Curs 3. REZOLVAREA PROBLEMEI PROGRAMĂRII LINIARE. ALGORITMUL SIMPLEX. 3.1 Rezolvarea problemei programării liniare. Algoritmul Simplex.

Transcript

1 Cu 3. REZOLVAREA PROLEMEI PROGRAMĂRII LINIARE. ALGORIMUL SIMPLEX. 3. Reolvaea poleme pogamă lae. Algomul Smple. Î-o polemă de pogamae laă aâ fuţa oev â ş fuţle ae defe emul de eţ u fome lae avâd epele: 3. Î polemele ele ma mple u oefeţ oaţ. Î adul modelelo ma omplee aeşa depd de uul au ma mulţ paame pogamaea laă paameă au u vaale aleaoae pogamaea laă ohaă. Î foma aoă o polemă de pogamae laă e peă afel: LC 3. Peu ulaea meodelo uee de eolvae ee ulă peeaea poleme u foma adadaă: LS 3.3 Î geeal î euţul poleme pogamă lae po apăea mula eţ u fomă de egalăţ au ş egalăţ peum ş eţ de em aupa vaalelo au uma aupa uoa de vaale. P afomă elemeae oe polemă de pogamae laă poae f eduă la o polemă ehvaleă î fomă aoă LC au adad LS. Peu mplfaea dee e foloeşe eea maeală. Noăm u A maea de eleme geeal u veoul oloaă -dmeoal al emelo le d emul de eţ ş u veoul oloaă - dmeoal al oefeţlo a fuţe oev. Cu aee oaţ polemele LC ş LS dev: LC LS Îadâdu-e î laa polemelo de pogamae oveă polema pogamă lae peă daoă uu ale pefe uele paulaăţ ae fa polă îmogăţea eulaelo geeale ale î eţuea aeoaă ş eploaaea aeoa p elaoaea uo eh de alul foae efee peu deemaea oluţlo. Î afaă popeăţlo mulţmlo oluţlo omue uuo polemelo de pogamae oveă e po evdeţa âeva ae ev î mod eeţal î eolvaea poleme. Deemăm p veo-oloaă -dmeoal fomaţ u elemeele oloaelo mae. De:

2 3.6 Deoaee folod aeaă oaţe emul de eţ e poae e: e fae fomal aoeea îe vaala ş veoul u aelaş de. Defţa 3. O oluţe de aă a poleme LS ee o oluţe polă avâd el mul. ompoee eule ş afel îâ veo oepuăo ompoeelo eule ă fe la depedeţ. Daă o oluţe de aă ae ea ompoee eule pove e umeşe edegeeaă. Î a oa oluţa de aă ee degeeaă. Daă agul mae ee ha umăul llo ale uaţe pe ae o elamă algomul mple au emul de veo oepuăo ompoeelo eule ale ue oluţ de aă poae f ompleaă pâă la o aă a paţulu u alţ veo oloaă a mae. î aul î ae oluţa ee degeeaă deoaee î a oa veo oepuăo ompoeelo eule fomeaă o aă fd la depedeţ ş î umă de m. Apae afel laă o deemae epoă îe oluţle de aă ale poleme peu uele ae ume ae admle euae de veo oloaă a mae. P aă admlă aoaă oluţe de aă e îţelege de emul de veo la depedeţ: peu ae: Se uleaă emologa: veo a vaale ae d a peu oloaele lu e alăue aa de ma u epev peu ompoeele lu e fgueaă î egalaea aeoaă ş peu d aeoa. Reul veolo vaalelo ş dlo aeoa e vo um ea e vede ă î-o oluţe de aă edegeeaă oae vaalele ae au valo pove. oae popeăţle mulţmlo oluţlo poleme pogamă lae pop aeu p paula de polemă de pogamae oveă po f dedue î ouae pe modelul LS î poea uplmeaă: ag. Popoţa 3. Mulţmea oluţlo pole ee u oo ove. Daă au poedă el puţ u pu eem. Demoaţe: Î-adevă fd eeţa uu umă f de em-paţ îhe ş hpeplae ee oo ove. A doua afmaţe eulă d fapul ă ee măgă feo de pe feae oodoaă. Popoţa 3. Soluţle de aă oue puele de eem ale lu. Demoaţe: Fe pu de eem al ooulu ove. Au e găeşe la eeţa a hpeplae la depedee ae măge pe. Deoaee agul lu ee eulă ă de ele hpeplae u ele e defe emul de euaţ a elelale u de foma. De ae el puţ ompoee ule. Puem peupue ă ş ă ele hpeplae:

