I POČETNE TEORIJE METALA. KRISTALNA REŠETKA
|
|
- Αταλάντη Ευθαλία Μανιάκης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 I POČETNE TEORIJE METALA. KRISTALNA REŠETKA 1 Drudeova teorija metala 1.1 Temeljne pretpostavke Drudeove teorije Drude je 1900.g. primijenio klasičnu kinetičku teoriju plinova (neutralnih atoma ili molekula!) na slobodne (vodljive) elektrone u metalu i pokušao objasniti tada poznata električna i toplinska svojstva metala. U Drudeovom modelu elektroni se gibaju izmedu pozitivnih i nepomičnih iona koji osiguravaju da elektroni ne mogu napustiti metal bez vanjskog djelovanja, a takoder osiguravaju neutralnost i stabilnost metala. Osnovne pretpostavke Drudeova modela su sljedeće: (i) Elektroni interagiraju s ionima samo prilikom sudara. Izmedu dva sudara, interakcija izmedu elektrona i iona te elektrona s elektronima se zanemaruje. (ii) Sudari vodljivih elektrona s ionima su trenutačni dogadaji kod kojih se naglo promijeni brzina elektrona. (iii) Vjerojatnost sudara po jediničnom vremenu iznosi 1/τ, gdje je τ vrijeme relaksacije (vrijeme sudara, srednje slobodno vrijeme). Slučajno odabrani elektron u nekom trenutku u prosjeku se gibao od prethodnog sudara u vremenu τ, a do sljedećeg sudara gibat će se, u prosjeku, takoder u vremenu τ. (iv) Elektroni postižu toplinsku ravnotežu s okolinom samo kroz sudare s ionima. Brzina elektrona nakon sudara nije povezana s brzinom elektrona prije sudara s ionom, već je nasumično usmjerena, a iznos brzine ovisi samo o temperaturi na mjestu sudara Aproksimacije u Drudeovom i Sommerfeldovom modelu Drudeova i Sommerfeldova teorija sadrže tri važne aproksimacije: Zanemarivanje elektron-ion interakcije naziva se aproksimacija slobodnog elektrona. Zanemarivanje elektron-elektron interakcije naziva se aproksimacija neovisnog elektrona. Elektronske brzine neposredno nakon sudara, ne ovise o elektronskoj konfiguraciji neposredno prije sudara. Ova se pretpostavka naziva aproksimacija relaksacijskog vremena Maxwell-Boltzmannova razdioba Prema pretpostavci (iv) Drudeova modela, iznos brzine v odmah nakon sudara ovisi o temperaturi T na mjestu sudara. Broj elektrona po jediničnom volumenu s brzinama iz volumena d 3 v oko brzine v iznosi f (v)d 3 v gdje je Maxwell-Boltzmannova razdioba dana izrazom f (v) = n ( m 2πk B T ) e mv2 /2k B T (1.1) 5
2 Veličinanje gustoća slobodnih elektrona u metalu,m je masa elektrona, ak B je Boltzmannova konstanta k B = J K 1 = erg K 1 (1.2) Maxwell-Boltzmannova razdioba u obliku (1.1) normirana je na gustoću elektrona n f (v)d 3 v = n (1.3) Sudarna gustoća vjerojatnosti Gustoća vjerojatnosti (vjerojatnost po jediničnom vremenu) za sudar elektrona s ionom u trenutku t dana je izrazom g (t) = 1 τ e t/τ (1.4) gdje smo elektron slučajno odabrali u trenutku t = 0. Vjerojatnost sudara je Parametar r s w (t) = t 0 g (t)dt = 1 e t/τ (1.5) Parametar r s je mjera za gustoću čestica, a definiran je kao polumjer kugle čiji je volumen jednak prosječnom volumenu po čestici ( ) 1/3 3 r s = (1.6) 4πn 1.2 Drudeova jednadžba gibanja za elektron u metalu Prosječni impuls elektrona p (t) u Drudeovom modelu zadovoljava jednadžbu dp (t) dt = p (t) τ + F (t) (1.7) gdje je F (t) sila koja djeluje na elektron. Član p (t)/τ s desne strane gornje jednadžbe djeluje kao trenje, a posljedica je sudara elektrona s ionima. 