Probleme rezolvate. 1. Pe mulţimea matricelor

Transcript

1 Pobleme ezolvate CAPITOLUL I. Pe mulţimea matielo M m (K) {A A [a ij ], a ij K, i, m, j, } se defies opeaţiile: "" : M m (K) M m (K) M m (K) pi C A B, C [ ij ], ij a ij b ij, " " : K M m (K) M m (K) pi D αa, D [d ij ], d ij αa ij, petu A [a ij ], B [b ij ] M m (K), α K. Să se aate ă (M m (K),, ) este u K-spaţiu vetoial de dimesiue m. Soluţie. Opeaţia de aduae este o opeaţie iteă pe M m (K), ae satisfae popietăţile:.. (A B) C A (B C), A, B, C M m (K);.. A B B A; A, B M m (K);.. O m M m (K), matiea u toate elemetele egale u, a.î. A O m A, A M m (K);.. A [a ij ] M m (K), -A [-a ij ] M m (K) a.î. A (-A) O m ; Opeaţia de îmulţie a matielo u salai di K este o opeaţie eteă, ae veifiă popietăţile:.. α(βa) (αβ)a, α, β K, A M m (K);.. α(a B) αa αb, α K, A, B M m (K);.. (α β)a αa βa, α, β K, A M m (K);.. A A, A M m (K) (ude este elemetul uitate di opul K). Demostaţiile popietăţilo se fa utilizâd defiiţiile elo două opeaţii şi popietăţile âmpului K. 6

2 SPAŢII VECTORIALE Fie B C {E ij M m (K) i, m, j, }, E ij fiid matiea ae ae elemetul la iteseţia liiei i u oloaa j, elelalte elemete fiid egale u. B C fomează o bază î M m (K), umită baza aoiă (sau baza atuală). Ît-adevă, daă α ij K, i, m, j,, atui di oie ombiaţie liiaă de foma αije ij O m ezultă m i j α α... α m α α α α ij... i j αm αm... αm , dei α ij, i, m, j, ; B C este u sistem de vetoi liia idepedeţi. Deoaee petu A M m (K), A [a ij ], i, m, j,, ae lo egalitatea m A a, i j ij E ij ezultă ă B C este şi u sistem de geeatoi petu spaţiul M m (K). Număul elemetelo di B C este m, eea e impliă dim M m (K) m. Spaţiul vetoial M (K) al matielo pătatie se otează u M (K) şi dim M (K). 7

3 CAPITOLUL I Obsevaţie. Spaţiul vetoial M (K) se idetifiă u K, dei K poate fi osideat a spaţiu vetoial peste el îsuşi. Spaţiul vetoial M (K), al matielo liie, se idetifiă u spaţiul K. Spaţiul vetoial M m (K), al matielo oloaă, se idetifiă u K m.. Pe mulţimea K K K... K { (,,..., ), i K, i, } de oi se defies opeaţiile: "" : K K K, y ( y, y..., y ), " " : K K K, α (α, α,..., α ), petu (,,..., ), y (y, y..., y ) K, α K. Să se aate ă (K,, ) este u K-spaţiu vetoial de dimesiue (spaţiul vetoial aitmeti). Soluţie. Rezultă di idetifiaea lui K u spaţiul vetoial M (K). Baza aoiă a lui K este B C { e i e i (,,...,,,,..., ), i, } (î vetoul e i toate oodoatele sut ule, u eepţia elei de pe loul i, ae este ). Petu K R (K C) se obţie R-spaţiul vetoial R (C-spaţiul vetoial C ).. Fie V u R-spaţiu vetoial. Pe mulţimea V C V V se defies opeaţiile: "" : V C V C V C, (, y ) (, y ) (, y y ) " " : C V C V C, (α iβ)(, y ) (α - β y, α y β ), petu (, y ), (, y ) V C, α, β R. 8