3 u la depedee. Aeaa îeamă ă deemaul emulu 3.8 ee eul. Oevâd ă maea oefeţlo emulu ee: eulă de a ă veo u la depedeţ alfel o omaţe laă eaală a pmelo oloae ale mae de ma u a f ulă eea e a aea aulaea deemaulu. Coludem au ă ee oluţe de aă. Repo fe o oluţe de aă a poleme LS. Peupuem ă aa aoaă ee. Au ee oluţe a emulu 3.8 ş deemaul aeu em ee eul e poae vefa uşo ae fap devolâd deemaul uev după ulmle l. De a depedeţa elo hpeplae la eţa ăoa e află. De ee pu eem al lu. Popoţa 3.3 Daă opmul poleme LS ee f au polema LS adme el puţ o oluţe opmă ae ee î aelaş mp ş oluţe de aă de o oluţe opmă de aă. Demoaţe: Noâd up e oaă ă hpeplaul ee hpepla de X p la ooul ove măg feo ş va ea el puţ u pu eem al aeua oţu î hpepla. Popoţa 3.4 Daă opmul poleme LS ee f au mulţmea oluţlo opme ee u oo. Daă î plu mulţmea oluţlo pole ee măgă ee u poledu ove avâd dep pue eeme oluţle opme de aă. Demoaţe: e oţe eeâd ooul u hpeplaul de ee o u oo. Î aul î ae ee măg la fel va f ş oud de u poledu ove. Da oe pu eem al lu va f ş pu eem al lu. De a ea de-a doua pae a popoţe. Împeuă u eulaele geeale ae eglemeeaă eeţa opmulu popeăţle mulţmlo oluţlo poleme pogamă lae oue fudameul meode de eolvae a aee poleme. Meoda mple elaoaă de G. Dag oă î eeţă î ouţa uevă a uo oluţ de aă ale poleme de aşa maeă îâ feae ouă oluţe oţuă ă fe ma uă deâ peedea adă ă ague o valoae euă fuţe oev î polema de mam. Deoaee umăul oluţlo de aă ee f fd puele eeme uu oo ş daă eă el puţ o oluţe opmă de aă poeul e emă î-u umă f de paş u oţeea ue oluţ opme daă opmul ee f au u o daţe aupa fud opmulu. De aemeea e ae î vedee ş eveualaea eeţe oluţlo pole meoda fd apală p-o hemă de alul uă ă poee ae fap. Meoda e aplă de u umă f de o aoaă feăe oluţ de aă poduă pe pauul eolvă poleme ş ae umăoaele e ompoee: a e peu vefaea opmalăţ oluţe de aă e peu euoaşeea fud opmulu; Regulă de oţee a ue oluţ de aă îmuăăţe î aul î ae eele a ş dau ăpuu egave. Speulâd deemaea epoă eeă îe feae oluţe de aă a poleme ş aa admlă aoaă u ol eal î îeg poeul alulaou îl oaă oma aee ae fomae feae d ele m oloae la depedee ale mae. Vom peupue ă la 3.9

4 eapa a algomulu dpuem de o oluţe de aă a poleme LS ş fe aa admlă aoaă. Aeaa îeamă ă u oloae la depedee ale mae oefeţlo ş ompoeele lu afa euaţa veoală P u. Vom oa u mulţmea dlo a adă ş u mulţmea dlo ea. Făâd oveţa a o p ă deemăm ş maea de od ale ăe oloae u veo ae oăm u maea fomaă d elelale oloae ale lu. Î fâş ă oăm p veo -dmeoal fomaţ d ompoeele de ag ale lu epev ş u veo -dmeoal fomaţ d elelale ompoee ale lu ş. Î pemaeţă puem peupue ă p eodoaea oefeţlo lu aâ î emul de eţ â ş î epea fuţe oev vaalele ae oupă pmele lou î odea î ae ele fgueaă î mulţmea ş au folod eea maeală pe lou: Fe epeeaea î aa a veoulu ş maele ale ăo oloae u veo veo u epev veo u. Au:. Deoaee ee egulaă ee evde ă: ş Z P Z A Z I Z S J Să oăm u veoul ale ău ompoee u: ş au: au: m J ude: ş: eoema 3. e de opmalae Daă opme ş. au polema LS adme oluţ Demoațe: Defm ş vefăm ă afae odţle Kuh-ue v peu polema LS. Î-adevă ş v u aal afăue

