Evanđelj a Mario Koren Mačak

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Evanđelj a Mario Koren Mačak"

Transcript

1 Evanđelj a 2012 Mario Koren Mačak

2 I Ev anđelj a Sadržaj Evanđelj a 1 1 Uv od Uv od u ev anđelj a Opće inform... acij e 4 A u t ori... 5 Nam j ena ev... anđelj a 5 Božansko nadah... nu će au t ora 6 Odnos ev anđelj... a i St arog Zav j et a 6 Kanon ev anđelj... a 7 Pov ij esna t očnost... ev anđelj a 8 Pov ij esni spisi... ev anđelj a 9 Žanr Biografij... a Isusa Krista Sinoptička ev anđelj a Uv od u sinopt... ička ev anđelj a 17 Uv od u Matejev... o ev anđelje 1 9 A u tor V rij em e nastanka Mj esto nastanka Odnos Starog Zav... j eta i ev anđelj a po Matej u 21 Nam j ena ev anđelj... a 22 Osv rt na tekst ev... anđelj a 22 Kanonska v ažnost... ev anđelj a 25 Uv od u Markov... o ev anđelje 26 A u tor V rij em e nastanka Mj esto nastanka Pov j esne okolnosti... u koj im a j e napisano ev anđelj e 30 Nam j ena ev anđelj... a 30 Osv rt na tekst ev... anđelj a 31 Organizacij a teksta Cj elov itost teksta Kanonska v ažnost... ev anđelj a 37 Uv od u Lukino... ev anđelje 3 8 A u tor V rij em e nastanka Mj esto nastanka Nam j ena ev anđelj... a 41 Osv rt na tekst ev... anđelj a 42 Organizacij a teksta Kanonska v ažnost... ev anđelj a 47 T ekst sinopt... ičkih ev anđelj a prikazan u t ablici 48 Ev anđelja po... Mateju, Marku i Luki Ev anđelj... e po Iv anu 271 Uv od u Iv anov... o ev anđelj e 272 Autor Vrijeme nastanka Mj esto nastanka Namjena ev... anđelja 27 6 Osv rt na tekst... ev anđelja 27 6 Organizacij a... teksta ev anđelj a 27 8 Odnos između... Iv anov og i sinoptičkih ev anđelja 280

3 Contents II Razlike između... Iv anov og i sinoptičkih ev anđelj a 281 Kanonska v ažnost... ev anđelja 284 T ekst Iv anov... og ev anđelj a 285 Poglav lje Poglav lje Poglav lje Poglav lje Poglav lje Poglav lje Poglav lje Poglav lje Poglav lje Poglav lje Poglav lje Poglav lje Poglav lje Poglav lje Poglav lje Poglav lje Poglav lje Poglav lje Poglav lje Poglav lj e Poglav lje Osv rt Mario Koren Mačak II

4 1 Ev anđelj a 1 Evanđelja Evanđelj a Uvod u evanđelja Sinoptička evanđelja prikazana u tablici Evanđelje po Ivanu

5 Ev anđelj a Uvod Pred Vama se nalazi još jedno od mnogih tekstova evanđelja. Posebnost teksta koji ovdje možete čitati je u prikazu sinoptičkih evanđelja (Matej, Marko i Luka) koja su ovdje prikazana u tablici jedno do drugog. Nastojao sam, ne samo usporedo prikazati poglavlje i redak pojedinog evanđelja, nago i po potrebi rastaviti retke kako bi se još jasnije istaknule sličnosti i razlike između pojedinih tekstova. Baš te male razlike u izričaju, upotrebljenoj riječi ili dodanoj rečenici u pojedinom evanđelju "proširuju" cijelu priču i pojašnjavaju pojedini događaj ili poruku. Iako su ova tri evanđelja u biti vrlo slična, čitajući ih usporedno, jedno do drugog, jasno možemo uočiti kako se međusobno nadopunjuju. Čitajući ih usporedo redak po redak čitate ih kao jednu priču. Ovaj način prikaza pojednostavljuje Vam uspoređivanje sva tri evanđelja, jasno ističe sličnosti i različitosti između pojedinih tekstova i tako olakšava proučavanje evanđelja. Prije same tablice sinoptičkih evanđelja napisao sam i kratke uvode, općenito u evanđelja a onda i u svako evanđelje zasebno. Kao i dio s biografijom Isusa Krista. Želja mi je dati vam više informacija o evanđeljima, kako o povjesnim okolnostima pod kojim su nastala, tako i o ljudima koji su sudjelovali u samom nastanku evanđelja kakve poznajemo danas. Poslije tablice sinoptičkih evanđelja nalazi se Evanđelje po Ivanu koji mnogi smatraju i najljepšim od svih evanđelja. Nadam se da ćete uživati u čitanju ovih evanđelja, barem toliko koliko sam ja uživao u radeći na pripremi ovog teksta. "Blagoslovlj en j e onaj, koj i čita, i onim a, koj i slušaj u rij eči proročanstva i drže, što j e napisano u nj em u, j er j e vrij em e blizu! " Otk 1.3

6 3 Ev anđelj a 1.2 Uvod u evanđelj a Uvod u evanđelja Opće informacije Autori Namjena evanđelja Božansko nadahnuće autora Odnos evanđelja i Starog Zavjeta Kanon evanđelja Povijesna točnost evanđelja Povijesni spisi evanđelja Žanr

7 Ev anđelj a Opće informacije Evanđelja po Mateju, Marku, Luki i Ivanu povijesni su dokumenti na kojima se temelji kršćanstvo. Skoro sve pouzdane informacije o životu i učenju Isusa iz Nazareta nalazimo u ta četiri dokumenta. U općem smislu riječi pojam evanđelje može se prevesti kao "radosna vijest" ili "dobra vijest". Evanđelje je "dobra vijest" o iskupljenju od grijeha i pomirbi s Bogom preko žrtve Isusa Krista, sina Božjeg, što je i temeljna poruka kršćanstva. Pisci Novog Zavjeta koriste riječ evanđelje na više načina: 1. riječ je korištena kako bi se opisao sadržaj Isusovog učenja Izakako j e Ivan bio bačen u tam nicu, otišao j e Isus u Galilej u i propovij edao evanđelj e kralj evstva Božj ega, Govoreći: "Vrij em e se j e isp unilo, kralj evstvo j e Božj e blizu; Obratite se i vj eruj te u evanđelj e!" (Mk ) 2. riječ evanđelje koristi se kako bi se opisala poruka koju propovijedaju kršćani poruka o smrti i uskrsnuću Isusa Krista. Kad kršćani propovijedaju smrt i uskrsnuće Isusa i kad pozivaju na vjeru u njega kao Gospodina, Mesiju i Spasitelja, propovijedaju evanđelje dobru vijest. 3. riječ se koristi i kao naziv za pisane dokumente o životu, učenju, smrti i uskrsnuću Isusa iz Nazareta. Napisana su mnoga evanđelja (Lk 1.1), ali samo četiri su prihvaćena od prvih kršćana kao pouzdani i vjerodostojni dokumenti. Te četiri knjige uključene su u knjige novoga zavjeta. Ta četiri evanđelja (Matej, Marko, Luka, Ivan) dobili su imena po autorima pojedinog evanđelja Evanđelje po Mateju, Evanđelje po Marku, Evanđelje po Luki, Evanđelje po Ivanu Prije nego što su napisana ova četiri kanonska evanđelja prvi kršćani prenosili su "radosnu vijest" o Isusu Kristu usmenom predajom i koristili su se nekim pred evanđeoskim tekstovima koje su najvjerojatnije koristili i evanđelisti kod pisanja svojih tekstova.

