MATEMATICA ALGEBRA si GEOMETRIE. As. Dr. Marius Paşa. 1. CHESTIUNI PREGATITOARE (matrice, determinanti, sisteme)

Transcript

1 ATEATICA ALGEBRA s GEOETRIE As D us Pş CHESTIUNI PREGATITOARE me deem sseme SPATII VERCTORIALE TRANSFORARI LINIARE FUNCTIONALE PATRATICE GEOETRIE VECTORIALA 6 CONICE 7 CURBE IN PLAN SI SPATIU

2 CALCUL ATRICEAL DETERINANTI epule e Fe A B Să se lulee AB Fe A B Să se lulee AB; AB; BA A ; B ; A B Dă A d C u efă euţ: d di Fe A Q Dă f I să se lulee fa Fe A Q Să se deeme oe mle X Q sfel îâ AXXA 6 Să se deeme uw dă se uoşe ă em egle: w u 8 7 Să se deeme me X d euţ: X Să se deeme ş dă em: 6 9 Să se deeme lole lu R peu e em: os g s s Să se eole euţ: X ude Xese o me păă de odul u elemee umee ele Să se lulee sum: k kk k k k

3 Dă w ese o ădăă euţe să se lulee sum: k k k k k k k w w w w w w Să se găsesă me X î fee d ule: 6 d 8 Se osdeă egle de me d Să se e ă dă umeele d su î pogese meă u ş umeele m p qp u eeş popee q p m Să se fle me X R dă: Fe A ş X u Să se deeme u ş sfel îâ AXXA 6 Fd de mle A B AB R Se ee: Să se lulee păul sume mele AB Să se eole ssemul î eul d egle melă: A B 7 Fe G mulţme mlo d R de fom: Să se e ă oe f două m d G ş podusul lo ese o o me d G Să se e ă Să se slesă dă I G 8 Fe A B C R A B C Să se lulee ABC N

4 Să se găsesă R sfel îâ: A B C 9 Să se deeme me N sfel îâ 7 8 Să se eole euţ X 6 şd ă j peu j j 6 j elemeele me X Fe me X R Să se e ă X efă elţ X X I Să se lulee X ş să se e ă peu N ese deăă : X X I Să se găsesă ş sfel îâ X X I Se osdeă me Să se deeme oe mele X sfel îâ A X XA ş să e ă u esă o me Y sfel îâ A Y YA Se osdeă me A Să se lulee A N ş lm feău eleme l lu A peu Fe mulţme mlo păe de od de fom ude R Defm fuţ f: C f Să se e ă: f ese jeă; oe f C u lo eglăţle f f f f ff Fe me A sfel îâ < Să se e ă me A ese de fom Să se demosee ă şule ş su oegee ş u lm eo 6 Să oăm u mulţme uuo melo de pul m î e oe elemeele su su ş sfel îâ podusul umeelo d fee le ş d fee oloă să fe Să se lulee umăul elemeelo mulţm 7 Să se lulee sum

5 k kα s kα os skα oskα 8 Fe mle A ş B d d u d Să se e ă esă u umă el sfel îâ peu oe K N* să em A k k A Folosd egle B IA Să se lulee B N* Să se sudee oegeţ şulo e efă eglăţle p q B 9 Fe mulţme mlo d R de fom: A α α os s α s α os α Să se e ă oe f A α A β ş A α A A β β A α Să se lulee α R dă A α A A α o Fe mle AB R ude A ş B Să se lulee: A ; B ş B Să se e ă A B B Fe me A Să se lulee A N Fe me A Să se lulee A N Fe me R Să se lulee Să se lulee ssemele mele: 7

6 Să se eole ssemele: 9 7 Să se deeme mle X de fom e u popee XA AX ude A B 8 Să se eole î R euţle mle: X X X X 9 X e eeţul X X 6 Să se eole ssemul şd ă X ese eslă 8 6 Y X Y X Să se eole ssemul 7 Y X X XY X Să se eole ssemul XY Y X XY X şd ă X ese me eslă Să se deeme puee melo A R: 6

7 A ; A Să se deeme puee melo A R: A 6 os 6 s 6 s 6 os π π π π os s s os π π π π 6 Să se deeme puee melo A R: A 7 Să se deeme puee melo A R: A 8 Să se deeme puee melo A R: A 9 Fe A B C A C sfel îâ A BC B CA C AB Să se e ă: A B C Fe me A u popee A A Să se demosee elţ: AI I Fe î R egle mlă Să se e ă dă su î pogese meă u su o î pogese meă Se osdeă me A Să se lulee A ş B K A K Fe mle A B d R Să se demosee ă dă AB AB u AB BA f e d 7

8 Se osdeă me A 6 B { R / deemul A I u depde de R R* } B umăul elemeelo lu B C A I B R R* } { Fe { A R/ A R dea } o B Dă K { A R/ d dea ş deadea* } u: I B B ; BB* debb* ; d B B* e BB* I II d ; d; d; d d ; e d 6 Fe R A Peu o me B m C m N m fe α Bumăul molo eul lu B Au I α I ; α I ; α I ; α I ; e α I! II A α A ; α A α A d g A ; e α A C 7 Fe { A R/ A D R } Dă ese u gup u eleme euu E ude ese îmulţe melo d R ş S { A / A A E A / smeul lu A î gupul u: u } I DR; DR \ D R*; d DR \ ; e A eslă II S { A A }; S o { A }; S { } A { } ; d S ϕ ; e A A A A o 8 Fe X R sfel îâ X Dă T ş S I T; T ; T ; d T 7; e T II S; S 7 ; S ; d S; e S 9 8

9 9 Fe elul A ude A { d R/ d d R } d Fe B { Z*Z/ X X X 6 } C { d R / X d X d X 8 d } S ; T d u B d C I S ; S ; S ; d S ; e S II T S; T S; T S; d T s; e T S e e 6 Fe me A e Să se lulee A 6 Fe me A Să se lulee A K K 6 Fe A o me de pul âd elemee umee ule Să se deeme esă 6 me sfel îâ A Să se deeme mle A R sfel îâ A AI Să se e ă A ese eslă ş să se fle es s 6 Fe AB m de odul sfel îâ AB BA Să se e ă: A k B l B l A k oe Kl N m AB m m C A B oe m N* m 6 Fe A Să se lulee IA ude N* 66 Peu oe me A j me T A T A se umeşe um me j A Să se e ă TAB TA TB T α A α TA TAB TBA TUAU TA 9

10 67 Deemţ mele A R A e u popee ă: A d oe f N* d 68 Deemţ R sfel îâ A A I ude A R R Dsuţe 69 Fe ε π s π os ş A ε ε ε ε C Clulţ A 7 Fe AB R sfel îâ AB AB Aăţ ă peu K N K umăoele fuţ su ehlee: ABB B K B B k 7 Fe A C o me u popee ă esă K N* sfel îâ A K Demosţ ă me IA ese eslă 7 Fe AB C sfel îâ A A ş AB I Demosţ ă esă K N* sfel îâ AA k Aăţ ă o me IAB ese eslă 7 Redueţ l fom eşlo mle: Deemţ umăul ldelo fome eşlo peu dfee lo le lu α R î umăoele suţ: / α / α α α α α dă α u em lde eşlo lfel lde α 7 Slţ u juoul sfomălo elemee dă umăoele m su esle ş î fm lulţ esele 76 Seţ u podus de me elemee de p I umăoele me:

11 k j kj j k kj k j 77 Fe A R Deemţ sfel îâ A să fe eslă Peu deemţ A ş eolţ euţ AX 78 Fe A Să se e ă peu oe N* esă mele 8 R dse ş eule sfel îâ A X Y Z osα sα os α sα 79 Fe α R ş A A sα osα sα osα 8 Fe A R u popee ă A X X A peu oe X R Demosţ ă esă λ R sfel îâ A λ I 8 Cosdeăm mulţme: { A j j / j> j j j } Aăţ ă: j Dă AB u A X Dă A u j j 8 Fe A R u popee A A Demosţ ă IA IA ş AIA IA A A 8 Fe AB R me esle R Demosţ ă B me ese eslă ş ă A B 8 Fe { N C / K N sfel îâ N k } mulţme mlo ulpoee Peu N se umeşe oefeul de ulpoeţă l men el m m umă ul p u popee N p Defm e N p IN N N dă N ş e oefeul de! p! ulpoeţă p Demosţ ă: N N N N e e e e peu N N e N ese me eslă ş e N e N peu N

12 8 Fe H k j o me de odul defă sfel: j dă j K j ude K ese u umă f d mulţme: dă j K { } Demosţ ă H K H K H K H K dă k ş H K K H peu K 86 Fe A C ş A spus s Demosţ ă me B A A ese o me someă B B Dă me A ese eslă u ş A ese smeă Dă me A ese smeă A A ş eslă u ş A ese smeă 87 Demosţ ă podusul două me smee ese o me smeă dă ş um dă ele două m omuă 88 Demosţ ă podusul două m smee ese o me smeă dă ş um dă ele două m omuă 89 Demosţ ă podusul două m A B smee ese o me smeă dă ş um dă AB BA 9 Fe d lu f X X C[X] Clulţ ; Clulţ ; Clulţ P ; d Să se e ă Z ş să se lulee 9 Î R I A ş sumulţme G { X/ R ş X I A } Să se lulee A ; Să se e I G; Să se demosee ă X X X R; d Să se e ă dă u X X I ; e Să se demosee ă Z X X X X 6 9 Se osdeă A 9 6 Să se lulee dea ş g A Clulţ A ; Să se deeme B A A A 9 Fe A Clulţ A ; Să se lulee dea ş g A Peu C defm B I XAX A X A Clulţ B; d Să se e ă B ese eslă peu X C

