapletene funkcije nadomestimo z enostavnejšimi, npr. s polinomi, matrike nadomestimo z matrikami, ki imajo enostavnejšo obliko, npr. zgornja trikotna oblika, zgornja Hessenbergova oblika.

10 B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Zanimalo nas bo torej: kakšna je tipska oblika določenega problema in kako jo učinkovito in stabilno rešimo, kako splošni problem čim bolj učinkovito in stabilno prevedemo na tipsko obliko.

11 Dobra numerična metoda Glavne zahteve za dobro numerično metodo so: zanesljivost: na enostavnih problemih vedno deluje pravilno. robustnost: običajno deluje na težjih problemih, kadar pa ne deluje, nas o tem obvesti. natančnost: izračuna rešitev tako natančno, kot je to možno glede na natančnost podanih začetnih podatkov. ekonomičnost: časovna (število operacij) in prostorska (poraba prostora v pomnilniku). uporabnost: lahko jo uporabimo na širokem spektru problemov. prijaznost do uporabnika: je dobro dokumentirana in ima enostaven uporabniški vmesnik. Numerične metode se stalno razvijajo. Dejavniki razvoja so: novi problemi, novi pristopi in novi algoritmi, razvoj računalnikov, razvoj paralelnih računalnikov oz. večjedrnih procesorjev. B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56

12 Absolutna in relativna napaka B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Pri numeričnem računanju vedno izračunamo numerični približek za točno rešitev problema. Razlika med približkom in točno vrednostjo je napaka približka. Ločimo absolutno in relativno napako. absolutna napaka = približek točna vrednost, relativna napaka = absolutna napaka točna vrednost. Naj bo x točna vrednost, x pa približek za x. Če je x = x + d a, potem je d a = x x absolutna napaka. Če je x = x(1 + d r ) oziroma d r = x x, potem je d r x relativna napaka.

13 Plavajoča vejica (ali pika) B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 V računalniku so števila zapisana v plavajoči vejici kot x = ±m b e, kjer je m = 0.c 1 c 2,... c t mantisa in b: baza (2, lahko tudi 10 ali 16), t: dolžina mantise, e: eksponent v mejah L e U, c i : števke v mejah od 0 do b 1. Če je c 1 0, potem je število normalizirano, sicer pa subnormalizirano. Množica predstavljivih števil Množico predstavljivih števil označimo s P(b, t, L, U).

14 Zgled B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Vsa normalizirana pozitivna predstavljiva števila iz množice P(2, 3, 1, 1) so: = = = = = = = = = = = =

15 B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Subnormalizirana števila (možna le pri najmanjšem eksponentu) so: = = =

16 Standard IEEE B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 single: P(2, 24, 125, 128), število je shranjeno v 32 bitih, predznak: prvi bit eksponent: naslednjih osem bitov mantisa: zadnjih 23 bitov double: P(2, 53, 1021, 1023), število je shranjeno v 64 bitih, predznak: prvi bit eksponent: naslednjih 11 bitov mantisa: zadnjih 52 bitov standard IEEE pozna še števila 0,, in NaN.

17 B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Tehnične podrobnosti zapisa predstavljivih števil Če je s predznak, 0 e 255 eksponent in 0 f < 1 število 0.c 2... c 24, velja 0 < e < 255 poljuben f x = ( 1) s (1 + f ) 2 e 127 e = 255 f = 0 x = ( 1) s e = 255 f 0 x = NaN e = 0 f = 0 x = ( 1) s 0 e = 0 f 0 x = ( 1) s (0 + f ) Primeri pozitivnih števil: e f število x = ( ) = x = x = NaN x = x = = 2 132

18 Osnovna zaokrožitvena napaka B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Števila, ki niso predstavljiva, predstavimo s približki, ki jih dobimo z zaokrožanjem. Naj bo x število in fl (x) najbližje predstavljivo število. Z naslednjim izrekom bomo dokazali, da velja kjer je osnovna zaokrožitvena napaka: fl(x) = x(1 + δ) in δ u, u = 1 2 b1 t enojna natančnost: u = 2 24 = , dvojna natančnost: u = 2 53 =