8 5 Ev anđelj a Autori Od najranijih vremena smatra se da su pisci prvog i četvrtog evanđelja apostoli Matej (carinik; Mt 10.3) i Ivan ( sin Zebedejev; Mk 3.17), obojica Isusovi pratioci i očevici njegovih djela i učenja (Mt 9:9; 10:2-3; Mk 1:19-20; Iv 19:35). Drugo i treće evanđelje pripisuje se Marku (nazvanim i Ivan; Dj 15.37) i Luki (liječnik; Kol 4.14). Oni nisu bili pratitelji i očevici Isusovih djela nego bliski suradnici apostola Petra i Pavla (Kol 4:11, 14; 2 Tim 4:11; 1 Pet 5:13). Dakle, dok evanđelja po Mateju i Ivanu možemo smatrati doslovno apostolskim spisima, dotle evanđelja po Marku i Luki možemo smatrati utjelovljenim apostolskim svjedočanstvom Petra i Pavla. Zanimljivo je napomenuti da se apostolsko autorstvo evanđelja ne dovodi u pitanje u ranim danima crkve, niti se autorstvo pripisuje nekim drugim osobama ranog kršćanstva. Matej, Marko, Luka i Ivan dosljedno su imenovani kao pisci evanđelja kroz cijelu povijest kršćanstva. Nema ni najmanjih varijacija u svim drevnim grčkim rukopisima s obzirom na imena koja se pojavljuju u naslovima četiri evanđelja. Više informacija o svakom od autora možete naći u uvodu od svakog evanđelja Namjena evanđelja Iako je namjena sva četiri evanđelja prikazati Isusa kao Spasitelja i Mesiju, i iako su prva tri evanđelja (sinoptička) vrlo slična, svako evanđelje ima svoju posebnu namjenu i ciljanu publiku kojoj se obraća. Matej se obraća prvenstveno Židovima i želi prikazati Isusa kao Kralja iz kuće Davidove, Otkupitelja kojeg je Bog najavio i poslao. Marko piše svoje evanđelje Rimljanima, opisuje Isusa kao slugu Božjeg, čovjeka od akcije, pobjednika nad grijehom i zlom. Marko više opisuje što je Isus činio nego što je učio. Lukino evanđelje namijenjeno je Grčkim obraćenicima, prikazuje Isusa kao savršenog i univerzalnoga Spasitelja, naglašava čovječnost i brigu za bolesne i djecu. Ivan u svom evanđelju želi prikazati Božansku narav Isusa Krista. Namijenjeno je ljudima koji imaju neko znanje o spasenju ali trebaju dublje razumijevanje Božanske osobe Isusa Krista. Četiri evanđelja daju nam četiri različita pogleda na Isusa i time nam daju potpuniju sliku samog Isusa, njegovih djela i učenja. Iako je svako evanđelje samostalna cjelina zajedno se dopunjuju, pojašnjavaju i međusobno potvrđuju istinitost opisanih događaja bez bitnih proturječnosti. Tek čitajući sva četiri evanđelja zajedno dobivamo potpunu sliku Isusa i otkrivamo ga kao Spasitelja svijeta.

9 Ev anđelj a Božansko nadahnuće autora Sam sadržaj evanđelja svjedoči o božanskom nadahnuću autora evanđelja. Autoritet evanđelja temelji se na tom Božanskom nadahnuću, kao što je slučaj i sa svim knjigama Biblije. Kao vjernici smatramo da su evanđelja napisana od ljudi koji su bili potaknuti Duhom Svetim, i zato da su evanđelja potpuno vjerodostojan i mjerodavan izvor informacija o životu i učenju Gospodina Isusa Krista. Da su evanđelisti bili nadahnuti Duhom Svetim jasno se vidi iz samog teksta evanđelja, npr. kad Gospodin daje obećanje svojim učenicima: "A kad v as predadu, ne brinite se, kako ili što ćete gov oriti! U onaj čas dat će v am se, što ćete gov oriti. Jer nij este v i, koj i gov orite, nego Duh Oca v ašega gov ori preko v as." (Mt ) Ili na drugom mjestu kad kaže: "A Utj ešitelj, Duh Sv eti, koj ega će Otac poslati u ime moj e, on će v as naučiti sv emu i napomenut će v am sv e, što v am rekoh." (Iv 14.26) Isto tako i: "Ali kad dođe on, Duh istine, uv est će v as u sv u istinu, j er neće od sebe gov oriti, nego će gov oriti što čuj e, i j av it će v am buduće stv ari. On će me proslav iti, j er će od moj ega uzeti, i obj av iti v ama.(iv ). Sva ova obećanja ispunila su se na Pedesetnicu, što jasno možemo vidjeti opisano u Djelima apostolskim gdje čitamo: "I napuniše se sv i Duha Sv etoga, i stadoše gov oriti raznim j ezicima, kao što im j e Duh (Sv eti) dav ao da gov ore." (Dj 2.4) Na kraju i svaki vjerenik čitajući evanđelja čuti Božansko nadahnuće evanđelja i jasno uviđa da ti spisi sadrže samu Riječ Božju Odnos evanđelja i Starog Zavjeta Evanđelja su blisko povezana s Starim zavjetom, ona na jasan način ukazuju da je došlo vrijeme ispunjenja starozavjetnih proročanstava i prikazuju Isusa kao Mesiju o kojem su propovijedali starozavjetni proroci. Vrijeme između Malahija, zadnjeg proroka starog zavjeta, i rođenja Mesije Isusa Krista je oko 450g. Prvi prorok nakon vremena Starog zavjeta je Ivan Krstitelj. Sam Isus kaže: " Zakon i proroci dosežu do Iv ana. Otada se nav j ešćuj e radosna v ij est o kralj ev stv u Božj emu, i sv aki prodire silom u nj ega." (Lk 16.16), i na taj način prikazuje Ivana kao posljednjeg proroka koji je poslan kako bi nagovijestio dolazak Mesije Isusa Sina Božjeg. Služba Ivana Krstitelja zabilježena je uglavnom u početnim dijelovima evanđelja.

10 7 Ev anđelj a Kanon evanđelja Riječ kanon možemo prevesti kao standard ili norma, kad riječ primjenjujemo prema Biblijskim spisima onda taj izraz označava listu knjiga koje se smatra autentičnim i nadahnutim Duhom Svetim a od kojih se sastoji Stari i Novi zavjet. Prvi kršćani nisu imali kanon, prvenstveno su se služili usmenom predajom apostola ili prvih učenika. No relativno brzo, s porastom pisanih dokumenata, ukazala se potreba za određivanjem kanona tj. liste spisa koji se može smatrati autentičnim i vjerodostojnim. Što se tiče evanđelja, kršćani prihvaćaju četiri evanđelja (Matej, Marko, Luka i Ivan) kao vjerodostojna i nadahnuta teksta koja svjedoče o Isusu i njegovom poslanju i učenju. Na ta četiri spisa temelji se cijelo kršćanstvo i samo u njima možemo "pronaći" istinitog Isusa Krista. Iz tekstova ranih kršćanskih pisaca možemo saznati da je autentičnost ova četiri evanđelja široko prihvaćena već sredinom drugog stoljeća. Vrlo je vjerojatno da je baš prihvaćanje ova četiri evanđelja kao autentična i vjerodostojna označilo početak stvaranja kanona Novoga Zavjeta kakvog poznajemo danas. Prema svjedočenju povjesničara, kanon Novoga Zavjeta koji koristimo danas uspostavljen je u cijelosti u četvrtom stoljeću, dok su ova četiri evanđelja prihvaćena kao vjerodostojna puno prije toga. Kanonska evanđelja možemo podijeliti u dvije grupe, u prvoj grupi nalaze se sinoptička evanđelja (Matej, Marko i Luka), a u drugoj Ivan.