13 9 Fe A Clulţ A ş A Clulţ de A { } Vefţ dă A A I d Aăţ ă A A A e Demosţ ă A I N 9 Î R A ş B Să se e ă E ese eslă ş să se lulee A ; Clulţ C ; A B A Clulţ C B 96 Î R A B C Aăţ ă AB BA AC CA; Clulţ C 97 Î C se osdeă sumulţme H / w w w C } Să se efe I H; AB H AB H; Să se demosee ă dă A H ş dea u A ; d Să se găsesă AB H sfel îâ AB BA 98 Î C se osdeă sumulţme G / w w w C } Să se efe A G u g A < A Să se deeme X G sfel îâ XA AX ude A Dă A G A u esă A ş A G 99 Î C A ş fuţ f: C C f X Clulţ dea g A Clulţ A ş A Să se e ă dă Y C ş YA AY u C sfel îâ Y d Să se e ă dă Z C ş de Z u Z O

14 I Î R A I G Să se efe I G; Să se e ă A A; Să se e ă X X X R; d Să se lulee dea g A; e Să se deeme R peu e X X X X X Se osdeă A B Clulţ A B ş B A; DeA ş g A; Vefţ dă A B I; d Esă A? Au să se deeme; e Să se lulee deemul lu X A A A A ; { X/ ş X A I R } f Să se e ă A B I A C A d Deemţ me X C şd ă X A dadi; Clulţ A 6 peu A ; Dă α A α R u α su A; d Aăţ ă dă K k sfel îâ A k u A ; e Aăţ ă peu ABC C esă egle ABBA C CABBA Fe X Y A Peu R defm B A Clulţ A XY; Clulţ A ; Să se e ă BB ; d Să se e ă u esă A ; e Să se demosee ă B I A Fe X Y A Clulţ XYA; dea g A; Clulţ A

15 Fe umeele ele dse d f g : R R f d g ş de Δ Vefţ Aăţ ă Δ ddd; Vefţ dă A Δ ude A g g d Vefţ dă f d; e Deolţ A după ulm le ş ăţ ă g g g gd f' f' f' f' d 6 R; ; 6 Fe me A efţ A A; Aăţ ă A A ; Aăţ ă me A A A 99 A e oe elemeele s ege 7 Fe d C g d d gd Deolâd d ăţ ă d ; Folosd popeăţle deemţlo ăţ d ; Aăţ ă [ ]; d Reolţ 8 X 7 X X X 8 Î Z A ˆ ˆ ˆ ˆ Clulţ dea; Clulţ A ; A ; Deemţ B Z ; d Clulţ A 6 9 Î R A ş G { X/ R ş X A I } Clulţ dea g A ăţ ă I G; Aăţ ă XX X ; Aăţ ă X X X! d d d

16 Fe Z ş A d Z Defm f: Z Z f A ude Vefţ dă f f f; f λ λ f λ Z; Aăţ dă dea f jeă dea { } f jeă Fe A B C AB R Clulţ dea g A; Demosţ ă gab ; Aăţ ă u N em X X; d Deemţ C N; Fe me A A 6 R Să se deeme mulţme mlo { X/deX deax } Dă X X să se efe dă sum X X Fe me A A d Ru d Noăm A Să se demosee ă d d şd ă A A A A Rg m Să se deeme gul me A R Fe mle A R B R: A B β α α α Se ee: Să se lulee gul me A; Să se deeme α β R sfel îâ g A g B Se dă me A R A Se ee: α Să se deeme lole lu peu e A ese esgulă α 6

17 Peu să se găsesă es me A α Să se eole euţ melă AXB C ude: A B C 6 Să se lulee gul melo umăoe peu dfee lo le lu : α ; α α α 6 Să se deeme gul umăoelo m p duee l fom oă dgolă peu dfee lo le lu α β γ δ R β α δ γ β α 7 Se osdeă mle: A B p q p Să se fle umeele p ş q sfel îâ ele două m să ă elş g 8 Să se lulee gul me A Dsuţe după α α α 9 Fe A B Se ee: Să se găsesă gul melo A ş B Să se lulee AB Să se găsesă gul me AB d Să se euţe eoem pd gul două me Fe A λ λ λ λ λ λ R Să se găsesă lole lu λ peu e g A λ < Peu fee d lole lu λ găse m sus să se fle gul lu A λ Să se deeme gul me α β α γ β α β γ R 7

18 m Fe me A m m R Ce g mm poe e me A? α Fe mele A α B β Se e α β R sfel îâ g A Cu α ş β deemţ m sus ş să se lulee A B Să se lulee gule melo α α R m Să se lulee gul me A ude m m m m umee dfee îe ele 6 Să se fle lole posle le gulu me ude ş mj m m m su umee oee 7 Să se fle lole lu α C peu e me e gul mm α 7 α 8 Să se fle gul me α peu dfee lo le lu α C 9 Să se demosee ă gul ue me u se shmă dă: 8

19 se spue me; se îmulţes elemeele ue l su ue oloe u u umă eul; se pemuă îe ele două l oloe; d se dugă l elemeele ue l oloe elemeele oespuăoe le le l oloe îmulţe u u umă oee Să se lulee gul feăe d umăoele m: A A 6 A d A e A f g A h A Să se lulee î fuţe de R gul mlo A A A d A e A f A Să se lulee î fuţe de R gul mlo: 9

20 A A A d A d A f A Se osdeă mle: A B Să se fle umeele p q p q p R sfel îâ ele două me să ă elş g Să se deeme gul me A Să se lulee gul mlo peu dfee lo le pmelo: α α α α α 7 d d α α β β β β α β α β α 6 Cum se poe shm gul ue m dă se shmă uul d elemeele sle? Cum se poe shm gul ue m p shme elemeelo ue l? D p shme elemeelo K l?

21 esle Să se fle dă mle su esle ş î fm să se găsesă esele lo: 6 α α R λ λ λ λ C Fe mle A ş B Să se lulee: A B; AB; B ; B B Să se găsesă mle djue le umăoelo m: A B 6 Să se efe dă umăoele m su esle ş î fm să se lulee esele lo: A B C Fe mle A B Se ee: Să se e ă AB BA I; Să se lulee A ş B ş să se jusfe eulul puulu 8 Să se slesă dă umăoele m su esle ş să se găsesă esele lo:

22 A B O O O O O O 9 Să se deeme lole pmeulu el m sfel îâ me A să fe eslă peu oe m R Fe me A λ λ λ C Să se fle lole lu λ peu e me A ese eslă ş să se lulee î es A Fe me A R ude R Să se deeme sfel îâ A să fe eslă; Să se deeme sfel îâ să ese B R B u A B Să se eole euţle mele: X ; 6 X Să se eole euţ melă X Dă X R să se eole euţ melă: X Să se eole pe le melă:

23 6 Să se deeme R sfel îâ umăoele m să fe esle ş să se fle esele lo: A A A d A e A f A 7 Să se eole euţle mele: X X d L X O O O O O O 8 Fe A d C sfel îâ A Să se demosee ă me ese eslă d

24 9 Să se fle dă mle umăoe su esle ş î fm să se găsesă esele lo: α R α α d Să se fle dă mle umăoe de od su esle ş î fm să se găsesă esele lo: Ο α α α O O Ο Ο α α α N d Ο O O O O L Ο Ο α α α O O Să se e ă peu o me esgulă A de fom: A es s B A Ο N N ese de fom Ο N N

25 Fe A o me păă u oefeţ ompleş Să se demosee ă dă esă k sfel îâ A k u me IA ese eslăş em: IA IA A k Fe A o me eslă u oefeţ ompleş Să se demosee ă A A Fe A B C me sfel îâ AB AC Su oe egle mele B ş C? D dă A ese o me esgulă? Fe E me păă de od le ăe elemee su egle u Să se e ă: E E 6 Fe A C de g Să se e ă: esă u umă sfel îâ A αa; dă α u me IA ese eslă ş em: IA I A α d d Să se deduă: eslă dă ş um dă ese eulă ş să d d se lulee es 7 Fe A o me esgulă ş B XY o me de g Să se demosee ă dă me AB ese esgulă es s ese dă de: AB A A B A ude α Y A α X Pesupuâd uosue mele A X Y să se lulee umăul îmulţlo ş împăţlo eese peu ee de l A l AB DETERINANŢI Să se lulee: log ; 7 8 log Fe Δ d 6 logd log Să se lulee Δ ulâd:

26 Regul lu Sus; Regul ughulu; deole după l ; d deole după olo ; e deole după l după e î pell se o oţe elemee eo; f popeăţle deemţlo Să se lulee deemţ:!!!!!!!!! ; C C C C C C C C ; Să se lulee umăo deemţ:!!!!!!!! ;!!! 6!!! 6! 7! 6 ; ; 7 Să se lulee umăoul deem puâd su fomp de podus eulul: Δ ; d ] 8 Fe h h h lugmle îălţmlo oespuăoe lulo de lugme le uu ugh oee ABC Să se e ă: h h Δ h h h h 9 Fe deemul Δ Să se lulee Δ puâd eulul su fomă de podus de fo; Deolâd pe Δ p două meode dfee să se găsesă egle 6

27 Dâduse Δ ; Δ Să se deole deemţ goome: d s s os os ss os os os s s os os ; os ss s ss s s π s os os s os π g ; s s s os os os sos sos sos Dă ABC su ughule uu ugh oee ABC să se e ă umăo deemţ u loe eo: s A sa s B C s A s B s C os A os B osc s B sc A s B os C B os B C s A B sc s C os A os A s A Să se eole umăo deemţ: d d ; ; d d d os B os B s B os C ; os C s C ; d os os os Să se eole euţle: ; Fe umeele N sse î Dă ele e umee su dle u u ş deemul Δ umee âe fe ş peu u do oee Z \ { } 7 ese dl u Să se geelee peu

28 6 Să se deeme sfel îâ euţ dulă umă îeg 7 Să se lulee deemţ: să dmă o ădăă ; 8 Şd ă ădăle le euţe X X ; R su ele să se e ă ese su egle dă ş um dă deeme ş 9 Să se lulee deemul Δ Să se eole î es euţ dă ş să se şd ă su ădăle euţe: X X Cu e sem păe î deemul de odul eme: ; Î deemul de od se găses eme umăo? ; Cu e sem pe î deemul de odul podusul elemeelo de pe dgol pplă? D de pe dgol seudă sg Să se se oţ eme e p î deemul de od 6 ş su de fom k k 6 Folosd um defţ deemţlo de od să se lulee O!; Ο N Ο! 8

29 6 Fe d j ude j su umee omplee Dă j j 7 Să se efe eglăţle: ; ; d 6 8 Să se eole euţ: j oe j u d ese el 9 Să se eole euţ: Să se eole euţ: 9 Să se lulee deemul de od : K O K

30 Să se lulee deemul şd ă su ădă le euţe X X 7 Să se lulee deemul d şd ă su ădă le euţe X px q Să se demosee p duţe după : K K j j Să se lulee umăo deemţ: ; ; ; ; e ; f 6 Să se eole euţle umăoe: ; ; ; d 6 8 ; e ;

31 f 9 ; g 9 ; h ; ; 7 Făă deol să se demosee umăoele eglăţ: ; ; ; d ; e ; f ; g h ; 8 Să se lulee umăo deemţ: ; ; d 9 Să se demosee umăoele eglăţ:

32 R* ; R; d d d d ; e ; f ; g R Să se lulee deemul şd ă umeele su: î pogese meă; î pogese geomeă Să se deeme R sfel îâ euţ să ă o ădăă dulă umă îeg Să se lulee deemul Δ şd ă su ădăle euţe X px q Să se lulee umăo deemţ de od :

33 O L ; L L ; d L ; e O O O L ; f L Să se eole euţ: α R Să se e ă 7 6 Se osdeă f os g s h s Să se e ă oe f pleul π em: g g g h f h f h f 7 Să se e ă: Δ L

34 8 Dă umeele su dle u N u deemul deemul 9 Să se eole euţ: Dă p < m u C C L C m m m p C ese dl u N m C C m p m K L C C C m p m p m p Fe euţ lgeă X X X C Să se lulee K Să se lulee deemul de odul Să se e ă: L Să se e ă ugh h h h su lugmle îălţmlo oespuăoe Fe me de odul : A Să se e egle: A da di ; dă esă u k sfel îâ A k u A h h h h h h p L O L O ude su lugmle oespuăoe lulo uu d

35 6 Fe A j j j R B R Să se e ă peu : deab deab dea 7 Să se lulee loe mmă espe mmă deemţlo de odul le ăo elemee su ş 8 Să se lulee umăo deemţ: L L Δ ; Δ ; L Δ Δ Δ Δ L L L L L O L L L L L ; ; ; ;

36 Δ Δ Δ Δ C C L C m m L m p C m C C L L L m m p C C C ; m m m p 9 Fe f u polom de gdul u f R[ X ] ş f k de de od K [ ] polomulu f Să se demosee ă deemul umăo ese depede de f f' f'' L f f Δ f' f'' f f f f f'' f''' f''' L f f L f f L L 6 U deem Δ de odul e elemeele de pe dgol pplă egle u ; f L L L ; sum elemeelo de pe fee le ş de pe fee oloă ese eglă u Să se demosee ă > 6

37 SPATII VECTORIALE Be Teoe O mulme K mpeu u dou pl le lu K K K ume espe due s mule e ssf odle: due deem pe K o suu de gup omu mule deem pe Kfg o suu de gup mule ese dsu f de due se umese op U op e mule ese omu se umese op omu O mulme V se um spu eol pese opul mpul K d dme: o suu de gup omu o u; u o fue : K V! V o p k; k sfel peu oe k; l K s peu oe ; w V s em: kl kl k l k l k w k kw fem pee elemeele lu V se umes eo elemeele lu K se umes sl pl se umese mule u sl Eemple: m; mulme melo de pul m; u elemee d R P mulme polomelo u oe e el P mulme polomelo de gd m m su egl u R f ; :::; R; ; ; :::g F ff : [; ]! R; f ou pe [; ]g: Se umese suspu eol l uu spu eol V oe pe V s e ese e ss u spu eol pese els op Aes luu sem V peu oe ; V s oe ; K 7

38 Fe u ; u ; :::; u V u ssem de eo ulme V f ::: ; K ; ; ; :::g fome u suspu eol l lu V um spul gee de ssemul de eo f ; ; :::; g: Desemee espeul ssem se um ssem de geeo peu V 6 U ssem dfe eo fu ; u ; :::; u g V se um l depede d es sl ; ; :::; K ; e s u e o ul sfel u u ::: u D es ele e lo um d ::: u ssemul ese l depede 7 U ssem de eo d V osue o spulu eol V d: Ssemul de eo ese l depede oe l eo d V ese o ome l de eo ssemulu 8 Dou e oee le elus spu u els um de eo Numul eolo ue e epe dmesue spulu eol espe 9 D B fe ; e ; :::; e g ese o V u oe eo V se desompue mod u su fom e e ::: e Sl ; ; :::; se umes oodoele eoulu Fe V u spu eol el Se umese podusul sl l eolo ; V umul el h; e ssfe odle: h; h; p oe ; V h; h; p oe ; V ; R h ; h; h; peu oe ; ; V h; > ; p oe V 6 s h; peu Nom uu eo V ese umul k k p h; D ; ; :::; s ; ; :::; se de ese: q h; ::: s k k ::: 8

39 Do eo se umes oogol d podusul lo sl ese ul O ese ooom d ese fom d eo oogol do e do s d ee de es e om Apl S se e e d umoele mulm su susp eole le splo eole osdee f; ; ; ; ; ; ; ; Rg R ff : R! R f s os ; ; Rg F f ; Rg P d f ; ; g R e ff F f ese dfeel s f fg F f f ; ; g R g f ; ; g R h f ; ; g R ff : R! R f s ; ; Rg F j S fa K A Ag s A fa K A Ag K Id Peu oe mulmle de se e od de m sus Se o susp eole oe mulmle de l puele d e f j Peu mulmle de l puele g h se oe ese u su susp eole le splo eole d e f pe R S se sudee depede s depede l peu umoele sseme de eo ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; R 8 7 ; ; P A ; A 6 ; A 8 ; R d ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 9; R e ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; f ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 6; ; R g s ; os F 9

40 F 8 h A 6 ; A ; A ; R ; ; ; ; ; ; ; ; R j ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; R k f os ; f os ; f s ; f os l f s ; f os ; f 8s F m f h ; f sh ; f F f ; f e ; f e F o f s ; f os ; f F Id Cosded el s loud eo ; ; oem ssemul omoge ; ; ; Rgul me esu ssem ese do P ume ssemul dme s solu ele s de ssemul de eo ese l depede U ssem fudmel de solu peu ssemul omoge ese ; ; sfel o ele de depede ese Sml se gsese ssemul omoge 8 ; ; 7 Desemee gul me ssemulu ese do s u ssem fudmel de solu ese fom do solue: ; ; Aem de u ssem de eo l depede s o ele de depede: Rel A A A ese ehle u ssemul ; ; ; 6 8 Rgul esu ssem ese do de ssemul ese l depede Aem o ele de depede A A A d Rel ese ehle u ssemul omoge ; ; ; 9 ; Ssemul omoge ; ; e gul e P ume dme do solu l Aes luu sem ssemul de eo ese l depede j Rgul me ssemulu ; ; ; ese e Oem u ssem l depede k Sem l depede Rel de depede: f f f f l Sem l depede Rel de depede: f f f m Sem l depede Rel de depede: f f f Ssem l depee o Ssem l depee