4 SPAŢII VECTORIALE Să se aate ă (V C,, ) este u C -spaţiu vetoial (spaţiu liia omple), umit ompleifiatul R-spaţiului vetoial V. Soluţie. Folosid popietăţile R-spaţiului vetoial V se poate aăta ă (V C, ) este u gup omutativ. Au lo şi popietăţile: (..) (α iβ)[(γ iδ)(, y )] (α iβ)(γ - δ y, γ y δ ) (α(γ - δ y ) - β(γ y δ ), α(γ y δ ) β(γ - δ y )) ((αγ - βδ) - (αδ βγ) y, (αγ - βδ) y (αδ βγ) ) [(αγ - βδ) i(αδ βγ)](, y ) [(α iβ)(γ iδ)](, y ). (..) (α iβ)[(, y ) (, y )] (α iβ) (, y y ) (α( ) - β( y y ), α( y y ) β( )) ((α - β y ) (α - β y ), (α y β ) (α y β )) (α - β y, α y β ) (α - β y, α y β ) (α iβ) (, y ) (α iβ) (, y ). (..) [(α iβ) (γ iδ)] (, y ) [(α γ) i(β δ)] (, y ) ((α γ) - (β δ) y, (α γ) y (β δ) ) ((α - β y ) (γ - δ y ), (α y β ) (γ y δ )) (α - β y, α y β ) (γ - δ y, γ y δ ) (α iβ)(, y ) (γ iδ)(, y ). (..) (, y ) ( i) (, y ) ( - y, y ) (, y ). Caz patiula. Daă V R, atui V C R R este C-spaţiu vetoial faţă de opeaţiile: "" : V C V C V C, (, y ) (, y ) (, y y ), " " :C V C V C, (α iβ) (, y ) (α - βy, αy β ), petu (, y ), (, y ) V C, α, β R. 9

5 CAPITOLUL I Daă se itepetează a patea eală şi y a patea imagiaă a uui umă omple, atui "" şi " " oiid u opeaţiile de aduae şi îmulţie a umeelo omplee.. Fie V u C- spaţiu vetoial (spaţiu liia omple). Pe mulţimea V se defies opeaţiile: "" : V V V, ămâe aeeaşi di V, " " : R V V pi a (a i), V, a R. Să se aate ă (V,, ) este u spaţiu vetoial eal (deompleifiatul spaţiului V, otat pi V R ), u dim V R, daă dim V. Soluţie. (V, ) este u gup omutativ. Îmulţiea u u umă eal a oiide u îmulţiea u umăul a i, dei sut satisfăute şi popietăţile (..) - (..) di defiiţia spaţiului vetoial. Caz patiula. Deompleifiatul lui C este (C ) R. Daă z (z, z,..., z ) C, z k k iy k, ude k, y k R, k,, atui z se idetifiă u (, y) (,,...,, y, y,..., y ) R R R. Petu, deompleifiatul lui C este R. Daă B ( e, e,..., e ) este o bază petu V, atui mulţimea B R ( f, f,..., f, f,..., f ) este o bază petu spaţiul V R, ude vetoii di B R sut daţi de egalităţile: f e, f e,..., f e, f (, ) e ie,..., Oie veto v V se poate sie sub foma v v, v k C. k k e k Daă îlouim v k (Re v k, Im v k ), atui: f ie.

6 SPAŢII VECTORIALE (Re k k k k (Imvk ) ek k k v v )e, (Imv )e (Rev )e i k k k k ( v )f (Im v ) f ) k (Re. k k k k Dei [B R ] V R. Î plus, B R este o mulţime liia idepedetă î V R.. Pe mulţimea Φ(X, V) {f f : X V}, ude K este u âmp evid şi V este u K-spaţiu vetoial, se defies opeaţiile: "" : Φ(X, V) Φ(X, V) Φ(X, V), pi h f g; h() f() g(), X; " " : K Φ(X, V) Φ(X, V) pi ϕ αf, ϕ() αf(), X, petu f, g Φ(X, V), α K. Să se aate ă (Φ(X, V),, ) este u K-spaţiu vetoial. Soluţie. Deoaee aduaea detemiă pe V o stutuă de gup omutativ, ezultă ă aduaea idusă pe Φ(X, V) detemiă pe aeastă mulţime o stutuă de gup omutativ. Legea de ompoziţie eteă î V peste K idue legea de ompoziţie eteă " " î Φ(X, V). (..) [α (βf)]() α (βf)() α (βf()) (αβ)f() ((αβ)f)(), petu X, dei ae lo: α (βf) (αβ)f, f Φ(X, V), α, β K. Aalog se demostează şi elelalte popietăţi: (..) α(f g) αf αg, f, g Φ(X, V), α K; (..) (α β)f αf βf, f Φ(X, V), α, β K; (..) f f, f Φ(X, V), u K.