1.3 DC električna vodljivost metala Gustoća struje j i električno polje E povezani su Ohmovim zakonom j = σe E = ρj (1.8) gdje jeσ električna vodljivost (provodnost), aρelektrična otpornost. Drudeova teorija za vodljivost daje gdje je e iznos električnog naboja elektrona σ = ne2 τ m (1.9) e = C = esu (1.10) 6
3 1.4 AC električna vodljivost metala Stavimo li metal u električno polje E = E (ω) e iωt (uz zanemarivanje magnetskog polja), gustoća struje j = nep/m i Drudeova jednadžba gibanja daju za električnu vodljivost σ (ω) = σ 0 1 iωτ (1.11) gdje je σ 0 Drudeova DC vodljivost. Prilikom izvoda formule (1.11) pretpostavili smo da Ohmov zakon j (r,ω) = σ (ω) E (r,ω) vrijedi samo ako je valna duljina λ elektromagnetskog polja mnogo veća od srednjeg slobodnog puta l l = vτ (1.12) Brzina v u (1.12) je prosječna brzina elektrona pa je l mjera za udaljenost koju elektron prijede izmedu sudara. Drugim riječima, elektromagnetsko polje polagano se mijenja po duljini srednjog slobodnog puta pa možemo uzeti da je približno konstantno Kompleksna dielektrična konstanta Iz Maxwellovih jednadžbi i Ohmovog zakona može se izvesti Helmholtzova jednadžba za električno polje koja je oblika 2 E+ ω2 ǫ (ω) E = 0 (1.13) c2 gdje je dielektrična konstanta 4πiσ (ω) ǫ (ω) = 1+ (1.14) ω Ako je ωτ 1 (visoke frekvencije polja), tada se ǫ (ω) pomoću (1.11) svodi na oblik Veličina ω p naziva se plazmenom frekvencijom ǫ (ω) = 1 ω2 p ω 2 (1.15) ω 2 p = 4πne2 m (1.16) Red veličine plazmene frekvencije je ω p Hz. Za visoke frekvencije je ǫ (ω) realna i pozitivna ako je ω > ω p pa se elektromagnetski valovi mogu širiti kroz metal, odnosno, metal je proziran. Za ω < ω p, dielektrična konstanta ǫ (ω) je negativna pa valni vektor postaje kompleksan (k = ω ǫ (ω)/c). Elektromagnetski valovi tada eksponencijalno trnu i metal je neproziran. U slučaju ω ω p slobodni elektroni u metalu mogu podržavati titranje koje nazivamo plazmenim titranjem. Kvanti energije titranja nazivaju se plazmonima. 1.5 Hallova konstanta i magnetootpor Stavimo li uzorak metala kojim protječe električna struja u magnetsko polje koje je okomito na struju, na rubovima uzorka mjerit ćemo napon. Važne fizičke veličine u ovom eksperimentu su magnetootpornost ρ (H) = E x j x (1.17) i Hallova konstanta (Hallov koeficijent) R H = E y j x H (1.18) 7
4 Drudeova teorija za Hallovu konstantu daje R H = 1 nec [ SI sustav: R H = 1 ] ne (1.19) Ako struju vode elektroni, Hallova konstanta je negativna. No, mjerenje je pokazalo da Hallova konstanta može biti i pozitivna tj. nositelji naboja su šupljine. Ovu činjenicu Drudeova teorija nije mogla objasniti kao niti činjenicu da R H ovisi o magnetskom polju. Drudeova teorija potvrdila je tadašnja mjerenja da magnetootpornost ne ovisi o magnetskom polju. Pažljivija mjerenja pokazuju da ipak ovisi i taj se efekt objašnjava pomoću kvantne mehanike. 