5 deoaee ee oluţe polă a poleme. Iegalaea eulă d umăoul alul ţâd eama de poee: - Î fâş a o oeţă a elaţe 3.5: De elaţa ee afăuă. Oevaţe: Nu eulă d aeaă eoemă ă 3.7 ee o odţe eeaă peu opmalaea lu. Î-adevă î demoaţe -a folo doa ufeţa odţlo Kuh- ue. eoema 3. e peu euoaşeea fud opmulu. Daă eă peu ae ş au opmul poleme LS ee f. Demoaţe: Fe afel îâ ş: Se oevă ă deoaee oum am alege ş de ş ae oae ompoeele eegave a î plu J A S J P P J Z S J De oum a f ale. Pe de ală pae: f J J J J J Z J J J J J J f d Cum alegâdu-l pe ufe de mae puem fae valoaea lu f oâ de mae. Nu eă de o lmă upeoaă a fuţe oev pe mulţmea oluţlo pole eea e dovedeşe fudea opmulu poleme. Z IV. PROLEMA REPARIŢIEI ÎN PROGRAMAREA SOCHASICĂ. REPARIŢIA VALORII OPIME. MULŢIMI DE DECIZIE. 4. Pogamaea ohaă. Geealăţ. Geea emeulu de pogamae ohaă ee legaă pe de o pae de eepvaea maemaelo faţă de poleme pae d e î e ma omplee ş pe de ala de legăţle ee ale devolă eolo maemae. Daă la îepu pogamaea

6 maemaă a fo oaaă eluv polemelo de opmae de auă deemă î u mp -a oeva ă uele uaţ pae elamă adopaea uo de opme î odţ omple uoue. Î aelaş mp odaă u devolaea o eo maemae edţa de geealae a oeulu udulu ău a du fe la îeă de edee a modelulu la aul î ae elemeele ale defo au aae aleaoae. O daă f ş u aaeae p leg poale o fomulae a poleme de pogamae maemaă ee u oe maema. Ceţa de a mama mma o vaală aleaoae î odţ ee ee o polemă oe euţaă. ouş î paă aemeea poleme apa. Adă ealaea oeă ofeă uaţ î ae o aală ufe fudameală şţf poae due la fomulaea ue poleme log oee. Î aul la ae e efem ee o ealae oeală fapul ă î mule dome de avae uem ofuaţ u eeaea de a lua de î aeţa uu ool omple aupa uaţe. Ma mul ueo faoul de dee ae o uoaşee ompleă aupa oevulu umă. Î aemeea umaţe e pue polema eulu dee opme. Pogamaea ohaă îş popue ă udee polemele de dee î ae mulţmea delo pole u ee omple uouă î e deem doa pevlă a umae a peeţe uo fao aleao pefaţ ş/au oevul ee epma p-o fuţe aleaoae defă pe mulţmea delo pole. Se adme ă oţ fao aleao ae ouă la defea mulţm delo pole ş a oevulu umţ paame de ae e oue î-o vaală aleaoae muldmeoală a ăe lege de epaţe ee uouă. Se pue polema def opmalăţ î-u mod alav dfe de el adopa î pogamaea maemaă deemă. Eă două modalăţ omplemeae de aodae a poleme ş ae ouă la o uă mplemeae a eulaelo eoee î paă. D puul de vedee fudamea pe ppul wa ad ee o polemă de pogamae ohaă ee o laă de poleme de pogamae maemaă deemă aaeaă p-o epaţe de poalae. Feae e de valo pole luae de paame de ae deemă elemeele ouee ale ue poleme de opmae deemă. Cu u eu oşu de opm mam au mm eula d epeaea eţe feomeulu eal modela e deemă oluţa dea opmă a feăe aemeea poleme. Da legea poală a paamelo de ae mplă o epaţe pe mulţmea uuo polemelo de pogamae defe. De a ş leg de poalae pe mulţmle valolo ş oluţlo opme ale aeo poleme. Oevul ppal al udulu poleme de pogamae ohaă îl oue deemaea aeo leg. Cuouă u deumea de polemă de epaţe o aemeea modalae de aodae a poleme de pogamae ohaă ae d pu de vedee al faoulu de dee u aae pav; u odue la defea a po a ue de ş u ae la aă u ppu popu de opmalae. Coue îă la o uoaşee apofudaă a polăţlo de aţue e au la dpoţa faoulu de dee. O a doua modalae de aodae a pogamă ohae ae la aă ppul hee ad ow ş aoaă poleme oee u model maema fomula a o polemă de opmae. Reolvaea aee poleme eomadă o dee uă a ăe adopae u eue eapăa ă aşepe oevaea valolo efeve ale paamelo de ae. Couea modelulu maema ee î ae a eeţal uodoaă ue aume vu aupa eulu e eue aoda oţu de opm î odţ de eude. Î ae e au fo popue ş aalae âeva vaae. Pma ş ea ma mplă oă î îlouea paamelo de ae aleao p valole lo med fomulaea poleme de pogamae deemă pe aeaă aă ş eolvaea e. Deş elav uşo de ou modelul maema e dovedeşe î maoaea aulo eooda u ealaea olule devae eafăâd eţele oee.