11 Ev anđelj a Povijesna točnost evanđelja Evanđelisti izvještavaju o stvarnim događajima i ljudima koji su sudionici tih događanja, no u isto vrijeme njihovi spisi jasno naglašavaju duhovno poslanje koje ima Isus Krist. Povjesničari se uglavnom slažu da evanđelja vjerodostojno svjedoče o Isusu i vremenu u kojem je živio, unatoč nekim manjim razmimoilaženjima u pojedinim opisima događaja ili u redoslijedu po kojem su se dešavala. Važno je napomenuti da nema nikakvih razmimoilaženja u bitnim teološkim pitanjima između četiri evanđelja. Sva četiri evanđelja prenose istu duhovnu poruku (radosnu vijest) i pouzdano svjedoče o životu i učenju Isusa Krista. Iako su evanđelja (posebno sinoptička) vrlo slična bilo ih je dosta teško detaljno uskladiti, prvenstveno zbog ponekad drukčijeg redoslijeda događanja koja opisuju a i zbog manjih razlika u tekstu između evanđelja. Kako bi se lakše razriješila ova manja razmimoilaženja i nedosljednosti u tekstu evanđelja treba uzeti u obzir par stvari: 1. Glavna namjera evanđelista je autentično i jasno prenijeti poruku Isusa Krista i prikazati ga kao Sina Božjeg, zato evanđelja prvenstveno ne slijede kronološki slijed događanja nego su događaji posloženi tako da što bolje naglase smisao poruke. 2. Razlike u upotrebljenoj riječi u tekstu možemo objasniti i činjenicom da je Isus vjerojatno većinu svojih govora izgovorio na Aramejskom dok evanđelja bilježe njegove govore ne Grčkom. Svakako se može reći da su evanđelisti sačuvali istinitost Isusovih riječi iako ponekad koriste ponešto različite riječi u tekstu. 3. Te manje razlike lakše je objasniti i ako uzmemo u obzir da se tekst evanđelja nebrojeno puta ručno prepisivao, i sigurno ispočetka od strane dobronamjernih ali možda nedovoljno obučenih sljedbenika. 4. Kad naiđemo na ponešto drukčiji opis nekog događaja važno je razlučiti dali je taj opis proturječan ili se opisi nadopunjuju na način da jedan opširnije i detaljnije govori o istom događaju. (npr. Mt Mk Lk 18.35). Svakako da takvi opisi nisu proturječni nego svaki evanđelist opisuje događaj na način koji mu se čini najprimjereniji za poruku koju žele naglasiti. Oba takva teksta možemo uzeti kao istinit opis i čitajući ih usporedno tek dobivamo potpunu sliku samog događaja. 5. I na kraju, treba reći da ako pristupamo evanđeljima već kao vjernici svakako nam treba poniznosti i strpljivosti kad naiđemo na neke nejasnoće u tekstu evanđelja ili bilo koje druge Biblijske knjige. Poniznosti na način da ne postavimo sebe kao kriterij po kojem "sudimo" evanđeljima, nikako ne želimo svesti Mudrost Riječi Božje na razinu "mudrosti" misli ljudske. Kao što sama Riječ kaže: "... j er s Bogom čov j ek mj eriti se ne može." (Job 33.12) ili na drugom mjestu: "Ali otkuda nam Mudrost dolazi? Na koj em mj estu Razum prebiv a? Čov j ek nj ezina ne poznaj e puta, u zemlj i živ ih nisu j e otkrili." (Job ); "Jedino j e Bog put nj en proniknuo, on j edini znade gdj e se nalazi" (Job 28.23). Isto tako trebamo strpljivost kad se nađemo pred nekim nerazumljivim dijelovima teksta i evanđelja i bilo koje druge knjige Biblije. Takvi izazovni dijelovi nisu dospjeli u Bibliju nekakvim Božjim propustom, vjerujem da su oni tamo kao izazov koji je Bog stavio pred svakog vjernika kako bi se posvetili proučavanju Riječi Božje i molitvi. Ponekad će trebati dosta vremena, proučavanja i molitve dok nam Bog ne odgovori ne neke nejasnoće. No ako ostanemo strpljivi do kraja, ako ne prije, sve nejasnoće objasniti će nam sam Isus kad budemo s njim u raju.

12 9 Ev anđelj a Povijesni spisi evanđelja Luka na početku svog evanđelja kaže:"već su mnogi preduzeli da napišu izv j eštaj o događaj ima, što su se zbili među nama" (Lk 1.1). Iz te izjave možemo zaključiti da su se prvi pisani dokumenti o Isusu i njegovom učenju pojavili relativno brzo nakon Isusove smrti. Ti prvi dokumenti pisani su rukom, u pojedinačne svitke i najvjerojatnije velikim slovima, bez razmaka ili interpunkcija. Danas su poznata više od sto i dvadeset takva teksta na papirusima. Ti tekstovi smatraju se najranijim i zato vjerodostojnijima originalnom tekstu evanđelja. Kako je broj vjernika rastao tako je rastao i broj kopija spisa Novoga Zavjeta. Uskoro je došlo i do nekih promjena kod pisanja novih kopija, umjesto pisanja u svitke tekst se počeo pisati u knjige i velika slova zamijenjena su malim. Na taj način olakšalo se čitanje i čuvanje teksta. Pošto je prva crkva bila sastavljena od raznih naroda, ubrzo se i Novi Zavjet kao i cijela Biblija prevela na mnoge jezike. Ti tekstovi poprilično su se razlikovali po kvaliteti. Ubrzo su se pojavile mnoge Latinske, Sirijske, Egipatske i druge verzije teksta evanđelja. Danas postoji pet tisuća, što cijelih spisa, što dijelova spisa Novog Zavjeta na Grčkom i oko osam tisuća spisa ili dijelova Novoga Zavjeta na drugim jezicima. Velika većina teksta evanđelja potpuno je usuglašena, a što se tiče manjih nedosljednosti na koje možemo naići, one ne dovode u pitanje niti jedan bitan neuk evanđelja. Važno je napomenuti da od svih antičkih spisa koji su sačuvani do danas, spisa Novog Zavjeta ima brojčano najviše i da su nastali u godinama najbliže događajima koja opisuju. Većina tekstova evanđelja koju danas imamo nastala je u periodu od tisuću godina, između 500 i 1500g., dok najstariji spisi datiraju iz prve polovice drugog stoljeća. Dvije povijesne okolnosti utjecale su na broj i vrstu spisa koji su se sačuvali do danas. Prvo, kao što se razdijelilo Rimsko Carstvo na Istočno i Zapadno, tako se razdijelila i crkva. Na zapadu, ne samo zato što je Latinski bio službeni jezik Rima nego i zato da se potisne upotreba Grčkog kao općeg jezika, prevladala je upotreba latinskog u crkvi. Postojale su mnoge verzije evanđelja na latinskom, ali krajem četvrtog stoljeća Jeronim (Sveti Jeronim Stridon, oko Betlehem, 30. ruj na 420.)- svetac, autor p rij evoda Biblij e na latinski j ezik, crkveni naučitelj, crkveni otac, teolog, f ilozof, j ezikoslovac) priprema službenu verziju Latinskog prijevoda evanđelja i cijele Biblije koja se naziva Vulgata (Lat. prij evod Biblij e što ga j e pod kraj IV. st. izradio sv. Jeronim. Na pučki Latinski preveo j e Stari zavj et s hebrej skoga i aramej skoga j ezika, a Novi zavj et na temelj u grč. izvornika. Jeronimov j e prij evod zamij enio ranij e lat. prij evode (npr. p rij evod p oznat p od imenom Itala), a od VII. st. bio j e op ćenito p rihvaćen u svim kršćanskim crkvama. Tridentski sabor (1 546) odredio j e p rema Vulgati kanon Svetog p isma. Tiskana j e u mnogim izdanj ima i p odloga j e većini p rij evoda Biblij e)., taj prevod postaje opće prihvaćen u Zapadnim crkvama. S druge strane Grčki prevladava u upotrebi na istoku, koje postaje Bizantsko carstvo. Grčki prijepisi evanđelja koriste se i prevode puno češće, sve dok Konstantinopol ne osvajaju Turci 1453g. Tada mnogi istočni učenjaci bježe na zapad i donose svoje grčke prevode evanđelja. Ti spisi umnogome utječu i na reformacijski pokret kao i na renesansu. Drugo, materijali na kojima su pisani spisi evanđelja različito podnose utjecaj klime. Najskuplje knjige napisane su na pergamente, obrađena životinjska koža, dok se uobičajeno koristilo papirus, materijal biljnog porijekla, na kojem se pisao tekst.