7 CAPITOLUL I 6. Pe mulţimea polioamelo de gad mai mi sau egal u, u oefiieţi di opul K, K [] {p() p() a a a... a, a i K, i, }, se defies opeaţiile: "": K [] K [] K [] pi () p() q(), () (a b ) (a b ) (a b )... (a b ), " ": K K [] K [] pi s() (αp)(), s() (αa ) (αa ) (αa )... (αa ), petu p() a a a... a K [], q() b b b... b K [], α K. Să se aate ă (K [],, ) este u K-spaţiu vetoial de dimesiue ( ). Soluţie. Oiăui elemet p() a a a... a di K [], a i K, i,, i se poate asoia ( )-uplul fomat di oefiieţi, (a, a, a,..., a ) K, dei K [] se poate idetifia u K. Mulţimea B C {,,,..., } fomează o bază î K [] (umită baza aoiă) şi dei dim K []. 7. Pe mulţimea R * { R, > } se defies opeaţiile: " " : R * R* R*, y y, " " : R R * R*, α α, petu, y R *, α R. Să se aate ă (R *,, ) este u R-spaţiu vetoial. Soluţie. (R *, ) este u gup omutativ deoaee opeaţia " " este iteă, omutativă, asoiativă, umăul e este elemet eutu şi R * admite u simeti faţă de opeaţia " ", aume

8 SPAŢII VECTORIALE ' R * (sut popietăţile de gup abelia ale lui R * faţă de îmulţiea obişuită). Se veifiă şi popietăţile lui R * faţă de îmulţiea u salai eali: (..) (αβ) αβ ( α ) β ( β ) α α β α (β ); (..) α ( y) α (y) (y) α α y α α y α (α ) (α y); (..) (α β) α β α β α β (α ) (β ); (..), petu, y R *, α, β R. 8. Pe mulţimea R { R (, ), i R, i, } se defies opeaţiile: y ( y, y ), (, ), y (y, y ) R, α (α, ), α R, R. Să se studieze daă (R,, ) este u R-spaţiu vetoial. Soluţie. Deoaee (α β) ((α β), ), α β (α, ) (β, ) ((α β), ), ezultă ă (α β) α β, dei (R,, ) u este u R-spaţiu vetoial. 9. Să se aate ă daă S şi S sut subspaţii liiae ale K-spaţiului vetoial V, atui mulţimile S S şi S S {, S, S } sut subspaţii vetoiale ale lui V. Soluţie. α, β K,, S S, y S şi, y S α β y y S şi α β y S

9 CAPITOLUL I α β S S S S este subspaţiu liia. Petu α, β K,, S S, y y y,, y S şi, y S α β y S şi α β y S α β α( ) β( y y ) (α β y ) (α β y ) S S S S este subspaţiu liia. Obsevaţie. Daă S S { } (az î ae S şi S se umes subspaţii liia idepedete), atui suma lo, S S, se umeşte sumă dietă şi se otează u S S. Î plus, daă S S V, atui S şi S se umes subspaţii suplimetae şi dim V dim S dim S. y y y. Fie S şi S subspaţii liiae ale K-spaţiului vetoial V. Să se aate ă V S S daă şi umai daă petu V, S şi S ui detemiaţi astfel îât. Soluţie. Neesitatea. Pesupuem ă V S S şi y y,, y S şi, y S. Deoaee S S { }, ezultă ă - ( - y ) ( - y ) S S - y, - y y, y. Sufiieţa. Pesupuem ă V, S şi S ui detemiaţi astfel îât. Să aătăm ă S S { }. Daă u S S ( u ) ( - u ), u u S,