1.6 Toplinska vodljivost metala Gustoća toplinske struje q u metalima je proporcionalna temperaturnom gradijentu za dovoljno male iznose gradijenta q = κ T (1.20) Jednadžba (1.20) naziva se Fourierov zakon. Veličina κ je koeficijent toplinske vodljivosti (toplinska provodnost). U pojednostavljenoj slici proračuna toplinske provodnosti, za κ dobivamo κ = 1 3 v2 τc V = 1 3 lvc V (1.21) gdje se za v uzima korijen iz srednje kvadratne brzine, a c V je specifična toplina elektronskog plina pri konstantnom volumenu koja je definirana kao omjer toplinskog kapaciteta C i volumena V c V = C V (1.22) Podijelimo li toplinsku i električnu provodnost Drudeova modela, te zamijenimo v i c V s formulama klasične statističke fizike, dobivamo κ σt = 3 ( ) 2 kb (1.23) 2 e Time je Drude donekle potvrdio eksperimentalni rezultat, tzv. Wiedemann-Franzov zakon prema kojemu je Lorenzov broj κ/σt za metale približno konstantan. Konstanta (3/2) (k B /e) 2 koja se javlja u Drudeovoj teoriji nije točna. 1.7 Seebeckov efekt Temperaturni gradijent u dugom, tankom metalnom štapu popraćen je električnim poljem čiji je smjer suprotan smjeru gradijenta. Ova se pojava naziva Seebeckovim efektom i vrijedi E = S T (1.24) gdje je S Seebeckov koeficijent S = c V 3ne U Drudeovoj teoriji zac V uzima se klasični iznos c V = 3nk B /2 pa dobivamo (1.25) S = k B 2e = V K 1 (1.26) Mjerene vrijednosti su na sobnoj temperaturi oko 100 puta manje od vrijednosti u (1.26). 8
5 2 Sommerfeldova teorija metala 2.1 Temeljne pretpostavke Sommerfeldova modela Sommerfeld je g. na vodljive elektrone u metalu primijenio principe kvantne mehanike. Elektrone je razmatrao u aproksimaciji slobodnog i neovisnog elektrona zbog čega ovaj sustav često nazivamo slobodnim elektronskim plinom. Jednoelektronska Schrödingerova jednadžba tada glasi ħ2 2m 2 ψ (r) = Eψ (r) (2.1) gdje je E energija jednoelektronskog stanja. Vodljivi elektroni u metalu su sustav identičnih fermiona, zadovoljavaju Paulijev princip iskljuˇcenja i slijede Fermi-Diracovu (FD) razdiobu. Zbog velikih gustoća, sustav vodljivih elektrona se na sobnim temperaturama ponaša, u izvrsnoj aproksimaciji, kao da je u osnovnom stanju, odnosno, na temperaturi T = Born-von Karmanovi rubni uvjeti Gibanje vodljivih elektrona ograničeno je na unutrašnjost metala zbog privlačne interakcije s ionima. Zatočenost elektrona u metalima uzet ćemo u obzir pomoću najjednostavnijih rubnih uvjeta za valnu funkciju. Naime, očekujemo da volumna (bulk, masivna) svojstva, odnosno, svojstva u unutrašnjosti makroskopskog uzorka, ne ovise o obliku uzorka (geometriji) i o detaljnim rubnim uvjetima na površini uzorka. Uzmemo li da uzorak ima oblik kocke s bridom duljine L i volumena V = L 3, Born-von Karmanovi (BvK) ili periodiˇcki rubni uvjeti glase ψ (x+l,y,z) = ψ (x,y,z) ψ (x,y +L,z) = ψ (x,y,z) 2.3 Jednoelektronska stanja i energijske razine Rješenja jednadžbe (2.1) u području volumena V su ravni valovi gdje je energijska razina E povezana s valnim vektorom k relacijom ψ (x,y,z+l) = ψ (x,y,z) (2.2) ψ k (r) = 1 V e ik r (2.3) Zbog BvK rubnih uvjeta valni vektor k ima oblik E k = ħ2 k 2 2m (2.4) k = 2πn x L e x + 2πn y L e y + 2πn z L e z (2.5) gdje su brojevi n x,n y i n z = 0,±1,±2,... Uz valni vektor, kvantno stanje pojedinog elektrona odredeno je i projekcijom spina na os kvantizacije (uobičajeno se uzima z-os) pa ukupna jednoelektronska valna funkcija ima oblik ψ ksz = 1 V e ik r χ (s z ) (2.6) gdje je χ (s z ) spinska valna funkcija, odnosno, dvokomponentni spinor, spin-up ili spin-down ( ) ( ) 1 0 ili 0 1 (2.7) 9