13 Ev anđelj a 10 Iako su pergamenti čvršći materijal od papirusa, oba materijala su organskoga porijekla i raspadaju se prilično brzo posebno u vlažnim uvjetima atmosfere. Zato nije čudno da najviše sačuvanih spisa dolazi iz suhih i toplih predjela Bliskog istoka Žanr Dosta dugo se postavlja pitanje u koju književnu grupu (žanr) možemo svrstati evanđelja. Nakon povijesnih i književnih istraživanja većina znanstvenika podržava tvrdnju da su evanđelja vrsta grčko-rimske biografije. Neke od karakteristika Grčko-Rimskih biografija su:?prvenstveno se fokusiraju na jednu osobu?ne prate kronološki slijed događanja nego žele naglasiti neku poruku ili učenje i tome prilagode redoslijed događanja?često naglašavaju jedan životni period osobe o kojoj pišu Iako možemo reći da evanđelja spadaju u književnu vrstu antičke biografije, ona su u isto vrijeme i pouzdan povijesni dokument o životu i učenju Isusa Krista. Tu namjeru da što točnije prenesu povijesne činjenice o Isusa naglašavaju i sami pisci evanđelja (Lk 1.1-4, Iv 19.35) Pisci evanđelja imali su slobodu tumačiti značenje pojedinih događanja ili učenja Isusa Krista, ali nisu imali slobodu izmišljati događaje i izreka Isusa, niti bi namjerno iskrivljavali činjenice o Isusovom životu kojima su bili svjedoci ili ih saznali iz prve ruke od očevidaca samih događanja. Uz to što su evanđelja povijesni dokument, ona su i pisana s namjerom evangelizacije, tj. pobuđivanja i produbljivanja vjere, kako nevjernika tako i samih vjernika. To se jasno vidi u evanđelju po Ivanu, gdje Ivan piše: " I mnoga druga čudesa učini Isus pred učenicima sv oj im; koj a nij esu napisana u knj izi ov oj. A ov a su zapisana, da v j eruj ete, da Isus j est Krist, Sin Božj i, i da v j eruj ući imate živ ot u ime nj egov o." (Iv ). Istu namjeru imaju i sinoptička evanđelja. Da zaključim, evanđelja su vrsta Grčko Rimske biografije i u isto vrijeme i povijesni dokument ali uz to žele od svojih čitatelja napraviti vjernike. Općenito antičke biografije prikazuju svoje junake kao osobe kojima se treba diviti i oponašati ih. Evanđelja uz to žele prikazati Isusa kao i objekt vjere i pozvati čitatelje na osoban odnos s njim.

14 11 Ev anđelj a 1.3 Biografij a Isusa Krista rođen: 7-2 g. stare ere Betlahem, Judeja umro: g 1. stoljeće Golgota, Jeruzalem otac: Bog majka: Marija (djevičansko začeće) otac posvojitelj : Josip Isus iz Nazareta ili Isus Krist je centralan figura Kršćanstva. Sve kršćanke crkve smatraju ga Sinom Božjim, spasiteljem i otkupiteljem, Mesijom najavljenim u starom zavjetu koji je svojim životom, smrću i uskrsnućem otkupio grijehe čovječanstva i uspostavio novi odnos s Bogom krvlju novoga zavjeta. Kršćani vjeruju da je Isus umro razapet na križ, tjelesno uskrsnuo od mrtvih i time predskazao uskrsnuće svih ljudi koji prihvate Isusa kao spasitelja na kraju vremena kad će Isus ponovo doći suditi žive i mrtve. Jedne, koji povjeruju i prihvate Isusa, na život vječni a druge na vječno uništenje. Značenje imena Isus objašnjava se kao "Bog spašava". Dok ime Krist ima značenje "Pomazanik". Iako je kroz povijest riječ Krist postala više Isusovo ime ono je u stvari titula. U Matejevom evanđelju 16:16 čitamo "Simon Petar odgovori: "Ti si Krist, Sin Boga živoga.", i tako identificira Isus mesijom. Isus je živio u Galileji većinu svog života, govorio je aramejski, najvjerojatnije i Hebrejski, možda nešto i grčki. Glavni izvor informacija o životu i učenju Isusa nalazimo u evanđeljima iako neki znanstvenici smatraju da se i apokrifne knjige mogu koristiti kao izvor informacija o Isusu. (A pokrifi spisi dv ojbene autentičnosti; naziv se osobito odnosi na određen broj židov skih i kršćanskih v jerskih knjiga biblijskog sadržaja koje se ne ubrajaju u kanon Sv etog pisma.) Rođenje Isus se rodio u Betlahemu Judeja (Mt 2.11), 7 2 g. stare ere. Evanđelja opisuju da je Isusa rodila djevica Marija na koju je sišao Duh Sveti. Anđeo navješćuje pastirima rođenje Isusovo (LK 2.10) i oni ga prvo posjećuju. (Lk 2.15) Nakon osam dana, po židovskom običaju, obrezuju ga. Nedugo nakon rođenja posjećuju ga i tri mudraca s Istoka (Mt 2.1), i donose mu darove (Mt 2.11). Nakon isteka dana čišćenja po Mojsijevom zakonu, roditelji ga vode u Jeruzalem da ga "prikažu" Gospodinu (Lk 2.22). U hramu ga Simeon ( Lk 2.34) i proročica Ana (Lk 2.38) prepoznaju kao Mesiju. Nakon toga po uputi anđele bježe u Egipat (Mt 2.13) Dječaštvo Nakon nekog vremena, opet po naređenju anđela, vraćaju se u "zemlju Izraelovu" u pokrajinu Galileju u grad Nazaret. (Mt ) U evanđeljima nalazimo vrlo malo podatka o ranim Isusovim godinama. Samo evanđelje po Luki opisuje jedan događaj iz Isusovih dječačkih godina, to je posjet Isusa,

15 Ev anđelj a 12 Josipa i Marije Jeruzalemu za vrijeme Pashe (Lk ). Godine odrastanja Isusa Luka opisuje rečenicom Dijete je raslo i ječalo. Bilo je puno mudrosti, i milost je Božja počivala na njemu. (Lk 2.40) i kasnije I Isus je napredovao u mudrosti, u dobi i u milosti kod Boga i kod ljudi. (Lk 2.52). Prilikom susreta dvanaestogodišnjeg Isusa s učiteljima u hramu Luka kaže da: Svi, koji su ga slušali, divili su se njegovu razumu i njegovim odgovorima (Lk 2.47). Dok odnos Isusa prema roditeljima i starijima Luka opisuje rečenicom bio im je poslušan. (Lk 2.51) Iz ovih rečenica možemo zaključiti da je Isus bio jedinstven od svoje mladosti i da je vrlo rano naslutio tu svoju posebnost i poslanje za koje je predodređen. Najbolje se to vidi iz rečenice kojom Isus govori majci: "Zašto ste me tražili? Zar niste znali, da ja moram biti u kući Oca svojega?" (Lk 2.49) Godine prije početka djelovanja Evanđelja govore da je Isus bio stolar, drvodjelja kao i njegov otac Josip. (Mt , Mk 6.3, Lk 4.22). Riječ koja se koristi za opis Isusovog zanimanja je tekton (τέκτων Grčki)(korijen riječi tehnički, tehnologija), tradicionalno riječ se prevodi kao stolar iako ima općenitije značenje kao graditelj različitim vrstama materijala. Isus je bio najstarije dijete od četvero braće (Jakov, Josip, Simon i Juda) i najmanje dvije sestre. (Mt 13.55, Mk 6.3,) Početak dj elovanj a Luka napominje da je Isus imao oko trideset godina kad je počeo s djelovanjem (Lk 3.23). Krštenje i kušnja Sva tri sinoptička evanđelja spominju krštenje Isusovo od strane Ivana Krstitelja, i taj događaj uzima se kao početak Isusovog javnog djelovanja (Mt , Mk , Lk ). Prema tekstu evanđelja Isus dolazi na rijeku Jordan na kojoj je Ivan propovijedao i krstio. Ivan ga krsti, i kad Isus izlazi iz vode otvoriše se nebesa i silazi Duh Božji u obliku goluba. Tada se začuje glas s neba I glas s neba povika: "Ovo je Sin moj ljubljeni, koji se dopada meni." Odmah nakon krštenja Duh odvodi Isusa u pustinju gdje posti četrdeset dana i noći. Tijekom tih četrdeset dana pojavljuje se Đavao i kuša ga tri puta. Svaki put Isus odbija kušnju citirajući Sveto Pismo (Ponovljeni zakon). Nakon toga Đavao ga ostavlja a pojavljuju se anđeli koji ga služe. Učenje Sva četiri evanđelja naglašavaju nauk Isusa i spominju mnoga čuda kojima Isus želi dokazati apostolima i drugim slušateljima da je mesija (Iv 10.38). Sinoptička evanđelja naglašavaju Isusov nauk o Kraljevstvu nebeskom (Mt 4.17) i uglavnom prate njegovo djelovanje u Galileji, dok Ivan u svom evanđelju naglašava Isusovo božansko porijeklo i poslanje i njegovo djelovanje oko Jeruzalema. U svojim propovijedima Isus često koristi prispodobe, Isusove prispodobe slikovit su način pričanja u kojima, Isus slikama iz svakidašnjeg života predstavlja duhovnu stvarnost i Kraljevstvo Božje. Više od trećine Isusovih riječi bile su prispodobe. Prispodobe su karakteristične za Evanđelja. U proročkim spisima u Starome zavjetu također se mogu naći slične usporedbe, metafore i alegorija. U Novom zavjetu imao oko 40 Isusovih prispodoba. One su slikoviti govor razumljiv tadašnjem vremenu.