10 SPAŢII VECTORIALE - u S. Di uiitatea desompueii ezultă ă u, - u, dei u, de ude S S {}.. Î spaţiul vetoial M (K) se osideă submulţimile: Σ (K) {A M (K) A A t } (mulţimea matielo simetie) Α (K) {A M (K) A -A t }(mulţimea matielo atisimetie) Să se aate ă mulţimile Σ (K) şi Α (K) sut subspaţii vetoiale ale lui M (K), M (K) Σ (K) Α (K) şi ( ) ( ) dim Σ (K), dim Α (K). Soluţie. A, B Σ (K) A A t, B B t. α, β K (αa βb) t (αa) t (βb) t αa t βb t αa βb αa βb Σ (K) Σ (K) este subspaţiu vetoial. Aalog se demostează ă Α (K) este subspaţiu vetoial. Oie matie A M (K) se poate sie A A A, ude A (A A t ), A (A - A t ), u A Σ (K), A Α (K). Se demostează ă desompueea este uiă. Pesupuem ă ae lo şi deompueea A B B u B Σ (K), B Α (K). Atui A A A B B, dei A - B B - A. Deoaee A, B Σ (K), ae este subspaţiu vetoial, ezultă ă A - B Σ (K). Aalog B - A Α (K). Dei C A - B B - A Σ (K) Α (K) C C t şi C - C t C O A B, A B. Se obsevă ă matiea A [a ij ] Σ (K) se poate idetifia u vetoul de oodoate i,, j,

11 CAPITOLUL I ( ) (a,a,a,...,a, a, a,..., a,..., a -, -, a -,, a ) K. ( ) Dei dim Σ (K). Di elaţia dimesiuilo ezultă dim Α (K) ( ) ( ) -.. Să se aate ă vetoii u, u,..., u di spaţiul vetoial R sut liia idepedeţi daă agul matiei A M (R), fomată pe oloae di oodoatele vetoilo ît-o bază oaeae, B { e, e,..., e } di R, este, adiă egal u umăul vetoilo. Soluţie. Daă î elaţia α i u i i, α i R, i,, itoduem epesiile vetoilo u i î baza B, u i obţiem umătoul sistem liia şi omoge î euosutele α, α,..., α α i. i ij j, Sistemul admite umai soluţia baală, α i, i,,daă matiea sistemului A ae detemiatul eul, dei aga. Obsevaţie. Ragul sistemului de vetoi liie ai uei matie este egal u agul sistemului de vetoi oloaă. ije j 6

12 SPAŢII VECTORIALE Ragul uei matie A este agul omu sistemelo de vetoi liie sau oloaă, adiă este egal u umăul maim de vetoi liie sau oloaă liia idepedeţi ai ei.. Să se stabileasă daă umătoii vetoi sut liia idepedeţi sau liia depedeţi: a) u (, -, ), u (-,, -), u (, -, ); b) u (, -, ), u (-,, ), u (,, ). Soluţie. a) Cosideăm ombiaţia liiaă αu βu γu, ae odue la sistemul liia şi omoge α β γ α β γ. α β γ Matiea sistemului este L L L L L : A 6. şi ag A < umăul euosutelo. Sistemul este ompatibil edetemiat u soluţia α -γ, β γ, γ γ, γ R. Rezultă ă vetoii u, u, u sut liia depedeţi şi satisfa elaţia de depedeţă -γu γu γu, γ R. Î patiula, petu γ -, se obţie elaţia de depedeţă u - u - u. b) Cosideăm ombiaţia liiaă αu βu γu, ae odue la sistemul liia şi omoge 7

13 CAPITOLUL I α β γ α β γ β γ Matiea sistemului este L L LL A şi ag A. Sistemul admite umai soluţia baală, α vetoii u, u, u sut liia idepedeţi.. β γ, dei. Să se studieze, după valoile paametului eal m R, depedeţa liiaă a sistemului de vetoi { u (,, ), u (,, 6), u (7, 8, m)}. Î azul î ae sistemul este liia depedet să se găseasă o elaţie de depedeţă. Soluţie. Cosideăm ombiaţia liiaă αu βu γu, ae odue la sistemul liia şi omoge α β 7γ α β 8γ. α 6β mγ Matiea sistemului este LL LL LL L : ( ) A m 6 m m 9 Petu m 9 aga vetoii u, u, u sut liia idepedeţi. 8