19 Izrek Če število x leži znotraj intervala predstavljivih števil, potem velja fl(x) x x u 1 + u. Dokaz. Naj bo x = (y + z)b e, kjer je y = 0.d 1... d t in z = d t+1 d t+2... in naj bo fl(x) = mb e, kjer je m = 0.c 1... c t. Predpostavimo lahko, da je x pozitiven. a) d t+1 < b/2 = m = y fl(x) x x = z 1 y + z 2 b t b = 2 b t Pri oceni smo izbrali največji z in najmanjši y. b) d t+1 b/2 = m = y + b t fl(x) x x = b t z y + z b t 1 2 b t b b t = Pri oceni smo izbrali najmanjši z in najmanjši y. u 1 + u. u 1 + u. B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56

20 Računanje po standardu IEEE B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Standard IEEE zahteva, da mora za operacije procesne enote veljati: fl(x y) = (x y)(1 + δ), δ u za = +,, /,, fl( x) = x(1 + δ), δ u. Izjema je, če pride do prekoračitve (overflow) ali podkoračitve (underflow) obsega predstavljivih števil. V tem primeru dobimo po IEEE: prekoračitev: ±, podkoračitev: 0.

21 Nesreča rakete Arianne 4. junija 1996 je pri prvem poletu rakete Ariane 5, ki naj bi nadomestila manjšo raketo Ariane 4,prišlo do nesreče. Raketa je po 40 sekundah zavila s prave poti in eksplodirala. Izkazalo se je, da je do nesreče prišlo zaradi prekoračitve obsega. Ker program ni imel testiranja prekoračitve, se je sesul, s tem pa tudi celoten polet. Podrobna analiza je pokazala, da je del programa, ki je povzročil napako, prišel iz programa za Ariane 4, kjer je vedno deloval brez napak. Tokrat pa je močnejša raketa povzročila, do so bile izmerjene količine prevelike in prišlo je do prekoračitve obsega. B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56

22 Občutljivost problema B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Če se rezultat pri majhni spremembi argumentov (motnji oz. perturbaciji) ne spremeni veliko, je problem neobčutljiv, sicer pa je občutljiv. S tem se ukvarja teorija motenj. Poglejmo zgled. x + y = 2 a) = x = y = 1. x y = 0 Zmotimo desno stran: x + y = x y = Ta sistem je neobčutljiv. = x = , y =

23 B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 b) x y = x y = 1.97 Zmotimo desno stran: x y = x y = Ta sistem je zelo občutljiv. = x = y = 1. = x = 2.97, y = 0.99.

24 Wilkinsonov zgled Polinom p(x) = (x 1)(x 2) (x 20) = x x ! ima ničle 1, 2,..., 20, polinom pa ima ničle g(x) = p(x) 2 23 x 19 x 9 = x 10,11 = ± i. x 16,17 = ± i x 18,19 = ± i x 20 = Čeprav so vse ničle enostavne in lepo separirane, majhna motnja povzroči velike spremembe. Wilkinson je s tem primerom pokazal, da računanje lastnih vrednosti preko karakterističnega polinoma ni stabilno. B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56

25 Stopnja občutljivosti B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Stopnjo občutljivosti merimo z razmerjem med velikostjo spremembe rezultata in velikostjo spremembe podatkov. Zgled: občutljivost izračuna vrednosti funkcije Naj bo f : R R zvezna in odvedljiva funkcija. Kakšna je občutljivost izračuna vrednosti f v točki x? Naj bo δx majhna sprememba x. Po Lagrangeovem izreku je f (x + δx) f (x) f (x) δx. Torej je f (x) absolutna občutljivost f v točki x. Za oceno relativne napake dobimo f (x + δx) f (x) f (x) f (x) x f (x) δx x, torej je f (x) x f (x) relativna občutljivost f v točki x.

26 Aproksimacije pri numeričnem računanju B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Naj bo izračun vrednosti funkcije f : X Y pri danem x abstraktna predstavitev numeričnega reševanja določenega problema pri podatkih x. Numerična metoda vrne približek ŷ za y = f (x), točno rešitev. Razlika D = y ŷ je celotna napaka približka. V njej se skriva več vrst napak. Izvori napak nenatančnost začetnih podatkov, napaka numerične metode, zaokrožitvene napake med računanjem.