16 13 Ev anđelj a Isus u svojim propovijedima govori o služenju Bogu i drugim ljudima, o važnosti poniznosti, govori o vjeri u njega koja dovodi do opraštanja grijeha. Važne teme njegova nuka su pravednost, oprost, vjernost, ljubav prema neprijateljima, milosrđe, pouzdanje u Boga. Upozorava na opasnost od bogatstva. (Lk 18.25) Pravilan odnos prema drugim ljudima ističe u Matejevom i Lukinom evanđelju kad kaže: "Sve dakle, što hoćete da čine vama ljudi, činite i vi njima, jer je to sadržaj zakona i proroka." (Mt 7.12, Lk 6.31) Dok cijeli zakon i proroke sažima u samo dvije zapovijedi: "On mu odgovori: "Ljubi Gospodina, Boga svojega, svim srcem svojim, svom dušom svojom i svom misli svojom! To je najveća i prva zapovijed. Druga je ovoj jednaka: Ljubi bližnjega svojega kao samoga sebe! O ovim dvjema zapovijedima visi sav zakon i proroci." (Mt , Mk ) Na molbu jednog od učenika izgovara riječi molitve Oče naš (Mt , Lk ) Kroz sva evanđelja Isus pokazuje posebnu brigu prema siromašnima, potlačenima i obespravljenima što se najjasnije vidi u propovijedi na gori. U sinoptičkim evanđeljima Isus otkriva apokaliptičnu verziju posljednjih dana. Govori da će kraj ovoga svijeta doći nenadano, i da će doći suditi svijetu po vjeri u njega i prihvaćanju njegove žrtve na križu. Poziva svoje sljedbenike da budu pripravni i vjerni do kraja. Okupljanja Na vrhuncu svog djelovanja Isusove propovijedi privlače velik broj slušatelja (tisuće) (Mt , Lk ), prvenstveno u području Galileje. Isus podučava ljude na tim velikim okupljanjima, ali isto tako ponekad podučava samo svoje apostole ili propovijeda pojedincima. Vrlo često Isus traži osamu kako bi se molio i bio s Ocem. Apostoli Isus poziva dvanaest Židova da budu njegovi učenici, i naziva ih apostolima. Uglavnom su to ribari i obični radnici. Dvanaest apostola su: Petar, Andrija, Jakov, Ivan, Filip, Bartolomej, Matej, Toma, Jakov, Simon, Juda, i Juda Iskariot koji ga je izdao. Dom apostola Petra u Kafarnaumu bio je baza djelovanja Isusa i apostola, odakle su kretali prema drugim krajevima. Posljednji dani Na dan koji danas zovemo Cvjetnica, Isus ulazi u Jeruzalem, a učenici i mnoštvo naroda pozdravlja ga kao Kralja, sina Davidova koji dolazi u ime Gospodnje, prostiru svoje haljine i zeleno granje koje su narezali u poljima (Mt 21.8, Mk 11.8, Lk 19.36). Taj dan otiđe u hram da ga razgleda. Idući dan ponovo dolazi u hram i istjeruje prodavače i kupce iz hrama, mjenjačima novca i prodavačima golubova za žrtvu isprevrće stolove, optuživši ih da su od "kuće molitve" načinili "špilju razbojničku" (Mt 21.13, Mk 11.17, Lk 19.46) Tim činom, kao i svojim propovijedima i oštrim riječima upućenim svećenicima i učiteljima zakona pobuđuje kod njih gnjev i oni skuju zavjeru protiv njega kako bi ga ubili (Mk 11.18). No zbog velikog broja ljudi koji su pristajali uz Isusa (Lk 19.48) i zbog blagdana Pashe (Mt 26.5)