7 Ale vaae de modele de dee u pogamae ohaă u pogamaea u două ad u eu ş pogamaea u eţ poale.[] 4. Polema epaţe î pogamaea laă ohaă. 4.. Modelul Fe { } u âmp de poalae ş a ; m vaale aleaoae defe pe ae âmp. Noăm A = a m = m =. q Puem adme ă A : Ω ude q = m + m + ee o vaală aleaoae q- dmeoală. Peu feae Ω aoem pleulu A polema de pogamae laă: LS : up ; { A } 4. X Daă vaala aleaoae A ae o epaţe uouă famla de poalăţ de pogamae laă LS oue o polemă de pogamae laă ohaă. OS: Î aeaă epeae polema de pogamae ohaă apae a o laă de poleme de pogamae maemaă deemă ogaaă după o lege poală legea vaale aleaoae A. Î mule poleme de dee aea emulu ee defă de o ee de paame ae po lua ma mule valo î oodaţă u leg poale uoue. Se po de apa dfee uaţ pole la feae de aeea oepuâd o aumă polemă de opmae deemă. 4.. Mulţm de dee. Repaţa valo opme. Fe... u veo aleao u valo î a. î.: A A A... A Ude ; A ude: A =... u elemee oae peu feae valoae... A A A A 4. a lu... epeă o valoae polă a v.a. A daă A A Lema 4. Fe o umae păaă a lu A ş măua Leeque pe d umăoaele afmaţ ee adevăaă: de = { de } Defţa Au ua ş uma ua

8 O umae păaă a lu A e umeşe egulaă daă ee egulaă peu el puţ o valoae a lu. Fe... } laa uuo umaelo păae de od m { ale lu A apoape gu egulae. Daă defm afel: vea lu de daă 4.4 O maea ulă daă de P... P epeă oloaele lu A ş daă ee fomaă d oloaele P... P au I deemeaă mulţmea dlo lo a {... } m a Daă m deemeaă mulţmea dlo ea. Avem: Noăm Evde p D { \ A... m ;... ; m... D D D daă l ş l m m A } 4.7 D A. Fe de aemeea: v : defă D v... ş D v { }.... eoema 4. Peupuem ă: a adme o deae de epaţe f pe { X A { up X } } aî.. A ae agul m. Au D p D p a fuţa de epaţe a v.a. v ee: Fv f d 4.8 eoema 4. Î poeele a momeul de od al lu v ee da de: M " v v f d ş v p. ş um D ' D D

9 D D d f d f Mulţmle D u ume mulţm de dee - Daă D au epeă oma valoaea opmă a fuţe oev daă de oluţa/oluţle opmă a poleme de pogamae laă oepuăoae valo a vaale de ae De opme Noăm: } { } { } { m aga X M m aga X X A A A Evde ă aee mulţm u due âe ş M. Defm: } de { A M 4. ; M M M 4. } de { P P O 4. O O F l l ; 4.3 Cla F M. Defm aplaţa: : afel: a Daă ' daă daă =... Daă peu =... au ude eoema 4.3 Î aee poee ş daă = fuţa de epaţe a lu ee: d f F 4.4 ude: } {