27 Celotno napako lahko razdelimo na tri dele B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Neodstranljiva napaka Napaka metode Zaokrožitvena napaka Neodstranljiva napaka Namesto s podatkom x računamo s približkom x in namesto y = f (x) izračunamo y = f (x). Neodstranljiva napaka je D n = y y. D n je posledica napak v začetnih podatkih. Zgled neodstranljive napake Izračun vrednosti sin(π/10) z osnovnimi operacijami v P(10, 4, 5, 5). Namesto z x = π/10 računamo z x = D n = y y = sin(π/10) sin(0.3142) =

28 B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Napaka metode Namesto vrednosti funkcije f računamo vrednost njene aproksimacije g, ki jo lahko izračunamo s končnim številom operacij. Namesto y = f (x) tako izračunamo ỹ = g(x). Napaka metode je D m = y ỹ. Pri sami numerični metodi pogosto neskončen proces nadomestimo s končnim (seštejemo le končno členov neskončne vrste, po končnem številu korakov prekinemo iterativno metodo). Zgled napake metode Namesto sin(x) izračunamo g(x) za g(x) := x x 3 /6. Napaka metode je D m = y ỹ =

29 D z = ỹ g(x) = B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Zaokrožitvena napaka Pri računanju ỹ = g(x) se pri vsaki računski operaciji pojavi zaokrožitvena napaka, tako da namesto ỹ izračunamo ŷ. Sama vrednost ŷ je odvisna od vrstnega reda operacij in načina izračuna g(x). Zaokrožitvena napaka je D z = ỹ ŷ. D z je odvisna je od vrstnega reda in načina računanja g(x). Primer zaokrožitvene napake a 1 = fl(x x) = fl( ) = a 2 = fl(a 1 x) = fl( ) = a 3 = fl(a 2 /6) = fl( ) = ŷ = fl(x a 3 ) = fl( ) = Zaokrožitvena napaka je torej

30 Celotna napaka B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Celotna napaka Celotna, končna napaka je seštevek vseh napak, D = D n + D m + D z. Velja tudi D D n + D m + D z. Zgled celotne napaka Celotna napaka je D = D n + D m + D z =

31 Stabilnost metode B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Pri računskem procesu pravimo, da je stabilen oz. nestabilen, ločimo pa direktno in obratno stabilnost. S tem se ukvarja analiza zaokrožitvenih napak. direktna analiza: Iz x namesto y = f (x) izračunamo ŷ. Če je razlika med y in ŷ majhna (absolutno oz. relativno), je proces direktno stabilen (absolutno oz. relativno), sicer pa nestabilen. obratna analiza: Iz x namesto y = f (x) izračunamo ŷ. Sedaj se vprašamo, za koliko moramo spremeniti argument x v x, da bo f ( x) = ŷ. Če je razlika med x in x majhna (absolutno oz. relativno), je proces obratno stabilen (absolutno oz. relativno), sicer pa nestabilen.

32 Občutljivost, stabilnost in natančnost B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Algoritem je stabilen, če so rezultati, ki jih vrne, relativno neobčutljivi na motnje, ki se pojavijo zaradi zaokrožitvenih napak med samim računanjem. Obratno stabilen algoritem tako vrne točno rešitev bližnjega problema. Če je problem občutljiv, se točna rešitev bližnjega problema lahko zelo razlikuje od točne rešitve začetnega problema in izračunani rezultat je nenatančen. Nenatančnost je tako lahko posledica: uporabe stabilnega algoritma na občutljivem problemu, uporabe nestabilnega algoritma na neobčutljivem problemu. Natančnost je zagotovljena, kadar neobčutljiv problem rešimo s stabilno numerično metodo.

33 Analiza zaokrožitvenih napak za produkt n + 1 števil B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Računamo produkt p = x 0 x 1 x n predstavljivih števil x 0, x 1,..., x n. Eksaktni algoritem: p 0 = x 0 i = 1,..., n p i = p i 1 x i p = p n Dejanski algoritem: p 0 = x 0 i = 1,..., n p i = p i 1 x i (1 + δ i ), p = p n δ i u Dobimo Velja p = p(1 + γ) = p(1 + δ 1 ) (1 + δ n ). (1 u) n 1 + γ (1 + u) n.