17 Ev anđelj a 14 čekali su povoljan trenutak da ga uhvate. Taj trenutak je došao kad Sotona uniđe u Judu Iskariota i on odluči da ga izda (Lk 22.3). Na blagdan beskvasnih kruhova "kad se običavalo klati Pashalno janje, " (Mk 14.12) Isus organizira večeru s svojim učenicima. Kršćani tu večeru nazivaju Gospodnja večera. Na večeri Isus otkriva Judu kao svog izdajnika (Mt 26.25) i on odlazi glavašima i svećenicima da ga izda (Iv 12.30). Na toj večeri Isus učenicima daje kruh, kao tijelo svoje, da ga jedu njemu u spomen i vino kao krv svoju, krv Novoga zavjeta, koja se proljeva za mnoge za opraštanje grijeha (Mt ). Nakon zajedničkog hvalospjeva svi odlaze na Maslinsku goru u zaselak Getsemani (Mt 26.36). Isus je duboko potresen, žalostan i uplašen jer zna što ga očekuje u idućim satima (Mt 26.37, Mk 14.33). Tamo se Isus odvoji od učenika da se pomoli, molio se Ocu da ga izbavi od muka koje su pred njim ali samo ako je to njegova volja (Mt 26.39, Mk 14.36, Lk 22.42). Ukazuje mu se anđeo koji ga okrijepi (Lk 22.43), kad ga napadne još veća tjeskoba sve je usrdnije molio i u evanđelju po Luki čitamo: "Znoj je njegov bio kao kaplje krvi, što su tekle na zemlju." (Lk 22.44) Ubrzo nakon toga dolazi Juda s četom vojnika, glavarima svećeničkim i starješinama (Mt 26.47, Mk 14.43, Lk 22.47). Juda ljubi Isusa i na taj način ga prokazuje (Mt26.49, Mk 14.45, Lk 22.47). Još iste noći odvode Isusa pred velikog svećenika Kaifu, da mu sude. Iako se pojavilo mnogo lažnih svjedoka ne nalaze svjedočanstvo kojim bi ga osudili (Mt 26.60). Iznerviran nedostatkom dokaza i Isusovom šutnjom veliki svećenik upita Isusa: ""Zaklinjem te Bogom živim: "Kaži nam, jesi li ti Krist, Sin Božji?"" (Mt 26.63, Mk 14.61), na što Isus odgovara: "Ja sam i vidjet ćete Sina čovječjega gdje sjedi s desne Svemogućega i dolazi na oblacima nebeskim." (Mk 14.62) Tu istinitu izjavu nazvaše bogohuljenje i osudiše ga na smrt (Mk 14.64). "Ljudi koji su ga držali zarobljena rugali su mu se i zlostavljali ga." (Lk 22.63) "Pokrili su mu oči i tukli su ga po obrazima." (Lk 22.64) Pošto u to vrijeme samo rimska vlast je mogla izvršiti smrtnu kaznu, Isusa odvode pred Poncija Pilata koji je tada bio rimski upravitelj Judeje (Mt 27.2). Pošto Pilat ne nalazi na Isusu "nikakve krivnje" (Lk 23.4), šalje ga kralju Herodu koji je tada boravio u Jeruzalemu. Isus pred kraljem šuti i ne brani se (Lk 23.9), unatoč optužbama svećeničkim i književnika koji su bili tamo (Lk 23.10). Nakon što se Herod izruga s Isusom obuče mu bijelu haljinu i pošalje natrag Pilatu (Lk 23.11). Još uvijek Pilat ne nalazi krivnje na Isusu i želi ga kazniti i pustiti (Lk ). Kako je na blagdan bio običaj pustiti na slobodu jednog zatvorenika, Pilat upita mnoštvo naroda koje se skupilo, žele li da im pusti Isusa ili Barabu (buntovnik i ubojica). Na nagovor svećenika i književnika narod zatraži Barabu, kojeg Pilat pusti na slobodu a Isus osudi na smrt na križu. (Mt , Mk , Lk ) Nakon toga rimski vojnici bičuju Isusa, u sudnici mu stavljaju skrletnu kabanicu, trnovu krunu na glavu i trsku u desnicu i ismijavaju ga kao lažog kralja. Udaraju ga trskom po glavi i pljuju ga. Pošto su mu se izrugali odvode ga na Golgotu i razapinju ga na križ (Mt , Mk , Lk ) Isus tada moli: "Oče, oprosti im; jer ne znadu, što čine..." (Lk 23.24) Nad njegovom glavom bio je postavljen natpis s oznakom krivnje: "Ovo je Isus kralj židovski" (Mt 27.37). Okupljeni glavari svećenički i književnici još uvijek mu se rugaju (Mt 27.41). Od šestog do devetog sata nasta tama na zemlji (Mt 27.45), a devetog sata Isus povika: ""Bože moj, Bože moj, zašto si me ostavio?" (Mt 27.46), nakon Isusovog povika: "Oče, u ruke tvoje predajem duh svoj!", Isus umire (Lk 23.46). Još iste večeri Isusa polažu u grob (Mt 27.60).

18 15 Ev anđelj a Uskrsnuće U nedjelju ujutro Isus je uskrsnio od mrtvih (Mt 28.1). Najprije se ukazuje ženama koje su došle na njegov grob (Mk 16.9) i govori im da kažu učenicima da odu u Galileju gdje će ga vidjeti (Mt 28.10). Potom se ukazuje dvojici učenika na putu za selo Emaus (Lk 24.13), pošto ostali učenici nisu vjerovali, ni ženama ni ovoj dvojici, Isus se pojavljuje jedanaestorici (Lk 24.36), kako oni od straha misle da vide duha, on im pokazuje ruke i noge i jede s njima kako bi povjerovali u njegovo tjelesno uskrsnuće (Lk ). Ukazuje se jedanaestorici i u Galileji, kamo ih je poslao (Mt 28.16), i govori im: "Dana mi je sva vlast na nebu i na zemlji. Zato idite i učinite sebi sve narode učenicima krštavajući ih u ime Oca i Sina i Duha Svetoga. I učeći ih da drže sve, što sam vam zapovjedio. Evo, ja sam s vama u sve dane do svršetka svijeta." Amen. (Mt ) Uzašašće Nakon toga Isus blagoslovi učenike i uziđe na nebo (Mk 16.19, Lk 24.51) I Luka u Djelima opisuje uzašašće Isusu u nebo (Dj ) "Kad to reče, bi na njihove oči uzdignut u zrak i oblak ga ote očima njihovima. Dok su očima uprtih u nebo gledali kako odlazi, najedanput stadoše kraj njih dva čovjeka u bjelu i rekoše im: "Galilejci zašto stojite i gledate u nebo? Ovaj isti Isus koji je uznesen na nebo između vas opet će se vratiti isto onako kako ste ga vidjeli da odlazi na nebo." Zaključak Sva četiri evanđelja kažu da je Isusov grob bio prazan u nedjeljno jutro. Luka navodi da se Isus ukazivao četrdeset dana svojim učenicima i da im je dao mnoge dokaze da je živ (Dj 1.3). Pavao napominje da se jednom ukazao "braći kojih je bilo zajedno više od pet stotina..." (1Kor 15.6) Dokazi su jasni, Isusovi učenici bili su potpuno sigurni da je Isus uskrsnio. Iskustvo uskrsnulog Isusa bilo je tako moćno da je njihov očaj pretvorio u snagu i oni su nastavili propovijedati uskrsnulog Isusa po cijenu vlastitog života. Unatoč nekim malim razlikama u interpretaciji i detaljima u tekstu četiri evanđelja, ta vjera u uskrsnuće i dolazak Kraljevstva Božjeg, temelj je kršćanske vjere.

19 Ev anđelj a Sinoptička evanđelj a Sinoptička evanđelja Uvod u sinoptička evanđelja Uvod u Matejevo evanđelje Uvod u Markovo evanđelje Uvod u Lukino evanđelje Tekst sinoptičkih evanđelja prikazanih u tablici Evanđelja po Mateju, Marku i Luki

20 17 Ev anđelj a Uvod u sinoptička evanđelja U sinoptička evanđelja ulaze evanđelje po Mateju, evanđelje po Marku i evanđelje po Luki. Naziv sinoptička dobili su po Grčkim izrazima syn "zajedno" i opsis "pogled", u slobodnom prijevodu "zajednički pogled" Ne samo da sva tri evanđelja opisuju iste događaje i govore Isusa Krista, nego i način na koji je priča ispripovijedana skoro je identičan u sva tri evanđelja. Upravo zbog toga ovdje sam ih postavio u tablicu, jedno do drugog, u želji da prikažem sva tri evanđelja na način koji čini jedinstvenu priču. Smatra se da je Markovo evanđelje najstarije tj. da je napisano prvo a da su Matej i Luka na različite načine koristili Markovo evanđelje uz druge pisane izvore (nažalost izgubljene) i usmenu predaju očevidaca kako bi napisali svoja evanđelja. Najvjerovatnija teorija kaže da su sinoptička evanđelja nastala prije 60-tih godina prvog stoljeća, no neke pisane bilješke možda su nastale još i za Isusovog života. Svakako usmena predaja potječe od samih početaka Kršćanske povijesti, i mi smo praktički u doticaju s svjedočanstvima očevidaca. Ono što je sigurno je da svi pisani materijali, kao i usmena predaja koju su koristili evanđelisti kod pisanja evanđelja potpuno slažu u temeljnim činjenicama na kojima se zasniva Kršćanska vjera. Marko u svom evanđelju više opisuje što je Isus radio nego što je govorio, dok Matej i Luka, u djelovima svojih evanđelja koja ne nalazimo kod Marka, pišu o govorima (izrakama) koje je izgovorio Isus. Ta činjenica navodi na zaključak da su Luka i Matej koristili još neki rani dokument koji sadrži Isusove izreke, taj dokument neziva se "Q" (Quelle - izvor). Postoji dokaz na Grčkom o postojanju takvog dokumenta koji je preveden s Aramejskog (jezik koji se u to vrijeme govorio u Palestini, posebno u Galileji. Najvjerovatnije i jezik kojim je govorio Isus.) Spominje ga i Papija Hierapolski ( biskup u Hierapolisu u Frigiji današnja Turska, oko 130g.) kad piše:"matej je sastavio "Logij u" na Hebrejskom (Aramejskom), i svi su je preveli najbolje što su mogli." Po ovom tekstu možemo zaključiti da je postojalo više verzija tog dokumenta na Grčkom, što ujedno i objašnjava neke male razlike između Matejevog i Lukinog evanđelja. Što se tiče vremenskog slijeda događanja neka istraživanja tvrde da je evanđelje po Luki kronološki najtočnije. Ovdje je ono "najrazbacanije", jer sam krenuo od Matejevog evanđelja koje je poslužilo kao obrazac po kojem sam prilagodio prvo Markovo a potom Lukino evanđelje, poštujući redoslijed koji je ustanovljen u Bibliji. Namjera mi nije bila točno ustanoviti vremenski slijed događanja nego više posložiti evanđelja na način koji još jasnije naglašava poruku (Radosnu vijest) Gospodina Isusa Krista. Čitajući evanđelja posložena na ovakav način jasno uočavamo veliki broj podudarnosti ali i pojedine razlike među njima koje, po mom mišljenju, dokazuju izvornu vjerodostojnost teksta evanđelja koja je sačuvana do današnjih dana. Jedinstveni dijelovi u svakom od evanđelja "proširuju" cijelu priču, ali isto tako dodatno tumače