10 4.3 Caul eţlo deeme. U a de mae ee î ae e îegeaă o mplfae uaţală a eh de vegae a polemelo de epaţe îl oue el î ae guele elemee aleaoae u oefeţ fuţe oev. Peupuem ă mulţmea oluţlo pole ale poleme ee daă de: X { A } ude A ş au elemee oae a fuţa oev ee: f ude ee o vaală aleaoae -dmeoală. Evde daă X ee u oo ove avâd u umă f de pue eeme. O şd ă daă o polemă de pogamae laă adme oluţ opme el puţ ua de aeea ode u uul d puele eeme ale lu X. Afel daoă vaalăţ oefeţlo fuţe oev feae pu eem al lu X adă feae oluţe de aă a poleme poae ou o oluţe opmă a poleme defe de aume valo ale lu. Î oodaţă u oaţle aeoae peupuem ă... ude... ee o v.a. u valo î. Deoaee î aul de faţă feae umae păaă a lu A ee au gu gulaă au gu egulaă eă âeva oevaţ: P D P Daă X ş P D au epaţa lu f. Fe valoaea opmă a fuţe oev î polema: up P 3 ee o fuţe oveă pe Dem: X ee deă u upo Deoaee: ma ş ma avem peu X X X [ ] 4.5 De a:. Să peupuem ă v.a. adme u veo valoae mede adă... au valo med fe M... M. Noâd M M... M avem: P M M 4 Cu ale uve valoaea mede a valolo mame ale fuţe oev ee upeoaă valo opme a poleme de pogamae laă deemă oţuă p îlouea oefeţlo vaal u valole lo med [][8]. 4.4 Poleme de dee î pogamaea ohaă. Soluţ ealale. Ce de opmalae. P polemă de dee î pogamaea ohaă e îţelege u model de opmae oe d a ău aală aeoaă oemă valolo paamelo de ae aleao ă eule o dee pe aa ăea ă poaă f odu feomeul modela. U

11 aemeea model u ee uma o mplă deee aaă a ue ealăţ oee efleă ş o aumă aude a faoulu de dee faţă de aeaă ealae. O pmă eapă a poeulu de modelae oă î defea adevaă a mulţm delo admle d ae dedeul eue ă o eleee pe ea opmă. Eepâd uaţa vală a eţlo deeme peeţa elemeulu aleao eeaă o eguaţă î pvţa aţulo pe ae e poae oa. Fe LS E o polemă de pogamae ohaă. Def. 4. Mulţmea: X { A } e umeşe mulţmea oluţlo p pemae ealale ale poleme de pogamae ohaă. P De: X ee o mulţme oveă a poleme ş e oevă ă: X p X p p X ee eeţa ue faml de mulţm ovee de ee oveă. Fe o polemă de pogamae laă ohaă î foma aoă u eţ egalăţ avâd maea A oaă A A ; LC ude: LC : up X { A } X m P Daă a. î. au: X { A } O a doua ompoeă fudameală a modelulu ue poleme de dee ee eul de opmalae. Î polemele de pogamae ohaă u aemeea eu epmă eţa de mamae/mmae a ue fuţ deeme ae î-u fel au alul uodoa vu dedeulu aupa poleme oee ee ehvaleul fuţe oev aleaoae. Avem pau e de opmalae ulae ue î modelaea polemelo ohae: daă X ee mulţmea oluţlo ealale lafăm polemele de dee î umăoaele aego: Modelul M: up M X Î ae a eul de opmalae ee mamaea mmaea valo med a fuţe oev f pe mulţmea oluţlo ealale. Evde e mpu odţ ae ă ague eeţa valo med a lu f peu oe dee. Î aul la ee ufe ă peupuem ă oae v.a. au valo med fe M. Au î poea depedeţe vaalelo de ae de vaalele de dee e poae e: M Modelul V: f M X p 4.6 ude ee o valoae polă a lu a X ee da. Iepeaea ee: faoul de dee doeşe mmaea aae faţă de u epe f fa. A f ee o valoae pe ae fuţa oev o poae age p-o dee adevaă. Î aume au e îloueşe fuţa oev d euţ u: M adă u dpea fuţe oev.

12 3 Modelul P: up P da. X Repeă o modalae aţoală de a epea opmalaea î odţ de eude; e auă dea admlă ae ă ague u o poalae â ma mae ă valoaea fuţe oev depăşeşe u vel peal. Daă e ae î vedee mmaea fuţe oev au modelul e poae fomula: up P. X 4 Modelul K: up ude K { X P{ } K fd o oaă d. Se oevă ă peu u K valole fuţe oev depăşe valoaea u o poalae = -. Î felul aea p mamaea lu e aguă o â ma mae lmă feoaă peu valole fuţe oev. Oae de modelele popue aguă oeţa logă a poleme de dee.