41 S se deeme e de eo s p spulu gee de eo d ssemul f ; ; g S se deeme e de eo 6 ; ; p spulu gee de eo d ssemul f ; ; g Id Peu ele dou polome s p spulu eue ese s e ome l de elemeele ssemulu de geeo De: s Aese el odu l ssemele: s Se ose pmul ssem ese ompl s de u pe spulu mp e l dole ssem ese ompl luu e pe esu spu I R se osde eo ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; S se e es fome o Se e oodoele eoulu ; ; ; es Id Deoee dm R ese su e s m e pu eo su l depede oem me B A Rgul ese me ese de eo su l depede Sem po Peu deeme oodoelo oem ssemul : Solu esu ssem ese ; ; ;

42 I R se du eo ; ; ; ; ; ; ; ; S s e es fome o s po s se deeme oodoele eolo ; ; s ; ; Id Alog eeulu de m sus 6 I R s se deeme o spulu gee de eo ; ; ; ; ; ; ; ; ; 8; 6; 7; 7; ; ; ; ; ; ; Id Se e med fpul eo ; ; : ; su l depede d e de eo su l depede spe eemplu ; ; P ume ese o ome l pmlo e eo Deoee oe ome l eolo ; ; ; ese o ome eolo ; ; eul es fome o spulu Desompuee eoulu f de es odue l oodoele: 7 Se du eo ; ; ; ; ; ; ; ; s 8 Deseme se osde eo ; ; S se lulee oodoele eoulu f ; ; g Id Se ose med eo ; ; su l depede de o fom o R Coodoele eoulu es su 8; ; Se e desemee ssemul de eo ; ; fome o R Se e oodoele lu es Fe d 8 Folosd ue desompue o eul 8 Reold es ssem oem peu oodoele f ; ; g lole ; 7 ; 6 8 S se sles fomulele de sfome le oodoelo d se ee de l B l B d: B fu ; ; ; ; u ; ; ; ; u ; ; ; ; u ; ; ; s B f ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; g R : Id S deemm elle de eee de l o l l Se e fpul B s B fome e R Apo deemm desompuee 6

43 eu de eo u B s desompuee eu de eo B Oem s u u u u u u u u u u u u u Fe u eo oee s e desompuele sle f de ele dou e: u u u u s D loum eo u u desompuele lo B oem Sml loud eo p desompuele lo B oem 9 I R se osde umoele sseme de eo: ; ; ; ; ; 6; 6; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 6; ; 6; ; ; ; d ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 9; 7

44 S se sudee depede l eolo s s se deeme elle de depede S se pu ede o ee de sple osdee S se deeme oodoele eoulu ; ; po u : ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 6; ; ; ; 9 ; ; ; ; ; ; ; ; d ; ; ; ; ; ; ; ; S se deeme oodoele eolo: u ; u ; u ; u ; u ; u 6 ; ; ; P u ; u ; u ; u ; u ; d C Comple umoele mulm de de eo peu e sple osdee: ; 7 R ; ; ; ; ; R ; P d ; P S se deeme me ee de l B l B umoele u: B f; ; ; g B f6; ; ; 8g R B f; ; ; g B f; ; ; g R B f; ; ; ; ; ; ; ; g B f; ; ; ; ; ; ; ; g R d B f; ; g; B f ; ; g P e B f; ; g; B f ; ; g P s se e fu h ; de pe R p h; ; ; ese u podus sl Id Se o e med odle d de pod sl S se deeme eoul ooom R oogol eolo ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 8

45 Id Fe ; ; ; Peu deeme eoulu mpuem umoele od: k k ; h; ; h; ; h; Aese odu odu l ssemul D ulmele e eu oem ; ; s d loum pm deduem p De ; p ; p ; 8 >< A ; A 6 I R se osde ssemul S >: ; A ; A S se e S ese R: S se epme me A S Id A A A A A A A A A 7 S se sles fomulele de sfome le oodoelo d se ee de l B fe ; ; ; ; e ; ; ; ; e ; ; ; ; e ; ; ; g l B fe ; ; ; ; e ; ; ; ; e ; ; ; ; e ; ; ; g Id Sd me shm de e oem: 9 > : >; 8 Fe V spul eol el l sulo ele peu e se P ese oege Fe ; dou elemee d V S se e se P ese solu oege S se e e pl de p h; P ese u podus sl pe V 9

46 S se lulee h; peu ; d S se deeme k k sd P 6 Id Peu oe dou umee ele s em euosu egle: j j Au P P P P j j P ume se P j j ese oege s de se P ese solu oege Aem h; P peu 8 V Relle ::: ::: P mpl ::: ::::De h; mpl h; P deoee ::: s lm ::: Aem k k p h ; q P Td sem de dee N q deduem k k 9 9 Fe ; ; :::; s ; ; :::; do eo oee d spul eol V S se eeee e de epesle umoe de es poduse sle: P h; j j P h; j j P h; P d h; P P Id h; 6 h; h; de eg eg eg d m Pe spul eol C [; e] l fulo ele oue pe elul [; e] de m podusul sl hf; g R e l fgd S se lulee k f k peu f p S se gses o fue g : [; e]! R e ese oogol fue ose f Id k f k p s R e hf; f l d p e 6

47 hf; g g e R R e l d e Au Fe P spul eol el l fulo polomle ele de gd m m su egl u S se e plle h; : P P! R de e p fomulele hp; q X ; hp; q X! P ude p P q su poduse sle S se sles msu ughulo ^p; q s ^p; ude p q s uld podusul sl S se e fule polomle de e p ; ; ; ; :::; fome!!! o ooom f de podusul sl Id Ve e de omelo e de es podusul sl Se folosese fomul osp; q hp;q kpkkqk Deoee h j ; k j! k! j! j! k! peu j k k! em eo j s k oogol Desemee h j ; j j! k! j! j! j! h ; j! j! j ; ; ; ::: Aem sd o ooom Fe spul R S se gses o ooom peu suspul gee de eo: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Id Se ul poedeul de ooome GmShmd Asfel om osu o mulme oogol f ; ; ; g fom d eo eul d de fomulele: Oem: ; X h ; h ; peu ; ; 7

48 ; ; ; h ; h ; ; ; ; h ; h ; h ; h ; 9 ; ; ; h ; h ; h ; h ; h ; h ; 7 9 ; ; ; Ooomm eo ou mpd ee eo d oogol ou l om s w ; p k ; p ; k w ; ; ; k k w k k p ; p ; p ; p w k k p ; p ; p ; p Se o pm f eo ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Deoee uul de eo ese u sem eo ; ; su l depede Iu eo ; su eul deduem eo ; su l depede Au mulme f ; g ese o oogol spulu Lf ; ; gb ooom oe o do eo: w k k w k k ; ; ; p 6 ; ; ; Fe R spul eol el l melo pe Podusul sl sdd pe es spu ese d de ha; B A B X j j ;j Ce de8 umoele sumulm d R ese oogol? 9 < : A ; A ; A ; 8 9 < : A ; A ; A ; Id Se e p lul de podusele sle dou e dou elemeelo d ele dou sumulm su ule Fe P spul eol l uuo fulo polomle ele de e pe [ ; ] 8

49 S se e B f; ; ; ; :::; ; :::g ese o P S se demosee P ese u spu euld po u pl < p; q > R pqd S se se pmele polome oue d B p poedeul de oogole G S polome Legede Id Se e l depede elemeelo lu B Ve e med omelo podusulu sl e pe popele eglelo de e Nom peu epu p N R Fe q p Deoee < p ; q > d gsm R d s < p ; q > q p < p ; q > < q ; q > q p Apo elle < p ; q > q ; q > R d mpl R d < p ; q > R d s < q p < p ; q > < q ; q > q < p ; q > < q ; q > q L fel gsm sues polomele q q 6 7 q 9 P due mem se poe doed : q!! [ ] 9

50 Fe P X spul eol el l polomelo e u el mul P gdul do s < p; q > P j j u podus sl pe P X ude p j j P s q j j j j Cosdem polomele p ; p ; p ; p S se gses u polom p de gd el mul do e ese ehds polomelo p ; p ; p ; p s s se lulee es ds Id Cosdem p Au Oem p p p p p p p p k p p k p k p p k p k p p k p k p p k p Impuem k p p kk p p kk p p kk p p k s oem ; ; s de p Ds ese j

51 TRANSFORARI LINIARE Be Teoe Fe V s V dou sp eole pese els op K Apl f : V! V se umese sfome l opeo l ple l d: f f f f f peu 8 K s 8 ; V Codle s de m sus po loue u o sgu ode de fom: f f f 8 ; K s 8 ; V D f : V! V s g : V! V su pl le u pl g f : V! V ese o o ple l Fe f : V! V o ple l s V V ; V V eo ul elo dou sp Au f V V s f f; 8 V D f : V! V ese u opeo l s H V ese u suspu eol l lu V; u fh V ese u suspu eol l lu V 6 D f : V! V ese u opeo l s d fu ; u ; :::; u k g V ese u ssem de eo l depede u ssemul ffu ; fu ; :::; fu k g V ese desemee l depede 7 Dou sp eol V s V pese els op K se umes omofe V V d es u opeo l f : V! V e ese je e f se um omo sm de sp le 8 Eumem m jos e pope le splo omofe: V V D V V s V V u V V D V V u V V d f : V! V ese omo sm u f : V! V ese o omo sm D f : V! V ese omo sm s d fu ; u ; :::; u g V ese u ssem l depede u ssemul ffu ; fu ; :::; fu g V ese desemee l depede Dou sp eole omofe u ees dmesue