34 B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Ocenimo (1 ± u) n = 1 ± ( ) n u + 1 Če je nu 1, dobimo oceno ( ) n ( u u n = 1 ± nu + O (nu) 2). 2 γ nu + O ( (nu) 2). To pomeni, da je ocena relativne napake linearno odvisna od števila množenj. Za relativno napako izračunanega produkta torej velja p p p ( = γ nu + O (nu) 2). Podobno lahko ugotovimo, da je izračunani produkt p cen produkt malo spremenjenih podatkov x i = x i (1 + δ i ). S tem smo dokazali tale izrek. Izrek Računanje produkta n + 1 števil je direktno in obratno stabilno.

35 Analiza zaokrožitvenih napak za skalarni produkt B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Dana sta vektorja predstavljivih števil x = (x 1 x n ) T in y = (y 1 y n ) T. Izračunati je treba skalarni produkt s := y T x = n x i y i. i=1 Eksaktni algoritem: s 0 = 0 i = 1,..., n p i = x i y i s i = s i 1 + p i s = s n Dejanski algoritem: ŝ 0 = 0 i = 1,..., n p i = x i y i (1 + α i ), α i u ŝ i = (ŝ i 1 + p i )(1+β i ), β i u ŝ = ŝ n

36 B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Ker prištevanje števila 0 opravimo eksaktno, privzamemo β 1 = 0. V izračunu nastopajo le istoležni produkti podatkov x i y i. Zato se pri obratni analizi vprašajmo, za kakšen faktor 1 + γ i je treba spremeniti te produkte, da dobimo končni izračunani rezultat, n ŝ = x i y i (1 + γ i ). i=1 Iz algoritma preberemo relacije 1 + γ i = (1 + α i )(1 + β i )(1 + β i+1 ) (1 + β n ), i = 1, 2,..., n. Podobno kot pri produktu števil ocenimo, z malo svobode pri γ 1 ( γ i (n i + 2)u + O (nu) 2), i = 1, 2,..., n. To pomeni, da je ŝ točni skalarni produkt relativno malo zmotenih vektorjev x in y in potrdi sledeči izrek. Izrek Računanje skalarnega produkta je obratno stabilno.

37 Direktna analiza za izračun skalarnega produkta Pri direktni analizi najprej izračunamo absolutno napako, ŝ s = n n x i y i (1 + γ i ) x i y i = i=1 i=1 n x i y i γ i, i=1 torej ocenimo, ob ugotovitvi γ i nu in zanemarjanju členov višjega reda, ŝ s n n x i y i γ i nu x i y i = nu y T x. i=1 i=1 Dobimo ŝ s s y T x y T x nu. Če so vsi x i y i enakega predznaka, dobimo ŝ s s nu in računanje je direktno stabilno, sicer pa imamo v primeru, ko sta vektorja skoraj pravokotna, lahko veliko relativno napako. B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56

38 Računanje vrednosti polinoma s Hornerjevim algoritmom B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Dan je polinom p(x) = a 0 x n + a 1 x n a n, računamo pa vrednost v točki x po Hornerjevem algoritmu. Eksaktni algoritem: p 0 = a 0 i = 1,..., n p i = p i 1 x + a i p = p n Dejanski algoritem: p 0 = a 0 i = 1,..., n p i = ( p i 1 x(1+α i )+a i )(1+β i ) p = p n Dobimo p = a 0 x n (1 + γ 0 ) + a 1 x n 1 (1 + γ 1 ) + + a n (1 + γ n ), kjer je 1 + γ 0 =(1 + α 1 ) (1 + α n )(1 + β 1 ) (1 + β n ), 1 + γ i =(1 + α i+1 ) (1 + α n )(1 + β i ) (1 + β n ), i = 1,..., n 1, 1 + γ n =(1 + α n ).

39 B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Torej lahko ocenimo γ 0 2nu in γ i (2(n i) + 1)u, i = 1,..., n. Računanje vrednosti polinoma je obratno stabilno, saj smo izračunali vrednost bližnjega polinoma s koeficienti a i (1 + γ i ) namesto a i. Iz absolutne napake sledi p p = a 0 x n γ 0 + a 1 x n 1 γ a n γ n p p p 2nu( a 0 x n + a 1 x n a n ) a 0 x n. + + a n Računanje vrednosti polinoma po Hornerju ni direktno stabilno, težave nastopijo tam, kjer členi a i x n i niso enakega predznaka, a je njihova vsota blizu 0.