14 SPAŢII VECTORIALE Petu m 9 ag A vetoii u, u, u sut liia depedeţi. Soluţia sistemului este α γ, β -γ, γ γ, γ R. Petu γ se obţie elaţia de depedeţă u -u u.. Să se disute, după valoile paametilo eali m,, depedeţa liiaă a vetoilo: a) u (,, m), u (, -, m ), u (,, ); b) u (m,, ), u (, m, ), u (,, m). Soluţie. a) Cu oodoatele vetoilo u, u, u aşezate pe oloae se ostuieşte matiea L LmL C C A CC m m m m m CC m m m L(m)L C C m m 9 Daă m R \ {, 9}, atui aga şi vetoii u, u, u sut liia idepedeţi. Daă m sau m 9, atui aga şi vetoii u, u, u sut liia depedeţi. Se poate detemia elaţia de depedeţă folosid tasfomăi elemetae asupa liiilo matiei A t. Petu m obţiem u u u u u u u u 9

15 CAPITOLUL I (u u u) /( ) u u u (u u u u (u ) /( ) u ) / Dei u - u ( u - u ), adiă elaţia de depedeţă liiaă este u - u - u. Petu m 9 u 8 u 8 u 8 u u u u u u u u u u u. u u u u (u u ) / Relaţia de depedeţă liiaă este u - u - u. LL m m C C LmL b) A m m CC m m CmC (m ) m L L (m ) m ( m) ( m)( m) ( m)(m ) Daă R \ {} şi m R \ {-, }, atui aga şi vetoii u, u, u sut liia idepedeţi. Daă R \ {} şi m, atui aga şi vetoii u, u, u sut liia depedeţi. Daă R \ {} şi m -, atui aga şi vetoii u, u, u sut liia depedeţi.

16 SPAŢII VECTORIALE Daă şi m R \ {-, }, atui aga şi vetoii u, u, u sut liia depedeţi. Daă şi m -, atui aga şi vetoii u, u, u sut liia depedeţi. Daă şi m, atui aga şi vetoii u, u, u sut liia depedeţi. 6. Se dau vetoii u (, ), u (7, ). Să se aate ă vetoii sut liia depedeţi î R osideat a u R-spaţiu vetoial şi liia idepedeţi î R osideat a u Q-spaţiu vetoial. Soluţie. Di elaţia αu βu ezultă sistemul ( ) α 7β (S) ( ) α ( ) β Detemiatul sistemului este 7, dei vetoii u, u sut liia depedeţi î R osideat a R-spaţiu vetoial. Ae lo elaţia de depedeţă: 7u - ( ) u. Sistemul (S) se mai poate sie sub foma (α 7β) α, ( α β) ( α β) u soluţia α β, adiă vetoii u, u sut liia idepedeţi î R osideat a Q-spaţiu vetoial. 7. Să se aate ă sistemul de vetoi S {p(), p'(), p''(),..., p () ()} R [] este liia idepedet.

17 CAPITOLUL I Soluţie. Daă p() a a a... a - - a R [], atui: p'() a a a... a - p''() a.a.a... ( - )a -... p ( - ) () ( - )! a -! a p () ()! a. Di ombiaţia liiaă α p() α p'()... α p () ()... ezultă sistemul liia omoge î euosutele α k, k, : αa αa αa... ( )! αa α α α α a a... ( )! a!... α a α a αa! α a a Deoaee sistemul admite umai soluţia baală, ezultă ă sistemul de vetoi S este liia idepedet. 8. Se dă sistemul de vetoi B { v, v, v } R, ude v (,, ), v (,, ), v (, 7, ). a) Să se aate ă B este o bază î R. b) Să se sie matiea S a shimbăii de baze, de la baza aoiă B C di R la B, B C S B. ) Să se afle oodoatele vetoului (, -, ) î baza B. Soluţie. a) Deoaee umăul vetoilo di B este egal u dim R, este sufiiet să aătăm ă B este sistem liia idepedet. Di ombiaţia liiaă α v β v γ v ezultă sistemul