52 9 Fe f : V! V o ple l ulme Ke f f V f V g se umese uleul lu f s ese u suspu eol l lu V ulme Im f fv se umese mge lu V p f s ese u suspu eol l lu V D V ese u spu dmesol u spul Im f ese desemee dmesol s em dmke f dmim f dm V ude dmke f se umese defeul lu f dmim f se umese gul lu f D f : V! W ese o sfome l u umoele m su ehlee: f ese je f : V! fv ese esl Ke f fg Fe f : V! W ese o sfome l s dm V : Umoele m su ehlee: f ese je D ; ; :::; V su eo l depede u f ; f ; :::; f fv W su deseme eo l depede dm fv D fe ; e ; :::; e g ese o peu V u ffe ; fe ; :::; fe g ese o peu fv Fe V s W dou K sp le D fe ; e ; :::; e gese o V w ; w ; :::; w su eo W u es o u sfome l f : V! W fel fe w ; ; ::: Fe mv s W m dou sp eole dmesole pese mpul K D fe ; e ; :::; e gese o V s d ff ; f ; :::f m g ese o W m u es o me s um u T j m; sfel fe j mp P j f I plus d P j e j e mge f m f u P j j ; ; :::; m j j

53 Nod X C A Y m C oem see ml Y A T X ple f Vom um T me so sfom le f s om se T mf Fe LV ; W m mulme uuo sfomlo le de l V l W m s m; K mulme uuo melo de pul m u elemee d K Fu m : LV ; W m! m; K de p mf T ese u omo sm de sp eole De eee LV ; W m e dmesue m Iomo smul m e popele: mg f mg mf d g f e ses D g : V! V ese esl u mg ese esl s mg mg Fe V u spu mel dmesol pese mpul k s f : V! V o sfome l D V m e dfee u lu f se so me pe dfee mele A s B pe de odul ; u elemee d K epe ees sfome l f : V! V d s um d es o me esgul C sfel B C AC I ese om spue despe mele A s B su semee C d defp me de eee de l ehe l e ou 6 U edomo sm f : V! V se umese: sme d me so lu f ese sme de d mf mf T sme d me so lu f ese sme de d mf mf T 7 O sfome l se umese oogol d pse podusul sl d d < f; f >< ; > 8; V Oe sfome oogol ese je 8 Cele m uosue sfom le R su: Omoe H : R! R ; H ; ; ; 8 ; R

54 de d me Ro de ugh H ; ; ; H ; ; H R : R! R ; R ; os s ; s os u me R; os ; s ; R ; s ; os os s R s os u me s u me Poele oe pe ele de oodoe p : R! R ; p ; ; p ; ; ; p ; ; P p : R! R ; p ; ; p ; ; ; p ; ; P Sme f de pm seoe S : R! R ; S ; ; d me S; ; ; S; ; S Apl S se e e e de umoele pl su sfom le:

55 T : R! R ; T ; ; ; 8 ; ; R T : R! R ; T ; ; ; ; 8 ; ; R T : R! R ; T ; ; ; 8 ; ; R T : R! R ; T ; ; ; 8 ; ; R T : K! K; T A A B u B K me 6 T : PK! PK; T p p ; ude PK ese mulme polomelo e u oe e opul K 7 T : PK! PK; T p ::: ude p ::: 8 T : PK! PK; T p p 9 T : C[;] k! Ck [;] ; T 9f f ude C[;] k ese mulme fulo de ls C k de e pe [; ] T : C [;]! R T f T : C [;]! C [;] ; T f mulme fulo oue pe [; ] R fd R fd; [; ] ude C [;] ese Id T T ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; T T 8 ; ; s ; ; R P ume T ese opeo l sml u T T ; ; ; ; ; ; 6 T I olue T u ese ple l Alog u u ese opeo l S se deeme f g s su g f s s se e e es su su u opeo l e d pell d f s g su opeo l: f : R! R ; f ; ; ; g : R! R ; g ; ; ;

56 f : R! R ; f ; ; ; ; g : R! R ; g ; ; ; f : R! R ; f ; ; g : R! R ; g ; ; f : P! P ; f g : P! P ; g Id Se e med f s g su opeo l Apo f g fg f ; 6 ; g f gf g ; ; 8 Se e ele d um es su opeo l Fe opeoul l f : R! R ; ; f ; ; ; ; : S se e f ese esl s s se deeme esul su f : R! R s s se e e f ese l Id Se e med f f f; 8; R s 8 ; ; ; ; ; R ; 6 Peu f ese je eue s oem d f luu e ese ehle u eu f e um solu l Eu f ese ehle s u ssemul omoge Deoee gul esu ssem ese el e um solu l I ul suje e ; ; R Eu f ese ehle u ssemul u solu u 6 6 6

57 De f dme es f s es ese f : R! R ; f ; s se e uso es ese o ple l 6 ; Fe opeoul l f : R! R ; ; f ; ; ; ; : S se e f ese u omo sm s s se deeme f ; ; ; f ; ; ; f ; ; Id L fel eeul eo se f ese opeo l po ese je s suje Se oe esul f : R! R f ; ; ; ; e ese desemee u opeo l Apo f ; ; ; ; ; f ; ; ; 7 ; ; f ; ; ; ; S se deeme pl l f : R! R sfel f; ; ; f; ; 7; f; ; Id Cum me lu f o B fe ; ; ; e ; ; ; e ; ; g d R sfel oem f; ; fe e fe fe f; ; fe e e fe fe fe 7 f; ; fe de deduem fe ; fe ; fe de f 6 Fe u ; ; ; u ; ; ; u ; ; s espe ; ; ; ; ; ; ; ; S se deeme pl l f e ssfe odle fu f; ; g Id Se mpu odle f; ; ; ; ; f; ; ; ; ; f; ; ; ; d e se oe ssemul fe fe fe e e e fe fe e e e fe e e e 7 7

58 De eul me lu f o 6 7 A P ume pl l u ese: f; ; 6; 7 ; 7 S se se epes ple le f : P R! R; fp R pd po u B f; ; ; :::; g s po u B f; ; ; :::; g Id Aem f ; f ; ; f ; :::; f s de f ::: ::: de me lu f B ese A ::: Peu deem me A lu f B puem poed m sus su puem fe shme de e B! S B ude ::: S B ::: ::: ::: ::: ::: A ::: s oem A A S d P ume A ::: f ::: ::: 8 s se deeme gul s defeul sfom le T : R! R ; T ; ; ; 8 ; ; 8 8

59 pud ede e o KeT s Im T Id Cofom de e spulu KeT mulme lolo ; ; peu e T ese d de solu ssemulu: u solu ; ; ; ; I olue oe eo KeT e fom ; ; ; ; 8; R Veo f ; ; s f ; ; su l depede s de ee ff ; f g ese o KeT s de dmket Im T f R f g s p ume oe eo d Im T e oodole egle s de se poe epm fue de eoul g ; ; de o Im T ese fom d es eo s u dmim T 9 S se eeee e de fule de e m jos su dfom le s es s se deeme defeul s gul lo: f : R! R ; f l j g j; ; e ; ; ; f : R! R ; f ; ; ; ; ; f : R! R ; f ; ; ; ; ; ; ; f : R! R ; f ; ; ; ; ; f : R! R ; f ; ; ; ; ; ; ; 6 f : R! R ; f ; ; ; ; ; Id Nel L def f ; g f L def f ; g f Nel L def f ; g f 6 L def f ; g f 7 L def f ; g f Fe V C [;] spul eol l uuo fulo ele oue pe elul [; ] S se e e fu T : V! V T f g; g R f os KeT d; ese o sfome l S se eplee 9 9

60 Id Deoee g ese o fue ou oem T ese e de Ide peu h do ee lu oem: j g h g jj Z f os h d Z f os d j Z j fs h os j d < " m ul ufom oue fue os pe [; ] P ume g h g: lm h! Fe um ; R s f ; f V Aem T f f R f os d f os T f d T ese l d Peu deeme lu KeT puem od: ; 8 [; ] De oem: R R R R R f f os d T f R f os d fos os s s d ; d R f os d os f s d s ; 8 [; ] Oem med KeT oe oe ele fu f peu e f os d s os s s peu C [;] ; < f; g > R f s d d fule oogole fulo R fgd Pe spul eol el l fulo polomle de gd el mul o u P R se de es fule: Z T ; T : P R! P R; T p p; T p S se e T s T su sfom le S se e T ese je d u s suje S se deeme KeT s Im T Id 8k; l R s 8p; q P R gsm: pd; 8 R 6

61 R R R T kp lq kp lqd kpd lqd kt p lt q de T ese l Alog se poede s ul lu T D T p p ; 8 R oem p ; 8 R de T : P R! P R ese je E u ese suje u u oe polo el de gd ese dl u Fe p ::: Puem od T p ; 8 R d R P KeT fp p P d R P ; P d su g Nom q Ipoe q R P d P P De pd 8 R odue l Fe opeo l T ; T LR ; R d p mele A s A po u o d R Au: S se deeme mge lu ; ; p T ; T ; T ; T S se deeme mge lu ; ; p T T s T T S se deeme mge lu ; ; p T T s T T Id T A A ; ; ; T A A ; Apo T ; ; ; T ; ; ; T ; ; T T ; ; 9; T T T T 9; 6; ; T T ; ; ; ; ; 6; 7 86 Fe ; C spul eol l melo de odul do e ; T 6