6 2.4 Gustoća dozvoljenih valnih vektora Sukladno (2.5), u prostoru valnih vektora ili k-prostoru, broj valnih vektora po jediničnom volumenu k-prostora glasi V 8π 3 (2.8) budući da se u volumenu ( k) 3 = (2π) 3 /V nalazi točno jedan valni vektor k. 2.5 Zamjena k-sumacije s k-integracijom U granici V je ( k) 3 0 pa sumaciju po valnim vektorima možemo zamijeniti integralom 1 lim V V d 3 k F (k) = (2π) 3F (k) (2.9) k pri čemu pretpostavljamo da se funkcija F (k) polagano mijenja po duljini reda veličine 2π/L. Primijenimo li (2.9) na konačnom, ali makroskopski velikom volumenu V, ustvari pretpostavljamo da se vrijednost (1/V ) kf (k) zanemarivo razlikuje od vrijednosti za V. 2.6 Svojstva slobodnog elektronskog plina u osnovnom stanju Na temperaturi T = 0 elektronski plin u metalima je u osnovnom stanju, N-elektronskom stanju najniže energije. Krenemo li od stanja k = 0 s dva elektrona suprotnih spinova, osnovno stanje dobijemo tako da popunimo svih dozvoljenih N kvantnih stanja { k,s z } unutar Fermijeve sfere, zamišljene sfere u k-prostoru na kojoj se nalaze elektroni najviših energija. Primijetimo da degeneracija raste kako raste iznos valnog vektora zbog izraza (2.4) Fermijev valni vektor Polumjer Fermijeve sfere je Fermijev valni vektor k F ( 3π 2 n ) 1/3 (2.10) gdje je n elektronska gustoća, n = N/V. Fermijev valni vektor k F 10 8 cm 1, a de Broglieva valna duljina koja odgovara Fermijevom vektoru je λ 10 8 cm = 1 Å Fermijeva brzina Fermijeva brzina jev F 10 8 cm s 1. v F ħk F m (2.11) Fermijeva energija Fermijeva energija je naviša jednoelektronska energija u osnovnom stanju Fermijeva energija jee F 1 10 ev. E F ħ2 k 2 F 2m (2.12) 10
7 2.6.4 Fermijeva temperatura Fermijeva temperatura jet F K. T F E F k B (2.13) Energija osnovnog stanja Neka jee 0 energija osnovnog stanja za slobodni elektronski plin. Gustoća energije osnovnog stanja glasi Prosječna energija po čestici u 0 = E 0 V = d 3 k ħ 2 k 2 k<k F 4π 3 2m = 1 ħ 2 k 5 F π 2 10m = 3 5 ne F (2.14) Tlak elektronskog plina E 0 N = 3 5 E F (2.15) P = 2 5 ne F (2.16) Modul stlačivosti B = 1 K = 2 3 ne F (2.17) gdje jek kompresibilnost. Usporedba s eksperimentom daje dobar red veličine zab dyn cm Kemijski potencijal Helmholtzova slobodna energija F je termodinamički potencijal definiran relacijom F U T S, gdje je U unutrašnja energija, T apsolutna temperatura i S entropija. Za reverzibilni proces u kojem je T = konst. negativna promjena (smanjenje) Helmholtzove energije sustava jednaka je maksmalnom radu kojeg sustav može obaviti, a ako je dodatno i V = konst., Helmholtzova energija se u procesu ne mijenja. Veza Helmholtzove slobodne energije i particijske funkcije Z glasi e F/k BT = Z (2.18) Neka promatrani sustav sadrži N čestica i ima slobodnu energiju F N. Kemijski potencijal definiran je relacijom µ F N+1 F N (2.19) Svojstva kemijskog potencijala u elektronskom plinu Na absolutnoj nuli kemijski potencijal podudara se s Fermijevom energijom lim µ (T ) = E F (2.20) T 0 11