18 SPAŢII VECTORIALE α β γ α β 7γ, α β γ ae admite umai soluţia baală, α β γ, dei B este o bază î R. b) Deoaee v e e e v e e e v e 7e e, ezultă ă matiea S este S 7. ) Folosid fomula shimbăii oodoatelo la o shimbae de bază, avem 8 7 X B S - X B C 7. 8 Î oluzie, (-,, 8) B - v v 8 v. Di defiiţie, oodoatele vetoului î baza B sut salaii α, β, γ di elaţia α v β v γ v, ae odue la sistemul liia eomoge α β γ α β 7γ α β γ u soluţia α -, β, γ Se osideă baza B { u (,, ), u (, -, ), u (-,, )}, sistemul de vetoi

19 CAPITOLUL I B { v (,, ), v (,, ), v (,, )} şi vetoul (, -, ). a) Să se sie matiea S a teeii de la baza B la sistemul de vetoi B, B S B şi să se aate ă B este o bază. ) Să se afle oodoatele vetoului î ele două baze. Soluţie. a) Se aută desompueile vetoilo di sistemul B î apot u vetoii di baza B, adiă: () v s u s u s u () v s u s u s u () v s u s u s u. Relaţiile (), (), () odu la sistemele liiae eomogee: s s s (S ) s s s ; s s s s s s (S ) s s s ; s s s s s s (S ) s s s ; s s s Se obsevă ă matiele oefiieţilo euosutelo elo tei sisteme oiid, avâd pe oloae oodoatele vetoilo u, u, u. Cele tei sisteme se pot ezolva simulta (a se vedea aea p. 6). LL LL L L

20 SPAŢII VECTORIALE L L L L ) ( L : L L L L. Î oluzie: s ; s ; s ; s ; s ; s ; s ; s - ; s -, adiă S. Deoaee matiea S este esigulaă (dets ), ezultă ă B este o bază î R şi vetoii ei, desompuşi după vetoii bazei B, sut: v u u u ; v u u ;

21 v u - u - CAPITOLUL I u. Vetoul î baza B, espetiv B, ae oodoatele date de: X B S X B S C, ude B C B. X B S X C B S, ude B C B. Matiea X B poate fi detemiată şi folosid elaţia X B S- X B, ude B S B.. Fie baza B { v, v, v, v } R, ude v (,,, -), v (-,,, ), v (,,, ), v (,, -, ) şi vetoii v (,, -, ) şi w (,,, -). Să se detemie oodoatele vetoilo v şi w î aeastă bază. Soluţie. Putem ezolva aeastă poblemă şi pi lema substituţiei, ezultat des folosit î poblemele de algebă liiaă. Daă B { v, v,..., v } este o bază î K-spaţiul vetoial V, v i α v i V este u veto fi şi B* { v, v,..., v i -, v, i v i,..., v } este u sistem de vetoi obţiut di B pi îlouiea vetoului v i u vetoul v, atui au lo afimaţiile: 6

22 SPAŢII VECTORIALE - B* este o bază petu V daă şi umai daă α i ; - daă B* este o bază petu V, atui legătua dite oodoatele uui veto î bazele B, espetiv B*, este dată de elaţiile: jαi iα j, petu j i * αi j, j, petu j i α j ude (,,..., ) B şi ( *, *,..., *) B*. Petu uşuiţa alulelo se ostuies tabelele: B v v α v i α i i v α j j j v α B* v v αi iα αi vi i αi iα αi v i αi v i i i iα αi v j α α j i α i αi v αi iα α i i i j 7

23 CAPITOLUL I Pe oloae sut oodoatele vetoilo oespuzătoi î bazele idiate la îeputul fieăui tabel. Deoaee s-a pesupus ă α i, ezultă ă se poate îloui v i u v. Elemetul α i se umeşte pivot şi se mahează pit-u e. Teeea de la tabelul B la B* se fae astfel: - elemetele liiei di B* oespuzătoae liiei pivotului se obţi împăţid toate elemetele liiei pivotului pi pivot; - se ompletează oloaa oespuzătoae pivotului u -ui; - toate elelalte elemete j, j i, se îlouies pi * jαi iα j j j - i α α α j. i i Teeea de la oodoatele j î baza B la oodoatele B * se fae u egula deptughiului, shematizată pi: * j î α i i α i i α j j jαi iα j αi Obsevaţii - î alule se aleg, daă este posibil, pivoţi ât mai simpli (de eemplu ±), - dite doi pivoţi egali va fi ales el ae ae pe liia şi oloaa sa elemete ât mai mii, - daă pe oloaa (liia) pivotului apae u, atui oloaa (liia) oespuzătoae se opiază eshimbată î oul tabel. Petu eemplifiaea aestei metode, vom ezolva poblema folosid lema substituţiei. Avem: 8