62 osdem A ; A ; A ; A S se deeme o ple l f : ; C! C sfel fa ; fa 6; fa ; fa S se deeme o suspulu fom d mle A peu e fa Id Fe me A ; C ;A s o E ; E ; E ; E esu spu Coe e ple le su fe ; ; ; ; ; C De fa Cum s deemm es oe e Aem ssemul l: fa fa 6 fa fa Deduem solu: ; ; ; P ume fa Fe Q fa ; C fa g Elemeele melo esu suspu se el: Dmesue lu Q ese O esu suspu ese spe eemplu: B ; B ; B Fe T ; T LP R; P R de e p: T T ; T ; T ; T S se deeme mele sfomlo T T s espe T T po u o lu P R 6

63 Id S om u p ; p ; p ; p elemeele e oe d P R Oem: T p T p p p T p T p p p T p T p p p p p T p T p T p T p de : T p p p T p p p T p p p p p T p p p p p Aem: T T p T p p p T T p T p p p p p T T p T p p p p p T T p T p p p p p p p Oem me lu T T : A B A D de lu T oem: T e e ; T e e ; T e e ; T e 6

64 De T T e T e e e T T e T e e e T T e T e e e T T e T e e e sfom le T T ese: B B A e de umoele fu de e m jos su sfom le? I oe ule de le s se deeme me so po u o T : R! C ; T ; ; ; ; ; R T : R! R; T os T : C! C ; T ; ; ; ; ; ; ; C T : R! R; T ; ; ; R T : R! C; T ; ; ; R 6 T : R! C ; T ; ; ; R 7 T : C! ; C ; T Id L A Nel L A B A L A L A 6 L A 7 L A 6

65 6 S se gses mele sfomlo le f : R! R ; ; ; po u B ff ; ; ; f ; ; ; f ; ; g uosd : A ; 6A ; 6A 6 su mele sfomlo espee po u o lu R Id Se pl fomul B C A C ude C ese me de eee de l o l B 7 Fe sfome l T : R! R de p: T ; 6 6 ; 6 6 R ; 6 6 S se e sfome T ese oogol S se deeme T S se se mele lu T s T po u o lu Id Se k T kk k 8 ; ; R Se eol ssemul T ude ; ; ; po u m ; ; ; s se oe T Se fe u lul de pe elemeele e oe lu R 8 s se e umoe sfome l ese hem: T : R ; <; >! R ; <; > T 8 ; ; 8 ; 8 R ude <; > ese podusul sl uul Id Aem < ; > 8 ; ; ; ; ; R < T ; > 8 8 < ; T > d sfome T ese hem 9 S se e sfomle de m jos su oogole R u podusul sl sdd: T ; ; T ; ;

66 Id Se poe e de egle < T ; T >< ; > 8; R su sd me A sfom T o d A s e d egle A A A A I S se deeme loe pmeulu R sfel sfome T : R! R ; T ; s e sfome oogol Id D od A A I u A se oe p S se demosee sfome T : V! V de p T 9 8 ; 7 ; 8 ese o oe juul ue depe d spu e eue se ee S se gses s ughul de oe Id e lu T o ese: A 7A 9 8 s um AA A A I oem A ese oogol Iu de A ; T ese de o oe spu Peu deem de oe plem de l dee ese o dep e puele su lse pe lo p ple sfom T det Reul de ssem ompl edeem u solu: ; ; P ume eule pmee le depe d su: Cosdem O! u eo d plul pepedul O pe d s lum spe eemplu O! ; ; :! Au mge s p sfome T ese dess de eoul O! T O ; 8;

67 !! Ughul de oe ese ugul de O s O os ' <!! O; O > k Okk!! O k S se demosee sfome T : V! V ; de p T ese o smee f de u pl ; ; Id Se eemplul eo T ese o sfome oogol Peu T s e o smee f de u pl eu s ese u sfel de suspu de dmsue u pl p O sfel puele sle s e lse e de sfome T P ume eu plulu d es ese d de T ; d e se edue l eu d eu plulu de smee Fe sfome l T : R 7 6! R de o B p me 9 A : S se e es o B R f de e me sfom ese dgol Id Vom sfome T dme e eo pop l depede Deemm peu epu lole pop Aem eu es: d e e dle ; 7 67

68 Veo pop su solu le ssemulu AX X su Peu ssemul dee: Rgul esu ssem ese do sfel u ssem fudmel de solu ese : ; ; P ume eoul popu oespuo lo pop ese u ; ; Peu ssemul dee: 6 6 Rgul esu ssem ese uu de u ssem fudmel de solu ese fom d u ; ; Veo pop u ; u ; u su l depede s de fome o R F de es me sfom le ese: A Fe sfome l T : R! R de B p me A S se e u es o R f de e me sfom T s fom dgol Id Eu es ese dea I d: 8 68

69 Vlole pop su ; _: S deemm um eo pop d eu AX X Peu oodoele eoulu popu se deem eold ssemul: P ume u ; ; Peu oem ssemul: Rgul esu ssem d do oem ssemul fudmel de solu fom d eoul u ; ; Ce do eo u s u su l depede d u fome R D es u eul u es o f de e me sfom s fom dgol S se deeme lole s eo pop s s se dgolee d ese posl umoele me: A ; A ; A A 6 A ; A 7 7 A 7 A ; 8 A ; 6 A 6 7 A Id ; ; fu ; ; ; u ; ; ; u ; ; g 9 69

70 A ; A D A A ; ; fu ; ; ; u ; ; ; u ; ; g A ; A D A A ; ; fu ; ; ; u ; ; ; u ; ; g A ; A D A A ; ; ; fu ; ; ; u ; ; ; u ; ; g s se poe dgol 6 ; ; fu ; ; ; u ; ; g s u se poe dgol 7 ; ; fu ; ; ; u ; ; ; u ; ; g s se poe due l fom dgol 8 ; fu ; ; g s me u dme fom dgol 6 Fe me A S se deeme lole s eo pop me A Folosd fom dgol me A s se deeme A ; N s s se se su fom A A I Id ; su lole pop u ; ; ; u ; ; ; u ; ; su eo pop A D AD ude A s A : Aem A A I 7

71 Se oe ; Deduem de : A DA D ; [ ] A [ ] I 7 Se d sfome l T : R! R de p me A o oee S se e e T ese o sfome oogol s A A peu: A ; A 7

72 FUNCŢIONALE PÃTRATICE Noţue de fuţolă păă Fe XR u spţu eol dm X Defe Fuţ f : X R ese o fuţolă lă dă oe f e pţ lu X ş oe f α α e pţ lu R u : f α α α f α f E { e e e } A f e Defe Fe XR u spu eol dm X ş fe YR u l spu eol dm Y m Fuţol lă f : X Y R e popeăţle : Oe f α α R X Y f α α α f α f Oe f β β R Y X f β β β f β f Puem sse mel su fom: f X T AY E G Î ul î e Y X f : X X R Au p umăoele modf : T A j j f e e j j f X AY Defe Fuţol lă f ese smeă dă f f oe f X 7

73 Defe P dgol podusulu e X X îţelegem : { X } dgx X Defe Se umeşe fuţolă păă esţ ue fuţole le smee l dgol podusulu e X X V T f X AX j j j j f e e j Defe 6 V ese s po defă dă V > oe f X Defe 7 V ese sempo defă dă V oe f X Defe 8 V ese s eg defă dă V < oe f X Defe 9 V ese semeg defă dă V oe f X Defe V ese edefă dă esă X sfel îâ V ş esă X sfel îâ V Se pue polem dă esă o ă G { g g g } sfel îâ î esă ă ă oă V β β β eod Guss peu deeme fome oe ue fuţole păe ş deeme e Fe XR u spţu eol dm X E { e e e } Fe f : X X R o fuţolă lă smeă T A j j f e e j j f X AY 7

74 j j j T AX X V Pesupuem ă esă dele sfel îâ ese dfe de eo Pesupuem ă dfe de eo Luăm sep eme e oţ ompoe ş om se sfel : De V V K ude V u oţe pe Noăm : K Asfel V Aplăm elş poedeu lu V ş după pş oţem fom oă fuţole Dă oe f om fe oţ umăoe : ; ; ; ; Asfel om oţe fom : j j j j j j j j V Eemplul : Fe fom p V 6 8 K K K 7

75 7 7 7 V V epeă o fuţolă î fo ă d spţul eol X î e fuţol păă V e fom oă ese: m o B 7 7 T ude C j ese me de eee de l E l G G ese î e f X C Y uţol păă e fom oă ; 7 7 T T C C 7 7 C EG 7 7 T C e G î e om deem fom oă fuţole păe V G { g g g } Clulăm eo ese e : F e e e e g 7