40 Računanje vrednosti polinoma, numerično B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Za predstavo o dobljenih ocenah si poglejmo računanje polinoma (x 2) 9 =x 9 18x x 7 672x x x x x x 512 v okolici točke 2. Z Matlabom dobimo, če vrednosti gosto tabeliramo v bližini korena 2, Napake niso povsem naključne, saj v bližini 2 odkrijemo vzorec.

41 Računanje vrednosti polinoma, z oceno B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 V algoritem lahko vstavimo sprotno računanje ocene. Sproti poleg vrednosti samega polinoma računamo tudi glavni del števca ocene, torej vsoto a 0 x n + a 1 x n a n. Algoritem: p 0 = a 0 e 0 = a 0 i = 1,..., n p i = p i 1 x + a i e i = e i 1 x + a i p = p n e = 2nu en p

42 e je ocena za relativno napako. Graf prikazuje razmerje med resnično napako in oceno (minus desetiški logaritem nam da ravno število točnih decimalk). Ocena je res zgornja meja in dejanska napaka je manjša ali enaka, vendar zgled kaže, da so v bližini točke 2 napake res večje in tudi obnašajo se tako, kot napoveduje ocena. B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56

43 Poučni primeri - računanje števila π B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 π je limita obsega S n pravilnega mnogokotnika, včrtanega v krog s polmerom r = 1 2. Naj bo a n stranica pravilnega n-kotnika. Poiščimo zvezo med a n in a 2n : Velja a 2n = ( a n 2 ( ) ) ( an ) 2 2 = an 2. 2

44 Računanje števila π, 2.del Od tod pa iz S n = na n sledi 1 S 2n = 2na 2n = 2n 1 ( S n 2 n ) 2 Začnemo pri n = 6, S 6 = 3 in uporabimo to formulo iterativno. n S n n S n Formula odpove, saj pride do odštevanja skoraj enako velikih števil, napaka se množi z 2n. V zgornji tabeli so napačne decimalke rdeče. B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56.

45 Računanje števila π, 3.del B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Kadar imamo nestabilen postopek, nam ne pomaga niti računanje z večjo natančnostjo. Prava rešitev je preurediti postopek tako, da se med računanjem ne izgublja natančnost. Za stabilno računanje je potrebno formulo preurediti in se izogniti odštevanju enako velikih števil. Stabilna oblika je ( 1 S 2n = 2n 1 ( ) S n ) 2 n (1 + ( = S n ( S n ). 2 n 1 ( S n n ) 2 ) 1 ( S n n ) 2 )

46 B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Sedaj dobimo pravilne rezultate: n S n n S n

47 Seštevanje Taylorjeve vrste za e x Vemo, da Taylorjeva vrsta za eksponentno funkcijo e x = ( 1) n x n n! n=0 konvergira za vsak x C. Če to vrsto seštevamo numerično po vrsti, za x 0 ne dobimo pričakovanih rezultatov. x e x vrsta relativna napaka B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56

48 Seštevanje Taylorjeve vrste za e x, 2. del B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Za alternirajoče vrste vemo, da konvergirajo, če členi od nekega člena naprej padajo in je njihova limita enaka 0. Prav to, da zaporedje členov vrste alternira in po absolutni vrednosti nekaj časa narašča, je razlog za nesmiselni rezultat. Ko so členi največji, se zameglijo majhne decimalke, ki ostanejo netočne do konca računanja.

49 B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Izračunane vrednosti členov in delnih vsot vrste kaže sledeča tabela. n a n s n n a n s n

50 B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Računanje vrednosti integrala I 10 Integrale I n := 1 0 x n e x 1 dx, n = 0, 1,..., lahko računamo rekurzivno po formuli, ki jo dobimo z integracijo per partes, I n = x n e x n x n 1 e x 1 dx = 1 ni n 1. 0 Poznamo začetno vrednost I 0 = 1 e 1. V enojni natančnosti dobimo n I n n I n Razlog je v formuli I n = 1 ni n 1. Napaka pri členu I n 1 se pomnoži z n in torej po absolutni vrednosti hitro narašča, točne vrednosti I n pa padajo.