8 Za sustave makroskopskog volumena V s velkim brojem čestica N vrijedi F (N,V,T) = Vf (n,t) (2.21) gdje je f gustoća slobodne energije. Tada je ( ) f µ = n T = ( ) u = T n s ( ) f n u gdje je u = U/V gustoća unutrašnje energije i s = S/V gustoća entropije. (2.22) 2.8 Fermi-Diracova razdioba Fermi-Diracovu raspodjelu f i interpretiramo kao vjerojatnost zaposjednuća kvatnog stanja i s energijom E i na temperaturit. Takoder, FD raspodjela brojčano daje prosječan broj elektrona u jednoelektronskom stanju i na temperaturi T. Fermi-Diracova razdioba glasi 1 f i = (2.23) e β(ei µ) + 1 gdje je β = 1/k B T. U osnovnom stanju, na T = 0 sva su stanja ispod Fermijeva nivoa popunjena pa vrijedi f i = 1, E i < E F = 0, E i > E F (2.24) Formula koja se često koristi jer dobro vrijedi i na sobnim temperaturama je 2.9 Gustoća stanja f i lim = δ (E i µ) (2.25) T 0 E i Gustoća stanja g (E) je broj jednoelektronskih stanja u intervalu energija [E, E + de] po jediničnom volumenu. Drugim riječima, g nam pokazuje kolika je degeneracija energijskog nivoa E. Za slobodni elektronski plin, gustoća stanja dana je formulom 2mE = 3 n E, E > 0 ħ 2 2E F E F = 0, E < 0 (2.26) g (E) = m ħ 2 π Gustoća stanja na Fermijevoj razini 2.10 Sommerfeldov razvoj g (E F ) = 3 n = mk F (2.27) 2E F ħ 2 π 2 Neka je H (E) analitička funkcija u okolini točke E = µ i f(e) FD raspodjela. Može se pokazati da tada vrijedi Sommerfeldov razvoj µ H (E)f (E)dE= H (E)dE+ a l (k B T ) 2l d 2l 1 de2l 1H (E) l=0 E=µ µ ( ) 6 = H (E)dE+ π2 6 (k BT ) 2 H (µ) + 7π4 360 (k BT ) 4 H kb T (µ)+o (2.28) µ gdje su a l bezdimenzijske konstante reda veličine jedan. 12
9 2.11 Toplinska svojstva elektronskog plina Promatramo slobodni elektronski plin makroskopskog volumena V na temperaturi T. Fermi-Diracova razdioba dana je funkcijom f (E (k)) Gustoća elektrona Broj vodljivih elektrona se na mijenja s temperaturom pa uz konstantan volumen vrijedi n = 2 d 3 k f (E (k)) V 4π3f (E (k)) Gustoća unutrašnje energije Prema formuli (2.9) vrijedi u = 2 V = = k deg (E)f (E) = EF d 3 k f (E (k))e (k) 4π3f (E (k))e (k) k 0 deg (E) (2.29) deg (E)f (E)E (2.30) gdje je g (E) gustoća stanja. Primijetimo da je formula (2.30) općenitija od Sommerfeldovog modela i vrijedi za elektrone koje razmatramo samo u aproksimaciji neovisnog elektrona. Upotrijebimo li Sommerfeldov razvoj do članova reda T 2, za unutrašnju energiju u možemo pisati u = EF 0 deg (E)E + π2 6 (k BT ) 2 g (E F ) +O ( T 4) (2.31) gdje je prvi član s desne strane u (2.31) jednak gustoći energije osnovnog stanja u 0. Upotrijebimo li eksplicitni izraz za gustoću stanja (2.27) dobijemo Specifična toplina u = u 0 + π2 4 n E F (k B T ) 2 (2.32) Specifična toplina c V je toplinski kapacitet po jediničnom volumenu. Iz (2.32) slijedi ( ) u c V = = π2 T 3 g (E F )k 2 B T (2.33) odnosno iz (2.27) je c V = π2 2 n ( kb T Specifična toplina metala na niskim temperaturama E F ) nk B (2.34) Uz elektronski doprinos T, metali imaju i doprinos specifičnoj toplini uslijed titranja kristalne rešetke koji je na niskim temperaturama T 3 pa za ukupnu niskotemperaturnu specifičnu toplinu možemo pisati c V = γt +AT 3 (2.35) Eksperimenti pokazuju da Sommerfeldov model daje dobar red veličine za koeficijent γ koji opisuje elektronski doprinos. 13