24 SPAŢII VECTORIALE B C v v v v v w e - e e - - e - - B v v v v v w v - e e - - e B v v v v v w v v - e e

25 CAPITOLUL I B v v v v v w 8 v - 9 v v e - - B v v v v v w v 9 v - v 9 v 9-9 Coluzia: v 9 (, -,, )B w 9 (, 6, -, 9)B.. Să se afle matiea shimbăii de bază, S, de la baza aoiă B C di R [] la baza B, adiă B C B, ude: a) B {,, ( ), ( ), ( ) }; S b) B {,, ( - ), ( - ), 8 ( - )}.

26 SPAŢII VECTORIALE Soluţie. a) Epimâd vetoii bazei B î fuţie de vetoii bazei aoie B C {,,,, }, obţiem: ( ).... ( ).... ( ) Î oluzie S 6 b) Aalog se detemiă matiea shimbăii de bază S 8 8. Fie S mulţimea soluţiilo sistemului liia şi omoge de m euaţii liiae u euosute a... a a... a... a a a... a a m m m adiă S {X M (R) AX O m }, ude

27 CAPITOLUL I a a... a a X şi A a... a este matiea sistemului a m a m... a m a) Să se aate ă S este u subspaţiu liia al lui M (R); b) Să se aate ă dim S -, ude ag A. Soluţie. a) Vetoul ul O S şi petu oie X, X S şi α, β R avem: A(αX βx ) αax βax αo m βo m O m, dei αx βx S, adiă S este u subspaţiu vetoial. b) Daă, atui sistemul liia şi omoge admite umai soluţia baală, adiă S {O } este subspaţiul ul al lui M (R) şi dim S -. Daă, atui A O m şi sistemul admite a soluţie oie veto X M (R), eea e îseamă ă S M (R), dei dim S -. Daă < < atui, pit-o evetuală eumeotae a euosutelo şi o eodoae a euaţiilo, putem pesupue ă pimele euosute sut piipale şi pimele euaţii sut piipale. Sistemul fomat di euaţiile piipale se sie sub foma a a a a a a... a... a... a (a (a (a,,, a a a,,,... a... a... Sistemul de mai sus admite soluţia... a ) ) )

28 SPAŢII VECTORIALE,,,,,, , ude,,..., sut euosutele seudae, ia ij R, i,, j,. Soluţia geeală a sistemului omoge iiţial este,,,,,, X Daă euosutele seudae iau, pe âd, valoile,,,..., ;,,,..., ;...,,,...,, atui se obţi soluţiile patiulae

29 X......,,,, X CAPITOLUL I,,,,..., X Soluţia geeală a sistemului se poate sie sub foma X X X... X. Se poate aăta ă sistemul de vetoi B {X, X,..., X } este o bază petu S, dei dim S -. Baza B se umeşte sistem fudametal de soluţii petu sistemul liia şi omoge şi poate fi detemiată u ajutoul tabloului,,...,,... Neuosute piipale ,, Neuosute seudae X X... X

30 SPAŢII VECTORIALE. Să se afle dimesiuea şi o bază petu subspaţiul S al soluţiilo sistemului liia şi omoge 7 Soluţie. Vom detemia agul matiei A a sistemului pi tasfomăi elemetae asupa liiilo L L L L L L L L L L A L L L Dei ag A ; euosutele piipale sut,,, ia α este euosuta seudaă. Se obţie sistemul α α α α, ae se ezolvă folosid metoda elimiăii totale (Gauss).

31 CAPITOLUL I 6 L L L) : (L L L L L L L L L Soluţia sistemului este,,, α, α, α R. Mulţimea soluţiilo sistemului liia omoge iiţial este S { R (,,, α, α), α R} { R α(,,,,), α R}. Mulţimea B { v (,,,, )} este o bază petu S şi dim S.