51 Računanje I 10, 2. del Če računamo v obratni smeri, I n 1 = 1 I n, n se napaka v vsakem koraku deli z n. Če začnemo pri nekem dovolj velikem členu, lahko z napačnim začetnim I n = 0 izračunamo vse začetne člene dovolj natančno. Če začnemo z I 26 = 0 tako dobimo (v enojni natančnosti) vse člene od I 12 do I 0 na vse decimalke točno. n I n n I n B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56

52 Zaporedno korenjenje in kvadriranje Vzamemo število x > 0, ga najprej 80-krat korenimo in nato 80-krat kvadriramo. Kaj dobimo? Izkaže se, da za x 1 dobimo 1, za 0 < x < 1 pa dobimo 0! Za razumljivejšo razlago si poglejmo model kalkulatorja HP 48G, kjer je baza desetiška, dolžina mantise pa je 12. Poglejmo najprej primer 0 < x < 1. Za takšne x velja x > x. Največje predstavljivo število, ki je še manjše od 1, je oziroma 0. 9 }. {{.. 9 }. 12 Zaradi 1 + x = x 1 x 2 + velja = = 0. 9 }. {{.. 9 } 4 9 }. {{.. 9 } 87..., in število se zaokroži na 0. 9 }. {{.. 9 }. Tako s korenjenjem nikoli ne pridemo do 1, 12 ko pa kvadriramo, je število vedno manjše, dokler ne pride do podkoračitve in dobimo 0. Prvo predstavljivo število, ki je večje od 1 je Tu dobimo = = 1. 0 }. {{.. 0 } 4 9 }. {{.. 9 } 87..., kar se zaokroži na 1. Tako s korenjenjem pridemo do 1, s kvadriranjem pa se to ne spremeni. B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56

53 Seštevanje številske vrste B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Znano je, da velja k=1 1 k 2 = π2 6 = Kako bi to sešteli, če tega ne bi vedeli? Prištevamo člene, dokler se vsota ne spreminja več. V enojni natančnosti tako dobimo , vrednost pa dosežemo pri k = V tem koraku delni vsoti 1.6 prištevamo Seštevamo v obratnem vrstnem redu od malih cifer proti velikim. Izkaže se, da bi za približek z 8 točnimi decimalkami morali sešteti 10 9 členov! Seveda nobeden izmed zgornjih dveh načinov ni primeren, se pa da z ustrezno numerično metodo dobiti dovolj natančen približek z uporabo relativno malo členov.

54 Tričlenska rekurzivna formula B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Dana je tričlenska rekurzivna formula x k+1 = 2.25x k 0.5x k 1 in začetni dve vrednosti x 1 = 1/3 in x 2 = 1/12. Pri teh pogojih je splošna rešitev x k = k. Numerično dobimo naslednje točke (logaritemska skala)

55 Tričlenska rekurzivna formula, 2.del B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56 Odgovor se skriva v dejstvu, da je splošna rešitev dane diferenčne enačbe ( ) 1 k x k = α + β2 k. 4 Zaradi zaokrožitvenih napak je β 0 in prej ali slej drugi člen prevlada. Zaradi zaokrožitvenih napak imamo na začetku x 1 = 1 3 ( ) x 2 = 1 3 ( ) Splošna (točna) rešitev za zgornja x 1, x 2 je x k = 1 3 (41 k + 2 k 57 ), do preobrata pride ravno ko je 4 1 k = 2 k 57 oziroma k 20.

56 Reševanje kvadratne enačbe Rešitvi kvadratne enačbe ax 2 + bx + c = 0 sta podani s formulo x 1,2 = b ± b 2 4ac. 2a Če vzamemo npr. a = , b = , c = , v dvojni natančnosti dobimo x 1 = , x 2 = , točni ničli pa sta x 1 = , x 2 = Težava se je pojavila pri odštevanje približno enako velikih števil pri računanju x 2. Rešitev je, da eno rešitev izračunamo po formuli (odvisno od predznaka b), drugo pa dobimo iz Vietove formule x 1 x 2 = c/a. Tako iz x 2 = c/(ax 1 ) dobimo pravilno x 2 = To ni edina težava, ki se lahko pojavi pri formulu za kvadratno enačbo. Če so koeficienti zelo veliki ali zelo majhni, potem lahko pride do prekoračitve ali podkoračitve obsega pri računanju b 2 4ac. Temu se lahko izognemo, če celo enačbo delimo s tistim koeficientom a, b, c, ki ima največjo absolutno vrednost. B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode / 56