10 Kemijski potencijal Kemijski potencijal do drugog reda po temperaturi T glasi što uz gustoću stanja (2.27) postaje µ = E F π2 6 (k BT ) 2 g (E F ) g (E F ) µ = E F [ ( ) ] 2 πkb T 2E F (2.36) (2.37) Iz (2.37) zaključujemo da u gotovo svim slučajevima koje ćemo promatrati i za koje k B T E F, možemo uzeti da vrijedi µ E F (2.38) 2.12 Sommerfeldova teorija električne i toplinske vodljivosti u metalima Sommerfeldov model daje mnogo bolje rezultate u odnosu na Drudeov model ako se za opis pojave mora koristiti raspodjela elektrona po brzinama. Drudeov model upotrebljava Maxwell-Boltzmanovu, a Sommerfeldov model FD razdiobu. Na primjer, bolji rezultati se dobivaju za srednji slobodni put koji u Sommerfeldovoj teoriji iznose l = v F τ 100 Å čak i na sobnoj temperaturi jer smo za brzinu elektrona uzeli Fermijevu brzinu v F, umjesto brzine izračunate pomoću klasične statističke fizike. Slična poboljšanja dobivamo i za toplinsku vodljivost te Seebackov koeficijent zbog toga što uzimamo specifičnu toplinu (2.34), a ne izraz koji daje klasična statistička fizika. Rezultati za DC i AC vodljivost, Hall koeficijent i magnetootpornost su identični u oba modela. Naime, klasična fizika je dobra aproksimacija sve dok neoredenosti položaja x i impulsa p zadovoljavaju relacije ħk F p x r s 1 Å (2.39) u skladu s relacijama neodredenosti. Klasičan opis nije moguć ako prilikom računanja moramo znati položaj elektrona točno do na prosječan meduelektronski, odnono, meduatomski razmak. Za elektromagnetske valove valnih duljina vidljive svjetlosti je λ 100 Å. Elektromagnetsko polje sporo se mijenja po duljini r s, praktično je konstantno pa su uvjeti (2.39) dobro ispunjeni. Naprotiv, za rendgenske zrake λ 1 Å i uvjeti (2.39) nisu ispunjeni. 14
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότερα#6 Istosmjerne struje
#6 Istosmjerne struje I Jednadžbe za istosmjerne struje II Gibbsov potencijal u vodičima predavanja 20** Drudeov model za vodljive elektrone Jouleov zakon Makroskopske jednadžbe za istosmjerne struje Gibbsov
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije raspodjele u kvantnoj fizici Fermi-Diracova raspodjela
Funkcije raspodjele u kvantnoj fizici Fermi-Diracova raspodjela Promatramo sustav fermiona u kojem postoji g 1 stanja energije E 1 g 2 stanja energije E 2 (pri tome je E 2 > E 1 ) g 3 stanja energije E
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραMetal u oscilirajućem električnom polju
Metal u oscilirajućem električnom polju Raspršivanje elektrona na preprekama može se tretirati kao vrst sile trenja. Jednadžba gibanja elektrona: m u = e F 0 e iωt }{{} sila el. polja γ }{{ m u }, trenje
Διαβάστε περισσότεραElektron u periodičnom potencijalu
Elektron u periodičnom potencijalu U Sommerfeldovom modelu elektroni se gibaju u potencijalnoj jami s ravnim dnom (kutija). Periodični potencijala od pravilne kristalne strukture pozitivnih iona se zanemaruje.