21 Ev anđelj a 18 i potvrđuju misao ili poruku koja je sadržana i u ostalim evanđeljima. Zato ponekad ti jedinstveni dijelovi nisu posloženi po redoslijedu kojim se pojavljuju u pojedinom evanđelju (posebno kod Luke), nego sam im probao pronaći mjesto koje im više "paše" po duhu nego po slovu (broju). Zajednički tekstovi u evanđeljima međusobno potvrđuju vjerodostojnost dotičnog događaja, dok male razlike u izražaju ili upotrebljenoj riječi nadopunjuju i pojašnjavaju smisao same poruke. Malobrojne razlike koje možemo naći između evanđelja (broj slijepaca koji sjede kraj puta (Mt 20.30, Mk 10.46, i Lk 18.35) ili broj žena na Isusovom grobu (Mt 28.1, Mk 16.1)) možemo objasniti djelom razlikama u usmenoj predaji, djelom u različitom stilu i namjeni pojedinog evanđelja i u različitim osobnostima samih evanđelista. Na slici dolje možete vidjeti odnose između sinoptičkih evanđelja.

22 19 Ev anđelj a Uvod u Matejevo evanđelje Uvod u Matejevo evanđelje Autor Vrijeme nastanka Mjesto nastanka Odnos Starog Zavjeta i evanđelja po Mateju Namjena evanđelja Osvrt na tekst evanđelja Kanonska važnost evanđelja

23 Ev anđelj a Autor Prema predaji koja seže u prvo stoljeće smatra se da je autor prvog evanđelja u Bibliji Matej ( dar Božji), drugim imenom Levi, po zanimanju carinik (Mt 9.9, Mk 2.14, Lk 5.27). U prilog toj činjenici govori njegovo detaljan opis događanja o kojima piše kao i često spominjanje novca. Kao carinik Matej je obučen za vođenje raznih evidencija i možda je izabran kako bi napisao točan izvještaj o životu i učenju Isusa Krista. No u isto vrijeme kao carinik u službi Rimske vlasti sigurno je bio i prezren od svog naroda i smatran izdajnikom. Tečno se koristi Aramejskim i Grčkim i možemo pretpostaviti da je učen i prilično bogat čovjek (priredio je veliku gozbu u svojoj kući za Isusu, svoje kolege carinike i druge grešnike (Mt 9.10)) Najvjerojatnije je to sve napustio kako bi slijedio Isusa. Matej je jedan od dvanaestorice apostola i očevidac mnogih Isusovih djela. Ovako sam Matej prepričava poziv Isusa u svom evanđelju: Kad j e Isus odatle otišao dalj e, v idj e čov j eka po imenu Matej a gdj e sj edi na carini. Reče mu: "Haj de za mnom!" On ustade i ode za nj im. (Mt 9.9) Možemo pretpostaviti da je Matej čuo Isusovo propovijedanje par puta prije ovog poziva. U prilog Mateju kao autoru evanđelja govore i ugledni ljudi u prvim stoljećima crkve kao što je Irenej (Biskup u Lyonu, Francuska g) koji piše Matej je, među Židovima, objavio evanđelje na njihovom jeziku. Spominje ga i Jeronim (znan kao Eusebius Hieronymus cca g, vodeći Biblijski učenjak svog doba) Matej carinik, imenom Levi, prvi je objavio evanđelje u Judeji na Hebrejskom Klem ent A leksandrij ski (Tit Flavij e Klem ent) (Atena, Cezareja), idealist, voditelj katehetske škole, prvi "doktor kršćanstva", svetac, opisuje ga kao strogog isposnika koji živi na sjemenkama i bilju bez mesa. Lako je za pretpostaviti da je Matej svoj grešni život zamijenio za strogi isposnički način života. Nije zabilježena niti jedna Matejeva izgovorena riječ, iako ga sva četiri evanđelja spominju kao jednog od dvanaestorice najbližih Isusovih učenika. Nema pouzdanih informacija o apostolskoj karijeri Mateja, smatra se da je propovijedao u Palestini nekoliko idućih godina, nakon toga, tradicija kaže da je otišao propovijedati u Perziji, Siriji i na kraju u Egipat i Etiopiju. Tradicija Istočne crkve govori da je umro prirodnom smrću, dok Zapadna crkva tvrdi da je umro mučeničkom smrću (ubijen mačem).

24 21 Ev anđelj a Vrijeme nastanka S obzirom da je bilo potrebno određeno vrijeme za nastajanje, te oblikovanje usmenog nauka neki pretpostavljaju da je aramejski Matej nastao oko godine. Kanonski Matej bio je u izvjesnoj mjeri ovisan o Marku, te se pretpostavlja da nije mogao biti napisan prije 65. godine, koja je najvjerojatnije vrijeme postanka Markova evanđelja. Dio katoličkih stručnjaka smatra da je Matej napisan prije 70. godine, kad su Rimljani razorili Jeruzalem, no ima također vrsnih kršćanskih stručnjaka koji smatraju da je grčki Matej nastao nešto nakon 70. godine Mjesto nastanka Imamo malo saznanja o mjestu nastanka evanđelja. Smatra se da je najvjerojatnije napisano u Palestini, dok neki smatraju da je možda napisano gradu Tiru Sidonskom (grčki: Τύρος, Týros) je grčki naziv za fenički grad Sur, grad i morska luka u Libanonu (pokrajina Donji Liban), oko 80 km južno od Bejruta. Ili Primorska Cezareja (latinski: Caesarea Maritima), također poznata i kao Palestinska Cezareja. Moguće je da je mjesto pisanja i grad Antioh, u Siriji Odnos Starog Zavjeta i evanđelja po Mateju Evanđelje po Mateju je svojevrsni most između Starog i Novog Zavjeta, između Židovskih vjernika i ne-židova. Matej citira iz Starog Zavjeta više od četrdeset puta, više nego sva ostala evanđelja zajedno. Koristi citate iz sedamnaest knjiga Starog zavjeta i spominje petnaest osoba iz Starog Zavjeta i to ne računajući Isusovo rodoslovlje u prvom poglavlju. Citate Starog Zavjeta koristi u formatu obećanje/ispunjenje, i prikazuje Isusa kao Mesiju koji je ispunio Starozavjetna proročanstva. Isto tako mnoge titule i nazivi koji se koriste za opis Y HWH (Boga) primjenjuje na Isusa. Kao takva poveznica između Starog i Novog Zavjeta evanđelje po Mateju stavljeno je kao prvo evanđelje u tekstu Novog Zavjeta, iako najvjerojatnije nije i prvo evanđelje koje je napisano.