76 e e g e e e g e B fuţole V î G ese : 7 B eod Jo peu deeme fome oe fuţole păe Eemplu: V 6 8 Noăm : Δ Δ 7 Δ Δ V Δ Δ Δ Δ Δ Δ De oţem : 7 V Î u spţu esă m mule e î e fuţol poe f dusă l fom oă de fom oă oţuă p meod Guss dfeă de e oţuă p meod Jo eod Jo se poe pl um dă oţ mo ppl me A su eul eod Jo 76

77 Teoem: Fe spţul eol XR dm X E { e e e } Fe f : X X R o fuţolă lă smeă Fe A j me fuţole f î E T V A j j Fe j o fuţolă păă ude A j ese me fuţole V î E Dă oţ mo ppl me A su eul K Δ K ş Δ u esă o ă G { g g g } î e me B fuţole V ese dgolă ş Δ Δ B Δ Δ O Δ Δ Osee : V Î G Δ Δ Dem : Vom osu G sfel : g λ e g λ e λ e g λ e λ e λ e 77

78 g λ e λ e λ e Vom deem sl λ j d odţle : f g k e f g k ek k k k f g e f λ e e λ f e e λ λ d poeă ese dfe de eo k f f g e g e f f λe λe e λ e λ e e λ f λ f e e λ f e e e e λ f e e λ λ λ λ λ λ λ λ λ Δ Δ λ Δ Δ Alog demosăm ş peu k ssemul e soluţ umăoe : ol K ol K olk λ k Δ Δ k k ude K K k Δ k k K K kk Î G sfel deemă me B fuţole păe V ese de fom: 78

79 Δ Δ Δ Δ Δ Δ B O Δ Δ j j j I peu < j : j f g g j f λ e λ e g j λ f e g j λ f e g j λ f g j e λ f g j e D ssemul eulă ă peu < j j II peu j : f g g j f λ e λ e λ e g g e f g e f g e f λ λ λ λ K Δ Δ λ Δ Δ Δ Δ λ K K K Eemplu : V 6 8 A 79

80 Δ Δ 7 Δ Δ V Δ Δ Δ Δ Δ Δ 7 V g λ e g λ e λ e g λ e λ e λ e I peu k : f g e f λ e e λ f e e λ λ λ e g g II peu k : e e e f e e e f e g f e g f λ λ λ λ λ λ λ λ 7 7 λ λ λ λ λ λ 7 7 e e g 7 7 g III peu k : e e e e f e e e e f e e e e f e g f e g f e g f λ λ λ λ λ λ λ λ λ 8

81 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ 7 g e e e 7 e B fuţole păe V e fom : B 7 Lege eţe Teoem Număul oefeţlo po ş umăul oefeţlo eg d fom oă ue fuţole păe V u depde de legee e oe De oefeţ po ş e eg su ţ fuţole păe Dem : Fe spţul eol XR dm X Fe ele oe E ş G d spţul eol X sfel îâ : E { e e e } E T G { g g g } G T m V λ λ j j Î E : j m λ > m λ j > j m m V μ μ j j Î G : j m μ > m μ j > j m 8

82 De fuţol păă e î E m oefeţ po ş m oefeţ eg Nu m ss peu ă esă posle umţ oefeţ să fe ul Teue să demosăm ă m m ş Demosţ o om fe p eduee l sud Pesupuem oul ş ume m > m Fe suspţul X Sp { e e m } X X dm X m Fe suspţul X Sp { g m g } X X dm X m Fe D X X dm X dm X m m D oţe ş eo eul Fe D X m e X g j j j m m V λ > j m D V > ş V j j < V < ese sud Asfel eulă ă m m Alog pesupuâd ă m < m oţem m m m m Asemăăo demosăm ă Def Se umeşe de de eţe fome păe V gul fome păe V umăul ol de eme e p î o fomă oă Def m m se umeşe dele po de eţe l fuţole păe V dă umăul emelo po d o fomă oă Def se umeşe dele eg de eţe l fuţole păe V Osee: Dă m u oţ oefeţ fuţole păe V î fom oă su po de fuţol V ese po defă REGULA LUI SYLVESTER : Peu o me smeă A j să deeme o fuţolă păă po defă ese ees ş sufe oţ mo ppl Δ să fe s po 8

83 > Δ K K Apl Folosd meodele e s se edu l fom o ped sgu s u fomelo pe de m jos: f f f f 6 8 f 8

84 GEOETRIE VECTORIALĂ I Î O ese deem de eoul de poţe eso k j k j O j k Podus sl ude os < α α su D k j k j 8

85 l D os α Popeăţ Fe Podus eol s α 8

86 l D k j k j k j k j Popeăţ Fe R λ R λ λ λ λ ol j k j k k j j k k j k j k k j j 86

87 Podusul m e eo Aplţ Dsţ de l u pu l o depă Fe ABC BC A BC BC AB AC d A BC A h A ABC SΔ ABC AB AC CA CB BA BC A ABCD plelogm S ABCD 87

88 Volumul plelppedulu ol d A P γ h p C D O B p S OBDC h OP d OBCD d OC OB OA os ; γ h S S OP V OBDC p γ γ os os P S h V Volumul eedulu V V p OABC 88

89 Deeme îălţm eedulu d A V S BCO h 6 h V S BCO S BCO 6 Pelm Veo deo l ue depe d A B Pme deo ue depe l m j k l m pme deo depe d Cosusule deoe le deţe d os α l ; os β m ; os γ Veo deo uu pl P ; u Veo oml l u pl P Veo eol P eo deo u B A 89

90 II ECUAŢIILE PLANULUI E uu pl e ee pu pu ş e u eo oml d P P puulu l poe de eo poe de eo Euţ geelă plulu î spţu dmesol d su su ude Euţ omlă plulu e ee pu pu Euţ plulu e ee p pue eole 9

91 Codţe de eole pue Poţle ele le plelo : d P : d P P P P P d d od P P d d 6 Euţ plulu e ee p oge Euţ plulu u O d Euţ plulu u O d Euţ plulu u O d 9

92 7 Euţ plelo u plele de oodoe O d O d O d 8 Euţ plulu p ăeu α β γ A B C AB AC AB AC α β γ γ γ γ γ d γ d e p eu III ECUAŢIILE DREPTEI ÎN SPAŢIU Euţ eolă depe d R pmeu eo de poe l puulu eo de poe l puulu 9

93 Euţ pmee le depe l m eo deo l m Euţ depe su fomă oă l m ; l m pm deo depe l m Euţ eolă depe deemă de pue Fe pmeu Euţ pmee le depe deeme de pue: 6 Euţ oe le depe deeme de pue 7 Euţ depe su fomă eplă α β pme deo depe α β p q oodoele puulu p e ee dep α p β q 9

94 8 : : ude d P d P d P P d q p β α IV Poţle ele două depe Depe ouee { } ; A A d d m l m l d d m l d : m l d : Depe plele R ol d d d d α α Depe oee esue î elş pl ouee su u d d d d ; Ughul γ fom de depele d ş d : os m l m l m m l l ± γ 9

95 u : m l d ş : m l d Dep eseeă plul m l d : : d P Oseţ! Sem d : R P m l Dep P ssemul d ; P ese ef p R Ughul fom de o depă u u pl Fe d ; P > s m l m l γ Dsţ de l u pu l u pl P d d 6 Ughul fom de P P γ os os : : P P d P d P os γ 9

96 7 A u âfule Δ Δ Δ Δ S ude Δ Δ Δ 8 Volumul eedulu Δ 6 6 V Apl S se e peu e eo s fomee u ugh ese ees s suffe Id Regul ughulu Fe eo e ode u lule uu ugh S se epme u juoul lo eo e ode u medele ughulu ss se e es po fom u ugh Id Regul plelogmulu Se uos eo S se eeee d es e eo su opl 96

97 Id Se eee l depede eolo S se desompu eoul dup e eo eopl sd eo su eopl Id Se poe ef med fpul eo su l depede Se oe desompuee / S se deeme λ R sfel eo λ j k λj k j k s fe opl Peu λ R sfel deem s se desompu eoul dup dele eolo s Id Peu el λ λ λ s lo u m uul de λ λ sl mpl eul eue ssemul λ λ λλ λ s λ λ λ solu ele Oem λ 8 Oem fl desompuee 6 S se lulee eoul sd π 9 m Id Se foloses fomulele de lul le podusulu sl Se oe 8 7 S se deeme λ R sfel eo λ j λ k s λ j k s fe oogol Id Cod de oogole odue l λ 8 Cuosd eo e fome lule uu ugh: AB 6 j AC 7 j s CA j s se deeme ughule esu ugh Id Folosm fomul s p C os os s oem p π A p B os 97

98 9 S se deeme lugme eoulu sd s π π Desemee su uosue p p s 6 π p Id Se oe 9 S se lulee ughul de eo s sd eoul ese pepedul pe s eoul ese pepedul pe Id D odle s oem deduem p os De Fe eo jk jk S se lulee: podusul lo eol s se efe eoul podus eol ese pepedul pe plul elo do eo osde plelogmulu osue pe e do eo lu Id j j k k 8 A 6 8 S se lulee plelogmulu osu pe eo π ude p 6 Id De 7 P ume plelogmulu ese 7 s p Se uos dou lu le uu ugh AB j BC j S se lulee lugme lm sle CD 98

99 Id Se lule m ugulu u juoul podusulu eol l elo do eo d de lu dup e d fomul ls de lul e AB BC 9 uu ugh se oe CD AB S se deeme λ R sfel plelppedul osu pe eo j k j k λ j s olumul egl u Id Volumul plelppedulu osu pe e e eo ese: V ± ± λ > De se o solule s λ S se lulee lme plelppedulu osu pe eo lud plelogmul osu pe eo sd j k j k j k Id Volumul plelppedulu ese V ± 7 A e ese 7 A P ume h 6 S se eeee ople eolo j k j k s j 6k S se deeme el de ople d ese ul Id Deoee deduem eo su opl Rel ese ' ' ' 7 Fe eo epo eolo def p: ' ' ' S se efe : ' j δ j j 99

100 ' ' ' S se lulee epo eolo j k j 9k s 9 j k s s se efe dele de m sus 8 S se lulee olumul eedulu de fu A6; B; C; D efd peu epu ele pu pue su eople Id V ± AB AC AD ± S se eeee ole puelo A; B7; C9 S se lulee sd eo hed u ugh S se lulee lugmle dgolelo s plelogmulu osu pe π eo sd p 6 S se deeme ughulu ABC uosd eo de poe fulo sle OA j k OB j k OC j k Se du eo j k 6 j k 6 9 j k S se e eo su ol S se deeme lugmle lmlo ughulu ABC sd A; B7; C S se lulee lugmle lmlo eedulu ABCD sd A B C D 6 S se lulee: d e 7 S se efe dele:

101 ] [ d ] [

102 CONICE Be heoe Nuleul ue fome păe fe f pe u pl E se umeşe oă su uă de odul do dă { P E / f P } Γ Kef f Dă fom păă fă ese dă p u elţ f geelă oe Γ Se poe demos ă se umeşe euţ Γ ese ehleă u u d umăoele mulţm: e elpsă hpeolă p polă 6 peehe de depe ouee 7 6 peehe de depe plele 8 7 peehe de depe ofude 9 8 mulţme u u sgu eleme {} 9 su mulţme dă Teee de l epeul e { O j} l u epe e oe po um epe o fţă de e euţ lu Γ să ă fom e m smplă poslă

103 umă euţ edusă su oă se eleă u juoul ue ooslţ Fţă de ese ooslţ euţ f e umăo ţ: Δ I δ Peu eduee ue oe l fom oă se poedeă sfel: se efeueă m îâ o slţe dă ; se efeueă m îâ o oţe folosd meod lolo pop su fomulele oţe ş po o slţe dă ese ul eod lolo pop Se osdeă fom păă Se deemă lole pop λ λ e e ele dse ş eso pop oogol me smee A şă fome păe Se oeă R [ e e ] de R î ul î e de R se eumeoeă lole pop Roţ: R oul epe O edue fom păă l epes Veso e e λ λ feă Fomulele oţe Dă u p oţ plă: de ugh θ d de euţ osθ sθ R : sθ osθ θ osθ s euţ oe dee: Se fomeă păe ş se efeueă slţ T : ş se oţe euţ oă Dă o oă e eu de smee u oodoele sle su soluţ f ssemulu: su f

104 Δ Nu ue oe: Δ Geul ue oe: oe oee δ > ge elp δ ge pol δ < ge hpeol degeee 8 degeee Euţ gee l Γ îu pu P ese: Noml l Γ î P e euţ: s 9 f f T 6 : f f N 7 : Euţ e deemă deţle smpoe ese lm m l 8 euţ ue smpoe ese lf mf 9 Pol lu P î po u Γ e euţ Euţ dmeulu ojug u deţ lm ese: lf mf Deţle elo ue oe su de de: lm m l Poleme eole P Se dă o Γ : să se deeme u ş geul oe să se eduă euţ l fom oă Soluţe Δ < δ < Asfel Γ ese o oă de p hpeol; e fome păe ese me ese

105 ese Euţ esă ese me ese λ λ λ λ Rădăle euţe ese su lole pop λ ş λ Coodoele u le eoulu popu oespuăo lo pop λ osue soluţ ssemulu u u dă R \ {} P omle se oţe esoul popu su e Alog peu λ se găseşe e de Deoee R oţe ş smee peu e um oţe se eumeoeă λ λ λ λ de ude eulă e e e e Roţ su odue l 8 6 Se ompleeă păele î ş ş se oţe Se efeueă o slţe ssemulu O î puul C dă de X Y Se oţe euţ oă hpeole X Y e e âfule pe C P Să se slesă u ş geul oe Γ : 9 6 Să se eduă l fom oă folosd meod ooslţe Soluţe Se luleă ţ:

106 9 9 Δ δ Asfel Γ ese o oă edegeeă de ge pol Iuâ euţe θ osθ se efeueă o oţe l ăe ugh θ ese soluţ s Peu o dă euţ dee g θ 8 gθ u soluţle gθ Peu gθ gθ se oţe s θ ş os θ ; fomulele e du oţ ssemulu O su Fţă de ssemul o O euţ oe 6 dee Se ompleeă păele ş se oţe 9 Se efeueă slţ X Y ş se găseşe euţ oă pole s θ Y X 9 Peu gθ se oţe 6 ş osθ Euţ oe dee p oţ slţ X Y Se ompleeă păele ş se efeueă ş se găseşe euţ oă pole poă l ssemul o oţu p ooslţe X Y 9 P Se du puul A dep D : ş o Γ : Se e: pol puulu A î po u o Γ ; Tgeele î A l oă; Ceul oe; d Aele oe; 6

107 e Asmpoele oe; f Polul depe D î po u Γ ; g Tgeele l oă plele u dep D; h Dmeul ojug deţe lu D Soluţe Euţ pole puulu A î po u o se oţe p dedule Se găseşe sfel dă Ieseţ de polă ş oă ese dă de Puele de geţă oţue su B C Tgeele o e sfel euţle: AB : ; AC : Coodoele eulu oe su soluţle ssemulu Se oţe C d Dă lm ese o deţe oee l k ese p ue depe plele u m deţ osdeă Euţ se se k k dă k k I es em k k u soluţ k ş k l lm Deoee ele e p C eulă ă euţle elo două e su e Asmpoele oe su de de euţle 8 ş 9 D l ş l m se găses deţle m ş ş de m espe De smpoele lu 7

108 Γ su ş f Fe polul depe D P ume pol lu î po u Γ ese D dă D odţ esă depă să fe D se oţe ssemul Reulă g Oe depă plelă u dep D e euţ λ Se eseeă u o ş se pue odţ euţ găsă să ă ădă dulă Se oţe λ D λ λ eulă λ λ u λ λ Tgeele m ăue u euţle ± h P depe D ese Dmeul l ojug deţe lu D e euţ dă su P Să se dsue u oe λ λ λ R Soluţe Rel l eduee l fom oă se m po fomul eoeme e se eumă î umăoul el: sgδ Euţ omlă Deume oe Δ δ > oe edegeee δ < δ ; I Δ < ; I Δ > ; Elpsă Γ elpsă dă mgă hpeolă polă p 8

109 Δ oe degeee δ > δ < δ δ Γ { } oă ulă Peehe de depe ouee Peehe de depe plele Γ peehe dă de depe plele Dep dulă δ λ Δ λ λ I λ Sudd semul eso ţ λ / Δ δ I δiδ eulă: λ Δ > δ > I < I Δ < elpse ele λ Δ > δ polă λ Δ > δ < hpeolă λ Δ δ < peehe de depe ouee λ Δ < δ < hpeolă λ Δ < δ < hpeolă IΔ hpeolă ehleă λ Δ < δ < hpeole λ Δ δ peehe de depe plele λ Δ > δ > I > I Δ > elpsă mgă 9

110 P Să se deeme α sfel îâ euţ α să epee două depe / α / α α Soluţe D Δ / / se oţ α / / / α α 6 Deoee δ 9 / < o ese de p hpeolă / Peu α se oţ depele 7 Poleme popuse P Să se sudee u ş geul oelo ş să se eduă l fom oă: ; 6 8 ; ; d ; e 9 6 ; f 6 ; Soluţe oă edegeeă Δ < de p elp δ > X Y ; 8 oă edegeeă Δ < de p elp δ > X Y ; oă 6 6 edegeeă Δ < de p hpeol δ < X Y ; d oă edegeeă 6 Δ < de p hpeol δ < X Y ; e oă edegeeă de p 9 pol δ Y X ;f oă edegeeă de p pol δ Y X

111 P Ce oă epeă euţ? Idţe Δ 6 δ > I IΔ > elpsă mgă P Să se deeme oefeţ λ ş μ d euţ λ 7 μ sfel îâ esă euţe să epee două depe plele λ μ Idţe Se mpu odţle Δ δ Se oţe λ μ 7 su 7 P Să se dsue u oe α α α R Idţe α elpse ele; α polă; α hpeole; 7 α hpeolă ehleă; α hpeole; ouee; 7 α pehe de depe 7 hpeole; α polă; α 9 elpse ele; α 9 α pehe de depe see mge; α 9 elpse mge P Să se sudee o 6 9 Idţe Două depe ofude P6 Peu e lo le lu λ ş μ oele d fml λ 9 μ su oe u eu oe edegeee făă eu Idţe λ ; λ ş μ 6 P7 Să se găsesă eul ş smpoele oe 7