Διαβάστε περισσότεραGauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Διαβάστε περισσότεραVrste metala i neka njihova svojstva
Vrste metala i neka njihova svojstva Metali se mogu podjeliti po svojim svojstvima u nekoliko skupina: alkalijski metali, plemeniti metali, prijelazni metali prve grupe, itd. Uglavnom, podjela je definirana
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραSommerfeldov model metala
Sommerfeldov model metala Uvod Razmotrićemo jednostavan model metala koji je razvio Arnold Sommerfeld 1928. godine razmatrajući elektrone u metalu kao plin slobodnih elektrona (uvažavajući kvantnu statistiku)
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραOpća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava
Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραGravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa
Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραELEKTRODINAMIKA ELEMENTI STRUJNOG KRUGA IZVOR ELEKTRIČNE ENERGIJE
ELEKTRODINAMIKA ELEKTRIČNA STRUJA I PRIPADNE POJAVE ELEMENTI STRUJNOG KRUGA Strujni krug je sastavljen od: izvora u kojemu se neki oblik energije pretvara u električnu energiju, spojnih vodiča i trošila
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραMasa, Centar mase & Moment tromosti
FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραUVOD U KVANTNU TEORIJU
UVOD U KVANTNU TEORIJU UVOD U KVANTNU TEORIJU 1.) FOTOELEKTRIČKI EFEKT 2.) LINIJSKI SPEKTRI ATOMA 3.) BOHROV MODEL ATOMA 4.) CRNO TIJELO 5.) ČESTICE I VALOVI Elektromagnetsko zračenje UVOD U KVANTNU TEORIJU
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότερα3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραUnipolarni tranzistori - MOSFET
nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραSEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραPARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
Διαβάστε περισσότεραElektrodinamika ( ) ELEKTRODINAMIKA Q t l R = ρ R R R R = W = U I t P = U I
Elektrodinamika ELEKTRODINAMIKA Jakost električnog struje I definiramo kao količinu naboja Q koja u vremenu t prođe kroz presjek vodiča: Q I = t Gustoća struje J je omjer jakosti struje I i površine presjeka
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραMehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika
1. Kinematika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραRepetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):
Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja
Διαβάστε περισσότεραHEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE
TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραŠto je to struja (općenito)? = tok čestica kroz neku plohu u jedinici vremena -molekule tekućine struja tekućine (vode) -molekule plina struja plina
Električna struja Što je to struja (općenito)? = tok čestica kroz neku plohu u jedinici vremena -molekule tekućine struja tekućine (vode) -molekule plina struja plina (zraka, vjetar) -nabijene čestice
Διαβάστε περισσότεραFizikalni sustavi i njihovo modeliranje - 2. dio
Fizikalni sustavi i njihovo modeliranje - 2. dio «Napredna kvantna fizika» Ivo Batistić Fizički odsjek, PMF Sveučilište u Zagrebu predavanja 2010 Pregled predavanja Kondov i Andersonov model Modeli čvrste
Διαβάστε περισσότεραšupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova)
šupanijsko natjecanje iz zike 017/018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) U prvom vremenskom intervalu t 1 = 7 s automobil se giba jednoliko ubrzano ubrzanjem
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα4. Termodinamika suhoga zraka
4. Termodinamika suhoga zraka 4.1 Prvi stavak termodinamike Promatramo čest suhoga zraka mase m. Dodamo li česti malu količinu topline đq brzinom đq / dt, gdje je dt diferencijal vremena, možemo primijeniti
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραDvoatomna linearna rešetka
Dvoatomna linearna rešetka Promatramo linearnu rešetku s dva različita atom u elementarnoj ćeliji. Konstanta rešetke je a. Udaljenost između susjednih različih atoma je a/2 Mase atoma su M 1 i M 2. (Neka
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραElektron u magnetskom polju
Quantum mechanics 1 - Lecture 13 UJJS, Dept. of Physics, Osijek 4. lipnja 2013. Sadržaj 1 Bohrov magneton Stern-Gerlachov pokus Vrtnja elektrona u magnetskom polju 2 Nuklearna magnetska rezonancija (NMR)
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραSignali i sustavi Zadaci za vježbu. III. tjedan
Signali i sustavi Zadaci za vježbu III. tjedan 1. Neka je kontinuirani kompleksni eksponencijalni signal. Neka je diskretni eksponencijalni signal dobiven iz kontinuiranog signala uniformnim otipkavanjem
Διαβάστε περισσότερα