25 Ev anđelj a Namjena evanđelja Matejevo evanđelje prvenstveno je namijenjeno židovskim obraćenicima na kršćanstvo. Namjera je prikazati Isusa kao Mesiju, Krista, Pomazanika, sina Božjeg navještenog iz Starog zavjeta. Zato Matej citira navode Starog Zavjeta više nego drugi evanđelisti. (oko 70-tak puta) Isusa želi prikazati kao obećanoga Kralja, koji je svojim životom, smrću, uskrsnućem i uzašašćem uspostavio Kraljevstvo Nebesko, koje će doći u punoj snazi kod njegovog drugog dolaska na zemlju. Iako je Matejevo evanđelje uglavnom pisano za obraćene Židove, nije ograničeno samo na njih. Matej spominje više Isusovih prispodoba prvenstveno namijenjenih ne-židovima (drugim narodima), kao ženidbu kraljeva sina (Mt ), isto tako često citira proroke Starog Zavjeta koji se odnose na ne-židove (npr. Mt 12.18, Mt idr.) Isto tako naglašava univerzalnost kraljevstva Isusa Krista kad spominje Isusovu naredbu iz Mt "Zato idite i učinite sebi sve narode učenicima, krštavajući ih u ime Oca i Sina i Duha Svetoga." Osvrt na tekst evanđelja Dugo se smatralo da je Matejevo evanđelje prvo napisano, dok sada prevladava mišljenje da je Markovo evanđelje prvo napisano i da je Matej jednim djelom koristio Markovo evanđelje kod pisanja svoga. Evanđelja su prvo najvjerojatnije napisana na aramejskom, dok je do nas stiglo u grčkom prijepisu. Dok je evanđelje na Aramejskom utemeljeno samo na usmenoj predaji, Matej je kod pisanja Grčke verzije evanđelja najvjerojatnije koristio Markovo evanđelje a i možda i neke druge tekstove rane crkve. Dok početna poglavlja evanđelja po Luki naglašavaju ulogu Marije, Isusove majke, početna poglavlja evanđelja po Mateju naglašavaju ulogu Josipa, očuha, kao nasljednika Davidove loze u kojoj će se roditi kralj čijem kraljevstvu neće biti kraja. (2 Sam , Iz 9.6-7) Josipu anđeo javi da je Marija začela po Duhu Svetome (Mt 1.20), on je glava svete obitelji kojoj anđeo naređuje da obitelj skloni u Egipat (Mt 2.13) idr. Za ovaj "dvostruki" pogled kod Mateja i Luke na te prve dane objave i rođenja Isusa vjerojatno možemo zahvaliti upravo Josipu i Mariji koji su evanđelistima prepričali događanja tih prvih dana, svako iz svoje perspektive. Čitajući o tim događanjima u evanđeljima u tablici primijetiti ćete kako se obje priče izvanredno dopunjuju i otkrivaju potpuniju sliku svih događanja. Glavni naglasak kod Mateja je Isusovo mesijanstvo i Kraljevstvo nebesko. Isto tako jasno je naglašeno poslanje Isusa prvenstveno prema Židovima i ponovno uspostavljanje vlasti nad Kraljevstvom kralja Davida.

26 23 Ev anđelj a Dvije ključne riječi Matejevog evanđelja su Kralj i kraljevstvo. Evanđelje po Mateju možemo podijeliti na pet tematskih cjelina koje završavaju riječima Kad je Isus bio svršio ove govore (7:28; 11:1; 13:53; 19:1; 26:1). Neki učenjaci smatraju da Matej podjelom evanđelja na pet dijelova želi prikazati Isusa kao novog Mojsija a dijelove svog evanđelja na taj način povezati s prvih pet knjiga Biblije, Mojsijevim knjigama (Postanak, Izlazak, Levitski zakonik, Brojevi, Ponovljeni zakon) Podjela Matejevog evanđelja 1. dio Naglasak na prvom djelu evanđelja je na Govoru na gori, jedan od najpoznatijih i najcitiranijih dijelova cijelog Novog Zavjeta. U ovom djelu nalazimo dio o blaženstvima i molitvu Oče naš. Mnogim vjernicima upravo "Govor na gori" sadrži centralnu poruku Isusovog učenja, a blaženstva su najupečatljiviji dio cijelog govora. Blaženstva su usredotočena prema humanosti i ljubavi, predstavljaju savršeno očitovanje Isusovog učenja o milosti, suosjećanju i općenito kršćanskoj duhovnosti. 2.dio Drugi dio Matejevog evanđelja, naručito poglavlje deset, daje odrednice apostolima (imenovanih u Mt 10.2) kako da vrše apostolsku službu. Isus daje apostoloma vlast nad nečistim duhovima i moć ljećenja svake vrste bolesti. Savjetu je ih kako da putuju od grada do grada, šta da nose sa sobom i u koje gradove da idu (da propovjedaju samo u Hebrejskim gradovima). Isto tako govori im da budu oprezni na svojim putovanjima ali da se na plaše što će govoriti kad budu pred "kraljevima" i "poganima" "jer nećete govoriti vi, nego će Duh Oca vašega govoriti preko vas". (Mt 10.20) (isto Lk 12.12) 3. dio U trećem dijelu (završava s Mt13.53) nalazimo par alegorija (usporedbama) o Kraljevstvu Nebeskom. Prvi dio počinje govorom Isusa velikom mnoštvu naroda na obali mora. U ovom djelu možemo naći usporedbe "O sijaču" (Mt 13.4), "Ljulj" (13.24), "Gorušično Zrno" (Mt 13.31), "Kvasac" (Mt 13.33). Potom Isus otpusti narod, vrati se u kuću gdje učenicima objašnjava usporedbu o ljulju, a potom im govori još dvije usporedbe; "O blagu i biseru" (Mt 13.44), i "Mreža" (Mt 13.47). 4.dio Četvrti dio završava na Matej 19.1, u tom djelu nalazimo priče o umorstvu Ivana Krstitelja, o čudu kad Isus nahrani pet, potom i četiri tisuće ljudi, o hodu Isusa po vodi, o ozdravljenjima idr. Ovaj dio sadrži i usporedbe o "Zalutaloj ovci" (Mt 18.12) i "Nemilosrdni dužnik" (Mt 18.23) koje se isto tako odnose na Kraljevstvo Nebesko. Naglasak u ovom djelu je na zajedništvo vjernika i značaju apostola koji vode tu zajednicu, crkvu. Isus govori apostolima: "Zaista kažem vam, što god svežete na zemlji, biti će svezanona nebesima, i što god razriješite na zemlji biti će razriješeno i na nebesima." Isus jasno želi naglasiti važnost poniznosti i odricanja kao vrline u zajednici vjernika. 5.dio U posljednjem dijelu ovakve podjele Matejevog evanđelja možemo između ostalog naći Isusove govore o nerazriješivosti ženidbe, djevičanstvu, opasnosti od bogatstva idr. U ovom djelu Matej opisuje Isusov ulazak u Jeruzalem i izgon trgovaca iz hrama.

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5?

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5? Zadata 00 (Jasna, osnovna šola) Kolia je težina tijela ase 400 g? Rješenje 00 Masa tijela izražava se u ilograia pa najprije orao 400 g pretvoriti u ilograe. Budući da g = 000 g, orao 400 g podijeliti

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010. GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

OBRED KRŠTENJA. Arnold Fruchtenbaum SAD Preveo Marijan Šporčić I. POJAM OBRED

OBRED KRŠTENJA. Arnold Fruchtenbaum SAD Preveo Marijan Šporčić I. POJAM OBRED OBRED KRŠTENJA Arnold Fruchtenbaum SAD Preveo Marijan Šporčić I. POJAM OBRED Najbolje da započnemo s definicijom pojma obred, kako bismo ono, što se pod krštenjem i pričešću misli, jasno razumjeli. Dakle:

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora). UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetički i geometrijski niz

Aritmetički i geometrijski niz Zadac sa prethodh prjemh spta z matematke a Beogradskom uverztetu Artmetčk geometrjsk z. Artmetčk z. 00. FF Zbr prvh dvadeset člaova artmetčkog za čj je prv čla, a razlka A) 0 B) C) D) 880 E) 878. 000.

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων. Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων. Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα